Gabarito_AD1_2023-1-Fisica2B-2BQ

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GABARITO - AD1 de Física 2B(Q) - 2023/01
1. (2,0 pt) Um pêndulo físico é formado por uma esfera maciça de raio r e massa m, pendurada
em um �o de massa desprezível.
a) (1,0) Sendo L a distância entre o centro da esfera e o ponto de suspensão do �o, mostre que
o período T do pêndulo físico pode ser escrito como:
T = T0
√
1 + 2 r
2
5L2 ,
onde T0 é o período do pêndulo simples de mesmo comprimento L. Considere todas as expressões
dentro da aproximação de pequenas oscilações.
O período de um pêndulo físico é dado por T = 2π
√
I/mgh, onde I é o momento de inércia
do pêndulo com relação ao eixo de suspensão, h é a distância do ponto de supensão ao CM (h
= L neste exercício) e m é a massa do pêndulo. O momento de inércia de uma esfera maciça
girando em torno do seu CM (centro do esfera) é dado por ICM = 2/5mr
2, onde r é o raio da
esfera. Usando o teorema dos eixos paralelos, obtemos o momento de inércia I = 2/5mr2+mL2.
Substituindo na expressão para o período, obtemos a resposta esperada, usando que o período
do pêndulo simples de comprimento L é dado por T0 = 2π
√
L/g.
b) (0,5) Qual é o valor da discrepância relativa (T − T0)/T0 quando L = 2 m e r = 30 cm?
0,00449 ou 0,449%.
c) (0,5) Para qual valor de r teríamos uma discrepância relativa de 1% quando L = 2 m?
0,448 m.
2. (1,0 pt) As �guras abaixo representam o resultado da superposição de dois MHS paralelos com
frequências angulares ω1 e ω2. Note que a segunda �gura apenas evidencia a parte inicial da
primeira, entre os instantes de tempo t = 0 e t = 10 s. Determine os valores de ω1 e ω2.
Pelos grá�cos, vemos que os períodos das oscilações são de 3 s (oscilações rápidas) e 60 s (osci-
lações lentas, modulação). As frequências angulares são dadas por ω̄ = (ω1 + ω2)/2 (oscilações
rápidas) e ∆ω/2 = (ω2 − ω1)/2 (oscilações lentas). Portanto, temos que:
4π/(ω1 + ω2) = 3,
1
4π/(ω2 − ω1) = 60.
Resolvendo o sistema, temos que ω2 = 2,199 rad/s e ω1 = 1,9897 rad/s.
3. (1,0 pt) Um sistema massa-mola horizontal oscila em MHS de tal forma que, após 1/X de
período, sua energia cinética é Y vezes maior do que a energia potencial. Qual é o menor valor
positivo possível para a constante de fase do oscilador? Apresente a sua resposta com duas casas
decimais.
A posição de um oscilador harmônico é dada por x(t) = A cos(ω t + φ) e a sua velocidade é
dada por v(t) = −Aω sen(ω t + φ). A energia cinética, dada por K = M v2/2, �ca então
K(t) = M ω2A2 sen2(ω t + φ)/2 e a energia potencial, dada por U = k x2/2, �ca U(t) =
k A2 cos2(ω t + φ)/2, onde k é a constante elástica da mola. Como, para um sistema massa-
mola, temos ω2 = k/M , podemos rescrever a energia cinética como K(t) = k A2 sen2(ω t+φ)/2.
O enunciado diz que, após decorrido o intervalo de tempo T/X, a energia cinética é Y vezes
a potencial, o que pode ser escrito como K(T/X) = Y U(T/X), ou seja, sen2 (ω T/X + φ) =
Y cos2 (ω T/X + φ). Usando que ω = 2π/T , temos que sen2 (2π/X + φ) = Y cos2 (2π/X + φ),
ou seja, tan (2π/X + φ) = ±
√
Y e a constante de fase será dada por φ = ± arctan(
√
Y )−2π/X.
Como o exercício pede o menor valor positivo, a resposta �nal será dada por φ = arctan(
√
Y )−
2π/X, com o ângulo
√
Y rad localizado no primeiro quadrante do ciclo trigronométrico.
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