NÚMEROS COMPLEXOS

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NÚMEROS COMPLEXOS PROF BADIN
Até meados do século XVI, equações como x2 – 6x + 10 = 0 simplesmente 
eram consideradas como “sem solução”, pois aplicando fórmula de Bhaskara 
temos:
Δ = b² - 4ac
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
𝒙 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
O problema encontrava-se em −𝟒 , que não possui solução dentro do 
conjunto dos números reais
No final do século XVIII, Gauss denominou esses números 
como números complexos. Nessa época, os números 
complexos já assumiam a forma a + bi, com i = −𝟏. Além 
disso, a e b já eram considerados pontos de um plano 
cartesiano, conhecido como plano de Argand-Gauss
NÚMERO COMPLEXO NA FORMA ALGÉBRICA OU 
RETANGULAR
Z = a + bi ; onde: i² = - 1
a é a “parte real de Z” 
b é a “parte imaginária de Z”.
Matematicamente, podemos escrever, respectivamente: 
Re(Z) = a e Im(Z) = b.
Exemplo : Z1 = 4 + 3i ; Z2 = - 3 – i ; Z3 = + 4i
Re(Z1) = 4 Im (Z1) = 3 Re(Z2) = - 3 Im (Z2) = - 1
Módulo do complexo: 
|Z| = (𝒂𝟐+𝒃𝟐)
Z1 = 4 + 3i => |Z1| = (𝟒)
𝟐 + (𝟑)𝟐= 𝟏𝟔 + 𝟗 = 𝟐𝟓 = 5
Z2 = - 3 – i => |Z2| = (−𝟑)
𝟐 + (−𝟏)𝟐= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 
Conjugado do complexo:
ഥ𝒁 = a – bi
Z1 = 4 + 3i ; Z2 = - 3 – i ; Z3 = + 4i
ഥ𝒁𝟏= 4 – 3i ; ഥ𝒁𝟐= - 3 + i ; ഥ𝒁𝟑= - 4i
Operações com complexos na forma trigonométrica:
a) Soma
Z1 = 4 + 3i; Z2 = - 3 – i
Z1 + Z2 = 4 + 3i + (- 3 – i) = 4 + 3i - 3 – i = 1 + 2i
b) Subtração
Z1 - Z2 = 4 + 3i - (- 3 – i) = 4 + 3i + 3 + i = 7 + 4i
c) Multiplicação de um número real por um complexo
3. Z1 = 3.(4 + 3i ) = 12 + 9i
d) Multiplicação entre complexos
Z1 = 4 + 3i; Z2 = - 3 – i
Z1 . Z2 = (4 + 3i) . (- 3 – i) = -12 – 4i – 9i – 3i² = -12 – 4i – 9i +3 = - 9 – 13i
e) Divisão entre complexos
Z1 : Z2 = 
𝟒+𝟑𝒊
𝟐−𝟐𝒊
 .
𝟐+𝟐𝒊
𝟐+𝟐𝒊
=
𝟖+𝟖𝒊+𝟔𝒊+𝟔𝒊²
𝟒+𝟒𝒊−𝟒𝒊−𝟒𝒊²
 = 
𝟖+𝟖𝒊+𝟔𝒊−𝟔
𝟒+𝟒𝒊−𝟒𝒊+𝟒
 =
= 
𝟐+𝟏𝟒𝒊
𝟖
=
𝟏
𝟒
+
𝟕
𝟒
 𝒊
Z1 : Z2 = 
 𝟏
𝟒
+
𝟕
𝟒
 𝒊 
Potências de i
i 0 =1 i 1= i i 2=–1 i 3= – i
i26 = ir = i² = - 1 ; i2020 = ir = i0 = 1
Resolvendo, em C, a equação x² – 2x + 2 = 0 obtém-se como solução o 
conjunto 
a) Ø 
b) {1} 
c) {1 + i; 1 – i} 
d) {i; – i} 
e) {0; 2}
x² – 2x + 2 = 0
∆ = b² - 4ac = (- 2)²- 4.1.2 = 4- 8 = - 4 = (-1) 4 => ∆ = 4i²
x = 
−𝑏± ∆
2𝑎
 = 
2±2𝑖
2.1
 = 1 ±i
=> x1 = 1 + i
=> x2 = 1 – i
V = {1+i, 1 – i} 
(MACKENZIE) – Se 
2+𝑖
𝛽+2𝑖
 tem parte imaginária igual a zero, então 
o número real β é igual a 
a) 4 
b) 2 
c) 1 
d) – 2 
e) – 4
2+𝑖
𝛽+2𝑖
 => tem parte imaginária igual a zero, β = ?
2+𝑖
𝛽+2𝑖
 .
𝛽−2𝑖
𝛽−2𝑖
 = 
= 
2β + 2 + βi – 4i
β2− 4i²
 = 
2β + 2 +( β – 4)i
β2+ 4
 =
= 
2β + 2
β2+ 4
 + 
( β – 4)i
β2+ 4
 => tem parte imaginária igual a zero
( β – 4)i
β2+ 4
 = 0 
Observe que o denominador nunca será zero
Assim: β – 4 = 0 => 𝛃 = 𝟒
(PUC) – Considere os números complexos Z1 = a + bi, Z2 = –b + ai e 
Z3 = –b – 3i , com a e b números inteiros.
Sabendo que Z1 + Z2 + Z3 = 0, o valor de 
𝒁𝟐
𝒁𝟏
𝟑
é igual a 
a) 1. 
b) –1. 
c) –i. 
d) i.
Z1 = a + bi, Z2 = –b + ai e Z3 = –b – 3i Fazendo: Z1 + Z2 + Z3 = 0, 
𝑍2
𝑍1
3
= ? 
Z1 + Z2 + Z3 = 0
a + bi –b+ ai – b -3i = 0 => a – 2b +ai + bi – 3i = 0
(a – 2b) + (a + b – 3)i = 0
a – 2b = 0 => a – 2b = 0
a + b – 3 = 0 => a + b = 3 .(-1) => -a –b = - 3 somando membro a membro
 - 3b = - 3 => b = 1
a – 2 . 1 = 0 => a = 2
Assim: Z1 = 2 + i, Z2 = – 1 + 2i 
𝑍2
𝑍1
 = 
– 1 + 2i 
2 + i
.
2 − i
2 − i
 = 
−𝟐+𝒊+𝟒𝒊−𝟐𝒊²
𝟒−𝒊²
=
−𝟐+𝒊+𝟒𝒊+𝟐
𝟒+𝟏
 =
𝟓𝒊
𝟓
 = i
𝐙𝟐
𝐙𝟏
𝟑
= 𝐢𝟑 = 𝐢𝟐. 𝐢 = −𝟏 RESPOSTA: C
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