eBook Completo - Topografia Aplicada_SER(VERSÃO DIGITAL)

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TOPOGRAFIA 
APLICADA
TOPOGRAFIA 
APLICADA
Topogra� a Aplicada
Felipe Queiroz MianoFelipe Queiroz Miano
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Caro aluno, seja bem-vindo a disciplina de Topogra� a Aplicada. Ao longo das unida-
des, serão conhecidas a importância da topogra� a nas obras de engenharia, quais 
os métodos de levantamento de informações do terreno e os equipamentos para 
mensuração desses dados, os cálculos para realização de terraplenagem e as nor-
mas técnicas que a regem.
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Conceitos sobre altimetria e nivelamento topográfico
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Altimetria: conceitos e aplicações ................................................................................... 13
Conceitos e aplicações .................................................................................................. 14
Nivelamento topográfico .................................................................................................... 22
Fontes de erros ............................................................................................................... 28
Subprodutos do nivelamento ......................................................................................... 29
Sintetizando ........................................................................................................................... 33
Referências bibliográficas ................................................................................................. 34
Sumário
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Sumário
Unidade 2 – Métodos de nivelamento topográfico
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 36
Nivelamento geométrico .................................................................................................... 37
Nivelamento geométrico simples ................................................................................. 42
Nivelamento geométrico composto ............................................................................. 46
Nivelamento trigonométrico .............................................................................................. 51
Nivelamento trigonométrico para lances curtos ....................................................... 55
Nivelamento trigonométrico para lances longos ....................................................... 57
Sintetizando ........................................................................................................................... 60
Referências bibliográficas ................................................................................................. 61
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Sumário
Unidade 3 - Métodos de levantamento topográficos: planimetria, planialtimetria e 
normatizações
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 63
Taqueometria ......................................................................................................................... 64
Planimetria ........................................................................................................................ 74
Planialtimetria .................................................................................................................. 80
Normatizações técnicas sobre levantamentos topográficos ..................................... 85
Outras normativas importantes ..................................................................................... 87
Sintetizando ........................................................................................................................... 89
Referências bibliográficas ................................................................................................. 90
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Sumário
Unidade 4 - Locações topográficas e cálculos de volume
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 93
Locações topográficas ........................................................................................................ 94
Locação em números ......................................................................................................... 104
Cálculo de volume .............................................................................................................. 108
Cálculo de volume em prismas e sólidos ................................................................. 109
Cálculos de volume empregados na topografia ....................................................... 112
Sintetizando ......................................................................................................................... 118
Referências bibliográficas ............................................................................................... 119
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Caro aluno, seja bem-vindo a disciplina de Topografi a Aplicada. Ao longo 
das unidades, serão conhecidas a importância da topografi a nas obras de en-
genharia, quais os métodos de levantamento de informações do terreno e os 
equipamentos para mensuração desses dados, os cálculos para realização de 
terraplenagem e as normas técnicas que a regem.
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Apresentação
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Agradeço a Deus, pelo dom da vida e da docência, e dedico este livro aos 
meus pais, minha irmã, meus amigos e alunos, além de Beatriz, minha 
parceira, que me apoiou ao longo deste projeto.
O professor Felipe Queiroz Miano é 
graduado em Geografi a pela UNESP, 
Campus Rio Claro (2013), especialista 
em Gestão de Negócios pela ESALQ/USP 
(2016) e em Georreferenciamentode 
Imóveis Rurais e Urbanos pela FATEP – 
Piracicaba (2015). Ministra as disciplinas 
de Fundamentos de Topografi a, Topo-
grafi a e Georreferenciamento, Topogra-
fi a Aplicada, Prática de Levantamento 
Geodésico, Georreferenciamento Apli-
cado, Pavimentação de Rodovias, Proje-
to Geométrico de Rodovias, Tecnologia 
e Infraestrutura dos Transportes, Geo-
logia e Mineralogia, Gestão Ambiental e 
Desenho Auxiliado por Computador.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/8082011135596948
TOPOGRAFIA APLICADA 10
O autor
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CONCEITOS SOBRE 
ALTIMETRIA E 
NIVELAMENTO 
TOPOGRÁFICO
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Contextualizar a importância da altimetria e seus métodos de levantamento 
de campo para a engenharia civil;
 Abordar o nivelamento topográfico e apresentar o objetivo e método de 
levantamento e obtenção de dados em campo.
 Altimetria: conceitos e 
aplicações 
 Conceitos e aplicações
 Nivelamento topográfico 
 Fontes de erros
 Subprodutos do nivelamento
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Altimetria: conceitos e aplicações
Histórico e importância
Ao longo da evolução humana, a humanidade se tornou capaz de desenvol-
ver inúmeras técnicas e métodos para facilitar seu cotidiano, trazer maior con-
forto, comodidade e segurança. Durante o avanço de diversas culturas, como 
os impérios Romanos, Otomanos, Incas e Maias, grandiosas obras de engenha-
ria se tornaram legados ao longo dos séculos.
Até hoje, ainda não se descobriram ao certo os meios para a construção de 
algumas obras, mas há um ponto em comum entre elas: todas as edifi cações, 
vias, estradas, entre outras, foram e são levantadas a partir do solo. Ao obser-
var o terreno em que foram construídas, em sua maioria, as obras estão apoia-
das num solo nivelado em meio a uma circunvizinhança ondulada ou monta-
nhosa, o que quer dizer que o ser humano entendeu que trabalhar, morar e se 
deslocar em terrenos planos é mais efi ciente.
Dentre as técnicas para aplainar o terreno estão o nivelamento; o terracea-
mento, muito utilizado na agricultura para áreas com inclinações elevadas e 
grande erosão hídrica; e a terraplenagem, que consiste na movimentação de 
terra (corte e aterro) para criação de platô. Na sociedade atual, o terreno nivela-
do garante economia numa obra com a compra de materiais, seja na concreta-
gem, fundação ou mesmo, minimizando problemas relacionados às patologias 
de alvenaria como trincas e recalques.
Diante deste contexto, é possível relacionar a importância que a topografi a 
possui. Além do nivelamento (método de levantamento), a Topografi a é uma ciên-
cia que possui como área de estudos a descrição minuciosa, detalhada e fi dedig-
na do lugar/terreno em que será desenvolvido algum projeto. Quanto maior o 
detalhamento do terreno, mais precisa e exata a descrição da área de interesse. 
Por isso, os conceitos de precisão e exatidão devem fi car bastante evidentes.
Os conceitos de precisão e exatidão geram confusão entre os profi ssionais 
atuantes nas diversas áreas da Engenharia. Afi nal, tais conceitos são aplicados 
em quase todos os contextos, porém, devem ser entendidos e diferenciados 
antes de prosseguir nos estudos sobre a Topografi a. Quando se trabalha com 
Topografi a, é importante ter ciência que esses conceitos sempre acompanham 
projetos e levantamentos de campo.
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A precisão pode ser entendida como rigor no registro de uma medida, como 
peso ou valor. Exatidão, por outro lado, é a qualidade daquilo que é exato; é uma ob-
servância rigorosa do correto. Na Figura 1, é possível assimilar a diferença entre os 
conceitos. Na distribuição espacial das marcas nos alvos, o alvo mais à direita possui 
diversas marcas espalhadas ao longo dele, sem nenhuma distribuição simétrica ou 
padrão de acertos - impreciso e também inexato.
Quanto ao alvo à esquerda desse, se observa que há uma concentração das mar-
cas numa porção do alvo, contudo, nenhum deles atinge o centro. Dessa forma, se 
tem uma precisão nas marcas, afi nal, elas estão próximas umas das outras, embora 
inexatas. No terceiro alvo, da direita para a esquerda, há uma marca no círculo cen-
tral do alvo, logo, houve exatidão no disparo, afi nal, o objetivo é acertar o centro do 
alvo, ainda que todas as outras marcas estejam distribuídas de forma aleatória, se 
tornando imprecisas. Por fi m, no alvo mais à esquerda, há uma concentração das 
marcas no centro do alvo. Neste caso, há precisão nos disparos, em virtude da con-
centração nesta porção do alvo e, com o centro atingido, torna-se também exata.
Figura 1. Diferenças entre precisão e exatidão. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 14/10/2020.
Alta exatidão
Alta precisão
Baixa exatidão
Alta precisão
Alta exatidão
Baixa precisão
Baixa exatidão
Baixa precisão
Conceitos e aplicações
Na página 3 da NBR 13133, de 1994, é normatizado o levantamento topográ-
fi co com fi nalidade altimétrica ou de nivelamento, como:
(...) levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação 
das alturas relativas a uma superfície de referência dos pontos 
de apoio e/ou dos pontos de detalhe, pressupondo-se o conheci-
mento de suas posições planimétricas, visando à representação 
altimétrica da superfície levantada.
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O ponto de partida deve entender o conceito relacionado à altimetria. Para 
isso, há de se ter ciência de que esta informação faz menção ao eixo Z de um 
sistema cartesiano tridimensional (x, y e z), ou seja, se trabalha com informa-
ções que permitem identificar os desníveis e as variações de relevo do terreno 
ou da área de estudo para medição, caracterização e implementação de qual-
quer projeto. A partir da interpretação da Figura 2, é simplificada a visualiza-
ção e assimilação de tal conceito com a aplicação do método de levantamento 
altimétrico e a utilização do nível topográfico (equipamento alaranjado fixado 
no topo do tripé) para obtenção e determinação dos desníveis (variações alti-
métricas) em obras.
Figura 2. Determinação de desnível em obra civil. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 226. (Adaptado).
Na topografia, é considerada a existência de três referências altimétricas na 
execução dos projetos de engenharia: altitude elipsoidal (geométrica), 
altitude geoidal (ortométrica) e as cotas de projeto. É vital empre-
gar o mesmo referencial altimétrico do início ao fim do 
levantamento topográfico e entender qual o modelo 
mais adequado para o projeto. A Figura 3 ilustra as 
três referências altimétricas e logo, você passará a 
entender seus conceitos. 
A
B
D
C
E
(Referência)
TOPOGRAFIA APLICADA 15
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Figura 3. Diferentes referenciais altimétricos.
A seguir, são explicadas as definições das referências altimétricas:
• Altitude elipsoidal: está referenciada a uma elipse ou elipsoide de revo-
lução, com dimensões e parâmetros específicos (modelo matemático). Através 
de receptores de posicionamento GNSS (veremos esta técnica de levantamen-
to nos próximos capítulos), se obtém, de forma rápida e precisa, a altitude de 
qualquer ponto de interesse;
• Altitude geoidal: está atrelada ao Nível Médio do Mar (NMM) e se loca-
liza no marégrafo de Imbituba/SC, por meio do Datum Vertical, sendo este o 
marco e origem para as altitudes (0 m) no território nacional. Então, quando se 
está na rua e se depara com uma referência de nível (RN), ao observar o valor 
altimétrico em metros (m) na chapa metálica, isto significa que tal referência é 
embasada na Rede de Referência de Nível (RRNN);
• Cota: altitude arbitrária definida para o projeto e que não está referencia-
da a nenhuma rede anteriormente abordada.Uma das principais dificuldades em compatibilizar um datum vertical no 
continente americano está associado diretamente à sua definição. O datum 
vertical é intrincado com o NMM e, em consequência, ao geoide. Como o mo-
delo geoidal é uma superfície criada a partir do mesmo potencial gravitacional 
(superfície equipotencial) que se adapta ao nível médio do mar global, ou seja, 
se tenta com as modelagens estabelecer um parâmetro único a fim de unifor-
mizar as altitudes. No entanto, o nível médio dos mares não é igual ao redor 
do mundo, variando da costa do Brasil, banhada pelo Oceano Atlântico, para a 
Colômbia, banhada pelo Pacífico.
Datum
Superfície terrestre (cota)
Elipsoide
Geoide
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Na Figura 4B, é apresentado o modelo que se praticava quanto ao geoi-
de unificado. Imbituba, local onde o marégrafo está localizado, fica abaixo do 
NMM de Buenaventura, havendo uma espécie de compensação ao longo da 
crosta terrestre para que ambos estivessem equivalentes. Agora, na Figura 4A, 
está a nova abordagem para as referências verticais, em que as altitudes são 
calculadas independentes, mediante suas referências e, logo depois, compati-
bilizadas. Na nova proposta, não se adota mais que a superfície terrestre que 
coincide com o geoide, obtendo um novo modelo a ser trabalhado, o TNMM 
(topografia do nível médio dos mares), que é a diferença vertical entre o geoide 
e a superfície física.
Figura 4. Dificuldades na padronização do datum vertical. Fonte: DALAZOANA, 2005, p. 29. (Adaptado).
Buenaventura
(Datum 2) 
Superfície terrestre 
NMM (1951-1968) 
NMM (1949-1957) 
Elipsoide
TNMM1
TNMM2
Geoide global 
W2
W1
W0
Imbituba 
(Datum 1) 
COLÔMBIA
P
H2P
H1P
BRASIL
Buenaventura
Superfície terrestre 
NMM = Geoide 
Elipsoide
Imbituba 
COLÔMBIA
P
H
h
N
BRASIL
A
B
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Após essa parte introdutória quanto aos tipos de superfícies terrestre e 
modelos matemáticos de aderência, algo importante de se entender são as 
formas de apresentar e representar as diferenças de nível de um terreno. É im-
portante perceber que os desníveis são apresentados independentemente de 
qual tipo de superfície adotada, uma vez que a principal finalidade desse dado 
é permitir ao profissional o entendimento quanto ao formato que o terreno 
tem de aclive ou declive entre dois pontos.
A variação altimétrica extraída do nivelamento, se acrescida da altitude de 
alguma RN, apresenta o valor final referente ao nível médio dos mares. Caso 
seja apresentado apenas o desnível ou o mesmo valor, adotado 
de algum valor arbitrário, se obtém a cota do terreno ou a cota do 
projeto. As informações extraídas do levantamento to-
pográfico altimétrico são representadas graficamen-
te em planta topográfica através das curvas de ní-
vel (CN), como na Figura 5, e por perfis longitudinais 
ou transversais do terreno e obra; como na Figura 6.
667.000
668.00
0
669.00
0
669.00
0
670.0
00
670.0
00
671.
000
671.000
672
.000
672.000
673
.000
673.000
Figura 5. Representação de um platô com curvas de nível.
TOPOGRAFIA APLICADA 18
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Figura 6. Perfil longitudinal com corte e aterro.
A qualidade na obtenção dos dados dos levantamentos de topográficos é 
de extrema importância por diversos aspectos, alguns deles listados a seguir. 
Esses pontos devem ser enraizados nos profissionais que forem trabalhar em 
campo ou mesmo receber em escritório essa informação:
1 - Tenha atenção e entenda a real importância do levantamento dos dados 
de campo (caracterização da área);
2 - Agilidade em campo é diferente de pressa;
3 - Vale investir um tempo maior em campo durante o levantamento do que 
ter que efetuar o retrabalho (duas vezes mais oneroso em tempo e dinheiro);
4 -No escritório, não se pode melhorar os dados do levantamento de cam-
po – na verdade, somente o contrário.
Com base nessas dicas, apresenta-se outro conceito fundamental que 
acarreta no sucesso ou não das etapas iniciais de qualquer projeto de en-
genharia: amostragem dos dados levantados, categorizada de três formas, 
sendo a composição da malha regular, semirregular e irregular, conforme se 
vê na Figura 7. 
Área de corte: 16,110 m2
Área de aterro: 25,354 m2
Figura 7. Diferenciações entre as malhas altimétricas.
Semirregular IrregularRegular
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Neste momento, a reflexão é a respeito dos dados presentes nos le-
vantamentos apresentados. As três malhas apresentam informações do 
terreno: a regular, com ótima distribuição ao longo do perímetro de in-
teresse (retângulo delimitador na cor preta) e elevado detalhamento; a 
semirregular, com alterações de trajeto e espaçamento entre as informa-
ções maiores, reduzindo o detalhamento; e a malha irregular, com baixa 
distribuição de informações e baixo detalhamento da área de interesse.
A partir das características do projeto a ser executado, é necessário 
apresentar um detalhamento completo da área de interesse. Pensando 
na abertura de um loteamento urbano, é necessário, além de apresentar 
o projeto de diretriz de ruas e do projeto urbanístico, elaborar a terra-
plenagem do empreendimento para nivelamento dos lotes e mensurar 
os desníveis para o projeto de drenagem. Partindo deste pressuposto e 
obedecendo às três malhas, se compreende que a malha de formato re-
gular permite extrair maior confiabilidade nos dados do terreno.
O desnível entre dois pontos é obtido através da relação direta en-
tre o objeto referência (RE) e o objeto visado a frente (VANTE). Quando 
o resultado dessa subtração for positivo (+), temos 
um aclive, ou seja, o terreno sobe se partirmos do 
ponto de referência para o próximo ponto. Quando 
a resultante for negativa (-), teremos o terreno um 
declive, ou seja, partindo da ré para o próximo 
ponto desceremos. 
A seguir você conhecerá a fórmula para ob-
tenção do desnível entre dois pontos:
Em que:
∆h: desnível entre dois pontos;
Ré e VT: informações obtidas na leitura da mira estadimétrica estacionada 
no ponto de interesse.
∆h = (Ré - VT) (1)
DICA
Logo após ao ∆h, sempre deve haver a sequência dos pontos obtidos nas 
leituras. Dessa forma, é possível entender qual a sequência do caminhamento. 
Por exemplo, de 1 para 2, de 2 para 3 e assim sucessivamente.
TOPOGRAFIA APLICADA 20
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Um exemplo numérico sobre essa relação pode ser visto abaixo:
∆h1,2 : + 2,68 m 
(partindo do ponto 1 para o 2, conforme visto ∆h há um aclive no terreno). 
∆h2,1 : - 2,68 m 
(partindo do ponto 2 para o 1, conforme visto ∆h há um declive no terreno).
Quando há relação entre os mesmos pontos, como no exemplo, deve ficar 
evidente que, na mesma porção do terreno (1 → 2 ou 2 → 1), o desnível possui o 
mesmo valor numérico. Porém, o sinal é preponderante para o entendimento 
do formato da área (aclive ou declive). As cotas (ct) ou alturas também são gran-
dezas apresentadas durante o levantamento topográfico altimétrico. Diferen-
temente dos desníveis, é preciso alguma operação geométrica adicional para 
sua obtenção, justamente por ser a distância vertical de um ponto na superfície 
física até um plano de referência qualquer.
Ctpto = ctreferência + ∆href,pto (2)
Em que:
Ctpto: cota do ponto de interesse;
ctreferência: cota existente do ponto de referência;
∆href,pto: desnível calculado entre o ponto de referência e o ponto de interesse.
Durante o levantamento de campo, o auxiliar posicionou a mira estadimé-
trica acima do marco em que estava a referência de nível da obra e mensurou 
(mediu) o desnível do ponto de interesse para essa altura de referência, dese-
jando obter a ct do ponto de interesse. As variáveis são medidas em campo, 
restando apenas à substituição dos valoresna fórmula apresentada antes: 
Ctpto = ?
ctreferência = 100 m
∆href,pto = 5,60 m
Logo:
Ctpto = 100 + 5,60 → Ctpto = 105,60 m
Não obstante, se o ∆h fosse ∆hpto,ref haveria justamente a inversão na refe-
rência do desnível. Os valores para o exemplo são os mesmos, mas observan-
do o resultado da cota do ponto de interesse: 
Ctpto = ?
ctreferência = 100 m
∆href,pto = -5,60 m
TOPOGRAFIA APLICADA 21
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Logo:
Ctpto = 100 - 5,60 → Ctpto = 94,40 m
A importância no entendimento entre a relação referência e ponto de interes-
se ou ré e vante faz com que possíveis equívocos durante os projetos sejam mini-
mizados, mantendo o cronograma e o orçamento da obra dentro do planejado.
As altitudes (h ou H), diferentemente das cotas, são a distância vertical de 
um ponto na superfície física até referência padrão (elipsoide, geoide, NMM 
entre outros). Nesta situação, o operador de campo obtém a altitude, que está 
amarrada a outras referências nacionais, assim, densifi cando a rede de refe-
rência altimétrica nacional. A fórmula matemática e a opera-
ção de campo são similares ao das cotas, com a diferença de 
que o topógrafo pode utilizar das referências de nível (RN) 
espalhadas pelas cidades, deixando assim de arbitrar uma 
altura de início.
Hpto = hreferência + ∆Href,pto (3)
Nivelamento topográfico
Método de nivelamento
Antes de ir para o campo ou obra realizar a medição e caracterização dos 
desníveis do terreno, é importante planejar muito bem todas as etapas, incluin-
do a escolha dos equipamentos, a defi nição do método de levantamento a ser 
empregado no projeto, os cálculos para ajuste e correção do nivelamento, a com-
posição do desenho topográfi co fi nal e a elaboração dos relatórios técnicos.
Iniciando com a escolha dos instrumentos e acessórios, avançando ainda 
pelo número de operadores e auxiliares de campo, a fi m de simplifi car a con-
versa, a seguir aparecem listados acessórios que podem auxiliar durante a exe-
cução do levantamento de dados no campo:
1 - Balizas;
2 - Tripés (madeira ou alumínio);
3 - Trenas (nylon ou alumínio);
4 - Réguas verticais ou miras estadimétricas (fi bra de vidro ou alumínio);
5 - Bolhas de reaprumo (nível de cantoneira);
6 - Fios de prumo ou prumos esféricos;
TOPOGRAFIA APLICADA 22
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7 - Prismas;
8 - Termômetro;
9 - Barômetro;
10 - Sapatas;
11 - Estacas ou piquetes;
12 - Guarda-sol (Umbrella).
Na sequência, está a sucessão das etapas referentes à execução do nivela-
mento topográfico, o que também para o conceito ficar mais prático:
• Estacionada do equipamento;
• Montagem do tripé;
• Fixação do nível topográfico;
• Nivelamento do equipamento (calagem);
• Medição da altura do equipamento;
• Colimação;
• Definição dos locais para colocação das miras estadimétricas;
• Inicialmente a leitura da ré; 
• Posteriormente a leitura da vante;
• Transcrição dos dados colhidos em prancheta ou caderneta de campo;
• Leitura e cadastro de outros pontos de interesse na obra. 
ASSISTA
Para aprimorar o conhecimento, no vídeo Instalar rápida-
mente un nivel óptico, automático o de ingeniero, é de-
monstrado como realizar a montagem do nível topográfi-
co e seu nivelamento. Embora em espanhol, o material é 
de fácil compreensão, visto que a parte mais importante 
é a apresentação e aplicação dos materiais.
A partir da Figura 8, se compreendem quais as grandezas lidas pelo opera-
dor em campo. No círculo abaixo, está representada a visada do operador por 
meio da luneta do equipamento, graças à qual se identificam quatro importan-
tes dados, depois transformadas em medidas lineares. Os fios estadimétricos 
são representados por três segmentos paralelos horizontalmente e mediante 
as leituras dos dados sobrepostos a eles que é possível ter condições de cal-
cular o desnível do terreno (distância vertical) e a distância horizontal para o 
objeto de interesse.
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O nome dado a este método indireto de medidas é a taqueometria, que pode ser 
aproveitada para levantamentos topográficos altimétricos e levantamentos topo-
gráficos com finalidade planimétrica ou planialtimétrica. O quarto dado importante 
quando o operador realiza a visada através da luneta é o fio estadimétrico vertical. 
Por ele, se verifica a verticalidade da régua em que se extrai a leitura. Apesar de não 
obter a leitura de nenhum dado neste fio, sua participação é indispensável durante 
o levantamento, posto que realizar a mensuração dos fios superior, médio e inferior 
sem a devida verticalidade não traz a precisão e exatidão esperada para o projeto.
Figura 8. Fio estadimétrico e régua topográfica.
Os valores exibidos logo abaixo das réguas da Figura 8 representam as leituras 
realizadas pelo operador durante o levantamento de campo e é importante perce-
ber que os dados são apresentados com três casas decimais. A régua topográfica 
apresenta duas graduações distintas. Na parte frontal, tem-se a leitura em E e, no 
verso, a medida milimétrica. A leitura em E é realizada da seguinte forma. 
Fios estadimétricos
superior e inferior 
Fio estadimétrico 
central ou médio 
Fio estadimétrico 
vertical 
H
29
28
09
07
08
06
09
07
08
06
11
09
13
12
10
39
37
38 15
13
17
16
14
15
13
14
12
15
13
14
12
15
13
14
12
15
13
14
12
1,224 1,330 0,776 2,864 1,7830,890 1,365 1,508 3,804 0,942
TOPOGRAFIA APLICADA 24
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Cada perna do E possui 1 cm e os intervalos são apresentados a cada 10 cm. 
A régua com valor 1,224 m, abaixo do valor 12, tem uma linha vermelha. É a partir 
deste ponto que se iniciam os próximos 10 cm da régua, que se findam no valor 13, 
que inicia o próximo intervalo até o valor 14 em diante. 
A régua é graduada de 10 em 10 cm e cada intervalo recebe um número em 
ordem crescente, devendo o valor 0 estar apoiado sobre a superfície de interesse. 
Sendo assim, se uma régua tem 4 m, são apresentados 40 intervalos de 10 cm. Por 
esse motivo, aparece o valor 40 na mira. 
Voltando para a leitura dos valores das réguas, o valor 1,224 é composto pelo 
intervalo 12 acrescido pelo quadrado em que se tem o fio estadimétrico estacio-
nado – neste caso, o quadrado número 2. A última casa decimal é estimada pelo 
operador em campo. Quando unidos os valores já descritos, se tem: 12 (intervalo 
da régua), 2 (quadrado onde o fio estadimétrico está) e o valor 4, arredondado pelo 
operador, leva a 1224 mm que, convertidos para centímetros, fica com 122,4 ou, em 
metros, 1,224.
Quando o operador de campo efetua a anotação dos valores na planilha de ni-
velamento, é necessário haver uma padronização das medidas para que não haja 
confusão no momento de transcrever o dado em escritório. Por isso, adota-se a 
leitura dos fios em mm, cm ou m e o sistema unitário selecionado deve ser mantido 
até a conclusão do levantamento.
Na Figura 9 são expostas duas formas de nivelamento, ambas através do mé-
todo das visadas iguais. O nivelamento simples consiste na leitura da régua esta-
dimétrica entre dois pontos de interesse, em que os valores de ré e vante serão 
subtraídos para que o desnível seja encontrado.
No nivelamento composto, são realizadas séries de medidas consecutivas, aqui 
em nivelamento chamaremos as séries de lances. A somatória dos desníveis desde 
o primeiro lance ao último apresenta o desnível total do terreno, ou ainda, permite 
calcular a cota ou altitude de qualquer ponto ao longo do perfil levan-
tado. Neste momento, é analisado apenas o nivelamento através das 
visadas iguais, que consiste na estacionada do equipa-
mento no centro de duas réguas topográficas que de-
vem estar posicionadas em distâncias iguais ou muito 
próximas umas das outras, estabelecendo relação di-
reta entre ré–vante gerando como resultado o desnível. 
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RN
RN
a - Nivelamento simples
RN
RN
b - Nivelamento composto
Figura 9. Nivelamento simples e composto. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 206. (Adaptado).
A Figura 10 apresenta o método 
de nivelamento através das visadas 
extremas. Neste método, é usado so-
mente o ponto de interesse para se 
obter o desnível, sem necessidade da 
referência (RÉ). O desnível é dado na 
relação entre a altura de montagem 
do equipamento (hi) e a leitura obtida 
na régua estadimétrica (Lm), a subtra-
ção entre hi e Lm é a variação altimé-
trica entre a base do tripé e a base na 
mira, logo, têm-se o desnível. Esse método de visadas extremas é aplicado em 
larga escala em obras de engenharia civil por conta da agilidade e facilidade na 
obtenção dos dados.
TOPOGRAFIA APLICADA 26
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Figura 10. Nivelamento através de visadas extremas. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 219. (Adaptado).
hi
Ponto A Ponto B
LM
∆hAB
Exemplifi cando com números:
Hi = 1,72 m
LM = 1,224 m
∆hAB = ?
∆hAB = 1,72 – 1,224 → ∆hAB = + 0,496 m
O sinal positivo em frente ao valor numérico indica que o desnível é positi-
vo, logo, se trata de um aclive no terreno. Os equipamentos são selecionados 
para o levantamento de campo de acordo com a precisão e acurácia exigida no 
projeto. Para auxiliar na escolha, a classifi cação dos equipamentos é dada pela 
NBR 13133, de 1994. No Quadro 1, tem-se a classifi cação dos níveis topográfi -
cos conforme o desvio-padrão a cada 1 km de duplo nivelamento.
Classes de níveis Desvio-padrão
1 - Precisão baixa > 10 mm/km
2 - Precisão média ≤ ± 10 mm/km
3 - Precisão alta ≤ ± 3 mm/km
4 - Precisão muito alta ≤ ± 1 mm/km
1 - Precisão baixa1 - Precisão baixa1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta4 - Precisão muito alta4 - Precisão muito alta4 - Precisão muito alta
> 10 mm/km> 10 mm/km> 10 mm/km
≤ ± 10 mm/km
> 10 mm/km
≤ ± 10 mm/km≤ ± 10 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 10 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 1 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 1 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 1 mm/km≤ ± 1 mm/km
QUADRO 1. CLASSIFICAÇÃO DOS NÍVEIS TOPOGRÁFICOS
Fonte: ABNT, 1994, p. 6. (Adaptado).
TOPOGRAFIA APLICADA 27
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O desvio-padrão será apresentado conforme a expressão matemática abaixo, 
na escala métrica, ou seja, o resultado será expresso na unidade de medida metros.
Em que:
m = desvio-padrão;
x = cada uma das observações;
x = média das “n” observações do erro calculado;
n = número de observações.
Fontes de erros
Apesar de primar pela qualidade do levantamento e também pela pre-
cisão dos dados obtidos, é necessário entender que existem alguns erros 
suscetíveis. Identifi cá-los e evitá-los ao máximo traz resultados cada vez 
melhores aos nivelamentos. Na sequência, estão listadas quatro fontes de 
erro. Em relação ao erro relacionado ao equipamento:
• Nível: erro de colimação;
• Nível: erro de aferição do equipamento, ou seja, o instrumento topo-
gráfi co não está ajustado e padronizado as medidas estabelecidas pela As-
sociação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
É recomendado que os equipamentos óticos de topografi a (níveis, teodo-
litos e estações totais) sejam aferidos ao menos 1 vez por ano. Em casos de 
muito uso ou locais de acesso em que os veículos de transporte passem por 
vias muito esburacadas e que promova bastante trepidação, recomenda-se 
duas vezes ao ano ou ainda, quando a contratante do serviço de topografi a 
exigir um laudo de calibração e aferição do equipamento com base na NBR 
ISO/IEC 17025.
CURIOSIDADE
Para saber mais sobre metrologia e as normatizações que 
a permeiam através da NBR ISO/IEC 17025, é possível con-
sultar as Orientações gerais sobre os requisitos da ABNT 
NBR ISO/IEC 17025:2017.
m = ±
Σ(x - x)2
(n - 1)
(4)
TOPOGRAFIA APLICADA 28
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Erro relacionado ao acessório:
• Miras: erro de graduação (gravação), anotar de forma equivocada os valores 
lidos durante as visadas;
• Miras: erro de não verticalidade ao realizar a leitura do ponto. Nesta situação, 
o auxiliar de campo não pruma corretamente a régua sob o ponto de interesse, 
causando uma falsa leitura do dado. (distância horizontal deslocada e devido à incli-
nação dada a régua, provável erro de desnível);
• Tripé: escolha inadequada do material para o tipo de obra, por exemplo, tripé 
de alumínio em locais com circulação de veículos pesados. (trepidação do solo rela-
cionada à passagem dos caminhões e tratores).
Erro relacionado ao operador do equipamento:
• Nivelamento do equipamento (calagem): montagem do instrumento topográ-
fi co sem a correta verticalização no marco de partida, ou seja, os níveis ou bolhas de 
medição não estão centralizados, o que indica que o equipamento está desnivelado;
• Leitura das miras estadimétricas: interpretação equivocada dos valores lidos 
nas réguas e posterior anotação na planilha de levantamento.
Erro inerente aos elencados acima, chamados de erros externos:
• Refração atmosférica: próximo a corpos d’água (lagos, rios, açudes e represas);
• Reverberação ou conhecida como efeito onde a imagem aparece tremi-
da próximo ao solo: causada por elevadas temperaturas e proximidade com locais 
que aumentem o poder de refração e distorção das leituras, como asfalto e cerâmi-
ca. (ocorre até 50 cm do solo).
Subprodutos do nivelamento
Diante da mensuração e anotações dos dados de campo, cabe o processa-
mento das informações em escritório. A forma mais simples de trabalhar com 
os dados de medição é através de softwares de topografi a específi cos nos quais, 
além de calcular os desníveis dos terrenos, também é gerado o produto carto-
gráfi co fi nal do levantamento.
Podem ser confeccionados diversos mapas em escritório, mas não se deve es-
quecer que a escolha do produto deve ser realizada com base na aplicação ou ênfa-
se em determinada característica do relevo. A seguir, foram selecionados três tipos 
diferentes de mapas temáticos, cada um deles realçando uma característica predo-
TOPOGRAFIA APLICADA 29
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minante diante de sua aplicação, porém, não seria possível cria-los sem o levanta-
mento topográfico e sem as medidas de desníveis.
A Figura 11 traz o mapa de declividade subcategorizado através de classes, con-
forme observado na legenda. Há cinco classes diferentes com amplitudes variá-
veis, inicialmente com baixa declividade a classe de 0 a 5°, 6 a 15°, de média decli-
vidade 16 a 25° e 26 a 35° e as altas declividades, mais íngremes, com 35° ou mais.
Neste tipo de mapa, o enfoque está na declividade do terreno, na relação exis-
tente entre distância vertical e distância horizontal. Para simplificar, ao desenhar 
um triângulo retângulo com cateto aposto 10 cm e cateto adjacente 20 cm, a hi-
potenusa é mais suave e alongada. Agora, invertendo as medidas e desenhando o 
triângulo retângulo com cateto oposto de 20 cm e cateto adjacente 10 cm, se tem 
uma hipotenusa mais inclinada e mais curta. Diante deste exemplo, se chega ao 
primeiro triângulo possuindo uma declividade menor e ao segundo triângulo com 
uma declividade maior, logo, eles estariam em classes diferentes no mapa.
Figura 11. Mapa de declividade. Fonte: DUZ, 2020, p. 72.
Universal Transversa de Mercator (UTM)
Sistema de Coordenadas Planas
Datum: SIRGAS 2000/Zone: 23S
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Na Figura 12, é apresentado o mapa de elevação, cujo destaque está nas 
altitudesdos objetos de interesse. Neste mapa, é apresentada a relação das al-
titudes em referência ao NMM e as cores mais quentes simbolizam as maiores 
altitudes, já as cores frias as menores altitudes do terreno.
435000
Legenda
Amplitude (m) 
435000
440000
Curso fluvial 
Divisa de bacias 
Limites municipais 
Paraibuna
Natividade da Serra 
Caraguatatuba 
Oceano Atlântico 
0-168 
168-386 
386-618 
618-805 
805-1160 
0 4,5 9 Km
Universal Transversa de Mercator (UTM)
Sistema de Coordenadas Planas
Datum: SIRGAS 2000/Zone: 23S
440000
450000
450000
460000
460000
74
00
00
0
74
00
00
0
73
96
00
0
73
96
00
0
73
92
00
0
73
92
00
0
73
88
00
0
73
88
00
0
73
84
00
0
73
84
00
0
73
80
00
0
73
80
00
0
445000
445000
455000
455000
Figura 12. Mapa de elevação. Fonte: DUZ, 2020, p. 73.
Ao tentar relacionar o mapa de declividade com o mapa de elevação, perce-
be-se que os maiores desníveis não estão onde as maiores altitudes estão, algo 
que ocorre por conta da relação dos catetos oposto e adjacente desenhados. 
O mapa de inundação presente na Figura 13, diferente dos anteriores, mostra 
a situação do terreno em diferentes momentos, isto é, se hou-
ver uma elevação no nível da água para determinada cota 
será possível identificar quais serão as áreas alagadas. Se 
o nível continuar subindo ou baixar, também é possível 
calcular a área submersa e a área seca.
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Figura 13. Mapa de inundação. Fonte: CAVALCANTI, 2013, p. 709.
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Sintetizando
No decorrer da história da humanidade, sempre houve a preocupação com 
suas habitações e as atividades econômicas que se desenvolviam diante do 
espaço ocupado. O avanço do conhecimento, a curiosidade e as possibilidades 
da engenhosidade humana trouxeram o atual estágio de desenvolvimento e 
a topografia é uma importante ferramenta de contribuição para o conforto e 
segurança nos ambientes.
Diante deste contexto, é importante lembrar que, mesmo sendo uma ciên-
cia exata e precisa, existem prováveis fontes de erros que podem gerar desde 
o atraso num cronograma, ao aumento exponencial dos valores orçamentários 
do projeto e a falta de segurança em locais para construção de empreendi-
mentos. Conhecer e entender formas de mitigar estes problemas se torna um 
diferencial em qualquer obra de engenharia, arquitetura e do agronegócio.
Os equipamentos cada vez mais modernos, aliados aos métodos de le-
vantamento topográfico com finalidade altimétrica, permitem a confecção de 
mapas com a caracterização do terreno mais precisa, permitindo com que as 
decisões a serem tomadas a partir da intepretação destes produtos sejam mais 
assertivas e eficientes.
Em projetos de engenharia, a compatibilidade entre as referências existen-
tes no local e as quais são utilizadas no projeto é primordial. Na abertura de 
um novo loteamento, é necessário identificar a referência utilizada pelo muni-
cípio para que a loteadora também utilize em seus projetos. Sendo assim, seus 
empreendimentos se adequam à realidade local. Conhecendo as referências 
altimétricas, o método de nivelamento topográfico, as fontes de erro e os pro-
dutos cartográficos gerados, é possível elaborar seus projetos de engenharia.
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Referências bibliográficas
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 13133: execução de 
levantamento topográfico, Rio de Janeiro: ABNT, 1994.
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. Orientações gerais sobre 
os requisitos da ABNT NBR ISO/IEC 17025:2017. Rio de Janeiro: ABNT, 2018.
CAVALCANTI, R. C.; TAVARES JUNIOR, J. R.; CANDEIAS, A. L. B. Simulação de ma-
peamento de riscos de inundações usando dados LiDAR: estudo de caso da 
bacia do rio Una - PE. Revista Brasileira de Cartografia, Uberlândia (MG), v. 
65, n. 4, jul./ago. 2013. Disponível em: <http://www.seer.ufu.br/index.php/re-
vistabrasileiracartografia/article/view/43855/23119>. Acesso: 14. out. 2020.
DALAZOANA, R. Estudos dirigidos à análise temporal do datum vertical bra-
sileiro. 2005, 202 p. Tese (Doutorado em Ciências Geodésicas) – Curso de Pós-
-Graduação em Ciências Geodésicas, Setor de Ciências da Terra, Universidade 
Federal do Paraná (UFPR), 2005. Disponível <https://acervodigital.ufpr.br/bits-
tream/handle/1884/3922/TESE_REGIANE_DALAZOANA.pdf?sequence=1&isAl-
lowed=y>. Acesso em: 14 out. 2020.
DUZ, B. G. Avaliação dos modelos SHALSTAB e SINMAP à ocorrência de es-
corregamentos rasos: aplicação em áreas de alta densidade de estruturas 
geológicas da serra do mar. 2020, XX p. Dissertação (Mestrado em Geociências 
e Meio Ambiente) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade 
Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro (SP), 2020. Disponível em: 
<https://repositorio.unesp.br/handle/11449/193057>. Acesso em: 14 out. 2020.
INSTALAR rápidamente un nivel óptico, automático o de ingeniero. Posta-
do por Topografía simple. (18 min. 37s.). son. color. esp. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=y0WUo8BB0QE>. Acesso em: 14 out. 2020.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de topografia. 
Curitiba: UFPR, 2012.
TOPOGRAFIA APLICADA 34
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MÉTODOS DE 
NIVELAMENTO 
TOPOGRÁFICO
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar os métodos de nivelamento topográficos utilizados em obras de 
engenharia civil;
 Abordar os tipos de aplicações dos nivelamentos geométricos e 
trigonométricos.
 Nivelamento geométrico
 Nivelamento geométrico simples
 Nivelamento geométrico 
composto
 Nivelamento trigonométrico
 Nivelamento trigonométrico 
para lances curtos
 Nivelamento trigonométrico 
para lances longos
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Nivelamento geométrico
O nivelamento geométrico (ou nivelamento direto) é defi nido, de acordo 
com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT): 
Nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre 
pontos do terreno por intermédio de leituras correspondentes 
a visadas horizontais, obtidas com um nível, em miras colocadas 
verticalmente nos referidos pontos (ABNT, 1994, p. 3).
Geralmente, ao trabalharmos com um nível topográfi co têm-se, inicial-
mente, a ideia de que será possível obter apenas as grandezas relacionadas 
ao eixo Z de um plano tridimensional, quando falamos em eixo Z nos referi-
mos às altitudes, cotas ou variações verticais do terreno, no entanto, deve-
mos ter ciência de que além dos desníveis do terreno, ainda é possível obter 
as distâncias entre o equipamento e o objeto de interesse e o ângulo horizon-
tal da área.
Esta distância horizontal calculada permitirá ao operador cadastrar preci-
samente os pontos de interesse em campo, e por meio dos ângulos horizon-
tais será possível obter o formato do imóvel ou ainda cadastrar a abertura 
angular em que cada objeto está um do outro, conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1. Cadastramento de objetos em campo. Fonte: FIORIO, 2019, p. 26.
Sabe-se que para calcular o desnível é necessário anotar a leitura do fi o médio 
(FM) em campo; e para realizar o cálculo da distância, o operador deverá anotar na 
caderneta todas as três informações elencadas a seguir:
TOPOGRAFIA APLICADA 37
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• Fio médio (FM);
• Fio superior (FS);
• Fio inferior (FI).
O cálculo rápido para as distâncias em campo será importante para o correto 
posicionamento do nível topográfico durante o método das visadas iguais, onde a 
distância entre o equipamento +ré e o equipamento +vante devem ser simétricos, 
podendo ser aceita, na prática, uma variação de até 2 m entre ambos, e caso a dis-
tância seja maior, será necessárioreposicionar o instrumento topográfico. Portanto, 
diante as informações do FS e FI, substituímos na fórmula: 
Dnível→mira = S ∙ C
Onde:
S é a diferença entre FS e FI, ou seja, FS – FI;
C é a constante estadimétrica do equipamento. Esta é uma informação técnica 
do instrumento e consta no manual fornecido pelo fabricante, porém, níveis topo-
gráficos normalmente apresentam constante igual a 100.
Assim, a fórmula poderá ser interpretada conforme observa-se na equação (1):
Dnível→mira = (FS - FI) ∙ 100
Exemplificando com números:
Durante o trabalho de campo, foi realizada a anotação dos valores referentes 
aos fios superior, inferior e médio através do nível topográfico: 
FS = 1,488 m;
FI = 1,438 m;
FM = 1,462 m.
Sendo assim:
Dnível→mira = (1,488 -1,438) ∙ 100
Dnível→mira = (0,05) ∙ 100 
Dnível→mira = 5 m
Apesar do FM não entrar na fórmula para obtenção da distância, essa in-
formação é necessária para o desnível do terreno, claro, mas é utilizada como 
referência para identificar o desvio tolerável durante a leitura dos fios superior 
e inferior. Para isso, a razão entre a soma dos FS e FI deverá ser igual ao FM com 
variação de ± 0,002 m.
Tolerância = 
(FS + FI)
2
(1)
(2)
(3)
(4)
TOPOGRAFIA APLICADA 38
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Novamente, trazendo a prática numérica para melhor assimilação (utilizamos os 
valores do exemplo anterior):
Tolerância = 
(1,488 + 1,438)
2
 
Tolerância = = 1,463 m
(2,926)
2
Com o resultado obtido entre a diferença de FS e FI dividido por 2, analisaremos 
os possíveis valores de acordo com o desvio padrão permitido. A tolerância para o 
valor 1,463 m ± 0,002 m validará o valor obtido em campo. 
Os valores aceitos estão entre o intervalo de 1,461 m → 1,465 m.
Diante dos resultados obtidos acima, devemos retornar para a planilha de le-
vantamento topográfico e verificar o valor preenchido em campo referente ao FM; 
em nosso exemplo, o valor anotado para FM é 1,462 m. Após o cálculo do desvio, 
obtivemos o valor para o FM de 1,463 m e diante da tolerância permitida ±0,002 m 
percebe-se que a variação de 0,001 m está no padrão aceitável, logo, validando a 
operação de campo.
Após a finalização da leitura da ré, o mesmo procedimento é empregado para 
visada posterior, visto que o objetivo é identificar a equidade entre as distâncias 
relacionadas ao equipamento, bem como a mira na posição ré e a mira na posição 
vante (VT).
Durante a nova leitura em campo, o operador anotou em sua prancheta os se-
guintes valores: FS = 3,881 m; FI = 3,818 m; e FM = 3,850 m. Sendo assim:
Dnível→mira = (3,881 - 3,818) ∙ 100
Dnível→mira = (0,063) ∙ 100
Dnível→mira = 6,3 m
Apesar do valor obtido na segunda leitura (6,3 m) ser diferente da primeira lei-
tura (5 m), a diferença de 1,3 m está dentro do limite prático de até 2 m de variação 
entre as seções, logo, não há necessidade em reposicionar o instrumento topográ-
fico em campo.
Tolerância = 
(3,881 + 3,818)
2
Tolerância = = 3,849 m
(7,699)
2
Tolerância:
Tintervalo = 3,849 m ± 0,002 m → 3,847 m → 3,851 m.
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
TOPOGRAFIA APLICADA 39
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O valor do FM obtido em campo foi de 3,850 m, logo, está contido no intervalo 
da tolerância permitida, validando os dados obtidos em campo. Com as validações 
lineares, consegue-se agora obter o desnível do terreno entre os pontos preestabe-
lecidos mediante relação direta:
Substituindo com os valores de campo, temos:
DN = 1,462 - 3,850 = -2,388 m
DN = FMré - FMvt
(12)
RÉ VT
Figura 2. Perfil topográfico.
A Figura 2 representa o trecho em declive calculado anteriormente. Será por 
meio do valor apresentado em frente do resultado do desnível que interpre-
taremos o formato do terreno em nosso cálculo, o valor negativo indicará que 
o trecho levantado representa um declive entre a ré e a vante, o qual permite 
calcular a declividade da seção levantada.
Existem duas formulações para obter a declividade de uma seção ou de um 
terreno, elas podem ser expressas em graus ou porcentagem, sendo a segunda 
a mais utilizada na engenharia civil. Acompanhe ambas as fórmulas. 
Fórmula da declividade em porcentagem:
Onde:
D% = valor da declividade em porcentagem;
DV = distância vertical (desnível);
DH = distância horizontal.
D% = ∙ 100
DV
DH
TOPOGRAFIA APLICADA 40
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 40 16/03/2021 16:58:06
Fórmula da declividade em graus:
Onde:
D = valor da declividade em graus;
tgα = tangente do ângulo;
DV = distância vertical (desnível);
DH = distância horizontal.
Seguindo com o exemplo apresentado anteriormente, com base nos valores 
obtidos em campo, utilizaremos a fórmula da declividade em porcentagem para 
calcular o declive da seção do terreno correspondente ao intervalo RÉ e VT. O 
desnível total apresentado foi −2,388 m; a distância total apresentada foi 11,3 m 
(5 m + 6,3 m). Diante disto, teremos:
Logo, a declividade do trecho é 21,1%.
De maneira lúdica, podemos interpretar e reproduzir o trecho em declive com o 
valor de 21% no ambiente de estudos. Geralmente, a borracha padrão escolar possui 
6 cm de comprimento, utilize-a deixando em pé sobre uma mesa e posteriormente 
apoie a extremidade de uma régua de 30 cm nesta borracha, a rampa criada equiva-
lerá aproximadamente ao valor de declividade do trecho calculado anteriormente. 
Para calcularmos a declividade em graus basta substituir os valores na 
fórmula apresentada anteriormente: 
Apesar de existirem outros métodos de nivelamento de terreno, o método 
de nivelamento geométrico é apresentado como sendo o mais preciso, principal-
mente pelo instrumental utilizado durante a operação em campo: o nível topo-
gráfico e a mira ou régua estadimétrica (graduada).
D em graus = tgα =
DV
DH
D% = ∙ 100
2,388
11,3
(13)
D em graus = tgα =
DV
DH
(14)
tgα =
2,388
11,3
(15)
α = tg
2,388
11,3
(16)
(17)α = 11°55’57″
TOPOGRAFIA APLICADA 41
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 41 16/03/2021 16:58:07
Como o nível não apresenta movimento vertical de luneta, ao montarmos o 
equipamento devidamente prumado no tripé criamos, automaticamente, o pla-
no de colimação do equipamento, ou seja, um plano paralelo ao solo que permi-
tirá obter com menor distorção, os pontos de cadastro.
ASSISTA
Diante dos diversos métodos de nivelamento existentes, 
devemos saber que os equipamentos topográfi cos podem 
ser categorizados em: 
• Alta precisão: nível de precisão, teodolito e estação total;
• Média precisão: nível de pedreiro, nível de mão, nível de 
borracha ou mangueira de nível etc. 
Para conhecer mais sobre as técnicas relacionadas à 
mangueira de nível, assista ao vídeo.
Nivelamento geométrico simples
O nivelamento geométrico simples pode ser defi nido como o método que busca 
obter e determinar as diferenças de níveis (deníveis) entre todos os pontos de interes-
se da área, ocupando uma única posição no terreno.
Na Figura 3, temos o exemplo do nivelamento geométrico simples. Perceba que o 
nível topográfi co está posicionado de modo a conseguir realizar a leitura de todos os 
pontos de interesse neste perfi l topográfi co sem que haja necessidade na realização 
de novos lances durante a operação. 
A escolha correta para montagem do instrumento é fundamental para realização 
deste método de nivelamento, perceba que novamente o planejamento das etapas 
que ocorrerão em campo é necessária, de forma a otimizar a medição dos dados.
Eixo Y (Z) 
Dist. horizontal 
Figura 3. Nivelamento geométrico simples.
TOPOGRAFIA APLICADA 42
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 42 16/03/2021 16:58:07
Para obtenção dos valores apresentados na Tabela 2 foi realizado previa-
mente o levantamento de campo. A operação é relativamente simples, acompa-
nhe seu passo a passo: 
1. Primeiramente, crave a estaca de partida no solo ou delimite o concreto 
com tinta;
2. Posicione o tripé na estaca e o instale;
3. Insira o nível topográfico sobreo tripé;
4. Libere o fio de prumo para centralizar corretamente o instrumento princi-
pal no ponto de partida; 
5. Realize o nivelamento grosseiro do instrumento por meio das pernas do 
tripé para centralização da bolha circular localizada na base do nível;
6. Parafusos calantes são utilizados para o nivelamento fino do equipamento 
para nivelar e centralizar a bolha tubular no corpo do nível;
7. Meça o nível topográfico em referência à estaca, criando a altura do plano 
do colimador;
8. O auxiliar de topografia se dirige ao ponto de interesse com a mira estadi-
métrica e a posiciona no local; 
9. A mira estadimétrica é nivelada com a bolha circular ou nível de cantoneira 
para minimizar os erros de prumada;
10. O operador realiza a primeira visada na referência. Chamaremos de E0 e é 
a informação que está preenchida na coluna 2 da Tabela 2 com o valor de 2,000 m;
11. O auxiliar se dirige aos próximos pontos de interesse do projeto, instalan-
do e prumando corretamente a mira estadimétrica para a visada do operador. 
Neste momento são realizadas as leituras dos dados da coluna 4, os pontos in-
termediários; 
12. O último ponto em que ainda é possível realizar a leitura das informações 
da régua estadimétrica entrará na coluna 5, chamado de ponto de mudança;
13. Mediante o cadastro de todas as informações necessárias, calcula-se a 
coluna 6 com as novas cotas ou altitudes.
Na Tabela 1 temos a planilha padrão utilizada em campo para cadastro das 
informações. Nela encontramos seis colunas onde são preenchidos os dados 
do levantamento de campo. Na primeira coluna, chamada de estacas, são ano-
tados os pontos de cadastro; geralmente utilizamos a numeração crescente a 
partir de 0 e é comum alguns profissionais adotarem prefixos como E0 ou PT0. 
TOPOGRAFIA APLICADA 43
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 43 16/03/2021 16:58:07
Para padronizar a anotação, a linha 1 receberá os dados da ré do levantamento 
e posteriormente virão os pontos intermediários e o ponto de mudança, este 
último simboliza o encerramento do nivelamento geométrico simples, visto que 
haveria necessidade em realizar a movimentação do equipamento.
As colunas posteriores recebem as informações medidas em campo e de-
vem ser anotadas em metros (m) para uniformidade e padronização. É ne-
cessário muita atenção na organização dos dados, visto que a transcrição 
incorreta das medições é uma fonte comum de erro, caracterizando o erro 
do tipo grosseiro. Para correção deste erro é realizado novo trabalho de to-
pografi a no terreno. 
Estacas Ré (m) APC/AI
Visada vante (m) Cota ou 
altitudePI PM
TABELA 1. MODELO DE PLANILHA DE NIVELAMENTO
A partir da Tabela 2 temos o preenchimento dos dados da medição do ni-
velamento geométrico simples. Note que na primeira coluna estão as estacas 
(nestes pontos foram posicionadas as miras estadimétricas para leitura dos valo-
res). A segunda coluna, chamada de ré, recebe a informação obtida por meio da 
leitura da mira, em nosso exemplo o valor corresponde a 2,000 m. É necessário 
utilizar três casas decimais para embutir maior precisão no nivelamento. Têm-se 
apenas uma referência para cada lance de nivelamento, por esse motivo, em 
nossa prancheta será apresentado unicamente na primeira leitura.
 Fonte: SANTOS, 2016. (Adaptado).
DICA
É imprescindível entender que por se tratar de um nivelamento geométrico sim-
ples teremos apenas uma ré na prancheta/planilha de levantamento de campo, 
caso contrário, se caracterizaria como nivelamento geométrico composto.
TOPOGRAFIA APLICADA 44
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 44 16/03/2021 16:58:07
Na coluna 3 é preenchida a altura do instrumento (AI) que pode ser medida 
por meio de uma trena posicionada verticalmente ao solo até a marca apresen-
tada no equipamento, ou a AI pode ser obtida por meio do posicionamento da 
mira estadimétrica logo à frente da luneta do equipamento, onde o operador 
realizará a anotação do valor do FM. Pode-se utilizar ainda, a altura do plano do 
colimador (APC), sendo este o plano horizontal (linha paralela ao terreno) criado 
com a montagem do equipamento. Neste caso, adota-se o valor da estaca, po-
dendo ser uma referência de nível (RN) já existente ou uma cota arbitrária; em 
nosso exemplo utilizamos o APC equivalente a 50 m, ou seja, a cota inicial do 
projeto é 50 m e a partir dela foi possível obter as posteriores. 
As colunas 4 e 5 se relacionam com os pontos visados pelo operador, sendo 
PI o ponto intermediário, ou seja, pontos de interesse em que foi possível efetuar 
a leitura sem a mudança de equipamento, por isso o nome de intermediário e o 
PM, ponto de mudança. Os valores são obtidos por meio da leitura do FM na mira 
estadimétrica e este é transcrito na prancheta em metros. 
O PM é o último ponto que o operador consegue realizar a leitura com o 
equipamento estacionado no mesmo local, a partir deste ponto não há mais 
intervisibilidade entre o equipamento e o ponto para cadastro.
A última coluna (6) da prancheta receberá as novas cotas ou altitudes que 
serão calculadas mediante as equações:
AI/APC = cota + ré
altura/cota = AI/APC – vante
Na linha da ré utilizaremos a equação (18), na qual temos: 
APC = 2,000 m + 50 m (valor definido em campo), logo o APC = 52 m.
Para obter a cota ou altitude dos pontos intermediários (PI) e do ponto de 
mudança (PM), utiliza-se a equação (19): 
• Para estaca 1, temos:
Cota1 = 52,000 m – 3,000 m → Cota1 = 49,000 m;
• Para estaca 2, temos:
Cota2 = 52,000 m – 4,000 m → Cota2 = 48,000 m;
• Para estaca 3, temos:
Cota3 = 52,000 m – 4,500 m → Cota3 = 47,500 m;
• Para estaca 4, temos:
Cota4 = 52,000 m – 5,000 m → Cota4 = 47,000 m.
(18)
(19)
TOPOGRAFIA APLICADA 45
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Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 e 5 Coluna 6
Estacas Ré (m) APC/AI
Visada Vante (m) Cota ou alti-
tudePI PM
0 2,000 52,000 50,000
1 3,000 49,000
2 4,000 48,000
3 4,500 47,500
4 5,000 47,000
TABELA 2. PLANILHA DE NIVELAMENTO PREENCHIDA
 Fonte: SANTOS, 2016. (Adaptado).
0
2
2,000
3
2,000
4
52,00052,000
3,0003,000
4,0004,0004,000
4,5004,500
50,00050,000
5,000
49,000
5,000
49,000
48,00048,000
47,50047,500
47,000
47,500
47,00047,000
Nivelamento geométrico composto
O nivelamento composto pode ser facilmente entendido como sendo um 
método onde ocorre o nivelamento geométrico simples consecutivo, ou seja, 
são séries de nivelamentos geométricos simples em sequência, que utilizaram 
um ponto para unir os trechos nivelados. O nivelamento fi cará “amarrado” ao 
anterior por meio dos pontos de mudança (PM), por esse motivo é necessário 
caracterizá-lo em campo.
Pontos de mudança (PM) não precisam necessariamente serem os últimos 
pontos cadastrados do lance anterior, estes poderão variar de acordo com o 
levantamento de campo e a topografi a do terreno, podendo ser utilizado outro 
marco. No entanto, este marco deverá ser medido ao menos duas vezes, pri-
meiro enquanto o nível topográfi co estiver posicionado 
na referência inicial e posteriormente quando o nível 
estiver na nova posição. Utilizando a Figura 4 como 
exemplo, é possível perceber que a estação A efetua a 
leitura do PM e quando ocorre a movimentação do ní-
vel para posição estação B, o objeto será novamente 
cadastrado, porém, desta vez o marco assumirá a 
função de referência (ré) do novo lance. Este pro-
cedimento ocorrerá quantas vezes forem necessá-
rias para conclusão do nivelamento.
TOPOGRAFIA APLICADA 46
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Na Figura 4 o nível foi mantido externamente ao perfil topográfico, mas de-
vemos entender que pode ocorrer o nivelamento geométrico composto com o 
equipamento posicionado entre as miras estadimétricas, assim como é observa-
do na Figura 5.
Estação A
RÉ
PI
PI
PM/RÉ
PI
PI
PM/RÉ
PI
PI
PM
Estação B
Estação C
1,33
0,22
0,46 
0,96 
8,
37
 
7,
91
 
11
,7
2 
AI
 =
 2
05
4,
51
 
AI
 =
 2
04
6,
36Nível médio do mar (NMM) 
RN de início
Elev. 2053,18 m
PL 1
PL 2
PL 3
RN de chegada 
8,
71
 
Figura 4. Nivelamento geométrico composto. Fonte: FIORIO, 2019, p. 34.
Figura 5. Nivelamento geométrico composto em linha. Fonte: BRINKER, 1997 apud CORDINI, 2014, p. 25.
TOPOGRAFIA APLICADA 47
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 47 16/03/2021 16:58:07
Assim como visto anteriormente, notamos que o PM do lance anterior se 
transforma automaticamente no ponto de ré no lance posterior, criando a 
amarração para que o nivelamento permaneça contínuo. 
Este método é utilizado quando o terreno apresenta desnível bastante 
acentuado ou ainda quando será necessário cobrir um longo trecho de ni-
velamento, dessa forma, realiza-se a movimentação ou caminhamento do 
equipamento, onde no nivelamento os chamamos de lances.
Fiorio (2019, p. 34-35) nos explica como será realizado o procedimento 
de campo: 
1. Estacionar e nivelar o equipamento;
2. Efetuar a leitura de ré; 
3. Efetuar as leituras necessárias de pontos intermediários (PIs);
4. Efetuar a leitura do ponto de mudança (PM);
5. Manter a régua no primeiro PM; 
6. Estacionar e nivelar novamente o equipamento;
7. Efetuar a leitura da segunda ré (que será o PM do item 5);
8. Repetir os passos descritos até o término do trabalho.
Como neste método existe o lance entre os níveis e consequentemente 
entre as visadas, devemos entender que mesmo tomando os cuidados du-
rante a operação é possível que ocorram erros de nivelamento. Estes podem 
e devem ser verificados sempre que possível para correção e redução dos 
erros, para isso existe uma fórmula em que se relaciona a leitura da ré e do 
PM com a altura final e a altura inicial obtida na 
mira estadimétrica:
∑LR − ∑LPM = HF – HO
Ao estabelecer a relação é necessário ve-
rificar os valores obtidos, visto que a validação 
ocorrerá quando os dois lados da equação fo-
rem iguais. Caso estejam diferentes ou, ainda, 
com sinais distintos, será necessário reali-
zar um novo levantamento no trecho. 
Observe que na Tabela 3 temos um 
exemplo de planilha de nivelamento geomé-
trico composto com as correções aplicadas.
(20)
TOPOGRAFIA APLICADA 48
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Para exemplificar a equação (20), acompanhe o raciocínio abaixo:
∑LR − ∑LPM = HF – HO
∑LR − ∑LPM = 4,627 − 4,611 = 0,016
HF – HO = 50,016 − 50,000 = 0,016
Para o preenchimento de ∑LR acompanhe a marcação em vermelho na tabela, 
note que foi realizada a somatória dos valores obtidos durante a leitura da ré 
em campo (0,711 + 2,462 + 1,454), o qual resulta em 4,627, que é utilizado na 
equação.
O ∑LPM está destacado em verde na planilha, esta informação é a somatório 
dos pontos de mudança do levantamento. Para facilitar na leitura dos dados, ve-
rifi que na coluna “Pontos Visados” em amarelo os pontos “2”, “4” e “RN”, e note 
que existem dois pontos “2” e “4”; por esse motivo é mais fácil identifi car o PM na 
planilha, já o ponto “RN” é o último ponto do levantamento e que dará indicativos 
de que seria a próxima mudança ocorrida, por esse motivo também é somado aos 
pontos anteriores. Essa soma resulta no valor 4,611, que é inserido na equação. 
Para os dados HF e HO foram utilizados os valores destacados em azul, estas 
são as altitudes fi nal e inicial do levantamento. Note o que o valor 50,016 m é a 
altitude calculada ao longo do levantamento e o valor de 50,000 m é a referência 
de nível (RN) inicial.
(21)
(22)
(23)
TABELA 3. PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO CORRIGIDO 
Estação
ocupada
Ponto
visado
Leitura de mira Altura do 
Instrumento
Altitude 
calculada
Correção 
(em m)
Altitude
corrigida
Distância 
nivelada (m)Ré Vante
A RN 0,711 50,711 50,000
1 1,143 49,568 0,005 49,563 52,00
2 1,533 49,178 0,005 49,173 84,33
B 2 2,62 51,640
3 1,134 50,506 0,010 50,496 98,35
4 1,521 50,119 0,010 50,109 90,88
C 4 1,454 51,573
5 2,781 48,792 0,016 48,776 74,65
6 1,885 49,688 0,016 49,672 73,12
RN 1,557 50,016 0,016 50,000 83,32
Soma: 4,627 4,611 556,65
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016 Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
Fonte: CORDINI, 2014, p. 36.
RN
B
0,7110,711
C
1,143
2,62
4
1,143
1,533
4
50,711
1,533
5
Soma:
50,711
1,134
1,454
6
Soma:
1,134
1,521
1,454
RN
51,640
1,521
51,640
2,781
49,568
51,640
2,781
4,627
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
49,568
49,178
1,885
4,627
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
49,178
51,573
1,557
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
0,005
50,506
51,573
4,611
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
0,005
50,506
50,119
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
50,000
0,005
50,119
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
50,000
49,563
50,119
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
49,563
49,173
0,010
48,792
49,173
0,010
0,010
48,792
49,688
49,173
0,010
49,688
50,016
52,00
50,496
0,016
50,016
52,00
84,33
50,496
50,109
0,016
0,016
84,33
50,109
0,016
0,016
48,776
0,016
98,35
48,776
49,672
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
90,88
49,672
50,000
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
50,000
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
74,65
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
74,65
73,12
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
73,12
83,32
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
83,32
556,65
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
556,65
TOPOGRAFIA APLICADA 49
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 49 16/03/2021 16:58:08
A partir dos resultados apresentados, perceba que o mesmo valor (0,016 ou 
16 mm) foi apresentado em ambos os lados da equação, desta forma é possível 
interpretar que a geometria do nivelamento está correta. Assim, será possível 
avaliar o erro altimétrico cometido com o erro médio e o máximo admissível.
Veja a Tabela 4, pois a partir dela será possível entender como é calculada a 
altitude/cota dos pontos de uma planilha de nivelamento geométrico composto. 
Os resultados das equações estão destacados em vermelho.
TABELA 4. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO
Estacas Ré (m) APC/AI
Visada Vante (m) Cota ou 
altitudePI PM
1 3,410 103,410 100
2 3,210 0,845 102,565
3 1,620 104,155
4 2,823 102,952
5 3,615 102,160
6 3,912 108,465 1,222 104,553
7 0,544 107,921
2
3
3,4103,410
3,210
5
3,210
6
103,410103,410103,410
3,9123,912 108,465
1,620
108,465
1,620
2,8232,823
0,845
3,615
0,845
3,615
100100
102,565102,565
104,155
1,222
102,565
104,155
1,222
0,544
104,155
102,952
0,544
102,952
102,160102,160
104,553
102,160
104,553104,553
107,921107,921
Fonte: FIORIO, 2019, p. 36. (Adaptado).
O cálculo será iniciado de forma a determinar a altura do primeiro plano de 
colimação (APC1) do levantamento.
APC1 = Ctconhecida + ré
APC1 = 100 + 3,410 m
APC1 = 103,410 m
O valor obtido em APC1 é utilizado para obter as altitudes dos próximos pon-
tos referentes a este mesmo lance, em nosso exemplo, apenas o ponto 2 será 
calculado a partir desse valor obtido.
Ct2 = APC1 – ré
Ct2 = 103,410 – 0,845
Ct2 = 102,565 m
Como ocorreu a abertura de um novo lance no nivelamento, será necessário 
calcular o APC2 e a partir desse valor conseguiremos obter as cotas dos pontos 
3, 4, 5 e 6.
(24)
(25)
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(27)
(28)
(29)
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APC2 = Ctconhecida + ré
APC2 = 102,565 + 3,210
APC2 = 105,775 m
Para as cotas dos pontos:
Ct3 = APC2 – ré → 105,775 – 1,620 = 104,155 m
Ct4 = APC2 – ré → 105,775 – 2,823 = 102,952 m
Ct5 = APC2 – ré → 105,775 – 3,615 = 102,160 m
Ct6 = APC2 – ré → 105,775 – 1,222 = 104,553 m
A operação será repetida para obter o APC3 e para a cota do ponto 7:
APC3 = Ctconhecida + ré
APC3 = 104,553 + 3,912
APC3 = 108,465 m
Agora o ponto 7:
Ct7 = APC3 – ré → 108,465 – 0,544 = 107,921 m
Para validação do nivelamento, como visto anteriormente, faremos a utiliza-
ção da fórmula (20):
HF – HO → 100 – 107,921 = 7,921 m
∑LR − ∑LPM → (3,410 + 3,210 + 3,912) – (0,845 + 1,222 + 0,544) = 7,921 m
Novamente, os valores obtidos ao término do cálculo são equivalentes, logo, 
o nivelamento apresenta boa qualidade.
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)(35)
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(37)
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(39)
(40)
(41)
(42)
Nivelamento trigonométrico
O nivelamento trigonométrico é empregado em situações em que se permite 
a entrega dos valores de desníveis do terreno com menor precisão (menos rigo-
roso). Apesar de menos preciso, este método é mais rápido que o nivelamento 
geométrico e pode ser utilizado em determinados projetos de acordo com a es-
pecifi cação técnica pré-estabelecida.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) defi ne o conceito relacio-
nado ao nivelamento trigonométrico:
Nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre pon-
tos do terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo 
vertical da direção que os une e da distância entre estes, fundamen-
tando-se na relação trigonométrica entre o ângulo e a distância me-
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didos, levando em consideração a altura do centro do limbo vertical 
do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado 
(ABNT, 1994, p. 4).
Dessa forma, perceba que por 
meio deste método de levantamen-
to é apresentado um novo elemento 
durante a medição, chamado de ân-
gulo vertical da direção. Durante nos-
sos estudos referentes aos outros 
métodos de nivelamento sempre 
mantivemos o ângulo vertical em 90°, 
paralelo ao solo, visto que os levanta-
mentos foram realizados com o nível 
topográfico, porém, no nivelamento 
trigonométrico ocorre uma mudança no tipo de instrumento principal utili-
zado em campo pelo operador. 
As estações totais e os teodolitos são os equipamentos topográficos uti-
lizados em campo para o nivelamento trigonométrico, e em ambos a luneta 
em que se realiza a visada para o objeto de interesse possui rotação, ou seja, 
podemos alterar o ângulo de 90° em relação ao terreno de acordo com o 
local onde o objeto está situado.
Devemos entender que cada tipo de equipamento apresentará caracte-
rísticas que irão possibilitar operações diferentes em campo e, consequen-
temente, a obtenção dos dados de interesse. 
DICA
Justamente por existirem diversos equipamentos topográficos, sejam níveis, 
estações totais, teodolitos, receptores GNSS, laser scanners ou drones/vants 
devemos entender quais são as melhores práticas e em quais projetos eles 
terão maior precisão e agilidade. Conheça mais sobre os equipamentos topo-
gráficos na NBR 13133, de 1994, Execução de levantamento topográfico
Na Figura 6 podemos conhecer quais são os equipamentos utilizados 
neste método de nivelamento, vale ressaltar que existem diversas marcas e 
modelos disponíveis no mercado.
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Figura 6. Estação total robótica e teodolito eletrônico. Fonte: Shutterstock; Wikimedia Commons. Acesso em: 28/01/2021.
 O método de nivelamento trigonométrico consiste na resolução de pro-
blemas ou incógnitas relacionadas aos triângulos, pois serão obtidos em 
campo a distância horizontal (base do triângulo) e a inclinação do terreno 
(hipotenusa).
Porém, antes de avançar em nivelamento trigonométrico para lances cur-
tos e longos, devemos conhecer a orientação que os ângulos verticais pos-
suem para que seja compreendido o que foi levantado durante a medição 
com a estação total ou teodolito.
Na Figura 7 está representado esquematicamente os três tipos de orien-
tação de ângulo vertical que podemos configurar no equipamento topográ-
fico durante a medição.
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Zênite
Nadir
Ângulo zenital 
Ângulo nadiral 
Ângulo vertical positivo 
Ângulo vertical negativo
Horizonte
Figura 7. Ângulos verticiais. Fonte: COSTA; BURTE, 2011, slide 3.
O ângulo zenital é orientado no topo do equipamento, ou seja, a linha tra-
cejada em laranja está perpendicular ao solo e este valor orientado represen-
ta a significância de 0°. Logo, podemos simplificar o entendimento associando 
que neste tipo de ângulo o valor de início (0°) está no topo de nossa cabeça 
e será desenvolvido no sentido horário, dessa forma, teremos o ângulo de 
90° com o plano paralelo ao solo, 180° quando o equipamento estiver com a 
luneta completamente para baixo (visando o solo), 270° também paralelo ao 
terreno e por fim, retornando ao ponto de início (0° ou 360°). 
 O ângulo nadiral (nadir) tem como 0° o solo, e o horizontal (horizonte) 
utiliza como referência de valor 0° o plano paralelo ao terreno. No padrão 
nacional é utilizada, preferencialmente, a orientação em zênite, porém, como 
o Brasil não possui fábricas para produção de equipamentos topográficos, a 
configuração que o ângulo possui no instrumento sempre deverá ser obser-
vada pelo operador, que deverá alterá-la para a padrão.
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Nivelamento trigonométrico para lances curtos
O método de nivelamento trigonométrico para lances curtos consiste na ob-
tenção das variações do terreno (desnível) entre o ponto em que o equipamento 
está posicionado e o objeto de interesse com distâncias menores que 150 m.
Observe a Figura 8 e note que no ponto A (local onde o equipamento foi insta-
lado) temos a letra Z; esta informação se refere ao tipo de ângulo vertical utilizado 
(orientação zenital). O ângulo α criado é o novo elemento que utilizaremos no 
levantamento trigonométrico, neste caso, é o ângulo vertical de visada do equipa-
mento até o objeto de interesse. Representada pela letra D está a distância redu-
zida do levantamento, ou seja, a distância paralela ao terreno entre os pontos A e 
C. Por fi m, entre os pontos B e C temos o ∆h, sendo o desnível do terreno.
A
Δh
α D
C
B
Z
Figura 8. Nivelamento trigonométrico. Fonte: CORDINI, 2014, p, 45.
Perceba que foi gerado um triângulo retângulo ABC, onde em campo te-
remos os valores de α e D, restando apenas calcular o ∆h por meio de algu-
mas correlações conforme as fórmulas (43) e (44):
BC = D ∙ tgα
Δh = D ∙ tgα
Onde:
BC = diferença altimétrica entre os pontos A e B;
∆h = diferença altimétrica entre os pontos A e B;
D = distância reduzida entre os pontos A e B;
α = ângulo formado entre a luneta do equipamento e o objeto.
(43)
(44)
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Por meio da trigonometria é possível realizar mais uma correlação en-
tre os ângulos e, consequentemente, obter outra formulação ao cálculo do 
desnível. Note que o ângulo Z e α são complementares, dessa forma, temos: 
Δh = D ∙ cotgZ
Onde:
∆h = diferença altimétrica entre os pontos A e B;
D = distância reduzida entre os pontos A e B;
cotgZ = cotangente do ângulo zenital.
O resultado poderá ter sinal positivo, o que indicará que o trecho de des-
nível é um aclive, ou sinal negativo, que indicará que o trecho BA é um de-
clive. Caso o valor apresentado seja equivalente ao α = 0° ou Z = 90°, o local 
indicará uma superfície plana no terreno, ou seja, sem desnível. 
Na situação acima foi apresentado o raciocínio teórico empregado na uti-
lização do método trigonométrico para obter o desnível (triângulo retângu-
lo). Porém, durante a operação em campo, outros fatores entram neste cál-
culo e que até então não foram abordados, dessa forma, veremos na prática 
como é obtido o desnível.
Para isso, vamos observar a Figura 9. Percebemos que no ponto A temos o 
tripé do equipamento com uma altura de montagem (hi), no ponto B tem a régua 
graduada (M) – objeto que o equipamento fará a leitura – e encontramos também 
o m, que é a altura obtida entre a leitura do equipamento e o solo do ponto B.
(45)
h1
α
h1
Δh
DAB
Z
A
B
M
m
C
D
Figura 9. Nivelamento prático. Fonte: CORDINI, 2014, p. 45. (Adaptado).
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Diante dos novos elementos trazidos, temos a seguinte expressão: 
∆h = MC + CD – MB
Onde:
∆h = desnível entre A e B;
MC = D ∙ tgα ou D ∙ cotgZ;
CD = altura do