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15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/9 Exercício por Temas avalie sua aprendizagem A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos. Sabendo disso, determine a equação da reta tangente a e o ponto . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Lupa DGT0119_202301149053_TEMAS Aluno: IARA TEOTÔNIO Matr.: 202301149053 Disc.: CÁLCULO DIFERENCIA 2023.3 FLEX (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. DERIVADAS: APLICAÇÕES 1. Data Resp.: 11/08/2023 13:49:00 Explicação: y2 − 4xy = 12 (1, 6) y = 3x + 3. y = 3x + 5. y = 6x + 3. y = 4x + 2. y = 7x + 1 javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/9 A energia cinética de um corpo é dada pela relação . Determine a expressão que mostra a taxa de variação de com o tempo. Aplicando o ponto : Equação da reta: 2. Data Resp.: 11/08/2023 13:49:56 Explicação: Como , temos: y2 − 4xy = 12 − (4 ⋅ ⋅ y + 4 ⋅ x ⋅ ) = 2y − 4y − 4x = 0 = = m dy2 dy dy dx dx dx dy dy dy dx d(12) dx dy dx dy dx dy dx 4y 2y − 4x (1, 6) m = = = = 3 4y 2y − 4x 4 ⋅ 6 2 ⋅ 1 − 4 ⋅ 1 24 8 y − y0 = m (x − x0) y − 6 = 3(x − 1) y − 6 = 3x + 3 y = 3x + 3 k = mv21 2 k = m ⋅ v ⋅ a2. dk dt = m2 ⋅ v ⋅ a. dk dt = m ⋅ v2 ⋅ a. dk dt = m ⋅ v ⋅ a. dk dt = . dk dt m ⋅ v ⋅ a 2 =? = = m dk dt dk dt d( mv2)12 dt 1 2 d (v2) dt = ⋅ d(v2) dt d(v2) dt dv dt = m ⋅ = m ⋅ 2v ⋅ = mv dk dt 1 2 d (v2) dt dv dt 1 2 dv dt dv dt 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/9 Ao se analisar uma função por meio de suas derivas pode-se deduzir muitas informações acerca do comportamento desta função. A respeito de uma função analise as asserções a seguir: I. A derivada da função é da por , sendo eu se , a função é dita como crescente dentro de seu intervalo. PORQUE II. A concavidade da função será volta para cima se sua segunda deriva respeitar a condição: . Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta razão entre elas. Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido. Como a aceleração é dada por: 3. A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma justi�cativa da asserção I. A asserção I está correta e a asserção II é uma justi�cativa da asserção I. Ambas as asserções estão incorretas. A asserção I está correta e a asserção II está incorreta. A asserção I está incorreta e a asserção II está correta. Data Resp.: 11/08/2023 13:51:24 Explicação: I - Incorreta: A função é crescente se sua derivada for maior que zero: II - Correta: A concavidade é positiva, isto é, voltada para cima atender a condição . 4. Data Resp.: 11/08/2023 13:56:04 = a dv dt = m ⋅ v ⋅ a dk dt y = f(x) y = f(x) y = f(x) dy dx < 0 dy dx y = f(x) y = f(x) > 0 d2y dx2 y = f(x) > 0 dy dx > 0 d2y dx2 = 4πR2 ⋅ . dR dt dV dt = ⋅ . dR dt 1 4πR2 dV dt = ⋅ . dR dt 1 πR2 dV dt = ⋅ dR dt 4π R2 dV dt = ⋅ . dR dt 1 4πR3 dV dt 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/9 Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a equação da reta normal a e a origem. Explicação: 5. Data Resp.: 11/08/2023 13:59:50 Explicação: =? = C = ⋅ = ⋅ = π ⋅ ⋅ = π ⋅ 3R2 ⋅ = 4πR2 = ⋅ dR dt dV dt dV dt dV dR dR dt dV dt d( πR3)4 3 dR dR dt 4 3 dR3 dt dR dt 4 3 dR dt dR dt dR dt 1 4πR2 dV dt y = x√9 + x2 y = 3x. y = x. 2 3 y = 9x. y = 2x. y = x. 1 3 y = x√9 + x2 v = x; u = 9 + x2 = u + x ⋅ ⋅ = (9 + x2) + x ⋅ ⋅ (9 + x2) − ⋅ 2x + = m dy dx dx dx 1 2 d(u ) 1 2 du d (9 + x2) dx dy dx 1 2 1 2 1 2 dy 1 2 x (9 + x2) 1 2 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/9 Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao grá�co desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada igual a -1 O ponto de tangência entre a segunda reta e o grá�co de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b. Aplicando o ponto : Equação da reta: 6. 4 6 2 3 5 Data Resp.: 11/08/2023 14:01:01 Explicação: A resposta correta é: 3 Seja A reta tangente a f(x) será dada por: onde Derivando f(x): Substituindo o P(4,1), temos: Voltando na equação da reta tangente: Substituindo o P(4,1), temos: Sabemos que a outra reta tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada -1. Logo, (0, 0) m = (9 + x2) + = (9 + 02) + = √9 = 3 1 2 x (9 + x2) 1 2 1 2 0 (9 + 02) 1 2 y − y0 = m (x − x0) y − 0 = 3(x − 0) y = 3x f(x) = x2 − 6x + 9 y = mx + n m = d[f(x)]/dx m = d[x2 − 6x + 9]/dx = 2x − 6 m = 2x − 6 = 2.4 − 6 = 2 y = mx + n = 2x + n y = 2x + n 1 = 2.4 + n n = −7 y = 2x − 7 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/9 Determine o máximo e o mínimo global, respectivamente de , com . A capacitância equivalente de um circuito (C0) é calculada através da fórmula , com todas as capacitâncias medidas em . As capacitâncias C1 e C2 tem seus valores aumentados a uma taxa de 0,1 . A variância C3 decresce com uma taxa de ¿ 0,1 . Determine a variação da capacitância equivalente com o tempo em segundo para um instante que C1= C2 = 10 e C3 = 15 . O ponto de interseção é: (3,-1) Sabemos que o ponto de tangência entre a segunda reta e o grá�co da f(x) tem coordenada (a,b), devemos determine (a + b). As retas tangentes ao grá�co da f(x) são simétricas em relação ao eixo das ordenadas, então partindo do ponto (4,1) a segunda reta será tangente num ponto (x,1). Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja: Como x¿=4 já é o ponto da primeira reta tangente, utilizamos x¿¿=2. Portanto a segunda reta tem coordenada de tangencia à f(x) no ponto (2,1), logo: 7. -2 e 1 0 e -2 Não existe ponto de máximo global ou mínimo global neste domínio 0 e 1 1 e -2 Data Resp.: 11/08/2023 13:53:01 Explicação: A resposta correta é: 0 e -2 8. Data Resp.: 11/08/2023 14:02:23 −1 = 2x − 7 x = 3 f(x) = x2 − 6x + 9 1 = x2 − 6x + 9 x2 − 6x + 8 = 0 x′ = 4 e x′′ = 2 a = 2; b = 1 a+ b = 3 f(x) = √9 − x2 x ∈ [−2, 1] C0 = C1 + C2C3 C2+C3 μF μF/s μF/s μF μF 0, 12μF/s 0, 15μF/s 0, 11μF/s 0, 13μF/s 0, 10μF/s 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/9 Suponha que temos uma função h(x) de�nida por partes, onde a expressão varia dependendo do intervalo de x. A função é de�nida da seguinte forma: . Quantos pontos extremos locais a função apresenta? Explicação: A resposta correta é: 9. 3. 0. 2. 1. 4. Data Resp.: 11/08/2023 14:04:03 Explicação: A resposta correta é: 1. Para determinar o número de pontos extremos locais da função h(x), precisamos veri�car se existem pontos críticos (onde a derivada é igual a zero ou não existe) dentro dos intervalos especi�cados. A função h(x) é de�nida como: Vamos encontrar os pontos críticos e veri�car quantos existem em cada intervalo: Intervalo [-4, 0): Para x em [-4, 0), a derivada da função h(x) é: Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos: Não existe solução real para essa equação, portanto, não há ponto crítico nesse intervalo. Intervalo [0, 4): Parax em [0, 4), a derivada da função h(x) é: Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos: O ponto crítico é x = 2. Agora, determinamos o número de pontos extremos locais: Como não há pontos críticos no intervalo [-4, 0) e apenas um ponto crítico no intervalo [0, 4), temos apenas um ponto extremo local da função h(x) em x = 2. Portanto, a função h(x) possui apenas 1 ponto extremo local. 0, 12μF/s h(x) = { 2ex, [−4, 0) x2 − 4x + 2, [0, 4) h(x) = { 2ex, [−4, 0) x2 − 4x + 2, [0, 4) h′(x) = d/dx(2ex) = 2ex 2ex = 0 h′(x) = d/dx(x2 − 4x+ 2) = 2x− 4 2x− 4 = 0 2x = 4 x = 2 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/9 Seja a função g(x) = 2x sen(x2) + 2 sen x + 4. Este grá�co apresenta uma reta normal no ponto de abscissa nula de equação , p e q reais , é normal ao grá�co da função no ponto de abscissa zero. Determine o valor de 10. 5 6 1 4 3 Data Resp.: 11/08/2023 14:04:59 Explicação: A resposta correta é: 3 Derivando a função g(x): Derivando a primeira parcela: Derivando a segunda parcela: A derivada da terceira parcela é zero, pois é uma constante. Portanto, a derivada da função g(x) é: Agora, temos que encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse (x = 0). Vamos substituir x = 0 na derivada g'(x) para encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse: Inclinação da reta normal em x = 0: Em seguida, encontrar a inclinação da reta normal no ponto de abscissa zero. A reta normal é perpendicular à curva no ponto de tangência. Portanto, sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação encontrada anteriormente. Encontrando a equação da reta normal. Agora, usamos a fórmula da equação da reta: onde é o ponto dado (0, g(0)) e "m" é a inclinação da reta normal. px + qy − 16 = 0 (p + q)/(q− p). g(x) = 2xsen(x2) + 2sen(x) + 4 g′(x) = d/dx(2xsen(x2)) + d/dx(2sen(x)) + d/dx(4) d/dx(2xsen(x2)) = 2sen(x2) + 4xcos(x2). d/dx(x2) = 2sen(x2) + 4xcos(x2).2x = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) d/dx(2sen(x)) = 2cos(x) g′(x) = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) + 2cos(x) m = g′(0) = 2sen(02) + 8(0)2cos(02) + 2cos(0) = 2(0) + 8(0) + 2 = 2 Inclinação da reta normal = −1/(inclinação da reta tangente) = −1/2 y − y0 = m(x − x0) (x0, y0) 15/08/2023, 08:04 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 9/9 Agora, ajustamos a equação para que a forma seja : Portanto, temos que p = 1 e q = 2. Queremos determinar: Não Respondida Não Gravada Gravada Exercício por Temas inciado em 11/08/2023 13:46:08. y − g(0) = (−1/2)(x − 0) y − (2.0.sen(0) + 2.sen(0) + 4) = (−1/2)x y − (0 + 2.0 + 4) = (−1/2)x y − 4 = (−1/2)x px + qy − 16 = 0 2y − 8 = −x x + 2y − 8 = 0 (p + q)/(q− p) = (1 + 2)/(2 − 1) = 3/1 = 3.
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