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Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
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Matemática
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3ª Série
Professor
Junho | 2023
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
Governador do Estado de Goiás
Ronaldo Ramos Caiado
Vice-Governador do Estado de Goiás
Daniel Vilela
Secretária de Estado da Educação
Aparecida de Fátima Gavioli Soares Pereira
Secretária-Adjunta
Helena Da Costa Bezerra
Diretora Pedagógica
Márcia Rocha de Souza Antunes
Superintendente de Educação Infantil e Ensino 
Fundamental
Giselle Pereira Campos Faria
Superintendente de Ensino Médio
Osvany Da Costa Gundim Cardoso
Superintendente de Segurança Escolar e 
Colégio Militar
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Superintendente de Desporto Educacional, Arte 
e Educação
Marco Antônio Santos Maia
Superintendente de Modalidades e Temáticas 
Especiais 
Rupert Nickerson Sobrinho 
Diretor Administrativo e Financeiro
Andros Roberto Barbosa
Superintendente de Gestão Administrativa
Leonardo de Lima Santos
Superintendente de Gestão e Desenvolvimento 
de Pessoas
Hudson Amarau De Oliveira
Superintendente de Infraestrutura
Gustavo de Morais Veiga Jardim
Superintendente de Planejamento e Finanças
Taís Gomes Manvailer
Superintendente de Tecnologia
Bruno Marques Correia
Diretora de Política Educacional
Patrícia Morais Coutinho
Superintendente de Gestão Estratégica e Avaliação de 
Resultados
Márcia Maria de Carvalho Pereira
Superintendente do Programa Bolsa Educação
Márcio Roberto Ribeiro Capitelli
Superintendente de Apoio ao Desenvolvimento Curricular
Nayra Claudinne Guedes Menezes Colombo
Chefe do Núcleo de Recursos Didáticos
Alessandra Oliveira de Almeida
Coordenador de Recursos Didáticos para o Ensino 
Fundamental
Evandro de Moura Rios
Coordenadora de Recursos Didáticos para o Ensino Médio
Edinalva Soares de Carvalho Oliveira
Professores elaboradores de Língua Portuguesa
Edinalva Filha de Lima Ramos
Katiuscia Neves Almeida
Luciana Fernandes Pereira Santiago
Professores elaboradores de Matemática
Alan Alves Ferreira
Alexsander Costa Sampaio
Tayssa Tieni Vieira de Souza
Silvio Coelho da Silva
Professores elaboradores de Ciências da Natureza
Leonora Aparecida dos Santos
Sandra Márcia de Oliveira Silva
Revisão
Alessandra Oliveira de Almeida
Cristiane Gonzaga Carneiro Silva
Maria Aparecida Oliveira Paula 
Diagramadora
Adriani Grun
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APRESENTAÇÃO
Colega Professor(a),
O REVISA GOIÁS é um material estruturado de forma dialógica e funcional com o objetivo de recompor as aprendiza-
gens e, consequentemente, avançar na proficiência. 
Nessa perspectiva, para o 9º ano do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio, são considerados os resultados das 
avaliações externas, pontuando habilidades críticas previstas para cada etapa de ensino, considerando todo o processo 
percorrido até a aprendizagem. 
O material do 9º ano também pode ser usado na 1ª série do Ensino Médio, no intuito de recompor as aprendizagens 
previstas até o final do Ensino Fundamental. Já o material da 2ª e 3ª série é elaborado a partir dos descritores e habili-
dades críticas previstos para a etapa de ensino, observadas no SAEGO e simulados realizados ao longo do ano. 
O material também apresenta atividades de Ciências da Natureza/ Ciências da Natureza e suas Tecnologias, devido à 
sua inserção, de forma amostral, no Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) a partir de 2021. Ressaltamos 
que a progressão do conhecimento, nesta área, está representada no quadro 1, onde os EIXOS DO CONHECIMENTO 
correspondem às três UNIDADES TEMÁTICAS, que vão se complexificando em formato espiral crescente, desde o 1º 
ano do Ensino Fundamental, até a 3ª série do Ensino Médio. Já os EIXOS COGNITIVOS estão representando a pro-
gressão do conhecimento de acordo com os Domínios Cognitivos de Bloom (BLOOM, 1986) que são: Conhecimento 
(representado pela letra A), Compreensão (pela letra B) e Aplicação (pela letra C). Já o quadro 2, organiza as habilida-
des estruturantes, ou seja, mais complexas, em sub-habilidades para favorecer o desenvolvimento do nosso estudante, 
respeitando as etapas de ensino e a transição do Ensino Fundamental para o Ensino Médio.
O material é dividido em 2 semanas que, por sua vez, são subdivididas em assuntos. No início da atividade de Língua 
Portuguesa e Matemática, constarão os descritores previstos para o mês e os conhecimentos necessários para desen-
volvê-los. 
O Revisa Goiás será disponibilizado, via e-mail e drive, no final de cada mês, para que o(a) professor(a) tenha tempo 
hábil de acrescentar esse material em seu planejamento. 
Sugerimos que este material seja esgotado em sala de aula, uma vez que ele traz conhecimentos basilares que subsi-
diarão a ampliação do conhecimento e o trabalho com as habilidades previstas para o corte temporal/bimestre. 
Um excelente trabalho para você!
Você também pode baixar o material pelo link:
https://drive.google.com/drive/folders/146Uv6vgeD54CF2CAfpwYsZnDl
A78fyMX?usp=sharing
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SUMÁRIO
Quadro de Descritores e Subdescritores ........................................................................................................ 5
Semana 1: 
►Máximos e mínimos de funções polinomiais do 2° Grau. ............................................................... 8
►Equação da circunferência. ................................................................................................................ 17
Semana 2: 
►Raízes de um polinômio. ..................................................................................................................... 27
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MATEMÁTICA - 3ª SÉRIE
QUADRO DE DESCRITORES E SUBDESCRITORES
Hab. 
SAEGO
2022
DESCRITORES SUBDESCRITORES
72% 
(2022)
D21 – Identificar o 
gráfico que representa 
uma situação descrita 
em um texto.
D21 D Identificar em um texto o gráfico de uma função do 2º grau (a > 0)
D21 E Identificar em um texto o gráfico de uma função do 2º grau (a < 0)
44%
(2022)
48%
(2023)
D25 – Resolver pro-
blemas que envolvam 
os pontos de máximo 
ou de mínimo no 
gráfico de uma função 
polinomial do 2º grau.
D25 A Identificar o máximo de uma função polinomial do 2º grau em um gráfico.
D25 B Identificar o mínimo de uma função polinomial do 2º grau em um gráfico.
D25 C Calcular o máximo de uma função polinomial do 2º grau algebrica-mente.
D25 D Calcular o mínimo de uma função polinomial do 2º grau algebrica-mente.
D25 E Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
D25 F Resolver problemas que envolvam os pontos de mínimo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
D25 G Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo algebrica-mente de uma função polinomial do 2º grau.
D25 H Resolver problemas que envolvam os pontos de mínimo algebrica-mente de uma função polinomial do 2º grau.
27%
(2022)
D10 – Reconhecer, 
dentre as equações 
do 2º grau com duas 
incógnitas, as que 
representam circunfe-
rências.
D10 A
Diferenciar uma equação do 2º grau que representa geometrica-
mente uma parábola de uma equação do 2º grau que corresponde a 
uma circunferência.
D10 B Diferenciar uma equação que representa uma circunferência da que representa reta ou parábola.
D10 C Escrever a equação reduzida da circunferência dados os valores do centro e do raio.
D10 D Escrever a equação geral da circunferência dados os valores do centro e do raio.
D10 E Transformar uma equação geral da circunferência em uma equação reduzida da circunferência.
D10 F Identificar a equação de uma circunferência desenhada no plano cartesiano.
D10 G Identificar a representação algébrica de uma circunferência a partir de seu gráfico.
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10%
(2022)
D26 – Relacionar as 
raízes de um polinô-
mio com sua decom-
posição em fatores do 
1º grau.
D26 A Escrever uma equação do tipo: ax
2 + bx + c = 0 como: a∙(x ̶ x1 ) ∙ 
(x ̶ x2 ) = 0
D26 B Escrever um polinômio do terceiro grau como: P (x) = αn ∙ (ax
2 + bx 
+ c) ∙ (x ̶ x1 ) conhecida uma raiz.
D26 C Escrever um polinômio do terceiro grau como decomposição em fa-tores do 1º grau, conhecidas suas raízes.
D26 D Escrever um polinômio do quarto grau como decomposição em fato-res do 1º grau, conhecidas suas raízes.
D26 E Identificar um polinômio do segundo grau dada sua decomposição em fatores do 1º grau.
D26 F Identificar um polinômio do terceiro grau dada sua decomposição em fatores do 1º grau.
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Professor(a), este material foi estruturado e elaborado a partir de uma matriz de subdescritores, pautada na matriz de 
descritores do SAEB. 
A matriz de subdescritores contempla um conjunto de sub-habilidades que precisam ser desenvolvidas com efetividade 
para que o estudante do ciclo do 9° ano à 3ª série avance no desenvolvimento integral das habilidades dos descritores 
propostos no ensino-aprendizagem. 
Cada aula aborda o desenvolvimento de um descritor, por meio de uma sequência gradativa de atividades que con-
templam as sub-habilidades, tendo como objetivo oportunizar aos estudantes o desenvolvimento da habilidade desse 
descritor em sua integralidade. Sendo assim, essas atividades consideram as diversas estratégias, ferramentas, pro-
cedimentos e conhecimentos prévios os quais o estudante necessita para o desenvolvimento pleno de cada habilidade 
(descritor). Caso considere necessário, fique à vontade para inserir atividades que assegurem outras sub-habilidades 
que você pondera importantes e necessárias e que, porventura, não estejam listadas na coluna de subdescritores. 
Ao final de cada aula, é proposta a resolução de um item com a finalidade de avaliar o desenvolvimento do estu-
dante quanto à habilidade do descritor abordado na aula. Caso os estudantes continuem apresentando dificulda-
des na habilidade estudada, sugere-se que sejam elaboradas outras atividades que contribuam com a aprendiza-
gem desses estudantes.
É importante ressaltar também, que este material foi dividido em duas semanas (Semana1 e Semana 2) e que, em cada 
uma, é trabalhada pelo menos uma temática.
COMPREENDENDO O MATERIAL PEDAGÓGICO
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Semana 1
► Máximos e mínimos de funções 
 polinomiais do 2° Grau
Relembrando
Descritor SAEB: D21 – Identifi car o gráfi co que representa 
uma situação descrita em um texto. (Apenas quadrática).
Descritor SAEB: D25 – Resolver problemas que envolvam 
os pontos de máximo ou de mínimo no gráfi co de uma função 
polinomial do 2º grau.
Objetos de conhecimento desenvolvidos:
• Equação do 2° grau;
• Função do 2° grau;
• Plano cartesiano;
• Situação problema. 
Máximo ou mínimo de uma função quadrática
Vértice da parábola 
Os gráficos a seguir representam uma função qua-
drática, que de forma genérica, é representada por: 
f(x) = ax² + b + c:
O ponto V, representado nos gráfi cos, chama-se vértice 
da parábola.
As coordenadas do vértice são:
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎 e 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
Então 𝑉 = − 𝑏2𝑎 ,−
∆
4𝑎 .
Exemplo: 
Calcule as coordenadas do vértice da parábola que re-
presenta a seguinte função:
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 − 3
Como
𝑎 = 1, 𝑏 = 2
e 𝑐 = −3, então ∆ = 2² − 4 � 1 � (−3) = 16
→ 𝑦𝑣 = −4
Logo 𝑉 = (−1,−4).
Ponto de máximo e de mínimo da função.
Observe o gráfi co da função f(x) = x² + 2x - 3, em que a > 0: 
Como o coefi ciente a é maior do que zero (a > 0), a con-
cavidade da parábola é voltada para cima. Analisando 
o gráfi co da esquerda para a direita, observa-se que os 
valores de y vão diminuindo até chegar ao vértice, depois 
esses valores vão aumentando. Quando isso acontece, 
diz-se que o vértice é o ponto de mínimo.
Observe agora o gráfi co da função f(x) = -x² + 4x -5, em 
que a<0:
Como o coefi ciente a é menor do que zero (a<0) a con-
cavidade da parábola é voltada para baixo. Analisando o 
gráfi co da esquerda para a direita, observa-se que os va-
lores de y vão aumentando até chegar ao vértice, depois 
esses valores vão diminuindo. Quando isso acontece, 
diz-se que o vértice é o ponto de máximo.
Nota-se que: 
Se a > 0, a função f(x) = ax² + bx + c assume um 
valor mínimo, e o vértice é o ponto de mínimo.
Se a < 0, a função f(x) = ax² + bx + c assume um 
valor máximo e o vértice é o ponto de máximo.
a)
b)
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Para calcular o valor de máximo ou de mínimo de uma 
função, utiliza-se o mesmo procedimento do cálculo da 
ordenada y do vértice, mostrado anteriormente, ou seja:
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
Exemplos:
As funções a seguir admitem um ponto de máximo ou 
um ponto de mínimo? Calcule-os. 
 𝑦 = 5𝑥² − 3𝑥 − 2 (𝑎 = 5, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = −2)
Sendo a = 5 (a > 0), então a função admite um mínimo, 
calculando tem-se:

 𝑦 = −𝑥² + 2𝑥 − 2 (𝑎 = −1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = −2)
Sendo a = ̶ 1 (a < 0), então a função admite um máximo. 
Calculando tem-se:
Professor(a) a situação descrita na atividade 1 foi retirada do 
Revisa de fevereiro e tem por objetivo possibilitar o desenvolvi-
mento da habilidade de identifi car o gráfi co que modela a situ-
ação descrita em um texto, nesse caso, uma função do 2º grau 
com a > 0.
É fundamental que o estudante reconheça o grau da função 
descrita e, com essa informação, identifi que o gráfi co que mo-
dela essa situação.
Enfatize a relação entre a concavidade da parábola e o sinal do 
coefi ciente a, pois os estudantes cometem muitos equívocos 
sobre essa relação nas avaliações externas. 
1. Leia a situação a seguir e resolva o que é proposto.
A equação do 2º tem várias aplicações. Na Física, por 
exemplo, ela possui um papel importante na análise dos 
movimentos uniformemente variados (MUV), pois em ra-
zão da aceleração, ocorre a variação da velocidade e do 
espaço dos corpos em função do tempo.
Na Física, a sentença que relaciona o espaço em função 
do tempo é dada por:
𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
Onde, a: aceleração, S: espaço ou posição, S0: posição 
inicial, V0: velocidade inicial e t: tempo.
Um exemplo de um móvel realizando um MUV é dado 
pela função: S = 2t2 ̶ 18t + 36, sendo S medido em 
metros e t em segundos.
a) Qual é a variável dependente e a variável independen-
te da função apresentada nesse texto?
b) Comparando termo a termo 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2 
com 𝑆 = 2𝑡2 − 18𝑡 + 36, indique o valor de:
• S0 = _____
• V0 = _____
• a = _____
c) Reescreva a função: S = 2t2 - 18t + 36 utilizando y 
em função de x.
d) Qual o grau da função: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
f) Faça o esboço do gráfico que representa a função 
S = 2t2 ̶ 18t + 36.
e) Qual é o nome do gráfi co que representa a situação 
descrita no texto?
Sugestão de solução:
a) A variável dependente é S que representa o espaço 
percorrido e a variável independente é t que representa o 
tempo do percurso.
b) Comparando termo a termo 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
com 𝑆 = 2𝑡2 − 18𝑡 + 36, indique o valor de:
• S0 = 36
• V0 = ̶ 18
• a = 4
c) Reescrevendo a função: S = 2t2 ̶ 18t + 36 utilizando y em 
função de x, obtém-se: y = 2x2 - 18x + 36
D21 D - Identifi car em um texto o gráfi co de uma função do 
2º grau (a > 0).
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Professor(a) a atividade 2 tem possibilita o desenvolvimento da 
habilidade de identificar o gráfico que modela uma situação des-
crita em um texto, nesse caso, uma função do 2º grau com a < 0.
É fundamental que o estudante reconheça o grau da função 
descrita e, com essa informação, identifique o gráfico que mo-
dela a situação descrita.
Enfatize a relação entre a concavidadeda parábola e o sinal do 
coeficiente a, pois os estudantes cometem muitos equívocos 
sobre essa relação nas avaliações externas.
2. Leia a situação descrita no texto a seguir:
Em uma brincadeira chamada "Stop", o jogador deve 
lançar a bola verticalmente para cima e gritar o nome 
de alguma pessoa que esteja na brincadeira. Quando a 
bola retornar ao chão, o jogador chamado deve segurar 
a bola e gritar: "Stop", e todos os outros devem parar, 
assim a pessoa chamada deve "caçar" os outros joga-
dores. Durante a brincadeira, uma das crianças lança a 
bola para cima, esta chega a uma altura de 9 metros em 
3 segundos. Sabe-se que a altura h percorrida pela bola 
pode ser descrita em função do tempo por:
ℎ(𝑡) = 𝑣0𝑡 −
1
2𝑔𝑡
2
em que g = 10m/s2 é a aceleração da gravidade.
Responda:
a) Qual é a variável dependente e a variável independen-
te da função apresentada nesse texto?
b) Considerando v0 = 18 m/s e as informações contidas 
no texto sobre o valor de g, escreva a função que repre-
senta essa situação descrita.
c) Reescreva a função do item b utilizando y em função 
de x.
d) Qual é o grau da função: ℎ(𝑡) = 𝑣0𝑡 −
1
2𝑔𝑡
2
e) Qual o nome do gráfico que representa a situação des-
crita no texto?
f) Faça o esboço do gráfico da função do item b.
Sugestão de solução:
a) A variável dependente é h que representa a altura da bola e a 
independente é o t que representa o tempo da trajetória.
b) Considerando v0 = 18 m/s e as informações contidas no 
texto sobre o valor de g, a função que representa essa situação 
descrita é:
ℎ(𝑡) = 18𝑡 − 12 � 10𝑡
2 → ℎ(𝑡) = 18𝑡 − 5𝑡2
c) A reescrita da função da pergunta b utilizando y em função 
de x é: y = 18x ̶ 5x2
d) O grau da função ℎ(𝑡) = 𝑣0𝑡 −
1
2𝑔𝑡
2 é 2, ou seja, é uma 
função quadrática.
e) O gráfico que representa a situação descrita no texto é uma 
parábola.
f) O gráfico do exemplo: h(t) = 18t ̶ 5t2 é:
D21 E - Identificar em um texto o gráfico de uma função do 
2º grau (a < 0).
Professor(a), a atividade 3, em formato de item, avalia se o 
estudante desenvolveu a habilidade de identificar o gráfico 
que modela a situação descrita em um texto, neste caso, uma 
função do 2º grau. A fim de facilitar o reconhecimento do grau 
da função e consequentemente do gráfico que a representa, 
realize a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
subtração, conforme exemplo a seguir.
𝑌(𝑥) = 𝑐 · 𝑥 · (𝑃– 𝑥)
𝑌(𝑥) = 𝑐 · (𝑥𝑃– 𝑥 � 𝑥)
𝑌(𝑥) = 𝑐 · (𝑥𝑃– 𝑥2)
𝑌 𝑥 = 𝑐𝑃𝑥 − 𝑐𝑥2
3. Uma fofoca em uma determinada rede social tem um 
público definido e desenvolve-se com rapidez. Em geral, 
essa rapidez é diretamente proporcional ao número de 
pessoas que o fofoqueiro(a) tem na rede e também di-
retamente proporcional ao número de pessoas que não 
pertencem a sua rede social. Em outras palavras, sendo 
Y a rapidez de propagação, P o público-alvo (pessoas 
que não pertencem a sua rede social) e x o número de 
pessoas que pertencem a rede social do fofoqueiro(a), 
tem-se: Y(x) = c · x · (P–x), em que c é uma constante 
positiva característica do boato.
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O gráfico cartesiano que melhor representa a função 
Y(x), para x real, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: D
D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação 
descrita em um texto.
Professor(a), na atividade 4, o objetivo é que o estudante de-
senvolva a habilidade de identificar o máximo ou o mínimo de 
uma função polinomial do 2º grau em um gráfico. 
A atividade é composta por quatro gráficos de parábolas, por 
isso é importante relembrar que o coeficiente a determina a 
concavidade da parábola, como verifica-se a seguir:
 • a > 0 concavidade voltada para cima;
 • a < 0 concavidade voltada para baixo.
Assim, a concavidade possibilita identificar, graficamente, ou 
o máximo ou o mínimo de uma função polinomial do 2º grau. 
Essa é a habilidade que se deseja desenvolver neste momento.
4. Observe os quatro gráficos seguintes e realize as ati-
vidades relacionadas a eles.
Gráfico I
Gráfico II
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Gráfico III
Gráfico IV
a) Pesquise e escreva o significado de “valor máximo” 
na matemática.
b) Pesquise e escreva o significado de “valor mínimo” 
na matemática.
c) O valor máximo ou o valor mínimo em uma repre-
sentação gráfica de uma função quadrática é indicado 
em qual eixo?
d) Indique, nos gráficos I, II, III e IV, o valor máximo 
com uma seta, e o valor mínimo, com um círculo.
e) Quais desses gráficos possuem um valor máximo?
f) Quais desses gráficos possuem um valor mínimo?
g) Complete as lacunas a seguir:
• O gráfico I apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
 (máximo / mínimo)
• O gráfico II apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
 (máximo / mínimo)
• O gráfico III apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
(máximo / mínimo)
• O gráfico IV apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
(máximo / mínimo)
Sugestão de solução:
a) Na matemática, valor máximo é o maior valor admitido em 
uma função.
b) Na matemática, valor mínimo é o menor valor admitido em 
uma função.
c) O valor máximo ou o valor mínimo é indicado por um número 
real pertencente ao eixo das ordenadas (eixo y).
d) 
e) Os gráficos II e III possuem um valor máximo.
f) Os gráficos I e IV possuem um valor mínimo.
g) Complete as lacunas a seguir:
 • O gráfico I apresenta o valor mínimo igual a -3.
 • O gráfico II apresenta o valor máximo igual a 5.
 • O gráfico III apresenta o valor máximo igual a -2.
 • O gráfico IV apresenta o valor mínimo igual a 1.
D25 A - Identificar o máximo de uma função polinomial do 
2º grau em um gráfico.
D25 B - Identificar o mínimo de uma função polinomial do 
2º grau em um gráfico.
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Professor(a), na atividade 5, tem-se o objetivo de desenvolver 
junto ao estudante a habilidade de calcular o máximo ou o míni-
mo de uma função polinomial do 2º grau algebricamente. 
Essa atividade é composta por seis funções do 2° grau, para 
as quais devem ser calculados algebricamente o maior ou o 
menor valor que essas funções podem assumir. Por isso é im-
portante relembrar que se utiliza a seguinte sentença (fórmula) 
para o cálculo desse valor:
• 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐
4�𝑎 , onde 𝑦𝑉 significa y
do vértice e ∆ é o discriminante da fórmula resolutiva
da equação do 2º grau (Bháskara);
• 𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎 , onde 𝑥𝑉 significa 𝑥 do vértice e 𝑎 e 𝑏 são os
mesmos coeficientes da função polinomial do 2° grau,
ou seja, 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 .
Lembre e comente com os estudantes que xV e yV representa 
as coordenadas do vértice da parábola, que é um ponto de in-
flexão que divide graficamente o ramo positivo e o ramo nega-
tivo na parábola, e mais, indica o ponto máximo ou mínimo da 
função (Revisa de Março).
Assim como na atividade anterior, comente sobre o coeficiente 
a, que determina a concavidade da parábola, como verifica-se 
a seguir:
 a > 0 concavidade voltada para cima;
 a < 0 concavidade voltada para baixo.
Então, o coeficiente a, indica se o cálculo é do máximo ou do 
mínimo da função polinomial do 2° grau.
5. Determine o maior ou o menor valor que cada uma 
das funções a seguir pode assumir e justifique o porquê 
desse valor ser o maior ou o menor.
a) f(x) = 2x2 ̶ 11
b) S = 15 + 10t + 2t²
c) y= ̶ x2 + 11x ̶ 1
d) S = 5 + 6t ̶ t²
e) f(x) = 2x2 ̶ 10x
f) S = ̶ 6 ̶ 9t ̶ 3t²
Sugestão de solução:
a) 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐
4�𝑎
𝑦𝑉 =
− 02−4�2� −11
4�2 → 𝑦𝑉 =
− 0−8� −11
8 → 𝑦𝑉 =
− 0+88
8 → 𝑦𝑉 =
− 88
8 → 𝑦𝑉 =
−88
8 = −11
Esse é o menor valor que essa função pode assumir, pois a 
concavidade da parábola que corresponde a essa função está 
voltada para cima.
b) 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐4�𝑎
=
− 100 − 120
8 → 𝑦𝑉 =
− −20
8 → 𝑦𝑉 =
20
8 = 2,5
Esse é o menor valor que essa função pode assumir, pois a 
concavidade da parábola que corresponde a essa função está 
voltada para cima.
c) 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐
4�𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 112−4� −1 � −1
4� −1
Esse é o maior valor que essa função pode assumir, pois a 
concavidade da parábola que corresponde a essa função está 
voltada para baixo.
d) 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐
4�𝑎
𝑦𝑉 =
− 62−4� −1 �5
4� −1 → 𝑦𝑉 =
− 36−20� −1
−4 → 𝑦𝑉 =
− 36+20
−4 → 𝑦𝑉 =
− 56
−4 → 𝑦𝑉 =
−56
−4 = 14
Esse é o maior valor que essa função pode assumir, pois a 
concavidade da parábola, que corresponde a essa função, está 
voltada para baixo.
e) 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐
4�𝑎
𝑦𝑉 =
− −10 2−4�2�0
4�2 → 𝑦𝑉 =
− 100−8�0
8 → 𝑦𝑉 =
− 100+0
8 → 𝑦𝑉 =
− 100
8 → 𝑦𝑉 =
−100
8 = −12,5
Esse é o menor valor que essa função pode assumir, pois a 
concavidade da parábola, que corresponde a essa função, está 
voltada para cima.
f) 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 → 𝑦𝑉 =
− 𝑏2−4�𝑎�𝑐
4�𝑎
𝑦𝑉 =
− −9 2−4� −3 � −6
4� −3 → 𝑦𝑉 =
− 81−4� +18
−12 →
 𝑦𝑉 =
− 81−72
−12 → 𝑦𝑉 =
− 9
−12 → 𝑦𝑉 =
−9
−12 = 0,75
Esse é o maior valor que essa função pode assumir, pois a 
concavidade da parábola, que corresponde a essa função, está 
voltada para baixo.
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D25 C - Calcular o máximo de uma função polinomial do 2º 
grau algebricamente.
D25 D - Calcular o mínimo de uma função polinomial do 2º 
grau algebricamente.
Professor(a), na atividade 6, tem-se o objetivo de que o es-
tudante desenvolva a habilidade de resolver problemas que 
envolvam os pontos de máximo no gráfico de uma função poli-
nomial do 2º grau. 
Nessa atividade, diferentemente das anteriores que calculavam 
ou identificavam a ordenada y do vértice, o estudante deverá 
indicar no gráfico a coordenada x do vértice.
É importante ressaltar que o ponto máximo ou o ponto mínimo 
do gráfico de uma função é representado por (xV ,yV ), ou seja, 
também está relacionado com o valor de x.
6. A quantidade de água, em quilolitro, do reservatório de 
uma cidade varia em função do tempo, em horas, confor-
me ilustra o gráfico da função quadrática a seguir.
Considerando as informações sobre o reservatório de 
água e o gráfico, em quantas horas esse reservatório 
atinge sua capacidade máxima?
Sugestão de solução:
Solução gráfica
De acordo com o gráfico a capacidade máxima do reservatório 
é 100 kL (valor de yv) e o tempo gasto para que o reservatório 
atinja essa capacidade é de 10 horas (valor de xv).
D25 E - Resolver problemas que envolvam os pontos de 
máximo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
Professor(a), na atividade 7, tem-se o objetivo de que o es-
tudante desenvolva a habilidade de resolver problemas que 
envolvam os pontos de mínimo no gráfico de uma função poli-
nomial do 2º grau.
Essa atividade é uma ampliação da anterior, pois é pedido que 
o estudante calcule e identifique tanto a abscissa x quanto a 
ordenada y do vértice.
É importante utilizar essa atividade para ressaltar que, para 
se obter o y do vértice, pode-se calcular 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 , ou subs-
tituir algebricamente o valor do x do vértice na lei de forma-
ção da função. Outra habilidade que pode ser desenvolvida 
com essa atividade é reconhecer e escrever a representa-
ção algébrica de uma função do 2º grau dado o seu gráfico. 
Para isso, relembre que é possível utilizar a seguinte fórmu-
la: a ∙ (x ̶ x1 ) ∙ (x ̶ x2 ) = 0, sendo que a corresponde ao 
coeficiente que multiplica a variável ao quadrado e x1 e x2 
correspondem às raízes da função quadrática.
7. O gráfico a seguir corresponde ao registro das tempe-
raturas em certa cidade, no período entre meia-noite e 5 
horas da manhã.
Considerando que esse gráfico obedece à lei de forma-
ção de uma função do 2º grau, em qual horário foi regis-
trada a temperatura mínima, nesse período? E qual foi a 
temperatura mínima atingida?
Sugestão de solução:
Como deseja-se saber o horário em que foi registrada a 
temperatura mínima e o valor dessa temperatura mínima 
atingida nesse período, pode-se obter a resposta graficamente 
ou calcular o x e o y do vértice dessa parábola.
O x do vértice pode ser obtido analisando o gráfico, sendo que 
o horário correspondente à temperatura mínima de acordo com 
o gráfico é 2 horas da madrugada, observe:
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Para calcular o y do vértice, observa-se analisando o gráfico 
que as raízes da função são 1 e 3, então:
(x ̶ 1)(x ̶ 3) = 0
x2 ̶ 3x ̶ x + 3 = 0
x2 ̶ 4x + 3 = 0
Assim, a função é f(x) = x2 ̶ 4x + 3.
Agora, para obter a temperatura mínima, pode-se substituir o 
valor do x do vértice nessa função ou calcular 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 �
∙ 
Para melhor entendimento, neste momento, ficam registradas 
as duas possibilidades:
1ª possibilidade: substitui-se o valor do x do vértice na função: 
f(x) = x2 ̶ 4x +3
f(2) = 22 ̶ 4 ∙ 2 + 3
f(2) = 4 ̶ 8 + 3
f(2) = 7 ̶ 8
f(2) = ̶ 1
2ª possibilidade: calcula-se o 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 ,
Portanto, às 2 horas da madrugada, foi registrada a temperatura 
mínima de -1 °C.
D25 F - Resolver problemas que envolvam os pontos de 
mínimo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
Professor(a), nas atividades 8 e 9, tem-se o objetivo de que o 
estudante desenvolva a habilidade de resolver problemas que 
envolvam os pontos de máximo ou mínimo algebricamente de 
uma função polinomial do 2º grau. Neste momento, o estudante, 
sem o auxílio do gráfico, deve interpretar as duas situações-pro-
blema e calcular o máximo utilizando: 𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎 ou 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 �
Na equação do item a da atividade 8, os termos ax2 e bx apre-
sentam-se fora da forma usual, e essa troca confunde alguns 
estudantes, então, estimule-os a identificarem este fato. 
8. Responda às duas situações-problema a seguir.
a) Testes feitos por especialistas, em laboratório, mos-
traram que a concentração de certo medicamento, no 
sangue de voluntários, obedece à função y = 6x ̶ x2, em 
que x corresponde ao tempo decorrido, em horas, após a 
ingestão desse medicamento.
Considerando essas informações, determine o tempo 
necessário para o medicamento atingir o nível máximo 
de concentração no sangue dos voluntários.
Sugestão de solução:
O tempo máximo é representado pelo x do vértice, ou seja, 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎 → 𝑥𝑉 =
−6
2 � −1 → 𝑥𝑉 =
−6
−2 =
6
2 = 3
Então, o tempo necessário para o medicamento atingir o nível 
máximo de concentração no sangue dos voluntários é de 3 horas.
b) Em uma competição aérea na modalidade de acroba-
cias, um avião realiza uma manobra que descreve uma 
parábola que obedece à seguinte função y = ̶ x2 + 80x, 
em que y corresponde à altura atingida pelo avião, em 
metros. Qual a altura máxima atingida por esse avião na 
execução dessa manobra?
Sugestão de solução:
A altura máxima é representada pelo y do vértice, ou seja,
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
Então, a altura máxima atingida por esse avião na execução 
dessa manobra é 1600 metros.
D25 G - Resolver problemas que envolvam os pontos de 
máximo algebricamente de uma função polinomial do 2º grau.
9. O custo médio de produção da empresa “FAZ BEM” 
é definido pela função C(x) = x2 ̶ 40x + 1500, em que 
C corresponde ao custo em reais e x à quantidade de 
unidades produzidas.
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Considerando essas informações, quantas unidades de-
vem ser produzidas para que o custo seja o mínimo? E 
qual é esse custo mínimo?
Sugestão de solução:
A quantidade mínima é representada pelo x do vértice, ou seja, 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
E o custo mínimo é representado pelo y do vértice, ou seja,
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
Por conseguinte, a quantidade mínima a ser produzidapara 
que o custo seja o mínimo são 20 peças, sendo que o custo 
mínimo de produção é R$ 1100.
D25 H - Resolver problemas que envolvam os pontos de 
mínimo algebricamente de uma função polinomial do 2º grau.
Professor(a), nas atividade 10 e 11, em formato de item, o 
objetivo é avaliar se o estudante desenvolveu a habilidade de 
reconhecer ou calcular o ponto máximo ou o ponto mínimo no 
gráfico de uma função, cuja expressão algébrica é um polinô-
mio do segundo grau.
10. Em jogos de futebol, é usual o zagueiro dar um balão, 
que é um chute para evitar o perigo de gol. Um jogador 
de uma equipe consegue dar um balão que atinge uma 
grande altura.
Certo dia, seu balão foi registrado e analisado por um 
programa computacional e gerou o seguinte gráfico pa-
rabólico, que descreveu a trajetória da bola.
O coeficiente a da fórmula da função que corresponde a 
essa parábola é igual a −
1
6
Qual a altura máxima que a bola atingiu?
(A) 11,80 m
(B) 18 m
(C) 36 m
(D) 54 m
(E) 66,50 m
Gabarito: D
Sugestão de solução:
A altura máxima atingida pela bola deve ser obtida pelo y 
do vértice, que deve ser calculado algebricamente. Assim, 
observando o gráfico, tem-se que as raízes da função são: 0 
e 36, então,
Como a concavidade está voltada para baixo, tem-se que 
a < 0, daí a função é 𝑓 𝑥 = −𝑥
2
6 + 6𝑥.
Agora, para obter a altura máxima, pode-se substituir o valor do 
x do vértice nessa função ou calcular 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 �
Para melhor entendimento, neste momento, ficam registradas 
as duas possibilidades, a seguir.
1ª possibilidade: substitui-se o valor do x do vértice na função:
𝑓 𝑥 = −𝑥
2
6 + 6𝑥
𝑓 18 = −54 + 108
𝑓 18 = 54
2ª possibilidade: Calculando 𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎 ,
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Portanto, a altura máxima que a bola atingiu foi 54 metros.
D25 – Resolver problemas que envolvam os pontos de 
máximo ou de mínimo no gráfi co de uma função polinomial 
do 2º grau.
11. (ENEM 2015 – questão 178 – 2º dia – caderno cin-
za) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento 
de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza 
uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura 
no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela 
expressão T(h) = ̶ h2 + 22h ̶ 85, em que h representa 
as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é 
o maior possível quando a estufa atinge sua tempera-
tura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da 
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em 
graus Celsius, com as classifi cações: muito baixa, baixa, 
média, alta e muito alta.
Quando o estudante obtém o maior número possível de 
bactérias, a temperatura no interior da estufa está clas-
sifi cada como
(A) muito baixa.
(B) baixa.
(C) média.
(D) alta.
(E) muito alta.
Gabarito: D
Considerando que a < 0, a parábola terá a concavidade voltada 
para baixo. Nesse caso, o yV, estará representando o ponto 
mais alto da parábola. Então, o
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
𝑇(ℎ) = −ℎ² + 22ℎ − 85
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎 = − 1
𝑏 = 22
𝑐 = −85
∆ = 𝑏² − 4𝑎𝑐
∆ = 222 − 4 � (−1) � (−85)
∆ = 484 − 4 � (−1) � (−85)
∆ = 484 − 340
∆ = 144
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
𝑦𝑣 =
−144
4 � (−1)
𝑦𝑣 =
−144
−4
𝑦𝑣 = 36
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
𝑇(ℎ) = −ℎ² + 22ℎ − 85
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎 = − 1
𝑏 = 22
𝑐 = −85
∆ = 𝑏² − 4𝑎𝑐
∆ = 222 − 4 � (−1) � (−85)
∆ = 484 − 4 � (−1) � (−85)
∆ = 484 − 340
∆ = 144
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
𝑦𝑣 =
−144
4 � (−1)
𝑦𝑣 =
−144
−4
𝑦𝑣 = 36
Como
30 ≤ T ≤ 43
30 ≤ 36 ≤ 43
Então, a temperatura será alta.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva 
conhecimentos algébricos.
► Equação da circunferência
Descritor SAEB: D10 – Reconhecer dentre as equações do 2º 
grau com duas incógnitas, as que representam circunferências.
Objetos de conhecimento desenvolvidos:
• Equações do 2° grau com duas incógnitas;
• Equação geral e reduzida da circunferência;
• Elementos da circunferência (corda, raio e diâmetro);
Relembrando
Circunferência
Circunferência é uma fi gura geométrica com formato 
circular que faz parte dos estudos da geometria. É im-
portante notar que todos os pontos de uma circunferên-
cia são equidistantes de um único ponto, que se chama 
centro. Por isso, se diz que a circunferência é o lugar 
geométrico do conjunto de todos os pontos que estão a 
uma distância fi xa de um ponto central.
Também, perceba que a circunferência é diferente do 
círculo, pois ela é uma fi gura plana, fechada e formada 
apenas por uma “linha” (contorno). Já o círculo é com-
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posto por essa “linha” e a região interna a ela. Embora 
sejam conceitos diferentes, estão interligados e possuem 
propriedades em comum.
Raio e diâmetro da circunferência
Lembre-se que o raio da circunferência é todo segmento 
que liga o seu centro a um ponto dessa circunferência.
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta 
que passa pelo centro da fi gura, dividindo-a em duas 
metades. Por isso, o diâmetro equivale a duas vezes o 
raio (D = 2r).
A corda é qualquer segmento de reta interno à circunfe-
rência que une dois pontos dessa circunferência.
Equação Reduzida da Circunferência 
A equação reduzida da circunferência corresponde à 
representação algébrica da relação entre as coordena-
das de um ponto qualquer e as coordenadas do centro 
dessa circunferência. Essa relação é caracterizada pela 
distância entre uma medida constante (raio) e os pontos 
equidistantes a essa medida. Ela é representada pela 
seguinte sentença:
Lembre-se que as coordenadas de um ponto qualquer da 
circunferência são denotadas por (x, y) e que o ponto do cen-
tro é denotado por C(a ;b). Na equação, r é a medida do raio.
Equação Geral da Circunferência
A equação geral da circunferência é dada a partir do de-
senvolvimento da equação reduzida.
Professor (a), na atividade 1 é proposto o desenvolvimento 
da habilidade de diferenciar uma equação do 2° grau que re-
presenta uma parábola da equação do 2° grau que representa 
uma circunferência. Oriente os estudantes de modo a perce-
berem que nas equações que representam circunferências, 
sempre haverá dois termos positivos de 2° grau (por exemplo: 
x2 e y2), pois isso decorre da fórmula (x ̶ a)2 + (y ̶ b)2 = r2. 
Retome os produtos notáveis para melhor compreensão do de-
senvolvimento da equação geral a partir da equação reduzida 
(EF08MA06-C).
1. Observe as quatros equações e suas representações 
geométricas a seguir
2𝑦2 + 2𝑥2 − 4 = 0
equação I
2𝑦 + 2𝑥2 − 4 = 0
equação II
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
equação III
𝑥2 + 𝑦 − 3 = 0
equação IV
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Responda:
a) Comparando termo a termo, as equações I e II são 
iguais? Justifique.
b) Qual é grau (expoente) do termo que contém y nas 
equações I e II?
c) Qual é o maior grau (expoente) do termo que con-
tém y nas equações III e IV?
d) Quais dessas equações representam gráficos de 
parábolas?
e) Quais dessas equações representam gráficos de 
circunferências?
f) Isole o termo com y das equações que representam 
uma parábola.
Sugestão de solução:
a) Comparando termo a termo: 2y2 + 2x2 - 4 = 0 e 2y + 2x2 - 4 = 0
2y2 ≠ 2y
2x2 = 2x2
-4 = -4
0 =0
As equações não são iguais, pois os termos 2y2 e 2y, não são 
iguais. 
b) O grau do termo que contém y na equação I é 2, e na 
equação II é 1.
c) O maior grau do termo que contém y na equação III é 2, e na 
equação IV é 1.
d) Equação II: 2y + 2x2 - 4 = 0 ; e equação IV: x2 + y - 3 = 0
e) Equação I: 2y2+2x2-4=0 ; e equação III: x2 + y2 - 4y - 6y -3 = 0
f)
D10 A - Diferenciar uma equação do 2º grau que representa 
uma parábola de uma equação do 2º grau que representa 
uma circunferência.
Professor (a), a atividade 2 tem por objetivo o desenvolvimento 
da habilidade de identificar as equações que representam grá-
ficos de reta, parábola, hipérbole ou circunferência. Se possívelutilize o aplicativo geogebra para que os estudantes visualizem 
os gráficos que representam cada equação.
2. Escreva nos espaços a seguir se as equações repre-
sentam uma reta, uma parábola ou uma circunferência.
Sugestão de solução:
Toda equação linear representa uma reta. Dentre as equações 
do 2° grau com duas incógnitas, aquelas que possuem uma 
variável de grau 1 e a outra variável de grau 2 representam 
parábolas. Já dentre as equações que apresentam as 
duas variáveis de grau 2, aquelas que quando igualadas 
a zero apresentam os termos de grau 2 com o mesmo sinal 
representam uma circunferência.
D10 B – Diferenciar uma equação que representa uma 
circunferência da que representa reta ou parábola.
Professor(a), na atividade 3 espera-se que os estudantes de-
senvolvam a habilidade de escrever a equação de uma circun-
ferência conhecendo os valores de seu centro e de seu raio. 
Incentive-os a relacionar as equações das circunferências aos 
seus gráficos utilizando o aplicativo geogebra.
3. Utilize as palavras chave a seguir para preencher as 
lacunas do texto e depois realize o que é solicitado.
Equação reduzida da circunferência 
_______________________________é o lugar 
geométrico dos pontos de um plano que distam 
______________________ de um ponto central. 
A distância de qualquer ponto da circunferência até o 
seu ________________ possui a mesma medida e é 
chamada de _______________. 
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Lembre-se que a circunferência é uma linha, enquanto o 
_____________________ é a região plana delimita-
da pela circunferência.
A dedução da equação da circunferência parte da de-
finição de circunferência que é o lugar geométrico dos 
pontos (x ,y) equidistantes do centro C(a ,b) da medida 
r. Então a sentença (x ̶ a)2 + (y ̶ b)2 = r2 é a chamada 
equação ____________________ da circunferência.
Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência 
de raio 8 e centro (3, ̶ 7) será:
(x ̶ ___)2 + (y ̶ (_____))2 = ____2
(x ̶ ___)2 + (y +___)2 = 82
(x ̶ ___)2 + (y + 7)2 = ____
Agora, escreva a equação reduzida da circunferência 
para cada caso a seguir.
a) raio 4 e centro ( ̶ 2,3)
b) raio 3 e centro (1,1)
c) raio 1
2
 e centro ( ̶ 2, ̶ 5)
d) raio 2
5
e centro 1
3 ,
1
4
Sugestão de solução:
Equação reduzida da circunferência 
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano 
que distam igualmente de um ponto central. A distância de 
qualquer ponto da circunferência até o seu centro possui a 
mesma medida e é chamada de raio. 
Lembre-se que a circunferência é uma linha, enquanto o círculo 
é a região plana delimitada pela circunferência.
A dedução da equação da circunferência parte da definição 
de circunferência que é o lugar geométrico dos pontos 
(x ,y) equidistantes do centro C(a ,b) da medida r. Então 
a sentença (x-a)2 + (y - b)2 = r2 é a chamada equação 
______________________ da circunferência.
Por exemplo, a equação reduzida de uma circunferência de raio 
8 e centro (3,-7) será:
Escreva a equação reduzida da circunferência para cada caso 
a seguir.
a) raio 4 e centro (-2,3):
𝑥 − 𝑥𝑐 2 + 𝑦 − 𝑦𝑐 2 = 𝑅2
𝑥 − −2 2 + 𝑦 − 3 2 = 42
𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 16
b) raio 3 e centro (1,1):
c) raio 1
2
 e centro (-2,-5):
𝑥 − 3 2 + 𝑦 − −7 2 = 82
𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 7 2 = 82
𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 7 2 = 64
𝑥 − 𝑥𝑐 2 + 𝑦 − 𝑦𝑐 2 = 𝑅2
𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 = 32
𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 = 9
𝑥 − 𝑥𝑐 2 + 𝑦 − 𝑦𝑐 2 = 𝑅2
𝑥 − −2 2 + 𝑦 − −5 2 =
1
2
2
𝑥 + 2 2 + 𝑦 + 5 2 =
1
4
d) raio 25 e centro (
1
3 ,
1
4):
𝑥 − 𝑥𝑐 2 + 𝑦 − 𝑦𝑐 2 = 𝑅2
D10 C - Escrever a equação reduzida da circunferência 
dados os valores do centro e do raio.
4. Analise o procedimento a seguir utilizado para escre-
ver a equação geral da circunferência.
Para o raio medindo 2 e centro ( ̶ 1,2)
1º passo: escrever a equação reduzida da circunferência.
A equação reduzida é dada por:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
Sendo 𝐶(𝑎 , 𝑏) o centro da circunferência e r o raio, a
equação reduzida será:
(𝑥 − (−1))² + (𝑦 − 2)² = 2²
(𝑥 + 1)² + (𝑦 − 2)² = 4
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar
a equação geral.
𝑥 + 1 2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 12 = 𝑥² + 2𝑥 + 1
𝑦 − 2 2 = 𝑦2 − 4𝑦 + 22 = 𝑦2 − 4𝑦 + 4
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥−𝑎 2
+ 𝑦2 − 4𝑦 + 4
𝑦−𝑏 2
= 4⏟
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 + 4 = 4
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 + 4 − 4 = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0
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a) raio 4 e centro ( ̶ 2,3)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 + ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 + ____)² = ____² + 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____²− 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________
𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
b) raio 25 e centro (
1
3 ,
1
4)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 − ____)² = ____²− 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____² − 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________
𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
b) raio 25 e centro (
1
3 ,
1
4)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 − ____)² = ____²− 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____² − 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________
𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
c) raio 3 e centro (3,5) 
1º passo:
2º passo:
3º passo:
4º passo:
5º passo:
6º passo:
Sugestão de solução:
a) raio 4 e centro ( ̶2,3)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 − −2 )² + (𝑦 − 3)² = 4²
(𝑥 + 2)² + (𝑦 − 3)² = 16
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 2 � 𝑥 � 2 + 22 → 𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑦 − 3 2 = 𝑦2 − 2 � 𝑦 � 3 + 32 → 𝑦2 − 6𝑦 + 9
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑥−𝑎 2
+ 𝑦2 − 6𝑦 + 9
𝑦−𝑏 2
= 16�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 4 + 9 = 16
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a
zero:
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 4 + 9 − 16 = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
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b) raio 25 e centro (
1
3 ,
1
4)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar
a equação geral.
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
𝑥2 + 𝑦2 +
2
3𝑥 −
1
2𝑦 +
1
9 +
1
16 =
4
25
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
𝑥2 + 𝑦2 +
2
3𝑥 −
1
2𝑦 +
1
9 +
1
16 −
4
25 = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
𝑥2 + 𝑦2 +
2
3𝑥 −
1
2 𝑦 +
49
3600 = 0
D10 D - Escrever a equação geral da circunferência dados 
os valores do centro e do raio.
c) raio 3 e centro (3,5)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 𝑥 − 3 ² + 𝑦 − 5 ² = 3 ²
 𝑥 − 3 ² + 𝑦 − 5 ² = 9
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
 𝑥 − 3 2 = 𝑥2 − 2 � 𝑥 � 3 + 3 2 → 𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑦 − 5 ² = 𝑦2 − 2 � 𝑦 � 5 + 5 2
→ 𝑦2 − 10𝑦 + 25
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
𝑥2 + 6𝑥 + 9
𝑥−𝑎 2
+ 𝑦2 − 10𝑦 + 25
𝑦−𝑏 2
= 9⏟
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 10𝑦 + 9 + 25 = 9
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a
zero:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 10𝑦 + 9 + 25 − 9 = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 10𝑦 + 25 = 0
c) raio 3 e centro (3,5)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 𝑥 − 3 ² + 𝑦 − 5 ² = 3 ²
 𝑥 − 3 ² + 𝑦 − 5 ² = 9
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
 𝑥 − 3 2 = 𝑥2 − 2 � 𝑥 � 3 + 3 2 → 𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑦 − 5 ² = 𝑦2 − 2 � 𝑦 � 5 + 5 2
→ 𝑦2 − 10𝑦 + 25
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
𝑥2 + 6𝑥 + 9
𝑥−𝑎 2
+ 𝑦2 − 10𝑦 + 25
𝑦−𝑏 2
= 9⏟
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 10𝑦 + 9 + 25 = 9
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a
zero:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 10𝑦 + 9 + 25 − 9 = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 10𝑦 + 25 = 0
Professor(a), a atividade 5 tem por objetivo que o estudante 
desenvolva a habilidade de identificar o centro e o raio de uma 
circunferência sendo dada a sua equação. Sendo assim, são 
apresentados dois métodos: o da comparação e o método de 
completar quadrados, incentive os estudantes a transitarem pe-
los dois métodos a fim de que aprendam a ter autonomia e a ex-
pertise de escolher o método mais adequado para cada caso.
5. Utilize as palavras chave a seguir para preencher as 
lacunas do texto e depois realize o que é solicitado.
Como encontrar o centro e o raio da circunferência dada 
a sua equação geral.
Para encontrar o _________ e o ______________ 
de uma _____________________ por meio de sua 
equação ______________, pode-se usar o método da 
comparação ou o método de completar quadrados.
Método da comparação
O método da __________________________ é o 
mais rápido quando o interesse é somente descobrir qual 
é o valor do raio e do centro da circunferência. Como o 
nosso objetivo é encontrar o valor do centro C(a ,b) e do 
raio r, dada a equação geral da circunferência, deve-se 
comparar a sua equação geral com a equação geral de 
uma circunferência __________________.
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Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0.
Sabe-se que a equação geral da circunferência pode ser
escrita como:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥2 − _____ + ____ + 𝑦2 − _____ + ____ = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (________________) = 0
Agora, faz-se uma comparação termo a termo entre as
duas equações:
𝒙² + 𝒚²–𝟐𝒂𝒙–𝟐𝒃𝒚+ (𝒃²+ 𝒂²–𝒓²)
= 𝒙² + 𝒚²–𝟒𝒙–𝟐𝒚–𝟒
Comparando termo a termo, pode-se encontrar o valor
de 𝒂 sabendo que:
−𝟐𝒂𝒙 = ______ × ( −𝟏 )
_____ = 𝟒𝒙
𝟐𝒂 = 𝟒
𝒂 =
𝟒
𝟐
𝒂 = _____
Para encontrar o valor de 𝒃, sabe-se que:
______ = −𝟐𝒚 × (−𝟏)
_____ = ____
𝟐𝒃 = 𝟐
____ =
𝟐
𝟐
𝒃 = ____
Para encontrar o valor de 𝑟 , analise o termo
independente, sabendo que 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2.
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝒓𝟐 = _________
________ − 𝒓𝟐 = −𝟒
−𝒓𝟐 = __________ × (−𝟏)
_____ = 𝟗
𝒓 = ± ____
𝒓 = ±𝟑
Por se tratar de medida, adota-se 𝒓 = 𝟑.
Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto
𝐶 2 , 1 e o seu raio é 3.
A equação reduzida dessa circunferência é:
________ 2 + ________ 2 = ____2
Método de completar quadrado
Esse segundo método consiste em encontrar a equação
reduzida da circunferência para que seja possível
encontrar o seu centro e o seu raio. Para
isso, completam-se quadrados.
Lembre-se que completar quadrado nada mais é do que
transformar a equação:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑏2 + 𝑎2 − 𝑟²) = 0
Em uma equação reduzida do tipo (________)² +
(________)² = ____².
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida,
deve-se reordenar a equação geral, agrupando termos de
mesma variável:
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
Sabe-se que 𝑥 − 𝑎 2 = ___________________ e que
2𝑎𝑥 = _______, daí
_________ = 6
𝑎 =
6
2 = ____
Agora, tem-se que:
_______ 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Note que o termo +9 não aparece na equação, então
deve-se somar e subtrair o 9 na equação geral da
seguinte maneira:
𝑥2–6𝑥 + 9− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
_________________
𝑥−3 2
− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
No passo anterior, note que: +9− 9 é igual a zero, o que
não altera a equação.
Agora, analisando a variável 𝑦, tem-se que:
𝑦 − 𝑏 2 = ________________
Então, 2𝑏𝑦 = 4𝑦, daí
_______ = _____
2𝑏 = 4
𝑏 =
4
2 = 2
Método de completar quadrado
Esse segundo método consiste em encontrar a equação
reduzida da circunferência para que seja possível
encontrar o seu centro e o seu raio. Para
isso, completam-se quadrados.
Lembre-se que completar quadrado nada mais é do que
transformar a equação:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑏2 + 𝑎2 − 𝑟²) = 0
Em uma equação reduzida do tipo (________)² +
(________)² = ____².
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida,
deve-se reordenar a equação geral, agrupando termos de
mesma variável:
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
Sabe-se que 𝑥 − 𝑎 2 = ___________________ e que
2𝑎𝑥 = _______, daí
_________ = 6
𝑎 =
6
2 = ____
Agora, tem-se que:
_______ 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Note que o termo +9 não aparece na equação, então
deve-se somar e subtrair o 9 na equação geral da
seguinte maneira:
𝑥2–6𝑥 + 9− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
_________________
𝑥−3 2
− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
No passo anterior, note que: +9− 9 é igual a zero, o que
não altera a equação.
Agora, analisando a variável 𝑦, tem-se que:
𝑦 − 𝑏 2 = ________________
Então, 2𝑏𝑦 = 4𝑦, daí
_______ = _____
2𝑏 = 4
𝑏 =
4
2 = 2
O que leva a:
________ 2 = _______________
Completando o quadrado, reescreve-se a equação da
maneira a seguir, e lembre como, anteriormente, o termo
+ 4 não aparece na equação, então deve-se somar e
subtrair o 4 na equação geral da seguinte maneira:
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + _________− 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4
(𝑦−2)²
− 4 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + (_______)²− 4 − 12 = 0
Passando os termos independentes para segundo
membro da equação, encontra-se a equação:
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = __________________
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = _____
Sendo assim, o centro é o ponto 𝐶(3 ; 2) e o raio 𝑟² =
____ → 𝑟 = ± ____ = ±___ , por se tratar de uma
medida adota-se o valor positivo, ou seja, 𝑟 = 5.
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O que leva a:
________ 2 = _______________
Completando o quadrado, reescreve-se a equação da
maneira a seguir, e lembre como, anteriormente, o termo
+ 4 não aparece na equação, então deve-se somar e
subtrair o 4 na equação geral da seguinte maneira:
𝑥− 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + _________− 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4
(𝑦−2)²
− 4 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + (_______)²− 4 − 12 = 0
Passando os termos independentes para segundo
membro da equação, encontra-se a equação:
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = __________________
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = _____
Sendo assim, o centro é o ponto 𝐶(3 ; 2) e o raio 𝑟² =
____ → 𝑟 = ± ____ = ±___ , por se tratar de uma
medida adota-se o valor positivo, ou seja, 𝑟 = 5.
Sugestão de solução:
Como encontrar o centro e raio da circunferência dada a 
sua equação geral.
Para encontrar o centro e o raio de uma circunferência por meio 
de sua equação geral, pode-se usar o método da comparação 
ou o método de completar quadrados.
Método da comparação
O método da comparação é o mais rápido quando o interesse 
é somente descobrir qual é o valor do raio e do centro da 
circunferência. Como o nosso objetivo é encontrar o valor 
do centro C(xc ,yc) e do raio R, dada a equação geral da 
circunferência, deve-se comparar a sua equação geral com a 
equação geral de uma circunferência qualquer.
É importante ter em mente que algumas literaturas trazem o centro 
denotado por (a ,b) e o raio r, e neste momento será adotada essa 
denotação para o desenvolvimento desses métodos.
Método de completar quadrado
Esse segundo método consiste em encontrar a equação 
reduzida da circunferência para que seja possível encontrar o 
seu centro e o seu raio. Para isso, completam-se quadrados. 
Lembre-se que completar quadrado nada mais é do que 
transformar a equação:
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0.
Sabe-se que a equação geral da circunferência pode ser
escrita como:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟²) = 0
Agora, faz-se uma comparação termo a termo entre as duas
equações:
𝒙² + 𝒚² – 𝟐𝒂𝒙 – 𝟐𝒃𝒚 + (𝒃² + 𝒂² – 𝒓²) 
= 𝒙² + 𝒚² – 𝟒𝒙 – 𝟐𝒚 – 𝟒
Comparando termo a termo, pode-se encontrar o valor
de 𝒂 sabendo que:
−𝟐𝒂𝒙 = −𝟒𝒙 × ( −𝟏 )
𝟐𝒂𝒙 = 𝟒𝒙
𝟐𝒂 = 𝟒
𝒂 =
𝟒
𝟐
𝒂 = 𝟐
Para encontrar o valor de 𝒃, sabe-se que:
−𝟐𝒃𝒚 = −𝟐𝒚 × (−𝟏)
𝟐𝒃𝒚 = 𝟐𝒚
𝟐𝒃 = 𝟐
𝒃 =
𝟐
𝟐
𝒃 = 𝟏
Para encontrar o valor de 𝑟, analise o termo independente,
sabendo que 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2.
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = −𝟒
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝒓𝟐 = −𝟒
𝟒 + 𝟏 − 𝒓𝟐 = −𝟒
𝟓 − 𝒓𝟐 = −𝟒
−𝒓𝟐 = −𝟒− 𝟓
−𝒓𝟐 = −𝟗 × (−𝟏)
𝒓² = 𝟗
𝒓 = ± 𝟗
𝒓 = ±𝟑
Por se tratar de medida, adota-se 𝒓 = 𝟑.
Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto 𝐶 2 , 1 e
o seu raio é 3.
A equação reduzida dessa circunferência é: 𝑥 − 2 2 +
𝑦 − 1 2 = 32
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0.
Sabe-se que a equação geral da circunferência pode ser
escrita como:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟²) = 0
Agora, faz-se uma comparação termo a termo entre as duas
equações:
𝒙² + 𝒚² – 𝟐𝒂𝒙 – 𝟐𝒃𝒚 + (𝒃² + 𝒂² – 𝒓²) 
= 𝒙² + 𝒚² – 𝟒𝒙 – 𝟐𝒚 – 𝟒
Comparando termo a termo, pode-se encontrar o valor
de 𝒂 sabendo que:
−𝟐𝒂𝒙 = −𝟒𝒙 × ( −𝟏 )
𝟐𝒂𝒙 = 𝟒𝒙
𝟐𝒂 = 𝟒
𝒂 =
𝟒
𝟐
𝒂 = 𝟐
Para encontrar o valor de 𝒃, sabe-se que:
−𝟐𝒃𝒚 = −𝟐𝒚 × (−𝟏)
𝟐𝒃𝒚 = 𝟐𝒚
𝟐𝒃 = 𝟐
𝒃 =
𝟐
𝟐
𝒃 = 𝟏
Para encontrar o valor de 𝑟, analise o termo independente,
sabendo que 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2.
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = −𝟒
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝒓𝟐 = −𝟒
𝟒 + 𝟏 − 𝒓𝟐 = −𝟒
𝟓 − 𝒓𝟐 = −𝟒
−𝒓𝟐 = −𝟒− 𝟓
−𝒓𝟐 = −𝟗 × (−𝟏)
𝒓² = 𝟗
𝒓 = ± 𝟗
𝒓 = ±𝟑
Por se tratar de medida, adota-se 𝒓 = 𝟑.
Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto 𝐶 2 , 1 e
o seu raio é 3.
A equação reduzida dessa circunferência é: 𝑥 − 2 2 +
𝑦 − 1 2 = 32
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑏2 + 𝑎2 − 𝑟²) = 0
em uma equação reduzida do tipo (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦− 𝑏)² = 𝑟².
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida, deve-
se reordenar a equação geral, agrupando termos de mesma
variável:
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
Sabe-se que 𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎² e que 2𝑎𝑥 = 6𝑥,
daí
2𝑎 = 6
𝑎 =
6
2 = 3
Agora, tem-se que:
𝑥 − 3 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Note que o termo +9 não aparece na equação, então deve
ser somado e subtraído o 9 na equação geral da seguinte
maneira:
𝑥2–6𝑥 + 9 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
𝑥2–6𝑥 + 9
𝑥−3 2
− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
(𝑥 – 3) ² – 9 + 𝑦² – 4𝑦 – 12 = 0
No passo anterior, note que: +9− 9 é igual a zero, o que não
altera a equação.
Agora, analisando a variável 𝑦, tem-se que:
𝑦 − 𝑏 2 = 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏²
Então, 2𝑏𝑦 = 4𝑦, daí
2𝑏𝑦 = 4𝑦
2𝑏 = 4
𝑏 =
4
2 = 2
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𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑏2 + 𝑎2 − 𝑟²) = 0
em uma equação reduzida do tipo (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦− 𝑏)² = 𝑟².
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida, deve-
se reordenar a equação geral, agrupando termos de mesma
variável:
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
Sabe-se que 𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎² e que 2𝑎𝑥 = 6𝑥,
daí
2𝑎 = 6
𝑎 =
6
2 = 3
Agora, tem-se que:
𝑥 − 3 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Note que o termo +9 não aparece na equação, então deve
ser somado e subtraído o 9 na equação geral da seguinte
maneira:
𝑥2–6𝑥 + 9 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
𝑥2–6𝑥 + 9
𝑥−3 2
− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
(𝑥 – 3) ² – 9 + 𝑦² – 4𝑦 – 12 = 0
No passo anterior, note que: +9− 9 é igual a zero, o que não
altera a equação.
Agora, analisando a variável 𝑦, tem-se que:
𝑦 − 𝑏 2 = 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏²
Então, 2𝑏𝑦 = 4𝑦, daí
2𝑏𝑦 = 4𝑦
2𝑏 = 4
𝑏 =
4
2 = 2
O que leva a:
𝑦 − 2 2 = 𝑦2 − 4𝑦 + 4
Completando o quadrado, reescreve-se a equação da maneira
a seguir, e lembre como, anteriormente, o termo +4 não
aparece na equação, então deve ser somado e subtraído o 4
na equação geral da seguinte maneira:
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4
(𝑦−2)²
− 4 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + (𝑦 − 2)² − 4 − 12 = 0
Passando os termos independentes para segundo membro da
equação, encontra-se a equação:
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = 9 + 4 + 12
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = 25
Sendo assim, o centro é o ponto 𝐶(3 ; 2) e o raio 𝑟² =
25 → 𝑟 = ± 25 = ±5 , por se tratar de uma medida,
adota-se o valor positivo, ou seja, 𝑟 = 5.
D10 E – Identificar o centro e o raio de uma circunferência 
a partir de sua equação geral.
Professor(a), na atividade 6, espera-se que o estudante de-
senvolva a habilidade de relacionar a equação de uma circun-
ferência a sua representação gráfica. Incentive os estudantes a 
perceberem que para determinar o raio deve-se calcular a dis-
tância entre o centro e um ponto pertencente à circunferência.
6. Enumere as equações da segunda coluna de acordo 
com suas representações gráficas na primeira coluna.
(1)
(2)
(3)
(4)
( )
( )
( )
( ) 𝑥 +
1
2
2
+ 𝑦 −
1
3
2
= 4
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 4
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
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Sugestão de solução:
( 4 )
( 1 )
( 2 )
( 3 ) 𝑥 +
1
2
2
+ 𝑦 −
1
3
2
= 4
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 4
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
𝑥 +
1
2
2
+ 𝑦 −
1
3
2
= 4
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 4
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
D10 F – Relacionar a equação de uma circunferência a sua 
representação gráfi ca.
Professor (a), as atividades 7 e 8, no formato de item, tem por 
objetivo avaliar se os estudantes desenvolveram as habilidades 
de identifi car a representação algébrica de uma circunferência 
a partir de seu gráfi co e reconhecer, dentre as equações do 2º 
grau com duas incógnitas, aquelas que representam circunfe-
rências. Por se tratar de um momento avaliativo, incentive os 
estudantes a responderem as atividades sozinhos e a fazeremuma leitura criteriosa dos enunciados identifi cando e anotan-
do corretamente os dados, isso é importante para que estejam 
bem preparados e autônomos quando forem realizar as avalia-
ções externas.
7. Observe a circunferência representada no plano car-
tesiano a seguir.
Qual é a representação algébrica dessa circunferência?
(A) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0
(B) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
(C) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
(D) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0
(E) 𝑥2 + 𝑦2 + 4 = 0
Gabarito: D
Sugestão de solução:
A circunferência tem centro C(-3 ; -2) e raio igual a 3. 
Substituindo esses valores em:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Lembre-se que a e b representam as coordenadas do centro, então
𝑥 − −3 2 + 𝑦 − −2 2 = 32
𝑥 + 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 32
𝑥2 + 2 � 3 � 𝑥 + 32 + 𝑦2 + 2 � 2 � 𝑦 + 22 = 32
𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 9
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 9 + 4 − 9 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0
D10 G – Identifi car a representação algébrica de uma 
circunferência a partir de seu gráfi co.
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8. Analise as equações do 2° grau a seguir.
I. 2y2 + 2x2 ̶ 18 = 0
II. 3y + 3x2 ̶ 6 = 0
III. x2 + y2 ̶ 4x + 2y + 1 = 0
IV. x2 ̶ y2 + 5 = 0
Dentre essas equações, as que representam circunfe-
rências, são
A) I e II.
B) I e III.
C) II e III.
D) II e IV.
E) I e IV.
Gabarito: B
A equação II representa uma parábola, enquanto que a equação 
IV representa uma hipérbole. Nas equações que representam 
circunferências, sempre haverá dois termos positivos de 2° 
grau (por exemplo: x2 e y2), pois decorre da fórmula (x - a)2 
+ (y - b)2 = r2.
D10 – Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com 
duas incógnitas, as que representam circunferências.
Semana 2
► Raízes de um polinômio 
Descritor SAEB: 
D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua de-
composição em fatores do 1º grau.
Objetos de conhecimento desenvolvidos:
• Polinômios: grau, raízes e operações;
• Composição de um polinômio a partir de suas raízes;
• Decomposição de um polinômio em fatores;
• Situação-problema envolvendo modelagem algébrica.
A semana 3 aborda o descritor 26 cuja habilidade é relacionar 
as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores 
do 1º grau. Por meio do relembrando serão abordados concei-
tos teóricos com exemplos e, em seguida, atividades propostas 
com o intuito de concretizar a temática polinômios, abordando 
algumas habilidades do documento curricular para Goiás – DC 
GO e do documento curricular para Goiás – etapa Ensino Mé-
dio – DC GOEM:
(EF08MA06-A) Reconhecer e compreender uma expressão 
algébrica, destacando dentre elas os monômios e polinômios, 
bem como os seus elementos como coefi cientes e partes lite-
rais.
(EF08MA06-B) Identifi car monômios e polinômios (binômio, 
trinômio, etc.) com os seus respectivos graus, coefi cientes e 
partes literais. 
(EF08MA06-C) Reconhecer e aplicar os produtos e quocien-
tes notáveis para desenvolver as operações envolvendo poli-
nômios, como adição, subtração, multiplicação e divisão exata 
entre dois polinômios.
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de fun-
ções polinomiais de 1º grau em representações geométricas 
no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o com-
portamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou 
aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de fun-
ções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no 
plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável 
for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo 
ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâ-
mica, entre outros materiais.
Revise com seus estudantes, os casos de fatoração estudados 
no 9º ano, segundo o DC-GO: 
(EF09MA09-A) Investigar, por meio de possíveis raízes inteiras 
com soma S e produto P, as soluções de equações do 2° grau 
que podem ser comparadas à forma x² - Sx + P = 0 
(EF09MA09-B) Compreender os processos de fatoração de ex-
pressões algébricas, com base em suas relações com os pro-
dutos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam 
ser representados por equações polinomiais
do 2º grau, em contextos signifi cativos.
Lembre-se que os estudantes que hoje estão na 3ª série do 
ensino médio provavelmente estavam no ensino híbrido no 9º 
ano, portanto precisam da recomposição dessas habilidades e 
objetos do conhecimento.
Relembrando
Raízes de um polinômio
Considere um polinômio P(x). Se P(x1) = 0, o número 
x_1 é chamado de raiz ou zero de P(x), ou seja, é o 
valor de x que faz com que o polinômio seja igual a zero. 
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Nessa aula vamos relembrar como associar as possíveis 
raízes de um polinômio a sua forma fatorada, além de 
relembrar como fatorar um polinômio de 2º ou 3º grau.
Polinômio de 2º grau
O polinômio de 2º grau, 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que
admite raízes 𝑥1 e 𝑥2 pode ser decomposto em fatores do
1º grau da seguinte forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 � (𝑥 −
𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2)
Exemplo 1:
𝑃(𝑥) = 𝑥² − 9
Igualando 𝑥2 − 9 = 0, obtém-se as raízes 𝑥1 = −3 e
𝑥2 = 3.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 1 � (𝑥 − 3) � (𝑥 + 3)
Nesse exemplo, pode-se utilizar o processo de fatoração
pela diferença entre dois quadrados.
Exemplo 2:
𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
Igualando 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, obtém-se as raízes 𝑥1 =
2 e 𝑥2 = 3.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 1 � (𝑥 − 2) � (𝑥 − 3)
Nesse exemplo, pode-se utilizar a fórmula resolutiva
(Bháskara) para determinar as raízes ou o processo de
fatoração conhecido como Produto de Stevin: (𝑥 + 𝑎) �
(𝑥 + 𝑏) = 𝑥² + (𝑎 + 𝑏) � 𝑥 + 𝑎 � 𝑏
Polinômio de 3º grau
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau,
pode-se decompô-lo em um produto de um polinômio de
1º grau por um de 2º grau, e em seguida, decompô-lo em
um produto de três polinômios de 1º grau.
Exemplo 3:
𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥² + 35𝑥
Em 𝑥3 − 12𝑥2 + 35𝑥 pode-se colocar o fator x em
evidência obtendo 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35)
Igualando 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35) = 0 obtém-se uma das
raízes 𝑥1 = 0 (produto igual a zero) e as outras duas
obtemos a partir de 𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0, ou seja, 𝑥2 =
5 e 𝑥3 = 7.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 𝑥 � (𝑥 − 5) � (𝑥 − 7)
Em se tratando de polinômios do 3º grau, pode-se fatorar
pelo método do agrupamento, quando for possível.
Exemplo 4:
𝑃(𝑥) = 2𝑥³ + 4𝑥² − 8𝑥 – 16
𝑃 𝑥 = 2𝑥² � (𝑥 + 2) − 8 � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = (2𝑥2 − 8) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥2 − 4) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥 − 2) � (𝑥 + 2) � (𝑥 + 2)
Observe que esse polinômio tem raízes 𝑥1 = 2 e 𝑥2 =
𝑥3 = −2 (raiz dupla)
Observações:
I) Se duas, três ou mais raízes forem iguais, essas raízes
são conhecidas como duplas, triplas e assim por diante.
II) Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz dupla (ou de
multiplicidade 2) se o polinômio 𝑃 𝑥 é divisível por
(𝑥 − 𝑥1)2 . Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz
tripla (ou de multiplicidade 3) se o polinômio 𝑃 𝑥 é
divisível por (𝑥 − 𝑥1)3, e assim por diante.
Polinômio de 3º grau
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau,
pode-se decompô-lo em um produto de um polinômio de
1º grau por um de 2º grau, e em seguida, decompô-lo em
um produto de três polinômios de 1º grau.
Exemplo 3:
𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥² + 35𝑥
Em 𝑥3 − 12𝑥2 + 35𝑥 pode-se colocar o fator x em
evidência obtendo 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35)
Igualando 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35) = 0 obtém-se uma das
raízes 𝑥1 = 0 (produto igual a zero) e as outras duas
obtemos a partir de 𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0, ou seja, 𝑥2 =
5 e 𝑥3 = 7.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 𝑥 � (𝑥 − 5) � (𝑥 − 7)
Em se tratando de polinômios do 3º grau, pode-se fatorar
pelo método do agrupamento, quando for possível.
Exemplo 4:
𝑃(𝑥) = 2𝑥³ + 4𝑥² − 8𝑥 – 16
𝑃 𝑥 = 2𝑥² � (𝑥 + 2) − 8 � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = (2𝑥2 − 8) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥2 − 4) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥 − 2) � (𝑥 + 2) � (𝑥 + 2)
Observe que esse polinômiotem raízes 𝑥1 = 2 e 𝑥2 =
𝑥3 = −2 (raiz dupla)
Observações:
I) Se duas, três ou mais raízes forem iguais, essas raízes
são conhecidas como duplas, triplas e assim por diante.
II) Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz dupla (ou de
multiplicidade 2) se o polinômio 𝑃 𝑥 é divisível por
(𝑥 − 𝑥1)2 . Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz
tripla (ou de multiplicidade 3) se o polinômio 𝑃 𝑥 é
divisível por (𝑥 − 𝑥1)3, e assim por diante.
Generalização:
Se um polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 � 𝑥𝑛−1 +
𝑎𝑛−2 � 𝑥𝑛−2 + ⋯+ +𝑎0 � 𝑥0, admite raízes 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 então 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � 𝑥 − 𝑥1 �
𝑥 − 𝑥2 � 𝑥 − 𝑥3 � ⋯ � � (𝑥 − 𝑥𝑛).
Professor(a), na atividade 1 é proposto o desenvolvimento da 
habilidade de decompor um polinômio de segundo grau em 
fatores do 1º grau. Incentive os estudantes a encontrarem as 
raízes utilizando os dois métodos: soma e produto e/ou fórmula 
resolutiva (Bháskara), a fi m de que eles adquiram autonomia 
para optar pelo método que acharem mais adequado. Lembre 
os estudantes de que se as raízes forem inteiras, elas são divi-
sores inteiros do termo independente c. E em relação ao méto-
do “soma e produto” comente sobre o cuidado que se deve ter 
com o sinal do coefi ciente b.
𝑆 =
−𝑏
𝑎 𝑒 𝑃 =
𝑐
𝑎
1. Decomponha os polinômios a seguir em fatores do 1º 
grau.
a) P(x) = 10x² ̶ 50x + 60
b) P(x) = ̶ 4x² + 8x + 12
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D26 A – Decompor um polinômio de 2° grau em fatores de 
1° grau.
Professor(a), a atividade 2 tem como objetivo que o estudante 
desenvolva a habilidade de escrever um polinômio de terceiro 
grau, a partir do conhecimento de suas raízes, como um pro-
duto entre um polinômio de 2° grau e um polinômio de 1° grau. 
Peça aos estudantes que socializem suas resoluções a fim de 
perceberem que existem mais de um tipo de resolução, a de-
pender da ordem de escolha das raízes.
2. Um polinômio de terceiro grau possui raízes iguais a 5, 
- 3 e 2. Escreva esse polinômio obedecendo a expressão 
𝑃 𝑥 = 𝛼𝑛 � 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 � 𝑥 − 𝑥1 com 𝑎𝑛 = 1.
Sugestão de solução:
Como as raízes são conhecidas e, conhecendo-se a
expressão
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � (𝑥 − 𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2) � (𝑥3), tem-se:
𝑃 𝑥 = 1 � (𝑥 − 5) � (𝑥 − (−3)) � (𝑥 − 2)
𝑃 𝑥 = (𝑥 − 5) � (𝑥 + 3) � (𝑥 − 2)
𝑃 𝑥 = (𝑥2 + 3𝑥 − 5𝑥 − 15) � (𝑥 − 2)
𝑃 𝑥 = (𝑥2 − 2𝑥 − 15) � (𝑥 − 2)
(Existem outras possibilidades)
D26 B – Escrever um polinômio do 3° grau na forma: 𝑷 𝒙 =
𝜶𝒏 � 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 � 𝒙 − 𝒙𝟏 sendo conhecidas as
suas raízes.
Professor(a), na atividade 3 o propósito é escrever um poli-
nômio de terceiro grau, conhecidas as suas raízes, como um 
produto entre polinômios de 1º grau. Enfatize que no polinômio 
decomposto 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � (𝑥 − 𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2) � (𝑥 − 𝑥3), em fatores 
lineares, as raízes são 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3.
3. Sendo ̶ 10, 4 e 6 as raízes de um polinômio P(x) de 
terceiro grau, escreva esse polinômio na forma de um 
produto entre polinômios de primeiro grau.
Sugestão de solução:
Considerando que a forma fatorada de um polinômio de terceiro
grau pode ser dada pela expressão 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � (𝑥 − 𝑥1) �
(𝑥 − 𝑥2) � (𝑥 − 𝑥3), e conhecendo-se suas raízes (−10, 4 e
6), pode-se escrever esse polinômio da seguinte forma:
𝑃(𝑥) = 𝑥 − (−10) � (𝑥 − 4) � (𝑥 − 6)
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 10 � (𝑥 − 4) � (𝑥 − 6)
D26 C – Escrever um polinômio do 3° grau como um produto
de fatores do 1º grau, sendo conhecidas as suas raízes.
Professor(a), na atividade 4 a finalidade é escrever um polinô-
mio do 4° grau, sendo conhecidas as suas raízes. Para isso, 
primeiro deve-se escrever esse polinômio na forma de um pro-
duto entre fatores de primeiro grau e posteriormente efetuar as 
multiplicações. 
4. Sabe-se que os números -3, -1, 1, 3 são raízes de 
um polinômio de quarto grau. Escreva esse polinômio na 
forma reduzida.
Sugestão de solução:
Considerando que a forma fatorada de um polinômio de
quarto grau pode ser dada pela expressão 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 �
(𝑥 − 𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2) � (𝑥 − 𝑥3) � (𝑥 − 𝑥4) , e
conhecendo-se suas raízes (−3, −1, 1, 3), pode-se
escrever esse polinômio da seguinte forma:
𝑃 𝑥 = 𝑥 − −3 � [𝑥 − −1 ] � (𝑥 − 1) � (𝑥 − 3)
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 3 � (𝑥 + 1) � (𝑥 − 1) � (𝑥 − 3)
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 3 � (𝑥 − 3) � (𝑥 + 1) � (𝑥 − 1)
Utilizando o produto da soma pela diferença (produto
notável) entre dois termos, tem-se que:
𝑃(𝑥) = (𝑥² − 9) � (𝑥² − 1)
𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥2 − 9𝑥2 + 9
𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 10𝑥2 + 9
D26 D – Escrever um polinômio do 4° grau, sendo
conhecidas as suas raízes.
Sugestão de solução:
a) Considerando que o polinômio obedece a expressão 𝑃(𝑥) =
 𝑎 � (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2), onde 𝑥1 𝑒 𝑥2 são as raízes da equação
do 2º grau, determinam-se as raízes de 10𝑥2 − 50𝑥 + 60 = 0,
ou seja, 𝑃 𝑥 = 0.
Inicialmente, procura-se reduzir a expressão do polinômio,
colocando o fator comum 10 em evidência.
10𝑥2 − 50𝑥 + 60 = 0 → 10 � 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
Utilizando a regra da soma e do produto das raízes, na equação
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 obtém-se:
𝑆 = 5 → 𝑆 = 𝑥1+ 𝑥2
𝑃 = 6 → 𝑃 = 𝑥1 � 𝑥2
Nesse caso, enumere os divisores inteiros do termo independente 
𝑐 = 6:
𝐷(6) = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}
Daí tem-se que: 𝑥1 = 2 𝑒 𝑥2 = 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 � 3 = 6
Então,
𝑃(𝑥) = 𝑎 � (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2)
𝑃(𝑥) = 10 � (𝑥 − 2). (𝑥 − 3)
b) Considerando que o polinômio obedece a expressão 𝑃(𝑥) =
 𝑎 � (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2), onde 𝑥1 𝑒 𝑥2 são as raízes da equação
do 2º grau, determinam-se as raízes de − 4𝑥2 + 8𝑥 + 12 = 0,
ou seja, 𝑃 𝑥 = 0.
Inicialmente, procura-se reduzir a expressão do polinômio,
colocando o fator comum −4 em evidência.
−4𝑥2 + 8𝑥 + 12 = 0 → −4 � 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
Utilizando a regra da soma e do produto das raízes na equação
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0, obtém-se:
𝑆 = 2 → 𝑆 = 𝑥1+ 𝑥2
𝑃 = −3 → 𝑃 = 𝑥1 � 𝑥2
Nesse caso, enumere os divisores inteiros do termo independente 
𝑐 = −3:
𝐷(−3) = {−3; −1; 1; 3}
Daí tem-se que: 𝑥1 = −1 𝑒 𝑥2 = 3 pois −1 + 3 = 2 e −1 �
3 = −3
Então,
𝑃(𝑥) = 𝑎 � (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2)
𝑃 𝑥 = −4 � (𝑥 + 1). 𝑥 − 3
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Sugestão de solução:
Considerando que a forma fatorada de um polinômio de
quarto grau pode ser dada pela expressão 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 �
(𝑥 − 𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2) � (𝑥 − 𝑥3) � (𝑥 − 𝑥4) , e
conhecendo-se suas raízes (−3, −1, 1, 3), pode-se
escrever esse polinômio da seguinte forma:
𝑃 𝑥 = 𝑥 − −3 � [𝑥 − −1 ] � (𝑥 − 1) � (𝑥 − 3)
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 3 � (𝑥 + 1) � (𝑥 − 1) � (𝑥 − 3)
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 3 � (𝑥 − 3) � (𝑥 + 1) � (𝑥 − 1)
Utilizando o produto da soma pela diferença (produto
notável) entre dois termos, tem-se que:
𝑃(𝑥) = (𝑥² − 9) � (𝑥² − 1)
𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥2 − 9𝑥2 + 9
𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 10𝑥2 + 9
D26 D – Escrever um polinômio do 4° grau, sendo
conhecidas as suas raízes.
Professor(a), as atividades 5 e 6 possibilitam o desenvolvimento 
da habilidade de compor um polinômio do segundo grau, a partir 
da sua decomposição em fatores do 1º grau. Essas atividades 
abordam situações-problema envolvendo modelagem algébrica 
relacionada ao cálculo de área, contribuindo também, com o de-
senvolvimento da habilidade (EF08MA06-D) do DC-GO.
5. A figura mostra uma casa que ocupa uma área retan-
gular de frente x ̶ 20 e comprimento 2x ̶ 50.
a) A partir dessas informações, escreva um polinômio P(x) 
que representa a área desse terreno na forma reduzida.
b) Sabendo que a área desse terreno é igual a 1 000 
metros quadrados, calcule suas dimensões. 
Sugestão de solução:
a) Considerando que a área de um retângulo pode ser
calculada pela fórmula Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 � 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, que
pode ser representada por 𝐴 = 𝑏 � ℎ, têm-se:
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 20) � (2𝑥 − 50)
𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 50𝑥 − 40𝑥 + 1000
𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 90𝑥 + 1000
b) 𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 90𝑥 + 1000
1000 = 2𝑥2 − 90𝑥 + 1000
2𝑥2 − 90𝑥 + 1000 = 1000
2𝑥2 − 90𝑥