Analise Matemática - Slides de Aula I

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Profa. Cláudia dos Santos
UNIDADE I
Análise Matemática
 Sequências Numéricas: definição, termo geral, recursivas, exemplos.
 Classificação das Sequências Numéricas.
 Convergência de Sequências.
 Séries Numéricas.
Conteúdo
 Sequência = sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem, organização de acordo 
com padrão preestabelecido.
 Se tivermos que colocar a próxima peça nos dois conjuntos abaixo, qual seria a escolhida?
Sequências – Definição
1
2
a b c
Fonte: https://www.maxpixel.net
 Sequência numérica = conjunto de números Reais dispostos numa certa ordem, a qual deve 
ser preservada, em que o 1º elemento é representado por 𝑎1 e assim sucessivamente, sendo 
o n-ésimo termo 𝑎𝑛. 
Representação genérica de uma sequência numérica:
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5,…..𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1,…)
1º termo 4º termo n-ésimo termo
Sequências Numéricas – definição
 Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função 𝑛 → 𝑎𝑛 a valores reais, cujo 
domínio é um subconjunto de ℕ.
 Trabalharemos com as sequências que têm como domínio 𝐷 = {𝑛𝜖ℕ/n > 𝑞} em que 𝑞 é um 
natural fixo.
 A notação 𝑎𝑛 = 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑒 𝑒𝑚 𝑛.
 Para determinarmos uma sequência numérica, precisamos de uma lei de formação.
Sequências Numéricas – definição formal
Exemplo: 
 (3, 6, 9, 12, 15, …) – sequência dos múltiplos de 3. 
 As reticências indicam que é uma sequência infinita.
Termo geral: 𝑎𝑛 = 3𝑛
 Esse enésimo termo, chamado termo geral, é o que define a lei de formação da sequência. 
 Com ele conseguimos calcular, por exemplo, o milésimo e o milionésimo termos:
𝒂𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎𝟎
𝒂𝟏𝟎𝟎𝟎000 = 𝟑(𝟏𝟎000𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎0000
Sequências Numéricas
Como identificar a lei de formação de uma sequência (Termo geral)?
 Exemplo: Determine o Termo geral da sequência 4, 7, 10, 13, 16,... Indique os valores dos 
termos 𝑎6 𝑒 𝑎35
 Observação: A posição dos termos são importantes no cálculo.
 𝑎1 = 4 𝑎2 = 7 𝑎3 = 10 𝑎4 = 13 𝑎5 = 16 (existe um padrão nos primeiros termos?)
Sequências Numéricas – Termo Geral
 Já vimos como definir uma sequência apresentando o termo geral 𝑎𝑛 como uma função de 𝑛. 
 Como alternativa, também é possível definir uma sequência fornecendo o termo geral com 
relação a um ou mais termos anteriores.
Por exemplo: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5, em que 𝑎𝑛−1 é o termo da sequência imediatamente anterior a 𝑎𝑛.
 Nesse caso, dizemos que a sequência é definida recursivamente.
 Sequências recursivas famosas: Fatorial 𝑛! = 𝑛 (𝑛 − 1)!
Sequência de Fibonacci
partindo-se de 𝑎1 = 1 𝑒 𝑎2 = 1→ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2
Sequências Numéricas Recursivas
 Qual nº completa a sequência a seguir? (1, 3, 5, 7, 9, 11,.....)
 Qual nº corresponde à sequência a seguir? (1, 0, 2, 1, 3, 2,....)
 Qual será o próximo nº da sequência? (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, .....)
 Dada a sequência (1,5,9,13,17,21,...), determine o 7º e o 10º termos
𝑎7 = 𝑎10 = 
Sequências Numéricas – Exemplos
 Dada a sequência 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 + 5, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 > 2 𝑒 𝑎1 = 1, calcular 𝑎4 − 2𝑎2
 Calcule 𝑎4 − 𝑎3 + 𝑎2 da sequência
Sequências Numéricas – Exemplos
 (Banestes 2015). A senha de meu cofre é dada por uma sequência de seis números, todos 
menores que 100, que obedece a determinada lógica. Esqueci o terceiro número dessa 
sequência, mas lembro-me dos demais. São eles: {32, 27, __, 30, 38, 33}. Assim, qual o 
terceiro número da sequência? 
𝑎1 = 32 𝑎2 = 27 𝑎3 = ? 𝑎4 = 30 𝑎5 = 38 𝑎6 = 33 
Sequências Numéricas – Exemplos
Progressão Aritmética (𝑃𝐴)
 É uma sequência numérica de termos finitos ou infinitos na qual a diferença entre dois 
termos consecutivos (um após o outro) é sempre a mesma.
 A diferença entre dois termos consecutivos é chamada de razão (𝑟).
 Logo: 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 𝑟
 Se 𝑟 > 0 → 𝑃𝐴 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑟 < 0 → 𝑃𝐴 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑟 = 0 → 𝑃𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
 O termo geral de uma PA é dado por: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
 Soma dos termos de uma PA é dada por:
Sequências Numéricas – PA e PG
Exemplo:
 Encontre uma PA sabendo que a soma dos seus 8 primeiros termos é 412 e que 𝑎8 = 90.
Sequências Numéricas – PA e PG
Progressão Geométrica (𝑃𝐺)
 É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo 
anterior por uma constante real. 
 Essa constante é chamada razão da P.G (q) e pode ser qualquer número racional (positivos, 
negativos, frações) exceto o número zero.
 O termo geral de uma PG é dado por:
 Soma dos termos de uma PG finita é dada por:
 Para uma PG infinita:
Sequências Numéricas – PA e PG
Exemplo:
 (Vunesp – SP – Adaptado) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser 
empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das 
vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
1ª 𝑝𝑖𝑙ℎ𝑎 −1 𝑡á𝑏𝑢𝑎
2ª 𝑝𝑖𝑙ℎ𝑎 −2 𝑡á𝑏𝑢𝑎𝑠. 
3ª 𝑝𝑖𝑙ℎ𝑎 −4 𝑡á𝑏𝑢𝑎𝑠. 
4ª 𝑝𝑖𝑙ℎ𝑎 −8 𝑡á𝑏𝑢𝑎𝑠. 
 Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
Sequências Numéricas – PA e PG
 Existem duas maneiras distintas de classificar uma sequência. A primeira delas é quanto à 
quantidade de termos, a outra é quanto ao seu comportamento.
 De acordo com a quantidade de termos, uma sequência pode ser classificada como 
finita ou infinita.
Exemplos: 
 Sequência finita – conjunto dos múltiplos de 3 menores que 20: (3, 6, 9, 12, 15, 18)
 Sequência infinita – conjunto dos múltiplos de 3: (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...)
Classificação das Sequências Numéricas
 De acordo com o comportamento, a sequência pode ser: crescente, decrescente, constante 
ou alternada (oscilante). 
Definição: Uma sequência 𝑎𝑛 é dita
 Crescente – se 𝑎𝑛 < 𝑎 𝑛+1, para todo 𝑛 ≥ 1, isto é, 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 <…
 Decrescente – se 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1, para todo 𝑛 ≥ 1, isto é, 𝑎1 > 𝑎2 >𝑎3 >…
 Constante – se 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+1
 Alternada – se 𝑎2𝑛−1 > 0 𝑒 𝑎2𝑛 < 0, 𝑜𝑢 𝑎2𝑛−1 < 0 𝑒 𝑎2𝑛 > 0, isto é, se o sinal dos termos ímpares 
for diferente do sinal dos termos pares.
 Com relação ao crescimento, como pode ser classificada a 
sequência
Classificação das Sequências Numéricas
Com relação ao crescimento, como pode ser classificada a sequência
Classificação das Sequências Numéricas
Uma sequência numérica obedece à seguinte condição: a diferença entre dois termos 
consecutivos é sempre a mesma e igual a 6. Considerando que o primeiro termo dessa 
sequência é –8, determine:
 Os cinco primeiros termos da sequência.
 O valor do termo 𝑎9.
 O termo geral desta sequência.
Interatividade
Uma sequência numérica obedece à seguinte condição: a diferença entre dois termos 
consecutivos é sempre a mesma e igual a 6. Considerando que o primeiro termo dessa 
sequência é –8, determine:
Os cinco primeiros termos da sequência.
 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑎1 = −8 𝑟 = 6 
Aplicando a fórmula de PA para o 5º termo: 𝑎5 = 𝑎1 +(𝑛−1)𝑟 → 𝑎5 = −8 + (5−1)6 = 16
Logo:
𝑎4 = 𝑎5 − 6 → 𝑎4 = 16 − 6 = 10
𝑎3 = 𝑎4 − 6 → 𝑎3 = 10 − 6 = 4
𝑎2 = 𝑎3 − 6 → 𝑎2 = 4 − 6 = −2
(−8, −2, 4, 10, 16)
Resposta
Uma sequência numérica obedece à seguinte condição: a diferença entre dois termos 
consecutivos é sempre a mesma e igual a 6. Considerando que o primeiro termo dessa 
sequência é –8, determine:
O valor do termo 𝑎9.
 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑎1 = −8 𝑟 = 6 
Aplicando a fórmula de PA para o 9º termo: 𝑎9 = 𝑎1 +(𝑛−1)𝑟 → 𝑎9 = −8 + (9−1)6 = 40
O termo geral desta sequência
 𝑎𝑛 = 𝑎1 +(𝑛−1)6
Resposta
Para determinar a convergência de uma sequência, achar o termo geral e calcular o limite.
 Uma sequência é convergente se existir.
 Uma sequência é divergente se
 A sequência é convergente ou divergente?
Convergênciade Sequências
 Limites envolvendo infinito:
 O que acontece com a função quando o valor de x tende ao infinito?

Limites no infinito – relembrando – noção intuitiva
Limites fundamentais – relembrando
 Limites no infinito
 Começaremos estudando os valores de uma função 𝑓(𝑥), quando 𝑥 toma valores 
arbitrariamente grandes e positivos (𝑥 → ∞), ou então arbitrariamente grandes e negativos
(𝑥 → −∞). 
 O nosso primeiro objetivo será de ver se, em cada um desses limites, os valores de 𝑓(𝑥), 
tendem a se aproximar de algum valor específico.
 Vejamos um exemplo bem simples:
Limites no infinito – relembrando 
y
x
0
y =
1
x
Observando o gráfico da função, podemos notar que:
 , ou seja, à medida que 𝑥 aumenta 𝑦 tende para zero e o limite é zero.
 , ou seja, à medida que 𝑥 diminui, 𝑦 tende para zero e o limite é zero.
 , ou seja, à medida que 𝑥 se aproxima de zero pela direita, ou por 
valores maiores que zero, 𝑦 tende para o infinito e o limite é infinito.
 , ou seja, à medida que 𝑥 se aproxima de zero pela esquerda, ou por 
valores menores que zero, 𝑦 tende para menos infinito e o limite é menos infinito.
Limites no infinito – relembrando 
Função polinomial
 Seja a função polinomial:

 Então, teremos:

 Exemplo:
Limites no infinito – relembrando 
Função racional
 Sejam as funções 


 Então, teremos:

 Ao se trabalhar com limites no infinito de funções racionais, é muito útil dividir o numerador e
o denominador pela variável independente elevada à maior potência que apareça na fração.
Exemplo:

Limites no infinito – relembrando 
 A sequência é convergente ou divergente?
Convergência de Sequências
 Uma sequência é uma lista ordenada de números. 
 Uma série é uma soma infinita dos termos de uma sequência. 
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +……….+ 𝑎𝑛
 As somas parciais de uma série também formam uma sequência que pode convergir ou 
divergir. Se o valor de S for um valor finito a série é convergente, caso contrário é divergente.
 A indicação de uma série pode ser feita da seguinte maneira:
Séries Numéricas
 Exemplo: Considere a sequência:
 A partir dela vamos formar uma sequência de termos parciais:
 Essa sequência de somas parciais 𝑆𝑛 é a série infinita 
denotada por
Séries Numéricas
Analisar o comportamento e a convergência da sequência
Interatividade
Analisar o comportamento e a convergência da sequência
 Com relação ao comportamento, vamos admitir que a sequência seja decrescente.
 Com relação à convergência:
Resposta
ÁVILA, G. S. de S. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. ver. e ampl. São Paulo: 
Blucher, 2006.
GEORGE, B. T. et al. Cálculo, Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2012.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, Volume 4. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática (livro eletrônico). Curitiba: Intersaberes, 2017.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!