O que é Ponto de Equilíbrio

Prévia do material em texto

O que é Ponto de Equilíbrio: 3 métodos e como calculá-
los 
• 28 de agosto, 2018 
• Ponto de Equilíbrio 
É comum ouvir que uma empresa precisa ampliar seus lucros e evitar prejuízos. Ou 
seja, que é necessário que ela ultrapasse o Ponto de Equilíbrio. 
Mas, o que é ponto de equilíbrio e como ele se adequá à empresa? 
De maneira muito resumida, pois, vamos aprofundar nosso conhecimento adiante, uma 
empresa está no ponto de equilíbrio quando ela não tem lucro e também não tem 
prejuízo. 
De maneira geral, o lucro se dá quando a empresa ultrapassa esse ponto de equilíbrio, 
logo, o prejuízo é obtido quando a empresa não o alcança. 
Se você quer entender mais profundamente o que é o Ponto de Equilíbrio, quais as 
formas de calculá-lo e, consequentemente, como conquistar e medir seu lucro, 
continue acompanhando este artigo. 
O que é Ponto de Equilíbrio? 
O Ponto de Equilíbrio (Break Even Point) nada mais é do que o ponto em que a receita 
da empresa se iguala às despesas e custos, sejam eles fixos ou variáveis. Ele é o volume 
necessário a ser produzido para cobrir todos os custos e despesas do negócio. 
Parece óbvio que para as empresas é importante ultrapassar esse ponto para obter lucros 
(abaixo disso ela incorre em prejuízos). 
Entender o conceito em torno do que é Ponto de Equilíbrio é de extrema importância 
para estipular metas de vendas e planejar melhor a produção. 
 
O que significa Ponto de Equilíbrio e como calcula-lo 
São três metodologias de cálculo: 
• Ponto de Equilíbrio Contábil 
• Ponto de Equilíbrio Financeiro 
• Ponto de Equilíbrio Econômico 
Para facilitar o entendimento das três metodologias vamos utilizar um exemplo fictício: 
Imagine que uma empresa vende seu produto por R$8 e seus custos e despesas variáveis 
(ou seja, que variam conforme o volume da produção) totalizam R$3. Logo, a margem 
de contribuição unitária (o que resta para arcar com custos e despesas fixas e gerar 
lucros), é de R$5. 
Seus custos e despesas fixas (independem do volume de produção) são R$20.000. Além 
disso, o valor de depreciação de seus ativos é de R$5.000 e sua meta de lucro antes 
dos impostos é de R$10.000. 
Com esse exemplo em mente, vamos entender o que é Ponto de Equilíbrio contábil, 
financeiro e econômico. 
O que é Ponto de Equilíbrio Contábil 
O método contábil considera apenas os custos e despesas fixas, sendo então o mais 
simples e difundido. 
É mais utilizado quando a empresa possui muitos ativos que sofram depreciação, assim 
a análise se torna mais realista e próxima da realidade. 
Leia também: Tudo sobre: como calcular a depreciação do ativo imobilizado 
Ponto de equilíbrio contábil = (custos e despesas fixas) / (margem de contribuição 
unitária) 
No nosso exemplo seria: 
Ponto de Equilíbrio contábil = 20.000,00/5,00 = 4.000 unidades. 
Isso significa que é necessário produzir 4.000 unidades do produto para pagar todos os 
custos e despesas. Assim, é necessário ultrapassar tal volume para obter lucro. 
O que é Ponto de Equilíbrio Financeiro ou de Caixa 
O método financeiro ou de caixa considera os custos e despesas fixas, porém, subtrai 
destes aquilo que não é realmente desembolsado do caixa da empresa para que o 
resultado seja compatível com o que há disponível em caixa. 
Geralmente são retirados: depreciação, amortização, variação cambial e exaustão. 
Essa análise permite encontrar o mínimo necessário para garantir a saúde financeira de 
uma empresa. 
Assim a matemática a cerca do que é Ponto de Equilíbrio Financeiro é feita assim: 
Ponto de Equilíbrio Financeiro = (Custos e despesas fixas – depreciação, 
amortização, variação cambial e exaustão) / (margem de contribuição unitária) 
No exemplo: 
Ponto de Equilíbrio financeiro = (20.000,00-5.000,00) /5,00 = 3.000 unidades. 
Isso significa que é necessário produzir 3.000 unidades do produto para arcar com 
todos os custos e despesas desembolsáveis. 
Ponto de Equilíbrio Econômico 
O método econômico considera além de custos e despesas fixas, o custo de 
oportunidade do dinheiro. 
Explicando: o Ponto de Equilíbrio Econômico projeta um valor de lucro mínimo 
desejável para obter uma remuneração equivalente àquela que teria se seu dinheiro 
fosse utilizado para outra finalidade no mercado. 
É utilizado principalmente por empreendedores que estão iniciando um negócio. 
Ponto de Equilíbrio econômico = (Custos e despesas fixas + custo de oportunidade) 
/ (margem de contribuição unitária) 
No exemplo: 
Ponto de equilíbrio econômico= (20.000,00+10.000,00) /5,00 = 6.000 unidades. 
O resultado do Ponto de Equilíbrio, neste caso, significa que é necessário produzir 
6.000 unidades para pagar todos os custos e despesas e obter o lucro desejado. 
Conclusão 
O Ponto de Equilíbrio é um dos indicadores financeiros mais importantes para gestores, 
porém, não é o único e sua utilização isoladamente apresenta limitações. 
Agora que você compreendeu o que é Ponto de Equilíbrio, saiba que o ideal para obter 
uma análise mais completa e evitar decisões equivocadas é utilizá-lo em conjunto com 
outras análises e indicadores financeiros complementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção do domínio de uma função 
O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as operações indicadas em y=f(x) são 
possíveis. Vamos ver alguns exemplos: 
 
Agora o denominador: como 3-x está dentro da raiz, devemos ter 3-x 0, mas além 
disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3-x 0. Juntando as duas 
condições devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2). Resolvendo o sistema 
formado pelas condições 1 e 2 temos: 
 
Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. 
Portanto, D={x IR | 2 x < 3}. 
Para mostrar o que é a imagem e domínio de uma função, e também o contra-domínio, 
vamos desenvolver um exemplo com base no conteúdo já estudado. 
Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a funçãof:A→B 
definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A 
representação, utilizando conjuntos, desta função, é: 
 
O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto 
azul por enquanto). 
Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o 
próprio conjunto A = {1, 4, 7}. 
Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos 
relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio. 
O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de 
existência da função, e é representado pela letra “D”. 
O conjunto de chegada “B”, também possui um sinônimo, é chamado de 
contradomínio. 
Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da 
figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com 
algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração 
esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio). 
Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os 
elementos em que as flechas de relacionamento chegam. 
O conjunto Imagem é representado por “Im”, e cada ponto que a flecha chega é 
chamado de imagem. 
*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é 
um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos 
elementos que as flechas tocam. 
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} 
e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e: 
– a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6; 
– a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9; 
– a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12. 
 
Exemplo 1 
Dada a função h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei h(x)=x2−3x 
. Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função. 
Resolução: 
Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} 
Contradomínioé o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} 
Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. 
Para x=-3 temos y=(−3)2−3⋅(−3)=9+9=18 
 
Para x=0 temos y=02−3⋅0=0 
Para x=3 temos y=32−3⋅3=9−9=0 
Para x=8 temos y=82−3⋅8=64−24=40 
Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da 
função. 
Im=0,18,40 
*Note que, no enunciado, foi pedido apenas a imagem da função, ou seja, não foi dito 
conjunto imagem. Como não está se referindo a algum ponto (por exemplo, imagem de 
x=3), consideramos que foi pedido todo o conjunto imagem. 
 
Exemplo 2 
A função agora é f:R→R 
definida por y=2x+B. Temos que calcular o valor de B, sabendo que f(1)=3 
. 
Resolução: 
Agora o exercício muda um pouco de figura. Ele dá uma imagem, no caso f(1)=3, e 
pede pra acharmos o termo “B” da lei de formação. 
Vamos ver… 
sabendo que y=f(x), então 
f(x) = 2x + B e f(1) = 2.(1) + B, e também f(1) = 3 então: 
3 = 2.(1) + B agora aplicando as propriedades das operações, 
3 = 2 + B 
3 – 2 = B 
1 = B 
Portanto, a lei de formação da função é y=2x+1 ou f(x)=2x+1. 
 
Equação do 2º Grau 
Matemática 
Uma equação do segundo grau possui uma incógnita de expoente 2. O método de Bhaskara é 
uma opção para encontrar os resultados desse tipo de equação. 
 
Equação do segundo grau e método resolutivo de Bhaskara 
Bem vindo ao Player Audima. Clique TAB para navegar entre os botões, ou aperte CONTROL 
PONTO para dar PLAY. CONTROL PONTO E VÍRGULA ou BARRA para avançar. CONTROL 
VÍRGULA para retroceder. ALT PONTO E VÍRGULA ou BARRA para acelerar a velocidade de 
leitura. ALT VÍRGULA para desacelerar a velocidade de leitura. 
Ouça este conteúdo 0:00 100% Audima 
PUBLICIDADE 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, 
coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de 
acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja: 
• 2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é 
classificada como do 1º grau. 
• 2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui 
expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau. 
• x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – 
no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau. 
O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau? 
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de 
resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de "Bhaskara". Determinar 
a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os 
valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, 
por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois: 
Substituindo x = 4 na equação, temos: 
x² – 10x + 24 = 0 
4² – 10 * 4 + 24 = 0 
16 – 40 + 24 = 0 
–24 + 24 = 0 
0 = 0 (verdadeiro) 
Substituindo x = 6 na equação, temos: 
x² – 10x + 24 = 0 
6² – 10 * 6 + 24 = 0 
36 – 60 + 24 = 0 
– 24 + 24 = 0 
0 = 0 (verdadeiro) 
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos 
determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de 
determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir. 
Método de Bhaskara 
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação 
do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0. 
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b 
e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b 
= –2 e c = –3. 
Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆) 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
2º passo: 
x = – b ± √∆ 
 2∙a 
x = –(– 2) ± √16 
 2∙1 
x = 2 ± 4 
 2 
x' = 2 + 4 = 6 = 3 
 2 2 
x'' = 2 – 4 = – 2 = – 1 
2 2 
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1. 
Exemplo II: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0. 
Os coeficientes são: 
a = 1 
b = 8 
c = 16 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = 8² – 4 * 1 * 16 
∆ = 64 – 64 
∆ = 0 
x = – b ± √∆ 
 2∙a 
x = – 8 ± √0 
 2∙1 
x' = x'' = –8 = – 4 
 2 
No exemplo 2, devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses 
casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única. 
Exemplo III: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada 
de 2º grau. 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = 6² – 4 * 10 * 10 
∆ = 36 – 400 
∆ = –364 
Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é 
negativo, a equação não possui raízes reais. 
Crescimento e Decrescimento de Funções 
 
No estudo das derivadas, uma importante aplicação é aquela que se refere ao 
crescimento e decrescimento de uma função. 
De modo intuitivo, dizemos que uma função é crescente quando o seu gráfico, quando 
olhado da esquerda para a direita, sempre “sobe”; a função é dita decrescente quando o 
gráfico, observado da esquerda para a direita, “desce”. Caso nenhuma dessas duas 
condições ocorra, dizemos que a função é constante e o seu gráfico será horizontal. 
A seguir, veja um exemplo de uma função crescente: 
 
Agora, veja uma função decrescente: 
 
Finalmente, uma função constante: 
 
Exemplo de crescimento e decrescimento 
 
Vejamos o gráfico da função f(x) = -3x5 + 5x3 a seguir: 
 
Perceba o comportamento da função ao longo do eixo x: 
 
- em ]-∞;-1[ a função é decrescente; 
 
- em ]-1;1[ a função é crescente; 
 
- em ]1;+∞[ a função é decrescente. 
 
Para sabermos, analiticamente, o comportamento de uma função com relação ao seu 
crescimento e decrescimento, devemos analisar o comportamento da primeira 
derivada dessa função. 
 
Teorema - Crescimento e Decrescimento 
 
Seja uma função f, definida no conjunto dos reais, contínua no intervalo ]a,b[ e 
derivável em todos os pontos desse intervalo. 
 
a) Se f’(x)>0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f será 
estritamente crescente no intervalo ]a,b[. 
 
b) Se f’(x)<0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f será 
estritamente decrescente no intervalo ]a,b[. 
 
Método prático 
 
para determinarmos os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função f(x), 
nos pontos do domínio em que estiver definida e que satisfizer o teorema anterior, 
devemos calcular a f’(x) e fazer o estudo do sinal dessa derivada. Aonde o sinal de f’(x) 
for positivo, a função f(x) é crescente; aonde o sinal de f’(x) for negativo, a função f(x) 
é decrescente. 
 
Ponto Crítico 
 
Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a 
função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f '(c)=0. 
 
Em outras palavras, o ponto crítico pode ser definido como sendo o ponto em que uma 
função contínua deixa de ser crescente e passa a ser decrescente ou vice versa. 
Raízes de uma equação 
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. 
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte 
sequência: 
• Substituir a incógnita por esse número. 
• Determinar o valor de cada membro da equação. 
• Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é 
raiz da equação. 
Exemplos: 
Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, 
determinando em cada caso o conjunto verdade. 
• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. 
Para x = 0, temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F) 
Para x = 1, temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) 
Para x = 2, temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) 
Para x = 3, temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F) 
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. 
• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. 
Para x =-1, temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) 
Para x = 0, temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) 
Para x = 1, temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) 
Para x = 2, temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F) 
A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.