SEM_346_Trocadores_de_Calor

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Universidade de São Paulo
Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia Mecânica
SEM 346
TROCADORES DE CALOR
(TEORIA)
Prof. Dr. Reginaldo Teixeira Coelho
Eng, Aldo Braghiní Júnior
Eng. André João de Souza
São Carlos, fevereiro de 1997
(Revisada em abril de 1998)
Exemplo 1.1......................................................................................................................................... 6
1.2.2 - Coïwecçao........................................................................-....................................................... 7
ÏQ
12
AE5ÏÏGÊNCIADA CONSERVAÇÃO DAËNEIiGIA................................................................................. 13
13
.Í.3-.-............................................................................................................................ 16
. Balanço ^eenergic
7.^........-.....-..........„..........-...............................-.......................................................„-... Ï8
20
ïcíc^P^ms-io^........................................................................................................................ 20
ÏWÇAQ A CONWÇÂO BE CALOR_..»..»...^.»..^.^_„.„.._ 22
A EQÜAÇÀ? DA TAXA DE CONDUÇÃO „......................................................................................... 22
>^LIEDADES TÉRMICAS DAMATÉRIA „...„„.„....„.........„.............„........................................25
2.2.1 - Conâutividacie Térrmca..................................................................................,,....................... 25
2.2.2 - ChitrcïsPropneeíadesReÍevímtes............................................................................................. 30
Exemplo ZL..................................................................................................................................^
A EQUAÇÃO DA Dl
Exemplo.
.FERÊNC1AS
EECÍCtOS PROPOSTOS.
•3.
SAE£DE:
. Distribmçâo <
-Resistência:
3.1.3-Â
3.1.4 -Resistência de Cfmtaío......................................................................................................... •-. 49
•3J......................................................................................................................^^^^^
3.2 - ABORDAGEM DIFERENTE NA ANÁLISE DA CONDUÇÃO ...........,..,...,,......-..-----• ^
Exemplo 3.2........................................................................................... •...... •-• • •• •-- ••••. • ••-• •• • •• •• • •• ••-•• • • ^-5
3.3 -SISTEMAS RADIAIS. ,..,.. ............................................................... ................................................ -58
3.3.1 - O Cilindro...................... .................................................................................................... 58
Exemplo 3.3.......................................... ......... ..... ............ ...... ...................................................... 61
3.3.2-Â Esfera........................................ ............................... .,.........,.........,.,.....,...,....,,.,,,........... 64
Exemplo 3. ^.„......................................................................................................,.,,,......................... 65
3.4-CONDUÇÃO COM GERAÇÃO DE ENERGIA TÉRMICA........................................................................... 67
3.4.1 -A Parede Plana...................................................................................................................... 68
Exemplo 3.5....................................................................................................................................... 71
3.4.2 -Sistemas Radiais..................................................................................................................... 73
Exemplo 3.6....................................................................................................................................... 75
3.5-TRANSFERÊNCIA DE CALOREMSuPEItFÍCffiS EXPANDIDAS............................................................... 77
3.5.1 - Uma Análise Geral de Condução............................................................................................ 80
3.5,2 -Aíetascom aArea de SeçãoReta Uniforme............................................................................ 81
Exemplo 3.7.^.................................................,...........—.................................................................... 85
3.5.3 -Desempenho da Aleta.............................................................................................................. 87
3.5.4 -Eficiência Global da Superfície..,..,.................................................. •-......................... •-. •-....... 91
Exemplo 3.8....................................................................................................................................... 92
REFERÊNCL4S.„„.................................................................................................................................. 94
EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................................................. 95
rÂFTTüíX) 4 - ÏNTOOmTÇÃO À CONVECÇÃO ..««»..»».«...^...........^........»^...»^™».....».«... 99
4.1-OPROBLEMA DA TRANSFERÊNCIA CONVECTIVA.............................................................................. 99
Exemplo 4.7...-.-...........................—.........-..........................,........-.-.-.-..-......-...... -,........-................^Ü^
4.2 - AS CAMADAS LlMTFES DA CONVECÇÃO......................................................................................-...103
4.2.1 -A Camada Limite Cinética.....................................................................................................ï 03
4.2.2 -A Cama.da Limite Térmica....................................................................•..................-...---.-.--.--105
4.2.3 -Â Camada Limite de Concentração ........................................................................................106
Exemplo 4.2...........................-............-..•••^••••••••-••••••••-••• • ••••••••••••••••••••••••••• ••••••••• ••—••••• ••••-•••••-•-••• 107
das Camadas Limites........................................................................—......--...•....109
.110
.111
mn
por uma diferença de íempçraíura eartre o sistema e a vizinhança, esta não pode ser chamada
e talar em calor de mn sistema ou em um sasíema, o que
neste
 íramferência de calor (ou ssmplesmeníe calor) é o transi lo de energia provocado
>
"s>'^
Fluido em
movimento
mais energéticas de uma
expÏica-se mais facilmente considerando-
Consideremos um gás no qual
existe um gradiente de temperatura e admitamos que não há movimento de massa, O gás
lê ocupar o espaço entre duas superfícies que se mantém em temperaturas diferentes,
1.2,
Tl>T:
^^§^.....
^0
de calor por condução e a difusão da energia
atividade molecular.
A temperatura em qualquer ponto está associada à energia das moléculas do gás nas
vizinhanças deste. A energia se relaciona ao movimento de translação aleatório das
e de vibração das mesmas. Além disso, as
energias moleculares mais altas quando as
i~no com frequência, pode ocorrer a
^étíca para a menos energética, ^a presença
de um gradiente de temperatura, a transferência de energia pela condução deve ocorrer na
direção da diminuição de temperatura. Esta transferência fica evidente na Figura 1.2. O
plano hipotético em Xy está sendo sempre cmzaáo por moléculas que vêm de cima e de
baixo, em virtude do movimento aleatório das mesmas. No entanto, as moléculas que vêm
de cima do plano estão associadas às temperaturas mais elevadas do que àquelas das
moléculas que vêm de baixo; neste caso, deve haver uma transferência líquida de energia na
direção dos x positivos. Pode-se dizer que a transferência líquida de energia provocada pelo
o cabo de uma colherinha de metal imersa numa xícarade café fica quente em virtude da
num dia de inverno, há perda significativa de calor de um aposento aquecido para a
em íennos da eqísQçâo
(1.1)
térmica PkV/m'K1 e é caracíerísdca de o calor se transferir
1.3,
2 s I 2 -al
l Jí 3 — (1.2)
superfícies míema e exíeraa são
lê uma parede de 0,5m por 3,0m ?
fe ^ 1,7W/m.K
AnáMse: Como a transferência de calor através da parede ocorre por condução, o fluxo de
calor pode ser deíermmado pela lei de Fourier. Com a equação (1.2),
x 3,
l.
>S ' " TO 5
da camada limite.
nas vizinhanças
e o
A con'
ta corrente , no para o
calor é transferido
ao movimento
que o
e
externo à camada
do escoamento. Fala-se de convecçao
meios externos, como por exemplo,
atmosfera. Um exemplo é o da utilízaça'
classificada de acordo com a natureza
escoamento for provocado por
ou uma bomba, ou por ventos na
para provocar a convecçao
numa montagem áe placas de
livre (ou natural) o
originam das diferenças de
exemplo é o da transferência
convecíiva de calor que ocorre dos componentes quentes de uma montagem
placas de circuito para o ar quiesceníe (Figura l .5b).
l
às variações de temperaturas no
Escoamento forçado
Ar
Escoamento devido
ao empuxo
Componentes
quentes de placas de
circuito impresso
Bolhas
de ar
-^~\
/
*.,
Y
o
o .
/
(
o
a:oj
€
/
l
o
o
__°
(c)
/
^
f
o
í
/
-^-
Chapa
quente
Ar úmido Goticutas
de água
Agua fria
i'igur;s 1.5 - Processo de trsnsfèrência convectiva de calor por (a) convecçao forçada.
ra l,5b, o ar que entra em contato com os componentes sofre elevação de
que o ar
que o ar
is ího. gue vem
l,:
circuito, com o
Descreve-se o modo de transferência convecíiva de calor como a transferência de
icameníe, a que se transfere é a energia
convecçâo nos quais há também
!o e
ÍO € O
uma panela com agua
ície externa de um
ígura l.5c), ou pela
'., a ü^ua^uu ua s.a.A.a a.yiuyna.u.ís, 1,1^111 ci luiiiia..
(1.3a)
fície e do fluido, Ts e 7^,
do Resíhamento de Newton ç
ou o coencïente
das condições na camada
os
conhecido (Tabela 1.1).
11
e-<r (1.5)
onde £ é uma propriedade radiativa da superfície, a emissividade. Esta propriedade, cujo
valor está no intervalo Ô < s < l, indica a eficiência da emissão da superfície, comparada
com um radlador ideal. Inversamente, se houver incidência de radiação sobre uma
superfície, uma parcela será absorvida, e a taxa na qual a energia é absorvida pela unidade
de área superficial pode ser calculada mediante o conhecimento de uma propriedade
radiatíva da superfície denominada absortividaâe a, isto é:
?*="<. (1.6)
onde Ô <. a < l. Enquanto a emissão de radiação reduz a energia térmica da matéria, a
absorção aumente esta energia.
As equações (1.5) e (1.6) determinam a taxa na qual a energia radiante é emitida e
absorvida por uma superfície, respectivamente. A determinação da taxa liquida na qual a
radiação é trocada entre superfícies é, em geral, bastante mais complicada. Um caso
particular, no entanto, envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena superfície e
uma outra muito maior, que envolve completamente a superfície menor (Figura 1,6).
. Vteinhanças a' :Tv,
Troca
radiativa
líquida
ïr&á
Superfície de emissividade Ë
e área A na temperatura Ts
Transferência
convectiva de
calor
Figura 1.6 - Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças,
A superfície e as vizinhanças estão separadas por um gás que não tem efeito sobre a
transferência de radiação. Admitindo que a superfície tenha a=e (superfície cinzenta), a taxa
líquida da troca de radiação térmica entre a superfície e as suas vizinhanças, expressa por
unidade de área da superfície, é:
(1.7)
Nesta expressão, Â é a área da superfície, s é a sua emissividade e Tviz é a temperatura das
vizinhanças. Neste caso, a área e a emissividade das vizinhanças não influenciam a taxa
líquida de troca térmica. Em muitas aplicações é conveniente exprimir a troca líquida de
radiação térmica na forma:
12
í ~ VS
(1.8)
onde pela equação (l 7), o coeficiente de transferencia radiatjva de caiar kr é dado por
I ^ jl^;'V, ^ SVK
e não a
+
-T,J+E-a ï " vit
19)
wKv e igual ao
para este, simultaneamente (Figura 1.6). A taxa total de transferência de calor da superfície
(1.10)
o ar e as
superficial 200 C, e a emissividade 0,8.
de calor da superfície para o ar
da superfície do tubo por unidade
equação (4. i U), com
S ~ 00
x V, i
)+e.o.(r/-r^
}+Q,8-5,67^ÏÔ~
ser expressa de duas maneiras (isto é em °C ou K)
de temperaturas na taxa de transferência convectiva
em K quando se
com i w: e o
um valor mais moderado de Ty, e com valores
ser,
desprendo, O
pela equação (l .9), e nas condições do problema o seu valor é kr == l IW/m .K
oDietivos
ïíares. Por exemplo,
a taxa na
e da Transferência de Calor são, em grande parte,
de calor e uma extensão da termodmâmica,
é transportada Além disso, em muitas análises de
transferência de calor, a Primeira Lei áa Termodinâmica (Lei da Conservação de Energia)
, a região será
Uma vez
;, Ísío é, uma região do espaço limitada por uma superfic
podem passar energia e matéria. Nas aplicações deste
3n-esponde à existência de um volume estacionário e
volume de controle, é necessário especificar uma base de
ÍbiUdades de escolha. Uma vez que a primeira lei deve ser obedecida em
de tempo í, uma escolha envolve a formulação da lei
um equilíbrio entre todas as
corresponde á necessidade da primeira lei ser
15
os termos de energia incluem as taxas nas quais a energia térmica e a
de controle E^- e E^ A energia
ie entrar no volume de controle em virtude da conversão de outras
de energia, e a taxa em que ocorre
+ í l Ha)
A equação (llla) pode ser utilizada em qualquer mstcmíe de tempo. A outra opção
aphca-se ao intercalo de íempo Aí e se obtém pela integração da equação (1,11a) sobre o
's ~ ^^f (l.Ub)
quantidades de energia afluente e de energia gerada
Íe de energia acumulada no volume de controle,
efluente contribui para diminuí-la
'•cie, isto é, são
e de efíuência E^ e E^ são fenómenos
aos processos que ocorrem
é proporcional á área superficial. A situação mais
em virtude da transferência de calor pêlos modos
Numa situação que envolva o escoamento de fluido
-^ ® ^^f. a energia transportada pelo fluido para dentro
também é inclusa. Esta energia pode ser constituída por
/<
uma corrente
•R, com
(química, elétrica, eletromagnética ou
volumétrico, ou seja, acontece dentro do
ao volume. Por exemplo, uma reaçao
energia química em energia
energia térmica do volume de coníro!e Outra
térmica que ocorre no aquecimento de UTT
ï Num volume de controle, a energia
Ío á energia térmica gerada (libertada) no
em
de
e a
ir o processo físico de acumulação de energia com o de
;eração de energia possa
os dois processos são
ilação de energia
ismeníe, ao aumento!
cupa ò volume de
modificação na energia
>
;. Como é claro, nas
16
'ïtrico, mas está associado,
< 0}, da energia da matéria
;s de estado permanente, não
Um pedaço de gelo de massa M, na temperatura de fusão (Tf ^ O C) está dentro de
uma' cavidade cúbica de aresta W, A espessura das paredes da cavidade é L e a
condutividade térmica k. No instante t ï= 0, a superfície externa da parede fica na
temperatura Ti > Tc. Obter uma expressão para o intervalo de tempo necessário para fundir
completamente o gelo.
Dimensões, condutividade térmica e
Incógnita; Expressão do tempo necessária para
w
Mistura
gelo-água
Seção A-A
üí»SilS5^ããSi^aSfíSËàSüSí5Sü:
ySSSSSSQfSSSSSSi
são
j.
«
ím, a
em
17
permanece igual a [li
da parede é uma constante
l-£f
e:
ï-if
interior do volume de controle se deve exclusivamente
à conversão do sólido em líquido, A quantidade de
modificação, por unidade de massa do sólido, é o calor
latente de fusão hsf. Assim, o aumento da energia acumulada é dado por:
Fazendo-se as substituições na expressão da primeira lei, segue-se que:
^/
l -A/
complicações ocorreriam se o gelo estivesse inicialmente sub-resfriado.O
energia acumulada teria que incluir a variação na energia (interna térmica) sensível
necessária para fazer o gelo passar do estado sub-resíriado até a temperatura de fusão.
processo, mstalar-se-iam gradientes de temperatura no gelo,
Existem muitas oportunidades para se aplicar a conservação de energia á superfície
de um meio. Neste caso especial, a superfície de controle não inclui massa e nem tem
volume, conforme aparece na Figura 1.8.
Por isso, as parcelas de geração e acumulação, na expressão de conservação de
energia (equação l.lla) não são relevantes, e basta considerar os fenómenos de superfície,
Neste caso, a exigência da conservação fica:
n i2)
18
Mesmo que possa haver geração de energia térmica no meio, o processo não afeta o
balanço de energia na superfície de controle. Além disso, as condições da conservação
valem para as condições de estado permanente e de estado transiente.
rtfd
VI i
Vizinhança
Ffuido em
movimento
^
Superfície de controle
Figura 1.8 - Balanço de energia para se ter a conservação de energia na superfície de um meio.
Na Figura 1.8 aparecem três termos de transferência de calor na superfície de
controle. Na base de uma área unitária, os termos são a condução do meio para a superfície
de controle (q cwd), a convecção da superfície para um fluido (q conv) e a troca líquida de
radiação entre a superfície e as vizinhanças (q raii)- O balanço de energia assume então a
forma:
<1 conâ - <ï wnv ~ ^ rad =: Q (l ,13)
e podemos exprimir cada um dos termos de acordo com a equação apropriada (equações
1.2, 1.3ael.7).
Exemplo 1.4
Os gases de combustão, numa fornalha, estão separados da atmosfera ambiente e
das vizinhanças, ambas a 25 C, por uma parede de tijolo de OJ5m de espessura. O tijolo
tem condutívidade térmica de l,2W/mK e emissividade superficial de 0,8. Nas condições de
regime permanente, a temperatura da superfície externa é 100°C. A transferência convectiva
de calor para o ar adjacente a esta superfície é caracterizada por um coeficiente de
convecção de 20W/m K. Qual é a temperatura da superfície interna do tijolo?
Dados: A temperatura das paredes de uma fornalha, a espessura, a
a emissívidade da parede.
térmica e
19
Incóaniía: A temperatura da superfície interna da parede.
Esquema:
-T,-ÏOO°C
í: =0.8
Gases de
combustão
A:=l,2W/mK
f} . CDftd
L =0,1 Sm
<Í rad
-»— x
Hipóteses:
l, Condições de regime permanente.
2, Transferência de calor, unidimensional, por condução através da parede.
3. A troca radiativa entre a superfície externa da parede e as vizinhanças é uma troca entre
uma pequena superfície e uma grande superfície que a envolve.
Análise: A temperatura da superfície interna pode ser obtida mediante um balanço de
energia na superfície externa. Pela equação (l. 12):
•af ~ ^ef ~
e segue-se então, com base na unidade de área,
^ cond ~ ^ c ff nv ~ ff rad
ou depois de reordenado e substituído a partir das equações (1.2), (1.3a) e (1.7):
k. ^_^- ^h-ÍT. -T }+ e . cr. {T4 - T42-Ji[co/~r&'u'V2 -Jïw.
Portanto, com a substituição dos valores numéricos apropriados, tem-se:
+ &}\3734 -2984
-f-
+52Ü+
20
Comentários:
l. Observe que a contribuição da transferência radiaíiva de calor da superfície externa é
significativa. A contribuição relativa diminuiria, no entanto, com o crescimento de h e/ou
com a diminuição de T^.
2, Quando se fazem balanços de energia que envolvem trocas radiatívas e outros modos de
transferência de calor, é uma boa prática exprimir todas as temperaturas na unidade
Kelvin. Esta prática é necessária, já que a temperatura desconhecida aparece no termo
áa radiação e também em outros termos,
[l], ïncropera, F. P.; Wiíí, D. P., Fundamentos da Transferencia de Calor e Massa,
Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 1991.
[2]. Van Wylen, G.; Sonníag, R,; Borgnakke, C,, Fzmdamentos da Termodinâmica
Clássica, Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 1995,
1.1 - Através de uma seção de material isolante, com área de seçao reta de lOm e
espessura de 2,5cm, passa um fluxo de calor de 3kW. A temperatura na superfície
interna (quente) do material é 4l5°C e a condutividade térmica do material é
0.2W/m'K. Qual é a temperatura da superfície externa?
1.2 - As temperaturas das faces interna e externa
5mm, são 15°C e 5°C respectivamente. Qual
por 3m? A condutividade térmica do vidro é '
de uma janela de vidro, com espessura de
a perda térmica através da Janela de lm
L4W/m-K.
1.3 - Um chip quadrado de silício {k ^ 150W/m-K) tem aresta de 5mm e espessura Imm. O
chip está montado numa chapa que isola as suas faces laterais e traseira, mas expõe a
face frontal a uma corrente de resfriamento.
Refrigerante
21
Havendo uma dissipação de 4W nos circuitos montados na face traseira do chip, qual
deve ser a diferença da temperatura, nas condições de estado permanente, entre a face
frontal e a traseira?
1.4-0 coeficiente de transferência convectiva de calor entre uma superfície a 40°C e o ar
ambiente, a 20°C é 20W/m -K. Calcular o fluxo de calor que sai da superfície por
condução.
1.5 - O ara 300°C escoa sobre uma chapa plana de 50cm por 25cm. Se o coeficiente de
transferência convecíiva de calor for de 240W/m -K, determinar a taxa de
transferência de calor através de uma face da chapa quando a sua temperatura for
mantida a 40°C.
1.6 - Um chip isotérmico e quadrado, com aresta de 5 mm, está montado numa chapa que
isola termicamente as faces laterais e a face traseira, enquanto a face frontal fica
exposta a uma corrente de resfriamento a l5°C. A temperatura do chip, por
exigências de segurança e confiabilidade, não pode ser maior que 85°C.
Refrigerante
Se o resfriamento for constituído por uma corrente de ar, com o coeficiente de
convecção de 200W/m -K, qual é a potência máxima permissível no chipr? Se o
resfriamento for o de uma corrente de líquido, com coeficiente de transferência
convecíiva de calor de 3W/m -K, qual é a potência máxima permissível?
1.7 - Uma esfera refrigerada a água, com diâmetro lOmm e emissividade 0,9 está mantida a
80°C dentro de um grande forno a vácuo cujas paredes se mantêm a 400°C. Qual a
transferência líquida de calor entre as paredes do forno e a esfera?
1.8 - Considere as condições do problema (1.6). Com transferência de calor por convecção
para o ar, a potência máxima permissível no chip foi calculada como sendo de 0,3 5W.
Qual será o crescimento percentual da potência máxima permissível no chip se
também houver transferência de calor por radiação entre a superfície do chip e uma
grande superfície envolvente a 15°C? A face exposta do chip tem emissividade 0,9.
provocado por um gradiente
, ^íWü~;
isolada na superfície cilíndrica,
diferentes, com Ti > Tz. A
ïâo do x
. Desta forma,
a A T. Assim, temos que
23
continua válida. No
de A T, o valor de q i menor no caso do plástico
lê ser convertida numa
como a
térmica [W/m-K], é uma propriedade importante ao material, Ao
fíuxo de calor
(2.1)
(2.2)
-se que o sinal negativo é necessário, já que o calor se transfere sempre na direção
temperaturas decrescentes, e k ser um parâmetro positivo.
Lei de Fourier, escrita sob a forma da equação (2.2), mostra que o fluxo de calor
grandeza direcionai. Em particular, a direção de q^ é normal à seção transversal de
E. Ou, na forma mais geral, a direçâo do fluxo térmico sempre será normal à uma
ície com temperatura constante, denominada superfície isoïérmica. A Figura 2.2
q^f num sistema de coordenadas unidmiensioüal, quando
e negativo.
Pela equação (2.2) segue-se que qít é positivo. Observe-se que as superfícies
srmicas são planos normais á direção x. Sabendo que o fluxo de calor é uma grandeza
podemos escrever uma formulação mais geral para a equação da taxa de condução
(2.3)
ôy ôz
V é o operador tridimensional e T(x^y,z) é o campo escalar de temperaturas. Está
cito na equação (2.3) que o vetor fluxo térmico está na direção peq?endicular às
ïcies isoíèrmicas,
indica a direção do
esímtura
Nesta seção analisam-
respectivo
térmica.
2.2.1- Condutívidade Térmica
;, em geral,
sua vez. e maior
nos dois estados.
25
tà-mica independe da direção. Em virtude da Lei
cia condutiva de calor, as suas características
primeiros pnncipios; ao contrario, e
térmico; normal à superfície
Fourier é necessário conhecer a condutividade térmica dos
propriedade de trcmsporíe, proporciona uma indicação
energia através do processo de difusão. Tal propriedade
matéria (atômica e molecular) relacionada ao estado da
diversas formas da matéria, identificam-se os aspectos
comportamento, e apresentam-se valores típicos de
Pela Lei de Fourier, equação (2.6), a condutividade térmica é definida por:
ddo, o fluxo térmico de condução aumenta
o mecanismo físico associado à
condutividâde térmica de um sólido é maior
que a de um gás. Conforme a ilustração da
lê ser mais de quatro vezes maior que a
parte, às diferenças do espaçamenío
26
Espumas
Dióxido de
carbono
Níquel
Plásticos Gelo
Sólidos nâo-metâlicos
Fibras
isola nles
Óleos Água Mercúrio
Líquidos
Hidrogàiio
Gases
10- 10'
Zinco Prata
Metais Puros
Alumínio
Ligas:
Oxidos
10U 101 10'
Condutividade Térmica (W/m-K)
10'
;'a 2.4 - Domínio das condutividades térmicas de diversos estados da matéria
em temperaturas e pressões normais.
Pela concepção moderna de
elétrons livres e por átomos Íníerlig.
rede. Desta forma, o transporte de e
elétrons livres, e às ondas vibracion
condutividade térmica k é a soma
{k == ky + kl). Numa primeira
eléírica pe. Nos metais puros, com
Em contraste, nas ligas, que
desprezível. Nos sólidos não-
depende da frequência de Ínterações
espacial da rede tem efeito importa
ordenada) como o quartzo,
realidade, nos sólidos não-
muito grande e exceder os valores
A dependência entre k e a
sólidos metálicos e não-metálicos
Na Tabela A. l (sólidos metal
estão os valores de k de alguns
um tratamento mais detalhado da
estrutura dos materiais, um sólido é constituído por
idos numa disposição espacial periódica, denominada
nergia térmica se deve a dois efeitos: à migração dos
da rede. Estes efeitos são aditivos, de modo que a
componente eÍeírônica ke, e da componente de rede ki
>, ke é inversamente proporcional à resistividade
baixo, não é surpresa que k& seja muito maior que ki.
pe bem maior, a contribuição de ki para k não é
k é determinada principalmente por ki, a qual
entre os átomos da rede. A regularidade da disposição
sobre k{. Os materiais cristalinos (com rede bem
maior que os materiais amorfos como o vidro. Na
como o diamante e o óxido de berílio, ki pode ser
a bons condutores como o alumínio.
pode ser observada na Figura 2.5, no caso de
nas Tabelas A.2 e A.3 (sólidos não-metálicos)
técnica. A referência [l] apresenta
27
para os sistemas. Nos
i, o material sólido está
caracíenzam-se por uma
íoíâS), que depende muito de como o material sólido está ligado.
radiativas da superfície do material sólido, e da natureza e fraçâo volumétrica do ar ou do
Figsara 2.5 - Dependência entre a conduíividade térmica de alguns sólidos e a temperatiïra.
Quando se formam pequenos espaços vazios, ou ocos, mediante a adesão ou a fusão
iz rígida. Quando estes espaços
isolamento celular. Exemplos
lente os constituídos por
e, nos
as camadas é calculado a
desempenho, o
do ar nos espaços
E importante reconhecer que a transferência de calor através de qualquer sistema de
28
ar nos espaços vazios,
rËcies da matriz sólida (se a temperatura for
a leva em consideração todos estes processos, e os
escolhidos estão resumidos na Tabela A. 3 Mais
e que o
o
muito maior no estado fluido que no
)íico no primeiro do que no segundo
lo fluido é mais efetivo, Assim, a
Cinética dos Gases [4]. Por esta teoria,
proporcionai ao número de partículas
c, e ao percurso
entre duas colisões sucessivas),
x n-c -\
que c aumenta
com o
e com a
aumento de
da massa
Esta tendências
nas pressões normais, e a temperatura.
29
proporcionais direía e mdireíamente a
lente da pressão. Esta hipótese e
neste texto. Assim, embora os valores
atmosférica, ou na pressão de saturação
utilizá-los sobre um domínio muito
os mecanismos físicos para
[5]. Conforme mostra a Figur;
em geral diminui com a elevação
lo são mais
explicação da condutividade térmica não são bem
•a 2.7, a condutividade térmica dos líquidos não-
da temperatura, e as exceçoes notáveis são as da
.7 - Dependência entre a condutividade térmica de alguns líquidos nâo-metáJicos.
em condições saturadas, e a
líquido no estado
comuns
à pressão, exceto nas vizinhanças do ponto crítico
que a conduíividade térmica diminui com a elevação da
ndutividade térmica são em gerai tabelados em função da
saturado. As Tabelas A.5 e A.6 apresentam estes dados
como as
os são comumeníe usados em aplicações que exigem fluxos térmicos
nas usinas nucleares de potência. A condutividade térmica desses
i.. 7. Observa-se que os valores são muito mais elevados que os dos
sólidos não-meíálicos [6].
30
materiais. Estas são, em geral, denominadas propriedades íermofisicas e incluem duas
trcmsporíe e as
como a condutividade
cinemática (v),
incluem os coeficientes de taxas de difusão, como a condutividade térmica (^), no caso de
sistema, como por exemplo a densidade (p) e o calor específico (c?). Tais propriedades são
dos (meios
apresentam capacidades caloríficas comparáveis {p-Cp > IMJ/m -K). No entanto, pelas
a razão entre a e a
capacidade calorífica é uma propriedade importante denominada difuswidade. térmica es.
[m2/s]:
p-c,
lê mede a reiaçao entre as
t. Os materiais com a gr
térmico, enquanto aqueles com
do material conduzir e armazenar
,em rapidamente às variações do
spondem mais lentamente e levam
são conhecidas [7-9]. Numerosos exemplos de falhas nos projeíos de
e processos, ou de fracassos no atendiínento de especificações de
podem ser citados, devido às informações de má qualidade associadas à
escolha dos valores das propriedades mais importantes, usados na análise inicial dos
Uíeratira ou de
[10] podem ser
31
no programa
Ia das
iblicações com o intuito de se estabelecer
síermofísicas [11]
!.1
difusividade térmica CE é a propriedade de transporte que controla a condução
;. Calcular a para os seguintes materiais- nas temperaturas mencionadas, mediante
apropriados de Â, de p e de Cp do Apêndice A
puro a 300K.
puro a 700K,
c) carbeío de silício a 1000K,
d) parafina a 300K.
Dados; Defímção da difüsividade térmica a
Incógnitas: Os valores de a de alguns materiais em certas temperaturas.
(a) Tabela A. l, alumínio puro (300K)
p = 2702 kg/m'
Cp - 903 J/kgK
^=237W/m-K
p-c 2702x903
7, l x i-é .^2
) Tabela A. l, alumínio puro (700K);
p=r2702kg/m' a 300K
Cp = 1090 J/kg'K a 700K (por inte
k - 225 W/mK a 700K (por inte
ação linear)
ação linear)
•c 2702 x
\,Q^ÏQ^ m21 's
(c) Tabela A.2, carbeto de silício (1000K);
p=3160kg/m3 a300K
c^ 1195J/kg-K alOOOK
J^=87W/m-K a IOOOK
32
p-c.. 3160x1195
=2^x;rtí m2,
Tabela A.3, parafina (300K)i
p - 900 kg/m3
Cp = 2890 J/kg-K
k •= 0,020 W/m-K
as
u-<
icia das propriedades íermofísicas do alumínio
mencionadas. Por exemplo, no caso c
300K); por isso, as propriedades deste
lo carbeto de siïício
carbeto de silícso,
lem fortemente
2. A interpretação física de a visa
de calor (k) e a acumulação de
valor de a mais elevado, enqui
têm valores mais baixos de a.
proporcionar uma medida de relação entre o transporte
energia {p-Cp). Em geral, os sólidos metálicos têm um
os sólidos não-metálicos (a parafina por exemplo)
3, A interpolação linear dos valores daí
engenharia.
4. O uso da densidade em temperaturas
efeitos da expansão térmica, também
1 propriedades é, em geral, aceitávei nos cálculos de
baixas (300K) em lugar das mais elevadas ignora os
aceitável nos cálculos de engenharia.
ïomï
objetivo mais importante na análise de condução de calor é determmar o campo
num meio, resultante das condições impostas às suas fronteiras, ou seja,
saber a distribuição de temperaturas que representea variação desta no meio.
conhecida, o fluxo de calor em qualquer ponto do meio (ou na sua superfície)
calculado pela Lei de Fourier Podem ainda ser obtidas outras grandezas
a um sólido, além do conhecimento sobre a distribuição de temperaturas, o qual
usado para julgamento da integridade estrutural através da determinação das
3as expansões e das deflexões térmicas. A distribuição de temperaturas também
usada para se oümizar a espessura de um material isolante ou para determinar a
entre este material e revestimentos ou adesivos especiais.
33
qual se pode determinar a
icação das exigências da conservação
apropriadas.
.o, nas
Considere um meio homogéneo no qual existam gradientes de temperatura, e a
distribuição de temperaturas T{x,y^ seja expressada em coordenadas cartesianas. De
mostra
<ly+iy
ffi" X
infinitesimal, dx, dy, az para análise
de calor em coordenadas cartesianas,
considere os processos de energia que são relevantes neste volume de
existam gradientes de temperatura, haverá transferência de calor
das superfícies de controle. As taxas de coridução de calor,
superfície, são simbolizadas pêlos termos q^ qy e q^ em relação ao
l,
, UCSjJÏCZiiUlUU-!
no ponto x + dx é i
de volume do meio [W/mJ]
>, da energia (térmica) interna do meio, por
miportaníe observar que os termos E e E^
houver geração de
ï;sera
um sorvedouro). Em
por outro, energia
energia térmica no
consumida (h
energia com as
conservação
35
+ (2.10)
(2.11)
(2.12a)
(2.12b)
(2.12c)
Cinde cada componerríe do fluxo de calor da equação (2.6) foi multiplicada pela área da
se obter a taxa de transferência de calor,
(2.11) e dividiado-se pelas dimensões
+ Í+—1 +ff= (2.13)
ï.13) é a são ao calor em coordenadas
condução do calor. A partir da sua
T(x,y,z) em função do tempo. A
encobrir o fato dela descrever uma
Deve-se ter um entendimento claro
igm&cado físico de cada parcela que aparece na equação. Por exemplo, o termo
QT>
^_] ^^^. l ^^ relacmnado ao Suxo liquido de condução de calor ^wa dentro do volume
Qx
de controle, na direção da coordenada x (isto é, muitiplicado por áac):
r:-?:. (2.14)
36
õ3T õ3T
,3 ^.2
(2.15)
10, &OD C(
quaníidaâe de energia acumulada. Então, a equação (2 13) se reduz a;
QT
k:— 1+ + +<?=
unidimensional (por exemplo, na direçâo x} e se
(2.16) se reduz a:
(2.17)
sob regime permanente, o fluxo de calor é uma constante na direçao da transferência
ou controle ínfmiíesimais
.10 respectivamente.
® Coordenadas CÏlmdricas: Quando o operador V da equação (2,3) for expresso em
coordenadas cilíndricas, a forma do vetor do fluxo de calor fica;
(2.18)
(2.19)
37
, rd^, ífe pam a aaáïise àa cïmduçâo
geral do vetor do fluxo
l
Então, ao se esíimar o gradiení
{F^, ff}.
i0^~' /—250 C/m Uma geração de calor umforme q ^
lOrn^. As
temperatura numa parede de l m de espessura, num certo msíante,
bx + cx\ (T [°C], x [m]) com a - 900°C, b = -300°C/m e c - -
1QW W fm3 atua na parede, numa área A =
são p - 1600kg/m3, k - 40W/m-K e Cp = 4 tí/kgK.
(x = 0) e (x = l m).
e.
c) a variação da temperatura com o tempo em x = 0, 25 e 50cm.
, ^/(x = 0) e efluente ^(x ^ l), na parede.
na parede, E^.
em x ^ 0, 25 e 50cm.
com
39
Esquema;
A==1Qm
=a+bx+cx
Análise:
l. Se a distribuição de temperatura
transferência de calor em qualqu<
Lei de Fourier. Dessa forma, as
distribuição de temperatura dada
\af - 1x
laf
Analogamente,
'ef ~tíx
• ÍSef
conhecida num meio, é possível determinar a taxa de
er ponto do meio, ou nas suas superfícies, mediante a
taxas desejadas devem ser determinadas mediante a
e da equação (2,1). Assim,
-k • A- (b+ 2cx)^
x^O
x 40 x
+ 2cx)^
x=L
+2cLj=-4^xï^x[3W+ ix^|=
A taxa de variação da energia acumulada •
um balanço global de energia na parede
controle em torno da parede: E^ + Eg ^rf
^) pode ser determinada mediante
a equação (1.11) a um volume de
E^ onde E^ = q-A-L, Então:
+ +
3.
'm ~^nf ^ef ' Jt-t g ~~^af ^ rf
'+UWxJ0x
temperatura com o tempo, em
i equação da condução do calor (í
er ponto do meio, pode ser
2.15), reescrita na forma:
+
40
+
que esta derivada independe da posição no meio Então, a variação
com o tempo é também independente da posição e dada por
x4
+
x 4
-6,25 x Ï0~' +1,56 x í^9x 4 o
l.
parede, diminui com o tempo
2, A Lei de Fourier pode ser
distribuição
geração interna de calor
no cálculo da taxa de condução a partir de uma
mesmo no caso de regimes transientes com
[l]. Klemens, P. G., 'Theory ofthe ThermaÏ Conductiviíy of SolÍds," m R. P Tye, Ed.
Thermal Conductiviïy, Vol l, Acadenúc Press, London, 1969.
[2]. Mallory, John F., Thermal ïnsulation, Reinhold Book Coq?., New York, 1969
m.
[4].
[5].:
and Air Conditioning Engineers,
ofFuïiàamentals, Chapters 17 and 31, ASHRAE, New York, 1972.
W. G., and C H. Kmger, Jr., Introductíon to Physical Gás Dynamïcs, Wiley,
York, 1965.
•7 —~"T
Conductiviíy ofFluÍds," in R, P Tye, Ed.,
ic Press, London, 1969.
i/' m
Engineering Handbook, Vol. l, Gordon & Breach, New York, 1972.
. Klein, Eds., "The Techmcal
Information," National Bureau of
ance of Accurante
Techmcal Note
Naijar, M. S., K. J. Bell, and R. N. Marddox, Heat Transfer Eng., 2, 27, 1981
41
[9]. Hanley, H. J. M, and M. E, Baltatu, Mech. Eng-, 105, 68, 1983.
[10]. Touloukian, Y. S,, and C. Y. Ho, Eds., ThermophysicaÏ Properties of Matter, The
TPRC Data Series (13 volumes de propriedades termofísicas: condutividade térmica,
calor esperfícico, radiatividade térmica, diíüsividade térmica e expansão térmica linear),
Plenum Press, New York, 1970 through 1977.
[11]. Center for Information and Numeriacal Data AnalysÍs and Synthesis (CIDAS), Purdue
University, 2595 Yeager Koad, West Lafayette, m $&906.
2.1 - Assuma a condução de calor, em regime permanente, no sólido com simetria cilíndrica
que aparece na figura abaixo.
TI>TS
Admitindo que as propriedades sejam constantes, e que não haja geração interna de
calor, esquematize a distribuição de temperatura nas coordenadas T-x. Explique,
resumidamente, a forma da curva.
- Um cano que conduz água quente a uma temperatura Tj com raio interno ri, possui
uma camada de isolamento espessa para reduzir a perda térmica. Sabendo que o raio
externo do cano é r^ e a temperatura neste ponto é Ï2, esquematize a distribuição de
temperaturas no isolamento com relação às coordenadas T-r, no caso de uma
transferência de calor em regime permanente, unidimensional, com propriedades
constantes. Apresentar uma explicação resumida que justifique a forma da curva.
2.3 - No sistema esquematizado pela figura, há condução de calor em regime permanente,
sem geração de calor e unidimensional. A condutividade térmica é 25W/m-K e a
espessura 50cm. Determine as grandezas desconhecidas em cada um dos casos da
tabela seguinte e esquematize a distribuição de temperaturas em cada caso, fazendo a
indicação da direção do fluxo de calor.
Ti
.4 - Um cilindro maciço de lOcm comprimento e 25 mm de diâmetro está bem isolado em
sua superfície cilíndrica. As duas bases circulares estão mantidas a 100°C e 0°C. Qual
a taxa de transferência de calor através do cilindro se ele for constituído por (a) cobre
puro, (b) liga de alumínio 2024-T6, (c) aço inoxidável AISÍ302, (d) nitreto de silício,
(e) madeira (carvalho), (f) magnésio a 85% e (g) vidro pyrex?
43
o calor se transfere por diíüsão, em condições
o
mc wsidiwensíonaÏ, os gradientes de temperatura existem
coordenada, e a transferência de calor ocorre
está em condições de regime permanente se a
que Íhes é própria, os mcxáelas umdimensionais, em regime permanente, podem ser usados
-se o conceito
a solução
interna (itens 3.1 a 3.3). O objetivo é
e a taxa de transferência de calor í
de resistência térmica (análogo ao
problemas de transferência de calor.
Na condução umdimeiiskmaÍ
da coordenada x, e o calor
plana separa dois fluidos <
circuito elétrico equivalente.
numa parede plana, a temperatura é uma função
se transfere somente nesta direção. Na Figura 3.1a,
im temperaturasdiferentes, e a Figura 3. l b mostra o
m,^
TO, l ''"l °o,2»"7
de temperatura, da qual pode se obter
e poae ser
contorno
solução
as. Em regime
calor é (equação 2,17):
, pela equffição (2.2), conchri-se que, íia conchsçâo
o
s,J ~- ï-^lJLi T ^2 ~~ <-1^ "r ^ sj
Fazendo as substituições na solução geral, a distribuição de temperatura fica:
,,-T,,)^+T,, (33)
permanente, numa parede plana, sem geração
i, na condução unidimensional, em
de calor e com a condutividade
?âo de temperaturas, pode ser usada a Lei de
(equação 2. l) para determinar a taxa de transferência condutiva de calor Isto e
s,l * s,í (34)
se que A, a área da parede norma/ a direção da transferência de calor,
independente de x. O fluxo de calor é então
x _
I,/ ï, 2
(3.5)
calor, q'
equações (3.4) e (3,5) indicam que a taxa de transferência de calor ^, e que o fluxo de
são constantes, independentes de x
Nos parágrafos anteriores usou-se a abordagem padrão para resolver os problemas
), Inicialmente, a solução geral para a distribuição de temperatura foi obtida pela
da equação da condução de calor na forma apropriada. Apücou-se então as
de contorno para se obter uma solução particular que, com a Lei de Fourier,
a taxa de transferência de calor Observe que as temperaturas em x=0 e x == L
como as condições de contorno, embora sejam temperaturas dos fluidos, e não
superficiais (conhecidas nos caso típicos). No entanto, uma vez que as temperaturas de
e de uma superfície a ele adjacente são facilmeníe relacionadas mediante um
energia na superfície, é uma questão simples exprimir as equações (3.3), (3.4) e
(3.5) em termos das temperaturas dos fluidos, e não das temperaturas superficiais.
equivalentes também seriam obtidos direíamente por meio de balanços de
superfície (como condições de contorno de terceira espécie) para se estimar as
da equação (3.2).
as su
um
Neste ponto, observa-se um conceito muito importante sugerido pela equação (3.4):
a analogia entre a difusão do calor e a condução de carga elétrica. Da mesma forma que
uma resistência eléírica está associada à condução de eletricidade, pode-se associar uma
resistência térmica a condução de calor Definindo a resistência como a razão entre o
46
motnz e a taxa de transferência que a provoca, segue-se pela equação (3 4) que a
térmica na condução e
i ; " f,2 36)
Analogamente. no caso da condução eleínca, a lei de Ohm proporciona uma resistência
eletrica da forma
s,í u s ,2
ü
A analogia entre as Equações (3 6) e (3 7) e obvia uma resistência
ser associada a transferência convectiva de calor numa superfícïe
de Newton
e a resistência térmica na convecção e então
'l,CMtV
(37)
•muca também pode
lei do resfriamento.
(38)
(39)
A representação mediante circuitos proporciona um instrumento útil para conceituar e
quantificar os problemas de transferência de calor O circuito térmico eqwvafente numa
parede plana, com condições superficiais de convecção aparece na Figura 3 l b A taxa de
transferência de calor pode ser determinada a partir da consideração isolada de cada
elemento do circuito, isto e
.i *»,! " *, J AïJ "t,J i J tt " ,2 (3 10)
Em termos da diferença global de temperatura, e da resistência térmica total J?^, a taxa de
transferência de calor pode exprimir-se também como
<o ,1 "• w ,2
(3.11)
Em virtude de as resistências condutiva e convectiva estarem em série e, portanto, poderem
se somadas, segue-se que:
-(- _ ^ (3.12)
Uma outra resistência pode ser atribuída à
vizinhança de grande porte por um gás. Em
as suas vizinhanças pode ser importante, e a taxa
Segue-se, então, que a resistência térmica na
superfície que estiver separada de uma
', a troca radiativa entre a superfície e
pode ser determmada pela equação í l 8)
;ão pode ser definida como
47
it..r'ad — (3.13)
rad
onde kr está definido pela equação (1.9). As resistências radiativas e convectivas da
superfície atuam em paralelo, e se T^ = T^ , as duas podem ser combinadas para se obter
uma resistência efetíva única da superfície.
3.1.3 " A Parede Composta
Os circuitos térmicos equivalentes também podem ser usados no caso de sistemas
mais complicados, como por exemplo, as paredes compostas. Essas paredes podem
envolver qualquer número de resistências térmicas em série e/ou paralelo, em virtude de
camadas de matérias diferentes, ConsÍderemos uma parede composta em série, como
mostra a Figura 3.2,
Fluido
quente
T^rhl
^ll^llilÍilÍ
^^^^jj^^^l
Íaí5ÍSÍï:3Í^:
liii-SISlSii
liÍIIIill
:^s|s]|s^ilijai^^ï
ÏM!Mms
H"Í^^4ík
Kc
ao,4
Fluido frio (T,,,, h,}
00,1
k,A
's,l
k.A
' s,4 aü.4
Figura 3.2 - Parede composta com circuito térmico equivalente.
A taxa de transferência unidimensional de calor, neste sistema, pode ser expressa por:
ao,} Jias.4
(3.14)
onde F^ j - T^^ ea diferença global de temperatura e o somatório £^ envolve todas as
resistências térmicas. Então:
vo .1 "1 °° .'i
[(l/h,A)+ {Ljk^À)+ {L, /k,À}+ (^ /^A)+ {l/h,À)]
(3.15)
De outra maneira, a taxa de transferência de calor pode se relacionar com a diferença de
temperatura e com a resistência associada a cada elemento. Por exemplo;
°o,J *s,l ss,l aL 2 s-2~~£3 A3 Jts,4 Jls,4 Jta>,<i
•/h,A} ~ {L, /k,A) ~ {L, /k,A) " {L, /k,.
(3.16)
Nos sistemas compostos, é conveniente muitas vezes trabalhar com um coeficiente global
de transferência de calor (£/), definido por uma expressão análoga à da lei do resfriamento
de Newton. Assim:
q,=U'Â- AT (3.17)
onde A T é a diferença global de temperatura. O coeficiente global de transferência de calor
está relacionado à resistência térmica total e, pelas equações (3.14) e (3.17), tem-se que
tot-
Bntão, na parede composta da Figura 3.2,
R... -A " [{l/h,)+{Ljh,)+(L,/k,)+(L,/k,)+(l/h,)]
Em geral, pode-se escrever:
(3.18)
(3.19)
As paredes compostas também podem ser caracterizadas por configurações do tipo
série-paralelo, conforme as que aparecem na Figura 3.3.
Área (Â)
iiai^si^iijBiisiiiiiiitis^iiiiiiaisíiiifiisisjii^!SiSB^S!i!Sl^li3iJ^^^^%S!l^%EI^I!JsEI^Eifêifêl^BiS!EiâSiSÊS^S^^^SÉN@:r31^S;S3§:
,f--l^G ^H
49
hipótese, podem ser usados dois circuitos térmicos (a
isoíémúcas, enquanto no segundo admite-se que as superfícies paralelas à direção x sejam
R^ e os valores
As diferenças entre estes valores crescem com o aumento de k^kç e assim, os efeitos
JH
"ff!
JH
^i
numa parede composta em sen
, nos
compostos, a queda de temperatura na interface entre dois materiais pode ser considerável.
^í,c-
a Figura 3.4.
50
Para uma interface de área unitária, tal resistência se define como:
»" _ JIA
"t,c (3.20)
A existência de uma resistência de contaío fíníta se deve principalmente aos efeitos da
rugosidade superficial. Existem pontos de contato entremeados por vales que, na maioria
dos casos, estão cheios de ar. A transferência de calor deve-se então à condução através da
área de contato real, e à condução e/ou radiação através dos vales. A resistência de contaío
pode se considerada como duas resistências em paralelo: a que provém dos pontos de
contaío real e a que provém dos vales, Nos casos típicos, a área de coníato é pequena e,
te nas superfícies ru^osas, a contribuição mais ii
Figura 3.4 " Queda de temperatura devida à resistência térmica de contato.
Para os sólidos cujas conduíividades térmicas são mais elevadas que a do fluido
iníerfacial, a resistência de contaío pode ser reduzida pelo aumento da área dos sítios de
contato. Este aumento pode ser efetuado pelo aumento da pressão na junção mediante a
redução da rugosidade das superfícies em contato. A resistência de contato também pode
ser reduzida pela escolha de um fluido interfàcial de conduíividade térmica elevada. A este
respeito, a ausência de fluido (interface evacuada) elimina a condução através dos vales e,
com isso, aumenta a resistência de contato.
Embora se tenha proposto teorias para a previsão de R ^ os resultados mais
confiáveis são os que se obtêm experimentalmente, O efeito de cargas sobre as interfaces
metálicas pode ser observadona Tabela 3.1a, a qual apresenta intervalos aproximados dos
valores da resistência térmica em condições de vácuo. O efeito do fluido interfacial sobre a
resistência de uma interface de alumínio aparece na Tabela 3.1b.
Resistência térmica de
lumínio (rugosidade
51
t em interfaces metálicas sujeitas a vácuo e (b) em interfaces
ÍOp.m (Ra), 10 N/m ) com vários fluidos interfaciais [l].
Pressão de
Aço Inoxi(
Cobre
Magnésio
Alumínio
(a) Interface à
contato [kN/m ]
iável
TËNCIÁ T:
Vácuo
100
6-25
1-10
1,5-3,5
1,5-5,0
ERMICÁ
10
0,7-4,0
OJ-0,5
0,2-0,4
0,2-0,4
?'^[xl04m2.KAV] :
(b) Fluido Intei
Ar
Hélio
Hidrogênio
Óleo de silicone
Glicerina
2,75
1,05
0,720
0,525
0,265
Em contraste com os resultados da Tabela 3.1, muitas aplicações envolvem o
de possíveis materiais intersticiais
(enchimentos), como mostra a Tabela 3.2.
Tabela 3.2 - Resistência térmica de interfaces sólido-sólido representativas.
.' "HESÏSTÉNCIA1
Interface
T.ÉKM]
Chip de silício - alumínio esmerilhado ao ar (27-:
Alumínio - alumínio com enchimento de
Aço Inxoxidável -aço inoxidável com enchi;
(~3500kN/m2)
Alumínio - alumínio com revestimento metálico
Alumínio - alumínio com graxa da Dow
Aço inoxidável - aço inoxidável com graxa
(3500 kN/m2)
Chip de silício " alumínio com 0.02 mm
Latão - latão com 15 [im de solda de estanho
película
chi;';'! ente
letáhco (
Coming
ixa 340 c
de epoxi
anho
ÍCA ^Ê^,104m2-KAV] ::
500kN/m2)
de Índio (~100kN/m2)
) de película de índio
:Pb)
(~100kN/m2)
la Dow Coming
0,
o,(
0,:
R",R')íc
,3-0,6
-0,07
-0,04
01-0,1
-0,07
-0,04
,2-0,9
0,025-0,14
Fonte
[2]
[1;3]
[1;3]
[4]
[1;3]
[1;3]
£5]
[6]
. Duas classes de material bem apro
Os metais que incluem o
como uma folha delgada ou
encha os vales entre as superfícies em contaío e
a do ar provocará uma diminuição da resistência
)priados para este fim são os metais moles e as
o chumbo, o estanho e a prata, podem ser
então aplicados • como película delgada de
interface. As graxas térmicas, com base em silicone,
52
formada por uma
(liga com ouro e
., ivia.uiiusuuíiiiíi OL nüLünci ^ / j c i uvíuiwi<«/u [^oj CÏH/ÜHLÍ íun-i
Um fabricante de
forno auíolimpaníe que
ambiente, Á. janela composta é constituída por dois plásticos (A e B), resistentes à altas
= 0,15W/m-K e
da parede do forno e
do ar
calor no
coeficiente de transferência
25W/m 'K Qual é a espessura
temperatura na superfície
50°C 9 (Esta temoeratura. em virtude de razões se
do ar no forno (Tw e Ta
ambiente {T^ ) é 25°C. C
interior do forno (hi e
convectiva (hy) são cada
+
de forno composta, e as condições associadas à operação de autolimpeza do forno.
LA +
l. O
2. A
3 A
53
4. A absorção de radiação no i
geração interna de
interior do material da janela é desprezível; então não há
la e as paredes do forno na
superfície interna da janela).
5. A troca radiativa entre a superfície interna da janela e as vizinhanças é desprezível.
6. Cada plástico é homogéneo e tem as
mema:
cavidade do forno
.1.
Tu, = 400°C
hi - 25W/m2.K
ÂA==0,15W/m-
ka = 0,08W/m-
•K, T. =25°C)
Análise: pode-se esquemaíizar o circuito íé
calor está associada à convecção na su^
radiação na superfície interna. Assim, o eira
verificando que a resistência ao fluxo (
externa, à condução, e à convecção
e as resistências têm a seguinte forma:
tt \~ ^W,
Uma vez que a temperatura da superfície externa da janela (Ts,o) é dada, a espessura da
janela pode ser obtida aplicando-se um balanço de energia a esta superfície, isto é,
E^ = È^ , Assim, a taxa de energia afluente é igual à taxa de energia efluente.
Com Tw = Ta e usando a equação (3.19): £'^ = ç ==
e pela equação (3.8); E^ = q = hg • A s,V ^ ro
resistência térmica
uma resistência
superfície da janela, e as
total entre a cavidade do forno e a superfície externa da parede inclui
paralelamente à
+ ^. ^A _j_ -^tí
k^Â k^A
+-A~+
i..+^ k^
as expressões ao balanço üe energia, vem;
a ï s.ff
ï,ff a m
a " s.ff
+—3-+
f^2+6,67L^ +6,
+
Igualando (I)
Uma vez que
Comentados:
resposta temi
necessário a
máxüno possível
(n), temos que LA = 0,0418m
.s = 2LA ^ 0,0209 m, L = LA + La = 62,7 mm
operação de auto limpeza é um processo transiente, no que se refere á
da janela. E possível que não se aímja o regime permanente no tempo
>eza. No entanto, as condições em regime permanente indicam o valor
de Ts,ff e por isso são bem apropriadas para o cálculo do projeío,
A análise da condução até agora, foi realizada usando-se a abordagem padrão, onde
a equação da condução do calor foi resolvida com o intuito de se obter a distribuição de
temperatura (equação 3.3). Depois, mediante a Lei de Fourier, foi obtida a taxa de
transferência de calor (equação 3.4), Uma outra abairoação, porém, pode ser usada no caso
das condições que se está tratando, ímagme a condução no sistema mostrado na Figura 3.5,
onde verifica-se que, em condições de regime permanente, sem geração de calor e sem
constante independente de x, onde para qualquer elemento diferencial (bc, q^ = ^éx-
Naíurabneníe, esta condição é uma consequência da conservação da energia e deve
valer mesmo quando a área A(x) variar com a posição, e a condutividade térmica variar
com a temperatura k(T). Além disso, mesmo quando a distribuição de temperatura for
bidimensionaí, variando em x e y, muitas vezes é razoável desprezar a variação em y e
admitir uma distribuição unidimensional em x. Nestas circunstâncias é possível operar
exclusivamente com a Lei de Fourier para efeíuar a análise da condução. Em particular,
55
Superfície Adiabáíica
Qx+dx
Xo
Figura 3.5 - Sistema com uma taxa de transferência de calor constante
Considere a Lei de Fourier (equação 2.1), aplicada ao sistema da Figura 3.5. Embora não
tenhamos conhecimento do valor de q^, ou da forma de T(x), sabe-se que qx é uma
constante. Então pode-se exprimir a Lei de Fourier na forma geral:
(3.21)
A(x,
A área da seção reía pode ser uma função conhecida de x, e a condutividade térmica do
material pode variar (de maneira conhecida) com a temperatura. Se a integração for
realizada desde um ponto xo, no qual a temperatura To seja conhecida, a equação resultante
proporciona a forma funcional de T(x). Além disso, se a temperatura T^= Tj, em x = xi for
também conhecida, a integração entre xo e Xi fornece uma expressão que permite o cálculo
de qx. Obsen/e que se a área A for constante e se Â- for independente da temperatura, a
equação (3.21)se reduz a
(3.22)
onde Âx^xj-xo e
Muitas vezes é preferível resolver os problemas de difusão de calor através das formas
integradas das equações das taxas de difusão. E preciso ter bem claras as condições limites
que permitam a transferência unidimensional, em redime permanente^ sem geração de
Exemplo 3.2
O diagrama mostra uma seção de um tronco de cone empíroceram. A seção reta é
circular, com diâmetro D =: ax, onde a = 0,25, A base menor está em Xi ^ 50mm e a base
Iïïaior emx2 = 250mm. As temperaturas terminais são Ti ^ 400K e Ts ^ 600K, enquanto a
superfície lateral está bem isolada.
56
Ï2== 600K ^| Ti = 400K
l. Deduzir uma expressão para a distribuição de temperatura T{x) em forma simbólica,
admitindo-se condições unidimensionais. Esquematizar a distribuição de temperatura.
2. Calcular a taxa de transferência de calor qx através do cone.
Dados; Condução num tronco de cone circular com o diâmetro D = üx, com a = 0,25.
Incógnitas:
l, Distribuição de temperatura T(x).
2. Taxa de transferência de calor qx
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente
2. A condução é unidimensional na direçãox
3. Não há geração interna de calor
4, As propriedades são constantes
Propriedades: Tabela A2, piroceram (500K): k = 3,46W/m-K
Analise:
l. Uma vez que a condução é unidimensional, em regime permanente e sem geração interna
de calor, a taxa de transferência de calor qx é uma constante independente de x. Então,
pela Lei de Fourier (equação 2. l) pode-se determinar a distribuição de temperatura:Com  =
Tt.D- TC-fí -X
, a separação das variáveis resulta em
TI. a -x
o de Xi
.2 j _ï
57
,e eic são
2- ^<u,
(I)
2 ~ ^1
n •aí 'k ^Xj x.
Resolvendo em q^. ^,
l ~ s-2.
4- [{l/ x,)- (l/ x,)}
ibsíiíuiçâo de q^ na expressão (I), faz com que a distribuição de temperatura fique:
+J ' l * l ^2
Deste resultado, a temperatura pode ser calculada em função de x e a distribuição tem o
Uma vez que
'l \
n-a2 -x
(pela Lei de Fourier), observa-se que o
gradiente de temperaturas e o fluxo
diminuem quando x aumenta.
Xs
Levando-se em conta os valores numéricos no resultado precedente, para a taxa de
transferência de calor, vem:
nxïí/,25}' x J, 40 x
4x
t, ou seja, a
i aumenta, a hipótese da uiúdimensionalidade f
fica mais fraca à medida que a variação da área
com a distância.
cilíndricos e
umca
em
calor, ou
têm muitas vezes gradientes de temperaturas numa
isso, ser analisados como unidimensionais. Além disso,
sníe sem geração de calor, estes sistemas podem ser
padrão, a partir da forma apropriada da equação da
a partir da forma apropriada da Lei de Fourier, Nesta
pelo método padrão e sistemas esféricos pelo outro.
3.3.1 -O Cilindro
Um exemplo comi
fluidos em
Fluido frio
o cilindro oco cujas superfícies interna e
diferentes (Figura 3.6).
estão
^,2)ls-2 ) Fluido quente
(T..,,h,)
ri
s, l
s.2
sJ
® J ï "Í 's,l <o,2ï "2
tj2-KTjL 2nkL h^Ttr^L
Figura 3.6 - Cilindro oco com condições superficiais convectivas.
permanente sem geração de calor, a forma apropriada da equação
r é (equação 2,20):
59
(3.23)
.,( .)é
3.23 pode ser isíí
'r
s0 <a s,2
ll'2.
+ (3.26)
.o 3.26) for agora usada com a Lei de
Fcxmer (equação 3.24), obíém-se a segumte expressão para a taxa de transferência de calor
(3.27)
'3/'l.
'2!°Ï.
(3.28)
Esta resistência aparece no circuito em série da Figura 3.6.
qr ser independente de r, o resultado anterior poderia ter
alternativo, ou seja, mediante a integração da equação (3.24).
Considere agora o sistema composto da Figura 3.7,
que em virtude de
mediante o método
l ía(r^/^) lia(r
AiSfff-iÍ, 2^1,
igura 3.7 - Distribuição num sólido cilíndrico composto
Lembrando como foi o tratamento
contato
parede plana composta, e desprezando as resistências
erência de calor pode ser exprimida como:
6i
1- + '1- ln\ '2 | + '1 ln\ 's S + " 1-
h ^A Vï) ^8 lrj kC
^ \+'J
(3.30) define U em termos da
arbitrária, e o coeficiente global pode também ser definido em
(3.31)
composto. Esta
termos de Á4 ou
Ï^Ï ~ ^ Z-rx3 ~" ^ SíiÍ (3 32)
e as formas particulares de V^ de £/j, e de Ü4 podem ser inferidas da equação (3 29),
presença de efeitos competitivos associados ao aumento da espessura de um
sugere a possível existência de uma espessura óíima do isolamento em sistemas
resistência condutiva aumente com o acréscimo de isolante,
em virtude do aumento da área da superfície externa
de isolamento que minimiza a perda térmica graças á
à transferência de calor. Resolver esta questão
o
tubo de cobre, de paredes delgadas e raio r», é usado para transportar um
Ígerante a baixa temperatura, numa temperatura T;, menor que a do ambiente a T®,
tomo do tubo. Há uma espessura ótíma à camada de isolante aplicada ao tubo'?
o resuiíado conseguido mediante o cálculo da resistência térmica total por
comprimento num tubo de lOmm de diâmetro, com as seguintes espessuras
isolamento: 0, 2, 5, 10, 20, 40Tnm. O isolamento é constituído por vidro celular cujo
raio r, e a
do ar
, a ser
as:
ótima que minimizaria a taxa de
A resistência térmica do isolamento com vidro celular de diferentes espessuras
62
Esquema:
- 5W/m2-K
Ar
tsotante, k
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente.
2. A transferência de calor é unidimensional na direção radial do cilindro.
3. A resistência térmica da parede do tubo é desprezível.
4. A troca radiativa entre a superfície externa do isolamento e ambiente é desprezível.
Propriedades: Tabela A. 3, vidro celular (28 5K, por hipótese): k = 0,055W/m'K.
Análise:
l. A resistência à transferência de calor entre o refrigerante e o ar é dominada pela
condução no isolamento e pela convecção para o ar. O circuito térmico é então:
Ín(r/r,)
2nk
onde as resistências condutiva e convectiva, por unidade de comprimento do tubo, são
dadas, respectivamente, pelas equações (3.28) e (3.29).
A resistência total, por unidade de comprimento do tubo, fica: R^ = LL+
27i • k 2n • r -
onde a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo é
Uma espessura ótima do isolamento estaria associada ao valor de r que tornasse mínima
q, ou máxima R w. Bste valor pode ser obtido pela equação
ou r = —
Para determinar se o resultado anterior torna máxima ou mínima a resistência total, é
preciso calcular a derivada segunda. Então:
63
•2 sïl
'2 CT'
77 ï-77 ou, em r
Í ! 3. 2
>
Uma vez que este resultado é sempre positivo, r ^ k/h é o raio do isolamento que faz a
resistência total um mínimo, e não um máximo. Então, não existe uma espessura ótima
o resultado anterior faz mais sentido falar em termos de um raio crítico de
{rcr} ababco do qual q cresce com o aumento de r e acima do qual q diminui
@^=0, 'K, o raio cntico e r =
S r CF ^ rl
resistência térmica correspondente a cada espessura mencionada do Ísolaníe pode ser
e o resumo está na tabela seguinte:
Espessura do Ïsoêamenío
(r - ti) [mm]
o
2
5
6
10
20
40
Resssíêsicáas Térmicas
(r) [m]
0,005
0,007
0,010
Ter-- 0,011
0,015
0,025
0,045
Raioi
cond
o
0,97
2,00
2,28
3,18
4,66
6,35
de Isolaï
[m-K/W]
conv
6,37
4,55
3,18
2,89
2,12
1,27
OJ1
lento
tot
6,37
5,52
5,18
5.17
5,30
5,93
7,06
efeito do raio crítico fica revelado pelo fato de
resistência total que não é tão grande quando a resistência sem isolamento.
Se ^ < Tef, como neste caso, a resistência total diminui e a taxa de transferência de calor
aumenta com a adição de isolamento. Esta tendência continua a prevalecer até que o raio
externo do isolamento corresponda ao raio crítico, A tendência é desejável no caso da
igem de uma corrente eléírica através de uma fio metálico, pois a adição de
isolamento elétrico seria um fator auxiliar na transferência do calor dissipado no fio para
o ambiente. Inversamente, se ^ > r^ qualquer adição do isolamento aumentaria a
resistência total e propiciaria assim uma diminuição de perda de calor. Este
comportamento seria desejável no caso do escoamento de vapor de água através de um
tubo, quando se adiciona isolamento para reduzir a perda térmica para o ambiente.
3. Nos sistemas radiais, o problema de redução da resistência total mediante a utilização de
um isolamento só existe no caso de fios de pequeno diâmetro, ou tubos de pequeno
diâmetro, com coeficientes de convecção também pequenos, de modo que rcr > n- Com
um isolamento típico (k w 0,003W/m'K) e convecção livre no ar (h w lOW/m K), o
Ter == k/Sí w 0,003m. Este pequeno valor nos mostra que normalmente, r; > r^ sem que
haja necessidade de se levar em conta os efeitos do raio crítico.
4. A existência de um raio crítico ocorre quando a área de transferência de calor se altera
na direção da transferência, como é o caso da condução radial num cilindro (ou numa
esfera), Numa parede plana, por exemplo, a área perpendicular à direção do fluxo de
calor é constante e não há espessura crítica do isolamento (a resistência total sempre
aumenta com o aumento da espessura do isolamento).
3.3.2-A Esfera
Considere a aplicação do método alternativo de análise da condução numa esfera
oca (Figura 3.8),
Ï"ÏER3ï,'
ÍEiiï^;^
%i;;Stu4iiI
A!Í:SW;ÍiÍL;f
?.+
' s,2
s,l
Figura 3.8 - Condução numa casca esférica.
No caso de condução unidimensional em regime permanente sem geração de calor, a
conservação de energia exige que, no volume de controle infinitesimal da figura, se tenha
qr = qr + ar. A forma apropriada da Lei de Fourier é
(3.33)
T^.i
s,3 "* s,2
66
Esquema:
Suspiro
Ar
^^
^=300K
20W/m2'K
Vaso esférico de paredes delgadas
(rj = 0,250m)
Superfície externado isolamento
(rs = 0,275m)
Nitrogénio liquido
cc.l
p = 804kg/m3
hfg = 200kJ/k^
Hipóteses;
l. As condições são as de regime permanente.
2. A transferência de calor é unidimensional na direção radial,
3. A resistência à transferência de calor através da parede do vaso, e desta para o
niírogênio são desprezíveis.
4. As propriedades são constantes.
5. A troca radiativa entre a superfície externa do isolamento e o ambiente é desprezível.
Propriedades: Tabela A.3, pó de sÍlica evacuado (300K): k = 0,OOl7W/mK.
Análise:
l. O circuito térmico envolve resistências condutiva e convectiva em série cuja
representação é dada como se segue:
co, 2
o-J'
w, l
L/,c<wv it,coitd
onde pela equação (3.36), R^^ =
e, pela equação (3.9), R,^ =
'J '2
Então, a taxa de transferência de calor para o niírogênio líquido fíca:
ia,2 ^ w,l
'l/4n. k^l/r,)- (l/r,)]+ [l/(4n •h. rj
Assim.
o7
+
\02+Ô,í
superfície
r, ^u»u JL^ — A^^- —
2x
i,5Jx
l. «
'/
3 _
,ia l J/s ou3.37). Se a
ocorrer miif&rmemeïste num meio de volume K, a taxa de geração volumar [W/m ] é então:
(338)
vasos de pressão, etc.), oia
reïïíe. E bom lembrar
r, ou em consequência
ocorrem no interior do meio. Evidentemente, as
(haveria um sorvedouro de energia térmica),
de ligação química. Finabneníe, é possível a
energia térmica em virtude da absorção de
r, por exemplo, em virtude de raios gama serem
um reator nuclear (revestimento, blindagem
radiação visível ser absondda num meio
geração de energia não se confunde com a
3.4.1 -A
Considere uma parede pi
(q é constante) e
ana na qual há
superfícies
i, a forma a^
uniforme de energia por unidade de
a T,j e 7t,2 (Figura 3.9a). Com
da equação da condução do calor,
|uação 2.16) é
(3.39)
+C,x+C, (3.40)
onde Ci e Q são constantes de integração. Com as condições de contorno dadas.
I, l s,3 •
Assim, as constantes podem ser calculadas e têm a forma
s,3 Jïï,J •;; . Jls,l ' JLs,2
Neste caso a distribuição de temperatura é
s,2 ^ s,l
+
s,l ~r s s, 2
(3.41)
69
s,l '-
^/l\/i\/h
W,l) fil
(a)
uu
w,2) "2
m
uu
A^^^
^^^
Figura 3.9 - Condução numa parede plana com geração uniforme de calor; (a) condições de contorno
assimétricas; (b) condições de contorno simétricas; (c) superfície adiabática no plano mediano.
O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação (3.41) e
a pela Lei de Fourier, Observe, no entanto, que com a geração de calor, o fluxo de calor
passa a depender de x.
O resultado precedente fica simplificado quando as duas superfícies são mantidas a
uma mesma temperatura, (Ts,i ^ Ts,2 s Ts)< A distribuição de temperatura é então simétrica
em relação ao plano mediano (Figura 3.9b), e dada por
^T. (3.42)
temperatura máxima ocorre no plano mediano;
^'L2
(3.43)
e neste caso a distribuição de temperatura (equação 3.42) pode ser exprimida como
(3.44)
s ^ O
fx=ff
Para usar os resultados
entanto,
adjacente à
pode ser deduzida
superfície
(Figura 3.<
de energia, dado pela equação (l 12),se
s ~ va
70
da Figura 3.9b, o
ser representado pela superfíci
face {x = ff) e mantidas a uma temperatura
temperaturas superficiais F, devem ser
mum é aquela em que se conhece a temperatura de
io Ts. Faz-se necessário relacionar T, a T^. Esta
balanço de energia na superfície. Consideremos a
fFigura 3.9b), ou da parede plana isolada
as equações de taxas apropriadas, o balanço
(3.45)
\x-=L
4- (3.46)
calculada a partir do conhecimento de Tw, q , L e k.
anulada pela
fronteira. A
l,
(3.46) íambàn pode ser deduzida por um balanço global de energia na
Figuras 3.9b ou 3,9c. Por exemplo, em relação à superfície de controle em
(Figura 3.9c), a taxa de geração de energia no interior da parede deve ser
Ka de saída de energia da parede, em consequência da convecção na
(l. Ï a) se reduz a
(3.47)
(3.48)
(3.48) em r,, chega-se á equação (3.46)
equação (3,46) pode ser combinada com a
vulcão de temperaturas, que fica então
q, L^ k, h, e Ta,. O mesmo resultado pode ser
1.45) como condição de contorno, a fim de se
(3.42) afim de se
em termos das
obtido direíameníe
71
Exemplo 3.5
Uma parede plana é composta de dois materiais (Â e B). A parede de material A tem
uma geração uniforme de calor q ^ 1500kW/mJ, HA ^ 75W/m-K e espessura LA = 50mm. A
parede de material B não tem geração de calor, ka = 150W/m-K e espessura LB = 20mm. A
superfície interna do material A está bem isolada, enquanto a superfície externa do material
B está resfriada por uma corrente de água com Too =30°C e h ^ IkW/m -K. (l) Fazer o
gráfico da distribuição de temperatura na parede composta, em regime permanente. (2)
Determinar a temperatura To da superfície isolada e a temperatura Tj da superfície resfriada.
Dados: A parede plana de material  tem geração interna de calor, está isolada numa face e
limitada na outra face por uma segunda parede de material B, que não tem geração de calor
e está sujeita a resfriamento convectivo.
Incósnitas:
l. O gráfico da distribuição de temperatura , em regime permanente, na parede composta.
2. As temperaturas nas faces interna e externa da parede composta.
Esquema;
^
Isolamento
qA::=ï500kW/m3
kA = 75W/m.K
St
B
i^j^
iSïSii
íí^xíy
\°i
00
h= lkW/m2K
\ ^ ^ A
^-0[W/m3]
^=150W/m-K
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente.
2, A condução é unidimensional na direção x.
3. A resistência de coníato entre as paredes é desprezível.
4. A superfície interna de  é adiabática.
5. Os materiais^ e B têm propriedades constantes.
Análise:
l. De acordo com as condições físicas descritas, a distribuição de temperatura na parede
composta tem as seguintes características, conforme o gráfico abaixo;
73
Portanto: T^30+\ -r^L +
Da equação (III):
xJf,5-iíTxü,
x^, +m= 25 +
Comentários:
l. O material A, no qual há geração de calor, não pode ser representado por um elemento
do circuito.
VL.~CO?~cww _
ï-
l A 2 Jlïcofid,B
3.4.2 - Sistemas Radiais
A geração de calor pode ocorrer em diversas geometrias radiais. Considere o
cilindro comprido e maciço da Figura 3.10, que pode representar um fio condutor de
corrente elétrica, ou um elemento combustível num reator nuclear.
Fluido frio
Figura 3.10 - Condução de calor num cilindro maciço com geração unübrme de calor.
Em condições de regime permanente, a taxa de geração de calor no interior do cilindro deve
ser igual à taxa de transferência convectiva de calor para um fluido em movimento na
superfície do cilindro. Esta condição permite que a temperatura superficial seja mantida num
valor fixo (Ts).
Para determinar a distribuição de temperatura num cilindro, ínicia-se com a forma
apropriada da equação de condução do calor. Coma condutividade térmica k constante, a
equação (2.20) se reduz a
^. JL = (3.49)
74
•^c, (350)
Repetindo a integração, a solução geral para a distribuição de temperaturas fica
r)+ (3 51
./ e €2, usamos contorno
. No cili
a equação (3,51) leva a
'^'T.+^-r.
, o
condição
(3.52)
-,\+T. (3.53)
a temperatura no eixo equação (3.53) e dividindo esta equação pelo seu
na forma adimensional
(3.54)
onde Ts é a temperatura no eixo. Evidentemente, a taxa de transferência de calor a qualquer
distância do eixo pode ser calculada pela equação (3.53) e pela Lei de Fourier.
ou
-f- (3.55)
75
O raciocínio anterior pode ser usado para se obter a distribuição de temperatura em
esferas maciças, e em cascas cilíndricas e esféricas, com diversas condições de contorno
Considere um tubo comprido sólido, com um isolamento no raio externo ro e
resfriado no raio interno n, com uma geração uniforme de calor q [W/m ] na parede,
l Determinar a solução geral da distribuição de temperatura no tubo.
2. Numa certa aplicação, há um limite na temperatura máxima admissível To na superfície
isolada {r = fe}. Determinar as condições de contorno apropriadas para determinar as
constantes arbitrárias que aparecem na solução geral
3. Determinar a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo.
4. Sendo dísponívei umrefrigerante na temperatura T», deduzir uma expressão para o
coeficiente de convecção que teria que existir na superfície interna a fim de ser possível a
operação na temperatura To, com a taxa de geração q
Dados; Um tubo, com geração uniforme de calor na parede, está isolado na superfície
externa e resfriado na superfície interna.
íncóemías;
l. A solução geral para a distribuição de temperatura F(r),
2. As condições de contorno apropriadas e a forma correspondente da distribuição de
temperatura.
3. A taxa de remoção do calor.
4. O coeficiente de convecçâo na superfície interna.
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente,
1. A condução é unidimensional na direção radial,
3. As propriedades são constantes.
4 A geração volumétrica de calor é uniforme
5 A superfície externa é
76
Esquema:
Analise:
l. Para se determinar T(r), é necessário resolver a forma apropriada da equação da
condução de calor (equação 2.20). Nas condições descritas, esta expressão se reduz à
equação (3.49), e a solução geral é dada pela equação (3.51). Então, esta solução se
aplica não só a uma casca cilíndrica, mas também a um cilindro maciço (Figura 3.10).
2. São necessárias duas condições de contorno para calcular Ci e G, e neste problema é
conveniente especificar as duas condições em ro. Invocando o limite de temperatura
mencionado,
: T, (I)
(II)
e aplicando a Lei de Fourier (equação 3.24) na superíicie externa adiabáíica
Mediante as equações (3.51) e (I), segue-se que
r»2+ ra)^ (III)
Analogamente, pelas equações (3.50) e (II)
r; 4- C', (IV)
Portanto, pela equação (IV),
(V)
•2 ~ -a0 (VI)
77
Retomando, com as equações (V) e (VI) na solução geral (equação 3.51), segue-se que
(VII)
da taxa de condução
Lei de Fourier,
B. + ^-r: (VTH)
em y,. Isto e, num
açao l lia), se
,2 --?
.3 _3
de controle em torno
i £' -£^ =<?, onde
Então,
(ÍX)
4. Com a conservação de energia, equação (1.12), na superfície interna, conclui-se que
OU TC *.' - r/O 'i l v" t ~ co
(X)
^uaçao vm^ ou seja, o
fazer o
e. Por isso,
em r = r;.
de Fourier na
calor está na
se que o fluxo
3, o sinal de qÁ^i}
negativa de r. No
ï calor ocorre para fora
se q CM», em termos de
, ou
condução no interior
ambos) entre
na Figura 3.11
suas fronteiras e também por
e as vizinhanças. Um
78
supemcie
Considere uma chapa plana, conforme a Figura 3.12a. Se Ts for fixa, há duas formas
-se aumentar o
>,
) ou
ou e
ou da bomba que se precisa para aumentar h, graças ao aumento da velocidade do fluido.
79
3.12b, verifica-se que existe uma
o aumento ás cie através
da cï
tem um sigmticativo
aumento da taxa de
uma condutividade
sua base e sua ponta,
3.
Figura 3.13 • Esquema de trocadores de calor típicos com tubos aletados.
seçao reta umí
aleta plana de seçâo reía variáveli (c) aleta anular; (d) alete piniforme
80
Uma aleta plana é qualquer superfície expandida ligada a uma chapa plana. Pode ter a área
da seção reía constante (a) ou variável (b) com a distância x à chapa. As seções reías
apresentam geometrias retangulares cujas áreas podem ser expressas como o produto da
espessura da aleía t pela largura w. Uma aleta anular (c) é aquela acoplada à periferia de
uma cilindro, e a sua seção reta varia com a distância radial ao eixo do cilindro. A área da
seção é dada pelo produto da espessura t pela circunferência ITO" . Em contrapartida, uma
aleta pimforme (d) é uma superfície expandida com uma seção circular. Ela também pode
ter a seção reta, uniforme ou não.
Numa determinada aplicação, a escolha de uma configuração particular de aletas
pode depender de considerações sobre o espaço, o peso, a fabricação e o custo, e também
sobre a forma em que as mesmas reduzem o coeficiente de convecçao na superfície e
aumentam a perda de carga associada ao escoamento sobre elas.
3.5.1 - Uma Análise Geral de Condução
Na análise de condução interessa-se em saber a extensão da melhoria da dissipação
de calor de uma superfície para o fluido circundante que se pode conseguir com uma
superfície expandida, ou com um a configuração aletada, Para se determinar a taxa de
transferência de calor associada a uma aleta, deve-se obter inicialmente, a distribuição de
temperatura ao longo da aleta. Conforme se fez o com os sistemas anteriores, baseia-se por
um balanço de energia num elemento infinitesimal apropriado,
Considere a superfície expandida da Figura 3.15. A análise fica mais simples quando
se faz algumas hipóteses. Admitem-se as condições de condução unidimensionais na direção
longitudinal (x), embora a condução na aleía seja, na realidade, bidimensional. A taxa de
convecção da energia para o fluido, em qualquer ponto da superfície da aleta, deve ser
equilibrada pela taxa de afluência de energia nesse ponto, provocada pela condução na
direção transversal (y,z). No entanto, a aleía na prática é delgada e as variações de
temperatura na direção longitudinal são muito maiores que as na transversal.
t&4<—l ^wm
'~Y
/f
/ ^¥^-A,^
/ ã:^S/
v
energia numa
;S (J
+
Í4-^feA
ta chstnbmçao de temperatura aparece esquer
83
redução na transferência condutiva de calor qx(x)
provocada pe!as perdas convectivas contínuas na superficie da
transferência de calor pela aleta ^ pode ser estimada
ambos com a utilização da distribuição de temperatura
(Figura 3.17). O procedimento mais simples envolve a aplicação da Lei de Fourier à
isto e:
(3.71)
senh{ynL)+ (k/(mk)) • cosk[m(L - x)]
+
(3.72)
Por outro lado, a conservação da energia afirma que a taxa de transferência convecíiva
de calor pela aleta deve ser igual à taxa de condução através da base desta. Assim, o
outro procedimento para o cálculo de ^é:
= ^h-[T(x)-T^]dA, ou ^= J^fx^ (3.73)
onde As é a dreüf superficial total da aleta, inclumdo a área da ponta, A entrada da
equação (3.70) na equação (3.73) levará à equação (3.72),
A segunda condição corresponde à hipótese de a perda térmica convectiva pela ponta
poder ser tratada como adiabáíica e:
(3.74)
x=L
Entrando com a equação (3.66), e fazendo a divisão por m, obtém-se:
mL
>-se
os resultados na
Usando-se esta expressão com a equação (3.69), para resolver em C? e €2, e levando-se
(3.66), obtém-se:
(3.75)
Com esta distribuição de temperatura na equação (3.71), a taxa de transferência de
calor peía aleta fica então:
^c) vb (376)
(C) Como no caso anterior, é possível se ter a distribuição de temperatura na aleía e a taxa
^ e
'L! v b i+
ï ^ L com
(3.77)
(3.78)
(3.79)
(3.80)
Transferência convectiva -x]\+
cos^nL)^-{hl(ï
(3.^
(3.75)
ih(mL}+ {h/(mk))'cosh{mL)
:h{mL}+ [h/(mk)}- senh{mL)
(3.72)
ígh{mL) (3.76)
Temperatura fixada
(3,77)
'L!vb. (3.78)
Aïeta infinita (L —> w)
e— (3/ (3.i
comportamento térmico de uma aleta fíca bem mais
Nesses casos, é necessário manter a
da equação (3.61), e as soluções não tem mais a
lês. O desenvolvimento dessas soluções
;vo deste texto,
emplo 37
25mm, muito comprida, tem uma extremidade
a 100 C. A superfície da barra está exposta ao ar ambiente a 25°C, com um
coeficiente de transferência convecíiva de calor de lOW/m K.
l. Quais são as perdas térmicas das barras consímidas em (a)cobre puro e (b) aço
2. QuaÍ deve ser o comprimento das barras (a) e (b) para que elas possam ser consideradas
, üUUlpllUÍl, CÂpUSLcl <1\J ÍU ÏHllUlClltC.
cobre e numa outra de aço inoxidável.
que possam ser consideradas infinitamente longas.
n-ioo°c
2?-0,025m /Ar ^=25°C^
k= lOW/m2-K
_F—^
L—> QO
ao longo
como
ia de
Tabela A.1, cobre [T = (Tb + T^/2 - 62,5°C « 335 K]: ^ = 398W/mK,
Tabela A.1, aço inoxidável, AISï 316 (335 K): k = l4W/m-K,
equação (3.80), a perda de calor é q^ =M ^^(h-P'k-A^)-Q^. Então, temos
tara o cobre:
q^ = 70 x (71 x Q,025)x 398 x ^(^,02jy x (J<?<? - 25) .-. q^ = 2^W
o aço inoxidável;
q = S0x(nx0,025)xl4y \n-(Q,025}2 \x(lff0-25) :. q^ =5,5W
2. Uma vez que não há perda térmica na ponta de uma barra infinitamente comprida, pode-
se ter uma estimativa da validade desta aproximação mediante a comparação