GRA1653 - PROTECAO E ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELETRICOS - UNIDADE 1

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PROTEÇÃO E ESTABILIDADE EMPROTEÇÃO E ESTABILIDADE EM
SISTEMAS ELÉTRICOSSISTEMAS ELÉTRICOS
COMPONENTESCOMPONENTES
SIMÉTRICAS, MODELAGEMSIMÉTRICAS, MODELAGEM
DE REDES E CÁLCULOS DEDE REDES E CÁLCULOS DE
FALTAS ASSIMÉTRICASFALTAS ASSIMÉTRICAS
Au to r ( a ) : D r. N i va l d o C a r l e to
R ev i s o r : J u l i a n a G u e d e s A r ve l o s B a r b o s a
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Introdução
Olá, estudante!
Os Sistemas Elétricos de Potência (SEP) são constituídos de barramentos
que se conectam a inúmeros dispositivos, como, os transformadores de
corrente, relés de proteção, chaves fusíveis e religadores. Nesse sentido, a
correta operação destes sistemas exige uma análise minuciosa de curtos-
circuitos (faltas) e seus transientes, já que a energia elétrica utilizada pelas
residências, indústrias e estabelecimentos comerciais dependem da
estabilidade e da continuidade do SEP. Diante disso, estudaremos as
componentes simétricas e as transformadas de Fortescue, a modelagem de
redes para as sequências positiva, negativa e zero, bem como os cálculos de
faltas assimétricas em geradores sem carga e em sistemas de potência. O
que você achou dos assuntos? Gostou? Então, vamos aos estudos!
Bons estudos!
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
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As componentes simétricas de um Sistema Elétrico de Potência (SEP) são
representadas por fasores de tensões e/ou correntes elétricas. Porém, em
razão do desequilíbrio de cargas (devido à manobras em subestações
elétricas, dimensionamento incorreto das instalações e manutenção de redes
de energia), da existência de possíveis faltas (curto-circuito em razão de
descargas atmosféricas, por exemplo) e do surgimento de transientes
(oscilações em um sistema de energia elétrica em razão de um desequilíbrio
de cargas), pode ocorrer a interrupção no fornecimento de energia,
ocasionando, com isso, prejuízos aos consumidores em geral. Nessas
condições, torna-se necessário realizar um estudo utilizando a modelagem
destas componentes simétricas; uma vez que a qualidade da energia elétrica
é fundamental no contexto da matriz energética nacional (CARLETO, 2017).
Componentes
Simétricas e
Transformadas de
Fortescue
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É importante ressaltar que, um sistema elétrico de potência não permanece,
continuamente equilibrado, já que podem surgir transientes devido às faltas
(curtos-circuitos). Como resultado, o sistema �ca desequilibrado, não
permitindo, com isso, uma modelagem simpli�cada da rede de energia. Como
exemplos, é possível mencionar os seguintes tipos de desequilíbrios
existentes em razão das faltas; são eles: curtos-circuitos assimétricos dos
tipos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra. Então, como podemos analisar e
modelar sistemas trifásicos desequilibrados? É possível? Tem solução? Sim;
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
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este problema pode ser tratado utilizando o método das componentes
simétricas, desenvolvido por Charles LeGeyt Fortescue (1876-1936).
Fortescue, durante a sua pesquisa relacionada com a eletri�cação ferroviária
(�nal de 1913), se deparou com o problema da operação de motores de
indução sob condições desequilibradas. Então, durante a 34th Annual
Convention of the American Institute of Electrical Engineers (AIEE), Atlantic
City, em 28 de junho de 1918, Fortescue apresentou um artigo intitulado
Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase
Networks para simpli�car a análise e a modelagem de faltas assimétricas em
sistemas trifásicos de energia elétrica (SATO; FREITAS, 2015).
De maneira resumida, podemos compreender o método das componentes
simétricas por meio do seguinte enunciado: um sistema elétrico trifásico
desequilibrado pode ser decomposto em três sistemas elétricos
equilibrados. Em tempo, salientamos que, esses sistemas decompostos são
denominados em três componentes (OLIVEIRA et al., 2000; SATO; FREITAS,
2015) conforme interação a seguir:
Olá, estudante! Percebeu a importância do trabalho de Fortescue para
simpli�car a análise e a modelagem de faltas assimétricas em sistemas
trifásicos de energia? Espero que sim, pois é por meio desta modelagem que
conseguiremos analisar os problemas das faltas ocorridas em SEP.
Fonte: oundum101 /
Freepik.
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
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Caro estudante, o que está achando do assunto? Percebeu a sua
importância? Espero que esteja entendendo! Agora, vamos realizar uma
atividade muito importante para ampliar ainda mais os seus conhecimentos?
Então, vamos lá!
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Os Sistemas Elétricos de Potência (SEP) são sistemas complexos, envolvendo
inúmeros equipamentos de manobra e dispositivos de proteção
interligados. Diante disso, podem existir transientes na rede de energia
elétrica devido ao desequilíbrio de cargas e possíveis faltas (curtos-circuitos).
Sistema Elétrico de Potência e seus
Componentes
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Como consequência, estes distúrbios ocasionam prejuízos às subestações
de energia, à rede de distribuição, bem como aos consumidores �nais.
Fonte: CARLETO, N. Subestações elétricas. Brasília: NT, 2017.
Analisando a situação apresentada e, com base no conceito das
componentes simétricas, assinale a alternativa correta:
a) Em um SEP, é possível analisar os transientes por meio de fasores
defasados de 90º entre si, formando, com isso, um conjunto
desequilibrado de componentes simétricas positivas e negativas.
b) O desequilíbrio de cargas em um SEP pode ser analisado por meio
das componentes simétricas de sequência positiva, negativa e nula,
caracterizando, com isso, um sistema equilibrado positivo.
c) Em um sistema desequilibrado, é possível analisar os transientes
por meio de fasores defasados de 180° entre si, formando, com isso,
uma sequência positiva, negativa e nula do sistema elétrico.
d) As componentes simétricas de um SEP são representadas por
fasores de tensões e/ou correntes elétricas, sendo que estes podem
ser decompostos como sequências positiva, negativa e zero.
e) Um conjunto desequilibrado de componentes assimétricas
positivas e negativas pode ser analisado por meio da decomposição
dos fasores simétricos de sequência zero com defasagem de 90°.
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O trabalho desenvolvido por Charles LeGeyt Fortescue demonstrou que um
sistema polifásico desequilibrado pode ser decomposto em um sistema
polifásico equilibrado; também conhecido como componentes simétricas (ou
componentes de fase) dos fasores originais. Com isso, a modelagem de
redes elétricas, envolvendo a determinação das tensões elétricas e das
correntes de curto-circuito (faltas assimétricas) em todas as partes do
sistema, proporciona uma série de vantagens; tendo em vista que a
determinação dessas correntes é essencial para o dimensionamento dos
dispositivosde proteção em um SEP (STEVENSON, 1986).
Modelagem de Redes e o Teorema de
Fortescue
Prezado(a) estudante, antes de realizar os cálculos de faltas assimétricas, é
necessário conhecermos como modelar uma rede elétrica a partir do
Modelagem de
Redes para as
Sequências
Positiva, Negativa e
Zero
Thiago Arreguy
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Teorema de Fortescue, que é um método aplicado na resolução de problemas
que envolvem sistemas trifásicos de energia. Então, mãos à obra!
Síntese de Fasores Assimétricos a partir
das Componentes Simétricas
Conforme mencionamos anteriormente, um sistema elétrico trifásico
desequilibrado pode ser decomposto em três sistemas elétricos equilibrados;
denominados como: sequência positiva; sequência negativa e sequência
zero (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000). Antes de iniciar a
modelagem da rede (análise das componentes simétricas), é importante
padronizar a sequência de fases (tensões e correntes elétricas) de um
sistema elétrico trifásico pelas letras a , b e c.
Nessas condições, admitiremos que a sequência de fase das componentes
de sequência positiva dos fasores desequilibrados é   e, a sequência de
fase das componentes de sequência negativa seja . Nestas condições, se
os fasores originais são tensões elétricas, é possível designá-los por 
e   .
Por outro lado, se os fasores originais forem correntes elétricas, a designação
será da forma ,   e . Além disso, os três conjuntos das componentes
simétricas são designados pelo índice 1, para as componentes de sequência
positiva, pelo índice 2, para as componentes de sequência negativa e, pelo
índice 0, para as componentes de sequência zero. Portanto, as componentes
de sequência positiva de ,  e  são, respectivamente ,  e .
De forma análoga, as componentes de sequência negativa são ,   e
  e, as componentes de sequência negativa são representadas por
  e . Em tempo, é importante ressaltar que, os fasores
designados para as correntes elétricas são representados por , com os
mesmos índices que foram estabelecidos para as tensões elétricas
(STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
abc
acb
,V ̂a V ̂b
V ̂c
I  ̂a I  ̂b I  ̂c
V ̂a V ̂b V ̂c V ̂a1 V ̂b1 V ̂c1
V ̂a2 V ̂b2
V ̂c2
,V ̂a0 V ̂b0 V ̂c0
I  ̂
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
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A �gura 1.1 apresenta os três conjuntos das componentes simétricas
(fasores), as quais são conhecidas como sequência positiva (fasores
representados pela cor preta), sequência negativa (fasores representados
pela cor verde) e sequência zero (fasores representados pela cor vermelha).
Observe!
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Figura 1.1: Conjunto das componentes simétricas: sequência positiva,
sequência negativa e sequência zero
Fonte: adaptado de Stevenson (1986, p. 296).
#PraCegoVer: a �gura apresenta três conjuntos de fasores representados em
forma de setas. Cada conjunto de fasores integra três setas. A sequência
positiva, representada pela cor preta, tem a forma da letra ípsilon. Já, a sequência
negativa, representada pela cor verde, também tem a forma da letra ípsilon,
porém deslocada de noventa graus (90º) no sentido horário. Por outro lado, a
sequência zero, representada pela cor vermelha, têm os três fasores alinhados
paralelamente. A sequência positiva possui três setas, duas apontadas para cima
diagonalmente, formando um ângulo de cento e vinte graus (120º) entre elas e
uma apontada para baixo, formando dois ângulos de cento e vinte 120° entre as
outras duas setas. A sequência negativa também possui três setas. Porém, neste
caso, elas estão descoladas como se fossem ponteiros de um relógio, mas
mantendo o deslocamento angular de cento e vinte graus (120º) entre si (entre os
três fasores). Por outro lado, a sequência zero é constituída de três setas
apontando diagonalmente para cima, organizadas paralelamente uma das outras.
Neste caso, não existe defasagem angular entre elas.
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Em termos algébricos, é possível expressar os componentes dos fasores
originais das tensões de acordo com as seguintes equações (STEVENSON,
1986; OLIVEIRA et al., 2000):
 (1)
 (2)
 (3)
Analogamente, é possível expressar os componentes dos fasores originais
das correntes elétricas por meio das seguintes equações:
 (4)
 (5)
 (6)
A �gura 1.2 mostra a adição fasorial das componentes simétricas resultado
do sistema trifásico desequilibrado original (conjuntos das componentes
simétricas: sequência positiva, sequência negativa e sequência zero). Con�ra!
= + +V ̂a V ̂a1 V ̂a2 V ̂a0
= + +V ̂b V ̂b1 V ̂b2 V ̂b0
= + +V ̂c V ̂c1 V ̂c2 V ̂c0
= + +I  ̂a I  ̂a1 I  ̂a2 I  ̂a0
= + +I  ̂b I  ̂b1 I  ̂b2 I  ̂b0
= + +I  ̂c I  ̂c1 I  ̂c2 I  ̂c0
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Figura 1.2: Adição grá�ca fasorial das componentes simétricas da Figura 1.1.;
resultado do sistema trifásico desequilibrado original
Fonte: adaptado de Stevenson (1986, p. 297).
#PraCegoVer: a �gura apresenta a soma grá�ca fasorial dos três conjuntos de
fasores. Cada conjunto de fasores é representado pela sequência positiva (setas
de cor preta), sequência negativa (setas de cor verde) e sequência zero (setas de
cor vermelha). Existe uma linha sólida na horizontal de cor vermelhal indicando a
referência da soma grá�ca. A soma grá�ca dos fasores segue um raciocínio
lógico do tipo vê bê um, vê bê dois e vê bê zero; vê a um, vê a dois e vê a zero; vê
cê um vê cê dois e vê cê zero. Ou seja, partindo da linha sólida vermelha de
Referência (Ref.), as setas vê bê um para baixo, vê bê dois para o lado esquerdo
na sequência de vê bê um e vê bê zero diagonalmente para cima na sequência de
vê bê um; formam um conjunto de fasores (soma de fasores). Também, partindo
da linha sólida vermelha, vê a um para cima (diagonalmente), vê a dois para cima
na sequência de vê a um (diagonalmente) e vê a zero na sequência de vê a um
formando um ângulo de noventa graus (90°); formam outro conjunto de fasores
(soma de fasores). Continuando, temos, partindo da linha sólida vermelha de
Referência (Ref.), as setas vê cê um para cima diagonalmente, vê cê dois para
baixo diagonalmente na sequência de vê cê um e, por �m, vê cê zero
diagonalmente para cima na sequência de vê cê dois; formam mais um conjunto
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de fasores (soma de fasores). O resultado destas somas são três setas (fasores)
pontilhadas de cor azul, designados por vê a, vê b e vê c, respectivamente.
Olá, estudante! Chegou o momento de conhecermos um pouco sobre os
operadores utilizados nas notações matriciais que iremos estudar nas
próximas seções! Então, seguimos? Vamos lá!
Operadores
Em razão da defasagem das componentes simétricas das tensões e das
correntes elétricas em um sistema trifásico, torna-se necessário trabalhar
com operadores de fase para indicar a rotação de 120°. Esse operador, de
valor unitário, designado pela letra j, é análogo ao operador   utilizado em
análises com números complexos. É importante ressaltar que, se
multiplicarmos um fasor pelo operador , ocorrerá uma rotação de 120°. Se o
mesmo fasor for multiplicado por , existirá uma rotação de 240°. Por
conseguinte, se o multiplicador for , a rotação será de 360º (neste caso, o
fasor voltará a sua posição original) (SATO; FREITAS, 2015).
De�nindoo operador de fase   como um número complexo de módulo
unitário, que provoca uma rotação de 120° no sentido anti-horário, temos:
   (7)
Caso o operador  seja aplicado duas vezes ao fasor, o mesmo irá girar 240°.
Desta forma, temos:
 (8)
Em tempo, aplicando o operador  três vezes ao fasor, o mesmo irá girar 360°.
Ou seja:
                                           (9)
A �gura 1.3 mostra os fasores representando as várias potências do operador
. Observe!
a
a2
a3
a
a = 1∠120° = 1ej =2πs −0, 5 + j0, 866
= 1∠240° = −0, 5 − +j0, 866a2
= 1∠360° = 1∠0° = 1a3
a
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
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Figura 1.3: Diagrama fasorial das várias potências do operador .
Fonte: adaptado de Stevenson (1986, p. 298).
#PraCegoVer: a �gura apresenta o diagrama fasorial das várias potências do
operador a. Nela, existem seis fasores, representados, respectivamente, por
setas, as quais possuem ângulos, números e a letra a. Cada fasor tem a sua
própria identi�cação como segue: a; -a; a ; - a ; -1, -a e 1, a . Os fasores estão
defasados entre si por um ângulo de sessenta graus (60°), formando uma
espécie de estrela com as suas setas apontando para fora a partir de um centro
de referência. Existem duas setas horizontais, uma apontado para a direita com a
identi�cação 1, a e outra apontando para a esquerda com a identi�cação -1, -a .
Tem mais duas setas dispostas diagonalmente em relação as setas horizontais.
Uma das setas está apontando diagonalmente para cima no sentido direito com a
indicação -a e, a outra, apontando diagonalmente para baixo no sentido
esquerdo com a indicação a . Ainda, existem mais duas setas dispostas
diagonalmente em relação as setas horizontais. Uma das setas está apontando
diagonalmente para cima no sentido esquerdo com a indicação a e, a outra,
apontando diagonalmente para baixo no sentido direito com a indicação - a.
Olá,   estudante! No infográ�co a seguir, iremos ressaltar a importância do
trabalho de Fortescue na modelagem das componentes simétricas em
2 2 3 3
3 3
2
2
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sistemas desequilibrados. Vale a pena conferir!
A seguir clique no infográ�co para mais informações.
Método das componentes simétricas
aplicado na solução de redes
polifásicas
#PraCegoVer: o infográ�co apresenta o título “Método das componentes
simétricas aplicado na solução de redes polifásicas” e abaixo quatro banners
horizontais clicáveis. O primeiro, de cima para baixo, apresenta o subtítulo “Quem
desenvolveu?” e, ao ser clicado, mostra uma foto antiga em preto e branco de
Charles LeGeyt Fortescue. Abaixo da foto, lê-se: “Charles LeGeyt Fortescue (1876-
1936), em 1918”. O segundo banner apresenta o subtítulo “Para que serve esse
método?” e, ao ser clicado, mostra o texto: “Simpli�car a análise e a modelagem
de faltas assimétricas em sistemas trifásicos de energia elétrica”. O terceiro
banner apresenta o subtítulo “Qual é a importância?” e, ao ser clicado, mostra o
Quem desenvolveu?
Para que serve esse método?
Qual é a importância?
O que precisamos saber para aplicar o
método?
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texto: “Facilitar a modelagem matemática de redes em sistemas elétricos de
potência”. O quarto e último banner apresenta o subtítulo “O que precisamos
saber para aplicar o método?” e, ao ser clicado, mostra o texto: “Noções de
números complexos, matrizes, cálculo de matrizes, impedâncias, reatâncias e
circuitos elétricos e magnéticos”.
Na próxima seção, iremos entender como realizamos a modelagem das
componentes simétricas de fasores assimétricos. Então, vamos aos
estudos!? Mãos à obra!
Componentes Simétricas de Fasores
Assimétricos
Partindo das componentes dos fasores originais das tensões elétricas (1), (2)
e (3), tendo como referência a �gura 1.1 (Conjunto das componentes
simétricas: sequência positiva, sequência negativa e sequência zero)
(STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000), temos:
     (10)
Repetindo a equação 1, agora nomeada por 11, e substituindo cada termo da
equação 10 nas equações 2 e 3, é possível obter 12 e 13. Ou seja:  
    (11)
    (12)
    (13)
As equações 11, 12 e 13 são conhecidas como “equações de síntese”, as
quais permitem obter os valores dos fasores de fase a partir do
conhecimento das componentes de sequência positiva, negativa e zero.
Representando 11, 12 e 13 (equações de síntese) na forma matricial, temos:
= ; = a ;V ̂b1 a2V ̂a1 V ̂b2 V ̂a2 = ; = a ;V ̂b0 V ̂a0 V ̂c1 V ̂a1
= ; =V ̂c2 a2V ̂a2 V ̂c0 V ̂a0
=V ̂a + + 0V ̂a1 V ̂a2 V ̂a
= + a + 0V ̂b a2V ̂a1 V ̂a2 V ̂a
= a + + 0V ̂c V ̂a1 a2V ̂a2 V ̂a
Thiago Arreguy
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  (14)
Por conveniência, chamamos de [A] a matriz de transformação de
componentes simétricas (ordem 3 x 3); ou seja:
 (15)
Fazendo-se a inversão da matriz [A], temos:
  (16)
Rearranjando a notação matricial (equação 14) por meio da matriz inversa,
temos:
  (17)
Desenvolvendo 17, podemos obter as seguintes equações de análise:
  (18)
  (19)
  (20)
Para obter os valores das demais equações de análise, ou seja,
  e , é necessário repetir os procedimentos
desenvolvidos anteriormente. Analogamente, o raciocínio desenvolvido para
as equações de síntese e de análise das tensões; vale também para as
correntes elétricas, resultando nas seguintes formas matriciais:
   (21)
e
  (22)
[ ] =V ̂aV ̂bV ̂c [1111 a1a ] [ ]a2 a2 V ̂a0V ̂a1V ̂a2
A = [1111 a1a ]a2 a2
= [1111a 1 a]A−1 13 a
2 a2
[ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2 [1111a 1 a] [ ]13 a
2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
= ( + + )V ̂a0 13 V ̂a V ̂b V ̂c
= ( + + )V ̂a1 13 V ̂a V ̂b a
2V ̂c
= ( + + a )V ̂a2 13 V ̂a a
2V ̂b V ̂c
, , , ,V ̂b0 V ̂c0 V ̂b1 V ̂c1 V ̂b2 V ̂c2
[ ] =I  ̂a I  ̂bI  ̂c [1111 a1a ] [ ]a2 a2 I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
[ ] =I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2 [1111a 1 a] [ ]13 a
2 a2 I  ̂a I  ̂bI  ̂c
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A componente simétrica de sequência zero tem uma característica peculiar,
já que os fasores estão em fase (fasores representados pela cor vermelha na
Figura 1.1). Nestas condições, o seu entendimento é de suma importância, já
que possui aplicação prática na proteção dos sistemas elétricos de potência
(STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000). Então, mãos à obra!
Em um sistema elétrico trifásico, a soma das correntes de linha é igual a
corrente elétrica   (corrente de neutro) no caminho de retorno para o neutro.
Então,
  (23)
Com base nas representações matriciais 21 e 22, bem como, substituindo os
seus respectivos valores na equação 23, temos a seguinte modelagem para a
corrente de neutro:
 (24)
                                                     
 (25)
Agrupando a equação 25, temos:
  (26)
Entretanto, de acordo com Stevenson (1986) e com base em Oliveira et al.
(2000), considera-se que . Então, a equação 26 resulta em:
  (27)
Quando um sistema elétrico trifásico não permite retorno pelo neutro, a
corrente elétrica  será nula. Então, com base na equação 27, nota-se que a
corrente   também será nula. Isso signi�ca que as correntes elétricas de
linha não têm componentes de sequência zero. Sendo assim, um sistema
ligado em triângulo (ou delta – ) não permite circular corrente de sequência
zero na linha.
I  ̂n
= + +I  ̂n I  ̂a I  ̂b I  ̂c
= ( +I  ̂n I  ̂a0 + ) + ( + + )I  ̂a1 I  ̂a2 I  ̂b0 I  ̂b1 I  ̂b2 +( + + )I  ̂c0 I  ̂c1 I  ̂c2
↓
= ( + + )I  ̂n I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2 x( + + )I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2+( + + )I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
= 3X + (1 + a + )I  ̂n I  ̂a0 I  ̂a1 a2 + (1 + a + )I  ̂a2 a2
1 + a + = 0a2
= 3I  ̂N I  ̂a0
I  ̂n
I  ̂a0
Δ
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
Thiago Arreguy
14/08/2023, 09:04 E-book
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Agora, faremos uma atividade relacionada à modelagem de sistemas
elétricos trifásicos? Vamos lá?
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SAIBA MAIS
Neste vídeo, disponibilizado no dia 04 de janeiro
de 2018, o engenheiro Luís César Emanuelli
apresenta uma aula sobre as componentes
simétricas e toda a modelagem de um sistema
de fases desequilibradas. Ele mostra a
decomposição das sequências positiva, negativa
e zero. Por �m, é discutido um exemplo prático
de aplicação em um sistema trifásico de energia
elétrica. Vale a pena conferir!
Fonte: Engenheiro Luís César Emanuelli (2018).
A S S I S T I R
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(Atividade não pontuada)
Um sistema elétrico de potência (SEP) constituído por três barramentos,
alimenta um município de aproximadamente 15 mil habitantes. Diante de
uma manutenção elétrica de rotina, os engenheiros eletricistas e os técnicos
da Concessionária de Energia BETALUZ, responsável pelo referido sistema,
veri�caram a necessidade de modelar as componentes simétricas para
analisar as frequentes oscilações de energia que estavam ocorrendo no
município em questão.
Com base nos estudos realizados, assinale a alternativa que apresenta as
notações matriciais adequadas para modelar, matematicamente, os
barramentos que alimentam o referido município.
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
Pela atividade, notamos que é necessário respeitar a con�guração adequada
das matrizes para modelar as redes de energia trifásicas. Caso contrário, o
modelo não representará a análise dos transientes que ocorrem em um SEP;
[ ] =I  ̂a0I  ̂a1I  ̂a2 13 [1111a 1 a] [ ]a
2 a2 I  ̂a I  ̂bI  ̂c [ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2
[1111a 1 a] [ ]a2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
[ ] =I  ̂a0I  ̂a1I  ̂a2 13 [1111a 1 a] [ ]a
2 a2 I  ̂a I  ̂bI  ̂c [ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2
[1111a 1 a] [ ]a2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
[ ] =I  ̂a0I  ̂a1I  ̂a2 13 [1111a 1 1] [ ]a
2 a2 I  ̂a I  ̂bI  ̂c [ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2 13
[1111a 1 a] [ ]a2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
[ ] =I  ̂a0I  ̂a1I  ̂a2 13 [1111a 1 a] [ ]a
2 a2 I  ̂a I  ̂bI  ̂c [ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2 13
[1111a 1 a] [ ]a2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
[ ] =I  ̂a0I  ̂a1I  ̂a2 13 [1111a 1 a] [ ]a
2 a2 I  ̂a I  ̂bI  ̂c [ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2 13
[1111a 1 a] [ ]a2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
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com isso, os engenheiros eletricistas e os técnicos não conseguirão
identi�car as causas ou mesmo resolver o problema.
A maioria das faltas em sistemas elétricos de potência são as assimétricas,
as vinculadas à ocorrência de curtos-circuitos, em razão das impedâncias
(relacionadas ao sistema elétrico de energia, motores, geradores ou
transformadores) ou em virtude de condutores de energia em aberto.
De forma geral, uma falta pode proporcionar prejuízos irreversíveis ao
sistema de energia elétrica, por exemplo, danos na isolação dos condutores,
descontinuidade no fornecimento de energia elétrica, incêndios nos
barramentos e nos dispositivos da rede de energia, transientes nas linhas de
Cálculos de faltas
assimétricas em
geradores sem
carga
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transmissão, custos adicionais (tanto para a concessionária de energia
quanto para os consumidores �nais), dentre outros (MAMEDE FILHO, 2013).  
As faltas assimétricas ocorrem como fase-terra, linha-linha (faltas fase-fase)
ou fase-terra duplas (faltas fase-fase-terra) (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et
al., 2000). Nas próximas seções, conheceremos melhor essas faltas
assimétricas em geradores sem carga.
Falta fase-terra em um gerador sem
carga
O gerador síncrono é considerado um dos componentes mais importantes de
um sistema de energia elétrica. Encontrado nas usinas hidroelétricas, visa
suprir a energia absorvida pelas cargas (instalações elétricas residenciais,
comerciais e industriais), manter estáveis os níveis de tensão e de corrente,
bem como garantir a continuidade do fornecimento de energia elétrica para
os consumidores �nais.
Para entendermos o estudo sobre as faltas assimétricas, além de utilizarmos
a modelagem das componentes simétricas desenvolvida por Fortescue,
basearemos na análise das faltas (curtos-circuitos) nos terminais de um
gerador sem carga. Nesse sentido, independentemente da falta que ocorrer
nos terminais de um gerador, é necessário utilizar a seguinte notação
matricial:
(28)
A notação matricial (28) foi deduzida da modelagem apresentada por
Stevenson (1986). Em cada tipo de falta, aplicaremos a referida notação
matricial, bem como as equações que descrevem as condições da falta, a �m
de deduzirmos em termos de e (STEVENSON, 1986).
[ ] = [0   0] −V ̂a0V ̂a1V ̂a2 Ea [  111 11 ] [1111a 1 a]Z0 Z1 Z2 a2 a2 [ ]I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
I  ̂a1 , ,Ea Z1 Z2 Z0
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A Figura 1.4 apresenta o diagrama de circuito equivalente de um gerador sem
carga (ligado em Y) com neutro aterrado por meio de uma reatância e com
falta entre fase (fase a) e terra. Observe!
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Figura 1.4 - Diagrama de circuito equivalente de um gerador sem carga (ligado
em Y) com neutro aterrado por meio de uma reatância e com falta fase-terra na
fase a
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura apresenta o diagrama de circuito equivalente de um
gerador sem carga (ligado em ípsilon) com neutro aterrado por meio de uma
reatância e com falta entre fase a e a terra. O diagrama é constituído de uma
combinação de três ramos de circuito, representados por um indutor em forma de
espiral conectado em série com uma fonte de tensão em forma de círculo. Cada
fonte de tensão é representada, respectivamente, pelas letras E maiúsculo
subscritos a, bê e cê minúsculos. Esses três ramos, conectados, formam um
ípsilon (y). No centro do ípsilon, encontra-se mais um ramo com indutor na forma
de espiral aterrado, representado pela letra Z maiúscula, subscrito n minúsculo,
onde circula uma corrente de neutro igual a corrente I maiúsculo subscrito a
minúsculo. Em cada extremidade dos ramos do ípsilon, as letras a, bê e cê
minúsculas indicam as fases de cada linha (barramento). A fase a está aterrada e
circula uma corrente I maiúsculo subscrito a minúsculo. A fase bê não está
aterrada e circula uma corrente I maiúsculo subscrito bê minúsculo. A fase cê
também não está aterrada e circula uma corrente I maiúsculo subscrito cê
minúsculo.
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Analisando a Figura 1.4, matematicamente, as condições iniciais para a
análise de falta são: , e . Uma vez que e ,
as componentes simétricas das correntes apresentadas na equação 22
formam a seguinte notação matricial:
 (29)
Como resultado; , e são iguais a e :
 (30)
 (31)
 (32)
Portanto, justi�ca-se a igualdade entre as componentes simétricas das
correntes elétrica: (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al.,
2000). Substituindo e por na equação 28, temos:
 (33)
Efetuando a multiplicação e a subtração matriciais na equação 33, obtemos
uma igualdade de duas matrizes-colunas. Em tempo, multiplicandoambas as
matrizes-coluna pela matriz linha [1 1 1 ], conforme descrito por Stevenson
(1986, p. 327),  temos:
 (34)
Tendo em vista que , é possível resolver a
equação 34, resultando em:
 (35)
É importante salientar que a igualdade e a equação 35 são
fundamentais para a analisar a falta fase-terra. Dessa forma, as equações 33
e 35, bem como o método das componentes simétricas (teorema de
= 0I  ̂b = 0I  ̂c = 0V ̂a = 0I  ̂b = 0I  ̂c
[ ] =I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2 13 [1111a 1 a]a
2 a2 [ 0 0]I  ̂a
I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2 I
 ̂a
3 = =I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
= ( + a + ) =I  ̂a1 13 Ia I  ̂b a
2I  ̂c ( )13 I  ̂a
= ( + + a ) =I  ̂a2 13 Ia a
2I  ̂b I  ̂c ( )13 I  ̂a
= ( + a + ) =I  ̂a0 13 Ia I  ̂b a
2I  ̂c ( )13 I  ̂a
= =I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
I  ̂a0 I  ̂a2 I  ̂a1
[ ] = [0  0] −V ̂a0V ̂a1V ̂a2 Ea [ 111 111 ] [ ]Z0 Z1 Z2 I  ̂a1 I  ̂a1 I  ̂a1
+ + =V ̂a0 V ̂a1 V ̂a2 − + − −I  ̂a1Z0 Ea I  ̂a1Z1 I  ̂a1Z2
= + + = 0V ̂a V ̂a0 V ̂a1 V ̂a2
=I  ̂a1 Ea+ +Z1 Z2 Z0
= =I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
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Fortescue), são essenciais para determinar as correntes e as tensões
elétricas da falta.
Conectando as três redes elétricas de sequências de fase, conforme
apresentado na Figura 1.5, as tensões e as correntes satisfazem a
modelagem matemática das componentes simétricas deduzida
anteriormente, já que as três impedâncias de sequência estão em série com a
tensão elétrica , conforme Stevenson (1986). Com isso, a tensão de cada
rede de sequência será a componente simétrica da respectiva sequência
(positiva, negativa e zero).
Por �m, se o neutro do gerador não estiver aterrado, a rede de sequência zero
estará com circuito aberto, e a impedância será in�nita. Assim, não
existirá corrente elétrica na fase a, ou seja, não haverá corrente no momento
do curto-circuito (falta). Conforme já mencionado, a Figura 1.5 mostra as três
redes elétricas de sequências de fase. Observe que as conexões representam
respectivamente as sequências das redes elétricas positiva, negativa e zero.
Ea
Va
Z0
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Figura 1.5 - Conexões das redes de sequência de um gerador em vazio para
uma falta fase-terra na fase a nos terminais do gerador
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra as conexões da rede, em sequência, de um gerador
em vazio para uma falta fase-terra, na fase a, nos terminais do gerador. Em cada
conexão, circula uma corrente I maiúsculo, subscritos a minúsculos índices um,
dois e zero, sendo a conexão submetida a uma tensão elétrica V maiúscula
subscritos a minúsculos índices um, dois e zero. A primeira conexão, de cima
para baixo, é constituída de um indutor, em forma de espiral, conectado a série
com uma fonte de tensão em forma de círculo. O indutor é representado pela
letra Z maiúsculo, subscrito índice um, e a fonte de tensão, pela letra E maiúsculo,
subscrito a minúsculo. Essa combinação é submetida a uma tensão elétrica V
maiúscula, subscrito a índice um. Na sequência, segunda conexão, há apenas um
indutor, representado pela letra Z maiúsculo, subscrito índice dois, submetido à
tensão Vê maiúscula, subscrito V maiúscula, índice dois. Em seguida, terceira
conexão, existem dois indutores, em forma de espiral, conectados em série,
representados respectivamente pelas letras Zê maiúsculo, subscritos n
minúsculo, e Z maiúsculo, subscrito gê minúsculo índice zero. Essa combinação
é submetida a uma tensão elétrica Vê maiúscula subscrito a índice zero. Por �m,
as três conexões estão conectadas em série, onde circula uma corrente elétrica I
maiúsculo, subscrito a minúsculo índice um.
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Agora, saberemos identi�car a falta fase-fase em um gerador de energia
operando sem carga (em vazio). Vamos lá?
1.3.2 Falta fase-fase em um gerador
sem carga
A Figura 1.6 apresenta o diagrama de circuito equivalente de um gerador sem
carga (ligado em Y) com neutro aterrado por meio de uma reatância e com
falta fase-fase (fases b e c) (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Observe!
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Figura 1.6 - Diagrama de circuito equivalente de um gerador sem carga (ligado
em Y) com neutro aterrado por meio de uma reatância e com falta nas fases b
e c (falta fase-fase)
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura apresenta o diagrama de circuito equivalente de um
gerador sem carga (ligado em ípsilon) com neutro aterrado por meio de uma
reatância e com falta nas fases b e c. O diagrama é constituído de uma
combinação de três ramos de circuito, representados por um indutor, em forma
de espiral, conectado em série com uma fonte de tensão em forma de círculo.
Cada fonte de tensão é representada respectivamente pelas letras E maiúsculas,
subscritos a, bê e cê minúsculos. Esses três ramos, conectados, forma um
ípsilon. No centro do ípsilon, encontra-se mais um ramo com indutor, na forma de
espiral, aterrado, representado pela letra Z maiúscula, subscrito n minúsculo,
onde circula uma corrente de neutro igual a zero. Em cada extremidade de cada
ramo do ípsilon, as letras a, bê e cê minúscula representam as fases de linha. A
fase a não está aterrada, e circula uma corrente I maiúsculo, subscrito a
minúsculo. A fase bê não está aterrada, e circula uma corrente I maiúsculo,
subscrito bê minúsculo. A fase cê também não está aterrada, e circula uma
corrente I maiúsculo, subscrito cê minúsculo. As fases bê e cê estão curto-
circuitadas, caracterizando a falta assimétrica nessas respectivas fases.
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Analisando a Figura 1.6, as condições iniciais na falta são determinadas por:
 e (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Desse modo, uma vez que , as componentes simétricas das tensões
são dadas pela equação 17 (já apresentada anteriormente), pelas quais
podemos determinar que :
Uma vez que e , as componentes simétricas das correntes
são:
 (36)
Portanto, justi�ca-se a igualdade entre as componentes simétricas das
correntes elétrica; ou seja: e . Com uma conexão entre o
neutro do gerador e a terra, será �nito, e assim, desde que
 (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Sabendo-se que e que , a equação
28 (apresentada anteriormente) torna-se:
 (37)
Efetuando a multiplicação e a subtração matriciais na equação 37, obtém-se
uma igualdade de duas matrizes-colunas. Em tempo, multiplicando ambas as
matrizes-coluna pela matriz de linha [1 1 1 ], conforme descrito por Stevenson
(1986, p. 327),  temos:
 (38)
Isolando na equação 38, obtemos:
Vale ressaltar que as igualdades e 
são fundamentais para uma análise de falta fase-fase, tendo em vista que
= , = 0V ̂b V ̂c I  ̂a = −I  ̂b I  ̂c
=V ̂b V ̂c
=V ̂a1 V ̂a2
[ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a2 13 [1111a 1 a] [ ]a
2 a2 V ̂aV ̂bV ̂c
= −I  ̂b I  ̂c = 0I  ̂a
[ ] =I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2 13 [1111a 1 a] [0 − ]a
2 a2 I  ̂cI  ̂c
= 0I  ̂a0 = −I  ̂a2 I  ̂a1
Z ̂0 = 0V ̂a0
= 0I  ̂a0
= , = 0, = −V ̂a1 V ̂a2 I  ̂a0 I  ̂a2 I  ̂a1 = 0V ̂a0
[0 ] = [0  ] −V ̂a1V ̂a1 Ea [ 111 111 ] [0 1 − ]Z0 Z1 Z2 I  ̂a I  ̂a1
0 = − −Ea I  ̂a1Z1 I  ̂a1Z2
I  ̂a1
=I  ̂a1 Ea+Z1 Z2
= , = 0, = −V ̂a1 V ̂a2 I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2 = 0V ̂a0
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indicam como as redes de sequência são conectadas para comporem a falta.
Além disso, como não entra nas equações, a rede de sequência zero não é
utilizada. No entanto,as redes de sequência positiva e negativa devem estar
em paralelo, pois . Porém, a conexão em paralelo das redes de
sequência positiva e negativa fazem com que (STEVENSON,
1986; OLIVEIRA et al., 2000).
A Figura 1.7 mostra as conexões da rede de sequência para uma falta fase-
fase. É importante lembrar que as tensões e as correntes nas redes de
sequência conectadas, conforme a referida �gura, satisfazem a modelagem
matemática deduzida anteriormente.
Z ̂0
=V ̂a1 V ̂a2
= −I  ̂a1 I  ̂a2
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Figura 1.7 - Conexões das redes de sequência de um gerador sem carga para
uma falta fase-fase entre as linhas b e c nos terminais do gerador
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra as conexões das redes de sequência de um
gerador sem carga para uma falta fase-fase (fases b e c) nos terminais do
gerador. Analisando a rede de sequência, da esquerda para a direita, veri�ca-se
uma conexão série entre um indutor, representada pela letra Z maiúsculo,
subscrito número um, e uma fonte de tensão, representada pela letra E
maiúsculo, subscrito a minúsculo. Essa conexão série está submetida a uma
tenção elétrica V maiúsculo, subscrito a minúsculo índice 1. Por esse ramo série
circula uma corrente elétrica I maiúsculo, subscrito a minúsculo índice um. Na
rede de sequência, há ainda um indutor, representado pela letra Zê maiúsculo,
subscrito número dois, conectado em paralelo com o ramo série (indutor e fonte
de tensão). Esse indutor está submetido a uma tenção elétrica V maiúsculo
subscrito a minúsculo índice 2, percorrido por uma corrente elétrica I maiúsculo,
subscrito a minúsculo índice dois.
Uma vez que a falta não está aterrada, existe apenas um terra, conectado ao
neutro do gerador. Com isso, não existe circulação de corrente para a terra.
No modelamento matemático da falta fase-fase, identi�camos que .= 0I  ̂a0
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Esse resultado é consistente, visto que não existe corrente elétrica �uindo no
condutor de neutro, pois a corrente de neutro é ). Em tempo, a
presença, ou ausência, de um neutro aterrado não afetará a corrente de falta.
Falta fase-fase-terra em um gerador
sem carga
A Figura 1.8 apresenta o diagrama de circuito equivalente de um gerador sem
carga (ligado em Y) com neutro aterrado por meio de uma reatância e com
falta fase-fase-terra (fases b e c) (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
= 3I  ̂n I  ̂a0
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Figura 1.8 - Diagrama de circuito equivalente de um gerador sem carga (ligado
em Y) com neutro aterrado por meio de uma reatância e com falta entre duas
fases (b e c) e o terra
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura apresenta o diagrama de circuito equivalente de um
gerador sem carga (ligado em ípsilon) com neutro aterrado por meio de uma
reatância e com falta nas fases b e c. O diagrama é constituído de uma
combinação de três ramos de circuito. Cada ramo é representado por um indutor,
em forma de espiral, conectado com uma fonte de tensão em forma de círculo.
Cada fonte de tensão é representada respectivamente pelas letras E maiúsculo,
subscritos a, bê e cê minúsculos. Esses três ramos, conectados, formam um
ípsilon. No centro do ípsilon, encontra-se mais um ramo com indutor na forma de
espiral aterrado, onde circula uma corrente I maiúscula, subscrito n minúsculo.
Em cada extremidade de cada ramo do ípsilon, as letras a, bê e cê minúsculas
representam as fases de linha. A fase a não está aterrada, e circula uma corrente
I maiúsculo, subscrito a minúsculo. A fase bê não está aterrada, e circula uma
corrente I maiúsculo, subscrito bê minúsculo. A fase cê também não está
aterrada, e circula uma corrente I maiúsculo, subscrito cê minúsculo. As fases bê
e cê estão curto-circuitadas, caracterizando a falta assimétrica (fase-b-fase-c-
terra).
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Analisando a Figura 1.8, observa-se que as condições iniciais na falta são
determinadas por: e (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et
al., 2000). Com isso, uma vez que , as componentes simétricas
das tensões serão expressas pela seguinte notação matricial:
 (40)
Com isso, e são iguais a , portanto, . A
próxima etapa é substituir e por na equação 28 e
multiplicar ambos os lados por . Nessas condições, terá a seguinte
notação:
 (41)
Por �m, obtemos a seguinte notação matricial:
 (42)
Multiplicando ambos os lados da equação 42 (notações matriciais) pela
matriz de linha [1 1 1 ] e sabendo que , temos:
 (43)
Reorganizando os termos da equação 43, obtemos:
 (44)
Nesse sentido, determinamos  de acordo com a equação:
A condição e a equação 45 são condições especiais para
uma falta entre fase-fase-terra, empregadas e combinadas com a equação 28
= = 0V ̂b V ̂c = 0I  ̂a
= = 0V ̂b V ̂c
[ ] =V ̂a0V ̂a1V ̂a1 13 [1111a 1 a] [ 0 0]a
2 a2 V ̂a
,V ̂a0 V ̂a1 V ̂a2 V
 ̂a
3 = =V ̂a1 V ̂a2 V ̂a0
,V ̂a1 V ̂a2 V ̂a0 −Ea I  ̂a1Z1
Z−1 Z−1
= =Z−1 [ 111 111 ]Z0 Z1 Z2 −1 [ 111 111 ]1Z0
1
Z1
1
Z2
[ 111 111 ]1Z0
1
Z1
1
Z2 [ − − − ] =Ea I
 ̂a1Z1Ea I  ̂a1Z1Ea I  ̂a1Z1
[ 111 111 ] [0   0] −1Z0
1
Z1
1
Z2 Ea [ ]I
 ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
+ + = = 0I  ̂a1 I  ̂a2 I  ̂a0 I  ̂a
− + − +EaZ0 I
 ̂a1 Z1Z0
Ea
Z1 I
 ̂a1 − =EaZ2 I
 ̂a1 Z1Z2
Ea
Z1
= ⇒I  ̂a1 ( + )Ea Z2 Z0+ + +Z1Z2 Z1 Z0 Z2Z0 =I
 ̂a1 Ea
+Z1
Z2Z0
( + )Z2 Z0
I  ̂a1
= ⇒ =I  ̂a1 ( + )Ea Z2 Z0+ +Z1Z2 Z1Z0 Z2Z0 I
 ̂a1 Ea
+Z1
Z2Z0
( + )Z2 Z0
= =V ̂a1 V ̂a2 V ̂a0
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e as relações das componentes simétricas para determinar as tensões e as
correntes na falta. Além disso, a condição indica que as
redes de sequência devem ser conectadas em paralelo (Figura 1.9), já que as
tensões elétricas de sequências positiva, negativa e zero são iguais na falta,
uma vez que as equações (modelagens) apresentadas para a falta fase-fase-
terra são satisfeitas pelas redes de sequência (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA
et al., 2000).
= =V ̂a1 V ̂a2 V ̂a0
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Figura 1.9 - Conexões das redes de sequência de um gerador sem carga para
uma falta fase-fase-terra entre as linhas b e c nos terminais do gerador
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra as conexões da rede, em sequência, de um gerador
em vazio para uma falta fase-fase-terra nos terminais do gerador. Analisando a
rede de sequência da esquerda para a direita, há uma conexão série entre um
indutor, representado pela letra Z maiúsculo, subscrito número um, e uma fonte
de tensão, representada pela letra E maiúsculo, subscrito a minúsculo. Essa
conexão série está submetida a uma tenção elétrica V maiúsculo, subscrito a
minúsculo índice 1. Por esse ramo série, circula uma corrente elétrica I
maiúsculo, subscrito a minúsculo índice um. A rede de sequência possui ainda
um indutor, representado pela letra Zê maiúsculo, subscrito número dois,
conectado em paralelo com o ramo série (indutor e fonte de tensão). Esse indutor
está submetido a uma tenção elétrica Vê maiúsculo, subscrito a minúsculo índice
2, percorrido por uma corrente elétrica I maiúsculo, subscrito a minúsculo índice
dois. Existe ainda um terceiro ramo em paralelo, representado por dois indutores
conectados em série. Um indutor é representado pela letra Z maiúsculo, subscrito
n (ene), e o outro é identi�cado pela letra Z maiúsculo, subscritogê minúsculo e
índice zero. Essa combinação é submetida a uma tensão elétrica Vê maiúscula,
subscrito a índice zero, onde circula uma corrente Io. Por �m, as três conexões
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estão conectadas em série, onde circula uma corrente elétrica I maiúsculo,
subscrito a minúsculo índice zero.
Na Figura 1.9, nota-se que a corrente de sequência positiva pode ser
determinada pela tensão aplicada em em série com a combinação em
paralelo de e .
Chegou o momento de aplicarmos as equações estudadas, procurando
entender, na prática, como é possível modelar um problema que envolve
faltas assimétricas.
I  ̂a1
Ea Z1
Z0 Z2
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praticar
Vamos Praticar
Um gerador síncrono de polos salientes de 23 MVA e 13,8 kV, instalado em
uma usina hidroelétrica, é composto dos seguintes valores de reatâncias
(impedâncias) de sequências positiva, negativa e zero: 0,30; 0,40 e 0,15 por
unidade (sistema P.U.).
Sabendo que o gerador está sem carga, e o neutro, aterrado, bem como
supondo que o mesmo (gerador) é submetido a uma falta fase-terra (fase
a), determine:
a) a corrente elétrica de falta fase-terra (fase a) em p.u;
b) a corrente elétrica de falta fase-terra (fase a) em A (ampères); e
c) as componentes simétricas das tensões elétricas da fase a para o terra.
A seguir, um breve conceito sobre redes de sequência e a relação, na prática,
com os circuitos trifásicos equilibrados. Vamos conferir?
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Fonte: noomcpk / Freepik.
Notou a importância da modelagem de redes elétricas para analisar sistemas
trifásicos desequilibrados? Agora, continuaremos com os nossos estudos.
Redes de sequência
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A Figura 1.10 apresenta três condutores (barramentos) de um sistema
elétrico de potência trifásico. Designaremos as correntes elétricas e 
como as que saem do sistema originalmente equilibrado para a falta
(STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Cálculos de faltas
assimétricas em
elementos do
sistema de
potência
,I  ̂a I  ̂b I  ̂c
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Figura 1.10 - Sistema elétrico de potência trifásico e seus três condutores de
energia
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra uma seção de um sistema elétrico de potência
trifásico e seus três condutores de energia. Os condutores estão dispostos
paralela e horizontalmente. De cima para baixo, os condutores são classi�cados
de a, bê e cê. O �uxo de corrente de cada linha (barramento) é indicado por setas
percorrendo parte dos condutores em direção à falta (sentido de cima para
baixo). A corrente elétrica que percorre o condutor a é classi�cada como I
maiúsculo, subscrito a minúsculo; a que percorre o condutor bê é classi�cada
como I maiúsculo, subscrito b minúsculo, e a que percorre o condutor cê é
classi�cada como I maiúsculo, subscrito c minúsculo.
As tensões de fase no local da falta são designadas por e . A
tensão elétrica de fase da fase a antes da ocorrência da falta (no local da
falta) é chamada de V (tensão de sequência positiva, pois o sistema está
equilibrado antes da falta).
As redes de sequência são circuitos lineares, ou seja, seguem o princípio da
linearidade. Essas redes podem ser substituídas pelo seu equivalente
,V ̂a V ̂b V ̂c
f
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Thévenin entre a barra de referência e o ponto de falta. Nesse sentido, a força
eletromotriz (f.e.m.) do gerador no circuito equivalente de Thévenin de
sequência positiva é a própria tensão de fase V .
Por outro lado, a impedância Z do circuito equivalente é a impedância entre o
ponto de falta e a barra de referência na rede de sequência positiva, com
todas as f.e.m. curto-circuitadas. De forma análoga, as impedâncias Z e Z
são as impedâncias entre o ponto de falta e a barra de referência nas redes
de sequência negativa e zero, respectivamente.
Nessas condições, a notação matricial para as componentes simétricas da
tensão de falta na fase a se assemelha à equação 28, exceto pela
substituição de E por V (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000). Como
resultado, há a seguinte notação matricial:
 (46)
As impedâncias Z , Z e Z são as impedâncias de Thévenin entre o ponto de
falta e a barra de referência.
Falta fase-terra em um sistema de
potência
A Figura 1.11 apresenta três condutores (barramentos) de um sistema
elétrico de potência trifásico, com a respectiva falta fase-terra (STEVENSON,
1986; OLIVEIRA et al., 2000).
f
1
2 0
a f
[ ] = [0   0] −V ̂a0V ̂a1V ̂a2 VF [ 111 111 ] [ ]Z0 Z1 Z2 I  ̂a0 I  ̂a1 I  ̂a2
1 2 0
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Figura 1.11- Sistema elétrico de potência trifásico e seus três condutores de
energia. Representação da falta fase-terra na fase a (barramento a)
 Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra uma seção de um sistema elétrico de potência
trifásico e seus três condutores de energia. Os condutores estão dispostos
paralela e horizontalmente. De cima para baixo, os condutores são classi�cados
de a, bê e cê. O �uxo de corrente de cada linha (barramento) é indicado por setas
que percorrem parte dos condutores em direção à falta (sentido de cima para
baixo). A corrente elétrica que percorre o condutor a é classi�cada como I
maiúsculo, subscrito a minúsculo. É nesse condutor, a, que ocorre a falta fase-
terra, pois está aterrado. A corrente elétrica que percorre o condutor bê é
classi�cada como I maiúsculo, subscrito b minúsculo. A corrente elétrica que
percorre o condutor cê é classi�cada como I maiúsculo, subscrito c minúsculo.
Analisando as relações matemáticas existentes na falta, aplicadas na falta
fase-terra de um gerador sem carga, temos:
 e (47)
Com isso, as relações para as componentes simétricas da corrente na fase a
= 0, = 0I  ̂b I  ̂c = 0V ̂a
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precisam ser iguais, exceto pela substituição de E por V . Desse modo, para
uma falta fase-terra, temos:
 (48)
e
 (49)
As equações (48) e (49) indicam que as três redes de sequência
(equivalentes de Thévenin de sequência positiva, negativa e zero) devem
estar conectadas em série pelo ponto de falta, para que seja possível simular
uma falta fase-terra (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Falta fase-fase em um sistema de
potência
A Figura 1.12 apresenta três condutores (barramentos) de um sistema
elétrico de potência trifásico, com a respectiva falta fase-fase (STEVENSON,
1986; OLIVEIRA et al., 2000).
a f
= =I  ̂a1 I  ̂a2 I  ̂a0
=I  ̂a1
Vf
+ +Z1 Z2 Z0
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Figura 1.12 - Sistema elétrico de potência trifásico e seus três condutores de
energia. Representação da falta fase-fase  
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra uma seção de um sistema elétrico de potência
trifásico e seus três condutores de energia. Os condutores estão dispostos
paralela e horizontalmente. De cima para baixo, os condutoressão classi�cados
de a, bê e cê. O �uxo de corrente de cada linha (barramento) é indicado por setas
que percorrem parte dos condutores em direção à falta (sentido de cima para
baixo). A corrente elétrica que percorre o condutor a é classi�cada como I
maiúsculo, subscrito a minúsculo. A corrente elétrica que percorre o condutor bê
é classi�cada como I maiúsculo, subscrito b minúsculo. A corrente elétrica que
percorre o condutor cê é classi�cada como I maiúsculo, subscrito c minúsculo. O
primeiro condutor é representado pela letra a, o qual percorre uma corrente
elétrica I maiúsculo, subscrito a minúsculo. Entre o segundo condutor bê e o
terceiro condutor cê, ocorre a falta fase-fase, representada por um condutor que
conecta as fases (barramentos) bê e cê. Esses condutores não estão aterrados
(falta fase-fase).
As relações matemáticas existentes nesse tipo de falta (fase-fase) são as
mesmas aplicadas na falta fase-fase de um gerador sem carga. Ou seja:
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 e (50)
Comisso, pela notação matricial representada na equação (46), temos que:  
 (51)
e
 (52)
As equações (51) e (52) indicam que as três redes de sequência
(equivalentes de Thévenin de sequência positiva, negativa e zero) devem
estar conectadas em paralelo pelo ponto de falta, para que seja possível
simular uma falta fase-fase (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Falta fase-fase-terra em um sistema de
potência
A Figura 1.13 apresenta três condutores (barramentos) de um sistema
elétrico de potência trifásico, com a respectiva falta fase-fase-terra
(STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
= , = 0V ̂b V ̂c I  ̂a = −I  ̂b I  ̂c
=V ̂a1 V ̂a2
=I  ̂a1
Vf
=Z1 Z2
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Figura 1.13 - Sistema elétrico de potência trifásico e seus três condutores de
energia. Representação da falta fase-fase-terra
Fonte: Adaptada de Stevenson (1986).
#PraCegoVer: a �gura mostra uma seção de um sistema elétrico de potência
trifásico e seus três condutores de energia. Os condutores estão dispostos
paralela e horizontalmente. De cima para baixo, os condutores são classi�cados
de a, bê e cê. O �uxo de corrente de cada linha (barramento) é indicado por setas
que percorrem parte dos condutores em direção à falta (sentido de cima para
baixo). A corrente elétrica que percorre o condutor a é classi�cada como I
maiúsculo, subscrito a minúsculo; a que percorre o condutor bê é classi�cada
como I maiúsculo subscrito b minúsculo, e a que percorre o condutor cê é
classi�cada como I maiúsculo subscrito c minúsculo.  O primeiro condutor é
representado pela letra a, o qual percorre uma corrente elétrica I maiúsculo,
subscrito a minúsculo. Entre o segundo condutor bê e o terceiro condutor cê
ocorre a falta fase-fase-terra, representada por um condutor conectando as fases
(barramentos) bê e cê. Esses condutores encontram-se aterrados (fase-fase-
terra).
As relações matemáticas existentes nesse tipo de falta (fase-fase-terra) são
as mesmas aplicadas na falta fase-fase de um gerador sem carga:
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 e (53)
Combase no modelamento matemático da subseção 1.3.3 (falta fase-fase-
terra em umgerador sem carga), temos:
 (54)
e
 (55)
As equações 54 e 55 indicam que os equivalentes de Thévenin (redes de
sequências positiva, negativa e zero) devem ser conectados em paralelo no
ponto de falta para simular uma falta entre duas fases e terra (falta fase-fase-
terra) (STEVENSON, 1986; OLIVEIRA et al., 2000).
Agora, apresentaremos uma breve relação entre estabilidade de sistemas
elétricos de potência, fornecimento de energia e transitórios.
Estabilidade de Sistemas Elétricos de Potência (SEP)
Para �nalizarmos os estudos desta unidade, faremos mais uma atividade
prática.
= = 0V ̂b V ̂c = 0I  ̂a
= =V ̂b V ̂a2 V ̂a0
=I  ̂a1 Ea
+Z1
Z2Z0
( + )Z2 Z0
 Tab 1 Tab 2 Tab 3
o principal objetivo de um SEP é atender à demanda de carga por meio de um
sistema elétrico interligado por inúmeros elementos de circuito, assegurando a
continuidade do fornecimento de energia (ou seja, fornecer energia sem
interrupções).
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praticar
Vamos Praticar
Em um sistema elétrico de potência, os curtos-circuitos trifásicos são
considerados equilibrados. Dessa forma, é su�ciente considerar o circuito
equivalente de sequência positiva. Por outro lado, quando ocorre uma falta,
ou um desequilíbrio de cargas, é necessário decompor as componentes
simétricas em diagramas de sequência positiva, negativa e zero. Nesse
sentido, as redes de sequência de um sistema elétrico são interconectadas
de modo que a solução da rede resultante forneça as componentes
simétricas das correntes e das tensões na falta.
Com base nos estudos realizados, faça uma interpretação das redes de
sequência interconectadas.
Olá, estudante! Agora, a seguir, a indicação de um vídeo, já que, em razão da
complexidade e particularidade do assunto, não existe uma obra audiovisual
especí�ca. Vamos conferir?
14/08/2023, 09:04 E-book
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Material
Complementar
F I L M E
Desenhando redes de sequência
positiva, negativa e zero
Ano: 2018
Comentário: Neste vídeo, o engenheiro Luís César
Emanuelli explica como é possível, por meio de um
diagrama uni�lar de circuito (SEP), construir as redes de
sequência positiva, negativa e zero. Nesse sentido,
demonstra o passo a passo para interpretar a simbologia
do diagrama uni�lar e, com isso, transcrever, na forma de
rede elétrica, as sequências positiva, negativa e zero. Vale
a pena conferi!
TRA I LER
14/08/2023, 09:04 E-book
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Olá, estudante! Para complementar os seus estudos, con�ra uma dica de
leitura muito interessante! Bons estudos!
Para �nalizarmos, apresentamos uma breve conclusão, já que os assuntos
abordados são uma modelagem complexa e fundamental nos estudos de
faltas em SEP. Agradecemos pela sua companhia, e até a próxima!
L I V R O
Sistemas elétricos de potência
Autores: Miguel Francisco da Silveira, Andrea Acunha
Martin, Anselmo Rafael Cukla, Eduardo Scheffer Saraiva,
Ana Clara Alves Menezes, Aquiles Rossoni e Erica de
Oliveira Sales
Editora: Grupo A
Capítulos: 5, 6, 7 e 8
Ano: 2022
ISBN: 9786556900872
Comentário: O livro aborda, com muita propriedade, vários
capítulos relacionados aos sistemas elétricos de potência,
sobretudo assuntos que abarcam o sistema PU (por
unidade), circuitos lineares aplicados em SEP,
componentes simétricas, análise e modelagem de faltas
(curtos-circuitos), �uxos de potência e de carga e matrizes
admitância e impedância. Vale a pena a leitura!
Disponível em: Minha Biblioteca.
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Conclusão
Conforme os estudos desta Unidade, o artigo cientí�co, publicado, em 1918, por
Fortescue, foi revolucionário para a modelagem matemática de um sistema
elétrico polifásico. Fortescue demonstrou matematicamente (por números
complexos e matrizes) que um sistema polifásico desequilibrado pode ser
decomposto em um sistema polifásico equilibrado, também conhecido como
componentes simétricas.Dessa forma, a modelagem dos sistemas elétricos de
potência, que abrange a determinação das tensões e das correntes de curto-
circuito (faltas assimétricas), é essencial na análise de faltas e no
dimensionamento dos dispositivos de proteção. Ressaltamos ainda a importância
dos diagramas de circuito e das redes de sequência na modelagem de sistemas
elétricos de potência.
Referên
cias
CARLETO, N. Subestações
elétricas. Brasília: NT, 2017.
COMPONENTES Simétricas (aula 01). [S. l: s. n.], 2019. 1 vídeo de (16 min).
Publicado pelo canal Eng. Luís César Emanuelli. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=7xR0SgNxF18. Acesso em: 21 maio 2023.
https://www.youtube.com/watch?v=7xR0SgNxF18
14/08/2023, 09:04 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=0MRBFWqD%2bT8Kehm2By%2f8Jw%3d%3d&l=xSyaUzXH2nkjpmnw9w8MMg%3d%3d&cd=%2fC… 56/57
DESENHANDO Redes de Sequência Positiva Negativa e Zero. [S. l: s. n.], 2019. 1
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