TCMI Aula 6 Transiente ERE 2020(1)

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A aplicação do Método Diferencial aos problemas de TM é muito 
semelhante aos problemas de TC. A Eq. final para a TM é tal que:
Onde:
7.2. MÉTODO DIFERENCIAL
   n*
1n
m
2
n
* xcosFoexpC n  







AAi
AA*
2
AB
m
Lc
tD
Fo 
L
x
x* 
AB
m D
Lckc
Bi 
Exemplo 7.8
Um pedaço de madeira com dimensões 20  20  2 cm é exposto a 
uma atmosfera de ar relativamente seco a fim de efetuar a secagem do 
material. As bordas estão inicialmente cobertas a fim de limitar o 
processo de secagem às faces maiores. O líquido interno se difunde até a 
superfície onde evapora em contato com ar seco. O conteúdo de umidade 
na superfície permanece constante em 5 % bu (base úmida). Após 8 horas 
de secagem, o conteúdo de umidade no centro decresce de 15 para 8 % bu. 
Se o coeficiente convectivo de transferência de massa pode ser 
considerado suficientemente grande para que se despreze a resistência 
convectiva, determine o valor do coeficiente de difusão da água na 
madeira.
Exemplo 7.8
secosólidodemassa
águademassa
secabase
totalmassa
águademassa
úmidabase

 Muda durante a secagem
Muda durante a secagem
Muda durante a secagem
Constante durante a secagem
Para um cilindro infinito (longo, com H > 10 r):
J0 = função de Bessel de 1° espécie de ordem zero.
J1 = função de Bessel de 1° espécie de ordem um.
7.2. MÉTODO DIFERENCIAL
   1*0211* rJFoexpC 
 11
1
*
0
J
2
1
Q
Q 0 



k
rh
Bi 0
0
*
r
r
r 
2
0r
t
Fo


Note que, agora, o comprimento 
característico, Lc, é o próprio
raio do cilindro!!
7.2. MÉTODO DIFERENCIAL
   1*0211* rJFoexpC 
 11
1
*
0
J
2
1
Q
Q 0 



k
rh
Bi 0
0
*
r
r
r 
2
0r
t
Fo


Para uma esfera de raio r:
7.2. MÉTODO DIFERENCIAL
   *1*
1
2
11
* rsen
r
1
FoexpC 


    1113
*
0
cossen
3
1
Q
Q
1
0 



k
rh
Bi 0
0
*
r
r
r 
2
0r
t
Fo


Neste caso, também, o comprimento 
característico, Lc, é o próprio
raio da esfera!!
r
Exemplo 7.9
Um cilindro maciço com diâmetro de 5,0 cm feito de 
alumínio (k = 215 W/m.K,  = 2700 kg/m3 , cp = 0,90 kJ/kg.K) é 
utilizado em um determinado processo de resfriamento. Para 
tanto, ele é colocado em contato com uma ambiente que está a 
70 C no qual é possível assumir h = 525 W/m2K. 
É necessário que se conheça a temperatura num raio de 
1,25 cm e o calor perdido por unidade de comprimento do cilindro 
passados 1 min de exposição a este ambiente. 
Assuma que inicialmente o cilindro está a uma 
temperatura de 200 C.
21
31
21
31
YY
YY
XX
XX





Interpolação:
X1 0,06 Y1 0,3438
X2 0,061 Y2 ?
X3 0,07 Y3 0,3708
Exemplo 7.10
No tratamento térmico para temperar bilhas de aço de rolamento 
(k = 50 W/m.K,  = 7800 kg/m3 , cp = 0,50 kJ/kg.K) é desejável elevar a 
temperatura superficial durante um pequeno intervalo 
de tempo sem aquecer significativamente o interior 
da bilha. Este tipo de aquecimento pode 
ser conseguido mediante a brusca imersão 
da bilha num banho de sal fundido com 
T = 1300 K e h = 5000 W/m2K. Admitindo-se que 
qualquer ponto no interior da bilha cuja temperatura 
seja superior a 1000 K fique temperada, estimar o 
tempo necessário para temperar uma casca de 1 mm 
de espessura numa bilha de 20 mm de diâmetro, se a 
temperatura inicial da bilha é 300 K.
Exemplo 7.11
Uma peça no formato de uma esfera com diâmetro 10 cm que 
inicialmente encontra-se a 90 C, é resfriada pela imersão em um banho 
de água a 40 C onde pode-se assumir um coeficiente de transferência de 
calor de 200 W/m2K. As propriedades termofísicas do material da esfera 
são: k = 5 W/m.K,  = 2600 kg/m3, cp = 1030 J/kg.K. 
Depois de algum tempo no banho, a esfera 
é removida e isolada termicamente, atingindo 
uma temperatura uniforme de 50 C. 
Determine quanto tempo a esfera 
permaneceu no banho e qual a sua 
temperatura superficial transcorrido 
este tempo.