05_01 - Flexão - Cisalhamento em vigas

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ENG 2004 – Estruturas de concreto 
armado I 
Flexão – Cisalhamento em vigas
Prof. Luciano Caetano do Carmo, M.Sc.
Slide: 04_01 – Flexão – Cisalhamento em vigas
Versão 2017-1
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, M
.S
c.
Bibliografia
• ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118:
Projeto de estruturas de concreto armado: Procedimento.
Rio de Janeiro, 2014.
• BANDEIRA, Alex Alves. – Estruturas de concreto armado segundo a NBR
6118/2014. Salvador, 2015, 175 páginas, Notas de Aula.
• BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos – Dimensionamento de vigas de
concreto armado à força cortante. Bauru: Universidade Estadual Paulista
(UNESP), 2017, 79 páginas, Notas de Aula.
• CHAER, A. V. ; OLIVEIRA, M.G.D. – Disciplina Estruturas de Concreto
Armado I. Goiânia, Pontifícia Universidade Católica de Goiás, 2001, 265
páginas, 265 páginas, Notas de Aula.
• UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – UFPR. Capítulo 06 - Flexão
simples: Armadura transversal de viga. Universidade Federal do Paraná,
Paraná, 2017, 66 páginas, Notas de Aula.
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, M
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, M
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Idealização da treliça de Mörsch
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, M
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, M
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Analogia da treliça de Mörsch
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, M
.S
c.
Verificação do E.L.U.
 A resistência da peça, em que uma determinada seção transversal, será
satisfatória quando forem atendidas, simultaneamente, as seguintes condições:
 Vsd ≤ VRd2 Verificação da biela comprimida
 Vsd ≤ VRd3 = Vc + Vsw Parcela da força cortante absorvida pela armadura
Onde:
 Vsd – Força cortante solicitante de cálculo, na seção;
 VRd2 – força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das
diagonais comprimidas de concreto;
 VRd3 – força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração
da diagonal.
 VRd3 = Vc + Vsw:
Vc – Parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares
ao da treliça;
Vsw – parcela de força cortante absorvida pela armadura transversal.
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, M
.S
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Modelos de cálculo da ANBT NBR 6118:2014
Modelo I – onde é admitido que as diagonais de 
compressão sejam inclinadas de 𝜃 = 45𝑜 em 
relação ao eixo longitudinal do elementos 
estrutural .
Modelo II – onde é admitido que as diagonais de 
compressão sejam inclinadas de 𝜃 em relação ao 
eixo longitudinal do elementos estrutural, com 𝜃
variável livremente entre 30𝑜 a 45𝑜.
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, M
.S
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Modelo I – item 17.4.2.2 da ABNT 
NBR 6118 (2014)
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, M
.S
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Modelo I – item 17.4.2.2
45° ≤ 𝛼 ≤ 90°
𝜃 = 45°
 Verificação da estabilidade da diagonal comprimida de
concreto:
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛
2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
, com fck em MPa
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
 Para 𝜃 = 45° e estribos verticais (α = 90°)
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
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, M
.S
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Modelo I – item 17.4.2.2
 Cálculo das Armaduras Transversais
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,90 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ (𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
45° ≤ 𝛼 ≤ 90°
Vsw = Vsd - Vc
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, M
.S
c.
Modelo I – item 17.4.2.2
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 = 0,60 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
Vsw = Vsd - Vc
𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑘 ∙ 𝛾𝑓
 Cálculo das Armaduras Transversais
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, M
.S
c.
 Cálculo das Armaduras Transversais
 Armaduras de Cavalete
 A armadura de cisalhamento poderia também ser constituída por 
estribos associados a barras longitudinais curvadas (barras 
dobradas). Essas barras dobradas, também conhecidas como 
cavaletes, eram comuns até os anos 1970 e não são mais usadas 
atualmente, principalmente por razões construtivas.
Modelo I – item 17.4.2.2
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, M
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Carregamentos próximos aos 
apoios
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, M
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Carregamentos próximo aos apoios – item 17.4.1.2.1
 As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência
à compressão diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos (vigas que
apoiam em vigas), essas reduções também não são permitidas.
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, M
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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
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, M
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Exemplo 1
• Calcular a menor seção transversal retangular 
capaz de suportar a força cortante solicitante 
de cálculo Vsd=500 kN. Considere:
– Modelo de cálculo I
– fck = 20 MPa
– bw =20 cm
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
, com fck em MPa
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
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, M
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Exemplo 2
• Determinar os cortante mínimo de cálculo, 
para o dimensionamento das armaduras 
transversais para a viga abaixo. Considere:
– Redução da força solicitante devido a cargas 
próximas ao apoio.
– h_viga = 50 cm
– h_pilar = 40 cm (dimensão do pilar na direção da 
viga).
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Exemplo 2
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, M
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Exemplo 3
• Determinar os cortante mínimo de cálculo, 
para o dimensionamento das armaduras 
transversais para a viga abaixo. Considere:
– Redução da força solicitante devido a cargas 
próximas ao apoio.
– h_viga = 50 cm
– h_pilar = 40 cm (dimensão do pilar na direção da 
viga).
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, M
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Exemplo 3
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, M
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Disposições construtivas das 
armaduras transversais
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, M
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Bitolas máximas e mínimas
5 𝑚𝑚 ≤ ∅𝑡 ≤
𝑏𝑤
10
Para barras lisas (CA-25) o diâmetro não poderá ser
superior a 12,0mm.
 Para telas soldadas, o diâmetro pode ser reduzido para
φ4,2mm, desde que sejam tomadas precauções contra
sua corrosão.
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, M
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Armadura mínima transversal
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑘 
𝐶𝐴 − 25 = 250 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝐴 − 50 = 500 𝑀𝑃𝑎
𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼
≥ 0,2 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
fck=20 
MPa
fck=25 
MPa
fck=30 
MPa
fck=35 
MPa
fck=40 
MPa
fck=45 
MPa
fck=50 
MPa
CA-25
CA-50
Taxa de armadura mínima transversal (𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛)
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, M
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Armadura mínima transversal
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 𝑏𝑤 ∙ sin𝛼 ∙ 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,2 ∙ 𝑏𝑤 ∙ sin 𝛼 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙ 𝑏𝑤 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
Para estribos verticais (𝛼 = 90°) a armadura mínima será:
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 𝑏𝑤 ∙ 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
ou
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, M
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Esforço cortante mínimo
 Esforço cortante mínimo (𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛) devido a armadura mínima 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠 𝑚𝑖𝑛
)
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 𝑉𝑐
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, M
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Esforço cortante mínimo
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙ 𝑏𝑤 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 𝑉𝑐
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑦𝑤𝑘 
𝐶𝐴 − 25 = 250 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝐴 − 50 = 500 𝑀𝑃𝑎
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, M
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Esforço cortante mínimo
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 = 0,60 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 𝑉𝑐
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, M
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Exemplo 4
• Determinar a armadura mínima transversal e
o esforço cortante mínimo devido a armadura
mínima transversal. Para a armadura mínima,
determinaro espaçamento dos estribos
adotar estribos 02 ramos para ∅5,0𝑚𝑚 e
∅6,3𝑚𝑚. Considere:
– Viga 20x60 cm²
– Aço CA-25, fck = 35 MPa
– Modelo de cálculo I e estribos com 𝛼 = 90°
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, M
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Armadura mínima transversal
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙ 𝑏𝑤 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 𝑏𝑤 ∙ 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
ou
Exemplo 4
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, M
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𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 = 0,60 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 𝑉𝑐
Cortante mínimo devido a armadura mínima
transversal
Exemplo 4
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
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, M
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Espaçamentos máximos e mínimos
 Conforme o item 18.3.3.2 da ABNT NBR 6118 (2014), o
espaçamento máximo longitudinal entre os estribos é:
 O espaçamento mínimo entre os estribos, medido segundo o
eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente
para a passagem do vibrador, garantindo um bom
adensamento do concreto.
𝑆𝑚𝑖𝑛 ≥ 7 𝑐𝑚 - Sugestão
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, M
.S
c.
Tipos de estribos
 Para estribo de 02 ramos, que é o tipo aplicado na grande
maioria das vigas, Asw equivale à área dos dois ramos verticais
do estribo. Para estribos com 03 ou 04 ramos, Asw é a área de
todos os 03 ou 04 ramos verticais do estribo.
Área Asw de estribos de 03 e 04 ramos
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, M
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Ancoragem dos estribos
 Conforme o item 9.4.6 da ABNT NBR 6118 (2014): “A
ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida
por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas”.
 Os ganchos dos estribos podem ser:
 Semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5∅𝑡, porem não menor a 5 cm.
 Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10∅𝑡, porem não menor a 7 cm. Este tipo de gancho não pode ser
utilizado para barras e fios lisos.
Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos
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, M
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Ancoragem dos estribos – tipos de ganchos para estribos
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, M
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EXERCÍCIO – ARMADURA TRANSVERSAL
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, M
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Exemplo 5
• Determinar a armadura de cisalhamento e 
detalhar os estribos para o trecho da viga de 
seção retangular. Considere:
– Modelo de cálculo I
– Aço CA-50, fck=20 MPa, cob=2,5 cm
– Seção transversal 12x50
– Estribos com 𝛼 = 90° e não considerar a redução 
da força cortante próxima ao apoio.
– h_pilar = 20 cm (dimensão do pilar na direção da 
viga).
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, M
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Exemplo 5
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, M
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 Modelo I
 𝜃 = 45𝑜 e 𝛼 = 90𝑜
 Verificação da estabilidade da diagonal 
comprimida de concreto:
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
, com fck em MPa
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
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, M
.S
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Armadura mínima transversal
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙ 𝑏𝑤 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 𝑏𝑤 ∙ 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
ou
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑘 
𝐶𝐴 − 25 = 250 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝐴 − 50 = 500 𝑀𝑃𝑎
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, M
.S
c.
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 𝑉𝑐
Esforço cortante mínimo devido a armadura 
mínima
𝑉𝑐0 = 0,60 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
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 C
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, M
.S
c.
Utilizar o Diagrama de Esforço Cortante (DECd) para 
determinar os trechos com armadura mínima
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, M
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Armadura para os esforços cortantes.
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ (sin 𝛼 + cos 𝛼)
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, M
.S
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Determinação do espaçamento das armaduras
𝑁
𝑚
=
𝐴𝑠
𝑁𝑅 ∙ 𝐴𝑠∅
𝑆 =
100 𝑐𝑚
𝑁
𝑚
↓
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, M
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Espaçamento máximo
𝑆𝑚𝑖𝑛 ≥ 7 𝑐𝑚
Espaçamento mínimo
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, M
.S
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Cálculo dos estribos em cada trecho
 Adotar Número de ramos igual a 2 ( NR = 2 )
Espaçamento (cm)
Trecho
Asw/s 
(cm²/m)
5,0 mm 6,3 mm 8,0 mm 10,0 mm
Esquerda
Mínimo
Direita
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, M
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Detalhamento das vigas de concreto armado com 
estribos verticais
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, M
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Quantificação dos estribos no gabarito da viga.
Comprimento do estribo.
Cobrimento: 2,5 cm
Detalhamento final dos estribos.
Determinação da quantidade de estribos por 
trecho.
Determinação das posições das armaduras.
 Tabelas das armaduras:
 Listas de armaduras e;
 Resumo dos ferros ou armaduras. 
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, M
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Exemplo 6
• Determinar a armadura de cisalhamento e 
detalhar os estribos para o trecho da viga de 
seção retangular. Considere:
– Modelo de cálculo I
– Aço CA-50, fck=25 MPa, cob=2,5 cm
– Seção transversal 25x85
– Estribos com 𝛼 = 90° e não considerar a redução 
da força cortante próxima ao apoio.
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Exemplo 6
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, M
.S
c.
 Modelo I
 𝜃 = 45𝑜 e 𝛼 = 90𝑜
 Verificação da estabilidade da diagonal 
comprimida de concreto:
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
, com fck em MPa
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
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, M
.S
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Armadura mínima transversal
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙ 𝑏𝑤 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 𝑏𝑤 ∙ 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
ou
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑘 
𝐶𝐴 − 25 = 250 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝐴 − 50 = 500 𝑀𝑃𝑎
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o
, M
.S
c.
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 𝑉𝑐
Esforço cortante mínimo devido a armadura 
mínima
𝑉𝑐0 = 0,60 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Utilizar o Diagrama de Esforço Cortante (DECd) para 
determinar os trechos com armadura mínima
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Armadura para os esforços cortantes.
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘 
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑
435 𝑀𝑃𝑎
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ (sin 𝛼 + cos 𝛼)
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Determinação do espaçamento das armaduras
𝑁
𝑚
=
𝐴𝑠
𝑁𝑅 ∙ 𝐴𝑠∅
𝑆 =
100 𝑐𝑚
𝑁
𝑚
↓
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Espaçamento máximo
𝑆𝑚𝑖𝑛 ≥ 7 𝑐𝑚
Espaçamento mínimo
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Cálculo dos estribos em cada trecho
 Adotar Número de ramos igual a 2 ( NR = 2 )
Espaçamento (cm)
Trecho
Asw/s 
(cm²/m)
5,0 mm 6,3 mm 8,0 mm 10,0 mm
Esquerda
Mínimo
Direita
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Detalhamento das vigas de concreto armado com 
estribos verticais
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
Quantificação dos estribos no gabarito da viga.
Comprimento do estribo.
Cobrimento: 2,5 cm
Detalhamento final dos estribos.
Determinação da quantidade de estribos por 
trecho.
Determinação das posições das armaduras.
 Tabelas das armaduras:
 Listas de armaduras e;
 Resumo dos ferros ou armaduras. 
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.
FIM
Lu
ci
an
o
 C
ae
ta
n
o
 d
o
 C
ar
m
o
, M
.S
c.