AULA 5 - DESCONTOS - EXERCICIOS RESOLVIDOS

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AULA 5 - MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Professora Sirlei Pitteri 11 de março de 2021 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DESCONTOS RACIONAL E COMERCIAL 
 
 1. Calcular o desconto racional ("por dentro") e o valor líquido nas seguintes condições: 
 
a) Valor Nominal = R$ 70.000, 00 Prazo de desconto = 3 meses Taxa de desconto = 34% a.a. 
Primeiro convertemos a taxa anual de 34% a.a. em taxa mensal, dividindo por 12. 
imensal = 34% a.a. / 12 (não precisa efetuar a conta agora para não perder casas decimais). 
Utilizamos a equação Vr = 𝑵
(𝟏 ! 𝒊𝒏)
 para calcular o valor líquido. 
Vr = R$ 70.000,00 / [1 + (0,34/12) x 3] 
 
Na calculadora HP 
CLX 
0,34 ENTER 
12 DIVIDE 
3 MULTIPLICA 
1 SOMA 
STO 1 (guardar na memória 1 o fator de capitalização) 
70000,00 ENTER 
RCL 1 (vai aparecer no visor o fator de capitalização) 
DIVIDE 
Vr = R$ 64.516,13 
Dr = N - Vr 
Dr = R$ 70.000,00 - R$ 64.516,13 = R$ 5.483,87 (HP) 
Dr = R$ 70.000,00 - R$ 64.516,13 (calculadora comum) 
 
b) Valor Nominal = R$ 37.000, 00 Prazo de desconto = 80 dias Taxa de desconto = 25% a.a. 
Primeiro convertemos a taxa anual de 25% a.a. em taxa diária, dividindo por 360 dias. 
idia = 25% a.a. / 360 (não precisa efetuar a conta agora para não perder casas decimais). 
Utilizamos a equação Vr = 𝑵
(𝟏 ! 𝒊𝒏)
 para calcular o valor líquido 
Vr = R$ 37.000,00 / [1 + (0,25/360) x 80] 
Na calculadora HP 
CLX 
0,25 ENTER 
360 DIVIDE 
80 MULTIPLICA 
1 SOMA 
STO 1 (guardar na memória 1 o fator de capitalização) 
37000,00 ENTER 
RCL 1 (vai aparecer no visor o fator de capitalização) 
DIVIDE 
Vr = R$ 35.052,63 
Dr = N - Vr 
Dr = R$ 37.000,00 - R$ 35.052,63 = R$ 1.947,37 (HP) 
Dr = R$ 37.000 - R$ 35.051,16 = R$ 1.948,84 (calculadora comum) 
 Na calculadora do celular 
0,25 divide 360 = x 80 = 0,055555555555 
+ 1 = 1,0556 
37000 divide 1,0556 = R$ 35.051,16 
 Na calculadora do celular 
0,34 divide 12 = x 3 = 0,085 
+ 1 = 1,085 
70000 divide 1,0556 = R$ 64.516,13 
 
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c) Valor Nominal = R$ 43.000,00 Prazo de desconto = 52 dias Taxa de desconto = 3,5% a.m. 
Primeiro convertemos a taxa anual de 3,5% a.m. em taxa diaria, dividindo por 30. 
idia = 3,5% a.m. / 30 (não precisa efetuar a conta agora para não perder casas decimais). 
Utilizamos a equação Vr = 𝑵
(𝟏 ! 𝒊𝒏)
 para calcular o valor líquido. 
Vr = R$ 43.000,00 / [1 + (0,035/30) x 52] 
Na calculadora HP 
CLX 
0,035 ENTER 
30 DIVIDE 
52 MULTIPLICA 
1 SOMA 
STO 1 (guardar na memória 1 o fator de capitalização) 
43000,00 ENTER 
RCL 1 (vai aparecer no visor o fator de capitalização) 
DIVIDE 
Vr = R$ 40.540,54 
Dr = N - Vr 
Dr = R$ 43.000,00 - R$ 40.540,54 = R$ 2.459,46 (HP) 
Dr = R$ 43.000 - R$ 40.539,27 = R$ 2.460,73 (calculadora comum) 
 
2. Uma empresa realiza uma operação de desconto bancário de um título cujo valor nominal é de R$ 100.000,00 
com uma instituição financeira pelo prazo de 23 dias. O banco opera com uma taxa efetiva de juros de 45,76 % 
a.a. A alíquota de IOF é 0,0041% ao dia, além de uma alíquota de IOF de 0,38 % sobre o valor do título. O banco 
cobra TAC de 1% sobre o valor do título. Como se trata de um único título, o banco não cobrará TC. Calcular: 
a) Valor do Desconto 
Para calcular o valor do desconto bancário (por fora) Df, utilizamos a equação Df = N x d x n, onde N é o valor 
nominal, d é a taxa de desconto e n o número de períodos. 
 
idia = 45,76 % a.a. / 360 (não precisa efetuar a conta agora para não perder casas decimais). 
Utilizamos a equação Dr = N x d x n para calcular o valor líquido. 
Vr = R$ 100.000,00 x 0,4576 / 360 x 23 
Na calculadora HP 
CLX 
0,4576 ENTER 
360 DIVIDE 
23 MULTIPLICA 
100.000,00 MULTIPLICA 
Df = R$ 2.923,56 
 
b) Valor Líquido que a empresa irá receber 
Precisamos calcular as despesas administrativas e os IOFs para somar com o valor do desconto, calculado no 
item a, e subtrair do valor nominal. 
 
Taxa IOF1 = 0,0041% ao dia - 23 dias valor do título R$ 100.000,00 
Na HP 
 Na calculadora do celular 
0,035 divide 30 = x 52 = 0,06066666666 
+ 1 = 1,0607 
43000 divide 1,0607 = R$ 40.539,27 
 
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CLX 
0,0041 ENTER 
100 DIVIDE 
23 MULTIPLICA 
100.000,00 MULTIPLICA 
IOF1 = R$ 94,30 
 
Taxa IOF2 = 0,38% sobre o valor título R$ 100.000,00 
Na HP 
CLX 
0,38 ENTER 
100 DIVIDE 
100.000,00 MULTIPLICA 
IOF2 = R$ 380,00 
 
TAC = 1% sobre o valor do título R$ 100.000,00 
Na HP 
CLX 
1 ENTER 
100 DIVIDE 
100.000 MULTIPLICA 
TAC = R$ 1.000,00 
 
Total das despesas = Df + IOF1 + IOF2 + TAC 
Total das despesas = R$ 2.923,56 + R$ 94,00 + R$ 380,00 + R$ 1.000,00 = R$ 4.397,56 
Valor líquido que a empresa irá receber = R$ 100.000,00 - R$ 4.397,56 = R$ 95.602,44 
 
c) Taxa efetiva de juros no período 
Podemos utilizar a equação i = !
!
 - 1, pois precisamos da taxa efetiva no período. O valor nominal é o montante M 
(valor futuro) e o valor líquido é o Capital (valor presente) 
i = R$ 100.000 ÷ R$ 95.602,44 - 1 = 0,045998 = 0,0460 ou 4,6% no período. 
 
3. Um banco desconta um lote de 45 títulos com valor nominal total de R$ 85.000,00, com vencimento a 25 dias. 
O banco cobra uma taxa de desconto de duplicata de 4,5 % ao mês. A alíquota de IOF é 0,005 % ao dia, além de 
uma alíquota de IOF de 0,4 % sobre o valor dos títulos. O banco cobra TAC de 1% sobre o valor nominal total e 
TC de R$ 10,00 para cada título descontado. Calcular: 
a) Valor do Desconto 
Df = N x d x n 
Na HP 
CLX 
4,5 ENTER 
100 DIVIDE 
30 DIVIDE 
25 MULTIPLICA 
85000 MULTIPLICA 
Df = R$ 3.187,50 
 
b) Valor Líquido que a empresa irá receber 
Precisamos calcular as despesas administrativas e os IOFs para somar com o valor do desconto, calculado no 
item a, e subtrair do valor nominal. Assim, teremos o valor líquido que a empresa irá receber. 
 
 
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Taxa IOF1 = 0,005 % ao dia = 0,005 ÷ 100 x 25 dias = 0,001250 
IOF1 = R$ 85.000,00 x 0,001250 = R$ 106,25 
 
IOF2 = R$ 85.000,00 x 0,0040 = R$ 340,00 
 
TAC = R$ 85.000,00 x 0,01 = R$ 850,00 
 
A Tarifa de Cobrança (TC) deve ser aplicada para os 45 títulos. 
TC = R$ 10,00 x 45 = R$ 450,00 
 
Total das despesas = Df + IOF1 + IOF2 + TAC 
 
Total das despesas = R$ 3.187,50 + R$ 106,25 + R$ 340,00 + R$ 850,00 + R$ 450,00 = R$ 4.933,75 
 
Valor líquido que a empresa irá receber = R$ 85.000,00 - R$ 4.933,75 = R$ 80.066,25 
 
c) Taxa efetiva de juros no período 
Podemos utilizar a equação i = !
!
 - 1, pois precisamos da taxa efetiva no período. O valor nominal é o montante M 
(valor futuro) e o valor líquido é o Capital (valor presente) 
i = R$ 85.000,00 ÷ R$ 80.066,25 - 1 = 0,0616 ou 6,16 % no período. 
 
4. Sabe-se que o valor do desconto racional ("por dentro") de um título à taxa de 66% a.a. e prazo de desconto de 
50 dias, atinge R$ 28.963,00. Para essas mesmas condições, determine o valor do desconto desse título se fosse 
adotado o conceito de desconto comercial ("por fora"). 
 
Passo 1 - Sabemos que o valor do desconto (Dr) = R$ 28.963,00, o prazo (n) = 50 dias e a taxa (i) = 66% a.a. 
Precisamos saber o valor nominal do título = N 
Utilizando a equação Dr = Vr x i x n obtemos o valor líquido (Vr) do título 
 
Vr = !"
! ! !
 então Vr = 
!".!"#,!!
!!/!""/!"#!!"
 
Na HP 
CLX 
66 ENTER 
100 DIVIDE 
360 DIVIDE 
50 MULTIPLICA 
STO 1 
28.963 ENTER 
RCL 1 
DIVIDE 
Vr = 315.960,00 
 
Sabendo-se que N = Vr + Dr teremos 
N = 315.960,00 + 28.963,00 N = 344.923,00 
N = 315.948,51 + 28.963,00 = R$ 344.911,51Passo 2 - Utilizar a equação do desconto comercial bancário (por fora) para calcular o valor do desconto (Df) 
Df = N x d x n 
DF = R$ 344.923,00 x 66/100/360 x 50 
Na HP 
CLX 
 Na calculadora do celular 
0,66 divide 360 = x 50 = 0,09167 
28963 divide 0,09167 = R$ 315.948,51 
 
 
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 5 
344923 ENTER 
66 MULTIPLICA 
100 DIVIDE 
360 DIVIDE 
50 MULTIPLICA 
Df = R$ 31.617,94 
 
Análise = Podemos verificar que o desconto comercial bancário é maior que o desconto racional, mantidos o 
prazo e a taxa. No desconto racional o Dr é R$ 28.963,00 e no desconto comercial é R$ 31.617,94 
 
5. Determinar a que taxa devem ser descontados 3 títulos, no conceito de desconto bancário ("por fora"), com 
valor de R$ 6.000,00 cada um, com vencimentos para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um valor atual, global 
de R$ 16.524,00. 
Utilizamos a equação de desconto comercial bancário (por fora) 
Vf = N (1 - d x n) 
 
Título 1 (N1) = R$ 6.000,00 prazo 1 (n1)= 30 dias ou 1 mês 
Título 2 (N2) = R$ 6.000,00 prazo 2 (n2)= 60 dias ou 2 meses 
Título 3 (N3) = R$ 6.000,00 prazo 3 (n3)= 90 dias ou 3 meses 
 
Valor atual descontado total = Vf = R$ 16.524,00 = Vf1 + Vf2 + Vf3 
Vf1 = N1 (1 - d x 1 mes) = R$ 6.000,00 (1 - d x 1 mês) 
Vf2 = N2 (1 - d x 2 meses) = R$ 6.000,00 (1 - d x 2 meses) 
Vf3 = N3 (1 - d x 3 meses) = R$ 6.000,00 (1 - d x 3 meses) 
 
Somando-se os valores descontados, teremos: 
R$ 16.524,00 = N1 (1 - d x 1 mês) + N2 (1 - d x 2 meses) + N3 (1 - d x 3 meses) 
R$ 16.524,00 = R$ 6.000,00 (1 - d) + R$ 6.000,00 (1 - 2d) + R$ 6.000,00 (1 - 3d) 
R$ 16524,00 = R$ 6.000,00 - R$ 6.000,00 x d + R$ 6.000,00 - R$ 12.000,00 x d + R$ 6.000,00 - R$ 18.000,00 x d 
R$ 16524,00 = R$ 18.000,00 - R$ 36.000,00 x d 
- R$ 1.476,00 = - R$ 36.000,00 x d 
d = 
! !$ !.!"#,!!
! !$ !".!!!,!!
 
 
d = 0,0410 ou d = 4,1% a.m. ou 0,1367 % a.d