AEP-matematica-numeros-complexos-i

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LeidoDireitoAutoralnº9.610,de19deFevereirode1998:Proíbeareproduçãototalouparcialdessematerialoudivulgaçãocom 
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Sumário 
NÚMEROS COMPLEXOS................................................................................................................................... 2 
 
 
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NÚMEROS COMPLEXOS 
 
INTRODUÇÃO 
Os números complexos foram criados para que se possa resolver equações que gerem raízes 
negativas, ou seja, não pertencentes ao conjunto dos reais (R). Foi então que, no século XVI, os 
matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das 
raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por 
Wesses , Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos 
números complexos. 
 
Com o intuito de resolver esse problema com x2+1=0, surgiu o conjunto dos números complexos 
(C), que continha os chamados números imaginários. Foi também criado o símbolo “i” (de 
imaginário) para ser usado em lugar de 1 , elemento do conjunto dos complexos. 
 
EXEMPLO: 
Qual a solução da equação x2 + 1 = 0? 
RESPOSTA: 
 x2 + 1 = 0 
 x2 = 1 
 x =  1 
 x =  i 
 
EXEMPLO: 
Qual a solução da equação x2 + x + 1 = 0? 
RESPOSTA: 
 x2 + x + 1 = 0 
  = b2 – 4ac 
  = 12 – 4.1.1 = -3 
 
a
b
x
2

 
 
2
31 
x = 
2
1.31 
 = 
2
i.31
 
NÚMERO COMPLEXO 
 O Número Complexo por definição é todo número da forma Z = a + bi, onde a e b são 
números reais e i é a unidade imaginária. 
 Dado o número complexo Z = a + bi, identificamos: 
 











1
)Im(
)Re(
iimagináriaunidadei
imagináriapartedaecoeficientb
biZimagináriaPartebi
aZrealPartea
 
 
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OBSERVAÇÕES: 
 A expressão Z = a + bi é chamada de forma algébrica do número complexo. 
 Os reais estão contidos nos complexos, logo o conjunto dos números complexos há 
números que pertencem ao conjunto dos reais. 
 Quando o coeficiente da parte imaginária (b) for nulo, o número complexo é “real”, ou 
seja, Z = a. 
 Quando a parte real (a) for nula, o número complexo será “imaginário puro”, ou seja, Z = 
bi. 
 
POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA 
Analisando as potências com expoente inteiro positivo de i, temos: 
 i0 = 1 i4 = 1 i8 = 1 i12 = 1 
 i1 = i i5 = i i9 = i i13 = i 
 i2 = -1 i6 = -1 i10 = -1 i14 = -1 
 i3 = - i i7 = - i i11 = -i i15 = -i 
Observe que, os resultados destas potências são cíclicas, ou seja, de 4 em 4 potências 
repetem-se os resultados. 
 i4k = 1 
 i4k+1 = i 
 i4k+2 = -1 
 i4k+3 = -i 
De maneira resuminda, temos sempre que: 
 in = iR, onde R é o resto da divisão de n por 4. 
 
 
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IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS 
Dados os complexos: 
 Z1 = a + bi e Z2 = c + di 
define-se que 
 Z1 = Z2  





db
ca
 
Assim, dois números complexos são iguais se, e só se, têm a mesma parte real e a mesma parte 
imaginária. 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Dados os números, complexos, na forma algébrica: 
 Z1 = a + bi e Z2 = c + di 
Então 
 idbcaZZ )()(21  
 idbcaZZ )()(21  
 
MULTIPLICAÇÃO 
Dados os números, complexos, na forma algébrica: 
 Z1 = a + bi e Z2 = c + di 
Então 
 )(.)(. 21 dicbiaZZ  
Aplicando o processo distributivo, e lembrando que i2 = -1, temos: 
 ibcadbdacZZ ).()(. 21  
 
COMPLEXOS CONJUGADOS 
Chamamos de conjugado de Z = a + bi o número complexo indicado por Z tal que: 
Z = a  bi 
Na prática, para obtermos o conjugado de um número complexo, trocamos o sinal do coeficiente 
da parte imaginária. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Sendo Z = a + bi temos: 
 Z + Z é sempre real, pois Z + Z = (a + bi) + (a  bi) = 2a. 
 Z  Z é sempre imaginário puro, pois Z  Z = (a + bi)  (a  bi) = 2bi 
 Z. Z é sempre real não-negativo, pois Z. Z = (a + bi).(a  bi) = a
2  b2i2 = a2 + b2. 
 
PROPRIEDADE DO CONJUGADO 
 ZZ  (conjugado do conjugado) 
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 2121 ZZZZ  
 2121 .. ZZZZ  
    nn ZZ  
 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
Dados dois números complexos: 
 Z1 = a + bi 
e 
 Z2 = c + di 
para obtermos a forma algébrica do quociente 
 
2
1
Z
Z
, com Z2  0, 
multiplicamos o numerador e o denominador da fração por 
2Z (conjugado do denominador). 
Esse procedimento, além de não alterar o valor de 
2
1
Z
Z
, nos permite eliminar a parte imaginária 
do denominador (pois, Z2. 2Z é sempre real), obtendo, desse modo, a forma algébrica procurada. 
 
22
21
2
1
Z.Z
Z.Z
Z
Z
 
 
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EXERCÍCIOS 
1.Quais as raízes da equação 3x2 + 12 = 0? 
a) –2 e 2 
b) 3 e 12 
c) 3i e 4i 
d) –2i e 2i 
e) 3i e 4i 
 
2.Determine o valor de k para que o produto (3+ki).(2+i) seja um imaginário puro? 
6 
3 
2 
–2 
 
3.Dados os complexos Z1 = 8 + 6i, Z2 = -4 + 2i e Z3 = -3i, calcule o valor de 2131 ZZZZ  . 
a) 22 – 28i 
b) 10 – 18i 
c) 4 – 20i 
d) 28 + 22i 
e) 28 – 22i 
 
4.Determine o valor da expressão E = (i213.i124)10. 
–1 
1 
i 
– i 
 
5.Determine o valor da soma ....
1014321 iiiiiS  
1 
–1 
i 
– i 
 
GABARITO 
1. D 
2. A 
3. A 
4. A 
5. C