Unidade 1 - Leis de Kirchhoff e a representação fasorial

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ANÁLISE DE 
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS DE 
CORRENTE 
ALTERNADA
Maikon Lucian Lenz
Leis de Kirchhoff e 
a representação fasorial
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Examinar a lei de Kirchhoff para a corrente em circuitos com fasores.
 � Expressar a lei de Kirchhoff para a tensão em circuitos com fasores.
 � Aplicar teoremas de circuitos com fasores.
Introdução
Apesar de os circuitos de corrente alternada possuírem variações de 
tensão e corrente de forma constante, a partir de determinado momento, 
o circuito abandona a resposta natural e passa a ter o comportamento 
totalmente determinado pelo sinal forçado, situação em que se diz estar 
em regime permanente.
Nesse tipo de circuito, devido à presença de elementos acumulado-
res de energia, como indutores e capacitores, as relações entre tensão 
e corrente são determinadas por equações diferenciais. No entanto, 
ao utilizar fasores, a impedância de cada elemento, representada de 
maneira complexa, pode ser utilizada em uma equação algébrica passível 
de soluções lineares novamente, como, por exemplo, utilizando as leis 
de Kirchhoff.
Neste capítulo, você verá de que forma as duas leis de Kirchhoff, 
para tensões e correntes, podem ser aplicadas em circuitos de corrente 
alternada com o auxílio dos fasores. Além disso, vai conhecer quatro dos 
principais teoremas de circuitos elétricos, muito utilizados em circuitos 
de corrente contínua, mas que também podem ser aplicados em regime 
permanente de corrente alternada: superposição, transformação de fon-
tes, Thévenin e Norton.
1 Lei de Kirchhoff para corrente usando fasores
Os fasores podem ser empregados nas análises de regime permanente, uma vez 
que consideram a frequência (ω) constante. São descartados, portanto, valores 
iniciais e toda a resposta em regime transitório do circuito (ALEXANDER; 
SADIKU, 2013).
Naturalmente, o fasor está associado à função cosseno, sendo mais conve-
niente converter toda e qualquer função utilizada para expressar as tensões, 
correntes e demais variáveis também por meio da função cosseno antes de 
convertê-las para fasores (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Utilizando fasores e o conceito de impedância, pode-se expressar a lei de 
Ohm para qualquer elemento (Equação 1):
V = Z · I (1)
onde:
 � V: tensão elétrica complexa (fasor) [V].
 � Z: impedância elétrica complexa [Ω].
 � I: corrente elétrica complexa (fasor) [A].
Fasores são números complexos que expressam algumas características senoidais, 
a saber: o valor de pico ou eficaz e a fase. A vantagem é que essa ferramenta matemática é 
mais facilmente manipulável que as senoides em si e permite a análise rápida de circuitos 
lineares. No entanto, os fasores não consideram valores de frequência, sendo utilizados 
somente em situações em que todos os sinais envolvidos possuem a mesma. Além disso, 
os fasores podem ser expressos nas formas polar, retangular e exponencial, cada qual com 
suas vantagens em diferentes situações (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Neste capítulo, os fasores são identificados por variáveis em negrito, mas outras 
notações também podem ser encontradas, como:
V = V̂ = V̇
Observe, ainda, que nem todo número complexo é um fasor, sendo esse um número 
complexo específico e que, a rigor, deve ser o coeficiente de ejwt, motivo pelo qual 
as impedâncias, apesar de expressas como números complexos, não são fasores 
(NILSSON; RIEDEL, 2015).
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial2
Considerando os componentes elétricos passivos, pode-se expressar a 
relação entre tensão e corrente a partir dos fasores, conforme as Equações 2, 
3 e 4, para resistores, indutores e capacitores respectivamente.
(2)
(3)
(4)
onde:
 � R: resistência elétrica [Ω].
 � L: indutância elétrica [H].
 � C: capacitância elétrica [F].
Percebe-se, pelas Equações 3 e 4, que a impedância de indutores e capaci-
tores depende da frequência, ao contrário dos elementos puramente resistivos.
A relação entre dois fasores, como nas Equações 2 a 4, resulta em um valor 
constante, como o são os valores de resistência, indutância e capacitância.
Rapidamente, pode-se perceber, também, que a impedância de capacitores 
e indutores nos limites 0 e infinito da frequência resulta em situações extre-
mas que podem ser análogas a circuitos em curto ou circuitos abertos, como 
normalmente são analisados esses componentes em início e fim de carga 
(ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Destaca-se, ainda, que, enquanto o resistor é invariável na frequência e 
apresenta apenas uma impedância de valor real, os demais componentes têm 
impedâncias puramente imaginárias, também conhecidas como reatâncias, 
indutivas ou capacitivas.
3Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Assim, qualquer que seja o circuito, pode-se representar um conjunto de 
impedâncias por seu equivalente na forma de um número complexo, em que 
o eixo real é composto das resistências e o imaginário das reatâncias, como 
na Equação 5, em que já está demonstrada a relação entre as formas polares 
e retangulares de representação fasorial.
Z = |Z| ∠ θ = R + jX (5)
onde:
 � |Z|: módulo da impedância, determinado por:
 � X: reatância elétrica [Ω].
Independentemente dos sinais, componentes e da forma como esses estão 
conectados, é certo que a quantidade de carga deve ser conservada em todos 
os casos (ALEXANDER; SADIKU, 2013), de forma que a lei de Kirchhoff 
para corrente (LKC), também conhecida como lei de Kirchhoff para os nós, 
pode ser aplicada da mesma forma como em circuitos de corrente contínua.
A LKC determina que em qualquer nó (ponto que conecta dois ramos/
componentes de um circuito) a soma das correntes que entram nele deve ser 
idêntica as correntes que saem. Vista de outra forma, se adotados sinais opos-
tos para as correntes que entram e saem de um nó, a LKC pode ser expressa 
conforme a Equação 6:
(6)
onde:
 � N: quantidade total de correntes elétricas que entram ou saem do nó.
 � in: n-ésima corrente elétrica do nó [A].
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial4
Quando se associa a LKC à lei de Ohm, pode-se analisar circuitos elétricos 
na forma em que se encontram originalmente, sem que seja necessário alterar 
a sua estrutura (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Entretanto, quando utilizada a LKC com circuitos que utilizam indutores e 
capacitores, em vez de apenas resistores, obtêm-se equações diferenciais que 
podem complicar a resolução do problema. Ao utilizar a notação fasorial, é 
possível obter uma equação algébrica simplificada para analisar o circuito no 
regime permanente (HAYT JR.; KEMMERLY; DURBIN, 2014).
Formalmente, a LKC fasorial apenas altera a representação da corrente 
no domínio do tempo (i(t)), pela representação no domínio da frequência, 
utilizando letras maiúsculas e em negrito (Equação 7).
(7)
onde:
 � In: n-ésimo fasor de corrente elétrica do nó [A].
A identidade de Euler permite converter um sinal do tipo senoidal para um 
fasor na forma exponencial, como se pode ver na Equação 8, da qual apenas 
a componente real pode ser considerada para uma alimentação real. Por esse 
motivo, sempre é mais fácil converter todos os sinais para a forma cossenoidal, 
como o da Equação 9, sendo possível aplicar o processo das Equações 10 a 
12 na conversão para fasores (HAYT JR.; KEMMERLY; DURBIN, 2014).
ej(ωt ± θ) = cos(ωt ± θ) + j sen(ωt ± θ) (8)
i(t) = Im cos(ωt + ϕ) (9)
i(t) = Re{Ime
j(ωt+ϕ)} (10)
I = Ime
jϕ (11)
I = Im ∠ ϕ (12)
5Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Assim, o Exemplo 1, a seguir, demonstra a LKC, convertendo cada uma 
das correntes em fasores para facilitar o cálculo.
Exemplo 1
O nó da Figura 1 possui duas correntes que saem dele e uma que entra nele.
Figura 1. Nó.
Todas possuem exatamente a mesma frequência (ω), sendo possível utilizar 
fasores para analisá-las em regime permanente.
i1(t) = 10 sen (5t) A
i2(t) = 20 cos (5t + 30°) A
i3(t) = 26,46 cos (5t + 49,1°) A
Aplicando as identidades trigonométricas, é possível converter a correntei1 para uma função cosseno:
i1(t) = 10 sen (5t) = 10 cos (5t – 90°) A
Então, todas as correntes são expressas no domínio da frequência:
I1 = 10e
–j90° = 10 ∠ –90° A
I2 = 20e
j30° = 20 ∠ 30° A
I3 = 26,46e
–j49,1° = 26,46 ∠ 49,1° A
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial6
A LKC determina que o somatório das correntes em um nó deve ser nulo; 
logo:
–I1 + I2 – I3 = 0
No entanto, fasores são mais facilmente adicionados e subtraídos na forma 
retangular, em vez da polar:
Im ∠ θ = Imcosθ + j Im senθ
I1 = 10 ∠ –90° = 10 cos(–90°) + j 10sen(–90°)
I1 = –j10 A
I2 = 20 ∠ 30° = 20 cos(30°) + j 20sen(30°)
I2 = 17,32 + j10 A
I3 = 5 ∠ 45° = 26,46cos (49,1°) + j 26,46sen(49,1°)
I3 = 17,32 + j20 A
Aplicando a LKC às correntes retangulares:
–I1 + I2 – I3 = 0
–(–j10) + (17,32 + j10) – (17,32 + j20) = 0
j10 + 17,32 + j10 – 17,32 – j20 = 0
j0 + 0 = 0
O mesmo processo pode ser aplicado para se determinar valores desco-
nhecidos de corrente como para a corrente i4 do Exemplo 2.
7Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Exemplo 2
Veja o nó da Figura 2.
Figura 2. Nó.
i1(t) = 2 cos(3t – 60°) A
i2(t) = 5 cos(3t + 30°) A
i3(t) = 4 cos(3t – 45°) A
Dessa vez, são duas correntes entrando e duas saindo do nó; logo:
–I1 + I2 + I3 – I4 = 0
Deve-se converter as correntes para o domínio da frequência:
I1 = 2e
–j60° A = 2 ∠ –60° A
I2 = 5e
j30° A = 5 ∠ 30° A
I3 = 4e
–j45° A = 4 ∠ –45° A
I4 = ?
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial8
Na forma retangular:
I1 = 2 ∠ –60° A = 2 cos(–60°) + j 2sen(–60°) A
I1 = 1 – j1,73 A
I2 = 5 ∠ 30° A = 5 cos(30°) + j 5sen(30°) A
I2 = 4,33 + j2,5 A
I3 = 4 ∠ –45° A = 4cos(–45°) + j 4sen(–45°) A
I3 = 2,83 – j2,83 A
Aplicando a LKC:
–I1 + I2 + I3 – I4 = 0
–(1 – j1,73) + (4,33 + j2,5) + (2,83 – j2,83) – I4 = 0
I4 = (1 – j1,73) – (4,33 + j2,5) – (2,83 – j2,83)
I4 = –6,16 – j1,4 A
Ao converter novamente para a forma polar, pode-se determinar o pico de 
corrente e o seu ângulo de fase:
9Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
As equações diferenciais que determinam a relação corrente-tensão no 
domínio do tempo e da frequência para cada um dos três componentes passivos 
(resistores, indutores e capacitores) estão descritas no Quadro 1.
Fonte: Adaptado de Hayt Jr., Kemmerly e Durbin (2014).
Elemento
Domínio do tempo Domínio da frequência
v(t) v(t) = Vm cos ωt Vm ∠ θ V
Resistor
 
Indutor
 
Capacitor
iC(t) = ωCVm cos(ωt 
+ 90°)
 
I = 
jωCV
Quadro 1. Relação corrente-tensão para os três componentes passivos
Percebe-se que o uso dos fasores facilita muito a aplicação do cálculo. Tanto 
a notação com ângulo de defasagem explícito quanto a notação simplificada 
(última coluna) podem ser utilizadas. Para a última, no entanto, deve-se recordar 
que = –j, e que, ao multiplicar um termo por j, é aplicada uma rotação de 90° 
anti-horária no plano complexo, e horária se j for negativo.
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial10
Utilizando a LKC e as equações do Quadro 1, pode-se descrever o circuito 
da Figura 3 para determinar os níveis de tensão e corrente em cada nó e ramo 
do circuito.
Figura 3. Circuito.
O Exemplo 3, a seguir, aplica a LKC para cada um do nós a fim de deter-
minar as correntes elétricas em cada um dos componentes passivos.
Exemplo 3
Determine as correntes I2, I3 e I4 no domínio da frequência do circuito da 
Figura 3.
Primeiramente, é preciso determinar a impedância de cada componente, já que 
será utilizada a lei de Ohm para calcular tensões e correntes ao longo do circuito. 
A impedância do resistor corresponde exatamente à sua resistência elétrica; 
já o capacitor e o indutor dependem da frequência angular e da capacitância/
indutância. Sabe-se, pela fonte de alimentação, que a frequência angular do 
circuito é de ω = 10; logo:
Aplica-se a LKC para o nó superior:
I1 – I2 – I3 – I4 ou I1 = I2 + I3 + I4
11Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
A corrente I1 é conhecida, e as demais são substituídas pela lei de Ohm 
para reduzir a quantidade de variáveis:
As tensões em cada componente são desconhecidas. Mas, se assumido 
o nó inferior como nó de referência e, portanto, de potencial elétrico nulo, é 
fácil determinar a tensão relativa de cada componente pela diferença entre o 
potencial na entrada da corrente e o potencial na saída dela:
2 ∠ 0° = (V1 – 0) + j(V1 – 0) – j(V1 – 0)
2 ∠ 0° = V1 + jV1 – jV1
2 ∠ 0° V = V1
Percebe-se que não há qualquer atraso ou avanço da tensão em relação 
à fonte de corrente, já que a reatância do capacitor e do indutor são iguais, 
anulando o efeito uma da outra.
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial12
A lei de Kirchhoff parte do princípio de que a carga em um circuito fechado 
deve ser preservada, ainda que existam diversos caminhos para a corrente 
elétrica nesse circuito, de forma que as correntes que saem de um nó devem 
ter a mesma intensidade do total de correntes que entraram nesse mesmo nó, 
o que nos permite determinar o comportamento de cada componente no cir-
cuito. Na seção seguinte, você verá como outra técnica pode fazer o mesmo, 
mas considerando as tensões dentro de uma malha em vez das correntes de nós.
2 Lei de Kirchhoff para tensões usando fasores
A lei de Kirchhoff para as tensões (LKT) determina que, em um laço, o 
somatório de todas as tensões elétricas deve ser igual a zero. Assim, toda 
a tensão fornecida deve ser utilizada pelos elementos dentro daquele laço, 
conforme a Equação 13 para o domínio do tempo e a 14 para o domínio da 
frequência utilizando fasores:
(13)
(14)
onde:
 � vn: tensão elétrica do n-ésimo elemento [V].
 � Vn: fasor da tensão elétrica do n-ésimo elemento [V].
O circuito da Figura 4 possui apenas uma malha, em que três componentes 
dividem a tensão da fonte de tensão alternada V1.
13Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Figura 4. Circuito.
Como se sabe, a corrente elétrica para todos os elementos em série deve ser 
a mesma, no entanto, a tensão será dividida proporcionalmente às impedâncias 
ao longo da malha. O Exemplo 4 demonstra de que forma é possível obter a 
corrente elétrica do circuito da Figura 4 utilizando a LKT.
Exemplo 4
Determine o fasor corrente elétrica do circuito da Figura 4.
A impedância de todos os componentes já é conhecida, basta, portanto, 
aplicar a LKT. A polaridade de cada queda de tensão é arbitrária, mas, por 
convenção, adota-se uma corrente fictícia em sentido horário, de forma que a 
tensão é sempre maior na “entrada” e menor na “saída” dessa corrente sobre 
cada componente.
V1 – VR1 – VL1 – VC1 = 0 ou V1 = VR1 + VL1 + VC1
Para reduzir a quantidade de variáveis, utiliza-se a lei de Ohm:
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial14
Para determinar a corrente (I), deve-se converter o denominador (1 – j2) 
para a forma polar:
Ao contrário do Exemplo 3, quando foi utilizada a LKC no circuito da 
Figura 1, existe um atraso de corrente em relação à tensão, já que a reatância 
dos elementos é diferente.
A LKT pode, ainda, ser aplicada na existência de duas ou mais malhas. 
É o caso do circuito da Figura 5.
Figura 5. Circuito.
Nesse caso, além das duas malhas, há ainda uma fonte de tensão adiantada. 
É importante lembrar, aqui, que, para os fasores, as informações de frequência 
e tempo são descartadas, mas a fase é de fundamental importância, assim 
como a amplitude. A determinação das correntes em cada ramo é feita no 
Exemplo 5, a seguir.
15Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Exemplo 5
Determine a queda de tensão sobre cada componente do circuito da Figura 5.
Primeiramente, é preciso determinar a impedância do indutor L1 e do 
capacitor C1, sabendo-se que a frequência angular corresponde a ω = 5:
XC1 = –jωC1 = –j5 · 0,4 = –j2 Ω
XL1 = jωL1 = j5 · 0,2 = j1 Ω
Pode-se, agora, aplicar a LKT para as duas malhas. A primeira malha tem 
como equação:
V1 – VR1 – VL1 = 0 ou V1 = VR1 + VL1
A segunda malha tem como equação:
–VL1 – VC1 = 0
Para reduzir a quantidade de variáveis, utiliza-se a lei de Ohm na primeira 
malha:Leis de Kirchhoff e a representação fasorial16
O mesmo procedimento é feito com a segunda malha:
–j(I2 – I1) – (–j2)I2 = 0
–jI2 + jI1 + j2I2 = 0
jI1 + jI2 = 0
jI1 = –jI2
I1 = –I2
Podemos, então, substituir a corrente I1 na equação da primeira malha:
17Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Portanto:
I1 = –I2
I1 = –(–0,5 + j)
I1 = 0,5 – j A = 1,12 ∠ 63,43° A
As quedas de tensão são:
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial18
Como era de se esperar, a tensão sobre os dois elementos em paralelo, 
capacitor e indutor, é a mesma, ainda que as impedâncias e, portanto, também 
as correntes, sejam diferentes.
Ao comparar a LKT e a LKC, deduzimos as máximas de que: as tensões se 
dividem entre os componentes associados em série de forma a distribuir maior 
tensão para as maiores impedâncias, mas se mantêm iguais para associações 
em paralelo; já as correntes elétricas se dividem entre os diversos ramos que 
compõem um nó, de forma a minimizar a impedância total, mas se mantêm 
as mesmas para múltiplos componentes associados em série, já que a matéria 
não possui um caminho alternativo.
Junto a essas duas leis e para facilitar ainda mais a análise de circuitos 
elétricos, podemos utilizar diversos teoremas de circuitos, como superposição, 
transformação de fontes, Thévenin e Norton, que serão tema da próxima seção.
3 Teoremas de circuitos usando fasores
Muitas vezes, os circuitos possuem mais que uma fonte de alimentação, sejam 
elas de tensão ou corrente. Nesses casos, as Leis de Kirchhoff também podem 
ser utilizadas para calcular tensões e correntes em determinados pontos do 
circuito. Entretanto, pode-se reduzir a complexidade do cálculo utilizando o 
teorema da superposição.
O teorema da superposição só é válido para sistemas lineares. Nesse caso, pode ser 
aplicado para análise de circuitos em regime permanente apenas.
19Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
O circuito da Figura 6 possui duas fontes de corrente e um único indutor 
comum aos dois.
Figura 6. Circuito.
O Exemplo 6, a seguir, demonstra como é possível solucionar esse circuito 
pelo teorema da superposição.
Exemplo 6
 Determine a tensão no indutor da Figura 6 utilizando o teorema da superposição.
As fontes de corrente no domínio da frequência são:
I1 = 2 ∠ 0° A = 2 A
I3 = 1 ∠ 30° A = 0,866 + j0,5 A
A impedância do indutor corresponde a:
XL1 = jωL1 = j · 2 · 0,05 = j0,1 Ω
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial20
Se eliminada a fonte de corrente I3, pode-se aplicar a lei de Ohm para 
determinar a tensão sobre o indutor:
Já quando é eliminada a fonte de corrente I1, a tensão sobre o indutor 
seria de:
A tensão real sobre o indutor é resultado da soma entre as tensões calculadas 
para o efeito de cada fonte de corrente:
Em outros casos, as fontes de tensão e corrente se misturam em um circuito, 
dificultando o uso das leis de Kirchhoff. Nessa situação, pode-se recorrer à 
transformação de fontes. O circuito da Figura 7 traz esse tipo de problema.
21Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
Figura 7. Circuito.
A transformação de fontes obedece à lei de Kirchhoff, em que a impedância 
é mantida, mas uma fonte de corrente com uma impedância em paralelo é 
substituída por uma fonte de tensão e a mesma impedância em série, e vice-
-versa. O Exemplo 7 altera a fonte de tensão do circuito da Figura 7 para uma 
fonte de corrente equivalente.
Exemplo 7
Acompanhe, a seguir, a substituição de fontes de tensão por fontes de corrente.
A fonte de tensão no domínio da frequência pode ser expressa como:
V1 = 2 ∠ –30° V
Já a impedância do capacitor é determinada pela frequência angular:
XC1 = –jωC1 = –j · 4 · 0,025 = –j0,1 Ω
ou na forma polar:
XC1 = 0,1 ∠ –90° Ω
Pela lei de Ohm, a corrente deveria ser:
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial22
No domínio do tempo, tem-se:
I2 = 20 cos(4t + 60°) A
O circuito equivalente é o mesmo da Figura 8.
Figura 8. Circuito equivalente.
Por fim, é muito comum que os circuitos sejam projetados para cargas variáveis. 
O problema é que, com a mudança de um único componente, todas as demais 
variáveis do circuito são afetadas, como as tensões e correntes de outros elementos.
Visando facilitar a análise de circuitos nessas situações, são utilizados 
os teoremas de Thévenin e Norton. Basicamente, a parte fixa do circuito é 
substituída por uma única fonte de tensão e impedância equivalente em série 
para o Thévenin. Se utilizado o teorema de Norton, deve-se aplicar uma fonte 
de corrente equivalente com uma impedância em paralelo. A impedância 
em ambos os casos é a mesma, e o procedimento de substituição é o mesmo 
aplicado em circuitos de corrente contínua.
A Equação 15 mostra como é obtida a impedância equivalente e as tensões 
de Thévenin e corrente de Norton.
(15)
onde:
 � ZTH e ZN: resistência equivalente de Thévenin/Norton [Ω].
 � VTH: tensão elétrica da fonte do circuito equivalente de Thévenin [V].
 � VOC: tensão elétrica de circuito aberto [V].
 � IN: corrente elétrica da fonte do circuito equivalente de Norton [A].
 � ISC: corrente elétrica de curto circuito [A].
23Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
É importante destacar que a tensão de Thévenin corresponde à tensão de 
circuito aberto no terminal da carga, enquanto a corrente de Norton é a mesma 
da corrente de curto no terminal da carga.
O Exemplo 8, a seguir, transforma o circuito da Figura 3 em um circuito 
com fonte de corrente Norton, considerando o capacitor C1 como uma carga 
que pode ser alterada.
Exemplo 8
Veja, a seguir, a transformação de circuito utilizando o teorema de Norton.
As impedâncias são as mesmas já calculadas no Exemplo 3. Neste caso, 
serão considerados apenas o resistor e o indutor, já que o capacitor é parte 
do circuito de carga.
R1 = 1 Ω
XL1 = j1 Ω
A fonte de corrente expressa no domínio da frequência:
I1 = 2 ∠ 0° A = 2 A
Quando os terminais do capacitor C1 estão abertos, o circuito é reduzido 
e pode-se associar facilmente as impedâncias do resistor R1 e L1 em paralelo, 
obtendo, com isso, a impedância equivalente do teorema de Norton:
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial24
A queda de tensão sobre a impedância equivalente será a mesma para cada 
um dos elementos em paralelo, inclusive para a tensão de circuito aberto, que 
utiliza os mesmos terminais de referência:
VTH = VOC = ZP · I1
VTH = VOC = 0,71 ∠ 45° · 2 ∠ 0°
VTH = VOC = 1,42 ∠ 45° V
Quando o terminal do capacitor é colocado em curto, as impedâncias de R1 
e L1 são ignoradas por existir um caminho mais fácil para a fonte de corrente. 
Nesse caso, a corrente de curto é exatamente a mesma da fonte:
ISC = I2 = 2 ∠ 0° A
A partir desses valores, qualquer um dos dois teoremas poderia ser aplicado, 
criando um dos circuitos a seguir (Figura 9):
Figura 9. Circuitos equivalentes.
Juntos, esses quatro teoremas, associados às leis de Kirchhoff e à lei 
de Ohm, que é o princípio de toda a nossa análise de circuitos, compõem 
um poderoso conjunto de ferramentas para análise de circuitos. Não à toa, 
mesmo ferramentas computacionais de simulação utilizam muitas dessas 
técnicas em seu sistema, em especial a LKC, que é mais facilmente descrita 
sistematicamente.
25Leis de Kirchhoff e a representação fasorial
ALEXANDER, C. K; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
HAYT JR, W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2014.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2015.
Leituras recomendadas
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, C. K. Análise de circuitos elétricos com apli-
cações. Porto Alegre: AMGH, 2013.
THOMAS, R. E; ROSA, A. J.; TOUSSAINT, G. J. Análise e projeto de circuitos elétricos lineares. 
6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Leis de Kirchhoff e a representação fasorial26