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Cálculo Diferencial 
e Integral III
Transformada de Laplace
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Unidade de Ensino: 4 – Transformada de Laplace
Competência da Unidade: Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia 
e na área de exatas, os cálculos referentes à transformada de Laplace.
Resumo: Nesta aula serão estudadas as Transformadas de Laplace, as Transformadas 
Inversas, suas propriedades, e o emprego destas na resolução de problemas de valor 
inicial.
Palavras-chave: Transformada de Laplace; Transformada Inversa; Frações, Parciais; 
Problemas de Valor Inicial.
Título da Teleaula: Transformada de Laplace.
Teleaula nº: 04.
Em que tipo de situações 
podemos empregar as 
transformadas de 
Laplace?
Freepik.com
É preciso relembrar...
 Integrais Impróprias
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
→
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Definição da 
transformada de 
Laplace
Função de ordem exponencial
𝑓 𝑡 é de ordem exponencial se existem
𝑐, 𝑀, 𝑡 ∈ ℝ tais que 𝑀 > 0, 𝑡 > 0 com
𝑓 𝑡 ≤ 𝑀𝑒 , para todo 𝑡 > 𝑡 .
Contraexemplo:
𝑔 𝑡 = 𝑒
Exemplo:
𝑔 𝑡 = 3𝑡
1 2
3 4
5 6
Função contínua por partes
Também chamada de seccionalmente contínua. Quando for possível 
dividir o intervalo em um nº finito de intervalos de modo que a função 
seja contínua em cada subintervalo, com limites finitos.
Fonte: ÇENGEL; PALM III, 2014, p.446.
Transformada de Laplace
Seja 𝑓 𝑡 uma função definida para 𝑡 ≥ 0, contínua por partes em 0 ≤
𝑡 ≤ 𝐴 𝐴 > 0 e de ordem exponencial.
 A transformada de Laplace de 𝑓 (denotada por ℒ 𝑓 𝑡 ou 𝐹 𝑠 ) é
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑒 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
sempre que a integral imprópria convergir (com 𝑠 > 𝑐).
Linearidade da transformada de Laplace
 Sejam 𝛼 e 𝛽 constantes reais, bem como 𝑓 𝑡 e 𝑔 𝑡 funções de
ordem exponencial e contínuas por partes.
 A transformada de Laplace é linear, visto que:
ℒ 𝛼𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔 𝑡 = 𝛼ℒ 𝑓 𝑡 + 𝛽ℒ 𝑔 𝑡
Como determinar uma transformada de Laplace
Exemplo 1: transformada de Laplace da função 𝑓 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 0
ℒ 1 = 𝑒 ⋅ 1 𝑑𝑡 = lim
→
𝑒 𝑑𝑡 = lim
→
𝑒
−𝑠
= lim
→
−
𝑒
𝑠
+
1
𝑠
= lim
→
−
1
𝑠𝑒
+
1
𝑠
=
1
𝑠
Portanto, 𝐹 𝑠 = ℒ 1 = , 𝑠 > 0.
Mudança de variável: 𝑢 = −𝑠𝑡
𝑭 𝒔𝒇(𝒕)
1
𝑠
, 𝑠 > 01
1
𝑠
, 𝑠 > 0𝑡
c!
𝑠
, 𝑠 > 0𝑡 , c ≥ 0
1
𝑠 − 𝑐
, 𝑠 > 𝑐𝑒
𝑠
𝑠 + 𝑎
, 𝑠 > 0cos 𝑎𝑡
𝑎
𝑠 + 𝑎
, 𝑠 > 0sen 𝑎𝑡
Tabela de Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace
 Seja 𝐹 𝑠 a transformada de Laplace de uma função 𝑓 𝑡 , ou seja,
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠
𝑓 𝑡 é a transformada inversa de Laplace de 𝐹 𝑠
 Notação: 𝑓 𝑡 = ℒ 𝐹 𝑠 .
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝓛 𝟏
𝓛
7 8
9 10
11 12
Linearidade da transformada inversa
Sejam 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.
Se 𝐹 𝑠 e 𝐺 𝑠 são as Transformadas de Laplace das funções 𝑓 𝑡 e 𝑔 𝑡 ,
respectivamente, então
ℒ 𝛼𝐹 𝑠 + 𝛽𝐺 𝑠 = 𝛼ℒ 𝐹 𝑠 + 𝛽ℒ 𝐺 𝑠 = 𝛼𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔 𝑡
Exemplo
Sabe-se que a transformada de Laplace de uma função 𝑓 𝑡 é dada por:
𝐹 𝑠 =
1
𝑠
Qual é a 
transformada inversa 
de 𝐹 𝑠 ?
ℒ 𝑡 =
! , para 𝑘 ≥ 0 e 𝑠 > 0. Pela linearidade da transformada:
𝐹 𝑠 =
1
𝑠
=
1
𝑠
 ⇒ 3! 𝐹 𝑠 =
3!
𝑠
 
⇒ ℒ 3! 𝐹 𝑠 = ℒ
3!
𝑠
= 𝑡
⇒ 3! ℒ 𝐹 𝑠 = 𝑡
⇒ ℒ 𝐹 𝑠 =
𝑡
3!
Frações parciais e as 
transformadas de 
Laplace
Expansão em frações parciais
Decompor a razão 
𝑃 𝑠
𝑄 𝑠
,
com 𝑃 e 𝑄 polinômios, onde o grau de 𝑃 é menor que o de 𝑄, de modo a
representá-la, por exemplo, na forma
𝐴
𝑠 − 𝑎
+
𝐴
𝑠 − 𝑎
+ ⋯ +
𝐴
𝑠 − 𝑎
Exemplo 1
Determinar a transformada inversa de Laplace para uma função do tipo
𝐹 𝑠 =
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
13 14
15 16
17 18
Determinar a transformada Inversa de Laplace de
𝐹 𝑠 =
𝑃 𝑠
𝑄 𝑠
=
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
por expansão em frações parciais:
Raízes do polinômio 𝑄 𝑠
𝑠 = 0; 𝑠 = −1; 𝑠 = −2
Determinar A, B e C tais que
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 1
+
𝐶
𝑠 + 2
=
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 1
+
𝐶
𝑠 + 2
=
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
𝐴 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐵𝑠 𝑠 + 2 + 𝐶𝑠(𝑠 + 1)
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2
=
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑠 + 3𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 𝑠 + 2𝐴
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2
=
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
⇒
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1
3𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −4
2𝐴 = 5
⇒ 
𝐴 = 5 2⁄
𝐵 = −10
𝐶 = 17 2⁄
𝐹 𝑠 =
𝑠 − 4𝑠 + 5
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 
=
5
2
⋅
1
𝑠
− 10 ⋅
1
𝑠 + 1
+
17
2
⋅
1
𝑠 + 2
Pela linearidade da Transformada Inversa segue que
ℒ 𝐹 𝑠 = ℒ
5
2
⋅
1
𝑠
− 10 ⋅
1
𝑠 + 1
+
17
2
⋅
1
𝑠 + 2
=
5
2
ℒ
1
𝑠
− 10ℒ
1
𝑠 + 1
+
17
2
ℒ
1
𝑠 + 2
Portanto,
ℒ 𝐹 𝑠 =
5
2
− 10𝑒 +
17
2
𝑒
ℒ
1
𝑠
= 1
ℒ
1
𝑠 − 𝑐
= 𝑒
Exemplo 2
Exemplo: vamos determinar a transformada inversa de 
𝐹 𝑠 =
𝑠
𝑠 + 1 𝑠 + 1
Determinar A, B e C tais que
𝑠
𝑠 + 1 𝑠 + 1
=
𝐴
𝑠 + 1
+
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑠 + 1
𝐴
𝑠 + 1
+
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑠 + 1
=
𝐴 𝑠 + 1 + 𝐵𝑠 + 𝐶 𝑠 + 1
𝑠 + 1 𝑠 + 1
=
𝐴𝑠 + 𝐴 + 𝐵𝑠 + 𝐵𝑠 + 𝐶𝑠 + 𝐶
𝑠 + 1 𝑠 + 1
=
(𝐴 + 𝐵)𝑠 + 𝐵 + 𝐶 𝑠 + 𝐴 + 𝐶
𝑠 + 1 𝑠 + 1
Assim, devemos ter:
𝑠
𝑠 + 1 𝑠 + 1
=
(𝐴 + 𝐵)𝑠 + 𝐵 + 𝐶 𝑠 + 𝐴 + 𝐶
𝑠 + 1 𝑠 + 1
Logo,
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐵 + 𝐶 = 1
𝐴 + 𝐶 = 0
⇒ 
𝐴 = − 1 2⁄
𝐵 = 1 2⁄
𝐶 = 1 2⁄
19 20
21 22
23 24
Sendo assim,
𝐹 𝑠 =
𝑠
𝑠 + 1 𝑠 + 1
= −
1
2
⋅
1
𝑠 + 1
+
1
2
𝑠 +
1
2
𝑠 + 1
= −
1
2
⋅
1
𝑠 + 1
+
1
2
⋅
𝑠
𝑠 + 1
+
1
2
⋅
1
𝑠 + 1
Logo,
ℒ 𝐹 𝑠 = −
1
2
𝑒 +
1
2
cos 𝑡 +
1
2
sen 𝑡
ℒ
1
𝑠 + 1
= 𝑒
ℒ
𝑠
𝑠 + 1
= cos 𝑡
ℒ
1
𝑠 + 1
= sen 𝑡
Propriedades das 
transformadas
Primeiro teorema da translação
Seja 𝑎 ∈ ℝ, e sabendo que ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 , então
ℒ 𝑒 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 − 𝑎
Exemplo:
ℒ 𝑡 =
1
𝑠
 ⇒ ℒ 𝑡𝑒 =
1
𝑠 − 2
Segundo teorema da translação
Seja 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 e 
𝑓 𝑡 =
𝑓 𝑡 − 𝑎 , 𝑡 > 𝑎
0, 𝑡 < 𝑎
então para todo 𝑎 > 0 tem-se
ℒ 𝑓 (𝑡) = 𝑒 𝐹 𝑠
Exemplo
Se a função 𝑓 for definida por:
𝑓 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 <
𝜋
4
𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos(𝑡 −
𝜋
4
) , 𝑡 ≥
𝜋
4
Encontre a transformada de Laplace
29 Exemplo
Sabemos que 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑔(𝑡) em que,
𝑔 𝑡 =
0, 𝑡 <
𝜋
4
cos 𝑡 −
𝜋
4
, 𝑡 ≥
𝜋
4
Logo, 
ℒ 𝑔 (𝑡) = 𝑒 ⋅
𝑠
𝑠 + 1
Assim,
ℒ 𝑓 (𝑡) = ℒ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + ℒ 𝑔 (𝑡)
ℒ 𝑓 (𝑡) =
1
𝑠 + 1 
+ 𝑒 ⋅
𝑠
𝑠 + 1
30
25 26
27 28
29 30
Propriedade da mudança de escala (homotetia)
Se ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 então 
ℒ 𝑓 𝑘𝑡 =
1
𝑘
𝐹
𝑠
𝑘
,
para 𝑘 > 0
Exemplo:
ℒ 𝑡 =
1
𝑠
 ⇒ ℒ 2𝑡 =
1
2
⋅
1
𝑠 2⁄
Propriedade das funções periódicas
Se 𝑓 é de ordem exponencial e tem período 𝑝 então
ℒ 𝑓(𝑡) =
1
1 − 𝑒
𝑒 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
Exemplo
Obtenha a transformada de Laplace da função mostra a seguir
33 Exemplo
A função 𝐸(𝑡) representada é chamada onda quadrada e tem período 𝑝 = 2. No 
intervalo 0 ≤ 𝑡 < 2, 𝐸(𝑡) pode ser definida como:
𝐸 𝑡 =
1, 0 ≤ 𝑡 < 1
0, 1 ≤ 𝑡 < 2
E fora do intervalo, por 𝑓 𝑝 + 2 = 𝑓(𝑡). Do teorema temos:
ℒ 𝐸(𝑡) =
1
1 − 𝑒
𝑒 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡
34
Exemplo
ℒ 𝐸(𝑡) =
1
1 − 𝑒
𝑒 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡
ℒ 𝐸(𝑡) =
1
1 − 𝑒
𝑒 ⋅ 1 𝑑𝑡 + 𝑒 ⋅ 0 𝑑𝑡
ℒ 𝐸(𝑡) =
1
1 − 𝑒
−
𝑒
𝑠
+
1
𝑠
ℒ 𝐸(𝑡) =
1
(1 − 𝑒 )(1 + 𝑒 )
1 − 𝑒
𝑠
ℒ 𝐸(𝑡) =
1
𝑠(1 + 𝑒 )
35
Estudo de PVIs e 
as transformadas de 
Laplace
31 32
33 34
35 36
Transformada de Laplace e derivadas
Suponha 𝑓 contínua e 𝑓′ seccionalmente contínua em qualquer intervalo
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝐴.
Se existem 𝐾, 𝑎, 𝑀 constantes tais que 𝑓 𝑡 ≤ 𝐾𝑒 , para todo
𝑡 ≥ 𝑀, então existe a transformada de Laplace ℒ{𝑓 𝑡 } para 𝑠 > 𝑎 e
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝑠ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑓(0)
Consequentemente, sendo as hipóteses satisfeitas para 𝑓′ e 𝑓′′, então
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝑠 ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓 0
De modo geral,
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝑠 ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠 𝑓 0 − ⋯ − 𝑠𝑓 0 − 𝑓 (0)
Transformada de Laplace e PVIs
 Passo 1: Aplicação da Transformada de Laplace na EDO
 Passo 2: Emprego da linearidade da Transformada de Laplace
 Passo 3: Emprego das informações do teorema sobre derivadas e 
transformadas
 Passo 4: Determinar a Transformada Inversa de Laplace
(empregando, se necessário, expansão em frações 
parciais)
Exemplo 1
Resolva o seguinte problema de valorinicial empregando
as transformadas de Laplace:
𝑦 − 3𝑦 = 𝑒
𝑦 0 = 1
Aplicando as propriedades da transformada de Laplace na resolução da EDO
teremos
ℒ 𝑦 − 3𝑦 = ℒ{𝑒 }
Sabemos que ℒ 𝑒 = .
Então,
ℒ 𝑦 − 3𝑦 =
1
𝑠 − 2
ℒ 𝑦 − 3𝑦 =
1
𝑠 − 2
ℒ 𝑦 − 3ℒ 𝑦 =
1
𝑠 − 2
𝑠ℒ 𝑦 − 𝑦 0 − 3ℒ 𝑦 =
1
𝑠 − 2
𝑠 − 3 ℒ 𝑦 − 1 =
1
𝑠 − 2
𝑠 − 3 ℒ 𝑦 =
1
𝑠 − 2
+ 1 =
1
𝑠 − 2
+
𝑠 − 2
𝑠 − 2
=
𝑠 − 1
𝑠 − 2
ℒ 𝑦 =
𝑠 − 1
𝑠 − 2
⋅
1
𝑠 − 3
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
37 38
39 40
41 42
Podemos aplicar frações parciais na fatoração da última expressão obtida
da seguinte forma:
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
=
𝐴
𝑠 − 2
+
𝐵
𝑠 − 3
=
𝐴 + 𝐵 𝑠 + (−3𝐴 − 2𝐵)
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
de onde segue que 𝐴 = −1, 𝐵 = 2 e, portanto,
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
= −
1
𝑠 − 2
+
2
𝑠 − 3
Logo,
ℒ 𝑦 = −
1
𝑠 − 2
+
2
𝑠 − 3
= −
1
𝑠 − 2
+ 2 ⋅
1
𝑠 − 3
Como ℒ 𝑒 = e ℒ 𝑒 = obtemos
ℒ 𝑦 = −ℒ 𝑒 + 2ℒ 𝑒 = ℒ −𝑒 + 2𝑒
Portanto, a solução do PVI será dada por
𝑦 𝑡 = −𝑒 + 2𝑒
Exemplo 2
Considere o problema de valor inicial dado a seguir:
𝑦 + 3𝑦 = 13 sen 2𝑡
𝑦 0 = 6
Qual é a transformada 
de Laplace da solução 
desse PVI?
Pela linearidade da transformada de Laplace obtemos:
ℒ 𝑦 + 3𝑦 = ℒ 13 sen 2𝑡
𝓛 𝒚′ + 3ℒ 𝑦 = ℒ 13 sen 2𝑡
𝒔𝓛 𝒚 𝒕 − 𝒚 𝟎 + 3ℒ 𝑦 = 𝓛 𝟏𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕 = 𝟏𝟑 ⋅
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟒
=
𝟐𝟔
𝒔𝟐 + 𝟒
𝒔𝓛 𝒚 𝒕 − 𝒚 𝟎 + 3ℒ 𝑦 =
𝟐𝟔
𝒔𝟐 + 𝟒
 
Como 𝑦 0 = 6,
𝑠ℒ 𝑦 𝑡 − 6 + 3ℒ 𝑦 𝑡 =
26
𝑠 + 4
𝑠 + 3 ℒ 𝑦 𝑡 =
26
𝑠 + 4
+ 6 =
26 + 6 𝑠 + 4
𝑠 + 4
𝑠 + 3 ℒ 𝑦 𝑡 =
26
𝑠 + 4
+ 6 =
26 + 6 𝑠 + 4
𝑠 + 4
𝑠 + 3 ℒ 𝑦 𝑡 =
6𝑠 + 50
𝑠 + 4
ℒ 𝑦 𝑡 =
6𝑠 + 50
𝑠 + 4 𝑠 + 3
Recapitulando
43 44
45 46
47 48
Recapitulando
Definição de 
transformada de 
Laplace
Transformada de 
Laplace
Transformada 
Inversa
Frações Parciais
Problemas de 
valor Inicial e 
Transformadas 
de Laplace
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