Edited - 2 Trabalho de Matemática VI -Integrado (1)

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2º Trabalho de Matemática VI – Profº: Davi Pereira Fortes 
 
 
2º Trabalho de Matemática VI – Integrado – 6º período – 2022/2 
LEIA COM ATENÇÃO: 
1) Todas as questões deverão ser justificadas detalhadamente. O trabalho vale 3,0 pontos. 
2) As soluções das questões deverão ser entregues presencialmente em folha de caderno ou de 
ofício, de forma ORGANIZADA e LEGÍVEL até o dia 23/12/22. NÃO aceitarei trabalhos 
entregues pelo google classroom e vou zerar soluções desorganizadas, com rasuras ou ilegíveis. 
3) NÃO receberei trabalhos entregues após o prazo, exceto nos casos com uma justificativa 
razoável para o atraso. 
 
1ª Questão (0,3 ponto) – O polinômio 4 3 24 4x x mx x n    é divisível por   1 2x x  . Calcule 
5 2m n . 
2ª Questão (0,3 ponto) – Um polinômio  p x , quando dividido por 7x dá resto 
1
2
 e, dividido por 
9x dá resto 
3
4
. Qual o resto da divisão de  p x por 2 2 63x x  ? 
 
 
3ª Questão (0,3 ponto) – Determine o quociente e o resto da divisão de   6 22 160 15p x x x   por 
  3d x x  . 
 
4ª Questão (0,3 ponto) – Sabendo que os polinômios    3 22 3 3f x x mx m n x n     e 
   3 2 2h x x m n x m    são divisíveis por   1g x x  , calcule o valor de  49log m n . 
 
 
5ª Questão (0,3 ponto) – Um polinômio   3 22f x x mx nx p    é divisível pelo polinômio 
  22 4g x x x   . Determine o valor numérico da expressão 2p n m  . 
 
6ª Questão (0,3 ponto) – Determine um polinômio  p x de grau 3 que satisfaça a equação
    21p x p x x   para todo x . Utilize o polinômio encontrado para obter uma expressão, em 
função de n, para a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais, ou seja, para a soma
2 2 2 21 2 3S n     . 
 
7ª Questão (0,3 ponto) – Seja  r x o resto da divisão do polinômio 
  2022 2021 2020 2019 2 1p x x x x x x x        por   3g x x x  .Determine  r x e calcule  2r . 
 
 
8ª Questão (0,3 ponto) – Uma aplicação do estudo dos polinômios é feita em um ramo da matemática 
conhecido como Álgebra Linear. Na Álgebra Linear os polinômios são vetores e, dessa forma, 
podemos escrever um determinado polinômio como combinação linear de outros polinômios. Por 
exemplo, o polinômio   26 11 6p x x x   pode ser escrito como combinação linear dos polinômios 
  21 4 2p x x x   ,  
2
2 3 1p x x x   e  
2
3 5 2 3p x x x   . Isso significa que existem números 
reais a, b e c tais que a equação        1 2 3p x a p x b p x c p x      é satisfeita. Utilizando a 
igualdade entre polinômios é possível determinar os valores de a, b e c. Determine-os. 
 
 
 
2º Trabalho de Matemática VI – Profº: Davi Pereira Fortes 
 
 
9ª Questão (0,3 ponto) – Outra aplicação do estudo dos polinômios é na determinação de autovalores. Esse 
conceito é extremamente importante na Álgebra Linear e nas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). 
Considerando as matrizes 
2 3 4
0 2 0
4 3 2
A
 
 
 
 
  
 e 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 

 
  
. Dizemos que o polinômio característico de A 
é o polinômio    detP A I    , onde  . Assim, usando as operações entre matrizes, temos que: 
   
2 3 4
det 0 2 0
4 3 2
P A I

  


    

 
Além disso, dizemos que as raízes da equação polinomial   0P   são os autovalores da matriz A. 
Determine: 
a) Os autovalores de A. 
b) O polinômio característico de A na forma   3 23 2 1 0P a a a a       , onde 3 2 1, ,a a a e 0a são 
constantes reais. 
10ª Questão (0,3 ponto) – Considere um polinômio  f x que seja divisível por 2x . Ao dividir 
 f x por   23 2 4g x x x   , obtemos como quociente   2 1q x x x   e um resto  r x . Sabendo 
que  3 15r    , determine o quociente e o resto da divisão de  f x por 2 1x x  . 
Bom trabalho! Que a benção de DEUS esteja sobre a sua vida!!!