SEM_346_Trocadores_de_Calor

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Universidade de São Paulo
Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia Mecânica
SEM 346
TROCADORES DE CALOR
(TEORIA)
Prof. Dr. Reginaldo Teixeira Coelho
Eng, Aldo Braghiní Júnior
Eng. André João de Souza
São Carlos, fevereiro de 1997
(Revisada em abril de 1998)
Exemplo 1.1......................................................................................................................................... 6
1.2.2 - Coïwecçao........................................................................-....................................................... 7
ÏQ
12
AE5ÏÏGÊNCIADA CONSERVAÇÃO DAËNEIiGIA................................................................................. 13
13
.Í.3-.-............................................................................................................................ 16
. Balanço ^eenergic
7.^........-.....-..........„..........-...............................-.......................................................„-... Ï8
20
ïcíc^P^ms-io^........................................................................................................................ 20
ÏWÇAQ A CONWÇÂO BE CALOR_..»..»...^.»..^.^_„.„.._ 22
A EQÜAÇÀ? DA TAXA DE CONDUÇÃO „......................................................................................... 22
>^LIEDADES TÉRMICAS DAMATÉRIA „...„„.„....„.........„.............„........................................25
2.2.1 - Conâutividacie Térrmca..................................................................................,,....................... 25
2.2.2 - ChitrcïsPropneeíadesReÍevímtes............................................................................................. 30
Exemplo ZL..................................................................................................................................^
A EQUAÇÃO DA Dl
Exemplo.
.FERÊNC1AS
EECÍCtOS PROPOSTOS.
•3.
SAE£DE:
. Distribmçâo <
-Resistência:
3.1.3-Â
3.1.4 -Resistência de Cfmtaío......................................................................................................... •-. 49
•3J......................................................................................................................^^^^^
3.2 - ABORDAGEM DIFERENTE NA ANÁLISE DA CONDUÇÃO ...........,..,...,,......-..-----• ^
Exemplo 3.2........................................................................................... •...... •-• • •• •-- ••••. • ••-• •• • •• •• • •• ••-•• • • ^-5
3.3 -SISTEMAS RADIAIS. ,..,.. ............................................................... ................................................ -58
3.3.1 - O Cilindro...................... .................................................................................................... 58
Exemplo 3.3.......................................... ......... ..... ............ ...... ...................................................... 61
3.3.2-Â Esfera........................................ ............................... .,.........,.........,.,.....,...,....,,.,,,........... 64
Exemplo 3. ^.„......................................................................................................,.,,,......................... 65
3.4-CONDUÇÃO COM GERAÇÃO DE ENERGIA TÉRMICA........................................................................... 67
3.4.1 -A Parede Plana...................................................................................................................... 68
Exemplo 3.5....................................................................................................................................... 71
3.4.2 -Sistemas Radiais..................................................................................................................... 73
Exemplo 3.6....................................................................................................................................... 75
3.5-TRANSFERÊNCIA DE CALOREMSuPEItFÍCffiS EXPANDIDAS............................................................... 77
3.5.1 - Uma Análise Geral de Condução............................................................................................ 80
3.5,2 -Aíetascom aArea de SeçãoReta Uniforme............................................................................ 81
Exemplo 3.7.^.................................................,...........—.................................................................... 85
3.5.3 -Desempenho da Aleta.............................................................................................................. 87
3.5.4 -Eficiência Global da Superfície..,..,.................................................. •-......................... •-. •-....... 91
Exemplo 3.8....................................................................................................................................... 92
REFERÊNCL4S.„„.................................................................................................................................. 94
EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................................................. 95
rÂFTTüíX) 4 - ÏNTOOmTÇÃO À CONVECÇÃO ..««»..»».«...^...........^........»^...»^™».....».«... 99
4.1-OPROBLEMA DA TRANSFERÊNCIA CONVECTIVA.............................................................................. 99
Exemplo 4.7...-.-...........................—.........-..........................,........-.-.-.-..-......-...... -,........-................^Ü^
4.2 - AS CAMADAS LlMTFES DA CONVECÇÃO......................................................................................-...103
4.2.1 -A Camada Limite Cinética.....................................................................................................ï 03
4.2.2 -A Cama.da Limite Térmica....................................................................•..................-...---.-.--.--105
4.2.3 -Â Camada Limite de Concentração ........................................................................................106
Exemplo 4.2...........................-............-..•••^••••••••-••••••••-••• • ••••••••••••••••••••••••••• ••••••••• ••—••••• ••••-•••••-•-••• 107
das Camadas Limites........................................................................—......--...•....109
.110
.111
mn
por uma diferença de íempçraíura eartre o sistema e a vizinhança, esta não pode ser chamada
e talar em calor de mn sistema ou em um sasíema, o que
neste
 íramferência de calor (ou ssmplesmeníe calor) é o transi lo de energia provocado
>
"s>'^
Fluido em
movimento
mais energéticas de uma
expÏica-se mais facilmente considerando-
Consideremos um gás no qual
existe um gradiente de temperatura e admitamos que não há movimento de massa, O gás
lê ocupar o espaço entre duas superfícies que se mantém em temperaturas diferentes,
1.2,
Tl>T:
^^§^.....
^0
de calor por condução e a difusão da energia
atividade molecular.
A temperatura em qualquer ponto está associada à energia das moléculas do gás nas
vizinhanças deste. A energia se relaciona ao movimento de translação aleatório das
e de vibração das mesmas. Além disso, as
energias moleculares mais altas quando as
i~no com frequência, pode ocorrer a
^étíca para a menos energética, ^a presença
de um gradiente de temperatura, a transferência de energia pela condução deve ocorrer na
direção da diminuição de temperatura. Esta transferência fica evidente na Figura 1.2. O
plano hipotético em Xy está sendo sempre cmzaáo por moléculas que vêm de cima e de
baixo, em virtude do movimento aleatório das mesmas. No entanto, as moléculas que vêm
de cima do plano estão associadas às temperaturas mais elevadas do que àquelas das
moléculas que vêm de baixo; neste caso, deve haver uma transferência líquida de energia na
direção dos x positivos. Pode-se dizer que a transferência líquida de energia provocada pelo
o cabo de uma colherinha de metal imersa numa xícarade café fica quente em virtude da
num dia de inverno, há perda significativa de calor de um aposento aquecido para a
em íennos da eqísQçâo
(1.1)
térmica PkV/m'K1 e é caracíerísdca de o calor se transferir
1.3,
2 s I 2 -al
l Jí 3 — (1.2)
superfícies míema e exíeraa são
lê uma parede de 0,5m por 3,0m ?
fe ^ 1,7W/m.K
AnáMse: Como a transferência de calor através da parede ocorre por condução, o fluxo de
calor pode ser deíermmado pela lei de Fourier. Com a equação (1.2),
x 3,
l.
>S ' " TO 5
da camada limite.
nas vizinhanças
e o
A con'
ta corrente , no para o
calor é transferido
ao movimento
que o
e
externo à camada
do escoamento. Fala-se de convecçao
meios externos, como por exemplo,
atmosfera. Um exemplo é o da utilízaça'
classificada de acordo com a natureza
escoamento for provocado por
ou uma bomba, ou por ventos na
para provocar a convecçao
numa montagem áe placas de
livre (ou natural) o
originam das diferenças de
exemplo é o da transferência
convecíiva de calor que ocorre dos componentes quentes de uma montagem
placas de circuito para o ar quiesceníe (Figura l .5b).
l
às variações de temperaturas no
Escoamento forçado
Ar
Escoamento devido
ao empuxo
Componentes
quentes de placas de
circuito impresso
Bolhas
de ar
-^~\
/
*.,
Y
o
o .
/
(
o
a:oj
€
/
l
o
o
__°
(c)
/
^
f
o
í
/
-^-
Chapa
quente
Ar úmido Goticutas
de água
Agua fria
i'igur;s 1.5 - Processo de trsnsfèrência convectiva de calor por (a) convecçao forçada.
ra l,5b, o ar que entra em contato com os componentes sofre elevação de
que o ar
que o ar
is ího. gue vem
l,:
circuito, com o
Descreve-se o modo de transferência convecíiva de calor como a transferência de
icameníe, a que se transfere é a energia
convecçâo nos quais há também
!o e
ÍO € O
uma panela com agua
ície externa de um
ígura l.5c), ou pela
'., a ü^ua^uu ua s.a.A.a a.yiuyna.u.ís, 1,1^111 ci luiiiia..
(1.3a)
fície e do fluido, Ts e 7^,
do Resíhamento de Newton ç
ou o coencïente
das condições na camada
os
conhecido (Tabela 1.1).
11
e-<r (1.5)
onde £ é uma propriedade radiativa da superfície, a emissividade. Esta propriedade, cujo
valor está no intervalo Ô < s < l, indica a eficiência da emissão da superfície, comparada
com um radlador ideal. Inversamente, se houver incidência de radiação sobre uma
superfície, uma parcela será absorvida, e a taxa na qual a energia é absorvida pela unidade
de área superficial pode ser calculada mediante o conhecimento de uma propriedade
radiatíva da superfície denominada absortividaâe a, isto é:
?*="<. (1.6)
onde Ô <. a < l. Enquanto a emissão de radiação reduz a energia térmica da matéria, a
absorção aumente esta energia.
As equações (1.5) e (1.6) determinam a taxa na qual a energia radiante é emitida e
absorvida por uma superfície, respectivamente. A determinação da taxa liquida na qual a
radiação é trocada entre superfícies é, em geral, bastante mais complicada. Um caso
particular, no entanto, envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena superfície e
uma outra muito maior, que envolve completamente a superfície menor (Figura 1,6).
. Vteinhanças a' :Tv,
Troca
radiativa
líquida
ïr&á
Superfície de emissividade Ë
e área A na temperatura Ts
Transferência
convectiva de
calor
Figura 1.6 - Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças,
A superfície e as vizinhanças estão separadas por um gás que não tem efeito sobre a
transferência de radiação. Admitindo que a superfície tenha a=e (superfície cinzenta), a taxa
líquida da troca de radiação térmica entre a superfície e as suas vizinhanças, expressa por
unidade de área da superfície, é:
(1.7)
Nesta expressão, Â é a área da superfície, s é a sua emissividade e Tviz é a temperatura das
vizinhanças. Neste caso, a área e a emissividade das vizinhanças não influenciam a taxa
líquida de troca térmica. Em muitas aplicações é conveniente exprimir a troca líquida de
radiação térmica na forma:
12
í ~ VS
(1.8)
onde pela equação (l 7), o coeficiente de transferencia radiatjva de caiar kr é dado por
I ^ jl^;'V, ^ SVK
e não a
+
-T,J+E-a ï " vit
19)
wKv e igual ao
para este, simultaneamente (Figura 1.6). A taxa total de transferência de calor da superfície
(1.10)
o ar e as
superficial 200 C, e a emissividade 0,8.
de calor da superfície para o ar
da superfície do tubo por unidade
equação (4. i U), com
S ~ 00
x V, i
)+e.o.(r/-r^
}+Q,8-5,67^ÏÔ~
ser expressa de duas maneiras (isto é em °C ou K)
de temperaturas na taxa de transferência convectiva
em K quando se
com i w: e o
um valor mais moderado de Ty, e com valores
ser,
desprendo, O
pela equação (l .9), e nas condições do problema o seu valor é kr == l IW/m .K
oDietivos
ïíares. Por exemplo,
a taxa na
e da Transferência de Calor são, em grande parte,
de calor e uma extensão da termodmâmica,
é transportada Além disso, em muitas análises de
transferência de calor, a Primeira Lei áa Termodinâmica (Lei da Conservação de Energia)
, a região será
Uma vez
;, Ísío é, uma região do espaço limitada por uma superfic
podem passar energia e matéria. Nas aplicações deste
3n-esponde à existência de um volume estacionário e
volume de controle, é necessário especificar uma base de
ÍbiUdades de escolha. Uma vez que a primeira lei deve ser obedecida em
de tempo í, uma escolha envolve a formulação da lei
um equilíbrio entre todas as
corresponde á necessidade da primeira lei ser
15
os termos de energia incluem as taxas nas quais a energia térmica e a
de controle E^- e E^ A energia
ie entrar no volume de controle em virtude da conversão de outras
de energia, e a taxa em que ocorre
+ í l Ha)
A equação (llla) pode ser utilizada em qualquer mstcmíe de tempo. A outra opção
aphca-se ao intercalo de íempo Aí e se obtém pela integração da equação (1,11a) sobre o
's ~ ^^f (l.Ub)
quantidades de energia afluente e de energia gerada
Íe de energia acumulada no volume de controle,
efluente contribui para diminuí-la
'•cie, isto é, são
e de efíuência E^ e E^ são fenómenos
aos processos que ocorrem
é proporcional á área superficial. A situação mais
em virtude da transferência de calor pêlos modos
Numa situação que envolva o escoamento de fluido
-^ ® ^^f. a energia transportada pelo fluido para dentro
também é inclusa. Esta energia pode ser constituída por
/<
uma corrente
•R, com
(química, elétrica, eletromagnética ou
volumétrico, ou seja, acontece dentro do
ao volume. Por exemplo, uma reaçao
energia química em energia
energia térmica do volume de coníro!e Outra
térmica que ocorre no aquecimento de UTT
ï Num volume de controle, a energia
Ío á energia térmica gerada (libertada) no
em
de
e a
ir o processo físico de acumulação de energia com o de
;eração de energia possa
os dois processos são
ilação de energia
ismeníe, ao aumento!
cupa ò volume de
modificação na energia
>
;. Como é claro, nas
16
'ïtrico, mas está associado,
< 0}, da energia da matéria
;s de estado permanente, não
Um pedaço de gelo de massa M, na temperatura de fusão (Tf ^ O C) está dentro de
uma' cavidade cúbica de aresta W, A espessura das paredes da cavidade é L e a
condutividade térmica k. No instante t ï= 0, a superfície externa da parede fica na
temperatura Ti > Tc. Obter uma expressão para o intervalo de tempo necessário para fundir
completamente o gelo.
Dimensões, condutividade térmica e
Incógnita; Expressão do tempo necessária para
w
Mistura
gelo-água
Seção A-A
üí»SilS5^ããSi^aSfíSËàSüSí5Sü:
ySSSSSSQfSSSSSSi
são
j.
«
ím, a
em
17
permanece igual a [li
da parede é uma constante
l-£f
e:
ï-if
interior do volume de controle se deve exclusivamente
à conversão do sólido em líquido, A quantidade de
modificação, por unidade de massa do sólido, é o calor
latente de fusão hsf. Assim, o aumento da energia acumulada é dado por:
Fazendo-se as substituições na expressão da primeira lei, segue-se que:
^/
l -A/
complicações ocorreriam se o gelo estivesse inicialmente sub-resfriado.O
energia acumulada teria que incluir a variação na energia (interna térmica) sensível
necessária para fazer o gelo passar do estado sub-resíriado até a temperatura de fusão.
processo, mstalar-se-iam gradientes de temperatura no gelo,
Existem muitas oportunidades para se aplicar a conservação de energia á superfície
de um meio. Neste caso especial, a superfície de controle não inclui massa e nem tem
volume, conforme aparece na Figura 1.8.
Por isso, as parcelas de geração e acumulação, na expressão de conservação de
energia (equação l.lla) não são relevantes, e basta considerar os fenómenos de superfície,
Neste caso, a exigência da conservação fica:
n i2)
18
Mesmo que possa haver geração de energia térmica no meio, o processo não afeta o
balanço de energia na superfície de controle. Além disso, as condições da conservação
valem para as condições de estado permanente e de estado transiente.
rtfd
VI i
Vizinhança
Ffuido em
movimento
^
Superfície de controle
Figura 1.8 - Balanço de energia para se ter a conservação de energia na superfície de um meio.
Na Figura 1.8 aparecem três termos de transferência de calor na superfície de
controle. Na base de uma área unitária, os termos são a condução do meio para a superfície
de controle (q cwd), a convecção da superfície para um fluido (q conv) e a troca líquida de
radiação entre a superfície e as vizinhanças (q raii)- O balanço de energia assume então a
forma:
<1 conâ - <ï wnv ~ ^ rad =: Q (l ,13)
e podemos exprimir cada um dos termos de acordo com a equação apropriada (equações
1.2, 1.3ael.7).
Exemplo 1.4
Os gases de combustão, numa fornalha, estão separados da atmosfera ambiente e
das vizinhanças, ambas a 25 C, por uma parede de tijolo de OJ5m de espessura. O tijolo
tem condutívidade térmica de l,2W/mK e emissividade superficial de 0,8. Nas condições de
regime permanente, a temperatura da superfície externa é 100°C. A transferência convectiva
de calor para o ar adjacente a esta superfície é caracterizada por um coeficiente de
convecção de 20W/m K. Qual é a temperatura da superfície interna do tijolo?
Dados: A temperatura das paredes de uma fornalha, a espessura, a
a emissívidade da parede.
térmica e
19
Incóaniía: A temperatura da superfície interna da parede.
Esquema:
-T,-ÏOO°C
í: =0.8
Gases de
combustão
A:=l,2W/mK
f} . CDftd
L =0,1 Sm
<Í rad
-»— x
Hipóteses:
l, Condições de regime permanente.
2, Transferência de calor, unidimensional, por condução através da parede.
3. A troca radiativa entre a superfície externa da parede e as vizinhanças é uma troca entre
uma pequena superfície e uma grande superfície que a envolve.
Análise: A temperatura da superfície interna pode ser obtida mediante um balanço de
energia na superfície externa. Pela equação (l. 12):
•af ~ ^ef ~
e segue-se então, com base na unidade de área,
^ cond ~ ^ c ff nv ~ ff rad
ou depois de reordenado e substituído a partir das equações (1.2), (1.3a) e (1.7):
k. ^_^- ^h-ÍT. -T }+ e . cr. {T4 - T42-Ji[co/~r&'u'V2 -Jïw.
Portanto, com a substituição dos valores numéricos apropriados, tem-se:
+ &}\3734 -2984
-f-
+52Ü+
20
Comentários:
l. Observe que a contribuição da transferência radiaíiva de calor da superfície externa é
significativa. A contribuição relativa diminuiria, no entanto, com o crescimento de h e/ou
com a diminuição de T^.
2, Quando se fazem balanços de energia que envolvem trocas radiatívas e outros modos de
transferência de calor, é uma boa prática exprimir todas as temperaturas na unidade
Kelvin. Esta prática é necessária, já que a temperatura desconhecida aparece no termo
áa radiação e também em outros termos,
[l], ïncropera, F. P.; Wiíí, D. P., Fundamentos da Transferencia de Calor e Massa,
Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 1991.
[2]. Van Wylen, G.; Sonníag, R,; Borgnakke, C,, Fzmdamentos da Termodinâmica
Clássica, Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 1995,
1.1 - Através de uma seção de material isolante, com área de seçao reta de lOm e
espessura de 2,5cm, passa um fluxo de calor de 3kW. A temperatura na superfície
interna (quente) do material é 4l5°C e a condutividade térmica do material é
0.2W/m'K. Qual é a temperatura da superfície externa?
1.2 - As temperaturas das faces interna e externa
5mm, são 15°C e 5°C respectivamente. Qual
por 3m? A condutividade térmica do vidro é '
de uma janela de vidro, com espessura de
a perda térmica através da Janela de lm
L4W/m-K.
1.3 - Um chip quadrado de silício {k ^ 150W/m-K) tem aresta de 5mm e espessura Imm. O
chip está montado numa chapa que isola as suas faces laterais e traseira, mas expõe a
face frontal a uma corrente de resfriamento.
Refrigerante
21
Havendo uma dissipação de 4W nos circuitos montados na face traseira do chip, qual
deve ser a diferença da temperatura, nas condições de estado permanente, entre a face
frontal e a traseira?
1.4-0 coeficiente de transferência convectiva de calor entre uma superfície a 40°C e o ar
ambiente, a 20°C é 20W/m -K. Calcular o fluxo de calor que sai da superfície por
condução.
1.5 - O ara 300°C escoa sobre uma chapa plana de 50cm por 25cm. Se o coeficiente de
transferência convecíiva de calor for de 240W/m -K, determinar a taxa de
transferência de calor através de uma face da chapa quando a sua temperatura for
mantida a 40°C.
1.6 - Um chip isotérmico e quadrado, com aresta de 5 mm, está montado numa chapa que
isola termicamente as faces laterais e a face traseira, enquanto a face frontal fica
exposta a uma corrente de resfriamento a l5°C. A temperatura do chip, por
exigências de segurança e confiabilidade, não pode ser maior que 85°C.
Refrigerante
Se o resfriamento for constituído por uma corrente de ar, com o coeficiente de
convecção de 200W/m -K, qual é a potência máxima permissível no chipr? Se o
resfriamento for o de uma corrente de líquido, com coeficiente de transferência
convecíiva de calor de 3W/m -K, qual é a potência máxima permissível?
1.7 - Uma esfera refrigerada a água, com diâmetro lOmm e emissividade 0,9 está mantida a
80°C dentro de um grande forno a vácuo cujas paredes se mantêm a 400°C. Qual a
transferência líquida de calor entre as paredes do forno e a esfera?
1.8 - Considere as condições do problema (1.6). Com transferência de calor por convecção
para o ar, a potência máxima permissível no chip foi calculada como sendo de 0,3 5W.
Qual será o crescimento percentual da potência máxima permissível no chip se
também houver transferência de calor por radiação entre a superfície do chip e uma
grande superfície envolvente a 15°C? A face exposta do chip tem emissividade 0,9.
provocado por um gradiente
, ^íWü~;
isolada na superfície cilíndrica,
diferentes, com Ti > Tz. A
ïâo do x
. Desta forma,
a A T. Assim, temos que
23
continua válida. No
de A T, o valor de q i menor no caso do plástico
lê ser convertida numa
como a
térmica [W/m-K], é uma propriedade importante ao material, Ao
fíuxo de calor
(2.1)
(2.2)
-se que o sinal negativo é necessário, já que o calor se transfere sempre na direção
temperaturas decrescentes, e k ser um parâmetro positivo.
Lei de Fourier, escrita sob a forma da equação (2.2), mostra que o fluxo de calor
grandeza direcionai. Em particular, a direção de q^ é normal à seção transversal de
E. Ou, na forma mais geral, a direçâo do fluxo térmico sempre será normal à uma
ície com temperatura constante, denominada superfície isoïérmica. A Figura 2.2
q^f num sistema de coordenadas unidmiensioüal, quando
e negativo.
Pela equação (2.2) segue-se que qít é positivo. Observe-se que as superfícies
srmicas são planos normais á direção x. Sabendo que o fluxo de calor é uma grandeza
podemos escrever uma formulação mais geral para a equação da taxa de condução
(2.3)
ôy ôz
V é o operador tridimensional e T(x^y,z) é o campo escalar de temperaturas. Está
cito na equação (2.3) que o vetor fluxo térmico está na direção peq?endicular às
ïcies isoíèrmicas,
indica a direção do
esímtura
Nesta seção analisam-
respectivo
térmica.
2.2.1- Condutívidade Térmica
;, em geral,
sua vez. e maior
nos dois estados.
25
tà-mica independe da direção. Em virtude da Lei
cia condutiva de calor, as suas características
primeiros pnncipios; ao contrario, e
térmico; normal à superfície
Fourier é necessário conhecer a condutividade térmica dos
propriedade de trcmsporíe, proporciona uma indicação
energia através do processo de difusão. Tal propriedade
matéria (atômica e molecular) relacionada ao estado da
diversas formas da matéria, identificam-se os aspectos
comportamento, e apresentam-se valores típicos de
Pela Lei de Fourier, equação (2.6), a condutividade térmica é definida por:
ddo, o fluxo térmico de condução aumenta
o mecanismo físico associado à
condutividâde térmica de um sólido é maior
que a de um gás. Conforme a ilustração da
lê ser mais de quatro vezes maior que a
parte, às diferenças do espaçamenío
26
Espumas
Dióxido de
carbono
Níquel
Plásticos Gelo
Sólidos nâo-metâlicos
Fibras
isola nles
Óleos Água Mercúrio
Líquidos
Hidrogàiio
Gases
10- 10'
Zinco Prata
Metais Puros
Alumínio
Ligas:
Oxidos
10U 101 10'
Condutividade Térmica (W/m-K)
10'
;'a 2.4 - Domínio das condutividades térmicas de diversos estados da matéria
em temperaturas e pressões normais.
Pela concepção moderna de
elétrons livres e por átomos Íníerlig.
rede. Desta forma, o transporte de e
elétrons livres, e às ondas vibracion
condutividade térmica k é a soma
{k == ky + kl). Numa primeira
eléírica pe. Nos metais puros, com
Em contraste, nas ligas, que
desprezível. Nos sólidos não-
depende da frequência de Ínterações
espacial da rede tem efeito importa
ordenada) como o quartzo,
realidade, nos sólidos não-
muito grande e exceder os valores
A dependência entre k e a
sólidos metálicos e não-metálicos
Na Tabela A. l (sólidos metal
estão os valores de k de alguns
um tratamento mais detalhado da
estrutura dos materiais, um sólido é constituído por
idos numa disposição espacial periódica, denominada
nergia térmica se deve a dois efeitos: à migração dos
da rede. Estes efeitos são aditivos, de modo que a
componente eÍeírônica ke, e da componente de rede ki
>, ke é inversamente proporcional à resistividade
baixo, não é surpresa que k& seja muito maior que ki.
pe bem maior, a contribuição de ki para k não é
k é determinada principalmente por ki, a qual
entre os átomos da rede. A regularidade da disposição
sobre k{. Os materiais cristalinos (com rede bem
maior que os materiais amorfos como o vidro. Na
como o diamante e o óxido de berílio, ki pode ser
a bons condutores como o alumínio.
pode ser observada na Figura 2.5, no caso de
nas Tabelas A.2 e A.3 (sólidos não-metálicos)
técnica. A referência [l] apresenta
27
para os sistemas. Nos
i, o material sólido está
caracíenzam-se por uma
íoíâS), que depende muito de como o material sólido está ligado.
radiativas da superfície do material sólido, e da natureza e fraçâo volumétrica do ar ou do
Figsara 2.5 - Dependência entre a conduíividade térmica de alguns sólidos e a temperatiïra.
Quando se formam pequenos espaços vazios, ou ocos, mediante a adesão ou a fusão
iz rígida. Quando estes espaços
isolamento celular. Exemplos
lente os constituídos por
e, nos
as camadas é calculado a
desempenho, o
do ar nos espaços
E importante reconhecer que a transferência de calor através de qualquer sistema de
28
ar nos espaços vazios,
rËcies da matriz sólida (se a temperatura for
a leva em consideração todos estes processos, e os
escolhidos estão resumidos na Tabela A. 3 Mais
e que o
o
muito maior no estado fluido que no
)íico no primeiro do que no segundo
lo fluido é mais efetivo, Assim, a
Cinética dos Gases [4]. Por esta teoria,
proporcionai ao número de partículas
c, e ao percurso
entre duas colisões sucessivas),
x n-c -\
que c aumenta
com o
e com a
aumento de
da massa
Esta tendências
nas pressões normais, e a temperatura.
29
proporcionais direía e mdireíamente a
lente da pressão. Esta hipótese e
neste texto. Assim, embora os valores
atmosférica, ou na pressão de saturação
utilizá-los sobre um domínio muito
os mecanismos físicos para
[5]. Conforme mostra a Figur;
em geral diminui com a elevação
lo são mais
explicação da condutividade térmica não são bem
•a 2.7, a condutividade térmica dos líquidos não-
da temperatura, e as exceçoes notáveis são as da
.7 - Dependência entre a condutividade térmica de alguns líquidos nâo-metáJicos.
em condições saturadas, e a
líquido no estado
comuns
à pressão, exceto nas vizinhanças do ponto crítico
que a conduíividade térmica diminui com a elevação da
ndutividade térmica são em gerai tabelados em função da
saturado. As Tabelas A.5 e A.6 apresentam estes dados
como as
os são comumeníe usados em aplicações que exigem fluxos térmicos
nas usinas nucleares de potência. A condutividade térmica desses
i.. 7. Observa-se que os valores são muito mais elevados que os dos
sólidos não-meíálicos [6].
30
materiais. Estas são, em geral, denominadas propriedades íermofisicas e incluem duas
trcmsporíe e as
como a condutividade
cinemática (v),
incluem os coeficientes de taxas de difusão, como a condutividade térmica (^), no caso de
sistema, como por exemplo a densidade (p) e o calor específico (c?). Tais propriedades são
dos (meios
apresentam capacidades caloríficas comparáveis {p-Cp > IMJ/m -K). No entanto, pelas
a razão entre a e a
capacidade calorífica é uma propriedade importante denominada difuswidade. térmica es.
[m2/s]:
p-c,
lê mede a reiaçao entre as
t. Os materiais com a gr
térmico, enquanto aqueles com
do material conduzir e armazenar
,em rapidamente às variações do
spondem mais lentamente e levam
são conhecidas [7-9]. Numerosos exemplos de falhas nos projeíos de
e processos, ou de fracassos no atendiínento de especificações de
podem ser citados, devido às informações de má qualidade associadas à
escolha dos valores das propriedades mais importantes, usados na análise inicial dos
Uíeratira ou de
[10] podem ser
31
no programa
Ia das
iblicações com o intuito de se estabelecer
síermofísicas [11]
!.1
difusividade térmica CE é a propriedade de transporte que controla a condução
;. Calcular a para os seguintes materiais- nas temperaturas mencionadas, mediante
apropriados de Â, de p e de Cp do Apêndice A
puro a 300K.
puro a 700K,
c) carbeío de silício a 1000K,
d) parafina a 300K.
Dados; Defímção da difüsividade térmica a
Incógnitas: Os valores de a de alguns materiais em certas temperaturas.
(a) Tabela A. l, alumínio puro (300K)
p = 2702 kg/m'
Cp - 903 J/kgK
^=237W/m-K
p-c 2702x903
7, l x i-é .^2
) Tabela A. l, alumínio puro (700K);
p=r2702kg/m' a 300K
Cp = 1090 J/kg'K a 700K (por inte
k - 225 W/mK a 700K (por inte
ação linear)
ação linear)
•c 2702 x
\,Q^ÏQ^ m21 's
(c) Tabela A.2, carbeto de silício (1000K);
p=3160kg/m3 a300K
c^ 1195J/kg-K alOOOK
J^=87W/m-K a IOOOK
32
p-c.. 3160x1195
=2^x;rtí m2,
Tabela A.3, parafina (300K)i
p - 900 kg/m3
Cp = 2890 J/kg-K
k •= 0,020 W/m-K
as
u-<
icia das propriedades íermofísicas do alumínio
mencionadas. Por exemplo, no caso c
300K); por isso, as propriedades deste
lo carbeto de siïício
carbeto de silícso,
lem fortemente
2. A interpretação física de a visa
de calor (k) e a acumulação de
valor de a mais elevado, enqui
têm valores mais baixos de a.
proporcionar uma medida de relação entre o transporte
energia {p-Cp). Em geral, os sólidos metálicos têm um
os sólidos não-metálicos (a parafina por exemplo)
3, A interpolação linear dos valores daí
engenharia.
4. O uso da densidade em temperaturas
efeitos da expansão térmica, também
1 propriedades é, em geral, aceitávei nos cálculos de
baixas (300K) em lugar das mais elevadas ignora os
aceitável nos cálculos de engenharia.
ïomï
objetivo mais importante na análise de condução de calor é determmar o campo
num meio, resultante das condições impostas às suas fronteiras, ou seja,
saber a distribuição de temperaturas que representea variação desta no meio.
conhecida, o fluxo de calor em qualquer ponto do meio (ou na sua superfície)
calculado pela Lei de Fourier Podem ainda ser obtidas outras grandezas
a um sólido, além do conhecimento sobre a distribuição de temperaturas, o qual
usado para julgamento da integridade estrutural através da determinação das
3as expansões e das deflexões térmicas. A distribuição de temperaturas também
usada para se oümizar a espessura de um material isolante ou para determinar a
entre este material e revestimentos ou adesivos especiais.
33
qual se pode determinar a
icação das exigências da conservação
apropriadas.
.o, nas
Considere um meio homogéneo no qual existam gradientes de temperatura, e a
distribuição de temperaturas T{x,y^ seja expressada em coordenadas cartesianas. De
mostra
<ly+iy
ffi" X
infinitesimal, dx, dy, az para análise
de calor em coordenadas cartesianas,
considere os processos de energia que são relevantes neste volume de
existam gradientes de temperatura, haverá transferência de calor
das superfícies de controle. As taxas de coridução de calor,
superfície, são simbolizadas pêlos termos q^ qy e q^ em relação ao
l,
, UCSjJÏCZiiUlUU-!
no ponto x + dx é i
de volume do meio [W/mJ]
>, da energia (térmica) interna do meio, por
miportaníe observar que os termos E e E^
houver geração de
ï;sera
um sorvedouro). Em
por outro, energia
energia térmica no
consumida (h
energia com as
conservação
35
+ (2.10)
(2.11)
(2.12a)
(2.12b)
(2.12c)
Cinde cada componerríe do fluxo de calor da equação (2.6) foi multiplicada pela área da
se obter a taxa de transferência de calor,
(2.11) e dividiado-se pelas dimensões
+ Í+—1 +ff= (2.13)
ï.13) é a são ao calor em coordenadas
condução do calor. A partir da sua
T(x,y,z) em função do tempo. A
encobrir o fato dela descrever uma
Deve-se ter um entendimento claro
igm&cado físico de cada parcela que aparece na equação. Por exemplo, o termo
QT>
^_] ^^^. l ^^ relacmnado ao Suxo liquido de condução de calor ^wa dentro do volume
Qx
de controle, na direção da coordenada x (isto é, muitiplicado por áac):
r:-?:. (2.14)
36
õ3T õ3T
,3 ^.2
(2.15)
10, &OD C(
quaníidaâe de energia acumulada. Então, a equação (2 13) se reduz a;
QT
k:— 1+ + +<?=
unidimensional (por exemplo, na direçâo x} e se
(2.16) se reduz a:
(2.17)
sob regime permanente, o fluxo de calor é uma constante na direçao da transferência
ou controle ínfmiíesimais
.10 respectivamente.
® Coordenadas CÏlmdricas: Quando o operador V da equação (2,3) for expresso em
coordenadas cilíndricas, a forma do vetor do fluxo de calor fica;
(2.18)
(2.19)
37
, rd^, ífe pam a aaáïise àa cïmduçâo
geral do vetor do fluxo
l
Então, ao se esíimar o gradiení
{F^, ff}.
i0^~' /—250 C/m Uma geração de calor umforme q ^
lOrn^. As
temperatura numa parede de l m de espessura, num certo msíante,
bx + cx\ (T [°C], x [m]) com a - 900°C, b = -300°C/m e c - -
1QW W fm3 atua na parede, numa área A =
são p - 1600kg/m3, k - 40W/m-K e Cp = 4 tí/kgK.
(x = 0) e (x = l m).
e.
c) a variação da temperatura com o tempo em x = 0, 25 e 50cm.
, ^/(x = 0) e efluente ^(x ^ l), na parede.
na parede, E^.
em x ^ 0, 25 e 50cm.
com
39
Esquema;
A==1Qm
=a+bx+cx
Análise:
l. Se a distribuição de temperatura
transferência de calor em qualqu<
Lei de Fourier. Dessa forma, as
distribuição de temperatura dada
\af - 1x
laf
Analogamente,
'ef ~tíx
• ÍSef
conhecida num meio, é possível determinar a taxa de
er ponto do meio, ou nas suas superfícies, mediante a
taxas desejadas devem ser determinadas mediante a
e da equação (2,1). Assim,
-k • A- (b+ 2cx)^
x^O
x 40 x
+ 2cx)^
x=L
+2cLj=-4^xï^x[3W+ ix^|=
A taxa de variação da energia acumulada •
um balanço global de energia na parede
controle em torno da parede: E^ + Eg ^rf
^) pode ser determinada mediante
a equação (1.11) a um volume de
E^ onde E^ = q-A-L, Então:
+ +
3.
'm ~^nf ^ef ' Jt-t g ~~^af ^ rf
'+UWxJ0x
temperatura com o tempo, em
i equação da condução do calor (í
er ponto do meio, pode ser
2.15), reescrita na forma:
+
40
+
que esta derivada independe da posição no meio Então, a variação
com o tempo é também independente da posição e dada por
x4
+
x 4
-6,25 x Ï0~' +1,56 x í^9x 4 o
l.
parede, diminui com o tempo
2, A Lei de Fourier pode ser
distribuição
geração interna de calor
no cálculo da taxa de condução a partir de uma
mesmo no caso de regimes transientes com
[l]. Klemens, P. G., 'Theory ofthe ThermaÏ Conductiviíy of SolÍds," m R. P Tye, Ed.
Thermal Conductiviïy, Vol l, Acadenúc Press, London, 1969.
[2]. Mallory, John F., Thermal ïnsulation, Reinhold Book Coq?., New York, 1969
m.
[4].
[5].:
and Air Conditioning Engineers,
ofFuïiàamentals, Chapters 17 and 31, ASHRAE, New York, 1972.
W. G., and C H. Kmger, Jr., Introductíon to Physical Gás Dynamïcs, Wiley,
York, 1965.
•7 —~"T
Conductiviíy ofFluÍds," in R, P Tye, Ed.,
ic Press, London, 1969.
i/' m
Engineering Handbook, Vol. l, Gordon & Breach, New York, 1972.
. Klein, Eds., "The Techmcal
Information," National Bureau of
ance of Accurante
Techmcal Note
Naijar, M. S., K. J. Bell, and R. N. Marddox, Heat Transfer Eng., 2, 27, 1981
41
[9]. Hanley, H. J. M, and M. E, Baltatu, Mech. Eng-, 105, 68, 1983.
[10]. Touloukian, Y. S,, and C. Y. Ho, Eds., ThermophysicaÏ Properties of Matter, The
TPRC Data Series (13 volumes de propriedades termofísicas: condutividade térmica,
calor esperfícico, radiatividade térmica, diíüsividade térmica e expansão térmica linear),
Plenum Press, New York, 1970 through 1977.
[11]. Center for Information and Numeriacal Data AnalysÍs and Synthesis (CIDAS), Purdue
University, 2595 Yeager Koad, West Lafayette, m $&906.
2.1 - Assuma a condução de calor, em regime permanente, no sólido com simetria cilíndrica
que aparece na figura abaixo.
TI>TS
Admitindo que as propriedades sejam constantes, e que não haja geração interna de
calor, esquematize a distribuição de temperatura nas coordenadas T-x. Explique,
resumidamente, a forma da curva.
- Um cano que conduz água quente a uma temperatura Tj com raio interno ri, possui
uma camada de isolamento espessa para reduzir a perda térmica. Sabendo que o raio
externo do cano é r^ e a temperatura neste ponto é Ï2, esquematize a distribuição de
temperaturas no isolamento com relação às coordenadas T-r, no caso de uma
transferência de calor em regime permanente, unidimensional, com propriedades
constantes. Apresentar uma explicação resumida que justifique a forma da curva.
2.3 - No sistema esquematizado pela figura, há condução de calor em regime permanente,
sem geração de calor e unidimensional. A condutividade térmica é 25W/m-K e a
espessura 50cm. Determine as grandezas desconhecidas em cada um dos casos da
tabela seguinte e esquematize a distribuição de temperaturas em cada caso, fazendo a
indicação da direção do fluxo de calor.
Ti
.4 - Um cilindro maciço de lOcm comprimento e 25 mm de diâmetro está bem isolado em
sua superfície cilíndrica. As duas bases circulares estão mantidas a 100°C e 0°C. Qual
a taxa de transferência de calor através do cilindro se ele for constituído por (a) cobre
puro, (b) liga de alumínio 2024-T6, (c) aço inoxidável AISÍ302, (d) nitreto de silício,
(e) madeira (carvalho), (f) magnésio a 85% e (g) vidro pyrex?
43
o calor se transfere por diíüsão, em condições
o
mc wsidiwensíonaÏ, os gradientes de temperatura existem
coordenada, e a transferência de calor ocorre
está em condições de regime permanente se a
que Íhes é própria, os mcxáelas umdimensionais, em regime permanente, podem ser usados
-se o conceito
a solução
interna (itens 3.1 a 3.3). O objetivo é
e a taxa de transferência de calor í
de resistência térmica (análogo ao
problemas de transferência de calor.
Na condução umdimeiiskmaÍ
da coordenada x, e o calor
plana separa dois fluidos <
circuito elétrico equivalente.
numa parede plana, a temperatura é uma função
se transfere somente nesta direção. Na Figura 3.1a,
im temperaturasdiferentes, e a Figura 3. l b mostra o
m,^
TO, l ''"l °o,2»"7
de temperatura, da qual pode se obter
e poae ser
contorno
solução
as. Em regime
calor é (equação 2,17):
, pela equffição (2.2), conchri-se que, íia conchsçâo
o
s,J ~- ï-^lJLi T ^2 ~~ <-1^ "r ^ sj
Fazendo as substituições na solução geral, a distribuição de temperatura fica:
,,-T,,)^+T,, (33)
permanente, numa parede plana, sem geração
i, na condução unidimensional, em
de calor e com a condutividade
?âo de temperaturas, pode ser usada a Lei de
(equação 2. l) para determinar a taxa de transferência condutiva de calor Isto e
s,l * s,í (34)
se que A, a área da parede norma/ a direção da transferência de calor,
independente de x. O fluxo de calor é então
x _
I,/ ï, 2
(3.5)
calor, q'
equações (3.4) e (3,5) indicam que a taxa de transferência de calor ^, e que o fluxo de
são constantes, independentes de x
Nos parágrafos anteriores usou-se a abordagem padrão para resolver os problemas
), Inicialmente, a solução geral para a distribuição de temperatura foi obtida pela
da equação da condução de calor na forma apropriada. Apücou-se então as
de contorno para se obter uma solução particular que, com a Lei de Fourier,
a taxa de transferência de calor Observe que as temperaturas em x=0 e x == L
como as condições de contorno, embora sejam temperaturas dos fluidos, e não
superficiais (conhecidas nos caso típicos). No entanto, uma vez que as temperaturas de
e de uma superfície a ele adjacente são facilmeníe relacionadas mediante um
energia na superfície, é uma questão simples exprimir as equações (3.3), (3.4) e
(3.5) em termos das temperaturas dos fluidos, e não das temperaturas superficiais.
equivalentes também seriam obtidos direíamente por meio de balanços de
superfície (como condições de contorno de terceira espécie) para se estimar as
da equação (3.2).
as su
um
Neste ponto, observa-se um conceito muito importante sugerido pela equação (3.4):
a analogia entre a difusão do calor e a condução de carga elétrica. Da mesma forma que
uma resistência eléírica está associada à condução de eletricidade, pode-se associar uma
resistência térmica a condução de calor Definindo a resistência como a razão entre o
46
motnz e a taxa de transferência que a provoca, segue-se pela equação (3 4) que a
térmica na condução e
i ; " f,2 36)
Analogamente. no caso da condução eleínca, a lei de Ohm proporciona uma resistência
eletrica da forma
s,í u s ,2
ü
A analogia entre as Equações (3 6) e (3 7) e obvia uma resistência
ser associada a transferência convectiva de calor numa superfícïe
de Newton
e a resistência térmica na convecção e então
'l,CMtV
(37)
•muca também pode
lei do resfriamento.
(38)
(39)
A representação mediante circuitos proporciona um instrumento útil para conceituar e
quantificar os problemas de transferência de calor O circuito térmico eqwvafente numa
parede plana, com condições superficiais de convecção aparece na Figura 3 l b A taxa de
transferência de calor pode ser determinada a partir da consideração isolada de cada
elemento do circuito, isto e
.i *»,! " *, J AïJ "t,J i J tt " ,2 (3 10)
Em termos da diferença global de temperatura, e da resistência térmica total J?^, a taxa de
transferência de calor pode exprimir-se também como
<o ,1 "• w ,2
(3.11)
Em virtude de as resistências condutiva e convectiva estarem em série e, portanto, poderem
se somadas, segue-se que:
-(- _ ^ (3.12)
Uma outra resistência pode ser atribuída à
vizinhança de grande porte por um gás. Em
as suas vizinhanças pode ser importante, e a taxa
Segue-se, então, que a resistência térmica na
superfície que estiver separada de uma
', a troca radiativa entre a superfície e
pode ser determmada pela equação í l 8)
;ão pode ser definida como
47
it..r'ad — (3.13)
rad
onde kr está definido pela equação (1.9). As resistências radiativas e convectivas da
superfície atuam em paralelo, e se T^ = T^ , as duas podem ser combinadas para se obter
uma resistência efetíva única da superfície.
3.1.3 " A Parede Composta
Os circuitos térmicos equivalentes também podem ser usados no caso de sistemas
mais complicados, como por exemplo, as paredes compostas. Essas paredes podem
envolver qualquer número de resistências térmicas em série e/ou paralelo, em virtude de
camadas de matérias diferentes, ConsÍderemos uma parede composta em série, como
mostra a Figura 3.2,
Fluido
quente
T^rhl
^ll^llilÍilÍ
^^^^jj^^^l
Íaí5ÍSÍï:3Í^:
liii-SISlSii
liÍIIIill
:^s|s]|s^ilijai^^ï
ÏM!Mms
H"Í^^4ík
Kc
ao,4
Fluido frio (T,,,, h,}
00,1
k,A
's,l
k.A
' s,4 aü.4
Figura 3.2 - Parede composta com circuito térmico equivalente.
A taxa de transferência unidimensional de calor, neste sistema, pode ser expressa por:
ao,} Jias.4
(3.14)
onde F^ j - T^^ ea diferença global de temperatura e o somatório £^ envolve todas as
resistências térmicas. Então:
vo .1 "1 °° .'i
[(l/h,A)+ {Ljk^À)+ {L, /k,À}+ (^ /^A)+ {l/h,À)]
(3.15)
De outra maneira, a taxa de transferência de calor pode se relacionar com a diferença de
temperatura e com a resistência associada a cada elemento. Por exemplo;
°o,J *s,l ss,l aL 2 s-2~~£3 A3 Jts,4 Jls,4 Jta>,<i
•/h,A} ~ {L, /k,A) ~ {L, /k,A) " {L, /k,.
(3.16)
Nos sistemas compostos, é conveniente muitas vezes trabalhar com um coeficiente global
de transferência de calor (£/), definido por uma expressão análoga à da lei do resfriamento
de Newton. Assim:
q,=U'Â- AT (3.17)
onde A T é a diferença global de temperatura. O coeficiente global de transferência de calor
está relacionado à resistência térmica total e, pelas equações (3.14) e (3.17), tem-se que
tot-
Bntão, na parede composta da Figura 3.2,
R... -A " [{l/h,)+{Ljh,)+(L,/k,)+(L,/k,)+(l/h,)]
Em geral, pode-se escrever:
(3.18)
(3.19)
As paredes compostas também podem ser caracterizadas por configurações do tipo
série-paralelo, conforme as que aparecem na Figura 3.3.
Área (Â)
iiai^si^iijBiisiiiiiiitis^iiiiiiaisíiiifiisisjii^!SiSB^S!i!Sl^li3iJ^^^^%S!l^%EI^I!JsEI^Eifêifêl^BiS!EiâSiSÊS^S^^^SÉN@:r31^S;S3§:
,f--l^G ^H
49
hipótese, podem ser usados dois circuitos térmicos (a
isoíémúcas, enquanto no segundo admite-se que as superfícies paralelas à direção x sejam
R^ e os valores
As diferenças entre estes valores crescem com o aumento de k^kç e assim, os efeitos
JH
"ff!
JH
^i
numa parede composta em sen
, nos
compostos, a queda de temperatura na interface entre dois materiais pode ser considerável.
^í,c-
a Figura 3.4.
50
Para uma interface de área unitária, tal resistência se define como:
»" _ JIA
"t,c (3.20)
A existência de uma resistência de contaío fíníta se deve principalmente aos efeitos da
rugosidade superficial. Existem pontos de contato entremeados por vales que, na maioria
dos casos, estão cheios de ar. A transferência de calor deve-se então à condução através da
área de contato real, e à condução e/ou radiação através dos vales. A resistência de contaío
pode se considerada como duas resistências em paralelo: a que provém dos pontos de
contaío real e a que provém dos vales, Nos casos típicos, a área de coníato é pequena e,
te nas superfícies ru^osas, a contribuição mais ii
Figura 3.4 " Queda de temperatura devida à resistência térmica de contato.
Para os sólidos cujas conduíividades térmicas são mais elevadas que a do fluido
iníerfacial, a resistência de contaío pode ser reduzida pelo aumento da área dos sítios de
contato. Este aumento pode ser efetuado pelo aumento da pressão na junção mediante a
redução da rugosidade das superfícies em contato. A resistência de contato também pode
ser reduzida pela escolha de um fluido interfàcial de conduíividade térmica elevada. A este
respeito, a ausência de fluido (interface evacuada) elimina a condução através dos vales e,
com isso, aumenta a resistência de contato.
Embora se tenha proposto teorias para a previsão de R ^ os resultados mais
confiáveis são os que se obtêm experimentalmente, O efeito de cargas sobre as interfaces
metálicas pode ser observadona Tabela 3.1a, a qual apresenta intervalos aproximados dos
valores da resistência térmica em condições de vácuo. O efeito do fluido interfacial sobre a
resistência de uma interface de alumínio aparece na Tabela 3.1b.
Resistência térmica de
lumínio (rugosidade
51
t em interfaces metálicas sujeitas a vácuo e (b) em interfaces
ÍOp.m (Ra), 10 N/m ) com vários fluidos interfaciais [l].
Pressão de
Aço Inoxi(
Cobre
Magnésio
Alumínio
(a) Interface à
contato [kN/m ]
iável
TËNCIÁ T:
Vácuo
100
6-25
1-10
1,5-3,5
1,5-5,0
ERMICÁ
10
0,7-4,0
OJ-0,5
0,2-0,4
0,2-0,4
?'^[xl04m2.KAV] :
(b) Fluido Intei
Ar
Hélio
Hidrogênio
Óleo de silicone
Glicerina
2,75
1,05
0,720
0,525
0,265
Em contraste com os resultados da Tabela 3.1, muitas aplicações envolvem o
de possíveis materiais intersticiais
(enchimentos), como mostra a Tabela 3.2.
Tabela 3.2 - Resistência térmica de interfaces sólido-sólido representativas.
.' "HESÏSTÉNCIA1
Interface
T.ÉKM]
Chip de silício - alumínio esmerilhado ao ar (27-:
Alumínio - alumínio com enchimento de
Aço Inxoxidável -aço inoxidável com enchi;
(~3500kN/m2)
Alumínio - alumínio com revestimento metálico
Alumínio - alumínio com graxa da Dow
Aço inoxidável - aço inoxidável com graxa
(3500 kN/m2)
Chip de silício " alumínio com 0.02 mm
Latão - latão com 15 [im de solda de estanho
película
chi;';'! ente
letáhco (
Coming
ixa 340 c
de epoxi
anho
ÍCA ^Ê^,104m2-KAV] ::
500kN/m2)
de Índio (~100kN/m2)
) de película de índio
:Pb)
(~100kN/m2)
la Dow Coming
0,
o,(
0,:
R",R')íc
,3-0,6
-0,07
-0,04
01-0,1
-0,07
-0,04
,2-0,9
0,025-0,14
Fonte
[2]
[1;3]
[1;3]
[4]
[1;3]
[1;3]
£5]
[6]
. Duas classes de material bem apro
Os metais que incluem o
como uma folha delgada ou
encha os vales entre as superfícies em contaío e
a do ar provocará uma diminuição da resistência
)priados para este fim são os metais moles e as
o chumbo, o estanho e a prata, podem ser
então aplicados • como película delgada de
interface. As graxas térmicas, com base em silicone,
52
formada por uma
(liga com ouro e
., ivia.uiiusuuíiiiíi OL nüLünci ^ / j c i uvíuiwi<«/u [^oj CÏH/ÜHLÍ íun-i
Um fabricante de
forno auíolimpaníe que
ambiente, Á. janela composta é constituída por dois plásticos (A e B), resistentes à altas
= 0,15W/m-K e
da parede do forno e
do ar
calor no
coeficiente de transferência
25W/m 'K Qual é a espessura
temperatura na superfície
50°C 9 (Esta temoeratura. em virtude de razões se
do ar no forno (Tw e Ta
ambiente {T^ ) é 25°C. C
interior do forno (hi e
convectiva (hy) são cada
+
de forno composta, e as condições associadas à operação de autolimpeza do forno.
LA +
l. O
2. A
3 A
53
4. A absorção de radiação no i
geração interna de
interior do material da janela é desprezível; então não há
la e as paredes do forno na
superfície interna da janela).
5. A troca radiativa entre a superfície interna da janela e as vizinhanças é desprezível.
6. Cada plástico é homogéneo e tem as
mema:
cavidade do forno
.1.
Tu, = 400°C
hi - 25W/m2.K
ÂA==0,15W/m-
ka = 0,08W/m-
•K, T. =25°C)
Análise: pode-se esquemaíizar o circuito íé
calor está associada à convecção na su^
radiação na superfície interna. Assim, o eira
verificando que a resistência ao fluxo (
externa, à condução, e à convecção
e as resistências têm a seguinte forma:
tt \~ ^W,
Uma vez que a temperatura da superfície externa da janela (Ts,o) é dada, a espessura da
janela pode ser obtida aplicando-se um balanço de energia a esta superfície, isto é,
E^ = È^ , Assim, a taxa de energia afluente é igual à taxa de energia efluente.
Com Tw = Ta e usando a equação (3.19): £'^ = ç ==
e pela equação (3.8); E^ = q = hg • A s,V ^ ro
resistência térmica
uma resistência
superfície da janela, e as
total entre a cavidade do forno e a superfície externa da parede inclui
paralelamente à
+ ^. ^A _j_ -^tí
k^Â k^A
+-A~+
i..+^ k^
as expressões ao balanço üe energia, vem;
a ï s.ff
ï,ff a m
a " s.ff
+—3-+
f^2+6,67L^ +6,
+
Igualando (I)
Uma vez que
Comentados:
resposta temi
necessário a
máxüno possível
(n), temos que LA = 0,0418m
.s = 2LA ^ 0,0209 m, L = LA + La = 62,7 mm
operação de auto limpeza é um processo transiente, no que se refere á
da janela. E possível que não se aímja o regime permanente no tempo
>eza. No entanto, as condições em regime permanente indicam o valor
de Ts,ff e por isso são bem apropriadas para o cálculo do projeío,
A análise da condução até agora, foi realizada usando-se a abordagem padrão, onde
a equação da condução do calor foi resolvida com o intuito de se obter a distribuição de
temperatura (equação 3.3). Depois, mediante a Lei de Fourier, foi obtida a taxa de
transferência de calor (equação 3.4), Uma outra abairoação, porém, pode ser usada no caso
das condições que se está tratando, ímagme a condução no sistema mostrado na Figura 3.5,
onde verifica-se que, em condições de regime permanente, sem geração de calor e sem
constante independente de x, onde para qualquer elemento diferencial (bc, q^ = ^éx-
Naíurabneníe, esta condição é uma consequência da conservação da energia e deve
valer mesmo quando a área A(x) variar com a posição, e a condutividade térmica variar
com a temperatura k(T). Além disso, mesmo quando a distribuição de temperatura for
bidimensionaí, variando em x e y, muitas vezes é razoável desprezar a variação em y e
admitir uma distribuição unidimensional em x. Nestas circunstâncias é possível operar
exclusivamente com a Lei de Fourier para efeíuar a análise da condução. Em particular,
55
Superfície Adiabáíica
Qx+dx
Xo
Figura 3.5 - Sistema com uma taxa de transferência de calor constante
Considere a Lei de Fourier (equação 2.1), aplicada ao sistema da Figura 3.5. Embora não
tenhamos conhecimento do valor de q^, ou da forma de T(x), sabe-se que qx é uma
constante. Então pode-se exprimir a Lei de Fourier na forma geral:
(3.21)
A(x,
A área da seção reía pode ser uma função conhecida de x, e a condutividade térmica do
material pode variar (de maneira conhecida) com a temperatura. Se a integração for
realizada desde um ponto xo, no qual a temperatura To seja conhecida, a equação resultante
proporciona a forma funcional de T(x). Além disso, se a temperatura T^= Tj, em x = xi for
também conhecida, a integração entre xo e Xi fornece uma expressão que permite o cálculo
de qx. Obsen/e que se a área A for constante e se Â- for independente da temperatura, a
equação (3.21)se reduz a
(3.22)
onde Âx^xj-xo e
Muitas vezes é preferível resolver os problemas de difusão de calor através das formas
integradas das equações das taxas de difusão. E preciso ter bem claras as condições limites
que permitam a transferência unidimensional, em redime permanente^ sem geração de
Exemplo 3.2
O diagrama mostra uma seção de um tronco de cone empíroceram. A seção reta é
circular, com diâmetro D =: ax, onde a = 0,25, A base menor está em Xi ^ 50mm e a base
Iïïaior emx2 = 250mm. As temperaturas terminais são Ti ^ 400K e Ts ^ 600K, enquanto a
superfície lateral está bem isolada.
56
Ï2== 600K ^| Ti = 400K
l. Deduzir uma expressão para a distribuição de temperatura T{x) em forma simbólica,
admitindo-se condições unidimensionais. Esquematizar a distribuição de temperatura.
2. Calcular a taxa de transferência de calor qx através do cone.
Dados; Condução num tronco de cone circular com o diâmetro D = üx, com a = 0,25.
Incógnitas:
l, Distribuição de temperatura T(x).
2. Taxa de transferência de calor qx
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente
2. A condução é unidimensional na direçãox
3. Não há geração interna de calor
4, As propriedades são constantes
Propriedades: Tabela A2, piroceram (500K): k = 3,46W/m-K
Analise:
l. Uma vez que a condução é unidimensional, em regime permanente e sem geração interna
de calor, a taxa de transferência de calor qx é uma constante independente de x. Então,
pela Lei de Fourier (equação 2. l) pode-se determinar a distribuição de temperatura:Com  =
Tt.D- TC-fí -X
, a separação das variáveis resulta em
TI. a -x
o de Xi
.2 j _ï
57
,e eic são
2- ^<u,
(I)
2 ~ ^1
n •aí 'k ^Xj x.
Resolvendo em q^. ^,
l ~ s-2.
4- [{l/ x,)- (l/ x,)}
ibsíiíuiçâo de q^ na expressão (I), faz com que a distribuição de temperatura fique:
+J ' l * l ^2
Deste resultado, a temperatura pode ser calculada em função de x e a distribuição tem o
Uma vez que
'l \
n-a2 -x
(pela Lei de Fourier), observa-se que o
gradiente de temperaturas e o fluxo
diminuem quando x aumenta.
Xs
Levando-se em conta os valores numéricos no resultado precedente, para a taxa de
transferência de calor, vem:
nxïí/,25}' x J, 40 x
4x
t, ou seja, a
i aumenta, a hipótese da uiúdimensionalidade f
fica mais fraca à medida que a variação da área
com a distância.
cilíndricos e
umca
em
calor, ou
têm muitas vezes gradientes de temperaturas numa
isso, ser analisados como unidimensionais. Além disso,
sníe sem geração de calor, estes sistemas podem ser
padrão, a partir da forma apropriada da equação da
a partir da forma apropriada da Lei de Fourier, Nesta
pelo método padrão e sistemas esféricos pelo outro.
3.3.1 -O Cilindro
Um exemplo comi
fluidos em
Fluido frio
o cilindro oco cujas superfícies interna e
diferentes (Figura 3.6).
estão
^,2)ls-2 ) Fluido quente
(T..,,h,)
ri
s, l
s.2
sJ
® J ï "Í 's,l <o,2ï "2
tj2-KTjL 2nkL h^Ttr^L
Figura 3.6 - Cilindro oco com condições superficiais convectivas.
permanente sem geração de calor, a forma apropriada da equação
r é (equação 2,20):
59
(3.23)
.,( .)é
3.23 pode ser isíí
'r
s0 <a s,2
ll'2.
+ (3.26)
.o 3.26) for agora usada com a Lei de
Fcxmer (equação 3.24), obíém-se a segumte expressão para a taxa de transferência de calor
(3.27)
'3/'l.
'2!°Ï.
(3.28)
Esta resistência aparece no circuito em série da Figura 3.6.
qr ser independente de r, o resultado anterior poderia ter
alternativo, ou seja, mediante a integração da equação (3.24).
Considere agora o sistema composto da Figura 3.7,
que em virtude de
mediante o método
l ía(r^/^) lia(r
AiSfff-iÍ, 2^1,
igura 3.7 - Distribuição num sólido cilíndrico composto
Lembrando como foi o tratamento
contato
parede plana composta, e desprezando as resistências
erência de calor pode ser exprimida como:
6i
1- + '1- ln\ '2 | + '1 ln\ 's S + " 1-
h ^A Vï) ^8 lrj kC
^ \+'J
(3.30) define U em termos da
arbitrária, e o coeficiente global pode também ser definido em
(3.31)
composto. Esta
termos de Á4 ou
Ï^Ï ~ ^ Z-rx3 ~" ^ SíiÍ (3 32)
e as formas particulares de V^ de £/j, e de Ü4 podem ser inferidas da equação (3 29),
presença de efeitos competitivos associados ao aumento da espessura de um
sugere a possível existência de uma espessura óíima do isolamento em sistemas
resistência condutiva aumente com o acréscimo de isolante,
em virtude do aumento da área da superfície externa
de isolamento que minimiza a perda térmica graças á
à transferência de calor. Resolver esta questão
o
tubo de cobre, de paredes delgadas e raio r», é usado para transportar um
Ígerante a baixa temperatura, numa temperatura T;, menor que a do ambiente a T®,
tomo do tubo. Há uma espessura ótíma à camada de isolante aplicada ao tubo'?
o resuiíado conseguido mediante o cálculo da resistência térmica total por
comprimento num tubo de lOmm de diâmetro, com as seguintes espessuras
isolamento: 0, 2, 5, 10, 20, 40Tnm. O isolamento é constituído por vidro celular cujo
raio r, e a
do ar
, a ser
as:
ótima que minimizaria a taxa de
A resistência térmica do isolamento com vidro celular de diferentes espessuras
62
Esquema:
- 5W/m2-K
Ar
tsotante, k
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente.
2. A transferência de calor é unidimensional na direção radial do cilindro.
3. A resistência térmica da parede do tubo é desprezível.
4. A troca radiativa entre a superfície externa do isolamento e ambiente é desprezível.
Propriedades: Tabela A. 3, vidro celular (28 5K, por hipótese): k = 0,055W/m'K.
Análise:
l. A resistência à transferência de calor entre o refrigerante e o ar é dominada pela
condução no isolamento e pela convecção para o ar. O circuito térmico é então:
Ín(r/r,)
2nk
onde as resistências condutiva e convectiva, por unidade de comprimento do tubo, são
dadas, respectivamente, pelas equações (3.28) e (3.29).
A resistência total, por unidade de comprimento do tubo, fica: R^ = LL+
27i • k 2n • r -
onde a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo é
Uma espessura ótima do isolamento estaria associada ao valor de r que tornasse mínima
q, ou máxima R w. Bste valor pode ser obtido pela equação
ou r = —
Para determinar se o resultado anterior torna máxima ou mínima a resistência total, é
preciso calcular a derivada segunda. Então:
63
•2 sïl
'2 CT'
77 ï-77 ou, em r
Í ! 3. 2
>
Uma vez que este resultado é sempre positivo, r ^ k/h é o raio do isolamento que faz a
resistência total um mínimo, e não um máximo. Então, não existe uma espessura ótima
o resultado anterior faz mais sentido falar em termos de um raio crítico de
{rcr} ababco do qual q cresce com o aumento de r e acima do qual q diminui
@^=0, 'K, o raio cntico e r =
S r CF ^ rl
resistência térmica correspondente a cada espessura mencionada do Ísolaníe pode ser
e o resumo está na tabela seguinte:
Espessura do Ïsoêamenío
(r - ti) [mm]
o
2
5
6
10
20
40
Resssíêsicáas Térmicas
(r) [m]
0,005
0,007
0,010
Ter-- 0,011
0,015
0,025
0,045
Raioi
cond
o
0,97
2,00
2,28
3,18
4,66
6,35
de Isolaï
[m-K/W]
conv
6,37
4,55
3,18
2,89
2,12
1,27
OJ1
lento
tot
6,37
5,52
5,18
5.17
5,30
5,93
7,06
efeito do raio crítico fica revelado pelo fato de
resistência total que não é tão grande quando a resistência sem isolamento.
Se ^ < Tef, como neste caso, a resistência total diminui e a taxa de transferência de calor
aumenta com a adição de isolamento. Esta tendência continua a prevalecer até que o raio
externo do isolamento corresponda ao raio crítico, A tendência é desejável no caso da
igem de uma corrente eléírica através de uma fio metálico, pois a adição de
isolamento elétrico seria um fator auxiliar na transferência do calor dissipado no fio para
o ambiente. Inversamente, se ^ > r^ qualquer adição do isolamento aumentaria a
resistência total e propiciaria assim uma diminuição de perda de calor. Este
comportamento seria desejável no caso do escoamento de vapor de água através de um
tubo, quando se adiciona isolamento para reduzir a perda térmica para o ambiente.
3. Nos sistemas radiais, o problema de redução da resistência total mediante a utilização de
um isolamento só existe no caso de fios de pequeno diâmetro, ou tubos de pequeno
diâmetro, com coeficientes de convecção também pequenos, de modo que rcr > n- Com
um isolamento típico (k w 0,003W/m'K) e convecção livre no ar (h w lOW/m K), o
Ter == k/Sí w 0,003m. Este pequeno valor nos mostra que normalmente, r; > r^ sem que
haja necessidade de se levar em conta os efeitos do raio crítico.
4. A existência de um raio crítico ocorre quando a área de transferência de calor se altera
na direção da transferência, como é o caso da condução radial num cilindro (ou numa
esfera), Numa parede plana, por exemplo, a área perpendicular à direção do fluxo de
calor é constante e não há espessura crítica do isolamento (a resistência total sempre
aumenta com o aumento da espessura do isolamento).
3.3.2-A Esfera
Considere a aplicação do método alternativo de análise da condução numa esfera
oca (Figura 3.8),
Ï"ÏER3ï,'
ÍEiiï^;^
%i;;Stu4iiI
A!Í:SW;ÍiÍL;f
?.+
' s,2
s,l
Figura 3.8 - Condução numa casca esférica.
No caso de condução unidimensional em regime permanente sem geração de calor, a
conservação de energia exige que, no volume de controle infinitesimal da figura, se tenha
qr = qr + ar. A forma apropriada da Lei de Fourier é
(3.33)
T^.i
s,3 "* s,2
66
Esquema:
Suspiro
Ar
^^
^=300K
20W/m2'K
Vaso esférico de paredes delgadas
(rj = 0,250m)
Superfície externado isolamento
(rs = 0,275m)
Nitrogénio liquido
cc.l
p = 804kg/m3
hfg = 200kJ/k^
Hipóteses;
l. As condições são as de regime permanente.
2. A transferência de calor é unidimensional na direção radial,
3. A resistência à transferência de calor através da parede do vaso, e desta para o
niírogênio são desprezíveis.
4. As propriedades são constantes.
5. A troca radiativa entre a superfície externa do isolamento e o ambiente é desprezível.
Propriedades: Tabela A.3, pó de sÍlica evacuado (300K): k = 0,OOl7W/mK.
Análise:
l. O circuito térmico envolve resistências condutiva e convectiva em série cuja
representação é dada como se segue:
co, 2
o-J'
w, l
L/,c<wv it,coitd
onde pela equação (3.36), R^^ =
e, pela equação (3.9), R,^ =
'J '2
Então, a taxa de transferência de calor para o niírogênio líquido fíca:
ia,2 ^ w,l
'l/4n. k^l/r,)- (l/r,)]+ [l/(4n •h. rj
Assim.
o7
+
\02+Ô,í
superfície
r, ^u»u JL^ — A^^- —
2x
i,5Jx
l. «
'/
3 _
,ia l J/s ou3.37). Se a
ocorrer miif&rmemeïste num meio de volume K, a taxa de geração volumar [W/m ] é então:
(338)
vasos de pressão, etc.), oia
reïïíe. E bom lembrar
r, ou em consequência
ocorrem no interior do meio. Evidentemente, as
(haveria um sorvedouro de energia térmica),
de ligação química. Finabneníe, é possível a
energia térmica em virtude da absorção de
r, por exemplo, em virtude de raios gama serem
um reator nuclear (revestimento, blindagem
radiação visível ser absondda num meio
geração de energia não se confunde com a
3.4.1 -A
Considere uma parede pi
(q é constante) e
ana na qual há
superfícies
i, a forma a^
uniforme de energia por unidade de
a T,j e 7t,2 (Figura 3.9a). Com
da equação da condução do calor,
|uação 2.16) é
(3.39)
+C,x+C, (3.40)
onde Ci e Q são constantes de integração. Com as condições de contorno dadas.
I, l s,3 •
Assim, as constantes podem ser calculadas e têm a forma
s,3 Jïï,J •;; . Jls,l ' JLs,2
Neste caso a distribuição de temperatura é
s,2 ^ s,l
+
s,l ~r s s, 2
(3.41)
69
s,l '-
^/l\/i\/h
W,l) fil
(a)
uu
w,2) "2
m
uu
A^^^
^^^
Figura 3.9 - Condução numa parede plana com geração uniforme de calor; (a) condições de contorno
assimétricas; (b) condições de contorno simétricas; (c) superfície adiabática no plano mediano.
O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação (3.41) e
a pela Lei de Fourier, Observe, no entanto, que com a geração de calor, o fluxo de calor
passa a depender de x.
O resultado precedente fica simplificado quando as duas superfícies são mantidas a
uma mesma temperatura, (Ts,i ^ Ts,2 s Ts)< A distribuição de temperatura é então simétrica
em relação ao plano mediano (Figura 3.9b), e dada por
^T. (3.42)
temperatura máxima ocorre no plano mediano;
^'L2
(3.43)
e neste caso a distribuição de temperatura (equação 3.42) pode ser exprimida como
(3.44)
s ^ O
fx=ff
Para usar os resultados
entanto,
adjacente à
pode ser deduzida
superfície
(Figura 3.<
de energia, dado pela equação (l 12),se
s ~ va
70
da Figura 3.9b, o
ser representado pela superfíci
face {x = ff) e mantidas a uma temperatura
temperaturas superficiais F, devem ser
mum é aquela em que se conhece a temperatura de
io Ts. Faz-se necessário relacionar T, a T^. Esta
balanço de energia na superfície. Consideremos a
fFigura 3.9b), ou da parede plana isolada
as equações de taxas apropriadas, o balanço
(3.45)
\x-=L
4- (3.46)
calculada a partir do conhecimento de Tw, q , L e k.
anulada pela
fronteira. A
l,
(3.46) íambàn pode ser deduzida por um balanço global de energia na
Figuras 3.9b ou 3,9c. Por exemplo, em relação à superfície de controle em
(Figura 3.9c), a taxa de geração de energia no interior da parede deve ser
Ka de saída de energia da parede, em consequência da convecção na
(l. Ï a) se reduz a
(3.47)
(3.48)
(3.48) em r,, chega-se á equação (3.46)
equação (3,46) pode ser combinada com a
vulcão de temperaturas, que fica então
q, L^ k, h, e Ta,. O mesmo resultado pode ser
1.45) como condição de contorno, a fim de se
(3.42) afim de se
em termos das
obtido direíameníe
71
Exemplo 3.5
Uma parede plana é composta de dois materiais (Â e B). A parede de material A tem
uma geração uniforme de calor q ^ 1500kW/mJ, HA ^ 75W/m-K e espessura LA = 50mm. A
parede de material B não tem geração de calor, ka = 150W/m-K e espessura LB = 20mm. A
superfície interna do material A está bem isolada, enquanto a superfície externa do material
B está resfriada por uma corrente de água com Too =30°C e h ^ IkW/m -K. (l) Fazer o
gráfico da distribuição de temperatura na parede composta, em regime permanente. (2)
Determinar a temperatura To da superfície isolada e a temperatura Tj da superfície resfriada.
Dados: A parede plana de material  tem geração interna de calor, está isolada numa face e
limitada na outra face por uma segunda parede de material B, que não tem geração de calor
e está sujeita a resfriamento convectivo.
Incósnitas:
l. O gráfico da distribuição de temperatura , em regime permanente, na parede composta.
2. As temperaturas nas faces interna e externa da parede composta.
Esquema;
^
Isolamento
qA::=ï500kW/m3
kA = 75W/m.K
St
B
i^j^
iSïSii
íí^xíy
\°i
00
h= lkW/m2K
\ ^ ^ A
^-0[W/m3]
^=150W/m-K
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente.
2, A condução é unidimensional na direção x.
3. A resistência de coníato entre as paredes é desprezível.
4. A superfície interna de  é adiabática.
5. Os materiais^ e B têm propriedades constantes.
Análise:
l. De acordo com as condições físicas descritas, a distribuição de temperatura na parede
composta tem as seguintes características, conforme o gráfico abaixo;
73
Portanto: T^30+\ -r^L +
Da equação (III):
xJf,5-iíTxü,
x^, +m= 25 +
Comentários:
l. O material A, no qual há geração de calor, não pode ser representado por um elemento
do circuito.
VL.~CO?~cww _
ï-
l A 2 Jlïcofid,B
3.4.2 - Sistemas Radiais
A geração de calor pode ocorrer em diversas geometrias radiais. Considere o
cilindro comprido e maciço da Figura 3.10, que pode representar um fio condutor de
corrente elétrica, ou um elemento combustível num reator nuclear.
Fluido frio
Figura 3.10 - Condução de calor num cilindro maciço com geração unübrme de calor.
Em condições de regime permanente, a taxa de geração de calor no interior do cilindro deve
ser igual à taxa de transferência convectiva de calor para um fluido em movimento na
superfície do cilindro. Esta condição permite que a temperatura superficial seja mantida num
valor fixo (Ts).
Para determinar a distribuição de temperatura num cilindro, ínicia-se com a forma
apropriada da equação de condução do calor. Coma condutividade térmica k constante, a
equação (2.20) se reduz a
^. JL = (3.49)
74
•^c, (350)
Repetindo a integração, a solução geral para a distribuição de temperaturas fica
r)+ (3 51
./ e €2, usamos contorno
. No cili
a equação (3,51) leva a
'^'T.+^-r.
, o
condição
(3.52)
-,\+T. (3.53)
a temperatura no eixo equação (3.53) e dividindo esta equação pelo seu
na forma adimensional
(3.54)
onde Ts é a temperatura no eixo. Evidentemente, a taxa de transferência de calor a qualquer
distância do eixo pode ser calculada pela equação (3.53) e pela Lei de Fourier.
ou
-f- (3.55)
75
O raciocínio anterior pode ser usado para se obter a distribuição de temperatura em
esferas maciças, e em cascas cilíndricas e esféricas, com diversas condições de contorno
Considere um tubo comprido sólido, com um isolamento no raio externo ro e
resfriado no raio interno n, com uma geração uniforme de calor q [W/m ] na parede,
l Determinar a solução geral da distribuição de temperatura no tubo.
2. Numa certa aplicação, há um limite na temperatura máxima admissível To na superfície
isolada {r = fe}. Determinar as condições de contorno apropriadas para determinar as
constantes arbitrárias que aparecem na solução geral
3. Determinar a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo.
4. Sendo dísponívei umrefrigerante na temperatura T», deduzir uma expressão para o
coeficiente de convecção que teria que existir na superfície interna a fim de ser possível a
operação na temperatura To, com a taxa de geração q
Dados; Um tubo, com geração uniforme de calor na parede, está isolado na superfície
externa e resfriado na superfície interna.
íncóemías;
l. A solução geral para a distribuição de temperatura F(r),
2. As condições de contorno apropriadas e a forma correspondente da distribuição de
temperatura.
3. A taxa de remoção do calor.
4. O coeficiente de convecçâo na superfície interna.
Hipóteses:
l. As condições são de regime permanente,
1. A condução é unidimensional na direção radial,
3. As propriedades são constantes.
4 A geração volumétrica de calor é uniforme
5 A superfície externa é
76
Esquema:
Analise:
l. Para se determinar T(r), é necessário resolver a forma apropriada da equação da
condução de calor (equação 2.20). Nas condições descritas, esta expressão se reduz à
equação (3.49), e a solução geral é dada pela equação (3.51). Então, esta solução se
aplica não só a uma casca cilíndrica, mas também a um cilindro maciço (Figura 3.10).
2. São necessárias duas condições de contorno para calcular Ci e G, e neste problema é
conveniente especificar as duas condições em ro. Invocando o limite de temperatura
mencionado,
: T, (I)
(II)
e aplicando a Lei de Fourier (equação 3.24) na superíicie externa adiabáíica
Mediante as equações (3.51) e (I), segue-se que
r»2+ ra)^ (III)
Analogamente, pelas equações (3.50) e (II)
r; 4- C', (IV)
Portanto, pela equação (IV),
(V)
•2 ~ -a0 (VI)
77
Retomando, com as equações (V) e (VI) na solução geral (equação 3.51), segue-se que
(VII)
da taxa de condução
Lei de Fourier,
B. + ^-r: (VTH)
em y,. Isto e, num
açao l lia), se
,2 --?
.3 _3
de controle em torno
i £' -£^ =<?, onde
Então,
(ÍX)
4. Com a conservação de energia, equação (1.12), na superfície interna, conclui-se que
OU TC *.' - r/O 'i l v" t ~ co
(X)
^uaçao vm^ ou seja, o
fazer o
e. Por isso,
em r = r;.
de Fourier na
calor está na
se que o fluxo
3, o sinal de qÁ^i}
negativa de r. No
ï calor ocorre para fora
se q CM», em termos de
, ou
condução no interior
ambos) entre
na Figura 3.11
suas fronteiras e também por
e as vizinhanças. Um
78
supemcie
Considere uma chapa plana, conforme a Figura 3.12a. Se Ts for fixa, há duas formas
-se aumentar o
>,
) ou
ou e
ou da bomba que se precisa para aumentar h, graças ao aumento da velocidade do fluido.
79
3.12b, verifica-se que existe uma
o aumento ás cie através
da cï
tem um sigmticativo
aumento da taxa de
uma condutividade
sua base e sua ponta,
3.
Figura 3.13 • Esquema de trocadores de calor típicos com tubos aletados.
seçao reta umí
aleta plana de seçâo reía variáveli (c) aleta anular; (d) alete piniforme
80
Uma aleta plana é qualquer superfície expandida ligada a uma chapa plana. Pode ter a área
da seção reía constante (a) ou variável (b) com a distância x à chapa. As seções reías
apresentam geometrias retangulares cujas áreas podem ser expressas como o produto da
espessura da aleía t pela largura w. Uma aleta anular (c) é aquela acoplada à periferia de
uma cilindro, e a sua seção reta varia com a distância radial ao eixo do cilindro. A área da
seção é dada pelo produto da espessura t pela circunferência ITO" . Em contrapartida, uma
aleta pimforme (d) é uma superfície expandida com uma seção circular. Ela também pode
ter a seção reta, uniforme ou não.
Numa determinada aplicação, a escolha de uma configuração particular de aletas
pode depender de considerações sobre o espaço, o peso, a fabricação e o custo, e também
sobre a forma em que as mesmas reduzem o coeficiente de convecçao na superfície e
aumentam a perda de carga associada ao escoamento sobre elas.
3.5.1 - Uma Análise Geral de Condução
Na análise de condução interessa-se em saber a extensão da melhoria da dissipação
de calor de uma superfície para o fluido circundante que se pode conseguir com uma
superfície expandida, ou com um a configuração aletada, Para se determinar a taxa de
transferência de calor associada a uma aleta, deve-se obter inicialmente, a distribuição de
temperatura ao longo da aleta. Conforme se fez o com os sistemas anteriores, baseia-se por
um balanço de energia num elemento infinitesimal apropriado,
Considere a superfície expandida da Figura 3.15. A análise fica mais simples quando
se faz algumas hipóteses. Admitem-se as condições de condução unidimensionais na direção
longitudinal (x), embora a condução na aleía seja, na realidade, bidimensional. A taxa de
convecção da energia para o fluido, em qualquer ponto da superfície da aleta, deve ser
equilibrada pela taxa de afluência de energia nesse ponto, provocada pela condução na
direção transversal (y,z). No entanto, a aleía na prática é delgada e as variações de
temperatura na direção longitudinal são muito maiores que as na transversal.
t&4<—l ^wm
'~Y
/f
/ ^¥^-A,^
/ ã:^S/
v
energia numa
;S (J
+
Í4-^feA
ta chstnbmçao de temperatura aparece esquer
83
redução na transferência condutiva de calor qx(x)
provocada pe!as perdas convectivas contínuas na superficie da
transferência de calor pela aleta ^ pode ser estimada
ambos com a utilização da distribuição de temperatura
(Figura 3.17). O procedimento mais simples envolve a aplicação da Lei de Fourier à
isto e:
(3.71)
senh{ynL)+ (k/(mk)) • cosk[m(L - x)]
+
(3.72)
Por outro lado, a conservação da energia afirma que a taxa de transferência convecíiva
de calor pela aleta deve ser igual à taxa de condução através da base desta. Assim, o
outro procedimento para o cálculo de ^é:
= ^h-[T(x)-T^]dA, ou ^= J^fx^ (3.73)
onde As é a dreüf superficial total da aleta, inclumdo a área da ponta, A entrada da
equação (3.70) na equação (3.73) levará à equação (3.72),
A segunda condição corresponde à hipótese de a perda térmica convectiva pela ponta
poder ser tratada como adiabáíica e:
(3.74)
x=L
Entrando com a equação (3.66), e fazendo a divisão por m, obtém-se:
mL
>-se
os resultados na
Usando-se esta expressão com a equação (3.69), para resolver em C? e €2, e levando-se
(3.66), obtém-se:
(3.75)
Com esta distribuição de temperatura na equação (3.71), a taxa de transferência de
calor peía aleta fica então:
^c) vb (376)
(C) Como no caso anterior, é possível se ter a distribuição de temperatura na aleía e a taxa
^ e
'L! v b i+
ï ^ L com
(3.77)
(3.78)
(3.79)
(3.80)
Transferência convectiva -x]\+
cos^nL)^-{hl(ï
(3.^
(3.75)
ih(mL}+ {h/(mk))'cosh{mL)
:h{mL}+ [h/(mk)}- senh{mL)
(3.72)
ígh{mL) (3.76)
Temperatura fixada
(3,77)
'L!vb. (3.78)
Aïeta infinita (L —> w)
e— (3/ (3.i
comportamento térmico de uma aleta fíca bem mais
Nesses casos, é necessário manter a
da equação (3.61), e as soluções não tem mais a
lês. O desenvolvimento dessas soluções
;vo deste texto,
emplo 37
25mm, muito comprida, tem uma extremidade
a 100 C. A superfície da barra está exposta ao ar ambiente a 25°C, com um
coeficiente de transferência convecíiva de calor de lOW/m K.
l. Quais são as perdas térmicas das barras consímidas em (a)cobre puro e (b) aço
2. QuaÍ deve ser o comprimento das barras (a) e (b) para que elas possam ser consideradas
, üUUlpllUÍl, CÂpUSLcl <1\J ÍU ÏHllUlClltC.
cobre e numa outra de aço inoxidável.
que possam ser consideradas infinitamente longas.
n-ioo°c
2?-0,025m /Ar ^=25°C^
k= lOW/m2-K
_F—^
L—> QO
ao longo
como
ia de
Tabela A.1, cobre [T = (Tb + T^/2 - 62,5°C « 335 K]: ^ = 398W/mK,
Tabela A.1, aço inoxidável, AISï 316 (335 K): k = l4W/m-K,
equação (3.80), a perda de calor é q^ =M ^^(h-P'k-A^)-Q^. Então, temos
tara o cobre:
q^ = 70 x (71 x Q,025)x 398 x ^(^,02jy x (J<?<? - 25) .-. q^ = 2^W
o aço inoxidável;
q = S0x(nx0,025)xl4y \n-(Q,025}2 \x(lff0-25) :. q^ =5,5W
2. Uma vez que não há perda térmica na ponta de uma barra infinitamente comprida, pode-
se ter uma estimativa da validade desta aproximação mediante a comparaçãoentre as
equações (3.76) e (3.80). A fim de ter uma aproximação satisfatória, as expressões
proporcionam resultados equivalentes se ïgh(mL) ^ 0,99 ou mL ^ 2,65. Então, podemos
admitir que a barra seja infinitamente comprida se
LiL.=^-=2,6S.
m
(a) no caso do cobre,
L^^2,65x^
Então,
XlX/
S0x(nxõ,025)
(b) no caso do aço inoxidável,
L_2,65.jl^t^o^=0,25^
^--,^^ ^x(7rx0^2J) -"'A
ComesEtários: Os resultados anteriores sugerem que a taxa de transferência de calor pode
ser prevista com exatidão mediante a aproximação de uma aleta míinita, se mL > 2,65, No
entanto, se tal aproximação visar prever exatamente a distribuição de temperatura T{x}, será
necessário um valor mais elevado de mL Obsen/a-se o efeito da condutiviáade térmica
87
Com visto
icie,
^ *
aletas são usadas para aumentar a
da área superficial real. No entanto, a própria aleía
à transferência de calor da superfície original. Por esta
de que a taxa de transferência de calor aumente graças ao uso de
questão mediante a efetividade da aleía {ëf), a qual
taxa de transferência de calor com a aleía e a taxa
(3.81)
aleta, na base. Num projeto razoável, o valor de f/deve
geral, o uso de aletas raramente se justifica, a menos que
>
Com qualquer uma das quatro condições na ponta que se analisou (x ^ L), a
efetividade de uma aleta de seção reta uniforme pode ser calculada pela divisão da
expressão apropriada de ^/-(Tabela 3.3) por h-Ac.b-Ob- Na aproximação por aleta infínita, o
e
(3.82)
e daí podem-se deduzir importantes tendências. Evidentemente, a efetividade de uma aleta
aumenta com a escolha de um material de condutividade térmica elevada. Embora o cobre
seja superior do ponto de vista da condutividade térmica, as ligas de alumímo são mais
comuns em virtude dos benefícios adicionais relacionados ao custo mais baixo e ao peso
menor. A efetivídade da aleta também aumenta quando aumenta a razão entre o perímetro e
a área da seção reta. Por isso, o uso de aletas delgadas, montadas com pequeno
espaçamento, é o preferido na maioria das aplicações da engenharia. A equação (3.82)
também sugere que o uso de aletas fica mais bem justificado em condições de pequeno
coeâcieníe de convecçâo h. Pela Tabela 1.1, fica evidente que a necessidade de aletas é
mais forte quando o fluido for um gás, e não um liquido, e, especialmente, quando a
transferência superficial de calor se fizer por convecção livre. Quando as aletas estiverem
numa superfície que separa um gás de um liquido, serão em geral montadas no lado do gás
(lado de coeficiente de convecção mais baixo). Um exemplo comum é o da tubulação num
radiador de automóvel, onde as aletas ficam na superfície externa da tubulação sobre a qual
há o escoamento de ar ambiente (h pequeno), e não na interna na qual há o escoamento de
água (h grande). Observe que se €/> 2 for usando como critério para justificar a adoção de
aietas, a equação (3.82) impõe a exigência kP/HÂe > 4.
A equação (3.81)
ï. No entanto, com
transferência de calor
ponta da aleía, 98% da
2,3, Portanto, haveria
um limite superior para £f, atingido quando L tende para
não é preciso usar aletas muito compridas para conseguir
do máximo. Quando se admite uma condição adiabática
transferência de calor máxüna possível é atingida quando
sentido em se estender as aletas além de L
it,f
aleía também pode ser quantificado em termos da resistência
entre as temperaturas na base e no fluido como o potencial
Íe ser definida como;
(3,83)
Dividindo a expressão da resistência térmica da base exposta Ri.i, pela equação (3.83), e
levado em conta a equação (3.81), vem:
it^ (3.84)
tc^
E/=:
lí,A
t..f
(3.85)
Então, a efeíividade da aleta pode ser interpretada como a razão entre as duas resistências
térmicas; para aumentar Sf é necessário reduzir a resistência da aleta à condução e à
convecçâo. Se a aleta tiver que aumentar a transferência de calor, a sua resistência não deve
exceder a da base exposta.
Uma outra medida do desempenho térmico da aleta é a eficïência da aïeta (n f). O
potencial motriz máximo para a convecção é a diferença de temperatura entre a base (x ^ 0)
e o fíuido: 0b ^ Tb - T». Então, a taxa máxima de dissipação de energia pela aleta é a taxa
que existiria se toda a superfície da aleía estivesse na temperatura da base. No entanto, uma
vez que qualquer aleta se caracteriza por uma resistência finita à condução, há um gradiente
de temperatura ao longo da mesma e a condição isotérmica é uma idealização. Uma
de&úção razoável da eficiência da aleta é assim:
(3.86)
-A,-Q,
onde Áf é a área superficial da aleta. Numa aleta plana de seçâo reta uniforme com a ponta
adiabática, as equações (3.76) e (3,86) levam a
(3.87)
B. l, este resultado mostra que r)f tende para os valores máximo (l) e
mínimo (0) quando L se aproxima de O ou de ac, respectivamente.
Em lugar da expressão um tanto incomoda da transferência de calor por uma
retangular com a ponta ativa (equação 3.72), sugere-se usar uma fórmula
exata, que se obtém com os resultados da ponta adiabática (equação 3.
comprimento corrigido da aleta, com a forma Lc ^ L + (í/2) [9]. Então, a taxa
transferência de calor na aleía com convecção na ponta pode ser aproximada por
(3.88)
(3,89)
associados com a
(w) da aleía for muito maior
aproximação são /eis se hí l k < 0,0625. Se a
o perímetro (P) pode ser
Multiplicando-se o numerador e o denoinmador por Lc e introduzindo-se uma área
corrigida do perfil da aleta (Ap = L<í\ segue-se que
( ^ V/2
m4.=£f-]^| (3.90)"-'c \fc4j
Então, conforme mostra a Figura 3.18, a eficiência de uma aleta retangular, com convecção
em
3/2 J/2
Embora a discussão anterior tenha se limitado a aleías com a seção reta uniforme,
são também usadas outras geometrias. As soluções exatas da equação (3.61), com Ac
função de x e As variando não-linearmente com x, são muito mais difíceis de serem obtidas.
Os resultados dessas soluções podem ser representados graficameníe, conforme as Figuras
3.18 e 3.19. Uma aleía plana triangular (y -x) é atraente pois, para uma dissipação térmica
equivalente, exige muito menos volume (material da aleta) que a aieía de perfil retangular.
A este respeito, a dissipação por unidade de volume (q/V)f é máxima para um perfíl
parabólico (y -^}. No entanto, uma vez que fçf/P}/para um perfil parabólico é apenas um
maior que oara um perfil triangular, iustifica-se raramente a sua adoção em face dos
custos muito mais elevados da fabricação. A aleta anular^ com perfil retangular, é
comumeníe usada para aumentar a transferência de calor para tubos circulares, ou de tubos
circulares.
Nas Figuras 3,18 e 3.19, as eficiências das aletas estão plotadas em função do
c •(h/(k'Âp)}l/2 que se deduziu para a aleta plana retangular. No caso áa aleta
anuíar ÇFigura 3.19), usa-se um comprimento corrigido da aleta a fim
efeitos da convecção na ponta da aleta.
90
de levar em conta os
y"^
LC^L
Ap ^ Lf/3
» L + í/2
^Lct
0,5 1,0
r3/2
'±
^í/2
1,5
a/2
y-s.
"^.
J;
i
he-
±£wT'
2,0
L^
A,=
L
Lt/2
2,5
ÏÏgura 3,Í8 - Efíciência de aietas planas (com perfis retangularcs, trtangulares e parabólicos),
F&aK Fï + í/2
Lc=í,+í/2
»LCÍ
.-i
n»
Figiara 3.19 - Eficiência global da superfície
A eficiência das aletas, obtidas de gráficos, podem ser usadas para calcular a taxa real de
transferência de calor pela aleía mediante a expressão
=T1/-9^ =-v\^h-A^ (3,91)
onde as áreas superficiais das aletas (a) retangulares, (b) triangulares, (c) parabólicas e
(d) anulares podem ser aproximadas por:
91
l/(^}
+! -
(3.92a)
(3.92b)
1/(.
+
'3c 'Ï
(3,93a)
(3.93b)
As superfícies expandidas têm numerosas aplicações na engenharia. Devem ser
de Schneider [10] e Kem & Kraus [11] para discussões
superfícies exí
os trabalhos
A eficiência global da superfície T] p caracteriza um conjunto de aletas e a superfície
base sobre a qual estão montadas. Na Figura 3.20 aparecem montagens representativas
S designa o passo das aletas. Em cada caso, a eficiência global se define por:
^ (3.94)
l("é
qi é a taxa total de calor e ^4/ é a área total exposta das superfícies aleíadas e nua. A
de transferência de calor máxima possível ocorreria se toda a superfície das aletas, e
também da base exposta, fossem mantidas à Th.
Figura 3.20 - Montagens represeiïíativas de aletas: (a) aleías retangulares: (b) aletas aïiulares
Decompondo a área supetíScial total nas parcelas devidas à superfície
nua (Aí ^=Af+Âb), a taxa total de transferência de calor pode s
^k-A^-Q.+h-Ar-T\.'Q,
ï/ é a eficiência de uma aleta. Então:
cie
por:
(3.95)
92
^=^H4-^/j+^/tn/J^=^4-
Combinando-se as equações (3.96) e (3.94), vem:
A,
^=l-^-(Ï-^\f)
(3.96)
(3.97)
Usando-se os gráficos .das Figuras 3.18 e 3.19 para estimativa da eficiência de uma aleta
individual Cïï/), pode-se estimar a eficiência global (r\o) e por conseguinte a taxa total de
transferência de calor num conjunto de aleías (equação 3.94).
Exemplo 3.8
O cabeçote do motor de uma motocicleta é construído em liga de alumínio 2024-T6,
tem a altura H = 15cm e diâmetro externo D = 50mm. Em condições operacionais típicas, a
superfície externa do cabeçote está a 500K e exposta ao ar ambiente a 300K, com um
coeficiente de convecção de 50W/m K. Para aumentar a transferência de calor, montam-se
no cabeçote aletas anulares, de perfil retangular. Admitindo que se montem cinco dessas
aletas igualmente espaçadas com espessura t = 6mm e comprimento L = 20mm, qual é o
aumento da transferência de calor proporcionado por elas ?
Solução:
Dados: As condições operacionais do cabeçote de um motor de motocicleta, com aletas.
Incógnitas: O aumento da transferência de calor associado às aletas.
Esquema:
Corte do cabeçote
(liga de alumínio 2024)
T&-500K T^300K
h = 50W/m2'K
Ar
í^ómm
r j=2 5 mm
?'2=45mm
93
l. As
2. A.
3. As
5.
regime permanente,
aletas é unidimensional na direção radial.
são constantes.
interna de calor,
com o ambiente são desprezíveis,
convecção é uniforme sobre toda a superfície externa (aletada ou nua).
Propriedades; Tabela A, l, alumínio 2024-T6 {T = 400 K): k - 186W/mK.
as aletas montadas, taxa de transferência de calor é q = q^ + ç^
(3,91), a taxa de transferência de calor na aleta é Çy == N -r[^ • q^., onde N é
de aletas e, pelas equações (3.91) e (3.93b): q^, = 2'n-h-[r^ -rf)'{T^ -T^}.
transferência de calor pela superfície nua do cilindro é q^ == k- Â^ • (ï,, ~ T^) onde
q={N^,-h-2v-{r^ -r;).(r> -T^}+(h-(H - Nl}-(2nr,)-(T, - T.))
A eficiência da aleía pode ser conseguida pela Figura 3.19, com:
2c ' 2
-+-r=^
-^ = 7,92
^
4 =L,-í^ 1,38x10
1/2
-3/2
^ }
Figura 3.19, T] f w 0^95, Segue-se então que
5 x \Q,95 x 50 x 2nx [õ, Ô482 - 0,0253)x (SOO - 30ô)\= SQÏJt
59 x (0,15 - 5 x 0,ÔÔ6}x (271 x Q,025 ))x (500 - 300} ^ 188,50
+,
i, a taxa de transferência de calor seria q^, == h • Â • {ï^ - T^ ) onde
•r^H. Assim,
x^,^^ xü,lï}x
tenham melhorado significativamente a dissipação témúca do
mais considerável se o número de aletas fosse aumentado pela
e (3,97). Com Af
a equação (3,97) í
jt^'ï\9'h'At^& ou
pelas aletas também poderia ser calculada pelas equações (3 94)
n^2c • fzí} = 0,^3m2 e Ai ^Af+ {H - N^-{2^fi) = 0,072m\
ss- l » QJ36^{1 - Q,95} = 0,963. Portanto, pela equação (3.94),
Õ,9é3 x 5Q x 0,072 x {5QQ-3W}ss 690 W.
[i] Fried, E,, 'Thermal Conduction Coníribuíion to Heat Transfer aí Contacís" m R.P.
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1972.
3.1-0 vidro traseiro de um automóvel, com espessura de 4mm, é desembaciado pela
passagem de uma corrente de ar quente a 40°C sobre a sua face interna, com
coeficiente de convecção associado de 30W/m -K. Quais as temperaturas das
superfícies interna e externa do vidro, quando a temperatura do ar ambiente externo
for de -10°C, e o coeficiente de convecçâo associado à troca térmica na face externa
for de 65W/m2.K ?
3.2 - Num certo processo de fabricação, uma película transparente é aplicada a um
substrato, conforme mostra a figura que se segue:
m)
Lf-=250[ím
\L^== Imm
^=0,025W/m-
k, = 0,050W/m.
Para fazer a cura da ligação, na temperatura To, usa-se uma fonte de radiação que
ff
proporciona um fluxo térmico q o [W/mz], totalmente absorvido na superfície da
ligação. O substrato tem a face posterior mantida a Tj e a face da película exposta ao
ar na temperatura T^ , com um coeficiente de transferência convectiva de calor h.
(a) Esquemaíizar simbolicamente o circuito térmico que represente a transferência de
calor em regime permanente. Tenha a certeza de nomear todos os elementos, os
nós e as taxa? de calor.
(b) Calcular o fluxo de calor q" o necessário para manter a superfície ch ligação a
To = 60°C quando 7, - 20°C, h - 50 W/m2.K e Ti - 30°C.
1,3
96
de 7mm de espessura
cada, com um espaço cheio de ar entre elas de 7mm. A janela separa os ares dos
ambientes interno (à 20°C) e externo (à -10°C). O coeficiente convectivo associado à
face interna (no lado do ambiente interno) é lOW/m -K, e o associado ao lado externo
ia, com
os vidros esteja em
3.4 - A os materiais A,
Lc= 15cm. A
Em coi
k0,
ar no forno
>2de calor é h = 25W/m^-K. Qual o valor de ka
C, e o
^
e C cujas espessuras são
condutividade térmica de A e
material B, que está entre as
térmica (ka) desconhecida.
medições de temperatura na
interna T,.; ^ 600°C. A
convectiva
T. .
s- s.i
líquido a 100°C. O coeficiente
2
um reíngerante
i -K e no lado
oxiüo ae üenlio no
lado do gás, com lOmm de espessura, e uma chapa de aço inoxidável (AISI 304) de
20mm de espessura no lado do líquido. A resistência de contaío entre o óxido e o aço
é 0,05 m -KAV. Qual é a perda térmica por área unitária superficial do comDOSto?
regime permanente, toda a
corrente de fluido na qual
fluido por uma cobertura de
97
alumínio, com 2mm de
alumínio é 0,05m -KAV. A á
máxima admissível é 85 °C.
chipl
Fluido
sura, e a resistência térmica de contato na interface chip-
área superficial do chip é de lOOmm e a temperatura
Qual é a dissipação de potência máxima permissível no
encapsulamento
Cobertura dá alumínio
3.7 - Num único circuito integrado {chip) podem ser colocados aproximadamente 10
componentes elétricos discretos, com uma dissipação do calor gerado eleíricamente
tão alta quanto 30kW/m . O chip, que é muito delgado, é resfriado por convecçâo na
sua superfície externa, com ho = lOOOW/m •K e T^ ,o = 20°C. Ele está montado numa
placa de circuito em contato com a sua face interna, onde a resistência térmica de
contaío entre o chip e a placa é 10 m -KAV, a espessura da placa é L ^ 5mm e a
condutividadetérmica é ks = l W/m-K. A outra face da placa está exposta ao
ambiente com hi = 40W/m2-K e T^,, = 20°C.
Refrigerante
(T^,,h,)
-&-
-^
-^
i^^^^^^^^ffiSi^^^^^^^^^
Chip (q c, Tc)
Resistência térmica de contato ( R t,c)
Placa de circuito ( ka )
(a) Esquematizar o circuito térmico equivalente que corresponde ao regime
permanente. Indique as resistências, temperaturas e fluxos térmicos.
(b) Qual é a temperatura do chip em condições de regime permanente, com a
dissipação térmica do chip de q e ^ 30kW/m ?
3.8 - Na chapa de absorção de um coletor solar de chapa plana estão soldadas tubulações de
cobre, conforme a figura. A chapa de absorção tem 6mm de espessura e é feita em
liga de alumínio (2024-T6). A face superior da chapa esta separada de uma chapa de
98
cobertura transparente por um espaço evacuado. Os tubos de cobre estão
regularmente espaçados um do outro de L = 0,20m e há circulação de água no
interior de cada um para remover o calor recolhido pela chapa de absorção. Pode-se
admitir que a água esteja na temperatura uniforme Tw ^ 60°C.
Chapa de cobertura
Espaço
evacuado
Chapa de absorção
Água Tv,
Em condições de operação em regime permanente, nas quais o fluxo líquido de
radiação na superfície é q rad ^ 800W/m :
(a) qual é a temperatura máxima na chapa ?
(b) qual a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento dos tubos?
Observar que q rad representa o efeito líquido da absorção de radiação solar pela
chapa homônima, e a troca radiativa entre as chapas de absorção e de cobertura.
Pode-se admitir ainda que a temperatura da chapa de absorção, diretamente acima de
um tubo, seja igual à temperatura da água.
3.9 - Determinar o aumento percentual da transferência de calor provocado pela colocação
de aletas de alumínio com perfil retangular numa chapa plana. As aletas têm 50mm de
comprimento, 0,5mm de espessura e estão igualmente espaçadas de uma distância de
4mm (250 aletas por metro). O coeficiente de convecçao associado à chapa nua é
40W/m2-K, enquanto o provocado pela colocação das aletas é 30W/m -K.
3.10 - Uma aleta anular de alumínio, com perfil retangular, está montada num tubo circular
com diâmetro de 25mm e temperatura superficial de 250°C. A aleta possui Imm de
espessura e lOmm de comprimento, e o fluido adjacente está a temperatura de 25°C
com coeficiente de convecção associado de 25W/m -K.
(a) Qual é a perda de calor por aleta?
(b) Se 200 aletas estiverem espaçadas de 5mm ao longo do comprimento do tubo,
qual é a perda de calor por metro de tubo?
99
Até agora focatizou-se a atenção na transferência conduíiva de calor e só se
lacrou a convecçâo na medida em que ela proporciona possível condição de contorno
Ifttobtemas de condução. No Item l ,2.2 usamos o conceito áe convecçâo para descrever
sferência de energia entre uma superfície e um fluido em movimento sobre esta.
ra a difusão (movimento aleatório das moiéculas do fluido) contribua para este tipo de
ferência, a contribuição dominante é a provocada pelo movimento geral, de massa, das
Eiculas ao fluído,
No tratamento sobre a convecção, existem dois objetivos maiores. Além de se
tender adquirir entendimento sóHdo sobre os mecanismos físicos que estão subjacentes à
ferência convectiva, deseja-se também desenvolver os meios de efetuar os cálculos da
isferência convectiva. Neste capítulo, são introduzidos os efeitos da transferência
/ectiva de massa, analogameiïte com os da transferência convectiva de calor. Na
isferência de massa pela convecção, o movimento geral do fluido combina-se com a
isâo para promover o transporte de uma espécie, na qual e?dste um gradiente de
icentraçâo.
-4.1 -O
Considere o escoamento nas condições da Figura 4. la
"n, T»
A.. T,
—> ^~
x—^ l»~dx
w L
Figura 4. l - Efeitos local e total da transferência convectiva de calor:
(a) superfície com forma arbitrária; (b) chapa plana.
O fluido, com velocidade V e temperatura Too escoa sobre uma superfície de forma
prbiírária e de área A, A superfície, por hipótese, está a uma temperatura uniforme Ts e, se
|T, -^ T^ ocorrerá a transferência convectiva de calor. O fliíxo de calor local q" pode
lexpnmir-se como:
-Tj (4.1)
onde h é o coeficiente local de convecção. Em virtude de as condições de escoamento
variarem de ponto para ponto sobre a superfície, q e também h se diversificarão ao longo
100
superfície, ou seja,
obtida pela integração
(4.2)
(4.3)
No caso especial do escoamento sobre uma chapa plana (Fi
distância x da borda frontal e a equação (4.5) se reduz a
(4.5)
Ib), h varia com a
(4.6)
Resultados semelhantes podem ser conseguidos para a transferência convectiva de
massa. Se um fluido, com a concentração molar desta espécie Q,® [kmoVm ] escoa sobre
uma superfície na qual a concentração da espécie A se mantém com um valor uniforme
CA,S ^ Q,<z, (Figura 4.2a), ocorrerá a transferência convectiva da espécie considerada.
L2 •• Efeitos loca! e total da
(a) superfície com forma
convectíva <
•ária; (b) chapa plana.
aporaçâo, ou
ï, e o nosso interesse e
de calor, o cálculo po< se
se transfere para uma corrente de gás em
de uma superfície líquida ou sólida
a taxa desta transferência. Como no caso
basear no uso de um coeficiente de convecção
'M~:
101
ode-se relacionar o fíuxo molar da espécie A ao produto de um coeficiente
por uma diferença de concentração. Tendo em vista a Figura 4.2, o fluxo
A (N A [kmo!/s'm ]) pode exprimir-se como
A,s '- A^
(4.7)
onde kssi [m/s] é o coeficiente de trcmsferência convectíva de massa A taxa total da
de massa para uma superfície, NA [kmol/s], fica eíïtão expressa por:
A ~ "m Ja» \^^,í ^'.4.°°, v'"
coeficientes médio e local da transferência convectiva de massa estão relacionados
(4.9)
chapa plana , Figura 4.2b, segue-se que
^
(4.10)
A transferência de uma espécie química também pode ser expressa como o fluxo de massa
n A [kg/s'm], ou como a taxa de transferência de massa HA [kg/s], pela simples
multiplicação dos dois membros das equações (4.7) e (48) pela massa molecular MA
[kg/mol] da espécie A. Assim,
tl» V) A ,S ~ P A ,a> (411)
(4.12)
ÍI»^PA,S ~ P Afl
^A =Ï^^A^~PA,.)
PA [Íí-g/m ] é a massa específica da espécie A.
A fim de se efetuar o cálculo de transferência convectiva de massa, é necessário
terminar os valores de CA.S, ou de pA.s Esta detenrúnação se faz com facilidade
observando-se que na interface do gás com a fase sólida, ou líquida, existe o equilíbrio
termodinâmico, A existência deste equilíbrio impõe a igualdade entre a temperatura da
interface T,. Uma segunda consequência é a de o vapor estar saturado, e neste caso, as
tabelas termodmâtnicas (como a Tabela A. 6 para a água) podem ser usadas para se obter as
densidades a partir do conhecimento de Ts. Com uma boa aproximação, a concentração
molar do vapor na superfície pode também ser determinada a partir da pressão de vapor,
mediante a ÍeÍ dos gases perfeitos:
(4.13)
concentração molar estão
4.1, 4.4, 4,7 e 4.8)
de diversas
devido a transferência
suoerticie muito
transferência de calor h
/\
^Jf,
transferência de calor
103
Análise:
l. Pela equação (4,6), o valor médio do coeficiente de íransferência convectiva de calor
sobre a região de O até x é
x
Com a expressão do coeficiente local h^ (x) = ax~ff'1 e a integração dá:
0,1 .-0,Í.
x
a (x^6'9
x [ 0,9
-0,1
X — J-f
2. A variação de ïïx e de h^ é a seguinte:
Í=1,<
V̂t
rf;
Comentários: O desenvolvimento da camada limite provoca a diminuição dos coeficientes
local e médio com o aumento da distância à borda frontal. O coeficiente médio até x deve,
por isso, ser maior que o valor local em x.
fim de introduzir o conceito de camada limite, considere o escoamento sobre
na da Figura 4.3.
Corrente livre
Figura 4J - Desenvolvimento da camacb Hmiíc cinética sobre uma chapa plana.
104
nos plan<
), O
i coníaío com a superfície, a velocidade
io o movimento das que estão na camada
) movimento das partículas na camada
ma distância y ^ Ô da superfície, o efeito
.o fluido éuma consequência das tensões
à velocidade do fluido (Figura 4.3). Com
então crescer até atingir o valor a» da
as condições da corrente livre, fora da
aumenta (ô aumenta com x).
Em virtude de referir-se à
pode ser denominada mais especifi
desenvolve sempre que um fluido
fundamental nos problemas que
Fluidos, o seu signifícado para o engí
de cisalhamento na superfície T,, ou
escoamento externo a um corpo, ela
de atrito local Cf
e se define nos casos típicos como o
limite representa a
se caracteriza por
fluido (a camada limite), na qual os
são grandes, e uma região externa à
tensões de cisalhamenío têm gradientes
à borda frontal da chapa, os efeitos da
livre, e com isso a camada limite
do fluido, a camada limite que se descreveu
ïcamente como a camada limite cinética. Ela se
escoa sobre uma superfície e tem importância
o transporte convectivo. Na Mecânica dos
enheiro provém das relações que guarda com a tensão
>u seja, com os efeitos do atrito na superfície. No
proporciona a base para a deíerminação do coeficiente
2 lP-</2
o qual é um parâmetro
provocado pelo atrito na
na superfície pode ser calculada pel(
(4.14)
pode determinar o arraste
a tensão de cisalhamento
de velocidade na superfície
(4.15)
ly=<?
105
4.2.2 - A Camada Limite Térmica
Assim como uma camada limite cinética se instala quando houver o escoamento de
um fluido sobre uma superfície, a camada limite térmica deve se desenvolver quando as
temperaturas da corrente livre e da superfície forem diferentes. Considere o escoamento
sobre uma chapa plana, isoíérmica (figura 4.4).
Corrente livre
St(x)
Camada limite
térmica
Figura 4.4 - Desenvolvimento da camada limite térmica sobre uma chapa isotérmica.
Na borda frontal, o perfil de temperatura é uniforme, com T(y) = Tco. No entanto,
as partículas do fluido que entram em contato com a chapa ficam em equilíbrio térmico na
temperatura da superfície da chapa. Por sua vez, essas partículas trocam energia com as da
camada de fluido adjacente desenvolvendo assim gradientes de temperatura deste. A região
do fluido na qual existem tais gradientes é a camada limite térmica, e a sua espessura Si é
definida nos casos típicos como o valor de y para o qual a razão {Ts - T)/{Ty - Tw) == 0,99,
Com o aumento da distância à borda frontal da chapa, os efeitos da transferência de calor
penetram mais profundamente na corrente livre, e a camada limite térmica aumenta.
E facilmente possível demonstrar a relação entre as condições nessa camada limite e
o coeficiente de transferência convectiva de calor. A qualquer distância x da borda frontal
da chapa, o fluxo local de calor pode ser obtido mediante a Lei de Fourier aplicada ao
fluido em y == 0. isto é:
õy
(4.16)
y^O
Esta expressão é apropriada pois na superfície não há movimento do fluido e a
transferência de energia ocorre somente por condução. A combinação da equação (4.16)
com a lei do resfriamento de Newíon (equação 4. l) dá
\y=0 (4.17)
Uma vez que
o aumento •
106
cinética e térmica, que influenciam fortemente o
determinam a taxa de transferência de calor
\^e7
rs - Too) é um a constante independente de x, e
x, os gradientes de temperatura na camada limite
brma, a grandeza 9T/ôy\ „ diminui e com isso,
~^ç
'Â,a>f
;-se como o
das espécies químicas A e B
A na superfície CA.S difere da
de uma camada Hmite de
de concentração cuja
G)/(Q.," Q..) = (?,99. A
;ie e a corrente livre de
lê ser
associado à transferência
Lei de Fourier que traduz
o qual {CA,S
química, entre a
camada limite.
transferência convectiva de uma espécie e a concentração na
considerando-se, inicialmente, que o fluxo molar
da espécie é determinado por uma expressão análoga à
FÍck e tem a forma;
(4.18)
como o coeficiente de difusão
(camada limite de concentração da
geral do fluido e à difusão.
transferência das espécies ocorre
Com a Lei de Fick em y = 0, o fluxo de uma espécie, a qualquer distância da borda
õy
con-esponüeníe
4.5), a transferência das espécies se
>, em y ^ 0, não há movimento
>
(4,19)
y^e
Combinando as equações (4.7) e (4.19), vem
107
'AB
\y^Q (4.20)
A,s ^A,^
Portanto, as condições na camada limite de concentração que influenciam
fortemente o gradiente de concentração na superfície QC^/õy\ , afetarão também o
coeficiente de transferência convectiva de massa e, conseqüentemente, a taxa de
transferência da espécie na camada limite.
Mistura de
Corrente livre
Ôc(x)
Camada limite
de concentração
Figura 4.5 - Desenvolvimento da camada limite de concentração sobre uma superfície plana.
Os resultados anteriores se exprimem também numa base de massa em lugar da base
moÏar. Multiplicando os dois membros da equação (4.18) pela massa molecular da espécie
{MA\ o fluxo de massa devido à difusão é
SP.
' AB (4.21)
Usando esta equação em y = 0, e combinando-a coma equação (4.11), vem
^PA\
y=0
PA,S '~PA,^
(4.22)
Num determinado ponto da superfície da água que está numa bandeja, foram feitas
medidas da pressão do vapor de água RA [atm] em função da distância y à superfície. Os
resultados estão no gráfico seguinte.
108
y(mm)
Determinar o coeficiente de transferência convectica de massa hm.x neste ponto,
Dados; A pressão parcial do vapor de água PA em função da distância^ a um certo ponto na
superfície de uma camada de água.
iïicósnita; O coeficiente de transferência convectiva de massa no ponto determinado
Esquema;
p*, t " 0^0 atm
y-Tangenteemy = O
p^ = 0,02 atm
z
2.2 mm
^y
Hipóteses;
l O vapor de água pode ser considerado um gás perfeito
2. As condições são isotérmicas
Propriedades;
Tabela A. 6, vapor de água saturado (0,1 aím=0,101 bar): Ti=:319K
Tabeia A.8, vapor de água-ar (319 K);
DAB (339 K) =DAB (298 K) x (319 K / 298 K)3/2 = 0,288 x 1CT1 m/s,
Análise: Pela equação (4.22), o coeficiente de transferência convecíiva de massa é
'AB iõy
.|'=tí
' A,s K A, «o
ou, tratando o vapor como um gás perfeito
e em condições isotérmicas (T constante):
A partir da distribuição experimentai da pressão de vapor
109
i,=p,.Ã.T-
- D^ • (c '.-t ^\y=Ü
A.s y A.»
i^tf
f^iSë x
=í),Q164m/s
Comentários: A partir do equilíbrio termodinâmico na interface líquido-vapor, a
temperatura interfacial foi determinada pela Tabela A.6.
4.2.4 - Significado das Camadas Limites
Em resumo, a camada limite cinética tem a espessura S(x) e se caracteriza pela
presença de gradientes de velocidades e tensões de cisalhamento. A camada limite térmica
tem a espessura §s(x) e se caracteriza pêlos gradientes de temperatura e pela transferência
de calor. Finalmente, a camada limite de concentração tem a espessura ôç(x) e se caracteriza
pêlos gradientes de concentração e pela transferência de espécies químicas. Para o
engenheiro, as principais manifestações das três camadas limites são, respectivamente, o
atrito superficial^ a transferencia convectiva de calor e a transferencia convecïiva de
massa. Os parâmetros chave das camadas limites são então o coeficiente de atrito C/, o
coeficiente de transferência convecíïva cie calor h e o coeficiente de transferência
No escoamento de um fluido sobre qualquer superfície, existe sempre uma camada
cinética e portanto, existe sempre atrito na superfície. No entanto, a camada limite
e, portanto, a transferência convectiva de calor só existem se a superfície e a
corrente livre tiverem temperaturas diferentes. Analogamente, só existirão a camada limite
concentração e a transferência convectiva de massa se a concentração na superfície de
espécie for diferente da concentração dessa espécie na corrente livre, Podem ocorrer
situações nas quais todas as três camadas limites estejam presentes. Nestes casos, as
camadas limites raramente se estabelecem à mesma taxa e os valores de ô, de §t e de Sc,
certo ponto x, não são iguais.
de c
uma
110
[l] Schlschting, H.JS(nmdary Layer Theory, 7th ed., McGraw - HÍ11, New York, 1979,
[2] Bird, R. B., Síewart, W. E. and Lighfoot, E. N. Transport Phenomena, Chapíers 10
and 18, Wiley, New York, 1966.[3] Eckert, E. R. G., and Drake Jr., R. M., Analysis ofHeat andMass Trcmsfer, McGraw -
Hiiï, New York, 1973, pp. 270 - 275.
[4] Hartnetí, J. P,, "Mass Transfer Cooling", in W. M. Rohsenow and J. P. Hartnett, Eds.,
Handbook ofHeaï Transfer, McGraw - Hill, New York, 1973.
[5] Kays, W. M., and M. E. Crawford, Corsvective Heat and Mass Transfer, McGraw -
HiU, New York, 1980.
[6] Shah, R. K., and A. L. London, Laminar Flo^v Forced Convection in Ducïs, Academic
Press, New York, 1978.
[7] Burmeisíer, L. C.,Corïvectïve Heat Transfer^ WUey - Interscience, New York,1983.
[8] Roache, P. ].,Computcítíonal FÏuid Dynamics, Hermosa Pubíishers, Albuquerque, NM,
1976.
[9] Patankar, S. V., Numerical Heaï Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Publishing
Corp, New York, 1980.
[10] Fox, R. W., and A. T, McDonald, Introduction to Fluid Mechanics, Wiley, New
York, 1978.
[11] Colbum, A. P,, Trans. Am. ïnst Chem. Eng^ 29, 174, 1993
[12] Clúlton, T. R, and A. P. Colbum, ïnd Eng. Chem., 26,1183,1934.
[13] Hmze, J. O, Turbulence, 2nd ed., McGraw - ffill, New York, 1975,
[14] Lauder, B. E., and D. B. SpaÍding, Mathematícal Models of Turbuïence, Academic
Press, New York, 1972.
[15] Bradshaw, P., T. CebecÍ, ana J. Whitelaw, Engjneermg Calculational Methods for
Turbulent Flow, Academic Press, New York, 1981.
Ill
4.1 - Num escoamento laminar sobre uma chapa, o coeficiente local de transferência de
calor kx varia com x , onde x é a distância à borda frontal da chapa (x ^ 0). Qual a
razão entre o coeficiente médio, sobre a distancia da borda frontal até um certo ponto
x na chapa, e o coeficiente
uma superíicie vertical aauecicía, o
.-1/4
ix e o coeficiente no
ponto à distância x da borda frontal da superfície e o parâmetro C, que depende das
fluido, é independente de x, Determinar a expressão da razão
é o coeficiente médio entre a borda frontal (x ^ 0) e o ponto x.
o gráfico da variação de hx e de h^ com x
4.3 - Umjato de gás quente com seçâo reta circular a T^ incide normalmente numa chapa
circular que tem o raio fy e mantida na temperatura uniforme Ts. O gás flui sobre a
chapa, com simetria axial, e provoca um coeficiente de transferência convectiva de
calor que tem uma dependência radial da forma h(r) = a +bf^, onde a, b e n são
constantes. Determinar a taxa de transferência de calor para a chapa, exprimindo o
resultado em termos de Tco, Ta, TQ, ff, b, n
4.4 - O escoamento paralelo do ar atmosférico sobre uma chapa plana com comprimento de
L = 3m é perturbado por um conjunto de barras estacionárias colocadas acima da
chapa. As medidas, em laboratório, do coeficiente local de convecção na superfície da
chapa foram feitos com valores determinados de V e áe Ts> Tw e correlacionados por
uma expressão da forma hx ^ 0»7 + â3,6x ~ 3y4x2, com hx em [W/m K] e x em [m],
(a)
(b) ÏL l ""L
de convecçâo h^ sobre toda a c
borda traseira da chapa.
112
PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS DA MATÉRIA1
ÂJ Propriedades Termofisicas de Alguns Sólidos Metálicos
A.2 Propriedades Termofisicas de Alguns Sólidos Não-Metálicos
A.3 Propriedades Termofisicas de Metais Comuns
Materíms de Construção
Materiais e Sisterrujs Isolantes
Isolamento Industrial
Á.4 Propriedades Termofisicas de Gases na Pressão Atmosférica
A.5 Propriedades Termofisicas de Fluidos Saturados
Líquidos Saturados
Líquïâo-vapor Saturado, latm
Â.6 Propriedades Termofisicas da Agua Saturada
A.7 Propriedades Termofisicas de Metais Liqwdos
A.8 Coeficiente de Difusão Binário a latm
A.9 Constante de Henry para Alguns Gases em Agua. a Pressão Moderada
Á.ÍO Solubilidade de Gases em Sólidos
A conversão adotada para apreseatar os valores numéricos das grandezas fica ilustrada pelo seguinte exemplo:
T v. i O' Í', t O'
(K) (m2/s) (W/m-K)
300 0,349 521
si^üfica v-0,349;<lCTm2/s e Ar=521ïÍO'i::;0.521W/m.K a T - 300K
s"
as
ï tí
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C- ' -O Ct-
5g SR s=
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S£ J- J
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;ç* -:" »•£ g Ï ^3,
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A?, -_.A ±!-; -:* ^^
3- '--
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^s •_••» ^
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f. <p r < l
"ii ii ^,y °3 c: v,
QÏ- -tf—Í ï.ï-^- ÍTÍ^ — ^ r ^3 ^-
^s ^'- wú ^H ^5 = Se ^3
;a :'ë t ^ L. S f _ Ï & f f. •:- ^"1 & ^ 2 S ïw. r 3 1<1. útr 1 L ' i ï-'^ t* ^ - — o ^ y IÏL S °£ '— * ^+ ^; ^1 ?^ ^' K
S £ § ï ^ ^ S ? ?. a s ?;
*• ? '-LïS í3 5 ^S
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•T^ 0^ ^•// ü£rl
f^' Ï r Ïi ^ Ï-!
;§ ^.? $g 3|
i t K t
n
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s
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Taiwla A.3 Propriedades lermufhícas de malcriais comuns"
tíalf riais df con.wufào
uh sfRtÇA n't UM PUS i< A o
AlvennrtB
Ar|tBina-i»a dl
TtjoÏo comum
Tijolo ftc (achmta
Ti j nlo cetim ic o. oco
! c(tula, 10 cm de c-.fx^wï
3 etíulai. -W cm de cijxisuía
Bloct) de fonciclo. 3 (ur<w rcdondus
attisifbnta, 20 cm de «sptsíura
agfegailo de ciniai. 20 cm de cipf.iura
Btoc" de firntFcln, lunn rclangulïffs
2 Imo'.. W cm de rspchsum. Ih kg
O mesmo, com i", furoï chnus
Mate (i ïit ai; nnh<i\n
Lmbiii,<i de cifticnl» f .iffad
iLfnbiiço de g"u> c dici»
Emboço de gcíüi e ^Trrrnajhta
fiiróii <lt fcvcslimcntu. ou eMdm.FDS
Chapa de timtnlo-amianlo
Painel d<- gfiso ou de csluqut
Comp<;n!>n(lu de maileiia
Rrvrnimcnli) ÍMïlanlc, <l<mnl,iilc iCKuliH
Painel iuïlanlc, acúïiicn
Papdán, dcnsiil-ide regula»
Paptla». densidade alta
Aglomtrnd" de madeira, ilniMdu<lc t,a>ia
Agfumtíïdii d< mndnfa. dniMdadt alia
Madriiu
Madeir.-tlc (n
Msitteirit nnik frmihnt
MiHffiin\ f ïislrmas iiíititnln
irrrslimenlo ijc papel
Muni.»
Fibfï .k- -f<}
Mlll.1, dmn
agluUriiKln
»-ihra A: viilr"
! atmuh ç pbcuh
Vidfrt celular
Fibra de vfilru. cnm i.innnt»
Polit-Miícim. tipafnltil"
<-XÉiud.idi)jR.!2»
frfmla-, mnldaáai
(.'h a pa para tflhudiis
Chapa lie i;i»vaf<iï de mjJfii.i
Ch.ipa de foniçu
Lnt-hnnnmn
C'finiç.1 grunul.fila
SilK.-mli.-dimnmikt.ii.
g!ri>nul.fi;ïn grow»
hflirj A' Jiïlomilïïu»
gEitnul;n;in finu
t-ibfti lie viild), 'nipnidii i>u di
Malcrml formado^ ou cspumadü, tri /üro
Oíinulni lie (â mintral cfim cimento de am lu n tuf inorgânico, asptryáo
MaMiqui di cónica t acctatu de püiiviniia; aspïrgido ou aplkado s colhtr
Uttlarta. fnwuiu lie ilua» partts; cffiuma rigida
Kuycsfimrnli)!. n.-fltliiftíi
Fiillia de alumíniii sepoíinnlf marniiï il( ndfu. (<>fa<, IO-1; camddai;
cTSCUBdo, p»t« apiicaçAc^ rriugtnkal (150 K)
Fnlha tle u)um(nio e pnpct lir viam lnminudn; 7?-!ï0 camadas; evatuado,
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