Estruturas de Concreto II - Prof Paulo Sérgio Bastos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
DE CONCRETO ARMADO À 
FORÇA CORTANTE 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Abril/2017
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2323 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru/SP. 
O texto apresenta conceitos teóricos e os procedimentos aplicados pela NBR 6118/2014 (“Projeto 
de estruturas de concreto – Procedimento”) para o projeto de vigas de Concreto Armado à força cortante, 
bem como a formulação para verificação de lajes. 
Na versão de 2003 da NBR 6118 foi introduzida uma nova metodologia para o dimensionamento 
de elementos de concreto à força cortante, o chamado Modelo de Cálculo II, que permite considerar 
inclinações variáveis para as diagonais comprimidas, entre 30 e 45. De modo geral, a metodologia 
segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com algumas modificações e adaptações. 
A apostila apresenta duas diferentes formulações para o cálculo da armadura transversal de vigas 
de Concreto Armado, sendo a primeira aquela constante da NBR 6118/14, e a segunda uma formulação 
um pouco mais simples, que possibilita a automatização manual dos cálculos de dimensionamento, com 
consequente ganho de tempo. 
 O autor agradece ao Prof. Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxílio e discussão, que contribuíram 
para melhorar a qualidade da apostila e dos exemplos. 
 Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção dos desenhos. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
5. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE ...... 1 
5.1 INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................1 
5.2 TENSÕES PRINCIPAIS EM VIGAS SOB FLEXÃO SIMPLES ..................................................1 
5.3 MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE ..........................5 
5.3.1 Ação de Arco ............................................................................................................................6 
5.3.2 Concreto Comprimido Não Fissurado ......................................................................................6 
5.3.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas ..................................................................6 
5.3.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal .................................................................................7 
5.3.5 Tensões Residuais de Tração ....................................................................................................8 
5.3.6 Armaduras Longitudinal e Vertical ..........................................................................................8 
5.4 FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE ...........................8 
5.4.1 Tipo de Carregamento ..............................................................................................................8 
5.4.2 Posição da Carga e Esbeltez .....................................................................................................8 
5.4.3 Tipo de Introdução da Carga ....................................................................................................9 
5.4.4 Influência da Armadura Longitudinal ......................................................................................9 
5.4.5 Influência da Forma da Seção Transversal ...............................................................................9 
5.4.6 Influência da Altura da Viga ..................................................................................................10 
5.5 COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL ...............................10 
5.6 TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH ( = 45) ...........................................................12 
5.7 TRELIÇA GENERALIZADA ( variável) ...................................................................................15 
5.8 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 ......................................................................18 
5.8.1 Modelo de Cálculo I ...............................................................................................................18 
5.8.2 Modelo de Cálculo II ..............................................................................................................22 
5.8.3 Lajes e Elementos Lineares com bw  5d ...............................................................................24 
5.9 ARMADURA MÍNIMA ...............................................................................................................26 
5.10 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ...............................................................................................27 
5.10.1 Diâmetro do Estribo ...............................................................................................................28 
5.10.2 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos ................................................................28 
5.10.3 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo ..................................................28 
5.10.4 Emenda do Estribo .................................................................................................................28 
5.10.5 Ancoragem do Estribo ............................................................................................................29 
5.11 EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS ...................................................................................................30 
5.11.1 Modelo de Cálculo I ...............................................................................................................30 
5.11.2 Modelo de Cálculo II ..............................................................................................................33 
5.12 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE 
COMPRESSÃO () ................................................................................................................................36 
5.13 REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE .........................................................................................36 
5.14 CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS ...................................37 
5.15 ARMADURA DE SUSPENSÃO ..................................................................................................37 
5.16 EXEMPLO NUMÉRICO 1 ...........................................................................................................40 
5.16.1 Equações Teóricas ..................................................................................................................41 
5.16.2 Equações Simplificadas ..........................................................................................................44 
5.16.3 Comparação dos Resultados ...................................................................................................46 
5.16.4 Detalhamento da Armadura Transversal ................................................................................46 
5.17 EXEMPLO NUMÉRICO 2 ...........................................................................................................48 
5.17.1 Modelo de Cálculo I ...............................................................................................................49 
5.17.2 Equações Simplificadas ..........................................................................................................50 
5.17.3 Modelo de Cálculo II ..............................................................................................................515.17.4 Equações Simplificadas ..........................................................................................................55 
5.17.5 Comparação dos Resultados ...................................................................................................57 
5.17.6 Detalhamento da Armadura Transversal ................................................................................57 
5.18 EXEMPLO NUMÉRICO 3 ...........................................................................................................60 
5.18.1 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I (NBR 6118) .....................62 
5.18.2 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com  = 45 ...................64 
5.19 EXEMPLO NUMÉRICO 4 ...........................................................................................................65 
5.20 QUESTIONÁRIO .........................................................................................................................69 
5.21 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................70 
5.22 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
1 
5. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA 
CORTANTE 
 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado, geralmente o primeiro cálculo feito é o de 
determinação das armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, seguido pelo cálculo da 
armadura transversal para resistência às forças cortantes. 
Diferentes teorias e modelos foram desenvolvidos para análise de vigas de concreto sob força 
cortante, sendo que o modelo de treliça, embora desenvolvido há mais de cem anos, é o que ainda se 
destaca no Brasil e nas principais normas internacionais, devido à sua simplicidade e bons resultados. 
A norma brasileira NBR 6118/2014[1]1 admite dois modelos para cálculo da armadura transversal, 
denominados Modelo de Cálculo I e Modelo de Cálculo II. A treliça clássica de Ritter-Mörsch é adotada 
no Modelo de Cálculo I, e o Modelo de Cálculo II admite a chamada “treliça generalizada”. 
Nas últimas décadas surgiram modelos mais refinados, como o “Rotating angle softened truss 
model” (RA-STM) e o “Fixed angle softened truss model” (FA-STM), desenvolvidos por HSU[2,3,4] e seus 
colaboradores, o modelo “Truss model with crack friction”, que considera o atrito entre as superfícies das 
fissuras inclinadas (REINECK[5]), e modelos com base em campos de compressão, como o “Diagonal 
compression field theory” (CFT) por MITCHELL e COLLINS[6], e “Modified compression field theory” 
(MCFT), desenvolvido por VECCHIO e COLLINS[7]. Esses modelos não serão objeto de estudo nesta 
apostila. 
A ruptura por efeito de força cortante é iniciada após o surgimento de fissuras inclinadas, causadas 
pela combinação de força cortante, momento fletor e eventualmente forças axiais. A quantidade de 
variáveis que influenciam na ruptura é muito grande, como geometria, dimensões da viga, resistência do 
concreto, quantidade de armaduras longitudinal e transversal, características do carregamento, vão, etc. 
Como o comportamento de vigas à força cortante apresenta grande complexidade e dificuldades de projeto, 
este assunto tem sido um dos mais pesquisados, no passado bem como no presente.[8] 
 
5.2 TENSÕES PRINCIPAIS EM VIGAS SOB FLEXÃO SIMPLES 
 
Considere uma viga de concreto biapoiada (Figura 5.1a), submetida a duas forças concentradas P 
iguais, com cinco barras longitudinais positivas, duas longitudinais superiores construtivas (porta-estribos), 
e armadura transversal, composta apenas por estribos verticais2 na região adjacente ao apoio esquerdo, e 
estribos verticais combinados com barras dobradas (inclinadas3) na região próxima ao apoio direito. 
Nota-se que no trecho da viga entre as forças concentradas P a solicitação é de flexão pura (V = 0). 
Considerando que a viga está sendo ensaiada em laboratório e que as forças P serão crescentes de 
zero até a força que causará a sua ruptura (força última), a Figura 5.1b mostra a viga quando as forças P 
são ainda de baixa intensidade, com as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão para a 
viga ainda não fissurada e, portanto, no Estádio I. No trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de 
compressão e de tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetórias das 
tensões são inclinadas devido à influência das forças cortantes. É importante observar também que as 
trajetórias apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si. 
Com o aumento das forças P e consequentemente o aumento das tensões principais, no instante 
que, em uma determinada seção transversal (seção b) no trecho de flexão pura, a tensão de tração atuante 
no lado inferior da viga supera a resistência do concreto à tração, surge uma primeira fissura chamada 
“fissura de flexão” (Figura 5.1c). A fissura de flexão é aquela que inicia na fibra mais tracionada e se 
estende em direção à linha neutra, perpendicularmente às trajetórias das tensões principais de tração e ao 
eixo longitudinal da viga. Conforme as forças externas aplicadas vão sendo aumentadas, outras fissuras 
vão surgindo, e aquelas já existentes aumentam de abertura e se estendem em direção à borda superior da 
 
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, NBR 6118. 
ABNT, 2014, 238p. 
2 O termo estribo vertical indica a suposição de que a viga tem eixo longitudinal horizontal. Na verdade deseja-se informar que o 
estribo é perpendicular ao eixo longitudinal da viga. 
3 Barras inclinadas em relação ao eixo longitudinal da viga, geralmente barras da armadura de flexão positiva do vão, não mais 
necessárias à flexão devido à diminuição do momento fletor nas proximidades do apoio. 
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2 
viga. As seções fissuradas podem ser consideradas no Estádio II, e as seções não fissuradas no Estádio I, de 
modo que a viga pode ter trechos nos dois Estádios, como indicado na Figura 5.1c. De modo geral, as 
fissuras passam a ser visíveis a olho nu somente quando alcançam a abertura de 0,05 mm. 
 
 
a) Parmadura transversal
 (somente estribos)
 armadura transversal
(estribos e barras dobradas)
P

+
+
-
M
V
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
estádio II
Seção b-b
s
c
s
c = fc
> f y
P P
P P
fissura de
flexão
c
fissura por
força cortante
fissura de flexão fissura de flexão e 
força cortante
tração
compressão








estádio I estádio II estádio I
Seção a-a - estádio I Seção b-b - estádio II
c
s
c
s
c c
s t
= Ec
ct,f< 
b
b
a
a
b
b
 
Figura 5.1 – Comportamento resistente de uma viga biapoiada. a) armação da viga e diagramas de M e V; b) 
trajetórias das tensões principais de tração e compressão na viga não fissurada; 
c) surgimento das primeiras fissuras de flexão; d) tensões e deformações nos Estádios I e II; 
e) estado de fissuração pré-ruptura; f) deformações e tensões na ruptura.[9] 
 
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3 
A Figura 5.1d mostra os diagramas de deformação e de tensão normal nas seções a e b da viga, nos 
Estádios I e II, respectivamente. No Estádio I a máxima tensão de compressão (c) ainda pode ser avaliada 
de acordo com a lei de Hooke, não sendo o mesmo válido no Estádio II. 
As notações indicadas na Figura 5.1 são: 
 
 εc = deformação de encurtamento no concreto; 
 εs = deformação de alongamento na armadura longitudinal tracionada; 
 Ec = módulo de elasticidade do concreto;σt = tensão de tração na fibra inferior de concreto; 
 σs = tensão de tração na armadura longitudinal tracionada; 
 σc = tensão normal de compressão máxima; 
 fy = tensão de início de escoamento do aço da armadura; 
 fc = resistência do concreto à compressão; 
 fct,f = resistência à tração na flexão do concreto. 
 
Continuando a aumentar as forças P, outras fissuras de flexão continuam a surgir, e aquelas já 
existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direção ao topo da viga (Figura 5.1d). Nos trechos 
entre os apoios e as forças P, as fissuras de flexão inclinam-se, devido à inclinação das trajetórias das 
tensões principais de tração (I), que são inclinadas devido à influência das forças cortantes. As fissuras 
inclinadas são chamadas de “fissuras de flexão com força cortante”, ou fissuras de “flexão com 
cisalhamento”. 
Nas proximidades dos apoios, como a influência dos momentos fletores é menor, podem surgir as 
chamadas “fissuras por força cortante” (ou “fissuras de cisalhamento” - ver Figura 5.1e e Figura 5.2). 
Com forças P elevadas, a viga se apresenta no Estádio II em quase toda a sua extensão. 
 
 
 
Figura 5.2 – Fissuras na viga no Estádio II.[9] 
 
 É importante ressaltar que fissuras verticais, como mostradas na Figura 5.3, podem surgir nas vigas 
por efeito de retração do concreto, não necessariamente por efeito de tensões normais de tração oriundas da 
flexão da viga. São fissuras localizadas à meia altura, que geralmente não se estendem até as bordas 
superior e inferior da viga. 
fissuras de retração
 
Figura 5.3 – Fissuras de retração em viga. 
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4 
Na Figura 5.4 são mostradas as trajetórias das tensões principais de uma viga biapoiada sob 
carregamento uniformemente distribuído ao longo de todo o vão, ainda no Estádio I (não fissurada), e o 
estado de tensões principais num ponto sobre a linha neutra. O carregamento externo introduz em uma viga 
diferentes estados de tensões principais, em cada um dos seus infinitos pontos. 
Na altura da linha neutra, as trajetórias das tensões principais apresentam-se inclinadas de 45 (ou 
135) com o eixo longitudinal da viga, e em outros pontos as trajetórias tem inclinações diferentes de 45. 
 
+
-
+
II
I
 Direção de (tensões de tração)
 Direção de (tensões de compressão)
I
II
M
V
x
 
 
Figura 5.4 – Trajetórias das tensões principais de uma viga biapoiada no Estádio I. [9] 
 
Além dos estados de tensão relativos às tensões principais, como o indicado na Figura 5.5b, outros 
estados podem ser representados, com destaque para aquele segundo os eixos x-y (Figura 5.5a), que define 
as tensões normais x e y e as tensões de cisalhamento xy e yx . 
 
X
y
y = 0
x
( - )
( + )
II
I
( - )
( + )
+
y y
X
yx
xy
 
a) eixos x-y; b) eixos principais. 
 
Figura 5.5 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos 
principais e aos eixos x-y. [9] 
 
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5 
De modo geral, as tensões verticais y podem ser desprezadas, tendo importância apenas nos 
trechos próximos à introdução de forças na viga (região de forças externas aplicadas, apoios, etc.). 
O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as tensões 
x e xy . No entanto, conhecer as trajetórias das tensões principais é importante para se posicionar 
corretamente as armaduras de tração e para conhecer a direção das bielas de compressão. 
As tensões principais de tração inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura 
transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na região de maior 
intensidade das forças cortantes, a inclinação mais favorável para os estribos seria de aproximadamente 
45, ou seja, paralelos às trajetórias das tensões de tração e perpendiculares às fissuras. Por razões de 
ordem prática os estribos são normalmente posicionados na direção vertical, o que os torna menos 
eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45. 
A colocação da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, além disso, possibilita 
que as tensões principais de compressão possam continuar atuando, sem maiores restrições, entre as 
fissuras inclinadas próximas aos apoios. 
 
5.3 MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE 
 
Em 1968, Fenwick e Paulay[10] afirmaram que a ruptura das vigas por efeito de força cortante não 
estava ainda claramente definida, pois os mecanismos responsáveis pela transferência da força cortante são 
variados, complexos e difíceis de medir e identificar, porque após o surgimento das fissuras inclinadas 
ocorre uma complexa redistribuição de tensões, a qual é influenciada por vários fatores. Sendo assim, cada 
mecanismo tem uma importância relativa, de acordo com os pesquisadores. Excluindo-se a armadura 
transversal (estribos) são cinco os mecanismos mais importantes: 1) força cortante na zona de concreto não 
fissurado (banzo de concreto comprimido – Vcz , ver Figura 5.6 ); 2) engrenamento dos agregados ou atrito 
das superfícies nas fissuras inclinadas (Vay); 3) ação de pino da armadura longitudinal (Vd); 4) ação de 
arco; 5) tensão de tração residual transversal existente nas fissuras inclinadas.[11] 
A transferência da força cortante nas vigas de concreto é muito dependente das resistências do 
concreto à tração e à compressão, e por isso a ruptura frágil é uma séria possibilidade, de modo que é 
muito importante o correto dimensionamento das vigas à força cortante, principalmente nos elementos sob 
ações de sismos. 
 
Figura 5.6 – Três mecanismos de transferência da força cortante em viga com armadura transversal: Vcz 
proporcionada pelo banzo de concreto comprimido, Vay proporcionada pelo engrenamento dos agregados ou 
atrito das superfícies nas fissuras inclinadas, e Vd proporcionada pela ação de pino da armadura longitudinal.[11] 
 
Algumas características dos cinco principais mecanismos de transferência de força cortante são 
descritas a seguir. 
 
 
 
 
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6 
5.3.1 Ação de Arco 
 
O banzo comprimido da flexão inclina-se em direção aos apoios, formando um arco, cuja biela 
comprimida inclinada assim originada, absorve uma parte da força cortante, e em consequência diminui a 
tração na alma (Figura 5.7). 
A formação do arco requer uma reação horizontal no apoio, que em vigas biapoiadas pode ser 
fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser cuidadosamente ancorada nas extremidades da 
viga para cumprir com esta função.[9] 
A ação de arco é o mecanismo dominante de resistência de vigas-paredes4 à força cortante com o 
carregamento externo aplicado na região comprimida. 
 
q
PP
banzo comprimido
 
Figura 5.7 – Ação de arco ou de pórtico atirantado nas proximidades dos apoios. [9] 
 
5.3.2 Concreto Comprimido Não Fissurado 
 
A zona não fissurada de concreto comprimido pela flexão (banzo de concreto) também 
proporciona uma parcela de resistência à força cortante, que é a componente Vcz mostrada na Figura 5.6. 
A contribuição à resistência proporcionada pelo banzo comprimido depende principalmente da 
altura da zona comprimida, de modo que vigas retangulares com pequena altura e sem força axial de 
compressão apresentam pequena contribuição, porque a altura do banzo é relativamente pequena.[12,13] Por 
outro lado, vigas com mesa comprimida, como seções T e I, a contribuição do banzo comprimido é maior. 
Pesquisas experimentais em vigas com armadura transversal mostraram que a contribuição do banzo 
comprimido alcança valores entre 20 % e 40 % da resistência à força cortante.[10,12,14,15] 
 
5.3.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas 
 
Em uma fissura inclinada existe uma resistência ao deslizamento entre as duas superfícies do 
concreto, de umlado e do outro da fissura, devido à rugosidade e engrenamento dos agregados e da própria 
matriz do concreto, que proporcionam uma transferência de força cortante através da fissura inclinada.[15] 
São quatro os parâmetros mais importantes no mecanismo de atrito entre as superfícies nas 
fissuras: tensão de cisalhamento nas interfaces, tensão normal, largura e escorregamento da fissura. 
O mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das fissuras proporciona uma 
contribuição significativa à resistência à força cortante de vigas de Concreto Armado e Protendido. Ensaios 
experimentais indicaram que entre 33 % e 50 % da força cortante total pode ser transferida pelo 
engrenamento das interfaces. Outras considerações que esses pesquisadores apresentaram são:[16] 
 
a) os fatores que mais influenciam o fenômeno são a largura da fissura e o tamanho dos agregados. A 
resistência diminui com o aumento da largura da fissura e a diminuição do tamanho dos agregados. 
Concretos com maiores resistências tendem a apresentar superfícies menos rugosas, e consequentemente 
menor transferência de força cortante; 
 
4 Viga-parede: “São consideradas vigas-parede as vigas altas em que a relação entre o vão e a altura  / h é inferior a 2 em vigas 
biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas.” (NBR 6118, 22.4.1) 
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7 
b) quanto menor a largura da fissura maior é a área de contato, e consequentemente maior a transferência 
de força cortante; 
c) a contribuição do engrenamento dos agregados é maior nas seções onde as fissuras por força cortante 
desenvolvem-se dentro da alma da viga, e menor nas fissuras inclinadas que são continuidade de fissuras 
de flexão, iniciadas na borda tracionada da viga. A porcentagem da contribuição é maior para valores 
baixos e médios da tensão ou resistência última à força cortante, mas é ainda notada em valores maiores, 
quando os efeitos do engrenamento dos agregados diminui; 
d) o uso de estribos de pequeno diâmetro (menor espaçamento) favorecem o engrenamento dos agregados. 
 
5.3.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal 
 
A ação de pino de uma barra de aço inserida no concreto proporciona um mecanismo de 
transferência de força cortante que foi percebida na década de 30 do século passado, e ocorre num grande 
número de aplicações práticas das estruturas de Concreto Armado, como mostrado na Figura 5.8. 
 
 
Figura 5.8 – Exemplos onde a ação de pino ocorre.[17] 
 
Estudos experimentais feitos por diversos pesquisadores[10,12,18] e vários outros autores, citados no 
ASCE/ACI[15], indicaram que a força resistente à força cortante proporcionada pela barra de aço na ação de 
pino (dowel action) é entre 15 % e 25 % da força cortante total. 
A força cortante que pode ser transferida pela ação de pino depende de vários parâmetros, como: a) 
quantidade de armadura; b) diâmetro da barra; c) espaçamento entre as barras; d) espessura do cobrimento 
embaixo da barra de aço; e) propriedades do concreto; f) tensões axiais na armadura; g) existência de 
armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal. 
Na situação de carga última é necessário considerar as não-linearidades do concreto e do aço, 
assim como o dano no concreto localizado, na região próxima ao plano da força cortante. 
Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento, e esmagamento 
do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (Figura 5.9). 
O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para grandes 
cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra. Para o caso de 
ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfície de concreto na região próxima à 
barra (ruptura tipo I - Figura 5.9), a resistência máxima do efeito pino não é proporcional ao diâmetro da 
barra, isto é, a eficiência do mecanismo é reduzida aumentando-se o diâmetro da barra. Mesmo para o 
modo de ruptura tipo II o aumento do diâmetro da barra afeta negativamente a eficiência da resistência do 
mecanismo do efeito pino. 
 
 
Figura 5.9 – Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino.[19] 
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8 
Segundo a ASCE-ACI[20], normalmente a ação de pino não é muito importante em elementos sem 
armadura transversal, porque a máxima força cortante proporcionada pela ação de pino é limitada pela 
resistência à tração do concreto do cobrimento da barra, que apoia a barra. A ação de pino pode ser 
importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal, principalmente quando 
distribuída em mais que uma camada. 
 
5.3.5 Tensões Residuais de Tração 
 
Quando o concreto fissura não ocorre uma separação completa, porque pequenas partículas do 
concreto ligam as duas superfícies e continuam a transmitir forças de tração, para pequenas aberturas de 
fissura entre 0,05 e 0,15 mm. Essa capacidade do concreto contribui para a transferência de força cortante, 
importante quando a abertura da fissura ainda é pequena. 
As tensões de tração residuais fornecem uma importante porção da resistência à força cortante de 
elementos com alturas menores que 100 mm, onde a largura das fissuras inclinadas e de flexão são 
pequenas.[13] 
 
5.3.6 Armaduras Longitudinal e Vertical 
 
Em uma viga, antes do surgimento das fissuras inclinadas a deformação nos estribos é a mesma do 
concreto adjacente ao estribo, e como a tensão de tração que causa a fissura no concreto é pequena, a 
tensão no estribo também é pequena. De modo que somente após ocorrer o início da fissuração inclinada é 
que os estribos passam a transferir força cortante, isto é, um estribo passa a ser efetivo ao transferir a força 
de um lado para outro da fissura inclinada que o intercepta. 
Os estribos também atuam diminuindo o crescimento e a abertura das fissuras inclinadas, 
proporcionando uma ruptura mais dúctil às vigas. A existência do estribo na viga faz com que ocorra uma 
mudança na contribuição relativa de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante. 
A contribuição da armadura transversal à resistência ao cortante da viga é tipicamente computada 
por meio da treliça clássica, somada à contribuição do concreto, ou por meio da treliça de ângulo variável 
sem a contribuição do concreto. 
Os estribos também proporcionam, eles próprios, uma pequena resistência por ação de pino nas 
fissuras e aumentam a resistência da zona comprimida de concreto pelo confinamento que promovem. 
 
5.4 FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE 
 
São muitos fatores que influenciam a resistência das vigas à força cortante (cerca de 20), sendo que 
de alguns deles não há conhecimento suficiente da sua influência.[9] A seguir apresentam-se alguns dos 
principais fatores, conforme apresentados em LEONHARDT e MÖNNIG.[9] 
 
5.4.1 Tipo de Carregamento 
 
Para carregamento uniformemente distribuído (cargas atuando de cima, diretamente sobre a viga), 
alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade resistente à força 
cortante cerca de 20  a 30  maior do que para carga concentrada na posição mais desfavorável. 
Entretanto, na realidade, não há garantia de uma distribuição uniforme da carga de utilização, por isso, os 
critérios de dimensionamento devem levar em consideração os resultados mais desfavoráveis referentes às 
cargas concentradas.[9] 
 
5.4.2 Posição da Carga e Esbeltez 
 
Nas cargas concentradas tem grande influência a distância do apoio até a carga. Já para as cargas 
uniformes tem grande influência a esbeltez /h. Quanto à ruptura de uma viga com e sem armadura 
transversal por força cortante, a posição mais perigosa de uma carga concentrada foi determinada para o 
trecho a = 2,5h a 3,5h, o que corresponde a uma relação momento-forçacortante de M/Vh = a/h = 2,5 a 
3,5. Para cargas distribuídas, rigidezes de /h =10 a 14 são as que conduzem a maiores perigos de 
ruptura por força cortante e, consequentemente, na menor capacidade resistente à força cortante. 
A capacidade resistente à força cortante aumenta bastante para cargas próximas ao apoio, para uma 
relação decrescente a/h < 2,5. Um aumento correspondente acontece com carga distribuída, quando /h < 
10. Deve-se prever uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado.[9] 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
9 
5.4.3 Tipo de Introdução da Carga 
 
Efetuando-se a ligação de uma viga em toda sua altura h com outra viga, a viga que se apoia 
distribui sua carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio. Diz-se então que se trata de um 
carregamento ou apoio indireto. Nos ensaios foi possível mostrar que, na região de cruzamento dessas 
vigas, é necessária uma armadura de suspensão, que deve ser dimensionada para a força total atuante no 
apoio ou nó. 
Uma viga no Estádio II transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de compressão, 
e as diagonais comprimidas no modelo treliça define claramente a necessidade de montantes verticais de 
tração, ou seja, armadura de suspensão. Entretanto, fora da região de cruzamento, a viga não é influenciada 
pelo tipo de introdução de carga ou de apoio, isto é, o comportamento em relação à força cortante é o 
mesmo que para o apoio ou carregamento direto. Essas mesmas considerações valem para o 
dimensionamento à força cortante. Na região de cruzamento, a armadura de suspensão atende 
simultaneamente à função de armadura de transversal. 
As cargas penduradas na parte inferior de uma viga produzem tração na alma e devem ser 
transferidas pelas barras de tração da alma ao banzo comprimido. Essa armadura de suspensão é adicional 
à armadura transversal normal para a força cortante.[9] 
 
5.4.4 Influência da Armadura Longitudinal 
 
O desenvolvimento de uma fissura inclinada por força cortante, ou seja, seu aumento até próximo 
da borda superior da zona comprimida de concreto, depende da rigidez à deformação do banzo tracionado, 
ou seja, quanto mais fraco for o banzo tracionado, tanto mais ele se alonga com o aumento da carga e tão 
mais depressa a fissura inclinada se torna perigosa. 
O banzo tracionado não pode, portanto, ser muito enfraquecido na região de uma possível ruptura 
por força cortante. Também um escorregamento da ancoragem no apoio tem um efeito enfraquecedor. 
Ambas as influências devem ser consideradas como detalhes construtivos na execução da armadura. 
Uma outra influência é a qualidade da armadura longitudinal. Ensaios demonstraram, por exemplo, 
que para a mesma porcentagem de armadura longitudinal, uma distribuição das tensões com maior número 
de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente à força cortante.[9] 
 
5.4.5 Influência da Forma da Seção Transversal 
 
A forma da seção transversal tem uma forte influência sobre o comportamento resistente de vigas 
de Concreto Armado solicitadas à força cortante. A seção transversal retangular pode se adaptar livremente 
a uma forte inclinação do banzo comprimido e, frequentemente, pode absorver toda a força transversal no 
banzo comprimido (especialmente no caso de carga distribuída e de carga concentrada próxima ao apoio). 
Em seções transversais de vigas T, a força no banzo comprimido só pode ter uma inclinação quase 
horizontal, porque na realidade ela permanece na largura comprimida da laje até a proximidade do apoio, 
concentrando-se na alma apenas gradativamente em direção ao apoio. O banzo comprimido por este 
motivo, só pode absorver uma parcela da força cortante, e a maior parte deve ser resistida pelas diagonais 
comprimidas e pelas barras da armadura transversal. A relação da rigidez do banzo comprimido de largura 
bf com a correspondente rigidez das diagonais comprimidas da alma com largura bw é muito maior em 
vigas T do que em vigas retangulares. 
Nas vigas de seção retangular (bf / bw = 1), os estribos são submetidos a tensões de compressão até 
que, pouco antes da carga de ruptura, uma fissura de cisalhamento cruze o estribo. Nas vigas T essas 
tensões no estribo aumentam para almas delgadas, em todos os casos, porém, essas tensões ficam bem 
abaixo da tensão de escoamento do aço a qual foi calculada de acordo com a analogia de treliça clássica de 
Mörsch (com diagonais a 45º). 
Ensaios mostraram também que a inclinação das fissuras inclinadas ou das diagonais comprimidas 
varia com a relação bf / bw, essa inclinação situa-se em torno de 30º para bf / bw = 1 e cresce para cerca de 
45º para bf / bw = 8 a 12. 
O dimensionamento da armadura transversal da alma deve ser feito a partir da distribuição dos 
esforços internos, pouco antes da ruptura, ou seja, deve ser considerada a largura da alma em relação a 
largura do banzo comprimido.[9] 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
10 
5.4.6 Influência da Altura da Viga 
 
Ensaios realizados segundo uma lei de semelhança com vigas sem armadura transversal e diferentes 
alturas h, com igual porcentagem de armadura longitudinal de mesma distribuição de barras, mostraram 
que a capacidade resistente à força cortante diminui consideravelmente como aumento da altura h, quando 
a granulometria e o cobrimento do concreto não variarem de acordo com a escala.[9] 
 
5.5 COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL 
 
 Quando, nas seções próximas ao apoio da viga, as tensões principais de tração inclinadas (I) 
alcançam a resistência do concreto à tração, surgem as primeiras fissuras inclinadas (de “cisalhamento”), 
perpendiculares à direção de I , como mostradas na Figura 5.1 (item 5.2). No ensaio experimental, à 
medida que o carregamento sobre a viga vai sendo aumentado, novas fissuras vão surgindo, que provocam 
uma redistribuição de esforços internos, e a armadura transversal5 e as diagonais comprimidas passam 
então a “trabalhar” de maneira mais efetiva, sendo essa redistribuição dependente principalmente da 
quantidade e da direção da armadura transversal.[9] 
Se a armadura transversal for insuficiente, o aço atinge a deformação de início de escoamento 
(y), e as fissuras de cisalhamento desenvolvem-se em direção ao banzo comprimido. Existe ainda na viga 
uma reserva de resistência, proporcionada principalmente pelo atrito na interface das fissuras, devido ao 
engrenamento entre as partículas do concreto.6 Aumentando a abertura da fissura, o atrito nas interfaces 
diminui, o que leva a um aumento da força transferida pelo concreto do banzo comprimido e da ação de 
pino. Diminuindo a seção resistente do banzo, pode ocorrer a ruptura do concreto bruscamente (a ausência 
de armadura transversal também pode levar a esta forma de ruptura). A fissura também pode propagar-se 
pela armadura longitudinal de tração nas proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (Figura 
5.10). 
 
 
Figura 5.10 – Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto. [9] 
 
 
 Pode também ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido, ou a 
ruptura da ligação das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A Figura 5.11 mostra a ruptura 
que pode ocorrer por rompimento ou deformação excessiva dos estribos. 
 
 
Figura 5.11 – Ruína da viga por rompimento de estribos. [9] 
 
 
 
5 O estribo proporciona uma ponte de transferência para as tensões de tração, de um lado para o outro da fissura. 
6 Neste processo, os estribos, ao continuarem escoando com o aumento do carregamento sobre a viga, proporcionam uma ruptura 
dúctil. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
11 
Em seções com banzos comprimidos reforçados, como vigas seção I e T, que possuam 
armaduras longitudinal e transversalreforçadas, formam-se muitas fissuras inclinadas (de cisalhamento), e 
as bielas de compressão entre as fissuras podem romper de maneira brusca ao ser atingida a resistência do 
concreto à compressão. Tal ruptura ocorre quando as diagonais são solicitadas além do limite da resistência 
do concreto, antes que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 5.12). De modo que as bielas 
de compressão delimitam o limite superior da resistência de vigas à força cortante, limite esse dependente 
principalmente da resistência do concreto. 
 
 
Figura 5.12 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de armadura transversal reforçada. [9] 
 
 
O trabalho desenvolvido por estribos fechados em uma viga de seção retangular (dois ramos 
verticais e dois ramos horizontais), na analogia de treliça, está mostrado na Figura 5.13. Nos vértices 
inferiores o estribo entrelaça a armadura longitudinal tracionada e nos vértices superiores o estribo ancora-
se no concreto do banzo comprimido e na armadura longitudinal superior. 
As bielas de compressão se apoiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no trecho inferior 
dos ramos verticais dos estribos, e também nos ramos horizontais, principalmente na intersecção do estribo 
com as barras longitudinais dos vértices, onde as tensões se inclinam e originam tensões de tração. 
 
 
 
Figura 5.13 – Atuação do estribo no modelo de treliça.[21] 
 
 
Nos vértices superiores do estribo, as barras longitudinais também atuam para evitar o 
fendilhamento7, que pode ser provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tensões de tração num pequeno 
volume de concreto. 
O ramo horizontal superior do estribo (na região do banzo comprimido) não é imprescindível no 
caso da resistência à força cortante8, porém, sua disposição é indicada para facilitar a montagem de barras 
longitudinais internas e para proporcionar resistência a esforços secundários que geralmente ocorrem, e 
que não são considerados no projeto.9 
 
 
7 Fendilhamento: ao se aplicar tensões de compressão, surgem também tensões de tração, perpendiculares às tensões de 
compressão aplicadas. Um exemplo muito simples é o ensaio de compressão diametral, para determinação da resistência do 
concreto à tração indireta. Ao se aplicar tensões de compressão ao longo do comprimento do corpo de prova, surgem tensões de 
tração perpendiculares às tensões de compressão, que causam a ruptura ou separação do corpo de prova em duas partes. Essas 
tensões de tração são chamadas tensões de fendilhamento, que originam o esforço de fendilhamento e a fissura de fendilhamento. 
8 Porém, os estribos dimensionados para a resistência ao momento de torção devem ser obrigatoriamente fechados. 
9 Como por exemplo aqueles oriundos da torção de compatibilidade, de diversas possíveis deformações no concreto (por variação 
de temperatura, retração, etc.), etc. 
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12 
5.6 TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH ( = 45) 
 
 Neste item são apresentadas as equações para as forças e tensões nas barras da treliça clássica, e no 
item 5.7 as equações desenvolvidas segundo a treliça generalizada. As equações segundo os dois modelos 
de treliça são a base para a dedução das equações contidas na NBR 6118, para o dimensionamento de 
elementos à força cortante. 
O comportamento da região da viga sob maior influência de forças cortantes e com fissuras 
inclinadas no Estádio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática 
(Figura 5.14). Cada barra da treliça representa uma parte de uma viga simples: o banzo inferior é a 
armadura longitudinal de tração, o banzo superior é o concreto comprimido pela flexão, as diagonais 
inclinadas de 45 representam o concreto comprimido (bielas de compressão) entre as fissuras de 
cisalhamento, e as diagonais tracionadas inclinadas os estribos (montantes verticais no caso de estribos 
verticais - Figura 5.14b). Essa treliça, também mostrada na Figura 5.16, é chamada “treliça clássica” 
(banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45). 
2 z fissura de cisalhamento z
 
 a) armadura transversal a 45; b) armadura transversal a 90. 
 
Figura 5.14 – Analogia clássica de treliça com as forças internas de uma viga na região próxima ao apoio. [9] 
 
A analogia clássica de viga fissurada com uma treliça isostática foi introduzida por RITTER em 
1899, e serviu para o entendimento do comportamento de vigas à força cortante no início do século 20. 
Este modelo de Ritter foi melhorado por Mörsch,[22,23,24] assumindo que as diagonais comprimidas 
estendem-se por mais de um estribo. Sobre a treliça, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: “A chamada 
treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado. 
Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais – estribos e 
barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe de ser abandonada ou considerada 
superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou complementações na teoria, mantendo no 
entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a 
treliça”. É válido afirmar que essas palavras continuam verdadeiras até o presente. 
 Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem qualquer possível fissura 
inclinada devido às forças cortantes, pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre os 
estribos for  2z para estribos inclinados a 45 e > z para estribos a 90 (Figura 5.14), onde z é o braço de 
alavanca da viga (distância entre as forças resultantes relativas ao banzo de concreto comprimido e à 
armadura longitudinal de tração). 
 Considerando-se a existência de múltiplos estribos, próximos entre si, pode-se imaginar a viga 
como sendo na realidade uma superposição de várias treliças isostáticas (treliça em malha, hiperestática - 
Figura 5.15), com cada treliça recebendo um quinhão de carga. Porém, por simplicidade, as forças nas 
barras são calculadas considerando-se apenas uma treliça simples. 
A NBR 6118 (item 17.4.1) preconiza que o dimensionamento de elementos lineares (como as 
vigas) à força cortante pode ser feito segundo “[...] dois modelos de cálculo que pressupõem a analogia 
com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares 
desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc .” 
A treliça clássica é a admitida pela NBR 6118 para o Modelo de Cálculo I (item 17.4.2.2), onde o 
ângulo  de inclinação das diagonais comprimidas (bielas de compressão) é fixo com valor de 45, e a 
treliça generalizada (item 5.7) é o modelo admitido para o Modelo de Cálculo II. 
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13 
R c
b
s
R
Rs R
cb
 
Figura 5.15 – A viga como uma superposição de treliças. [9] 
 
 Considere na Figura 5.16 uma viga biapoiada já fissurada (Estádio II), submetida a uma força 
concentrada P no meio do vão e que resulta força cortante constante, e onde é mostrada também a treliça 
isostática. A analogia dessa viga com a treliça clássica, com ângulo  de inclinação das diagonais 
comprimidas (bielas de compressão) de 45 e com diagonais tracionadas inclinadas de um ângulo , está 
mostrada na Figura 5.16. 
Sendo a treliça isostática, as forças nas barras podem ser determinadas considerando-se apenas as 
condições de equilíbrio dos nós, a partir da força cortante. Considerando a seção 1-1 da treliça sob atuação 
da força cortante V, a força na diagonal comprimida (biela de compressão - Rcb) é: 
 
 
cbR
V
45sen  Eq. 5.1 
4
5
°
V
cbR
1
1 
 
 
 V2
45sen
V
Rcb 

 Eq. 5.2 
V =
P
2
V =
2
P
P
V
V
 
 
45°
diagonal comprimida
P
V =
P
2
z ( 1 + cotg )
diagonaltracionada banzo tracionado
banzo comprimido
z
( 1 + cotg )
2
z
1
1
45°
V
 
Figura 5.16 – Viga representada segundo a treliça clássica de Ritter-Mörsch. 
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14 
A distância entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direção perpendicular a elas, é 
(Figura 5.16): 
  cotg1
2
z
 
 
A força em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na área de concreto (área da 
biela): 
bw .   cotg1
2
z
 
 
onde bw é a largura da seção transversal e  é o ângulo de inclinação das diagonais tracionadas. A tensão 
média de compressão na biela é então dada por: 
 
 
   



cotg1zb
V22
cotg1
2
z
b
R
w
w
cb
cb 
 
 

cotg1zb
V2
w
cb Eq. 5.3 
 
A força na diagonal tracionada (Rs,), inclinada do ângulo , pode ser determinada fazendo o 
equilíbrio da seção 1-1 da treliça (Figura 5.16): 
 
 


,sR
V
sen Eq. 5.4 

V
Rs,
 
 
 


sen
V
R ,s Eq. 5.5 
Cada diagonal de tração com força Rs, é relativa a um comprimento da viga, a distância z (1 + 
cotg ), medida na direção do eixo longitudinal, e deve ser resistida por uma armadura chamada 
transversal, composta por barras (estribos) espaçadas num comprimento s e inclinadas de um ângulo  
(Figura 5.17). 
z ( 1 + cotg )
s s s s s s s
Asw,
z ( 1 + cotg )
 
Figura 5.17 – Armadura transversal resistente à força em uma diagonal tracionada da treliça. 
 
Considerando Asw10 a área de aço de um estribo, a área total de armadura no comprimento 
z (1 + cotg ) é dada por: 
 
 
 
s
cotg1z
A ,sw

 
 
10 A área Asw é a soma das áreas das barras correspondentes aos ramos verticais do estribo. 
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15 
onde z (1 + cotg )/s representa o número de estribos nesse comprimento. A tensão sw na armadura 
transversal resulta: 
 
    






,sw,sw
,s
,sw
A
s
sencotg1z
V
s
cotg1zA
R
 

Asw,
s
 
 
  



,sw
,sw
A
s
cossenz
V
 
Eq. 5.6 
 
 O ângulo  de inclinação da armadura transversal pode variar teoricamente de 45 a 90, sendo 
que na esmagadora maioria dos casos da prática o ângulo adotado é de 90, com a armadura transversal 
consistindo de estribos na posição vertical. Porém, é interessante fazer algumas comparações com o ângulo 
 assumindo os valores de 45 e 90, o que é mostrado na Tabela 5.1. 
A equação que determina a tensão na diagonal comprimida (cb) mostra que o ângulo  de 
inclinação da armadura transversal influencia o valor da tensão na diagonal comprimida. Quando a 
armadura transversal é colocada na posição vertical, com  = 90, como a armadura fica inclinada com 
relação às tensões principais de tração I , a tensão na diagonal comprimida (biela de compressão) resulta o 
dobro da tensão para quando a armadura é colocada inclinada a 45. Conclui-se que, quanto mais inclinada 
for a armadura – até o limite de 45, menor será a tensão nas bielas de compressão. 
 
Tabela 5.1 - Resumo das relações para a treliça clássica em função do 
ângulo  de inclinação das diagonais tracionadas. 
Relação em função de   = 45  = 90 
Força na diagonal compri-
mida (Rcb) 
V2 V2 V2 
Tensão na diagonal 
comprimida (cb)   cotg1zb
V2
w
 
zb
V
w
 
zb
V
2
w
 
Força de tração na armadura 
transversal (Rs) sen
V
 
45sen
V
 V 
Tensão na armadura 
transversal (sw)    ,swA
s
cossenz
V
 
2A
s
z
V
45,sw
 
90,swA
s
z
V
 
 
O fato já enunciado da armadura transversal inclinada de 45 ser mais eficiente, por acompanhar a 
inclinação das tensões principais de tração I , fica evidenciado ao se comparar as equações da tensão na 
armadura transversal (sw). Nota-se que a armadura a 45 resulta 2 vezes menor que a armadura a 90. 
No entanto, a armadura transversal inclinada a 45 apresenta comprimento 2 vezes maior que a 
armadura a 90, o que resulta em consumos de armadura praticamente iguais. 
 
5.7 TRELIÇA GENERALIZADA ( variável) 
 
Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais verificou-se no século passado que 
a inclinação das fissuras é geralmente inferior a 45, e consequentemente as bielas de compressão têm 
inclinações menores que 45, podendo chegar a ângulos de 30 ou até menores com a horizontal, em 
função principalmente da quantidade de armadura transversal e da relação entre as larguras da alma e da 
mesa (em seções T e I por exemplo - Figura 5.18). Além disso, a treliça não considera a ação de arco nas 
proximidades dos apoios. Por não fazer essas considerações a treliça clássica de Ritter-Mörsch foi 
considerada conservadora, e resultar armadura transversal um pouco exagerada. 
 
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16 
- 30° - 38°
- 38° - 45°
a) treliça de alma espessa
b) treliça de alma delgada
PP
 
Figura 5.18 - Treliça generalizada para vigas seção T com alma espessa e alma delgada.[26] 
 
Para levar em conta a menor inclinação das fissuras surgiu, na década de 60, a chamada “treliça 
generalizada”, com ângulos  menores que 45 para a inclinação das diagonais comprimidas (Figura 5.19). 
A determinação correta do ângulo  para uma viga é muito complexa, porque depende de inúmeros fatores. 
A dedução das forças na treliça generalizada é semelhante àquela já apresentada para a treliça 
clássica. Sendo V a força cortante que atua na seção 1-1 da treliça (Figura 5.19), a força na diagonal 
comprimida (Rcb) é: 
 
 
cbR
V
sen  Eq. 5.7 
V
cbR
1
1

 
 
 


sen
V
Rcb Eq. 5.8 
diagonal comprimida
P
V =
2
diagonal tracionada

z
banzo tracionado
banzo comprimido
P

z(cotg + cotg )sen 
z(cotg + cotg )

1
1
V
 
Figura 5.19 - Treliça generalizada com diagonais comprimidas inclinadas com ângulo  
e armadura transversal inclinada com ângulo . 
 
A distância entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direção perpendicular a elas, é: 
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17 
z (cotg  + cotg ) sen  
 
A força em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na área de concreto (área da 
biela): 
bw . z (cotg  + cotg ) sen  
 
onde  é o ângulo de inclinação das diagonais tracionadas. A tensão média de compressão na biela é então 
dada por: 
 
  

sencotggcotzb
R
w
cb
cb 
 
  

2
w
cb
sencotggcotzb
V
 Eq. 5.9 
 
 A força na diagonal tracionada (Rs,) pode ser determinada fazendo o equilíbrio da seção 1-1 da 
treliça (Figura 5.19): 
 
 


,sR
V
sen Eq. 5.10 

V
Rs,
 
 
 


sen
V
R ,s Eq. 5.11 
 Cada diagonal de tração com força Rs, é relativa a um comprimento da viga, a distância 
z (cotg  + cotg ), medida na direção do eixo longitudinal da viga, e deve ser resistida por uma armadura 
transversal composta por barras (estribos) espaçadas num comprimento s e inclinadas de um ângulo . 
Considerando Asw a área de aço de um estribo, a área total de armadura no comprimento 
z (cotg  + cotg ) é dada por: 
 
 
 
s
gcot cotg z
A ,sw

 
 
onde z (cotg  + cotg )/s representa o números de estribos nesse comprimento. A tensão sw na armadura 
transversal resulta: 
 
 
s
cotggcotzA
R
sw
,s
,sw 


 

Asw,
s
 
 
  



,sw
,sw
A
s
sencotggcotz
V
 Eq. 5.12 
 
No modelo de treliça generalizada o ângulo  é uma incógnita no problema, sendo dependente de 
diversos fatores. Este é um assunto que vem sendo pesquisado, e nos modelos desenvolvidos por Collins, 
Mitchell e Vecchio[6,7] (CFT e MCFT), o ângulo  é determinado (calculado). 
 
 
 
UNESP – Bauru/SPDimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
18 
5.8 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 
 
A partir de março de 2003 uma nova versão da NBR 6118 entrou em vigor no Brasil, trazendo 
significativas mudanças em relação à sua versão anterior, a NB 1/78[27], quanto ao dimensionamento da 
armadura transversal para a resistência de elementos de Concreto Armado e Concreto Protendido à força 
cortante. A nova NBR 6118 manteve a hipótese básica da analogia de viga fissurada com uma treliça, de 
banzos paralelos. Porém, introduziu algumas inovações, como a possibilidade de considerar inclinações 
diferentes de 45 para as diagonais comprimidas (bielas de compressão), novos valores adotados para a 
parcela Vc da força cortante absorvida por mecanismos complementares de treliça, adoção da resistência do 
concreto à compressão para região fissurada (fcd2), constante no código MC-90 do CEB-FIP[28] e 
consideração de uma nova sistemática para verificação do rompimento das diagonais comprimidas, por 
meio da força cortante resistente de cálculo (VRd2) em substituição à tensão de cisalhamento última (wu). 
A norma dividiu o cálculo segundo dois modelos, os Modelos de Cálculo I e II. O Modelo de 
Cálculo I admite a chamada treliça clássica, com ângulo de inclinação das diagonais comprimidas () fixo 
em 45. Já o Modelo de Cálculo II considera a chamada treliça generalizada, onde o ângulo de inclinação 
das diagonais comprimidas pode variar entre 30 e 45. Aos modelos de treliça foi associada uma força 
cortante adicional Vc , proporcionada por mecanismos complementares ao de treliça. 
O Modelo de Cálculo I é semelhante ao método constante da versão anterior da norma (NB 
1/78[27]), porém, com alteração no valor da parcela Vc . Pode-se dizer que a nova metodologia introduzida 
pela NBR 6118 segue em linhas gerais o MC-90 do CEB-FIP[28] e o Eurocode 2[29], com algumas 
mudanças e adaptações. 
 A condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificados os Estados-
Limites Últimos, atendidas simultaneamente as duas condições seguintes: 
 
2RdSd VV  Eq. 5.13 
 
swc3RdSd VVVV  Eq. 5.14 
 
onde: VSd = força cortante solicitante de cálculo na seção; 
VRd2 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; 
VRd3 = Vc + Vsw = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; 
Vsw = parcela da força cortante solicitante resistida pela armadura transversal. 
 
Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça (ver 
Figura 5.6), não considerados no modelo de treliça tradicional, e difíceis de serem quantificados, sendo por 
isso adotados valores empíricos. Os três mecanismos principais de resistência são proporcionados por: 
 
a) banzo de concreto comprimido da flexão; 
b) engrenamento dos agregados ao longo das fissuras inclinadas; 
c) efeito de pino da armadura longitudinal. 
 
Os mecanismos complementares resultam: 1) o ângulo da tensão principal de compressão na alma 
é menor que o ângulo de inclinação das fissuras; 2) uma componente vertical da força ao longo da fissura 
que contribui para a resistência à força cortante, sendo esse mecanismo resistente chamado no ACI 318[25] 
como “contribuição do concreto” (Vc). 
 
5.8.1 Modelo de Cálculo I 
 
 No Modelo de Cálculo I a NBR 6118 (item 17.4.2.2) adota a treliça clássica de Ritter-Mörch, ao 
admitir o ângulo  de 45o entre as diagonais comprimidas de concreto (bielas de compressão) e o eixo 
longitudinal do elemento estrutural, e a parcela complementar Vc tem valor constante, independentemente 
da força cortante solicitante VSd . 
 
5.8.1.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto 
 
A equação que define a tensão de compressão nas bielas de concreto para a treliça clássica ( = 
45o) foi deduzida no item 5.6 (Eq. 5.3): 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
19 
 

cotg1zb
V2
w
cb 
 
A NBR 6118 limita a tensão de compressão nas bielas ao valor fcd2 , como definido no código MC-
90 do CEB.[28] O valor fcd2 atua como um fator redutor da resistência à compressão do concreto, quando há 
tração transversal por efeito de armadura e existem fissuras transversais às tensões de compressão (Figura 
5.20). O valor fcd2 é definido por: 
 
cd
ck
2cd f
250
f
160,0f 





 = cd2v f60,0  Eq. 5.15 
fissura
tensão de tração
de armadura
tensão < f cd2
 
Figura 5.20 – Tensão de compressão com tração transversal conforme o MC-90 do CEB.[28] 
 
A NBR 6118 (item 17.4.2.2) chama o fator 






250
f
1 ck de v2 . Na Eq. 5.3, substituindo o braço de 
alavanca z por 0,9d (d é a altura útil), cb por fcd2 e fazendo V como a máxima força cortante resistente 
(VRd2) correspondente à ruína das diagonais comprimidas de concreto, tem-se: 
 
 

cotg1d9,0b
V2
f60,0
w
2Rd
cd2v 
 
 
 
2
gcot1d9,0bf60,0
V wcd2v2Rd

 Eq. 5.16 
 
  gcot1dbf27,0V wcd2v2Rd Eq. 5.17 
 
A inclinação da armadura transversal () deve estar compreendida entre 45 e 90. Fazendo  
igual a 90 para estribo vertical, a Eq. 5.17 fica: 
 
dbf27,0V wcd2v2Rd  Eq. 5.18 
 
com 
250
f
1 ck2v  , (fck em MPa): 
 
dbf
250
f
127,0V wcd
ck
2Rd 





 Eq. 5.19 
 
Portanto, conforme a Eq. 5.13, para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas deve-
se ter: 2RdSd VV  
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
20 
5.8.1.2 Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Da Eq. 5.14 (VSd  VRd3), fazendo a força cortante de cálculo (VSd) igual à máxima força cortante 
resistente de cálculo, relativa à ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se: 
swc3RdSd VVVV  
 
A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de 
treliça é definida como: 
 
a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção 
 
Vc = 0 
 
b) na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção 
 
Vc = Vc0 
 
dbf6,0V wctd0c  Eq. 5.20 
 
sendo fctd a resistência de cálculo do concreto à tração direta, e avaliado por: 
 
3 2
ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 Eq. 5.21 
 
com fck em MPa. 
 
 A força Vc0 representa a resistência à força cortante de uma viga sem estribos, ou seja, é a máxima 
força cortante que uma viga sem estribos pode resistir. 
 
c) na flexo-compressão 
 
0c
máx,Sd
0
0cc V2
M
M
1VV 








 Eq. 5.22 
onde: 
bw = menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d11; 
d = altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura 
de tração12; 
s = espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw , medido segundo o eixo longitudinal 
do elemento estrutural; 
fywd = tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70 % 
desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 
435 MPa13; 
 ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento 
estrutural, podendo-se tomar 4590; 
M0 = momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por 
Md,máx), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd , sendo essa 
tensão calculada com valores de f e p iguais a 1,0 e 0,9, respectivamente; os momentos 
correspondentes a essas forças normais não podem ser considerados no cálculo dessa tensão, pois 
são considerados em MSd ; devem ser considerados apenas os momentos isostáticos de protensão; 
 
11 No caso de elementos protendidos, consultar o item 17.4.2.2 da NBR 6118; 
12 No caso de elementos protendidos, consultar o item 17.4.2.2 da NBR 6118; 
13 “no caso de armaduras transversais ativas, o acréscimo detensão devida à força cortante não pode ultrapassar a diferença 
entre fpyd e a tensão de protensão, nem ser superior a 435 MPa;” (NBR 6118, item 17.4.2.2). 
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21 
MSd,máx = momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de 
maior valor no semitramo considerado (para esse cálculo não se consideram os momentos 
isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos). 
 
 Com o valor de Vc conhecido, da Eq. 5.14 calcula-se a parcela da força cortante a ser resistida pela 
armadura transversal: 
 
cSdsw VVV  Eq. 5.23 
 
A equação que define a tensão na diagonal tracionada para a treliça clássica ( = 45o) foi deduzida 
no item 5.6 (Eq. 5.6): 
  



,sw
,sw
A
s
cossenz
V
 
 
Substituindo z por 0,9d, V por Vsw , e fazendo sw, igual à máxima tensão admitida na armadura 
(fywd), a Eq. 5.6 modifica-se para: 
 
  

,sw
sw
ywd
A
s
cossend9,0
V
f Eq. 5.24 
 
)cossen(fd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw



 Eq. 5.25 
 
A NBR 6118 (item 17.4.2.2) limita a tensão fywd ao valor de fyd para armadura transversal passiva 
constituída por estribos, e a 70 % de fyd quando forem utilizadas barras dobradas inclinadas, não se 
tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Portanto, para estribos tem-se: 
 
 435
15,1
ff
ff
yk
s
yk
ydywd 

 MPa 
 
 A tensão máxima imposta pela norma refere-se ao aço CA-50, pois fyd = 50/1,15 = 435 MPa. No 
caso do dimensionamento do estribo ser feito com o aço CA-60, esta tensão máxima também deve ser 
obedecida, ou seja, deve-se calcular como se o aço fosse o CA-50. 
 A inclinação dos estribos deve obedecer à condição 
oo 9045  . Para estribo inclinado a 45 e a 
90 a Eq. 5.25 fica respectivamente igual a: 
 
ywd
sw45,sw
fd27,1
V
s
A
 Eq. 5.26 
 
ywd
sw90,sw
fd9,0
V
s
A
 Eq. 5.27 
 
 No caso de serem utilizados os aços CA-50 ou CA-60 e armadura transversal somente na forma de 
estribos, fywd assume o valor de 43,5 kN/cm2, que aplicado às Eq. 5.26 e Eq. 5.27 encontram-se: 
 
d4,55
V
s
A
sw45,sw  Eq. 5.28 
 
d2,39
V
s
A
sw90,sw  Eq. 5.29 
 
com: Asw = cm2/cm, Vk = kN e d = cm. 
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22 
 É importante observar que 
s
Asw é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga e 
Asw é a área de todos os ramos verticais do estribo. 
 Para estribo de dois ramos, que é o tipo aplicado na grande maioria das vigas, Asw equivale à área 
dos dois ramos verticais do estribo. Para estribos com três ou quatro ramos, Asw é a área de todos os três ou 
quatro ramos verticais do estribo (Figura 5.21). 
Asw Asw
 
Figura 5.21 – Área Asw de estribos de três e quatro ramos. 
 
 
5.8.2 Modelo de Cálculo II 
 
No Modelo de Cálculo II a NBR 6118 (item 17.4.2.3) admite que o ângulo de inclinação das 
diagonais de compressão () varie livremente entre 30o e 45o e que a parcela complementar Vc sofra 
redução com o aumento de VSd. Ao admitir ângulos  inferiores a 45 a norma adota a chamada “treliça 
generalizada”, como mostrada no item 5.7. 
 
5.8.2.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto 
 
Conforme a Eq. 5.9, no item 5.7 foi deduzida a expressão para a tensão nas bielas de concreto para 
a treliça com diagonais comprimidas inclinadas de um ângulo : 
 
 
  

2
w
cb
sengcotgcotzb
V
 
 
 A norma limita a tensão nas bielas comprimidas ao valor fcd2 , como apresentado no item 5.8.1.1. O 
valor fcd2 , apresentado na Eq. 5.15, é: 
 
 cd
ck
2cd f
250
f
160,0f 





 , com fck em MPa. 
 
Chamando o fator 






250
f
1 ck de v2 e substituindo z por 0,9 d, cb por fcd2 e V pela máxima força 
cortante resistente de cálculo (VRd2), a Eq. 5.9 transforma-se em: 
 
 
  

2
w
2Rd
cd2v
sengcotgcotd9,0b
V
f60,0 
 
Isolando VRd2 fica: 
 
  gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd Eq. 5.30 
 
e substituindo v2 : 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
23 
 





 gcotgcotsendbf
250
f
154,0V 2wcd
ck
2Rd Eq. 5.31 
 
 Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas, conforme a Eq. 5.13 deve-se ter: 
 
2RdSd VV  
 
5.8.2.2 Cálculo da Armadura Transversal 
 
Da Eq. 5.14, fazendo a cortante de cálculo (VSd) igual à máxima cortante resistente de cálculo, 
relativa à ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se: 
 
swc3RdSd VVVV  
 
 A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de 
treliça é definida como: 
 
a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção 
 
Vc = 0 
 
b) na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção 
 
Vc = Vc1 
 
c) na flexo-compressão 
 
1c
máx,Sd
0
1cc V2
M
M
1VV 








 Eq. 5.32 
 
 Para a determinação de Vc em função de Vc1 , a seguinte lei de variação para Vc1 deve ser 
considerada: 
 
Vc1 = Vc0  para VSd  Vc0 
e 
Vc1 = 0  para VSd = VRd2 
Eq. 5.33 
 
interpolando-se linearmente para valores intermediários de Vc1 . A Eq. 5.20 apresentou a parcela Vc0 : 
 
dbf6,0V wctd0c  
 
com: 3
2
ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 , (fck em MPa) 
 
 Na Figura 5.22 é mostrado um gráfico que mostra a variação de Vc1 com VSd , onde, quando VSd for 
maior que Vc0 , a força Vc1 pode ser calculada com: 
 
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c
VV
VV
VV


 Eq. 5.34 
 
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24 
VSd < Vc0
VRd20
VSd
Vc1
VSd < Vc0
Vc0
Vc1
Vc0 VSd
VRd2 - Vc0
VRd2 - VSd
< V <SdVc0 VRd2
 
Figura 5.22 – Gráficos demonstrativos da variação entre Vc1 e VSd . 
 
 Com o valor de Vc1 conhecido, nas vigas submetidas à flexão simples faz-se Vc = Vc1 , e aplicando 
a Eq. 5.14 calcula-se a parcela Vsw da força cortante a ser resistida pela armadura transversal, de modo 
semelhante à Eq. 5.23: 
 
cSdsw VVV  
 
A equação que define a tensão na diagonal tracionada para a treliça com ângulo de inclinação das 
diagonais comprimidas igual a  foi deduzida no item 5.7 ( Eq. 5.12): 
  



,sw
,sw
A
s
sencotggcotz
V
 
 
limitando sw, à máxima tensão admitida na armadura (fywd) e fazendo V = Vsw e z = 0,9d, tem-se: 
 
  



,sw
sw
ywd,sw
A
s
sencotggcotd9,0
V
f 
 
Isolando Asw/s encontra-se a equação para cálculo da armadura transversal: 
 
  


sencotggcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw Eq. 5.35 
 
onde: s = espaçamento dos estribos; 
 Asw, = área de todos os ramos verticais do estribo; 
  = ângulo de inclinação dos estribos, 
oo 9045  ; 
  = ângulo de inclinação das bielas de compressão 
oo 4530  ; 
fywd = tensão máxima no estribo: 
 
435
15,1
ff
f
yk
s
yk
ywd 

 MPa, para qualquer tipo de aço. 
 
5.8.3 Lajes e Elementos Lineares com bw  5d 
 
A força cortante em lajes e elementos lineares com bw  5d é verificada no item 19.4 da NBR 
6118. A norma faz distinção entre laje sem e com armadura transversal para a força cortante. 
 
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25 
5.8.3.1 Lajes sem Armadura para Força Cortante 
 
“As lajes maciças ou nervuradas, conforme 17.4.1.1.2-b), podem prescindir de armadura 
transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante, quando a força cortante de 
cálculo, a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão:” (NBR 6118, 19.4.1) 
 
1RdSd VV  Eq. 5.36 
 
onde VSd é a força cortante de cálculo e a força cortante máxima VRd1 é: 
 
   db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd  Eq. 5.37 
 
onde: 
c
Sd
cp
A
N
 Eq. 5.38 
 
NSd = força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão com sinal 
positivo). 
 
 Não existindo a protensão ou força normal que cause a compressão, a Eq. 5.37torna-se: 
 
   db402,1kV w1Rd1Rd  Eq. 5.39 
 
Rd = 0,25 fctd Eq. 5.40 
 
fctd = fctk,inf / c 
 
db
A
w
1s
1  , não maior que |0,02| Eq. 5.41 
 
bw = largura mínima da seção ao longo da altura útil d; 
k = coeficiente que tem os seguintes valores: 
 
- para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = |1|; 
- para os demais casos: k = |1,6 – d|, não menor que |1|, com d em metros. 
 
onde: Rd = tensão resistente de cálculo do concreto à força cortante (ou cisalhamento conforme a 
norma); 
As1 = área da armadura de tração que se estende até não menos que d + b,nec além da seção 
considerada (Figura 5.23); com b,nec definido como (NBR 6118, 9.4.2.5): 
 
mín,b
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  Eq. 5.42 
 
onde:  = 1,0 para barras sem gancho; 
  = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho  3; 
 = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9.4.2.2 da norma; 
 = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9.4.2.2 da norma e gancho 
com cobrimento normal no plano normal ao do gancho  3; 
b = comprimento de ancoragem básico, mostrado na Tabela A-2 e Tabela A-3 (NBR 6118, 
9.4.2.4); 
As,calc = área da armadura calculada; 
As,ef = área da armadura efetiva. 
 
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26 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 Eq. 5.43 
 As
45° 45°
sd
  
d
 Vsd
45°
b,nec 
b, necb, nec
d
s A
s A
 V
 Seção considerada
 
Figura 5.23 – Comprimento de ancoragem necessário para as armaduras nos apoios. 
 
5.8.3.2 Lajes com Armadura para Força Cortante 
 
 No caso de se projetar a laje com armadura transversal para a força cortante, a NBR 6118 
recomenda que sejam seguidos os critérios apresentados em 17.4.2, que trata do dimensionamento de vigas 
à força cortante, assunto que será estudado na disciplina Estruturas de Concreto II. 
A tensão nos estribos deve ser (NBR 6118, 19.4.2): “A resistência dos estribos pode ser 
considerada com os seguintes valores máximos, sendo permitida interpolação linear: 
- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; 
- 435 MPa (fywd), para lajes com espessura maior que 35 cm.” 
 
5.9 ARMADURA MÍNIMA 
 
GARCIA[30] afirma que uma armadura transversal mínima deve ser colocada nas vigas a fim de 
atender os seguintes objetivos: 
a) na eventualidade de serem aplicados carregamentos não previstos no cálculo, as vigas não apresentem 
ruptura brusca logo após o surgimento das primeiras fissuras inclinadas; 
b) limitar a inclinação das bielas e a abertura das fissuras inclinadas; 
c) evitar a flambagem da armadura longitudinal comprimida. 
 
Conforme a NBR 6118 (item 17.4.1.1.1), em todos os elementos lineares submetidos à força 
cortante, com exceção dos casos indicados na sequência, deve existir uma armadura transversal mínima, 
constituída por estribos com a seguinte taxa geométrica: 
 
ywk
m,ct
w
sw
sw
f
f
2,0
sensb
A


 Eq. 5.44 
onde: 
Asw = área da seção transversal total de cada estribo, compreendendo todos os seus ramos verticais; 
 s = espaçamento dos estribos; 
 = ângulo de inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural; 
 bw = largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção; 
 fywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal, valor característico; 
 fct,m = resistência média à tração do concreto. 
 
 Isolando Asw/s na Eq. 5.44 e fazendo como armadura mínima fica: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
27 
 senb
f
f2,0
s
A
w
ywk
m,ctmín,sw
 Eq. 5.45 
 
Para estribo vertical ( = 90) e com o espaçamento s de 100 cm, a armadura mínima fica: 
 
w
ywk
m,ct
mín,sw b
f
f20
A  Eq. 5.46 
 
com: Asw,mín = área da seção transversal de todos os ramos verticais do estribo (cm2/m); 
bw em cm; 
fywk em kN/cm2. 
 
A resistência fct,m deve ser aplicada em kN/cm2 e calculada como: 
 
3 2
ckm,ct f3,0f  , fck em MPa 
 
 As exceções indicadas pela NBR 6118 (17.4.1.1.2), que não necessitam conter a armadura mínima 
indicada na Eq. 5.46, são: 
 
“a) os elementos estruturais lineares com bw >5d (em que d é a altura útil da seção), caso que deve ser 
tratado como laje (ver 19.4); 
b) as nervuras de lajes nervuradas, descritas em 13.2.4.2-a) e b), que também podem ser verificadas como 
lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado, 
podendo ser dispensada a armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1; 
c) os pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à compressão, que atendam 
simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações em estado-limite último, calculada a seção 
em Estádio I, às condições seguintes: 
- em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tensão fctk ; 
- VSd ≤ Vc , sendo Vc definido em 17.4.2.2. 
 
Nesse caso, a armadura transversal mínima é a definida na Seção 18.” 
 
5.10 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
 
Segundo os itens 17.4.1.1.3 e 17.4.1.1.4 da NBR 6118, a armadura transversal (Asw) pode ser 
constituída por estribos, combinados ou não com barras dobradas ou barras verticais soldadas. Os estribos 
devem envolver a armadura longitudinal e serem fechados na região de apoio das diagonais comprimidas. 
Quando forem utilizadas barras dobradas ou barras verticais soldadas, estas não podem resistir mais do que 
60 % da força cortante total resistida pela armadura. As barras soldadas devem ser ancoradas conforme o 
item 9.4.6.2 da norma, e quando combinadas com estribos em proporção menor que 60 %, os elementos 
longitudinais soldados devem obrigatoriamente constituir a totalidade da armadura longitudinal de tração. 
No item 18.3.3.1 consta que os estribos podem ser combinados também com telas soldadas, além das 
barras dobradas. 
 A combinação de estribos e barras dobradas em vigas era muito comum no Brasil até cerca de 40 
anos atrás, mas deixou de ser aplicada porque a armadura consistida apenas por estribos é mais simples e 
econômica. SÜSSEKIND[31] apresenta razões que justificam a não aplicação de barras dobradas, também 
chamadas cavaletes. No item 18.3.3.3 a NBR 6118 apresenta prescrições no caso de uso de barras 
dobradas. Barras verticais soldadas também não são usuais na prática brasileira. 
No item 18.3.3.2 a NBR 6118 acrescenta que “Os estribos para forças cortantes devem ser 
fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e 
ancorados na face oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo 
horizontal nessa região, ou complementado por meio de barra adicional.” 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
28 
5.10.1 Diâmetro do Estribo 
 
 As prescrições para o diâmetro do estribo (t) são (NBR 6118, 18.3.3.2): 
 
5 mm  t  bw/10 Eq. 5.47 
 
- “quando a barra for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm”; 
- para “estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4,2 
mm, desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura.” 
 
5.10.2 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos 
 
“O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento 
estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da 
massa.” (NBR 6118, 18.3.3.2). Adotando-se uma folga de 1 cm para a passagem da agulha do vibrador, o 
espaçamento mínimo fica: 
 
s  vibr + 1 cm Eq. 5.48 
 
A fim de evitar que uma fissura não seja interceptada por pelo menos um estribo, os estribos não 
devem ter um espaçamento maior que um valor máximo, estabelecido conforme as seguintes condições 
(NBR 6118, 18.3.3.2): 
 







cm20d3,0sV67,0
cm30d6,0sV67,0
Vmáx2Rd
máx2Rd
Sd Eq. 5.49 

5.10.3 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo 

O espaçamento transversal (st) entre os ramos verticais sucessivos dos estribos não pode exceder 
os seguintes valores (NBR 6118, 18.3.3.2): 








cm35d6,0sV20,0
cm80dsV20,0
V
máx,t2Rd
máx,t2Rd
Sd Eq. 5.50 
 
O espaçamento transversal (st,máx) serve para definir qual o número de ramos verticais deve ser 
especificado para os estribos, principalmente no caso de estribos de vigas largas. 
Nas vigas correntes das construções, com larguras geralmente até 30 cm, o estribo mais comum de 
ser aplicado é o de dois ramos verticais, que é simples de ser feito e amarrado com as barras longitudinais 
de flexão. Porém, em vigas largas, como vigas de equilíbrio em fundações de edifícios, vigas de pontes, 
vigas com grandes vãos, etc., se a distância entre os ramos verticais do estribo supera o espaçamento 
máximo permitido, a solução é aumentar o número de ramos, geralmente fazendo ramos pares, pois assim 
os estribos podem ser idênticos. O maior número de ramos é obtido pela sobreposição dos estribos na 
mesma seção transversal, como mostrado na Figura 5.21 para quatro ramos. 
Vigas largas, com larguras maiores que aproximadamente 40 cm, devem ter estribos com mais de 
dois ramos verticais, sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos, que oferece a vantagem de 
ser montado sobrepondo-se dois estribos idênticos de dois ramos. No caso do estribo com três ramos é 
colocada uma barra adicional no espaço entre os ramos de um estribo convencional com dois ramos 
(Figura 5.24). 
 
5.10.4 Emenda do Estribo 
 
“As emendas por traspasse são permitidas apenas quando os estribos forem constituídos por telas 
ou por barras de alta aderência.” (NBR 6118, item 18.3.3.2). 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
29 
 
Figura 5.24 – Estribos com três e com quatro ramos verticais. 
 
5.10.5 Ancoragem do Estribo 
 
“A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras 
longitudinais soldadas.” (NBR 6118, item 9.4.6). 
 Os ganchos dos estribos, conforme a NBR 6118 (item 9.4.6.1), podem ser (ver Figura 5.25): 
“a) semicirculares ou em ângulo de 45 (interno), com ponta reta de comprimento igual a 
5 t , porém não inferior a 5 cm; 
b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t , porém não inferior a 7 cm (este 
tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios lisos).” 
 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao valor apresentado na 
Tabela 5.2. 
 
Tabela 5.2 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos (Tabela 9.2 da NBR 6118). 
Bitola (mm) 
Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
 10 3 t 3 t 3 t 
10 <  < 20 4 t 5 t - 
 20 5 t 8 t - 
 
 
No item 9.4.6.2 a NBR 6118 prescreve como deve ser a ancoragem de estribos por meio de barras 
transversais soldadas, e em 9.4.7 a ancoragem por meio de dispositivos mecânicos. 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
30 
D
D

t
5  5 cmt

t
t10 7 cm

t
45°
5 5 cmt
D
 
Figura 5.25 – Tipos de ganchos para os estribos. 
 
5.11 EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS 
 
Com base na formulação contida na NBR 6118 e deduzida nos itens precedentes, desenvolvem-se 
a seguir equações um pouco mais simples com o objetivo de automatizar o dimensionamento das 
armaduras transversais para as vigas de Concreto Armado, submetidas à flexão simples. O uso dessas 
equações torna o cálculo mais simples e rápido, facilitando o trabalho manual. Na sequência, as equações 
teóricas dos Modelos de Cálculo I e II são remanejadas e simplificadas. 
 
5.11.1 Modelo de Cálculo I 
 
 O modelo de cálculo I assume a treliça clássica, com o ângulo de inclinação das diagonais 
comprimidas  = 45. 
 
5.11.1.1 Força Cortante Máxima 
 
Para verificar se ocorrerá ou não o esmagamento das bielas de compressão, considera-se a situação 
limite 2RdSd VV  , a partir das Eq. 5.13 e Eq. 5.18: 
 
dbf27,0V wcd2v2Rd  
 
Com 
250
f
1 ck2v  , c = 1,4 e estribo vertical ( = 90), resulta a equação para VRd2 : 
 
dbf
250
f
1027,0V wcd
ck
2Rd 





 Eq. 5.51 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
31 
com 
c
ck
cd
f
f

 e fck em MPa e VRd2 em kN. 
 
Se VSd  VRd2 não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. 
 
 Na Tabela 5.3 encontram-se equações de VRd2 em função da resistência característica do concreto 
(fck). 
 
5.11.1.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima 
 
A força cortante correspondente à armadura mínima (VSd,mín) pode ser obtida por meio da 
igualdade: 
s
A
s
A
swmín,sw  Eq. 5.52 
 
Conforme as Eq. 5.25 e Eq. 5.44 tem-se: 
 
)cossen(fd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw



 Eq. 5.53 
 
 senb
s
A
wmín,sw
mín,sw
 Eq. 5.54 
 
Aplicando a Eq. 5.53 e a Eq. 5.54 na Eq. 5.52 e fazendo o ângulo  igual a 90 (estribo vertical): 
 
)90cos90sen(fd9,0
V
90senb
ywd
mín,sw
wmín,sw

 Eq. 5.55 
 
ou ainda, 
ywdwmín,swmín,sw fd9,0bV  Eq. 5.56 
 
Sendo a taxa de armadura mínima dada por: 
 
ywk
3 2
ck
ywk
ctm
mín,sw
f
f3,0
2,0
f
f
2,0  Eq. 5.57 
 
a Eq. 5.56 passa a ser escrita em função das resistências características do concreto e do aço: 
 
15,1
f
d9,0b
f10
f
06,0V
ywk
w
ywk
3 2
ck
mín,sw  Eq. 5.58 
 
 O fator dez no denominador da Eq. 5.58 é para transformar o resultado de MPa para kN/cm2, dado 
que fck deve ser aplicado em MPa. Fazendo as simplificações na Eq. 5.58 obtém-se a Eq. 5.59, referente à 
resistência da viga correspondente à armadura mínima, em função da resistência característica do concreto: 
 
3 2
ckwmín,sw fdb0047,0V  Eq. 5.59 
 
Fazendo Vc = Vc0 na Eq. 5.14 (VSd = Vc + Vsw) de verificação do Estado-Limite Último (ELU), 
tem-se: 
mín,sw0cmín,Sd VVV  
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
32 
Substituindo-se as expressões de Vc0 e de Vsw,mín , Eq. 5.20 e Eq. 5.59, respectivamente, resulta: 
 






 0047,0
10.4,1
3,0.7,0.6,0
fdbV 3
2
ckwmín,Sd Eq. 5.60 
 
ou ainda, 
3 2
ckwmín,Sd fdb0137,0V  Eq. 5.61 
 
com fck em MPa e VSd,mín em kN. 
 
 A força cortante solicitante de cálculo deve ser comparada com a força VSd,mín e: 
 
Se VSd  VSd,mín  utiliza-se armadura transversal mínima; 
 
Se VSd > VSd,mín  calcula-se a armadura transversal para VSd . 
 
 Na Tabela 5.3 encontram-se apresentadas as equações para VSd,mín em função da resistência 
característica fck dos concretos do Grupo I normalizados pela NBR 8953.[32] 
 
5.11.1.3 Armadura Transversal 
 
Para a determinação da armadura transversal necessária, também em função da resistência do 
concreto, pode-se retomar a Eq. 5.25: 
 
)cossen(fd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw



 
 
e, como cSdsw VVV  , considerando-se também fywd = 435 MPa (aços CA-50 e CA-60), 
s = 100 cm e estribo vertical ( = 90), obtém-se: 
 
)90cos90sen(5,43.d.9,0
dbf6,0V
100
A
oo
wctdSdsw


 Eq. 5.62 
 
ou ainda, simplificando-se: 
 
3 2
ckw
Sd
90,sw fb023,0
d
V
55,2A  Eq. 5.63 
 
com fck em MPa e Asw em cm2/m. 
 A Tabela 5.3 mostra a Eq. 5.51, Eq. 5.61 e Eq. 5.63, para VRd2 , VSd,mín e Asw respectivamente, em 
função da resistência característica do concreto à compressão (fck), somente para os concretos do Grupo I 
de resistência (do concreto C20 ao C50). Entrando com bw e d em cm e VSd em kN, resultam VRd2 e VSd,mín 
em kN e Asw em cm2/m. 
Nota-se que os coeficientes de segurança c e s , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, já 
estão considerados nas equações constantes da Tabela 5.3. As equações são válidas para os aços CA-50 e 
CA-60, e para a solicitação de flexão simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
33 
Tabela 5.3 – Equações simplificadas segundo o Modelo de CálculoI para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo I 
 (estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples). 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20 db35,0 w db101,0 w w
Sd b17,0
d
V
55,2  
C25 db43,0 w db117,0 w w
Sd b20,0
d
V
55,2  
C30 db51,0 w db132,0 w w
Sd b22,0
d
V
55,2  
C35 db58,0 w db147,0 w w
Sd b25,0
d
V
55,2  
C40 db65,0 w db160,0 w w
Sd b27,0
d
V
55,2  
C45 db71,0 w db173,0 w w
Sd b29,0
d
V
55,2  
C50 db77,0 w db186,0 w w
Sd b31,0
d
V
55,2  
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm; 
 
 
5.11.2 Modelo de Cálculo II 
 
Processo semelhante ao desenvolvido para o Modelo de Cálculo I pode ser aplicado ao Modelo II 
com o intuito de definir equações simplificadoras. 
 
5.11.2.1 Força Cortante Última 
 
Para a verificação do esmagamento das bielas de compressão, considera-se a situação limite 
2RdSd VV  , a partir da Eq. 5.13 aplicada na Eq. 5.30: 
 
  gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd 
 
Com 
250
f
1 ck2v  , c = 1,4 e estribo vertical ( = 90), resulta a equação para VRd2 : 
 






 cossendbf
250
f
1054,0V wcd
ck
2Rd
 
Eq. 5.64 
com 
c
ck
cd
f
f

 e fck em MPa. 
 
 Deve ser considerada a condição necessária: 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
34 
Se VSd  VRd2 não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. 
 
Na Tabela 5.4 encontram-se apresentadas equações mais simples para VRd2 , em função da 
resistência característica do concreto (fck). 
 
5.11.2.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima 
 
A força cortante correspondente à armadura mínima (VSd,mín) pode ser obtida por meio da 
igualdade, resultante da Eq. 5.14: 
 
mín,swcmín,Sd VVV  Eq. 5.65 
 
Das Eq. 5.35 e Eq. 5.45: 
 
    sencotggcotfd9,0
s
A
V ywd
,sw
sw 
 
 senb
f
f3,0
2,0
s
A
w
ywk
3 2
ckmín,sw
 
 
aplicando a armadura mínima na Eq. 5.35 fica: 
 
   sencotggcot
15,1
f
d9,0senb
f.10
f3,0
2,0V
ywk
w
ywk
3 2
ck
mín,sw Eq. 5.66 
 
Para estribo vertical ( = 90) a Eq. 5.66 fica: 
 
 gcotdbf0047,0V w
3 2
ckmín,sw Eq. 5.67 
 
Sendo Vc = Vc1 (item 5.8.2.2) e aplicando a Eq. 5.67 na Eq. 5.65 tem-se a força cortante mínima, 
referente à resistência da viga com a armadura mínima, em função da resistência característica do concreto: 
 
 gcotfdb0047,0VV 3
2
ckw1cmín,Sd Eq. 5.68 
 
com fck em MPa. 
 
 A força cortante solicitante de cálculo deve ser comparada com a força VSd,mín e: 
 
Se VSd  VSd,mín  utiliza-se armadura transversal mínima; 
 
Se VSd > VSd,mín  calcula-se a armadura transversal para VSd . 
 
 Na Tabela 5.4 encontram-se apresentadas as equações para VSd,mín em função da resistência 
característica fck do concreto. 
 
5.11.2.3 Armadura Transversal 
 
Para a determinação da armadura transversal necessária, também em função da resistência do 
concreto à compressão, pode-se retomar a Eq. 5.35: 
 
  


sencotggcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
35 
e, como 1cSdsw VVV  (Eq. 5.23, com Vc = Vc1 na flexão simples), considerando-se também fywd = 435 
MPa (aços CA-50 e CA-60), s = 100 cm e estribo vertical ( = 90), obtém-se: 
 



gcot5,43.d.9,0
VV
100
A
1cSd90,sw 
 
ou, ainda, simplificando-se: 
 
 



gcot.d
VV
55,2A 1cSd90,sw Eq. 5.69 
 
com d em cm, VSd e Vc1 em kN e Asw em cm2/m. 
 
A parcela Vc1 sai da Eq. 5.34 já definida: 
 
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c
VV
VV
VV


 
 
 A Tabela 5.4 mostra a Eq. 5.64, Eq. 5.68 e Eq. 5.69, para VSRd2 , VSd,mín e Asw respectivamente, em 
função da resistência característica do concreto à compressão (fck), somente para os concretos do Grupo I 
de resistência (do concreto C20 ao C50). Entrando com bw e d em cm e VSd e Vc1 em kN, resultam VRd2 e 
VSd,mín em kN e Asw em cm2/m. 
Nota-se que os coeficientes de segurança c e s , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, já 
estão considerados nas equações constantes da Tabela 5.4. As equações são válidas para os aços CA-50 e 
CA-60, e para a solicitação de flexão simples. 
 
Tabela 5.4 – Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo II 
(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples) 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20  cos.sen.d.b71,0 w 1cw Vgcot.d.b.035,0  
 
 
 
 
 
 
d
VV
tg55,2 1cSd

 
C25  cos.sen.d.b87,0 w 1cw Vgcot.d.b.040,0  
C30  cos.sen.d.b02,1 w 1cw Vgcot.d.b.045,0  
C35  cos.sen.d.b16,1 w 1cw Vgcot.d.b.050,0  
C40  cos.sen.d.b30,1 w 1cw Vgcot.d.b.055,0  
C45  cos.sen.d.b42,1 w 1cw Vgcot.d.b.059,0  
C50  cos.sen.d.b54,1 w 1cw Vgcot.d.b.064,0  
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm;  = ângulo de inclinação das bielas de compressão (); 
VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN; 
 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
36 
5.12 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE 
COMPRESSÃO () 
 
Segundo LEONHARDT e MÖNNIG[9], “A forma da seção transversal tem uma forte influência 
sobre o comportamento resistente de vigas de concreto armado, solicitadas à força cortante.” 
 Investigações experimentais mostraram que, após iniciado o processo de fissuração na viga, ocorre 
uma redistribuição dos esforços internos, proporcional à rigidez, principalmente das diagonais de 
compressão e do banzo comprimido. No caso de seção retangular, por exemplo, as diagonais de 
compressão são rígidas em relação ao banzo comprimido, o qual inclina-se em direção ao apoio, criando o 
efeito de arco atirantado na viga, como indicado na Figura 5.7. O banzo comprimido, ao inclinar-se em 
direção ao apoio pode até mesmo absorver toda a força transversal, por meio de sua componente vertical, 
como indicada na Figura 5.26. 
 A rigidez das barras da treliça depende das quantidades de armaduras longitudinal e transversal, 
mas principalmente das áreas de concreto que formam o banzo comprimido e as diagonais de compressão, 
expressa simplificadamente pela relação b/bw , como indicado na Figura 5.26. 
 Com a diminuição da relação b/bw ocorre um aumento da inclinação da força no banzo comprimido 
e uma diminuição da inclinação das diagonais comprimidas (diminuição de ) e, como consequência, os 
esforços de tração na alma diminuem progressivamente em comparação àqueles calculados segundo a 
treliça clássica. 
R
P
cc
ccR ~~ V
ccR
P
Rs Rcb
h f
b
bw
ccR
~ V~
 
Figura 5.26 – Efeito de arco em viga de seção retangular e seção T com inclinação 
do banzo comprimido em direção ao apoio. [9] 
 
Os ensaios experimentais realizados na Alemanha[9] mostraram também que “a inclinação das 
fissuras de cisalhamento ou das diagonais comprimidas varia com a relação b/bw ; essa inclinação situa-se 
em torno de 30 para b/bw = 1 e cresce para cerca de 45 para b/bw = 8 a 12. As diagonais de compressão 
que possuem uma inclinação menor que 45 conduzem a esforços de tração na alma de menor valor.” 
 Dessas constatações feitas em diversos ensaios experimentais pode-se concluir pela indicação de 
considerar ângulos  inferiores a 45 quando do dimensionamento de vigas de seção retangular, isto é, 
segundo LEONHARDT e MÖNNIG[9], podem ser adotados valores para  em torno de 30. 
 No caso de seções com banzos comprimidos mais rígidos, como seções em forma de T, I, etc., a 
força no banzo comprimido inclina-se pouco, e o ângulo de inclinação das fissuras de cisalhamento tende a 
aumentar para 45, e pode-se adotar  de 45 ou pouco menor, conforme a relação b/bw . 
 
5.13 REDUÇÃODA FORÇA CORTANTE 
 
 Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos mostram que o modelo de treliça 
desenvolvido para as vigas é efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios, pois se constatou 
que os estribos muito próximos aos apoios apresentam tensão menor que os estribos fora deste trecho. Em 
função desta característica, na região junto aos apoios, a NBR 6118 (item 17.4.1.2.1) permite uma pequena 
redução da força cortante para o dimensionamento da armadura transversal, segundo a prescrição: “no caso 
de apoio direto (se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, 
comprimindo-o), valem as seguintes prescrições: 
a) no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio, a força cortante oriunda de 
carga distribuída pode ser considerada constante e igual à desta seção; 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
37 
b) a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a  2d do eixo teórico do 
apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida, multiplicando-a por a/(2d). Todavia, esta 
redução não se aplica às forças cortantes provenientes dos cabos inclinados de protensão. 
As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência à compressão 
diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos, essas reduções também não são permitidas.” 
A Figura 5.27 apresenta o caso a) e a Figura 5.28 o caso b). A redução da força cortante junto aos 
apoios, como descrita, não é feita na prática por muitos engenheiros estruturais, por questão de 
simplicidade e a favor da segurança. 
h
d / 2
R d
Vd
 
Figura 5.27 – Redução da força cortante para viga sob carregamento uniforme. 
 
 
h
a < 2d
R d redução em dV
R d Vd
 
Figura 5.28 – Redução da força cortante para viga sob carga concentrada. 
 
5.14 CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS 
 
 A analogia de treliça com as vigas implica na aplicação do carregamento no lado superior da viga, 
nos nós do banzo superior da treliça. Quando o carregamento é aplicado no lado inferior da viga, deve ser 
prevista uma armadura transversal para transferir o carregamento para a borda superior da viga, sendo 
chamada “Armadura de Suspensão”, e que deve ser somada à armadura transversal destinada a resistir às 
forças cortantes atuantes. 
 Vigas invertidas e vigas I com o carregamento aplicado na parte inferior devem ter uma armadura 
de suspensão projetada e detalhada. 
 
5.15 ARMADURA DE SUSPENSÃO 
 
 Os apoios das vigas são geralmente os pilares e outras vigas, com preponderância para os pilares. 
Quando o apoio é um pilar o apoio é chamado “direto” e quando é uma outra viga o apoio é chamado 
“indireto” (Figura 5.29). 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
38 
VS2
V
S
6
P5
V
S
5
V
S
4
P4
Apoio direto
VS2
P4 P5 VS6
Apoio direto Apoio indireto
 
Figura 5.29 – Apoios direto e indireto em vigas de Concreto Armado. 
 
 As vigas de Concreto Armado transmitem as cargas aos apoios principalmente por meio de bielas 
de compressão, na parte inferior da viga. Por isso, quando uma viga apoia-se sobre outra, há a necessidade 
de suspender a carga para a parte superior da viga que serve de apoio à outra (Figura 5.30). 
 A força que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a zona 
comprimida da viga de apoio, o que geralmente é feito por meio de estribos, a chamada armadura de 
suspensão. 
Vi
ga
 d
e 
ap
oi
o
Viga apoiada
Estribo
Viga de apoio
Viga apoiada
dV
 
Figura 5.30 – Transmissão do carregamento de uma viga para outra que lhe serve de apoio. 
 
 Segundo a NBR 6118 (item 18.3.6), “Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à 
viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em parte de sua altura, ou 
fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão”. 
 Em função de diferenças entre as alturas e o nível das duas vigas os seguintes casos podem ocorrer: 
 
a) Vigas com faces inferiores no mesmo nível 
 
 A Figura 5.31 mostra duas vigas com alturas iguais e as faces inferiores no mesmo nível. Neste 
caso, a área de armadura de suspensão é calculada pela equação: 
 
yd
d
susp,s
f
V
A  Eq. 5.70 
 
onde Vd é a força de cálculo aplicada pela viga apoiada naquela que lhe serve de apoio, e fyd é a resistência 
de cálculo de início de escoamento do aço. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
39 
Vi
ga
 d
e 
ap
oi
o
Viga apoiada
Estribo
Viga de apoioViga apoiada
dV
 
Figura 5.31 – Vigas com faces inferiores no mesmo nível. 
 
 A armadura de suspensão As,susp deve ficar distribuída na região próxima ao encontro das duas 
vigas, conforme as distâncias indicadas na Figura 5.32. A armadura de suspensão deve ser distribuída na 
viga que serve de apoio, ou pode-se considerar colocar 30 % de As,susp na viga apoiada e o restante 70 % na 
viga que serve de apoio. 
< h 
s,suspA
apoio
bw,a
w,apoiob
ah /2
viga de apoio
viga apoiada
 
Figura 5.32 – Região de distribuição da armadura de suspensão nas duas vigas, com 
hapoio = altura da viga de apoio, ha = altura da viga apoiada. 
 
b) Face inferior da viga apoiada acima da face inferior da viga de apoio 
 
A Figura 5.33 mostra duas vigas com alturas diferentes e a face da viga que se apoia está acima da 
face inferior da viga que serve de apoio. A armadura de suspensão é função das alturas das duas vigas, 
sendo dada por: 
yd
d
apoio
a
susp,s
f
V
h
h
A  Eq. 5.71 
 
 A distribuição dessa armadura segue o indicado na Figura 5.32. 
Estribo
Viga de apoio
Viga apoiada
dV
h
a
p
o
io
h
a
 
Figura 5.33 - Face inferior da viga apoiada acima da face inferior da viga de apoio. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
40 
c) Face inferior da viga apoiada abaixo da face inferior da viga de apoio 
 
 A Figura 5.34 mostra o caso de viga com face inferior apoiada abaixo da face inferior da viga de 
apoio. Esse tipo de arranjo entre as duas vigas deve ser evitado tanto quanto possível nas estruturas de 
Concreto Armado. 
A força que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a parte superior 
da viga de apoio, por meio da armadura de suspensão: 
 
yd
d
susp,s
f
V
A  Eq. 5.72 
 
Vd
Viga apoiada
Viga de apoio
Estribo
 
Figura 5.34 – Viga apoiada com a face inferior abaixo da face inferior da viga de apoio. 
 
Essa armadura de suspensão pode ser colocada na forma de estribos, que devem estar distribuídos 
com pequeno espaçamento dentro da largura da viga que serve de apoio (Figura 5.35). 
apoio
A viga de apoios,susp s,suspA viga pendurada
~ h
 
Figura 5.35 – Distribuição das armaduras de suspensão. 
 
 Na viga que serve de apoio deve ser colocada uma armadura transversal para reforçar a região que 
recebe a força da viga apoiada pendurada, com área de armadura: 
 
yd
d
susp,s
f2
V
A  Eq. 5.73 
 
5.16 EXEMPLO NUMÉRICO 1 
 
 A Figura 5.36 mostra uma viga biapoiada sob flexão simples, para a qual deve-se calcular e 
detalhar a armadura transversal, composta por estribos verticais. 
São conhecidos: 
concreto C20 ; aço CA-50 c = f = 1,4 
s = 1,15 d = 46 cm c = 2,0 cm 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
41 
12
5
0
 c
m
40 kN/m
5,0 m
100
100
V (kN)k
 
Figura 5.36 – Esquema estático, carregamento da viga e diagrama de forças cortantes. 
 
 Por simplicidade e a favor da segurança a força cortante solicitante no apoio não será reduzida, 
conforme permitido pela NBR 6118 e apresentado no item 5.13, de tal forma que: 
 
 Vk = 100,0 kN  VSd = f . Vk = 1,4 . 100,0 = 140,0 kN 
 
 Segundo indicações contidas em LEONHARDT e MÖNNIG[9] e apresentadas no item 5.12, 
quando a seção transversal é retangular o ângulo de inclinaçãodas bielas () aproxima-se de 30. Ângulos 
 menores resultam armaduras transversais menores. 
 Neste exemplo, para fins de comparação, o cálculo da armadura transversal será feito segundo o 
Modelo de Cálculo I, onde  é fixo em 45, e também conforme o Modelo de Cálculo II, com ângulo  
adotado de 30. O ângulo  de inclinação dos estribos será de 90, isto é, estribos verticais. Barras 
dobradas (cavaletes) não serão utilizadas. 
Como exemplificação, a resolução será feita conforme as equações teóricas deduzidas no item 5.8 
e também segundo as equações simplificadas apresentadas no item 5.11. 
 
5.16.1 Equações Teóricas 
 
5.16.1.1 Modelo de Cálculo I 
 
 O Modelo de Cálculo I supõe a treliça clássica de Ritter-Mörsch, onde o ângulo  (inclinação das 
diagonais comprimidas) é fixo e igual a 45. 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
 Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter (Eq. 
5.13): 
 VSd  VRd2 
 
 A Eq. 5.19 definiu o valor de VRd2 : 
 
dbf
250
f
127,0V wcd
ck
2Rd 





 , com fck em MPa 
 
Substituindo os valores numéricos na equação e considerando as unidades kN e cm para as demais 
variáveis, tem-se: 
 
 9,19546.12
4,1
0,2
250
20
127,0V 2Rd 





 kN 
 
VSd = 140,0 kN ≤ VRd2 = 195,9 kN  ok! 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
42 
A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão e pode-se 
assim dimensionar a armadura transversal para a viga. Caso resultasse VSd > VRd2 a viga teria que passar 
por alguma modificação, de modo a tornar VSd menor que VRd2 . Geralmente, na prática, as dimensões pré-
determinadas para as vigas resultam valores VRd2 maiores que VSd . Caso isso não ocorra e assumindo que 
VSd não possa ser diminuída, a solução do problema é aumentar VRd2 , o que pode ser obtido aumentando-
se as dimensões da seção transversal (bw e h) ou a resistência do concreto. Geralmente, todos os elementos 
de um pavimento da edificação recebem o mesmo tipo de concreto, de modo que alterar a resistência do 
concreto não é indicado. A largura da viga normalmente depende da largura da parede na qual a viga está 
embutida, não podendo por isso ser alterada livremente. Portanto, a solução mais utilizada é o aumento da 
altura da viga, devendo, porém, verificar se o projeto arquitetônico permite altura maior para a viga. 
Por outro lado, como as dimensões especificadas para a seção transversal das vigas são 
determinadas em função dos momentos fletores, das flechas e da estabilidade global no caso 
principalmente em edifícios altos, geralmente os valores de VRd2 são maiores que a força cortante 
solicitante (VSd). 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
Para efeito de comparação com a armadura calculada, primeiramente será determinada a armadura 
mínima (Eq. 5.46) para estribo vertical ( = 90) e aço CA-50: 
 
w
ywk
m,ct
mín,sw b
f
f20
A  , (cm2/m) 
 
A resistência média do concreto à tração direta, conforme o item 8.2.5 da NBR 6118, é: 
 
21,2203,0f3,0f
3 23 2
ckm,ct  MPa 
 
06,112.
50
221,0.20
A mín,sw  cm
2/m 
 
 Para calcular a armadura transversal devem ser determinadas as parcelas da força cortante que 
serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo 
que (Eq. 5.14): 
swcSd VVV  
 
Na flexão simples, a parcela Vc é determinada pela Eq. 5.20: 
 
dbf6,0VV wctd0cc  
 
com: 3 2ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 , (fck em MPa) 
 
11,120
4,1
3,0.7,0
f
3 2
ctd  MPa = 0,111 kN/cm
2 
 
 6,3646.12.111,0.6,0VV 0cc  kN 
 
 Portanto: 
 
Vsw = VSd – Vc = 140,0 – 36,6 = 103,4 kN 
 
que é a parcela da força cortante solicitante a ser resistida pelos estribos. Se esta força resultar negativa, 
significa que os mecanismos complementares aos de treliça são suficientes para proporcionar resistência à 
força cortante solicitante, e deve ser colocada somente a armadura mínima transversal prescrita pela norma. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
43 
 A armadura, de acordo com a Eq. 5.29, é: 
 
 
d2,39
V
s
A
sw90,sw   0573,0
46.2,39
4,103
s
A 90,sw
 cm2/cm 
 
e para 1 m de comprimento da viga: Asw,90 = 5,73 cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m 
 
Portanto, deve-se dispor a armadura calculada, de 5,73 cm2/m. 
 
5.16.1.2 Modelo de Cálculo II com  = 30o 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter (Eq. 
5.13): VSd  VRd2 
 
 A equação que define VRd2 é (Eq. 5.31): 
  





 gcotgcotsendbf
250
f
154,0V 2wcd
ck
2Rd , com fck em MPa 
 
 Aplicando a equação numericamente e com as unidades kN e cm para as variáveis, tem-se: 
 
   6,16930gcot90gcot30sen.46.12
4,1
0,2
250
20
154,0V 22Rd 





 kN 
 
VSd = 140,0 kN ≤ VRd2 = 169,6 kN  ok! 
 
A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios da viga. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Para calcular a armadura deve-se determinar as parcelas da força cortante solicitante que serão 
absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que 
(Eq. 5.14): 
swcSd VVV  
 
Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. Devem também ser calculados (Eq. 5.20): 
 
dbf6,0V wctd0c  
 
com: 3 2ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 , (fck em MPa) 
11,120
4,1
3,0.7,0
f
3 2
ctd  MPa = 0,111 kN/cm
2 
 
 6,3646.12.111,0.6,0V 0c  kN 
 
 Nota-se que a parcela Vc0 é igual à determinada no Modelo de Cálculo I, ou seja, Vc0 não depende 
do modelo de cálculo utilizado. 
 O esquema gráfico mostrado na Figura 5.37 apresenta a relação inversa entre a força Vc1 e a 
solicitação de cálculo VSd , explicitando que, quanto maior o grau de solicitação, menor será a contribuição 
proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça na resistência à força cortante. Como VSd é 
maior que Vc0 , a parcela Vc1 deve ser calculada pela Eq. 5.34, ilustrada no gráfico da Figura 5.37. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
44 
2,8
6,366,169
0,1406,169
6,36
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0c1cc 





 kN 
 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 36,6c0 V = 140,0Sd
V = 8,2c1
V = 36,6c0
V = 169,6Rd2
 
Figura 5.37 – Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
 
 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é: 
 
8,1312,80,140VVV cSdsw  kN 
 
A Eq. 5.35 foi definida para o cálculo da armadura transversal. Fazendo estribo vertical ( = 90°): 
 
  


sencotggcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw 
 
 
 
0423,0
90sen30cotg90gcot
15,1
50
.46.9,0
8,131
s
A 90,sw


 cm2/cm 
 
e para 1 m de comprimento da viga: Asw,90 = 4,23 cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m 
 
Portanto, deve-se dispor a armadura calculada, de 4,23 cm2/m. 
 
5.16.2 Equações Simplificadas 
 
 A fim de exemplificação são aplicadas as equações definidas no item 5.11. 
 
5.16.2.1 Modelo de Cálculo I 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
Da Tabela 5.3, para concreto C20, determina-se a força cortante última ou máxima que a viga pode 
resistir: 
2,19346.12.35,0db35,0V w2Rd  kN 
 
kN2,193V0,140V 2RdSd   ok! não ocorrerá esmagamento das bielas de concreto. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
Da Tabela 5.3, para concreto C20, a equação para determinar a força cortante correspondente à 
armadura mínima é: 
 
8,5546.12.101,0db101,0V wmín,Sd  kN 
 
kN8,55V0,140V mín,SdSd   portanto, deve-se calcular a armadura transversal, pois 
será maior que Asw,mín 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
45 
 Da equação para Asw na Tabela 5.3 (concretoC20) tem-se: 
 
72,512.17,0
46
0,140
55,2b17,0
d
V
55,2A w
Sd
sw  cm
2/m 
 
 Observe que ocorre grande semelhança nos valores obtidos para a armadura transversal calculada 
segundo as duas formulações: equações teóricas (Asw = 5,73 cm2/m), equações simplificadas (Asw = 5,72 
cm2/m). 
 
5.16.2.2 Modelo de Cálculo II com  = 30o 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
Da Tabela 5.4, para concreto C20, a força cortante última ou máxima é: 
 
7,16930cos.30sen.46.12.71,0cos.sendb71,0V w2Rd  kN 
 
kN7,169V0,140V 2RdSd   ok! não ocorrerá esmagamento das bielas de concreto. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
Antes de calcular a armadura deve-se verificar se não vai resultar armadura mínima. Para isso 
determina-se a força cortante mínima (VSd,mín). Da Tabela 5.4 tem-se: 
 
1cwmín,Sd Vgcotdb035,0V  
 
Antes é necessário determinar as parcelas Vc0 e Vc1 . Dos cálculos já efetuados foi definido que Vc0 
= 36,6 kN, valor a ser utilizado, porque Vc0 não depende do modelo de cálculo escolhido. 
Como VSd = 140,0 kN > Vc0 = 36,6 kN, a força Vc1 deve ser determinada pela Eq. 5.34 (visualizada 
no gráfico da Figura 5.38): 
 
2,8
6,366,169
0,1406,169
6,36
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0c1cc 





 kN 
 
 Assim, VSd,mín é: 
 
7,412,830gcot.46.12.035,0Vgcotdb035,0V o1cwmín,Sd  kN 
 
kN7,41V0,140V mín,SdSd   portanto, deve-se calcular a armadura transversal, que 
será maior que Asw,mín 
 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 36,6c0 V = 140,0Sd
V = 8,2c1
V = 36,6c0
V = 169,6Rd2
 
Figura 5.38 - Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
 
Da Tabela 5.4, a armadura transversal é: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
46 
   
22,4
46
2,80,140
30tg55,2
d
VV
tg55,2A 1cSdsw 



 cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m 
 
5.16.3 Comparação dos Resultados 
 
 Na Tabela 5.5 são apresentados os resultados obtidos para os cálculos efetuados segundo a norma 
NB1/78[27] com o anexo da NB 116, e os Modelos de Cálculo I e II da NBR 6118/14, com ângulo  de 30, 
40 e 45 para o Modelo II. 
 
Tabela 5.5 – Resultados de Asw obtidos segundo os Modelos de Cálculo I e II 
da NBR 6118/14 e segundo a NB1/78. 
NORMA 
 
( o ) 
Asw (cm2/m) Asw,mín 
(cm2/m) Eq. Teórica Eq. Simplif. 
NB1/78 + Anexo NB 116 45 6,20 - 1,68 
NBR 6118 
Modelo I 45 5,73 5,72 
1,06 
Modelo II 
45 7,07 - 
40 5,95 - 
30 4,23 4,22 
 
 
 Observa-se que para o ângulo  de 45 a NB1/78 era mais conservadora que o Modelo de Cálculo I 
da NBR 6118/14. No caso do Modelo de Cálculo II da norma atual e ângulo  de 45, a armadura é 
superior à dos outros dois processos (NB1/78 e Modelo de Cálculo I). Aliás, resultou no maior valor de 
armadura dentre todos os calculados. 
 No caso de um ângulo  como 30, a armadura resulta menor se comparada às armaduras dos 
Modelos I e II com  de 45, porque as diagonais mais inclinadas aliviam os montantes tracionados da 
treliça. A armadura com  de 30 resultou a menor dentre todas as calculadas, sendo a mais econômica. 
 Se por alguma razão se desejar uma armadura transversal mais conservadora, poderá então ser 
adotado o Modelo de Cálculo I, que conduz a uma armadura transversal maior que para ângulos  menores, 
sem, porém, valores exagerados. 
 Uma outra informação útil é que a armadura transversal resultante do Modelo de Cálculo I é 
semelhante ou muito próxima daquela calculada com o Modelo de Cálculo II quando  é adotado igual a 
39. 
 
5.16.4 Detalhamento da Armadura Transversal 
 
 Para efeito de detalhamento, na Figura 5.39 os estribos verticais são mostrados conforme definidos 
pelo Modelo de Cálculo II, com ângulo  de 30. 
 
a) Diâmetro do estribo (Eq. 5.47): 5 mm  t  bw/10 =120/10 = 12 mm 
 
b) Espaçamento máximo entre os estribos (Eq. 5.49): 
 
0,67 VRd2 = 0,67 . 169,6 = 113,6 kN 
VSd = 140,0 > 113,6 kN  s  0,3 d  20 cm 
0,3 d = 0,3 . 46 = 13,8 cm  Portanto, s  13,8 cm 
 
c) Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo (Eq. 5.50): 
 
0,20 VRd2 = 0,20 . 169,6 = 33,9 kN 
 
VSd = 140,0 > 33,9 kN  st  0,6 d  35 cm 
 
0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm  Portanto, s  27,6 cm 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
47 
d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos 
 
 A escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos pode ser feita de duas maneiras muito 
simples: por meio de cálculo ou com o auxílio de uma tabela de área de armadura por metro linear 
(cm2/m). Na sequência são apresentados os dois modos. 
 Para a armadura calculada segundo o Modelo de Cálculo II, de 4,23 cm2/m nos apoios, 
considerando estribo vertical com diâmetro de 5 mm (1  5 mm  0,20 cm2) composto por dois ramos 
verticais (2  5 mm  0,40 cm2), tem-se: 
 
 0423,0
s
Asw  cm2/cm  0423,0
s
40,0
  s = 9,5 cm  13,8 cm  ok! 
 
 Portanto, estribo com dois ramos  5 mm c/9 cm, ou c/9,5 cm. Para a escolha do diâmetro e do 
espaçamento dos estribos com o auxílio da Tabela A-1 (ver a tabela anexa no final do texto) deve-se 
determinar a área de apenas um ramo do estribo. Portanto, para a área de armadura de 4,23 cm2/m e estribo 
com dois ramos verticais: 
 12,2
2
23,4
A ramo1,sw  cm
2/m 
 
 Com a área de um ramo na Tabela A-1 encontram-se: 
 
  5 mm c/9,5 cm  2,11 cm2/m , ou  6,3 mm c/15 cm  2,10 cm2/m 
 
Como o espaçamento máximo é 13,8 cm, não se pode adotar  6,3 mm c/15 cm, sendo escolhido 
então estribo  5 mm c/9,5 cm, ou c/9 cm (ver detalhamento na Figura 5.39). 
Para a armadura mínima de 1,06 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se: 
 
 0106,0
s
Asw  cm2/cm  0106,0
s
40,0
  s = 37,7 cm  13,8 cm 
 
 Fazendo com o auxílio da Tabela A-1, considerando-se a área de um ramo apenas do estribo: 
 
 53,0
2
06,1
A ramo1,sw  cm
2/m 
 
na Tabela A-1 verifica-se que o espaçamento para  5 mm resulta superior a 33 cm.14 Como o espaçamento 
máximo é de 13,8 cm, deve ser feito  5 c/13 cm, o que na Tabela A-1 resulta 1,54 cm2/m, área de 
armadura imposta pelo espaçamento máximo e superior à armadura mínima. 
O desenho da viga deve ser feito em escala 1:50 e o detalhe do estribo normalmente é feito nas 
escalas de 1:20 ou 1:25 (Figura 5.39). 
 Para a distribuição dos estribos ao longo do vão livre da viga é necessário desenhar o diagrama de 
forças cortantes de cálculo e posicionar a força cortante mínima (VSd,mín). Geralmente, os vãos das vigas 
podem ter os estribos distribuídos segundo três trechos diferentes, os dois próximos aos apoios e o do 
centro, delimitado pela força VSd,mín , que recebe a armadura transversal mínima. Dividir o vão livre em 
mais de três trechos só deve ser feito quando houver justificativas. 
 A armadura calculada para os cortantes nos apoios deve se estender até a posição da força VSd,mín , 
e após esses trechos é colocada a armadura mínima. 
 Os diâmetros mais comuns para o estribo geralmente são o 5 mm e o 6,3 mm, ocorrendo também o 
8 mm e o 10 mm em vigas com altos esforços cortantes. Nas vigas de construções de pequeno porte, como 
casas, sobrados, barracões, etc., é comum o estribo com diâmetro de 4,2 mm, embora a NBR 6118 exija o 
diâmetro mínimo de 5 mm. 
 O espaçamento dos estribos não deve ser inferior a 6-7 cm para não dificultar a penetração do 
concreto lançado na viga. Espaçamentos superiores a 8 cm devem ter preferência. Os espaçamentos são 
adotados geralmente valores inteiros em cm, e ocasionalmente valores múltiplos de 0,5 cm. 
 
14 A NBR 6118 limita o espaçamento entre barras em 33 cm. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
48 
20
Sd,mínV = 41,7
20
(kN)SdV
N1 - 48 Ø 5 C=118 cm 
480 cm
250 250
176148176
162 162
N1-18 c/9 N1-18 c/9N1 - 12 c/13 8
46
140,0
140,0
 
Figura 5.39 - Detalhamento dos estribos ao longo do vão livre da viga. 
 
 O estribo deve teruma numeração, como o N1 da Figura 5.39. A viga é simétrica e por isso a 
distribuição dos estribos é igual nas proximidades dos dois apoios. A armadura determinada para a força 
cortante máxima no apoio pode ser distribuída desde a face do apoio até a posição da força cortante 
mínima (VSd,mín), de maneira aproximada. Considerando estribos  5 c/9 cm, o comprimento de 162 cm foi 
determinado fazendo: (176 – 10)/9 = 18,4 cm. Portanto, aproximando para o inteiro mais próximo, são 18 
estribos, e para o espaçamento de 9 cm resulta: 18 . 9 = 162 cm. Essa distância (162 cm), somada a 10 cm 
até o eixo do pilar, representa 172 cm, que quase “cobre” a distância de 176 cm até a força VSd,mín . Não é 
estritamente necessário, mas se desejar, podem ser colocados 19 estribos ao invés de 18, e então: 19 . 9 = 
171 cm e 171 + 10 = 181 cm, que cobre totalmente a distância de 176 cm. 
 O número de estribos no trecho central do vão é calculado fazendo o comprimento do trecho (480 
– 162 –162 = 156 cm) dividido pelo espaçamento dos estribos: 156  13,5 = 11,6  12 estribos. 
 As dimensões do estribo são determinadas fazendo a largura e a altura da viga menos duas vezes o 
cobrimento da armadura: 
 Largura = 12 – (2 . 2,0) = 8 cm 
 Altura = 50 – (2 . 2,0 ) = 46 cm 
 
 Os estribos devem ter obrigatoriamente ganchos nas pontas, com comprimento de no mínimo 5 t 
 5 cm quando o gancho direcionar a ponta do estribo para o concreto da parte interna da viga. Para estribo 
com diâmetro de 5 mm o gancho deve ter o comprimento mínimo de 5 cm, em cada ponta do estribo. 
Portanto, o comprimento do estribo é calculado como: 
 
 C = 2 (8 + 46 + 5) = 118 cm 
 
5.17 EXEMPLO NUMÉRICO 2 
 
 Calcular e detalhar a armadura transversal composta por estribos verticais para as forças cortantes 
máximas da viga esquematizada na Figura 5.40. São conhecidos: C25, CA-50, s = 1,15, c = 2,5 cm, 
c = f = 1,4, d = 80 cm. A altura da viga transversal é de 60 cm, responsável pela força de 150 kN. 
 Como as forças cortantes atuantes na viga são diferentes nos apoios A e B, serão dimensionadas 
duas armaduras transversais diferentes, uma para cada apoio. As forças cortantes de cálculo, não 
considerando a redução de força permitida pela NBR 6118, são: 
 
Apoio A  VSd,A = f . Vk,A = 1,4 . 165,8 = 232,1 kN 
 
Apoio B  VSd,B = f . Vk,B = 1,4 . 187,2 = 262,1 kN 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
49 
287,5
A B
C
150 kN29 kN/m
25 25
25
85
675 cm
400 300
700 cm
viga transversal
387,5
 
Figura 5.40 – Esquema estático e carregamento na viga. 
 
 Sendo a viga de seção retangular o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas diminui e se 
aproxima de 30 (ver item 5.12) e, neste caso, ao menos teoricamente, o cálculo da armadura pelo Modelo 
de Cálculo II com ângulo  de 30 ou próximo é o mais indicado. Se preferir um dimensionamento mais 
conservador, pode-se adotar o Modelo de Cálculo I, que tem  fixo em 45, e que resulta uma armadura 
transversal superior à do Modelo II com  de 30. 
O ângulo  de inclinação dos estribos será adotado igual a 90, isto é, estribos verticais. Barras 
dobradas não serão utilizadas. 
Para exemplificação do formulário, todos os cálculos serão feitos segundo as equações teóricas 
derivadas da NBR 6118 e também segundo as equações simplificadas definidas no item 5.11. 
 
5.17.1 Modelo de Cálculo I 
 
O Modelo de Cálculo I supõe a treliça clássica, com o ângulo  (inclinação das diagonais 
comprimidas) fixo em 45. 
 
5.17.1.1 Equações de Teóricas 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
 Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas (diagonais 
inclinadas na treliça clássica) deve-se ter: VSd  VRd2 
 A equação que define VRd2 (Eq. 5.19) é: 
 
dbf
250
f
127,0V wcd
ck
2Rd 





 , (fck em MPa) 
 
 9,86780.25
4,1
5,2
250
25
127,0V 2Rd 





 kN 
 
Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 867,9 kN 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN < VRd2 
 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios, e neste caso a armadura transversal pode ser calculada. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
50 
Primeiramente será calculada a armadura mínima (Asw,mín) para estribo vertical ( = 90) e aço CA-
50, (Eq. 5.46): 
w
ywk
m,ct
mín,sw b
f
f20
A  , (cm2/m) 
 
56,2253,0f3,0f
3 23 2
ckm,ct  MPa = 0,256 kN/cm
2 
 
56,225.
50
256,0.20
A mín,sw  cm
2/m 
 
 Para calcular a armadura necessária deve ser determinada a parcela da força cortante que será 
absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc), e a parcela a ser resistida pela armadura 
transversal (Vsw), de tal modo que swcSd VVV  . Na flexão simples, a parcela Vc é determinada pela Eq. 
5.20: 
dbf6,0VV wctd0cc  
 
com: 3 2ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 , (fck em MPa) 
 
28,125
4,1
3,0.7,0
f
3 2
ctd  MPa = 0,128 kN/cm
2 
 
 9,15380.25.128,0.6,0VV 0cc  kN 
 
 Vsw = VSd – Vc 
 
Apoio A  Vsw,A = 232,1 – 153,9 = 78,2 kN 
Apoio B  Vsw,B = 262,1 – 153,9 = 108,2 kN 
 
 A armadura vertical, de acordo com a Eq. 5.29, é: 
 
 
d2,39
V
s
A
sw90,sw  
 Apoio A: 0249,0
80.2,39
2,78
s
A 90,sw
 cm2/cm 
 
e para 1 m de comprimento da viga: 
 
Asw,90 = 2,49 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) 
 
Apoio B: 0345,0
80.2,39
2,108
s
A 90,sw
 cm2/cm 
 
Asw,90 = 3,45 cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura calculada) 
 
5.17.2 Equações Simplificadas 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
 Conforme a equação contida na Tabela 5.3, para o concreto de resistência característica 
25 MPa, tem-se a força cortante máxima permitida: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
51 
 0,86080.25.43,0db43,0V w2Rd  kN 
 
Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 860,0 kN 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN < VRd2 
 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Primeiramente deve-se verificar se a força cortante solicitante resultará maior ou menor que a força 
cortante mínima. Na Tabela 5.3 encontra-se a equação para a força cortante mínima, correspondente à 
armadura mínima: 
0,23480.25.117,0db117,0V wmín,Sd  kN 
 
Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VSd,mín = 234,0 kN 
(portanto, deve-se dispor armadura mínima conforme definida no item anterior) 
 
Somente para efeito de comprovação, e aplicando VSd = 232,1 kN, verifica-se que a armadura 
resulta menor que a mínima. Na Tabela 5.3 encontra-se a equação para cálculo da armadura: 
 
40,225.20,0
80
1,232
55,2b20,0
d
V
55,2A w
Sd
90,sw  cm
2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN > VSd,mín = 234,0 kN 
(portanto, deve-se calcular a armadura transversal) 
 
35,325.20,0
80
1,262
55,2b20,0
d
V
55,2A w
Sd
90,sw  cm
2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
5.17.3 Modelo de Cálculo II 
 
O Modelo de Cálculo II supõe a possibilidade de se adotar diferentes valores para o ângulo  de 
inclinação das diagonais comprimidas, no intervalo de 30 a 45. A título de comparação a viga será 
calculada com os ângulos de 30 e 45, segundo as equações teóricas (item 5.8.2) e as equações 
simplificadas (item 5.11.2). 
 
5.17.3.1 Equações Teóricas 
 
5.17.3.2 Modelo de Cálculo II com Ângulo  de 30 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
A equação que define VRd2 é (Eq. 5.31): 
 
  





 gcotgcotsendbf
250
f
154,0V 2wcd
ck
2Rd , com fck em MPa 
 
 Para estribo vertical,  = 90: 
 
   6,75130gcot90gcot30sen.80.25
4,1
5,2
250
25
154,0V 22Rd 





 kN 
 
Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 751,6 kN 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN < VRd2 
UNESP – Bauru/SPDimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
52 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante solicitante que serão 
absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que: 
 
swcSd VVV  
 
Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. Devem também ser calculados (Eq. 5.20): 
 
dbf6,0V wctd0c  
 
com: 3 2ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 (fck em MPa) 
 
28,125
4,1
3,0.7,0
f
3 2
ctd  MPa = 0,128 kN/cm
2 
 
 9,15380.25.128,0.6,0V 0c  kN 
 
Como em ambos os apoios a força cortante solicitante (VSd,A = 232,1 kN e VSd,B = 262,1 kN) é 
maior que Vc0 (153,9 kN), a força Vc1 deve ser determinada pela Eq. 5.34 (ver Figura 5.41 e Figura 5.42): 
 
Apoio A  8,133
9,1536,751
1,2326,751
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0c1cA,c 





 kN 
 
Apoio B  0,126
9,1536,751
1,2626,751
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0c1cB,c 





 kN 
 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 153,9c0 V = 232,1Sd
V = 133,8c1
V = 153,9c0
V = 751,6Rd2
 
Figura 5.41 – Apoio A - Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 153,9c0 V = 262,1Sd
V = 126,0c1
V = 153,9c0
V = 751,6Rd2
 
Figura 5.42 – Apoio B - Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
 
A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
53 
Apoio A  3,988,1331,232VVV A,cA,SdA,sw  kN 
Apoio B  1,1360,1261,262VVV B,cB,SdB,sw  kN 
 
A equação que define o valor da armadura transversal é: 
 
  


sencotggcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw 
 
A armadura transversal no apoio A para estribo vertical ( = 90°) é: 
 
 
 
0181,0
90sen30cotg90gcot
15,1
50
.80.9,0
3,98
s
A 90,sw


 cm2/cm 
 
e para 1 m de comprimento da viga: 
 
Asw,90 = 1,81 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) 
 
E no apoio B: 
 
 
 
0251,0
90sen30cotg90gcot
15,1
50
.80.9,0
1,136
s
A 90,sw


 cm2/cm 
 
Asw,90 = 2,51 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) 
 
5.17.3.3 Modelo de Cálculo II com Ângulo  de 45 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
 A equação que define VRd2 é (Eq. 5.31): 
 
  





 gcotgcotsendbf
250
f
154,0V 2wcd
ck
2Rd , com fck em MPa 
 
Para estribo vertical ( = 90): 
 
  





 45gcot90gcot45sen.80.25
4,1
5,2
250
25
154,0V 22Rd 867,9 kN 
 
Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 867,9 kN 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN < VRd2 
 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Para calcular a armadura deve ser determinada a parcela de força cortante Vc , que é proporcionada 
pelos mecanismos complementares ao de treliça, e a parcela Vsw a ser resistida pela armadura transversal: 
 
swcSd VVV  
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
54 
Como em ambos os apoios a força cortante solicitante (VSd,A = 232,1 kN e VSd,B = 262,1 kN) é 
maior que Vc0 (153,9 kN), a força Vc1 deve ser determinada pela Eq. 5.34 (ver Figura 5.43 e Figura 5.44): 
 
Apoio A  0,137
9,1539,867
1,2329,867
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0cA,1cA,c 





 kN 
 
Apoio B  6,130
9,1539,867
1,2629,867
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0cB,1cB,c 





 kN 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 153,9c0 V = 232,1Sd
V = 137,0c1
V = 153,9c0
V = 867,9Rd2
 
Figura 5.43 – Apoio A - Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
 
 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 153,9c0 V = 262,1Sd
V = 130,6c1
V = 153,9c0
V = 867,9Rd2
 
Figura 5.44 – Apoio B - Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
 
 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é: 
 
Apoio A  1,950,1371,232VVV A,cA,SdA,sw  kN 
Apoio B  5,1316,1301,262VVV B,cB,SdB,sw  kN 
 
Armadura transversal: 
 
  


sencotggcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw 
 
A armadura transversal no apoio A para estribo vertical ( = 90°) é: 
 
 
 
0304,0
90sen45cotg90gcot
15,1
50
.80.9,0
1,95
s
A 90,sw


 cm2/cm 
e para 1 m de comprimento da viga: 
 
Asw,90 = 3,04 cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura calculada) 
 
E no apoio B: 
 
 
 
0420,0
90sen45cotg90gcot
15,1
50
.80.9,0
5,131
s
A 90,sw


 cm2/cm 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
55 
Asw,90 = 4,20 cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura calculada) 
 
5.17.4 Equações Simplificadas 
 
5.17.4.1 Modelo de Cálculo II com Ângulo  de 30 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
 Conforme a equação contida na Tabela 5.4, para o concreto de resistência característica 
25 MPa (C25), tem-se a força cortante máxima permitida: 
 
 7,75130cos.30sen.80.25.87,0cossendb87,0V w2Rd  kN 
 
Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 751,7 kN 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN < VRd2 
 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Primeiramente deve-se verificar se a força cortante solicitante resultará em uma armadura maior ou 
menor que a armadura mínima. Na Tabela 5.4 encontra-se a equação para a força cortante mínima: 
 
1cwmín,Sd Vgcotdb040,0V  
1c1cmín,Sd V6,138V30gcot.80.25.040,0V  
 
Como as forças cortantes solicitantes VSd são maiores que Vc0 , a parcela Vc1 deve ser calculada 
(Eq. 5.47). Os valores de Vc0 = 153,9 kN, VRd2 = 751,7 kN, VSd,A = 232,1 kN e VSd,B = 262,1 kN já são 
conhecidos e: 
Apoio A  8,133
9,1537,751
1,2327,751
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0cA,1cA,c 





 kN 
 
Apoio B  0,126
9,1537,751
1,2627,751
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0cB,1cB,c 





 kN 
 
Apoio A: VSd,mín,A = 138,6 + 133,8 = 272,4 kN 
 
 VSd,A = 232,1 kN < VSd,mín,A = 272,4 kN (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) 
 
Apoio B: VSd,mín,B = 138,6 + 126,0 = 264,6 kN 
 
 VSd,B = 262,1 kN < VSd,mín,B = 264,6 kN (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) 
 
As armaduras serão calculadas apenas para efeito de exemplificação, pois já se sabe que são 
menores que a mínima. Conforme a Tabela 5.4, a equação para cálculo da armadura é: 
 
 
 
d
VV
tg55,2A 1cSdsw

 
 
No apoio A: 
 
 
81,1
80
8,1331,232
30tg55,2A A,sw 

 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
56 
No apoio B: 
 
 
50,2
80
0,1261,262
30tg55,2A B,sw 

 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
5.17.4.2 Modelo de Cálculo II com Ângulo  de 45 
 
a) Verificação da Compressão nas Bielas 
 
 Conforme a equação contida na Tabela 5.4, para o concreto de resistência característica 
25 MPa (C25), tem-se a força cortante máxima: 
 
 0,86845cos.45sen.80.25.87,0cossendb87,0V w2Rd  kN 
 
 Apoio A  VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 868,0 kN 
 
Apoio B  VSd,B = 262,1 kN < VRd2 
 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os 
apoios. 
 
b) Cálculo da Armadura Transversal 
 
 Primeiramente deve ser verificado se a força cortante solicitante resultará em uma armadura maior 
ou menor que a armadura mínima. Na Tabela 5.4 encontra-se a equação para a força cortante mínima: 
 
1cwmín,Sd Vgcotdb040,0V  
1c1cmín,Sd V0,80V45gcot.80.25.040,0V  
 
Como as forças cortantes solicitantes VSd são maiores que Vc0 , a parcela Vc1 deve ser calculada 
(Eq. 5.47). Os valores de Vc0 = 153,9 kN, VRd2 = 868,0 kN, VSd,A = 232,1 kN e VSd,B = 262,1 kN já são 
conhecidos e: 
Apoio A  0,137
9,1530,868
1,2320,8689,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0cA,1cA,c 





 kN 
 
Apoio B  6,130
9,1530,868
1,2620,868
9,153
VV
VV
VVV
0c2Rd
Sd2Rd
0cB,1cB,c 





 kN 
 
 
Apoio A: VSd,mín,A = 80,0 + 137,0 = 217,0 kN 
 VSd,A = 232,1 kN > VSd,mín,A = 217,0 kN 
 (portanto, deve-se calcular a armadura transversal) 
 
Apoio B: VSd,mín,B = 80,0 + 130,6 = 210,6 kN 
 
 VSd,B = 262,1 kN > VSd,mín,B = 210,6 kN 
 (portanto, deve-se calcular a armadura transversal) 
 
Conforme a Tabela 5.4, a equação para cálculo da armadura é: 
 
 
d
VV
tg55,2A 1cSdsw

 
 
No apoio A: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
57 
 
03,3
80
0,1371,232
45tg55,2A A,sw 

 cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
No apoio B: 
 
 
19,4
80
6,1301,262
45tg55,2A B,sw 

 cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
5.17.5 Comparação dos Resultados 
 
 Na Tabela 5.6 são apresentados os resultados obtidos para os cálculos efetuados conforme os 
Modelos de Cálculo I e II, com o ângulo  assumindo valores de 30 e 45 para o Modelo de Cálculo II. 
 Os resultados permitem descrever que as equações simplificadas conduzem a valores muito 
próximos daqueles obtidos com as equações teóricas. 
 Como esperado, com ângulo  de 30o do Modelo II as armaduras de 1,81 cm2/m no apoio A e 2,51 
cm2/m no apoio B resultaram menores que as armaduras proporcionadas pelo Modelo I (2,49 cm2/m e 3,45 
cm2/m respectivamente). 
 Concordando com o Exemplo 1, as armaduras do Modelo II com  de 45o (3,04 e 4,20 cm2/m) 
resultaram maiores que as armaduras do Modelo I (2,49 e 3,45 cm2/m), onde  é também 45o. 
 Portanto, neste caso de seção retangular, a armadura mais econômica é a proporcionada pelo 
Modelo II com ângulo  de 30o, e a mais conservadora é aquela do mesmo modelo com  de 45o. A 
armadura do Modelo I representa um situação intermediária. 
 
Tabela 5.6 – Resultados obtidos conforme os modelos de cálculo I e II da NBR 6118. 
Modelo de 
Cálculo 
 
( o ) 
Equações de 
Cálculo 
Asw (cm2/m) 
Apoio A Apoio B 
I 45 
Teóricas 2,49 3,45 
Simplificadas 2,40 3,35 
II 
30 
Teóricas 1,81 2,51 
Simplificadas 1,81 2,50 
45 
Teóricas 3,04 4,20 
Simplificadas 3,03 4,19 
 
5.17.6 Detalhamento da Armadura Transversal 
 
 Dentre os vários valores de armadura transversal calculados, para fins de detalhamento serão 
aplicados os valores determinados segundo o Modelo I, de 2,49 cm2/m no apoio A e 3,45 cm2/m no apoio 
B (ver Figura 5.45). 
 
a) Diâmetro do estribo: 5 mm  t  bw/10 = 250/10 = 25 mm 
 
b) Espaçamento máximo entre os estribos: 
0,67 VRd2 = 0,67 . 868,0 = 581,5 kN 
 
Apoio A: 
VSd,A = 232,1 < 581,5 kN  s = 0,6 d  30 cm 
0,6 d = 0,6 . 80 = 48 cm  portanto, s  30 cm 
 
Apoio B: 
VSd,B = 262,1 < 581,5 kN  s = 0,6 d  30 cm 
portanto, s  30 cm 
 
c) Espaçamento transversal máximo entre os ramos verticais do estribo: 
 
0,20 VRd2 = 0,20 . 868,0 = 173,6 kN 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
58 
VSd,A > 173,6 kN e VSd,B > 173,6 kN  st  0,6 d  35 cm 
 
0,6 d = 0,6 . 80 = 48 cm  portanto, s  35 cm 
 
d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos 
 
 A título de exemplo serão feitos os cálculos com diâmetros de 5 mm e de 6,3 mm, sem e com 
auxílio de tabela de área de armadura em cm2/m. 
 
d1) considerando estribo com diâmetro de 5 mm (1  5 mm  0,20 cm2), composto por dois ramos 
verticais (2  5 mm  0,40 cm2), tem-se para o apoio A: 
 
 Asw = 2,49 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m 
 
0256,0
s
Asw  cm2/cm  0256,0
s
40,0
  s = 15,6 cm  30 cm  ok! 
 
Para o apoio B (Asw = 3,45 cm2/m): 
 
0345,0
s
Asw  cm2/cm  0345,0
s
40,0
  s = 11,6 cm  30 cm  ok! 
 
Com o auxílio da Tabela A-1 (ver a tabela anexa no final do texto) deve-se determinar a área de 
apenas um ramo vertical do estribo: 
Apoio A (armadura mínima): 
 28,1
2
56,2
A ramo1,sw  cm
2/m  Tabela A-1   5 mm c/16 cm (1,25 cm2/m) 
 
Apoio B: 
 73,1
2
45,3
A ramo1,sw  cm
2/m  Tabela A-1   5 mm c/11 cm (1,82 cm2/m) 
 
d2) considerando estribo com diâmetro de 6,3 mm (1  6,3 mm  0,31 cm2), composto por dois ramos 
verticais (2  6,3 mm  0,62 cm2), tem-se para o apoio A: 
 
0256,0
s
Asw  cm2/cm  0256,0
s
62,0
  s = 24,2 cm  30 cm  ok! 
 
Para o apoio B: 
0345,0
s
Asw  cm2/cm  0345,0
s
62,0
  s = 18,0 cm  30 cm  ok! 
 
Com o auxílio da Tabela A-1 (ver a tabela anexa no final do texto) deve-se determinar a área de 
apenas um ramo vertical do estribo: 
Apoio A (armadura mínima): 
 
 28,1
2
56,2
A ramo1,sw  cm
2/m  Tabela A-1   6,3 mm c/24 cm (1,31 cm2/m) 
 
Apoio B: 
 
 73,1
2
45,3
A ramo1,sw  cm
2/m  Tabela A-1   6,3 mm c/18 cm (1,75 cm2/m) 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
59 
O detalhamento mostrado na Figura 5.45 está feito com o diâmetro de 6,3 mm para o estribo. 
Poderia ser utilizado o diâmetro de 5 mm também, sem qualquer inconveniente. O desenho da viga deve 
ser feito em escala 1:50 e o detalhe do estribo normalmente é feito nas escalas de 1:20 ou 1:25. 
Nos trechos correspondentes à armadura transversal mínima, os estribos foram espaçados em 20 
cm ao invés dos 24 cm calculados, porque é comum entre os engenheiros estruturais limitar o espaçamento 
dos estribos em 20 cm. No entanto, fica a critério do engenheiro seguir esta recomendação ou obedecer os 
limites prescritos pela NBR 6118. 
No apoio B os estribos devem ficar espaçados em 18 cm na distância de 69,2 cm do apoio (centro 
do pilar neste caso), ou seja, até a posição do VSd,mín , e a partir desta força o espaçamento pode ser 
correspondente à armadura mínima. A favor da segurança os estribos foram dispostos num trecho maior, 
de 90 cm a partir da face do pilar. 
Na região da força concentrada de 150 kN (ver Figura 5.40) devida à viga transversal, deve ser 
colocada armadura de suspensão (ver Figura 5.30), conforme prevista pela NBR 6118. Como a viga 
apoiada tem a face inferior acima da face inferior da viga de apoio, deve ser aplicada a Eq. 5.71: 
 
 
41,3
15,1
50
150.4,1
85
60
f
V
h
h
A
yd
d
apoio
a
susp,s  cm
2 
 
Conforme prescrito por FUSCO (2000)15 e apresentado em BASTOS (2015)16, a armadura de 
suspensão deve ser distribuída na menor distância possível, sem no entanto prejudicar a montagem dos 
estribos e nem causar restrições para o preenchimento da peça pelo concreto, ou prejudicar o 
adensamento.17 Deve também ser considerada a distância máxima de hapoio (85 cm). Por exemplo, 
considerando a armadura de suspensão (3,41 cm2) distribuída em uma distância de 60 cm, a área de 
armadura relativamente ao comprimento de 1 m (100 cm) é: 
 
3,41 
60
100
5,68 cm2/m 
 
 Somando à armadura transversal mínima relativa à força cortante (2,56 cm2/m): 
 
Asw,tot = 2,56 + 5,68 = 8,24 cm2/m 
 
Para o diâmetro de 6,3 mm (área de 1  de 0,31 cm2) e estribo com dois ramos tem-se: 
 
0824,0
s
62,0
  s = 7,5 cm 
 
portanto, pode-se colocar 8 estribos (60/7,5 = 8) distribuídos na distância de 60 cm, espaçados de 7,5 cm, 
como indicado na Figura 5.45. 
 
 
 
 
 
 
15 FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. 
16 BASTOS, P.S.S. Vigas de Concreto Armado. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia 
Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, jun/2015, 56p. Disponível em (24/08/2015): 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
17 O espaçamento mínimo geralmente adotado para os estribos é de 7 ou 8 cm. Dependendo principalmente da largura da peça e do 
abatimento (fluidez) do concreto, um espaçamento um pouco menor pode ser estudado. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
60 
387,525 25
90
700cm
230,8 69,2
VSd,mín = 234,0
VSd (kN)
N1 - 39 Ø 6,3 C=210 cm 
N1 - 5 c/18N1 - 18 c/20
20
80
262,1
232,1
69,7
140,3
A B
N1 - 8c/7,5 N1 - 8 c/20
167,560357,5
viga transversal
287,5
 
Figura 5.45 - Detalhamento dos estribos ao longo do vão livre da viga (medidas em cm). 
 
5.18 EXEMPLO NUMÉRICO 3 
 
Neste exemplo serão dimensionadas as armaduras transversais das vigas principais de uma ponte 
rodoviária, conforme indicadas na Figura 5.46 e apresentadas no exemplo de PFEIL[33]. 
 As duas vigas principais, em conjunto com as vigas transversinas, compõem o sistema de 
vigamento que proporciona a sustentação da ponte. As vigas principais estendem-se ao longo de todo o 
comprimento da ponte, sendo composta por quatro apoios e cinco vãos, com os dois vãos extremos em 
balanço. 
A altura das vigas é constante com 225 cm e a largura é variável em alguns trechos. Na seção de 
apoio do pilar 1 a largura é de 80 cm e no pilar 2 é de 100 cm; as seções nos vãos tem largura de 40 cm 
(Figura 5.46b e Figura 5.46c). 
 
RESOLUÇÃO 
 
 As lajes que formam o tabuleiro da ponte apoiam-se nas faces superiores das vigas, em toda a 
extensão, inclusive nas seções próximas aos apoios (pilares), onde ocorrem as maiores forças cortantes. 
Nas seções próximas aos apoios e que estão submetidas a momentos fletores negativos, a mesa superior é 
tracionada, e o banzo comprimido, inferior, não tem contribuição de lajes, sendo retangular. 
 Para seções retangulares, LEONHARDT e MÖNNIG[9] indicam que o ângulo  de inclinação das 
diagonais comprimidas aproxima-se de 30, o que resulta em uma diminuição da armadura transversal em 
relação ao ângulo  de 45. No caso de grandes estruturas, como pontes, ocorrem outras tensões adicionais, 
não consideradas no cálculo, de modo que as armaduras transversais exercem também funções secundárias, 
sendo por isso recomendado adotar 45 para , a favor da segurança. 
 Os cálculos de dimensionamento para as diversas seções transversais encontram-se organizados na 
Tabela 5.7. A título de comparação os cálculos são efetuados conforme a versão atual da NBR 6118 e a 
versão de 1978 (NB 1[27]), considerado também o anexo da NB 116/89. Na sequência são também 
apresentados os cálculos efetuados segundo a NBR 6118 para a seção transversal 10d , onde ocorre a maior 
força cortante. 
 As áreas de armadura apresentadas na Tabela 5.7 indicam que as armaduras transversais foram 
sendo gradativamente diminuídas com as atualizações da NBR 6118, antiga NB 1/78[27]. Os maiores 
valores resultam da NB 1, sem se considerar o anexo da NB 116/89. Considerando a NB 1 e o anexo da 
NB 116/89, a armadura diminuiu, e com a NBR 6118, a diminuição foi ainda mais significativa. 
Analisando os valores da seção 10d verifica-se que a armadura diminuiu 45 % com o Modelo I, e 34 % 
com o Modelo II, comparada à armadura da NB 1. E também, diminuiu 21 % com o Modelo I e 4 % com o 
Modelo II, comparada à armadura da NB 1 com o anexo da NB 116/89. 
 Nota-se que as armaduras calculadas conforme o Modelo de Cálculo II com  de 45 aproxima-se 
daquela calculada com a NB 1 e o anexo da NB 116/89. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
61 
500 2000 1250
2
2
5
Pilar 1 Pilar 2
Viga 
Principal
Laje do Tabuleiro
a) corte longitudinal; 
Viga Principal 1
Viga Principal 2
1
0
0
4
0
4
0
1
0
0
4
0
8
0
b) planta com o vigamento da ponte; 
 
 
Pilar 2
40 100 2
2
5
Laje do Tabuleiro
Viga principal na 
seção de apoio
Viga principal 
nos vãos
 
c) seções transversais no apoio do pilar 2 e nos vãos. 
 
Figura 5.46 – Desenhos ilustrativos da ponte rodoviária.[33] 
 
 
A viga é simétrica e tem os vãos (cm) e forças cortantes características (de apenas uma metade) 
mostradas na Figura 5.47. Nota-se que a força cortante máxima, de 2.000 kN, ocorre no pilar 2. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
62 
500 2000 1250
a b O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
280
740
1210
1490
1180 900 640 390
530
780 1030 1270 1550
1830
2000
1640 1310 990 690 390
kV
(kN)
Pilar 1 Pilar 2
Figura 5.47 – Esquema estático, vãos efetivos (cm) e forças cortantes características (kN).[33] 
 
 
 
Tabela 5.7 – Dimensionamento da armadura transversal segundo os Modelos de Cálculo I e II da NBR 6118/14 e 
conforme a NB 1/78[27] com o anexo da NB 116/89, para estribos verticais (c = f = 1,4 ; s = 1,15). 
Seção 
Vk 
 
(kN) 
VSd 
 
(kN) 
bw 
 
(cm) 
VRd2 
 
(kN) 
Vc0 
 
(kN) 
Vc1 
 
(kN) 
Asw,90 
(cm2/m) 
 
NBR 6118 
Modelo I 
Asw,90 
(cm2/m) 
NBR 6118 
Modelo II 
c/  = 45 
Asw,90 
(cm2/m) 
 
NB 1/78 
Asw,90 
(cm2/m) 
NB 1/78 + 
Anexo NB 
116 
a 280 392 40 3732 662 720 - - 1,03 - 
b 740 1036 60 5598 993 983 0,51 0,63 7,05 2,40 
Oe 1210 1694 80 7464 1323 1244 4,40 5,35 13,25 7,04 
Od 1490 2086 80 7464 1323 1159 9,05 11,02 18,07 11,86 
1 1180 1652 60 5598 993 850 7,82 9,53 14,63 9,97 
2 900 1260 40 3732 662 533 7,10 8,64 11,70 8,60 
3 640 896 40 3732 662 611 2,78 3,38 7,23 4,12 
4 390 546 40 3732 662 687 - - 2,92 - 
5 530 742 40 3732 662 644 0,95 1,16 5,33 2,23 
6 780 1092 40 3732 662 569 5,11 6,22 9,64 6,53 
7 1030 1442 40 3732 662 494 9,26 11,27 13,94 10,84 
8 1270 1778 40 3732 662 421 13,24 16,13 18,08 14,97 
9 1550 2170 70 6531 1158 940 12,01 14,62 20,05 14,62 
10e 1830 2562 100 9329 1654 1459 10,77 13,11 22,03 14,27 
10d 2000 2800 100 9329 1654 1407 13,59 16,55 24,95 17,20 
11 1640 2296 70 6531 1158 913 13,50 16,44 21,60 16,17 
12 1310 1834 40 3732 662 409 13,91 16,94 18,77 15,66 
13 990 1386 40 3732 662 506 8,59 10,46 13,25 10,15 
14 690 966 40 3732 662 596 3,61 4,40 8,09 4,98 
15 390 546 40 3732 662 687 - - 2,92 - 
 
 
5.18.1 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I (NBR 6118) 
 
 Para o dimensionamento são considerados os seguintes dados: 
 
 C25 ; CA-50 d = 215 cm estribo vertical 
 c = f = 1,4 s = 1,15 ( = 90) 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
63 
Os cálculos de dimensionamento serão feitos apenas com as equações teóricas da norma. 
 
a) Verificação da compressão nas bielas 
 
 A equação que define o valor de VRd2 é (Eq. 5.19): 
 
dbf
250
f
127,0V wcd
ck
2Rd 





 , com fck em MPa 
 
Substituindo os valores numéricos de VRd2 : 
 
 329.9215.100
4,1
5,2
250
25
127,0V 2Rd 





 kN 
 
VSd = 2.800 kN < VRd2 = 9.329 kN 
 
A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão e pode-se 
assim dimensionar a armadura transversal para a seção. 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
 
Para efeito de comparação com a armadura calculada, primeiramente será determinada a armadura 
mínima para estribo a 90 e aço CA-50: 
 
w
ywk
m,ct
mín,sw b
f
f20
A  (cm2/m) 
 
A resistência média do concreto à tração direta é: 
 
56,2253,0f3,0f
3 23 2
ckm,ct  MPa = 0,256 kN/cm
2 
 
26,10100
50
256,0.20
A mín,sw  cm
2/m 
 
 Para calcular a armadura transversal deve ser determinada a parcela proporcionada pelos 
mecanismos complementares ao de treliça (Vc), de tal modo que: 
 
swcSd VVV  
 
Na flexão simples, a parcela Vc é determinada pela equação (Eq. 5.20): 
 
dbf6,0VV wctd0cc  
 
com: 3 2ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 (fck em MPa) 
 
28,125
4,1
3,0.7,0
f
3 2
ctd  MPa = 0,128 kN/cm
2 
 
 654.1215.100.128,0.6,0VV 0cc  kN 
 
 Portanto, a parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
64 
 Vsw = VSd – Vc = 2800 – 1654 = 1.146 kN 
 
 A armadura transversal composta por estribos verticais segundo o Modelo de Cálculo I é: 
 
 
d2,39
V
s
A
sw90,sw   1359,0
215.2,39
1146
s
A 90,sw
 cm2/cm 
e para 1 m de comprimento da viga: 
 
Asw,90 = 13,59 cm2/m > Asw,mín = 10,26 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armaduracalculada) 
 
5.18.2 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com  = 45 
 
a) Verificação da compressão nas bielas 
 
 A equação que define VRd2 é (Eq. 5.31): 
 
  





 gcotgcotsendbf
250
f
154,0V 2wcd
ck
2Rd , com fck em MPa 
 
Para estribo vertical,  = 90: 
 
  





 45gcot90gcot45sen.215.100
4,1
5,2
250
25
154,0V 22Rd 9.329 kN 
 
VSd = 2.800 kN < VRd2 = 9.329 kN 
 
A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
 
 Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão 
absorvidas pelos mecanismos complementares (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que: 
 
swcSd VVV  
 
Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. O valor de Vc0 já foi determinado (1.654 kN) e 
independe do modelo de cálculo. Como VSd = 2.800 kN é maior que Vc0 , a parcela Vc1 deve ser 
determinada com a Eq. 5.34 (ver Figura 5.48): 
 
407.1
16549329
28009329
1654
VV
VV
VV
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c 





 kN 
 
0 V (kN)Sd
V (kN)c1
V = 1654c0 V = 2800Sd
V = 1407c1
V = 1654c0
V = 9329Rd2
 
Figura 5.48 – Valor de Vc1 quando VSd > Vc0 . 
 
 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
65 
393.114072800VVV cSdsw  kN 
 
A equação que define o cálculo da armadura transversal é: 
 
  


sencotggcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw 
 
Aplicando numericamente para estribo vertical ( = 90°): 
 
 
 
1655,0
90sen45cotg90gcot
15,1
50
.215.9,0
1393
s
A 90,sw


 cm2/cm 
 
Asw,90 = 16,55 cm2/m > Asw,mín = 10,26 cm2/m (portanto, dispor a armadura calculada) 
 
5.19 EXEMPLO NUMÉRICO 4 
 
 Uma viga seção T biapoiada sobre dois pilares serve de apoio a lajes maciças e uma viga 
transversal, que aplica a força concentrada de 300 kN. Pede-se dimensionar e detalhar a armadura 
transversal.18 São dados: 
 C30 c = 2,5 cm estribo vertical ( = 90) 
 CA-50 d = 113 cm c = f = 1,4 s = 1,15 
 
 O esquema estático da viga com as forças cortantes (valores característicos) e a seção transversal 
encontram-se na Figura 5.49. 
 Por simplicidade e a favor da segurança, a redução da força cortante solicitante no apoio, conforme 
permitido pela NBR 6118 e apresentado no item 5.13, não será aplicada. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Como a viga tem seção transversal tipo T, com relação bf / bw = 240/40 = 6, o ângulo  de 
inclinação das diagonais comprimidas aproxima-se de 45, razão pela qual será adotado o Modelo de 
Cálculo I para o dimensionamento da armadura transversal. Outra opção seria o Modelo II com  = 45, 
que, como já visto, conduz a uma armadura maior. 
O dimensionamento será feito segundo as equações simplificadas definidas no item 5.11. 
 
a) Verificação da compressão nas bielas 
 
Da Tabela 5.3, para concreto C30, determina-se a força cortante máxima que a viga pode resistir: 
305.2113.40.51,0db51,0V w2Rd  kN 
 
 kN305.2VkN770550.4,1V 2RdSd não ocorrerá esmagamento do concreto nas bielas. 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
 
Da Tabela 5.3, para concreto C30, a equação para determinar a força cortante correspondente à 
armadura mínima é: 
597113.40.132,0db132,0V wmín,Sd  kN 
 
kN597V770V mín,SdSd   portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd . 
 
 
18 Este exemplo toma como base o apresentado em: SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 
1985, 376p. 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
66 
viga transversal
30 30
30
10 m
pilar 1 pilar 2
viga T
laje
80 kN/m
300 kN
500 cm 500 cm
550
550
150
150
V (kN)k
 
 
Vigas
400
40 40
1
2
0
1
5
40
240
1
51
2
0
 
Figura 5.49 - Esquema estático, carregamento, esforços cortantes e seção transversal da viga. 
 
 
 Da equação para Asw na Tabela 5.3 (concreto C30): 
 
40.22,0
113
770
55,2b22,0
d
V
55,2A w
Sd
sw  = 8,58 cm
2/m 
 
A armadura mínima para estribo a 90 e aço CA-50 é: 
w
ywk
m,ct
mín,sw b
f
f20
A  
 
90,2303,0f3,0f
3 23 2
ckm,ct  MPa = 0,290 kN/cm
2 
 
63,440
50
290,0.20
A mín,sw  cm
2/m 
 
 Como Asw = 8,58 cm2/m > Asw,mín = 4,63 cm2/m, deve-se dispor a armadura calculada. 
 
c) Detalhamento da armadura transversal 
 
c1) Diâmetro do estribo: 5 mm  t  bw/10 = 400/10 = 40 mm 
 
c2) Espaçamento máximo entre os estribos: 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
67 
0,67 VRd2 = 0,67 . 2305 = 1.544 kN 
 
VSd = 770 < 1.544 kN  s  0,6 d  30 cm 
 
0,6 d = 0,6 . 113 = 67,8 cm  Portanto, s  30 cm 
 
c3) Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo: 
 
0,20 VRd2 = 0,20 . 2305 = 461 kN 
 
VSd = 770 > 461 kN  st  0,6 d  35 cm 
 
0,6 d = 0,6 . 113 = 67,8 cm  Portanto, st  35 cm 
 
c4) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos 
c4.1) Estribo com dois ramos verticais 
 
 Considerando estribo com dois ramos verticais, para a escolha do diâmetro e do espaçamento dos 
estribos com o auxílio da Tabela A-1, deve-se determinar a área de apenas um ramo do estribo. Portanto, 
para a área de armadura transversal de 8,58 cm2/m e estribo com dois ramos: 
 29,4
2
58,8
A ramo1,sw  cm
2/m 
 
 Com a área de um ramo na Tabela A-1 encontra-se:  8 mm c/11 cm  4,55 cm2/m 
 
Como o espaçamento máximo é 30 cm, é possível adotar  8 mm c/11 cm. 
Para a armadura mínima de 4,63 cm2/m e estribo com dois ramos, a área de um ramo é: 
 
 32,2
2
63,4
A ramo1,sw  cm
2/m 
 
na Tabela A-1 encontra-se  8 mm c/20 cm, com o espaçamento sendo menor que o máximo permitido (30 
cm). O espaçamento entre os eixos de dois ramos verticais do estribo é: 
 
bw – (2 c) – t = 40 – (2 . 2,5) – 0,8 = 34,2 cm 
 
valor um pouco menor que o espaçamento máximo permitido (st = 35 cm), sendo portanto possível fazer os 
estribos com apenas dois ramos verticais. Como alternativa apresenta-se na sequência o cálculo do estribo 
com quatro ramos. 
 
c4.2) Estribo com quatro ramos verticais 
 
 Caso não fosse possível fazer o detalhamento com dois ramos verticais, uma solução seria 
aumentar o número de ramos, com quatro ramos verticais por exemplo, o que resulta em dois estribos 
idênticos, a serem colocados sobrepostos na mesma seção transversal da viga (ver Figura 5.50). 
Com quatro ramos verticais a área de um ramo apenas é: 
 
 15,2
4
58,8
A ramo1,sw  cm
2/m 
 
Com a área de um ramo na Tabela A-1 encontra-se o espaçamento e o diâmetro do estribo: 
 6,3 mm c/14 cm  2,25 cm2/m 
 Para a armadura mínima de 4,63 cm2/m resulta  6,3 mm c/26 cm (1,21 cm2/m), sendo ambos os 
espaçamentos menores que o máximo de 30 cm. O espaçamento será feito 25 cm ao invés de 26 cm, a 
favor da segurança (Figura 5.50). 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
68 
Na região da força concentrada de 300 kN (ver Figura 5.49) devida à viga transversal, deve ser 
colocada armadura de suspensão (ver Figura 5.31), conforme prevista pela NBR 6118. Como as duas vigas 
têm as faces inferiores no mesmo nível, aplica-se a Eq. 5.70: 
 
 
66,9
15,1
50
300.4,1
f
V
A
yd
d
susp,s  cm
2 
 
Esta armadura de suspensão deve ser distribuída na menor distância possível, e considerada a 
distância máxima de hapoio (120 cm), conforme a Figura 5.32. Deve ser escolhido um espaçamento para os 
estribos da armadura transversal de modo a não prejudicar a montagem e nem causar restrições para o 
preenchimento da peça pelo concreto. Considerando que a área da armadura de suspensão seja distribuída 
em uma distância de 80 cm, a área de armadura relativamente ao comprimento de 1 m (100 cm) é: 
 

80
100
66,9 12,08 cm2/m 
 
e somando à armadura transversal paraa força cortante, que é a mínima no trecho em questão (4,63 
cm2/m): 
Asw,tot = 4,63 + 12,08 = 16,71 cm2/m 
 
Considerando o diâmetro de 6,3 mm (área de 0,31 cm2) e estribo com quatro ramos tem-se: 
 
1671,0
s
31,0.4
  s = 7,4 cm 
 
Portanto, pode-se colocar 11 estribos (duplos: 2 x 11) distribuídos na distância de 80 cm, 
espaçados de 7 cm, tendo-se como referência o centro da viga transversal (Figura 5.50). 
 A Figura 5.51 mostra um detalhe dos estribos, onde observa-se que o espaçamento transversal st 
resulta menor que o máximo de 35 cm. A largura do estribo duplo pode ser adotada como: 
 
   3,235,2.240
3
2
 cm 
 
770
210
210
770
V (kN)Sd
154
154
115
23
dois estribos idênticos
 formando quatro ramos
30 30
Sd,mínV = 597 kN
N1 - 114 Ø 6,3 C=286 cm 
970 cm
Sd,mínV = 597 kN
168 168
N1-2x12 c/14 N1-2x12 c/14N1-2x11 c/7
80
N1-2x11 c/25 N1-2x11 c/25
277 277
500 500
 
 
Figura 5.50 – Detalhamento da armadura transversal com estribo duplo (quatro ramos verticais). 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
69 
11,4 11,49,7
12
23
40
2,5 2,5
23
12
 
Figura 5.51 – Detalhamento dos estribos duplos na seção transversal. 
 
5.20 QUESTIONÁRIO 
 
1) Em uma viga de Concreto Armado biapoiada sob carregamento de apenas duas forças concentradas P, 
aplicadas nos terços do vão: 
 - mostre como se apresentam as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão; 
- o que diferencia o trecho de flexão pura dos demais trechos? 
- em que instante do carregamento surgem as primeiras fissuras de flexão? 
- como são as fissuras por flexão, por flexão com força cortante e por apenas força cortante? 
- como é a configuração comum de fissuras no instante da ruptura? 
 
2) Mostre como se apresentam as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão em uma viga 
biapoiada sob carregamento uniforme? 
3) Em uma viga contínua sobre três apoios simples e dois tramos e com carregamento uniforme, como se 
mostram as trajetórias das tensões principais? 
4) Desenhe em uma viga contínua sobre três apoios simples e dois tramos qual a inclinação mais favorável 
para os estribos? Explique. 
5) Por que há indicação de um espaçamento máximo entre os estribos? 
6) Quais são os mecanismos básicos de transferência de força cortante em uma viga? Explique. 
7) Quais são os principais fatores que influenciam na resistência das vigas à força cortante? Explique. 
8) Como se configuram os modos de ruptura de vigas sem armadura transversal, em função da relação a/d? 
9) Explique o comportamento das vigas com armadura transversal. 
10) Qual a função dos estribos nas vigas? Comente sobre a forma de atuação dos ramos verticais e 
horizontais dos estribos verticais na resistência de vigas à força cortante. 
11) Mostre as diferentes possibilidades de ruptura por força cortante no caso das vigas com armadura 
transversal. 
12) Explique a analogia de uma viga fissurada com a treliça clássica. Quais as hipóteses da treliça clássica? 
13) Explique a função das diagonais de compressão. 
14) Qual a configuração da treliça generalizada? Quais as diferenças principais em relação à treliça 
clássica? 
15) Por que a treliça clássica conduz a uma armadura transversal exagerada? 
16) Nas treliças clássica e generalizada, estude como surgem as equações para cálculo da armadura 
transversal (Asw) e para a verificação da tensão na biela comprimida. 
17) Quais as diferenças nos valores da armadura transversal e da tensão na biela de compressão quando  
= 45 ou 90 ? 
18) Quais as indicações para adoção do ângulo ? 
19) Por que pode ser feita uma redução da força cortante nos apoios. Como deve ser considerada? 
20) De que modo é feita a verificação do concreto comprimido nas bielas? 
21) O que são os Modelos de Cálculo I e II? Quais as diferenças entre eles? 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
70 
22) Qual o significado da parcela Vc0 e como é deduzida? 
23) Como é calculada a parcela Vc1 ? O que ela representa? 
24) O que significam os valores VSd,mín e VRd2 ? 
25) Qual o valor da armadura mínima à força cortante? 
26) Quais os limites para o diâmetro e o espaçamento dos estribos? 
 
5.21 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Calcular e detalhar a armadura transversal para as vigas mostradas na Figura 5.52, Figura 5.53 e 
Figura 5.54, submetidas à flexão simples, e sendo comuns os seguintes valores: c = f = 1,4 ; s = 1,15 ; 
CA-50 ou CA-60. 
 
1) Para a viga da Figura 5.52: C20, c = 2,0 cm, bw = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm. 
 
2) Idem ao primeiro exercício, mas com a modificação do concreto para o C30. Compare os resultados 
encontrados. 
 
3) Para a viga da Figura 5.53: C25, c = 2,5 cm, bw = 30 cm, h = 60 cm, d = 56 cm. 
 
600 cm20 20
25 kN/m
ef
 
Figura 5.52 – Esquema estático e carregamento externo na viga. 
 
 
550 cm
/2
30
20 kN/m

50 kN

/2
30
 
Figura 5.53 – Esquema estático e carregamento externo na viga. 
 
 
4) Para a viga da Figura 5.54: C30, c = 2,5 cm, d = 93 cm, VS,máx = 250 kN. A viga é do tipo pré-
moldada, com comprimento total de 10,60 m. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
71 
5
8
1512,5 12,5
40
1
2
40 cm
3
0
1
0
0
 c
m
 
Figura 5.54 – Dimensões da seção transversal da viga I. 
 
 
5.22 REFERÊNCIAS 
 
1. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, 
NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p. 
2. HSU, T.T.C. ; MAU, S.T. ; CHEN, B. A theory of shear transfer strength of reinforced concrete. AC1 Structural 
Journal, v.84, n.2, 1987, pp.149-160. 
3. HSU, T.T.C. Softened truss model theory for shear and torsion. AC1 Structural Journal, v.85, n.6, 1988, pp.624-
635. 
4. PANG, X.B.D. ; HSU, T.T.C. Fixed angle softened truss model for reinforced concrete. ACI Structural Journal, 
v.93, n.2, 1996, pp.197–207. 
5. REINECK, K.H. Shear design based on truss models with crack-friction. Comité Euro-International du Béton, 
CEB, Bulletin d’ Information n. 223 - Ultimate limit state design models - A state-of-the-art report, 1995, pp.137-
157. 
6. MITCHELL, D. ; COLLINS, M.P. Diagonal compression field theory - A rational mode1 for structural concrete 
in pure torsion. Journal of American Concrete Institute, v.71, n.8, Aug. 1974, pp.396-408. 
7. VECCHIO, F.J. ; COLLINS, M.P. The modified compression field theory for reinforced concrete elements 
subjected to shear. ACI Journal, v.83, n.2, 1986, pp.219-31. 
8. HAWKINS, N.M. ; KUCHMA, D.A. ; MAST, R.F. ; MARSH, M.L. ; REINECK, K.H. Simplified shear design 
of structural concrete members, NCHRP Report 549. Washington, Transportation Research Board, 2005, 55p. 
9. LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos do dimensionamento de 
estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 305p. 
10. FENWICK, R.C. ; PAULAY, SR.T. Mechanisms of shear resistance of concrete beams. Journal of Structural 
Engineering, ASCE, v.94, n.10, 1968, pp.2325–2350. 
11. MACGREGOR, J.G. ; WIGHT, J.K. Reinforced concrete – Mechanics and design. 4a ed., Upper Saddle River, 
Ed. Prentice Hall, 2005, 1132p. 
12. TAYLOR, H.P.J. Shear strength of large beams. ASCE Journal of the Structural Division, v.98 (ST 11), nov. 
1972, pp.2473-2490; 
13. REINECK, K.H. Ultimate shear force of structural concrete members without transverse reinforcement derived 
from a mechanical model. ACI Structural Journal, Sept-Oct 1991, pp.592-602. 
14. ACHARYA D.N., KEMP K.O. Significance of dowel forces on the shear failure of rectangular reinforced 
concrete beams without web reinforcement. ACI Journal, 62–69, oct. 1965, pp.1265–1278. 
15. AMERICAN SOCIETY CIVIL ENGINEERS / AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. The shear strength of 
reinforced concrete members – Chapters 1 to 4. ACI-ASCE Committee 426, Proceedings ASCE, Journal of the 
Structural Division, v.99,n.ST6, June 1973, pp.1091-1187. 
16. POLI, S.D. ; GAMBAROVA, P.G. ; KARAKOÇ, C. Aggregate interlock role in RC thin-webbed beams in 
shear. American Society of Civil Engineers, ASCE, v.113, n1, 1987, pp.1-19. 
17. POLI, S.D. ; PRISCO, M.D. ; GAMBAROVA, P.G. Shear response, deformations, and subgrade stiffness of a 
dowel bar embedded in concrete. ACI Structural Journal, v.89, n.6, 1992, pp.665-675. 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
72 
18. KREFELD, W.J. ; THURSTON, C.W. Contribution of longitudinal steel to shear resistance of reinforced 
concrete beams. ACI Journal, mar, 1966, pp.325-342. 
19. VINTZILEOU, E. Shear transfer by dowel action and friction as related to size effects. COMITÉ EURO-
INTERNATIONAL DU BÉTON (CEB), Bulletin d’ Information n.237, Concrete tension and size effects, April 
1997, pp.53-77. 
20. AMERICAN SOCIETY CIVIL ENGINEERS / AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Recent approaches to 
shear design of structural concrete - State-of-the-Art-Report. ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion, 
Journal of Structural Engineering, v.124, n.12, 1998, pp.1375-1417. 
21. FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. 
22. MÖRSCH, E. Der Eisenbetonbau-Seine Anwendung und Theorie, 1st ed. Wayss and Freytag, A. G., Im 
Selbstverlag der Firma, Neustadt a. d. Haardt, Germany, 1902. 
23. MÖRSCH, E. Der Eisenbetonbau-Seine Theorie und Anwendung (Reinforced concrete construction) – Theory 
and application), 5th ed. Wittwer, Sttugart, v.1, Part 1, 1920. 
24. MÖRSCH, E. Der Eisenbetonbau-Seine Theorie und Anwendung (Reinforced concrete construction) – Theory 
and application), 5th ed. Wittwer, Sttugart, v.1, Part 2, 1922. 
25. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 318-14: Building Code Requirements for Structural Concrete and 
Commentary, ACI committee 318, 2014, 520p. 
26. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Code-modèle CEB-FIP pour les structures au béton. CEB, 
Bulletin D’Information n. 124/125, 1979. 
27. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de estruturas de concreto 
armado, NB 1. Rio de Janeiro, ABNT, 1978, 76p. 
28. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin 
D’Information n. 204, Lausanne, 1991. 
29. EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION. Eurocode 2 – Design of concrete structures. Part 1: 
General rules and rules for buildings. London, BSI, 1992. 
30. GARCIA, S.L.G. Taxa de armadura transversal mínima em vigas de concreto armado. Tese (Doutorado), Rio de 
Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2002, 207p. 
31. SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1985, 376p. 
32. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto para fins estruturais – Classificação pela 
massa específica, por grupos de resistência e consistência, NBR 8953. ABNT, 2009, 4p. 
33. PFEIL, W. Pontes em concreto armado – Elementos de projeto, solicitações e superestrutura, v. 1. Rio de 
Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora, 3a ed., 1983, 225p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
73 
TABELAS ANEXAS 
 
 
Tabela A-1 
ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm2/m) 
Espaçamento 
(cm) 
Diâmetro Nominal (mm) 
4,2 5 6,3 8 10 12,5 
5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00 
5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73 
6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83 
6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23 
7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 
7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 
8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 
8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 
9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 
9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 
10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 
11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 
12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42 
12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 
13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 
14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 
15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 
16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 
17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 
17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 
18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 
19 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 
20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 
22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 
24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 
25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 
26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 
28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46 
30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 
33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79 
Diâmetros especificados pela NBR 7480. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
74 
Tabela A-2 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b (cm) para As,ef = As,calc e aço CA-50 nervurado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
6,3 
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
8 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
10 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
12,5 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
16 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 
20 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
22,5 
170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
25 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
32 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
40 
303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 
212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66 
 Valores de acordo com a NBR 6118 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 b Sem e Com ganchos nas extremidades 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP Dimensionamento de vigas à força cortante 
 
 
75 
 
Tabela A-3 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b (cm) para As,ef = As,calc e aço CA-60 entalhado 
 
(mm
) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
3,4 
 
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 
35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
4,2 
 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
5 
 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 
51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
6 
 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
7 
 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 
71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
8 
 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 
82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 
9,5 
 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 
97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 b Sem e Com ganchos nas extremidades 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
ANCORAGEM E EMENDA DEARMADURAS 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Março/2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2323 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru/SP. 
O texto apresenta as prescrições contidas na NBR 6118/2014 (“Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento”) para a ancoragem e emenda de barras de aço da armadura, incluindo o 
cálculo e detalhamento da ancoragem da armadura longitudinal de tração nos apoios de vigas de 
Concreto Armado, e o “cobrimento” do diagrama de momentos fletores, para definição do 
posicionamento e da extensão das armaduras longitudinais. 
 Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção dos desenhos. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
1. CLASSIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA ENTRE CONCRETO E ARMADURA ........................ 1 
1.1 Aderência por Adesão ........................................................................................................... 1 
1.2 Aderência por Atrito .............................................................................................................. 2 
1.3 Aderência Mecânica .............................................................................................................. 2 
2. ANCORAGEM E FENDILHAMENTO ...................................................................................... 3 
2.1. Corpos de Prova para Ensaio de Arrancamento .................................................................... 3 
2.2. Tensões Principais ................................................................................................................. 4 
2.3. Mecanismos da Aderência ..................................................................................................... 7 
3. SITUAÇÕES DE BOA E DE MÁ ADERÊNCIA ....................................................................... 8 
4. RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA .............................................................................................. 9 
5. ANCORAGEM DE ARMADURA PASSIVA POR ADERÊNCIA ......................................... 10 
5.1 Comprimentos de Ancoragem Básico e Necessário ............................................................ 10 
5.2 Disposições Construtivas..................................................................................................... 13 
5.2.1 Prolongamento Retilíneo da Barra ou Grande Raio de Curvatura ............................... 13 
5.2.2 Barras Transversais Soldadas ....................................................................................... 13 
5.2.3 Ganchos das Armaduras de Tração .............................................................................. 14 
5.2.4 Armadura Transversal na Ancoragem .......................................................................... 15 
5.2.5 Ancoragem de Estribos ................................................................................................ 15 
6. EMENDA DE BARRAS ............................................................................................................ 16 
6.1 Emenda por Transpasse ....................................................................................................... 17 
6.1.1 Proporção de Barras Emendadas .................................................................................. 18 
6.1.2 Comprimento de Transpasse de Barras Isoladas Tracionadas ..................................... 19 
6.1.3 Comprimento de Transpasse de Barras Isoladas Comprimidas ................................... 20 
6.1.4 Armadura Transversal nas Emendas por Transpasse de Barras Isoladas ..................... 20 
7. ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL DE FLEXÃO EM VIGAS ................. 21 
7.1 Decalagem do Diagrama de Força no Banzo Tracionado ................................................... 22 
7.1.1 Modelo de Cálculo I ..................................................................................................... 22 
7.1.2 Modelo de Cálculo II .................................................................................................... 23 
7.2 Ponto de Início de Ancoragem ............................................................................................ 23 
7.3 Armadura Tracionada nas Seções de Apoio ........................................................................ 28 
7.3.1 Apoio com Momento Fletor Positivo ........................................................................... 28 
7.3.2 Ancoragem da Armadura Longitudinal Positiva nos Apoios Extremos de Vigas 
Simples ou Contínuas .............................................................................................................. 28 
7.3.3 Apoio Intermediário de Vigas Contínuas ..................................................................... 35 
7.3.4 Ancoragem de Armadura Negativa em Apoios Extremos ........................................... 36 
8. QUESTIONÁRIO ...................................................................................................................... 37 
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 38 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ........................................................................................... 39 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
1 
1. CLASSIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA ENTRE CONCRETO E ARMADURA 
 
 Uma ótima aderência entre a armadura de aço e o concreto é de fundamental importância 
para a existência do Concreto Armado, o que subentende o trabalho solidário e conjunto entre os 
dois materiais. Com a aderência procura-se garantir que não ocorra escorregamento relativo entre 
o concreto e as barras de aço. 
 O fenômeno da aderência envolve dois aspectos: o mecanismo de transferência de força da 
barra de aço para o concreto que a envolve e a capacidade do concreto resistir às tensões oriundas 
dessa força. 
A transferência de força é possibilitada por ações químicas (adesão), por atrito e por ações 
mecânicas, e pode ser estudada considerando diferentes estágios, dependentes da intensidade da 
força, da textura da superfície da barra de aço e da qualidade do concreto. 
 Existe uma classificação da aderência em três parcelas (por adesão, por atrito e mecânica), 
meramente esquemática, pois não é possível determinar precisamente a contribuição de cada uma 
delas individualmente. 
 
1.1 Aderência por Adesão 
 
 Após o lançamento do concreto fresco sobre uma chapa de aço (Figura 1), durante o 
endurecimento do concreto ocorrem ligações físico-químicas com a chapa de aço na interface, que 
faz surgir uma resistência de adesão, indicada pela força Rb1 , que se opõe à separação dos dois 
materiais. A contribuição da adesão à aderência é pequena. A Figura 2 mostra a força Va devida à 
aderência entre o concreto e uma barra nervurada. 
 
concreto
aço
Rb1
b1R
 
Figura 1 – Aderência por adesão (FUSCO, 2000). 
 
 
 
Figura 2 – Aderência por adesão em barra nervurada (REYES, 2009). 
 
 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
2 
1.2 Aderência por Atrito 
 
 Ao se aplicar uma força que tende a arrancar uma barra de aço inserida no concreto, 
verifica-se que a força de arrancamento (Rb2 – Figura 3) é muito superior à força Rb1 relativa à 
aderência por adesão. Considera-se que a superioridade da força Rb2 sobre a força Rb1 é devida às 
tensões de cisalhamento b , que originam forças de atrito que opõem-se ao deslocamento relativo 
entre a barra de aço e o concreto. Existe, portanto, uma contribuição do atrito à aderência. 
A intensidadedas forças de atrito depende do coeficiente de atrito entre o concreto e o aço, 
e quando existir, da intensidade de forças de compressão transversais ao eixo da barra (Pt , 
chamadas forças de confinamento - Figura 4), provenientes da retração do concreto, de ações 
externas, etc. A Figura 5 mostra a força Vf devida ao atrito entre o concreto e uma barra 
nervurada. 
 
b
Rb2
 
Figura 3 – Aderência por atrito sem forças de confinamento (FUSCO, 2000). 
 
 
b
Pt
b2R
tP
 
Figura 4 – Aderência por atrito com forças de confinamento Pt (FUSCO, 2000). 
 
 
Figura 5 – Aderência por atrito entre concreto e barra nervurada (REYES, 2009). 
 
 
1.3 Aderência Mecânica 
 
 A aderência mecânica é aquela proporcionada pelas saliências (também chamadas 
nervuras ou mossas) existentes na superfície das barras de aço de alta aderência, e às 
irregularidades da laminação no caso das barras lisas. As saliências criam pontos de apoio no 
concreto, que causam uma resistência ao escorregamento relativo entre a barra e o concreto 
(Figura 6 e Figura 7). A aderência mecânica é a parcela mais importante e de maior intensidade da 
aderência total. 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
3 
R b3
b3R
Barras nervuradas
Barras lisas
 
 
Figura 6 – Aderência mecânica proporcionada pelas irregularidades da superfície de barras de 
aço lisas e por saliências em barras nervuradas (FUSCO, 2000). 
 
 
 
Figura 7 – Aderência mecânica entre concreto e barra nervurada (REYES, 2009). 
 
 
2. ANCORAGEM E FENDILHAMENTO 
 
2.1. Corpos de Prova para Ensaio de Arrancamento 
 
 A resistência de aderência pode ser determinada por meio de diferentes ensaios 
experimentais, sendo o mais comum o de arrancamento de uma barra de aço inserida no concreto, 
como mostrado na Figura 8. A Figura 9 mostra três diferentes corpos de prova utilizados em 
ensaios de arrancamento, que determinam a resistência média global de aderência (1m), valor que 
é suficiente para atender aos requisitos básicos de projeto. 
 
 
 
Figura 8 – Corpo de prova para ensaio de arrancamento de barra conforme Rilem-Ceb-Fib (1973), 
para ensaios cíclicos (REYES, 2009). 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
4 
 
Figura 9 – Tipos de corpos de prova utilizados em ensaio de arrancamento para determinação da 
resistência de aderência (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
2.2. Tensões Principais 
 
 A Figura 10 mostra a direção das tensões principais de tração e de compressão, em ensaio 
de arrancamento, para o caso de ancoragem de barra reta e ancoragem por meio de placa de aço na 
extremidade da barra.1 Ancoragem é o termo utilizado para indicar a fixação de uma barra ao 
concreto, de modo que a força que nela atua seja transferida em sua extremidade para o concreto. 
Na barra é aplicada a força de arrancamento Rs e o corpo de prova está apoiado em um 
dispositivo, que proporciona forças reativas D. No caso da placa de ancoragem e de não existir 
aderência entre o concreto e a barra, a resistência ao arrancamento é proporcionada apenas pelo 
apoio da área da placa no concreto. 
Na região de ancoragem reta por aderência as tensões inclinadas de compressão propagam-
se pelo concreto a partir da extremidade da barra, e surgem também tensões de tração, 
perpendiculares às tensões principais de compressão e transversais à barra (Figura 10a). No caso 
de placa de ancoragem as tensões têm trajetórias semelhantes (Figura 10b). 
 
 
1 A placa de apoio é comum na ancoragem de armaduras ativas para o Concreto Protendido. 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
5 
 
Rs Rs 
 
 a) ancoragem por aderência de barra reta; b) ancoragem por placa. 
 
Figura 10 – Trajetórias das tensões principais no concreto. (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982) 
 
 
Conforme o desenho da Figura 11, a força Rs de arrancamento da barra também ocasiona 
tensões tangenciais (b) na interface aço-concreto, além das tensões diagonais de compressão (ce 
- linhas tracejadas na Figura 10) e tensões transversais de tração (tt - linhas contínuas). 
 
 
Figura 11 – Tensões atuantes na ancoragem por aderência de barra com saliências (FUSCO, 2000). 
 
 
As tensões de tração produzem no concreto o esforço denominado “fendilhamento”, que 
pode alcançar o valor de 0,25 da força Rs , e que pode dar origem às chamadas “fissuras de 
fendilhamento”, como mostradas na Figura 12 e na Figura 13. 
 
 
 
 
Figura 12 – Fissuras de fendilhamento na região de ancoragem (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
6 
 
 
Figura 13 – Fissuras por fendilhamento ao longo da barra ancorada (FUSCO, 2000). 
 
 Para evitar ou diminuir a possibilidade do surgimento de fissuras de fendilhamento, pode 
ser adotada uma armadura em forma de hélice (Figura 14b), comum nas peças de Concreto 
Protendido, ou uma armadura em forma de barras transversais (armadura de costura), dispostas ao 
longo da barra ancorada por aderência (Figura 14c). Esta armadura combate as tensões 
transversais de tração e impedem a ruptura longitudinal por fendilhamento. E também evitam que, 
se ocorrerem fissuras, estas alcancem a superfície do concreto (que poderia comprometer a 
durabilidade da peça devido à corrosão da barra de aço ancorada). 
Se ocorrerem tensões de compressão transversais independentes daquelas oriundas da 
ancoragem, o problema do fendilhamento fica diminuído (Figura 14a). 
 
 
 a) compressão transversal; b) cintamento helicoidal; c) armadura transversal de costura. 
Figura 14 – Armadura para evitar fissuras de fendilhamento na ancoragem reta (FUSCO, 2000). 
 
 Como afirma FUSCO (2000), o importante na ancoragem de barras tracionadas é 
“garantir a manutenção da integridade das bielas diagonais comprimidas e assegurar que os 
esforços transversais de tração possam ser adequadamente resistidos.” 
 Nas vigas há um efeito favorável proporcionado pelas bielas comprimidas de concreto, 
devidas às forças cortantes (Figura 15). Além disso, os estribos atuam como “armadura de 
costura”, ao resistirem às tensões transversais de tração, e quanto mais próximos entre si, melhor. 
 As bielas são os volumes de concreto entre as fissuras mostradas na Figura 11, e que 
resistem às tensões ce . Os esforços transversais, devidos às tensões tt podem ser resistidos por 
armaduras, como mostrado na (Figura 14). 
 
 
 
Figura 15 – Atuação favorável dos estribos para evitar fissuras por fendilhamento 
 na região de ancoragem reta (FUSCO, 2000). 
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7 
2.3. Mecanismos da Aderência 
 
 A Figura 16 mostra o diagrama esquemático resistência de aderência x deslocamento 
relativo (ou escorregamento) de uma barra com saliências, determinado em ensaio de 
arrancamento, onde a força aplicada inicia-se em zero e vai sendo gradativamente aumentada até a 
ruptura completa da aderência. 
O estágio I, do trecho da origem do diagrama ao início da curva (deslocamento relativo 
nulo), corresponde à aderência por adesão, cuja ruptura ocorre com um deslocamento relativo 
muito pequeno. Isso implica que a adesão colabora apenas com uma pequena parcela para a 
resistência de aderência total. 
Após a resistência por adesão ser superada, a transferência da força de arrancamento da 
barra para o concreto ocorre principalmente pela ação de apoio das saliências no concreto 
(consolos de concreto), como mostrado na Figura 17. 
 
deslocamento relativo
re
s
is
tê
n
c
ia
 d
e
 
a
d
e
rê
n
c
ia
estágio IV
estágio I
estágio II
estágio III
 
Figura 16 – Diagrama esquemático de resistência de aderência x escorregamento 
do ensaio de arrancamento (FIB, 1999). 
 
 
No estágio II, os deslocamentos relativos ainda são pequenos, ocasionados pela 
deformação do concreto sob ação direta das saliências. Em uma determinadaforça (ou instante) 
começa a formação de microfissuras a partir da parte superior das saliências (consolos - Figura 
17). 
O estágio III inicia com o surgimento da primeira fissura radial (ver Figura 12 e Figura 
13), e é também mantido pela ação das saliências sobre o concreto (consolos). Não existindo 
forças de confinamento (como as forças Pt mostradas na Figura 4), as fissuras propagam-se pelo 
concreto, e a ruptura ocorre pela ação de fendilhamento, o que corresponde ao estágio IV. 
Com forças de confinamento grandes o suficiente para prevenir a ruptura por 
fendilhamento do concreto, a ruptura da aderência ocorre pelo arrancamento da barra, 
modificando o mecanismo de transferência de força pelo apoio das saliências no concreto para 
forças de atrito, em função da resistência ao cisalhamento dos consolos de concreto (Figura 17b). 
Neste caso, ocorre a ruptura dos consolos por cisalhamento. 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
8 
concreto
F
sobre a barra
componentes de força
forças sobre
fissuras
 
a) Ruptura pelas fissuras de fendilhamento; 
 
força de confinamento
F saliência
componentes de força
sobre o concreto
barra com
plano de ruptura
 
b) Ruptura dos consolos por cisalhamento e consequente arrancamento da barra. 
 
Figura 17 – Ação das saliências da barra de aço sobre o concreto e modos de ruptura (FUSCO, 2000). 
 
 
3. SITUAÇÕES DE BOA E DE MÁ ADERÊNCIA 
 
 Ensaios experimentais realizados mostraram que a resistência de aderência, de barras de 
aço posicionadas na direção vertical, é significativamente maior que a resistência de aderência de 
barras posicionadas na horizontal. Para as barras horizontais, a distância ao fundo ou ao topo da 
fôrma (superfície de concreto) determina a qualidade da aderência entre o concreto e a barra de 
aço. Assim ocorre porque, durante o adensamento e o endurecimento do concreto, a sedimentação 
do cimento e principalmente o fenômeno da exsudação2, tornam o concreto da camada superior 
mais poroso, podendo diminuir a aderência à metade daquela das barras verticais. 
 Em determinadas situações, que dependem basicamente da inclinação e da posição da 
barra de aço na massa de concreto (Figura 18), a NBR 6118 (item 9.3.1) define situações 
chamadas “boa” e “má” aderência. “Consideram-se em boa situação quanto à aderência os 
trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes: 
a) com inclinação maior que 45 sobre a horizontal; 
b) horizontais ou com inclinação menor que 45 sobre a horizontal, desde que: 
- para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face 
inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; 
- para elementos estruturais com h  60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face 
superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. 
 
2 Exsudação: segregação do concreto, com movimento para baixo de cimentos e agregados, e da água para cima, o 
que provoca regiões de concretos mais porosos e de menor aderência na parte superior das peças. 
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9 
Os trechos das barras em outras posições, e quando do uso de formas deslizantes, devem 
ser considerados em má situação quanto à aderência.” 
 
I
45 I
II
45
45I
30 cm
h - 30 cm
h < 60 cm
II
h - 30 cm
30 cm
h 60 cm
 
Figura 18 – Regiões de boa (I) e de má (II) aderência. 
 
 
4. RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA 
 
 A determinação da resistência de aderência (fbd) entre o concreto e a armadura é 
importante e necessária ao cálculo do “comprimento de ancoragem” e do “comprimento de 
emenda” das barras da armadura. 
A resistência de aderência depende da resistência do concreto, da rugosidade da superfície 
da barra de aço, da posição da barra na massa de concreto (situação de aderência) e do diâmetro 
da barra. As nervuras (saliências) na superfície da barra aumentam significativamente a 
resistência de aderência. 
Embora a distribuição da tensão de aderência sobre o comprimento de ancoragem seja 
não-linear (ver Figura 19), para aplicações práticas e de projeto considera-se seguro considerar 
uma tensão média de valor constante. De acordo com a NBR 6118 (item 9.3.2.1), a “resistência 
de aderência de cálculo entre a armadura e o concreto na ancoragem de armaduras passivas 
deve ser obtida pela seguinte expressão:” 
 
fbd = 1 . 2 . 3 . fctd Eq. 1 
 
onde: fctd = resistência de cálculo do concreto à tração direta: 
 
3 2
ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 , fck em MPa 
 
 1 – parâmetro que considera a rugosidade da barra de aço: 
 
 1 = 1,0 para barras lisas; 
 1 = 1,4 para barras entalhadas; 
 1 = 2,25 para barras nervuradas. 
 
2 – parâmetro que considera a posição da barra na peça: 
 
 2 = 1,0 para situações de boa aderência; 
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10 
 2 = 0,7 para situações de má aderência. 
 
 3 – parâmetro que considera o diâmetro da barra: 
 
 3 = 1,0 para  < 32 mm; 
 
 3 = (132 – )/100 , para  ≥ 32 mm , com  = diâmetro da barra em mm. 
 
 A expressão de fbd é idêntica àquela constante do código MC-90 do CEB/FIP (1991). 
 
5. ANCORAGEM DE ARMADURA PASSIVA POR ADERÊNCIA 
 
Define a NBR 6118 (item 9.4.1) que “Todas as barras das armaduras devem ser 
ancoradas de forma que as forças a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidas ao 
concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou por combinação de 
ambos.” 
A ancoragem por aderência da força na barra pode ser por meio de um comprimento reto 
ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho (item 9.4.1.1). A ancoragem com 
dispositivos mecânicos acoplados à barra (detalhado no item 9.4.7 da NBR 6118) é utilizada 
principalmente nas peças de Concreto Protendido, como por exemplo com a utilização de uma 
placa de aço acoplada à extremidade da barra de aço (item 9.4.1.2), (ver Figura 10). 
“Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência 
devem ser confinadas por armaduras transversais (ver 9.4.2.6) ou pelo próprio concreto, 
considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3 e a 
distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3.” (NBR 6118, 9.4.1.1). 
 
5.1 Comprimentos de Ancoragem Básico e Necessário 
 
 O comprimento de ancoragem de uma barra de aço depende da qualidade e da resistência 
do concreto, da posição e inclinação da barra na peça, da força de tração na barra e da 
conformação superficial da barra (saliências, entalhes, nervuras, etc.). 
A ancoragem reta da barra, como mostrada na Figura 19, é econômica e simples de 
projetar e executar. O comprimento de ancoragem é calculado admitindo-se que a tensão de 
aderência seja constante, o que não corresponde à realidade, como mostram os diagramas 
constantes da Figura 19, obtidos em ensaios experimentais de arrancamento. 
 O comprimento de ancoragem básico de uma barra reta ( b - item 9.4.2.4 da NBR 6118) é 
definido como o “comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar 
a força-limite As . fyd nessa barra, admitindo-se, ao longo desse comprimento, resistência de 
aderência uniforme e igual a fbd .” 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
11 
 
Figura 19 – Diagrama de tensões de aderência na ancoragem reta de barra de aço. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
Conforme a Figura 20, a força na barra (Rst = As fyd) é equilibrada pela força resultante das 
tensões de aderência aplicadas ao concreto na superfície da barra: 
 
Rst = fbd . u . b Eq. 2 
 
onde u é o perímetro da barra. 
 
 Substituindo Rst por As fyd na Eq. 2, fica: 
 
 As . fyd = fbd . u . b 
 
com: u =  .  e: As =  . 
2/4 , tem-se: 
 
 



..f
f
4
.
bd
yd
2
b 
 
bd
yd
b
ff
4

 Eq. 3 
 
com b ≤ 25 . 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
12 
bd fbd
b
Ø
stR
 
Figura 20 – Comprimento de ancoragem básico de uma barra reta. 
 
 
O valor b da Eq. 3 é definido pela NBR 6118 como “comprimento de ancoragem básico”, 
isto é, o comprimento reto necessário para uma barra de armadura passiva ancorar a força limite 
As . fyd , admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd . 
As tabelas anexas Tabela A-1 e Tabela A-2 fornecem o comprimento de ancoragem básico 
(b), para os aços CA-50 nervurado e CA-60 entalhado e os concretos do Grupo I de resistência. 
Para a determinação de b devem ser consideradas as colunas “Sem”, que indicam a ancoragem 
reta, sem gancho na extremidade da barra. Também é necessário considerar a situação de 
aderência (boa ou má). Nessas tabelas também são disponibilizados os comprimentos de 
ancoragem com ganho na extremidade da barra (colunas “Com”), comprimento chamado 
“necessário” pela norma. 
A norma define o “comprimento de ancoragem necessário” (b,nec - item 9.4.2.5), que leva 
em consideração a existência ou não de gancho e a relação entre a armadura calculada (As,calc) e a 
armadura efetivamente disposta (As,ef), cujo valor é: 
 
mín,b
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  Eq. 4 
 
onde:  = 1,0 - para barras sem gancho; 
  = 0,7 - para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao 
do gancho  3; 
 = 0,7 - quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; 
 = 0,5 - quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho 
com cobrimento no plano normal ao do gancho  3; 
b = comprimento de ancoragem básico; 
As,calc = área da armadura calculada; 
As,ef = área da armadura efetiva. 
 
O comprimento de ancoragem deve atender ao comprimento de ancoragem mínimo: 
 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 Eq. 5 
 
 A norma permite, “em casos especiais, considerar outros fatores redutores do 
comprimento de ancoragem necessário.” 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
13 
5.2 Disposições Construtivas 
 
 Os itens da NBR 6118: 9.4.3 - Ancoragem de feixes de barras, 9.4.4 - Ancoragem de telas 
soldadas e 9.4.5 – Ancoragem de armaduras ativas, todos por aderência, não serão abordados 
nesta apostila. 
 
5.2.1 Prolongamento Retilíneo da Barra ou Grande Raio de Curvatura 
 
Segundo a NBR 6118 (9.4.2.1): “As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de 
um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com 
as condições a seguir: 
 
a) obrigatoriamente com gancho (ver 9.4.2.3) para barras lisas; 
b) sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão; 
c) com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de 
 > 32 mm ou para feixes de barras. 
 
As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.” Desse modo diminui-se a 
possibilidade de flambagem da barra, o que poderia levar ao rompimento do cobrimento de 
concreto, como mostrado na Figura 21. 
 
 
Figura 21 – O gancho na ancoragem de barra comprimida pode ocasionar o rompimento 
do cobrimento de concreto (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
5.2.2 Barras Transversais Soldadas 
 
 Para aumentar a eficiência da ancoragem por aderência (Figura 22), a NBR 6118 (9.4.2.2) 
permite que sejam “utilizadas várias barras transversais soldadas para a ancoragem de barras, 
desde que: 
a) seja o diâmetro da barra soldada t  0,60  ; 
b) a distância da barra transversal ao ponto de início da ancoragem seja  5  ; 
c) a resistência ao cisalhamento da solda supere a força mínima de 0,3 As fyd (30 % da resistência 
da barra ancorada).” 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
14 


b,nec b,nec
b,necb,nec
55
55
 
 
Figura 22 – Critérios para posicionamento de barras transversais soldadas à barra ancorada. 
 
Para barra transversal única, ver item 9.4.7.1 da NBR 6118. 
 
5.2.3 Ganchos das Armaduras de Tração 
 
Quando se fizer uso de ganchos nas extremidades das barras da armadura longitudinal de 
tração (Figura 23), os ganchos podem ser NBR 6118 (9.4.2.3): 
 
“a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2  ; 
b) em ângulo de 45 (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4  ; 
c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8  . 
 
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.” 
8 Ø
4 
Ø
2 Ø
Ø
Ø
Ø
F t
tF
tF
D
 
Figura 23 – Características dos ganchos nas extremidades de barras tracionadas. 
 
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve 
ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 1. Sua prescrição tem a finalidade de evitar 
concentração de tensão no concreto na região da dobra, que pode ocorrer no caso de barras 
dobradas com curvaturas pequenas. Na região da curvatura ocorrem tensões normais de 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
15 
compressão no concreto, no plano de dobramento da barra, acompanhadas de tensões transversais 
de tração, que podem provocar fissuras por fendilhamento do concreto. Com o diâmetro de 
dobramento especificado pela norma, as tensões de tração tornam-se suficientemente baixas, 
podendo ser absorvidas pelo concreto.3 
 
Tabela 1 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) (Tabela 9.1 da NBR 6118). 
Bitola 
(mm) 
Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
< 20 4  5  6  
 20 5  8  - 
 
 
 “Quando houver barra soldada transversal ao gancho e a operação de dobramento 
ocorrer após a soldagem, devem ser mantidos os diâmetros dos pinos de dobramento da Tabela 
9.1, se o ponto de solda situar-se na parte reta da barra, a uma distância mínima de 4  do início 
da curva. Caso essa distância seja menor, ou o ponto se situe sobre o trecho curvo, o diâmetro do 
pino de dobramento deve ser no mínimo igual a 20  . Quando a operação de soldagem ocorrer 
após o dobramento, devem ser mantidos os diâmetros da Tabela 9.1.” (NBR 6118, 9.4.2.3). 
 
5.2.4 Armadura Transversal na Ancoragem 
 
Para barras com  < 32 mm a NBR 6118 (9.4.2.6.1) prescreve: “Ao longo do comprimento 
de ancoragem deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a 25 % da força 
longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, 
prevalece, para esse efeito, a de maior diâmetro.” 
No caso de barras com  ≥ 32 mm a NBR 6118 (9.4.2.6.2) prescreve: “Deve ser verificada 
a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras 
transversais devem suportar as tensões de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando 
o espaçamento máximo de 5  (onde  é o diâmetro da barra ancorada). Quando se tratar de 
barras comprimidas, pelo menos uma das barras constituintes da armadura transversal deve 
estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da barra ancorada) além da extremidade 
da barra.” 
 
5.2.5 Ancoragem de Estribos 
 
A NBR 6118 (9.4.6) prescreve: “A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser 
garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas. 
 Os ganchos dos estribos podem ser: 
a) semicirculares ou em ângulo de 45 (interno), com ponta reta de comprimento igual a 
5 t , porém não inferior a 5 cm; 
b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t , porém não inferior a 7 
cm (este tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios lisos). 
 
A Figura 24 ilustra os ganchos nas pontas do estribo. O diâmetro interno da curvatura dos 
estribos deve ser no mínimo igual ao valor apresentado na Tabela 2. 
 
 
 
3 Sugestão de estudo: item 6.6 Ancoragens curvas, do livro de FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São 
Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. 
 
UNESP (Bauru/SP)- Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
16 
Tabela 2 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos (Tabela 9.2 da NBR 6118). 
Bitola 
(mm) 
Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
 10 3 t 3 t 3 t 
10 <  < 20 4 t 5 t - 
 20 5 t 8 t - 
 
 
No item 9.4.6.2 a NBR 6118 prescreve como deve ser a ancoragem de estribos por meio 
de barras transversais soldadas. 
 
D
D

t
5  5 cmt

t
t10 7 cm

t
45°
5 5 cmt
D
 
Figura 24 – Tipos de ganchos para os estribos. 
 
 
6. EMENDA DE BARRAS 
 
 As barras de aço apresentam usualmente o comprimento em torno de 12 m. Em elementos 
estruturais de comprimento superior a 12 m, como vigas e pilares por exemplo, torna-se 
necessário fazer a emenda das barras. A NBR 6118 (9.5) apresenta a emenda das barras, segundo 
um dos seguintes tipos: 
 
a) por traspasse (ou transpasse); 
b) por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas; 
c) por solda; 
d) por outros dispositivos devidamente justificados. 
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17 
No caso das emendas do tipo luva e solda, o concreto não participa da transmissão de 
forças de uma barra para outra, podendo as emendas serem dispostas em qualquer posição. No 
caso da emenda por traspasse é necessário que o concreto participe na transmissão dos esforços. 
Nesta apostila serão mostradas apenas as características das emendas por transpasse, que 
são bem mais comuns na prática das estruturas de concreto. 
 
6.1 Emenda por Transpasse 
 
No caso de emenda de barras por transpasse, a emenda é feita pela simples justaposição 
longitudinal das barras num comprimento de emenda bem definido, como mostrado na Figura 25 
e na Figura 26. A NBR 6118 (item 9.5.2) estabelece que a emenda por transpasse só é permitida 
para barras de diâmetro até 32 mm. “Cuidados especiais devem ser tomados na ancoragem e na 
armadura de costura de tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção 
inteiramente tracionada). 
No caso de feixes, o diâmetro do círculo de mesma área, para cada feixe, não pode ser 
superior a 45 mm, respeitados os critérios estabelecidos em 9.5.2.5.” 
 A transferência da força de uma barra para outra numa emenda por transpasse ocorre por 
meio de bielas inclinadas de compressão, como indicadas na Figura 26. Ao mesmo tempo surgem 
também tensões transversais de tração, que requerem uma armadura transversal na região da 
emenda. 
 
Figura 25 – Aspecto da fissuração na emenda de duas barras. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
 0t 
 
 
Figura 26 – Transmissão da força Rs por bielas comprimidas inclinadas de concreto 
e tração transversal em emenda de barras tracionadas (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 As barras a serem emendadas devem ficar próximas entre si, numa distância não superior a 
4  (Figura 27). Barras com saliências podem ficar em contato direto, dado que as saliências 
mobilizam o concreto para a transferência da força. 
 

 
Figura 27 – Espaçamento máximo entre duas barras emendadas por transpasse. 
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18 
 O padrão de fissuração na ruptura de emendas depende do cobrimento de concreto nas 
duas direções, como mostrado na Figura 28. A ruptura do cobrimento na região da emenda ocorre 
de uma ou outra forma, dependendo do espaçamento entre as emendas. 
A resistência da emenda depende do comprimento de transpasse, do diâmetro e 
espaçamento das barras e da resistência do concreto. O aumento do comprimento de transpasse 
não aumenta a resistência da emenda na mesma proporção. 
 
1
2
2
1
e
c
sc cs
b

 2
,5
 Ø
 
1 – fissura pré-ruptura 
2 – fissura na ruptura 
Figura 28 – Padrão de fissuração em função da espessura do cobrimento. 
(FÉDERATION INTERNATIONALE DU BÉTON, 1999). 
 
 
6.1.1 Proporção de Barras Emendadas 
 
 Como visto, a emenda de barras introduz tensões de tração e de compressão no concreto na 
região da emenda. Para evitar altas concentrações de tensão, deve-se limitar a quantidade de 
emendas numa mesma seção da peça. 
 A NBR 6118 (9.5.2.1) considera na mesma seção transversal “as emendas que se 
superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20 % do 
comprimento do trecho de traspasse.”, como indicado na Figura 29. “Quando as barras têm 
diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela barra de maior 
diâmetro.” 
 No esquema da Figura 29, 01 e 02 são os comprimentos das emendas de quatro barras. O 
critério para definir se duas emendas são consideradas ou não na mesma seção da peça é função 
da distância a: 
 
 - se a < 0,201  as emendas ocorrem na mesma seção; 
 - se a > 0,201  as emendas ocorrem em seções diferentes. 
 
 Ou seja, as emendas não necessitam estarem perfeitamente alinhadas para serem 
consideradas na mesma seção ao longo da peça. 
cs  0,85 cb 
cs > 0,85 cb 
 
cs  4,0 cb 
cs > 4,0 cb 
 
cs  8,0 cb 
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19 
< 0,2  01 02
> 01 02
a
 
Figura 29 – Emendas supostas na mesma seção transversal. 
 
 As barras tracionadas de uma armadura principal que podem ser emendadas em uma 
mesma seção transversal devem obedecer uma proporção máxima, apresentada na Tabela 3. 
 
Tabela 3 – Proporção (%) máxima de barras tracionadas emendadas (Tabela 9.3 da NBR 6118). 
Tipo de barra Situação 
Tipo de carregamento 
Estático Dinâmico 
Alta aderência 
Em uma camada1) 100 100 
Em mais de uma camada2) 50 50 
Lisa 
 < 16 mm 50 25 
  16 mm 25 25 
Nota: 1) Camada indica se as barras emendadas encontram-se em um mesmo nível, ou em níveis (camadas) diferentes. 
 
 
“A adoção de proporções maiores que as indicadas deve ser justificada quanto à 
integridade do concreto na transmissão das forças e da capacidade resistente da emenda, como 
um conjunto, frente à natureza das ações que a solicitem. 
 Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as 
barras podem ser emendadas na mesma seção.” 
 
6.1.2 Comprimento de Transpasse de Barras Isoladas Tracionadas 
 
“Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4, o 
comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser:” (NBR 6118, 9.5.2.2) 
 
mín,t0nec,bt0t0   Eq. 6 
 
onde: b,nec = comprimento de ancoragem necessário, como definido no item 5.1; 
b = comprimento de ancoragem básico, como definido no item 5.1; 
t0 = coeficiente que é função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, 
conforme a Tabela 4. 
 








mm200
15
3,0 bt0
mín,t0

 Eq. 7 
 
 
 
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20 
Tabela 4 – Valores do coeficiente 0t (Tabela 9.4 da NBR 6118). 
Barras emendadas 
na mesma seção (%) 
 20 25 33 50 > 50 
Valores de 0t 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 
 
“Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4, ao comprimento 
calculado em 9.5.2.2.1 deve ser acrescida a distância livre entre as barras emendadas. A 
armadura transversal na emenda deve ser justificada, considerando o comportamento conjunto 
concreto-aço, atendendo ao estabelecido em 9.5.2.4.” (NBR 6118, 9.5.2.2.2). 
A Eq. 6 mostra que o comprimento de emenda de barras tracionadas é o comprimento de 
ancoragem básico majorado de 1,2 a 2,0 (Tabela 4). E quanto maior a quantidade de barras 
emendadas em uma mesma seção, maior deve ser o comprimento da emenda. 
 
6.1.3 Comprimento de Transpasse de Barras Isoladas Comprimidas 
 
 Nas emendas de barras comprimidas existe o efeito favorável da ponta da barra e, por este 
motivo, o comprimento da emenda (0c) não é majorado como no caso de emenda de barras 
tracionadas (NBR 6118, 9.5.2.3). O comprimento de transpasse é: 
 
mín,c0nec,bc0   Eq. 8 
 
onde: b = comprimento de ancoragem básico, como definido no item 5.1; 
 b,nec = comprimento de ancoragem necessário,como definido no item 5.1. 
 






mm200
15
6,0 b
mín,c0

 Eq. 9 
 
6.1.4 Armadura Transversal nas Emendas por Transpasse de Barras Isoladas 
 
 Com o objetivo de combater as tensões transversais de tração, que podem originar fissuras 
na região da emenda, a NBR 6118 recomenda a adoção de armadura transversal à emenda, em 
função da emenda ser de barras tracionadas, comprimidas ou fazer parte de armadura secundária. 
 
6.1.4.1 Armadura Principal Tracionada 
 
“Quando  < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 
25 %, a armadura transversal deve satisfazer o descrito em 9.4.2.6. 
 Nos casos em que   16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma 
seção for maior ou igual a 25 %, a armadura transversal deve: 
 
- ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada, considerando os 
ramos paralelos ao plano da emenda; 
- ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais próximas 
de duas emendas na mesma seção for < 10  ( = diâmetro da barra emendada); 
- concentrar-se nos terços extremos da emenda.” (Figura 30). 
 
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21 

150 mm
A / 2
1/3 1/3
st A / 2
0 0
0
st
 
Figura 30 – Disposição da armadura transversal nas emendas de barras tracionadas. 
 
 
6.1.4.2 Armadura Principal Comprimida 
 
“Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos uma 
barra de armadura transversal posicionada 4  além das extremidades da emenda.” Figura 31, 
(NBR 6118, 9.5.2.4.2). 
150 mm
4

1/3 1/3 4
A / 2 A / 2
0
00
st st
 
Figura 31 – Disposição da armadura transversal nas emendas de barras comprimidas. 
 
 
6.1.4.3 Armaduras Secundárias 
 
 Quando  < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 
25 %, a área da armadura transversal deve resistir a 25 % da força longitudinal atuante na barra. 
 Os itens 9.5.2.5, 9.5.3 e 9.5.4 da NBR 6118 tratam, respectivamente, de emendas de feixes 
de barras por transpasse, emendas por luvas rosqueadas e emendas por solda. Esses tipos de 
emendas são menos comuns na prática das construções e não serão abordados nesta apostila. 
 
7. ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL DE FLEXÃO EM VIGAS 
 
 Neste item será verificado como deve ser feito o detalhamento da armadura longitudinal de 
tração de vigas, ou até que posição do vão as barras devem se estender, e também a ancoragem de 
barras nos apoios intermediários e extremos. 
 
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22 
7.1 Decalagem do Diagrama de Força no Banzo Tracionado 
 
 A decalagem ou deslocamento do diagrama de forças Rsd (MSd /z) deve ser feito para se 
compatibilizar o valor da força atuante na armadura tracionada, determinada no banzo tracionado 
da treliça de Ritter-Mörsch, com o valor da força determinada segundo o diagrama de momentos 
fletores de cálculo. 
Para determinação do ponto de interrupção ou dobramento das barras longitudinais nas 
peças fletidas, o diagrama de forças Rsd na armadura deve ser deslocado, aplicando-se aos pontos 
uma translação paralela ao eixo da peça, de valor a . A NBR 6118 prescreve o seguinte (item 
17.4.2.2): “Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de 
esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração 
oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo 
tracionado. 
Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem 
do diagrama de momentos fletores.” 
O valor da decalagem a deve ser adotado em função do modelo de cálculo escolhido no 
dimensionamento da armadura transversal, conforme mostrado a seguir. 
 
7.1.1 Modelo de Cálculo I 
 
 A equação para determinação da decalagem a (item 17.4.2.2), para o Modelo de Cálculo I 
é: 
dgcot)gcot1(
)VV(2
V
da
cmáx,Sd
máx,Sd











 Eq. 10 
 
com: a = d para cmáx,Sd VV  , e: 
 a  0,5d , no caso geral; 
a  0,2d , para estribos inclinados a 45. 
 VSd,máx = força cortante solicitante de cálculo; 
 Vc = parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça. 
 
 Para estribo vertical ( = 90) a Eq. 10 torna-se: 
 
d
)VV(
V
2
d
a
cmáx,Sd
máx,Sd


 Eq. 11 
 
“A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida 
simplesmente empregando a força de tração, em cada seção, pela expressão: 
 
 
z
M
2
1
gcotgcotV
z
M
F
máx,Sd
Sd
Sd
cor,Sd 





 Eq. 12 
 
onde: MSd,máx = momento fletor máximo de cálculo no trecho em análise. 
 
 
 
 
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23 
7.1.2 Modelo de Cálculo II 
 
Em 17.4.2.3. a NBR 6118 estabelece a equação para determinação da decalagem a a ser 
aplicada no “diagrama de momentos fletores”, para o Modelo de Cálculo II: 
 
)gcotg(cotd5,0a  Eq. 13 
 
onde: a  0,5d , no caso geral; 
a  0,2d , para estribos inclinados a 45. 
 
A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida 
simplesmente empregando a força de tração, em cada seção, dada na Eq. 12. 
 
7.2 Ponto de Início de Ancoragem 
 
 Define-se a seguir em que ponto ao longo do vão de uma viga pode-se retirar de serviço a 
barra da armadura longitudinal tracionada de flexão. O procedimento é geralmente feito na prática 
com o propósito de proporcionar economia no consumo de aço. 
No item 18.3.2.3 a NBR 6118 define as regras a serem aplicadas na distribuição da 
armadura longitudinal, ancoradas por aderência, segundo o texto: “O trecho da extremidade da 
barra de tração, considerado como de ancoragem, tem início na seção teórica, onde sua tensão 
s começa a diminuir (a força de tração na barra da armadura começa a ser transferido para o 
concreto). Deve prolongar-se pelo menos 10 além do ponto teórico de tensão s nula, não 
podendo em caso algum, ser inferior ao comprimento necessário estipulado em 9.4.2.5. Assim, na 
armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais solicitados por flexão simples, o 
trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A do diagrama de forças Rsd = MSd /z , 
decalado do comprimento a . Esse diagrama equivale ao diagrama de forças corrigido FSd,cor . 
Se a barra for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B, no mínimo 10 . Se 
a barra for dobrada, o início do dobramento pode coincidir com o ponto B.” A Figura 32 ilustra o 
texto. 
 “Nos pontos intermediários entre A e B, o diagrama resistente linearizado deve cobrir o 
diagrama solicitante.” 
 “Para as barras alojadas nas mesas ou lajes, e que façam parte da armadura da viga, o 
ponto de interrupção da barra é obtido pelo mesmo processo anterior, considerando ainda um 
comprimento adicional igual à distância da barra à face mais próxima da alma.” (NBR 6118, 
18.3.2.3.2). 
 
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24 
A
B
a a
a
B

a
a
 10 Ø

 10 Ø
b,nec
b,nec
A
SdR = M /zSd
SdR
diagrama de
força de tração
resistente
Barra i
Barra i
 10 Ø
 
Figura 32 – Cobertura do diagrama de forças de tração solicitantes pelo diagrama de forças resistentes. 
 
 
 A viga mostrada na Figura 33 será utilizada para explicar as regras da norma. A viga é de 
um tramo e biapoiada em dois pilares, com carregamento uniformemente distribuído que causa 
momentos fletores positivos ao longo do vão, e momentos fletores negativos nos apoios extremos, 
considerados engastes elásticos. A viga é considerada ter simetria na posição do momento fletor 
máximo positivo (Mmáx). Na Figura 33 está também mostrado o diagrama de momentos fletores 
(MSd) decalado de a , onde a1 é a decalagem determinada com a força cortante solicitante no 
apoio esquerdo, e a2 é determinada com a força cortanteno apoio direito. 
 Para armadura longitudinal positiva de flexão no vão (A,vão), a viga tem seis barras de 
mesmo diâmetro, agrupadas de duas em duas (2N2, 2N3 e 2N4), posicionadas em duas camadas, 
como mostrado na Figura 33, para proporcionar resistência ao momento fletor positivo máximo 
(Mmáx). Existem também duas barras superiores próximas aos apoios (negativas - 2N1), 
responsáveis por proporcionar resistência aos momentos fletores negativos existentes na ligação 
da viga com os pilares extremos. 
No detalhamento das armaduras superiores existem algumas possibilidades. As barras N1 
podem ser estendidas ao longo de todo o vão, de apoio a apoio, de modo que no trecho interno do 
vão as barras servem para fixação dos estribos (alternativa 1 na Figura 34). Quando se deseja 
economia, as barras N1 podem ser interrompidas e estendidas somente no trecho do momento 
fletor de ligação, e no trecho interno do vão devem ser dispostas duas barras construtivas 
(armadura chamada “porta-estribo” – 2N5 da alternativa 2 na Figura 34), posicionadas nos 
vértices dos estribos para a sua amarração. 4 
 No caso das barras da armadura positiva, ao menos duas devem ser estendidas até os 
apoios extremos do tramo, para comporem a armadura longitudinal a ancorar nos apoios. 
 
4 No caso do momento fletor positivo no vão requerer armadura comprimida (“armadura dupla” - A’s), as barras N1 (estendidas ao 
longo de todo o vão – alternativa 1 na Figura 34) ou as barras N5 (alternativa 2) deverão atender à área A’s necessária. 
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25 
Geralmente, as barras dos vértices do estribo (N2) e que são estendidas até os apoios para a 
ancoragem. As demais barras positivas podem ser interrompidas (“cortadas”) antes dos apoios, 
conforme o “cobrimento” do diagrama de momentos fletores decalado de a , de acordo com as 
regras mostradas na Figura 32. 
 
2N4
2N2 2N3
2N1
0 t2t1 
h
1
2N1
CORTE 1
2N12N5
2N4
2N3
2N2
1
b
a
b
a
 
 
Mmáx
ef
--
+
p
 
MSd
1
1
1
1
1 2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
Figura 33 – Viga biapoiada para análise do cobrimento do diagrama de momentos fletores positivos. 
 
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26 
A Figura 34 mostra o diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd), 
decalado de a conforme mostrado na Figura 33, e com o “cobrimento” do diagrama de MSd
5 . 
Está suposto que as barras N3 e N4 não necessitam ser estendidas até os apoios para a ancoragem. 
O momento fletor positivo máximo está dividido em três partes iguais, conforme os três grupos 
(2N2, 2N3 e 2N4), e cada grupo proporciona resistência a uma parcela do momento máximo. 
As duas barras N2, como já comentado, devem se estender até os apoios e ancorar em um 
comprimento a partir da face do apoio, como apresentado no item 7.3.2. Se as duas barras (N2) 
não forem suficientes para atender a área necessária à ancorar no apoio, as duas barras N3 podem 
também ser estendidas até os apoios. Outra possibilidade é estender até os apoios somente as duas 
barras N2, e acrescentar grampos para atender a área de armadura a ancorar no apoio (ver item 
7.3.2). 
 No “cobrimento” do diagrama de momentos fletores, as barras N4 devem estender-se do 
comprimento b,nec além dos pontos AN4 , mas devem alcançar, no mínimo, as seções situadas 10 
além dos pontos BN4
6 . De modo que as barras devem ser estendidas até as seções mais distantes, 
que resulte no maior comprimento. É o procedimento a ser aplicado em todas as barras, positivas 
ou negativas. 
 
2N5 (alternat.2)
2N12N1
2N4
2N3
2N2
2N4
2N3
N1
N3 N4
2N1 (alternat.1)
a
b
N1
N3N4
a
b
10ØN4 10ØN3
= AN3BN4
= AN2BN3
BN2
10ØN1
BN1
AN1
b,nec
AN4
10ØN410ØN3
= AN3BN4
= AN2BN3
BN2
10ØN1
BN1
AN1
MSd
 b,nec
b,necb,necb,necb,nec
AN4
 
 
Figura 34 – Cobrimento do diagrama de momentos fletores positivos em uma viga biapoiada simétrica. 
 
 
 
5 O desenho do diagrama de momentos fletores é geralmente feito segundo duas escalas, uma para a direção vertical, e outra para a 
direção horizontal. 
6 Os pontos AN4 são aqueles onde os momentos fletores resistidos pelas barras N4 começam a diminuir (as tensões σs começam a 
diminuir), e os pontos BN4 são aqueles onde os momentos fletores resistidos pelas barras do grupo tornam-se nulos (as tensões σs 
nas barras são nulas). Os pontos BN4 são também os pontos AN3 , pois os momentos fletores passam a ser resistidos pelas barras do 
grupo N3. 
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27 
As barras N3 devem estender-se do comprimento b,nec além dos pontos AN3 , mas devem 
prolongar-se pelo menos até as seções distantes 10 dos pontos BN3 . Se o comprimento b,nec 
ultrapassar a seção distante 10 além do ponto BN3 , as barras devem prolongar-se em b,nec , pois 
o valor mínimo 10 terá sido atendido. Isso ocorre para o caso das barras negativas N1 
(alternativa 2 na Figura 34), onde b,nec prolonga-se além da seção 10 do ponto BN1 . 
 Com a viga mostrada na Figura 35 tem-se a intenção de apresentar, segundo a norma, o 
“cobrimento” do diagrama de momentos fletores negativos no apoio intermediário P2, que 
definirá o comprimento das barras da armadura negativa sobre este apoio, ou seja, até quais 
seções ao longo dos tramos da viga as barras deverão se estender. 
 Para simplicidade de análise, a viga mostrada na Figura 35 é simétrica em geometria e 
carregamento, tem dois tramos e três apoios, simples no pilar P2 e engaste elástico nos pilares 
extremos P1 e P3. 
 Supõe-se que a armadura longitudinal negativa, dimensionada para o momento fletor 
máximo negativo no pilar P2, seja constituída por seis barras de mesmo diâmetro, dispostas na 
seção transversal em duas camadas, conforme detalhe mostrado na Figura 35. Para fazer o 
“cobrimento” do diagrama de MSd , deve-se determinar de que modo as barras serão agrupadas. A 
indicação é de que as duas barras dos vértices dos estribos formem um grupo e tenham o maior 
comprimento entre todas as barras negativas.7 As demais barras devem preferencialmente ser 
agrupadas de modo a resultar um detalhamento simples e econômico, que facilite a execução da 
armadura. 
No caso de se sobrepor a simplificação à economia, as duas barras N2 podem compor o 
grupo das barras N1, e o detalhamento fica simplificado, pois as quatro barras (2N1 e 2N2) terão 
o mesmo comprimento. 
No “cobrimento” mostrado na Figura 36, as seis barras foram separadas em três grupos 
(2N1, 2N2 e 2N3), com cada grupo sendo responsável por resistir a uma parcela do momento 
fletor máximo, proporcional à área de armadura do grupo. 
 
 
Mmáx
Mmáx
ef,2ef,1
P3P2P1
p p
tramo 1 tramo 2
-
+
-
-
+
-
+
 
2N3
2N12N2
 
Figura 35 – Viga para análise do cobrimento do diagrama de momentos fletores negativos no apoio P2. 
 
 
 
7 Essas barras dever ser as de maior diâmetro, no caso de existirem dois ou mais diâmetros diferentes para a armadura 
negativa no apoio. 
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28 
 As duas barras dos vértices do estribo (N1) devem “cobrir” a parte mais inferior do 
diagrama de MSd , para assim resultarem no maior comprimento. As demais barras, compondo 
outros grupos, terão comprimentos menores, por cobrirem porções superiores do diagrama de 
MSd. 
 O segmento que representa o momento fletor negativo máximo deve ser dividido 
proporcionalmente às áreas das barras que compõem os grupos. No exemplo, as seis barras foram 
agrupadas em três grupos, e como cada grupo tem a mesma área de aço, o segmento foi dividido 
em três partes iguais. 
 
2N1
2N2
2N3
2N2
2N1
N3
N2
N1
N3
2N3
N2
N1
10ØN1
10ØN2
b,nec
b,nec
b,nec
= AN2BN3
= AN1BN2
BN1
10ØN3
AN3
a
10ØN1
10ØN2
b,nec
b,necb,nec
P2
= AN2BN3
= AN1BN2
BN1
10ØN3
AN3
a




1
a1
2
a2
2N2
2N1
2N3
a1 a2
 
Figura 36 – Cobrimento do diagrama de momentos fletores negativos no apoio intermediário P2. 
 
 
7.3 Armadura Tracionada nas Seções de Apoio 
 
Segundo a NBR 6118 (item 18.3.2.4), “Os esforços de tração junto aos apoios de vigas 
simples ou contínuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais [...]”. Os diferentes casos 
são apresentados a seguir. 
 
7.3.1 Apoio com Momento Fletor Positivo 
 
No caso de ocorrência de momento fletor positivo no apoio, a armadura deve ser 
dimensionada para o momento que ocorre na seção. A ancoragem da armadura no apoio deve 
atender aos critérios apresentados na Figura 32. 
 
7.3.2 Ancoragem da Armadura Longitudinal Positiva nos Apoios Extremos de Vigas 
Simples ou Contínuas 
 
 Apoio extremo pode ser definido como o apoio onde não ocorre a continuidade da viga, 
geralmente o primeiro e o último (Figura 37). 
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29 
Apoio extremo Apoio extremoApoio interno
 
Figura 37 – Definição de apoio extremo e interno de viga. 
 
 
 A ancoragem da armadura longitudinal positiva nos apoios extremos de vigas simples ou 
contínuas é muito importante para a segurança estrutural, devendo por isso ser cuidadosamente 
avaliada. 
 Nos apoios extremos, a fim de garantir a ancoragem da diagonal de compressão e devido à 
decalagem de a do diagrama de momentos fletores, surge um momento fletor (Figura 38), 
geralmente positivo e que traciona a borda inferior do apoio, dado por: 
Md,apoio = VSd . a Eq. 14 
com: VSd = força cortante solicitante de cálculo no apoio; 
 a = decalagem do diagrama de momentos fletores na região do apoio. 
 
 Para o momento fletor no apoio deve-se dispor uma armadura resistente, a ser 
convenientemente ancorada no apoio. Tomando o equilíbrio das forças resultantes na seção de 
apoio, o momento fletor deve ser igual à força resultante na armadura tracionada multiplicada 
pelo braço de alavanca z: 
 
Md,apoio = FSd . z Eq. 15 
a
VSd
SdF
MSd
diagrama deslocado
SdV
Md,apoio
 
Figura 38 – Momento fletor no apoio devido ao deslocamento a do diagrama. 
 
 
 Igualando a Eq. 14 com a Eq. 15 encontra-se: 
 
 VSd . a = FSd . z 
 
Fazendo o braço de alavanca z aproximadamente igual à altura útil d (z  d) e isolando Fsd 
encontra-se: 
 
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30 
SdSd V
d
a
F  Eq. 16 
 
Quando existir uma força de tração (NSd) aplicada na viga na região do apoio, à Eq. 16 
deve ser acrescentada essa força: 
 
SdSdSd NV
d
a
F   Eq. 17 
 
A área de armadura longitudinal a ancorar no apoio, necessária para resistir à força RSd , é 
dada por: 
 






 SdSd
ydyd
Sd
anc,s NV
d
a
f
1
f
F
A  Eq. 18 
 
Se a força normal de tração NSd não existir, a área de armadura a ancorar no apoio é: 
 
yd
Sd
anc,s
f
V
d
a
A  Eq. 19 
 
A armadura a ser ancorada nos apoios extremos, bem como também nos apoios 
intermediários8 (ver item 7.3.3), deve ser composta por no mínimo duas barras, geralmente as dos 
vértices inferiores dos estribos, da armadura positiva do vão (As,vão). A armadura a ancorar deve 
atender aos seguintes valores mínimos: 
 









2
M
M valor de e negativo M se A
4
1
2
M
M valor de negativoou 0M se A
3
1
A
vão
apoioapoiovão,s
vão
apoioapoiovão,s
anc,s Eq. 20 
 
com: Mapoio = momento fletor no apoio (extremo ou intermediário); 
Mvão = máximo momento fletor positivo no tramo adjacente ao apoio; 
 As,vão = armadura longitudinal de tração do vão. 
 
 A Figura 39 mostra as hipóteses admitidas na Eq. 20 para a armadura mínima a ser 
disposta nos apoios extremos. 
 
 
8 Apoios intermediários: são os apoios internos de vigas contínuas. 
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31 
a) A
3
1
vão,s 
+
vão
M < 0,5 M
M
vãoapoio
 
b) A
4
1
vão,s 
vãoM
+
vãoM > 0,5 Mapoio
 
Figura 39 – Armadura mínima a ancorar no apoio extremo de vigas. 
 
 
As barras da armadura a ancorar no apoio, calculadas pela Eq. 18 (ou Eq. 19), obedecendo 
aos valores mínimos dados na Eq. 20, devem ser convenientemente ancoradas a partir da face 
interna do apoio (geralmente viga ou pilar), com o comprimento de ancoragem básico (b) dado 
pela Eq. 3 e apresentado nas Tabela A-1 e Tabela A-2 anexas, com os valores das colunas “sem 
gancho”. 
 Inicialmente procura-se estender as barras dentro do apoio num comprimento reto, como 
mostrado na Figura 40 para apoio do tipo viga ou pilar. Para ser possível, o comprimento de 
ancoragem efetivo do apoio (b,ef = b – c) deve ser maior que o comprimento de ancoragem básico 
(b), onde c é a espessura do cobrimento de concreto e b é a dimensão do apoio na direção da 
armadura a ancorar.9 
 
9 A NBR 6118 (18.3.2.4.1) preconiza que a armadura deve adentrar no apoio o comprimento de ancoragem necessário 
(b,nec – ver item 5.1). 
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32 
s,ancA
b
viga de apoio
s,ancA
b
b
b 
c b,ef
 
Figura 40 – Detalhe da ancoragem reta da armadura longitudinal de tração em apoio extremo. 
 
 
 Como geralmente a armadura escolhida a ancorar não é exatamente igual à área de 
armadura a ancorar calculada (As,anc), o comprimento básico a ancorar (b) pode ser corrigido para 
o valor (b,corr), segundo a proporção entre a armadura calculada e a armadura efetiva (As,ef): 
 
ef,s
anc,s
bcorr,b
A
A
  Eq. 21 
 
A Figura 41 mostra a ancoragem reta, possível desde que b,ef ≥ b,corr . 
 
b
As,ef

viga de apoio
b

As,ef
b,ef
b,corr 
b,corr
c
 
Figura 41 – Correção do comprimento de ancoragem básico para o 
comprimento de ancoragem corrigido. 
 
 
 O comprimento de ancoragem corrigido deve atender ao comprimento de ancoragem 
mínimo, dado na NBR 6118 (18.3.2.4.1): 
 


 

cm 6
r
corr,b Eq. 22 
 
com: r = D/2 = raio de curvatura do gancho (ver Tabela 1); 
 = diâmetro da barra ancorada. 
 
 E segundo a norma, “Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido 
normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem 
com grande frequência com seu valor máximo,” o comprimento de ancoragem pode ser apenas de 
r + 5,5   6 cm. 
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33 
Quando o comprimento de ancoragem corrigido (b,corr) é maior que o comprimento de 
ancoragem efetivo (b,ef), a ancoragem reta não é possível. Neste caso, a solução mais simples e 
econômica é fazer gancho na extremidade das barras da armadura, o que possibilita diminuir o 
comprimento de ancoragem corrigido em 30 %, em função do coeficiente  de 0,7 apresentado na 
Eq. 4. Com o gancho, o comprimento a ancorar passa a ser: 
 


 

cm 6
r
7,0 corr,bgancho,b  Eq. 23 
 
Se o comprimento de ancoragem com gancho resultar menor ou igual ao comprimento de 
ancoragem efetivo (b,gancho  b,ef), a ancoragem poderá ser feita. Na prática, se b,gancho é menor e 
próximo de b,ef , costuma-se estender as barras até à face externa do apoio, isto é, faz-se b,gancho = 
b,ef , como indicado na Figura 42. 
 
8 Ø
b
Ø
s,efA
b,ef
D
c
 
Figura 42 – Ancoragem com gancho. 
 
 
Ancoragens com gancho são necessárias comumente em apoios de pequena dimensão na 
direção da armadura a ancorar. 
 O gancho com ângulo de 90, como indicado na Figura 42 e no item 5.2.3, é o mais 
comum na prática, entre os três recomendados pela NBR 6118. 
 Se ocorrer do comprimento de ancoragem com gancho ser maior que o comprimento de 
ancoragem efetivo (b,gancho > b,ef), alguma medida torna-se necessária para resolver o problema. 
Uma possível solução, sem alteração nas dimensões do apoio, consisteem aumentar a quantidade 
de armadura ancorada para As,corr , mantendo-se o gancho nas barras. A armadura a ancorar é 
aumentada segundo a proporção entre o comprimento de ancoragem básico e o comprimento de 
ancoragem efetivo, considerando o gancho, de tal forma que a área de armadura é corrigida para: 
 
anc,s
ef,b
b
corr,s A
7,0
A


 Eq. 24 
 
com: b = comprimento de ancoragem básico (Eq. 3, Tabela A-1 e Tabela A-2); 
 b,ef = comprimento de ancoragem efetivo do apoio; 
 As,anc = armadura necessária a ancorar no apoio (Eq. 18 ou Eq. 19). 
 
 A armadura corrigida será ancorada no comprimento de ancoragem efetivo do apoio (b,ef), 
e com gancho a 90 o arranjo da ancoragem fica como indicado na Figura 43. Nessa solução, o 
acréscimo de armadura a ancorar no apoio é obtido com a extensão de mais barras da armadura 
longitudinal do vão (As,vão). 
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34 
D
s,corrA
Ø8 Ø
c b,ef
b
 
Figura 43 – Acréscimo de armadura longitudinal ancorada no apoio para As,corr quando o comprimento de 
ancoragem efetivo do apoio é menor que o comprimento de ancoragem com gancho. 
 
 
Uma outra solução para resolver o problema é manter a armadura efetiva a ancorar (As,ef) e 
acrescentar uma armadura longitudinal diferente, na forma de grampo (ver Figura 44 e Figura 45), 
com o mesmo objetivo de aumentar a área de armadura ancorada. 
A área de grampo é a diferença entre a armadura corrigida e a armadura efetiva: 
 
ef,scorr,sgr,s AAA  Eq. 25 
 
O comprimento longitudinal do grampo deve ser de no mínimo 95gr , segundo indicação 
no manual da TQS (s/d). Na Figura 44 está mostrado o detalhamento da armadura, com acréscimo 
de dois grampos com comprimento de 100gr . 
 O espaçamento livre mínimo na direção vertical entre os grampos deve atender: 
 






agr,máx
grmín,v
d5,0
cm2
a Eq. 26 
 
b
8 Ø
b,ef s,efA
Ø
Grampos
100 Øgrc
D
 
Figura 44 – Ancoragem em apoio extremo com a utilização de 
grampos e armadura longitudinal efetiva com gancho. 
 
 
Entre as duas soluções, o projetista pode escolher se aumenta a armadura longitudinal a 
ancorar ou mantém a armadura longitudinal e acrescenta grampos, considerando o menor custo 
(consumo de materiais, mão de obra, dificuldades construtivas, etc.). 
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35 
 
Figura 45 – Ancoragem em apoio extremo com armadura longitudinal e grampos. 
 
7.3.3 Apoio Intermediário de Vigas Contínuas 
 
Conforme o item 18.3.2.4 da NBR 6118, nos apoios intermediários de vigas contínuas, 
uma parte da armadura longitudinal de tração proveniente do vão (As,vão) deve ser estendida até o 
apoio, devendo a armadura a ancorar (As,anc) atender as seguintes condições impostas (mostradas 
na Eq. 20), e novamente apresentadas: 
 









2
M
M valor de e negativo M se A
4
1
2
M
M valor de negativoou 0M se A
3
1
A
vão
apoioapoiovão,s
vão
apoioapoiovão,s
anc,s Eq. 27 
 
Se o ponto A de intersecção da barra com o diagrama de momento fletor decalado de a 
estiver fora do apoio, as barras da armadura assim determinadas podem ser ancoradas com 
comprimento 10 a partir da face do apoio (Figura 46), “desde que não haja qualquer 
possibilidade de ocorrência de momentos positivos na região dos apoios, provocados por 
situações imprevistas, particularmente por efeitos de vento e eventuais recalques. Quando essa 
possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.” (NBR 6118, 
18.3.2.4.1). 
A
10 Ø
BARRA 1
BARRA 1
D
IAG
R
. D
ESLO
C
.
 
Figura 46 – Ancoragem de armadura longitudinal em apoios 
intermediários com o ponto A fora do apoio. 
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36 
7.3.4 Ancoragem de Armadura Negativa em Apoios Extremos 
 
 A transmissão de esforços da viga para os pilares extremos em pórticos origina esforços de 
tração diagonais e alternância de esforços de tração para compressão na armadura longitudinal do 
pilar (Figura 47 e Figura 48). 
Mp,sup
vigaMMviga
p,infM
Viga
a) b)
 
Figura 47 – Momentos fletores em nó extremo de pórtico (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
a)
Compressão Tração
CompressãoTração Compressão
Tração
b)
 
Figura 48 – Direção das tensões de compressão e tração em nó extremo de pórtico. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
 Na ancoragem da armadura negativa da viga no pilar recomenda-se que seja feito o 
detalhamento mostrado na Figura 49. Para evitar concentração de tensões é muito importante que 
a curvatura das barras negativas obedeça aos diâmetros do pino de dobramento indicados na 
Tabela 1. 
 Segundo indicação de LEONHARDT e MÖNNIG (1982), o comprimento do gancho da 
armadura negativa deve se estender 35 no pilar além do centro do pino de dobramento (Figura 
50). Os estribos do pilar devem ter espaçamento menor que 10 cm dentro do trecho de 
comprimento 2b + h, como indicado na Figura 49. A barra inclinada unindo a viga ao lance 
superior do pilar é também indicada, porém, não é prática comum a sua aplicação. 
 
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37 
2
b
 +
 h
e
s
tr
s
 
 
 

1
0
 c
m
b
h
A = 0,5 As s
-
-
sA
D
 
Figura 49 – Detalhamento indicado por LEONHARDT e MÖNNIG (1982) 
 para a armadura negativa da viga em nós de pórtico. 
 
 
Ø
D
A s
-
3
5
 Ø
 
Figura 50 – Comprimento do gancho da armadura negativa no pilar, 
conforme LEONHARDT e MÖNNIG (1982). 
 
 
8. QUESTIONÁRIO 
 
1) Quais as parcelas da aderência e quais as causas dela? 
2) Como são os mecanismos de aderência? 
3) Como ocorre a ruptura da aderência? 
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38 
4) Como se configuram as tensões principais no arrancamento de uma barra reta do concreto? 
5) Quais as componentes de tensão que surgem? 
6) O que são fissuras de fendilhamento e como são originadas? Desenhe. 
7) Como é combatido o esforço de fendilhamento? 
8) Por que existem situações de boa e de má aderência? Quais as causas? 
9) Desenhe e mostre as situações de boa e de má aderência. 
10) Como é determinada a resistência de aderência de cálculo? 
11) Como se determina o comprimento de ancoragem básico de uma barra? 
12) Como se determina o comprimento de ancoragem necessário de uma barra? O que o gancho 
modifica no comprimento de ancoragem? 
13) Como são dispostas as barras transversais soldadas na ancoragem de uma barra? 
14) Como são os ganchos prescritos pela NBR 6118? 
15) Por que não se deve fazer gancho na ancoragem de barras comprimidas? 
16) Por que são necessárias curvaturas nas dobras das barras ao se fazer o gancho? 
17) Como deve ser a ancoragem dos estribos? 
18) Quais os tipos de emendas de barras? 
19) Como os esforços são transmitidos numa emenda por transpasse? Quais as tensões que 
surgem? 
20) Quais os tipos de fissuras nas emendas em função do cobrimento do concreto? 
21) Qual o valor do comprimento de transpasse na emenda de barras tracionadas? 
22) Idem para as barras comprimidas. 
23) Por que devem ser dispostas barras transversais nas emendas de barras por transpasse? 
24) Quais as disposições construtivas da armadura transversal nas emendas? 
25) Por que fazer o deslocamento do diagrama de forças de tração? 
26) Quais os valores indicados pela NBR 6118 para o deslocamento do diagrama? 
27) Por que surge uma força de tração nos apoios extremos? Qual o seu valor? 
28) Como é calculada a armadura a ancorar no apoio extremo? Quais condições a armadura deve 
atender? 
29) Quais casos surgem na ancoragem nos apoios extremos? 
30) Como deve ser a ancoragem nos apoios intermediários? 
31) Quais as recomendações para a ancoragem da armadura negativa nos apoios extremos? 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p. 
 
COMITÉ EURO-INTERNATIONALDU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin 
D’Information n. 204, Lausanne, 1991. 
 
FÉDERATION INTERNATIONALE DU BÉTON. Structural concrete – Textbook on behaviour, design 
and performance. v. 3, 1999. 
 
FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. 
 
LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos do dimensionamento de 
estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 305p. 
 
LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos sobre a armação de 
estruturas de concreto armado, v. 3, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 273p. 
 
UNESP (Bauru/SP) - Ancoragem e Emenda de Armaduras 
 
 
39 
REYES, F.E.G. Análise da aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA e CAAFA), sob influência 
de ações monotônicas e cíclicas. São Carlos. Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia de São 
Carlos, Universidade de São Paulo, 2009, 215p. 
 
TQS INFORMÁTICA. CAD/Vigas – Manual Teórico. São Paulo, s/d. 
 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
MACGREGOR, J.G. ; WIGHT, J.K. Reinforced concrete – Mechanics and design. 4a ed., Upper Saddle 
River, Ed. Prentice Hall, 2005, 1132p. 
 
NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 2005, 
5a. ed., 824p. 
 
PFEIL, W. Concreto armado, v. 2, 5a ed., Rio de Janeiro, Ed. Livros Técnicos e Científicos, 1989, 560p. 
 
SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1985, 376p. 
 
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1 
TABELAS ANEXAS 
 
 
 
Tabela A-1 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
6,3 
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
8 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
10 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
12,5 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
16 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 
20 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
22,5 
170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
25 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
32 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
40 
329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 
230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 
 Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
Tabela A-2 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
3,4 
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 
35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
4,2 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
5 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 
51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
6 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
7 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 
71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
8 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 
82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 
9,5 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 
97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Junho/2017 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de ser as notas de aula da disciplina 2323 – Estruturas de 
Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual 
Paulista - UNESP – Campus de Bauru/SP. Deve ser estudada na sequência da apostila “Ancoragem 
e Emenda de Armaduras”. 
O texto apresenta algumas das prescrições contidas na NBR 6118/2014 (“Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento”) para o projeto de vigas de Concreto Armado. Para facilitar 
o entendimento do estudante está incluído um exemplo completo do cálculo, dimensionamento e 
detalhamento de uma viga contínua, com dois tramos e três apoios. 
Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção de desenhos. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 1 
2. DEFINIÇÃO ................................................................................................................................ 1 
3. ANÁLISE ESTRUTURAL .......................................................................................................... 1 
3.1. Análise Linear (item 14.5.2) .................................................................................................. 1 
3.2. Análise Linear com Redistribuição (item 14.5.3).................................................................. 2 
3.3. Análise Plástica (item 14.5.4) ................................................................................................ 2 
3.4. Análise Não Linear (item 14.5.5) .......................................................................................... 2 
3.5. Análise por Meio de Elementos Físicos (item 14.5.6) .......................................................... 3 
3.6. Hipóteses Básicas .................................................................................................................. 3 
4. VÃO EFETIVO ............................................................................................................................ 3 
5. ALTURA E LARGURA .............................................................................................................. 4 
6. INSTABILIDADE LATERAL .................................................................................................... 4 
7. ANÁLISE LINEAR COM OU SEM REDISTRIBUIÇÃO ......................................................... 5 
7.1. Rigidez ...................................................................................................................................5 
7.2. Restrições para a Redistribuição ............................................................................................ 5 
7.3. Limites para Redistribuição de Momentos Fletores e Condições de Ductilidade ................. 5 
8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS DE ESTRUTURAS USUAIS DE EDIFÍCIOS
 7 
9. GRELHAS E PÓRTICOS ESPACIAIS .................................................................................... 11 
10. CONSIDERAÇÃO DE CARGAS VARIÁVEIS .................................................................. 11 
11. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES ........................ 11 
12. ARMADURA DE SUSPENSÃO .......................................................................................... 12 
13. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA ...................... 14 
13.1. Estimativa da Altura da Viga ........................................................................................... 15 
13.2. Vão Efetivo ...................................................................................................................... 15 
13.3. Instabilidade Lateral da Viga ........................................................................................... 17 
13.4. Cargas na Laje e na Viga ................................................................................................. 18 
13.5. Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 ............................................................. 18 
13.6. Rigidez da Mola ............................................................................................................... 19 
13.7. Esforços Solicitantes ........................................................................................................ 20 
13.8. Dimensionamento das Armaduras ................................................................................... 22 
13.8.1 Armadura Mínima de Flexão ....................................................................................... 22 
 
13.8.2 Armadura de Pele ......................................................................................................... 23 
13.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão ............................................................................... 23 
13.8.3.1 Momento Fletor Negativo ..................................................................................... 23 
13.8.3.2 Momento Fletor Positivo ...................................................................................... 26 
13.8.4 Armadura Longitudinal Máxima .................................................................................. 26 
13.9. Armadura Transversal para Força Cortante ..................................................................... 27 
13.9.1 Pilar Intermediário P2 .................................................................................................. 27 
13.9.2 Pilares Extremos P1 e P3 ............................................................................................. 28 
13.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal ...................................................................... 28 
13.10. Ancoragem das Armaduras Longitudinais ....................................................................... 29 
13.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 .................................................... 29 
13.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 ..................................................................... 33 
13.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 ................................................... 33 
13.11. Detalhamento da Armadura Longitudinal ....................................................................... 33 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................. 35 
 
 
 
 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
1 
1. INTRODUÇÃO 
 
 O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/20141 relativos às vigas contínuas de 
edificações. A norma, publicada em maio de 2014, substituiu a versão anterior de 2003. 
 
2. DEFINIÇÃO 
 
Vigas são “elementos lineares em que a flexão é preponderante.” (NBR 6118, 14.4.1.1). 
Elemento linear é aquele em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a 
maior dimensão da seção transversal, sendo também denominado “barra”. 
 
3. ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 No item 142 a NBR 6118 apresenta uma série de informações relativas à Análise Estrutural, 
como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de elementos lineares e de superfície, além de vigas-
parede, pilares-parede e blocos. Segundo o item 14.2.1, “O objetivo da análise estrutural é 
determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações dos 
estados-limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de 
esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura.” 
 “A análise estrutural deve ser feita a partir de um modelo estrutural adequado ao objetivo 
da análise. Em um projeto pode ser necessário mais de um modelo para realizar as verificações 
previstas nesta Norma. O modelo deve representar a geometria dos elementos estruturais, os 
carregamentos atuantes, as condições de contorno, as características e respostas dos materiais, 
sempre em função do objetivo específico da análise. A resposta dos materiais pode ser 
representada por um dos tipos de análise estrutural apresentados em 14.5.1 a 14.5.5.” (item 
14.2.2). 
 No item 14.5 a NBR 6118 apresenta cinco métodos de análise estrutural para o projeto, “que 
se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, não 
perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes.” Os métodos de análise “admitem 
que os deslocamentos da estrutura são pequenos.” 
 
3.1. Análise Linear (item 14.5.2) 
 
“Admite-se comportamento elástico-linear para os materiais.” Significa que vale a lei de 
Hooke – existe proporcionalidade entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais 
num ciclo carregamento-descarregamento. “Na análise global, as características geométricas 
podem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturais. Em análises 
locais para cálculo dos deslocamentos, na eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada.” 
Na análise global considera-se o conjunto da estrutura, e na análise local apenas um elemento 
estrutural isolado. 
 “Os valores para o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson devem ser adotados de 
acordo com o apresentado em 8.2.8 e 8.2.9, devendo, em princípio, ser considerado o módulo de 
elasticidade secante Ecs .” 
 “Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação de 
estados-limites de serviço. Os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servir 
de base para o dimensionamento dos elementos estruturais no estado-limite último, mesmo que esse 
dimensionamento admita a plastificação dos materiais, desde que se garanta uma dutilidade 
mínima às peças.” 
 
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, NBR 6118. ABNT, 
2014, 238p. 
2 O item 14 contém diversas outras informações não apresentadas neste texto. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
2 
3.2. Análise Linear com Redistribuição (item 14.5.3) 
 
“Na análise linear com redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma análise 
linear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de carregamento do ELU. Nesse caso, 
as condições de equilíbrio e de dutilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas. Todos os 
esforços internos devem ser recalculados, de modo a garantir o equilíbrio de cada um dos 
elementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuiçãodevem ser 
considerados em todos os aspectos do projeto estrutural, inclusive as condições de ancoragem e 
corte de armaduras e as forças a ancorar. 
Cuidados especiais devem ser tomados com relação aos carregamentos de grande 
variabilidade. 
 As verificações de combinações de carregamento de ELS ou de fadiga podem ser baseadas 
na análise linear sem redistribuição. De uma maneira geral é desejável que não haja redistribuição 
de esforços nas verificações em serviço.” 
 
3.3. Análise Plástica (item 14.5.4) 
 
“A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem ser 
consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rígido-plástico perfeito ou elastoplástico 
perfeito. Este tipo de análise deve ser usado apenas para verificações de ELU.” A Figura 1 e a 
Figura 2 ilustram os diagramas tensão-deformação dos dois materiais. 
 
y



 
 
y
y


y

 
Figura 1 – Material rígido-plástico perfeito. Figura 2 – Material elasto-plástico perfeito. 
 
 “A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando: 
a) se consideram os efeitos de segunda ordem global; 
b) não houver suficiente dutilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas. 
 
 No caso de carregamento cíclico com possibilidade de fadiga, deve-se evitar o cálculo 
plástico, observando-se as prescrições contidas na Seção 23.” 
 
3.4. Análise Não Linear (item 14.5.5) 
 
“Na análise não linear, considera-se o comportamento não linear dos materiais. Toda a 
geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser conhecidas para que a 
análise não linear possa ser efetuada, pois a resposta da estrutura depende de como ela foi 
armada. 
 Condições de equilíbrio, de compatibilidade e de dutilidade devem ser necessariamente 
satisfeitas. Análises não lineares podem ser adotadas tanto para verificações de estados-limites 
últimos como para verificações de estados-limites de serviço. 
Para análise de esforços solicitantes no estado-limite último, os procedimentos 
aproximados definidos na Seção 15 podem ser aplicados.” 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
3 
3.5. Análise por Meio de Elementos Físicos (item 14.5.6) 
 
“Na análise através de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir 
de ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhança 
mecânica. A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a 
correta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser 
justificada por modelo teórico de equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados. 
 Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as 
margens de segurança prescritas nesta Norma, conforme as Seções 11 e 12. Caso contrário, 
quando só for possível avaliar o valor médio dos resultados, deve ser ampliada a margem de 
segurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança as variabilidades avaliadas por 
outros meios. 
 Obrigatoriamente, devem ser obtidos resultados para todos os estados-limites últimos e de 
serviço a serem empregados na análise da estrutura. 
 Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da 
estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios. 
 Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão 
fora do escopo desta Norma. Para o caso de provas de carga, devem ser atendidas as prescrições 
da Seção 25.” 
 
3.6. Hipóteses Básicas 
 
No item 14.6 a NBR 6118 apresenta as hipóteses básicas para estruturas de elementos 
lineares: “Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares 
(vigas, pilares, tirantes, arcos, pórticos, grelhas, treliças) podem ser analisadas admitindo-se as 
seguintes hipóteses: 
a) manutenção da seção plana após a deformação; 
b) representação dos elementos por seus eixos longitudinais; 
c) comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outro elemento 
estrutural.” 
 
4. VÃO EFETIVO 
 
 O vão efetivo (NBR 6118, 14.6.2.4) é calculado pela expressão: 
 
ef = 0 + a1 + a2 Eq. 1 
 
com: a1 




h3,0
2/t1
 e a2 




h3,0
2/t2
 
 
 As dimensões 0 , t1 , t2 e h estão indicadas na Figura 3. 
 
h
0
t t1 2
 
Figura 3 – Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo de vigas. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
4 
5. ALTURA E LARGURA 
 
 De modo geral, a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem 
embutidas nas paredes de vedação, de tal forma que não possam ser percebidas visualmente. Para 
que isso ocorra, a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede, a 
qual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria 
(tijolo maciço, bloco furado, bloco de concreto, etc.), e da espessura da argamassa de revestimento 
(reboco), nos dois lados da parede. O revestimento com argamassa tem usualmente a espessura de 
1,5 cm a 2,0 cm, e o com gesso em torno de 5 a 6 mm. 
 Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria, com as dimensões as mais 
variadas, tanto para os blocos cerâmicos de seis como para os de oito furos, como também para os 
tijolos maciços cerâmicos. Antes de se definir a largura da viga é necessário, portanto, definir o tipo 
e as dimensões da unidade de alvenaria, levando-se em consideração a posição em que a unidade 
será assentada. 
 No caso de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde é 
usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria, para em seguida serem construídos os 
pilares, as vigas e as lajes, é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem 
os revestimentos, ou seja, igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede. 
 A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, o 
carregamento e a resistência do concreto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência 
mecânica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma viga 
como mostrado na Figura 4, para concretos do tipo C20 e C25 e construções de pequeno porte, uma 
indicação prática para a estimativa da altura das vigas de Concreto Armado é dividir o vão efetivo 
por doze, isto é: 
 
12
h e 
12
h
2,ef
2
1,ef
1

 Eq. 2 
 
Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser 
considerados valores maiores que doze na Eq. 2. Vigas para edifícios de vários pavimentos, onde as 
ações horizontais do vento impliquem esforços solicitantes consideráveis sobre a estrutura devem 
ter a altura definida em função dos esforços a que estarão submetidas. 
h 1 h 2
ef, 1 ef, 2 
 
Figura 4 – Valores práticos para estimativa da altura das vigas. 
 
A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm. 
A altura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma 
certa padronização, a fim de evitar várias alturas diferentes. 
 
6. INSTABILIDADE LATERAL 
 
 Segundo a NBR 6118 (item 15.10), “A segurança à instabilidade lateral de vigas deve ser 
garantida através de procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar, 
para vigas de concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, as 
seguintes condições:” 
 
b  0 /50 Eq. 3 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
5 
b  fl h Eq. 4 
 
onde: b = largura da zona comprimida; 
 h = altura total da viga; 
0 = comprimento do flange comprimido, medido entre suportes que garantam o 
contraventamento lateral; 
 fl = coeficiente que depende da forma da viga, conforme apresentado na Tabela 1. 
 
 
Tabela 1 – Valores de fl (Tabela15.1 da NBR 6118). 
Tipologia da viga Valores de fl 
b b b
b b
 
0,40 
b b b
b b
 
 
0,20 
Onde o hachurado indica zona comprimida. 
 
 
7. ANÁLISE LINEAR COM OU SEM REDISTRIBUIÇÃO 
 
No item 14.6.4 (“Análise linear com ou sem redistribuição”) a NBR 6118 apresenta diversas 
informações que aplicam-se a estruturas de elementos lineares onde se considera a análise linear, 
com ou sem redistribuição dos efeitos das ações para a estrutura, determinados para as combinações 
de carregamento do estado-limite último (ELU). O item contém informações importantes relativas 
às vigas e são aqui apresentadas. 
 
7.1. Rigidez 
 
“Para o cálculo da rigidez dos elementos estruturais, permite-se, como aproximação, tomar 
o módulo de elasticidade secante (Ecs) (ver 8.2.8) e o momento de inércia da seção bruta de 
concreto. Para verificação das flechas, devem obrigatoriamente ser consideradas a fissuração e a 
fluência, usando, por exemplo, o critério de 17.3.2.1.” (NBR 6118, 14.6.4.1). 
 
7.2. Restrições para a Redistribuição 
 
“As redistribuições de momentos fletores e de torção em pilares, elementos lineares com 
preponderância de compressão e consolos só podem ser adotadas quando forem decorrentes de 
redistribuições de momentos de vigas que a eles se liguem. Quando forem utilizados procedimentos 
aproximados, apenas uma pequena redistribuição é permitida em estruturas de nós móveis (ver 
14.6.4.3). As redistribuições implícitas em uma análise de segunda ordem devem ser realizadas de 
acordo com a Seção 15.” (NBR 6118, 14.6.4.2). 
 
7.3. Limites para Redistribuição de Momentos Fletores e Condições de Ductilidade 
 
Quando for feita redistribuição de momentos fletores nas vigas, é importante garantir boas 
condições de ductilidade. No item 14.6.4.3 a NBR 6118 apresenta limites para redistribuição de 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
6 
momentos fletores e condições de ductilidade, afirmando que “a capacidade de rotação dos 
elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto 
maior será essa capacidade”. E para “proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e 
lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
 
a) x/d  0,45 para concretos com fck  50 MPa; 
 
b) x/d  0,35 para concretos com 50 < fck ≤ 90 MPa. 
Eq. 5 
 
 “Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, 
como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões.” 
 Uma redistribuição comumente feita na prática é a diminuição dos momentos fletores 
negativos nos apoios intermediários de vigas contínuas. Isso possibilita uma aproximação nos 
valores dos momentos fletores negativos com os momentos fletores positivos nos vãos, o que leva a 
seções transversais menores e projetos mais econômicos. 
 A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforços 
solicitantes ao longo da viga, o que deve ser levado em consideração no dimensionamento. 
 Conforme a norma: “Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento 
fletor de M para M, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha neutra nessa 
seção x/d, para o momento reduzido M, deve ser limitada por: 
 
a) x/d ≤ ( - 0,44)/1,25, para concretos com fck  50 MPa; 
 
b) x/d ≤ ( - 0,56)/1,25, para concretos com 50 MPa < fck  90 MPa. 
Eq. 6 
 
 O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: 
 
a)   0,90, para estruturas de nós móveis; 
 
b)   0,75, para qualquer outro caso. 
Eq. 7 
 
 Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma, desde que a 
estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica, com 
verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas.” 
 A Figura 5 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno. A 
diminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante, pois permite que se faça uma 
aproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão de 1978 da norma (NB1/78) era 
permitido plastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fletor negativo nos apoios internos de 
vigas contínuas. 
 
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7 
Plastificação do momento negativo
Acréscimo no momento positivoAcréscimo no momento positivo
 
Figura 5 – Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas. 
 
 
Quando o momento é de equilíbrio, como no caso de vigas em balanço por exemplo, a 
plastificação não é permitida. 
 
8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS DE ESTRUTURAS USUAIS DE 
EDIFÍCIOS 
 
 No item 14.6.6.1 a NBR 6118 apresenta considerações relativas ao projeto de vigas 
contínuas. “Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos 
pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções 
adicionais: 
 
a) não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse 
engastamento perfeito da viga nos apoios internos; (Figura 6); 
 
M
A 1,c
M BM MC M
D
M M
vão extremo
1,iM 3,iM
2,iM
AM
>
MB MC MD
M1,c
M1,i
 >
2,iM
2,cM >
3,iM
3,cM
vão interno
3,c2,c
 
Figura 6 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
8 
“b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direção 
do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado o 
momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio;” 
(Figura 7); 
 
b

int
ef ef
efef
 
Figura 7 – Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas. 
 
“c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, 
deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento 
perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos [...].” (ver Eq. 8, Eq. 9 e Eq. 10). 
 
 Este item refere-se à ligação das vigas com os apoios extremos. Inicialmente consideram-se 
os pilares extremos como apoios simples, e os apoios intermediários (internos) seguem a regra do 
item b, e assim define-se o esquema estático ao longo de toda a viga. Todos os momentos fletores 
são calculados para a viga assim esquematizada (Figura 8). O momento fletor de ligação da viga 
com os pilares extremos é calculado fazendo-se o equilíbrio do momento fletor de engastamento 
perfeito no nó extremo, o que pode ser feito rapidamente aplicando-se a Eq. 8. Os momentos 
fletores que atuam nos lances inferior e superior do pilar extremo (Figura 9), são obtidos segundo a 
Eq. 9 e a Eq. 10. 
+
-
+
-
Mlig
- -
+
engM
-
 
Figura 8 – Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no pilar extremo. 
 
Se bint > e/4 
Se bint  e/4 
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9 
1
2 M sup
M lig
M sup
1
2 M inf
M inf
tramo extremo
pilar de extremidade
nível i
nível (i + 1)
nível (i - 1)+ 
1
2 Mi,inf(i -1),supM
+ 12 MM i,sup (i + 1),inf
(i - 1),supM + 
1
2 Mi,inf
i,supM + 
1
2 M(i + 1),inf
tramo superior
do pav. i
tramo inferior
do pav. i
 
Figura 9 – Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo. 
 
 Os momentos fletores são os seguintes: 
 
- na viga: 
supinfvig
supinf
englig
rrr
rr
MM


 Eq. 8 
 
- no tramo superior do pilar: 
supinfvig
sup
engsup
rrr
r
MM

 Eq. 9 
 
- no tramo inferior do pilar: 
supinfvig
inf
enginf
rrr
r
MM

 Eq. 10 
 
com: rinf = rigidez do lance inferior do pilar; 
 rsup = rigidez do lance superior do pilar; 
 rvig = rigidez do tramo extremo da viga; 
Meng = momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo, considerando 
engastamento perfeito no pilar intermediário.A rigidez é a razão entre o momento de inércia da seção transversal e o comprimento do 
elemento: 
i
i
i
I
r

 Eq. 11 
 
onde: ri = rigidez do elemento i no nó considerado. 
 
No caso da rigidez da viga, i é o vão efetivo entre o apoio extremo e o apoio intermediário. 
No caso da rigidez do pilar, i é tomado como a metade do comprimento equivalente do lance do 
pilar, como indicado na Figura 10. 
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10 
sup_____
 vig
2
inf_____
2
 
Figura 10 – Aproximação em apoios extremos. 
 
 O método de cálculo com aplicação da Eq. 8, Eq. 9 e Eq. 10 é simples de ser feito e não 
requer computadores e programas. Segundo a NBR 6118 (14.6.6.1), “Alternativamente, o modelo 
de viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga, 
mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários.” E ainda: “A 
adequação do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa dos resultados 
obtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos nós viga-pilar, 
especialmente nos modelos mais simples, como o de vigas contínuas.” 
 No caso de introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos, a viga fica vinculada ao apoio 
extremo por meio de um engastamento elástico (mola). Esta solução é mais consistente que a opção 
anterior, porém, o cálculo manual fica dificultado. 
 A rigidez à flexão da mola é avaliada pela equação: 
 
Kmola = Kp,sup + Kp,inf Eq. 12 
 
onde: Kp,sup = rigidez do lance superior do pilar extremo; 
Kp,inf = rigidez do lance inferior do pilar extremo; 
 
sendo: 
sup
sup
sup,p
EI4
K

 e 
inf
inf
inf,p
EI4
K

 Eq. 13 
 
com: E = Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto; 
 I = momento de inércia do lance do pilar; 
sup e inf = comprimento equivalente dos lances superior e inferior do pilar, respectivamente, 
tomados com valor sup /2 e inf /2 (ver Figura 10), conforme item 14.6.6.1 da 
NBR 6118. 
 O coeficiente quatro na Eq. 13 é para o caso de uma barra com vínculos de apoio simples e 
engaste perfeito nas extremidades. No caso de ambos os vínculos serem apoios simples (barra 
biarticulada), o coeficiente é três. 
 Nos pavimentos tipos de edifícios, como os pilares têm as mesmas características (seção 
transversal, concreto, altura, etc.) tem-se Kp,sup = Kp,inf , e: 
 

EI8
Kmola  Eq. 14 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
11 
9. GRELHAS E PÓRTICOS ESPACIAIS 
 
“Os pavimentos dos edifícios podem ser modelados como grelhas, para o estudo das cargas 
verticais, considerando-se a rigidez à flexão dos pilares de maneira análoga à que foi prescrita 
para as vigas contínuas. De maneira aproximada, nas grelhas e nos pórticos espaciais, pode-se 
reduzir a rigidez à torção das vigas por fissuração, utilizando-se 15 % da rigidez elástica, exceto 
para os elementos estruturais com protensão limitada ou completa (classes 2 ou 3). 
Modelos de grelha e pórticos espaciais, para verificação de estados-limites últimos, podem 
ser considerados com rigidez à torção das vigas nula, de modo a eliminar a torção de 
compatibilidade da análise, ressalvando o indicado em 17.5.1.2. 
Perfis abertos de parede fina podem ser modelados considerando o disposto em 17.5.” 
 
10. CONSIDERAÇÃO DE CARGAS VARIÁVEIS 
 
“Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kN/m2 e que seja no 
máximo igual a 50 % da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de 
alternância de cargas.” 
 
11. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
 
Conforme a NBR 6118 (14.6.3), “O diagrama de momentos fletores pode ser arredondado 
sobre os apoios e pontos de aplicação de forças consideradas concentradas e em nós de pórticos. 
Esse arredondamento pode ser feito de maneira aproximada, [...]”, conforme indicado na Figura 11 
e os valores seguintes: 
 
t
4
RR
M 12

 Eq. 15 
 
4
t
RM 11  Eq. 16 
 
4
t
RM 22  Eq. 17 
 
8
t
R'M  Eq. 18 
 
M
M
M
1
M
M
2
2
/2 /2
R 1 R 2
M' 
M'

R
1
 
Figura 11 – Arredondamento do diagrama de momentos fletores. 
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12 
12. ARMADURA DE SUSPENSÃO 
 
Segundo a NBR 6118 (item 18.3.6), “Nas proximidades de cargas concentradas 
transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em 
parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão”.
 Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, se 
direto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na Figura 12, a carga da viga vai direto para o 
apoio, como no caso de um pilar, por exemplo. No apoio indireto, a carga caminha da viga que é 
suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte. 
 
 
 
Figura 12 – Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000). 
 
Segundo FUSCO (2000), “nos apoios indiretos, o equilíbrio de esforços internos da viga 
suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionando 
como um tirante interno, que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior da 
viga suporte, até o seu banzo superior.” A força F no tirante interno está indicada na Figura 13. A 
armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a 
totalidade da reação de apoio da viga que é suportada. 
 
 
Figura 13 – Esquema de treliça em apoios indiretos (FUSCO, 2000). 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
13 
 A Figura 14 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. As 
trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada à 
armadura. 
 
 
 
Figura 14 – Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000). 
 
 
 Na Figura 15 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoios 
indiretos. A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como isso 
normalmente é difícil de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser colocada na região 
vizinha ao cruzamento, tão próxima quanto possível. 
 Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível, a armadura de suspensão 
pode ser dimensionada para a força Rtt , de valor: 
 
2
1
apoiot t
h
h
RR  Eq. 19 
 
com: h1  h2 ; 
h1 = altura da viga que apoia; 
h2 = altura da viga suporte. 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
14 
 
Figura 15 – Detalhes da armadura de suspensão (FUSCO, 2000). 
 
 
13. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA 
 
 As Figura 16, Figura 17 e Figura 18 mostram a planta de fôrma, um corte esquemático e a 
estrutura de concreto em três dimensões, de uma edificação com dois pavimentos utilizáveis (térreo 
e pavimento superior). Pede-se projetar e detalhar as armaduras da viga VS1. São conhecidos: 
- edificação em área urbana de cidade:3 classe II de agressividade ambiental, concreto C25 
(fck = 25 MPa), relação a/c ≤ 0,60, cnom = 2,5 cm para c = 5 mm; 
- peso específico do Concreto Armado: conc = 25 kN/m
3 ; aço CA-50; 
- coeficientes de ponderação: c = f = 1,4 ; s = 1,15; 
- conforme a NBR 6120: arg,rev = 19 kN/m
3 (peso específico da argamassa de revestimento); 
arg,contr = 21 kN/m
3 (peso específico da argamassa de contrapiso ou de regularização); 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
3 Para todo o conjunto ou partes da estrutura, deve ser definida a classe de agressividade ambiental, em função da agressividade do 
ambiente a que o elemento ou estrutura estiver submetida, de modo a fixar valores como a resistência à compressão do concreto (fck), 
relação água/cimento máxima (a/c), cobrimento do concreto (c), etc., conforme a NBR 6118. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado15 
a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por blocos cerâmicos 
de oito furos (de dimensões de 9 x 19 x 19 cm), com espessura final4 de 23 cm e altura5 de 2,40 m; 
b) a laje é do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,43 kN/m2; 
c) ação variável nas lajes de 2,0 kN/m2 (carga acidental q - NBR 6120); 
d) revestimento (piso final) em porcelanato6 sobre a laje, com piso = 0,20 kN/m
2; 
e) a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados, por se tratar de uma 
edificação de baixa altura (apenas dois pavimentos), em região não sujeita a ventos de alta 
intensidade.7 
 
RESOLUÇÃO 
 
A viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado da 
estrutura, apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. 
Outras formas de análise podem ser feitas, considerando-se por exemplo a viga VS1 como 
sendo parte de um pórtico plano, como aquele mostrado na Figura 17, ou compondo uma grelha 
com as lajes e vigas do pavimento. Neste caso, haveria uma melhor interação com as demais vigas 
(VB1 e VC1) e com os pilares de apoio. Uma outra forma possível de cálculo seria considerar toda 
a estrutura como um pórtico tridimensional (ou espacial – ver item 9), como pode ser feito com a 
aplicação de alguns programas computacionais comerciais de cálculo de estruturas de concreto. 
 
13.1. Estimativa da Altura da Viga 
 
Para estimar a altura da viga é necessário considerar inicialmente um vão para a viga, no 
caso a distância entre os centros dos pilares de apoio (719 cm). Assim, a altura da viga para 
concreto C25 pode ser adotada pela Eq. 2 como: 
 
 9,59
12
719
12
h ef 

 cm   h = 60 cm 
 
 Supõe-se que a parede sob a viga, posicionada no pavimento térreo, na qual a viga VS1 
ficará embutida, será confeccionada com blocos cerâmicos furados (9 x 19 x 19 cm) posicionados 
“deitados”, na dimensão de 19 cm, de modo que a viga deverá ter também a largura de 19 cm, a fim 
de facilitar a execução.8 Assim, a viga será calculada inicialmente com seção transversal 19x60 cm. 
 
13.2. Vão Efetivo 
 
Os vãos efetivos dos tramos 1 e 2 da viga são iguais. Considerando as medidas mostradas na 
Figura 16, de acordo com a Eq. 1 são: 
 






cm 1860.3,0h3,0
cm 5,92/192/t2/t
aa
21
21  a1 = a2 = 9,5 cm 
 
4 A espessura final, real da parede, pode não coincidir com a espessura da parede especificada no projeto arquitetônico da edificação, 
sendo comum as larguras de 15 e 25 cm nesses projetos. A espessura final depende da largura da unidade de alvenaria (bloco, tijolo 
maciço, etc.) e das espessuras dos revestimentos (reboco de argamassa, gesso, etc.). 
5 A altura da parede está mostrada na Figura 17, sendo a distância da face superior da viga VS1 até a face inferior da viga da 
cobertura (VC1). 
6 Os pisos de porcelanato têm espessuras diferentes, em função do fabricante e principalmente das dimensões das peças, de modo que 
o peso específico pode variar muito, devendo ser consultado com o fabricante. 
7 Segundo a NBR 6118 (item 11.4.2.1), “Os esforços solicitantes relativos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se 
que sejam determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras simplificadas 
previstas em Normas Brasileiras específicas.” 
8 Em construções de pequeno porte geralmente as paredes de alvenaria são construídas antes da estrutura de concreto, e para facilitar 
a execução é interessante que vigas e pilares tenham espessuras iguais às das paredes, pois assim as tábuas da fôrma podem ser 
montadas apenas encostadas na alvenaria. 
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16 
 ef = 0 + a1 + a2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cm 
 
 Quando as dimensões dos pilares na direção do eixo longitudinal da viga são pequenas, 
geralmente o vão efetivo é igual à distância entre os centros dos apoios, como ocorreu neste caso. 
 
VS1 (19 x 60)
VS2 (19 x 70)
19/19
P1
VS3 (19 x 60)
V
S
4
 (
1
9
 x
 4
5
)
V
S
5
 (
1
9
 x
 4
5
)
V
S
6
 (
1
9
 x
 4
5
)
19/30
P4
19/19
P7
19/30
P2 P3
19/19
P5
19/30
19/30
P8
P6
19/30
P9
19/19
719 719
5
2
3
5
2
3
Planta de Fôrma do Pavimento Superior
Esc. 1:50 
4
5
1
6
L1 L2
L3 L4
 
Figura 16 – Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1. 
 
 
 
3
0
0 255
VB1 (19 x 30)
30
70019
3
0
0
tramo 2
60
VS1 (19 x 60)
tramo 1
19/19
P1
240
60
19
19/30
P2
VC1 (19 x 60)
19/19
P3
700 19
cobertura
pav. superior
pav. térreo
viga baldrame
 
Figura 17 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1. 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Vistas da estrutura em três dimensões. 
 
 
13.3. Instabilidade Lateral da Viga 
 
 Como existe laje apoiada na região superior da viga, na extensão onde ocorrem tensões 
normais de compressão provocadas pelo momento fletor positivo, a estabilidade lateral da viga está 
garantida pela laje. Na extensão dos momentos fletores negativos, onde a compressão ocorre na 
região inferior da viga, e não existe laje inferior travando a viga, não deverá ocorrer problema 
porque o banzo comprimido tem pequena extensão.9 
 
9 No caso de “vigas invertidas” é importante verificar com cuidado a questão da instabilidade lateral. 
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18 
13.4. Cargas na Laje e na Viga 
 
Como se pode observar na Figura 16, as lajes L1 e L2, do piso do pavimento superior, 
apoiam-se somente sobre as vigas VS1 e VS2, pois as lajes são do tipo pré-fabricada treliçada, onde 
os trilhos ou vigotas são unidirecionais. O primeiro tramo da VS1 recebe parte da carga da laje L1, 
e o segundo tramo parte da laje L2. 
Para as lajes será considerada a altura de 16 cm, com peso próprio10 de 2,43 kN/m2. As 
argamassas de revestimento, nos lados inferior e superior11, tem respectivamente a espessura média 
de 1,5 e 3,0 cm. O revestimento de piso final (porcelanato) tem carga estimada em 20 kgf/m2. 
Considerando os pesos específicos dados e a carga acidental, a carga total por m2 de área da laje é: 
 
- peso próprio: gpp = 2,43 kN/m
2 
- argamassa de revestimento inferior: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m
2 
- argamassa de regularização (contrapiso): gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m
2 
- piso final: gpiso = 0,20 kN/m
2 
- ação variável: q = 2,00 kN/m2 
CARGA TOTAL (Laje): p = 5,55 kN/m2 
 
As nervuras (vigotas) das lajes unidirecionais podem ser consideradas simplesmente 
apoiadas ou engastadas nos apoios, quando não existir ou existir continuidade com lajes adjacentes, 
respectivamente. A carga da laje sobre a viga de apoio depende desta consideração. Neste exemplo 
será considerado que as lajes têm as vigotas simplesmente apoiadas nas vigas VS1, VS2 e VS3, 
conforme as setas mostradas nos centros das lajes na Figura 16. Para efeito de cálculo da carga, o 
vão das lajes L1 e L2 será tomado de centro a centro das vigas VS1 e VS2: laje = 523 cm.12 
 Considerando que os carregamentos que atuam na viga consistem de uma parede apoiada 
sobre a viga em toda a extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3, com 
espessura final de 23 cm e altura de 2,40 m, com carga por metro quadrado de área de 3,20 kN/m2, 
valor esse que considera os diferentes pesos específicos do bloco cerâmico e das argamassas de 
assentamento (1 cm) e de revestimento (1,5 cm)13, de uma laje pré-fabricada com carga total de 
5,55 kN/m2 com comprimento de 5,23 m, e o peso próprio da viga (de seção transversal de 19 x 60 
cm), o carregamento total atuante nos tramos 1 e 2 da VS1 é: 
 
- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,6 = 2,85 kN/m 
- parede: gpar = 3,2 . 2,40 = 7,68 kN/m 
- laje: glaje = 5,55 . 5,23/2 = 14,51 kN/m 
CARGA TOTAL (Viga): p = 25,04 kN/m 
 
13.5. Esquema Estático e Carregamentona Viga VS1 
 
 O apoio intermediário da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois 
de acordo com o esquema mostrado na Figura 7, o pilar deve ser assim classificado, como 
demonstrado a seguir. O comprimento equivalente do lance inferior do pilar é: 
 
e = 255 + 60/2 + 30/2 = 300 cm 
 
 
10 O peso próprio das lajes pré-fabricadas são fornecidos pelos fabricantes, podendo ser conferido pelo engenheiro. 
11 Também chamado “contrapiso” ou “argamassa de regularização”. 
12 Tomar o vão da laje de centro a centro das vigas de apoio fica a “favor da segurança”, considerando que as lajes serão construídas 
com as vigotas adentrando as vigas na região superior, e não apoiadas sobre as bordas superiores das vigas. 
13 Valores encontrados em GIONGO, J.S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. São Carlos, Escola de Engenharia de 
São Carlos, Usp, Dep. de Estruturas. 2007. Disponível em (1/09/15): 
http://www.gdace.uem.br/romel/MDidatico/EstruturasConcretoII/ProjetoEstruturaldeEdificios-J.%20S.Gingo-EESC-Turma2-
2007.pdf 
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19 
A largura do pilar (P2) na direção do eixo longitudinal da viga (bint) é 19 cm, menor que um 
quarto do comprimento equivalente do pilar (e/4 = 300/4 = 75 cm), isto é, bint = 19 cm < 75 cm. 
Portanto, deve-se considerar o pilar interno P2 como apoio simples. 
 A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que e/4. De 
acordo com a norma, isso ocorreria se a dimensão do pilar na direção da viga (bint) fosse grande o 
suficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades, ou seja, 
a viga seria considerada engastada no pilar P2. 
 A norma considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares 
extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, a viga será considerada vinculada aos 
pilares extremos P1 e P3 por meio de molas, ou seja, considerando os pilares como engastes 
elásticos. 
Os carregamentos totais calculados para os tramos 1 e 2 da viga são iguais (25,04 kN/m), e 
uniformemente distribuídos em toda a extensão do tramo (Figura 19). 
 
p = 25,04 kN/m
719 cm 719
tramo 1 tramo 2
 
Figura 19 – Esquema estático e carregamento na viga. 
 
13.6. Rigidez da Mola 
 
 A rigidez da mola nos engastes elásticos representativos dos pilares extremos P1 e P3 é 
avaliada pela Eq. 12: Kmola = Kp,sup + Kp,inf 
 Considerando os pilares como articulados na base e no topo, tem-se que o comprimento 
equivalente dos lances inferior e superior à VS1 são iguais (300 cm), e como a seção transversal dos 
pilares não varia nos pavimentos, as rigidezes dos lances inferior e superior são também iguais. 
 A rigidez K do pilar superior e inferior é: 
 
 Kp,sup = Kp,inf = 

EI4
 
 Com  = /2 conforme a NBR 6118, a rigidez da mola vale, portanto: 
2
EI8
Kmola 
 
 O módulo de elasticidade do concreto, tangente na origem, pode ser avaliado pela seguinte 
expressão (NBR 6118, item 8.2.8): 
 
 ckEci f5600E  = 255600.2,1 = 33.600 MPa = 3.360 kN/cm
2 
 
com E = 1,2 para brita de basalto (também para diabásio). 
 Supondo que a viga vai estar microfissurada trabalhando em serviço (Estádio II), o módulo 
de elasticidade que deve ser considerado é o secante (Ecs), avaliado por: 
Ecs = i Eci , com 0,1
80
f
2,08,0 cki  
0,18625,0
80
25
2,08,0i   ok! 
 
 Ecs = 0,8625 . 3360 = 2.898 kN/cm
2 
 
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20 
 Como a seção transversal é constante, o momento de inércia dos lances inferior e superior 
do pilar são iguais e valem: 
 
 Ip,sup = Ip,inf = 860.10
12
19.19
12
hb 33
 cm4 
 
onde Ip é o momento de inércia em relação aos eixos baricêntricos de uma seção retangular cuja 
dimensão h é aquela que corresponde, na seção, ao lado perpendicular ao eixo de flexão do pilar. 
Ou, em outras palavras, o momento de inércia que interessa neste caso é aquele onde a dimensão 
elevada ao cubo é aquela coincidente com a direção do eixo longitudinal da viga. 
 Rigidez da mola: 
 
 
2
EI8
Kmola 
 = 522.678.1
2
300
10860.2898.8
 kN.cm 
 
13.7. Esforços Solicitantes 
 
Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programa 
computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado PPLAN414 
(CORRÊA et al., 1992), que resolve pórticos planos e vigas, fornecendo os esforços solicitantes e 
os deslocamentos no nós.15 A Figura 20 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para a 
viga em análise. 
y
25,04 kN/m
1 2 3 4 51 2 3 4 x
359,5 359,5
719 cm 719
359,5 359,5
 
Figura 20 – Numeração dos nós e barras da viga. 
 
 O arquivo de dados de entrada tem o aspecto: 
 
OPTE,2,2,2,2,2, 
UNESP – BAURU, DISC. CONCRETO II 
VIGA EXEMPLO 
VS1 (19 x 60) 
NOGL 
 1,5,1,0,0,1438,0, 
RES 
 1,1,1,2,0,0,1678522, 
 5,1,1,2,0,0,1678522, 
 3,1,1, 
BARG 
 1,4,1,1,1,2,1,1,1, 
PROP 
 1,1,1140,342000,60, 
MATL 
 
14 O programa computacional e o manual encontram-se disponíveis no endereço: 
 http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
15 Outros programas computacionais podem ser utilizados, como por exemplo o Ftool. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
21 
 1,2898, 
FIMG 
CARR1 
CBRG 
 1,4,1,1,-0.2504,1, 
FIMC 
FIME 
 
A Figura 21 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores 
característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo 
programa encontra-se no Anexo II. 
A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,31 cm) é muito próxima à flecha máxima 
que ocorre no vão, e serve como indicativo da deslocabilidade vertical da viga.16 Considerando que 
por efeito da fluência do concreto, a flecha aumentará em um fator próximo a 2, a flecha final na 
viga pode ser estimada como: 0,31 . 2 = 0,6 cm = 6 mm. 
Na Tabela 13.3 da NBR 6118 (item 13.3) consta que a flecha limite para “Aceitabilidade 
sensorial – visual”, como deslocamentos visíveis, é /250, isto é, 719/250 = 2,9 cm, muito maior 
portanto que a flecha da viga (0,6 cm). Num outro quesito preconizado pela norma, “Efeitos em 
elementos não estruturais”, compostos por paredes de alvenaria, caixilhos e revestimentos por 
exemplo, os valores-limites para a flecha são: 
 
/500 (719/500 = 1,4 cm)17, ou 10 mm ou 0,0017 rad 
 
Verifica-se que a flecha de 6 mm é menor que o deslocamento-limite de 10 mm preconizado 
pela norma.18 A rotação máxima nos apoios do tramo foi de 0,0015 rad (nós 1 e 5 no esquema da 
Figura 20), também menor que o valor limite. Da análise conclui-se que é possível executar a viga 
com a seção transversal inicialmente proposta, sem esperar-se problema com flecha ao longo do 
tempo.19 
 
2517
72,8
180+
8054 8054
14922
- -
288
107,3
107,3
(kN.cm)
kM 
2517
72,8
V (kN)
k
~
288
40~
 
Figura 21 – Diagramas de esforços solicitantes característicos. 
 
16 Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado na Figura 20. 
17 Onde  é o comprimento da parede. 
18 Vigas que servem de apoio para paredes devem ter os deslocamentos-limites avaliados cuidadosamente, para evitar o surgimento 
de fissuras indesejáveis na parede, por flecha excessiva. Geralmente, a solução mais comum para resolver problemas de flecha 
elevada é aumentar a altura da viga. 
19 Para uma análise mais precisa e cálculo elaborado da flecha pode ser consultado: CARVALHO, R.C. ; FIGUEIREDO FILHO, J.R. 
Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. São Carlos, v.1, Ed. EDUFSCar, 
2014, 416p. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
22 
 No casodos momentos fletores máximos positivos deve-se comparar o valor mostrado na 
Figura 21 com o máximo momento fletor positivo obtido considerando-se o vão engastado no apoio 
intermediário (pilar P2 - Figura 22). 
719 cm
p = 25,04 kN/m
P1 P2
 
Figura 22 – Esquema estático para obtenção do momento positivo 
considerando engate no apoio interno. 
 
 O arquivo de dados de entrada tem o aspecto: 
 
OPTE,2,2,2,2,2, 
UNESP – BAURU, DISC. CONCRETO II 
MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO 
VS1 (19 x 60) 
NOGL 
 1,3,1,0,0,719,0, 
RES 
 1,1,1,2,0,0,1678522, 
 3,1,1,1, 
BARG 
 1,2,1,1,1,2,1,1,1, 
PROP 
 1,1,1140,342000,60, 
MATL 
 1,2898, 
FIMG 
CARR1 
CBRG 
 1,2,1,1,-0.2504,1, 
FIMC 
FIME 
 
O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 22, conforme o 
arquivo de dados acima, resulta 8.054 kN.cm, igual ao momento máximo positivo obtido para a 
viga contínua mostrada na Figura 21. A listagem dos resultados obtidos pelo programa PPLAN4 
encontra-se no final da apostila (Anexo II). 
 
13.8. Dimensionamento das Armaduras 
 
 Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal. Para a armadura longitudinal 
serão adotados diferentes valores para a altura útil d, em função do valor do momento fletor. 
 
13.8.1 Armadura Mínima de Flexão 
 
 A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo:20 
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup 
 
33,3253,0.3,1f3,0.3,1f3,1f
3 23 2
ckm,ctsup,ctk  MPa 
 
20 Apresentada em: BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples - Vigas. Disciplina 2117 – Estruturas de Concreto I. Bauru/SP, 
Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), fev/2015, 78p. Disponível em 
(1/09/15): http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
23 
000.342
12
60.19
12
hb
I
33
 cm3 
 
400.11
30
342000
y
I
 W0  cm
3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) 
 
Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,333 = 3.037 kN.cm 
 
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo tomando d = 55 cm: 
 
d
2
w
c
M
db
K  = 9,18
3037
55.19 2
  da Tabela A-1 (ver anexo) tem-se Ks = 0,023. 
 
d
M
KA dss  = 27,1
55
3037
023,0  cm2 
 
 Para seção retangular e concreto C25, a taxa mínima de armadura (mín – ver Tabela A-2) é 
de 0,15 % Ac , portanto: 
 As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm
2 > 1,27 cm2   As,mín = 1,71 cm
2 
 
13.8.2 Armadura de Pele 
 
A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No 
entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem mesmo em vigas com altura de 50 cm, será 
colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac em cada face da viga, que era a área de 
armadura de pele recomendada para vigas com alturas superiores a 60 cm, na versão NB-1 de 1978: 
 
As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm
2 
 
4  4,2 mm  0,56 cm2 em cada face (ver Tabela A-3 ou Tabela A-4), distribuídas ao 
longo da altura (ver Figura 30). 
 
13.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão 
 
 Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores 
máximos, positivos e negativos, que ocorrem ao longo da viga. 
 
13.8.3.1 Momento Fletor Negativo 
 
a) Apoio interno (P2) 
 
 O momento fletor atuante (M) na viga na seção sobre o pilar P2 é negativo e de valor 14.922 
kN.cm. Este momento é 1,85 vez maior que o máximo momento fletor positivo no vão, de 8.054 
kN.cm. Uma forma de diminuir essa diferença é fazer uma redistribuição de esforços solicitantes, 
como apresentado no item 7.3 (Eq. 6 e Eq. 7). Isso é feito reduzindo o momento negativo de M para 
δM, com δ ≥ 0,75. A fim de exemplificar a redistribuição, o momento fletor será reduzido em 10 %, 
com δ = 0,9, e: 
Mk = – 14.922 kN.cm  δMk = 0,9 . (– 14922) = – 13.430 kN.cm 
 
Md = f . Mk = 1,4 . (– 13.430) = – 18.802 kN.cm 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
24 
A redução do momento fletor negativo acarretará alterações nos demais valores dos esforços 
solicitantes (M e V) na viga, bem como nos elementos estruturais a ela ligados, o que deve ser 
considerado, como mostrado adiante (Figura 23). 
Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil (d) de 55 cm. A capa da laje pré-
fabricada, apoiada na região superior da viga, está tracionada pelo momento fletor negativo, e não 
pode ser considerada para contribuir na resistência às tensões normais de compressão, de modo que 
a viga deve ser dimensionada como seção retangular (19 x 60): 
 
d
2
w
c
M
db
K  = 1,3
18802
55.19 2
 
 
Da Tabela A-1 tem-se: 
 
x = x/d = 0,30, Ks = 0,026 e domínio 3. 
 
712,5
ah
 
Conforme a Eq. 5, x = x/d  0,45, e: 
 
x = x/d = 0,30 ≤ 0,45  ok! 
 
E também, devido à redistribuição de esforços feita (Eq. 6): x = x/d ≤ (δ – 0,44)/1,25 
 
(0,9 – 0,44)/1,25 = 0,368  0,37  x = x/d = 0,30 ≤ 0,37  ok! 
 
Neste caso, com x = x/d = 0,30, os limites estão satisfeitos, o que deve garantir a necessária 
ductilidade à viga nesta seção. 
 
d
M
KA dss  = 89,8
55
18802
026,0  cm2 (> As,mín = 1,71 cm
2) 
 
algumas opções são (ver Tabela A-4): 
 
4  16 mm + 1  12,5 mm  9,25 cm2 (escolha adequada para construções de médio/grande 
porte21); 
6  12,5 mm + 2  10 mm  9,10 cm2 (escolha indicada para construções de pequeno 
porte); 
7  12,5 mm  8,75 cm2 (escolha indicada para construções de pequeno porte). 
 
 Considerando que no adensamento do concreto da viga será aplicado um vibrador com 
diâmetro da agulha de 25 mm, a distância livre horizontal entre as barras das camadas da armadura 
negativa deve ser superior a 25 mm. Para cobrimento de 2,5 cm, estribo com diâmetro de 5 mm, e 
armadura composta por 7  12,5 mm conforme o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: 
 
  
7,2
3
25,1.45,05,2219
ah 

 cm 
distância livre suficiente para a passagem da agulha do vibrador. A posição do centro de gravidade 
da armadura é: 
 
 
21 Está se supondo que edificações de médio e grande porte tenham uma pessoa experiente, o “armador”, para cortar, 
amarrar e montar as armaduras, com equipamentos adequados, onde a barra de 16 mm não oferece dificuldades. Em 
obras de pequeno porte é indicado utilizar barras de diâmetro até 12,5 mm. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
25 
 acg = 2,5 + 0,5 + 1,25 + 1,0 = 5,25 cm  5 cm adotado no cálculo. 
 
 Com o momento fletor negativo diminuído em δ = 0,9 (M = – 13.430 kN.cm), os valores dos 
esforços solicitantes na viga são alterados conforme mostrado na Figura 2322, isto é, deve-se fazer a 
redistribuição de esforços solicitantes, a serem considerados no cálculo das demais armaduras da 
viga e nos outros elementos estruturais ligados à viga, como os pilares por exemplo (P1, P2 e P3). 
 
~
-
40
180~
-
13430
8522
2733
M k
(kN.cm)
104,9
104,9
75,1
V (kN)
k
2733
75,1
300
8522
300
+
 
Figura 23 – Diagramas de esforços solicitantes característicos considerando a redistribuição em função da 
diminuição de M para δM na seção sobre o pilar P2. 
 
 
 Com a redistribuição de esforços e o momento fletor negativo menor no apoio intermediário, 
a flecha no vão aumenta para 0,35 cm. Esse valor, multiplicado por 2,0 para considerar o efeito da 
fluência no concreto sobre a flecha, resulta: 0,35 . 2,0 = 0,7 cm = 7 mm, um valor menor que o 
deslocamento-limite de 10 mm, conforme já apresentado. 
 
b) Apoios extremos (P1 e P3) 
 
Mk = – 2.733 kN.cm 
 Md = f . Mk = 1,4 . (– 2733) = – 3.826 kN.cm 
 
Com d = 56 cm: 
 
 
d
2
w
c
M
db
K  = 6,15
3826
56.19 2
 
 
Da Tabela A-1 tem-se: 
x = x/d = 0,06, Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
x = x/d = 0,06 ≤ 0,45  ok! 
d
M
KA dss  = 64,1
56
3826
024,0 cm2 ( As,mín = 1,71 cm
2) 
210
 
 
22 O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 e o relatório de resultados encontram-se no Anexo II ao final do texto. 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
26 
portanto, As = 1,71 cm
2 (2  10 mm  1,60 cm2 - ver Tabela A-4 - que é uma área apenas um 
pouco menor que a área mínima. 
 
13.8.3.2 Momento Fletor Positivo 
 
O momento fletor máximo positivo no vão, após a redistribuição de esforços (Figura 23), é: 
 
Mk = 8.522 kN.cm 
 Md = f . Mk = 1,4 . 8.522 = 11.931 kN.cm 
 
A capa (mesa) da laje pré-fabricada, com 4 cm de espessura, está comprimida pelo momento 
fletor positivo e contribui com a viga em proporcionar resistência às tensões normais de 
compressão, que ocorrem na parte superior da viga. No entanto, a contribuição não será considerada 
porque a espessura da mesa é pequena, além de que em construções de pequeno porte, sem 
fiscalização rigorosa, não há certeza quanto à uniformidade da espessura da mesa. 
 
Com d = 56 cm: 
 
d
2
w
c
M
db
K  = 0,5
11931
56.19 2
 
 
Da Tabela A-1 tem-se: 
 
x = x/d = 0,18, Ks = 0,025 e domínio 2. 
 
x = x/d = 0,18 ≤ 0,45  ok! 
 
d
M
KA dss  = 33,5
56
11931
025,0  cm2 (> As,mín = 1,71 cm
2) 
210
312,5 
 
algumas opções são (ver Tabela A-4): 
 
3  16  6,00 cm2 (escolha adequada para construções de médio/grande porte); 
2  16 + 1  12,5  5,25 cm2 (escolha indicada para construções de médio/grande porte); 
4  12,5 + 1  10 mm  5,80 cm2 (escolha indicada para construções de pequeno porte). 
3  12,5 + 2  10 mm  5,35 cm2 (escolha indicada para construções de pequeno porte). 
 
Os cálculos seguintes serão feitos considerando a quarta opção (3  12,5 + 2  10 mm  
5,35 cm2). 
 
13.8.4 Armadura Longitudinal Máxima 
 
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que 
4 % Ac (As,máx): 
 
As,máx = 0,04 . 19 . 60 = 45,60 cm
2 
 
muito superior à qualquer combinação de As com A’s ao longo da viga (A’s resultou nula em todas 
as seções, ou seja, nenhuma seção com armadura dupla). 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
27 
13.9. Armadura Transversal para Força Cortante 
 
Como a seção transversal da viga é retangular, a indicação de Leonhardt e Mönnig (1982) é 
de que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão aproxima-se de 30. Portanto, a 
armadura transversal pode ser dimensionada com o Modelo de Cálculo II, com  = 30. No entanto, 
por simplicidade e a favor da segurança, será adotado o Modelo de Cálculo I ( fixo em 45), pois a 
armadura resultante será maior do que aquela do Modelo de Cálculo II com  = 30. 
A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadas 
desenvolvidas e apresentadas na apostila de BASTOS (2015).23 
As forças cortantes máximas atuantes na viga, após a redistribuição de esforços, estão 
mostradas na Figura 23. A redução da força cortante nos apoios, possível de ser feita nos cálculos 
da armadura transversal como indicada na NBR 6118, não será adotada por simplicidade. 
 
13.9.1 Pilar Intermediário P2 
 
A força cortante que atua na viga no apoio correspondente ao pilar P2 é: 
 
 Vk = 104,9 kN 
 VSd = f . Vk = 1,4 . 104,9 = 146,9 kN 
 
a) Verificação das diagonais de compressão 
 
Com d = 55, e da Tabela A-5 anexa (para concreto C25) determina-se a força cortante 
máxima que a viga pode resistir: 
 
4,44955.19.43,0db43,0V w2Rd  kN 
 
kN4,449V9,146V 2RdSd   ok! não ocorrerá esmagamento do concreto nas bielas 
comprimidas. 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
 
Da Tabela A-5 (C25), a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura 
mínima é: 
 
3,12255.19.117,0db117,0V wmín,Sd  kN 
 
kN3,122V9,146V mín,SdSd   portanto, deve-se calcular a armadura transversal, 
pois será maior que Asw,mín . 
 
Da equação para Asw na Tabela A-5 (concreto C25) tem-se: 
 
01,319.20,0
55
9,146
55,2b20,0
d
V
55,2A w
Sd
sw  cm
2/m 
 
A armadura mínima, a ser aplicada nos trechos da viga onde a força cortante solicitante é 
menor que a força cortante correspondente à armadura mínima, é: 
 
23 BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. 
Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p. 
Disponível em (1/09/15): http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
28 
w
ywk
m,ct
mín,sw b
f
f20
A  (cm2/m), com 56,2253,0f3,0f
3 23 2
ckm,ct  MPa 
 
e com o aço CA-50: 95,119
50
256,0.20
A mín,sw  cm
2/m 
 
 E como esperado, Asw = 3,01 cm
2/m > Asw,mín = 1,95 cm
2/m, armadura que deve ser disposta 
no trecho ou região da viga próxima ao apoio (pilar). 
 
13.9.2 Pilares Extremos P1 e P3 
 
A força cortante que atua na viga nos apoios correspondentes aos pilares P1 e P3 é: 
 
 Vk = 75,1 kN 
 VSd = f . Vk = 1,4 . 75,1 = 105,1 kN 
 
 Alterando a altura útil para 56 cm (utilizada no cálculo da armadura de flexão nos pilares 
extremos e na armadura positiva do vão) tem-se os valores de VRd2 = 457,6 kN e VSd,mín = 124,5 kN 
do cálculo relativo ao pilar P2, e: 
 
VSd = 105,1 kN < VRd2 = 457,6 kN  não ocorrerá o esmagamento do concreto nas 
diagonais comprimidas. 
 
VSd = 105,1 kN < VSd,mín = 124,5 kN  portanto, deve-se dispor a armadura mínima 
(Asw,mín = 1,95 cm
2/m) 
 
13.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal 
 
a) diâmetro do estribo: 5 mm  t  bw/10  t  190/10  19 mm 
 
b) espaçamento máximo 
 
0,67 VRd2 = 0,67 . 449,4 = 301,1 kN 
 
VSd,P2 = 146,9 < 301,1 kN  s  0,6 d  30 cm 
VSd,P1,P3 = 105,1 < 301,1 kN  s  0,6 d  30 cm 
 
0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm  Portanto, s  30 cm 
 
c) espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo 
 
0,20 VRd2 = 0,20 . 449,4 = 89,9 kN 
 
VSd,P2 = 146,9 > 89,9 kN  s  0,6 d  35 cm 
VSd,P1,P3 = 105,1 > 89,9 kN  s  0,6 d  35 cm 
 
0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm  Portanto, s  33 cm 
 
d) escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos 
 
d1) pilar P2 (Asw = 3,01 cm
2/m) 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
29 
 
 Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1 5 mm = 
0,20 cm2), tem-se: 
 
 0301,0
s
Asw  cm2/cm  0301,0
s
40,0
  s = 13,3 cm  30 cm 
 
portanto, estribo com dois ramos  5 mm c/13 cm. 
 
d2) pilares P1 e P3 (Asw = Asw,mín = 1,95 cm
2/m) 
 
Para a armadura mínima de 1,95 cm2/m, considerando o mesmo diâmetro do estribo, tem-se: 
 
 0195,0
s
Asw  cm2/cm  0195,0
s
40,0
  s = 20,5 cm  30 cm 
 
portanto, estribo com dois ramos  5 mm c/20 cm. 
 
 A Figura 24 mostra a disposição dos estribos ao longo da viga. 
 
105,1
300
146,9
146,9 V (kN)
105,1
Sd
70,2
122,3
419
V =Sd,mín
70019 19
N1 - 76 5 mm
C=148 cm
55
14
104 104
N1-8 c/13 N1-8 c/13N1-30 c/20 N1-30 c/20
 
Figura 24 – Detalhamento dos estribos verticais no comprimento total da viga. 
 
 
13.10. Ancoragem das Armaduras Longitudinais 
 
13.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 
 
 A viga VS1 tem simetria de carregamento e geometria, de modo que a ancoragem nos 
pilares extremos P1 e P3 são exatamente iguais. 
 Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a) segundo o Modelo de Cálculo I, 
para estribos verticais:24 
 
24 BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento 
Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/2015, 40p. Disponível em (1/09/15): 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
UNESP- Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
30 
d
)VV(
V
2
d
a
cmáx,Sd
máx,Sd


 , com a  0,5d 
 
 Na flexão simples e para o Modelo de Cálculo I (adotado no cálculo da armadura 
transversal), tem-se: 
 
Vc = Vc0 = 0,6fctd bw d = 0,6 . 0,128 . 19 . 56 = 81,7 kN 
 
3 2
ck
cc
m,ct
c
inf,ctk
ctd f
3,0.7,0f7,0f
f





 = 28,125
4,1
3,0.7,0 3 2  MPa = 0,128 kN/cm2 
8,125
)7,811,105(
1,105
2
56
a 

 cm ≤ 56 cm 
 
portanto, a = d = 56 cm. 
 
 A armadura a ancorar no apoio é: 
 
 
yd
Sd
anc,s
f
V
d
a
A  =
 
42,2
15,1
50
1,105
56
56
 cm2 
 A armadura calculada para o apoio deve atender à armadura mínima: 
 









2
M
M valor de e negativo M se A
4
1
2
M
M valor de negativoou 0M se A
3
1
A
vão
apoioapoiovão,s
vão
apoioapoiovão,s
anc,s 
 
 apoio,dM – 3.826 kN.cm < Md,vão/2 = 11.931/2 = 5.965,5 kN.cm 
 
 Portanto, As,anc  1/3 As,vão = 5,33/3 = 1,78 cm
2 
 
 As,anc = 2,42 cm
2 ≥ 1/3 As,vão = 1,78 cm
2  ok! 
 
Se resultar As,anc menor que o valor mínimo, deve-se seguir nos cálculos com As,anc igual ao 
valor mínimo (1/3 ou 1/4 do As,vão). 
Para a ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos P1 e P3 da viga é necessária a 
área de 2,42 cm2, no comprimento de ancoragem básico b (Figura 25). 
Como as armaduras positivas dos tramos adjacentes aos pilares P1 e P3 são compostas por 3 
 12,5 mm + 2  10 (ver item 13.8.3.2), e as duas barras ( de 12,5 mm) posicionados nos vértices 
dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidas até os apoios, a armadura efetiva (As,ef) a 
ancorar no apoio será composta por 2  12,5 mm (2,50 cm2), que atende à área calculada de 2,42 
cm2 (As,anc). 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
31 
s,ancA
b
VIGA DE APOIO
s,ancA
b
b
b 
c b,ef
 
Figura 25 – Ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos da viga. 
 
O comprimento de ancoragem básico pode ser determinado na Tabela A-7 anexa. Na coluna 
sem gancho, considerando concreto C25, aço CA-50, diâmetro da barra de 12,5 mm e região de boa 
aderência, encontra-se o comprimento de ancoragem básico (b) de 47 cm. 
Como a área de armadura escolhida para a ancoragem no apoio (As,ef) não é exatamente 
igual à área da armadura calculada (As,anc), o comprimento de ancoragem básico pode ser corrigido 
para b,corr , como (ver Figura 26): 
 
5,45
50,2
42,2
47
A
A
ef,s
anc,s
bcorr,b   cm 
b
As,ef
c b,ef
b,corr 
 
Figura 26 – Ancoragem da armadura efetiva no comprimento de ancoragem corrigido. 
 
O comprimento de ancoragem corrigido deve atender ao comprimento de ancoragem 
mínimo (b,mín): 
 


 

cm 6
r
mín,b , r = D/2 = 5/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm 
 
(com D sendo o diâmetro do pino de dobramento - Tabela A-9) 
 
 r + 5,5  = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm, maior que 6 cm,  b,mín = 10,0 cm 
 
Tem-se que b,corr = 45,5 cm > b,mín = 10,0 cm  ok! 
 
O comprimento de ancoragem efetivo, que corresponde ao máximo comprimento possível 
de ancorar no apoio, conforme a Figura 26 é: 
b,ef = b – c = 19 – 2,5 = 16,5 cm 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
32 
 Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) 
é superior ao comprimento de ancoragem efetivo do apoio (b,corr = 45,5 cm > b,ef = 16,5 cm). Isto 
significa que não é possível fazer a ancoragem reta com apenas  12,5 mm, pois as barras ficariam 
com um trecho fora da seção transversal do pilar. 
O passo seguinte para resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades das barras, o 
que permite diminuir o comprimento reto em 30 %. O comprimento de ancoragem com gancho é: 
 
 9,315,45.7,0gancho,b  cm 
 
 Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o 
comprimento de ancoragem com gancho resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: 
 
b,gancho = 31,9 cm > b,ef = 16,5 cm 
 
 A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr : 
 
 anc,s
ef,b
b
corr,s A
7,0
A


 = 83,442,2
5,16
477,0


cm2 
 
Portanto, mesmo que se estenda até o apoio as três barras da primeira camada da armadura 
positiva do vão (3  12,5 mm), a área de 3,75 cm2 não é suficiente para atender As,corr . Uma solução 
é estender todas as barras da armadura do vão até o apoio, pois a área total (As,vão) de 5,35 cm
2 
atende à As,corr . Outra solução, mais econômica, é estender duas ou três barras  12,5 mm da 
primeira camada e acrescentar grampos, com a área de grampos sendo a diferença entre a área de 
armadura a ancorar (As,corr) e a área de armadura do vão estendida até o apoio. No caso de estender 
2  12,5 (2,50 cm2), a área de grampo é: 
 
 As,gr = As,corr – As,ef = 4,83 – 2,50 = 2,33 cm
2 
 
 A armadura a ancorar neste caso pode ser: 2  12,5 + 4  10 mm (2 grampos)25  5,70 cm2, 
que atende com folga a As,corr de 4,83 cm
2. O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 27. 
Outra solução pode ser estender 3  12,5 (3,75 cm2), com área de grampo de: 
 
 As,gr = As,corr – As,ef = 4,83 – 3,75 = 1,08 cm
2 
 
 A armadura a ancorar pode ser: 3  12,5 + 2  8 mm (1 grampo)  4,75 cm2, que é 
suficiente para As,corr de 4,83 cm
2. 
100  = 100 cm
15,5
19
10 
2,5
2 grampos
2 cm
gr
2  12,5
 10 mm As,ef
 
Figura 27 – Detalhe da ancoragem com grampo nos pilares extremos P1 e P3. 
 
25 1  8 mm (0,50 cm2); 1  10 (0,80 cm2); 1  12,5 (1,25 cm2). 
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33 
13.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 
 
 Estendendo 2  12,5 (dos vértices dos estribos) da armadura longitudinal positiva do vão até 
o pilar intermediário (As,anc = As,ef = 2,50 cm
2), esta armadura deve ser superior à mínima: 
 
 apoio,dM – 18.802 kN.cm > Md,vão/2 = 11.931/2 = 5.965,5 kN.cm 
 Portanto, As,anc  1/4 As,vão = 5,33/4 = 1,33 cm
2 
 
 As,ef = 2,50 cm
2 > 1/4 As,vão = 1,33 cm
2  ok! 
 
 As duas barras de 12,5 mm devem se estender 10 além da face do apoio.26 
 
O valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a), relativo ao pilar P2, será 
necessário no “cobrimento” do diagrama. Segundo o Modelo de Cálculo I, para estribos verticais: 
 
d
)VV(
V
2
d
a
cmáx,Sd
máx,Sd


 , com a  0,5d 
 
 Como já determinado, Vc = Vc0 = 81,7 kN, e com d = 55 cm:
(27) 
 
0,62
)7,819,146(
9,146
2
55
a 

 cm ≤ 55 cm  portanto, a = d = 55 cm 
 
13.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 
 
 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve 
penetrar até próximo à face externa do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir 
um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35. O diâmetro do pino de 
dobramento deve ser de 5 para barra  10 mm (ver Tabela A-9), como indicado na Figura 28. 
 
3
5
 
5 
3
5
 c
m
2  10
 
Figura 28 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. 
 
13.11. Detalhamento da Armadura Longitudinal 
 
A Figura 29 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito para 
conhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e 
 
26 No caso de vigas que não apresentem simetria, esta verificação deve ser feita para os dois tramos adjacentes ao pilar intermediário. 
27 Para a altura útil d foi aplicado o valor utilizado no cálculo da armadura de flexão negativa no pilar interno P2. 
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34 
negativa. O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fletores de 
cálculo, decalado no valor de a (55 cm). 
 Por simplicidade, a armadura negativa no apoio intermediário (P2) foi separada em dois 
grupos, sendo 4  12,5 na primeira camada com comprimento idêntico para as barras, e 3  12,5 nasegunda camada. Outros arranjos ou agrupamentos diferentes podem ser feitos, resultando 
comprimentos diferentes para as barras. 
 A armadura positiva foi separada em três grupos: o primeiro referente às barras que serão 
estendidas até os apoios do tramo (2  12,5), o segundo com 1  12,5, e o terceiro com 2  10, 
sendo as barras dos dois últimos grupos “cortadas” antes dos apoios, conforme o cobrimento do 
diagrama de momentos fletores (Figura 29). 
Os comprimentos de ancoragem básicos (b) para barras  12,5 mm (CA-50), concreto C25, 
em situações de má aderência e de boa aderência, conforme a Tabela A-7, são respectivamente 67 
cm e 47 cm (coluna sem gancho). Para barra  10 mm (CA-50) o comprimento de ancoragem 
básico, em região de boa aderência, é de 38 cm (coluna sem gancho). Para  10 mm o comprimento 
de ancoragem básico, em região de boa aderência, é de 38 cm. 
 
12,5
10
175
aa
a
a a
a
2
2
1
b
67
b
B1
67
12,5
10
a
12,5
10
248
135
210
A A
38 38
b b
10
10
B
12,5
110
47
b
1 1
60
2
1
A2
12,5
10
B1
A2
10
10
220
47
b
2
10
B
face externa
do pilar
B 212,5
112,5 (2)
centro do pilar
a
412,5
 (2)
312,5
 (1)
A
B
A
210 (1)
 
Figura 29 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. 
 
 
 A Figura 30 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito 
normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito 
normalmente nas escalas de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento 
final, pois geralmente é apenas com ele que a armação da viga será executada. 
 Num detalhe à parte podem ser colocados outros desenhos mostrando como devem ser 
executados os ganchos, os pinos de dobramento, etc. 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
35 
N4 - 312,5 C = 270 (2° cam)
N3 - 412,5 C = 496
N1-8c/13
135
N2 - 210 C = 553
N1-30c/20
3
5
1
0
P1
N8 - 212,5 C = 749
N7 - 112,5 C = 494
N5 - 2 x 44,2 CORR
175
135
N1-8c/13
104
248
P2
N2 - 210 C = 553
N1-30c/20
N8 - 212,5 C = 749
N7 - 112,5 C = 494
175
A
40
A
248
104
3
5
N1 - 76 5 mm C=148
1
0
55
4 N3
2 x 4 N5
P3
14
1 N7 2 N8
3 N4
VS1 = VS3 (19 x 60)
1
3
100 100
1
3
40
N6 - 210 C = 400
2 N6
220 220
N6 - 210 C = 400
N9 - 210 C = 213 N9 - 210 C = 213
 
Figura 30 – Detalhamento final das armaduras da viga. 
 
 O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na Figura 30 é o 
mais comum na prática. No entanto, outros posicionamentos diferentes para as armaduras 
longitudinais e para os estribos podem ser adotados. Por exemplo, a armadura longitudinal negativa 
pode ser mostrada acima do desenho da viga, a linha de cotas dos estribos pode ser indicada na 
parte inferior da viga, e a armadura positiva como mostrada na Figura 30. Esta forma de indicar as 
armaduras, embora não seja a mais comum, tem a vantagem de bem separar as armaduras negativa 
e positiva, restringindo possíveis confusões. 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto para fins estruturais - Classificação 
pela massa específica, por grupos de resistência e consistência. NBR 8953, ABNT, 2009, 4p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto – Determinação da resistência à 
tração na flexão de corpos de prova prismáticos. NBR 12142, ABNT, 2010, 5p. 
 
BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples - Vigas. Disciplina 2117 – Estruturas de Concreto I. Bauru/SP, 
Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), 
fev/2015, 78p. (http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm). 
 
BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – 
Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - 
Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p. 
(http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm). 
 
BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. 
Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista 
(UNESP), maio/2015, 40p. (http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm). 
 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
36 
CARVALHO, R.C. ; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto 
armado: segundo a NBR 6118:2014. São Carlos, v.1, Ed. EDUFSCar, 2014, 416p. 
 
CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 – Manual de utilização. 
São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1992, 
80p. 
 
FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
37 
ANEXO I 
 
Tabela A-1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50 (para concretos do Grupo I de resistência – 
fck ≤ 50 MPa, c = 1,4, γs = 1,15). 
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES 
d
x
x  
Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) 
Dom. 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 
0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,023 
2 
0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 
0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023 
0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 
0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023 
0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 
0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024 
0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 
0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024 
0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 
0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024 
0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 
0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024 
0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 
0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024 
0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 
0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025 
0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 
0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025 
0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 
0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025 
0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 
0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025 
0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 
0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026 
0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 
0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026 
3 
0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 
0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026 
0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 
0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026 
0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 
0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026 
0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 
0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027 
0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 
0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027 
0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 
0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 
0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028 
0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 
0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 
0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 
0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 
0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 
0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 
0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 
0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
38 
 
Tabela A-2 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da NBR 6118). 
Forma 
da seção 
Valores de mín(a) (%) 
20 25 3035 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retan- 
gular 
0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
(a) Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, mín deve ser recalculado. 
mín = As,mín/Ac 
 
 
 
 
Tabela A-3 – Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480). 
Diâmetro (mm) Massa 
(kg/m) 
Área 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) Fios Barras 
2,4 - 0,036 4,5 7,5 
3,4 - 0,071 9,1 10,7 
3,8 - 0,089 11,3 11,9 
4,2 - 0,109 13,9 13,2 
4,6 - 0,130 16,6 14,5 
5 5 0,154 19,6 17,5 
5,5 - 0,187 23,8 17,3 
6 - 0,222 28,3 18,8 
- 6,3 0,245 31,2 19,8 
6,4 - 0,253 32,2 20,1 
7 - 0,302 38,5 22,0 
8 8 0,395 50,3 25,1 
9,5 - 0,558 70,9 29,8 
10 10 0,617 78,5 31,4 
- 12,5 0,963 122,7 39,3 
- 16 1,578 201,1 50,3 
- 20 2,466 314,2 62,8 
- 22 2,984 380,1 69,1 
- 25 3,853 490,9 78,5 
- 32 6,313 804,2 100,5 
- 40 9,865 1256,6 125,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
39 
Tabela A-4 – Área de aço e largura bw mínima. 
Diâm. As (cm2) Número de barras 
(mm) bw (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
4,2 
As 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,40 
bw 
Br. 1 - 8 11 14 16 19 22 25 27 30 
Br. 2 - 9 13 16 19 23 26 30 33 36 
5 
 As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 
bw 
Br. 1 - 9 11 14 17 20 22 25 28 31 
Br. 2 - 9 13 16 20 23 27 30 34 37 
6,3 
As 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 1,86 2,17 2,48 2,79 3,10 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 20 23 26 29 32 
Br. 2 - 10 13 17 20 24 28 31 35 39 
8 
As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 21 25 28 31 34 
Br. 2 - 10 14 17 21 25 29 33 36 40 
10 
As 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 
bw 
Br. 1 - 10 13 16 19 23 26 29 33 36 
Br. 2 - 10 14 18 22 26 30 34 38 42 
12,5 
As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 
bw 
Br. 1 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38 
Br. 2 - 11 15 19 24 28 32 36 41 45 
16 
As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 
bw 
Br. 1 - 11 15 19 22 26 30 34 38 42 
Br. 2 - 11 16 21 25 30 34 39 44 48 
20 
As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 
bw 
Br. 1 - 12 16 20 24 29 33 37 42 46 
Br. 2 - 12 17 22 27 32 37 42 47 52 
22 
As 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,20 38,00 
bw 
Br. 1 - 12 16 21 25 30 34 39 43 48 
Br. 2 - 13 18 23 28 33 39 44 49 54 
25 
As 4,90 9,80 14,70 19,60 24,50 29,40 34,30 39,20 44,10 49,00 
bw 
Br. 1 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53 
Br. 2 - 13 19 24 30 35 41 46 52 57 
32 
As 8,05 16,10 24,15 32,20 40,25 48,30 56,35 64,40 72,45 80,50 
bw 
Br. 1 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
Br. 2 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
40 
As 12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 75,60 88,20 100,80 113,40 126,00 
bw 
Br. 1 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
Br. 2 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
largura bw mínima: 
bw,mín = 2 (c + t) + no barras .  + ah.mín (no barras – 1) 
 
Br. 1 = brita 1 (dmáx = 19 mm) ; Br. 2 = brita 2 (dmáx = 25 mm) 
Valores adotados: t = 6,3 mm ; cnom = 2,0 cm 
Para cnom  2,0 cm, aumentar bw,mín conforme: 
cnom = 2,5 cm  + 1,0 cm 
cnom = 3,0 cm  + 2,0 cm 
cnom = 3,5 cm  + 3,0 cm 
cnom = 4,0 cm  + 4,0 cm 
 






agrmáx,
mín,h
1,2d
cm 2
a  
 
w
h
v
Øt
Ø
c
b
a
a
 
 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
40 
Tabela A-5 – Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo I 
 (estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples). 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20 db35,0 w db101,0 w w
Sd b17,0
d
V
55,2  
C25 db43,0 w db117,0 w w
Sd b20,0
d
V
55,2  
C30 db51,0 w db132,0 w w
Sd b22,0
d
V
55,2  
C35 db58,0 w db147,0 w w
Sd b25,0
d
V
55,2  
C40 db65,0 w db160,0 w w
Sd b27,0
d
V
55,2  
C45 db71,0 w db173,0 w w
Sd b29,0
d
V
55,2  
C50 db77,0 w db186,0 w w
Sd b31,0
d
V
55,2  
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm; 
 
 
 
Tabela A-6 – Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo II 
(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples) 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20  cos.sen.d.b71,0 w 1cw Vgcot.d.b.035,0  
 
 
 
 
 
 
d
VV
tg55,2 1cSd

 
C25  cos.sen.d.b87,0 w 1cw Vgcot.d.b.040,0  
C30  cos.sen.d.b02,1 w 1cw Vgcot.d.b.045,0  
C35  cos.sen.d.b16,1 w 1cw Vgcot.d.b.050,0  
C40  cos.sen.d.b30,1 w 1cw Vgcot.d.b.055,0  
C45  cos.sen.d.b42,1 w 1cw Vgcot.d.b.059,0  
C50  cos.sen.d.b54,1 w 1cw Vgcot.d.b.064,0  
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm;  = ângulo de inclinação das bielas de compressão (); 
VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN; 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
41 
Tabela A-7 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-50 nervurado. 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
6,3 
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
8 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
10 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
12,5 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
16 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 
20 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
22,5 
170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
25 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
32 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
40 
329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 
230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 
 Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
42 
Tabela A-8 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-60 entalhado. 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
3,4 
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 
35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
4,2 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
5 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 
51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
6 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
7 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 
71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
8 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 
82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 269,5 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 
97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
 
Tabela A-9 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) (Tabela 9.1 da NBR 6118). 
Bitola 
(mm) 
Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
< 20 4  5  6  
 20 5  8  - 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
43 
ANEXO II 
 
 
 
RELATÓRIOS DE RESULTADOS - PROGRAMA PPLAN4 
 
 
 
a) Esforços Solicitantes na Viga Contínua VS1 (19 x 60) – Processamento inicial 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 
 PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
 CLIENTE: Apostila Vigas CA - EXEMPLO 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE COORDENADAS NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .000 .000 NOGL 
 2 359.500 .000 NOGL 
 3 719.000 .000 NOGL 
 4 1078.500 .000 NOGL 
 5 1438.000 .000 NOGL 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE RESTRICOES NODAIS 
 
 NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES 
 5 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES 
 3 1 1 0 RES 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS 
 
 NO NO COSSENO OPCAO 
 BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 3 3 4 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 4 4 5 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
44 
 GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 NUMERO DE NOS.......................................................... 5 
 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 3 
 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 6 
 NUMERO DE BARRAS....................................................... 4 
 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0 
 NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0 
 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1 
 NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1 
 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 9 
 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1 
 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6 
 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 54 
 
 
 --------------------------------------------- 
 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I 
 I I 
 I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I 
 I I 
 --------------------------------------------- 
 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
 CLIENTE: Apostila Vigas CA - EXEMPLO 
 
 
 ============================ 
 PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 ============================ 
 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
45 
 2 359.500 .000 0 0 0 
 3 719.000 .000 1 1 0 
 4 1078.500 .000 0 0 0 
 5 1438.000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 
 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 
 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 
 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 
 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 
 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 
 ===========================================================================1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 
 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) ) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS 
 
 BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 2 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 3 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 4 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0 
 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 5 
 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 4 
 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 
 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000 
 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -360.075 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
46 
 
 
 ------------------------------------------------ 
 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I 
 I I 
 I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I 
 ------------------------------------------------ 
 
 
 
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) 
 =========================================================================== 
 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 
 =========================================================================== 
 
 1 .0000000 .0000000 .0014998 
 2 .0000000 -.3106265 -.0003750 
 3 .0000000 .0000000 .0000000 
 4 .0000000 -.3106265 .0003750 
 5 .0000000 .0000000 -.0014998 
 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .000 72.766 -2517.475 
 2 .000 -17.253 7461.070 
 
 2 2 .000 -17.253 7461.070 
 3 .000 -107.271 -14922.140 
 
 3 3 .000 107.271 -14922.140 
 4 .000 17.253 7461.070 
 
 4 4 .000 17.253 7461.071 
 5 .000 -72.766 -2517.475 
 
 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 72.766 -2517.475 
 2 .000 .000 .000 
 3 .000 214.543 .000 
 4 .000 .000 .000 
 5 .000 72.766 2517.475 
 
 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 360.075 
 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -360.075 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
47 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 
 1 0/10 .000 72.766 -2517.475 
 1 1/10 .000 63.764 -63.342 
 1 2/10 .000 54.762 2067.175 
 1 3/10 .000 45.760 3874.073 
 1 4/10 .000 36.759 5357.354 
 1 5/10 .000 27.757 6517.017 
 1 6/10 .000 18.755 7353.063 
 1 7/10 .000 9.753 7865.492 
 1 8/10 .000 .751 8054.302 
 1 9/10 .000 -8.251 7919.496 
 1 10/10 .000 -17.253 7461.071 
 
 2 0/10 .000 -17.253 7461.070 
 2 1/10 .000 -26.255 6679.028 
 2 2/10 .000 -35.256 5573.369 
 2 3/10 .000 -44.258 4144.091 
 2 4/10 .000 -53.260 2391.196 
 2 5/10 .000 -62.262 314.684 
 2 6/10 .000 -71.264 -2085.447 
 2 7/10 .000 -80.266 -4809.194 
 2 8/10 .000 -89.268 -7856.561 
 2 9/10 .000 -98.270 -11227.540 
 2 10/10 .000 -107.271 -14922.140 
 
 3 0/10 .000 107.271 -14922.140 
 3 1/10 .000 98.270 -11227.540 
 3 2/10 .000 89.268 -7856.559 
 3 3/10 .000 80.266 -4809.193 
 3 4/10 .000 71.264 -2085.446 
 3 5/10 .000 62.262 314.684 
 3 6/10 .000 53.2602391.197 
 3 7/10 .000 44.258 4144.092 
 3 8/10 .000 35.256 5573.370 
 3 9/10 .000 26.255 6679.031 
 3 10/10 .000 17.253 7461.073 
 
 4 0/10 .000 17.253 7461.071 
 4 1/10 .000 8.251 7919.496 
 4 2/10 .000 -.751 8054.303 
 4 3/10 .000 -9.753 7865.492 
 4 4/10 .000 -18.755 7353.063 
 4 5/10 .000 -27.757 6517.018 
 4 6/10 .000 -36.759 5357.354 
 4 7/10 .000 -45.760 3874.073 
 4 8/10 .000 -54.762 2067.174 
 4 9/10 .000 -63.764 -63.342 
 4 10/10 .000 -72.766 -2517.477 
 
 
 - Analise completa - fim do processamento - 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
48 
b) Esforços Solicitantes na Viga Contínua VS1 (19 x 60) – Conferência do 
momento fletor positivo máximo 
 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 
 PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
 CLIENTE: VIGA EXEMPLO - Confer. Momento positivo 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE COORDENADAS NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .000 .000 NOGL 
 2 359.500 .000 NOGL 
 3 719.000 .000 NOGL 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE RESTRICOES NODAIS 
 
 NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES 
 3 1 1 1 RES 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS 
 
 NO NO COSSENO OPCAO 
 BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
49 
GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 NUMERO DE NOS.......................................................... 3 
 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 2 
 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 5 
 NUMERO DE BARRAS....................................................... 2 
 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0 
 NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0 
 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1 
 NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1 
 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 4 
 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1 
 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6 
 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 24 
 
 
 
 --------------------------------------------- 
 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I 
 I I 
 I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I 
 I I 
 --------------------------------------------- 
 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
 CLIENTE: VIGA EXEMPLO - Confer. Momento positivo 
 
 
 
 ============================ 
 PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 ============================ 
 
 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 
 2 359.500 .000 0 0 0 
 3 719.000 .000 1 1 1 
 
 
 =========================================================================== 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
50 
CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 
 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 
 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 
 
 
 ===========================================================================PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) ) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS 
 
 BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 2 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0 
 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 3 
 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 2 
 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 
 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000 
 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -180.038 
 
 
 ------------------------------------------------ 
 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I 
 I I 
 I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I 
 ------------------------------------------------ 
 
 
 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
51 
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) 
 =========================================================================== 
 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 
 =========================================================================== 
 
 1 .0000000 .0000000 .0014998 
 2 .0000000 -.3106265 -.0003750 
 3 .0000000 .0000000 .0000000 
 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .000 72.766 -2517.475 
 2 .000 -17.253 7461.070 
 
 2 2 .000 -17.253 7461.070 
 3 .000 -107.271 -14922.140 
 
 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 72.766 -2517.475 
 2 .000 .000 .000 
 3 .000 107.271 14922.140 
 
 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 180.038 
 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -180.038 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % 
 
 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 
 1 0/10 .000 72.766 -2517.475 
 1 1/10 .000 63.764 -63.342 
 1 2/10 .000 54.762 2067.175 
 1 3/10 .000 45.760 3874.073 
 1 4/10 .000 36.759 5357.354 
 1 5/10 .000 27.757 6517.017 
 1 6/10 .000 18.755 7353.063 
 1 7/10 .000 9.753 7865.492 
 1 8/10 .000 .751 8054.302 
 1 9/10 .000 -8.251 7919.496 
 1 10/10 .000 -17.253 7461.071 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
52 
 
 2 0/10 .000 -17.253 7461.070 
 2 1/10 .000 -26.255 6679.028 
 2 2/10 .000 -35.256 5573.369 
 2 3/10 .000 -44.258 4144.091 
 2 4/10 .000 -53.260 2391.196 
 2 5/10 .000 -62.262 314.684 
 2 6/10 .000 -71.264 -2085.447 
 2 7/10 .000 -80.266 -4809.194 
 2 8/10 .000 -89.268 -7856.561 
 2 9/10 .000 -98.270 -11227.540 
 2 10/10 .000 -107.271 -14922.140 
 
 
 - Analise completa - fim do processamento - 
 
 
 
 
c) Arquivo de dados de entrada da viga com redistribuição de esforços 
 
 
OPTE,2,2,2,2,2, 
UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
VIGA EXEMPLO - Redistribuição devido à Plastificação 
VS1 (19 X 60) 
NOGL 
 1,3,1,0,0,719,0, 
RES 
 1,1,1,2,0,0,1678522, 
 3,1,1, 
BARG 
 1,2,1,1,1,2,1,1,1, 
PROP 
 1,1,1140,342000,60, 
MATL 
 1,2898, 
FIMG 
CARR1 
CNO 
 3,0,0,13430, 
CBRG 
 1,2,1,1,-0.2504,1, 
FIMC 
FIME 
 
 
 
d) Relatório de resultados da viga com redistribuição de esforços 
 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 
 PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
 CLIENTE: VIGA EXEMPLO - Redistribuição devido à Plastificação 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
53 
 GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE COORDENADAS NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .000.000 NOGL 
 2 359.500 .000 NOGL 
 3 719.000 .000 NOGL 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE RESTRICOES NODAIS 
 
 NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES 
 3 1 1 0 RES 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS 
 
 NO NO COSSENO OPCAO 
 BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 NUMERO DE NOS.......................................................... 3 
 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 2 
 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 4 
 NUMERO DE BARRAS....................................................... 2 
 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
54 
 NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0 
 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1 
 NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1 
 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 5 
 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1 
 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6 
 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 30 
 
 
 --------------------------------------------- 
 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I 
 I I 
 I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I 
 I I 
 --------------------------------------------- 
 
 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO II 
 CLIENTE: VIGA EXEMPLO - Redistribuição devido à Plastificação 
 
 
 ============================ 
 PORTICO: VS1 (19 X 60) 
 ============================ 
 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 
 2 359.500 .000 0 0 0 
 3 719.000 .000 1 1 0 
 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 
 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 
 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 
 
 
 =========================================================================== 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
55 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) ) 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARGAS NODAIS 
 
 NO FORCA X FORCA Y MOMENTO IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 3 .000 .000 13430.000 CNO 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS 
 
 BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 1 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 2 1 -.2504 1.000 .000 CBRG 
 
 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO 
 --------------------------------------------------------------------------- 
 
 NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 1 
 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 2 
 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 2 
 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 
 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000 
 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -180.038 
 
 
 ------------------------------------------------ 
 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I 
 I I 
 I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I 
 ------------------------------------------------=========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) 
 =========================================================================== 
 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 
 =========================================================================== 
 1 .0000000 .0000000 .0016281 
 2 .0000000 -.3522480 -.0003233 
UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 
 
 
56 
 3 .0000000 .0000000 -.0003348 
 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .000 75.141 -2732.872 
 2 .000 -14.878 8099.443 
 
 2 2 .000 -14.878 8099.442 
 3 .000 -104.897 -13430.000 
 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 75.141 -2732.872 
 2 .000 .000 .000 
 3 .000 104.897 .000 
 
 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 180.038 
 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -180.038 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % 
 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 
 1 0/10 .000 75.141 -2732.872 
 1 1/10 .000 66.139 -193.362 
 1 2/10 .000 57.137 2022.531 
 1 3/10 .000 48.135 3914.807 
 1 4/10 .000 39.133 5483.465 
 1 5/10 .000 30.132 6728.505 
 1 6/10 .000 21.130 7649.928 
 1 7/10 .000 12.128 8247.733 
 1 8/10 .000 3.126 8521.922 
 1 9/10 .000 -5.876 8472.492 
 1 10/10 .000 -14.878 8099.445 
 
 2 0/10 .000 -14.878 8099.442 
 2 1/10 .000 -23.880 7402.777 
 2 2/10 .000 -32.882 6382.495 
 2 3/10 .000 -41.883 5038.594 
 2 4/10 .000 -50.885 3371.077 
 2 5/10 .000 -59.887 1379.941 
 2 6/10 .000 -68.889 -934.812 
 2 7/10 .000 -77.891 -3573.183 
 2 8/10 .000 -86.893 -6535.172 
 2 9/10 .000 -95.895 -9820.777 
 2 10/10 .000 -104.897 -13430.000 
 
 - Analise completa - fim do processamento - 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
TORÇÃO EM VIGAS DE 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru 
Junho/2017
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2323 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus de Bauru/SP. 
O texto apresenta as prescrições contidas na NBR 6118/2014 (“Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento”) para o projeto e dimensionamento de vigas de Concreto Armado submetidas à torção. 
Inicialmente são apresentadas diversas informações teóricas, como os casos e os valores mais 
comuns do momento de torção, a torção de equilíbrio e de compatibilidade, noções da torção simples, 
comportamento das vigas de Concreto Armado sob torção, analogia e formulação para a treliça espacial 
generalizada, formas de ruptura por torção, etc. 
Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação. Os exemplos são completos e 
abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga, como o dimensionamento à flexão e à 
força cortante, a ancoragem nos apoios e a disposição da armadura longitudinal com o “cobrimento” do 
diagrama de momentos fletores. 
 Agradecimento a Éderson dos Santos Martins pela confecção de desenhos. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................. 1 
2. CASOS MAIS COMUNS .............................................................................................................................. 1 
3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO .............................................................................. 3 
4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE .......................................................................... 5 
5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) .................................................................................... 8 
6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA ...................................... 10 
7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO 
SIMPLES ......................................................................................................................................................... 11 
8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES .................................................. 13 
9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE .................................... 14 
10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO ............................................................................................... 15 
10.1 Ruptura por Tração .............................................................................................................................. 15 
10.2 Ruptura por Compressão ...................................................................................................................... 15 
10.3 Ruptura dos Cantos ..............................................................................................................................16 
10.4 Ruptura da Ancoragem ........................................................................................................................ 16 
11. TORÇÃO SIMPLES - DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA . 17 
11.1 Diagonais de Compressão .................................................................................................................... 17 
11.2 Armadura longitudinal ......................................................................................................................... 18 
11.3 Estribos ................................................................................................................................................ 19 
12. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO-
LIMITE ÚLTIMO (ELU) SEGUNDO A NBR 6118 ...................................................................................... 20 
12.1 Geometria da Seção Resistente ............................................................................................................ 20 
12.2 Torção de Compatibilidade .................................................................................................................. 20 
12.3 Torção de Equilíbrio ............................................................................................................................ 20 
12.4 Armadura Mínima ................................................................................................................................ 22 
12.5 Solicitações Combinadas ..................................................................................................................... 23 
12.5.1 Flexão e Torção ............................................................................................................................ 23 
12.5.2 Torção e Força Cortante ............................................................................................................... 23 
12.6 Fissuração Inclinada da Alma .............................................................................................................. 24 
12.7 Disposições Construtivas ..................................................................................................................... 24 
12.7.1 Estribos ......................................................................................................................................... 24 
12.7.2 Armadura Longitudinal ................................................................................................................ 24 
13. MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO................................................................................................... 25 
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................ 25 
14.1 Exemplo 1 ............................................................................................................................................ 25 
14.2 Exemplo 2 ............................................................................................................................................ 40 
14.3 Exemplo 3 ............................................................................................................................................ 57 
15. QUESTIONÁRIO ...................................................................................................................................... 83 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................. 84 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 84 
ANEXO A - TABELAS ................................................................................................................................... 86 
ANEXO B - LISTAGENS DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS GPLAN4 E PPLAN4 ....................... 94 
 
 
UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
 
1 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é denominado 
“momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre em eixos de 
transmissão. 
 A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V), excetuando 
os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção ocorre combinada com momento 
fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento 
estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento para a torção simples são aplicados às 
vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre as vigas e as lajes e entre vigas apoiadas em 
outras vigas, dá origem a momentos de torção, que, de modo geral, podem ser desprezados por não serem 
essenciais ao equilíbrio. Entretanto, no caso da chamada “torção de equilíbrio”, como se verá adiante, a 
consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do elemento estrutural. 
 Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em vigas de 
Concreto Armado sob solicitação de torção simples. Os resultados dos estudos justificaram o 
dimensionamento simplificado à torção, considerando-se as vigas com seção vazada (oca) e de parede fina, 
segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT. 
Assim como feito no dimensionamento de vigas à força cortante, na torção será feita também a 
analogia com uma treliça, porém espacial. A Treliça Generalizada, com ângulo  variável de inclinação das 
diagonais comprimidas, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. Como no dimensionamento 
para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão absorvidas pelo concreto e as tensões de 
tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, uma longitudinal e outra transversal (estribos). 
 A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov ou Flexo-
Torção, não será aqui apresentada por não fazer parte do programa da disciplina na graduação. 
 
2. CASOS MAIS COMUNS 
 
Um caso comum de torção em vigas de Concreto Armado ocorre quando existe uma distância entre a 
linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 1 e na Figura 2. Na Figura 1, a 
viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta um momento de 
torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na viga mostrada na Figura 2 a 
torção existirá se as cargas F1 e F2 forem diferentes. Essa situação pode ocorrer durante a fase de construção 
ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e variáveis, se estes forem diferentes nas 
estruturas que se apoiam na viga em forma de T invertido. 
 O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio, como por 
exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões, etc. (Figura 3 e 
Figura 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à construção faz com que 
a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que a flexão na laje passa a ser torção 
na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser considerada no seu dimensionamento. 
 
F
A
B
C
 
 
F1 2F
 
Figura 1 – Viga em balanço com 
 carregamento excêntrico. 
Figura 2 – Viga do tipo T invertido para apoio de estrutura de 
piso ou de cobertura. 
UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
 
2 
 
Figura 3 – Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço. 
 
 
A
B
C
 
 
 
A
B
B
C
 
 
Figura 4 – Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço. 
 
 Um outro caso de torção