Apostila de Conjuntos (12 páginas, 37 questões)

Prévia do material em texto

Blog do Prof. Gilberto 
Apostila 
 
 
Slides 
 
PROF. GILBERTO SANTOS JR 
CONJUNTOS 
 
*** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** 
 
SUMÁRIO 
 
1. CONCEITO ......................................................... 1 
2. ELEMENTOS DE CONJUNTOS ................................ 1 
3. REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS ......................... 1 
3.1 Por chaves ....................................................... 1 
3.2 Por diagrama de Venn ....................................... 1 
3.3 Por propriedade ................................................ 1 
4. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS ................................... 2 
4.1 Símbolos de pertinência ..................................... 2 
5. CONJUNTO UNITÁRIO ......................................... 2 
6. CONJUNTO VAZIO .............................................. 2 
7. UNIÃO DE CONJUNTOS ....................................... 3 
8. INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS ............................. 3 
9. DIFERENÇA DE CONJUNTOS ................................. 4 
10. PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS ............ 5 
11. CONJUNTOS DOS NÚMEROS ............................... 6 
11.1 Conjuntos dos números naturais (ℕ) .................. 6 
11.1.1 Representação geométrica ............................. 7 
11.1.2 Limitação desse conjunto .............................. 7 
11.2 Conjunto dos números inteiros (ℤ) ..................... 7 
11.2.1 Representação em diagramas ........................ 7 
11.2.2 Representação geométrica ............................. 7 
11.2.3 Números simétricos ...................................... 7 
11.2.4 Limitação desse conjunto .............................. 7 
11.3 Conjunto dos números racionais (ℚ) .................. 7 
11.3.1 Representação em diagramas ........................ 8 
11.3.2 Representação geométrica ............................. 8 
11.3.3 Limitação desse conjunto .............................. 8 
11.4 Conjunto dos números irracionais (𝕀) ................. 8 
11.4.1 Representação geométrica ............................. 8 
11.4.2 Representação em diagramas ........................ 9 
11.5 Conjunto dos números reais (ℝ) ........................ 9 
11.5.1 Representação em diagramas ........................ 9 
11.5.2 Representação geométrica ............................. 9 
11.5.3 Limitação desse conjunto .............................. 9 
12. INTERVALOS .................................................... 9 
12.1 Intervalo aberto .............................................. 9 
12.2 Intervalo fechado ............................................ 9 
12.3 Intervalo aberto à esquerda .............................. 9 
12.4 Intervalo aberto à direita ................................. 9 
12.5 Intervalo aberto e infinito para a direita ............10 
12.6 Intervalo fechado e infinito para a direita ...........10 
12.7 Intervalo aberto e infinito para a esquerda ........10 
12.8 Intervalo fechado e infinito para a esquerda .......10 
12.9 União de intervalos ........................................10 
13. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM-ODA .......12 
14. REFERÊNCIAS .................................................12 
 
 
1. CONCEITO 
 Conjuntos é qualquer coleção de objetos, 
pessoas, números, etc. 
 
Exemplos: 
▪ Uma sala de aula é um conjunto de alunos; 
▪ Um bairro é um conjunto de casas; 
▪ O universo é um conjunto de estrelas, plane-
tas, etc. 
 
2. ELEMENTOS DE CONJUNTOS 
 São objetos que formam esse conjunto. 
 
3. REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 Os conjuntos são representados por letras 
maiúsculas e quando os elementos são letras, es-
sas são letras minúsculas. 
 
3.1 Por chaves 
Exemplos: 
a) Representar o conjunto A dos dias da semana, 
entre chaves. 
 
Resolução: 
 
A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sex-
ta, sábado}. 
 
b) Representar o conjunto B dos números pares, 
entre chaves. 
 
Resolução: 
 
B = {0, 2, 4, 6, ...}. 
 
Observação: Nos exemplos anteriores, a) e b), o 
conjunto A é finito (tem nº limitado de elemen-
tos) e o conjunto B é infinito (tem nº ilimitado de 
elementos). 
 
3.2 Por diagrama de Venn1 
 
 
Vitral no refeitório do Caius College, Universidade de 
Cambridge, Inglaterra, em homenagem a Venn e a 
seus diagramas. 
 
Exemplo: Representar o conjunto C das vogais, 
por diagrama. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Observação: Não se representa conjuntos infinitos 
em diagramas. 
 
3.3 Por propriedade 
Exemplos: 
 
a) A = {x/ x é planeta do Sistema Solar} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 John Venn (1834-1923), matemático inglês, criador dos famosos diagramas de 
Venn, que ultrapassam as fronteiras das ciências e são aplicados na Lógica, na 
Matemática, na Informática, etc. Se licenciou e foi professor na Universidade de 
Cambridge, onde desenvolveu estudos sobre lógica e teoria das probabilidades. 
Desenvolveu a lógica matemática de Boole, tendo estabelecido uma forma de 
representação gráfica das intersecções e uniões de conjuntos, através de diagra-
mas. 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
2 
 
Blog do Prof. Gilberto 
 
 
 O conjunto A é formado por todos os pla-
netas do Sistema Solar. 
 
Observação: Vale lembrar que a figura acima é 
apenas uma representação artística, os planetas 
têm orbitas diferentes, portanto, não se mantém 
alinhados. Os planetas do Sistema Solar são Mer-
cúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano 
e Netuno. 
 
b) B = {x/ x é vogal} 
O conjunto B é formado por todas as vo-
gais. 
 
c) C = {x/ x é número natural menor que 6} 
O conjunto C é formado por todos os nú-
meros naturais menores que seis. 
 
4. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS 
4.1 Símbolos de pertinência 
Entre elementos e conjunto utiliza-se os 
símbolos ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence). 
 
Exemplo: Seja A = {1, 3, 5, 6}, segue que 
 
1 ∈ A, 2 ∉ A, 3 ∈ A, 4 ∉ A, 5 ∈ A, 6 ∈ A. 
 
4.2 Outros símbolos matemáticos 
 
Operadores Símbolos 
Igual = 
Diferente ≠ 
Maior que > 
Menor que < 
Maior ou igual a ≥ 
Menor ou igual a ≤ 
Conjuntos dos núme-
ros naturais 
ℕ 
Conjuntos dos núme-
ros inteiros 
ℤ 
Tal que / 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) Escreva o conjunto expresso pela propriedade: 
a) A = {x/ x é número natural menor que 8} 
 
b) B = {x/ x é número natural menor ou igual a 8} 
 
c) C = {x ∈ ℕ/ x é par} 
 
d) D = {x ∈ ℕ/ x é ímpar} 
 
e) E = {x ∈ ℕ/ x é número múltiplo de 2} 
 
f) F = {x ∈ ℕ/ x é múltiplo de 3 e menor que 15} 
 
g) G = {x ∈ ℕ/ x < 8} 
 
h) H = {x ∈ ℕ/ x ≤ 8} 
 
i) I = {x ∈ ℕ/ x > 8} 
 
j) J = {x ∈ ℕ/ x ≥ 8} 
 
k) K = {x/ x é número múltiplo de 3 e x ≤ 15} 
 
l) L = {x/ x é múltiplo de 5 e menor do que 31} 
 
m) M = {x ∈ ℤ/ x > 10 e x ≤ 20} 
 
n) N = {x ∈ ℤ/ x ≥ 10 e x < 20} 
 
o) O = {x ∈ ℤ/ 10 < x ≤ 20} 
 
p) Q = {x/ x é letra da palavra “conjunto”} 
 
5. CONJUNTO UNITÁRIO 
É o conjunto que possui um único elemen-
to. 
 
Exemplo: 
A = {x/ x é dia da semana que começa com a letra 
D} 
 
Resolução: 
 
A = {domingo}. 
 
6. CONJUNTO VAZIO 
 
 
 
 É o conjunto que não possui elementos. O 
conjunto vazio é representado por { } ou . 
 
Exemplo: 
B = {x/ x é mês do ano com 25 dias} 
 
Resolução: 
 
B =  
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
2) Classifique o conjunto como unitário ou vazio: 
 
a) A = {x/ x é um número natural menor do que 1} 
 
b) B = {x ∈ ℕ/ x é maior do que 10 e menor do que 
11} 
 
c) C = {x/ x é número par maior do que 3 e menor 
do que 5} 
 
d) D = {x/ x é número primo maior do que 7 e 
menor do que 11} 
 
e) E = {x ∈ ℕ/ x + 7 = 4} 
 
f) F = {x ∈ ℕ/ x < 0} 
 
g) G = {x ∈ ℕ/ 5x = 60} 
 
h) H = {x/ x é uma figura plana de três lados} 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
3 
 
Blog do Prof. Gilberto 
Lembrete: Números primos são todos aqueles que 
obedecem às seguintes condições: 
• São maiores que 1; e 
• Possuem somente dois divisores. 
Portanto, seja P o conjunto dos números 
primos, observe a sua representação abaixo: 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …} 
 
7. UNIÃO DE CONJUNTOSDado os conjuntos A e B, define-se como 
união dos conjuntos A e B ao conjunto representa-
do por A ∪ B, formado por todos os elementos per-
tencentes a A ou B. Simbolicamente, 
 
A ∪ B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B} 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
3) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {0, 2, 3, 5}, 
C = {x/ x é número par menor que 10} e 
D = {x/ x é número ímpar entre 4 e 10}. 
 
Determine: 
 
a) C = 
 
b) D = 
 
c) A ∪ B = 
 
d) A ∪ C = 
 
e) B ∪ C = 
 
f) C ∪ D = 
 
g) (A ∪ B) ∪ C = 
 
4) Considere os diagramas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) A ∪ B = 
 
b) A ∪ C = 
 
c) B ∪ C = 
 
d) A ∪ B ∪ C = 
 
5) Seja P o conjunto dos núme-
ros pares, I o conjunto dos nú-
meros ímpares, ℕ o conjunto dos 
números naturais e ℤ o conjunto 
dos números inteiros, conforme 
abaixo: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, …} 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, …} 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …} 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, …} 
 
ℤ–
∗ = {... –3, –2, –1} 
 
Determine, sabendo que a resposta é sempre um 
conjunto exposto acima: 
 
a) P ∪ I = c) ℤ+
∗ ∪ {0} = 
 
b) ℕ ∪ ℤ–
∗ = d) ℤ+
∗ ∪ ℤ–
∗ ∪ {0} = 
 
EXERCÍCIO DESAFIO MATEMÁTICO 
 
6) Seja ℚ o conjunto dos números racionais e 𝕀 o 
conjunto dos números irracionais, ℚ ∪ 𝕀 forma que 
conjunto? Pesquise e dê a resposta mostrando em 
diagramas. 
 
8. INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto re-
presentado por A ∩ B, formado por elementos per-
tencentes aos conjuntos A e B, ao mesmo tempo, 
isto é, elementos comuns, que se repetem em A e 
B. Simbolicamente, 
 
A ∩ B = {x/ x ∈ A e x ∈ B} 
 
Observação: Quando A ∩ B = , os conjuntos A e 
B são chamados disjuntos. 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {3, 4}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
7) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3, 4}, 
B = {0, 1, 2}, 
C = {x/ x é par menor que 10} e 
D = {x/ x é ímpar compreendido entre 0 e 6}. De-
termine: 
 
a) C = d) A ∩ C = 
 
b) D = e) B ∩ C = 
 
c) A ∩ B = f) C ∩ D = 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
4 
 
Blog do Prof. Gilberto 
8) Considere os diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) X ∩ Y = c) Y ∩ Z = 
 
b) X ∩ Z = d) X ∩ Y ∩ Z = 
 
9) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {x/ x é natural ímpar menor que 10}, 
B = {x/ x é par entre 3 e 11} e 
C = {x/ x é natural menor do que 5}. Determine: 
 
a) A = e) A ∪ C = 
 
b) B = f) A ∩ C = 
 
c) C = g) A ∩ B = 
 
d) A ∪ B = h) (A ∪ B) ∩ C = 
 
10) Seja P o conjunto dos nú-
meros pares, I o conjunto dos 
números ímpares, ℕ o conjunto 
dos números naturais e ℤ o con-
junto dos números inteiros, con-
forme abaixo: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, …} 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, …} 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …} 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, …} 
 
ℤ–
∗ = {... –3, –2, –1} 
 
Determine: 
 
a) P ∩ I = c) I ∩ ℕ = 
 
b) P ∩ ℕ = d) ℕ ∩ ℤ = 
 
EXERCÍCIO DESAFIO MATEMÁTICO 
 
11) Seja ℚ o conjunto dos números racionais e 𝕀 
o conjunto dos números irracionais, ℚ ∩ 𝕀 forma 
que conjunto? Dê a resposta mostrando em dia-
gramas. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
12)(UEPA-2009) A Teoria dos Conjuntos nos 
ajuda a interpretar situações como o compartilha-
mento de arquivos de música 
entre aparelhos móveis. Os 
arquivos do FolkMusic, um 
software de aparelhos móveis, 
representam conjuntos e as 
músicas são elementos desses 
conjuntos. O diagrama ao 
lado representa uma situação 
de compartilhamento de músicas entre arquivos 
do FolkMusic. Com base no diagrama, é correto 
afirmar que: 
 
(a) O arquivo A, o arquivo B e o arquivo C possu-
em músicas em comum. 
(b) O arquivo A, o arquivo B, o arquivo C e o ar-
quivo D possuem músicas em comum. 
(c) O arquivo B e o arquivo D possuem músicas 
em comum. 
(d) O arquivo C só possui músicas em comum 
com o arquivo B. 
(e) O arquivo C só possui músicas em comum com 
o arquivo A. 
 
13)(PUC-SP) Considerando ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}, 
A = {x ∈ ℕ∗/
24
x
= n, com n ∈ ℕ} e B = {x ∈ ℕ/ 3x + 4 < 
2x + 9}, podemos afirmar que: 
 
(a) A ∪ B tem 8 elementos (c) A ∪ B = A 
 
(b) A ∩ B tem 4 elementos (d) A ∩ B = A 
 
9. DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A ‒ B, formado por todos os ele-
mentos pertencentes a A, mas que não pertencem 
a B. Ou seja, A ‒ B é um conjunto formado por 
elementos que pertencem somente a A. Simboli-
camente, 
 
A ‒ B = {x/ x ∈ A e x ∉ B} 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ‒ B = {1, 2}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
14) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {1, 2, 3} e 
C = {2, 3, 4, 5}. Determine: 
 
a) A – B = d) C – B = 
 
b) A – C = e) (A – B) ∩ (A – C) = 
 
c) B – C = f) A –  = 
 
15) Considere os diagramas: 
 
 
 
Escreva os seguintes conjuntos: 
 
a) E = c) E ∪ F = e) E – F = 
 
b) F = d) E ∩ F = f) F – E = 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
5 
 
Blog do Prof. Gilberto 
16) Seja P o conjunto dos nú-
meros pares, I o conjunto dos 
números ímpares, ℕ o conjunto 
dos números naturais e ℤ o con-
junto dos números inteiros, con-
forme abaixo: 
 
P = {0, 2, 4, 6, 8, …} 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, …} 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …} 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, …} 
 
ℤ–
∗ = {... –3, –2, –1} 
 
Determine: 
 
a) ℕ – P = d) ℤ – ℕ = 
 
b) ℕ – I = e) (ℤ – ℤ+
∗ ) – ℤ–
∗ = 
 
c) ℤ – ℤ–
∗ = 
 
EXERCÍCIO DESAFIO MATEMÁTICO 
 
17) Seja ℝ o conjunto dos números reais e 𝕀 o 
conjunto dos números irracionais, ℝ – 𝕀 forma que 
conjunto? Dê a resposta mostrando em diagra-
mas. 
 
Resumo: 
 
A intersecção B 
Simbolicamente: A ∩ B 
Contexto: “A e B” 
 
Geometricamente: 
 
 
A união B 
Simbolicamente: A ∪ B 
Contexto: “A ou B” 
 
Geometricamente: 
 
 
A diferença B 
Simbolicamente: A ‒ B 
Contexto: “somente A” 
 
Geometricamente: 
 
 
B diferença A 
Simbolicamente: B ‒ A 
Contexto: “somente B” 
 
Geometricamente: 
 
10. PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CON-
JUNTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estu-
dam inglês, 210 estudam espanhol e 90 deles es-
tudam as duas matérias (inglês e espanhol). Per-
gunta-se: 
 
a) Quantos alunos estudam somente inglês? 
b) Quantos alunos estudam somente espanhol? 
c) Quantos alunos estudam inglês ou espanhol? 
d) Quantos alunos estudam inglês e espanhol? 
e) Quantos alunos não estudam nenhuma das 
duas matérias? 
 
19) Numa pesquisa sobre preferência em relação 
a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o 
resultado foi o seguinte: 250 lêem o jornal A, 180 
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Per-
gunta-se: 
 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
 
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B? 
 
c) Quantas pessoas lêem jornais? 
 
d) Quantas pessoas não lêem jornais? 
 
20) Uma prova com duas questões foi dada a 
uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as 
duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 
20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos 
erraram as duas questões? 
 
21) Na porta de um ginásio esportivo foi feita 
uma pesquisa com 100 pessoas, sobre o gosto de 
dois esportes. As respostas foram: 60 pessoas 
gostam de vôlei, 50 pessoas gostam de basquete e 
20 gostam de vôlei e basquete. Faça o que se pe-
de: 
a) O esboço em diagramas. 
 
b) Quantas pessoas gostam somente de vôlei? 
 
c) Quantas pessoas gostam somente de basque-
te? 
 
d) Quantas pessoas gostam de vôlei e basquete? 
 
e) Quantas pessoas gostam de vôlei ou basque-
te? 
 
f) Quantas pessoas responderam que não gostam 
desses esportes?22) Um professor de Português sugeriu em uma 
classe a leitura dos livros Helena, de Machado de 
Assis, e Iracema de José de Alencar. Vinte alunos 
leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os 
dois livros e 15 não leram nenhum deles. 
 
a) Quantos alunos leram só Helena? 
 
b) Quantos alunos leram só Iracema? 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
6 
 
Blog do Prof. Gilberto 
c) Quantos alunos leram Iracema? 
 
d) Qual o número de alunos dessa classe? 
 
23) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para 
se verificar a audiência dos programas de televi-
são, os seguintes resultados foram encontrados: 
510 famílias assistem ao programa A, 305 assis-
tem ao programa B e 386 assistem ao programa C, 
sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos pro-
gramas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 
25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos 
três programas. 
a) Quantas famílias assistem somente ao progra-
ma A? 
 
b) Quantas famílias não assistem a nenhum des-
ses programas? 
 
c) Quantas famílias não assistem nem ao progra-
ma A nem ao programa B? 
 
24) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas 
para saber que esporte elas apreciavam entre fu-
tebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 
23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vô-
lei; 10 gostam de futebol e basquete; 9 gostam de 
futebol e vôlei; 8 gostam de basquete e vôlei e 5 
gostam das três modalidades. 
 
a) Quantas pessoas gostam somente de futebol? 
 
b) Quantas pessoas não gostam de nenhum des-
ses esportes? 
 
c) Quantas gostam só de basquete? 
 
d) Quantas gostam apenas de vôlei? 
 
e) E quantas não gostam nem de basquete nem de 
vôlei? 
 
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de 
basquete ou de ambos? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
25)(UEPA-2011) Imagine que, após uma reunião 
sobre o tema “degradação do meio ambiente”, da 
qual participaram 20 empresários do setor 
supermercadista da região metropolitana de Belém, 
todos tenham tomado suas decisões sobre as ações 
que iriam adotar. Se 8 deles decidiram pelo 
incentivo ao uso das sacolas retornáveis, 9 
decidiram pela adoção da coleta seletiva e 3 
disseram que iriam aderir às duas iniciativas 
propostas, o número de empresários que decidiu 
não adotar nenhuma das iniciativas foi de: 
 
(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 11 (e) 13 
 
26)(UEPA-2007, modificada) Os carros podem 
ser adquiridos dentre três alternativas em termo 
de combustíveis. Podem ser movidos a gasolina, a 
álcool ou aos dois combustíveis(flex). Desta forma, 
foi verificado que no pátio de uma concessionária 
de veículos há: 120 automóveis que podem ser 
movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a 
álcool e 93 que podem ser movidos com os dois 
combustíveis(flex). O número de carros existente 
no pátio dessa concessionária é: 
 
(a) 325 (b) 232 (c) 213 (d) 205 (e) 139 
 
27)(UEPA-2006) Uma pesquisa realizada com 50 
famílias sobre o consumo de dois tipos de peixes, A 
e B, apresentou os seguintes resultados: 25 famí-
lias consomem o peixe A, 15 famílias consomem o 
peixe B, e 5 famílias consomem os dois tipos de 
peixes. O número de famílias que não consomem 
nenhum tipo de peixe é: 
 
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 35 (e) 45 
 
28)(UEPA-2006) A Câmara dos Deputados reu-
niu-se extraordinariamente para decidir sobre a 
instalação de duas comissões Parlamentares de 
inquéritos CPI: A do FUTEBOL e a do CAIXA 2. 
Dos 320 Deputados presentes, 190 votaram a fa-
vor da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da 
CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da CPI das 
duas comissões e X deputados foram contrários à 
instalação das CPIs. O número X de deputados que 
votaram contra a instalação das CPIs é: 
 
(a) 160 (b) 90 (c) 70 (d) 50 (e) 20 
 
29)(Unifenas-MG) O tipo sanguíneo de uma pes-
soa é classificado segundo a presença, no sangue, 
dos antígenos A e B. Podemos ter: 
 
 
 Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. 
Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B. 
Tipo AB: pessoas que têm A e B. 
Tipo O: pessoas que não têm A e B. 
 
 
 
Em 55 amostras do sangue, observamos 
que 20 apresentam o antígeno A, 12 apresentam B 
e 7 apresentam ambos os antígenos. O número de 
amostras de sangue tipo O é: 
 
(a) 51 (b) 25 (c) 30 (d) 7 
 
30)(UEPA–2005) "Cabelo e o vestuário são itens 
que se destacam no rol de preocupações das ado-
lescentes que costumam frequentar as baladas 
belenenses", é o que aponta a pesquisa realizada 
com 650 meninas, na faixa etária entre 15 e 19 
anos. Destas 205 comparecem a esse tipo de festa 
se adquirem um traje inédito; 382 se fazem pre-
sentes após uma boa escova no cabeleireiro; 102 
aparecem nos locais onde acontecem as baladas 
com traje inédito e depois de uma escova no cabe-
leireiro. Pergunta-se: quantas são as adolescentes 
consultadas que não se preocupam em ir ao cabe-
leireiro fazer escova, nem em vestir uma roupa 
inédita? 
 
(a) 39 (b) 63 (c) 102 (d) 165 (e) 177 
 
11. CONJUNTOS DOS NÚMEROS 
11.1 Conjuntos dos números naturais (ℕ) 
 A necessidade de contar surgiu com o início 
da civilização dos povos. Povos primitivos conta-
vam apenas um, dois e muitos. Esses três concei-
tos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois 
outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sen-
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
7 
 
Blog do Prof. Gilberto 
do incorporadas. A ideia do zero só surgiu mais 
tarde. 
 Os números utilizados para contar formam 
hoje o que chamamos de conjunto dos números 
naturais, simbolizado por ℕ e definido assim: 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} 
 
11.1.1 Representação geométrica 
 
 
 
11.1.2 Limitação desse conjunto 
A soma de dois números naturais quaisquer 
tem como resultado sempre um número natural, 
mas a diferença de dois números naturais quais-
quer nem sempre tem como resultado um número 
natural. Por exemplos: 
✓ 5 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ e (5 + 2) ∈ ℕ, ainda (2 + 5) ∈ ℕ. 
❖ 5 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ e (5 – 2) ∈ ℕ, mas (2 – 5) ∉ ℕ. 
 
11.2 Conjunto dos números inteiros (ℤ) 
 
(2 – 5) ∉ ℕ 
 
Subtrações como essa somente tem res-
posta com a introdução dos números negativos: 
– 1, – 2, – 3, – 4, ... 
A união dos números naturais com os nú-
meros negativos forma o conjunto dos números 
inteiros, simbolizado por ℤ e definido assim: 
 
ℤ = {..., – n, ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} 
 
Podemos separar os números inteiros em 
três categorias: 
• Os positivos: 1, 2, 3, 4, ... 
• O zero: 0. 
• Os negativos: – 1, – 2, – 3, – 4, ... 
 
Observação: 
Os conjuntos numéricos podem vir acompa-
nhados de certos símbolos, que tem a função de 
excluir, deles, determinados números: 
• O símbolo asterisco (*) exclui o zero; 
• O símbolo mais (+) exclui os negativos; 
• O símbolo menos (–) exclui os positivos. 
 
Exemplos: 
• ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
• ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
• ℤ− = {..., – 3, – 2, – 1, 0} 
 
11.2.1 Representação em diagramas 
 
 
 
ℕ é subconjunto de ℤ. 
 
11.2.2 Representação geométrica 
 
 
 
11.2.3 Números simétricos 
De maneira geral, se k é um número intei-
ro, o número –k também é número inteiro. Dize-
mos que k e –k são números simétricos ou 
opostos (as bibliografias de nível superior os 
chamam de inversos aditivos). 
Simetria em relação ao zero: 
 
 
 
11.2.4 Limitação desse conjunto 
A soma, a subtração e multiplicação de dois 
números inteiros quaisquer têm como resultado 
sempre um número inteiro, mas a divisão de dois 
números inteiros quaisquer nem sempre tem como 
resultado um número inteiro. Por exemplo: 
• + 5 ∈ ℤ, – 2 ∈ ℤ e [(+ 5) + (– 2)] ∈ ℤ. 
• + 7 ∈ ℤ, + 3 ∈ ℤ e [(+ 7) – (+ 3)] ∈ ℤ. 
• + 6 ∈ ℤ, – 4 ∈ ℤ e [(+ 6)∙(– 4)] ∈ ℤ. 
• – 10 ∈ ℤ, + 5 ∈ ℤ e [(– 10):(+ 5)] ∈ ℤ, mas 
[(+ 5):(– 10)] ∉ ℤ. 
 
11.3 Conjunto dos números racionais (ℚ) 
 
[(+5):(– 10)] ∉ ℤ 
 
Divisões como essa somente tem resposta 
com a criação dos números fracionários 
 
3
5
, 
8
7
, 
1
10
, etc 
 
Para que também a divisão fosse sempre 
possível foi criado um conjunto numérico mais 
amplo que o conjunto dos números inteiros,o 
conjunto dos números racionais, simbolizado 
por ℚ e definido assim: 
 
ℚ = {𝐱; 𝐱 =
𝐚
𝐛
, 𝐜𝐨𝐦 𝐚, 𝐛 ∈ ℤ 𝐞 𝐛 ≠ 𝟎} 
 
Exemplos: 
• – 3 = – 
3
1
; – 2 = – 
2
1
; – 1 = – 
1
1
; 7 = 
14
2
; ... (núme-
ros inteiros). 
• 
3
7
; 
13
5
; 
84
56
; … (frações). 
• 0,5 = 
1
2
; 2,5 = 
5
2
; 0,01 = 
1
100
; ... (nºs decimais 
exatos). 
• 0,333 ... = 
1
3
; 0,525252 ... = 
52
99
; ... (dízimas perió-
dicas). 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
8 
 
Blog do Prof. Gilberto 
11.3.1 Representação em diagramas 
 
 
 
ℤ é subconjunto de ℚ 
 
11.3.2 Representação geométrica 
Podemos representar os números racionais 
por pontos pertencentes a uma reta orientada. 
Veja alguns poucos exemplos de números racio-
nais abaixo: 
 
 
 
 Representação de todos os números racio-
nais em reta: 
 
 
 
Observações: 
• O conjunto dos números racionais é denso na 
reta. 
• Entre dois números racionais quaisquer exis-
tem infinitos números racionais. 
 
11.3.3 Limitação desse conjunto 
A figura a seguir mostra um triângulo re-
tângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o 
cálculo para encontrar a sua hipotenusa, utilizando 
o Teorema de Pitágoras: 
 
 
x2 = 12 + 12 
x2 = 1 + 1 
x2 = 2 
 
Que número que elevado ao quadrado dá 
2? 
 
 
 
 
 
Essa foi a indagação dos pitagóricos, tam-
bém! A cerca de 2.000 anos atrás. 
 
Resposta: x = 1,41421356237309 ... 
 
A resposta x = 1,41421356237309 ... é um 
número decimal que não pode ser escrito em for-
ma de fração, portanto, é um número não-
racional - os pitagóricos os chamaram de inco-
mensuráveis. 
 
11.4 Conjunto dos números irracionais 
(𝕀) 
x2 = 12 + 12 
x2 = 2 
x = √2 = 1,41421356 ∉ ℚ 
 
Equações como essa não tem resposta em 
ℚ, a resposta foi possível pela descoberta de um 
novo conjunto numérico, o conjunto dos núme-
ros irracionais, simbolizado por 𝕀, representado 
por números decimais que são dízimas aperiódi-
cas (casas decimais infinitas e sem período). 
 
Exemplos: 
 
• √2 = 1,41421356 ... 
• √3 = 1,73205080 ... 
• √5 = 2,23606797 ... 
• √6 = 2,44948974 ... 
• √7 = 2,64575131 ... 
• π = 3,141592653589 ... 
 
11.4.1 Representação geométrica 
Uma mostra de um ponto na reta de um 
número irracional: Num quadrado de lado 1, como 
na figura abaixo: 
 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras d2 = 12 + 12 ⟹ 
d2 = 2 ⟹ d = √2. Assim a abscissa de 𝑃 é √2 que 
é um número irracional. 
Existem mais números irracionais que nú-
meros racionais. Veja uma mostra: 
• √0 = 0 ∈ ℚ 
• √1 = 1 ∈ ℚ 
• √2 = 1,41421356 ... ∈ 𝕀 
• √3 = 1,73205080 ... ∈ 𝕀 
• √5 = 2,23606797 ... ∈ 𝕀 
• √6 = 2,44948974 ... ∈ 𝕀 
• √7 = 2,64575131 ... ∈ 𝕀 
• √9 = 3 ∈ ℚ 
• √10 = 3,1622776601 ... ∈ 𝕀 
 
Então, assim como os números racionais é 
denso na reta, os números irracionais são densos 
na reta. Representação de todos os números irra-
cionais em reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
9 
 
Blog do Prof. Gilberto 
11.4.2 Representação em diagramas 
 
 
 
11.5 Conjunto dos números reais (ℝ) 
Da união do conjunto dos números racio-
nais com o conjunto dos números irracionais surge 
o conjunto dos números reais, simbolizado por ℝ e 
definido assim: 
 
ℝ = {𝐱; 𝐱 é 𝐧º 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐨𝐮 𝐱 é 𝐧 𝐢𝐫𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 } 
 
11.5.1 Representação em diagramas 
 
 
 
ℚ é subconjunto de ℝ. 
 
𝕀 é subconjunto de ℝ. 
 
 A representação acima é artística, como 
sabemos que existem mais números irracionais do 
que números reais, então uma representação por 
diagramas mais rigorosa seria como na figura 
abaixo: 
 
 
Os diagramas mostram que o conjunto ℕ é 
subconjunto de ℤ, o conjunto ℤ é subconjunto de 
ℚ e ℚ é subconjunto de ℝ; 𝕀 é subconjunto de ℝ. 
Simbolicamente, 
 
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e 𝕀 ⊂ ℝ 
 
11.5.2 Representação geométrica 
 
 
O conjunto dos números reais é denso na 
reta. 
 
11.5.3 Limitação desse conjunto 
A equação x2 + 1 = 0 não tem solução em 
ℝ, pois: 
x2 + 1 = 0 ⟹ x2 = – 1 ⟹ x = ±√–1 
e não existe um número real x que elevado ao 
quadrado resulte em –1. 
Por isso, foi criado um conjunto numérico 
mais amplo que o conjunto dos números reais, o 
conjunto dos números complexos, simbolizado 
por ℂ, que será estudado em outro oportunidade! 
 
12. INTERVALOS 
Os intervalos reais são subconjuntos dos 
números reais. Como entre dois números distintos 
quaisquer há infinitos números, seria impossível 
listar todos os elementos destes subconjuntos. Por 
isso, os intervalos reais são caracterizados por 
desigualdades, englobando assim todos os ele-
mentos dentro do intervalo. 
 
12.1 Intervalo aberto 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: ]a, b[ ou {x ∈ ℝ/ a < x < b} 
 
Significado: São todos os números reais entre a e 
b. 
 
12.2 Intervalo fechado 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: [a, b] ou {x ∈ ℝ/ a ≤ x ≤ b} 
 
Significado: São todos os números reais entre a e 
b, mais o a e o b. 
 
12.3 Intervalo aberto à esquerda 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: ]a, b] ou {x ∈ ℝ/ a < x ≤ b} 
 
Significado: São todos os números reais entre a e 
b, mais o b. 
 
12.4 Intervalo aberto à direita 
 
 Na reta real: 
 
 
 
Notação: [a, b[ ou {x ∈ ℝ/ a ≤ x < b} 
 
Significado: São todos os números reais entre a e 
b, mais o a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
10 
 
Blog do Prof. Gilberto 
12.5 Intervalo aberto e infinito para a 
direita 
 
Na reta real: 
 
 
Notação: ]a, +∞) ou {x ∈ ℝ/ x > a} 
 
Significado: São todos os números reais maiores 
que a. 
 
12.6 Intervalo fechado e infinito para a 
direita 
 
 Na reta real: 
 
 
Notação: [a, +∞) ou {x ∈ ℝ/ x ≥ a} 
 
Significado: São todos os números reais maiores 
que a, mais o a. 
 
12.7 Intervalo aberto e infinito para a 
esquerda 
 
Na reta real: 
 
 
Notação: (–∞, a[ ou {x ∈ ℝ/ x < a} 
 
Significado: São todos os números reais menores 
que a. 
 
12.8 Intervalo fechado e infinito para a 
esquerda 
 
 Na reta real: 
 
 
Notação: (–∞, a] ou {x ∈ ℝ/ x ≤ a} 
 
Significado: São todos os números reais menores 
que a, mais o a. 
 
Observação: Os intervalos de 11.1, 11.2, 11.3 e 
11.4 são chamados de intervalos limitados, pois 
não são infinitos para +∞ e –∞. 
 
Exemplos: 
a) Representar geometricamente na reta ℝ todos 
os números reais maiores que 2 e menores que 3. 
Represente algebricamente. 
 
Resolução: 
 
 
 
]2, 3[ ou {x ∈ ℝ/ 2 < x < 3} 
 
b) Representar geometricamente na reta ℝ todos 
os números reais maiores ou igual a 2 e menores 
que 3. Represente algebricamente. 
 
Resolução: 
 
 
 
[2, 3[ ou {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x < 3} 
c) Representar geometricamente na reta ℝ todos 
os números reais maiores que 2 e menores ou 
igual a 3. Represente algebricamente. 
 
Resolução: 
 
 
 
]2, 3] ou {x ∈ ℝ/ 2 < x ≤ 3} 
 
d) Representar geometricamente na reta ℝ o in-
tervalo {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x ≤ 3}. 
 
Resolução: 
 
 
 
e) Representar geometricamente na reta ℝ o in-
tervalo {x ∈ ℝ/ x > 3}. 
 
Resolução: 
 
 
 
f) Representar geometricamente na reta ℝ o in-
tervalo {x ∈ ℝ/ x ≥ 3}. 
 
Resolução: 
 
 
 
EXERCÍCIO DE PROPOSTO 
31) Represente na reta numérica os seguintes 
intervalos: 
a){x ∈ ℝ/ 3 < x < 5} h)]10, +∞) 
 
b){x ∈ ℝ/ 3 ≤ x ≤ 5} i){x ∈ ℝ/ x > 2} 
 
c){x ∈ ℝ/ 3 < x ≤ 5} j){x ∈ ℝ/ x < 2} 
 
d){x ∈ ℝ/ 3 ≤ x < 5} l){x ∈ ℝ/ x > –2} 
 
e){x ∈ ℝ/ –3 < x < 5} m){x ∈ ℝ/ x < –1} 
 
f)(–∞, 10] n)[10, 15] 
 
g)[10, +∞) o)]10, 15[ 
 
12.9 União de intervalos 
 
Símbolo: ∪ 
 
A união de intervalos inclui todos os ele-
mentos de cada um dos intervalos, mesmo que o 
elemento apareça apenas em um deles. É a “jun-
ção” de todos os elementos dos intervalos em 
questão. 
 
Exemplo: Sejam os intervalos A = {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x ≤ 
5} e B = {x ∈ ℝ/ 3 ≤ x ≤ 6}. Faça o que se pede: 
a) Represente geometricamente o intervalo A. 
b) Represente geometricamente o intervalo B. 
c) Represente geometricamente a união de A e B. 
d) Represente algebricamente a união de A e B.https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
11 
 
Blog do Prof. Gilberto 
Resolução: 
 
 
 
A ∪ B = {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x ≤ 6} 
 
12.10 Intersecção de intervalos 
 
Símbolo: ∩ 
 
A intersecção de intervalos inclui apenas 
os elementos que constarem simultaneamente em 
todos os intervalos. É a análise do que há em co-
mum entre todos os intervalos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
A ∩ B = {x ∈ ℝ/ 3 ≤ x ≤ 5} 
 
12.11 Diferença entre intervalos 
 
Símbolo: – 
 
A diferença de intervalos exclui do intervalo 
original os elementos que constam no intervalo 
que se subtrai. Retira-se do intervalo original os 
elementos a serem subtraídos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
A ‒ B = {x ∈ ℝ/ 2 ≤ x < 3} 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
32) Sendo o conjunto A = {x ∈ ℝ/ –5 < x < –2} e 
B = {x ∈ ℝ/ –3 ≤ x < 0}. Faça o que se pede: 
a) Represente geometricamente o intervalo A. 
b) Represente geometricamente o intervalo B. 
c) Represente geometricamente a união de A e B. 
d) Represente algebricamente a união de A e B. 
e) Represente geometricamente a intersecção de 
A e B. 
f) Represente algebricamente a intersecção de A e 
B. 
g) Represente geometricamente a diferença de 
A e B. 
h) Represente algebricamente a diferença de A e 
B. 
 
 
 
 
33) Dados os intervalos: A = ]5, 9], B = [7, 11], 
C = ]–2, +∞[ e D = ]–∞, 8], determine: 
 
a) A ∪ B c) C ∩ D 
 
b) A ∩ B d) C ∪ D 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
34)(UEPA-2005) Em consequência da aquisição 
de hábitos nada saudáveis, como sedentarismo e 
alimentação excessivamente calórica, Camilla, 
Daniela e Giselle estão engordando. Para combater 
o sobrepeso, resolveram seguir uma dieta e prati-
car exercícios físicos. Porém, devido ao intenso 
ritmo dos estudos dedicados ao cumprimento das 
tarefas escolares, estão com dificuldades para 
destinar um horário em que, juntas, as três pos-
sam frequentar a mesma academia. Os horários 
disponíveis de cada uma correspondem aos se-
guintes intervalos fechados: Camilla, das 17h às 
20h; Daniela, das 18h às 21h; Giselle, de 16h às 
19h. Neste caso, o intervalo que corresponde ao 
horário disponível comum às três para a prática de 
exercícios físicos é: 
 
(a) [16; 17] (c) [18; 19] (e) [20; 21] 
 
(b) [17; 18] (d) [19; 20] 
 
35)(UEPA-2001) Segundo pesquisas realizadas 
no Laboratório Vida, cientistas descobriram que 
bactérias do tipo A resistiram a temperaturas 
compreendidas entre os valores reais de 100 °C e 
450 °C, incluindo neste intervalo os seus limites. 
Por sua vez, bactérias do tipo B resistiram a tem-
peraturas entre os valores reis de 50 °C e 350 °C, 
excluindo deste intervalo os seus limites. Esses 
pesquisadores, desejando estudar relações entre 
essas bactérias, necessitam colocá-las juntas num 
mesmo ambiente. Qual dos intervalos abaixo rela-
cionados, relativos a temperatura ambiente permi-
te que esse estudo seja feito para que tais bacté-
rias permaneçam vivas? 
 
(a) ]100 ; 350[ (c) [100; 350] (e) ]100 ; 350] 
 
(b) [100; 350[ (d) ]0 ; 450] 
 
36)(Cesgranrio-RJ) Se A = {x ∈ ℝ/ x < 1}, B = {x 
∈ ℝ/ –1 < x ≤ 3} e C = {x ∈ ℝ/ x ≥ 0} o intervalo que 
representa (A ∩ B) – C é: 
 
(a){x ∈ ℝ/ –1 < x < 0} (d){x ∈ ℝ/ x ≤ 3} 
 
(b){x ∈ ℝ/ –1 < x ≤ 0} (e){x ∈ ℝ/ x > –1} 
 
(c){x ∈ ℝ/ –1 < x < 1} 
 
37)(PUC-MG) Se A = ]–2, 3], B = [0, 5], então os 
números inteiros em B – A são: 
 
(a) –1 e 0 (c) 4 e 5 (e) 0, 1, 2 e 3 
 
(b) 1 e 0 (d) 3, 4 e 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
12 
 
Blog do Prof. Gilberto 
13. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZA-
GEM-ODA 
 
• Slides das aulas de conjuntos – Prof. Gilberto 
Santos 
• Apostila de Conjuntos (12 páginas, 56 ques-
tões) com gabarito 
• Apostila de Função e Função do 1º Grau (10 
páginas, 35 questões) com Habilidades da 
BNCC 
• Apostila de Função e Função do 1º Grau (25 
páginas, 118 questões, com com gabarito) com 
Habilidades da BNCC 
• Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 
questões) 
• Apostila de Função do 2º Grau (9 páginas, 56 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Logarítmica (7 páginas, 43 
questões) 
• Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 
questões) 
• Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge-
bra (4 páginas,10 questões) 
• Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge-
bra (3 páginas) 
• Laboratório de Funções com planilhas eletrôni-
cas (7 páginas,10 questões) 
• Todas as apostilas de Matemática de Ensino 
Fundamental do Prof. Gilberto 
• Todas as apostilas de Matemática de Ensino 
Médio do Prof. Gilberto 
• Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do 
Prof. Gilberto 
 
14. REFERÊNCIAS 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1. 
 
PAIVA, M. Matemática: Paiva. 3. Ed. São Paulo: Moderna, 
2015, v.1. (Ensino Médio) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 27/2/2023 
 
Gostou da apostila? Você encontra várias 
apostilas como essa no blog do Professor 
Gilberto Santos, no endereço 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com
/ ou siga pelo QR code ao lado. 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/slides-das-aulas-de-conjuntos.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/slides-das-aulas-de-conjuntos.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/slides-das-aulas-de-conjuntos.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-conjuntos-gr.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-conjuntos-gr.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-conjuntos-gr.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.htmlhttps://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/apostila-de-potenciacao-e-radiciacao-7.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/apostila-de-potenciacao-e-radiciacao-7.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/videos-de-matematica-do-prof-gilberto.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/videos-de-matematica-do-prof-gilberto.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/