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SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Sistemas de Amortização
Livro Eletrônico
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Sistemas de Amortização
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Sumário
Apresentação ................................................................................................................................... 3
Sistemas de Amortização .............................................................................................................. 4
1. Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 4
1.1. Período de Carência ................................................................................................................ 10
2. Sistema de Amortização Americano ...................................................................................... 11
3. Sistema de Amortização Francês ...........................................................................................12
3.1. Valor Presente e Valor Futuro...............................................................................................13
3.2. Fator A de Amortização ........................................................................................................ 14
3.3. Exemplo de Sistema Francês ............................................................................................... 17
3.4. Saldo Devedor ........................................................................................................................ 23
4. Sistema de Amortização Constante ..................................................................................... 29
4.1. Saldo Devedor ......................................................................................................................... 30
4.2. Exemplo de Sistema SAC ..................................................................................................... 36
4.3. Valor Total Pago pela Dívida ............................................................................................... 39
5. Sistema de Amortização Misto ..............................................................................................43
Resumo ............................................................................................................................................48
Questões Comentadas em Aula ..................................................................................................51
Questões de Concurso ................................................................................................................. 58
Gabarito ......................................................................................................................................... 124
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ApresentAção
Olá, amigo(a), tudo bem? Seja bem-vindo(a) a mais uma aula do nosso curso de Matemáti-
ca Financeira. Está animado(a)?
Gostaria de repetir meus contatos para que você possa tirar dúvidas:
• e-mail: thiagofernando.pe@gmail.com
• Instagram: @math.gran
É bem interessante para você me seguir no Instagram, pois é lá que eu posto várias dicas 
para a sua preparação para concursos públicos.
Nesta aula, falaremos sobre um dos assuntos mais recorrentes em provas, principalmente 
em certames de alto nível, como a Área Fiscal e de Controle: Sistemas de Amortização.
Algumas bancas, como o CESPE e a FCC, são realmente aficionadas por questões sobre 
amortização e, por isso, você precisa dar uma atenção enorme a esse capítulo.
São muito comuns questões cobrando todos os aspectos – seja a composição das parce-
las, o comportamento do saldo devedor.
Por isso, este material abordará o assunto em todas as suas minúcias para que você esteja 
preparado(a) para certames extremamente rigorosos.
Para ajudar na sua compreensão da matéria, eu preparei uma planilha na qual você poderá 
simular os diversos sistemas de amortização que foram ensinados neste capítulo:
Utilizar este link para baixar a sua planilha de sistemas de amortização: https://drive.goo-
gle.com/file/d/1tjCKDuHcto9HEnVc0at_LwvjnVIJRAnB/view
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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
1. ConCeitos BásiCos
No mundo moderno, o crédito – tomar dinheiro emprestado – é essencial para o progresso 
de uma sociedade.
Imagine que você tenha passado no concurso público dos seus sonhos e que você resol-
veu montar um plano financeiro para a sua aposentadoria.
Para isso, você poupa mensalmente uma certa quantia. Você será chamado um poupador.
Do outro lado, a equipe Gran Cursos, preocupada em melhorar a qualidade do serviço públi-
co brasileiro, deseja montar um novo estúdio com tecnologia de ponta.
Como já explicamos sobre preferência temporal, a equipe Gran Cursos tem alta preferência 
temporal, porque precisa de dinheiro agora para construir o estúdio. Já você tem baixa prefe-
rência temporal, porque você não precisa do dinheiro agora, já que está pensando principal-
mente no seu futuro.
O que vai acontecer, portanto, é que a equipe Gran Cursos tomará um crédito, que nada 
mais é do que um valor emprestado de você para construir um estúdio.
É interessante notar que, ao contrário do que acredita o senso comum, a maior parte do 
crédito flui das classes baixas para as grandes empresas.
Principalmente nos países desenvolvidos, a classe baixa e a classe média tendem a ser 
bastante poupadoras e investem para o seu futuro. Por outro lado, os ricos tendem a arriscar 
bastante e tomam crédito para abrir empresas.
Além disso, é importante destacar que os ricos têm maior facilidade de quitar suas dívidas, 
caso o empreendimento para o qual tomaram crédito falhe.
Infelizmente, aqui no Brasil, há uma cultura de as classes mais baixas serem bastante en-
dividadas. Isso tem consequências graves, pois faz com que o crédito custe caro – é por isso 
que os juros no Brasil são tão elevados.
De qualquer maneira, quando a equipe Gran Cursos tomar um crédito, certamente consul-
tará o seu professor de Matemática Financeira, que, além de professor, é também analista de 
investimentos.
O seu parecer será bem claro:
Obs.: � os juros compostos são a maior força da natureza. Se você deixar os juros se acumu-
larem com o tempo, vai ser impossível pagá-los.
Sim. Os juros compostos se acumulam muito rapidamente e consumiriam todo o seu patri-
mônio também rapidamente. Por exemplo, vejamos o que aconteceria se a equipe Gran Cursos 
financiasse R$ 100 mil em 10 anos, a uma taxa de juros de 15% ao ano:
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Percebeu como a dívida cresceu? O efeito do tempo no acúmulo de juros compostos é 
devastador.
Por isso, uma ideia inteligente é quitar a dívida aos poucos, de modo a evitar o acúmulo 
de juros. Por isso, o tomador de empréstimosfrequentemente optará por fazer amortizações 
da dívida.
É para isso que existem os pagamentos periódicos de uma dívida. Por exemplo, quando 
você compra um carro parcelado em 24 meses, você está fazendo pagamentos periódicos.
De maneira geral, podemos escrever que um pagamento é composto por três partes.
Juros: correspondem ao efeito do tempo sobre uma dívida. No caso de um sistema de 
amortização, os juros são capitalizados a cada período de pagamento – isto é, a cada mês, se 
os pagamentos forem mensais. A expressão da capitalização é nossa velha conhecida, mas 
não custa relembrar:
É importante destacar que esse é o valor mínimo que deve ser pago para evitar que a dí-
vida cresça.
Por exemplo, suponha que você comprou o seu primeiro imóvel e financiou R$ 400 mil a 
uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Se a primeira parcela vai ser paga daqui a um mês, o juro 
incidente sobre ela será:
Portanto, depois de um mês, a sua dívida cresceu em R$6.000. Esse é, assim, o valor míni-
mo que você deverá pagar para evitar que a sua dívida seja sempre crescente.
Para entender melhor essa situação, vejamos dois exemplos. No primeiro, você pagará 
uma parcela de R$ 4.000 e, no segundo, você pagará uma parcela de R$ 8.000:
Figura 1: Incidência de Juros sobre um Empréstimo
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Na situação 1, os juros fazem a sua dívida crescer em R$ 6.000 e ela passaria para R$ 
406.000. No entanto, houve um pagamento de R$ 4.000, por isso, parte desse crescimento 
foi atenuado para R$ 402.000. Nessa situação, houve apenas pagamento de juros, não houve 
amortização.
É importante deixar claro que:
Se o pagamento realizado é inferior aos juros, o saldo devedor será sempre crescente.
Por outro lado, na situação 2, aconteceu uma amortização que será explicada logo a seguir.
Amortização: corresponde ao abatimento do principal de uma dívida. O objetivo da amorti-
zação é diminuir o poder de produção de juros dessa dívida com o passar do tempo, de modo 
que os juros não se acumulem e que o saldo devedor diminua com o tempo até chegar a zero, 
momento em que a dívida está completamente quitada.
Na situação 2 da Figura 1, a dívida foi amortizada no valor de R$ 2.000. Por isso, o saldo 
devedor diminuiu em R$ 2.000, atingindo R$ 398.000.
Duas relações importantes que se pode escrever a respeito da amortização são:
Nessa equação, P representa o pagamento efetuado. Todo pagamento é composto por um 
cupom de juros (J). O que sobra, em geral, é o valor da amortização. Dizemos “em geral” por-
que pode haver a incidência de outros encargos que serão comentados logo adiante.
A segunda relação importante é que a amortização representa a diminuição do sal-
do devedor:
Outros encargos: embora não sejam tão comuns em provas de concursos, são extrema-
mente comuns na vida real.
Os outros encargos correspondem a outros preços cobrados pelos bancos para fazer um 
financiamento. Como exemplo, temos:
• Seguros: normalmente opcionais, servem para garantir que você poderá quitar a dívida, 
caso perca suas principais fontes de renda;
• Taxas bancárias: são cobradas pelos bancos em razão da abertura de uma conta ou 
mesmo de uma linha de financiamento. Essas taxas são as formas mais simples de 
esconder um custo elevado de um empréstimo. Serão mais bem estudadas quando fa-
larmos sobre o cálculo financeiro do custo efetivo total de uma transação;
• Impostos: em alguns casos, pode haver a incidência de impostos a cargo do tomador, 
como o IOF, sobre uma operação de financiamento.
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É importante que você saiba que as expressões que serão deduzidas para o sistema 
francês de amortização e o sistema de amortização constante não levam em conta a in-
cidência de outros encargos. Portanto, caso eles existam, deverão ser somados à parcela 
calculada.
Figura 2: Composição de uma Parcela de um Empréstimo ou Financiamento
E, agora, vamos fixar esses conceitos com questões de provas.
001. (ESAF/ISS-RN/2008) Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao valor global de R$ 
200.000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% a.a., num prazo determinado. 
A parcela mensal prevista é de R$ 1.500,00. Caso haja saldo residual, efetuará o devido paga-
mento ao final deste período. Desprezando a figura da correção monetária, podemos afirmar 
que neste caso:
a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses, não haverá saldo devedor.
b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este é crescente.
c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$ 50.000,00 (valor arredondado na uni-
dade de milhar - critério de arredondamento universal).
d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de 
pagamento.
e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de 
pagamento.
Como os pagamentos são mensais e a taxa de juros é anual, tem-se que essa taxa é nominal. 
Portanto, o primeiro passo é calcular a taxa de juros efetiva do empréstimo:
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Agora, podemos calcular o valor do cupom de juros referente à primeira parcela:
Observe que os juros são maiores do que o valor da própria parcela paga, portanto, ao pagar 
R$ 1.500,00, o cliente não consegue amortizar o empréstimo, de forma que o saldo devedor 
será sempre crescente.
Letra b.
002. (CESPE/TCE-PE/2017) Situação Hipotética: Uma instituição financeira emprestou a 
uma empresa R$ 100.000, quantia entregue no ato, sem prazo de carência, a ser paga em cinco 
prestações anuais iguais, consecutivas, pelo sistema francês de amortização. A taxa de juros 
contratada para o empréstimo foi de 10% ao ano, e a primeira prestação deverá ser paga um 
ano após a tomada do empréstimo.
Assertiva: Se o valor das prestações for de R$ 26.380, a soma total dos juros que deverão ser 
pagos pela empresa, incluídos nas cinco parcelas do financiamento, é inferior a R$ 31.500.
No final das cinco parcelas, o empréstimo será totalmente quitado, portanto, totalmente amor-
tizado. Sendo assim:
Por outro lado, foram pagos:
Sendo assim, o valor dos juros pagos será:
Errado.
003. (CESPE/TCE-SC/2016) Um banco emprestou R$ 30.000 entregues no ato, sem prazo 
de carência, para serem pagos pelo sistema de amortização francês, em prestações de R$ 
800. A primeira prestação foi paga um mês após a tomada do empréstimo, e o saldo devedor 
após esse pagamento era de R$ 29.650. Nessa situação, a taxa de juros desse empréstimo 
foi inferior a 1,8%.
Apesar de ter sido fornecido que o empréstimo segue o sistema de amortização francês, esse 
dado é irrelevante, pois a conta a ser feita é a mesma.
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Os juros que incidem na primeira parcela (que é paga um mês após a contração da dívida) são 
dados por:
Agora, sabemos que:
Portanto, podemos calcular a taxa de juros mensal:
Certo.
A questão da ESAF para o ISS-RN em 2008 mostra um fenômeno pouco compreendido a 
respeito dos juros.
É relativamente comum que os jovens tenham o sonho de comprar a sua casa própria tão 
logo comecem a trabalhar regularmente.
Assim, eles esperam “se livrar do aluguel”. O motivo dessa preocupação extremamente 
racional é mais bem explicado pela nossa disciplina amiga chamada Contabilidade.
No âmbito da Contabilidade, os juros e a amortização são tratados de formas diferentes.
Consiste em Contabilidade Pública
Contabilidade 
Geral
Amortização
Pagar o principal, 
de modo a diminuir 
o crescimento dos 
juros
Receita ou Despesa 
de Capital
Liquidação de 
um Passivo ou 
Conversão de um 
Ativo em Caixa
Pagamento de 
Juros
Paga apenas os 
juros
Receita ou Despesa 
Corrente Despesa ou Receita
Tabela 1: Tratamento Contábil de Juros e Amortização
A Tabela 1é muito valiosa. A depender dos concursos que você pretende prestar ao longo 
da sua carreira de concurseiro, ela pode lhe servir em 3 matérias. E, com certeza, será útil para 
a sua vida financeira.
Quando você paga um aluguel, você está assumindo uma despesa efetiva (no âmbito da 
Contabilidade Geral) ou uma despesa corrente (no âmbito da Contabilidade Pública). Essa des-
pesa diminui o seu patrimônio líquido, ou seja, a sua riqueza.
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Bem diferente do que aconteceria se você tivesse R$ 400 mil e comprasse um apartamento 
à vista. Nesse caso, isso nem mesmo seria uma despesa para a Contabilidade Geral – seria 
apenas a conversão de um ativo (caixa) em outro ativo (imóvel). Para a Contabilidade Pública, 
essa compra seria uma despesa de capital, que é aquela que contribui para a formação de um 
bem de capital.
Sendo assim, ao comprar um apartamento à vista, você não diminui o seu patrimô-
nio líquido.
O problema é que, ao comprar um apartamento financiado, você pagará juros. E os juros 
são também despesas efetivas ou despesas correntes. Os juros são, portanto, uma despesa 
da mesma natureza do aluguel.
No caso da questão da ESAF para o ISS-RN, em 2008, você paga uma parcela todo mês, 
mas nada daquilo contribui para o seu patrimônio. Pior ainda, seu saldo devedor é sempre 
crescente.
1.1. período de CArênCiA
Quando você vai ao banco pedir um financiamento, é comum que eles lhe ofereçam o cha-
mado período de carência.
O período de carência corresponde a um período em que o empréstimo é pago mediante 
uma condição especial de pagamento.
Por exemplo, é comum você ver anúncios de concessionárias dizendo “compre o seu carro 
agora e pague a primeira prestação só daqui a 3 meses”. Esse período de 3 meses é um perí-
odo de carência.
É importante deixar claro que a carência não é nenhuma benesse por parte do ofertante do 
empréstimo.
Durante o período de carência, os juros continuam se acumulando por meio da dinâmica de 
juros compostos.
É muito importante tomar cuidado em financiamentos com períodos de carência. É relati-
vamente fácil você se complicar e ver sua dívida crescer exponencialmente.
Existem duas situações muito importantes:
• Carência sem pagamento de juros: durante o período de carência, não é feito nenhum 
pagamento. Por isso, a dívida cresce normalmente por meio de juros compostos.
• Carência com pagamento de juros: durante o período de carência, o tomador do emprés-
timo paga periodicamente o cupom de juros associado ao empréstimo, de modo a evitar 
que o seu saldo devedor seja crescente.
Ambas as situações podem ser cobradas em provas de concursos. No entanto, você pre-
cisará estudar os sistemas de amortização primeiro para entender como calcular a parcela. 
Então, vamos a eles?
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2. sistemA de AmortizAção AmeriCAno
O sistema de amortização americano é muito usado por empresas nascentes – que pos-
suem donos arrojados – e pelo governo no pagamento de suas dívidas (os títulos públicos 
com cupom).
Consiste em fazer o pagamento mínimo de juros, de modo a manter o saldo devedor esta-
cionado. Já vimos que esse cupom é dado por:
Convém destacar que esse cupom deve ser calculado de um período de capitalização para 
o próximo. Portanto, quando a taxa de juros estiver na mesma unidade do tempo, o valor de t 
sempre será t = 1.
No final do período correspondente ao empréstimo, a dívida é paga integralmente, jun-
to com o último cupom de juros. Essa situação pode ser representada esquematicamente 
pela Figura 3.
Figura 3: Sistema de Amortização Americano
O grande objetivo do sistema americano é evitar que a dívida cresça fazendo o menor pa-
gamento mínimo.
Um exemplo é citado pelo empreendedor Flávio Augusto da Silva, dono da Wise Up. Flávio 
conta que abriu a Wise Up com R$ 20 mil tomados emprestados de seu cheque especial a juros 
de 12% ao mês.
Consciente de que essa taxa de juros era muito alta, Flávio sempre se preocupou em pagar 
os juros mensalmente, de modo a evitar que a dívida crescesse.
Após abrir a segunda turma de sucesso, Flávio quitou sua dívida com o banco. Atualmen-
te, a companhia cresceu e se tornou uma das maiores franqueadoras de escolas de inglês 
do Brasil.
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004. (INÉDITA/2021) Uma empresa recorreu ao mercado de títulos para conseguir um fi-
nanciamento de R$ 500.000,00. Foi acordado que ela pagaria 12 cupons semestrais de R$ 
50.000,00 e, junto com o último pagamento, ela restituiria o valor de R$ 500.000,00. Sendo 
assim, a taxa de juros nominal paga pela empresa no financiamento foi de 20% ao ano.
O cupom de juros é calculado por:
Como a questão pediu a taxa nominal anual, ela deve ser calculada usando o conceito de taxa 
de juros proporcional. Como 1 ano é igual a 2 semestres, tem-se:
Certo.
3. sistemA de AmortizAção FrAnCês
Esse é o sistema mais comum e conhecido. O sistema francês é baseado em algumas 
regras que precisam ser muito bem memorizadas. A fórmula que será deduzida mais adiante 
leva em conta todas essas condições. Caso alguma questão de prova mude uma dessas con-
dições, é preciso tomar cuidado na hora de aplicá-la.
• O primeiro pagamento é realizado um período após contrair a dívida.
• Enquanto a dívida não é paga, ela é atualizada por juros compostos.
• As parcelas são uniformes e constantes.
Figura 4: Esquema do Sistema Francês
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Perceba a diferença entre o sistema francês e o americano. No sistema americano, ocorre 
um pagamento diferente no final, quando o capital inicial tomado emprestado é integralmente 
devolvido junto com o último cupom de juros.
Por outro lado, no sistema francês, não existe a última parcela diferente das outras. Todas 
as parcelas são absolutamente iguais.
Além disso, é importante dizer que ocorre amortização em todas as parcelas no sistema 
francês, como será visto mais adiante.
É muito comum, em provas de concursos, o sinônimo “tabela Price” ou “sistema Price” para 
o sistema francês.
3.1. VAlor presente e VAlor Futuro
Quando se tem uma série de pagamentos uniformes, tem-se que o capital inicial da dívida 
é equivalente ao valor presente da série de pagamentos. Esse conceito é bastante explorado 
em problemas.
Outro conceito bastante importante é o valor futuro. Considerando um desconto compos-
to, o valor futuro das parcelas é igual ao valor futuro do próprio capital inicial da dívida.
Com base nisso, podemos facilmente relacionar o valor presente da dívida e as parcelas 
de sua série de pagamentos.
Esse valor futuro pode ser calculado levando cada uma das parcelas a valor futuro. Para 
isso, precisamos fazer diversas operações de juros compostos.
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Podemos escrever:
Temos, portanto, que o valor futuro (VF) é a soma de uma PG com as seguintes carac-
terísticas:
Sabemos que a soma da PG é dada por:
Por outro lado, já vimos a relação entre o valor futuro e o valor presente:
3.2. FAtor A de AmortizAção
A expressão que acabamos de deduzir é de suma importância, porque permite relacionar a 
dívida e as suas correspondentes parcelas. De quebra, ainda podemos utilizá-la para calcular o 
valor presente de uma série de pagamentos – o que pode ser exigido em questões avançadas 
sobre o tópico investimentos.
Vamos repetir a expressão:
O termo – lê-se “n cantoneira i” – é conhecido como fator A de amortização. É impor-
tante que você saiba como escrever o fator A:
A expressão à direita pode ser obtida a partir da esquerda simplesmente efetuando a divi-
são por (1+i)n tanto no numerador como no denominador.
Existem várias questões de prova explorando ambas as expressões do fator A. Por isso, é 
importante saber as duas.
Você decidirá qual expressão será utilizada de acordo com o que for mais fácil de calcular 
na hora da prova. Leve em conta, principalmente, as aproximações fornecidas pelo enunciado.
É muito comum que a banca forneça uma aproximação para uma potência. Por exemplo, 
se for fornecido que , provavelmente a banca quer que você utilize a expressão 
da esquerda.
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Por outro lado, caso seja fornecido , provavelmente a banca quer que 
você utilize a expressão da direita, que tem (1+i)-n.
Tudo isso ficará mais fácil com exemplos e exercícios.
005. (CESPE/PGE-PE/ANALISTA ADMINISTRATIVO DE PROCURADORIA/CALCULIS-
TA/2019) Com relação a sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, julgue 
o item a seguir.
Situação hipotética: Marcelo contratou empréstimo de R$ 380.000 em uma instituição finan-
ceira que adota o sistema de amortização francês. O valor foi entregue no ato, não foi conce-
dido prazo de carência para o pagamento, a ser feito em 5 prestações anuais, consecutivas e 
iguais. A primeira prestação vencerá um ano após a tomada do empréstimo, sendo a taxa de 
juros de 10% ao ano. Assertiva: Nessa situação, considerando-se 0,62 como valor aproximado 
para 1,1–5, é correto afirmar que Marcelo pagará menos de R$ 95.000 de prestação.
O fluxo de caixa para o empréstimo de Marcelo é dado por:
Como as 5 parcelas pagas são iguais e se iniciam um mês após a contração da dívida, tem-se 
que a dívida vai ser paga pelo sistema de amortização francês. Nesse caso, a parcela pode ser 
obtida a partir do fator A de amortização.
A expressão conhecida para o fator de amortização é:
São conhecidos os seguintes parâmetros da expressão acima:
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Substituindo valores em (I), temos:
Então, podemos calcular a parcela.
Portanto, a parcela é ligeiramente superior a R$95.000.
Errado.
006. (CESPE/TCE-AC/2009) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato 
da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. 
A primeira prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros com-
postos ao mês. Considerando 0,55 como valor aproximado para 1,025-24, é correto afirmar que 
o preço à vista, em reais, do veículo foi:
a) Inferior a 16.800.
b) Superior a 16.800 e inferior a 17.300.
c) Superior a 17.300 e inferior a 17.800.
d) Superior a 17.800 e inferior a 18.300.
e) Superior a 18.300.
Nesse problema, temos uma ligeira alteração do Sistema Francês:
Observe que podemos dividir essa série de pagamentos em duas partes:
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O valor presente total do carro será dado por:
Além disso, a parte C2 é trivial de calcular.
Por sua vez, a parte C1 pode também ser calculada pela expressão do Sistema Francês de 
Amortização:
Como foi fornecida a aproximação para 1,025-24, o fator A de amortização deve ser calculado 
pela expressão:
Agora, podemos calcular o capital C1 correspondente à parte que foi parcelada.
Dessa maneira, a pessoa pagou R$ 3.500 à vista e R$ 13.500 financiado em 18 vezes de R$ 
750. O preço à vista do carro corresponde ao seu valor presente, é, portanto:
Letra b.
3.3. exemplo de sistemA FrAnCês
Agora, consideraremos que você comprou um carro por R$ 50.000,00 pagando 50% de 
entrada. O restante vai ser pago por meio do sistema francês de amortização a juros de 3% ao 
mês. Dessa maneira, o valor financiado será R$ 25.000.
Com o auxílio de uma planilha de Excel, fizemos o cálculo das prestações e da sua compo-
sição – em juros e amortização.
As parcelas calculadas são no valor de R$ 1.476,19. O comportamento dos juros e da 
amortização ao longo das 24 parcelas é o seguinte:
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Figura 5: Composição das Parcelas de um Sistema Francês em 24 Parcelas
Observe que, no início, os juros consomem cerca de 50% do valor da dívida. À medida que 
o saldo devedor vai sendo amortizado, o poder da dívida de gerar juros diminui. Por isso, a 
amortização cresce à medida que prossegue o financiamento.
Esse conhecimento é muito importante para você entender a dinâmica desse sistema de 
amortização.
Agora, vejamos o que acontece quando se aumenta o número de parcelas para 48. Nesse 
caso, a parcela calculada é de R$ 989,44.
Figura 6: Comportamento dos Juros e da Amortização em 48 Parcelas
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Nesse caso, nas primeiras parcelas, os juros consomem quase 80% de todo o valor pago.
Em razão disso, ao aumentar o número de parcelas no sistema francês, o valor delas não 
vai diminuir muito, pois praticamente todo o valor a ser pago nas primeiras parcelas correspon-
de a juros.
Podemos, ainda, plotar os juros pagos no total do financiamento em função do número de 
parcelas. Você notará que eles crescem muito rapidamente.
Figura 7: Total de Juros Pagos no Sistema Francês em Função do Número de Parcelas
Gostou dessa simulação? Eu estou disponibilizando a planilha que eu utilizei para fazê-la. 
Dessa maneira, você poderá brincar em casa com o sistema de amortização francês. Isso vai 
te ajudar bastante a entendê-lo. Utilize este endereço para baixar sua planilha de sistemas de 
amortização: https://drive.google.com/file/d/1tjCKDuHcto9HEnVc0at_LwvjnVIJRAnB/view
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007. (IADES/FUNDAÇÃO HOMOCENTRO DE BRASÍLIA-DF/CONTABILIDADE/2017) Deno-
minam-se sistemas de amortização as diferentes formas de devolução de um empréstimo. 
Acerca da tabela Price (ou Sistema Francês de Amortização), é correto afirmar que
a) as prestações, em geral, são decrescentes, uma vez que a amortização é fixa e os juros, 
decrescentes.
b) os juros são crescentes nas prestações.
c) a amortização é crescente, os juros são decrescentes e as parcelas são fixas.
d) a amortização é decrescente e os juros são crescentes, uma vez que as parcelas são fixas.
e) a tabela Price é utilizada exclusivamente para financiamento de veículos.
Questão teórica muito interessante para você entender o sistema de amortização francês (ou 
tabela Price). Nesse sistema, as parcelas são fixas e o saldo devedor é decrescente, portanto, 
os juros pagos também são decrescentes.
Como os juros decrescem, mas as parcelas são fixas, tem-se que a amortização é crescente a 
cada pagamento.
Letra c.
008. (CESPE/FUNPRESP-EXE/ESPECIALISTA EM INVESTIMENTO/2016) De acordo com a 
tabela em apreço (Tabela Price), as quantias amortizadas crescem a cada parcela.
No sistema francês de amortização, as parcelas são constantes. A parcela é composta de uma 
quantia de juros e uma quantia de amortização.
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Como o saldo devedor diminui a cada parcela, a quantia de juros também diminui. Desse modo, 
a quantia amortizada cresce a cada parcela.
Certo.
009. (CESPE/FUNPRESP-EXE/ESPECIALISTA EM INVESTIMENTO/2016) Nesse sistema, 
os valores das parcelas a serem pagas são decrescentes.
A principal característica do sistema francês de amortização é que as parcelas são constantes.
Errado.
010. (CESPE/BB/ESCRITURÁRIO/2008) Julgue os itens a seguir, relacionados a empréstimos 
e financiamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que o regime de juros 
praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado 
para 1,0212.
Caso um imóvel no valor de R$ 120.000,00 seja financiado em 12 prestações mensais e conse-
cutivas, tendo como base o Sistema Francês de Amortização, nesse caso, para a composição 
da primeira prestação, o valor de amortização será superior a R$ 7.800,00.
Questão bastante direta. O valor da parcela é calculado por:
Como foi fornecida a aproximação para 1,0212, o fator A de amortização será calculado pela 
expressão:
Dessa maneira, podemos calcular a parcela francesa:
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Para calcular a amortização pedida pela questão, devemos calcular os juros que incidem sobre 
a primeira parcela.
Agora, podemos calcular a amortização na primeira prestação:
Certo.
011. (CESPE/TCE-RN/INSPETOR/ADMINISTRAÇÃO, CONTABILIDADE, DIREITO OU ECO-
NOMIA/2015) Situação hipotética: Um empréstimo de R$ 18.000 foi quitado, com base no 
sistema de amortização francês — tabela Price —, em 10 prestações mensais, consecutivas 
e iguais, à taxa de juros de 24% ao ano, tendo a primeira prestação sido paga 1 mês após a 
contratação do empréstimo.
Assertiva: Nessa situação, se 0,82 tiver sido considerado o valor aproximado de 1,02-10, então 
o valor da prestação foi superior a R$ 1.950.
Começaremos convertendo a taxa de juros nominal em efetiva:
A relação entre a parcela e a dívida adquirida é dada pelo fator A de amortização. Levando em 
conta a aproximação fornecida, utilizaremos a seguinte expressão:
Agora, podemos calcular o valor da prestação:
Certo.
012. (CESPE/TCE-ES/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2012) Uma empresa, com o ob-
jetivo de captar recursos financeiros para ampliação de seu mercado de atuação, apresentou 
projeto ao Banco Alfa, que, após análise, liberou R$ 1.000.000,00 de empréstimo, que deverá ser 
quitado em 12 parcelas mensais, a juros nominais de 18% ao ano, capitalizados mensalmente.
Considerando-se a quitação do empréstimo pelo sistema Price e que 10,90 seja valor apro-
ximado para , é correto afirmar que o valor de cada parcela será superior a R$ 
90.000,00.
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A fim de calcular as parcelas, devemosobter o fator de amortização para o empréstimo. Tendo 
em mente a aproximação que foi fornecida, devemos utilizar a seguinte expressão:
Agora, podemos calcular as parcelas:
Certo.
013. (CESPE/TCU/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO/2009) Uma dívida foi paga em 10 
prestações mensais consecutivas, tendo a primeira prestação sido paga um mês após a con-
tratação da dívida. O credor cobrou uma taxa de juros compostos mensais de 7% e a prestação 
paga mensalmente foi de R$ 1.000,00. Nessa situação, tomando 0,51 como valor aproximado 
de 1,07-10, julgue o item abaixo.
A dívida em questão era superior a R$ 6.800,00.
A relação entre a dívida adquirida e a parcela financiada é dada pelo fator de amortização. Ten-
do em vista a aproximação fornecida, devemos calculá-lo da seguinte forma:
Agora, podemos obter o valor da dívida inicialmente adquirida:
Certo.
3.4. sAldo deVedor
As bancas adoram cobrar o saldo devedor em um sistema francês de amortização.
De maneira geral, podemos usar a expressão que já vimos para o decaimento do sal-
do devedor:
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Você pode seguir o passo a passo:
• obtenha a parcela calculando o fator de amortização;
• obtenha o saldo devedor como o produto do saldo devedor do período anterior pela taxa 
de juros.
Podemos fazer isso, porque que o sistema francês é postecipado. Desse modo, os juros 
são sempre calculados em relação ao saldo devedor do mês anterior.
• Obtenha o fator de amortização como a diferença entre a parcela e o cupom de juros.
• Obtenha o saldo devedor do mês seguinte descontando a amortização do saldo devedor 
do mês anterior:
Exemplo: uma dívida de R$ 30.000 vai ser paga no sistema francês com taxa de juros de 1% 
ao mês. Sabe-se que a parcela a ser paga é de R$ 1.200. Qual o saldo devedor após o primeiro 
pagamento?
Vamos seguir o passo a passo descrito na teoria:
• 1º Passo: a parcela já foi fornecida pelo problema, que é de R$ 1.200.
• 2º Passo: calculemos os juros embutidos na primeira parcela.
Podemos visualizar essa situação graficamente:
• 3º Passo: calculemos a amortização como a diferença entre a parcela total e o cupom 
de juros.
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Essa situação pode ser visualizada graficamente:
• 4º Passo: calculemos o saldo devedor abatendo a cota de amortização do saldo deve-
dor no período anterior:
Esse cálculo pode ser repetido também para calcular o saldo devedor após o segundo pa-
gamento, após o terceiro pagamento etc.
Porém, existem questões mais complexas que pedem, por exemplo, o saldo devedor 
após 15 pagamentos. Nesse caso, seria muito demorado calcular 15 amortizações para fazer 
essa conta.
Mas, para isso, podemos notar uma propriedade muito interessante do sistema francês. 
Quando pegamos o saldo devedor depois de alguns pagamentos, esse saldo devedor também 
corresponde a um sistema francês de amortização (destacado em um quadrado pontilhado).
Figura 8: O Saldo Devedor também é um Sistema Francês de Amortização
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Na Figura 8, vemos que o saldo devedor é o valor presente das parcelas que ainda faltam. 
E ele pode ser calculado pela mesma expressão do sistema francês que já vimos no fator de 
amortização.
Exemplo: no caso da dívida anterior, qual seria o saldo devedor quando restarem 4 parcelas a 
pagar? Dado: (1,01)–4 = 0,961.
Nesse caso, como ainda restam 4 parcelas a serem pagas, a situação no final do financia-
mento será descrita pelo seguinte fluxo de pagamentos:
Podemos calcular o fator de amortização:
O saldo devedor de R$ 4.680 tem uma importância especial: caso a empresa tenha inte-
resse em quitar a dívida antecipada, ela poderá, em vez de pagar 4 parcelas de R$ 1.200, pagar 
uma única parcela de R$ 4.680, economizando R$ 120 que seriam pagos a título de juros.
014. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2011) Tendo em vista que um empréstimo no valor de R$ 
32.000,00, que foi entregue no ato, sem prazo de carência, será amortizado pelo sistema Price, 
à taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestações mensais e consecutivas, e considerando 0,68 e 
1,80 valores aproximados para 1,05-8 e 1,0512, respectivamente, julgue os itens subsequentes.
A amortização correspondente à primeira prestação será superior a R$ 3.500,00.
Quando se tem uma taxa de juros nominal, a primeira coisa a se fazer é transformá-la em efe-
tiva usando a proporcionalidade:
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Agora, podemos calcular a parcela francesa:
O fator A deve ser calculado pela expressão:
Em seguida, podemos calcular a parcela francesa:
Podemos calcular os juros incidentes na primeira parcela:
Portanto, a amortização na primeira parcela será:
Errado.
015. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2011) Se o saldo devedor após o pagamento de segunda 
prestação for de R$ 25.030,00, então o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação 
será inferior a R$ 21.250,00.
O item é estranho, porque, com base no item anterior, poderíamos calcular o valor real do saldo 
devedor após a segunda parcela. Porém, de qualquer maneira, podemos calcular os juros inci-
dentes nessa parcela com base no que foi fornecido pelo enunciado.
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Agora, a amortização:
Portanto, podemos calcular o saldo devedor:
Errado.
016. (FCC/ELETROBRAS-ELETROSUL/ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS/2016) Considere 
um empréstimo que deverá ser liquidado por meio de 5 prestações mensais, consecutivas e 
iguais a R$ 8.610,00 cada uma, com a utilização do sistema francês de amortização (Tabela 
Price). Observa-se pelo plano de pagamentos que a primeira prestação vence 1 mês após a 
data da concessão do empréstimo e que os valores dos juros incluídos na primeira e segunda 
prestações são iguais a R$ 1.000,00 e R$ 809,75, respectivamente. O valor do saldo devedor 
imediatamente após o pagamento da segunda prestação é, em reais, igual a:
a) 24.589,75.
b) 24.780,00.
c) 25.589,25.
d) 26.525,00.
e) 23.980,25.
Essa é mais uma questão das boas sobre o sistema francês, muito parecida com a questão 
anterior.Podemos calcular as amortizações:
Agora, considere C o capital inicial da dívida:
Os juros sobre a primeira parcela são calculados em relação ao saldo devedor no mês 0, que 
corresponde ao capital inicial da dívida. Já os juros sobre a segunda parcela devem ser calcu-
lados em relação ao saldo devedor no mês 1:
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Fazendo a diferença entre os dois juros calculados:
O capital inicial da dívida pode ser calculado pelos juros da primeira parcela:
O enunciado pediu o saldo devedor após o pagamento das duas parcelas. Portanto, devemos 
abater as duas amortizações pedidas:
Letra a.
4. sistemA de AmortizAção ConstAnte
Esse é um dos favoritos das provas. Por ter expressões mais simples que o sistema fran-
cês, é relativamente mais fácil colocar questões que envolvam maior nível de raciocínio.
No sistema SAC, a amortização é constante em todas as parcelas. Dessa forma, se contra-
ímos uma dívida C a ser paga em N prestações, o valor da amortização será:
Além disso, podemos calcular a parcela completa como a soma dos juros mais a 
amortização:
Os juros devem ser calculados em função do saldo devedor no período anterior.
É isso. Não há muita teoria sobre o sistema SAC. Porém, há questões e mais questões.
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4.1. sAldo deVedor
Um ponto importante que você deve observar nas questões anteriores é que, no sistema 
SAC, o saldo devedor e as parcelas formam uma progressão aritmética decrescente.
Exemplo: considere uma dívida de R$ 1.000 a ser paga em 4 anos por meio de um sistema de 
amortização constante com juros de 1% ao mês. Qual o comportamento do saldo devedor?
A amortização pode ser obtida como a razão entre o total da dívida e o número de parcelas:
Dessa forma, o saldo devedor diminui R$ 250 a cada pagamento anual, até zerar.
A fim de teorizar, podemos calcular as expressões para o saldo devedor após n pagamen-
tos e para qualquer parcela do sistema SAC. Porém, não é necessário memorizar essas expres-
sões. Basta você ter em mente o conceito tratado nesta seção.
O saldo devedor após n pagamentos é igual à dívida original C menos n amortizações:
Por outro lado, os juros na parcela n devem ser sempre calculados em relação ao saldo 
devedor no mês anterior ao pagamento. Portanto:
Reforçamos que é absolutamente desnecessário decorar essas expressões. Elas podem 
ser facilmente deduzidas caso você se lembre de que:
No sistema de amortização constante, o saldo devedor e as parcelas decrescem por meio de 
uma progressão aritmética, portanto elas são linearmente decrescentes.
017. (CESPE/CAIXA/TÉCNICO BANCÁRIO/2014) Um cliente contratou um financiamen-
to habitacional no valor de R$ 420.000,00, para ser amortizado de acordo com o sistema de 
amortização constante, em 35 anos, à taxa nominal de juros compostos de 9% ao ano, com 
capitalização mensal.
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Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes, desconsiderando, entre outras, 
despesas como seguros e taxas de administração.
O valor da amortização mensal é inferior a R$ 900,00.
Como o cliente pagará em 35, serão 35x12 = 420 parcelas mensais. No sistema SAC, a amor-
tização mensal é constante, portanto, pode ser calculada por:
Errado.
018. (FCC/SEFAZ-BA/AUDITOR-FISCAL/ADMINISTRAÇÃO, FINANÇAS E CONTROLE IN-
TERNO/2019) Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 1.000.000,00 para ser liquidado em 
quatro parcelas anuais, sendo obrigatório o pagamento de juros e principal em cada parcela. 
A taxa de juros compostos negociada foi 10% ao ano e foi adotado o sistema de amortização 
constante (SAC). O saldo devedor remanescente do empréstimo no final do segundo ano, após 
o pagamento da segunda parcela, era, em reais,
a) 685.000, 00
b) 800.000 00
c) 500.000 00.
d) 700.000 00.
e) 710.000,00.
No sistema SAC, o saldo devedor decresce por meio de uma progressão aritmética.
A amortização, para o sistema SAC, é encontrada por meio da expressão:
Desta expressão conhecemos os valores:
Substituindo-se em (I):
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Após o pagamento da primeira parcela, temos o seguinte saldo devedor:
Seguindo a mesma lógica, o saldo devedor após o pagamento da segunda parcela será de:
Há também uma forma mais direta de resolver o problema. Para isso, basta usar o fato de que, 
a cada pagamento, o saldo devedor é reduzido em R$ 250.000. Como foram realizados dois 
pagamentos, o saldo devedor será:
Letra c.
019. (ESAF/MF/CONTADOR/2013) Um empréstimo de R$ 80.000,00 será pago em 20 par-
celas mensais, sendo a primeira 30 dias após o empréstimo, com juros de 2% ao mês, pelo 
Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor da segunda parcela será:
a) R$ 5.520,00.
b) R$ 5.450,00
c) R$ 5.180,00.
d) R$ 5.230,00
e) R$ 5.360,00.
Note que não é raro que as questões que tratam de sistema de amortização constante (SAC) 
cobrem simplesmente o cálculo de uma parcela específica sem nenhuma particularidade.
A amortização mensal é dada pela razão entre o empréstimo tomado e o número de parcelas 
em que será quitado:
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Agora, podemos fazer o esquema:
Os juros da segunda parcela devem ser calculados em relação ao saldo devedor no mês ante-
rior (mês 1). Dessa forma, temos:
Assim, a segunda parcela é composta pelo cupom de juros calculado e pela amortização 
constante.
Letra a.
020. (CESPE/TRE-BA/TÉCNICO JUDICIÁRIO – CONTABILIDADE/2017) Um banco empres-
tou a uma empresa R$ 100.000, entregues no ato, sem prazo de carência, para serem pagos 
em quatro prestações anuais consecutivas pelo sistema de amortização constante (SAC). A 
taxa de juros compostos contratada para o empréstimo foi de 10% ao ano, e a primeira presta-
ção será paga um ano após a tomada do empréstimo.
Nessa situação, o valor da segunda prestação a ser paga pela empresa será
a) superior a R$ 33.000.
b) inferior a R$ 30.000.
c) superior a R$ 30.000 e inferior a R$ 31.000.
d) superior a R$ 31.000 e inferior a R$ 32.000.
e) superior a R$ 32.000 e inferior aR$ 33.000.
Como são quatro parcelas anuais, a amortização constante será:
Os juros que incidem sobre a segunda parcela devem ser calculados em relação ao saldo de-
vedor no mês 1. Esse saldo é calculado levando-se em conta que já houve uma amortização, 
porque já foi paga uma parcela.
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Agora, podemos calcular os juros incidentes na segunda parcela:
Portanto, a segunda parcela é superior a R$ 32.000 e inferior a R$ 33.000.
Letra e.
021. (CESPE/TCE-PE/2017) Situação Hipotética: Um banco emprestou R$12.000 para Maria, 
que deve fazer a amortização em doze parcelas mensais consecutivas pelo sistema de amor-
tização constante sem carência. A taxa de juros contratada para o empréstimo foi de 1% ao 
mês, e a primeira parcela deverá ser paga um mês após a tomada do empréstimo.
Assertiva: O valor da quarta parcela a ser paga por Maria é de R$1.090.
Uma questão bem simples e muito útil para treinar o sistema SAC. Vamos esmiuçá-la a fim de 
que você entenda o maior número de detalhes a respeito desse sistema.
No sistema SAC, a amortização é constante. Se temos um capital inicial de R$ 12.000 para ser 
amortizado em 12 parcelas mensais, temos que a amortização mensal é:
Na primeira parcela, os juros são calculados em função do capital inicial da dívida – R$ 12.000. 
Portanto, temos:
Assim, podemos calcular a primeira parcela e o saldo devedor após esse pagamento:
Poderíamos repetir o mesmo procedimento para encontrar todas as parcelas. Ou podemos 
notar que, como queremos a quarta parcela, e a amortização mensal é constante, teremos a 
seguinte situação, em que o saldo devedor decresce R$ 1.000 por mês:
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É importante deixar claro que os juros no mês 4 devem ser calculados em relação ao saldo 
devedor no mês 3, tal qual é feito no sistema francês.
Dessa forma, os juros incidentes na quarta parcela podem ser calculados:
Já temos condições de marcar o gabarito. Porém, com o objetivo de aprender mais sobre o 
sistema SAC, desenharemos o que acontece em todas as parcelas até chegar à quarta:
Certo.
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4.2. exemplo de sistemA sAC
Tomaremos o mesmo exemplo da seção 3.3, em que é financiado um capital de R$ 25.000 
em 24 meses a uma taxa de juros de 3% ao mês.
Nesse caso, a amortização mensal é calculada por:
Figura 9: Comportamento da Amortização e dos Juros no Sistema SAC
Observe que a amortização é constante a cada parcela. Porém, os juros decrescem e, por 
consequência, o valor das parcelas também decresce.
Note que a primeira prestação foi de R$ 1.791,67 e a última de R$ 1.072,92 – o que repre-
senta uma grande redução no valor da parcela.
Um efeito importante que se deve falar a respeito do sistema de amortização constante 
é visto em financiamentos de mais longo prazo. Tomemos, como exemplo, o financiamen-
to de R$ 150.000 em 10 anos a uma taxa de juros de 2% ao mês – um típico financiamento 
imobiliário.
A amortização mensal será de R$ 1.250. Com o auxílio da planilha de Excel, calculamos 
que a primeira parcela será de R$ 4.250. Já a última parcela será de R$ 1.275.
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Figura 10: Comportamento das Parcelas num Sistema SAC de 120 parcelas
Agora, imagine que seja você, recém-aprovado(a) no concurso público dos seus sonhos, 
tomou esse financiamento para comprar o seu imóvel.
Logo quando você adquire o seu imóvel, ele se torna o que há de mais importante na sua vida. 
Por isso, você está disposto(a) a pagar prestações altíssimas no início – nesse caso, R$ 4.250.
No entanto, depois de 5 anos, suas prioridades começam a mudar. Por exemplo, você co-
meça a pensar em ter filhos. É natural, portanto, que você queira pagar prestações menores. Por 
isso, a 60ª prestação já caiu para R$ 2.775. Isso lhe dá uma folga interessante no orçamento.
Por isso, o sistema SAC é uma opção muito interessante em financiamentos de longo pra-
zo. Outro fato importante a se citar é que o SAC garante uma amortização mínima. Por isso, a 
diferença em relação ao sistema francês é notável para financiamentos de longo prazo.
Caso a mesma dívida de R$ 150.000 fosse paga à mesma taxa de juros de 2% ao mês em 
120 parcelas, a parcela francesa seria de R$ 3.307,21, o que daria um total a ser pago de R$ 
396.865,74. Já no sistema SAC, o total pago foi de R$331.500.
A despeito disso, é importante citar que os juros continuam corroendo uma boa parte das 
primeiras parcelas. Por isso, financiamentos de longo prazo tendem a corroer boa parte do 
seu capital.
Gostou dessa simulação? Eu estou disponibilizando a planilha que eu utilizei para fazê-la. 
Dessa maneira, você poderá brincar em casa com o sistema de amortização francês. Isso vai 
te ajudar bastante a entendê-lo. Utilize este link para baixar sua planilha de sistemas de amor-
tização: https://drive.google.com/file/d/1tjCKDuHcto9HEnVc0at_LwvjnVIJRAnB/view
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022. (ISS-RJ/AGENTE DE FAZENDA/2013) Em um financiamento pelo Sistema de Amortiza-
ções Constantes – SAC –, celebrado a uma taxa pré-fixada, a diferença entre duas prestações 
consecutivas será:
a) variável
b) cada vez menor
c) cada vez maior
d) constante
Tenha em mente que as parcelas no sistema de amortização constante (SAC) formam uma pro-
gressão aritmética. Portanto, a diferença entre duas prestações consecutivas será constante.
Letra d.
023. (CESGRANRIO/PETROBRAS/PROFISSIONAL JÚNIOR/ADMINISTRAÇÃO/2015) As 
empresas, ao captarem recursos financeiros de terceiros, obrigam-se a respeitar o sistema de 
amortização financeiro contratado. Sob condições de prazo, taxa de juros e valor emprestado 
iguais, os sistemas Francês, SAC, Misto e Americano apresentam uma característica comum.
Essa característica é a seguinte:
a) a amortização aumenta na mesma velocidade.
b) a primeira parcela contém o mesmo valor de juros.
c) as prestações são constantes.
d) as prestações são decrescentes.
e) o saldo devedor reduz na mesma velocidade.
Questão teórica bem interessante.Em todos os sistemas citados, os juros são sempre calcu-
lados em relação ao saldo devedor no mês anterior.
Dessa forma, os juros sobre a primeira parcela são calculados em relação ao total da dívida. 
Portanto, serão iguais.
Vejamos um exemplo. Você tomou R$ 100.000 emprestados a uma taxa de juros de 1% ao mês 
a serem pagos em 10 prestações. Nesse caso, o primeiro cupom de juros será:
Sendo assim, os juros incidentes na primeira parcela serão de R$ 1.000 independentemente do 
sistema de amortização utilizado.
O que diferenciará os diferentes sistemas de amortização será justamente o valor da amorti-
zação a ser pago em cada parcela.
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No sistema americano, não haverá nenhuma amortização na primeira parcela, por isso, o pa-
gamento será de exatamente R$ 1.000.
No sistema constante, a amortização dependerá apenas da quantidade de prestações. Dessa 
forma, a amortização a cada parcela será:
Sendo assim, no sistema constante (SAC), a primeira parcela será de R$ 11.000, sendo R$ 
10.000 de amortização e R$ 1.000 de juros pagos.
No sistema francês, também poderemos calcular a parcela pelo fator A de amortização. Po-
rém, o cupom de juros também será igual a R$ 1.000.
Sendo assim, em todos os sistemas citados, a primeira parcela conterá o mesmo valor de juros.
Letra b.
4.3. VAlor totAl pAgo pelA díVidA
Uma propriedade interessante das progressões aritméticas é que a soma dos termos equi-
distantes é sempre igual, como mostrado a seguir:
Figura 11: A média aritmética dos termos equidistantes dos extremos é sempre igual
Como, no sistema de amortização constante, os cupons de juros decrescem por uma pro-
gressão aritmética, podemos utilizar essa propriedade para facilitar a soma do total de juros.
Para isso, devemos notar que, se o sistema SAC tem n parcelas, é possível montar n/2 
pares de termos equidistantes dos externos, cuja soma é sempre igual a (J1 + Jn). Assim, po-
demos utilizar a seguinte expressão para a soma de todos os cupons de juros:
Como vimos, os juros incidentes sobre a última parcela (Jn) incidem sobre o saldo devedor 
após o pagamento da penúltima parcela (Dn–1). Uma observação interessante é que o saldo de-
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vedor Dn–1 deve ser necessariamente igual à cota de amortização, porque, após o pagamento 
da última parcela, o saldo devedor deve ser nulo.
Vejamos um exemplo: considere uma dívida de R$ 1.000 que será paga em 4 parcelas anu-
ais por meio de um sistema de amortização constante com taxa de juros de 1% ao mês.
Para esse sistema, temos que a amortização é:
Observe que, imediatamente antes da última parcela, o saldo devedor é exatamente igual 
à amortização de R$ 250. Assim, com o pagamento de mais uma amortização de R$ 250, a 
dívida estará completamente quitada no ano 4.
Podemos, então, calcular os cupons de juros na primeira e na última parcela. Para isso, 
basta multiplicar o saldo devedor imediatamente anterior ao pagamento da parcela pela 
taxa de juros:
Para a soma dos cupons de juros, teríamos:
Podemos utilizar a mesma técnica para calcular a soma das parcelas:
Portanto, foi pago um total de R$ 1.025 durante o financiamento, sendo que R$ 25 corres-
ponde ao total de juros.
024. (CESPE/MPU/ANALISTA ATUARIAL/2015) Um banco emprestou R$ 10.000,00 à taxa 
de juros mensais de 1%, devendo ser pago pelo sistema de amortização constante (SAC), em 
10 parcelas mensais e consecutivas, com a primeira prestação vencendo um mês após a to-
mada do empréstimo (sem carência). Nessa situação, julgue os seguintes itens.
O valor da primeira prestação será superior a R$ 1.150,00.
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Devemos sempre começar as questões de sistema SAC calculando a amortização a 
cada período:
Podemos calcular os juros sobre a primeira e a quinta parcelas:
A primeira parcela é bem simples de calcular:
Errado.
025. (CESPE/MPU/ANALISTA ATUARIAL/2015) O total dos juros pagos até a quinta presta-
ção inclusive será igual a R$ 400,00.
O juro sobre a quinta parcela deve ser calculado em função do saldo devedor no mês 4. Nesse 
mês, já foram feitos quatro pagamentos, portanto quatro amortizações de R$ 1.000 – totali-
zando R$ 4.000, restando o saldo devedor de R$ 6.000:
Agora, podemos extrair a soma dos juros, lembrando-nos de que a soma dos termos de uma 
PA é dada por:
Certo.
026. (CESPE/TCU/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO/2015) Recentemente, a empresa 
Fast Brick Robotics mostrou ao mundo um robô, conhecido como Hadrian 105, capaz de construir 
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casas em tempo recorde. Ele consegue trabalhar algo em torno de 20 vezes mais rápido que 
um ser humano, sendo capaz de construir até 150 casas por ano, segundo informações da 
empresa que o fabrica.
Situação hipotética: Para adquirir uma casa feita pelo robô, um cliente contratou em um banco 
um financiamento no valor de R$ 50.000,00, com capitalização mensal a regime de juros com-
postos com taxa de juros de 0,5% ao mês, que deverá ser pago integralmente somente ao final 
do prazo do financiamento, que é de 20 anos.
Assertiva: Nessa situação, assumindo-se 3,31 como valor aproximado de (1,005)240, ao final 
dos 20 anos, o comprador pagará mais de R$ 170.000,00 reais ao banco.
Nesse caso, a dívida está sendo atualizada por juros compostos.
Errado.
027. (CESPE/TCU/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO/2015) Situação hipotética: Para 
comprar uma casa construída pelo robô, uma pessoa contraiu um empréstimo de R$ 120.000,00, 
a ser pago pelo sistema de amortização constante (SAC) em 6 anos, em 12 prestações semes-
trais, com taxa de juros semestral de 8%.
Assertiva: Nesse caso, desconsiderando-se a existência de eventual prazo de carência, o valor 
da prestação a ser paga ao final do quarto semestre será superior a R$ 16.000,00.
Em primeiro lugar, calcularemos a amortização a cada prestação:
Observe que a primeira prestação é paga ao final do semestre 0, que é o semestre em que foi 
contraída a dívida. Ao final do primeiro semestre, é paga a segunda prestação.
Portanto, a prestação a ser paga ao final do quarto semestre é, na verdade, a quinta prestação.
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Dessa maneira, a quinta prestação será:
Certo.
Uma observação que eu gostaria de fazer é que, muitas vezes, os bancos e as financeiras 
iludem seus tomadores no caso de empréstimos.
Na grande maioria das questões que aqui mostramos, consideramos a taxa de juros como 
o único custo em um empréstimo. Porém, é muito comum instituições financeiras embutirem 
outros custos, como taxas de abertura de crédito e taxas de administração.
Por isso, as taxas de juros efetivas de empréstimos costumam ser bastante superiores às 
que são rotineiramente publicadas por essas instituições. É preciso ficar de olho.
Caso esteja previsto no seu edital, teremos uma aula sobre custo efetivo total em que você 
entenderá melhor o efeito de custos adicionais embutidos em empréstimos.
De qualquer forma, eu gostaria de dar uma dica muito útil para você, caso você tome algum 
tipo de empréstimo ou financiamento. Em vez de perguntar a taxa de juros, pergunte o CET ou 
o custo efetivo total da operação. Por lei, os bancos são obrigados a lhe informar.
5. sistemA de AmortizAção misto
O sistema de amortização misto é muito simples de calcular. Suas parcelas são a média 
aritmética entre o sistema francês e o sistema SAC correspondentes.
Esse sistema de amortização foi criado aqui no Brasil. Tem por objetivo ser um intermediá-
rio entre o sistema francês, em que as prestações ficam constantes, e o sistema SAC, em que 
as parcelas caem muito rapidamente.
A título de exemplificação, mostraremos a simulação do mesmo empréstimo que já foi 
tratado nas seções sobre os outros dois sistemas de amortização. Para relembrar, o capital 
financiado foi de R$ 25.000 a ser pago em 24 meses a uma taxa de juros de 3% ao mês.
As parcelas do sistema misto se comportam como mostrado na Figura 12.
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Figura 12: Comportamento das Taxas de Juros no Sistema Misto
A Figura 12 mostra que as parcelas realmente decrescem linearmente, porém não tão rapi-
damente quanto no sistema SAC. A título de comparação:
Parcela Francês SAC SAM
Primeira R$ 1.476,19 R$ 1.791,67 R$ 1.633,93
Última R$ 1.476,19 R$ 1.072,92 R$ 1.274,55
Tabela 2: Comparação entre as Parcelas do Sistema SAC e do Sistema Misto
De qualquer forma, é possível dizer que as parcelas do sistema misto também seguem 
uma progressão aritmética. Porém, essa progressão é mais suave do que a correspondente ao 
sistema SAC.
Gostou dessa simulação? Eu estou disponibilizando a planilha que eu utilizei para fazê-la. 
Dessa maneira, você poderá brincar em casa com o sistema de amortização francês. Isso vai 
te ajudar bastante a entendê-lo.
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028. (FUNCAB/CODATA/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO/2013) O valor da prestação do 
mês 05 de um financiamento pelo sistema de amortização Francês (PRICE) é R$ 277,40. O va-
lor da prestação do mês 05, do mesmo financiamento, pelo sistema de amortização constante 
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(SAC) é R$ 224,00. Determine o valor da prestação do mês 05, desse mesmo financiamento, 
pelo sistema de amortização mista (SAM).
a) R$ 501,40
b) R$ 250,70
c) R$ 330,80
d) R$ 277,40
e) R$ 224,00
A parcela no sistema misto é igual à média aritmética entre as prestações do sistema francês 
e do sistema SAC.
Letra b.
029. (CESPE/TCE-PR/2016) Um empréstimo de R$ 240.000 deverá ser quitado, no sistema 
Price, em 12 parcelas mensais iguais, com a primeira parcela programada para vencer um mês 
após a contratação do empréstimo. A taxa de juros nominal contratada foi de 12% ao ano e, 
com isso, cada prestação ficou em R$ 21.324. Nessa situação, se a pessoa que contratou o 
empréstimo tivesse optado pelo sistema de amortização misto, com a mesma taxa de juros, a 
terceira prestação seria igual a:
a) R$ 21.133.
b) R$ 22.000.
c) R$ 21.815.
d) R$ 21.662.
e) R$ 21.420.
O primeiro cuidado a se ter nessa questão é converter a taxa de juros anual em mensal, pois 
o tempo foi dado em meses. Como o desconto é simples, utilizaremos o conceito de taxa pro-
porcional. Basta apenas dividir por 12, já que 1 ano é igual a 12 meses.
Agora, precisamos calcular as parcelas no correspondente sistema SAC, pois as parcelas no 
sistema francês já foram fornecidas.
A amortização a ser paga em cada período é calculada por:
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Os juros que incidem sobre a terceira prestação devem ser calculados sobre o saldo devedor 
no mês anterior (mês 2). Nesse mês, já ocorreram duas amortizações:
Agora, calculemos os juros incidentes sobre a terceira prestação:
Portanto, podemos calcular a terceira prestação somando os juros com a amortização:
Em seguida, podemos calcular a parcela correspondente do sistema misto pela média 
aritmética:
Letra d.
030. (CESPE/TCE-ES/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2012) Uma empresa, com o ob-
jetivo de captar recursos financeiros para ampliação de seu mercado de atuação, apresentou 
projeto ao Banco Alfa, que, após análise, liberou R$ 1.000.000,00 de empréstimo, que deverá ser 
quitado em 12 parcelas mensais, a juros nominais de 18% ao ano, capitalizados mensalmente.
Se a quitação do empréstimo seguisse o sistema misto de amortização, em que os juros 
são calculados sobre o saldo devedor remanescente, os valores das prestações seriam de-
crescentes.
No sistema misto, realmente, as prestações são decrescentes. Não decrescem tão rapidamen-
te quanto no sistema de amortização constante, mas decrescem. Portanto, o item está certo.
Certo.
031. (CESPE/TCE-ES/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2012) Considere que, pelo siste-
ma de amortização constante, a primeira parcela de quitação do empréstimo seja superior a 
R$ 90.000,00 e, pelo sistema Price, igual a R$ 83.000,00. Então, pelo sistema misto, a primeira 
parcela de quitação do empréstimo será inferior a R$ 82.000,00.
Agora, vamos converter a taxa nominal em efetiva:
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Para saber a parcela correspondente ao sistema misto, devemos fazer a média entre a parcela 
obtida pelo sistema SAC e o sistema francês:
Errado.
Chegamos ao final de mais uma aula. Agora, me siga no Instagram, que é onde posto várias 
dicas sobre concursos públicos.
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