Análise Matemática

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<p>PRÉ-CÁLCULO</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Definir conjuntos numéricos e suas operações.</p><p>> Identificar as formas de representação de subconjuntos reais.</p><p>> Reconhecer operações com números reais.</p><p>Introdução</p><p>Neste capítulo, você aprenderá sobre a teoria dos conjuntos, bem como sobre</p><p>as operações que estão definidas entre eles. O estudo dos conjuntos numéricos</p><p>inicia-se pelo conjunto dos números naturais, prosseguindo até o conjunto</p><p>dos números reais, o qual é de suma importância para a matemática e para</p><p>inúmeras outras ciências por incorporar todas as operações fundamentais da</p><p>matemática.</p><p>Em um primeiro momento, são apresentados os diferentes conjuntos nu-</p><p>méricos, bem como as operações binárias que estão definidas em cada um</p><p>deles. Em um segundo momento, você identificará as diferentes formas de</p><p>representação de um subconjunto dos números reais: intervalar, geometria,</p><p>intervalos finitos e infinitos, que compreendem uma poderosa ferramenta</p><p>utilizada para solucionar diferentes problemas da matemática. Por fim,</p><p>as operações com o conjunto dos números reais serão estudadas com o auxílio</p><p>de ferramentas matemáticas que serão úteis ao longo de toda a sua trajetória,</p><p>seja em uma carreira totalmente ligada à área de exatas ou não.</p><p>Conjuntos numéricos</p><p>Fabio Santiago</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Conjuntos numéricos e suas operações</p><p>De modo intuitivo, o conceito de conjunto remete à ideia de coleção, agrupa-</p><p>mento, classe de objetos ou entes que compartilham de uma mesma carac-</p><p>terística. Nesse sentido, temos o conjunto das vogais, dos meses de um ano,</p><p>das cartas de um baralho de um mesmo naipe, entre tantas outras coleções ou</p><p>agrupamentos. No entanto, apesar dos inúmeros exemplos, matematicamente,</p><p>pouco nos é informado sobre a natureza de um conjunto e das operações que</p><p>atuam sobre ele. Nesse caso, faz-se necessário enunciar de modo formal um</p><p>conjunto e seus elementos.</p><p>Como observam Iezzi e Murakami (2013), na teoria dos conjuntos,</p><p>são consideradas três noções primitivas, ou seja, são aceitas sem</p><p>definição, a saber: conjunto, elemento e pertinência entre elemento e conjunto.</p><p>É comum indicar um conjunto por uma letra maiúscula, como A, B, C; por sua vez,</p><p>um elemento pertencente a determinado conjunto também pode ser indicado</p><p>por uma letra minúscula, ou seja, a, b, c.</p><p>Considere A um conjunto; além disso, considere o elemento a; caso esse</p><p>elemento pertença ao conjunto A, denota-se por x ∈ A, leia-se x é elemento de A,</p><p>ou x pertence ao conjunto A. Do contrário, caso x não seja elemento de A, denota-</p><p>-se por x ∉ A, leia-se: x não pertence ao conjunto A, ou x não é elemento de A.</p><p>A forma mais simples de representar um conjunto, como demonstram Iezzi</p><p>e Murakami (2019), é por meio dos pontos interiores a uma linha fechada e</p><p>não entrelaçada, como é mostrado na Figura 1.</p><p>Figura 1. Conjunto A, seus elementos e os elementos não pertencentes a esse conjunto.</p><p>Conjuntos numéricos 2</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>A partir da imagem anterior e dos conceitos já estudados, é possível afir-</p><p>mar que o conjunto A contém os elementos d, e, f, g, h, ou seja, d ∈ A, e ∈ A,</p><p>f ∈ A, g ∈ A, h ∈ A, ou ainda de outra forma, A = {d, e, f, g, h}. Por outro lado,</p><p>os elementos k, l, m não pertencem ao conjunto A; dessa forma, são repre-</p><p>sentados por l ∉ A, m ∉ A, k ∉ A.</p><p>Agora que vimos as três primitivas básicas sobre os conjuntos, é possível</p><p>avançar com os estudos na direção das operações entre conjuntos. Cabe</p><p>observar que, até agora, trabalhamos apenas com elementos e conjunto.</p><p>Essencialmente, são três as operações entre conjuntos, a saber: união inter-</p><p>cessão, diferença e complementar.</p><p>A primeira operação entre conjuntos que será apresentada é a união entre</p><p>conjuntos, também conhecida como reunião entre os conjuntos. Nesse sentido,</p><p>considere o conjunto A = {a, b, c, d} e o conjunto B = {e, f, g, h}.</p><p>A união do conjunto A com o conjunto B consiste no conjunto formado</p><p>pelos elementos pertencentes ao conjunto A ou ao conjunto B, sendo</p><p>matematicamente denotado por:</p><p>A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}</p><p>Nos casos em que A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g, h}, a união de A com B, ou seja,</p><p>A ∪ B é dada por: A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}.</p><p>A partir da formalização do conceito de união entre conjuntos, considere</p><p>os exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Seja A = {a, b, c, d} e B = {a, b, c}, então, A ∪ B = {a, b, c, d} ∪ {a, b, c} = {a, b, c, d}</p><p>Exemplo 2:</p><p>Seja A = {a, b} e B = {c, d, e, f, g}, então, A ∪ B = {a, b} ∪ {c, d, e, f, g} = {a, b, c, d,</p><p>e, f, g}</p><p>Exemplo 3:</p><p>Seja A = ∅ o conjunto vazio e B = {c, d, e, f, g}, então, A ∪ B = ∅} ∪ {c, d, e, f, g}</p><p>= {c, d, e, f, g}</p><p>Conjuntos numéricos 3</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Outra forma de representar a operação de união entre conjuntos A e B é por</p><p>meio da área hachurada do diagrama de Venn, como é mostrado pela Figura 2.</p><p>Figura 2. União dos conjuntos A = {d, e, f, g, h} e B = {d, l, m, h, k}.</p><p>A operação de união entre conjuntos satisfaz um conjunto de propriedades,</p><p>as quais serão apresentadas a seguir, considerando-se os conjuntos A, B e C.</p><p>1. A ∪ A = A (idempotente)</p><p>2. A ∪ ∅ = A (elemento neutro)</p><p>3. A ∪ B = B ∪ A (comutativa)</p><p>4. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)</p><p>Estudados os conceitos fundamentais sobre a operação de união entre</p><p>conjuntos, prosseguimos com o estudo da operação de interseção. Assim,</p><p>considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B = {a, b, k, l, m}.</p><p>A interseção do conjunto A com o conjunto B consiste no conjunto formado</p><p>pelos elementos pertencentes, de modo simultâneo, ao conjunto A e ao</p><p>conjunto B, sendo matematicamente denotado por:</p><p>A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}</p><p>No caso em que A = {a, b, c, d, e} e B = {a, b, k, l, m}, a interseção de A com B,</p><p>ou seja, A ∩ B, é dada por: A ∩ B = {a, b}.</p><p>Conjuntos numéricos 4</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Como observam Iezzi e Murakami (2013), se o elemento x pertence à</p><p>interseção dos conjuntos A e B, ou seja, x ∈ A ∩ B, isso significa que</p><p>x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo colocado entre as duas</p><p>condições significa que elas devem ser satisfeitas ao mesmo tempo.</p><p>A fim de consolidar os conceitos vistos até esse ponto sobre a interseção</p><p>de conjuntos, considere os seguintes exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Seja A = {a, b} e B = {b, c, d}, então, A ∩ B = {a, b} ∪ {b, c, d} = {b}</p><p>Exemplo 2:</p><p>Seja A = {a, b} e B = {a, b, c, d}, então, A ∩ B = {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b}</p><p>Exemplo 3:</p><p>Seja A = {a, b} e B = {c, d}, então, A ∩ B = {a, b} ∪ {c, d} = ∅</p><p>A operação de interseção entre os conjuntos A e B também pode ser</p><p>representada por meio da área hachurada do diagrama de Venn, como é</p><p>mostrado pela Figura 3.</p><p>Figura 3. Interseção dos conjuntos A = {d, e, f, g, h} e B = {d, h, l, m, k}.</p><p>Conjuntos numéricos 5</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Considerando os conjuntos A, B e C, e seja U o conjunto universo, que</p><p>consiste naquele que contém todos os elementos de um dado assunto, valem</p><p>as seguintes propriedades, de acordo com Iezzi e Murakami (2013):</p><p>1. A ∩ A = A (idempotente)</p><p>2. A ∩ U = A (elemento neutro)</p><p>3. A ∩ B = B ∩ A (comutativa)</p><p>4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa)</p><p>Os autores citados observam ainda que as operações de união e interseção</p><p>entre conjuntos se inter-relacionam e satisfazem as propriedades a seguir.</p><p>Sejam A, B e C conjuntos, considere as operações de união (∪) e interseção</p><p>(∩). Então, são válidas as seguintes operações.</p><p>1. A ∪ (A ∩ B) = A</p><p>2. A ∩ (A ∪ B) = A</p><p>3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)</p><p>4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)</p><p>Além das operações entre conjuntos vistas até aqui, tem-se ainda a ope-</p><p>ração de diferença entre os conjuntos e de complementar, as quais serão</p><p>vistas nessa ordem.</p><p>A fim de compreender a diferença entre conjuntos, considere, inicialmente,</p><p>o conjunto A e o conjunto B quaisquer. A diferença entre o conjunto A e o</p><p>conjunto B consiste em todos os elementos do conjunto A que não</p><p>desse conjunto e pertencem ao</p><p>conjunto que determinam. Disso tiramos que Goiás pertence ao conjunto dos</p><p>estados do Brasil, assim como a letra B pertence ao conjunto das consoantes</p><p>do alfabeto, mas uma cama não pertence ao conjunto dos móveis de uma</p><p>sala de aula, o que escrevemos da seguinte forma:</p><p>Goiás ∈ E (lê-se: Goiás pertence ao conjunto E). Se a cama não for elemento</p><p>do conjunto C das consoantes do alfabeto, escrevemos: a cama ∈ C (lê-se: a</p><p>elemento cama não pertence ao conjunto C).</p><p>Segundo Ávila (2006), um conjunto pode ser determinado de três maneiras</p><p>distintas: por enumeração, por extensão ou por compreensão.</p><p>A enumeração é quando conhecemos e conseguimos falar todos os ele-</p><p>mentos de um determinado conjunto, por exemplo, podemos falar o conjunto</p><p>das letras vogais V = {a, e, i, o, u}.</p><p>A extensão é quando não é possível falar ou enumerar todos os elementos</p><p>de um conjunto, mas podemos falar ou enumerar alguns, ou seja, uma parte</p><p>deles, usando reticências para demostrar os outros, e falamos, ou não, o último</p><p>elemento para simbolizar o final desse conjunto. Por exemplo, o conjunto</p><p>das letras consoantes C = {b, c, d, f,..., z}.</p><p>A compreensão é quando falamos ou utilizamos uma característica que</p><p>todos os elementos desse conjunto possuem — e somente eles possuem tal</p><p>característica. Esse tipo de definição tem uma forma própria de se descrever.</p><p>Se o conjunto B dos elementos x tem uma característica C, vamos defini-lo</p><p>da seguinte forma: B = {x / x é C}, e falamos da seguinte forma: o conjunto B</p><p>é definido pelos elementos “x” tal que “x” atende à característica “C”. Assim,</p><p>Propriedades algébricas dos números reais2</p><p>se conseguirmos escrever e caracterizar o conjunto dos números naturais,</p><p>descrevemos ele por N = {x / x é natural}.</p><p>Podemos, ainda, definir como sendo um subconjunto o conjunto que</p><p>está dentro de outro conjunto, ou seja, está contido nele. Como exemplo</p><p>dessa definição podemos falar o conjunto C = {b, c, d}, que é um subconjunto</p><p>do conjunto das consoantes, e podemos assim verificar que existem várias</p><p>maneiras de se formar outros subconjuntos a partir do conjunto original.</p><p>Ainda segundo Ávila (2006), o conjunto A é dito um subconjunto de B ou</p><p>dizemos que A é uma parcela de B, ou, ainda, que A está dentro de B, ou</p><p>seja, A está contido em B, e escrevemos A ⊂ B se a seguinte condição está</p><p>satisfeita: todo elemento de A pertence a B; podemos, ainda, enunciar que</p><p>B contém A e escrevemos B ⊃ A.</p><p>Outro conjunto que é muito importante de estudarmos e definirmos é o</p><p>conjunto vazio, denotado por ∅, que é um conjunto que não possui nenhum</p><p>elemento, ou seja, não existe x tal que x ∈ ∅.</p><p>Conjuntos naturais e inteiros</p><p>O conjunto N = {1, 2, 3, . . . } é usado para contagens e tem sua utilização e</p><p>definição sendo usadas durante várias passagens da história, pois desde os</p><p>primórdios da humanidade já se tem conhecimento do uso de números na</p><p>contagem; como exemplos, citamos os povos maias, incas, egípcios, gregos,</p><p>dentre outros. Esse conjunto é considerado algo tão natural, que N é cha-</p><p>mado de conjunto dos números naturais, e com certeza é o primeiro conjunto</p><p>numérico que aparece no decorrer da história de qualquer civilização ou em</p><p>qualquer escrito ou achado sobre os fundamentos da matemática de que se</p><p>tem conhecimento.</p><p>O conjunto Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }, conhecido popularmente como o</p><p>conjunto dos números inteiros, se forma da necessidade de lidar com números</p><p>negativos ou menores do que o valor base neutro, que seria o número zero.</p><p>Em geral dizemos que o conjunto dos inteiros nada mais é do que a imagem</p><p>ou espelho do conjunto dos números naturais no lado negativo.</p><p>Conjuntos racionais</p><p>De maneira simples e sem alardes, podemos definir os racionais como a união</p><p>entre os números inteiros e os números advindos de frações com divisões</p><p>não exatas, a qual resulta em números decimais ou em dízimas periódicas.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais 3</p><p>Ávila (2006) define o conjunto dos racionais da seguinte forma: a partir do</p><p>momento que trabalhar com números inteiros já não basta para resolvermos</p><p>os desafios e problemas encontrados, estamos, então, diante de um novo</p><p>conjunto numérico, o conjunto dos números racionais, que compreende o</p><p>conjunto dos números inteiros e mais o conjunto formado pelos números</p><p>fracionários.</p><p>Com a criação desses números, nos parece que é sempre possível exprimir</p><p>a medida de um segmento tomando outro como unidade. Além disso, a divisão</p><p>de números inteiros m e n pode agora sempre exprimir-se simbolicamente</p><p>pelo número racional m:n.</p><p>Assim, o conjunto dos números racionais constitui uma generalização do</p><p>conjunto dos números inteiros (note que obtemos os números inteiros dos</p><p>racionais fazendo n = 1).</p><p>O conjunto dos racionais seria, assim, um conjunto em que poderíamos</p><p>contar a quantidade de seus elementos, pois seria muito parecido com a</p><p>contagem dos elementos do conjunto dos inteiros, sendo, assim, um conjunto</p><p>enumerável.</p><p>Das propriedades do sistema dos números reais, a maior característica é</p><p>a de ser completo. Intuitivamente, ela diz que o conjunto dos números reais</p><p>não tem buracos.</p><p>Cardinalidade</p><p>De maneira bem simplificada, dizemos que a cardinalidade de um conjunto</p><p>nada mais é do que o número de elementos que pertencem a esse conjunto.</p><p>Podemos usar como um exemplo de aplicação dizer que a cardinalidade do</p><p>conjunto formado pelos números naturais e menores que cinco é o valor 5,</p><p>pois o conjunto seria formado pelos números 0, 1, 2, 3 e 4, ou seja, tem cinco</p><p>elementos.</p><p>Segundo Anton, Bivens e Davis (2014), dois conjuntos A e B têm a mesma</p><p>cardinalidade, se e somente se, existir uma bijeção (uma função ƒ:A→B bi-</p><p>jetora é aquela ao mesmo tempo sobrejetora e injetora) entre A e B. Como</p><p>exemplo, dizemos que se A e B são conjuntos finitos (com um número finito</p><p>de elementos), então A e B têm a mesma cardinalidade se, e somente se, eles</p><p>tiverem o mesmo número de elementos.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais4</p><p>Conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não</p><p>enumeráveis</p><p>Os objetos, coisas ou algarismos são os elementos do conjunto; como exemplo</p><p>de elementos que formam um conjunto temos as cores (azul, verde, amarelo,</p><p>vermelho, marrom, etc...) — que podemos mostrar e delimitar como sendo</p><p>o conjunto das cores.</p><p>Segundo Lima (2017), a notação In= {k ∈ ; k ≤ n} pode ser utilizada para</p><p>representar o conjunto finito dos números naturais menores que n. Temos</p><p>a partir daí que, dentro dos números naturais, existem n conjuntos K que</p><p>sempre têm um elemento k pertencente aos naturais; para tanto, dizemos</p><p>que esse conjunto formado por n elementos k é feito de subconjuntos do</p><p>conjunto dos naturais que são finitos. Por isso, o conjunto dos naturais seria</p><p>a união de todos esses subconjuntos, mostrando para nós que o conjunto</p><p>dos naturais é também um conjunto finito.</p><p>Um conjunto X diz-se finito quando é o conjunto vazio, ou então quando existe</p><p>n ∈ e uma bijeção f: In → X. Escreve-se</p><p>temos então Essa bijeção é dita uma contagem dos</p><p>elementos de X, e o número n chama-se o número de elementos ou cardina-</p><p>lidade do conjunto X.</p><p>Segundo Lima (2017), seja A um conjunto não vazio. Se existe n ∈ N e uma</p><p>função injetiva g: A → {1, . . . , n}, diremos que A é finito, caso contrário, A é</p><p>infinito. O menor número n que verifica essa propriedade é dito número de</p><p>elementos de A. Escrevemos #A = n. Diremos também que o conjunto vazio é</p><p>finito e que seu número de elementos é 0. O mesmo autor diz, ainda, que um</p><p>conjunto é infinito quando este não é finito. Assim, X é infinito quando não</p><p>é vazio nem existe, seja qual for n ∈ N, uma bijeção f: In → X. Por exemplo, o</p><p>conjunto N dos números naturais é infinito.</p><p>Para representar um conjunto, colocamos seus elementos entre chaves e</p><p>sempre o nomeamos por uma letra maiúscula; por exemplo, o conjunto X, o</p><p>conjunto Y, o conjunto F e, no caso do conjunto das cores, podemos escrever</p><p>assim: conjunto CORES = {azul, verde, vermelho, amarelo, marrom,</p><p>etc...}.</p><p>É importante, ainda, salientar que em linguagem matemática os conjuntos</p><p>são utilizados de forma abundante em relação aos números e se dividem nos</p><p>conjuntos dos naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.</p><p>Ainda segundo Lima (2017), um conjunto X é dito enumerável quando é</p><p>finito ou quando existe uma bijeção f: N → X. Nesse caso, f chama-se uma</p><p>enumeração dos elementos de X.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais 5</p><p>Ainda segundo o mesmo autor, dizemos que um conjunto A é enumerável se</p><p>ele é vazio ou se existe uma função injetiva f : A → N. Caso contrário, dizemos</p><p>que A é não enumerável.</p><p>É importante, ainda, falarmos sobre os conjuntos não enumeráveis; para</p><p>tanto, é quase impossível dissociar seu estudo do estudo do famoso cientista</p><p>e matemático George Cantor.</p><p>Foi com os estudos de Cantor que passamos a saber da existência de</p><p>conjuntos não enumeráveis, e, mais especificamente, que tomando qualquer</p><p>conjunto X, existe sempre um conjunto cujo número cardinal é maior do que</p><p>o de X.</p><p>Podemos usar como exemplo desse tipo de conjunto o conjunto dos nú-</p><p>meros reais. Para conseguirmos diferenciar um conjunto como sendo finito,</p><p>infinito enumerável e infinito não enumerável, usamos o número de elementos</p><p>do conjunto da seguinte forma escrita a seguir.</p><p>No teorema de Cantor, um conjunto finito seria aquele cujos elementos</p><p>têm o mesmo número (cardinal) e podem ser postos em correspondência</p><p>biunívoca (LIMA, 2017). De maneira semelhante, Cantor se propôs a construir</p><p>conjuntos infinitos conforme a sua " potência" e chegou à conclusão de que</p><p>conjuntos infinitos não são todos iguais, pois há conjuntos infinitos que</p><p>poderiam ser organizados em forma de lista ou escala; e outros, não. Isso</p><p>definiria de forma breve o que seriam, então, conjuntos infinitos enumeráveis</p><p>e conjuntos infinitos não enumeráveis.</p><p>O conjunto dos reais seria, assim, um exemplo caro de um conjunto não</p><p>enumerável, já que vimos a definição de um conjunto X e dito não enumerável,</p><p>quando não é possível obter uma bijeção de ̃ X com o conjunto dos números</p><p>naturais, e aqui vimos que os reais não fazem essa bijeção.</p><p>É importante salientar que a noção de conjunto enumerável está dire-</p><p>tamente ligada ao conjunto N dos números naturais, pois traz a ideia de</p><p>contagem de seus elementos. Por isso usamos muito a ideia aqui já discutida</p><p>de cardinalidade; se quisermos saber mais a respeito de N, teremos que</p><p>tomar conhecimento da teoria dos números naturais a partir dos axiomas</p><p>de Peano, que não é o foco desse material e ficará para o estudo de um</p><p>segundo momento.</p><p>O conjunto dos números racionais é enumerável. Como visto na construção</p><p>do conjunto dos números racionais, cada número racional é representado de</p><p>maneira única como p/q, com p ∈ Z e q ∈ N na forma irredutível. Temos que o</p><p>conjunto Q+ (elementos positivos) é equipotente ao conjunto Q− (elementos</p><p>negativos), sendo que Q = Q+ ∪ {0} ∪ Q−.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais6</p><p>Logo, para mostrarmos que o conjunto Q é enumerável, é suficiente mos-</p><p>trar que Q+ é enumerável. Agora consideremos a seguinte função claramente</p><p>bijetora f : Q+ → N × N, dada por f(p/q) = (p, q). Temos então que Q+ é equipo-</p><p>tente a f(Q+) ⊂ N × N. Como o conjunto Q+ é um superconjunto de N, que é um</p><p>conjunto infinito, então ele é infinito e f(Q+) é um subconjunto infinito de N</p><p>× N, que é um conjunto enumerável, como provado anteriormente. Portanto,</p><p>f(Q+) é enumerável e como f(Q+) é equipotente a Q+, então Q+ é enumerável</p><p>e, consequentemente, Q também é enumerável.</p><p>O conjunto dos números reais R é não enumerável. Vamos supor, por</p><p>absurdo, que o conjunto dos números reais seja enumerável. Então, pelo</p><p>teorema que fala que todo subconjunto infinito de R é também enumerável,</p><p>mas o intervalo ]0, 1[ ⊂ R é não enumerável, temos que, portanto, o conjunto</p><p>dos números reais é não enumerável.</p><p>O conjunto dos números irracionais é não enumerável. De fato, temos que</p><p>R = Q ∪ (R − Q). Temos que Q é enumerável, como vimos anteriormente. Se</p><p>R−Q também fosse enumerável, teríamos que R também seria enumerável,</p><p>pois reunião de conjuntos enumeráveis é enumerável. Mas, pelo parágrafo</p><p>anterior, R é não enumerável. Portanto, o conjunto dos números irracionais</p><p>é não enumerável.</p><p>Os conjuntos numéricos são a base da matemática fundamentais para a</p><p>entendermos.</p><p>Grandezas comensuráveis e</p><p>incomensuráveis</p><p>Podemos diferenciar as grandezas comensuráveis e incomensuráveis usando</p><p>a linguagem coloquial de várias pessoas em seu dia a dia, como por exemplo:</p><p>O carinho que sinto por você é incomensurável.</p><p>Essa expressão quer dizer que o carinho não pode ser medido; sendo</p><p>assim, uma grandeza incomensurável seria uma grandeza que não se pode</p><p>medir e a grandeza comensurável seria aquela que pode ser medida e que</p><p>tem a mesma unidade de medida de referência.</p><p>Podemos citar como exemplos de grandeza comensurável o perímetro de</p><p>um retângulo e a medida da diagonal desse mesmo retângulo.</p><p>Segundo Lima (2017), a existência de segmentos incomensuráveis implica</p><p>a insuficiência dos sistemas numéricos até então conhecidos — os números</p><p>naturais e os números racionais; esses números já não bastavam para efetuar</p><p>Propriedades algébricas dos números reais 7</p><p>medidas dos objetos geométricos mais simples, como o quadrado e o círculo,</p><p>e não se tinham valores precisos e verdadeiros.</p><p>Para resolver os problemas encontrados nesses tipos de cálculo, chegou-</p><p>-se a solução que se propôs, na época, e que demorou décadas e talvez até</p><p>séculos para ser completamente elucidada — aumentar os conceitos de</p><p>números existentes até então. A partir daí, surgem os chamados números</p><p>irracionais, que foram usados como valor fixo de unidade de comprimento</p><p>adotada e creditada a qualquer segmento de reta que poderia ser medido</p><p>com valores numéricos; isso incluía valores antes não medidos de forma exata</p><p>como a diagonal de um retângulo.</p><p>Um número comensurável seria, então, a medida de um segmento unitário</p><p>que correspondesse à unidade escolhida, e sua medida seria um número</p><p>racional. Já as medidas dos segmentos em que a unidade escolhida não</p><p>pudesse ser medida teriam como medida um número irracional, o qual de-</p><p>finimos como sendo a razão entre dois números inteiros em que a resposta</p><p>não seja um número racional.</p><p>Segundo Ávila (2006), as frações não eram números, já que elas apare-</p><p>ciam como relações entre grandezas da mesma espécie. Agora que haviam</p><p>sido descobertas grandezas incomensuráveis, estava claro que os números</p><p>(naturais) eram insuficientes até mesmo para definir a razão entre duas</p><p>grandezas, o que se constituía em um sério entrave à filosofia pitagórica.</p><p>A crise desencadeada com a descoberta dos incomensuráveis, de imediato</p><p>tornou impossível falar sobre razão entre duas grandezas quando essas</p><p>fossem incomensuráveis.</p><p>As aplicações desses dois conceitos são muito importantes ao estudarmos</p><p>a análise de dados, pois uma grandeza incomensurável é bem mais complexa</p><p>de se estudar e analisar do que uma que seja comensurável.</p><p>Segundo outra doutrina pitagórica, “tudo é número”, ou seja, tudo podia</p><p>ser explicado por meio dos números (inteiros) e suas razões (números ra-</p><p>cionais). Acreditava-se, também, que dados dois segmentos quaisquer, eles</p><p>eram sempre comensuráveis, isto é, que existia um terceiro segmento, menor</p><p>que os dois primeiros, tal que cada um deles era múltiplo inteiro do menor.</p><p>Em termos modernos, se a e b são os comprimentos dos dois segmentos,</p><p>então existe um segmento de comprimento c e dois inteiros m e n tais que</p><p>a = mc e b = nc. Daí conclui-se que a/b = m/n. Muitas das demonstrações da</p><p>época eram baseadas nesse fato. Vejamos o que, junto com o teorema de</p><p>Pitágoras, isso acarreta.</p><p>Consideremos um quadrado de lado 1 e seja d o comprimento de sua</p><p>diagonal. Pelo teorema de Pitágoras, d2 = 12 + 12 = 2. Pela comensurabilidade</p><p>Propriedades algébricas dos números reais8</p><p>entre a diagonal e o lado, existem inteiros m e n tais que d/1 = m/n. Podemos</p><p>supor, sem perda</p><p>de generalidade, que m e n não têm divisor comum maior</p><p>que 1. Assim, 2 = d2 = m2/n2. Segue que m2 = 2n2 e, portanto, m2 é par, o que</p><p>implica que m também é. Logo, existe um inteiro p tal que m = 2p. Temos</p><p>então 2n2 = m2 = 4p2 e, portanto, n2 = 2p2. Daí concluímos que n2 é par e, logo,</p><p>n também é. Provamos que tanto m quanto n são pares, contradizendo o fato</p><p>de que eles não possuem divisor comum maior que 1. Isso mostra que 1 e d</p><p>são incomensuráveis.</p><p>A comensurabilidade entre dois segmentos quaisquer é equivalente ao fato</p><p>de que todo número é racional! A incomensurabilidade entre 1 e d significa</p><p>que não é racional. Isto mostrou aos pitagóricos que, ao contrário do</p><p>que eles preconizavam, os números (inteiros) e suas razões não eram capazes</p><p>de explicar tudo. Acredita-se que esse resultado foi descoberto e revelado</p><p>por Hippasus de Metapontum que, por esse motivo, foi expulso da confraria</p><p>(pior, segundo a lenda, ele foi jogado ao mar).</p><p>Ínfimos e supremos de um conjunto</p><p>Podemos definir o conceito de ínfimo de um conjunto como sendo o maior</p><p>valor dos valores minorantes de um conjunto, ou seja, dos valores da cota</p><p>inferior ou menores, o ínfimo é o maior deles.</p><p>Segundo De Maio (2007), seja X ⊆ R limitado superiormente e não vazio,</p><p>b ∈ R chama-se o supremo de X quando é a menor das cotas superiores de X .</p><p>Notação: b = supX . Seja X ⊆ R limitado inferiormente e não vazio, b ∈ R chama-</p><p>-se o ínfimo de X quando é a maior das cotas inferiores. Notação: b = supX .</p><p>A principal finalidade de estudarmos sobre esses dois conceitos é ante-</p><p>cipar a ideia de limitantes superiores e inferiores de um conjunto e saber a</p><p>importância de se calcular o limite de uma função e achar os valores referentes</p><p>a esses limites em um determinado conjunto.</p><p>Segundo Neri e Cabral (2006), aqui assume-se como construído o corpo</p><p>ordenado (R, +, ·, ≤) dos números reais. E, a partir disso, definimos o supremo</p><p>(simbolizado por sup) e o ínfimo (simbolizado por inf) de subconjuntos não</p><p>vazios de R. Para isso, primeiro introduzimos os conceitos de cota superior</p><p>e cota inferior.</p><p>Segundo Neri e Cabral (2006), seja A ⊂ R, não vazio. Dizemos que:</p><p>� r é cota superior de A se a ≤ r para todo a ∈ A;</p><p>� r é cota inferior de A se r ≤ a para todo a ∈ A.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais 9</p><p>Ainda segundo o mesmo autor, é importante termos em mente as seguintes</p><p>definições:</p><p>1. Seja A ⊂ R, não vazio. Se existir s ∈ R que seja a menor cota superior</p><p>de A, isto é,</p><p>a) a ≤ s para todo a ∈ A (s é cota superior);</p><p>b) se r é cota superior de A, então s ≤ r (s é a menor cota superior); então</p><p>dizemos que s é supremo (finito) de A, e escrevemos sup A = s. Quando</p><p>A é ilimitado superiormente (não existe cota superior para A), dizemos</p><p>que o supremo de A é mais infinito e escrevemos sup A = +∞.</p><p>3. Seja A ⊂ R, não vazio. Se existir i ∈ R que seja a maior cota inferior de</p><p>A, isto é,</p><p>a) i ≤ a para todo a ∈ A (s é cota inferior);</p><p>b) se r é cota inferior de A, então r ≤ i (s é a maior cota inferior); então</p><p>dizemos que i é ínfimo (finito) de A, e escrevemos inf A = i. Quando A é</p><p>ilimitado inferiormente (não existe cota inferior para A), dizemos que</p><p>o ínfimo de A é menos infinito e escrevemos inf A = −∞.</p><p>É importante, ainda, saber que todo conjunto não vazio de números reais</p><p>limitado superiormente possui um supremo e, para seu cálculo, usamos o</p><p>limite à direita da função em estudo; também devemos saber que todo con-</p><p>junto não vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo</p><p>que é calculado pelo limite à esquerda da função em estudo.</p><p>O ínfimo é sempre menor ou igual ao supremo e eles podem chegar</p><p>a ser iguais se pensarmos em um conjunto unitário ou nulo.</p><p>Outra informação importante é que haverá conjuntos em que não existe o</p><p>ínfimo e existe o supremo, assim como conjuntos em que não existe o supremo,</p><p>mas existe o ínfimo. Como exemplo disso podemos usar um conjunto definido</p><p>por x pertencente aos reais em que x é maior ou igual a zero e menor que</p><p>1 — temos aí um conjunto em que o ínfimo é zero e o supremo não existirá,</p><p>pois não existirão valores maiores ou iguais a um.</p><p>Nos estudos matemáticos, chegamos a definições que são muito difundi-</p><p>das e confundidas entre si. Algumas destas são os conceitos de majorante/</p><p>cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo.</p><p>Deixamos aqui bem claro que, apesar de estarem relacionados e de estarem</p><p>Propriedades algébricas dos números reais10</p><p>ligados, esses conceitos são bem diferentes e é importante que sejam estu-</p><p>dados e aplicados de maneira correta e clara.</p><p>� Chamamos de cota superior, limite superior ou majorante os valores</p><p>assumidos dentro de um conjunto, de forma que nenhum outro valor</p><p>qualquer desse conjunto seja maior que esse valor, ou seja, esse será</p><p>o maior valor encontrado ou assumido dentre os elementos desse</p><p>conjunto.</p><p>� Chamamos de conta inferior, limite inferior ou minorante os valores</p><p>assumidos dentro de um conjunto de forma que nenhum outro valor</p><p>qualquer desse conjunto seja menor que esse valor, ou seja, esse será o</p><p>menor valor encontrado ou assumido dentre os elementos do conjunto.</p><p>� Chamamos de ínfimo de um conjunto o maior valor assumido dentro</p><p>dos valores minorantes desse conjunto e dizemos que esse conjunto</p><p>é limitado inferiormente. O ínfimo é, então, o maior valor dentre os</p><p>menores valores dos elementos desse conjunto.</p><p>� Chamamos de supremo de um conjunto o menor valor assumido dentro</p><p>dos valores majorantes desse conjunto e dizemos que esse conjunto</p><p>é limitado superiormente. O supremo é, então, o menor valor dentre</p><p>os maiores valores dos elementos desse conjunto.</p><p>Esses conceitos adquirem relevância desde o início dos estudos dos nú-</p><p>meros reais e estão ligados diretamente à ideia de limite usada nos conceitos</p><p>dos fundamentos do cálculo e que são a base de estudos básicos e avançados</p><p>da derivada e da integral; sem o entendimento do limite, realmente seria</p><p>impossível compreender esses novos conceitos, que são base a todas as</p><p>áreas das ciências exatas e da natureza.</p><p>Antes de finalizarmos essa seção, é importante colocar aqui o axioma</p><p>do supremo:</p><p>Se A ⊆ R é um subconjunto não vazio e limitado superiormente, então ∃</p><p>S ∈ R t.q. S = sup A.</p><p>A razão de se mencionar que A ≠ ∅ no axioma do supremo é que o con-</p><p>junto vazio é limitado superiormente, mas qualquer número real é uma cota</p><p>superior para ele, não existindo então a menor de todas.</p><p>Dizemos que um corpo ordenado K satisfaz o axioma do supremo se para</p><p>cada subconjunto C ⊂ K não vazio e limitado superiormente existe sup C em K.</p><p>Tomamos, ainda, como base o teorema que diz: existe um corpo ordenado</p><p>que tem a propriedade do supremo. Além disso, esse corpo contém Q como</p><p>subcorpo.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais 11</p><p>Há duas demonstrações, ambas bastante longas e trabalhosas, para esse</p><p>teorema. Cada uma das demonstrações consiste em construir, a partir de Q,</p><p>um conjunto R que satisfaz todos os axiomas de corpo ordenado e o axioma</p><p>do supremo. O conjunto construído contém Q não apenas como subconjunto,</p><p>mas como subcorpo, isto é, as operações de adição e multiplicação definidas</p><p>em R, quando aplicadas a elementos de Q, coincidem com as operações</p><p>usuais de Q.</p><p>É possível provar também que o conjunto dos racionais positivos é com-</p><p>posto por elementos positivos de R.</p><p>É também possível demonstrar que R é o único corpo ordenado que satisfaz</p><p>a propriedade do supremo, a menos que ele não satisfaça a condição do iso-</p><p>morfismo. Intuitivamente, o axioma do supremo é o que garante que R pode</p><p>ser identificado com os pontos da reta orientada sem deixar buraquinhos.</p><p>Por esse motivo, é possível caracterizar o conjunto dos números reais</p><p>como sendo o único “corpo ordenado completo”.</p><p>A primeira apresentação rigorosa do conceito de número real foi feita</p><p>pelo matemático alemão Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916). Há</p><p>outra maneira de construir o conjunto R: por meio de sequências de Cauchy.</p><p>Os elementos de R são chamados de</p><p>números reais. Dizemos que um</p><p>número real é irracional se não for racional, isto é, se for um elemento do</p><p>conjunto R − Q. Podemos agora afirmar que é o axioma do supremo que distin-</p><p>gue Q de R, já que provamos que Q não satisfaz esse axioma, mas R satisfaz.</p><p>Determine, caso existam, o supremo e o ínfimo do conjunto a seguir:</p><p>Observamos que se e somente se −5 < x ≤ , o que nos permite ver</p><p>que −5 é o ínfimo de B e é o seu supremo. Note que, neste exemplo, o ínfimo</p><p>não pertence ao conjunto B, enquanto o supremo pertence a B.</p><p>Para finalizar, é importante dizermos que o estudo dos ínfimos e supremos</p><p>é muito interessante quando temos o pensamento mais a frente, que seria</p><p>estudar sobre limites de uma função e os valores dos limites à esquerda e à</p><p>direita de uma função qualquer.</p><p>Propriedades algébricas dos números reais12</p><p>Referências</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 1 v.</p><p>ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006.</p><p>DE MAIO, W. (coord.). Fundamentos de matemática: cálculo e análise. Rio de Janeiro:</p><p>LTC, 2007.</p><p>LIMA, E. L. Análise real. 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2017. v 1.</p><p>NERI, C.; CABRAL, M. Curso de análise real. Rio de Janeiro: Autores, 2006.</p><p>Leituras recomendadas</p><p>AYRES JR., F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. (E-book).</p><p>HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo: a uma e a várias variáveis. 5. ed. Rio de Janeiro:</p><p>LTC, 2011. v. 1.</p><p>LIMA, E. L. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2017. v. 1.</p><p>LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.</p><p>(Coleção Schaum).</p><p>Propriedades algébricas dos números reais 13</p><p>ANÁLISE REAL</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Definir função contínua utilizando a ideia de limites.</p><p>> Reconhecer funções contínuas em conjuntos conexos e em conjuntos com-</p><p>pactos.</p><p>> Identificar os tipos de descontinuidade de uma função.</p><p>Introdução</p><p>Informalmente, quando pensamos em função contínua, podemos associá-la</p><p>àquela cujo gráfico pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel, ou seja, de</p><p>maneira interrupta (sem quebras ou saltos). No entanto, é importante evidenciar</p><p>que o estudo da continuidade de uma função está vinculado ao estudo de limite.</p><p>Isso implica, formalmente, que uma função f(x) será contínua em x = a quando</p><p>algumas condições forem satisfeitas. Podemos reconhecer as funções contínuas</p><p>em conjuntos conexos, aqueles em que não há qualquer maneira de dividir seus</p><p>elementos em dois conjuntos dicotômicos e bem separados, e em conjuntos</p><p>compactos, aqueles em que “[...] para um dado espaço métrico (K, dK) e para toda</p><p>f:K → contínua existir um x* ∈ K tal que f(x*) = infx∈Kf(x). Se K X, dizemos que</p><p>K é compacto se K é compacto com a métrica induzida por X” (OLIVEIRA, 2014).</p><p>Neste capítulo, vamos definir função contínua de forma mais intuitiva e pela</p><p>ideia de limites. Também ensinaremos o leitor a reconhecer funções contínuas</p><p>em conjuntos conexos e compactos e, por fim, explicaremos os três tipos básicos</p><p>de descontinuidade de uma função.</p><p>Continuidade</p><p>de funções</p><p>Cristiane da Silva</p><p>Função contínua</p><p>Para compreendermos o significado de função contínua, vamos pensar em</p><p>uma bola que é arremessada. Ela seguirá uma trajetória como uma curva</p><p>sem interrupções, ou seja, uma trajetória contínua, como vemos na Figura 1.</p><p>Figura 1. Lançamento de uma bola.</p><p>Podemos definir uma função contínua por seu gráfico ou sua definição.</p><p>O gráfico é um recurso visual que auxilia no entendimento da definição. No</p><p>caso da função contínua, é como se você utilizasse um lápis para desenhar</p><p>uma curva sem tirá-lo do papel (Figura 2).</p><p>Figura 2. Função contínua.</p><p>Perceba que não há qualquer quebra, qualquer salto. A Figura 2 apresenta</p><p>uma linha contínua, sem descontinuidade. Isso posto, precisamos enten-</p><p>der quais propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos.</p><p>Acompanhe a Figura 3.</p><p>Continuidade de funções2</p><p>Figura 3. Funções descontínuas.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 110).</p><p>Anton, Bivens e Davis (2014) explicam que uma função terá uma quebra</p><p>ou buraco em um ponto x = c, como mostra a Figura 3, nos seguintes casos:</p><p>1. a função f não está definida em c, como mostra a Figura 3a;</p><p>2. o limite de f(x) não existe quando x tende a c, como mostram as Figuras</p><p>3b e c;</p><p>3. o valor da função e o valor do limite em c são diferentes, como mostra</p><p>a Figura 3d.</p><p>Isso nos leva à definição de continuidade (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):</p><p>Dizemos que uma função f é contínua em x = c se as seguintes condições</p><p>forem satisfeitas: 1) f(c) estiver definida; 2) existir; 3)</p><p>Quando uma das condições da definição falha, existe uma descontinui-</p><p>dade. Na Figura 3, observamos que f(x) tem uma descontinuidade em x = c.</p><p>Na Figura 3a, ocorre a violação da primeira condição da definição, quando</p><p>a função não está definida em c. Na Figura 3b, os limites laterais da função</p><p>quando x tende a c não são iguais, então não existe o que viola a</p><p>segunda condição da definição. Chamamos esse caso de descontinuidade</p><p>de salto em c. Na Figura 3c, os limites laterais são infinitos, então não existe</p><p>e, aqui, dizemos que a função tem uma descontinuidade infinita em</p><p>c. Na Figura 3d, a função está definida em c e o existe; porém, esses</p><p>dois valores são diferentes, o que viola a terceira condição da definição. Na</p><p>última situação, dizemos que a função tem uma descontinuidade removível</p><p>em c (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).</p><p>Outra definição importante diz que uma função f é contínua à di-</p><p>reita em um número a se e contínua à esquerda em a se</p><p>Além disso, a função será contínua em um intervalo se for</p><p>Continuidade de funções 3</p><p>contínua em todos os números do intervalo (STEWART, 2016). Vejamos um</p><p>exemplo de Stewart (2016).</p><p>Mostre que a função é contínua no intervalo</p><p>[–1,1].</p><p>Solução:</p><p>Se –1 < a < 1, então, usando as propriedades dos limites:</p><p>Por definição, f é contínua em a se –1 < a < 1. Cálculos análogos mostram que:</p><p>Logo, f é contínua à direita em –1 e contínua à esquerda em 1. Consequen-</p><p>temente, f é contínua em [–1,1]. Confira o gráfico da função e veja que ele é a</p><p>metade inferior do círculo:</p><p>Figura 4. Gráfico da metade inferior do círculo x² + (y – 1)² = 1.</p><p>Fonte: Stewart (2016, p. 101).</p><p>Continuidade de funções4</p><p>Para facilitar o trabalho, especialmente quando estivermos tratando de</p><p>funções contínuas complicadas, convém utilizar o seguinte teorema, que</p><p>possibilita trabalhar com funções mais simples:</p><p>Se f e g forem contínuas em a e c for uma constante, então</p><p>as seguintes funções também são contínuas em a:</p><p>1) f + g;</p><p>2) f – g;</p><p>3) cf;</p><p>4) fg;</p><p>5) f/g, se g(a) ≠ 0.</p><p>Saber quais funções são contínuas nos permite calcular mais rapidamente</p><p>alguns limites.</p><p>Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios. Isso</p><p>significa que você não precisa realizar uma análise para esses casos,</p><p>basta conhecê-las. Veja-as a seguir (STEWART, 2016).</p><p>� Polinômios.</p><p>� Funções raízes, para x ≥ 0 em raízes pares</p><p>� Funções seno e cosseno.</p><p>� Funções trigonométricas inversas, como arcsen, arctag, etc.</p><p>� Funções exponenciais.</p><p>� Funções logarítmicas, para todo x > 0.</p><p>� Funções racionais.</p><p>Para Stewart (2016), outra possibilidade de combinar as funções contínuas</p><p>f e g para obter novas funções contínuas é a função composta f ° g, que vem</p><p>do seguinte teorema:</p><p>Seja f é contínua em b e então</p><p>Dito de outra forma,</p><p>Confira um exemplo de Stewart (2016).</p><p>Continuidade de funções 5</p><p>Calcule</p><p>Solução:</p><p>Uma vez que arcsen é uma função contínua:</p><p>Nesta seção, vimos a definição de continuidade de uma forma mais in-</p><p>tuitiva e, depois, no contexto das funções. Ensinamos que podemos analisar</p><p>a continuidade de uma função por meio do recurso gráfico e por meio da</p><p>definição. Além disso, estabelecemos sua relação com limite e conhecemos</p><p>teoremas que nos permitem trabalhar com funções contínuas mais simples.</p><p>Funções contínuas em conjuntos conexos e</p><p>compactos</p><p>Nesta seção, estudaremos funções contínuas em conjuntos conexos e com-</p><p>pactos. Neri e Cabral (2011) afirmam que A é um conjunto conexo se A é</p><p>um dos intervalos da seguinte definição:</p><p>Sejam a, b ∈ com a ≤ b, um intervalo é um subconjunto</p><p>de R de qualquer uma das formas abaixo:</p><p>1)</p><p>2)</p><p>3)</p><p>4)</p><p>5)</p><p>6)</p><p>7)</p><p>8)</p><p>9)</p><p>Continuidade de funções6</p><p>Quando a = b, temos [a,a] = {a} e [a,a) = (a,a) = (a,a] = ∅. Logo, o conjunto</p><p>vazio e os conjuntos unitários são intervalos. Esses dois tipos de intervalos são</p><p>ditos degenerados, enquanto outros são ditos não degenerados. O intervalo</p><p>∅ e os intervalos dos tipos (3), (6), (8) e (9) são ditos abertos. O intervalo ∅ e</p><p>os intervalos dos tipos (1), (5), (7), (9) são ditos fechados” (NERI; CABRAL, 2011).</p><p>Note que, de acordo com essa definição, o conjunto dos reais e o conjunto</p><p>vazio são os únicos intervalos que possuem a propriedade de ser abertos e</p><p>fechados ao mesmo tempo. Também podemos observar que existem intervalos</p><p>que não são abertos nem fechados.</p><p>Dito isso, Neri e Cabral (2011) destacam que uma função contínua leva</p><p>conexo em conexo, mas, para apresentar o teorema que trata dessa questão,</p><p>precisamos do teorema do valor intermediário:</p><p>Se f ∈ C([a,b]) e f(a) < k < f(b), então existe c ∈ (a,b) tal que</p><p>f(c) = k. A mesma conclusão vale quando f(a) > k > f(b).</p><p>Assim, podemos seguir para o próximo teorema, que diz que a imagem</p><p>de conexo é conexo:</p><p>Seja I R um conexo e f: I → contínua, então f(I) é um conexo.</p><p>Stewart (2016) explica que o teorema do valor intermediário afirma que</p><p>uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores</p><p>da função f(a) e f(b). Observe a Figura 5 e verifique que o valor de k pode ser</p><p>assumido uma vez (Figura 5a) ou mais (Figura 5b).</p><p>Figura 5. Representação gráfica do teorema do valor intermediário.</p><p>Fonte: Adaptada de Stewart (2016).</p><p>Continuidade de funções 7</p><p>Stewart (2016) destaca que o teorema do valor intermediário será verda-</p><p>deiro para aquelas funções contínuas cujo gráfico não apresente saltos ou</p><p>quebras. No entanto, quando as funções forem descontínuas, o teorema se</p><p>torna falso.</p><p>Quanto às funções contínuas em compactos, vale lembrar que, por de-</p><p>finição, um subconjunto não vazio de R é compacto se, e somente se, ele é</p><p>fechado e limitado. Dito isso, podemos dizer que a imagem de compacto é</p><p>compacto, como afirmam Neri e Cabral (2011) no seguinte teorema:</p><p>Seja K um compacto e f: K → contínua, então f(K) é um compacto.</p><p>Antes de apresentar o corolário de Weierstrass, Neri e Cabral (2011) reto-</p><p>mam a definição de pontos de máximo, mínimo e extremo global:</p><p>Sejam f: A → e B A. Se f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ B, então dizemos</p><p>que x0 é um ponto de máximo de f em B. Neste caso, f(x0) é o valor máximo</p><p>de f em B. Se f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ B, então x0 é dito ponto de mínimo</p><p>de f em B e f(x0) é o valor mínimo de f em B. Se x0 é ponto de máximo ou de</p><p>mínimo em B, então x0 é chamado de extremo em B. Em particular, quando</p><p>B = A, trata-se de máximo global ou mínimo global ou extremo global de f.</p><p>Com essa definição, podemos seguir com o corolário de Weierstrass,</p><p>que diz:</p><p>Se f: [a,b] → é contínua, então f tem pontos de máximo e de mínimo em [a,b].</p><p>Outra definição importante trata da função uniformemente contínua:</p><p>Seja f: A → , diz-se que f é uniformemente contínua se</p><p>tal que implica que</p><p>De onde segue que uma função contínua em compacto é uniformemente</p><p>contínua. Acompanhe o teorema:</p><p>Seja K um compacto e f: K → contínua, então f é</p><p>uniformemente contínua em K (NERI; CABRAL, 2011).</p><p>Continuidade de funções8</p><p>Adicionalmente, Neri e Cabral (2011) trazem a definição de função Lipschitz</p><p>contínua, importante em aplicações de análise, como nas equações diferen-</p><p>ciais. A definição diz o seguinte:</p><p>Uma função f: A → é dita Lipschitz contínua se existe K > 0 tal</p><p>que para todo x, y ∈ A. Além disso, se f é</p><p>Lipschitz contínua em A, então f é uniformemente contínua em A.</p><p>Abordaremos, agora, os pontos fixos para funções contínuas. Para tanto,</p><p>vamos recorrer à definição que diz:</p><p>Seja f: A → , dizemos que x é ponto fixo de f se f(x) = x. Para compre-</p><p>ender melhor, vejamos um exemplo.</p><p>A função f(x) = x² – x – 2 pode ser reescrita como:</p><p>onde g(x) = x²– 2. Essa função tem, como ponto fixo, o valor x = 2, pois:</p><p>Esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois:</p><p>Ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor</p><p>de x na função g(x), teremos, como resultado, o próprio valor de x. Portanto, a</p><p>raiz de f(x) será o ponto fixo de g(x), ou seja, o valor que, ao ser substituído em</p><p>g(x), retorna o próprio valor de x.</p><p>Vejamos mais alguns teoremas e definições importantes reportados por</p><p>Neri e Cabral (2011).</p><p>Continuidade de funções 9</p><p>Teorema do ponto fixo de Brouwer:</p><p>Se f: [0,1] → [0,1] é contínua, então f tem um ponto fixo.</p><p>Definição: Seja f: A → , dizemos que f é uma contração se existe α ∈ (0,1)</p><p>tal que para todo x,y ∈ A.</p><p>Teorema do ponto fixo de Banach:</p><p>Sejam f: A → contração e X A fechado, não vazio e tal que f(X) X, então</p><p>existe um único a ∈ X que é ponto fixo de f. Mais precisamente, dado x0 ∈ X, a</p><p>sequência (xn)n∈N, definida recursivamente por converge</p><p>para a.</p><p>Esse teorema também é conhecido como “método das aproximações suces-</p><p>sivas de Picard” ou “lema da contração”.</p><p>Nesta seção, vimos como reconhecer funções contínuas em conjuntos</p><p>conexos e em conjuntos compactos. Também conhecemos os pontos fixos</p><p>para funções contínuas. Direcionamos a atenção para vários teoremas e</p><p>definições importantes a respeito das funções contínuas.</p><p>Tipos de descontinuidade</p><p>Conforme discutimos nas seções anteriores, quando uma função é contínua,</p><p>espera-se que ela esteja definida para todos os valores de seu domínio.</p><p>Quando isso não ocorre, há uma descontinuidade, que pode ser classificada</p><p>em três tipos básicos:</p><p>1. removível;</p><p>2. de salto (ou de primeira espécie);</p><p>3. infinita (ou de segunda espécie).</p><p>Ávila (2006, p. 155) apresenta a definição:</p><p>Sendo a um ponto de acumulação do domínio D de uma função f, dizemos</p><p>que f é descontínua em x = a, ou f não tem limite com x → a, ou esse limite</p><p>existe e é diferente de f(a), ou f não está definida em x = a. Analogamente,</p><p>definimos descontinuidade à direita e descontinuidade à esquerda.</p><p>Essa definição permite admitir que um ponto pode ser descontinuidade</p><p>de uma função mesmo que não pertença ao domínio desta. Isso porque se</p><p>Continuidade de funções10</p><p>considera o que acontece nas proximidades dos pontos de acumulação do</p><p>domínio da função, ainda que eles não pertençam ao domínio (ÁVILA, 2006).</p><p>Vejamos um exemplo envolvendo descontinuidade removível de uma função.</p><p>Uma função tem uma descontinuidade removível em x = a se o limite</p><p>de f(x) existe em a, mas se f(a) é indefinida ou se o</p><p>valor de f(a) difere do limite. Se nos for solicitado, por exemplo, para encontrar</p><p>os valores de x, no caso de existirem, nos quais não é contínua, e</p><p>determinar se cada um desses valores é uma descontinuidade removível, fazemos</p><p>o seguinte. Primeiramente, reescrevemos a função:</p><p>que representa uma reta. Lembrando que a função não está definida em x = 2,</p><p>pois torna o denominador nulo. Nos outros pontos, a função é contínua e possui</p><p>limite em todo o domínio, mas também temos o ponto de descontinuidade em</p><p>x = 2, que é removível. Observe a Figura 6.</p><p>Figura 6. Representação da função f(x).</p><p>Fonte: Adaptada de Descontinuidade removível de uma função (2017).</p><p>Portanto, ao completar a definição da função com o ponto f(x) = 4 para x =</p><p>2, tem-se uma função contínua.</p><p>Em outras palavras, a descontinuidade removível que pode ser removida a</p><p>partir do momento que se redefine uma nova função cujo ponto em questão</p><p>seja igual ao limite da função nesse mesmo ponto.</p><p>A descontinuidade de primeira espécie, ou do tipo salto, ocorre quando</p><p>a função possui, no ponto considerado, limites à direita e à esquerda, mas</p><p>esses limites são diferentes. Ou seja, existem limites laterais em determinado</p><p>Continuidade de funções 11</p><p>ponto, mas eles não coincidem, havendo saltos no</p><p>valor da função. Nesse</p><p>caso, a descontinuidade é mais evidente do que a removível. Vejamos um</p><p>exemplo envolvendo descontinuidade de salto de uma função.</p><p>Vamos calcular o quando:</p><p>Nesse caso, temos que, embora a função seja definida no ponto 2, não existe</p><p>pois e Observe a Figura 7.</p><p>Figura 7. Representação da função f(x).</p><p>Fonte: Adaptada de Santos e Bianchini, ([2020]).</p><p>Note que, nesse caso, como os limites laterais existem, são finitos, mas</p><p>diferentes, não importa qual seja o valor de f(2): a função sempre apresentará</p><p>uma descontinuidade nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que a função f</p><p>apresenta, nesse ponto, uma descontinuidade essencial de salto.</p><p>Por fim, a descontinuidade de segunda espécie, ou do tipo infinita, ocorre</p><p>quando a função tende a ±∞ no ponto considerado ou quando não tem li-</p><p>mite nesse ponto (ÁVILA, 2006). Isso significa que algum dos limites laterais</p><p>inexiste ou tende ao infinito no ponto x = a, no qual estamos analisando a</p><p>continuidade. Isso ocorre, por exemplo, na função trigonométrica tangente</p><p>de x. Acompanhe o exemplo.</p><p>Continuidade de funções12</p><p>Vamos analisar o limtg(x) nas seguintes situações:</p><p>Nesse caso, temos que Além disso, e</p><p>Observe a Figura 8.</p><p>Figura 8. Representação da função.</p><p>Note que a função tangente de x cresce ilimitadamente quando pela</p><p>esquerda e que a função tangente de x decresce ilimitadamente quando</p><p>pela direita. Isso implica uma descontinuidade infinita.</p><p>Nesta seção, identificamos os tipos básicos de descontinuidade de uma</p><p>função: removível, de salto (ou de primeira espécie) e infinita (ou de segunda</p><p>espécie). Além disso, vimos exemplos e representações gráficas. De modo</p><p>geral, este capítulo contribuiu para definir função contínua a partir da ideia</p><p>de limites e para reconhecer essas funções em conjuntos conexos e em</p><p>conjuntos compactos.</p><p>Continuidade de funções 13</p><p>Referências</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo: volume 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.</p><p>ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.</p><p>DESCONTINUIDADE REMOVÍVEL DE UMA FUNÇÃO. Dicas de Cálculo, 2017. Disponível em:</p><p>https://www.dicasdecalculo.com.br/descontinuidade-removivel-de-uma-funcao/.</p><p>Acesso em: 14 abr. 2021.</p><p>NERI, C.; CABRAL, M. Curso de análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática,</p><p>Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2011. Disponível em: https://www.labma.ufrj.</p><p>br/~mcabral/livros/livro-analise/curso-analise-real-a4.pdf. Acesso em: 14 abr. 2021.</p><p>OLIVEIRA, R. I. Topologia e espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA, 2014. Disponível em:</p><p>http://w3.impa.br/~rimfo/reta_v14/topologia.pdf. Acesso em: 14 abr. 2021.</p><p>SANTOS, A. R.; BIANCHINI, W. Continuidade. In: SANTOS, A. R.; BIANCHINI, W. Aprendendo</p><p>cálculo com o Maple: cálculo I. Rio de Janeiro: UFRJ, [2020]. Cap. 8. Disponível em: http://</p><p>www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1html/cap1_8.html. Acesso em: 14 abr. 2021.</p><p>STEWART, J. Cálculo: volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2016.</p><p>Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos</p><p>testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da</p><p>publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas</p><p>páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores</p><p>declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou</p><p>integralidade das informações referidas em tais links.</p><p>Continuidade de funções14</p><p>___________________________________________________________</p><p>R721c Rogawski, Jon.</p><p>Cálculo [recurso eletrônico] / Jon Rogawski ; tradução Claus Ivo Doering.</p><p>– Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2008.</p><p>v. 1</p><p>Editado também como livro impresso em 2009.</p><p>ISBN 978-85-7780-389-7</p><p>1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.</p><p>CDU 51-3</p><p>___________________________________________________________</p><p>Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08</p><p>CAPÍTULO 2 Limites 63</p><p>2.4 Limites e continuidade</p><p>Na linguagem corrente, a palavra “contínua” signifi ca não ter quebras ou interrupções. No</p><p>Cálculo, a continuidade é usada para descrever as funções cujos gráfi cos não tem quebras.</p><p>Se imaginarmos o gráfi co de uma função f como um arame metálico sinuoso, então f é</p><p>contínua se seu gráfi co consiste num único pedaço de arame como na Figura 1. Uma que-</p><p>bra no arame como na Figura 2 é denominada uma descontinuidade.</p><p>Agora observe que a função g(x) na Figura 2 tem uma descontinuidade em x = c e</p><p>que não existe (os limites laterais não são iguais). Contrastando com isso, na Fi-</p><p>gura 1, existe e é igual ao valor funcional f (c). Isso sugere a defi nição seguinte</p><p>de continuidade em termos de limites:FIGURA 1 f (x) é contínua em x = c.</p><p>c</p><p>y = f (x)</p><p>f (c)</p><p>x</p><p>y</p><p>64 CÁLCULO</p><p>DEFINIÇÃO Continuidade num ponto Suponha que f (x) esteja defi nida num intervalo</p><p>aberto contendo x = c. Então f é contínua em x = c se</p><p>Se o limite não existir, ou se existir mas for diferente de f (c), dizemos que f tem uma</p><p>descontinuidade (ou que é descontínua) em x = c.</p><p>Uma função f (x) pode ser contínua em alguns pontos e descontínua em outros. Se f</p><p>(x) for contínua em todos os pontos do intervalo I, então dizemos que f (x) é contínua em</p><p>I. Aqui, se I for um intervalo [a, b] ou [a, b) que inclua a como extremidade esquerda,</p><p>exigimos que . Analogamente, exigimos que se</p><p>I incluir b como extremidade direita. Se f (x) for contínua em todos os pontos de seu</p><p>domínio, dizemos simplesmente que f (x) é contínua.</p><p>■ EXEMPLO 1 Mostre que as funções seguintes são contínuas:</p><p>(a) f (x) = k (k qualquer constante) (b) g(x) = x</p><p>Solução</p><p>(a) Como f (x) = k para qualquer x,</p><p>O limite existe e é igual ao valor da função, portanto f (x) é contínua em x = c para todo</p><p>c (Figura 3).</p><p>(b) Como g(x) = x para qualquer x,</p><p>Novamente, o limite existe e é igual ao valor da função, portanto g(x) é contínua em c para</p><p>todo c (Figura 4). ■</p><p>Exemplos de descontinuidades</p><p>Para entender melhor a continuidade, vejamos algumas maneiras pelas quais uma função</p><p>pode deixar de ser contínua. Lembre que a continuidade num ponto requer mais do que</p><p>a simples existência de um limite. Para f (x) ser contínua em x = c, devem ser atendidas</p><p>três condições:</p><p>1. existe , 2. existe f (c) e 3. são iguais.</p><p>Uma descontinuidade ocorre quando uma dessas condições não valer.</p><p>Se a primeira condição valer mas falharem a segunda e a terceira, dizemos que f tem</p><p>uma descontinuidade removível em x = c. A função na Figura 5(A) tem uma desconti-</p><p>nuidade removível em c = 2 porque</p><p>FIGURA 2 g(x) tem uma descontinuidade</p><p>em x = c.</p><p>y = g(x)</p><p>c</p><p>x</p><p>y</p><p>g(c)</p><p>FIGURA 3 O gráfi co de f (x) = k.</p><p>c</p><p>k</p><p>x</p><p>y</p><p>FIGURA 4 O gráfi co de g(x) = x.</p><p>c</p><p>c</p><p>x</p><p>y</p><p>CAPÍTULO 2 Limites 65</p><p>(B)(A)</p><p>2</p><p>5</p><p>10</p><p>2</p><p>5</p><p>10</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>As descontinuidades removíveis são “leves” no seguinte sentido: redefi nindo f (c), pode-</p><p>mos tornar f contínua em x = c. Na Figura 5(B), redefi nimos o valor f (2) por f (2) = 5, o</p><p>que torna f contínua em x = 2.</p><p>Um tipo de descontinuidade que é mais “pesada” é a descontinuidade de salto, que</p><p>ocorre quando existirem ambos limites laterais e mas não forem</p><p>iguais. A Figura 6 mostra duas funções com descontinuidades de salto em c = 2. Ao con-</p><p>trário do caso removível, não podemos tornar f (x) contínua redefi nindo f (c).</p><p>(A)</p><p>2</p><p>(B)</p><p>2</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>Por causa das descontinuidades de salto, convém defi nir a continuidade lateral.</p><p>DEFINIÇÃO Continuidade lateral Dizemos que uma função f (x) é:</p><p>contínua à esquerda • em x = c se</p><p>contínua à direita • em x = c se</p><p>Na Figura 6, a função em (A) é contínua à esquerda mas a função em (B) não é con-</p><p>tínua nem à esquerda nem a direita. O exemplo seguinte explora a continuidade lateral</p><p>usando uma função defi nida por partes, ou seja, uma função defi nida por fórmulas dife-</p><p>rentes em intervalos diferentes.</p><p>■ EXEMPLO 2 Função defi nida por partes Discuta a continuidade da função F(x) defi -</p><p>nida por</p><p>Solução As funções f (x) = x e g(x) = 3 são contínuas, portanto F também é contínua,</p><p>exceto, possivelmente,</p><p>nos pontos de transição x = 1 e x = 3, onde a fórmula para F(x)</p><p>FIGURA 5 Uma descontinuidade</p><p>removível: a descontinuidade pode ser</p><p>removida redefi nindo f (2).</p><p>FIGURA 6 Descontinuidades de salto.</p><p>66 CÁLCULO</p><p>muda (Figura 7). Observamos que F(x) tem uma descontinuidade de salto em x = 1, já</p><p>que os limites laterais existem mas não coincidem:</p><p>Além disso, o limite pela direita é igual ao valor funcional F(1) = 3, portanto F(x) é con-</p><p>tínua à direita em x = 1. Em x = 3,</p><p>Ambos limites laterais existem e são iguais a F(3), portanto F(x) é contínua em x = 3. ■</p><p>Dizemos que f (x) tem uma descontinuidade infi nita em x = c se um ou ambos</p><p>limites laterais for infi nito (mesmo se a própria f (x) não estiver defi nida em x = c). A</p><p>Figura 8 ilustra três tipos de descontinuidades infi nitas que ocorrem em x = 2. Observe</p><p>que x = 2 não pertence ao domínio das funções nos casos (A) e (B).</p><p>1</p><p>22</p><p>)C()B((A)</p><p>2</p><p>xx x</p><p>yyy</p><p>Deveríamos mencionar que algumas funções podem ter tipos mais “graves” de des-</p><p>continuidades do que os já discutidos. Por exemplo, oscila uma infi nidade</p><p>de vezes entre +1 e −1 quando x → 0 (Figura 9). Nenhum dos dois limites laterais existe</p><p>em x = 0, de modo que essa descontinuidade não é de salto. Ver Exercícios 82 e 83 para</p><p>exemplos ainda mais estranhos. Embora sejam interessantes do ponto de vista teórico, na</p><p>prática essas descontinuidades raramente aparecem.</p><p>Construindo funções contínuas</p><p>Tendo estudado alguns exemplos de descontinuidades, voltamos a enfocar as funções</p><p>contínuas. Como podemos mostrar que uma dada função é contínua? Uma maneira é usar</p><p>as leis de continuidade que afi rmam, em outras palavras, que uma função é contínua se</p><p>for construída a partir de funções que já sabemos serem contínuas.</p><p>TEOREMA 1 Leis de continuidade Suponha que f (x) e g(x) sejam contínuas num ponto</p><p>x = c. Então as funções a seguir também são contínuas em x = c:</p><p>(i) e (iii)</p><p>(ii) , para qualquer constante k (iv) se</p><p>Demonstração Essas leis seguem diretamente das correspondentes leis de limites</p><p>(Teorema 1, na Seção 2.3). Ilustramos isso demonstrando detalhadamente a primeira</p><p>parte de (i). As demais leis podem ser demonstradas de maneira análoga. Por defi nição,</p><p>FIGURA 7 A função F(x) defi nida por</p><p>partes do Exemplo 2.</p><p>21 4 53</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>x</p><p>y</p><p>FIGURA 8 Funções com uma</p><p>descontinuidade infi nita em x = 2.</p><p>FIGURA 9 O gráfi co de .</p><p>A descontinuidade em x = 0 é mais</p><p>“grave”. Não é uma descontinuidade</p><p>de salto nem removível nem infi nita.</p><p>2 3−3 −2</p><p>x</p><p>y</p><p>1</p><p>−1</p><p>CAPÍTULO 2 Limites 67</p><p>devemos mostrar que . Como f (x) e g(x) são ambas</p><p>contínuas em x = c, temos</p><p>A lei da soma de limites produz o resultado desejado:</p><p>■</p><p>Na Seção 2.3 observamos que as leis de limites para somas e produtos eram vá-</p><p>lidas para as somas e produtos de um número qualquer de funções. O mesmo vale</p><p>para a continuidade, a saber, se forem contínuas, então também são</p><p>contínuas as funções</p><p>Agora utilizamos as leis de continuidade para estudar a continuidade de algumas</p><p>classes básicas de funções.</p><p>TEOREMA 2 Continuidade de funções polinomiais e racionais Sejam P(x) e Q(x) polinô-</p><p>mios. Então:</p><p>P • (x) é contínua na reta real.</p><p>• é contínua em todos valores c nos quais .</p><p>Demonstração Utilizamos as leis de continuidade junto com o resultado do Exemplo 1,</p><p>de acordo com o qual as funções constantes e a função f (x) = x são contínuas. Para</p><p>qualquer número natural m ≥ 1, a função potência pode ser escrita como um produto</p><p>(de m fatores). Como cada fator é contínuo, a própria é contínua.</p><p>Agora considere um polinômio</p><p>onde são constantes. Cada termo é contínuo, portanto P(x) é contínua</p><p>por ser a soma de funções contínuas. Finalmente, se Q(x) é um polinômio então, pela lei</p><p>de continuidade (iv), a função é contínua em x = c sempre que . ■</p><p>Esse resultado mostra, por exemplo, que é contínua para todo x</p><p>e que é contínua para . Além disso, se n for um número natural, então</p><p>é contínua para , pois é uma função racional.</p><p>A maioria das funções básicas é contínua em seu domínio. Em particular, o seno, o</p><p>cosseno, a exponencial e a raiz enésima são contínuas, como enunciamos formalmente</p><p>no teorema seguinte. Isso não deveria ser uma surpresa porque os gráfi cos dessas funções</p><p>não têm quebras visíveis (ver Figura 10). Contudo, as provas formais da continuidade são</p><p>um tanto técnicas e por isso serão omitidas.</p><p>TEOREMA 3 Continuidade de algumas funções básicas</p><p>y • = sen x e y = cos x são contínuas na reta real.</p><p>Para • b > 0, é contínua na reta real.</p><p>Se • n é um número natural, então é contínua em seu domínio.</p><p>Quando uma função f (x) está defi nida</p><p>e é contínua em todos valores de x,</p><p>dizemos que f (x) é contínua na reta real.</p><p>LEMBRETE Uma “função racional”</p><p>é um quociente de polinômios .</p><p>LEMBRETE O domínio de</p><p>é a reta real se n for ímpar e a semi-</p><p>reta [0, ∞) se n for par.</p><p>68 CÁLCULO</p><p>2</p><p>2</p><p>−2</p><p>4 8−8</p><p>)D()C()B(</p><p>y = x1/2</p><p>y = 2 x</p><p>y = x1/3</p><p>3−3</p><p>8</p><p>xx x</p><p>y</p><p>1</p><p>(A)</p><p>y = sen x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>π</p><p>2</p><p>FIGURA 10 Como os gráfi cos sugerem, essas funções são contínuas em seus domínios.</p><p>Em virtude da continuidade de sen x e cos x, a lei de continuidade (iv) do quociente</p><p>implica que as outras funções trigonométricas padrão são contínuas em seus domínios, ou</p><p>seja, em todos valores de x nos quais seus denominadores não são nulos:</p><p>Essas funções têm descontinuidades infi nitas nos pontos em que seus denominadores se</p><p>anulam. Por exemplo, tg x tem descontinuidades infi nitas nos pontos (Figura 11)</p><p>Muitas funções que nos interessam são funções compostas, de modo que é importante</p><p>saber que a composta de funções contínuas é de novo contínua. O teorema seguinte está</p><p>provado no Apêndice D.</p><p>TEOREMA 4 Continuidade de funções compostas Seja F(x) = f (g(x)) uma função com-</p><p>posta. Se g for contínua em x = c e f for contínua em x = g(c), então F(x) é contínua</p><p>em x = c.</p><p>Por exemplo, é contínua porque é a composição das funções</p><p>contínuas e . A função é a composta de</p><p>f (x) = cos x e , portanto é contínua para todo .</p><p>Substituição: calculando limites usando continuidade</p><p>É fácil calcular um limite quando a função em questão é sabidamente contínua. Nesse</p><p>caso, por defi nição, o limite é igual ao valor da função:</p><p>Dizemos que esse é o método de substituição porque o limite é calculado substituin-</p><p>do x = c.</p><p>■ EXEMPLO 3 Calcule (a) e (b) .</p><p>FIGURA 11 O gráfi co de y = tg x.</p><p>π</p><p>2</p><p>− π</p><p>2</p><p>3π</p><p>2</p><p>x</p><p>y</p><p>CAPÍTULO 2 Limites 69</p><p>Solução (a) Como f (x) = sen x é contínua, podemos calcular o limite por substituição:</p><p>(b) A função é contínua em x = −1 porque o numerador e o denomina-</p><p>dor são ambos contínuos em x = −1 e o denominador não se anula em x = −1.</p><p>Portanto, podemos calcular o limite por substituição:</p><p>■</p><p>■ EXEMPLO 4 Hipóteses importam Podemos usar substituição para calcular ,</p><p>onde [x] é a função maior inteiro?</p><p>Solução Seja f (x) = [x] (Figura 12). Embora f (2) = 2, não podemos concluir que</p><p>seja igual a 2. De fato, f (x) não é contínua em x = 2, pois os limites laterais não são</p><p>iguais:</p><p>Portanto, não existe e não podemos usar a substituição. ■</p><p>ENTENDIMENTO CONCEITUAL Modelagem do mundo real por meio de funções contínuas Fre-</p><p>qüentemente usamos funções contínuas para representar quantidades físicas tais como</p><p>a velocidade, a temperatura ou a voltagem. Isso refl ete nossa experiência cotidiana de</p><p>que as variações do mundo físico tendem a ocorrer continuamente, ao invés de por</p><p>meio de transições abruptas. Contudo, os modelos matemáticos são no máximo uma</p><p>aproximação da realidade e é importante ter consciência de suas limitações.</p><p>Por exemplo, na Figura 13, a temperatura atmosférica está representada como uma</p><p>função contínua da altitude. Isso se justifi ca para objetos de grande escala como a</p><p>atmosfera terrestre porque a leitura num termômetro parece variar continuamente à</p><p>medida que varia a altitude. Contudo, a temperatura é uma medida da energia cinética</p><p>média das moléculas e, assim, num nível microscópico, não tem sentido tratar a tempe-</p><p>ratura como uma quantidade</p><p>que varie continuamente de um ponto a outro.</p><p>FIGURA 12 O gráfi co de f (x) = [x].</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>−3</p><p>1 32−2</p><p>x</p><p>y</p><p>FIGURA 13 A temperatura atmosférica e a população mundial são representadas por gráfi cos contínuos.</p><p>T</p><p>ro</p><p>po</p><p>sf</p><p>er</p><p>a</p><p>E</p><p>st</p><p>ra</p><p>to</p><p>sf</p><p>er</p><p>a</p><p>M</p><p>es</p><p>os</p><p>fe</p><p>ra</p><p>T</p><p>er</p><p>m</p><p>os</p><p>fe</p><p>ra</p><p>Altitude (km)</p><p>T</p><p>em</p><p>pe</p><p>ra</p><p>tu</p><p>ra</p><p>(</p><p>˚C</p><p>)</p><p>200</p><p>100</p><p>0</p><p>−100</p><p>10 50 100 150</p><p>M</p><p>il</p><p>hõ</p><p>es</p><p>6.000</p><p>4.000</p><p>2.000</p><p>0</p><p>17501700 1800 1850</p><p>População mundial 1750–2000</p><p>1900 1950 2000</p><p>70 CÁLCULO</p><p>A população é uma outra quantidade que muitas vezes é tratada como uma</p><p>função contínua do tempo. O tamanho P(t) de uma população no instante t é um</p><p>número natural que varia por ±1 quando um individuo nasce ou morre, portanto,</p><p>falando estritamente, P(t) não é contínua. Se a população for grande, o efeito de um</p><p>nascimento ou morte individual é pequeno e é razoável tratar P(t) como uma função</p><p>contínua do tempo.</p><p>2.4 RESUMO</p><p>Por defi nição, • f (x) é contínua em x = c se .</p><p>Se esse limite não existe, ou existe mas não é igual a • f (c), então f é descontínua em</p><p>x = c.</p><p>Se • f (x) é contínua em todos os pontos de seu domínio, dizemos simplesmente que f é</p><p>contínua.</p><p>f • (x) é contínua pela direita em x = c se e contínua pela esquerda em</p><p>x = c se .</p><p>Existem três tipos comuns de descontinuidades: a • descontinuidade removível [</p><p>existe mas não é igual a f (c)], descontinuidade de salto (ambos limites laterais existem</p><p>mas não são iguais) e descontinuidades infi nitas (o limite é infi nito quando x tende a c</p><p>por um ou ambos lados).</p><p>As leis de continuidade afi rmam que somas, produtos, múltiplos e compostas de fun-•</p><p>ções contínuas são, de novo, contínuas. O mesmo vale para o quociente nos pontos</p><p>em que .</p><p>Polinômios e funções racionais, trigonométricas e exponenciais são contínuas, exceto•</p><p>nos pontos que envolvem divisão por zero.</p><p>Método de substituição: se for sabido que • f (x) é contínua em x = c, então o valor do</p><p>limite é f (c).</p><p>Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para</p><p>esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual</p><p>da Instituição, você encontra a obra na íntegra.</p><p>CÁLCULO: LIMITES</p><p>DE FUNÇÕES DE</p><p>UMA VARIÁVEL E</p><p>DERIVADAS</p><p>Cristiane da Silva</p><p>Continuidade</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Definir continuidade de uma função por limites.</p><p>� Resolver situações matemáticas que envolvem funções contínuas e</p><p>descontínuas.</p><p>� Justificar a continuidade de uma função.</p><p>Introdução</p><p>A definição de continuidade por limites será subsequente à compreensão</p><p>de funções descontínuas – aquelas em que há uma interrupção, repre-</p><p>sentada, em alguns casos, por uma bolinha aberta na curva do gráfico.</p><p>Veremos que uma função pode ser contínua em alguns pontos e descon-</p><p>tínua em outros. Além disso, observaremos a aplicação de continuidade</p><p>e descontinuidade em exemplos práticos.</p><p>Ao longo do capítulo, serão apresentadas interpretações gráficas e</p><p>exemplos de resolução de situações matemáticas por meio de limites.</p><p>Assim, para justificar a continuidade de uma função, como das funções</p><p>polinomiais, das funções racionais, de composições de funções, de fun-</p><p>ções trigonométricas e inversas, conheceremos algumas propriedades</p><p>de continuidade discutidas por meio de teoremas e exemplificações.</p><p>Continuidade de uma função por limites</p><p>Nesta seção, você verá o que caracteriza uma função como contínua, sendo as</p><p>representações gráficas os elementos que contribuirão para esse entendimento.</p><p>A palavra “contínua” supõe não ter quebras ou interrupções. Graficamente,</p><p>podemos ilustrar uma função em uma curva inteira como contínua, conforme</p><p>mostrado na Figura 1, a seguir.</p><p>Figura 1. Curva inteira contínua: f(x) é contínua em x = c.</p><p>Fonte: Rogawski (2008, p. 63–64).</p><p>Por outro lado, uma quebra nessa curva é denominada uma descontinuidade,</p><p>como mostra a Figura 2.</p><p>Continuidade2</p><p>Figura 2. g(x) tem uma descontinuidade em x = c.</p><p>Fonte: Rogawski (2008, p. 63–64).</p><p>Rogawski (2008, p. 64) define continuidade em um ponto da seguinte</p><p>forma: “[...] suponha que f(x) esteja definida num intervalo aberto contendo</p><p>x = c. Então, f é contínua em x = c se . Se o limite não existir,</p><p>ou se existir, mas for diferente de f(c), dizemos que tem uma descontinuidade</p><p>(ou que é descontínua) em x = c”.</p><p>É importante destacar que uma função pode ser contínua em alguns pontos</p><p>e descontínua em outros. A seguir, veremos exemplos de uma função contínua</p><p>em todos os pontos de um intervalo e todos os pontos do seu domínio.</p><p>Se f(x) for contínua em todos os pontos do intervalo I, então dizemos que f(x) é contínua</p><p>em I. Supondo I um intervalo [a, b] ou [a, b) que inclua a como extremidade esquerda,</p><p>exigimos que . Analogamente, postulamos que se</p><p>I incluir b como extremidade direita. Se f(x) for contínua em todos os pontos do seu</p><p>domínio, dizemos apenas que f(x) é contínua.</p><p>Exemplo:</p><p>Mostre que as seguintes funções são contínuas.</p><p>3Continuidade</p><p>a) f(x) = k sendo k qualquer constante.</p><p>Como f(x) = k para qualquer</p><p>O limite existe e é igual ao valor da função, portanto f(x) é contínua em x = c para</p><p>todo c. Observe a Figura 3.</p><p>Figura 3. Gráfico de f(x) = k.</p><p>Fonte: Rogawski (2008, p. 64).</p><p>b) g(x) = x para qualquer x.</p><p>O limite existe e é igual ao valor da função, portanto g(x) é contínua em c para todo</p><p>c. Observe a Figura 4.</p><p>Figura 4. Gráfico de g(x) = x.</p><p>Fonte: Rogawski (2008, p. 64)</p><p>Continuidade4</p><p>Além de conhecer a definição de continuidade, é interessante saber que</p><p>existem aplicações práticas. As descontinuidades, por exemplo, podem sinalizar</p><p>a ocorrência de fenômenos físicos.</p><p>A Figura 5a traz um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que</p><p>é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0. A voltagem</p><p>caiu para zero quando a linha foi cortada. A Figura 5b mostra o gráfico de unidades</p><p>em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y1</p><p>unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos</p><p>momentos em que acontece o reabastecimento.</p><p>Figura 5. Exemplo de interrupção de cabo subterrâneo.</p><p>Uma conexão malfeita num cabo de transmissão pode causar uma descontinuidade</p><p>no sinal elétrico transmitido.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 111).</p><p>Anton, Bivens e Davis (2014) definem continuidade em um intervalo por</p><p>meio da explicação de que, se uma função for contínua em cada ponto de um</p><p>intervalo aberto (a, b), dizemos que ela é contínua em (a, b). O mesmo ocorre</p><p>para intervalos abertos infinitos (a, +∞), (–∞, b) e (–∞,+∞). Sendo que, quando</p><p>a função for contínua em (–∞, +∞), dizemos que ela é contínua em toda parte.</p><p>Além disso, Anton, Bivens e Davis (2014) argumentam que uma função</p><p>será contínua em uma extremidade de um intervalo se o valor ali for igual ao</p><p>limite lateral adequado naquele ponto.</p><p>5Continuidade</p><p>Figura 6. Função y = f(x)</p><p>Observe que a função da Figura 6 é contínua na extremidade direita do intervalo</p><p>[a, b] porque:</p><p>Mas não é contínua na extremidade esquerda porque:</p><p>Em geral, dizemos que uma função é contínua à esquerda no ponto c se:</p><p>E é contínua à direita no ponto c se:</p><p>Fonte: Anton, Bivens, Davis (2014, p. 112).</p><p>Dessa forma, uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a, b]</p><p>se as seguintes condições são satisfeitas:</p><p>� f é contínua em (a, b);</p><p>� f é contínua à direita em a;</p><p>� f é contínua à esquerda em b.</p><p>Continuidade6</p><p>Funções contínuas e descontínuas</p><p>Nesta seção, acompanharemos exemplos de resolução de funções contínuas</p><p>e descontínuas. Abordaremos interpretações gráficas, bem como funções</p><p>definidas por partes na resolução de situações matemáticas.</p><p>Exemplo 1</p><p>O que pode ser dito sobre a continuidade da função ?</p><p>Solução: como o domínio natural dessa função é o intervalo fechado [–3, 3],</p><p>precisamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto (–3, 3) e nas</p><p>duas extremidades. Se c for um ponto qualquer do intervalo (–3, 3), então</p><p>(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):</p><p>provando que f é contínua em cada ponto do intervalo</p><p>(–3, 3). A função f</p><p>é também contínua nas extremidades, uma vez que:</p><p>Logo, f é contínua no intervalo fechado [–3, 3]. Observe a Figura 7.</p><p>7Continuidade</p><p>Figura 7. .</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 112).</p><p>Exemplo 2</p><p>Mostre que o polinômio p(x) =3x3 – x + 5 é contínuo no ponto x = 1 (HOFF-</p><p>MANN et al., 2018).</p><p>Solução: precisamos verificar se os três critérios de continuidade são satisfeitos.</p><p>É evidente que p(1) é definida, já que p(1) = 7. Além disso, existe e</p><p>. Assim:</p><p>como necessário para que p(x) seja contínua em x = 1.</p><p>Exemplo 3</p><p>Discuta a continuidade das seguintes funções (HOFFMANN et al., 2018):</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>Continuidade8</p><p>Solução:</p><p>a) Essa é uma função racional, portanto é contínua em todos os pontos</p><p>em que está definida, ou seja, em todos os pontos nos quais o deno-</p><p>minador é diferente de zero. é definida em todos os pontos,</p><p>exceto x = 0, portanto é contínua para qualquer valor de x ≠ 0, como</p><p>mostra a Figura 8.</p><p>Figura 8. Contínua para x ≠ 0.</p><p>Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 71–72).</p><p>b) Essa é uma função racional, portanto é contínua em todos os pontos em</p><p>que está definida, ou seja, em todos os pontos nos quais o denominador</p><p>é diferente de zero. Como x = –1 é o único valor de x para o qual g(x)</p><p>não é definida, g(x) é contínua para qualquer valor de x ≠ –1, como</p><p>mostra a Figura 9.</p><p>9Continuidade</p><p>Figura 9. Contínua para x ≠ –1.</p><p>Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 71–72).</p><p>c) Essa função é definida em duas partes. Começamos verificando a conti-</p><p>nuidade em x = 1, sendo o valor de x comum às duas partes. Verificamos</p><p>que não existe, já que h(x) tende a 2 pela esquerda e a 1 pela</p><p>direita. Assim, h(x) não é contínua em x = 1, como mostra a Figura 10.</p><p>Como os polinômios x + 1 e 2 – x são contínuos para qualquer valor</p><p>de x, h(x) é contínua para qualquer valor de x ≠ 1.</p><p>Figura 10. Contínua para x ≠ 1.</p><p>Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 71–72).</p><p>Continuidade10</p><p>Os exemplos desta seção tiveram como propósito analisar a continuidade</p><p>de algumas funções e resolver, por meio de limites, situações matemáticas</p><p>envolvendo continuidade.</p><p>Continuidade de uma função</p><p>Nesta seção você estudará a continuidade dos polinômios, das funções ra-</p><p>cionais, de composições de funções, de funções trigonométricas e inversas.</p><p>Algumas propriedades de continuidade das funções trigonométricas e inversas</p><p>serão discutidas.</p><p>Anton, Bivens e Davis (2014) abordam um procedimento para mostrar que</p><p>uma função é contínua em toda parte a partir da verificação da continuidade</p><p>em um ponto arbitrário. Se considerarmos p(x) um polinômio e a um número</p><p>real qualquer, então . Isso mostra que os polinômios são con-</p><p>tínuos em toda parte. Cabe destacar que as funções racionais são quocientes</p><p>de polinômios, e, portanto, as funções racionais são contínuas nos pontos em</p><p>que o denominador não se anula, e que nesses zeros há descontinuidades.</p><p>Ainda segundo os autores, outra análise importante dá-se por meio do</p><p>entendimento do cálculo do limite da composição de funções. Pode-se afirmar</p><p>que um símbolo de limite pode passar pelo sinal de função desde que o limite da</p><p>expressão dentro desse sinal exista e que a função seja contínua. Podemos eluci-</p><p>dar essa explicação pelo teorema a seguir: “[...] se e a função f for</p><p>contínua em L, então , ou seja, .</p><p>Essa igualdade permanece válida se todos os forem trocados por um dos</p><p>limites , , , ” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 114).</p><p>Considera-se, também, o caso especial do teorema em que f(x) = |x|. Como</p><p>|x| é contínua em toda parte, temos que sempre que</p><p>existir .</p><p>11Continuidade</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 114).</p><p>Agora, veremos a continuidade da composição de funções em um ponto</p><p>específico e em toda parte, de acordo com o teorema.</p><p>� Se a função g for contínua em um ponto c, e a função f for contínua no ponto g(c),</p><p>então a composição f ∘ g será contínua em c.</p><p>� Se a função g for contínua em toda parte, e a função f for contínua em toda parte,</p><p>então a composição f ∘ g será contínua em toda parte.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 115).</p><p>Observe que, para provar que a composição f ∘ g é contínua em c, é preciso</p><p>mostrar que os valores de f ∘ g e de seu limite são os iguais em x = c.</p><p>Continuidade12</p><p>Vimos que |x| é contínua em toda parte, assim, se g(x) for contínua no</p><p>ponto c, a função |g(x)| deverá ser contínua no ponto c. Sendo assim, podemos</p><p>dizer que o valor absoluto de uma função contínua é uma função contínua</p><p>(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).</p><p>O polinômio g(x) = 4 – x2 é contínuo em toda parte, assim, podemos concluir que a</p><p>função |4 – x2| também é contínua em toda parte, como mostra a Figura 11.</p><p>Figura 11. Função y = |4 – x2|.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 115).</p><p>Veremos que as funções sen x e cos x são contínuas. Para tanto, vamos</p><p>considerar c um ângulo fixo e x um ângulo variável, medidos em radianos.</p><p>Como mostra a Figura 12, quando o ângulo x tende ao ângulo c, o ponto P(cos x,</p><p>sem x) move-se no círculo unitário em direção ao ponto Q(cos c, sen c), e as</p><p>coordenadas de P tendem às correspondentes coordenadas de Q (ANTON;</p><p>BIVENS; DAVIS, 2014).</p><p>e</p><p>13Continuidade</p><p>Figura 12. Quando x tende a c, o ponto P tende ao ponto</p><p>Q.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 121).</p><p>Anton, Bivens e Davis (2014) mostram, portanto, que: sen x e cos x são</p><p>contínuos em um ponto arbitrário c, e essas funções são contínuas em toda</p><p>parte. Além disso, as seis funções trigonométricas básicas são contínuas em</p><p>seus domínios, como pode ser visto no teorema a seguir: se c for qualquer</p><p>número no domínio natural da função trigonométrica enunciada, então:</p><p>Continuidade14</p><p>Em quais pontos a função é contínua?</p><p>Solução: o quociente será uma função contínua em todos os pontos em que o</p><p>numerador e o denominador forem ambos funções contínuas, e o denominador</p><p>não for zero. Como arc tg x é contínua em toda parte, e ln x é contínua com x > 0, o</p><p>numerador é contínuo se x > 0. O denominador, sendo um polinômio, é contínuo</p><p>em toda parte, de modo que o quociente é contínuo em todos os pontos, tais que</p><p>x > 0 e o denominador for não nulo. Assim, f é contínua nos intervalos (0, 2) e (2, +∞).</p><p>No que diz respeito à continuidade de funções inversas, cabe lembrar-se</p><p>de que os gráficos de uma função injetora f e sua inversa f–1 são uma reflexão</p><p>do outro pela reta y = x. Assim, se o gráfico de f não tem quebras ou buracos,</p><p>tampouco o gráfico de f–1 terá. Como a imagem de f é o domínio de sua inversa</p><p>f–1, permite-se chegar ao seguinte teorema: “[...] se f for uma função injetora</p><p>que é contínua em cada ponto de seu domínio, então f–1 será contínua em cada</p><p>ponto de seu domínio, ou seja, f–1 será contínua em cada ponto da imagem de</p><p>f” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 122).</p><p>Prove que arc sen x é contínua no intervalo .</p><p>Solução: lembre-se de que arc sen x é a função inversa da função seno restrita, cujo</p><p>domínio é o intervalo e cuja imagem é o intervalo [-1, 1]. Como sen x é contínua</p><p>no intervalo , isso implica que arc sen x é contínua no intervalo [–1, 1].</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014).</p><p>15Continuidade</p><p>ANTON, H.; BRIVES, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.</p><p>HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de</p><p>Janeiro: LTC, 2018.</p><p>ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2008. v. 1.</p><p>Continuidade16</p><p>VARIÁVEIS</p><p>COMPLEXAS</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Definir limites de funções complexas e seus teoremas.</p><p>> Calcular limites envolvendo o infinito.</p><p>> Identificar funções contínuas.</p><p>Introdução</p><p>Neste capítulo, você vai estudar alguns dos temas fundamentais das funções de</p><p>variáveis complexas: os conceitos de limite e continuidade. Inicialmente, você</p><p>vai conhecer a definição de limite, suas propriedades e algumas demonstrações.</p><p>Em um segundo momento, você vai ver como operacionalizar o cálculo</p><p>de limites envolvendo o infinito. A fim de determinar tais limites, você pode</p><p>empregar muitas das estratégias conhecidas para funções de variáveis reais.</p><p>Por</p><p>fim, você vai estudar a continuidade de funções complexas. Você vai</p><p>verificar quando uma função de variável complexa é contínua e como o conceito</p><p>de continuidade está conectado ao cálculo de limite dessa função.</p><p>Limite e</p><p>continuidade de</p><p>funções complexas</p><p>Fabio Santiago</p><p>Limite de uma função complexa</p><p>As funções definidas em ℂ e as funções definidas em ℝ são semelhantes em</p><p>suas propriedades e operações. A semelhança observada entre as funções</p><p>reais e complexas também está presente na definição e na operacionalização</p><p>do conceito de limites para funções complexas, objeto de estudo desta seção.</p><p>Para começar, você deve ter em mente a definição de função complexa,</p><p>pois os conceitos de limite e continuidade estão relacionados a regiões de</p><p>vizinhança no domínio e na imagem da função. Veja a definição de função</p><p>complexa: considerando que D ⊂ ℂ é um subconjunto, uma função f: D → ℂ</p><p>é chamada de “função de variáveis complexas” se para z ∈ D a aplicação f</p><p>associa um único f(z) = w ∈ ℂ (COELHO, 2000).</p><p>Segundo Coelho (2000), as funções de variáveis complexas podem ser</p><p>vistas como funções de ℝ2 em ℝ2 se z = x + y ∙ i e f(z) = u(z) + v(z) ∙ i = u(x, y) +</p><p>v(x, y) ∙ i. Então, tem-se:</p><p>f: (x, y) → (u(x, y), v(x, y))</p><p>As funções u(x, y) e v(x, y) são as partes reais e imaginárias de f.</p><p>Como você pode observar, a definição de uma função complexa se baseia</p><p>na aplicação entre conjuntos. A seguir, veja a definição do limite de uma</p><p>função complexa, o qual também utiliza os conjuntos imagem e domínio de f.</p><p>Considere A um subconjunto aberto de ℂ e f: A → ℂ uma função de variáveis</p><p>complexas. Dado z0 ∈ A, diz-se que w ∈ A é o limite de f quando z ∈ A tende a z0</p><p>se para todo 𝜖 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que, se 0 < |z – z0| < 𝛿, então |f(z) – w0| < 𝜀.</p><p>Escreve-se:</p><p>Como observam Brown e Churchill (2015), geometricamente, a existência</p><p>do limite de uma função de variáveis complexas consiste no seguinte: dada</p><p>qualquer vizinhança |w – w0| < 𝜖 de w0, existe uma vizinhança perfurada</p><p>0 < |z – z0| < 𝛿 de z(0) tal que, para cada ponto desta última vizinhança, tem</p><p>a imagem de z pela função f(z) = w na vizinhança de w0. Na Figura 1, veja a</p><p>interpretação geométrica apresentada pelos autores.</p><p>Limite e continuidade de funções complexas2</p><p>Figura 1. Interpretação geométrica da definição de limite.</p><p>Fonte: Brown e Churchill (2015, p.58),</p><p>Para compreender melhor os conceitos que você estudou até aqui,</p><p>veja alguns exemplos. Considerando a definição de limite, determine</p><p>os valores de 𝜖 e 𝛿 de modo que:</p><p>A fim de satisfazer a definição de limite, basta tomar 𝛿 = 𝜖. Assim, sempre</p><p>que |z – z0| < 𝛿, tem-se:</p><p>Agora, considerando a definição de limite, determine os valores de 𝜖 e 𝛿 de</p><p>modo que:</p><p>A fim de satisfazer a definição de limite, basta tomar 𝛿 = 𝜖. Assim, sempre</p><p>que |z – z0| < 𝛿, tem-se:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 3</p><p>Veja este teorema: se f(z) = u(x, y) + v(x, y)i, z = x + y ∙ i e z0 = x0 + y0 ∙ i, então</p><p>o limite de f existe em z0 e é igual a u0 + v0 ∙ i se e somente se os limites de</p><p>u e v existirem em (x0, y0) e forem iguais a u0 e v0, respectivamente. Ou seja:</p><p>Agora você vai ver a demonstração. Os passos desenvolvidos aqui são</p><p>similares aos de Zani ([2011]). Assim, suponha que os seguintes limites existam:</p><p>Portanto, dado 𝜖 > 0, existem 𝛿1, 𝛿2 > 0, tal que:</p><p>� |u(x, y) – u0| < 𝜖/2 sempre que ;</p><p>� |v(x, y) – v0| < 𝜖/2 sempre que .</p><p>Considerando 𝛿 = min{𝛿1, 𝛿2}, tem-se:</p><p>De forma recíproca, se existe:</p><p>então para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que |f(z) – L| < 𝜖 sempre que:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas4</p><p>Colocando L = u0 + v0 ∙ i com u0 e v0 ∈ ℝ, tem-se:</p><p>e:</p><p>sempre que .</p><p>Agora veja um exemplo que utiliza a definição de limite e suas regiões</p><p>de vizinhança nos conjuntos imagem e domínio. Demonstre pela</p><p>definição de limite que:</p><p>Você quer mostrar que ∀ > 0, ∃𝛿 > 0, tal que:</p><p>0 < |z – 2i| < δ ⟹ |z2 + 3z – (–4 + 6i)| < ϵ</p><p>Assim, tem-se:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 5</p><p>Pode-se admitir que |z| < 3. Assim, tem-se:</p><p>8|z – 2i| < ϵ ⇒ |z – 2i| < ϵ/8 = δ</p><p>Por outro lado:</p><p>|z| = |z – 2i + 2i| ≤ |z – 2i| + |2i| < δ + 2 = 3 ∴ δ = 1</p><p>Assim, basta considerar 𝛿 = min{1, 𝜖/8}.</p><p>Neste ponto, você vai conhecer as principais propriedades operatórias</p><p>dos limites para as funções de variáveis complexas.</p><p>Veja esta proposição: considere A ⊂ ℂ um conjunto aberto; além disso,</p><p>considere as funções complexas f1: A → ℂ e f2: A → ℂ. Fixe um ponto z0 ∈ A e</p><p>considere que:</p><p>Então, são válidas as propriedades a seguir.</p><p>1. c ∙ f1(z) = c ∙ w1, c ∈ ℂ</p><p>2. [f1(z) + f2(z)] = [f1(z)] + [f2(z)] = w1 + w2</p><p>3. [f1(z) ∙ f2(z)] = [f1(z)] ∙ [f2(z)] = w1 ∙ w2</p><p>4. se w1 ≠ 0</p><p>5. Se w1 ≠ 0, então:</p><p>A seguir, você vai ver como demonstrar a terceira propriedade. Os passos</p><p>aqui apresentados são os mesmos percorridos por Zani ([2011]). As demonstra-</p><p>ções das demais propriedades também podem ser encontradas na obra citada.</p><p>Então, veja a demonstração de:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas6</p><p>Se:</p><p>considerando a definição de limite, tem-se 𝛿1 > 0 tal que |f1(z) – w1| sempre</p><p>que 0 < |z – z0| < 𝛿1. Segue-se que |11(z)| ≤ |f1(z) – w1| < 1 + |l|, sempre que</p><p>0 < |z – z0| < 𝛿1. Considerando novamente a definição de limite, existe 𝛿2 > 0</p><p>tal que:</p><p>sempre que 0 < |z – z0| < 𝛿2. Além disso, existe 𝛿3 > 0 tal que:</p><p>sempre que 0 < |z – z0| < 𝛿2. Considere 𝛿 = min{𝛿1, 𝛿2, 𝛿3}. Se 0 < |z – z0| < 𝛿, então:</p><p>A partir das propriedades para o cálculo dos limites anteriormente enun-</p><p>ciadas, é possível concluir que, dadas funções f e g, tais que os limites</p><p>f(z) e g(z) existam, então, para quaisquer 𝛼 e 𝛽, tem-se:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 7</p><p>Calcule o limite:</p><p>Veja a solução:</p><p>Cálculo de limites envolvendo o infinito</p><p>Na seção anterior, você conheceu a definição formal de limite e suas proprie-</p><p>dades operatórias. Além disso, acompanhou o desenvolvimento de alguns</p><p>cálculos. Uma característica importante dos limites calculados até aqui é</p><p>que eles resultavam em um valor finito sempre que z ⟶ z0 (lê-se: z tendia a</p><p>z0). Nesta seção, você vai ver como calcular o limite de funções complexas</p><p>quando z ⟶ z0 e f(z) = ∞, quando z ⟶ ∞ e f(z) = L e, por fim, quando</p><p>z ⟶ ∞ e f(z) = ∞.</p><p>A fim de compreender a definição formal de uma função complexa f(z) no</p><p>contexto aqui estudado, você precisa ter em mente duas definições prelimi-</p><p>nares. A primeira delas se refere ao disco furado, e a segunda, a um ponto de</p><p>acumulação em ℂ. Neste texto, as definições são as mesmas de Vieira (2011).</p><p>Veja a definição de disco furado: considerando z ∈ ℂ e r ∈ ℝ*, denota-se</p><p>por 𝔻* (z, r) o disco furado centrado em z de raio r, ou seja, 𝔻* (z, r) = z ∈ ℂ;</p><p>0 < |w – z| < r. Assim, pode-se dizer que o disco furado é o disco que tem seu</p><p>centro removido. Agora veja a definição do ponto de acumulação: considerando</p><p>A ⊂ ℂ, diz-se que um ponto z ⊂ ℂ é um ponto de acumulação de A se 𝔻* (z, r)</p><p>∩ A ≠ ∅ ∀r > 0. Com essas duas definições, você está apto a compreender a</p><p>definição de limite no infinito, enunciada a seguir.</p><p>Considere a função f: A ⟶ ℂ, sendo A ⊂ ℂ. Além disso, considere z0 ∈ ℂ um</p><p>ponto de acumulação de A. Diz-se que o limite de f(z) quando z tende a z0 é</p><p>infinito (∞) se para todo K > 0 existe 𝛿 > 0, tal que |f(z)| > K sempre que z ∈ A</p><p>e |z – z0| < 𝛿 (VIEIRA, 2011). Matematicamente, tem-se:</p><p>∀ > 0, ∃ δ >0; z ∈ A; |z – z(0)| < δ ⟹ |f(z)| > k</p><p>Limite e continuidade de funções complexas8</p><p>Denota-se por:</p><p>As definições anteriores talvez se mostrem um tanto abstratas em</p><p>um primeiro momento. Por isso, é importante que você conheça</p><p>alguns casos práticos. Para começar, calcule:</p><p>Veja a solução a seguir.</p><p>A fim de calcular:</p><p>inicialmente considere f(z) = , uma vez que apenas:</p><p>Então:</p><p>Agora calcule:</p><p>Veja a solução a seguir.</p><p>A fim de calcular:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 9</p><p>inicialmente considere f(z) = , uma vez que apenas:</p><p>Então:</p><p>Limites no infinito</p><p>Agora você vai ver como calcular limites em que z ⟶ ∞ e:</p><p>sendo L finito. Assim,</p><p>pertencem</p><p>a B, sendo matematicamente denotada por:</p><p>A – B = {x|x ∈ A ou x ∉ B}</p><p>No caso em que A = {a, b, c, d} e B = {a, b, f, e}, a diferença de A e B, ou seja,</p><p>A – B, é dada por: A – B = {c, d}.</p><p>Os exemplos a seguir auxiliarão você a consolidar esse conceito.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Seja A = {a, b} e B = {b, c, d}, então, A – B = {a, b} – {b, c, d} = {a}</p><p>Exemplo 2:</p><p>Seja A = {a, b, c} e B = {b, d}, então, A – B = {a, b, c} – {b, d} = {a, c}</p><p>Conjuntos numéricos 6</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Exemplo 3:</p><p>Seja A = {a, b, c} e B = {a, b, c}, então, A – B = {a, b, c} – {a, b, c} = ∅</p><p>A Figura 4 ilustra o conceito de diferença entre o conjunto A e o conjunto B.</p><p>Figura 4. A diferença entre os conjuntos A = {d, e, f, g, h} e B = {d, h, l, m, k}.</p><p>Por fim, a última operação entre conjuntos estudada neste tópico será a</p><p>operação de complementaridade. Considere dois conjuntos A e B. O comple-</p><p>mentar do conjunto B, contido no conjunto A, consiste no conjunto formado</p><p>pelos elementos pertencentes A e que não pertencem a B. Nesse caso, é</p><p>importante observar que o conjunto B está contido em A. Matematicamente,</p><p>essa operação é denotada por:</p><p>CA</p><p>B = A – B</p><p>No caso em que A = {a, b, c, d, e} e B = {a, b, c}, o complementar de B em</p><p>relação a A é dado por CA</p><p>B = A – B = {d, e}.</p><p>A seguir, a fim de consolidar esses conceitos, seguem alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Seja A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}, então, CA</p><p>B = A – B = {c, d, e, f}</p><p>Exemplo 2:</p><p>Seja A = {a, b, c, d, e, f} e B = {c}, então, CA</p><p>B = A – B = {a, b, d, e, f}</p><p>A Figura 5 demonstra uma operação de complementariedade do conjunto</p><p>A ao conjunto B.</p><p>Conjuntos numéricos 7</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Figura 5. Complementar do conjunto B em relação ao conjunto A.</p><p>A</p><p>B</p><p>a c</p><p>d</p><p>e</p><p>b</p><p>Identificadas cada uma das operações, serão apresentados os conjuntos</p><p>numéricos e a reação entre eles por meio do diagrama de Venn (Figura 6).</p><p>Em outro momento, serão definidas as operações entre eles.</p><p>Figura 6. Conjuntos numéricos ℕ (naturais), ℤ (inteiros), ℚ (racionais), 𝕀 (irracionais) e ℝ (reais).</p><p>Para finalizar, considere o exemplo a seguir que versa sobre interseção</p><p>de conjuntos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Considere os conjuntos A, B, C, além disso, assuma as seguintes proposições:</p><p>� os conjuntos A, B e C têm simultaneamente em comum apenas 5</p><p>elementos;</p><p>Conjuntos numéricos 8</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>� os números de elementos comuns apenas a A e B são 2;</p><p>� os números de elementos comuns apenas a A e C são 3;</p><p>� os números de elementos comuns apenas a B e C são 2;</p><p>� o número total de elementos de B é 11;</p><p>� o número total de elementos de A é 12;</p><p>� o número total de elementos de C é 15.</p><p>Represente cada um dos conjuntos por meio do diagrama de Venn.</p><p>Inicialmente, considerando a primeira afirmação, tem-se:</p><p>Considerando, agora, as afirmações:</p><p>� os números de elementos comuns apenas a A e B são 2;</p><p>� os números de elementos comuns apenas a A e C são 3;</p><p>� os números de elementos comuns apenas a B e C são 3.</p><p>Tem-se:</p><p>Conjuntos numéricos 9</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Por fim, considerando as três últimas afirmações, tem-se:</p><p>� o número total de elementos de B é 11;</p><p>� o número total de elementos de A é 12;</p><p>� o número total de elementos de C é 15.</p><p>Representação de subconjunto dos números reais ℝ</p><p>O conjunto dos números reais, matematicamente denotado por ℝ, é o mais</p><p>importante conjunto numérico da matemática, pois munido das operações</p><p>binárias de soma (+) e produto (*), obtém-se o corpo dos números reais.</p><p>A fim de compreender quais são os elementos que compõem esse conjunto,</p><p>faz-se necessário identificar outros dois conjuntos, a saber: o conjunto dos</p><p>números racionais ℚ e o conjunto dos números irracionais 𝕀 , os quais serão</p><p>explanados a seguir.</p><p>O conjunto dos números racionais ℚ é definido em função do conjunto</p><p>dos números inteiros, assim, dado m ∈ ℤ e n ∈ ℤ*, onde ℤ* denota os intei-</p><p>ros não nulos, então, um elemento dos conjuntos dos racionais é dado por</p><p>q = m/n, formalmente, tem-se: ℚ = {q|q = m/n com m ∈ ℤ e n ∈ ℤ*}.</p><p>Como observa Galvão (2017), o conceito de fração para os gregos não era</p><p>exatamente um número, mas uma relação entre segmentos. Assim, dado um</p><p>segmento unitário u, a medida de outro segmento AB consistia no número de</p><p>vezes, dado em função do conjunto dos números naturais ℕ, que o segmento</p><p>u cabe em AB.</p><p>Não sendo possível encontrar um valor inteiro para o número de vezes</p><p>que u cabe em AB, obtinha-se uma fração m/n que é a razão entre os com-</p><p>primentos de AB e u. No entanto, essa linha de raciocínio não era extensível</p><p>Conjuntos numéricos 10</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>ao tentar medir o comprimento da diagonal de um quadrado, pois, como é</p><p>mostrado na Figura 7, o valor da diagonal ficava em função de ℓ .</p><p>Figura 7. Diagonal de um quadrado determinada pelo teorema de Pitágoras.</p><p>Ao assumir que é racional, é possível encontrar dois números inteiros</p><p>e positivos p e q tais que = , sendo a fração uma fração irredutível, ou</p><p>seja p e q primos entre si. Elevando ambos os lados da igualdade = ao</p><p>quadrado e com algumas manipulações algébricas, tem-se:</p><p>Assim, a partir da última igualdade, conclui-se que p2, portanto, p também</p><p>é par, nesse sentido, é possível escrever p como p = 2r com p ∈ ℕ, assim,</p><p>tem-se que:</p><p>p2 = 2q2 ⇒ (2r)2 = 2q2 ⇔ 4r2 = 2q2 ⇒ q2 = 2r2</p><p>A partir da última expressão, conclui-se que q também é par, nesse sentido,</p><p>sendo p e q, implica que a fração não é irredutível. Portanto, o absurdo a</p><p>que se chega deve-se ao fato de deduzir-se que fosse racional, o que nos</p><p>leva a desconsiderar e concluir que é racional.</p><p>Conjuntos numéricos 11</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Portanto, todos os números que não podem ser representados na forma</p><p>de m/n com m ∈ ℤ e n ∈ ℤ* são denominados irracionais, sendo que esse</p><p>conjunto é matematicamente denotado por 𝕀 . Assim, ao realizarmos a união</p><p>do conjunto dos números 𝕀 com os números racionais ℚ, é obtido o conjunto</p><p>dos números reais ℝ.</p><p>Apesar de parecerem simplistas os conceitos de construção dos números</p><p>reais, eles envolvem importantes resultados de análise numérica. A seguir,</p><p>tem-se uma pequena amostra da profundidade teórica desses resultados.</p><p>Como apresenta Lima (1977, p. 73–74), “[...] o conjunto ℚ dos números</p><p>racionais é denso em ℝ. Também o conjunto ℚ – ℝ, dos números</p><p>irracionais, é denso na reta. Com efeito, todo intervalo aberto contém nú-</p><p>meros racionais e irracionais.” Além disso, como observa Caraça (1989, p. 56):</p><p>“[…] um conjunto é denso se entre dois dos seus elementos quaisquer existir</p><p>uma infinidade de elementos do mesmo conjunto.”</p><p>Devido à densidade da reta real, como apresentado por Lima (1977) e Caraça</p><p>(1989), deve-se usar uma adequada representação para um subconjunto dos</p><p>números reais. A seguir, serão exemplificadas as seguintes formas:</p><p>� intervalar;</p><p>� gráfica;</p><p>� conjunto.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Considere que você deseja representar o subconjunto de ℝ, onde se tem</p><p>todos os valores de x contidos entre –4 com intervalo aberto nesse ponto, e</p><p>7 sendo fechado nesse extremo.</p><p>� Notação intervalar: (–4, 7] ⊂ ℝ</p><p>� Notação conjunto: {x ∈ ℝ|–4 < x ≤ 7}</p><p>� Gráfico:</p><p>–4 7</p><p>Conjuntos numéricos 12</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Exemplo 2:</p><p>Considere que você deseja representar o subconjunto de ℝ, onde se tem</p><p>todos os valores de x contidos entre 1 com intervalo fechado nesse ponto, e</p><p>4 sendo aberto nesse extremo.</p><p>� Notação intervalar: [1, 4) ⊂ ℝ</p><p>� Notação conjunto: {x ∈ ℝ|1 ≤ x < 4}</p><p>� Gráfico: 1 4</p><p>Exemplo 3:</p><p>Considere que você deseja representar o subconjunto de ℝ, onde se tem</p><p>todos os valores de x contidos entre –∞ com intervalo aberto nesse ponto,</p><p>e 5 sendo aberto nesse extremo.</p><p>� Notação intervalar: (–∞, 5) ⊂ ℝ</p><p>� Notação conjunto: {x ∈ ℝ|–∞ < x < 5}</p><p>� Gráfico:</p><p>–∞ 5</p><p>Exemplo 4:</p><p>As notações aqui apresentadas também podem ser empregadas para</p><p>considere a função f: A ⟶ ℂ, sendo A ilimitada.</p><p>O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito (z ⟶ ∞) se para todo</p><p>𝜖 > 0 existir R > 0 tal que |f(z) – L| < 𝜖 sempre que z ∈ A e |z| > R (VIEIRA, 2011).</p><p>Matematicamente, tem-se:</p><p>∀ϵ > 0, ∃R > 0, z ∈ A e |z| > R ⇒|f(z) – L| < ϵ</p><p>E denota-se por:</p><p>O exercício a seguir calcula o limite da função f(z) por meio da definição</p><p>dada. A ideia é demonstrar que:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas10</p><p>Inicialmente, considere:</p><p>Para a última igualdade, foi pressuposto que |z| > 1/3, o que será adotado</p><p>daqui em diante. Observe:</p><p>Considere:</p><p>Assim, obtém-se o resultado desejado:</p><p>Calcule:</p><p>Realizando as manipulações algébricas adequadas, tem-se:</p><p>Agora calcule:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 11</p><p>Realizando as manipulações algébricas adequadas, tem-se:</p><p>Limites infinitos no infinito</p><p>Agora você vai estudar o caso em que, quando z ⟶ ∞, tem-se f(z) = ∞.</p><p>Assim, faz-se necessário considerar a definição adequada, dada a seguir.</p><p>O limite de f(z) tende ao infinito quando z tende ao infinito (z ⟶ ∞) se</p><p>para todo K > 0 existir R > 0 tal que |f(z)| < K sempre que z ∈ A e |z| > R (VIEIRA,</p><p>2011). Matematicamente, tem-se:</p><p>∀K > 0, ∃R > 0, z ∈ A e |z| > R ⇒ |f(z)| > K</p><p>E denota-se por:</p><p>Calcule:</p><p>Veja a solução:</p><p>Calcule:</p><p>Limite e continuidade de funções complexas12</p><p>Veja a solução:</p><p>Continuidade para funções de variáveis</p><p>complexas</p><p>Nesta seção, você vai conhecer um dos principais conceitos relativos às fun-</p><p>ções de variáveis complexas, o de continuidade. Assim, considere a definição</p><p>a seguir, de Coelho (2000).</p><p>Considere A ⊂ ℂ um aberto de ℂ. Além disso, considere a função complexa</p><p>f: A ⟶ ℂ. Essa função é contínua no ponto z0 ∈ A se f(z) = f(z0). De outra</p><p>forma, diz-se que f(z) é contínua em z0 ∈ A se para todo 𝜖 > 0 existe 𝛿 > 0, tal que:</p><p>|z – z0| < δ ⇒ |f(z) – f(z0)| < ϵ</p><p>Considere a função:</p><p>Mostre, por meio da definição, que ela é contínua em ℂ. A seguir, veja a</p><p>solução.</p><p>Dado 𝜖 > 0, tome 𝛿 = 4𝜖. Se |z – z0| < 𝛿, então tem-se:</p><p>Portanto, f(z) é contínua em ℂ.</p><p>Agora considere a função:</p><p>Mostre, por meio da definição, que a função dada é contínua em ℂ. A seguir,</p><p>veja a solução.</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 13</p><p>Dado 𝜖 > 0, tome δ = √π ϵ. Se |z – z0| < 𝛿, então tem-se:</p><p>Portanto, f(z) é contínua em ℂ.</p><p>Como observa Zani ([2011]), uma condição necessária e suficiente para</p><p>que a função complexa f(z) seja contínua é que suas partes real e imaginária</p><p>sejam contínuas. Ou seja:</p><p>A partir do que foi explanado por Zani ([2011]), tem-se que as partes real e</p><p>imaginária das funções exponenciais, seno e cosseno, são contínuas. Assim,</p><p>tem-se:</p><p>Logo, pode-se concluir que as funções complexas exp(z), sen(z) e cos(z)</p><p>são funções contínuas.</p><p>A seguir, você vai estudar uma proposição que garante que, se as funções</p><p>f1, f2 e g forem contínuas, então o produto, quociente e composição, quando</p><p>bem definido, também será contínuo.</p><p>Considere A, B ⊂ ℂ abertos. Além disso, considere as funções de variáveis</p><p>complexas f1: A ⟶ ℂ, f2: A ⟶ ℂ e g: B ⟶ ℂ, sendo que f1: A ⊂ B. Suponha que</p><p>as funções f1 e f2 são ambas contínuas em z0 ∈ A e que a função g é contínua</p><p>em f1(z0). Então:</p><p>1. as funções c ∙ f1: A ⟶ ℂ, f1 + f2: A ⟶ ℂ e f1 ∙ f2: A ⟶ ℂ são contínuas em z0</p><p>onde c é um número complexo arbitrário, porém fixado;</p><p>2. se f1(z0) ≠ 0, então existe uma vizinhança de z0 tal que 1/ f1 restrita a</p><p>essa vizinhança está definida e é contínua em z0;</p><p>3. a função g ∘ f1: A ⟶ ℂ é contínua em z0.</p><p>A seguir, veja a demonstração da terceira propriedade. As demais podem</p><p>ser facilmente demostradas com o conteúdo exposto até aqui.</p><p>Limite e continuidade de funções complexas14</p><p>Considere que g(z) é contínua. Além disso, assume que 𝛾0 = f(z1). Você vai ver</p><p>que g ∘ f D ⟶ ℂ também é contínua em z0. Para isso, considere 𝜖 > 0. Sendo a</p><p>função g continua em z1, então existe 𝛿1, tal que |g(z) – g(𝛾0)| = |g(z) – g(f(z0))| < 𝜖</p><p>sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿1.</p><p>Por outro lado, existe 𝛿 > 0 tal que |f(z) – 𝛾0| = |f(z) – f(z0)| < 𝛿1 sempre</p><p>que |z – 𝛾0| < 𝛿. Combinando as desigualdades, tem-se |g(f(z)) – g(f(z0))| < 𝜖</p><p>sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿.</p><p>Para compreender melhor a terceira propriedade, considere as funções f</p><p>e g definidas como mostra a Figura 2, a seguir.</p><p>Figura 2. Interpretação geométrica da definição de limite.</p><p>A seguir, veja o desenvolvimento analítico em forma de exercício. Considere</p><p>as funções g(z) = z e f(z) = z2. É fácil mostrar que cada uma delas é contínua.</p><p>Agora você vai ver como mostrar que a função composta f(g(z)) é igual a z2.</p><p>Considere que f(z) é contínua. Além disso, assuma que 𝜉0 = g(z1). Você vai</p><p>verificar que a composição das funções (f ∘ g)(z): D → ℂ também é contínua</p><p>em z1. Considere agora 𝜖 > 0. P. Sendo a função f continua em z1, existe 𝛿1, tal</p><p>que |f(z) – f(𝜉0)| = |f(z) – f(g(𝜉0))| < 𝜖 sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿1.</p><p>Por outro lado, existe 𝛿 > 0, tal que |g(z) – 𝜉0| = |g(z) – g(z1)| < 𝛿 sempre</p><p>que |z – 𝛾0| < 𝛿. Combinando as desigualdades, tem-se |f(g(z)) – f(g(z0))| < 𝜖</p><p>sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿.</p><p>No Quadro 1, a seguir, veja as definições fundamentais deste capítulo, ou</p><p>seja, as definições de limite, continuidade, limites no infinito e limites infinitos.</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 15</p><p>Quadro 1. Principais definições de limite e continuidade de funções complexas</p><p>Definição Descrição</p><p>Definição de</p><p>continuidade</p><p>Considere A ⊂ ℂ um aberto de ℂ. Além disso, considere</p><p>a função complexa f: A ⟶ ℂ. Essa função é contínua no</p><p>ponto z0 ∈ A se f(z) = f(z0). De outra forma, diz-se que</p><p>f(z) é contínua em z0 ∈ A se para todo 𝜖 > 0 existe 𝛿 > 0,</p><p>tal que:</p><p>|z – z0| < δ ⇒ |f(z) – f(z0)| < ϵ</p><p>Definição de</p><p>limite</p><p>Considere A um subconjunto aberto de ℂ e f: A → ℂ uma</p><p>função de variáveis complexas. Dado z0 ∈ A, diz-se que</p><p>w ∈ A é o limite de f quando z ∈ A tende a z0 se para todo</p><p>𝜖 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que, se 0 < |z – z0| < 𝛿, então</p><p>|f(z) – w0| < 𝜀</p><p>Definição de</p><p>limite infinito</p><p>Considere a função f: A ⟶ ℂ, sendo A ⊂ ℂ. Além disso,</p><p>considere z0 ∈ ℂ um ponto de acumulação de A. Diz-se</p><p>que o limite de f(z) quando z tende a z0 é infinito (∞) se</p><p>para todo K > 0 existe 𝛿 > 0, tal que |f(z)| > K sempre que</p><p>z ∈ A e |z – z0| < 𝛿.</p><p>Definição de</p><p>limite no infinito</p><p>O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito</p><p>(z ⟶ ∞) se para todo 𝜖 > 0 existir R > 0 tal que</p><p>|f(z) – L| < 𝜖 sempre que z ∈ A e |z| > R.</p><p>Definição de</p><p>limite infinito</p><p>no infinito</p><p>O limite de f(z) tende ao infinito quando z tende ao</p><p>infinito (z ⟶ ∞) se para todo K > 0 existir R > 0 tal que</p><p>|f(z)| < K sempre que z ∈ A e |z| > R.</p><p>Referências</p><p>BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Funções analíticas. In: BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V.</p><p>Variáveis complexas: e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 37-82.</p><p>COELHO, L. Funções complexas. 2000. 69 f. Monografia (Licenciatura em Matemática)</p><p>– Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2000.</p><p>VIEIRA, E. Funções Holomorfas de uma Variável. [S.l.: s.n.], 2011. Disponível em: http://</p><p>emis.impa.br/EMIS/journals/em/docs/coloquios/NE-1.09.pdf. Acesso em: 5 dez. 2020.</p><p>ZANI, S. L. Funções de uma variável complexa. [S.l.: s.n., 2011]. Disponível em: https://</p><p>sites.icmc.usp.br/szani/complexa.pdf. Acesso em: 5 dez. 2020.</p><p>Limite e continuidade de funções complexas16</p><p>Leituras recomendadas</p><p>MATEMÁTICA: aula 27: números complexos e transformações de plano. Aula da disciplina</p><p>Matemática. Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São Paulo. Pro-</p><p>fessor ministrante: Walter Spinelli. São Paulo: [S. n.], 2014. 1 vídeo (21 min). Publicado pelo</p><p>canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=_7et7XESOXU&ab_</p><p>channel=UNIVESP. Acesso em: 5 dez. 2020.</p><p>MATEMÁTICA: aula 28: números complexos e transformações de plano. Aula da dis-</p><p>ciplina Matemática. Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São</p><p>Paulo. Professor ministrante: Walter Spinelli. São Paulo: [S. n.], 2014. 1 vídeo (18 min).</p><p>Publicado pelo canal</p><p>UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=l</p><p>GU1qgkOpCU&list=TLPQMjIxMTIwMjCRyBH889_JNA&index=2&ab_channel=UNIVESP.</p><p>Acesso em: 5 dez. 2020.</p><p>NÚMEROS complexos. Aula da disciplina Matemática MMB001. Curso de Engenharia</p><p>- Turma 2016 - Universidade Virtual do Estado de São Paulo. Professor ministrante:</p><p>Pedro L. Fagundes São Paulo: [S. n.], 2017. 1 vídeo (23 min). Publicado pelo canal UNIVESP.</p><p>Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ZKP8evESWcM&list=RDCMUCBL2t</p><p>frwhEhX52Dze_aO3zA&start_radio=1&ab_channel=UNIVESP. Acesso em: 5 dez. 2020.</p><p>PEREIRA, G. G. Uma proposta didática para o ensino de funções de variável complexa</p><p>no ensino médio usando planilha eletrônica. 2017. 95 f. Monografia (Mestrado profis-</p><p>sional) – Instituto de Matemática, Estatística e Física, Universidade Federal do Rio</p><p>Grande, Rio Grande, 2017.</p><p>Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos</p><p>testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da</p><p>publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas</p><p>páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores</p><p>declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou</p><p>integralidade das informações referidas em tais links.</p><p>Limite e continuidade de funções complexas 17</p><p>ANÁLISE REAL</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Descrever sequências de funções e convergência simples e uniforme.</p><p>> Identificar a continuidade, a integral e a derivada de sequências de funções.</p><p>> Demonstrar uma série de funções e suas propriedades.</p><p>Introdução</p><p>Intuitivamente, uma sequência numérica pode ser admitida como um conjunto de</p><p>números reais organizados em certa ordem e denotado como (x1, x2, x3, …, xn). Uma</p><p>sequência corresponde a um tipo especial de função, cujo domínio é o conjunto</p><p>dos números naturais, o contradomínio é o conjunto dos números reais e a imagem</p><p>é um subconjunto dos números reais. Nesse contexto, a primeira seção deste</p><p>capítulo tratará da definição de convergência de uma sequência de função e da</p><p>distinção entre convergência simples e uniforme. Em seguida, apresentaremos</p><p>os teoremas associados à continuidade, à derivada e à integral de sequências de</p><p>funções, conteúdo que muito agrega ao desenvolvimento da matemática e que</p><p>será embasado em suas respectivas propriedades e demonstrações.</p><p>Por fim, outro conceito a ser trabalhado será o de série de funções, que, de</p><p>maneira intuitiva, pode ser entendida como uma soma dos infinitos termos de uma</p><p>sequência. A ideia dessa soma se baseia na construção de uma nova sequência,</p><p>adicionando um termo de cada vez para, assim, verificar se esta converge ou</p><p>não. Portanto, teoremas relacionados a séries de funções serão abordados ao</p><p>final do capítulo.</p><p>Sequências e</p><p>séries de funções</p><p>Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro</p><p>Conceitos fundamentais</p><p>Genericamente, sequências podem ser entendidas como uma coleção de</p><p>elementos. No entanto, as sequências de funções correspondem a um conjunto</p><p>de funções definidas perante um subconjunto preestabelecido.</p><p>Matematicamente, define-se como sequência de números reais uma regra</p><p>que a cada número inteiro positivo n associa um número real denotado por an.</p><p>De modo semelhante, podemos, a cada inteiro positivo k, associar uma função</p><p>real definida em intervalo [a, b], denotada por fn(n). A sucessão de funções:</p><p>recebe o nome de sequência de funções se existir uma função F(x) definida</p><p>em [a, b] tal que:</p><p>Assim, é possível dizer que a sequência de termo geral fn(x) converge</p><p>para F(x) no intervalo [a, b]. A função F(x) é chamada de “função-limite da</p><p>sequência de funções”.</p><p>Convergência simples e uniforme</p><p>A definição de convergência de uma sequência de funções afirma que:</p><p>Assim, ao fixar x = x0, é possível definir uma sequência de números reais</p><p>fn(x0), e cada uma dessas sequências converge para algum valor real F(x0),</p><p>sendo possível que, em certo ponto, a sequência de funções tenda a um valor</p><p>diferente dos pontos na vizinhança. Cada sequência fn(x0) é independente da</p><p>sequência fn(x1), mesmo que os pontos x0 e x1 sejam arbitrariamente próximos.</p><p>Essa convergência, em que cada ponto é independente dos demais, é chamada</p><p>de convergência pontual ou simples.</p><p>Definição 1. Seja fn(x) o termo geral de uma sequência de funções</p><p>reais definidas no intervalo [a, b]. Se em cada x0 ∈ [a, b] e para</p><p>qualquer Ɛ > 0 existir um N(x0, Ɛ) tal que |n(x0) – F(x0)|< Ɛ|, dizemos</p><p>que a sequência de funções converge pontualmente para F(x).</p><p>Sequências e séries de funções2</p><p>Nessa concepção, é explicitado N(x0, Ɛ) para deixar evidente que N satisfaz</p><p>a definição de limite e possui valores diferentes em pontos diferentes do</p><p>intervalo [a, b] mesmo mantendo fixo o valor de Ɛ.</p><p>Imagine agora que, para certa sequência de funções e para cada Ɛ, fixo a</p><p>função N(x0, Ɛ) possui um máximo no intervalo [a, b]. Nesse caso, sempre</p><p>que k é maior que esse máximo, obtém-se:</p><p>para todo x0 ∈ [a, b].</p><p>É importante ressaltar que, ao contrário da convergência simples, nessa</p><p>convergência, os pontos da curva não tendem isoladamente a um ponto, mas</p><p>a curva, como um todo, tende à curva da função-limite. Essa convergência é</p><p>chamada de convergência uniforme.</p><p>Definição 2. Uma sequência de funções com termo geral</p><p>fn(x) converge uniformemente para a função-limite F(x) no</p><p>intervalo [a, b] se, para todo Ɛ > 0 existir um N tal que</p><p>|fn(x0) – F(x0)|< Ɛ e sempre que n > N em todo o intervalo [a, b].</p><p>Observe que, se uma sequência de funções converge uniformemente, ela</p><p>também converge pontualmente.</p><p>Segundo Ávila (2006), um exemplo de uma convergencia uniforme é</p><p>a sequência fn(x) = x/n, sendo o domínio do x toda a reta. Note que</p><p>fn(x) → 0, uma vez que, para todo Ɛ > 0:</p><p>Assim, para cada x fixo, é encontrado um N, que varia de acordo com a</p><p>variação de x. Quanto maior for o valor de |x|, maior será o de N, o qual tende</p><p>a infinito com |x| → ∞. Por consequência, a convergencia da função para zero</p><p>não ocorre uniformemente para diferentes valores de x. Observe, no primeiro</p><p>gráfico da Figura 1, que as funções y = x/n são retas e se aproximam do eixo das</p><p>abscissas conforme aumenta o índice n. Porém, sempre existem valores de x</p><p>para os quais a função |fn(x)| supera qualquer número positivo.</p><p>Sequências e séries de funções 3</p><p>Figura 1. Gráficos do exemplo.</p><p>Note que os gráficos não aproximam o eixo das abscissas de modo uniforme</p><p>em x. No entanto, delimitando o domínio as funções fn a um intervalo do tipo</p><p>|x| ≤ x, onde c é qualquer número positivo, é possível determinar um índice N</p><p>válido para os valores x desse intervalo. Com efeito, |x/n|≤ c/n, de forma que</p><p>basta fazer c/n < Ɛ para termos |x/n|< Ɛ. Portanto:</p><p>Isso possibilita a afirmação de que a convergência é “uniforme em x” em</p><p>todo seu eixo real, visto que é possivel encontrar um N = c/Ɛ válido para todo</p><p>x ∈ [–c, c].</p><p>Continuidade, integral e derivada de</p><p>sequências</p><p>Dando sequência a nossos estudos, o foco será a continuidade, a integral e a</p><p>derivada de sequências de funções, apresentando outra vertente na análise</p><p>desse grupo de funções. Os teoremas enunciados a seguir foram baseados</p><p>em Neri e Cabral (2011).</p><p>Teorema 1. Se uma sequência de funções contínuas no intervalo [a, b] converge</p><p>uniformemente para F(x), então a função-limite F(x) é contínua em [a, b].</p><p>Sequências e séries de funções4</p><p>Queremos provar que, em qualquer x0 ∈ [a, b] e para todo Ɛ > 0 existe</p><p>algum δ > 0 tal que |F(x) – F(x0)|< Ɛ e sempre que |x – x0| < δ. Como a sequência</p><p>fn(x) converge uniformemente para F(x), para todo Ɛ > 0 existe um N tal que:</p><p>Note que, em todo x ∈ [a, b], fk(x) é contínua em [a, b]. Logo, para qualquer</p><p>x0 ∈ [a, b] e todo Ɛ > 0, existe algum δ > 0 tal que:</p><p>Assim, se k > N e |x – x0| < δ, tem -se que:</p><p>como se pretendia demonstrar.</p><p>É importante destacar que, para o teorema a seguir, relacionado à in-</p><p>tegral, sempre será admitida a letra F ou a letra G maiúscula para indicar a</p><p>antiderivada de uma sequência de funções.</p><p>Teorema 2. Se uma sequência de funções contínuas em um intervalo</p><p>[a,</p><p>b] converge uniformemente nesse intervalo, então:</p><p>para qualquer x ∈ [a, b].</p><p>Pela convergência uniforme, para todo Ɛ > 0 existe um N tal que:</p><p>Para qualquer t ∈ [a, b], sejam:</p><p>Sequências e séries de funções 5</p><p>Assim, temos que:</p><p>Pela desigualdade triangular. Se n > N, então:</p><p>Se x ∈ [a, b], então a sequência de termo geral gn(x) converge uniforme-</p><p>mente para a antiderivada G(x), ou seja, que implica em:</p><p>Ainda conforme Neri e Cabral (2011), o conceito de derivada de uma sequ-</p><p>ência de funções se evidencia no teorema a seguir.</p><p>Teorema 3. Seja (fn)n∈ ⊂ C 1[a, b]. Se existe x0 ∈ [a, b], tal que</p><p>(fn(x0))n∈ converge e se (f ’n)n∈ converge uniformemente para g:|a, b| → ℝ,</p><p>então (fn)n∈ converge uniformemente para uma primitiva de g.</p><p>Dado x ∈ [a, b], pelo teorema fundamental do cálculo, podemos escrever</p><p>que:</p><p>Como (fn(x0))n∈ é convergente para c e como (f ’n)n∈ é uniformemente</p><p>convergente para g encontramos que (fn)n∈ converge para:</p><p>No entanto, g é contínua, uma vez que é limite uniforme de uma sequência</p><p>de funções contínuas. Logo, segue que f é uma primitiva de g.</p><p>Sequências e séries de funções6</p><p>Para concluir que (fn)n∈ converge uniformemente para f, admita Ɛ > 0 e</p><p>escolha N ∈ N tal que, para n ≥ N, tenhamos:</p><p>Obtemos, então:</p><p>Neri e Cabral (2011) consideram K um subconjunto compacto não</p><p>vazio de R em C(K) = {f:K → ℝ; f é contínua}.</p><p>Séries de funções e propriedades</p><p>As concepções de convergência simples e uniforme de sequências de fun-</p><p>ções, estudadas anteriormente, transferem-se naturalmente para séries,</p><p>interpretadas como sequências de reduzidas ou somas parciais. Assim, a</p><p>convergência uniforme de uma série de funções, de acordo com Ávila (2006),</p><p>pode ser indicada por:</p><p>Isso significa que a convergência uniforme de somas parciais ou reduzidas</p><p>de ordem n é:</p><p>Chamamos a somatória infinita de “série de funções” e a</p><p>função Sn(x) de “função soma da série”.</p><p>Sequências e séries de funções 7</p><p>Nesse contexto, é possível afirmar que uma série de funções con-</p><p>verge uniformemente em um domínio D para uma soma f(x) se, dado qualquer</p><p>Ɛ > 0, existe N tal que, qualquer que seja x ∈ D:</p><p>A seguir, alguns teoremas relacionados a séries de funções serão apresen-</p><p>tados conforme Ávila (2006): o critério de Cauchy e o teste M de Weierstrass.</p><p>Critério de Cauchy</p><p>Uma condição necessária e suficiente para que uma série em que os</p><p>termos fn são funções com o mesmo domínio D, convirja uniformemente é</p><p>que, dado qualquer Ɛ > 0, exista N tal que:</p><p>qualquer que seja p inteiro positivo.</p><p>Os teoremas a seguir, que podem ser vistos em Ávila (2006), trazem resul-</p><p>tados muito importantes no estudo de séries de funções, pois nos permitem</p><p>integrar e derivar esse tipo de séries, desde que as funções sejam contínuas</p><p>e as séries convirjam uniformemente.</p><p>Teorema 4. Uma série de funções contínuas, que converge</p><p>uniformemente em um intervalo, tem, por soma, uma função</p><p>contínua e pode ser integrada termo a termo.</p><p>Teorema 5. Se uma dada série de funções é tal que a série</p><p>de derivadas converge uniformemente em um intervalo</p><p>e se a série original converge em um ponto desse intervalo,</p><p>então sua soma f é derivável nesse intervalo e a derivação de</p><p>f pode ser feita derivando termo a termo a série dada.</p><p>Sequências e séries de funções8</p><p>Teste M de Weierstrass</p><p>O teorema seguinte, conhecido como teste M de Weierstrass, é um critério</p><p>muito útil para verificar se uma dada série de funções converge uniforme-</p><p>mente (ÁVILA, 2006).</p><p>Teorema 6. Seja fn uma sequência de funções com o mesmo</p><p>domínio D, satisfazendo a condição |fn(x)| ≤ Mn para todo x ∈</p><p>D, em que é uma série numérica convergente. Então a</p><p>série converge absoluta e uniformemente em D.</p><p>É notável que a série de funções converge para certa função f(x) e converge</p><p>absolutamente devido à dominação |fn(x)| ≤ Mn e pelo fato de ser convergente</p><p>à série . A convergência dessa série garante que, dado qualquer Ɛ > 0,</p><p>existe N tal que:</p><p>Então, para todo x em D:</p><p>o que prova a uniformidade da convergência e conclui a demonstração do</p><p>Teorema 6.</p><p>Outra demonstração do Teorema 6 pode ser feita utilizando o critério</p><p>de Cauchy. Assim, dado qualquer Ɛ > 0, existe N tal que, para todo</p><p>x ∈ D:</p><p>Note que, pelo teste de Weierstrass, é necessário evidenciar que a série</p><p>dada seja denominada pela série numérica a partir de um certo índice N, não</p><p>necessariamente N = 1.</p><p>Neste capítulo, vimos que as sequências de funções representam um</p><p>conjunto de funções definidas perante um subconjunto preestabelecido.</p><p>Sequências e séries de funções 9</p><p>Também vimos a continuidade, a integral e a derivada de sequências de</p><p>funções, sempre acompanhadas de suas respectivas propriedades, que as</p><p>fundamentam. Para finalizar, descrevemos o critério de Cauchy e o teste M</p><p>de Weierstrass como possibilidades de conferência da uniformidade das</p><p>séries de funções.</p><p>Referências</p><p>ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Blucher, 2006.</p><p>NEℝI, C.; CABℝAL, M. Curso de análise real. 2. ed. ℝio de Janeiro: UFℝJ, 2011.</p><p>Sequências e séries de funções10</p><p>ANÁLISE REAL</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Descrever o conceito formal de função.</p><p>> Identificar a definição formal de limite.</p><p>> Reconhecer as propriedades de limites.</p><p>Introdução</p><p>Um dos conceitos muito estudados pela matemática é o de função, visto que</p><p>todos os seus tipos (afim, quadrática, trigonométrica, logarítmica, etc.) têm vasta</p><p>aplicação prática. Por exemplo, podemos ter interesse em analisar, considerando</p><p>a relação entre espaço e tempo, o desempenho de um atleta da natação que treina</p><p>para uma competição e cujo treinador o observa e faz anotações sobre o tempo</p><p>(em minutos) e a distância percorrida (em metros). Nesse caso, cada instante</p><p>corresponde a uma única distância. Dizemos, então, que a distância percorrida</p><p>pelo atleta é uma função do tempo gasto em seu treinamento.</p><p>O conhecimento de funções nos permite avançar para o estudo de limite,</p><p>cujo objetivo é determinar o comportamento de uma função à medida que ela</p><p>se aproxima de alguns valores. Os limites são usados no cálculo diferencial e na</p><p>análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.</p><p>Neste capítulo, apresentaremos o conceito formal de função, retomando a</p><p>noção de conjuntos e lançando mão de exemplos de aplicação desses concei-</p><p>tos. Além disso, você poderá compreender os três tipos de função (sobrejetora,</p><p>injetora e bijetora), bem como a relação entre continuidade e limite, que será</p><p>definido formalmente a partir de uma análise intuitiva. Por fim, descreveremos</p><p>as propriedades e os tipos de limite.</p><p>Funções e limites</p><p>Cristiane da Silva</p><p>Introdução a funções</p><p>Para compreendermos o que é uma função, antes devemos entender o que é</p><p>um conjunto, conceito relativamente simples que é fundamental na matemá-</p><p>tica. Um conjunto, de acordo com Neri e Cabral (2011, p. 1) “[...] é constituído</p><p>de objetos chamados elementos. Usamos a notação (lê-se x pertence</p><p>a A) para dizer que x é um elemento do conjunto A. Se x não é um elemento</p><p>de A, então escrevemos (lê-se x não pertence a A)”.</p><p>Em outras palavras, um conjunto é uma coleção qualquer de objetos,</p><p>como, por exemplo:</p><p>� conjunto dos números primos: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …};</p><p>� conjunto das instituições de ensino: B = {públicas, privadas,</p><p>comunitárias,…}.</p><p>Os conjuntos são representados por letras maiúsculas, ao passo que seus</p><p>elementos (itens dentro do conjunto) são dispostos entre chaves, separados</p><p>por vírgula ou ponto e vírgula. Quanto aos subconjuntos, diz-se, por exem-</p><p>plo, que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos</p><p>números inteiros se e somente se todos os elementos do conjunto são</p><p>também elementos do conjunto . Então, pode-se dizer que N está condido</p><p>em ℤ (Figura 1). Para expressar simbolicamente essa relação, usam-se (está</p><p>contido), (contém) ou (não está contido) (FRIEDRICH; MANℤINI, 2015).</p><p>Figura 1. Representação de</p><p>Os números são uma invenção humana. Na Antiguidade, o crescimento</p><p>da população e o consequente</p><p>aumento da complexidade das sociedades,</p><p>cujo comércio foi se tornando cada vez mais intenso, motivaram a criação de</p><p>formas para representar as quantidades. Foi então que surgiram os números</p><p>naturais, que mais tarde seriam acompanhados pelos demais conjuntos</p><p>numéricos: inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos, etc. (FRIEDRICH;</p><p>MANℤINI, 2015).</p><p>Funções e limites2</p><p>Em nosso cotidiano, relacionamos diferentes grandezas duas a duas.</p><p>Por exemplo, quando fazemos compras, relacionamos o produto com o seu</p><p>preço; quando extraímos o extrato de uma conta, relacionamos o saldo com</p><p>a data em que o extrato foi gerado; quando analisamos uma conta de energia</p><p>elétrica, relacionamos o valor com a quantidade de kWh/hora consumido em</p><p>um mês; etc. Essas relações podem ser expressas por diagramas.</p><p>Como exemplo, vamos supor que, ao fazer compras na padaria, o preço pago</p><p>pelo presunto dependa da quantidade de gramas comprada e que ele tenha</p><p>sido modelado por uma função afim do tipo Algumas quantidades</p><p>estão representadas no diagrama da Figura 2, em que há os conjuntos A e B,</p><p>chamados, respectivamente, “conjunto de partida” e “conjunto de chegada”.</p><p>Figura 2. Diagrama.</p><p>Poderíamos estar interessados em representar essa relação em um plano</p><p>cartesiano. Ou seja, com os pares ordenados (valores de x e de y) marcar o</p><p>ponto no gráfico e traçar a curva que expresse essa relação (Figura 3).</p><p>Funções e limites 3</p><p>Figura 3. Representação gráfica dos pares ordenados (x, y).</p><p>12</p><p>10</p><p>8</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>0 100 200 300</p><p>Quantidade de gramas</p><p>Pr</p><p>eç</p><p>o</p><p>400 500</p><p>Relações binárias como as que acabamos de mencionar foram descobertas</p><p>na Antiguidade. Pitágoras, por exemplo, descobriu as relações aritméticas</p><p>das notas musicais, e Galileu Galilei, a relação entre a distância percorrida</p><p>por um objeto e o intervalo de tempo. Hoje, nas mais diversas áreas anali-</p><p>samos fenômenos em que são estabelecidas relações que evidenciam como</p><p>a variação de uma grandeza depende da variação de outra. Por exemplo, o</p><p>número de leitos disponíveis em um hospital depende da demanda por leitos,</p><p>o gasto de combustível depende da quantidade de quilômetros rodados, os</p><p>níveis de poluição dependem da degradação da natureza, etc. (FRIEDRICH;</p><p>MANℤINI, 2015).</p><p>No exemplo do preço pago pelo presunto, deduzimos que existe uma</p><p>relação entre o peso x do presunto que será comprado (em gramas) e o valor</p><p>y a ser pago (expresso em reais). Mais especificamente, a relação é:</p><p>Isso significa que, se quisermos comprar 350 gramas de presunto, pagare-</p><p>mos A equação dada descreve como o preço</p><p>depende do peso do presunto. Nessa equação, a variável x é denominada</p><p>“variável independente”, e y é chamada “variável dependente”, uma vez que</p><p>seu valor é obtido a partir de x. A regra que permite obter o valor da variável</p><p>Funções e limites4</p><p>dependente a partir da variável independente é denominada função (GOMES,</p><p>2018).</p><p>Gomes (2018, p. 256) define função da seguinte forma: “Uma função f é uma</p><p>relação que associa a cada elemento x de um conjunto D, chamado domínio,</p><p>um único elemento ou y de um conjunto C, denominado contradomínio”.</p><p>Sabendo disso, vejamos algumas propriedades que caracterizam uma função,</p><p>estudando os seus três tipos: sobrejetora, injetora e bijetora.</p><p>Função sobrejetora</p><p>Uma função será sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao con-</p><p>tradomínio. Em outras palavras, ela será sobrejetora quando não sobrarem</p><p>elementos no conjunto C sem receber flechas (Figura 4).</p><p>Figura 4. Diagrama de uma função sobrejetora.</p><p>Função injetora</p><p>Uma função será injetora quando elementos distintos do domínio (D) tiverem</p><p>imagens (C) distintas, isto é, quando dois elementos não tiverem a mesma</p><p>imagem. Sendo assim, não pode haver nenhum elemento do conjunto C que</p><p>receba duas flechas (Figura 5).</p><p>Funções e limites 5</p><p>Figura 5. Diagrama de uma função injetora.</p><p>Função bijetora</p><p>Uma função será bijetora quando for, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora.</p><p>Ou seja, ela será bijetora quando os elementos de C forem flechados uma só</p><p>vez (o que a caracterizaria como injetora) e não houver elementos sobrando</p><p>em C sem receber flechas, o que a caracterizaria como sobrejetora (Figura 6).</p><p>Figura 6. Diagrama de uma função bijetora.</p><p>Nesta seção, lançamos mão de exemplos do cotidiano para definir con-</p><p>junto e apresentar a sua representação, de modo a facilitar o entendimento</p><p>sobre as relações binárias e o conceito de função. A partir disso, você pôde</p><p>compreender a definição formal, a notação e os tipos de função: injetora,</p><p>sobrejetora e bijetora.</p><p>Continuidade e limite</p><p>Iniciaremos o estudo de limite com uma noção intuitiva, de modo a tornar</p><p>mais evidente o que ele representa. Neri e Cabral (2011) explicam que muitas</p><p>das funções encontradas em Análise são contínuas e que a noção de “estar</p><p>Funções e limites6</p><p>próximo”, usada cotidianamente, é subjetiva, pois o que é longe para uns é</p><p>perto para outros e vice-versa. No entanto, as ideias intuitivas e subjetivas</p><p>nos ajudam a tornar mais palpáveis os conceitos abstratos. Na matemática,</p><p>porém, as definições e demonstrações envolvem rigor. Então, para evitar</p><p>subjetividade no conceito de proximidade, utiliza-se o verbo “tender”. Por</p><p>exemplo, à medida que x se aproxima de 2, x + 4 se aproxima de 6, ou, se x</p><p>tende a 2, então x + 4 tende a 6. Aqui, temos a ideia de limite. Os conceitos</p><p>de proximidade e limite estão relacionados.</p><p>Também é preciso lembrar o que significa uma função contínua: aquela</p><p>em que, considerando um ponto x = p, com p fazendo parte do domínio da</p><p>função, o seu gráfico não deverá apresentar um salto (na vertical) em x = p</p><p>(GUIDORIℤℤI, 2010). Para ficar mais claro, observe a Figura 7.</p><p>Figura 7. Compreendendo continuidade.</p><p>Fonte: Adaptada de Guidorizzi (2010).</p><p>Guidorizzi (2010) destaca que g(x) é descontínua somente no ponto x = 1,</p><p>quando ela apresenta um salto (na vertical); nos demais pontos, ela é contí-</p><p>nua. Dito isso, em uma função contínua, quando x se aproxima de p, ou tende</p><p>a p, o valor da função se aproxima cada vez mais da função naquele ponto.</p><p>Simbolicamente, isso pode ser expresso por:</p><p>Funções e limites 7</p><p>Em palavras, isso pode ser enunciado como “o limite de f(x), quando x tende</p><p>a p, é f(p)”. A representação gráfica de limite pode ser observada na Figura 8.</p><p>Figura 8. Representação gráfica de limite.</p><p>Fonte: Adaptada de Guidorizzi (2010).</p><p>Vejamos um exemplo, agora por meio da análise de uma tabela.</p><p>Considere a função f(x) = x + 4. Qual será o limite no ponto x = 2?</p><p>Pensando no gráfico dessa função, constatamos que se trata de</p><p>uma reta. Logo, ele não apresentará salto em nenhum ponto, e, sendo assim,</p><p>f(x) será contínua. Observe a Figura 9.</p><p>Figura 9. Gráfico de f(x) = x + 4.</p><p>Funções e limites8</p><p>Perceba que os valores de x estão se aproximando cada vez mais de x = 2,</p><p>tanto pela direita quanto pela esquerda, e que os valores da função estão se</p><p>aproximando cada vez mais da função naquele ponto por ambos os lados, ou</p><p>seja, f(2) = 6. Isso também pode ser observado no Quadro 1.</p><p>Quadro 1. Tabela de f(x) = x + 4</p><p>Pela esquerda: x < 2 1 1,5 1,9 1,95 1,99 1,999</p><p>f(x) = x + 4 5 5,5 5,9 5,95 5,99 5,999</p><p>Pela direita: x > 2 3 2,5 2,1 2,05 2,01 2,001</p><p>f(x) = x + 4 7 6,5 6,1 6,05 6,01 6,001</p><p>Isso nos permite dizer que, quando a função f(x) tende a 2, tanto pela di-</p><p>reita quanto pela esquerda, o seu limite no ponto indicado x = 2 é igual a 6.</p><p>Matematicamente:</p><p>ou seja:</p><p>Compreendidos esses conceitos, vejamos a definição formal de limite</p><p>apresentada por Anton, Bivens e Davis (2014, p. 101):</p><p>Seja f(x) definida em todo x de algum intervalo aberto que contenha o número a,</p><p>com a possível exceção de que f(x) não precisa estar definida em a. Escrevemos</p><p>se, dado qualquer número , pudermos encontrar um número</p><p>tal que se .</p><p>Ou seja, o que dizíamos informalmente “tão próximo quanto de L” se</p><p>tratava de uma atribuição de sentido quantitativo ao escolher de maneira</p><p>arbitrária um número positivo , e a expressão “suficientemente próximo</p><p>de a” é quantificada pelo número</p><p>positivo na definição formal de limite</p><p>(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Vamos usar a definição formal de limite para</p><p>provar o que fizemos intuitivamente no exemplo anterior, ou seja, para provar</p><p>que</p><p>Funções e limites 9</p><p>Dado qualquer número positivo , podemos encontrar um número positivo</p><p>tal que:</p><p>Primeiramente, vamos descobrir um valor de que sustente a afirmação</p><p>e, depois, provar que ela é válida para aquele .</p><p>Vamos iniciar simplificando a equação apresentada:</p><p>Perceba que essa afirmação está assegurada quando</p><p>Agora, vamos provar que se é válida</p><p>para qualquer escolha de . Essa afirmativa é equivalente a</p><p>se que, por sua vez, se verifica com Portanto,</p><p>se também se verifica com Isso prova</p><p>que</p><p>Nesta seção, apresentamos a definição informal de limite, iniciando pelo</p><p>estudo de função contínua e descontínua. Em seguida, conhecemos repre-</p><p>sentações de funções por meio de gráficos e tabelas, de modo a visualizar</p><p>a noção de limite e, por fim, compreender sua definição formal. Na próxima</p><p>seção, aprofundaremos esse estudo apresentando as propriedades de limites.</p><p>Propriedades e tipos de limite</p><p>As propriedades dos limites são muito úteis, pois nos permitem resolver</p><p>problemas mais facilmente, sem precisar fazer uso da definição de limite, que</p><p>pode ser uma tarefa um tanto complicada. Por isso, a seguir vamos apresentar</p><p>caminhos e métodos mais fáceis para encontrar os limites das funções.</p><p>Supondo que c seja uma constante e os limites e existam,</p><p>então as propriedades são (STEWART, 2016):</p><p>1. que pode ser enunciada como</p><p>“o limite de uma soma é a soma dos limites”;</p><p>2. que pode ser enunciada como</p><p>“o limite de uma diferença é a diferença dos limites”;</p><p>Funções e limites10</p><p>3. que pode ser enunciada como “o limite de uma</p><p>constante multiplicando uma função é a constante multiplicando o</p><p>limite dessa função”;</p><p>4. que pode ser enunciada como “o</p><p>limite de um produto é o produto dos limites”;</p><p>5. que pode ser enunciada como “o</p><p>limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite</p><p>do denominador não seja zero”;</p><p>6. onde n é um inteiro positivo, que pode ser</p><p>enunciada como “o limite de uma função elevada a n é equivalente ao</p><p>limite elevado a n dessa função”;</p><p>7. que pode ser enunciada como “o limite de uma constante é</p><p>a própria constante”.</p><p>8. que pode ser enunciada como “o limite de uma função será</p><p>equivalente ao valor de que o x se aproxima, que, nesse caso, é a”;</p><p>9. onde n é um inteiro positivo;</p><p>10. onde n é um inteiro positivo. De modo mais geral, temos</p><p>que pode ser enunciada como “o limite da raiz</p><p>enésima de uma função é equivalente à raiz enésima do limite dessa</p><p>função”.</p><p>Vejamos alguns exemplos aplicados a cada uma dessas propriedades.</p><p>1) Propriedade da soma:</p><p>2) Propriedade da diferença:</p><p>Funções e limites 11</p><p>3) Propriedade da multiplicação por constante:</p><p>4) Propriedade do produto:</p><p>5) Propriedade do quociente:</p><p>6) Propriedade da potência:</p><p>7) Propriedade da constante:</p><p>8) Propriedade do limite de x:</p><p>9) Propriedade do limite de xn:</p><p>10) Propriedade da raiz enésima de uma função:</p><p>Funções e limites12</p><p>Além dessas propriedades, é importante conhecermos os tipos de limite</p><p>com os quais podemos nos deparar. Os 15 tipos de limite são apresentados</p><p>no Quadro 2.</p><p>Quadro 2. Os 15 tipos de limite</p><p>Fonte: Adaptado de Neri e Cabral (2011).</p><p>O Quadro 3 apresenta o significado dos limites iguais a (que</p><p>correspondem, cada um deles, a uma coluna do Quadro 2), bem como o</p><p>que representam os símbolos que</p><p>correspondem às linhas do Quadro 2.</p><p>Quadro 3. Significado de alguns limites e símbolos</p><p>Significa que, por menor que seja podemos concluir</p><p>que desde que x verifique certa condição.</p><p>Significa que, por maior que seja podemos concluir</p><p>que desde que x verifique certa condição.</p><p>Significa que, por maior que seja podemos concluir</p><p>que desde que x verifique certa condição.</p><p>Significa que a condição sobre x é para</p><p>suficientemente pequeno.</p><p>Lê-se x tende a x0 pela direita. Significa que a condição</p><p>sobre x é para suficientemente pequeno.</p><p>Lê-se x tende a x0 pela esquerda. Significa que a condição</p><p>sobre x é para suficientemente pequeno.</p><p>(Continua)</p><p>Funções e limites 13</p><p>Lê-se x tende a mais infinito. Significa que a condição sobre</p><p>x é para N suficientemente grande.</p><p>Lê-se x tende a menos infinito. Significa que a condição</p><p>sobre x é para N suficientemente grande.</p><p>Fonte: Adaptado de Neri e Cabral (2011).</p><p>Você pode saber mais sobre as propriedades dos limites consultando</p><p>o capítulo 7 da obra Curso de Análise Real, de Neri e Cabral (2011).</p><p>Nesta seção, você pôde conhecer as propriedades de limites e os 15 tipos</p><p>de limite com os quais podemos trabalhar, bem como exemplos envolvendo</p><p>tais propriedades. Ademais, neste capítulo, você pôde compreender o conceito</p><p>formal de função e a sua representação, assim como a definição formal de</p><p>limite.</p><p>Referências</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.</p><p>FRIEDRICH, M. A.; MANℤINI, N. Matemática aplicada: administração e ciências contábeis.</p><p>2 ed. São Leopoldo: Editora Unisinos, 2015.</p><p>GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e sequências. São Paulo:</p><p>Cengage Learning, 2018.</p><p>GUIDORIℤℤI, H. L. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LTC, 2010.</p><p>NERI, C.; CABRAL, M. Curso de análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: Universidade Federal</p><p>do Rio de Janeiro, 2011. Disponível em: https://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/</p><p>livro-analise/curso-analise-real-a4.pdf. Acesso em: 11 abr. 2021.</p><p>STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1.</p><p>Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos</p><p>testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da</p><p>publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas</p><p>páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores</p><p>declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou</p><p>integralidade das informações referidas em tais links.</p><p>(Continuação)</p><p>Funções e limites14</p><p>CÁLCULO: INTEGRAIS</p><p>E FUNÇÕES DE</p><p>VÁRIAS VARIÁVEIS</p><p>Rejane Izabel Lima Corrêa</p><p>Limites e continuidade</p><p>em várias variáveis</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Relacionar os conceitos de limites e continuidade ao contexto de</p><p>várias variáveis.</p><p>� Desenvolver os cálculos limites por substituição.</p><p>� Calcular limites de produtos de funções.</p><p>Introdução</p><p>Neste capítulo, você estudará a teoria de limites e continuidade para</p><p>funções de várias variáveis, estabelecendo formas de descrever esses</p><p>conceitos e desenvolver técnicas para calcular limites.</p><p>A ideia que envolve o cálculo de limite de várias variáveis é análoga à</p><p>do cálculo de limite de funções de uma variável, mas, ao adicionarmos a</p><p>uma função mais de uma variável, aumentamos a complexidade do limite</p><p>— assim, devemos prestar atenção em algumas diferenças importantes,</p><p>dando origem a novas definições.</p><p>Concentraremos o estudo de limite e continuidade para função de</p><p>duas variáveis, mas o resultado pode ser estendido analogamente para</p><p>função de três ou mais variáveis.</p><p>Limites e continuidade de funções</p><p>de várias variáveis</p><p>Dizemos que f se aproxima do limite L quando (x, y) se aproxima de (x0, y0)</p><p>se os valores de f (x, y) estão cada vez mais próximos de um número L para</p><p>todos os pontos (x, y) próximos de (x0, y0) (ROGAWSKI; ADAMS, 2018).</p><p>A Figura 1 ilustra esta definição por meio de um diagrama de setas.</p><p>Observe que, se (x0, y0) está no domínio de f, temos que (x, y) pode se</p><p>aproximar de (x0, y0) a partir de qualquer direção. Assim, para o limite exis-</p><p>tir, o valor obtido deve ser sempre o mesmo, independentemente da direção</p><p>escolhida para se aproximar de (x0, y0).</p><p>Figura 1. Diagrama de setas ilustrando o comportamento da função quando (x, y) se</p><p>aproxima de (x0, y0).</p><p>A definição formal para limite de uma função de duas variáveis é: a função</p><p>f (x, y) se aproxima do limite L à medida que (x, y) se aproxima</p><p>de (x0, y0),</p><p>quando escrevemos</p><p>se, para todo número ϵ > 0, existe δ > 0 tal que, para todo (x, y) no domínio</p><p>D de f,</p><p>| f(x, y) – L| < ε</p><p>sempre que</p><p>|(x, y) – (x0, y0)| < δ</p><p>A ilustração para a definição acima é exibida na Figura 2, onde z = f (x, y)</p><p>representa uma superfície.</p><p>Limites e continuidade em várias variáveis2</p><p>Figura 2. |f(x, y) – L| < ε para todo valor de (x, y) no disco de raio δ no plano xy, independente</p><p>do caminho.</p><p>Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).</p><p>A distância entre f (x, y) e L se torna arbitrariamente pequena sempre que</p><p>a distância entre (x, y) e (x0, y0) se mostrar suficientemente pequena (mas não</p><p>igual a 0).</p><p>A definição se aplica tanto para pontos (x0, y0) interiores quanto para pontos de fronteira</p><p>do domínio D, ainda que um ponto de fronteira não faça parte do domínio. Os pontos</p><p>(x, y) que se aproximam de (x0, y0) estão sempre no domínio D.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos mostrar que</p><p>3Limites e continuidade em várias variáveis</p><p>De acordo com a definição, temos que f (x, y) = x e L = a. Precisamos</p><p>garantir que, para qualquer δ > 0, podemos encontrar ε > 0, tal que</p><p>| f(x, y) – L| = |x – a| < ε</p><p>Sempre que |(x, y) – (a, b)| < δ.</p><p>Como (x, y) se aproxima de (a, b), por definição</p><p>Da última desigualdade apresentada, podemos concluir que</p><p>(x – a)2 < δ2 ⇒ |x – a| < δ</p><p>Fazendo ε = δ, obtemos a desigualdade procurada</p><p>| f(x, y) – L| = |x – a| < δ = ε</p><p>De maneira análoga ao exercício anterior, conseguimos mostrar que</p><p>e também que</p><p>para todo número real k.</p><p>Que tal treinar o que aprendeu até o momento e demonstrar os dois limites citados?</p><p>Utilize o exemplo anterior como roteiro fazendo as alterações necessárias para cada</p><p>limite a ser resolvido.</p><p>Limites e continuidade em várias variáveis4</p><p>Continuidade</p><p>Uma função f de duas variáveis é contínua em (a, b) se</p><p>Dizemos, também, que f (x,y) é contínua em D se f é contínua em todos</p><p>os pontos (a, b) ∈ D.</p><p>Exemplo 2</p><p>A função</p><p>é descontínua no ponto (0,0), no qual a função não está definida e</p><p>não existe.</p><p>Funções com três ou mais variáveis</p><p>Todos os resultados obtidos até o momento podem ser estendidos para as</p><p>funções com três ou mais variáveis.</p><p>Dizemos que</p><p>Se os valores de f (x, y, z) ficam cada vez mais próximos de L quando</p><p>(x, y, z) se aproxima de (x0, y0, z0) ao longo de qualquer caminho no domínio de f.</p><p>E a função f (x, y, z) é contínua em (a, b, c) se</p><p>5Limites e continuidade em várias variáveis</p><p>De modo geral, temos que se f é definida em um subconjunto D ϵ ℝn, então</p><p>significa que, para todo número real ε > 0, existe um número real δ > 0,</p><p>tal que</p><p>| f(x) – L| < δ sempre que |x – a| < ε</p><p>onde x = (x1, x2, x3,⋯, xn) e a = (a1, a2, a3,⋯, an).</p><p>Propriedades dos limites de funções</p><p>de duas variáveis</p><p>Suponha que existam os limites</p><p>tais que</p><p>Seja k um número real, então:</p><p>1. Propriedade da soma</p><p>2. Propriedade da multiplicação por constante</p><p>Limites e continuidade em várias variáveis6</p><p>3. Propriedade do produto</p><p>4. Propriedade do quociente</p><p>5. Propriedade da potência</p><p>6. Propriedade da radiciação</p><p>Exemplo 3</p><p>Calcule</p><p>Sabendo que</p><p>De acordo com a propriedade do produto, temos que</p><p>7Limites e continuidade em várias variáveis</p><p>Cálculo de limite por substituição</p><p>Das propriedades de limite, obtemos um resultado útil de que os limites das</p><p>funções das funções polinomiais e racionais podem ser calculados avaliando</p><p>a função no ponto, isto é, o limite da função f (x, y), quando (x, y) → (x0, y0),</p><p>pode ser obtido avaliando o valor de f (x0, y0), substituindo o ponto (x0, y0) na</p><p>função. A única atenção que devemos ter reside no fato de que as funções</p><p>racionais devem estar definidas em (x0, y0).</p><p>Encontre</p><p>Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x</p><p>por 1 e y por –2. Assim:</p><p>Exemplo 5</p><p>Encontre</p><p>Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x</p><p>por 0 e y por 0. Assim:</p><p>Exemplo 6</p><p>Encontre</p><p>Limites e continuidade em várias variáveis8</p><p>Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x</p><p>por 4 e y por 0. Assim:</p><p>Exemplo 7</p><p>Considere as funções f (x, y) = 3x2+4y2 e . Encontre</p><p>De acordo com a propriedade do produto, temos que</p><p>Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x</p><p>por –5 e y por 2. Assim:</p><p>Exemplo 8</p><p>Encontre</p><p>Como se aproxima de 0 quando (x, y) tende a (0,0), não podemos</p><p>fazer a substituição direta, pois isso anularia o denominador. Para solucio-</p><p>narmos o problema da divisão por 0, podemos racionalizar o denominar, ou</p><p>seja, multiplicar o numerador e o denominador por :</p><p>9Limites e continuidade em várias variáveis</p><p>Assim, encontramos uma função equivalente cujo limite podemos calcular</p><p>por substituição:</p><p>Exemplo 9</p><p>Vamos analisar</p><p>Como x2 + y2 se aproxima de 0 quando (x, y) tende a (0,0), não podemos</p><p>fazer a substituição direta, pois isso anularia o denominador.</p><p>Observe o Quadro 1, que exibe os valores de para pontos</p><p>próximos de (0, 0).</p><p>y</p><p>x</p><p>–1 –0,5 –0,3 –0,1 0 0,1 0,3 0,5 1</p><p>–1 0,000 0,600 0,835 0,980 1,000 0,980 0,835 0,600 0,000</p><p>–0,5 –0,600 0,000 0,471 0,923 1,000 0,923 0,471 0,000 –0,600</p><p>–0,3 –0,835 –0,471 0,000 0,800 1,000 0,800 0,000 –0,471 –0,835</p><p>–0,1 –0,980 –0,923 –0,800 0,000 1,000 0,000 –0,800 –0,923 –0,980</p><p>0 –1,000 –1,000 –1,000 –1,000 –1,000 –1,000 –1,000 –1,000</p><p>0,1 –0,980 –0,923 –0,800 0,000 1,000 0,000 –0,800 –0,923 –0,980</p><p>0,3 –0,835 –0,471 0,000 0,800 1,000 0,800 0,000 –0,471 –0,835</p><p>0,5 –0,600 0,000 0,471 0,923 1,000 0,923 0,471 0,000 –0,600</p><p>1 0,000 0,600 0,835 0,980 1,000 0,980 0,835 0,600 0,000</p><p>Quadro 1. Valores de para x e y variando entre –1 e 1</p><p>Limites e continuidade em várias variáveis10</p><p>Observe que à medida (x, y) se aproxima de (0, 0), a função não se aproxima</p><p>de valor algum. Os valores que a função assume variam. Por exemplo:</p><p>f(0,1; 0) = 1</p><p>f(0,1; 0,1) = 0</p><p>f(0; 0,1) = –1</p><p>Nesse caso, dizemos que o limite não existe.</p><p>Como visto na definição de limite, a função f tem limite L se, à medida</p><p>que (x, y) se aproxima de (x0, y0), temos que f fica cada vez mais próximo de</p><p>L, independentemente do modo (caminho) como (x, y) tende a (x0, y0).</p><p>Exemplo 10</p><p>Vamos mostrar que o limite não existe.</p><p>Aproximemos de (0, 0) pelo eixo x. Tomando y = 0, temos:</p><p>Assim, f(x, y) → 1 quando (x, y) → (0,0) ao longo do eixo x.</p><p>Vamos aproximar agora de (0,0) pelo eixo y. Tomando x = 0, temos:</p><p>Assim, f(x, y) → –1 quando (x, y) → (0, 0) ao longo do eixo y.</p><p>Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o</p><p>limite não existe, comprovando o resultado do exemplo anterior.</p><p>11Limites e continuidade em várias variáveis</p><p>Exemplo 11</p><p>Determine</p><p>Basta fazer a substituição direta do ponto (x, y, z) por (0,0,0) na função</p><p>f = :</p><p>Os limites são utilizados no cálculo diferencial e em outros ramos da</p><p>matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. Emprega-</p><p>mos o conceito de limite para descrever o comportamento de uma função à</p><p>medida que suas variáveis se aproximam de determinado valor, assim como</p><p>o comportamento de uma sequência de números reais à medida que o índice</p><p>cresce, tendendo para o infinito.</p><p>ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo, volume 2. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. 608 p.</p><p>Leituras recomendadas</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo, volume II. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.</p><p>688 p.</p><p>AYRES JUNIOR, F.; MENDELSON, E. Cálculo: mais de 1000 problemas resolvidos. 5. ed.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2013. 544 p. (Coleção Schaum).</p><p>STEWART, J. Cálculo, volume 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 1154 p.</p><p>THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo, volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.</p><p>548 p.</p><p>Referência</p><p>Limites e continuidade em várias variáveis12</p><p>CÁLCULO II</p><p>Cristiane da Silva</p><p>Sequências e séries infinitas</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Explicar sequência e convergência, bem como os demais conceitos</p><p>relacionados.</p><p>� Reconhecer a convergência de uma sequência.</p><p>� Usar o teorema do confronto.</p><p>Introdução</p><p>Um ramo importante do cálculo é a teoria das séries infinitas. Elas forne-</p><p>cem uma nova perspectiva das funções e de muitos números — como</p><p>exemplos, podemos mencionar a série de Gregory-Leibniz e a série</p><p>infinita da função exponencial. A primeira revela que o número irracional</p><p>π está relacionado com os recíprocos dos inteiros ímpares de maneira</p><p>inesperada, enquanto a segunda mostra que a função f(x) = ex pode ser</p><p>expressa como um polinômio infinito.</p><p>Séries como essas são bastante utilizadas em aplicações, tanto na</p><p>parte computacional quanto na análise de funções. Se você pensar no</p><p>termo “sequência” em uma linguagem mais informal, verá que significa</p><p>uma sucessão de coisas em uma ordem determinada, por exemplo, a</p><p>ordem cronológica, a ordem de tamanho ou a lógica.</p><p>Neste capítulo, você conhecerá o conceito de sequência e conver-</p><p>gência, e verá como reconhecer a convergência de uma sequência.</p><p>Para isso, são retomados conceitos envolvendo sequências e séries</p><p>que são necessários para o entendimento do assunto em estudo. Você</p><p>encontrará neste capítulo diversas ilustrações que procuram elucidar</p><p>adequadamente o foco do estudo. Além disso, verá exemplos resolvidos</p><p>para facilitar a compreensão, bem como informações importantes para</p><p>ampliar o conhecimento.</p><p>1 Sequências</p><p>Rogawski (2009) destaca que as sequências de números podem ser percebidas</p><p>em situações diversas. Para compreendê-las, pense em uma situação bem</p><p>simples. Imagine, por exemplo, que precisa dividir uma pizza pela metade, que</p><p>você mais uma vez divide pela metade, e continua dividindo indefinidamente</p><p>pela metade, como mostra a Figura 1. Assim, a fração de pizza deixada em</p><p>cada estágio forma a sequência Isso é a sequência de valores de</p><p>, para n = 0, 1, 2, ...</p><p>Figura 1. Exemplo de sequência.</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 535).</p><p>Entende-se uma sequência como uma função f(n) cujo domínio é um sub-</p><p>conjunto dos inteiros, onde os valores an = f(n) são denominados termos da</p><p>sequência e n é o índice. Informalmente, pensamos na sequência como uma</p><p>coleção de valores {an} ou uma lista de termos: a1, a2, a3, a4, ... Quando an</p><p>for dado por uma fórmula, costumamos dizer que an é o termo geral (RO-</p><p>GAWSKI, 2009).</p><p>Sequências e séries infinitas2</p><p>Observe na Figura 2 alguns termos gerais, domínios e a sua respectiva sequência.</p><p>Figura 2. Exemplos de termo geral, domínio e sequência.</p><p>Fonte: Adaptada de Rogawski (2009, p. 535).</p><p>A sequência , conhecida como série de Balmer na física e na química,</p><p>desempenha um papel importante na espectroscopia. Os termos dessa sequência</p><p>são os comprimentos de onda de absorção do átomo de hidrogênio em nanômetros.</p><p>Você verá a seguir um exemplo de sequência em que os termos são definidos</p><p>recursivamente. É dado o primeiro termo, e o enésimo termo an é calculado</p><p>usando o precedente an–1.</p><p>Calcule a2, a3, a4 para a sequência definida recursivamente por a1 = 1, .</p><p>Solução:</p><p>3Sequências e séries infinitas</p><p>Essa sequência é reconhecida como a sequência de aproximações de √2– ≈ 1,4142136,</p><p>produzida pelo método de Newton com valor inicial a1 = 1: quando n tende ao infinito,</p><p>an tende a √2– (ROGAWSKI, 2009).</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 536).</p><p>As sequências têm um padrão definido, e isso torna fácil gerar termos</p><p>adicionais. No entanto, você precisa ter cuidado, pois esses padrões podem</p><p>ser ilusórios; por isso, é melhor ter uma regra ou fórmula para gerar os termos.</p><p>Uma maneira de fazer isso é procurar uma função que relacione cada termo</p><p>da sequência ao número da sua posição.</p><p>Pensando na sequência 2, 4, 6, 8, …, temos que cada termo é o dobro do</p><p>número da sua posição, ou seja, o enésimo termo da sequência é dado pela</p><p>fórmula 2n. Denotamos isso escrevendo a sequência como 2, 4, 6, 8, …, 2n,</p><p>…, e dizemos que a função f(n) = 2n é o termo geral dessa sequência. Assim,</p><p>se quisermos saber um termo qualquer dela, precisamos apenas substituir o</p><p>número de posição na fórmula do termo geral — por exemplo, o 41-ésimo</p><p>termo da sequência é 2 · 41 = 82 (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).</p><p>Em cada parte, determine o termo geral da sequência.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d) 1, 3, 5, 7, …</p><p>Solução:</p><p>a) Na Figura 3, os quatro termos conhecidos foram colocados abaixo do seu número</p><p>de posição. Veja que o numerador é igual ao número de posição, e o denominador</p><p>é o número de posição mais 1. Isso sugere que o enésimo termo tem o numerador n</p><p>e o denominador é n + 1, conforme indicado na figura. Assim, a sequência pode ser</p><p>expressa como</p><p>Sequências e séries infinitas4</p><p>Figura 3. Representação da sequência</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 597).</p><p>b) Na Figura 4, os denominadores dos quatro termos conhecidos foram expressos</p><p>como potências de 2 e colocados abaixo do seu número de posição. Veja que o expo-</p><p>ente no denominador é igual ao número de posição. Isso sugere que o denominador</p><p>do enésimo termo é 2n, conforme indicado na figura. Assim, a sequência pode ser</p><p>expressa como</p><p>Figura 4. Representação da sequência</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 597).</p><p>c) Essa sequência é idêntica à mostrada em (a), exceto pelos sinais alterados. Assim,</p><p>o enésimo termo da sequência pode ser obtido multiplicando-se o enésimo termo da</p><p>parte (a) por (–1)n+1. Esse fator produz corretamente os sinais alterados, uma vez que os</p><p>seus valores sucessivos, começando com n = 1, são 1, –1, 1, –1, … Assim, a sequência</p><p>pode ser escrita como</p><p>d) Na Figura 5, os denominadores dos quatro termos conhecidos foram colocados</p><p>abaixo dos seus números de posição. Veja que cada termo é 1 a menos do que o</p><p>dobro do seu número de posição. Isso sugere que o enésimo termo da sequência é</p><p>2n – 1, conforme indicado na figura. Assim, a sequência pode ser expressa como 1,</p><p>3, 5, 7, …, 2n – 1, …</p><p>Figura 5. Representação da sequência 1, 3, 5, 7, …, 2n – 1, …</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 597).</p><p>5Sequências e séries infinitas</p><p>Quando o termo geral de uma sequência a1, a2, a3, …, an, … for conhecido, não há</p><p>necessidade de escrever os termos iniciais. Nesse caso, é comum escrever somente</p><p>o termo geral envolvido por chaves, ou seja, ou . A letra n é chamada</p><p>de índice da sequência, e não é essencial usar n como índice; qualquer letra que não</p><p>estiver reservada para outros propósitos pode ser usada.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 597–598).</p><p>Na próxima seção, você verá como reconhecer a convergência de uma</p><p>sequência, a partir de definições, teoremas e exemplos.</p><p>2 Convergência de uma sequência</p><p>Rogawski (2009, p. 536) define a convergência de uma sequência da seguinte</p><p>forma: “Uma sequência {an} converge a um limite L, e escrevemos</p><p>ou an → L se, para cada ϵ > 0, existir um número M tal que |an – L| < ϵ, para</p><p>todo n > M. Se não existir um limite, dizemos que {an} diverge”. Veja a seguir</p><p>um exemplo demonstrando a convergência de uma sequência.</p><p>Seja an = . Prove formalmente que an = 1.</p><p>Solução:</p><p>A definição exige que encontremos, para cada ϵ > 0, um número M tal que |an – 1| < ϵ.</p><p>Para todo n > M, temos:</p><p>Portanto, |an – 1| < ϵ se:</p><p>Segue que |an – 1| < ϵ é válido com . Por exemplo, se ϵ = 0,01, então</p><p>podemos tomar . Assim, |an – 1| < 0,01 para n = 300, 301, 302, …</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 536).</p><p>Sequências e séries infinitas6</p><p>É possível visualizar a sequência traçando o seu gráfico, como mostra a</p><p>Figura 6.</p><p>Figura 6. Gráfico de uma sequência com limite L.</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 536).</p><p>Note que a sequência converge para um limite L e, para cada ϵ > 0, os</p><p>pontos esboçados acabam sempre ficando dentro da faixa de largura ϵ para</p><p>cada lado da reta horizontal y = L, como mostra a Figura 6. A Figura 7 mostra</p><p>o gráfico de uma sequência convergente a L = 1. Cabe destacar que é possível</p><p>mostrar que a sequência an = cos n, conforme mostra a Figura 8, não tem</p><p>limite (ROGAWSKI, 2009).</p><p>Figura 7. A sequência an = .</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 537).</p><p>7Sequências e séries infinitas</p><p>Figura 8. A sequência an = cos n não tem limite.</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 537).</p><p>O limite não muda quando se modifica ou ignora um número finito de</p><p>termos</p><p>da sequência. Além disso, se C for uma constante e an = C para todo n</p><p>suficientemente grande, então . Suponha agora que f(x) seja uma</p><p>função e que ela tenda a um limite L quando x → ∞. Nesse caso, a sequência</p><p>an = f(n) tende ao mesmo limite L, como você pode ver na Figura 9. Nesse</p><p>caso, para todo ϵ > 0, podemos encontrar M tal que | f(x) – L| < ϵ para todo</p><p>x > M. Portanto, segue que | f(n) – L| < ϵ para todos os inteiros n > M.</p><p>Figura 9. Se f(x) convergir a L, então a sequência an = f(n) também</p><p>converge a L.</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 537).</p><p>Sequências e séries infinitas8</p><p>Sabendo que as sequências são funções, pode-se pensar nos seus limites.</p><p>No entanto, como a sequência {an} está definida somente para valores inteiros</p><p>de n, o único limite que faz sentido é o de an quando n → + ∞. A Figura 10</p><p>mostra os gráficos de quatro sequências, cada uma se comportando de maneira</p><p>diferente quando n → + ∞ (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).</p><p>Figura 10. Gráficos de sequências.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 599).</p><p>Anton, Bivens e Davis (2014, p. 599) explicam os seguintes aspectos.</p><p>� Os termos na sequência {n + 1} crescem sem cota.</p><p>� Os termos na sequência {(–1)n+1} oscilam entre –1 e 1.</p><p>� Os termos na sequência crescem em direção a um “valor</p><p>limite” de 1.</p><p>� Os termos na sequência também tendem a um “valor</p><p>limite” de 1, mas o fazem de forma oscilatória.</p><p>Informalmente, o limite de uma sequência {an} pretende descrever como</p><p>an se comporta quando n → + ∞. Dizemos que uma sequência {an} tende a</p><p>um limite L se os termos da sequência se tornarem arbitrariamente próximos</p><p>de L (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).</p><p>9Sequências e séries infinitas</p><p>Uma sequência geométrica é uma sequência da forma an = crn, onde c e r</p><p>são constantes não nulas. Por exemplo, se c = 2 e r = 3, obtemos a sequência</p><p>geométrica 2, 2 ∙ 3, 2 ∙ 32, 2 ∙ 33, 2 ∙ 34, 2 ∙ 35, … O número r é denominado</p><p>razão comum aos termos. Cada termo an é r vezes o termo precedente an–1, ou</p><p>seja, . Assim, dizemos que {an} diverge ou tende a ∞, e escrevemos</p><p>, se os termos an crescem sem cota, ou seja, se, para cada N > 0,</p><p>temos an > N para todo n suficientemente grande (ROGAWSKI, 2009). Veja</p><p>um exemplo de uma sequência geométrica.</p><p>Prove que:</p><p>Solução:</p><p>Aplicamos à função exponencial f(x) = rx. Se 0 < r < 1, então</p><p>Analogamente, se r > 1, então f(x) tende a ∞ quando x → ∞, de modo que {rn} também</p><p>diverge a ∞. Se r = 1, então rn = 1 para todo n, e o limite é 1.</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 538).</p><p>Na próxima seção, você poderá aprofundar o estudo das sequências e séries</p><p>infinitas a partir do teorema do confronto.</p><p>3 Teorema do confronto</p><p>O teorema do confronto para sequências diz o seguinte: sejam {an}, {bn},</p><p>{cn} sequências tais que, para algum número M, bn ≤ an ≤ cn para n > M e</p><p>. Então (ROGAWSKI, 2009). Veja a seguir</p><p>alguns exemplos de aplicação do teorema do confronto.</p><p>Sequências e séries infinitas10</p><p>Exemplo 1</p><p>Mostre que, se , então .</p><p>Solução:</p><p>Temos:</p><p>–|an| ≤ an ≤ |an|</p><p>Como |an| tende a zero, –|an| também tende a zero, e o teorema do confronto decorre</p><p>de .</p><p>Exemplo 2</p><p>Na aplicação do teorema do confronto deste exemplo, vamos provar que, dado</p><p>qualquer R, realmente tende a zero. Prove que para todo R.</p><p>Solução:</p><p>Podemos supor que R > 0. Então existe um único inteiro M ≥ 0, tal que M ≤ R < M + 1.</p><p>Para n > M, escrevemos como um produto de n fatores:</p><p>Os primeiros M fatores são ≥ 1, e os últimos n – M fatores são < 1. Se agruparmos</p><p>os primeiros M fatores e denotarmos esse produto por C, omitindo todos os demais</p><p>fatores, exceto o último , obteremos:</p><p>Como , o teorema do confronto garante que .</p><p>Fonte: Rogawski (2009, p. 539–540).</p><p>11Sequências e séries infinitas</p><p>Anton, Bivens e Davis (2014) usam uma representação gráfica para explicar</p><p>o teorema do confronto, como você pode observar na Figura 11.</p><p>Figura 11. Se an → L e cn → L, então bn → L.</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 602).</p><p>De acordo com Anton, Bivens e Davis (2014), esse teorema é útil para</p><p>encontrar limites de sequências que não podem ser obtidos diretamente. Veja</p><p>os exemplos do uso do teorema do confronto propostos pelos autores.</p><p>Exemplo 1</p><p>Use uma evidência numérica para fazer uma conjectura sobre o limite da sequência:</p><p>e confirme que ela está correta.</p><p>Solução:</p><p>O quadro a seguir, obtido com um recurso computacional, sugere que o limite da</p><p>sequência possa ser zero.</p><p>Sequências e séries infinitas12</p><p>n</p><p>1 1,0000000000</p><p>2 0,5000000000</p><p>3 0,2222222222</p><p>4 0,0937500000</p><p>5 0,0384000000</p><p>6 0,0154320988</p><p>7 0,0061198990</p><p>8 0,0024032593</p><p>9 0,0009366567</p><p>10 0,0003628800</p><p>11 0,0001399059</p><p>12 0,0000537232</p><p>Para confirmar isso, precisamos examinar o limite de quando n → +∞. Embora</p><p>isso seja uma forma indeterminada do tipo ∞⁄∞, a regra de L’Hôpital não ajuda, pois</p><p>não temos definição de x! com valores não inteiros de x. No entanto, vamos escrever</p><p>alguns termos da sequência:</p><p>Se n = 1, podemos reescrever o termo geral como:</p><p>do que segue que . Agora é evidente que 0 ≤ . Entretanto, as duas</p><p>expressões de fora têm o limite zero quando n → +∞. Assim, o teorema do confronto</p><p>para sequências implica que an → 0 quando n → +∞, o que confirma a nossa conjectura.</p><p>Exemplo 2</p><p>Considere a sequência Se tomarmos o valor absoluto</p><p>de cada termo, obteremos a sequência que converge para zero.</p><p>Assim, temos:</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 603–604).</p><p>13Sequências e séries infinitas</p><p>Neste capítulo, você viu que as sequências e séries infinitas desempenham</p><p>um papel importante na matemática e nas ciências. Além disso, estudou</p><p>exemplos envolvendo os conceitos, teoremas e definições aprendidas, que</p><p>possibilitaram a aplicação dos conhecimentos de sequências e séries infinitas.</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2.</p><p>ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. 2 v.</p><p>Sequências e séries infinitas14</p><p>a repre-</p><p>sentação de intervalos disjuntos. Nesse sentido, considere o seguinte conjunto</p><p>A = {x ∈ x|–2 ≤ x < 8}, a representação do complementar de Ac, é dada por:</p><p>� Notação intervalar: (–∞, –2) ∪ [8, +∞)</p><p>� Notação conjunto: {x ∈ ℝ|x < –2 ou x ≥ 8}</p><p>� Gráfico:</p><p>–2 8</p><p>O Quadro 1 traz as principais formas de se representar um subconjunto de ℝ.</p><p>Quadro 1. Subconjuntos de ℝ e suas representações</p><p>Tipo de intervalo Representação Observação</p><p>Intervalo fechado [a; b] = {x ∈ ℝ|a ≤ x ≤ b} Os limitantes a, b estão</p><p>incluídos no subconjunto</p><p>Intervalo aberto (a; b) = {x ∈ ℝ|a < x < b} Os limitantes a, b não estão</p><p>incluídos no subconjunto</p><p>(Continua)</p><p>Conjuntos numéricos 13</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Tipo de intervalo Representação Observação</p><p>Intervalo fechado</p><p>à esquerda</p><p>[a; b) = {x ∈ ℝ|a ≤ x < b} O limitante a está incluído no</p><p>subconjunto</p><p>Intervalo fechado</p><p>à direita</p><p>(a; b] = {x ∈ ℝ|a < x ≤ b} O limitante b está incluído no</p><p>subconjunto</p><p>Intervalo</p><p>semifechado</p><p>[a; ∞) = {x ∈ ℝ|x ≥ a} Todos os valores maiores ou</p><p>iguais a a</p><p>Intervalo</p><p>semifechado</p><p>(–∞; a] = {x ∈ ℝ|x ≤ a} Todos os valores menores ou</p><p>iguais a a</p><p>Intervalo</p><p>semifechado</p><p>(a; ∞) = {x ∈ ℝ|x > a} Todos os valores maiores do</p><p>que a</p><p>Intervalo</p><p>semifechado</p><p>(a; ∞) = {x ∈ ℝ|x < a} Todos os valores menores do</p><p>que a</p><p>É comum entre os estudantes a representação de forma incorreta</p><p>de um subconjunto dos números reais. Nesse sentido, evite o tipo</p><p>de representação mostrado a seguir.</p><p>(2, 5] = {3, 4, 5} = [3, 5]</p><p>Observe que as duas últimas igualdades são incorretas para representarem</p><p>o intervalo (2, 5] ⊂ ℝ.</p><p>Números reais e suas operações</p><p>Os números reais (ℝ) representam o conjunto de maior importância para a</p><p>matemática devido às suas inúmeras propriedades, entre elas, a de ser um</p><p>conjunto numérico denso. No entanto, de nada adianta se ter um conjunto</p><p>cujo número de elementos é enumerável se esses elementos não puderem ser</p><p>operacionalizados. Nesse ponto, o conjunto dos números reais mostra todo</p><p>o seu potencial, pois esse conjunto, quando munido das operações de soma</p><p>e produto, satisfaz a definição de um corpo algébrico. Para o conjunto dos</p><p>números reais, são válidas as operações/propriedades constantes no Quadro 2.</p><p>(Continuação)</p><p>Conjuntos numéricos 14</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Quadro 2. Propriedades do corpo dos reais</p><p>Propriedade Descrição</p><p>(A1) Fechamento sob adição Se a e b pertencem a ℝ, então, a + b</p><p>pertence a ℝ</p><p>(A2) Associatividade da</p><p>adição</p><p>Para todo a, b, c em ℝ, então, é válida a</p><p>igualdade a + (b + c) = (a + b) + c</p><p>(A3) Identidade aditiva Existe um unido 0 ∈ ℝ, tal que, a + 0 = 0 + a</p><p>= a para todo a ∈ ℝ</p><p>(A4) Inverso aditivo Para cada a ∈ 𝕊, existe um elemento a ∈ ℝ,</p><p>tal que, a + (–a) = (–a) + a = 0</p><p>(A5) Comutatividade da</p><p>adição</p><p>Para todo a, b ∈ ℝb, tem-se a + b = b + a</p><p>(M1) Fechamento da</p><p>multiplicação</p><p>Para todo a, b ∈ ℝ, tem-se a * b ∈ ℝ</p><p>(M2) Associatividade da</p><p>multiplicação</p><p>Para todo a, b, c ∈ ℝ, tem-se (a * b) * c = a *</p><p>(b * c) ∈ ℝ</p><p>(M3) Comutatividade da</p><p>multiplicação</p><p>Para todo a, b ∈ ℝ, tem-se (a * b) = (a * b)</p><p>∈ 𝕊</p><p>(M4) Identidade da</p><p>multiplicação</p><p>Existe um elemento 1 em ℝ, tal que, para</p><p>todo a ∈ ℝ, tem-se a * 1 = 1 * a = a</p><p>(M5) Sem divisores por zero Para todo a, b ∈ ℝ, se a * b = 0, então, a = 0</p><p>ou b = 0</p><p>(M6) Inverso multiplicativo Para todo a ≠ 0 ∈ ℝ, existe um elemento</p><p>a-1 ∈ ℝ, tal que, a * a–1 = a–1 * a = 1</p><p>MD Distributividade Para todo a, b, c ∈ ℝ, é válida a igualdade</p><p>a(b + c) = a * b + a * c = b * c + c * a = (b + c) * a</p><p>A partir das propriedades anteriores, obtém-se as regras de potenciação</p><p>e radicação, as quais são ferramentas fundamentais para a matemática.</p><p>Conjuntos numéricos 15</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Propriedades de potenciação. Dados m, n ∈ ℕ e a, b ∈ ℝ, tem-se:</p><p>A potenciação tem alguns casos especiais, os quais são apresentados</p><p>a seguir.</p><p>a1 = a</p><p>1n = 1</p><p>0n = 0</p><p>a0 = 1</p><p>Além das propriedades de potenciação, tem-se também as propriedades</p><p>das radiciações que constituem uma importante ferramenta matemática.</p><p>A seguir, são apresentadas essas propriedades.</p><p>Conjuntos numéricos 16</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>No que se refere às regras de radiciação, tem-se: dado a, b ∈ ℝ+, m</p><p>∈ ℤ, n, p ∈ ℕ*.</p><p>A seguir, você aprenderá a operacionalizar essas propriedades com uma</p><p>série de exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Considerando que a expressão a seguir esteja bem definida, simplifique-a:</p><p>Exemplo 2:</p><p>Considerando que a expressão a seguir esteja bem definida, simplifique-a:</p><p>Conjuntos numéricos 17</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>Exemplo 3:</p><p>Considerando que a expressão a seguir esteja bem definida, simplifique-a:</p><p>Exemplo 4:</p><p>Considerando que a expressão a seguir esteja bem definida, simplifique-a:</p><p>Referências</p><p>CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Tip. Matemática, 1989.</p><p>GALVÃO, C. Conjuntos numéricos. Jandaia do Sul: UFPR, 2017. Notas de aula das disci-</p><p>plinas Pré-Cálculo e Matemática I, do curso de Computação, da Universidade Federal</p><p>do Paraná. Disponível em: https://docs.ufpr.br/~cegalvao/ensino/2017_1/JLC048/Con-</p><p>juntos_Numericos.pdf. Acesso em: 6 nov. 2020.</p><p>IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Conjunto-elemento-persistência. In: IEZZI, G.; MURAKAMI, C.</p><p>Fundamentos de matemática elementar: volume 1: conjuntos e funções. 7. ed. São</p><p>Paulo: Atual, 2013. p. 18-19. Disponível em: https://www.doraci.com.br/downloads/</p><p>matematica/fund-mat-elem_01.pdf. Acesso em: 6 nov. 2020.</p><p>LIMA, E. L. Análise real. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1977. v. 1</p><p>Leituras recomendadas</p><p>BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à lógica matemática.</p><p>São Paulo: Cengage Learning, 2011.</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS e a Reta Numérica – Professora Angela. [S. l.: s. n.]. 2017. 1 vídeo</p><p>(21 min). Publicado pelo canal Professora Angela Matemática. Disponível em: https://</p><p>www.youtube.com/watch?v=VdWrKjdUu98&ab_channel=ProfessoraAngelaMatem%C</p><p>3%A1tica. Acesso em: 6 nov. 2020.</p><p>NÚMEROS NATURAIS, inteiros, racionais, irracionais e reais. [S. l.: s. n.]. 2020. 1 vídeo</p><p>(9 min). Publicado pelo canal Professora Angela Matemática. Disponível em: https://</p><p>www.youtube.com/watch?v=1nXjvLXDH4k&ab_channel=ProfessoraAngelaMatem%C3</p><p>%A1tica. Acesso em: 6 nov. 2020.</p><p>O CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS (Z). [S. l.: s. n.]. 2016. 1 vídeo (8 min). Publicado</p><p>pelo canal Professora Angela Matemática. Disponível em: https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=fmiw3ksXOmk&ab_channel=ProfessoraAngelaMatem%C3%A1tica. Acesso</p><p>em: 6 nov. 2020.</p><p>Conjuntos numéricos 18</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS. [S. l.: s. n.]. 2016. 1 vídeo (5 min). Publicado</p><p>pelo canal Professora Angela Matemática. Disponível em: https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=1JT_0FyzPzA&ab_channel=ProfessoraAngelaMatem%C3%A1tica. Acesso em:</p><p>6 nov. 2020.</p><p>RETA REAL – Aula 6 – Curso de Conjuntos – Professora Angela. [S. l.: s. n.]. 2020. 1 vídeo</p><p>(12 min). Publicado pelo canal Professora Angela Matemática. Disponível em: https://</p><p>www.youtube.com/watch?v=wwqH-srELA4&ab_channel=ProfessoraAngelaMatem%C</p><p>3%A1tica. Acesso em: 6 nov. 2020.</p><p>Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos</p><p>testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da</p><p>publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas</p><p>páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os edito-</p><p>res declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou</p><p>integralidade das informações referidas em tais links.</p><p>Conjuntos numéricos 19</p><p>Identificação interna do documento XISJJRS28N-2SMX3O1</p><p>FUNDAMENTOS</p><p>DE MATEMÁTICA</p><p>Luciana Maria Margoti Araujo</p><p>Operações com números</p><p>reais e intervalos numéricos</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Reconhecer o conjunto dos números reais.</p><p>� Identificar as propriedades e operações com números reais.</p><p>� Associar</p><p>os três tipos de intervalos numéricos.</p><p>Introdução</p><p>Neste capítulo, você aprenderá sobre o conjunto dos números reais</p><p>e verificará que ele é uma reunião de vários subconjuntos numéricos.</p><p>Dessa maneira, é possível utilizar as notações da teoria de conjuntos</p><p>para relacionar o conjunto dos números reais com os demais conjuntos.</p><p>Dentro dos números reais, podemos estabelecer relações de igual-</p><p>dade ou desigualdade entre seus elementos, facilitando o entendimento</p><p>da representação no eixo real. Os conjuntos numéricos podem ser re-</p><p>presentados em notação de conjuntos utilizando chaves e colchetes, ou</p><p>sobre a reta ordenada, em que os números ficam dispostos em ordem</p><p>crescente.</p><p>Conjunto dos números reais</p><p>O conjunto dos números reais (R) é formado por todos os números racionais</p><p>e irracionais. Por sua vez, os conjuntos dos números racionais e irracionais</p><p>abrangem outros conjuntos que podem ser verificados a seguir.</p><p>O conjunto dos números naturais é aquele formado pelos números 0, 1, 2, ...</p><p>ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}</p><p>Na sequência, observe o conjunto dos números inteiros, representado por</p><p>Z, formado por números inteiros, positivos e negativos.</p><p>ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>O conjunto dos números racionais (ℚ) é composto por números que tam-</p><p>bém podem assumir valores positivos e negativos. Porém, nesse conjunto, as</p><p>frações numéricas são incorporadas. Esses números podem estar representados</p><p>na forma de fração ou decimal. No conjunto dos números racionais, estão</p><p>também presentes as dízimas periódicas simples e compostas, sendo esses</p><p>originados de uma fração possível de ser reescrita na forma a/b, em que a e</p><p>b são números inteiros, e b ≠ 0.</p><p>ℚ = {..., –2, ..., –1,25, ..., –1, ... –0,33, ... 0, ...1, ... , ..., 2, ...}15</p><p>13</p><p>Por fim, vem o conjunto dos números irracionais (𝕀), que são os decimais</p><p>que não podem ser representados em forma de uma fração. Por exemplo, o</p><p>número π, √p , sendo p um número positivo, sem raiz quadrada exata, etc.</p><p>� = {..., –√2, ..., √2, ... �, ...}</p><p>Podemos dizer que todos esses conjuntos descritos são subconjuntos do</p><p>conjunto dos números reais. A relação desses subconjuntos, entre si, está</p><p>demonstrada na Figura 1. Todos eles estão contidos em R:</p><p>ℝ = 𝕀 ∪ ℚ</p><p>Figura 1. Representação dos conjuntos dos números racionais e irracionais.</p><p>�</p><p>ℤ</p><p>ℕ</p><p>ℚ</p><p>Operações com números reais e intervalos numéricos2</p><p>Para o conjunto dos números reais, também são válidas todas as notações</p><p>da teoria de conjuntos. Você pode verificar, de acordo com a Figura 1, que o</p><p>conjunto Q está contido no conjunto R, ou simplesmente:</p><p>ℚ ⊂ ℝ</p><p>ou, ainda, que o conjunto dos números irracionais, I, unido ao conjunto</p><p>dos números racionais, Q, resulta no conjunto dos números reais:</p><p>𝕀 ∪ ℚ = ℝ</p><p>Essas mesmas relações da teoria de conjuntos podem ser utilizadas com</p><p>os elementos que compõem o conjunto dos números reais, R.</p><p>Considerando as opções a seguir, quais são verdadeiras?</p><p>a) ℕ ⊂ 𝕀</p><p>b) ℝ ∪ ℚ= ℝ</p><p>c) (–7) ∉ ℝ</p><p>d) ℝ ∩ 𝕀 = 𝕀</p><p>As alternativas (b) e (d) estão corretas. Em (b), a união entre o conjunto dos números</p><p>reais com o conjunto dos números racionais é o próprio conjunto dos números reais.</p><p>Já em (d), a interseção, ou o que há de comum, entre o conjunto dos números reais</p><p>e o conjunto dos números irracionais é o próprio conjunto dos números irracionais.</p><p>Do exercício anterior, reescreva as relações que você julgou como falsas de forma</p><p>a torná-las verdadeiras.</p><p>Transformando as opções (a) e (c) em afirmações verdadeiras:</p><p>� ℕ ⊂ ℚ</p><p>� (–7) ∈ ℝ</p><p>Propriedades e operações com números reais</p><p>a) Propriedades dos números reais</p><p>3Operações com números reais e intervalos numéricos</p><p>Ao realizar operações matemáticas com os números reais, as proprieda-</p><p>des básicas utilizadas com qualquer outro conjunto numérico também</p><p>se aplicam. Na sequência, você relembrará e exercitará um pouco cada</p><p>uma dessas propriedades e verá alguns exemplos.</p><p>Não existe divisão de um número real por zero:</p><p>a</p><p>0 = ∄, ∀ a ∈ ℝ</p><p>–4</p><p>0 = ∄</p><p>Zero dividido por qualquer número real será sempre zero:</p><p>0</p><p>a = 0, ∀ a ∈ ℝ</p><p>0</p><p>7 = 0 ; = 00</p><p>–10</p><p>Qualquer número real, diferente de zero e elevado a zero, valerá 1:</p><p>a0 = 1, ∀ a ∈ ℝ</p><p>50 = 1 ; (–9)0 = 1</p><p>Existe raiz de índice par somente para os números reais positivos:</p><p>√b, ∀ b ∈ ℝ+n</p><p>n sendo um número par:</p><p>√16 = 2 ; √–16 = ∄ em ℝ</p><p>√–81 = ∄ em ℝ</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>Operações com números reais e intervalos numéricos4</p><p>Qualquer número real, positivo ou negativo, elevado a um expoente</p><p>par, sempre resultará em um número real positivo:</p><p>(a)n > 0, ∀ a ∈ ℝ, sendo n um número par”?</p><p>(5)4 = 625 ; (–9)2 = 81</p><p>No conjunto dos números reais, uma multiplicação de potências de</p><p>mesma base apresentará como resultado na conservação da base, com</p><p>a soma dos expoentes:</p><p>am × an = am+n</p><p>(–3)5 × (–3)3 = (–3)5+3 = (–3)8 = 6.561</p><p>No conjunto dos números reais, uma divisão de potências de mesma base</p><p>apresentará como resultado na conservação da base, com a subtração</p><p>dos expoentes:</p><p>27 ÷ 24 = 27–4 = 23 = 8</p><p>Sempre que um número real estiver representado com uma potência</p><p>de potência, conserve a base e multiplique os expoentes:</p><p>(am)n = am×n</p><p>[(–17)3]3 = (–17)3×3 = (–17)9 = –118.587.876.497</p><p>Potência de sinal negativo inverte o número que está sob a potência,</p><p>caso mude o sinal:</p><p>( )a</p><p>b( )</p><p>–m b</p><p>a</p><p>m</p><p>= , A a, b ≠ 0</p><p>= = (–3)2 = 9</p><p>–3</p><p>9( ) ( )–2 29</p><p>–3</p><p>5Operações com números reais e intervalos numéricos</p><p>É possível transformar uma operação de radiciação em uma de poten-</p><p>ciação, da seguinte maneira:</p><p>√an = an/m</p><p>√(–6)2 = |–6|2/4 ≈ 2,4495</p><p>m</p><p>4</p><p>É preciso estar atento, pois se o índice for par e o resultado da potência</p><p>que está no radicando for negativo, essa propriedade não pode ser aplicada.</p><p>Por exemplo:</p><p>6 3( ― 5) ∉</p><p>Existe raiz de índice ímpar, cujo radicando é um número real negativo:</p><p>√–7.776 = –65</p><p>b) Operações com números reais</p><p>Para realizar as operações matemáticas, inclusive no uso das proprieda-</p><p>des que você acabou de verificar, algumas regras devem ser seguidas.</p><p>Acompanhe, a seguir, como operar em relação aos sinais (positivo e</p><p>negativo) dos números reais.</p><p>Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompa-</p><p>nham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado</p><p>permanecerá com o mesmo sinal:</p><p>+4 +7 = +11</p><p>–9 –2 = –11</p><p>Operações com números reais e intervalos numéricos6</p><p>Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompanham</p><p>os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado</p><p>apresentará o mesmo sinal do número com maior módulo:</p><p>+7 –2 = +5</p><p>–11 + 4 = –7</p><p>–2,35 + 8 = +5,65</p><p>Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acom-</p><p>panham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado</p><p>apresentará sinal positivo (+):</p><p>(–7) × (–3,7) = +25,9</p><p>(+6,3) × (+9) = +56,7</p><p>(–50) ÷ (–2,5) = 20</p><p>(+50) ÷ (+5) = +10</p><p>Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acompa-</p><p>nham os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado</p><p>apresentará sinal negativo (–):</p><p>(–7) × (+3,7) = –25,9</p><p>(–6,3) × (+9) = –56,7</p><p>(+50) ÷ (–2,5) = –20</p><p>(+50) ÷ (–5) = –10</p><p>7Operações com números reais e intervalos numéricos</p><p>Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que</p><p>está entre parênteses; após, a que está entre colchetes; por fim, aquela expressão que</p><p>se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações, que</p><p>é primeiro a multiplicação e divisão e, depois, a adição e subtração.</p><p>Tipos de intervalos numéricos</p><p>Assim como em qualquer outro conjunto, os números reais (R) podem ser</p><p>representados sobre uma reta orientada. Esta reta tem como origem o ponto 0</p><p>(zero) e orientação para a direita, indicando o sentido crescente da sequência</p><p>numérica, conforme mostrado na Figura 2.</p><p>Figura 2. Reta numérica, com a representação da origem e orientação.</p><p>0</p><p>Sobre essa reta, a representação numérica será realizada unidade à unidade,</p><p>pelo conjunto dos inteiros (Z), a fim de facilitar a representação numérica. A</p><p>partir</p><p>do ponto de origem, para o lado direito, serão colocados os números</p><p>positivos e, para o esquerdo, os negativos, como mostrado na Figura 3.</p><p>Figura 3. Eixo real.</p><p>Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5</p><p>Operações com números reais e intervalos numéricos8</p><p>Ainda sobre essa reta, caso seja necessário, é possível representar os demais</p><p>números racionais e irracionais, complementando o conjunto dos números</p><p>reais (R), conforme a Figura 4.</p><p>Figura 4. Eixo real.</p><p>Fonte: Safier (2012, p. 3).</p><p>l</p><p>–5 –π –1,5 0 2/3 √5 3</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4</p><p>Sendo necessário referir-se aos números reais positivos, excluindo-se o</p><p>zero, a notação R+* deverá ser utilizada. De maneira análoga, os números</p><p>reais negativos, excluindo-se o zero, podem ser representados pela notação</p><p>R-*. Definimos, assim, os conjuntos:</p><p>R+* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}</p><p>R–* = {..., –5, –4, –3, –2, –1}</p><p>Desse modo, para qualquer a pertencente a R+*, dizemos que a é maior que zero:</p><p>a > 0, ∀ a ∈ ℝ+*</p><p>Também de forma semelhante:</p><p>a < 0, ∀ a ∈ ℝ–*</p><p>A partir daí, você já consegue definir o conjunto dos números reais maiores</p><p>que zero (positivos) sobre a reta real.</p><p>9Operações com números reais e intervalos numéricos</p><p>Figura 5. Números reais positivos.</p><p>Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015).</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5</p><p>Na Figura 5, um círculo aberto sobre o zero indica que o mesmo não está</p><p>dentro do intervalo numérico representado. O mesmo pode ser observado</p><p>na Figura 6, a seguir, com a representação dos números reais negativos, ou</p><p>menores que zero.</p><p>Figura 6. Números reais negativos.</p><p>Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015).</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5</p><p>O intervalo da Figura 5 pode ser, ainda, representado como:</p><p>]0, ∞[</p><p>em que o colchete aberto, ou os parênteses, indica que o número que vem</p><p>após não pertence ao intervalo. Já o intervalo da Figura 6, em que o número</p><p>que precede o colchete não pertencerá ao intervalo, pode ser expresso por:</p><p>]–∞, 0[</p><p>ou:</p><p>(–∞, 0)</p><p>Sempre que for necessário representar conjuntos numéricos em uma reta,</p><p>caso o primeiro número da sequência a ser representada pertença ao conjunto</p><p>desejado, o círculo deverá ser preenchido, o que também deverá ocorrer com</p><p>o último número da sequência a ser representada. Como exemplo, verifique</p><p>que, na Figura 7, está representado o intervalo entre o número 2, inclusive,</p><p>até o número 4, que também pertencerá ao conjunto da expressão:</p><p>Operações com números reais e intervalos numéricos10</p><p>[2 ,4]</p><p>ou:</p><p>{x ∈ ℝ│2 ≤ x ≤ 4}</p><p>Figura 7. Intervalo [2,4] representado no eixo real.</p><p>Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015).</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5</p><p>Verifique, agora, este outro intervalo:</p><p>]–3, 2]</p><p>O colchete aberto em –3 indica que esse número não pertence ao intervalo</p><p>que iremos representaremos. Por outro lado, o número 2 ainda está dentro</p><p>desse conjunto. Assim, queremos representar na reta real o conjunto de todos</p><p>os x, maiores que –3 e menores ou iguais a 2 (Figura 8), ou pela expressão:</p><p>{x ∈ ℝ│–3 < x ≤ 2}</p><p>Figura 8. Intervalo ]-3,2] representado no eixo real.</p><p>Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015).</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5</p><p>Quando nenhum dos dois extremos do intervalo que queremos representar</p><p>pertencer ao conjunto, os dois colchetes ficarão abertos, e, consequentemente,</p><p>na reta, os círculos sobre os números também. Veja o exemplo a seguir:</p><p>]–1, +3[</p><p>11Operações com números reais e intervalos numéricos</p><p>Temos um intervalo entre -1 e +3, em que esses dois números não pertencem</p><p>ao intervalo:</p><p>{x ∈ ℝ│–1 < x < +3}</p><p>ou na reta representada na Figura 9, a seguir.</p><p>Figura 9. Intervalo ]-1,+3[ representado no eixo real.</p><p>Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015).</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5</p><p>Sejam três números, a, b e c. Estando a à direita de b na reta real, temos</p><p>a garantia que a é maior que b; e estando c à esquerda de b, temos a garantia</p><p>que c é menor que b, o que pode ser representado pelas expressões a seguir,</p><p>respectivamente:</p><p>a > b;</p><p>c < b</p><p>Ainda sobre os números a, b e c, podemos escrever as relações entre eles</p><p>em uma única expressão:</p><p>c < b < a</p><p>em que você lerá que b é menor que a e maior que c.</p><p>Assim, você também pode verificar que c é menor que a:</p><p>c < a</p><p>Operações com números reais e intervalos numéricos12</p><p>Com exemplo numérico, seguindo a mesma ordem apresentada nas relações</p><p>acima, sejam os números –7, –3 e 2:</p><p>2 > –3</p><p>–7 < –3</p><p>– 7< –3 < 2</p><p>e ainda:</p><p>–7 < 2</p><p>Além dos operadores "maior que" (>) e "menor que" (<), podemos utilizar o operador</p><p>diferente (≠). Por exemplo, os números 3 e 7 são diferentes, ou 3≠7.</p><p>ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDIL, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre:</p><p>Bookman, 2015.</p><p>SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum).</p><p>Leituras recomendadas</p><p>CHAMBERS, P. Ensinando matemática para adolescente. Porto Alegre: Penso, 2015.</p><p>SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Cadernos de mathema – ensino fundamental: jogos</p><p>de matemática de 6º ao 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2006. v. 2.</p><p>SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2013.</p><p>13Operações com números reais e intervalos numéricos</p><p>FUNDAMENTOS</p><p>DE MATEMÁTICA</p><p>Mariana Sacrini Ayres Ferraz</p><p>Rute Henrique da Silva Ferreira</p><p>Conjuntos numéricos</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Definir o que são conjuntos numéricos em matemática.</p><p>� Representar conjuntos por meio dos diagramas de Venn.</p><p>� Realizar operações com conjuntos.</p><p>Introdução</p><p>Os conjuntos são bastante importantes em matemática. Talvez os mais</p><p>famosos sejam os conjuntos numéricos, como os reais, os inteiros e os</p><p>naturais. Embora eles tenham muitas aplicações puramente matemáticas,</p><p>muitas áreas se beneficiam de suas teorias, como quando temos que di-</p><p>vidir grupos que tenham características similares ou não, ou parcialmente</p><p>similares, e problemas de reconhecimento de padrões.</p><p>Neste capítulo, você aprenderá a definição de conjuntos, como</p><p>representá-los e suas propriedades.</p><p>1. Conjuntos numéricos</p><p>Um conjunto pode ser definido como uma coleção de entidades, as quais são</p><p>seus elementos. Ou seja, é uma coleção de elementos que estão relacionados</p><p>segundo alguma regra. Por exemplo, os elementos poderiam ser números,</p><p>frutas, pessoas, carros, etc. Já a regra à qual os elementos obedecem deve</p><p>ser bem-definida — por exemplo, poderíamos ter um conjunto de palavras</p><p>pertencentes à língua portuguesa.</p><p>Geralmente, são utilizadas letras maiúsculas para se especificar os conjun-</p><p>tos, como A, B, W, …, e letras minúsculas para os elementos de um conjunto,</p><p>como a, b, c ,z,... Por exemplo:</p><p>g, h ∈ A,</p><p>que significa que os elementos g e h pertencem ao conjunto A. O símbolo ∈ pode</p><p>ser interpretado como “é um elemento de”. Para a negativa dessa afirmação,</p><p>usa-se ∉, o que significa “não é um elemento de”.</p><p>Notação</p><p>Para se descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas</p><p>chaves {} e vírgulas para separar os elementos. Por exemplo:</p><p>{–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.</p><p>Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação</p><p>acima não seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma</p><p>maneira de se descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x. Por</p><p>exemplo:</p><p>B = {x│x é um inteiro e |x| < 6},</p><p>o qual lemos como “B é um conjunto dos elementos x, tal</p><p>que x é um inteiro</p><p>e tem módulo menor que 6. Equivalentemente, podemos escrever:</p><p>B = {x│x ∈ Z, |x| < 6}.</p><p>Aqui, o símbolo | significa “tal que”, Z representa o conjunto dos inteiros,</p><p>e a vírgula é interpretada como “e”.</p><p>Veja os três conjuntos a seguir:</p><p>A = {x|x2 – 3x + 2 = 0},</p><p>B = {1, 2},</p><p>C = {2, 1, 2, 2, 1}.</p><p>Eles são iguais?</p><p>A resposta é sim. Para conjuntos, não importa a ordem de seus elementos, nem se</p><p>eles são repetidos. Dessa maneira, no caso dos três conjuntos mostrados aqui, eles</p><p>são considerados iguais, ou seja, A = B = C.</p><p>Conjuntos numéricos2</p><p>1.1 Subconjuntos</p><p>Suponha que tenhamos dois conjuntos, A e B. Se a ∈ A, implica que a ∈ B.</p><p>Podemos dizer que A é um subconjunto de B e, alternativamente, que A está</p><p>contido ou é igual a B, A ⊆ B, ou que B contém ou é igual a A, B ⊇ A. Por</p><p>exemplo, se P = {2, 4, 6} e S = {"inteiros pares"}, então, temos que P ⊆ S.</p><p>Se dois conjuntos são iguais, cada conjunto está contido no outro, Assim,</p><p>A = B "se, e somente se” A ⊆ B e B ⊆ A.</p><p>Para os subconjuntos, temos o seguinte teorema: sejam A, B e C conjuntos</p><p>quaisquer, então:</p><p>1. A ⊆ A;</p><p>2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A - B;</p><p>3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C.</p><p>3Conjuntos numéricos</p><p>Nota: para o símbolo ⊆ lê-se “subconjunto contido ou igual à”, ou ainda o símbolo</p><p>⊇ , com a leitura de “subconjunto contém ou igual à”. Outro símbolo muito utilizado,</p><p>é o ⊂ que lê-se “subconjunto contido em”, ou ainda ⊃ , com a seguinte leitura</p><p>“subconjunto contém”.</p><p>Neste momento é importante deixar claro dois tipos de relações, a de</p><p>pertinência e a de inclusão.</p><p>Para a relação de pertinência utiliza-se os símbolos de ∈,∉ , onde lemos</p><p>pertence e não pertence respectivamente, e com isso queremos dizer que</p><p>aquele elemento faz parte ou não de um determinado conjunto. Esses</p><p>símbolos só podem ser usados entre um elemento e um conjunto, ou seja,</p><p>não pode ser usado entre dois conjuntos. Como exemplo, temos o conjunto</p><p>A={2,6,1,8,4,9}, podemos escrever por exemplo que 2∈A, ou que 8∈A, ou</p><p>ainda que -1∉A e assim por diante.</p><p>Já para a relação de inclusão, utilizamos os símbolos de ⊂,⊃ , que lemos</p><p>contido e contém respectivamente. Essa relação quer representar que um</p><p>conjunto “está dentro de outro”, ou ainda que um conjunto é subconjunto de</p><p>outro. Esses símbolos só podem ser usados entre dois conjuntos ou</p><p>subconjuntos, como por exemplo, conhecendo o conjunto</p><p>A={-3,-1,0,6,9,11} e o conjunto B={-3,0,11}, podemos escrever que B⊂A</p><p>ou ainda que A⊃B. Aqui é importante lembrar que para um conjunto estar</p><p>contido em outro, todos os elementos devem estar.</p><p>4Conjuntos numéricos</p><p>1.2 Conjuntos numéricos especiais</p><p>Alguns conjuntos são muito usados e, assim, acabaram recebendo tratamento</p><p>especial. Veja a seguir.</p><p>� N: conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos, com o zero</p><p>— N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.</p><p>� Z: conjunto dos números inteiros, ou seja, todos os números inteiros</p><p>positivos, negativos e o zero — Z ={…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.</p><p>� Q: conjunto dos números racionais, números reais com dígitos decimais</p><p>finitos. Números que podem ser escritos em forma de fração de números</p><p>inteiros, resultando assim em decimais com dígitos finitos – 𝑄 = ,</p><p>p, q ϵ Z e q ≠ 0 .</p><p>� I: Conjunto dos números irracionais, números que não podem ser</p><p>escritos em forma de fração de números inteiros, resultando assim</p><p>em decimais com dígitos infinitos — por exemplo, raízes não exatas</p><p>, o número 𝜋 e o número de Euler 𝑒.</p><p>� R: conjunto dos números reais, o qual inclui os racionais e os irracio-</p><p>nais — R = Q ∪ I.</p><p>� C: conjunto dos números complexos, pares (a, b) de números reais, ou</p><p>seja, números da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i2 = –1.</p><p>Em teoria de conjuntos, a notação * é utilizada quando desejamos excluir o número</p><p>zero do conjunto. Por exemplo:</p><p>� N* = {1, 2, 3, 4, ...};</p><p>� Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}.</p><p>A partir dessa descrição, podemos pensar N como uma parte de Z, Z como</p><p>uma parte de Q e Q como uma parte de R. Em Q, equações do tipo x2 – 3 = 0</p><p>ou o cálculo da área do círculo, por exemplo, não podem ser resolvidas. Temos</p><p>então um novo conjunto, os irracionais e esse conjunto I pode ser entendido</p><p>como uma parte de R.</p><p>No entanto, alguns problemas não podem ser resolvidos apenas em R, o que</p><p>motivou o desenvolvimento dos números complexos. Por exemplo, a equação</p><p>x2 + 1 = 0 não tem solução em R, mas, em C, veremos que ela tem solução.</p><p>Na teoria de conjuntos um número complexo é um par ordenado de nú-</p><p>meros reais (a, b) em que estão definidas igualdade, adição e multiplicação</p><p>(DANTE, 2002):</p><p>(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d</p><p>(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)</p><p>(a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)</p><p>Os números reais pertencem a C e são aqueles pares em que temos b = 0,</p><p>ou seja, o número real 5 pode ser escrito como o par (5, 0). Também é dado</p><p>um nome especial para o par (0, 1), unidade imaginária. Ele é indicado por i,</p><p>e, usando a definição de multiplicação de complexos, temos:</p><p>(a,b) ∙ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)</p><p>i2 = (0,1) ∙ (0,1) = (0 ∙ 0 ‒ 1 ∙ 1, 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = ( ‒ 1, 0) = ‒ 1</p><p>Essa definição nos permite calcular, em C, raízes quadradas de números</p><p>negativos. Por exemplo:</p><p>Conjuntos numéricos5</p><p>Os números complexos podem ser representados na forma algébrica ou na</p><p>forma trigonométrica. Veja a seguir algumas definições e exemplos envolvendo</p><p>números complexos.</p><p>Forma algébrica de um número complexo: z = a + bi</p><p>(‒2, 3) = ‒2 + 3i</p><p>(0, ‒1) = 0 ‒ 1i = –i</p><p>Conjugado de um número complexo: z = a – bi</p><p>z = 2 + 3i → z = 2 – 3i</p><p>z = 5 – 2i → z = 5 + 2i</p><p>Interpretação geométrica de um número complexo</p><p>Como cada número complexo está associado a um par (𝑎,𝑏), que por sua vez</p><p>está associado a um único ponto no plano, podemos representá-los como um</p><p>ponto P no sistema de coordenadas cartesianas. O ângulo θ formado pelo</p><p>segmento Oz e o eixo x é chamado de argumento, e ρ é o módulo de z, que</p><p>definimos na Figura 1.</p><p>Figura 1. Gráfico do módulo de z.</p><p>Fonte: Adaptada de Dante (2002).</p><p>6Conjuntos numéricos</p><p>Módulo de um número complexo</p><p>O módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de</p><p>coordenadas até o ponto z. Aplicando o teorema de Pitágoras, .</p><p>Vejamos um exemplo:</p><p>Forma trigonométrica de um número complexo</p><p>A partir da representação geométrica de um número complexo, considerando-</p><p>-se seu módulo, o ângulo formado pelo segmento Oz e o eixo x e as noções</p><p>de seno e cosseno, temos:</p><p>z = a = bi → |z| (cos θ + isen θ)</p><p>Vejamos um exemplo:</p><p>Resolução de equações com raiz complexa</p><p>x2 – 2x + 10 = 0</p><p>∆ = b2 – 4ac = 4 – 4 ∙ 1 ∙ 10 = –36 → não possui raiz real</p><p>Usando números complexos, temos:</p><p>Assim, as raízes da equação são 1 + 3i e 1 – 3i.</p><p>Conjuntos numéricos7</p><p>A equação x2 + 1 = 0, mencionada anteriormente no capítulo, pode ser</p><p>resolvida da seguinte forma:</p><p>Sua solução, então, é:</p><p>x = ±i</p><p>1.3 Conjunto universo e conjunto vazio</p><p>O conjunto universo normalmente é denotado pela letra U. Ele seria composto</p><p>por todos os elementos e conjuntos em um dado contexto. Já o conjunto vazio</p><p>não contém qualquer elemento e é representado por chaves vazias {}, ou pelo</p><p>símbolo ∅. Por exemplo:</p><p>Se U = Z, então {x│x2 = 10} = ∅.</p><p>1.4 Conjuntos disjuntos</p><p>Conjuntos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum. Por</p><p>exemplo, suponha os três conjuntos a seguir:</p><p>A = {1, 4, 5},</p><p>B = {5, 6, 8, 10} e</p><p>C = {10, 14}.</p><p>Os conjuntos A e C são considerados disjuntos, mas A e B não, pois eles</p><p>têm elementos em comum. Os conjuntos B e C também não são disjuntos.</p><p>8Conjuntos numéricos</p><p>Podemos afirmar que</p><p>N⊂Z⊂Q⊂Z</p><p>Sim podemos, pois neste caso estamos afirmando que o conjunto dos naturais</p><p>está contido no conjunto dos inteiros, que por sua vez está contido dentro do</p><p>conjunto dos racionais e por fim, o conjunto dos racionais está contido no</p><p>conjunto dos inteiros. A seguir quando aprendermos o conceito diagrama de</p><p>Venn e observarmos a Figura 3, este conceito fica bem claro.</p><p>2. Diagramas de Venn</p><p>Uma maneira de representar conjuntos é usando os diagramas de Venn. Nesses</p><p>diagramas, os conjuntos</p><p>são representados por áreas delimitadas no</p><p>espaço, geralmente círculos e elipses. Assim, o conjunto universo U é</p><p>representado por um retângulo, em que estão os outros conjuntos. A Figura</p><p>2 mostra três exemplos de diagramas de Venn. Em (a), há um exemplo em</p><p>que o conjunto A está contido no conjunto B; em (b), os conjuntos A e B são</p><p>disjuntos; em (c), os conjuntos A e B sobrepõem-se parcialmente.</p><p>Figura 2. Exemplos de diagramas de Venn.</p><p>Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).</p><p>Os diagramas de Venn também servem para ilustrar os conjuntos numéricos</p><p>descritos na seção anterior, como mostra a Figura 3.</p><p>Figura 3. Representação dos conjuntos numéricos.</p><p>N</p><p>Números Naturais</p><p>Z</p><p>Números Inteiros</p><p>Q</p><p>Números Racionais</p><p>I</p><p>R = Q ∪ I</p><p>Números</p><p>Irracionais</p><p>C</p><p>Números Complexos</p><p>Conjuntos numéricos9</p><p>A figura a seguir representa um diagrama de Venn de dois conjuntos A e B.</p><p>O conjunto universo U foi dividido em quatro regiões chamadas de i, ii, iii e iv. O</p><p>que pode ser dito sobre os conjuntos A e B:</p><p>a) se a região ii for vazia?</p><p>b) se a região iii for vazia?</p><p>Se a região ii for vazia, então A não contém elementos que não estão em B. Assim,</p><p>A é um subconjunto de B, e o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2a.</p><p>Agora, se a região iii for vazia, então A e B não têm elementos em comum, sendo</p><p>disjuntos. Assim, o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2b.</p><p>Para desenhar um diagrama de Venn, pode-se usar uma técnica que contém</p><p>dois passos, descrita a seguir. Primeiramente, supomos os seguintes conjuntos:</p><p>U = {1, 2, 3, …, 12}</p><p>A = {2, 3, 7, 8, 9}</p><p>B = {2,8}</p><p>C = {4, 6, 7, 10}</p><p>Para desenhar o diagrama desses conjuntos, você deve seguir os passos:</p><p>a) desenhe um diagrama genérico com os conjuntos.</p><p>b) insira os elementos em suas devidas regiões.</p><p>c) redesenhe o diagrama, eliminando regiões vazias.</p><p>10Conjuntos numéricos</p><p>Assim, o primeiro passo geraria um diagrama como mostrado na Figura 4a.</p><p>A partir daí, preencheremos as regiões com os elementos dos conjuntos. Analise</p><p>elemento a elemento, checando se ele pertence a mais de um conjunto. Assim,</p><p>o resultado ficaria como o mostrado na Figura 4b.</p><p>Figura 4. Passos para desenhar um diagrama de Venn. (a) Diagrama genérico. (b) Diagrama</p><p>genérico preenchido. (c) Diagrama redesenhado, eliminando os espaços vazios.</p><p>3. Operações com conjuntos</p><p>Algumas operações podem ser feitas com conjuntos, como união, interseção</p><p>e complementar.</p><p>A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os</p><p>elementos de A ou B, ou seja:</p><p>A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}</p><p>A Figura 5a mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∪ B (lê-</p><p>se: A união com B) está sombreado.</p><p>Conjuntos numéricos11</p><p>A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto que pertence</p><p>a ambos, A e B, ou seja:</p><p>A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}</p><p>A Figura 5b mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∩ B (lê-</p><p>se: A interseção com B) está sombreado.</p><p>Figura 5. Diagramas de Venn representando as operações de união e interseção entre</p><p>conjuntos.</p><p>Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).</p><p>Suponha os conjuntos:</p><p>A = {1, 2, 3},</p><p>B = {3, 4, 5} e</p><p>C = {6, 7}.</p><p>Temos que:</p><p>A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}</p><p>A ∩ B = {3}</p><p>B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}</p><p>B ∩ C = ∅</p><p>A ∪ C = {1, 2, 3, 6, 7}</p><p>A ∩ C = ∅</p><p>12Conjuntos numéricos</p><p>O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que</p><p>pertencem a U, mas que não pertencem a A, ou seja, A^C (lê-se: A</p><p>complementar):</p><p>AC = {x|x ∈ U, x ∉ A}</p><p>Conseguimos verificar a representação desta operação na Figura 6b por</p><p>meio do diagrama de Venn.</p><p>Ainda sobre a operação diferença, temos a diferença simétrica ⊕ de dois</p><p>conjuntos A e B. São elementos que pertencem a um ou a outro conjunto,</p><p>mas não a ambos, podendo ser escrito como:</p><p>A ⊕ B = {(A ∪ B) - (A ∩ B)}</p><p>ou ainda podemos escrever como:</p><p>A ⊕ B = {(A - B) ∪ (B - A)}</p><p>A Figura 6c representa A ⊕ B por meio de um diagrama de Venn.</p><p>Figura 6. Diagramas de Venn representando complementar, complementar relativo e</p><p>diferença simétrica.</p><p>Fonte: Lipschutz e Lipson (2013, p. 6).</p><p>Conjuntos numéricos13</p><p>A Figura 6 mostra um diagrama de Venn do complementar de um</p><p>conjunto A.</p><p>Também temos a diferença entre conjuntos, A-B, lemos A menos B ou</p><p>A diferença B. É o conjunto de elementos que pertencem a A, mas não</p><p>pertencem a B, ou seja:</p><p>Dados os conjuntos A={x∈Z /-4<x≤10}, B={2,5,6,8,9} e C={x∈Z /-4≤x≤5}, realize o</p><p>que se pede:</p><p>a) A∪B</p><p>b) B - A</p><p>c) C∪A</p><p>d) A - (C∪B)</p><p>e) (A-B)∩C</p><p>14Conjuntos numéricos</p><p>Vamos resolver cada um desses casos, mas antes vamos deixar claro que o</p><p>conjunto A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, o conjunto B={2,5,6,8,9} e por fim, o</p><p>conjunto C={-4,-3,-,2,-1,0,1,2,3,4,5} assim:</p><p>a) A∪B na união dos conjuntos A e B, adicionamos todos os elementos do</p><p>conjuntos, formando assim um único conjunto com todos os elementos de</p><p>ambos. A∪B=A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Como o conjunto B está contido</p><p>em A, a união acaba sendo o próprio conjunto A.</p><p>b) B-A, nesta operação vamos retirar todos os elementos de A que estão em B,</p><p>assim: B-A=∅</p><p>c) C∪A={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}</p><p>d) A-(C∪B), neste caso vamos resolver o parêntese primeiro A-{2,5} agora</p><p>retirando estes dois valores do A, temos: A-(C∪B)={-3,-2,-1,0,1,3,4,6,7,8,9,10}</p><p>e) (A-B)∩C={-3,-2,-1,0,1,3,4,7,10}∩C agora fazendo a interseção com C: (A-</p><p>B)∩C={-3,-2,-1,0,1,3,4}</p><p>Em um restaurante que serve prato feito você tem as seguintes opções de carne:</p><p>• Carne de gado;</p><p>• Peixe;</p><p>• Peixe e carne de gado.</p><p>Em determinado dia, ao fazer o fechamento das refeições do almoço, verificou-se</p><p>que foram servidos 54 pratos feitos todos com carne. Sendo que haviam 23</p><p>pedidos de pratos com peixe e 38 com carne de gado, quantos pedidos tinham</p><p>as duas opções junto?</p><p>Para facilitar a solução podemos pensar no diagrama de Venn</p><p>Lembrando que para começar a preencher o diagrama de Venn, começamos pelas</p><p>interseções, neste caso temos apenas uma e não sabemos, por isso, colocamos x.</p><p>Para saber os pratos apenas de peixe, fazemos 23-x, ou seja, o total de pratos com</p><p>peixe menos os pratos que tem peixe e também carne de gado. Para sabermos</p><p>quantos pratos foram servidos apenas com carne de gado fazemos o mesmo.</p><p>Sabendo que o total devem ser 54 pratos, temos a seguinte soma:</p><p>DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2002.</p><p>LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.</p><p>(Coleção Schaum).</p><p>Conjuntos numéricos15</p><p>23 - x + x + 38 - x = 54</p><p>23 + 38 - x = 54</p><p>61- x = 54</p><p>61- 54 = x</p><p>7 = x</p><p>Com isso, concluímos que 7 pratos foram servidos com peixe e carne de gado.</p><p>Com isso, também seria possível concluir que pratos apenas com peixe são 23 – 7</p><p>= 16 e pratos apenas com carne de gado são 38 – 7 = 31 refeições.</p><p>CÁLCULO: LIMITES</p><p>DE FUNÇÕES DE</p><p>UMA VARIÁVEL E</p><p>DERIVADAS</p><p>Cristiane da Silva</p><p>Números reais, funções e</p><p>gráficos (linear, quadrática</p><p>e trigonométrica)</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Descrever o conjunto dos números reais.</p><p>� Definir o conceito de função.</p><p>� Representar graficamente uma função.</p><p>Introdução</p><p>Neste capítulo, você recordará os conhecimentos adquiridos sobre o</p><p>conjunto dos números reais, suas representações por meio de exem-</p><p>plos numéricos e ilustrações, bem como receberá dicas de leitura para</p><p>aprofundar seus estudos. Ainda que algumas vezes não percebamos, os</p><p>conjuntos numéricos estão presentes em nossa vida diária: o conjunto</p><p>dos números inteiros, por exemplo, com seus valores negativos que</p><p>podem representar as temperaturas negativas que experimentamos</p><p>no inverno, ou ainda os saldos bancários negativos. O conjunto dos</p><p>números racionais, que contém as frações, costuma ter aplicação em</p><p>receitas culinárias, em estudos envolvendo proporções, etc. E o conjunto</p><p>dos números reais, que contém os naturais, os inteiros, os racionais e os</p><p>irracionais, é bastante abrangente e pode contemplar diversos exemplos,</p><p>além dos já mencionados.</p><p>Outro aspecto interessante é que as funções podem ser percebidas</p><p>em situações bem-próximas a nós, como na conta de energia elétrica</p><p>que recebemos mensalmente para pagar. O valor pago depende da</p><p>quantidade de kW/h consumida em um mês. Ou seja, nesse exemplo, há</p><p>uma relação entre duas variáveis. Podemos, ainda, pensar na cobrança que</p><p>os estacionamentos de veículos fazem: em geral, cobra-se um valor fixo e</p><p>um variável que dependerá de quanto tempo o veículo permanecerá no</p><p>estacionamento. Também se pode pensar em uma construção: o preço</p><p>que se pagará pela obra depende de várias variáveis, como do custo</p><p>de mão de obra, da quantidade de material necessário para a obra, do</p><p>tamanho da obra, entre outros.</p><p>Você encontrará também representações gráficas que elucidam dife-</p><p>rentes funções e direcionam a atenção para alguns pontos importantes,</p><p>como o que poderia descaracterizar uma função, ou seja, fazer com que</p><p>determinada expressão matemática não represente uma função.</p><p>Conjunto dos números reais</p><p>Um número real pode ser representado como um decimal (ou expansão decimal)</p><p>finito, periódico ou infinito não periódico. Para ficar mais claro, observe os</p><p>exemplos a seguir:</p><p>π = 3,141592653589793…</p><p>Nesses exemplos, é representado por um decimal finito; já é represen-</p><p>tado por um decimal periódico, também conhecido como dízima periódica.</p><p>A barra sobre 142857 destaca que essa sequência se repete indefinidamente.</p><p>No caso do π, temos uma expansão decimal infinita, mas não periódica (RO-</p><p>GAWSKI, 2008).</p><p>Denota-se o conjunto dos números reais por R, em negrito. Utiliza-se o</p><p>símbolo ∈ para indicar que “pertence a”, com em:</p><p>a ∈ R é lido como “a pertence a R”</p><p>Vejamos agora alguns conjuntos que estão contidos no conjunto dos nú-</p><p>meros reais: elemento “pertence” a um conjunto. Subconjunto “está contido”</p><p>em um conjunto.</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)2</p><p>O conjunto dos números inteiros, denotado pela letra Z, é composto por</p><p>números negativos e positivos. Assim, Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}. Um número</p><p>natural é um número inteiro não negativo. O conjunto dos números racionais</p><p>é composto por aqueles números que podem representar um quociente , em</p><p>que p e q são inteiros com q ≠ 0, ou seja, as frações podem representa-los.</p><p>Esse conjunto é denotado pela letra Q. Cabe destacar que os números como π</p><p>e não são racionais, e sim denominados irracionais (ROGAWSKI, 2008).</p><p>Segundo Rogawski (2008), podemos dizer que um número é ou não racional a partir</p><p>de sua expansão decimal. Ou seja, números racionais têm expansões decimais finitas</p><p>ou periódicas, e números irracionais têm expansão infinitas que não são periódicas.</p><p>A reta numérica nos permite visualizar os números reais como pontos sobre</p><p>ela. A Figura 1, a seguir, mostra o conjunto dos números reais representado</p><p>como uma reta.</p><p>Figura 1. Representação dos números reais na reta</p><p>numérica.</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 1).</p><p>O valor absoluto de um número real, conforme representação na Figura 2,</p><p>pode ser observado quando olhamos para o módulo desse número. Ou seja:</p><p>3Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>Figura 2. Valor absoluto |a|.</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 1).</p><p>Vejamos alguns exemplos numéricos do valor absoluto de um número real:</p><p>|3, 1| = 3, 1</p><p>|–10| = 10</p><p>|4| = |–4| = 4</p><p>|5 ∙ 3| = |5| ∙ |3| = 15</p><p>Observe que a distância entre dois números reais a e b é |b – a|, ou seja, é</p><p>o comprimento do segmento de reta que liga a a b, como mostra a Figura 3</p><p>(ROGAWSKI, 2008).</p><p>Figura 3. Distância entre a e b é |b – a|.</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 2).</p><p>Rogawski (2008) destaca que, dados os números reais a < b, teremos quatro</p><p>intervalos com extremidades a e b. O intervalo fechado [a, b] é o conjunto de</p><p>todos os números reais x, tais que a ≤ x ≤ b. Note que a e b fazem parte e estão</p><p>contidos no intervalo. Algebricamente, podemos representar da seguinte forma:</p><p>[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)4</p><p>Os intervalos aberto e semiabertos podem ser representados pelos seguintes conjuntos</p><p>da Figura 4:</p><p>Figura 4. Quatro intervalos com extremidades a e b.</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 2).</p><p>O intervalo infinito (–∞, ∞) é toda reta real R. Um intervalo semi-infinito pode ser</p><p>aberto ou fechado e contém sua extremidade finita, conforme Figura 5:</p><p>Figura 5. Intervalos semi-infinitos fechados.</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 2).</p><p>Função</p><p>Em nosso cotidiano, as funções estão presentes nas mais variadas situações.</p><p>No entanto, nem sempre nos damos conta disso. De acordo com Hoffmann et</p><p>al. (2018), a palavra função é utilizada para designar a ação de exercer uma</p><p>influência, ou seja, certa grandeza ou característica depende de outra. Sendo</p><p>assim, função pode ser definida como “uma regra que associa a cada objeto</p><p>de um conjunto A e apenas um objeto de um conjunto B. O conjunto A é</p><p>chamado de domínio da função, e o conjunto B é chamado de contradomínio”</p><p>(HOFFMANN et al., 2018, p. 2).</p><p>5Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>Pode-se pensar em uma função como um mapeamento de números em um domínio A</p><p>para números em um contradomínio B, como mostra a Figura 6a; ou em uma máquina</p><p>que transforma um número do conjunto A em um número do conjunto B, usando um</p><p>processo especificado pela regra funcional, como mostra a Figura 6b.</p><p>(a) Função como um mapeamento (b) Função como uma máquina</p><p>A</p><p>B Entrada</p><p>x</p><p>Entrada</p><p>x</p><p>f</p><p>Máquina</p><p>Saída</p><p>f(x)</p><p>Figura 6. Interpretações da função f.</p><p>Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 2).</p><p>Lembre-se de que existe um, e apenas um, número no contradomínio (conjunto de</p><p>saída) associado a cada número do domínio (conjunto de entrada).</p><p>Hoffmann et al. (2018) destacam que, às vezes, é conveniente representar</p><p>uma relação funcional como uma equação do tipo y = f(x). Nesse contexto, x</p><p>e y são chamados de variáveis. Em particular, como o valor numérico de y é</p><p>determinado pelo valor de x, y é chamado de variável dependente, e x de variável</p><p>independente. Não havendo condições adicionais, supomos que o domínio de</p><p>uma função f é o conjunto de todos os números x para os quais f(x) existe.</p><p>Além disso, para determinar o domínio de uma função, é necessário excluir,</p><p>por exemplo, os números x que resultam em uma divisão por zero ou uma</p><p>raiz quadrada de um número negativo. Vejamos, a seguir, alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos determinar os domínios das seguintes funções:</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)6</p><p>Como a divisão por qualquer número diferente de zero é possível, o domínio</p><p>de f(x) é o conjunto de todos os números x ≠ 4.</p><p>Como o denominador x2 + 3 de f(x) é um número positivo para qualquer</p><p>valor de x, não precisamos nos preocupar com a divisão por zero. Entretanto,</p><p>os números x, tais que 2 – x < 0, devem ser excluídos do domínio porque a raiz</p><p>quadrada de um número negativo não é um número real. Assim, o domínio de</p><p>f(x) é o conjunto de números x, tais que 2 – x ≥ 0, ou seja, x ≤ 2.</p><p>Exemplo 2</p><p>Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (o conjunto dos números inteiros) e f de A em B</p><p>for a função que associa a cada elemento de A o seu dobro, então:</p><p>� a lei de formação de f pode ser escrita como y = 2x ou f(x) = 2x;</p><p>� a imagem do elemento 1 é 2, isto é, f(1) = 2 ∙ (1) = 2;</p><p>� a imagem do 2 é o 4, isto é, f(2) = 2 ∙ 2 = 4;</p><p>� o domínio de f é o conjunto A, isto é, D( f ) = {1, 2, 3, 4, 5};</p><p>� a imagem de f é o conjunto Im( f )={2, 4, 6, 8, 10}.</p><p>Observação: note que, apesar de o contradomínio ser o conjunto Z dos números</p><p>inteiros, nem todo elemento do contradomínio pertence ao conjunto imagem,</p><p>uma vez que, por exemplo, 3 e –2 não são o dobro de nenhum elemento de A</p><p>(BRAGA, 2012).</p><p>Exemplo 3</p><p>Ambientalistas estimam que, em certa cidade, a concentração média diária</p><p>de monóxido de carbono no ar será c(p) = 0,5p + 1 partes por milhão quando</p><p>a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico</p><p>indica que a população da cidade dentro de t anos será p(t) = 10 + 0,1t2 mil</p><p>habitantes (HOFFMANN et al., 2018).</p><p>7Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar</p><p>em função do tempo.</p><p>Como a concentração de monóxido de carbono está relacionada com</p><p>a variável p por meio da equação c(p) = 0,5p + 1, e a variável p está</p><p>relacionada com a variável t pela equação p(t) = 10 + 0,1t2, a função</p><p>composta</p><p>c(p(t)) = c(10 + 0,1t2) = 0,5(10 + 0,1t2) + 1 = 6 + 0,05t2</p><p>expressa a concentração de monóxido de carbono no ar em função da</p><p>variável .</p><p>b) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono</p><p>atingirá o valor de 6,8 partes por milhão?</p><p>Fazendo c(p(t)) igual a 6,8 e explicando t, obtemos:</p><p>6 + 0,05 t2 = 6,8</p><p>Subtraindo 6 de ambos os membros:</p><p>0,05t2 = 0,8</p><p>Dividindo ambos os membros por 0,05:</p><p>Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros:</p><p>Desprezando a raiz negativa, pois não pertence ao domínio de nossa</p><p>função, uma vez que a variável independente t representa o tempo.</p><p>Assim, a concentração de monóxido de carbono chegará a 6,8 partes</p><p>por milhão daqui a quatro anos.</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)8</p><p>Gráficos de funções</p><p>Nesta seção, você estudará a representação gráfica de algumas funções. De</p><p>acordo com Braga (2012), os gráficos são uma excelente forma de visualizar-</p><p>mos funções em que as entradas e saídas são números reais. Além disso, o</p><p>autor destaca que é possível aplicar o teste da reta vertical para verificar se</p><p>um gráfico representa uma função, já que qualquer reta vertical no plano só</p><p>poderá interceptar o gráfico de uma função, no máximo, em um único ponto,</p><p>não podendo cortar o gráfico duas vezes. Se assim fosse, teríamos dois pontos</p><p>diferentes (x, y1) e (x, y2) pertencentes a f, em que y1 ≠ y2, contradizendo a</p><p>definição de função. Observe, a seguir, alguns exemplos:</p><p>Exemplo 4</p><p>Veja, na Figura 7, a construção do gráfico de (BRAGA, 2012).</p><p>Figura 7. Gráfico da função .</p><p>Fonte: Braga (2012, p. 8).</p><p>9Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>Exemplo 5</p><p>Veja, na Figura 8, a construção do gráfico de f(x) = x2 – x – 2 (BRAGA, 2012).</p><p>Figura 8. Gráfico da função f(x) = x2 – x – 2.</p><p>Fonte: Braga (2012, p. 8).</p><p>Exemplo 6</p><p>O círculo x2 + y2 = 9, de raio 3, não pode ser o gráfico de uma função, pois</p><p>existem retas verticais que contêm mais do que um ponto do círculo. Veja, na</p><p>Figura 9, que os pontos (0, 3) e (0, –3) pertencem ao círculo, e 3 ≠ –3, o que</p><p>está em desacordo com a definição de função (BRAGA, 2012).</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)10</p><p>Figura 9. Gráfico de x2 + y2 = 9.</p><p>Fonte: Braga (2012, p. 9).</p><p>Exemplo 7</p><p>Seja uma função f: R → R definida por (FLEMMING; GONÇALVES, 2006):</p><p>O gráfico de f pode ser visto na Figura 10.</p><p>Figura 10. Gráfico da função f(x).</p><p>Fonte: Flemming e Gonçalves (2006, p. 15).</p><p>11Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>Exemplo 8</p><p>Seja f(x) = |x|. Quando x ≥ 0, sabemos que f(x) = x. Quando x < 0, f(x) = –x. O</p><p>gráfico de |x| pode ser visto na Figura 11 (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).</p><p>Figura 11. Gráfico da função f(x) = |x|.</p><p>Fonte: Flemming e Gonçalves (2006, p. 16).</p><p>Exemplo 9</p><p>Seja . Então, D( f ) = R – {0}, conforme gráfico da Figura 12 (FLEM-</p><p>MING; GONÇALVES, 2006).</p><p>Figura 12. Gráfico da função .</p><p>Fonte: Flemming e Gonçalves (2006, p. 16).</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)12</p><p>Rogawski (2008) apresenta as classes básicas de funções que são bem-</p><p>-conhecidas e importantes, como: polinômios, funções racionais, funções</p><p>algébricas, funções exponenciais e funções trigonométricas –– que são funções</p><p>construídas a partir de senx e cosx, mas não são o foco desta seção. Vejamos,</p><p>a seguir, cada uma das principais.</p><p>Polinômios</p><p>Para qualquer número real m, a função f(x) = xm é denominada função potência</p><p>de expoente m. Um polinômio é a soma de múltiplas funções potência de</p><p>expoentes naturais em que o domínio são os reais (Figura 13):</p><p>f(x) = x5 – 5x3 + 4x</p><p>Figura 13. Polinômio f(x) = x5 – 5x3 + 4x.</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 20).</p><p>13Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>Racionais</p><p>Conforme Rogawski (2008), uma função racional é o quociente de dois po-</p><p>linômios (Figura 14):</p><p>Onde P(x) e Q(x) são polinômios. O domínio de uma função racional é o</p><p>conjunto de números x, tais que Q(x) ≠ 0. Por exemplo:</p><p>D( f ) = {x ∈ R:x ≠ –2 e x ≠ 1}</p><p>Figura 14. Função racional .</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 20).</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)14</p><p>Algébricas</p><p>De acordo com Rogawski (2008), uma função algébrica envolve soma, produto</p><p>e quociente de raízes de polinômios e funções racionais (Figura 15):</p><p>Um número x pertence ao domínio de f se cada expressão da fórmula de f</p><p>estiver definida e o resultado não envolver divisão por zero.</p><p>D( f ) = {x ∈ R: –1,81753 ≤ x ≤ 1,81735}</p><p>Im( f ) = { f ∈ R: 0 ≤ f ≤ 1,80278}</p><p>Figura 15. Função algébrica .</p><p>Fonte: Rogawski (2018, p. 20).</p><p>Exponenciais</p><p>Rogawski (2008) define função exponencial como a função f(x) = bx, onde</p><p>b > 0, em que b é a base:</p><p>15Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)</p><p>A função f(x) = bx é crescente se b > 1 e decrescente se b < 1, como mostra</p><p>a Figura 16. A inversa de f(x) = bx é a função logaritmo y = logbx.</p><p>Figura 16. Funções exponenciais.</p><p>Fonte: Rogawski (2008, p. 22).</p><p>BRAGA, R. O. Cálculo I: estudo da derivada. São Leopoldo: Unisinos, 2012. 190 p.</p><p>FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração.</p><p>6. ed. São Paulo: Pearson, 2006. 464 p.</p><p>HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de</p><p>Janeiro: LTC, 2015. 680 p.</p><p>ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2008. 2 v. 1248 p.</p><p>Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)16</p><p>ANÁLISE REAL</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>> Descrever conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não enumeráveis.</p><p>> Distinguir grandezas comensuráveis e incomensuráveis.</p><p>> Explicar o ínfimo e o supremo de um conjunto.</p><p>Introdução</p><p>Quando podemos contar os números pertencentes a um conjunto, ou seja, eles</p><p>podem ser colocados na forma de lista, temos o chamado conjunto enumerável.</p><p>Já o conjunto não enumerável é aquele cujos números não aceitam ser colocados</p><p>em lista.</p><p>Conjuntos numéricos infinitos são os conjuntos que têm uma quantidade de</p><p>números tão grande que não se pode definir qual seu fim, ou seja, não se pode</p><p>definir qual é o último elemento desse conjunto; no entanto, esses conjuntos</p><p>infinitos podem ser colocados na forma de lista, sendo, então, chamados de</p><p>conjuntos infinitos enumeráveis.</p><p>É importante destacar desde o início que, ao aprendermos sobre os conceitos</p><p>de números enumeráveis e não enumeráveis, vamos delimitar que os racionais</p><p>seriam um exemplo do primeiro; e os reais, um exemplo do segundo.</p><p>Neste capítulo, você vai estudar sobre conjuntos, seus conceitos, suas defini-</p><p>ções e suas aplicações em áreas diversas.</p><p>Propriedades</p><p>algébricas dos</p><p>números reais</p><p>Fabrício Nascimento Silva</p><p>Conjuntos e operações</p><p>Pode-se definir um conjunto como qualquer agrupamento (reunião) de obje-</p><p>tos, ilustrados ou definidos pela enumeração ou por uma característica que</p><p>apresentem. Cada um desses objetos é considerado elemento do conjunto e</p><p>é bem definido, diferente dos demais, atendendo às condições do conjunto.</p><p>Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos estados do Brasil, o</p><p>conjunto dos móveis em uma sala de aula, ou o conjunto das consoantes do</p><p>alfabeto. Normalmente, nomeamos um conjunto com uma letra maiúscula</p><p>qualquer e seus elementos com letras minúsculas quaisquer separadas por</p><p>vírgulas e colocadas entre chaves.</p><p>Como exemplo de nomenclaturas, podemos citar o conjunto dos estados</p><p>do Brasil, como E = {Goiás, Brasília, Tocantins, São Paulo, Rio de Janeiro, Minas</p><p>Gerais, ...}, lê-se: conjunto E cujos elementos são os estados do Brasil.</p><p>Dizemos que esses elementos fazem parte</p>