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Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Unidade 1
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
Aula 1
DIFERENÇA ENTRE EQUAÇÃO E FUNÇÃO DO 1º GRAU
Videoaula: Diferença entre equação e função do 1º grau
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Você aprenderá como resolver equações do 1º grau que envolvem a propriedade distributiva e compreenderá por que o número desconhecido é
chamado de incógnita, além de acompanhar alguns exemplos de aplicações. Nas funções do 1º grau, você conhecerá seus termos e explorará a
construção do grá�co dessa função e como aplicar em situações do cotidiano.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Você estudará sobre as equações do 1º grau, sendo uma expressão algébrica relacionada à igualdade, e as funções do 1º grau, que
têm como característica uma relação de dependência entre duas variáveis.
Com esses conhecimentos, você modelará problemas de matemática e os resolverá algebricamente, compreendendo as relações de dependência
e aplicando em situações práticas do cotidiano. Isso contribuirá para otimizar questões práticas do mundo do trabalho.
Bons estudos! 
Vamos Começar!
Olá! Neste momento, você estudará sobre os conceitos de:
Equação do 1º
Função do 1º
Grá�co da função do 1º grau.
Equação do 1º grau
A equação do 1º grau é uma sentença matemática que estabelece uma relação de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos,
representada sob a forma: 
Exemplo 1: a igualdade 
ax + b = 0
(a ≠ 0)
5x − 40 = 0
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Figura 1 | Termos da equação do 1º grau. Fonte: elaborada pela autora.
São exemplos de equações do 1º grau:
Equação Coe�ciente “a” Termo
independente “b”
7 -4
4
6x = 0 6 0
-28 5
Resolução: Equação do 1º grau
Aplicando o princípio aditivo
Esse princípio é aplicado quando se soma ou se subtrai um mesmo número dos dois lados da igualdade.
Exemplo 2: para resolver uma equação, você deve isolar “x” em um dos membros da equação.
Para manter a igualdade, qualquer número que somar ou subtrair em um dos membros deve ser feito o mesmo processo no outro membro.
Figura 2 | Princípio aditivo. Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, o conjunto solução desta equação é 
Princípio multiplicativo
Esse princípio é aplicado quando se divide ou se multiplica o mesmo número nos dos lados da igualdade:
Exemplo 3: sempre que for resolver uma equação, veri�que a possibilidade de isolar “x” em um dos membros da equação, aplicando o princípio
multiplicativo:
7x − 4 = 0
3
4 x + 4 = 0 3
4
−28x + 5 = 0
S = {−1}.
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Figura 3 | Princípio multiplicativo. Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, o conjunto solução desta equação é 
Exemplo 4: para resolver algumas equações, é preciso aplicar os princípios aditivo e multiplicativo.
Figura 4 | Resolução da equação do 1º grau. Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, o conjunto solução desta equação é 
Função do 1º grau
Quando você identi�car uma expressão em que há uma relação de dependência, você terá uma função. O que seria uma relação de dependência?
Veja o exemplo a seguir.
O pagamento de uma corrida de táxi é composto por duas partes: uma parte em que o valor é cobrado conforme a quilometragem rodada, e uma
parte �xa, ou seja, uma taxa �xa.
O valor de uma corrida de táxi segue a seguinte função: 
Veja o quadro a seguir, que apresenta os valores cobrados de acordo com a quilometragem:
Quilometragem: x Substituir valor de “x” para encontrar o valor da
corrida: 
Valor �nal
3 R$ 30,00
5 R$ 42,00
6 R$ 48,00
Veja que o valor de “x” varia de acordo com a quilometragem, logo, na função, “x” é uma variável.
S = {12}
S = {− 5
4 }
f(x) = 6x + 12
f(x) = 6x + 12
f(3) = 6(3) + 12 → f(3) = 30
f(5) = 6(5) + 12 → f(5) = 42
f(6) = 6(6) + 12 → f(6) = 48
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A relação de dependência se dá em relação à quilometragem e ao valor �nal da corrida, con�gurando, assim, uma função.
Uma função polinomial do 1º grau ou uma função a�m é uma função 
Na função 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
Grá�co da função do 1º grau
O grá�co de uma função do 1º grau é construído no plano de coordenadas cartesianas, em que cada valor de x (eixo das abscissas) possui uma
representação em y (eixo das ordenadas).
Exemplo 3: construir o grá�co da função: 
Comentário: para construir o grá�co, você pode organizar um quadro para conhecer os pares ordenados:
Atribuir valores para “x” Encontrar valores de y Par ordenado
0 4 A (0, 4)
-1 2 B (- 1, 2)
1 6 C (1, 6)
f : R → R
f(x) = ax + b
a ≠ 0
f(x) = ax + b
f(x) = 2x − 5
a = 2
b = −5
f(x) = −4x − 8
a = −4
b = −8
f(x) = 2x + 4.
f(x) = 2x + 4
f(x) = 2(0) + 4 → f(x) = 4
f(x) = 2(−1) + 4 → f(x) = 2
f(x) = 2(1) + 4 → f(x) = 6
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Figura 5 | Grá�co da função do 1º grau - Crescente. Fonte: elaborada pela autora.
Para determinar o grá�co, marcamos as coordenadas encontradas e, em seguida, traçamos uma reta, que é o grá�co da função.
Exemplo 4: construir o grá�co da função: 
Comentário: construa um quadro, atribuindo valores para “x”:
Atribuir valores para “x” Encontrar valores de y Par ordenado
0 1 A (0, 1)
1 - 1 B(1, -1)
- 1 3 C(- 1, 3)
f(x) = −2x + 1
f(x) = −2x + 1
f(0) = −2(0) + 1 → f(x) = 1
f(0) = −2(1) + 1 → f(x) = −1
f(0) = −2(−1) + 1 → f(x) = 3
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Figura 6 | Grá�co da função do 1º grau - Decrescente. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, ao construir grá�cos da função polinomial do 1º grau, o grá�co será sempre uma reta, por esse motivo, será su�ciente encontrar dois
pontos distintos na construção desses grá�cos.
Siga em Frente...
Olá! As equações do 1º grau podem ser da forma ax = b  e ax + b = c  .
Para resolver uma equação do 1º grau, depois de compreendidos os princípios aditivos e multiplicativos, é possível fazer as operações
considerando o sinal de igual, que separa o 1º e o 2º membros.
Exemplo 1: resolver a equação: 5x – 4 = 15.
Comentário: você pode mudar qualquer termo da equação de membro, desde que se atente às operações.
Figura 7 | Resolução da equação do 1º grau: mudança de membro.  Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, o conjunto solução desta equação é 
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Importante: a incógnita pode ser representada por qualquer letra, e o valor encontrado é único, para tornar a equação do 1º grau verdadeira.
Exemplos de equações do 1º grau:
   
 Incógnita: a     
   
Incógnita: x Incógnita: p
Na resolução das equações do 1º grau em que os coe�cientes são números racionais na forma de fração, é preciso transformar todos os
coe�cientes de mesmo denominador, aplicando o mínimo múltiplo comum (MMC).
Exemplo 2: encontrar a solução da equação: 
1º passo: calcular o MMC (3,12) = 12.
2º passo: dividir cada denominador pelo valor do MMC e multiplicar pelos respectivos numeradores, obtendo, assim, as frações equivalentes.
Estudo das funções
As funções do 1º grau podem ser da forma ax = b , conhecida como função linear, e ax + b = c, denominada função a�m.
Um caso particular desse tipo de função é a função constante, em que  f (x) = a, assim, para qualquer valor de “x”, o valor numérico dessa função
será sempre a.
Exemplo 3:
Veja como �ca o grá�co dessas funções:
Figura 8 | Função constante. Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co é uma reta paralela ao eixo x.
Ao analisar a função algebricamente, é possível veri�car se a função é crescente ou decrescente:
S = { 19
5 }
2a + 8 = 12 5
6 x + 34 = 2 −8p + 4 = 4
5
2
3 x + 4 = 2
12
2
3 x + 4 = 2
12 → 8x+48
12 = 2
12 → 8x + 48 = 2 → 8x = 2 − 48 → 8x = −46 → x = − 46
8
f(x) = 3f(x) = − 4
5
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Função crescente: a > 0
Função decrescente: ano aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Você estudará de que forma a lógica está presente em quase tudo que fazemos. Verá que é possível desenvolver o raciocínio lógico,
compreendendo que a lógica está relacionada com a organização do pensamento, analisando as proposições e a coerência para uma tomada de
decisões, fazendo escolhas. Aprendendo a lidar com seus processos mentais é possível criar estratégias para compreender conceitos e situações. 
 
Ponto de Partida
Olá, estudante! Em muitos momentos do nosso dia, desenvolvemos funções que utilizamos o nosso raciocínio e a lógica. Isso pode ocorrer até em
situações simples, como no tempo de cozimento de um alimento, na necessidade de traçar uma rota ao se deparar com o tráfego intenso no
caminho para o trabalho, entre outras. A lógica é considerada a ciência que se preocupa com o estudo do raciocínio, e seu sucesso deve-se à lógica
matemática, mesmo que seus padrões de análise não sejam úteis somente para a matemática, mas para todas as áreas do conhecimento. Suas
raízes estão na Grécia Antiga, muito explorada e aplicada nas concepções de grandes �lósofos, como Sócrates e Platão. Todavia, quem deu o
sentido à palavra lógica foi Aristóteles, que registrou suas principais contribuições em uma obra intitulada Organun, cujo signi�cado é Instrumento
da Ciência.  
Bons estudos!  
Vamos Começar!
O raciocínio é a parte das ciências �losó�cas que estuda as formas de pensamento, que podem ser nossas deduções, induções, hipóteses e
inferências, considerando as nossas operações intelectuais responsáveis pelas decisões que tomamos ao concluirmos que algo é verdadeiro ou
falso. Podemos dizer também que o raciocínio é o ato de realizarmos conclusões por meio de duas ou mais informações que recebemos ou
conhecemos. Já percebeu que, ao recebermos uma notícia, nosso raciocínio automaticamente processa as informações e tira uma conclusão? 
A lógica é o nosso conjunto de ideias, são eventos que fazem parte dos nossos argumentos que nos convencem ou nos permitem concluir algo e
quando queremos convencer alguém. Ao tentar convencer outra pessoa, você usa argumentos, tentando induzi-la a chegar à mesma conclusão que
você.  
Usamos a lógica quando o raciocínio é complexo e necessita de uma investigação mais aprofundada, como a resolução de um problema. Já a
argumentação faz a análise, a �m de validar o nosso raciocínio. De modo simples, podemos dizer que usamos a lógica para resolver um raciocínio
mais complexo, e o próximo passo é analisar, para veri�car se a decisão que tomamos é a mais indicada. 
Todo esse processo é muito importante nas resoluções de situações-problema com as quais nos deparamos em nosso cotidiano, sendo
fundamental o seu desenvolvimento desde criança, permitindo que se vivencie situações em que seja necessário raciocinar e inferir.  
Podemos ir além e mencionar a importância desse processo nas tomadas de decisões em relação ao nosso comportamento e à nossa postura nos
diversos ambientes que convivemos, analisando o que falamos, como nos portamos, principalmente, em nosso ambiente de trabalho. 
Na lógica, os argumentos são muito importantes para a fundamentação e necessitam estar interligados. Veja um exemplo: 
Todas as pessoas possuem sonhos. 
Você é uma pessoa 
Logo, você possui sonhos. 
Temos três proposições que podemos negar ou a�rmar. A proposição é um elemento importante no estudo da lógica de argumentação. Podemos
dizer que uma proposição é uma oração declarativa que será classi�cada em verdadeira ou falsa e possui três características que a difere de uma
pergunta, ordem ou exclamação, pois somente ela pode ser negada ou a�rmada. Essas características são: 
Por ser uma oração, possui sujeito e predicado. 
Deve ser declarativa. 
Será ou verdadeira ou falsa, ou seja, terá somente um valor lógico. 
Veja os exemplos a seguir: 
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Quatro é diferente de dez. Essa proposição é verdadeira. 
O Brasil é uma cidade. Essa proposição é falsa. 
Quando temos um conjunto de proposições, e essas proposições forem derivadas uma das outras, temos um argumento. O argumento é dividido
em premissas e conclusões. A conclusão é o resultado da análise das premissas. Retomaremos o exemplo anterior para entender melhor: 
Premissa 1: Todas as pessoas possuem sonhos. 
Premissa 2: Você é uma pessoa. 
Conclusão: Logo, você possui sonhos. 
Esse exemplo é um argumento, pois a proposição “você possui sonhos” é derivada das proposições “todas as pessoas possuem sonhos” e “você é
uma pessoa”, que são interligadas. 
Siga em Frente...
A argumentação funciona subsidiando a conclusão do seu raciocínio lógico e validando-o, permitindo que um parecer ou uma conclusão seja
emitida. 
Considere que, em seu ambiente de trabalho, alguém comente que todas as pessoas que trabalham no setor X não gostam de brincadeiras e, na
hora do almoço, você se senta em uma mesa para almoçar e uma moça daquele setor senta-se ao seu lado. Como será a sua postura? Seu
raciocínio logo será ativado, e o processo lógico será iniciado:
As pessoas que trabalham no setor X não gostam de brincadeiras.
Ela trabalha no setor.
Logo, ela não gosta de brincadeiras.
Além de ser uma postura sensata, ética e colaborativa, é algo lógico o comportamento que você terá com essa pessoa não realizando brincadeiras
com ela ou que a envolvam. 
Temos um argumento válido e verdadeiro. Agora, observe outro exemplo: 
Todo mamífero tem asas.
O cachorro é um mamífero.
Logo, o cachorro tem asas.
O argumento apresentado é válido, pois a conclusão “o cachorro tem asas” derivou das proposições “todo mamífero tem asas” e “o cachorro é um
mamífero”. Entretanto, esse argumento não é verdadeiro, visto que todos os mamíferos não têm asas. Para um biólogo, isso é um absurdo, ele
�cará abismado com essas proposições, porém, para a lógica, isso não é um fator importante, dado o fato de que construímos um argumento com
o raciocínio correto.  
Interessante observar essa diferença entre um argumento válido e um argumento verdadeiro: nem todo argumento válido é verdadeiro. 
Conheceremos um pouco os tipos de raciocínio na lógica da argumentação.  
O raciocínio analógico é aquele que se utiliza de uma comparação entre fatos. O cérebro realiza comparações e associações. Usamos muito esse
raciocínio ao fazer escolhas. Basicamente, é o raciocínio que nos difere dos outros animais.  
O raciocínio indutivo parte de uma observação ou análise de alguns fatos. É um raciocínio lógico que combina informações com observações para
chegar a uma conclusão. Um exemplo de raciocínio indutivo:  
O tempo está nublado, poderá chover, então levarei o guarda-chuva.
O raciocínio dedutivo considera a veracidade dos fatos antes de se chegar a uma conclusão. É um método cientí�co, que parte de uma teoria ou
hipótese para, depois, deduzir uma conclusão:
Não direi que choverá somente pelo fato de o céu estar nublado. Basearei a minha a�rmação na umidade relativa do ar e, a partir da informação
que analisarei, tomarei a minha decisão.
Você conhecerá dois de alguns tipos de argumento. O primeiro deles é o argumento conjuntivo.
O argumento conjuntivo é aquele que utiliza a conjunção “e” em uma de suas premissas. Observe esse exemplo:
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Premissa 1: Toda madre é mulher e cursou faculdade.
Premissa 2: Maria é uma madre
Conclusão: Maria é mulher e cursou faculdade.
O argumento disjuntivo é aquele em que, no mínimo, uma das premissas usa a disjunção “ou”, como apresentado no exemplo a seguir:
Premissa 1: Toda madre é mulher ou cursou faculdade.
Premissa 2: Madre Maria é uma mulher.
Conclusão: Maria não cursou faculdade.
Como iniciar essa forma de organização do raciocínio: como temos a disjunção “ou”, isso signi�ca que só pode ser uma coisa ou outra, assim, se
Madre Maria é uma mulher, ela não pode ter cursado uma faculdade.
Vamos Exercitar?
Viu como é interessante o estudo da lógica matemática? A lógica de argumentação é muito antiga,e ela considera que há vários raciocínios
distintos que nos levam ao mesmo resultado, e isso permitiu o avanço na inteligência arti�cial, que teve seus trabalhos iniciais e aprimoramentos
na medicina e, hoje, é muito empregada na tecnologia. Ela permite que algoritmos sejam de�nidos considerando a lógica e as possibilidades de
respostas de acordo com os estímulos e os comandos recebidos, sendo fundamental para o estudo da Ciências da Computação. 
Usamos a lógica sem perceber. Você já deve ter presenciado alguém comentando que o fulano disse uma falácia. Falácia é um argumento inválido.
Uma pessoa comete uma falácia quando apresenta premissas que aparentemente justi�cam uma conclusão, mas, se você analisar, investigar,
chegará à conclusão de que as premissas não têm validade. 
Alguém pode a�rmar que João não joga basquete, sendo assim, não pode comentar sobre uma partida ou falar sobre as regras. Vamos analisar:
será que uma pessoa terá conhecimento das regras de um jogo somente se for um jogador? Conhecer as regras de um jogo e ser jogador são
coisas distintas. Para ser um jogador, é obrigatório o conhecimento das regras, mas, se eu quiser conhecer as regras, isso não implica que tenho
que ser um jogador. Então, temos uma falácia. 
Questões de lógica são muito utilizadas em provas de concursos. Por meio dessas questões, é possível analisar várias habilidades dos candidatos,
permitindo que a banca veri�que as competências necessárias à vaga.  
Agora, analisaremos uma questão utilizada na prova do Instituto Brasileiro de Apoio e Desenvolvimento Executivo (IBADE) no ano de 2017.  
Sabe-se que, se Zeca comprou um apontador de lápis azul, então João gosta de suco de laranja. Se João gosta de suco de laranja, então Emílio vai
ao cinema. Considerando que Emílio não foi ao cinema, pode-se a�rmar que: 
a) Zeca não comprou um apontador de lápis azul.
b) Emílio não comprou um apontador de lápis azul.
c) Zeca não gosta de suco de laranja.
d) João não comprou um apontador de lápis azul.
e) Zeca não foi ao cinema.
 Comentário: primeiramente, analisaremos as premissas apresentadas: 
Zeca comprou um apontador de lápis azul. 
Então, João gosta de suco de laranja. 
Se João gosta de suco de laranja, então Emílio vai ao cinema. 
Perceba que as premissas são interligadas, o que forma um argumento, e são relacionadas de modo que estabelecem condições para que outro
fato ocorra. Porém, o enunciado do exercício nos diz que Emílio não foi ao cinema, negando “Se João gosta de suco de laranja, então Emílio vai ao
cinema”. Assim, se Emílio não foi ao cinema, João não gosta de suco de laranja e Zeca não comprou um apontador de lápis azul, indicando que a
alternativa correta é A. Importante entender essa interligação entre as premissas. 
Saiba mais
Veja como é interessante desenvolver o raciocínio lógico. Há pro�ssões que têm como seu principal requisito um bom raciocínio lógico, pois
pessoas com essa habilidade são mais estratégicas, são dinâmicas, possuem bom desenvolvimento ao assumir posições de liderança e sabem se
portar em situações inéditas e inesperadas que exijam uma decisão coerente e racional em pouco tempo. 
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Que tal desenvolver mais o nosso raciocínio lógico? Os jogos de dama e xadrez auxiliam muito no desenvolvimento dessas habilidades. Se você
ainda não sabe como jogar, procure conhecer as regras e praticar. 
Referências
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo, SP: Nobel, 2002. 
CASTRUCCI, B. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo, SP: Nobel, 1984. 
INSTITUTO BRASILEIRO DE APOIO E DESENVOLVIMENTO EXECUTIVO. Secretaria de Estado de Justiça e Direitos Humanos (SEJUDH/MT). Provas e
gabaritos. IBADE, 2022. Disponível em:  http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos.  Acesso em: 19 nov. 2022. 
ROCHA, E. Raciocínio Lógico. Rio de Janeiro, RJ: Campus, 2005. 
Aula 2
LÓGICA MATEMÁTICA
Videoaula: Lógica matemática
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A lógica em matemática precisa de muita atenção e concentração, pois envolve símbolos que possuem signi�cados importantes para a
compreensão das proposições. A lógica é importante para o desenvolvimento do raciocínio, não somente para a matemática mas também para
questões do dia a dia que precisam ser compreendidas para tomada de decisões. Você saberá como resolver questões de lógica a partir das
proposições e dos conectivos.  
Ponto de Partida
Olá, estudante! Em meados do século XIX, a lógica matemática já era objeto de estudo. Não era evidenciada a lógica, pois não era considerada uma
ciência, e sim instrumento que justi�ca o modo correto de uma pessoa pensar. Acredita-se que foi na Idade Moderna, com René Descartes, que
aconteceu a utilização de métodos algébricos no estudo da lógica pela primeira vez.
Você conhecerá os conectivos para analisar as proposições, explorando as a�rmações para saber se são falsas ou verdadeiras, desenvolvendo,
assim, o raciocínio lógico. Seja persistente, pois é uma forma de pensar que precisa ser estimulada.
Bons estudos! 
Vamos Começar!
Método dedutivo é uma forma de estruturar o raciocínio lógico. Assim, dada uma sentença geral, é possível deduzir uma conclusão especí�ca.
O exemplo de Aristóteles é clássico e o mais famoso: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal.
A partir dessas sentenças, foi feita uma conclusão especí�ca, pois a evidência é verdadeira.
O método mobiliza dedução e raciocínio lógico para se chegar a uma conclusão lógica. Para aplicá-lo, parte das premissas devem ser verdadeiras,
considerando ideias estruturadas de maneira lógica e racional.
Esse método parte da análise das hipóteses que já foram testadas anteriormente, denominadas axiomas, e de avançar para se chegar à teoria, que
tem como denominação teorema, mas conhecido como hipotético dedutivo.
https://poki.com.br/g/master-chess
http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos
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É preciso analisar determinada situação para estruturar os fatos e argumentar, com o objetivo de elaborar novas hipóteses para comprovar a
primeira.
Chamam-se premissas menores as novas que foram analisadas para se estabelecer uma relação entre as duas premissas. Veja a seguinte
a�rmação: Todos os seres humanos têm coração. Mulheres são seres humanos. Logo, todas as mulheres têm coração.
A premissa maior é que todos os seres humanos têm coração. Essa é uma premissa já existente, um axioma. Segue e a�rma-se que mulheres são
seres humanos, que é a premissa menor; em seguida, por meio da dedução de que todas as mulheres são seres humanos, implica-se o resultado
�nal, que é o teorema.
Esse método era utilizado na Antiguidade, e Aristóteles aperfeiçoou essa prática com base no conceito de silogismo. De acordo com o �lósofo,
silogismo é quando se chega a uma conclusão por meio de premissas.
É um argumento dedutivo, constituído de três proposições.
As premissas de formação do silogismo são divididas em: premissa maior, contendo os termos maior e médio, e segunda premissa, que é a menor
e na qual deve estar presente a premissa menor e a média, e chegar a uma conclusão.
Explorando a a�rmação: Todo homem é mortal. Sócrates é homem, logo Sócrates é mortal. “Mortal” é a premissa maior, a menor premissa é
“Sócrates”, e o termo médio é “homem”.
Quando você analisar algumas a�rmativas, lembre-se de que a conclusão não pode ser maior que o desenvolvimento, e essa ideia é utilizada para a
escrita de pesquisas e textos que requerem uma conclusão.
Agora, organizando em axioma, teorema e conclusão, temos:
Axioma: Todo homem é mortal.
Teorema: Sócrates é homem.
Conclusão: Sócrates é mortal.
Assim, o método dedutivo parte de uma análise geral para chegar a uma conclusão especí�ca.
É muito comum ser aplicado na resolução deproblemas de física e de matemática, mas pode ser aplicado em outras áreas.
Nem todas as conclusões são verdadeiras. Veja:
Axioma: Todos os seres vivos do mar nadam e são peixes.
Teorema: Baleia nada.
Conclusão: Baleia é um peixe.
Observe que essa conclusão é falsa, pois foi induzida por um axioma falso, visto que a baleia é um mamífero.
 
 
Siga em Frente...
Segundo o Dicionário online Michaelis, sentença é uma frase ou expressão concisa e direta que encerra um pensamento de valor moral ou opinião
judiciosa sobre assunto de interesse geral; qualquer declaração sem levar em conta sua falsidade ou veracidade; proposição.
Uma sentença pode ser:
Interrogativa: Qual o valor desse produto?
Imperativa: Desça daí agora!
Exclamativa: Olá!
A�rmativa: O dia está bonito.
Sentenças abertas: Como eu disse, y > 4.
Uma sentença verdadeira pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa, permitindo que se estabeleça um raciocínio lógico, sendo este um
elemento de estudo fundamental na lógica matemática, que recebe o nome de proposição.
Valor lógico é um dos dois possíveis juízos que podem ser atribuídos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
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Uma proposição obedece aos seguintes princípios:
Se uma proposição for verdadeira, ela será verdadeira, não há como alterar.
Não há uma terceira opção, a proposição será verdadeira ou falsa.
Não há contradição, pois nunca será falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
As proposições são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. As letras mais utilizadas são: p, q, r ou s. E podem ser classi�cadas em
simples ou compostas, como apresentado a seguir:
r: A rosa é vermelha – proposição simples.
s: A rosa é vermelha e a menina é bonita – proposição composta.
Proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples.
Ao realizarmos operações com proposições, realizamos operações lógicas. Veja algumas a seguir:
Negação (~): é o valor lógico que corresponde ao oposto da preposição.
r: A rosa é vermelha.
~r: A rosa não é vermelha.
Conjunção ( ): usado quando duas preposições são verdadeiras e é utilizado o conectivo “e” entre elas.
r: A lua é um satélite.
s: A Terra pertence ao sistema solar.
r s: A lua é um satélite e a Terra pertence ao sistema solar.
As duas proposições são verdadeiras, logo r s é verdadeira.
A proposição ( p q) somente será verdadeira quando as duas proposições componentes forem verdadeiras.
Disjunção ( ): utiliza a disjunção “ou” e será verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira.
p: Florianópolis é a capital do Rio Grande do Sul.
q: Dois é um número par.
p q= V (verdadeira)
A proposição (p q ) é verdadeira quando pelo menos uma das proposições componentes for verdadeira.
Veja que a proposição p é falsa, porém q é verdadeira, logo p q  é verdadeira.
Condicional ( ): utiliza-se o conectivo “se... então...”. Lê-se “se p, então q ”. Representamos por p q ( p implica q ).
p :  se chover
q : não vou ao passeio
 
Se chover então não vou ao passeio
Condição   Resultado
Tenho uma condição que leva a um resultado.
Bicondicional: utiliza-se o operador “se, e somente se” representado pelo símbolo . A sentença será verdadeira se as duas proposições
forem verdadeiras ou falsas. Indica-se p q.         
p: 5 4
q : 4 4 (V )
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se, e somente se,
Verdadeiro   Verdadeiro
Como as duas proposições são verdadeiras, logo a bicondicional é verdadeira.
6. Veri�que se a proposição na estrutura bicondicional é verdadeira ou falsa:
p: 2 é um número ímpar.
q: 3 é um número par.
Comentário: analisando as duas proposições, sendo bicondicional, temos:
2 é um número ímpar se, e somente se, 3 é um número par.
Falso            Falso
A bicondicional é verdadeira, pois as duas proposições são falsas.
7. Veri�que se a proposição na estrutura bicondicional é verdadeira ou falsa.
O Brasil é um país se, e somente se, 10 4 41984.
INSTITUTO BRASILEIRO DE APOIO E DESENVOLVIMENTO EXECUTIVO. Secretaria de Estado de Justiça e Direitos Humanos (SEJUDH/MT). Provas e
gabaritos. IBADE, 2022. Disponível em:  http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos.  Acesso em: 19 nov. 2022.
ROCHA, E. Raciocínio Lógico. Rio de Janeiro, RJ: Campus, 2005.
Aula 3
TABELA VERDADE
Videoaula: Tabela verdade
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~r ⇒ ~(p ∨ q)
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7218
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7218
http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Neste vídeo, você estudará sobre a lógica que está presente nas proposições. Interpretará e fará a leitura de cada a�rmação para chegar a um
resultado, verdadeiro ou falso, compreendendo o signi�cado dos conectores lógicos e seu papel na compreensão da lógica matemática. Esse é um
tipo de raciocínio que pode ser desenvolvido, quando estimulado seu pensamento a partir de alguns desa�os. Essa forma de pensar pode contribuir
para a sua formação pro�ssional. 
Ponto de Partida
Olá, estudante! Você aprenderá sobre a lógica e de que forma é possível classi�car as frases a�rmativas. Compreenderá a função dos conectivos
lógicos, os quais são tão importantes para a ligação entre as proposições simples. Com esse aprendizado, você desenvolverá um tipo de raciocínio,
chamado de lógico, que pode contribuir para uma organização na resolução de problemas ou situações do dia a dia. A habilidade de aplicar o
raciocínio lógico em diferentes campos do trabalho é valorizada nesse meio, uma vez que a lógica possibilita resolver situações de forma objetiva
sem desvios de caminho. Seja persistente nos estudos e descobrirá esse mundo da lógica que está em desenvolvimento.
Bons estudos! 
Vamos Começar!
Na abordagem do raciocínio lógico, estuda-se a proposição lógica, que é uma frase, uma sentença, que tem um valor lógico, que só pode ser
verdadeiro ou falso.
Exemplos:
7 + 5 = 10, proposição falsa.
54 é um número par, proposição verdadeira.
Entende-se por proposição lógica tudo que tem um valor lógico, assim, o que não for possível atribuir um valor lógico não é uma proposição lógica.
Proposição lógica simples é aquela que não pode ser desmembrada, enquanto a composta é composta por duas ou mais proposições, ou seja,
pode ser dividida.
38 é múltiplo de 2. Proposição lógica simples.
Roberto é engenheiro e Camila é
professora.
Proposição lógica composta
Cada proposição lógica individualmente pode ser verdadeira ou falsa, dessa forma, é possível ter várias combinações.
Exemplos:
Analisando a proposição simples, existem duas possibilidades:
38 é múltiplo de 2
Verdadeira
ou Falsa
Analisando a proposição lógica composta a seguir, veri�que as combinações possíveis:
Roberto é engenheiro e Camila é professora.
V   F
F   V
V   F
V   V
Se a sentença é formada por várias proposições, a quantidade de combinações aumenta.
Considerando essas possibilidades, é preciso saber qual será o resultado de cada uma delas. Para essa análise, deve-se compreender a função de
cada conectivo lógico, também chamado de operador lógico, que são expressões que servem para unir duas ou mais proposições.
Conectivo lógico Função Signi�cado Exemplos
~ negação são, não é o caso,
não é verdade que
Patrícia não está
aqui.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Conjunção e, também, além de Pedro vai comprar
um bolo e
salgadinhos.
Disjunção ou, mas Pedro é cantor ou
Paula é fotógrafa.
Disjunção exclusiva ou...ou Ou compro um livro,
ou compro uma
revista.
Condicional se...então; apenas
se...
Se amanhã chover,
então Ana não vai ao
passeio.
Bicondicional se, e somente se Carla vai ao teatro
se, e somente se,
ganhar os ingressos.
Ao analisar uma proposição, é preciso veri�car os conectivos lógicos. A partir dessa análise, é possível obter o resultado da proposição.
Em geral, temos:
A primeira proposição: p.
A segunda proposição: q .
Exemplo: Rodrigo é médico e Pedro é enfermeiro.
p : Rodrigo é médico
q : Pedro é enfermeiro.
Conectivo lógico: e.
Para organizar os resultados das sentenças, utiliza-se a tabela verdade, que mostra todas as combinações e os resultados para cada proposição,
obtendo o resultado �nal.
 
Siga em Frente...
Você estruturará a tabela verdade, a qual precisa ser analisada observando os conectivos lógicos. Após montar a tabela, a relação entre verdadeiro
e falso não se alterará, mas é importante que você compreenda o signi�cado de cada um deles.
 
Conectivo “e”:  
Comentário: A proposição é composta, então é possível dividir em duas proposições simples.
Para organizar a tabela verdade, temos que a proposição  pode ser verdadeira ou falsa, e o mesmo acontece com a proposição , e teremos  como
resultado da proposição:
Comentários
V V V Carlos é motorista pode ser
verdadeiro, e Maria ser bailarina
também pode ser verdadeiro, logo
a proposição é verdadeira.
V F F Carlos é motorista é verdadeiro, e
Maria não é bailarina é falso, logo,
como as duas devem acontecer
juntas e temos uma falsa, a
proposição é falsa.
∧
∨
∨–
→
↔
p ∧ q
p
q
p q p ∧ q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
F V F Carlos pode não ser o motorista, e
Maria é bailarina, como conectivo
“e” as duas precisam ocorrer, logo
a proposição é falsa.
F F F Carlos não é motorista e Maria
não é motorista, logo a proposição
é falsa.
Conectivo “e” só é verdade quando duas proposições são verdadeiras, pois é preciso fazer uma coisa e a outra.
Conectivo “ou”: 
Proposição: Vou comprar uma bicicleta ou uma televisão.
Comentários
V V V As duas as proposições   e   são
verdadeiras, então o resultado
será verdadeiro.
V F V Para atender, basta que uma
proposição seja verdadeira.
F V V Para atender, basta que uma
proposição seja verdadeira.
F F F Como as duas são falsas, o
resultado é falso.
 
Conectivo “ou...ou”: 
Proposição: Ou compro um carro ou compro uma casa.
Comentários
V V F Ou no início da frase faz com que
se faça opção exclusivamente por
uma das opções. Então, as duas
proposições não podem ser
verdadeiras.
V F V Somente uma é verdadeira, foi
feita uma única opção.
F V V Somente uma é verdadeira, foi
feita uma única opção.
F F F Como as duas são falsas, o
resultado é falso, pois era preciso
optar por uma delas.
Conectivo “ou...ou” tem que ser uma ou outra, as duas verdadeiras não podem, assim como as duas falsas, pois é preciso optar por um caminho ou
outro.
Conectivo “se... então”: 
Proposição: Se é brasileiro então gosta de futebol
p
q
p q p ∧ q
p q
p ∨ q–
p
q
p q p ∨ q–
p → q
p
q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Comentários
V V V Ideia de causa e efeito. Atende às
duas proposições, então é
verdadeira
V F F Fica falsa, pois atende à primeira
proposição e não atende à
segunda proposição.
F V V Ao tratar com “se”, assim pode
não ser brasileiro e gostar de
futebol.
F F V Pode não ser brasileiro e não
gostar de futebol é verdadeiro,
pois estamos falando da
característica do brasileiro, assim
quem não é brasileiro pode gostar
de futebol ou não.
Dessa forma, considerando o “se...então”, quando a primeira proposição é falsa, a segunda pode acontecer ou não, pois a informação não está
dentro da frase, no caso de a primeira proposição ser falsa.
Conectivo “se, e somente se”: 
Proposição: Daiana será campeã se, e somente se, ganhar o campeonato.
Comentários
V V V Se Daiana foi campeã, ela ganhou
o campeonato, logo é verdadeiro.
V F F Não tem como Daiana ser campeã
sem ganhar o campeonato,
portanto é falsa.
F V F Se Daiana não for campeã, não
tem como ganhar o campeonato,
logo é falsa.
F F V Se Daiana não foi campeã,
portanto não ganhou o
campeonato, logo é verdadeira.
Assim, a tabela de valores de acordo com os conectivoslógicos está �nalizada. 
Vamos Exercitar?
ocê aplicará o que aprendeu em algumas atividades.
Situação 1
Em uma empresa, três funcionários foram questionados sobre a ausência ao trabalho. Cada funcionário deu um depoimento, separadamente um
do outro.
Antonio: “Se Pedro faltou, então Fábio compareceu”.
Pedro: “Antonio compareceu e Fábio faltou”.
Fábio: Com certeza, eu compareci, mas pelo menos um dos dois faltou”.
Admitindo que os três compareceram ao trabalho, considere as a�rmações a seguir e veri�que qual é a correta.
1. Antonio e Pedro mentiram.
2. Os três depoimentos foram verdadeiros.
3. Apenas Fábio mentiu.
4. Apenas Antonio falou a verdade.
p q p → q
p ↔ q
p
q
p q p ↔ q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
5. Os três depoimentos foram falsos.
Comentários: para iniciar a análise, você deve considerar a informação: “admitindo que os três compareceram ao trabalho”. Então, sempre que
aparecer a a�rmação que alguém compareceu, será “verdadeira”, e a a�rmação de que alguém faltou será “falsa”.
Antonio: “Se Pedro faltou, então Fábio compareceu” usa o conectivo “se... então”:
Se Pedro faltou então Fábio
compareceu.
Resultado
Falso   Verdadeiro Verdadeiro
No conectivo “se... então”, quando a primeira proposição é falsa, a segunda pode acontecer ou não, pois a informação não está dentro da frase, no
caso de ser falsa a primeira proposição.
Pedro: “Antonio compareceu e Fábio faltou”:
Antonio compareceu e Fábio faltou Resultado
Verdadeiro   Falso Falso
Fábio: “Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos dois faltou”:
Com certeza eu
compareci
mas pelo menos um dos
dois faltou
Resultado
Verdadeiro   Falso Falso
Logo, alternativa correta é D.
Situação 2
Considere as proposições simples, de forma que  é verdadeira e  é falsa. Sejam as proposições: 
Quantas dessas proposições são verdadeiras?
a)    Apenas uma.
b)    Apenas duas.
c)    Apenas três.
d)    Quatro.
e)    Nenhuma.
Comentário: ao colocar ~ na frente de um operador, signi�ca que deve trocar o valor lógico, pois esse símbolo indica uma negação. Por exemplo, se
uma proposição é verdadeira e você colocar o símbolo ~ na frente, ela passará a ser falsa, e vice-versa.
Agora, analisaremos cada proposição. Considere a informação: “
Proposição p q Resultado
  V F F
 F F V
F
1) p ∧ q; 2) (~p) → q; 3) ~[p ∨ (~q)]; 4) ~(p ↔ q)
p
q
p ∧ q
(~p) → q
~[p ∨ (~q)]
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
   
V
Resposta: a alternativa correta é B.
Situação 3
As proposições lógicas são frases a�rmativas que só têm dois valores lógicos: verdadeiro ou falso. Qual das frases a seguir são proposições?
a)    Raíz quadrada de três é um número irracional?
b)    O dobro de um número mais 2 é igual a 6 (
c)    4 é divisor de 45.
d)    35 é um número natural.
Comentários:
No item a, não é uma proposição, pois se trata de uma frase interrogativa.
No item b, a expressão não pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa.
No item c, é uma proposição, pois pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa.
No item d, é uma proposição, pois pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa. 
Saiba mais
Estude sobre as proposições lógicas com outros exemplos:
Raciocínio Lógico
Conectivos Lógicos
Referências
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo, SP: Nobel, 2002.
CASTRUCCI, B. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo, SP: Nobel, 1984.
INSTITUTO BRASILEIRO DE APOIO E DESENVOLVIMENTO EXECUTIVO. Secretaria de Estado de Justiça e Direitos Humanos (SEJUDH/MT). Provas e
gabaritos. IBADE, 2022. Disponível em:  http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos.  Acesso em: 19 nov. 2022.
ROCHA, E. Raciocínio Lógico. Rio de Janeiro, RJ: Campus, 2005. 
Aula 4
PROBLEMAS DE LÓGICA
Videoaula: Problemas de lógica
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~(p ↔ q)
2x + 2 = 6
https://educative.com.br/wp-content/uploads/2019/04/Aula-Racioc%C3%ADnio-L%C3%B3gico-Preposi%C3%A7%C3%B5es-Conectivos-Logicos-e-Opera%C3%A7%C3%B5es-L%C3%B3gicas.pdf
http://www.profcardy.com/cardicas/conectivos-logicos.php
http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
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Você conhecerá os tipos de problemas que são resolvidos aplicando a lógica matemática, mas, antes, diferenciará problemas convencionais e não
convencionais. Problemas de lógicas possuem uma estrutura de organização e um padrão de resolução que você poderá desenvolver analisando
as informações que são dadas. São desa�adores, pois não está explícito o algoritmo a ser utilizado.  
Ponto de Partida
Olá, estudante! Você terá contato com outros tipos de problemas que não são tão comuns no dia a dia. É preciso ter atenção e um bom raciocínio
lógico para resolver cada um eles. Mas, antes, você diferenciará o que é um problema convencional e um problema não convencional. Em geral, os
problemas não convencionais estão presentes em concursos, pois avaliam sua capacidade de organização e de lógica. É possível desenvolver esse
tipo de raciocínio observando os padrões de resolução e das informações. Ao desenvolver essa parte lógica, você será capaz de diferenciar as
técnicas de resolução de diferentes problemas. Concentre-se a venha se desa�ar!
Bons estudos! 
Vamos Começar!
Você já deve ter resolvido problemas que, em geral, aparecem nas aulas de Matemática. Esses problemas são chamados de convencionais e,
normalmente, são encontrados em livros. Por exemplo:
1. A soma do quadrado com o quíntuplo de um mesmo número real x é igual a 36. Qual é esse número x?
Comentário: para resolver esse tipo de problema, é preciso organizar os dados:
Número: x
A soma do quadrado com o quíntuplo de um mesmo número é igual a 36:
Veja que, nesse caso, temos duas respostas para o número procurado.
Problemas desse tipo são mais comuns de se resolver por estarem presentes em muitos momentos da sua vida escolar. É importante
compreender sua resolução, pois, ao identi�car um padrão nela, aplica-se o procedimento, nesse caso, encontrar a equação. Sendo uma equação
do 2º grau, aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar os valores procurados.
A lógica na resolução de problemas também requer uma observação para identi�car o tipo de problema e encontrar um padrão para ele, a �m de
solucioná-lo.
Esses tipos de problemas são chamados de convencionais, e apresentam texto, parágrafos curtos, a pergunta vem ao �nal, após a explicação, e
sua resolução requer a aplicação de um algoritmo.
Você sabia que existem os problemas chamados não convencionais? São problemas desa�adores, em que é necessário planejar estratégias para
sua resolução e não tem um algoritmo de�nido para aplicar no seu desenvolvimento.
x² + 5x = 36
x² + 5x = 36 →
x² + 5x − 36 = 0
Δ = (5)² − 4 = 4 (1) (−36)
Δ = 169
x = −5 ± 13
2
x′ = − 9
x′′ = 4
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Você conhecerá alguns deles e, em seu estudo, explorará seus conhecimentos e o raciocínio lógico para ampliar seu repertório na resolução de
problemas desse tipo.
Problemas com excesso de dados
Clarisse tem 18 anos, foi à feira e fez uma compra de R$ 235,00. Um dos produtos adquiridos custava R$ 34,00. Ao sair do supermercado,
caminhou 1 km até sua casa. Chegando lá, disse à sua mãe que teve 10% de desconto na compra. Qual o valor que Clarisse gastou no
supermercado?
Comentário: observe que, de todos os dados do problema, somente dois serão utilizados: o valor da compra (R$ 235,00) e o valor do desconto
(10%), assim todos as demais informações são consideradas como excesso de dados.
Assim:
10% de 235 = 23,5
235 - 23,5 = 211,50
Resposta: Clarisse gastou R$ R$ 211,50 no supermercado.
Problemas sem solução
Você já ouviu falar de problemas sem solução? Parece estranho, não é? Mas, existem! Esse é um tipo de problema matemático que necessita da
interpretação para que se perceba que nãohá solução. Veja: uma empresa vende televisão no atacado para pequenas lojas. Cada lote com cinco
televisões custa R$ 23.500,00. A empresa faz entregas a partir de dois lotes. Quantas entregas foram realizadas?
Comentários: observe que foram dadas algumas informações, como o valor do lote, a quantidade mínima de entregas, porém faltam dados para
responder à pergunta. Para saber quantas entregas foram realizadas, era preciso saber quantos lotes foram comprados.
Em geral, em problemas assim, faltam dados para responder à pergunta, mas eles são interessantes, porque necessitam de lógica para descobrir
que não há solução e para saber qual informação está faltando.
Existem outros que são desa�adores, continuaremos investigando!
Siga em Frente...
Você conhece problemas de lógica? Sabe como resolvê-los? Antes de ver a solução, tente resolver ou pensar sobre a possível resposta. Esses
problemas são muito comuns em concursos e em pro�ssões que demandam planejamento e logística.
Para começar, inicie com problemas de lógica.
Desa�o 1: sete irmãs chegaram à vila em que moravam e cada uma delas passou a se dedicar a uma tarefa concreta. A primeira foi ler um
romance; a segunda, fazer hambúrgueres; a terceira, jogar xadrez; a quarta, fazer palavras-cruzadas; a quinta, lavar roupa; a sexta, regar as plantas.
O que a sétima irmã foi fazer?
Comentário: esse tipo de problema de lógica requer raciocínio lógico e observação.
Cada irmã escolheu uma tarefa que, para ser executada, só poderia ser feita sozinha, exceto jogar xadrez, que necessita de outro jogador, logo a
sétima irmão foi jogar xadrez com a terceira.
Desa�o 2: duas mães e duas �lhas comeram um pão cada uma no café. Quantos pães foram consumidos?
Comentário: qual seria a lógica desse problema? Veja a lógica:
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Logo, foram consumidos três pães.
Desa�o 3: problema do tipo verdade e mentira é um tipo de problema de lógica. Veja: cinco amigos, todos com alturas diferentes entre si, �zeram as
seguintes a�rmações:
Antonio: “Sou mais alto do que Celso”.
Bruno: “Sou mais baixo do que Antonio”.
Celso: “Douglas e Erasmo são os mais altos do grupo”.
Douglas: “Se �zermos uma �la em ordem de altura, Celso �cará no meio”.
Erasmo: “Antonio é mais baixo do que Celso”.
Sabendo que apenas um desses amigos mentiu, descubra quem foi.
Comentário: para esse tipo de problema, veri�que as proposições que são contraditórias, pois não é possível que duas contradições sejam
verdadeiras.
Veja essas duas proposições:
Antonio: “Sou mais alto do que Celso”.
Erasmo: “Antonio é mais baixo do que Celso”.
Elas são contraditórias, pois Antonio não pode ser mais alto e mais baixo do que Celso. Como foi indicado que apenas um deles mentiu, não tem
como as duas a�rmações serem verdadeiras e não tem como as duas serem mentirosas.
Entre Antonio e Eduardo, um disse a verdade e um mentiu, assim quem mentiu ou foi Antonio, ou foi Erasmo. Como um desses dois está mentindo,
os demais estão falando a verdade.
Antonio V ou F
Bruno V
Celso V
Douglas V
Erasmo V ou F
Agora, analisaremos as verdades fazendo um esquema:
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 1 | Esquema. Fonte: elaborada pela autora. 
Use esse esquema para comparar as a�rmações de Antonio e Erasmo.
Antonio: “Sou mais alto do que Celso”. Mentira, pois, pelo esquema, Antonio é o mais baixo.
Erasmo: “Antonio é mais baixo do que Celso”. Verdade, pois, pelo esquema, Antonio é mais baixo do que Celso.
Portanto, o mentiroso é Antonio. 
 
 
Vamos Exercitar?
Este é o momento de colocar em prática o que você aprendeu.
Situação 1: em uma festa para um evento, diversas pessoas foram convidadas por meio de convites enviados para elas. Por se tratar de um evento
particular e para melhor organização, foi dada a seguinte instrução para os funcionários: “Se tiver convite, pode entrar”.
É correto a�rmar que:
a) Se Ana entrou, ela tem o convite.
Incorreto. Como Ana entrou, certamente, a segunda parte da condicional é verdadeira (“pode entrar”). Desta forma, a condicional inteira já é
verdadeira, independentemente da primeira parte (“tem convite”) ser V ou F. Por isso, não podemos a�rmar que Ana realmente tem convite. Isso até
pode ser verdade, mas não podemos a�rmar com certeza.
b) Quem não tem convite não pode entrar.
Incorreta. A condicional “se” só é útil para informar o que acontece quando a condição “tem convite” é verdadeira. NADA é possível a�rmar sobre o
que acontece quando a condição é falsa, ou seja, quando a pessoa não tem convite. Talvez, ainda assim, ela possa entrar.
c) Se Carlos não pode entrar, então não convite.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Correta. Como Carlos NÃO pode entrar, a segunda parte da condicional (“pode entrar”) é falsa. Neste caso, se a primeira parte fosse verdadeira (ele
tivesse convite), teria , que desrespeita a condicional. Assim, seria preciso que a primeira parte fosse falsa, ou seja, que Carlos não tivesse convite.
Logo, é CORRETO dizer que, se Carlos não pode entrar, ele NÃO tem convite.
d)  Quem é convidado, mas não tem convite, pode entrar.
Incorreta. A condicional só é útil para informar o que acontece quando a condição “tem convite” é verdadeira. NADA é possível a�rmar sobre o que
acontece quando a condição é falsa, ou seja, quando a pessoa não tem convite. Talvez, ela NÃO possa entrar.
e) Todos os que entraram tinham convite.
Incorreta. Pela instrução, quem tem convite pode entrar, no entanto, talvez, outras pessoas possam entrar também. Seria diferente se a frase
dissesse que “SOMENTE quem tem convite pode entrar”.
Situação 2: a �lha de Carmem mente às segundas e terças-feiras, mas fala a verdade nos demais dias da semana. Quais são os dias da semana em
que a �lha de Carmem pode dizer a frase “Mentirei amanhã”?
Comentário: Construir uma tabela com os dias da semana, com um ciclo completo, de domingo a domingo, porque se trata de “amanhã”.
Na tabela, colocar mente (M) nos dias da semana que foram indicados; nos demais dias, ela fala a verdade (V).
Bloco 1
DOM SEG TER QUA
V M M V
Bloco 2
QUI SEX SAB DOM
V V V V
Chamamos um dia genérico de hoje. Qual é a relação entre hoje e amanhã a partir da frase: “Mentirei amanhã”?
Hoje Amanhã Explicação
V M Se hoje ela fala a
verdade, amanhã ela
deverá mentir.
M V Se hoje ela mente,
amanhã ela falará a
verdade.
Procurar na tabela a relação (V-M) ou (M-V):
Dom (V) Seg (M) Se hoje ela fala a verdade, amanhã ela mentirá.
Ter (M) Qua (V) Se hoje ela mente, amanhã ela falará a
verdade.
Assim, a �lha de Carmem pode falar essa frase somente nos domingos e nas terças-feiras. 
 
 
Saiba mais
Nesta publicação da Revista de Educação Pública, você conhecerá algumas curiosidades e alguns problemas de matemática, que serão
desa�adores. Leia o texto Curiosidades matemáticas na revista Echo.
Referências
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo, SP: Nobel, 2002.
CASTRUCCI, B. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo, SP: Nobel, 1984.
http://portal.amelica.org/ameli/journal/584/5842554040/5842554040.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
INSTITUTO BRASILEIRO DE APOIO E DESENVOLVIMENTO EXECUTIVO. Secretaria de Estado de Justiça e Direitos Humanos (SEJUDH/MT). Provas e
gabaritos. IBADE, 2022. Disponível em:  http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos.  Acesso em: 19 nov. 2022.
ROCHA, E. Raciocínio Lógico. Rio de Janeiro, RJ: Campus, 2005.
Aula 5
Encerramento da Unidade
Videoaula de Encerramento
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Neste vídeo, você conhecerá, na prática, como resolver alguns problemas de lógica, usando os conectivos lógicos para atribuir os valores de
verdadeiro ou falso, a partir da análise das proposições. Conhecerá também os métodos e as técnicas de operações matemáticas, para
desenvolver raciocíniológico, crítico e analítico de apoio à tomada de decisão.
Ponto de Chegada
Olá! Você aprendeu algumas noções de lógica e a importância dos conectivos para atribuir valores lógicos para uma proposição.
Uma proposição lógica é uma sentença a�rmativa, em que é possível atribuir o valor lógico se verdadeiro ou falso. Por exemplo:
a) Vai ter jogo hoje.
Essa é uma proposição em que é possível atribuir verdadeiro ou falso. Pode ter jogo ou não.
b) Saia agora desse lugar!
Não é uma proposição, pois é uma sentença imperativa.
c) Você vai ao passeio amanhã?
Não é uma proposição, pois é uma sentença interrogativa.
Aprendeu que existem proposição simples e compostas. As simples são representadas por uma única forma, enquanto as compostas podem ter
duas ou mais proposições simples.
Em geral, para indicar as proposições lógicas, utilizamos as letras: 
Exemplo:
Preposição simples – 
Preposição composta –  
p, q, r
p, q, r
p
p, q, r
p
q
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Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Com essas proposições, é possível atribuir valores lógicos. Em geral, na proposição simples, é mais fácil, enquanto a composta precisa de mais
atenção.
Para isso, é possível usar a tabela verdade.
Tabela verdade
  
   
~
   
 
V F
F V
Ao utilizar o símbolo ~, signi�ca que é uma negação, interpretando por “não 
Nessa proposição lógica, foi utilizado o conectivo “e”, que é indicado pelo símbolo: 
p, q, r
p
q
p
p, q, r p
q p p
p, q, r
p q p
p p
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Tabela verdade do conectivo “e”:
Tabela verdade
     
     
 
     
     
   
 
     
     
   
 -
 
V V V
V F F
F V F
F F F
Essa tabela contém o resultado do operador lógico:  
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q p
q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p, q, r
p
q
p
p
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Usando o conectivo lógico da disjunção, tem-se  
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Proposição: 2 é um número par ou 5 é um número ímpar.
Tabela verdade do conectivo “ou”:
Tabela verdade
     
     
 
 
        
     
     
 
 
     
     
     
 
 
     
V V V
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
V F V
F V V
F F F
Essa tabela contém o resultado do operador lógico: 
O conectivo da condicional, indicado por: 
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Proposição: Se 3 é um número primo, então 15 é múltiplo de 5.
Tabela: 
p
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p
q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Tabela verdade
     
     
 
 
     
  
     
     
 
 
     
 
 
     
     
 
 
     
 
 
V V V
V F F
F V V
F F V
Essa tabela contém o resultado do operador lógico: 
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p
q
p → q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p q
p → q
p
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p q
p → q
p q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p q
p → q
p q
p → q
p, q, r
p
q
p
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
E o conectivo lógico: 
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p
q
p → q
p
q
p → q
p → q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Proposição: Vou ao teatro se, e somente se, não estiver chovendo.
Tabela: 
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p
q
p → q
p
q
p → q
p → q
p ↔ q
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Tabela verdade
     
     
 
 
     
 
 
     
     
 
 
     
 
 
 
     
     
 
 
     
 
 
 
V V V
V F F
F V F
F F V
Essa tabela contém o resultado do operador lógico: 
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p
q
p → q
p
q
p → q
p → q
p ↔ q
p ↔ q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p q
p → q
p q
p → q
p → q
p ↔ q
p ↔ q
p
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p q
p → q
p q
p → q
p → q
p ↔ q
p ↔ q
p q
p, q, r
p q p
p p p
p ∧ q
∧p q
p q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p q p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p q
p → q
p q
p → q
p → q
p ↔ q
p ↔ q
p q
p ↔ q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
p, q, r
p
q
p
p
p
p
p ∧ q
∧
p
q
p
q
p ∧ q
p ∧ q
p ∨ q
p
q
p
q
p ∨ q
p ∨ q
p → q
p
q
p → q
p
q
p → q
p → q
p ↔ q
p ↔ q
p
q
p ↔ q
p ↔ q
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Você aprendeu que é possível aplicar o raciocínio lógico para resolver problemas, como os de verdade e mentira.
Três amigas, Telma, Júlia e Alice, estão sentadas lado a lado em um teatro. Telma sempre fala a verdade; Júlia, às vezes, fala a verdade; Alice nunca
fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Telma é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou a Júlia”.
Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Alice é quem está sentada no meio”. Encontre a ordem em que as amigas estão sentadas.
Comentário: esse é um problema de verdade e mentira, assim, inicie pela pessoa que sempre fala a verdade.
Telma sempre fala a verdade, logo teste colocando Telma na esquerda, mas quem está sentada à esquerda diz que Telma está sentada no meio,
logo há uma incoerência, assim, com certeza, Telma não está sentada à esquerda.
Outra tentativa: coloque Telma sentada no meio, mas a pessoa que está no meio disse: “Eu sou a Júlia”. Outra incoerência, pois, se Telma fala a
verdade, como ela poderia dizer que é Júlia, logo Telma não está sentada no meio.
Se Telma não está sentada à esquerda nem no meio, ela só pode estar sentada à direita.
Como Telma só fala a verdade, a pessoa que estava sentada à direita dizia que Alice está sentada no meio.
Resposta:
Sentada à esquerda Sentada no meio Sentada à direita
Júlia Alice Telma
É Hora de Praticar!
Para contextualizar sua aprendizagem, você analisará a seguinte situação: em muitos locais, são formadas redes de apoio para pessoas que
precisam estudar para concursos. Em geral, essas redes são formadas por voluntários, e esses grupos não têm muita divulgação na mídia, mas,
independentemente disso, as pessoas continuam a se organizar para promover condições de estudos para esses grupos, dando condições e
incentivando as pessoas a buscarem uma oportunidade de emprego.
Foi publicado o edital de um determinado concurso público. Muitas pessoas procuraram uma dessas organizações para fazer o cursinho
preparatório com foco nesse concurso. Na bibliogra�a, estava indicado que um dos conteúdos que poderá ser solicitado na prova é problemas de
lógica.
Essa organização precisou recrutar voluntários para trabalharem com esses grupos de estudos,exclusivamente para pessoas de baixa renda,
possibilitando que tenham uma oportunidade nesse concurso.
Você se candidatou para ser voluntário para desenvolver um trabalho voltado para a resolução de problemas sobre lógica matemática. 
Após ter explicado algumas noções de lógica durante alguns encontros, você iniciará a resolução de problemas.
1. Pai, mãe e seu casal de �lhos estão sentados em volta de uma mesa retangular. Os homens chamam-se Ricardo e Silvio, e as mulheres, Tânia e
Fabrícia. Sabe-se que o pai tem Fabrícia à sua frente e o �lho à esquerda, e que a mãe está sentada do lado direito de Silvio.
Considere as seguintes a�rmações:
I. A mãe chama-se Fabrícia.
II. Ricardo está em frente de Tânia.
III. O pai chama-se Silvio.
É verdadeiro somente o que se a�rma em:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) II e III.
Escolha uma forma clara, com passo a passo, para mostrar aos cursistas uma possível solução e como podem pensar sobre esse problema.
Olá, estudante, chegamos ao encerramento da unidade!
Vamos realizar a experiência presencial que irá consolidar os conhecimentos adquiridos? É a oportunidade perfeita para aplicar, na prática, o que
foi aprendido em sua disciplina. Vamos transformar teoria em vivência e tornar esta etapa ainda mais signi�cativa. Não perca essa chance única de
colocar em prática o conhecimento adquirido.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Fonte: elaborada pela autora.
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo, SP: Nobel, 2002.
CASTRUCCI, B. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo, SP: Nobel, 1984.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
INSTITUTO BRASILEIRO DE APOIO E DESENVOLVIMENTO EXECUTIVO. Secretaria de Estado de Justiça e Direitos Humanos (SEJUDH/MT). Provas e
gabaritos. IBADE, 2022. Disponível em:  http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos.  Acesso em: 19 nov. 2022.
ROCHA, E. Raciocínio Lógico. Rio de Janeiro, RJ: Campus, 2005.
,
Unidade 3
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Aula 1
FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
Videoaula: Fundamentos da estatística
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Estudante, no vídeo desta aula, falaremos sobre os princípios da estatística e de suas principais aplicações. Média, moda e mediana são conceitos
utilizados amplamente em nosso dia a dia, direta ou indiretamente. Sua compreensão é de fundamental importância na interpretação de dados e
no tratamento das análises, bem como na retirada de conclusões.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Para a vida e para os negócios, a matemática é uma das mais poderosas ferramentas, quando não a mais poderosa. Dominar
cálculos e raciocínios lógicos faz de você dono da situação; oferece controle e calma, fatores importantíssimos para uma tomada de decisão
precisa e acertada. Todas as pessoas têm capacidade e inteligência su�cientes para assimilarem e aprenderem conceitos matemáticos, sejam eles
quais forem, do mais básico ao mais complexo. A natureza é delineada com base na matemática, e ela está em nós. Será preciso praticar, pois
essa disciplina exige treino e, da mesma forma como um maratonista treina para uma prova de corrida, você precisará treinar a estatística
realizando cálculos. Bons estudos!
Vamos Começar!
Diariamente, fazemos, mesmo que de modo inconsciente, observações acerca dos fenômenos que presenciamos. Esses fenômenos geram dados,
os quais são fonte de muitas informações relevantes sobre o fenômeno observado. Professores observam alunos, analistas observam os
mercados de bolsa de valores, cientistas observam experimentos, astrônomos observam galáxias, treinadores observam atletas. Os dados podem
advir de situações espontâneas ou de experimentos premeditados.
No entanto, esses dados podem ser organizados de modo aleatório? Ou existiria uma forma e�ciente de ordená-los, a ponto de tornar seu estudo
mais crível? Essas e outras respostas são objeto de estudo da Estatística, cujo campo de atuação é a de�nição de uma metodologia correta para a
coleta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados, assim como a obtenção de conclusões validadas sobre os dados
estudados e a tomada de decisões razoáveis frente aos resultados.
Diversas áreas do conhecimento se apoiam nos estudos estatísticos para sua tomada de decisão, por exemplo: Indústria Farmacêutica, Psicologia,
Economia, Agricultura, Medicina, Informática etc.
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados �cam a
cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
O estudo da Estatística é justi�cável, pois a natureza apresenta variabilidade. Um indivíduo apresenta diferenças em relação a outro indivíduo, um
mesmo indivíduo pode apresentar variações em períodos distintos. Um dos papéis da Estatística é ajudar a minimizar essa variabilidade,
aumentando a previsibilidade dos resultados.
http://www.ibade.org.br/Concurso/346/ProvasGabaritos
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
A Estatística também é base para a validação do Método Cientí�co, que é um conjunto de regras e orientações direcionadas ao desenvolvimento de
uma experiência, a �m de promover novo conhecimento cientí�co ou corrigir entendimentos pré-existentes.
O Método Cientí�co se divide entre Método Experimental, cuja base é criar um ambiente estável e observar as oscilações de variáveis determinadas
(como na Física e na Química), e o Método Estatístico, cuja utilização é ampla em ramos em que não é possível se obter um ambiente estável
(como nas Ciências Sociais).
O Método Estatístico descritivo se pauta em cinco passos:
1. Coleta de dados: coleta de informações relevantes predeterminadas acerca das variáveis estudadas. Essa coleta pode ser contínua, periódica
ou esporádica.
2. Crítica dos dados: é a fase de procura por erros nos dados coletados. Toda a análise se pautará nos dados coletados, portanto estes
precisam estar corretos e serem con�áveis.
3. Apuração dos dados: uma vez coletados e validados, é necessário tabular as informações coletadas.
4. Exposição ou apresentação dos dados: da mesma forma que o melhor livro do mundo não será relevante para você caso esteja escrito em
um idioma que não domine, os dados precisam ser apresentados de modo fácil e prático, para facilitar seu entendimento.
Análise dos resultados: o porquê da realização de uma análise estatística é a tomada de decisão após conclusões. Portanto, é importante que os
resultados sejam avaliados e seja rati�cado que fazem sentido, antes de tomar a decisão. 
Siga em Frente...
A organização de modo sintetizado dos dados coletados permite a localização mais rápida e assertiva dos valores em uma dada distribuição. Essa
organização, normalmente, é feita através de tabelas e grá�cos.
As tendências centrais estudam os fenômenos observando seus valores médios e ajudando muito no processo de sintetização e organização dos
dados coletados. Existem três principais tendências centrais: Média, Mediana e Moda.
A Média Aritmética é a forma mais simples e comum das médias, no entanto apresenta uma grande desvantagem: é fortemente in�uenciada por
valores extremos. Ela é dada pelo quociente entre a soma de todos os valores estudados, dividido pela quantidade de observações.
Onde:
O símbolo “
Um cálculo importante é o Desvio Padrão em relação à Média. Ele nos diz quão longe uma determinada observação está da Média do grupo. Para
isso, basta pegar o valor da observação pontual que deseja analisar e subtrair pelo valor da Média do grupo:
Onde:
Outra forma importante e simples de cálculo dentro de um grupo de observações é a Mediana. A Mediana de um conjunto de valores, colocados
conforme uma ordem, seja ela decrescente ou crescente, é o valor responsável por separar o conjunto em dois subconjuntos.
O cálculo da Mediana exige um passo prévio: o ordenamento dos dados.Ao colocá-los em ordem, é possível, através da quantidade de dados,
determinar a Mediana. Como exemplo, tome a sequência numérica: 4, 3, 8, 2 e 6.
O primeiro passo para determinar a Mediana desse grupo é ordená-los. Neste caso, optaremos pela ordem crescente: 2, 3, 4, 6, 8.
Me = ∑ xi
n
Me
xi
n
∑
d1 = x1 − Me
d1
x1
Me
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
O valor central que divide essa série em dois subgrupos com a mesma quantidade de dados é o número 4. Portanto, a Mediana 
Caso a série tenha um número ímpar de valores, a Mediana será o termo que estará na posição dada pela expressão:
Onde: = quantidade de dados da série.
Caso a série tenha um número par de valores, a Mediana será dada pela Média Aritmética dos termos que estarão nas posições 
Exemplo de Mediana com quantidade de valores ímpares: 1, 3, 5, 7, 8:
Exemplo de Mediana com quantidade de valores pares: 1, 3, 6, 8.
Ou seja, a Mediana está entre o segundo (3) e o terceiro (6) termos do grupo.
Portanto, a Mediana é 4,5.
Existe também a Moda (Mo), que é o conjunto de valores com a maior frequência de contagem. Assim, o termo que for mais frequente, que
aparecer a maior quantidade de vezes, será a Moda daquele grupo.
Por exemplo, considere os tamanhos de sapatos de um grupo aleatório de pessoas: 36, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 41.
Os tamanhos 36, 39 e 41 aparecem uma única vez cada, o tamanho 37 se repete duas vezes, já o tamanho 38 se repete quatro vezes. O tamanho
38 é o de maior frequência, portanto representa a Moda desse grupo de tamanhos de sapato.
Imagine, agora, por exemplo, um grupo de tamanhos de sapato cujas medições sejam: 35, 35, 36, 37, 37, 38. Percebe-se que os tamanhos 35 e 37
são os mais frequentes, ambos aparecendo duas vezes cada. Portanto, para este grupo, a Moda será dada pelos valores 35 e 37. Con�gura-se um
sistema bimodal (com duas modas).
Por outro lado, considere um conjunto de tamanhos de sapato com as seguintes medições: 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41. Todos os elementos desse
grupo têm a mesma frequência, inexistindo Moda para esse grupo. Diz-se ser um conjunto amodal (sem Moda).
 
Md = 4
Md = (n+1)
2
Md1
Md2
Md1 = n
2
Md2 = 1 + ( n
2 )
Md =
(Md1+Md2)
2
Md =
(n+1)
2
n
Md = (5+1)
2 = 6
2 = 3
Md = 5
Md1 = n
2 = 4
2 = 2
Md2 = 1 + ( n
2 ) = 1 + ( 4
2 ) = 1 + 2 = 3
Md =
(Md1+Md2)
2 =
(3+6)
2 = 4,5
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Vamos Exercitar?
No dia a dia, utilizamos os conceitos de Média, Mediana e Moda com uma frequência muito mais do que nos atentamos. A principal função dessas
três tendências centrais é a de organizar os dados de um conjunto amostral e, assim, sintetizá-los, resumindo-os em um único valor.
É importante determinar o caso mais aplicável a cada uma dessas três tendências centrais. Para isso, faremos um breve resumo:
a) Média: quando há dados distribuídos com aproximada simetria, sem valores extremos, devemos escolher a média, pois essa medida possui
propriedades matemáticas mais fortes e é muito usada para estimar a média da população quando se faz inferências, por exemplo. Além disso, é
fácil de ser calculada e é a mais popular dentre essas medidas.
b) Mediana: quando há valores discrepantes no conjunto de dados, devemos preferir a mediana, pois ela não se afeta quando há valores extremos,
podendo, assim, prover bom nível de con�abilidade ao cálculo.
c) Moda: quando trabalhamos com variáveis qualitativas nominais, a moda é a única medida de tendência central que podemos obter. Além disso,
quando queremos evidenciar o valor que mais apareceu (se repetiu) em um conjunto de dados, também usamos a moda.
Imagine que você trabalha no Instituto Brasileiro de Geogra�a e Estatística (IBGE) e está estudando a população rural do Sudeste do Brasil. Sua
tarefa é simples: organizar os dados estado por estado e determinar a Média Aritmética e a Mediana, quando aplicável.
a) População rural em São Paulo: 1.676.950 pessoas.
b) População rural no Rio de Janeiro: 525.700 pessoas.
c) População rural em Minas Gerais: 2.900.850 pessoas.
d) População rural no Espírito Santo: 580.000 pessoas.
O primeiro passo é ordenar os dados, então vamos colocá-los em ordem crescente:
a) População rural no Rio de Janeiro: 525.700 pessoas.
b) População rural no Espírito Santo: 580.000 pessoas.
c) População rural em São Paulo: 1.676.950 pessoas.
d) População rural em Minas Gerais: 2.900.850 pessoas.
Uma vez colocados em ordem, vamos aos cálculos. Primeiramente, a Média Aritmética:
A Média Aritmética da população rural por estado que compõe a região no Sudeste do Brasil é de 1.420.875 pessoas.
Já com os dados ordenados, vamos ao cálculo da Mediana. Como são quatro estados, utilizaremos o conceito de cálculo PAR.
Portanto, a Mediana será a Média Aritmética entre o segundo e o terceiro termos do conjunto estudado (Espírito Santo e São Paulo):
Dessa forma, a mediana da população rural por estado que compõe a região no Sudeste do Brasil é de 1.128.475.
Podemos concluir que, mesmo existindo certa simetria entre os dados (dois estados com números menores mais próximos e dois estados com
números maiores mais próximos), a Mediana tende a apresentar um valor mais justo, pois o estado de Minas Gerais possui um número muito
elevado de pessoas na zona rural, comparativamente com os outros três, e isso distorce a média aritmética. 
Me = ∑ xi
n
= (525.700+580.000+1.676.950+2.900.850)
4
Me = 5.683.500
4
Me = 1.420.875
Md1 = n
2 = 4
2 = 2
Md2 = 1 + ( n
2 ) = 1 + ( 4
2 ) = 1 + 2 = 3
Md = (Md1+Md2)
2 = (580.000+1.676.950)
2 = 2.256.950
2 = 1.128.475
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
 
Saiba mais
O Instituto Brasileiro de Geogra�a e Estatística (IBGE) utiliza os conceitos aqui apresentados para estudar aspectos da população brasileira. A
seguir, temos dois links educativos do IBGE sobre Média Aritmética e Mediana, bem como exemplos práticos. Leia em:
Média
Mediana
 
Referências
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
Aula 2
CÁLCULOS ESTATÍSTICOS
Videoaula: Cálculos estatísticos
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Estudante, no vídeo desta aula, falaremos sobre grá�cos e tabelas, como interpretá-los e suas principais aplicações. Esses elementos permeiam
contextos de trabalho e também podem estar presentes em outras situações de nossas vidas. Aproveite esta videoaula e prepare-se para se
diferenciar como pro�ssional!
Ponto de Partida
Olá, estudante! Saber interpretar grá�cos e tabelas é extremamente importante para a vida pessoal e pro�ssional. Diversas vezes, precisamos
relacionar variáveis e dados, e os recursos visuais mais utilizados para isso são os grá�cos e as tabelas. Por isso, incentivamos você a se
aprofundar bastante nesse assunto, aprender como construímos grá�cos e tabelas e compreender como interpretamos as informações
apresentadas nesses recursos. Assim, nesta aula, apresentaremos os principais grá�cos utilizados, bem como a forma de relacionar grá�cos e
informações disponíveis em tabelas. Além disso, também veremos algumas aplicações desses recursos em nosso dia a dia. Sem dúvida, tais
conhecimentos serão diferenciais para o seu desenvolvimento pro�ssional e pessoal. Desejamos uma excelente jornada de estudos nesta aula!
Vamos Começar!
Quando falamos em Estatística e estudo de dados de um modo geral, torna-se imperativo ordená-los e representá-los da maneira mais clara,
objetiva e concisa possível. Isso não somentefacilita a interpretação e a observação, como também aumenta a con�abilidade da leitura e dos
resultados obtidos. 
A apresentação de dados de modo grá�co é muito praticada, pois oferece uma visão rápida acerca dos dados e muito mais intuitiva que outras
formas de representação. Grá�cos tornam a apresentação dos dados muito legível e interessante. Dependendo do tamanho da tabela, algumas
informações podem passar despercebidas, o que se torna menos provável quando a apresentação é em forma de grá�co. 
https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/17862-media-pagina-inicial.html
https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/17870-a-mediana.html
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Na apresentação grá�ca, os dados devem ser diretos, e os detalhes secundários, por vezes, omitidos. Os principais tipos de grá�co são: diagramas,
cartogramas e pictogramas. 
Diagramas são grá�cos que utilizam formas geométricas e duas dimensões no máximo. O sistema cartesiano de coordenadas é o utilizado. 
São os principais exemplos de diagramas: 
a) Grá�cos em barras: um grá�co em barras horizontais representa a série de dados através de retângulos dispostos horizontalmente com mesma
altura e comprimentos proporcionais à frequência de cada dado. Esse grá�co é muito apropriado para representar gra�camente os dados
qualitativos, porém pode ser utilizado também para representar dados quantitativos discretos. 
Figura 1 | Índices por trimestre. Fonte: elaborada pelo autor. 
b) Grá�cos em colunas: similarmente ao grá�co de barras, os retângulos são dispostos verticalmente com a mesma base e alturas proporcionais à
frequência de cada dado. Os valores da variável são colocados no eixo horizontal, e a frequência, no eixo vertical. 
Figura 2 | Índices por trimestre em grá�co de colunas. Fonte: elaborada pelo autor. 
c) Grá�cos em linhas: neste grá�co, é usada uma linha para representar a série estatística. Seu principal objetivo é evidenciar a tendência do
fenômeno ou a forma como ele está crescendo ou decrescendo dentro de um período. Seu traçado deve ser realizado considerando o eixo “x”,
horizontal, que representa a escala de tempo e o eixo “y”, vertical, que representa a frequência observada dos valores.  
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
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Figura 3 | Índice por trimestre em grá�cos em linhas. Fonte: elaborada pelo autor. 
d) Grá�cos em setores: popularmente conhecidos como “grá�cos de pizza”, mostram o tamanho proporcional de itens que constituem uma série de
dados para a sua soma. São utilizados, principalmente, quando se pretende comparar cada valor da série com o total. 
Figura 4 | Índice por trimestre em grá�co de setores. Fonte: elaborada pelo autor.    
e) Grá�co polar: neste tipo de grá�co, a série de dados é representada por meio de um polígono. Ideal para representar séries temporais cíclicas,
como a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano. Para sua construção, divide-se uma circunferência em tantos arcos quantos forem
os dados a representar. Pelos pontos de divisas, traçam-se raios. Em cada raio é representado um valor da série, marcando-se um ponto cuja
distância ao centro é diretamente proporcional a esse valor e, em seguida, unem-se os pontos. No Excel, o nome da ferramenta a ser utilizada é
RADAR, e o traçado do grá�co é interno à circunferência. É muito utilizado para controles gerenciais. 
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Figura 5 | Índice por trimestre em grá�co polar. Fonte: elaborada pelo autor.    
Já o cartograma é a representação sobre uma carta geográ�ca (mapa). Este grá�co é empregado quando o objetivo é o de �gurar os dados
estatísticos diretamente relacionados a áreas geográ�cas ou políticas. 
E, por �m, pictogramas são a apresentação de uma série estatística por meio de símbolos representativos de um fenômeno. A representação
grá�ca consta de �guras.
Siga em Frente...
Como você já sabe, a síntese de dados é um dos objetivos da Estatística, para que a sua observação, o seu estudo e a sua análise se tornem mais
práticos.  
A representação de dados em forma de tabelas também é muito usual. Desde que organizados de modo claro e conciso, podem prover um rápido
entendimento da situação. De modo geral, as tabelas não são tão intuitivas quanto os grá�cos quando há uma quantidade de variáveis
relativamente pequena, no entanto, quando a quantidade de informações a serem observadas é consideravelmente alta, as tabelas se tornam mais
práticas. 
As estruturas das tabelas possuem alguns itens que são um padrão, que tendem a se repetir em todos os tipos de tabela, são eles: título,
cabeçalho, corpo, linhas, colunas, coluna indicadora, casa (ou célula), rodapé, fonte e notas ou chamadas. 
O título deve dizer logo de cara sobre o que a tabela trata, onde ocorreu o fenômeno e quando aquilo foi medido. 
O cabeçalho deve conter a natureza do conteúdo tratado em cada coluna da tabela. 
O corpo é a região da tabela composta por colunas e linhas, onde as linhas são os dados em orientação horizontal e as colunas são os dados em
orientação vertical. 
A coluna indicadora é a porção vertical que discrimina o que são os dados lidos nas colunas numéricas. Essa indicação é muito importante para
facilitar a leitura dos dados. 
Uma casa, ou célula, é o cruzamento entre linhas e colunas que delimitam uma região onde haverá um dado medido. 
O rodapé, porção inferior ao �m da tabela, é a região utilizada para notas informativas e observações. 
A fonte, por sua vez, indica a origem dos dados. Indicar a fonte é fundamental, a �m de tornar aquela tabela crível, con�ável e evitar situações de
plágio. 
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
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Em alguns casos, faz-se necessário prover esclarecimentos adicionais, para isso adicionam-se notas, também conhecidas como chamadas, abaixo
da tabela, a �m de melhorar ainda mais a precisão das informações. 
O ideal é que a tabela fale por si mesma, tornando-se desnecessário consultar quaisquer outros textos. De preferência, tente colocar a tabela
orientada de maneira vertical inicialmente, no entanto, caso tente e isso não seja possível, somente orientá-la de modo horizontal. 
Através da organização de dados em tabelas, seguindo as diretrizes e boas práticas, é o primeiro e, talvez, mais importante passo na construção do
estudo de dados estatísticos. Sem uma organização precisa e con�ável, toda e qualquer análise de dados poderá se tornar imprecisa e
questionável. Quando trabalhamos com precisão e bons métodos, não há espaço para dúvidas e questionamentos. 
A organização de dados em tabelas e grá�cos é amplamente utilizada em todo o mundo e nas mais diversas áreas, da agricultura à aviação, da
nutrição à siderurgia, da medicina à engenharia. Todas as áreas do conhecimento humano se bene�ciam de dados con�áveis, organizados e
claramente ilustrados. 
Vamos Exercitar?
Grá�cos e tabelas estão presentes no cotidiano de, basicamente, pro�ssionais em todas as áreas. É bem verdade que cada área, a depender do tipo
de dado que pretende controlar e acompanhar, optará por uma ou outra forma de ilustração grá�ca ou, ainda, por uma tabela. 
Na área de gestão de negócios e até mesmo no controle da performance de atletas, o grá�co polar, ou grá�co radar, é muito utilizado por promover
uma rápida visualização comparativa entre um ou mais sujeitos avaliados em vários aspectos de modo simultâneo. Pode-se comparar o mesmo
sujeito em janelas de tempo diferentes, inclusive, a �m de identi�car melhora ou piora no desempenho dos indicadores avaliados. 
Imagine que você é gestor de uma indústria automobilística e precisa acompanhar diversos indicadores do negócio como um todo, bem como
indicadores de equipes e compará-los entre si. 
Como são muitos dados e você necessita de uma visualização rápida e prática acerca do(x) = –5x + 2  é crescente ou decrescente.
Atribuindo valores para x Valor de y Par ordenado
0 2 (0, 2)
1 - 3 (1, -3)
Figura 9 | Grá�co da função f (x) = –5x + 2. Fonte: elaborada pela autora.
Veja que a reta é decrescente, assim, a função é decrescente, e é possível indicar observando o coe�ciente de x: 
Exemplo 5: veri�que se a função 
Atribuindo valores para x Valor de y Par ordenado
0 1 (0, 1)
1  3 (1, 3)
f(x) = −5 + 2
f(0) = −5(0) + 2 → f(0) = 2
f(1) = −5(1) + 2 → f(−1) = −3
a = −5 → −5 0.
Exemplo 6: um funcionário de uma empresa de pequeno porte é responsável por controlar parte dos custos mensais da produção de peças. Para
esse cálculo, ele tinha as seguintes informações:
Custo �xo de R$ 5.000,00.
Custo de R$ 4,60/h pelo funcionamento das máquinas.
Qual seria o custo mensal da produção, sabendo que as máquinas funcionaram durante 240 horas nesse mês?
Comentário: observe que o custo tem uma parte �xa e outra que depende do número de horas do funcionamento das máquinas. Assim, o valor �nal
depende do número de horas, logo é possível escrever uma função. Coe�ciente: 4,60, termo independente: 5000.
Assim, o custo pode ser r representado pela função C (x) = 4,6x + 5000, em que C é o custo e x é a quantidade de horas que as máquinas �carão
ligadas.
Com essa função, o cálculo do custo mensal se dá pela substituição de x por 240:
Resposta: o custo será de R$ 6.104,00.
Construindo o grá�co:
Figura 11 | Grá�co da função: C (x) = 4,6x + 5000. Fonte: elaborada pela autora.
C(x) = 4, 6x + 5000 → C(240) = 4, 6(240) + 5000 → C(240) = 1104 + 5000 → C(240) = 6104
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No grá�co, é possível observar que a função se inicia no ponto B(0, 5000), e que o ponto A(240, 6104)  representa o valor do custo mensal quando
as máquinas permanecerem ligadas por 240 horas durante o mês, logo a função é crescente.
Vamos Exercitar?
Olá! Você colocará em prática o que estudou com exemplos em contextos de aplicação.
1. Uma concessionária paga para seus vendedores um salário composto da seguinte maneira: valor �xo de R$ 1.500,00 e mais um valor de R$
72,00 por hora extra trabalhada.
a) Escreva uma expressão que permita calcular o salário em função das horas extras.
Comentário: você tem uma relação em que o salário depende do número de horas extras. Logo, essa expressão é uma função.
Coe�ciente: 72    
Termo independente: 1500
b) Qual será o salário de um funcionário que cumpriu 15 horas extras no mês?
Comentário: para conhecer o salário, substituir o valor da variável x por 15:
Resposta: O salário do funcionário que cumprir 15 horas extras será de R$ 2.580,00.
c) No setor de recurso humanos, deve ser montada uma planilha do funcionário com o controle dos períodos trabalhados, contabilizando as horas
extras.
Comentário: para montar essa planilha, o setor de recursos humanos utiliza uma planilha eletrônica.
1. Escolha uma planilha eletrônica.
2. Nas colunas, nomeie cada uma com os dados que se precisa ter para o cálculo:
Mês – salário �xo – horas extras – valor horas extras – salário mensal total.
Bloco 1
Mês Salário �xo Quantidade de
horas extras
Valor das horas
extras
Janeiro 1.500,00 2  
Fevereiro 1.500,00 5  
Março 1.500,00 6  
Abril 1.500,00 12  
Maio 1.500,00 15  
Junho 1.500,00 4  
Julho 1.500,00 9  
Agosto 1.500,00 8  
Setembro 1.500,00 14  
Outubro 1.500,00 0  
Novembro 1.500,00 5  
Dezembro 1.500,00 8  
Bloco 2
Salário mensal total
 
 
 
 
f(x) = 72x + 1500
f(x) = 72x + 1500 → f(15) = 72 + 1500 → f(15) = 1080 + 1500 → f(15) = 2580
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Quadro 1 | Planilha - Parte 1. Fonte: elaborado pela autora.
3. Veja que, quanto ao valor das horas extras, foi inserida uma fórmula multiplicando (*) a quantidade de horas por R$ 72,00.
Bloco 1
Mês Salário �xo Quantidade de
horas extras
Valor das horas
extras
Janeiro 1.500,00 2 =(D2*72)
Fevereiro 1.500,00 5  
Março 1.500,00 6  
Abril 1.500,00 12  
Maio 1.500,00 15  
Junho 1.500,00 4  
Julho 1.500,00 9  
Bloco 2
Salário mensal total
 
 
 
 
 
 
 
Quadro 2 | Planilha - Parte 2. Fonte: elaborado pela autora.
4. Com a fórmula, é possível preencher toda a coluna das horas extras e, para o cálculo do valor total do salário, inserir outra fórmula (somando o
salário �xo e o valor das horas extras):
Bloco 1
Mês Salário �xo Quantidade de
horas extras
Valor das horas
extras
Janeiro 1.500,00 2 144,00
Fevereiro 1.500,00 5 360,00
Março 1.500,00 6 432,00
Abril 1.500,00 12 864,00
Maio 1.500,00 15 1.080,00
Junho 1.500,00 4 288,00
Julho 1.500,00 9 648,00
Agosto 1.500,00 8 576,00
Setembro 1.500,00 14 1.008,00
Outubro 1.500,00 0 0,00
Novembro 1.500,00 5 360,00
Dezembro 1.500,00 8 576,00
Bloco 2
Salário mensal total
=(1500+E2)
 
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Quadro 3 | Planilha - Parte 3. Fonte: elaborado pela autora.
Obtendo a planilha �nal:
Bloco 1
Mês Salário �xo Quantidade de
horas extras
Valor das horas
extras
Janeiro 1.500,00 2 144,00
Fevereiro 1.500,00 5 360,00
Março 1.500,00 6 432,00
Abril 1.500,00 12 864,00
Maio 1.500,00 15 1.080,00
Junho 1.500,00 4 288,00
Julho 1.500,00 9 648,00
Agosto 1.500,00 8 576,00
Setembro 1.500,00 14 1.008,00
Outubro 1.500,00 0 0,00
Novembro 1.500,00 5 360,00
Dezembro 1.500,00 8 576,00
Bloco 2
Salário mensal total
1.644,00
1.860,00
1.932,00
2.364,00
2.580,00
1.788,00
2.148,00
2.076,00
2.508,00
1.500,00
1.860,00
2.076,00
Quadro 4 | Planilha �nal. Fonte: elaborado pela autora.
Com essa planilha, é possível calcular os salários, alterando a quantidade de horas extras.
Se você observar, foram aplicadas partes da função do 1º grau na planilha para obter os resultados. Esse tipo de planilha é bastante útil em
situações em que a variável pode ser alterada para um grande número de casos.
5. Ao construir um grá�co da função do 1º grau, você pode usar outras informações importantes, como descobrir o ponto em que a reta intercepta
o eixo y e o eixo x do plano cartesiano.
f(x) = 8x + 24
Encontrar as coordenadas em que a reta intercepta os eixos x e y, dada a função .
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Comentário: para que a reta intercepte o eixo das abscissas (eixo x), a coordenada, obrigatoriamente, deve ter o seguinte formato: (a, 0).
Assim, em geral, temos que f(x) também é conhecido por y, então:
A coordenada será (-3, 0).
Para que a reta intercepte o eixo y, a coordenada deve ser (0, b). Então, substitui-se o valor de “x” por 0:
A coordenada será: (0, 24).
Com esses dois pontos, é possível construir o grá�co, sabendo que será uma reta.
Figura 16 | Grá�co da função f(x) = 8x + 24. Fonte: elaborada pela autora.
A função é crescente, e intercepta o eixo x no ponto (-3, 0) e no eixo y (0, 24).
Saiba mais
Os grá�cos podem ser construídos com recurso de execução grá�ca, como o Winplot. É um software de fácil utilização e que você poderá criar
grá�cos em 2D ou 3D.
8x + 24 = 08x = −24x = − 24
8 x = −3
f(x) = 8x + 24 → f(x) = 8(0) + 24 → f(x) = 24
https://winplot.br.download.it/
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PARA TÉCNICO
Referências
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos funções. 9. ed. São Paulo, SP: Atual, 2013.
PONTE, J. P. O conceito de função no Currículo de Matemática. Revista Educação e Matemática, Lisboa, v. 15, 1990. 
Aula 2
DIFERENÇA ENTRE EQUAÇÃO E FUNÇÃO DO 2º GRAU
Videoaula: Diferença entre equação e função do 2º grau
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Para aprofundarque acontece, optou por utilizar um grá�co do tipo polar
como ferramenta e acompanhamento. 
Você precisa acompanhar seis indicadores: 
a) Retrabalho: esse indicador mostra quanto trabalho precisou ser repetido para corrigir erros e produção naquele intervalo de tempo. 
b) Vendas: esse indicador ilustra quanto da meta de vendas foi atingida pelo time comercial naquele intervalo de tempo. 
c) Lucro: esse indicador ilustra quanto de lucro foi auferido pela empresa naquele intervalo de tempo, com base na meta prede�nida pela diretoria. 
d) Distribuição de lucros: esse indicador ilustra quanto do lucro foi distribuído a acionistas e funcionários naquele intervalo de tempo. 
e) Satisfação do cliente: esse indicador ilustra quão satisfeito o cliente está com questões como preço, prazo de entrega e qualidade do produto. 
f) Prazo de entrega: esse indicador ilustra quantas entregas foram realizadas dentro do prazo acordado. 
Segundo as medições, temos o seguinte quadro: 
Bloco 1
  1TRI 2TRI 3TRI
RETRABALHO 1 3 2
VENDAS 5 2 5
LUCRO 5 2 3
DISTRIBUIÇÃO DE LUCROS 4 1 2
SATISFAÇÃO DO CLIENTE 5 2 4
PRAZO DE ENTREGA 4 2 4
Bloco 2
4TRI
2
5
4
3
5
5
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Repare como, ao organizar esses dados tabelados em forma de grá�co polar, a visualização é mais assertiva e rápida. 
Figura 6 | Índice por trimestre em grá�co polar. Fonte: elaborada pelo autor. 
Um grá�co como esse nos ajuda a perceber, quase que instantaneamente, a sensibilidade de todos os indicadores para com o aumento ou a
diminuição do retrabalho. 
No 1TRI (primeiro trimestre), houve pouquíssimo retrabalho, boas vendas e, consequentemente, bons lucros, boa distribuição de lucros, bom prazo
de entrega e boa satisfação do cliente. 
Podemos observar claramente que o aumento de retrabalho observado no 2TRI (segundo trimestre) impactou negativamente todas as outras
áreas, colocando uma atenção especial a esse tipo de indicador. Com esse grá�co, �ca fácil perceber a importância de baixo retrabalho para se
obter outros bons indicadores. 
No 3TRI (terceiro trimestre), uma pequena queda no retrabalho do trimestre anterior foi su�ciente para potencializar todos os outros campos. 
Já no 4TRI (quarto trimestre), manteve-se o nível de retrabalho do trimestre anterior e houve ganho de performance em outros quatro indicadores, o
que foi positivo. 
Tão importante quanto saber colher dados con�áveis e desenhar corretamente um tipo de grá�co, é entender a dinâmica dos dados estudados.
Qual a melhor forma de visualizá-los? Qual a maneira mais e�ciente de ilustrá-los, a �m de potencializar uma boa tomada de decisão? 
Grá�cos e tabelas são instrumentos cientí�cos e gerenciais, e dominar seu uso é essencial ao bom exercício de sua pro�ssão, independentemente
de qual seja e em qual setor atue.
Saiba mais
Criar grá�cos e tabelas com os dados obtidos em suas pesquisas e observações é fundamental. Uma boa ferramenta para construção de grá�cos
é o Microsoft Excel. Leia Criar um grá�co do início ao �m, explicativo de como criar um grá�co em Microsoft Excel do início ao �m.
Referências
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022. 
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023. 
https://support.microsoft.com/pt-br/office/criar-um-gr%C3%A1fico-do-in%C3%ADcio-ao-fim-0baf399e-dd61-4e18-8a73-b3fd5d5680c2
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
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PARA TÉCNICO
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
Aula 3
CONCEITOS DE PROBABILIDADE
Videoaula: Conceitos de probabilidade
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Estudante, no vídeo desta aula, iremos abordar os conceitos sobre probabilidade e suas principais aplicações. Esse conteúdo é fundamental em
nosso dia a dia, mas também em contextos pro�ssionais. O conteúdo desta videoaula dará suporte a suas tomadas de decisões, bem como o
ajudará a identi�car padrões e frequência de eventos.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Entender como alguns fenômenos ocorrem é de extrema importância para melhorarmos processos e �uxos. Além disso,
compreender a frequência com que determinados eventos podem ocorrer nos ajuda a tomar decisões mais assertivas e mais e�cientes. Essas
determinações podem trazer diversos benefícios para nossas empresas, serviços e estudos. O aprendizado acerca da probabilidade permitirá
determinar possibilidades de ocorrências para diversos eventos, como, por exemplo, a probabilidade de certo veículo apresentar uma falha ou
algum problema após determinado tempo de uso. Sendo assim, podemos evitar que problemas ocorram em nosso ambiente de trabalho,
diminuindo pausas para consertos ou até mesmo acidentes. Então, vamos começar?
Vamos Começar!
Quando falamos em Probabilidade, estamos falando de uma categoria de estudos que tem como objeto acontecimentos não previsíveis,
sequências aleatórias e não determinísticas.
Diariamente, temos contato com situações em que a Probabilidade faz seu papel através de estudos, provendo possibilidades de desfechos
futuros, sempre com uma margem de erro implícita. Como são estudos com certo grau de aleatoriedade, não é possível ter absoluta precisão,
como em um cálculo de engenharia.
Previsões do tempo, pesquisas de opinião pública, pesquisas eleitorais, projeções do avanço de doenças e muitos outros estudos são exemplos de
situações cotidianas em que existe a presença dos conceitos de Probabilidade em aplicação. Em todos esses exemplos, a incerteza é um fator
presente, o que equivale a dizer que são situações nas quais os estudos podem ser repetidos em condições idênticas e há a possibilidade de
respostas diferentes, não sendo possível determinar qual será o resultado.
Qual a chance de chover na Praia de Itamambuca, em Ubatuba (SP), no último �nal de semana do ano? Você pode seguir o caminho subjetivo e
estimar as possibilidades, ou ainda pode se basear nas medições meteorológicas registradas dos últimos cinquenta anos. Ainda assim, haverá
incerteza, pois não se pode prever o futuro.
Para começar a entender como se pensa de modo probabilístico, imagine um dado. Ele tem seis faces, portanto, seis possibilidades de resultados
a cada jogada. Qual a chance de obter uma face par após uma jogada?
Entenda que o conjunto de possibilidades é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Como você procura uma face par, seja qual for, o conjunto de possibilidades favoráveis é: F = {2, 4, 6}  .
A Teoria da Probabilidade é pautada na estabilidade da frequência relativa após um número X de repetições de um experimento. Essa estabilidade,
próxima a um limite, é base dessa teoria. Portanto, considerando que seu dado não é viciado, a probabilidade de obter uma face par, seja ela qual
for, em um lançamento, é:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
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PARA TÉCNICO
Portanto:
O conjunto de resultados possíveis ao se lançar o dado (S) é o nosso espaço amostral. Qualquer subconjunto do espaço amostral, conjunto de
possíveis resultados aleatórios do experimento, será chamado de evento. Um evento impossível é um conjunto vazio, já um evento certo seráidêntico ao espaço amostral.
Os eventos podem apresentar: união, intersecção ou complementariedade. Imagine uma situação de tempo ensolarado (evento A) e uma situação
de tempo chuvoso (evento B). Quando há união, o evento ocorre se, e somente se, A ocorre, B ocorre ou ambos ocorrem simultaneamente. Quando
há intersecção, o evento ocorre se, e somente se, ocorrer em A e B simultaneamente. Já quando é um evento complementar, o evento ocorre se, e
somente se, A, por exemplo, não ocorrer.
É importante colocar que um espaço amostral pode ser �nito ou in�nito.
Siga em Frente...
O espaço amostral, ou conjunto amostral, como mencionamos, é o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. Podemos
classi�cá-lo de algumas formas, tomando por base seus elementos.
Um espaço amostral pode ser:
a) Finito: há um número determinado de elementos, por exemplo, o lançamento de um dado, em que há seis faces, portanto seis possibilidades.
b) In�nito: há um número indeterminado de elementos, podendo ser enumerável ou não enumerável.
Entender o espaço amostral perpassa por entender a situação do problema. Por exemplo, ao lançar dois dados perfeitos, sem vícios, qual a
probabilidade de a soma de ambas as faces resultar em 6?
Para resolver uma questão como essa, é preciso enxergar o seu espaço amostral, bem como os eventos possíveis.
Como são dois dados e cada dado pode retornar seis faces, temos um espaço amostral de combinações possível de seis em um dado e seis no
outro dado, o que resulta em 6 x 6 = 36 possibilidades de combinação.
No entanto, uma combinação como 1 e 1 não resulta em soma 6. Portanto, o próximo passo é delimitar quais as possíveis combinações resultam
em soma 6. Temos: {(1,5) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,2) ; (5,1)}. Há cinco combinações de resultados entre ambos os dados cuja soma resulta em 6.
Portanto, a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados perfeitos, obtermos uma combinação de faces cuja soma resulte em 6 é:
Agora, imagine que você deseja dividir o número 60 por um número real positivo, escolhido ao acaso, que também seja um número primo, cujo
resultado da divisão seja também um número inteiro. Qual a chance?
O primeiro passo é determinar o conjunto de divisores reais positivos e inteiros do número 60. Temos: 
P(f) = N(f)
N(s)
P(f)
N(f)
N(s)
P(f) = 3
6 = 0,50
N(f)
{(1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)}
N(s)
6 × 6 = 36
P(f) = 5
36 = 0,138888 = 13,88%
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PARA TÉCNICO
Mas, e quando temos mais de uma condição no estudo? Imagine que dentro de uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15, sequencialmente,
sem pular nenhum número nesse intervalo. Todas possuem a mesma chance de serem retiradas da urna. Qual a probabilidade de se retirar da urna
uma bola que seja um número par ou primo?
Há sete possibilidades de números pares entre 1 e 15.
Há seis possibilidades de números primos entre 1 e 15.
Existe apenas um número par e primo entre 1 e 15.
A fórmula para cálculo da união de eventos é dada pela expressão:
Onde:
Portanto:
Vamos Exercitar?
Você já ouviu falar sobre jogos de apostas com grandes prêmios? Já parou para pensar qual a probabilidade de ganhar um prêmio como esse?
Tomando como exemplo a Mega-Sena, jogo que consiste em um espaço amostral de 60 números, enumerados de 1 a 60, sequencialmente, em que
é permitido realizar apostas entre seis e quinze números, sem a possibilidade de o mesmo número ser escolhido duas vezes no mesmo sorteio.
Adivinha? Uma aposta de seis números é muito mais barata que uma aposta com quinze números. O motivo? Com mais números jogados, as suas
chances aumentam muito.
É possível ganhar prêmios acertando quatro ou cinco números, no entanto, neste estudo, consideraremos apenas o prêmio máximo, em que é
necessário acertar seis números.
Imagine que você realizou uma aposta única de seis números. Quais são as suas chances?
Precisaremos realizar uma Combinação Simples para resolver este problema. Isso consiste em uma divisão entre o fatorial do espaço amostral
completo dividido pelo fatorial do espaço amostral, excluindo-se o que foi selecionado para a aposta.
Importante: fatorial é representado pelo símbolo de exclamação (!) e signi�ca multiplicar aquele número por todos os seus antecessores. Por
exemplo: 
A fórmula da Combinação Simples é:
{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
{(1,3,5)}
P(f) = N(f)
N(s) = 3
12 = 0,25 = 25%
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B)
P(A)
P(B)
P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 7
15 + 6
15 − 1
15 = 0,80 = 80%
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Onde:
Portanto:
Portanto, a chance de ganhar a Mega-Sena com uma única aposta de seis números é de 1 em 50.063.860. Em porcentual, seria:
É uma pequena chance. Mas, e se você �zer um jogo de dez números?
Você pode pensar que o cálculo seria equivalente ao de uma aposta com seis números, porém isso é incorreto. Como a quantidade de números
que pode ser jogada (10) é maior que a quantidade de números que será sorteada (6), é preciso encontrar uma equivalência.
Pensaremos assim: quantas jogadas diferentes consigo fazer com dez números, sendo que cada jogada eu usarei seis números. Assim,
precisamos agrupar os dez números em conjunto de seis números cada. Para isso, usaremos a fórmula da combinação novamente.
Quantas apostas únicas de seis números equivalem a uma aposta única de dez números?
Pois bem:
Ou seja, é possível realizar 210 combinações diferentes de apostas de seis números com apenas uma única aposta de dez números. Se com uma
única aposta de seis números a chance é de 1 em 50.063.860, com uma aposta de dez números (que equivale a 210 possibilidades de apostas
com seis números), teremos chance de 210 em 50.063.860. Ou, simpli�cando essa relação, chance de 1 em 238.399.
Isso equivale a:
Uma chance 210 vezes maior de ganhar o sorteio! Logo, a cartela com dez números será mais cara que a cartela com seis números, dado esse
aumento expressivo de probabilidade de vencer.
Pense nisso quando for participar de um bolão! 
Saiba mais
Caso deseje se aprofundar nos estudos probabilísticos, deixo aqui a sugestão de um excelente conteúdo da Universidade Estadual de Londrina
(UEL).
Referências
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
C(m, p) = m!
(m−p)!p!
m
p
C(60,6) = 60!
(60−6)!6! = 50.063.860
P1 = 1
50.063.860 = 0,00000002 = 0,000002%
C(6,10) = 10!
(10−6)!10! = 210
P2 = 1
238.399 = 0,000004195 = 0,0004195%
http://www.uel.br/projetos/matessencial/basico/medio/combinat.html
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Aula 4
APLICAÇÕES DE PROBABILIDADE
Videoaula: Aplicações de Probabilidade
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Estudante, no vídeo desta aula, iremos aprofundar alguns aspectos importantes sobre probabilidade, métodos, conjuntosamostrais, como
interpretá-los e suas principais aplicações. A determinação desses parâmetros permitirá que suas conclusões sobre determinados eventos possam
ser embasadas teoricamente e darão suporte para melhorias e aperfeiçoamento de técnicas e ações no mercado de trabalho.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Saber determinar a probabilidade de eventos acontecerem é algo fundamental dentro do ambiente de trabalho. Porém, vale destacar
que para tornar essas determinações mais seguras, precisamos conhecer as variáveis envolvidas, bem como determinar corretamente conjuntos e
outros elementos. Além disso, o acesso a dados deve ser tratado com extremo cuidado para não gerar interpretações erradas, bem como garantir
privacidade e segurança. Ao longo desta aula, entenderemos alguns critérios para planejar a seleção dos dados, bem como parâmetros para
veri�car o desvio padrão dos valores e dados adquiridos. Dedique-se ao conteúdo desta aula!
Vamos Começar!
Existem inúmeras situações em que é possível aplicar os conceitos de Probabilidade, tanto para o entendimento de uma situação quanto para
propor uma solução e�ciente. A gama de possibilidades é tamanha que seria impossível enumerar todas as situações em que a Probabilidade
desempenha seu papel. No entanto, podemos citar: mercado �nanceiro, modulações numéricas em engenharia, farmácia, informação, tecnologia,
computação e tantas outras.
Algoritmos de redes sociais, hoje, são capazes de estimar qual conteúdo, dentro do seu per�l, possui maior probabilidade de atrair sua atenção e
gerar uma interação.
Quando falamos em tratamento de informação, automaticamente relacionamos a coleta de dados. A �nalidade de qualquer estudo é gerar dados,
informações que podem nortear tomadas de decisão em outros processos. Por exemplo: estudar a probabilidade de retorno em duas ou mais
alternativas de investimento poderá ser o norte para que você decida por correr o risco ou optar por preservar seu capital. Um investidor, ao analisar
a possibilidade de investimento em uma empresa, por exemplo, procurará enxergar a probabilidade de seu investimento ter retorno em uma dada
janela de tempo. De posse dessa estimativa, ele tomará a decisão de seguir ou não com o investimento.
Você está planejando trocar de celular. Frente a isso, procura o melhor custo e benefício que também apresente a con�abilidade necessária. Sabe-
se que um dado modelo apresenta uma certa quantidade de falhas a cada mil itens produzidos. Dentro desse cenário, munido com esses dados,
analisando essa probabilidade, você decide se realiza a compra deste modelo ou de algum outro.
Possuir dados, no nosso atual mundo, é possuir poder de decisão. Possuir bons dados, com tratamento adequado, ordenados de um modo que
faça sentido, no entanto, representa muito mais que poder de decisão, representa a probabilidade de tomar uma boa decisão. Tomar uma boa
decisão pode ser a diferença entre um investimento muito bom e a falência da sua empresa, pode ser a diferença entre um futuro tranquilo ou
conturbado.
A linha entre o estudo da Probabilidade e da Estatística é tênue. Muitos as confundem, no entanto, não são concorrentes entre si, mas, sim,
complementares áreas de conhecimento. A Probabilidade é o estudo matemático que visa quanti�car a aleatoriedade e lançar alguma
previsibilidade à imprevisibilidade da natureza. Já a Estatística é a ciência da coleta, da descrição, do estudo e da análise de dados, a �m de
promover entendimento acerca de fenômenos, naturais ou não, que também possuem algum grau de imprevisibilidade.
Quando falamos em lançar previsibilidade sobre algo que seja imprevisível, estamos falando de diminuição do grau de incerteza sobre uma tomada
de decisão. Isso vale ouro na mão dos responsáveis pela decisão! Uma decisão tomada com um menor grau de imprevisibilidade permite que você
se prepare de antemão caso algo dê errado e, com isso, consiga contingenciar o dano e maximizar suas chances de sucesso. Isso vale para,
basicamente, todas as áreas de conhecimento da humanidade.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Siga em Frente...
Como você já deve ter percebido, os dados têm papel fundamental em qualquer tomada de decisão. Não somente garantir a qualidade e e�cácia de
sua medição, como também ordená-los de modo correto é fundamental para o sucesso da análise e, consequentemente, da decisão tomada.
A Estatística con�gura-se como um conjunto de técnicas que são úteis para a tomada de decisão sobre um processo. Esse processo pode ser
fabril ou até mesmo populacional, como no caso de eleições. Uma vez de posse dessa amostra de dados, a Estatística proverá uma coleção de
métodos que auxiliarão a planejar experimentos e levantamento de dados e ajudarão a organizar, analisar, estudar, interpretar e resumir o que foi
medido. Deste modo, podemos dizer que a Estatística produz conhecimento através do estudo de dados.
No estudo de um espaço amostral de dados, por vezes, durante o ordenamento dos dados, teremos uniões e intersecções, que naturalmente
impactarão a interpretação dos dados.
Um matemático inglês, chamado John Venn, criou uma forma grá�ca de visualização das uniões e intersecções que facilita muito o estudo dos
dados amostrais e deixa tudo mais prático. Chamado de Diagrama de Venn, essa ferramenta consegue resumir linhas e linhas de texto em apenas
uma imagem.
Por exemplo, imagine que você está medindo o nível de preferência por sorvetes em três grupos: Sorvete A, Sorvete B e Sorvete C. De um universo
total de 30 pessoas entrevistadas, existem:
Três indivíduos que aprovam apenas o Sorvete A.
Três indivíduos que aprovam apenas o Sorvete B.
Dois indivíduos que aprovam apenas o Sorvete C.
Sete indivíduos que aprovam os Sorvetes A e B e desaprovam o Sorvete C.
Dois indivíduos que aprovam os Sorvetes A e C e desaprovam o Sorvete B.
Três indivíduos que aprovam os Sorvetes B e C e desaprovam o Sorvete A.
Dez indivíduos que aprovam os Sorvetes A, B e C simultaneamente.
Essa forma de anotação, por mais que seja precisa, não é prática o su�ciente para o dia a dia, não é visual. Se, ao invés da forma textual,
expressássemos essas preferências de maneira grá�ca, através de um Diagrama de Venn, é nítido o aumento de agilidade na interpretação dos
dados:
Figura 1 | Diagrama de Venn. Fonte: elaborada pelo autor.
Muito mais tranquilo, não? Linhas e linhas de texto resumidas em um diagrama simples, rápido e preciso.
Podemos dizer que existem várias intersecções neste estudo, por exemplo, nos casos dos dez indivíduos que aprovam os sorvetes A, B e C
simultaneamente, podemos expressar isso da seguinte forma: 
O símbolo “
A ∩ B ∩ C
∩
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
De modo similar, podemos dizer que existe uma diferença no caso dos sete indivíduos que aprovam os sorvetes A e B e desaprovam o Sorvete C,
podendo isso ser expresso de modo escrito: 
No caso dos três indivíduos que aprovam apenas o Sorvete A: 
Vamos Exercitar?
Imagine que você é treinador de corredores de alta performance. Existem cinco zonas em que os treinos de seus atletas podem ocorrer: Z1, Z2, Z3,
Z4 e Z5.
A zona Z1 corresponde à chamada “zona de manutenção”, onde a frequência cardíaca deve se manter entre 50% e 60% da frequência cardíaca
máxima (FCmáx).
A zona Z2 corresponde à chamada “zona lipolítica”, onde a frequência cardíaca �ca entre 60% e 70% da frequência cardíaca máxima. Além disso,
sabe-se que nessa zona ocorre maior queima de gordura.
A zona Z3 corresponde à chamada “zona de limiar aeróbia”, onde a frequência cardíaca �ca entre 70% e 80% da frequência cardíaca máxima e é
onde há bom fortalecimento cardíaco e ótimos resultados para o sistema respiratório. Os treinamentos nessa zona visam aumentar a resistência
física.
Já a Z4 é a famosa “zona mista”, onde a frequência cardíaca �ca entre 80% e 90% da frequência cardíaca máxima. Nesta zona, há intenso ganho de
circulação de oxigênio e desenvolvimento de resistência ao ácido lático.
E, por �m, a Z5 é a “zona de esforço máximo”, onde afrequência cardíaca �ca entre 90% e 100% da frequência cardíaca máxima. Essa zona é
utilizada por atletas de explosão, levantadores de peso e corredores de curta distância.
Quão mais intensa é a zona de treino, maior o desgaste muscular que se obtém da atividade e, consequentemente, maiores as chances de uma
lesão.
É sabido que, ao planejar os treinos de seus atletas, você não deseja forçá-los demais, pois há competições próximas. Sendo assim, de posse
desses conhecimentos, realizou a medição da frequência cardíaca máxima em seus três atletas, em cinco dias diferentes, obtendo o seguinte
quadro:
Bloco 1
Frequência cardíaca dos atletas
ATLETA DIA 1 DIA 2 DIA 3
A 180 182 179
B 175 175 171
C 190 193 190
Bloco 2
Frequência cardíaca dos atletas
DIA 4 DIA 5 MÉDIA FCmáx
185 184 182
180 179 176
193 189 191
Quadro 1 | Frequência cardíaca dos atletas. Fonte: elaborado pelo autor.
Os dados de FCmáx medidos estão expressos em bpm (batidas por minuto).
De posse desses dados e se utilizando da média dos resultados obtidos, você preparará os treinos de seus atletas de modo que o Desvio Padrão de
seus treinos respeite 80% do tempo em Z3. O Desvio Padrão é um parâmetro utilizado para indicar a variação de um conjunto, medir sua
homogeneidade. Para distinguir médias entre si, criou-se a ideia de Desvio Padrão, que serve para dizer o quanto os valores que originaram a média
são próximos ou distantes da própria média. O cálculo do Desvio Padrão é realizado da seguinte forma:
Sendo:
A ∩ B − C
A − B − C
DP = √∑n
i=1
(xi−Ma)²
n
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
O cálculo do Desvio Padrão para o atleta A �caria:
Quanto o DPa corresponde em relação à média do atleta A?
O 
Fazendo o mesmo raciocínio para todos:
ATLETA
MÉDIA
Fcmáx DP FCmáx
DP Fcmáx
%
A 182 2,28 1,25%
B 176 3,22 1,83%
C 191 1,67 0,88%
Sabe-se que a Z3 corresponde de 70% a 80% da FCmáx, portanto esses treinos para o atleta A ocorrerão entre 127,40 bpm e 145,60 bpm. Dado o
Desvio Padrão de 2,28 bpm, existirá margem de erro de 125,12 bpm até 147,88 bpm. Portanto, após de�nidos esses parâmetros, torna-se possível
realizar o planejamento para que, em 80% dos treinos do atleta A, a frequência cardíaca média da atividade �que entre 125,12 bpm e 147,88 bpm, a
�m de maximizar seu desempenho e melhorar sua e�ciência. 
Saiba mais
Existem muitas ferramentas para a construção de grá�cos e diagramas. Para a construção do Diagrama de Venn, uma ferramenta muito simples e
prática.
Referências
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
Aula 5
Encerramento da Unidade
Videoaula de Encerramento
∑
(i = 1)
xi
Ma
n
DPa = √ (180−182)2+(182−182)2+(179−182)2+(185−182)2+(184−182)²
5 = 2,28
DPFcmáx% = 2,28
182 = 0,0125
DPa
https://www.lucidchart.com/pages/pt/o-que-e-um-diagrama-de-venn
https://www.lucidchart.com/pages/pt/o-que-e-um-diagrama-de-venn
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
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PARA TÉCNICO
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Neste vídeo, serão apresentados os principais conceitos abordados na unidade: média, moda, mediana, probabilidade, conjuntos, espaço amostral
e estatística, os quais são componentes fundamentais para o seu processo de aprendizagem técnico durante a preparação para a vida prática.
Uma vez assimilados, esses conceitos caminharão lado a lado com o desenvolvimento da sua carreira.
Ponto de Chegada
Olá, estudante! Nesta unidade, você viu que decisões são tomadas com base em dados. Raciocínios de Probabilidade e Estatística estão presentes
em, basicamente, todas as áreas do conhecimento humano.
Diariamente, fazemos, mesmo que de modo inconsciente, observações acerca dos fenômenos que presenciamos. Esses fenômenos geram dados,
os quais são fonte de muitas informações relevantes sobre o fenômeno observado. Professores observam alunos, analistas observam mercados
de bolsa de valores, cientistas observam experimentos, astrônomos observam galáxias, treinadores observam atletas. Os dados podem advir de
situações espontâneas ou de experimentos premeditados.
Diversas áreas do conhecimento se apoiam nos estudos estatísticos para sua tomada de decisão, por exemplo: Indústria Farmacêutica, Psicologia,
Economia, Agricultura, Medicina, Informática etc.
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados �cam a
cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
O estudo da Estatística é justi�cável, pois a natureza apresenta variabilidade. Um indivíduo apresenta diferenças em relação a outro indivíduo, e um
mesmo indivíduo pode apresentar variações em períodos de tempo distintos. Um dos papéis da Estatística é ajudar a minimizar essa variabilidade,
aumentando a previsibilidade dos resultados.
O Método Estatístico descritivo se pauta em cinco passos:
1. Coleta de dados: coleta de informações relevantes predeterminadas acerca das variáveis estudadas. Essa coleta pode ser contínua, periódica
ou esporádica.
2. Crítica dos dados: é a fase de procura por erros nos dados coletados. Toda a análise se pautará nos dados coletados, portanto estes
precisam estar corretos e serem con�áveis.
3. Apuração dos dados: uma vez coletados e validados, é necessário tabular as informações coletadas.
4. Exposição ou apresentação dos dados: da mesma forma que o melhor livro do mundo não será relevante para você caso esteja escrito em
um idioma que não domine, os dados precisam ser apresentados de modo fácil e prático, para facilitar seu entendimento.
5. Análise dos resultados: o porquê da realização de uma análise estatística é a tomada de decisão após conclusões. Portanto, é importante que
os resultados sejam avaliados e seja rati�cado que fazem sentido antes de tomar a decisão.
A organização de modo sintetizado dos dados coletados permite a localização mais rápida e assertiva dos valores em uma dada distribuição. Essa
organização, normalmente, é feita através de tabelas e grá�cos.
As tendências centrais estudam os fenômenos observando seus valores médios e ajudando muito no processo de sintetização e organização dos
dados coletados. Existem três principais tendências centrais: Média, Mediana e Moda.
a) Média: quando há dados distribuídos com aproximada simetria, sem valores extremos, devemos escolher a Média, pois essa medida possui
propriedades matemáticas mais fortes e é muito usada para estimar a média da população quando se faz inferências, por exemplo. Além disso, é
fácil de ser calculada e é a mais popular dentre essas medidas.
b) Mediana: quando há valores discrepantes no conjunto de dados, devemos preferir a Mediana, pois ela não se afeta quando há valores extremos,
podendo, assim, prover bom nível de con�abilidade ao cálculo.
c) Moda: é a única medida de tendência central que podemos obter. Além disso, quando queremos evidenciar o valor que mais apareceu (serepetiu) em um conjunto de dados, também usamos a Moda.
Quando falamos em Estatística e estudo de dados de um modo geral, torna-se imperativo ordená-los e representá-los da maneira mais clara,
objetiva e concisa possível. Isso não somente facilita a interpretação e observação mas também aumenta a con�abilidade da leitura e dos
resultados obtidos.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
A apresentação de dados de modo grá�co é muito praticada, pois oferece uma visão rápida acerca dos dados e muito mais intuitiva que outras
formas de representação. Grá�cos tornam a apresentação dos dados de modo muito legível e interessante. Dependendo do tamanho da tabela,
algumas informações podem passar despercebidas, o que se torna menos provável quando a apresentação é em forma de grá�co.
É Hora de Praticar!
Olá, estudante! Neste estudo de caso, você experimentará uma situação real.
Imagine que você é Engenheiro de Qualidade de Processo em uma empresa fabricante de eixos de caminhão. Sua função é garantir que os eixos,
tanto em seu diâmetro quanto em seu comprimento, saiam conforme as especi�cações de projeto. Isso é necessário, pois, em toda montagem
mecânica, haverá uma tolerância de medidas aceita em projeto, prevista, mas que precisa se manter dentro dessa margem, a �m de garantir bom
funcionamento e segurança operacional.
É sabido que todas as máquinas avaliadas apresentam alguma folga em suas articulações, o que promoverá uma certa alteração de medidas entre
a peça antecessora e a próxima a ser fabricada. Isso já é, inclusive, previsto em projeto. Existe uma tolerância aceitável tanto no diâmetro quanto
no comprimento.
A empresa está realizando testes para aquisição de uma nova máquina de usinagem de eixo com três marcas diferentes (A, B e C), e você é o
encarregado por avaliar qual das três marcas é mais aderente às necessidades da empresa. Essa função é de grande responsabilidade, pois, a
partir da sua orientação, será tomada a decisão de compra pela marca A, B ou C e, consequentemente, o sucesso futuro da operação e a e�ciência
da produção dependerão pesadamente disso. Portanto, torna-se necessário que você conduza um estudo estatístico desse processo.
Em cada uma das marcas, você realizou cinco usinagens, obtendo as seguintes medições de diâmetro de eixo, todas em milímetros:
MARCA PEÇA 1 PEÇA 2 PEÇA 3 PEÇA 4 PEÇA 5
A 50 49 50 50 50
B 49 49 50 50 50
C 50 51 50 51 50
A medida nominal desejada é Ø50 mm, com tolerância exigida de até ± 0,41 mm.
Pede-se: qual é o Desvio Padrão de cada uma das marcas e, baseado nisso, qual delas tende a melhor atender aos requisitos de fabricação?
Neste estudo de caso, é esperado que você entenda os conceitos de Estatística e aplique-os em uma situação de tomada de decisão real. Dica: a
melhor marca será aquela que apresentar a menor probabilidade de variação da peça produzida em relação à média aritmética dos testes.
Olá, estudante, chegamos ao encerramento da unidade!
Vamos realizar a experiência presencial que irá consolidar os conhecimentos adquiridos? É a oportunidade perfeita para aplicar, na prática, o que
foi aprendido em sua disciplina. Vamos transformar teoria em vivência e tornar esta etapa ainda mais signi�cativa. Não perca essa chance única de
colocar em prática o conhecimento adquirido.
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Fonte: elaborada pelo autor.
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
,
Unidade 4
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 1
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Videoaula: Fundamentos de Matemática Financeira
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os
vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, no vídeo desta aula, falaremos sobre os princípios da matemática �nanceira e suas principais aplicações. Essa ferramenta é importante
para diversas áreas pro�ssionais e até mesmo para contextos pessoais de nossas vidas. Portanto, assista ao vídeo e aproveite esta oportunidade
para enriquecer o seu aprendizado.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Nesta aula, você vai aprender como a matemática pode ser aplicada no contexto �nanceiro e administrativo e como ela pode ajudá-
lo a tomar decisões mais racionais e e�cientes sobre dinheiro e negócios. Portanto, este estudo objetiva contribuir para que você esteja preparado
a utilizar conceitos e métodos da matemática �nanceira para resolver problemas e otimizar soluções. Além de ler com atenção este conteúdo e
assistir ao vídeo desta aula, será preciso treino para que você se destaque como pro�ssional.
Vamos Começar!
Desde pequenos, estudamos, nos preparamos, buscamos conhecimento, a �m de conseguirmos um bom emprego e gerarmos uma boa renda. As
empresas abrem todos os dias suas portas, vão às ruas para venderem seus produtos e serviços e, com isso, gerarem um bom faturamento. Tanto
na esfera pessoal quanto na empresarial, o ideal é que exista uma sobra de capital após quitadas todas as obrigações de pagamento, no entanto
pouco ou nada é ensinado ao longo de nossa jornada sobre como entender a forma que o dinheiro trabalha.
Tanto a nível pessoal quanto a nível empresarial, a Matemática Financeira é uma ferramenta poderosíssima para a tomada de decisão e a
consequente maximização dos resultados de seus projetos. Entender como o dinheiro trabalha fará com que você enxergue as coisas de outro
jeito.
A Matemática Financeira é o estudo do comportamento do dinheiro no tempo. A premissa fundamental é entender que o mesmo capital em datas
diferentes apresentará valores diferentes. Tanto o valor absoluto, nominal daquele montante, quanto o valor de poder aquisitivo serão distintos do
que se tinha na data inicial.
Quando falamos em capital entrando e saindo em datas distintas de um mesmo bolso, de um mesmo “caixa”, estamos automaticamente falando
em �uxo de caixa. A tomada de decisão racional sobre o �uxo de caixa é muito importante para a perenidade do negócio e para a tomada de boas
decisões.
A representação grá�ca de um �uxo de caixa dá-se por uma linha horizontal, que representa o eixo “tempo”, e por setas verticais, as quais, quando
apontadas para cima, representam entrada de capital e, quando apontadas para baixo, representam saída de capital daquele caixa.
Exemplo:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
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Figura 1 | Representação grá�ca. Fonte: elaborada pelo autor.
Na Figura 1, na qual está representado o �uxo de caixa, podemos entender que, no início do período, havia caixa, ou seja, capital disponível. No
período 1, houve uma retirada “C1”; no período 2, uma retirada “C2”. Nos períodos 3, 4 e 6, houve retiradas também. Já no período 5, além de uma
retirada de capital “C5”, houve uma entrada de capital “FC5”, bem como no último período, quando houve somente uma entrada de capital “FC7”.
Basicamente, todas as operações �nanceiras, como �nanciamentos, empréstimos e investimentos,são norteadas por dois valores principais: o
capital inicial e o capital futuro. Quando se toma um empréstimo, é necessário saber qual o valor se necessita e quanto deverá ser devolvido. Quem
já passou por essa situação sabe que o valor a ser devolvido é maior que o valor tomado inicialmente no empréstimo. Esse acréscimo ocorre
porque quem cedeu o capital automaticamente perde as chances de poder utilizá-lo durante aquele período, o que representa um risco. Esse risco
será recompensado com esse acréscimo de capital na data futura de pagamento, denominado juros. Podemos, então, de�nir juros como o preço
cobrado pelo credor (quem empresta o dinheiro) ao tomador (quem toma o dinheiro emprestado) pela utilização de seu capital. O valor inicialmente
tomado é o capital inicial, e o valor futuro a ser retornado é chamado de montante.
O juro devido é expresso, na maioria das vezes, em forma de taxa percentual. O principal exemplo de taxa de juros no Brasil é a SELIC (Sistema
Especial de Liquidação e Custódia), que é de�nida pelo Banco Central do Brasil. A SELIC é chama de taxa básica de juros da economia brasileira.
Siga em Frente...
Como mencionado, o juro devido em um empréstimo ou �nanciamento, ou mesmo o juro a ser recebido em um investimento, costuma ser expresso
em forma de taxa percentual. Quando falamos em juro a ser recebido após um investimento, é comum utilizar o termo “taxa de rentabilidade”, que é
uma expressão equivalente.
A taxa de juros nada mais é que o montante percentual acrescido ao capital inicial no momento de seu pagamento futuro. Portanto, podemos
expressar essa relação da seguinte forma:
Onde:
 
Imagine que você emprestou R$ 100,00 a um colega, que promete te pagar R$ 150,00 depois de seis meses.
O juros nominal será de R$ 50,00, no entanto a taxa de juros será:
O juro a ser recebido é de R$ 50,00, o que representa uma taxa de juros de 50%. No entanto, somente essa resposta está incompleta.
Como a matemática �nanceira pauta seu estudo no comportamento do dinheiro no tempo, falta expressar a unidade tempo nessa resposta. Neste
caso, podemos dizer que a taxa de juros foi de 50% a.p. (ao período) ou, como se trata de seis meses, que a taxa de juros foi de 50% a.s. (ao
i = J
PV
i
J
PV
i = J
PV
= 50
100 = 0,50 = 50%
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semestre).
Agora, pense na relação de juros que acabamos de ilustrar:
É lógico inferir que o valor futuro que deve ser pago ou recebido será o resultado da soma do valor presente e dos juros do período. Portanto, é
correto expressar que:
Se tanto na equação 1 quanto na equação 2 isolarmos o termo J e realizarmos essa igualdade, podemos dizer que:
Logo:
Portanto, podemos dizer matematicamente que o Valor Futuro (FV) será o resultado do Valor Presente (PV) acrescido do juro (1 + i). O juro
expresso na forma de (1 + i) é também conhecido como Fator de Capitalização.
Imagine que uma empresa pediu empréstimo de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros de 15% ao período (a.p.). Qual será o valor montante (valor
futuro) que deve ser pago ao �nal do período?
Portanto, incorrerá um incremento de R$ 1.500,00 de juros ao capital inicial de R$ 10.000,00, culminando em um valor montante futuro de
pagamento de R$ 11.500,00 ao �nal do período.
No caso de investimentos, muitas vezes, sabemos de antemão a taxa de rentabilidade ao período. Portanto, imagine que exista um produto de
investimento que gere renda �xa de 5% ao período. Se você planeja que esse investimento te devolva R$ 7.250,00 ao �nal do período (valor futuro),
quanto precisa aplicar hoje (valor presente) para isso?
Aplicando-se R$ 6.904,76 a uma taxa de 5% ao período, o montante futuro a ser resgatado desse investimento serão os R$ 7.250,00 desejados.
 
Vamos Exercitar?
Toda empresa deve ser responsável pelas suas próprias �nanças. Planejar �nanceiramente desembolsos de caixa e saber as datas de entrada de
capital é fundamental para manter o negócio saudável e, inclusive, para evitar inadimplência.
Imagine que você trabalha no setor �nanceiro de uma empresa de calçados. Vocês iniciaram o período com caixa e, no início do segundo mês do
período, �zeram uma grande compra a prazo, parcelada em cinco vezes e, no mês seguinte ao da compra, uma grande venda, também parcelada
em cinco vezes.
As parcelas, tanto de recebimento quanto de pagamento, serão �xas ao longo do período todo, no entanto o capital previamente disponível em
caixa sofrerá uma correção monetária de 3% ao período.
Enxergar como isso se “desenha” em uma operação é muito importante para evitar �car inadimplente e sofrer com essa inadimplência, como
também para entender de antemão, ao longo do caminho, se existe capacidade �nanceira para aportes em outros projetos, se existe necessidade
de empréstimos e a�ns.
Primeiramente, desconsideraremos outros gatos e custos nesse �uxo de caixa, para �ns didáticos. Consideremos que o dinheiro para pagamento
das parcelas da compra efetuada vem de outras fontes, e não do caixa inicial.
O primeiro passo é desenhar o problema:
J = PV ⋅ i
FV = PV + J
PV ⋅ i = FV − PV
FV = PV ⋅ (1 + i)
FV = PV ⋅ (1 + i)
FV = 10000 ⋅ (1 + 15
100 ) = 10000 ⋅ (1,15) = R$11.500,00
FV = PV ⋅ (1 + i)
PV = FV
(1+i) = 7250
(1+0,05) = 7250
1,05 = R$6.904,76
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Figura 2 | Representação grá�ca. Fonte: elaborada pelo autor.
O total da compra foi de R$ 100.000,00, que, em cinco parcelas iguais, são R$ 20.000,00 cada.
O total da venda foi de 200.000,00, que, em cinco parcelas iguais, são R$ 40.000,00 cada.
O caixa inicial era de R$ 500.000,00, e será corrigido à taxa de 3% ao período.
Portanto, sabemos que:
Caixa = R$ 500.000,00
Qual é o montante ao �nal do período?
Para �car mais fácil a visualização, substituiremos o milhar pela letra “k” (R$ 20.000,00 será representado por 20k) e simpli�caremos o desenho
desse �uxo:
Figura 3 | Representação grá�ca. Fonte: elaborada pelo autor.
Agora as coisas começam a �car mais claras. As setas (os �uxos de capital) que se encontram no mesmo intervalo podem e devem ser
simpli�cadas entre si. Lembrando que a diferença entre entrada (positivo) e saída (negativo), gra�camente, se expressa no sentido que a seta
aponta. Setas apontando para cima representam entrada de capital, e setas apontando para baixo representam saída de capital.
C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = R$20.000,00
V 1 = V 2 = V 3 = V 4 = V 5 = R$40.000,00
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Figura 4 | Representação grá�ca. Fonte: elaborada pela autor.
Podemos concluir que o montante relativo às parcelas de compra e venda será de:
Já para o capital em caixa, será necessário efetuar a correção monetária com a taxa de juros de 3% ao período.
O montante total será a soma do capital em caixa corrigido com o resultado das entradas e saídas de capital.
Portanto, ao �nal desse período, sua empresa terá R$ 615.000,00 de capital disponível. 
Saiba mais
A Matemática Financeira entrega, ao seu cotidiano pessoal e pro�ssional, muita clareza e segurança no momento de tomar decisões. Se você
conhecer a calculadora mais adequada para essa �nalidade, isso �ca ainda mais natural. A HP12C é a calculadora mais utilizada para cálculos
�nanceiros no mundo. Você pode comprar uma calculadora física ou se aproveitar de simuladores gratuitos on-line.
Referências
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf.Acesso em: 7 jan. 2023.
Aula 2
FÓRMULAS E OPERAÇÕES
Videoaula: Fórmulas e operações
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os
vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, no vídeo desta aula, falaremos sobre as operações �nanceiras, o mercado de operações �nanceiras e as aplicações práticas disso tudo.
Você já deve ter ouvido em seu cotidiano sobre juros, taxas, empréstimos, investimentos e a�ns. Por isso, a importância de compreendê-los. Ao
adquirir esse conhecimento você saberá como lidar com esses assuntos tanto em sua vida pessoal quanto pro�ssional.  
Ponto de Partida
Olá, estudante! Nesta aula, aprenderemos sobre operações �nanceiras, análise de mercado e controle �nanceiro. Quando falamos em operações
com juros e a�ns, estamos falando de um tipo de conhecimento aplicável à maioria das situações pessoais e pro�ssionais e dos setores de uma
empresa. As grandes decisões empresariais giram em torno do entendimento de juros e de suas aplicações. Para que você adquira a competência
M1 = −20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 40 = 100k
M2 = PV ⋅ (1 + i) = 500 ⋅ (1 + 0,03) = 500 ⋅ (1,03) = 515
M = 100 + 515 = 615k
https://simulado.estacio.br/img/Hp/
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
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necessária para participar de decisões como essa, concentre-se no conteúdo desta aula e busque exercitar o conhecimento adquirido, a �m de �xá-
lo e se preparar para o mercado de trabalho.
Vamos Começar!
Falar em “operações �nanceiras”, basicamente, pode englobar toda movimentação de capital de um indivíduo A para um indivíduo B, sejam estes
indivíduos pessoas físicas ou jurídicas.
Como vimos, toda movimentação de capital no tempo carregará consigo um prêmio de risco, ou seja, um bônus para quem aceitou o risco
envolvido em renunciar ao seu capital por um período de tempo e cedê-lo a outra pessoa, com promessa de pagamento futuro com correção.
A esse prêmio de risco, essa correção, chamamos juros. Existem algumas nomenclaturas possíveis para juros e devemos tê-las claras em nossas
mentes antes de entendermos sobre alguma operação �nanceira.
Dizemos que uma taxa de juros é efetiva quando sua unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo em que acontece a
capitalização dos juros. Por exemplo, uma operação com taxa de juros de 10% a.a. (ao ano), em que a capitalização (incidência dos juros) é anual, é
uma taxa de juros efetiva.
Já uma taxa de juros nominal é assim chamada quando a unidade de tempo em que está expressa não coincide com o período que a capitalização
ocorre. Isso é muito comum quando avaliamos ativos de renda �xa para investimentos. Por exemplo, imagine que um investimento tem
rentabilidade (juros que serão recebidos) de 12% a.a. (ao ano), no entanto a capitalização (incidência dos juros) ocorre mensalmente, ou até
mesmo diariamente. Neste exemplo, os 12% a.a. representam uma taxa de juros nominal.
Na economia mundial, de um modo geral, existe um fenômeno �nanceiro muito importante de ser compreendido. A formação de preços de
produtos e serviços dentro de uma economia de mercado (sistema capitalista) se dá pelo encontro de compradores e vendedores que, ao
concordarem mutuamente com um valor em comum, realizam o fechamento de negócio daquele produto ou serviço.
Basicamente, a Lei da Oferta e da Procura estipula, resumidamente, que quanto maior a quantidade de compradores para um bem ou serviço,
mantendo-se constante a oferta desse bem ou serviço, maior tende a ser seu preço de venda. Analogamente, quanto maior a quantidade de
vendedores (ofertantes) de um bem ou serviço, mantendo-se constante a procura dos compradores, menor tende a ser o preço desse bem ou
serviço.
Provavelmente, você já observou que, com alguma regularidade, os preços de bens e serviços disponíveis no mercado se alteram. Na maioria dos
casos, os preços sobem. Esse aumento nos preços sem que haja necessariamente um aumento proporcionalmente equivalente da receita da
população tende a consumir uma quantidade maior de recursos dos indivíduos ao adquirir o mesmo bem ou serviço. Ao passar do tempo, quando
o preço dos bens ou serviços sobem, mas nossa receita não sobe na mesma proporção, temos nosso poder aquisitivo (poder de compra)
diminuído. A essa diminuição do poder de compra chamamos in�ação.
Ao realizarmos um investimento, por exemplo, é importante entender quanto, de fato, isso está nos enriquecendo, quanto estamos ganhando em
termos de poder aquisitivo e quanto estamos ganhando acima da in�ação, ou seja, nossa taxa de juros real.
Siga em Frente...
Quando realizamos um investimento, por exemplo, temos claramente colocado, na maioria dos casos, a taxa de juros nominal esperada de retorno.
É necessário estimar a taxa de juros real que pode ser obtida desse investimento, pois a in�ação do período ainda acontecerá, ainda será medida,
logo é desconhecida no instante inicial. Do ponto de vista de quem adquire o ativo de investimento, a forma de retorno é clara. Todavia, como se
torna vantajoso para quem aceita tomar o dinheiro do investidor em troca de uma obrigação futura de pagamento em uma operação �nanceira
assim?
A resposta é quase intuitiva: o tomador do capital irá utilizá-lo em algum projeto ou atividade que proporcionará uma remuneração superior à
remuneração que ele deve entregar ao investidor. É basicamente com esse raciocínio que os bancos fazem dinheiro em suas operações
�nanceiras.
Um banco nada mais é que um terceiro de con�ança. Você julga mais seguro deixar sua riqueza guardada no banco do que “embaixo do colchão”
ou em um cofre no seu quarto, certo? Você e muitas outras pessoas, dentro de uma economia, se utilizam dos bancos para armazenar o capital
que você batalhou para poupar. No entanto, nem todos os clientes de um banco são poupadores, algumas pessoas gastam mais do que ganham e
precisam realizar empréstimos. Outras desejam adquirir um bem, por exemplo, um imóvel, cujo valor total para uma compra à vista ainda não
possuem e recorrem a um �nanciamento.
O banco se utilizará do crédito de capital dos poupadores e o disponibilizará aos de�citários (clientes que, ao invés de terem capital sobrando,
necessitam tomar dinheiro emprestado), e é lógico que isso não é de graça. Os bancos cobrarão juros por capital disponibilizado em empréstimos
e �nanciamentos. Juros esses muito superiores àqueles que remunerarão os clientes superavitários (que guardam dinheiro em aplicações de
investimento) em seus investimentos. A diferença entre esses juros? É o lucro da operação �nanceira do banco.
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Imagine rapidamente que você deseja comprar um imóvel de que gostou muito, no entanto ainda não possui todo o capital necessário para adquiri-
lo à vista. Você consulta seu banco para que ele avalie seu per�l de crédito, isto é, se você realmente tem per�l de um bom pagador e se oferece
risco de dar calote ou não. O banco conclui que seu per�l de risco é aceitável e concede o �nanciamento, ou seja, ele faz o pagamento à vista ao
vendedor do imóvel e você �ca com uma dívida com o banco, que pode ser paga de algumas maneiras, em várias parcelas que cabem no seu
orçamento mensal. Isso é uma operação de alavancagem �nanceira, ou seja, você acaba de aumentar o seu patrimônio adquirindo o imóvel, sem
se descapitalizar por completo. Se isso faz ou não sentido, dependerá de alguns fatores, inclusive, das taxas de juros nominais praticadas pelo
banco na operação de �nanciamento.
Vamos Exercitar?
Como um banco funciona e ganha dinheiro através dos juros está resumidamente explicado, mas, e você? Como você pode fazer o dinheiro
trabalhar a seu favore se bene�ciar de juros?
Imagine que você trabalha regularmente, tem as �nanças saudáveis e mantém seus custos inferiores à sua renda. Você decide que vai investir esse
capital excedente. Ao pesquisar, entende que existem duas categorias de investimentos possíveis: renda �xa e renda variável.
A renda variável é composta, basicamente, por ações de empresas com capital aberto. Ações são a menor fração de propriedade de uma
companhia e, quando negociadas em bolsa de valores, dizem serem companhias de capital aberto. Isso o atraiu, porém, como é seu primeiro passo
para além do ato de gerar poupança, você �cou atento ao fato de, nessa categoria, ser impossível de prever, sequer estimar, o rendimento de
qualquer investimento, pois isso está diretamente vinculado à capacidade da empresa de gerar lucro, o que é totalmente imprevisível.
Seguindo seus estudos, descobriu que, na renda �xa, existem três formas de�nidas em que um investidor é remunerado: pre�xado, pós-�xado ou
híbrido.
Na opção de pre�xado, você já sabe exatamente a taxa de juros que receberá no período do investimento e pode fazer previsões exatas. Por
exemplo: um investimento de capital inicial R$ 1.000,00 a taxa de juros pre�xada de 15% a.a. por um ano gerará R$ 150,00 de rendimentos.
Na opção de pós-�xado, você já sabe exatamente qual percentual relativo a uma taxa você receberá. Para �ns de aproximação, utilizaremos a
SELIC (taxa básica de juros do Brasil) como referência. Portanto, ao veri�car na corretora de seu banco, encontrou um ativo de renda �xa pós-�xado
que o remunerará 120% da SELIC no período. Imagine que o capital inicial seja de R$ 1.000,00 e que, após esse um ano de investimento, a SELIC
manteve-se constante em 10%. Qual foi o rendimento?
O valor de R$ 100,00 foi o juros entregue pela SELIC, no entanto o seu ativo especi�camente entrega 120% do que a SELIC rentabilizar nesse
período, portanto:
Assim, seu investimento entregou R$ 120,00 de juros, totalizando um montante de R$ 1.120,00 ao �nal do período avaliado,
Por �m, em seus estudos, você descobriu que, na categoria de renda �xa, também existem ativos que remuneram de modo híbrido, sendo uma
parcela pre�xada e uma parcela pós-�xada. Descobriu também que, nessa classe de investimentos, é comum a rentabilidade acima da in�ação,
pois a maioria dos ativos apresenta “IPCA + taxa pre�xada”, sendo possível garantir a previsibilidade de aumento de poder aquisitivo. O IPCA é o
Índice de Preços ao Consumidor Amplo, medido pelo Instituto Brasileiro de Geogra�a e Estatística (IBGE), e é um dos principais índices de medição
da in�ação no Brasil. Você, com os mesmos R$ 1.000,00 iniciais, encontrou um papel de renda �xa híbrido que remunera IPCA+5% ao ano. Após o
período de um ano, o IPCA apurado foi de 7%, portanto a rentabilidade total desse ativo foi de 7% + 5% = 12%.
Este ativo gerou R$ 120,00 de juros no período a seu favor, garantindo um aumento de poder de compra frente ao IPCA de 5% no período. 
Saiba mais
Grande parte do sucesso na aplicação prática do cotidiano envolvendo a Matemática Financeira se consegue utilizando a HP12C, uma das
ferramentas mais utilizadas no mundo para esse tipo de cálculo. Agilidade e precisão são fundamentais. Conheça essa calculadora e acostume-se
a utilizá-la, pois ela facilitará muito suas atividades. Você pode comprar uma calculadora física ou se aproveitar de simuladores gratuitos on-line.
Acesse também o manual completo de utilização da calculadora.
Referências
FV = PV ⋅ (1 + i) = 1000 ⋅ (1 + 0,10) = 1.100,00
FV = 100 ⋅ (1,20) = 120
FV = PV ⋅ (1 + i) = 1000 ⋅ (1 + 0,12) = 1.120,00
https://simulado.estacio.br/img/Hp/
http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf
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BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
Aula 3
JUROS SIMPLES
Videoaula: Juros simples
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os
vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, no vídeo desta aula, falaremos sobre juros simples e mercado de juros, trazendo aplicações práticas. Esperamos que, ao �nal dessa
explicação, você esteja apto a dominar os conceitos e os cálculos de juros simples e que, além disso, consiga tomar decisões mais conscientes e
inteligentes sobre o dinheiro.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Chegou o momento em que você aprenderá sobre juros simples, taxas equivalentes e parcelamento e descontos. Dominar cálculos
que envolvem juros simples dará a você condições para tomar decisões relativas a �nanças tanto no contexto pessoal quanto pro�ssional, visto
que a matemática �nanceira está presente em diversas situações do dia a dia. Ao longo do aprendizado proposto nesta aula, você será convidado a
exercitar o que aprendeu. Isso contribuirá para que você assimile os conhecimentos expostos nesta aula. E lembre-se: todos podem aprender
conceitos sobre matemática �nanceira, sejam eles quais forem, do mais básico ao mais complexo.
Vamos Começar!
Como vimos, juros são uma maneira de remunerar alguém que se expõe a um risco �nanceiro. Ele pode jogar a seu favor ou contra você. Ao tomar
um empréstimo ou realizar um �nanciamento, o capital do credor (quem te deu o dinheiro) está em risco, portanto ele merece um prêmio, chamado
juros. Para o credor, é positivo, porém, para o tomador (quem tomou o dinheiro), isso signi�ca adquirir uma dívida com alguém. Já não é tão
positivo assim.
O mercado permite que esse capital sofra correção por juros de algumas maneiras. Nesta aula, focaremos nossos estudos na capitalização por
juros simples.
No Sistema Financeiro Nacional, a capitalização por juros simples ocorre quase que somente em operações de empréstimo de prazo muito curto,
normalmente, menor que um mês. Cheques especiais, crédito rotativo, operações em moeda estrangeira, duplicatas e notas promissórias são
outros exemplos de operações �nanceiras que se utilizam do regime de capitalização por juros simples.
No regime de capitalização por juros simples, a incidência dos juros se dá pela multiplicação da taxa sempre pelo valor inicial do capital. Sendo
assim, o valor dos juros é constante em todo o intervalo da operação. Podemos expressar esse conceito de maneira matemática da seguinte
forma:
Onde:
Js = PV ⋅ i ⋅ n
Js
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
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Isso serve para calcular o valor dos juros no período. Para se obter o montante �nal capitalizado em juros simples, basta somar o valor obtido dos
juros ao capital inicial, ou ainda, utilizar-se do seguinte conceito:
Por exemplo, imagine que você emprestou um capital de R$ 1.000,00 a seu amigo por seis meses e �cou combinado que ele te remuneraria a juros
de capitalização simples uma taxa de 1% ao mês. Qual o valor �nal que será recebido?
O Valor Futuro a ser pago por seu amigo a você, em regime de capitalização simples, após os seis meses, será de R$ 1.060,00, ou seja, juros
simples totalizando R$ 60,00de acréscimo.
Na evolução de preços por regime de capitalização em juros simples, o grá�co é uma reta:
Figura 1 | Grá�co – reta. Fonte: elaborada pelo autor.
O inverso também é verdadeiro. Conseguimos determinar o valor que foi investido inicialmente ao �nal de um período de capitalização composta
utilizando exatamente o mesmo conceito. Por exemplo, imagine que, ao �nal de um período de regime com capitalização composta, o valor total
apurado seja de R$ 500,00. Sabendo que a taxa de juros aplicada foi de 1% ao mês e o período de capitalização foi de quatro meses, o valor
inicialmente aplicado foi de:
O valor inicialmente alocado nesta capitalização composta foi de R$ 480,77.
Siga em Frente...
No dia a dia, na prática, por vezes, precisaremos realizar cotações em mais de uma instituição �nanceira, a �m de selecionar o local que apresente
a operação mais vantajosa, onde seja possível adquirir o que se precisa da maneira menos custosa possível.
Somente conseguimos efetuar uma comparação válida entre duas coisas se houver uma base comum. No mercado �nanceiro, dizemos que é
necessário estudar as taxas equivalentes, com o objetivo de determinar qual a melhor opção. Por equivalente, entende-se taxas que, quando
aplicadas ao mesmo montante inicial, independentemente da janela de tempo avaliada, culminam em um mesmo resultado �nal para aquela janela.
No mercado de juros com capitalização simples, as taxas equivalentes são as expressões das taxas de juros proporcionais apresentadas ao
período avaliado. Por exemplo, imagine que você está avaliando a tomada de um empréstimo. O banco A te oferece, em regime de capitalização
simples, juros de 12% ao ano, enquanto o banco B, também em regime de capitalização simples, oferece a você um empréstimo com taxa de juros
de 1% ao mês. Já o banco C, igualmente em regime de capitalização de juros simples, apresenta taxa de 6% ao semestre.
PV
i
n
FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n)
FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n) = 1000 ⋅ (1 + 0,01 ⋅ 6) = 1000 ⋅ (1 + 0,06) = 1000 ⋅ (1,06) = 1060
FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n)
500 = PV ⋅ (1 + 0,01 ⋅ 4)
PV = 480,77
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Qual delas é a taxa mais interessante? Qualquer uma, pois são todas equivalentes. No regime de capitalização composta, mencionar 12% ao ano é
equivalente a dizer 1% ao mês (pois um ano tem doze meses), ou 6% ao semestre (pois um ano tem dois semestres).
Agora, imagine que você está avaliando um empréstimo de capital. Ao cotar o banco A, ele te oferece um empréstimo a uma taxa de 2% ao mês em
regime de capitalização simples. Já o banco B te oferece um empréstimo a uma taxa de 11% ao semestre. Por qual se deve optar? Lembrando que,
ao avaliarmos a tomada de um empréstimo, como se adquire uma obrigação futura de pagamento, o ideal é selecionar a menor taxa de juros
possível, a �m de pagar o mínimo de juros.
Para realizar a comparação entre o banco A e o banco B, precisamos equalizar o período de ambas as taxas. Ou extrapolamos a taxa mensal e a
tornamos semestral, ou reduzimos a taxa semestral a uma taxa mensal. Ambos os caminhos devem guiar para a mesma conclusão.
Banco A: taxa de 2% ao mês em regime de capitalização de juros simples.
Para torná-la uma taxa semestral: iA = 2% . 6 (meses) = 12% a.s. (ao semestre)
Portanto, conclui-se que a taxa do banco B, de 11% a.s., é mais atrativa para seguir com a operação.
Realizando o inverso:
Banco B: taxa de 11% ao semestre em regime de capitalização de juros simples.
Para torná-la uma taxa mensal: iB = 11% / 6 (meses) = 1,83% a.m. (ao mês)
A taxa do banco B segue sendo mais vantajosa, por, mesmo mensalmente, ser inferior à taxa do banco A.
Portanto, tanto reduzindo uma taxa dada em um período maior para um período menor quanto maximizando uma taxa de um período menor para
um período maior, a decisão tomada será a mesma.
Vamos Exercitar?
Na maioria dos casos, o pagamento à vista de um bem ou serviço vem acompanhado de um desconto. Esse desconto pode ou não valer a pena,
dependerá de seu valor. Para entender se o desconto faz ou não sentido para o pagamento à vista, é preciso entender a dinâmica de juros em
situações de descontos e parcelamentos para tomada da melhor decisão.
Imagine que você é dono de uma empresa fabricante de sorvetes de diversos sabores. Tanto suas vendas quanto suas compras são, em sua
maioria, parceladas. Você também, sempre que pode, solicita descontos aos fornecedores.
Sua empresa está, atualmente, com compromissos a pagar na ordem de R$ 5.000,00 e R$ 2.000,00, cujos vencimentos acontecerão de hoje a dois
e cinco meses, respectivamente.
Após analisar o seu �uxo de caixa, você decide solicitar ao banco credor que troque ambas as parcelas por vencimentos equivalentes em sete e
nove meses, respectivamente. Sabendo-se que esse banco credor lhe cobrará uma taxa linear de 15% a.m. (ao mês) e que as obrigações terão
valores iguais entre si, qual deve ser o valor único de cobrança?
Como as obrigações devem ter valores iguais, é correto igualar os Valores Presentes de ambos os pagamentos, a �m de resolver a questão.
Portanto, para “rolar” esse pagamento em duas vezes iguais, será necessário realizar dois pagamentos de R$ 4.556,65, conforme as condições
descritas, considerando regime de capitalização por juros simples.
Agora, imagine que, ao invés de duas parcelas iguais, você desejasse rolar essa dívida para daqui a treze meses, com a mesma taxa de juros com
capitalização simples de 15% a.m. (ao mês), em uma única parcela. Como �caria essa situação?
Portanto, nessas condições, postergando o pagamento em uma única vez, essa parcela teria o valor de R$ 14.717,58.
PV 1 = PV 2
5000
(1+0,15.2) + 2000
(1+0,15.5) = FV
(1+0,15.7) + FV
(1+0,15.9)
FV = 4556,65
5000
(1+0,15.2) + 2000
(1+0,15.5) = FV
(1+0,15.13)
FV = 14717,58
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Imagine também que sua empresa possui capital em caixa e você deseja investir esse capital em dois pedaços, de modo planejado, para que, no
vencimento, daqui a 18 meses, ambos apresentem o mesmo valor �nal. Você aplica, na mesma ocasião, R$ 2.000,00 a juros de 4% a.a. (ao ano) e
R$ 1.250,00 a juros de 8% a.a. (ao ano). Após que prazo, em meses, ambos os investimentos terão valores montantes iguais?
Sabemos que:
Consideramos agora que o valor futuro do segundo montante será igual ao Valor Futuro do primeiro montante e, assim, calculamos o prazo em que
isso ocorre:
 
Onde:
Retomando:
Logo: 
Saiba mais
Se você quer dominar a Matemática Financeira e realizar cálculos �nanceiros com agilidade e precisão, precisará da ferramenta adequada. A
HP12C é a calculadora mais utilizada para cálculos �nanceiros no mundo, todos os pro�ssionais da área reconhecem e utilizam-se dela. Você pode
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http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf
Referências
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
FV 1 = PV 1 ⋅ (1 + i1 ⋅ n1)
n1
i1
PV 1
FV 1 = 2000 ⋅ (1 + 0,0033 ⋅ 18) = 2118,80
FV 1 = FV 2
2118,80 = 1250 ⋅ (1 + i2 ⋅ n2)
i2
2118,80 = 1250 ⋅ (1 + 0,0067 ⋅ n2)
n2 = 103,73
n2 = 103,73
https://simulado.estacio.br/img/Hp/http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Aula 4
JUROS COMPOSTOS
Videoaula: Juros compostos
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vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, no vídeo desta aula, falaremos sobre juros compostos, que é o modelo de capitalização principal com o qual o mercado �nanceiro
trabalha para corrigir o capital, tanto em empréstimos quanto em investimentos. Por isso, compreender esse conceito é muito importante para que
você se diferencie no mercado de trabalho.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Agora, vamos aprender sobre os juros compostos. Eles são usados, em geral, para rentabilizar um capital, como no caso dos
investimentos, nos quais o investidor recebe juros sobre o dinheiro investido. Mas eles também podem ser aplicados em situações de
endividamento, em que o devedor paga juros sobre o valor que deve. Nesta aula, você vai aprender o que são juros compostos, como calcular e
aplicar essa ferramenta �nanceira em situações do dia a dia. Recorde-se de que o aprendizado proposto neste conteúdo requer treino, assim, você
estará mais bem preparado para lidar com diversas situações que envolvam os juros compostos.
Vamos Começar!
Como vimos, juros são uma maneira de remunerar alguém que se expõe a um risco �nanceiro. Ele pode jogar a seu favor ou contra você. Ao tomar
um empréstimo ou realizar um �nanciamento, o capital do credor (quem te deu o dinheiro) está em risco, portanto ele merece um prêmio, chamado
juros. Para o credor é positivo, porém, para o tomador (quem tomou o dinheiro), isso signi�ca adquirir uma dívida com alguém. Já não é tão positivo
assim.
O mercado permite que esse capital sofra correção por juros de algumas maneiras. Nesta aula, focaremos nossos estudos na capitalização por
juros compostos.
No Sistema Financeiro Nacional, a capitalização por juros compostos ocorre, basicamente, em todas as operações �nanceiras com prazo superior
a um mês e na capitalização de investimentos.
No regime de capitalização por juros compostos, a incidência dos juros se dá pela multiplicação da taxa sempre pelo valor �nal do último período
de capitalização. Sendo assim, o valor dos juros é crescente em todos os intervalos da operação.
O montante ao �nal de uma capitalização composta será exponencial, uma vez que em todos os intervalos ocorrerá o acréscimo de juros ao valor
�nal do último período, por esse motivo costuma-se chamar de “juros sobre juros”. Podemos expressar esse conceito de maneira matemática da
seguinte forma:
Por exemplo, imagine que você emprestou um capital de R$ 1.000,00 a seu amigo por seis meses e �cou combinado que ele te remuneraria, a juros
de capitalização composta, uma taxa de 1% ao mês. Qual o valor �nal que será recebido?
O Valor Futuro a ser pago por seu amigo a você, em regime de capitalização composta, após os seis meses, será de R$ 1.061,52, ou seja, juros
compostos totalizando R$ 61,52 de acréscimo.
Na aula anterior, �zemos esse mesmo exemplo considerando capitalização simples. Em relação à capitalização simples, a capitalização composta
apresenta aumento de R$ 1,52 de juros. À primeira vista, pode não parecer muito, mas isso é equivalente a 2,53% de aumento no valor devido, o que
não é pouca coisa.
Na evolução de preços por regime de capitalização em juros compostos, o grá�co é uma curva:
FV = PV ⋅ (1 + i)n
FV = PV ⋅ (1 + i)n = 1000 ⋅ (1 + 0,01)6 = 1000 ⋅ (1,01)6 = 1061,52
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PARA TÉCNICO
Figura 1 | Juros compostos. Fonte: elaborada pelo autor.
O inverso também é verdadeiro. Conseguimos determinar o valor que foi investido inicialmente ao �nal de um período de capitalização composta
utilizando exatamente o mesmo conceito. Por exemplo, imagine que, ao �nal de um período de regime com capitalização composta, o valor total
apurado seja de R$ 500,00. Sabendo que a taxa de juros aplicada foi de 1% ao mês e o período de capitalização foi de quatro meses, o valor
inicialmente aplicado foi de:
O valor inicialmente alocado nesta capitalização composta foi de R$ 480,49.
Siga em Frente...
No dia a dia, na prática, por vezes, precisaremos realizar cotações em mais de uma instituição �nanceira, a �m de selecionar o local que apresente
a operação mais vantajosa, onde seja possível adquirir o que se precisa da maneira menos custosa possível.
Somente conseguimos efetuar uma comparação válida entre duas coisas se houver uma base comum. No mercado �nanceiro, dizemos que é
necessário estudar as taxas equivalentes, com objetivo de determinar qual a melhor opção. Por equivalente, entende-se taxas que, quando
aplicadas ao mesmo montante inicial, independentemente da janela de tempo avaliada, culminam em um mesmo resultado �nal para aquela janela.
No mercado de juros com capitalização composta, as taxas equivalentes não serão as expressões das taxas de juros proporcionais. Precisaremos
tirar a relação entre os períodos e, como os períodos na capitalização composta não são multiplicadores, mas, sim, expoentes, isso não pode ser
feito simplesmente por uma divisão, como na relação de juros simples.
Devemos realizar a equivalência de taxa de juros compostos da seguinte forma:
Onde:
Por exemplo, imagine que você está avaliando a tomada de um empréstimo. O banco A te oferece, em regime de capitalização composta, juros de
12% ao ano, enquanto o banco B, também em regime de capitalização composta, oferece a você um empréstimo com taxa de juros de 1% ao mês.
Já o banco C, igualmente em regime de capitalização de juros composta, apresenta taxa de 6% ao semestre.
FV = PV ⋅ (1 + i)n
500 = PV ⋅ (1 + 0, 01)4
PV = 480,49
iz = (1 + in)
z
n
iz
in
z
n
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PARA TÉCNICO
Qual delas é a taxa mais interessante? Precisamos calcular para saber, pois são todas equivalentes. No regime de capitalização composta,
mencionar 12% ao ano não é equivalente a dizer 1% ao mês.
Banco A:
Como estamos falando em taxa percentual, para realizar cálculos como esse, precisamos, primeiro, transformar em fator (somar 1). Uma vez
encontrado o fator, precisamos subtrair 1 e multiplicar por 100 para encontrar o percentual. Portanto:
Essa pequena diferença de resultado em comparação com a capitalização simples faz toda a diferença.
Continuando, analisaremos os bancos B e C, a �m de de�nir qual deles é o mais interessante para nosso exemplo:
Banco B:
Banco C:
Podemos concluir que o banco A é o mais vantajoso a ser escolhido. Repare como o tipo de capitalização pode in�uenciar uma decisão. Se
estivéssemos falando em capitalização simples, as opções seriam equivalentes entre si. Já se tratando de capitalização composta, a �gura é
completamente diferente. Essa diferença também será sensível ao analisarmos investimentos e endividamentos em capitalização composta.
 
Vamos Exercitar?
No Brasil e na maioria dos países, ativos de investimento tanto de renda �xa quanto de renda variável apresentam capitalização por sistema de
juros compostos. A “magia” dos juros sobre juros pode e deve ser usada a favor da construção do seu patrimônio pessoal, bem como utilizado
como um potencializador de capital para empresas. Uma das principais razões para empresas existirem é a realização de lucros e, uma vez
obtidos, cuidar bem desse capital é muito importante. Também, é importante ter em mente que os juros compostos são a forma como as dívidas
se capitalizam, o que pode causar problemas de endividamento a empresas e famílias, caso movimentos �nanceiros não sejam bem planejados.
Imagine que você se tornou diretor �nanceiro da companhia em que atua,seus conhecimentos, neste vídeo, você poderá acompanhar as resoluções das equações e funções do 2º grau, além de
compreender como é possível aplicar esses conceitos em problemas reais. Nessa conversa, você conhecerá muito mais sobre essas funções e
outras propriedades importantes que podem contribuir para a tomada de decisões em situações contextualizadas. 
Ponto de Partida
Olá, estudante! Você estudará sobre as equações do 2º grau, sendo uma expressão algébrica relacionada à igualdade, e as funções do 2º grau, que
têm como característica uma relação de dependência entre duas variáveis.
Com esses conhecimentos, você modelará problemas de otimização e os resolverá algebricamente, compreendendo as relações de dependência e
aplicando em situações práticas do cotidiano. Isso contribuirá para otimizar questões práticas do mundo do trabalho.
Bons estudos! 
Vamos Começar!
Olá! Neste momento, você estudará sobre os conceitos de:
Equação do 2º grau.
Função do 2º grau.
Grá�co da função do 2º grau.
 
Equação do 2º grau
A equação do 2º grau é uma sentença matemática que estabelece uma relação de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos,
representada sob a forma: ax2 + bx + c = 0. 
Essa equação apresenta uma incógnita de expoente 2, ou de grau 2, sendo a, b e c números reais, com a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x
representa o valor desconhecido, chamado de incógnita.
---
Atenção
a é um número real e será sempre o coe�ciente de x².
ax2 + bx + c = 0
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
b é um número real e será sempre o coe�ciente de x.
---
Exemplo 1: a igualdade 3x2 – 5x + 1 = 0  é uma equação de 2º grau, pois o expoente da incógnita x é igual a 2, ou podemos dizer de grau 2.
Figura 1 | Equação do 2º grau. Fonte: elaborada pela autora.
São exemplos de equações do 2º grau:
Equação Coe�ciente “a” Coe�ciente “b” Termo independente
“c”
10 -3 1
  4 2
  4 0 0
-8 0 5
  6 3 0
As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas, mas atente-se que, pela de�nição, devemos ter sempre a ≠ 0 .
1. Quando 
Exemplo: 
2. Quando 
Exemplo: 
3. Quando 
Exemplo: 
4. Quando 
10x2 − 3x + 1 = 0
7
4 x
2 + 4x + 2 = 0 7
4
4x2 = 0
−8x2 + 5 = 0
6x2 + 3x = 0
b ≠ 0
c ≠ 0
2x2 + 6x − 7 = 0
b  ≠  0
c = 0
3x2 + 5x = 0
b  =  0
c ≠ 0
7x2 + 5 = 0
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PARA TÉCNICO
Exemplo: 
Fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara: resolução de uma equação do 2º grau
Para resolver essas equações, em geral, aplica-se uma fórmula que possibilita determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau com
uma incógnita. Essa fórmula é conhecida como Fórmula de Bhaskara.
Seja a equação: ax2 + bx + c = 0, para resolver pela fórmula, observe que há uma relação entre os coe�cientes da equação e a fórmula:
Fórmula de Bhaskara:
Exemplo: resolver a equação do 2º grau 
Comentário: identi�car os coe�cientes: 
Substituir os coe�cientes na fórmula, iniciando pelo 
Substitui-se o valor de 
Observe que, nessa fórmula, existem duas operações em relação ao valor da raiz quadrada de Δ, por esse motivo, se obtém dois valores para a
incógnita x, ou seja, esses dois valores tornam a equação verdadeira. Esses valores de x são chamados de raízes da equação, e indicamos o
conjunto solução por S = { 4 , -1 }. 
Função do 2º grau
Um conceito importante em relação às funções é a relação de dependência entre as variáveis.
Assim, dados a, b, e c números reais, com a ≠ 0, a função do 2º grau é de�nida por:
f(x) = ax2 + bx + c = 0
b = 0
c = 0
f(x) = 5x2
x = −b±√Δ
2a
Δ = b2 − 4ac
x2 − 3x − 4 = 0
a = 1
b = −3
c = 4
Δ
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−3)2 − 4(1)(−4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
Δ
x = −b±√Δ
2a
x =
−(−3)∓√25
2(1) → x = 3±5
2 ( )
x′= 3+5
2 → x′= 8
2 → x′= 4
x′′ = 3−5
2 → x′′ = −2
2 → x′′= −1
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Conhecida também por função do 2º grau, função quadrática ou função trinômio.
Exemplos de função quadrática:
Para você compreender a ideia de função, analise a situação a seguir:
Uma empresa produz um determinado produto com o custo de�nido pela seguinte função: C(x) = x2 – 60x + 3000. Considerando o custo C em reais
e x a quantidade de unidades produzidas, determine o custo para 5, 10, 15 e 20 peças.
Comentário: para visualizar a variação do custo, veja o quadro a seguir:
Número de unidades: x Substituir valor de “x” para encontrar o custo
das unidades: 
Custo �nal
5 R$ 2 725,00
10 R$ 2 500,00
15 R$ 2 325,00
20 R$ 2 200,00
Observe que o custo �nal depende da quantidade de unidades produzidas.
É possível encontrar o valor numérico de uma função quando substituir a variável por um número.
Grá�co da função do 2º grau
O grá�co de uma função do 2º grau é construído no plano de coordenadas cartesianas, em que cada valor de x (eixo das abscissas) possui uma
representação em y (eixo das ordenadas).
Exemplo 3: construir o grá�co da função: f(x) = x2 + 2x – 3
Comentário: para construir o grá�co, você pode organizar um quadro para conhecer os pares ordenados:
Atribuir valores para “x” Encontrar valores de y Par ordenado
-2 -3 A (-2, -3)
-1 -4 B (- 1, -4)
0 -3 C (0, -3)
1 0 D(1, 0)
2 5 E (2,5)
f(x) = 3x2 − x + 1 → a = 3, b = − 1, c = 1
f(x) = 4x2 − 5x → a = 4, b = − 5, c = 0
f(x) = 2
3 x
2 → a = 2
3 , b = 0, c = 0
f(5) = (5)2 − 60(5) + 3000 → f(5) = 2725
f(10) = (10)2 − 60(10) + 3000 → f(10) = 2500
f(15) = (15)2 − 60(15) + 3000 → f(15) = 2325
f(20) = (20)2 − 60(20) + 3000 → f(20) = 2200
f(x) = x2 + 2x − 3
f(−2) = (−2)2 + 2(−2) − 3 → f(−2) = 4 − 4 − 3
→ f(−2) = −3
f(−1) = (−1)2 + 2(−1) − 3 → f(−1) = 1 − 2 − 3
→ f(−1) = −4
f(0) = (0)2 + 2(0) − 3 → f(0) = 0 + 0 − 3
→ f(0) = −3
f(1) = (1)2 + 2(1) − 3 → f(1) = 1 + 2 − 3
→ f(1) = 0
f(2) = (2)2 + 2(2) − 3 → f(2) = 4 + 4 − 3
→ f(2) = 5
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 2 | Grá�co da função f(x) = x2 + 2x - 3. Fonte: elaborada pela autora.
Para determinar o grá�co, marcamos as coordenadas encontradas e, em seguida, traçamos uma curva, chamada de parábola, que é o grá�co da
função. Temos que todo grá�co da função do 2º grau é uma parábola. 
 
 
 
Siga em Frente...
Na resolução das equações do 2º grau, é preciso observar alguns procedimentos para encontrar a solução das equações.
Chamamos de raízes de uma equação a solução que torna a sentença verdadeira. Ao calcular o valor de Δ (delta), também denominado de
discriminante, é possível saber sobre as informações das raízes da equação:
A equação tem duas raízes reais e diferentes. A equação tem duas raízes reais e iguais, ou
uma única raiz.
A equação não tem raízes reais.
Assim, ao calcular o valor do , já é possível saber que tipos de raízes serão encontradas.
Exemplos: veri�car o tipo de raízes de cada uma das equações:
 
a = 1; b = -2; c = -8
 
a=1, b = -2, c = 1
 
a = 2, b = -3, c = 2
Δ > 0 Δ = 0 Δuma empresa do ramo têxtil. Esse ramo é muito frutífero e sua
companhia, felizmente, tem um caixa extremamente saudável. Isso vem com uma responsabilidade: trabalhar bem esse capital excedente.
Por uma responsabilidade discricionária, estipulada em assembleia de gestão da empresa, 90% dos recursos devem ser destinados à renda �xa
pós-�xada, 5% à renda �xa pre�xada e os outros 5% devem estar expostos à renda �xa híbrida, atrelada ao IPCA.
Parte do seu trabalho é realizar projeções, a �m de prover certo grau de previsibilidade com relação ao caixa da empresa, que pode ser solicitado
para novos projetos ou contratações e, por este motivo, deve estar líquido (que pode ser rapidamente resgatado sem oscilações) e seguro
(volatilidade não é bem-vinda quando o assunto é capital empresarial).
Utilizando-se das ferramentas da Matemática Financeira, de seus conhecimentos e de planilhas e calculadoras �nanceiras, você consultou os
ativos e as taxas disponíveis na corretora onde a empresa mantém vínculo e encontrou as seguintes opções, as quais julgou mais adequadas aos
objetivos:
1. CDB do Banco AAA – taxa 120% a.a. do CDI – vencimento em 24 meses.
2. CDB do Banco BBB – taxa 14% a.a. – vencimento em 12 meses.
iz = (1 + in)
z
n
iz = (1 + 0, 12)
1
12
iz = 1,009488
iz = 0,95%
iz = 1%
iz = (1 + in)
z
n
iz = (1 + 0, 06)
1
6
iz = 1,009758 = 0,98%
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PARA TÉCNICO
3. CDB do Banco CCC – taxa IPCA+5% a.a. – vencimento em 36 meses.
A sua superintendência pediu uma estimativa de rendimento mensal desses títulos. Você explicou que o único ativo onde é possível antecipar com
precisão a rentabilidade esperada é o CDB do Banco BBB, por ser um pre�xado. Sua superintendência entendeu e o mandou prosseguir. O capital
total da empresa destinado a esses três investimentos é de R$ 100.000,00. Você considerou uma SELIC a 10% ao ano pelos próximos anos,
considerou CDI igual à SELIC para �ns de simpli�cação e aproximação e IPCA a 5% ao ano pelos próximos anos.
1. CDB do Banco AAA – taxa 120% a.a. do CDI – vencimento em 24 meses.
Capital total destinado a esta estratégia: 90%.
Como a SELIC está estimada em 10% e a rentabilidade contratada é de 120% da SELIC, é correto dizer que a rentabilidade esperada para este ativo
seja de 12% ao ano.
Logo, 0,95% ao mês de rentabilidade esperada.
2. CDB do Banco BBB – taxa 14% a.a. pre�xado – vencimento em 12 meses.
Capital total destinado a esta estratégia: 5%.
Portanto, 1,10% ao mês de rentabilidade esperada.
3. CDB do Banco CCC – taxa IPCA+5% a.a. – vencimento em 36 meses.
Capital total destinado a esta estratégia: 5%.
Como o IPCA está estimado em 5% e a rentabilidade contratada é de IPCA+5%, é correto dizer que a rentabilidade esperada para este ativo seja de
10,25% ao ano. Isso porque falamos em capitalização composta, portanto não é uma soma, e sim uma multiplicação: 
Assim, 0,82% ao mês de rentabilidade esperada.
De posse desses detalhes, é possível informar à superintendência, inclusive, uma expectativa monetária para a data do vencimento. 
Saiba mais
A Matemática Financeira é uma ferramenta muito poderosa e pode se tornar ainda mais, se você conhecer a calculadora mais adequada para essa
�nalidade. A Calculadora de Juros Compostos pode te ajudar nesta tarefa. 
Referências
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
iz = (1 + in)
z
n
iz = (1 + 0, 12)
1
12
iz = 1,009488 = 0,95%
iz = (1 + in)
z
n
iz = (1 + 0, 14)
1
12
iz = 1,010978 = 1,10%
1,05x1,05 = 1,1025 = 10,25%
iz = (1 + in)
z
n
iz = (1 + 0, 1025)
1
12
iz = 1,008165 = 0,82%
https://www.idinheiro.com.br/calculadoras/calculadora-juros-compostos/
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
Aula 5
Encerramento da Unidade
Videoaula de Encerramento
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Neste vídeo, serão apresentados os principais conceitos abordados nesta unidade. Temas como juros, juros simples, juros compostos e taxas
equivalentes são componentes fundamentais no seu processo de preparação para a vida prática. Uma vez assimilados, esses conceitos
caminharão lado a lado com o desenvolvimento da sua carreira.
Ponto de Chegada
Quando falamos em capital entrando e saindo em datas distintas de um mesmo bolso, de um mesmo “caixa”, estamos automaticamente falando
em �uxo de caixa.
Basicamente, todas as operações �nanceiras, como �nanciamentos, empréstimos e investimentos são norteadas por dois valores principais: o
capital inicial e o capital futuro.
O valor inicialmente tomado é o capital inicial, e o Valor Futuro a ser retornado é chamado de montante. Assim, toda movimentação de capital no
tempo carregará consigo um prêmio de risco, um bônus para quem aceitou o risco envolvido em renunciar ao seu capital por um período de tempo
e cedê-lo a outra pessoa, com promessa de pagamento futuro com correção.
A esse prêmio de risco, essa correção, chamamos juros. Podemos de�nir juros como o preço cobrado pelo credor (quem empresta o dinheiro) ao
tomador (quem toma o dinheiro emprestado) pela utilização de seu capital. Existem algumas nomenclaturas possíveis para juros e devemos tê-las
claras em nossas mentes antes de entender sobre alguma operação �nanceira a saber: juros nominal, juros efetivo e juros real.
O mercado permite que esse capital sofra correção por juros de algumas maneiras. Uma delas é a capitalização por juros simples. No Sistema
Financeiro Nacional, a capitalização por juros simples ocorre quase que somente em operações de empréstimo de prazo muito curto, normalmente,
menor que um mês.
No regime de capitalização por juros simples, a incidência dos juros se dá pela multiplicação da taxa sempre pelo valor inicial do capital. Sendo
assim, o valor dos juros é constante em todo o intervalo da operação. Podemos expressar esse conceito de maneira matemática da seguinte
forma:
Onde:
Isso serve para calcular o valor dos juros no período. Para se obter o montante �nal capitalizado em juros simples, basta somar o valor obtido dos
juros ao capital inicial, ou ainda, utilizar-se do seguinte conceito:
JS = PV ⋅ i ⋅ n
JS
PV
i
n
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 1 | Grá�co – reta. Fonte: elaborada pelo autor.
A capitalização também pode se dar por juros compostos. O montante ao �nal de uma capitalização composta será exponencial, uma vez que em
todos os intervalos ocorrerá o acréscimo de juros ao valor �nal do último período, por esse motivo, costuma-se chamar de “juros sobre juros”.
Podemos expressar esse conceito de maneira matemática da seguinte forma:
Na evolução de preços por regime de capitalização em juros compostos, o grá�co é uma curva:
Figura 2 | Juros compostos. Fonte: elaborada pelo autor.
 
É Hora de Praticar!
Olá, estudante! Neste estudo de caso, você experimentará uma situação real. Imagine que você faz parte do departamento �nanceirode uma
empresa multinacional do setor de minério.
Você bem sabe que o retorno de investimentos de renda �xa se dá pela capitalização através de juros compostos. A composição dos retornos
torna muito atrativa a alocação de recursos excedentes de empresas, a �m trabalhar melhor seu capital. O capital excedente de atividades
empresariais é comumente direcionado na totalidade a ativos de renda �xa, pois estes apresentam maior chance de um desfecho previsível. Você
sabe que existem três formas básicas de remuneração em ativos de renda �xa: pre�xados, pós-�xados e híbridos (normalmente, atrelados à
in�ação).
Os pre�xados terão seu retorno composto pela taxa contratada no momento da compra do ativo, sem surpresas, sem alterações na renda contrata.
É a única forma de investimento que permite calcular com precisão o valor futuro no vencimento.
FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n)
FV = PV ⋅ (1 + i)n
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Os pós-�xados apresentarão uma taxa de retorno frente a um referencial, que, normalmente, é a taxa básica de juros da economia brasileira, a
SELIC.
Já os híbridos são uma mescla de pre�xados e pós-�xados, possuindo uma soma de rentabilidades, uma pre�xada e uma pós-�xada. Geralmente,
são ativos que visam à correção pela in�ação e à previsibilidade sobre o juro real (acima da in�ação) do investimento.
É muito importante balancear o �uxo de caixa para entender entradas e saídas, a �m de controlar o quanto sobra de capital mensalmente na
operação e por quanto tempo o recurso pode permanecer sem liquidez, ou seja, investido sem resgate antecipado.
Você sabe que a taxa de juros do país está 15% ao ano (valor hipotético), e o mercado �nanceiro está entregando rentabilidades de 17% ao ano de
maneira pre�xada.
Seu supervisor pediu para que você montasse um �uxo de recebimento de investimentos com taxa de 17% ao ano pre�xado a horizontes de um
mês, três meses, seis meses, nove meses, doze meses, quinze meses, dezoito meses e trinta e quatro meses, tanto no regime simples quanto no
regime composto, para que ele pudesse comparar a diferença. O valor total inicial da alocação é de R$ 100.000,00.
Você sabe que a taxa principal está ao ano, mas que os vencimentos previstos estão em meses, portanto precisará ser calculado através de taxas
equivalentes. Desconsidere efeitos de Imposto de Renda e in�ação sobre os cálculos, seu supervisor quer valores brutos (sem desconto). 
Neste estudo de caso, é esperado que você entenda os conceitos de matemática �nanceira e aplique-os em uma situação de tomada de decisão
prática. Dica: lembre-se de como deve ser feita a taxa de equivalência tanto no regime simples quanto no composto.
Olá, estudante, chegamos ao encerramento da unidade!
Vamos realizar a experiência presencial que irá consolidar os conhecimentos adquiridos? É a oportunidade perfeita para aplicar, na prática, o que
foi aprendido em sua disciplina. Vamos transformar teoria em vivência e tornar esta etapa ainda mais signi�cativa. Não perca essa chance única de
colocar em prática o conhecimento adquirido.
Fonte: elaborada pelo autor.
BARBOSA, M. T. Indicadores de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Macapá, AP: ALI/SEBRAE, [s. d.]. Disponível em:
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 26 dez. 2022.
JOSEPH, G. Matemática �nanceira. Rio de Janeiro, RJ: FGV, 2015.
LOPES, L. F. D. Apostila Estatística. Santa Maria, RS: UFSM, 2003. Disponível em:
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
SILVA, J. L. de. C.; FERNANDES, M. W.; ALMEIDA, R. L. F. de. Matemática: estatística e probabilidade. Fortaleza, CE: UECE, 2015. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdf. Acesso em: 7 jan. 2023.
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf
https://www.inf.ufsc.br/~vera.carmo/LIVROS/LIVROS/Luis%20Felipe%20Dias%20Lopes.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/554261/2/Livro%20Estatistica%20e%20Probabilidade%20.pdfde Bhaskara:
Foram encontradas as duas raízes. Agora, é preciso analisar se as duas respostas validam o problema. Neste caso, como o problema consiste em
encontrar a medida do lado de cada sala, não deve ser considerado o valor negativo, assim cada sala tem lado de medida igual a 4 m.
Grá�cos da função do 2º grau
Você estudará sobre os grá�cos da função do 2º grau, conhecendo alguns pontos importantes que auxiliam na construção desse tipo de grá�co.
Toda função do 2º grau tem como grá�co uma parábola, que pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. A concavidade é
determinada pelo sinal do coe�ciente “a”.
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−2)2 − 4(1)(−8)
Δ = 4 + 32
Δ = 36
36 > 0 → Δ > 0
Δ = b2 − 4ac
Δ = ( − 2)2 − 4(1)(1)
Δ = 4 − 4
Δ = 0
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−3)2 − 4(2)(2)
Δ = 9 − 16
Δ = − 7
−7 0 → Δ > 0
x = −b±√Δ
2a
x =
−(2)∓√324
2(2) → x = 9±5
2 ( )
x′= −2+18
4 → x′= 16
4 → x′= 4
x′′ = −2−18
4 → x′′ = − 20
4 → x′′= − 5
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 4 | Concavidade. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que a parábola possui um vértice e, com base nele, obtém-se o ponto de máximo ou de mínimo. A parábola, ao interceptar o eixo da
abscissa, obtém os zeros da função, em que f(x) = 0.
Concavidade voltada para cima:
Figura 5 | Função f(x) = ax² + bx +c. Fonte: elaborada pela autora.
Concavidade voltada para baixo:
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 6 | Função. f(x) = –ax² + bx +c. Fonte: elaborada pela autora.
Para encontrar o ponto do vértice da função nas duas situações, utilizamos os coe�cientes, substituindo em:
Veja como é possível fazer o esboço do grá�co de uma função quadrática conhecendo esse pontos.
Exemplo: construir o grá�co de f(x) = x² – 2x – 8.
1º: encontrar os zeros da função, fazendo f(x) = 0:
x² – 2x – 8 = 0. 
Veja que, ao igualar a zero, resolve-se a equação do 2º grau.
2º: resolver a equação do 2º grau: a = 1, b = –2, c = –8
Como a = 1 , positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima.
Esses valores são os zeros da função, que são os pontos (4,0) e (-2,0).
3º: determinar o vértice da função:
V = (− b
2a , − Δ
4a )
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−2)2 − 4(1)(−8)
Δ = 4 + 32
Δ = 36
x = −b±√Δ
2a
x =
−(−2)∓√36
2(1) → x = 2±6
2 ( )
x′= 2+6
2 → x′= 8
2 → x′= 4
x′′ = 2−6
2 → x′′ = − 4
2 → x′′= − 2
V = (− b
2a , − Δ
4a ) → v = (xv, yv)
xv = − b
2a → xv = − (−2)
2(1) → xv = 1
yv = − Δ
4a → yv = − 36
4(1) → yv = − 9
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
O ponto do vértice V(1, -9).
Figura 7 | Pontos fundamentais do grá�co da função do 2º grau. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, nesse caso, temos o ponto de mínimo, dado pelas coordenadas do vértice.
E onde é possível aplicar? Acompanhe:
Exemplo: uma empresa quer lançar um brinquedo que pula ao tocar o solo. Para brincar, ele precisa ser lançado verticalmente no solo e subir até
uma determinada altura. A brincadeira consiste em, depois de tocar o solo, ele alcançar a maior altura possível. A posição do brinquedo no espaço
é dada pela expressão: h(t) = 3t – 3 t2, em que h é a altura atingida em metros. Qual é a altura máxima que o brinquedo pode atingir depois de ser
lançado verticalmente no solo?
Comentário: a função dada é do 2º grau e, como é solicitada a altura máxima, o primeiro passo é veri�car a concavidade da parábola:
h(t) = 3t – 3t2  h(t) = – 3t2 + 3t, a =–3
logo a concavidade é voltada para baixo e tem ponto de máximo.
Calcular Δ : a = –3, b = 3, c = 0
Cálculo do ponto de máximo:
Para fazer o esboço da função, será preciso calcular os zeros da função.
Já foi calculado o delta: Δ = 9. 
Δ = b2 − 4ac
Δ = (3)2 − 4(−3)(0)
Δ = 9 + 0
Δ = 9
xv = − b
2a → xv = − (3)
2(−3) → xv = 3
6 = 1
2
yv = − Δ
4a → yv = − 9
4(−3) → yv = 9
12 = 3
4
x = −b±√Δ
2a
x =
−(3)∓√9
2(−3) → x = −3±3
−6 ( )
x′= −3+3
−6 → x′= 0
x′′ = −3−3
−6 → x′′ = 6
6 → x′′= 1
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Esboço:
Figura 8 | Esboço do grá�co da função: h(t) = 3t – 3t². Fonte: elaborada pela autora.
A altura se dá pela distância vertical da ordenada até o ponto zero. Portanto, a altura máxima que o brinquedo alcançará será de 0,75 m. 
Vamos Exercitar?
Este será o momento de colocar em prática o que você estudou.
Você observou que tratamos de problemas de máximos e mínimos. Mas, o que seria isso? Onde se aplicam esses conceitos?
Problemas de máximos e mínimos também podem ser chamados de problemas de otimização, que consistem em determinar os valores extremos
de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode assumir em um dado intervalo. Problemas de otimização são comuns em
nossa vida diária e aparecem quando, por exemplo, se procura determinar o nível de produção mais econômico de uma fábrica, ou o ponto da
órbita de um cometa mais próximo da terra, a velocidade mínima necessária para que um foguete escape da atração gravitacional da terra etc.
Otimização signi�ca criar condições mais favoráveis para o desenvolvimento de algo, visando, muitas vezes, diminuir os custos e aumentar a
receita.
1. O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por 
Inicialmente, é preciso encontrar a função lucro, considerando os dados do enunciado.
Como a= -1, a concavidade da parábola é voltada para baixo, logo tem-se o ponto de máximo.
C(x) = 3x2 − 15x + 21
V (x) = 2x2 + x
L(x) = V (x) − C(x)
L(x) = V (x) − C(x)
L(x) = 2x2 + x − (3x2 − 15x + 21)
L(x) = 2x2 + x − 3x2 + 15x − 21
L(x) = − x2 + 16x − 21
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Para calcular o valor máximo da função, tem-se 
Resposta: para que o lucro seja máximo, será preciso vender oito equipamentos.
2. Sobre um segmento 
Figura 9 | Quadrados APEF e PBCD. Fonte: elaborada pela autora.
Qual deve ser a medida x para que a área dos dois quadrados seja mínima?
Comentário: o segmento AB tem medida L:
Figura 10 | Etapas da resolução. Fonte: elaborada pela autora.
Calcular a área do quadrado menor: 
Calcular a área do quadrado maior: 
a = −1
b = 16
c = 21
xv = − b
2a
xv = − b
2a → xv = − 16
2(−1) → xv = 8
AB̄
A = x2
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PARA TÉCNICO
Somar as duas áreas:
Concavidade: voltada para cima.
Vértice: 
Substituir 
Resposta: o mínimo da área acontece para 
Você acabou de ver uma resolução algébrica, em que resultados mais especí�cos podem ser obtidos atribuindo valores para L.
3. Um terreno retangular tem 300 m² de área. A frente do terreno tem 13 m a menos que a lateral. Quais são as dimensões desse terreno?
Comentário: veja o esboço do terreno:
Figura 11 | Esboço do terreno. Fonte: elaborada pela autora.
Para o cálculo da área, tem-se: 
Equação do 2º grau:
A = (L − x)2
A = x2 + (L − x)2
A = x2 + L2 + 2Lx + x2
A = 2x2 + 2Lx + L2
xv = − b
2a → xv = − 2L
2(a) → xv = L
2
xv
A = 2x2 + 2Lx + L2
A( L
2 ) = 2( L
2 )
2
− 2L( L
2 ) + L2
A = L2
2
x = L
2
L2
2
A = b.h → 300 = x(x − 13)
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
a = 1, b = -13, c = -300
Analisando os valores encontrados, como se trata das medidas de um terreno, o valor de x não pode ser negativo, sendo descartado (-12). Assim,
as medidas do terreno são:
x = 25     
x – 13 = 25 –13 = 12
As medidas do terreno são 12 m e 25 m. 
Saiba mais
Estude sobre as formas e as características da função do 2º grau. Essa indicação contribuirá para seu aprendizado.
Referências
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos funções. 9. ed. São Paulo, SP: Atual, 2013.
PONTE, J. P. O conceito de função no Currículo de Matemática. Revista Educação e Matemática, Lisboa, v. 15, 1990. 
Aula 3
DIFERENÇAS ENTRE GEOMETRIA PLANA E ANALÍTICA
Videoaula: Diferenças entre geometria plana e analítica
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Para aprofundar seus conhecimentos, neste vídeo, você estudará sobre polígonos e conhecerá algumas propriedades dos triângulos e
quadriláteros. Na geometria analítica, aprenderá sobre ponto médio e distância entre dois pontos e algumas aplicações práticas desses assuntos.
Essa base é importante para que você possa compreender outros conteúdos envolvendo a geometria plana e a geometria analítica.
Ponto de Partida
300 = x2 − 13x
x2 − 13x − 300 = 0
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−13)2 − 4(1)(−300)
Δ = 169 + 1200
Δ = 1369
x = −b±√Δ
2a
x =
−(−13)∓√1369
2(1) → x = 13±37
2 ( )
x′= 13+37
2 → x′= 50
2 → x′= 25
x′′ = 13−37
2 → x′′ = − 24
2 → x′′= − 12
https://plataformaintegrada.mec.gov.br/recurso/21968
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Olá, estudante! Nesta aula, você compreenderá a diferença entre geometria plana e geometria analítica. No campo da geometria, mesmo estando
próximas, elas se diferenciam quanto aos objetos de estudos. Os conceitos aqui tratados serão aplicados nas duas situações, pois, na matemática,
eles não são tratados isoladamente, por isso, ao mesmo tempo que conhecerá novos conceitos, também aprenderá como aplicar essas situações
para resolver problemas mais práticos e aqueles que estão propostos na própria matemática, desenvolvendo, assim, seu raciocínio lógico e
ampliando seu repertório.
Bons estudos! 
Vamos Começar!
Olá! Neste primeiro momento, você aprenderá sobre alguns conceitos que envolvem a geometria plana.
Triângulos
Para de�nição de triângulos, temos: sejam A, B e C três pontos não alinhados. Determinam-se três segmentos 
Figura 1 | Triângulo. Fonte: elaborada pela autora.
---
Nota
Os segmentos 
AB̄
BC̄
AC̄
ΔABC
AB̄
BC̄
AC̄
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
---
A seguir, con�ra a classi�cação dos triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos, respectivamente.
Figura 2 | Classi�cação dos triângulos quanto aos lados. Fonte: elaborado pela autora.
Figura 3 | Classi�cação dos triângulos quanto aos ângulos. Fonte: elaborado pela autora.  
Figura 4 | Uma propriedade importante dos triângulos. Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo: sabendo que o triângulo ABC é isósceles, determinar a medida dos ângulos da base:
α, β, γ
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 5 | Triângulo isósceles. Fonte: elaborada pela autora.
Considerando que o triângulo ABC é isósceles, pela propriedade, os ângulos da base são iguais, logo 
Aplicando a propriedade da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo:
Resposta: cada ângulo da base tem medida igual a 66°.
Quadriláteros
Os quadriláteros são �guras constituídas por quatro lados:
β = γ
α + β + γ = 180° → 48 + 2β = 180 →
→ 2β = 180 − 48 → β = 132
2 → β = 66
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 6 | Figuras planas. Fonte: elaborada pela autora.
Uma �gura, como a seguir, não é um quadrilátero.
Figura 7 | Figura plana que não é quadrilátero. Fonte: elaborada pela autora.
Como de�nição de quadrilátero:
No plano, considere quatro pontos A, B, C, D que seguem as seguintes condições:
Três a três não pertencem a uma mesma reta.
Os segmentos  ,  ,   e   interceptam-se em apenas uma extremidade. Essa reunião desses quatro segmentos chama-se
quadrilátero. 
Figura 8 | Classi�cação dos quadriláteros. Fonte: elaborada pela autora.
Em qualquer quadrilátero, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 360.
AB̄ BC̄ CD̄ DĀ
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PARA TÉCNICO
Figura 9 | Uma propriedade importante dos triângulos. Fonte: elaborada pela autora.
Polígonos convexos
Considere uma região do plano. Ela será convexa quando qualquer segmento de reta está contido nessa região.
Figura 10 | Polígono convexo. Fonte: elaborada pela autora.
Na Figura 10, o segmento 
EF̄
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 11 | Polígono não convexo. Fonte: elaborada pela autora.
Na �gura 11, o segmento 
---
Propriedade
A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: 
A soma dos ângulos externos de um polígono tomado em cada vértice é 
---
Observe o cálculo da soma dos ângulos internos de alguns polígonos:
Polígono Número de lados (n) Soma dos ângulos internos
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Polígonos regulares
Um polígono é dito regular se tanto os seus lados quanto os seus ângulos possuírem a mesma medida.
LM̄
Si = (n − 2). 180°
Se = 360°
Si = (4 − 2). 180° → Si = 360°
Si = (5 − 2). 180° → Si = 540°
Si = (6 − 2). 180° → Si = 720°
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 12 | Exemplos de polígonos regulares. Fonte: elaborada pela autora.
---
Nota
Em um polígono regular de n lados, os n ângulos externos são congruentes; a medida de cada um deles é  
---
Exemplo: um ângulo externo de um polígono regular mede 45°. Determinar:
a)    O número de lados do polígono.
Comentário: como o polígono é regular, tem-se que todos os lados possuem a mesma medida, então os ângulos externos são congruentes: 
b)    A medida de um ângulo interno.
Comentário: localizar um ângulo interno e um ângulo externo de forma que sejam suplementares (a soma deve ser igual a 180°).
e = 360
n
e = 360
n
e = 360
n → 45 = 360
n → n = 360
45 → n = 8
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 13 | Octógono. Fonte: elaborada pela autora.
Na Figura 13, temos:
i = 180° - 45°
i = 135°
a)    A soma das medidas dos ângulos internos.
Comentário: essa soma é dada por 
 
 
Siga em Frente...
A geometria se organiza em diferentes frentes. A geometria analítica, um pouco diferente da geometria plana, tem como foco principal a ulização
de um sistema de coordenadas cartesianas (plano cartesiano) para descrever objetos geométricos.
Plano cartesiano
Um sistema cartesiano, ou sistema de coordenadas cartesianas, pode ser construído no plano a partir de dois eixos coordenados perpendiculares,
que se encontram no ponto 0, que é comum aos dois eixos. O eixo y é denominado eixo das ordenadas, e o eixo x, das abscissas. Esses dois eixos
dividem o plano em quatro quadrantes, conforme �gura a seguir.
Figura 14 | Plano cartesiano. Fonte: elaborada pela autora.
Para localizar um ponto no plano cartesiano, localiza-se a abscissa e a ordenada, formando as coordenadas do ponto P(x, y).
Exemplo 1: no plano cartesiano a seguir, identi�que as coordenadas de cada ponto.
Si = (n − 2). 180°
n  =  8
Si = (8 − 2). 180° → Si = 1080°
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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 15 | Coordenadas no plano cartesiano. Fonte: elaborada pela autora.
Comentário: as coordenadas dos pontos são: 
A (1,1), B (–2, 3), C (0,5), D (–2, –2), E (4, –2), F (2,3) e G (6,0)
Coordenadas do ponto médio
Traçando um segmento de reta no plano cartesiano com extremidades 
A(xA; yA)
B(xB; yB)
M(xM ; yM)
AB̄
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 16 | Ponto médio entre dois pontos. Fonte: elaborada pela autora.
Dada por: 
Exemplo 2: determinar o ponto médio do segmento AB, sendo 
Comentário: comece localizando os pontos no plano, determinando o segmento.
Figura 17 | Segmento de reta no plano. Fonte: elaborada pela autora.
Calcular o ponto médio:
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos no plano é obtida de forma que, conhecendo dois pontos, é possível determiná-la aplicando: 
xM = xA+xB
2
yM = yA+yB
2
A(−2, 5)
B(4, 9)
xM = −2+4
2 = 1
yM = 5+9
2 = 7
d(A, B) = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
Figura 18 | Distância entre dois pontos. Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 3: qual é a distância entre os pontos A(2, -3) e B(-1, 5)?
Comentário: aplicando a fórmula da distância entre dois pontos:
Conhecer a distância entre pontos é importante para medir grandes distâncias.
Veja o exemplo 4: uma cidade está localizada no ponto B, e outra, no ponto F. Deseja-se construir uma torre de forma que �que localizada na
metade da distância entre as duas cidades. No projeto, consta a construçãode uma ponte ligando a cidade F e a cidade C. Veja o esboço a seguir:
Figura 19 | Mapa da cidade. Fonte: elaborada pela autora.
a) Qual será a coordenada no plano para construção da torre?
b) Para planejar as possibilidades de construção da ponte, determine a distância, em metros, entre a cidade F e C.
Comentário: inicialmente, é preciso identi�car as coordenadas dos pontos onde estão localizadas as cidades: B(–2, 3), C (0,5), F (2,3).
a) Para o cálculo de metade da distância entre as duas cidades, é preciso calcular o ponto médio entre os dois pontos: 
d(A, B) = √(xB − xA)2 + (yA − yA)2 → d(A, B) = √(−1 − 2)2 + (5 − (−3))2
d(A, B) = √(−1 − 2)2 + (5 + 3)2 → d(A, B) = √(−3)2 + (8)2 → d(A, B) = √9 + 64 → d(A, B) = √73
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PARA TÉCNICO
Resposta: a torre deve ser construída no ponto M(0,3) entre as cidades B e F.
b) Para calcular a distância entre as duas cidades:
Logo, a distância entre as duas cidades é igual a 
Esses conceitos podem ser aplicados em situações que envolvem a geometria plana.
Conheça mais um conceito importante: circunferência é o conjunto de pontos de um plano que são equidistantes de um ponto dado no plano. Esse
ponto O é chamado de centro da circunferência, como na imagem a seguir:
Figura 20 | Circunferência. Fonte: elaborada pela autora.
A distância do ponto B até o ponto O (centro) é denominada raio da circunferência.
Exemplo 5: determinar os pontos do eixo-x que estão à distância 5 do ponto A(2, 3).
Comentário: se o ponto P está sobre o eixo-x, suas coordenadas são P(a, 0).
xM = 2+(−2)
2 = 0
yM = 3+3
2 = 6
d(C,F) = √(xB − xA)2 + (yA − yA)2 → d(C,F) = √(2 − 0)2 + (3 − 5)2
d(C,F) = √(2)2 + (−2)2 → d(C,F) = √4 + 4 → d(C,F) = √8 → d(C,F) = 2√2
2√2
√2 ≅ 1, 4
2√2 ≅ 2(1, 4) ≅ 2, 8m
d(P ,A) = √(xP − xA)2 + (yP − yA)2 →
5 = √(a − 2)2 + (0 − 3)2
5 = √(a − 2)2 + 9 →
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Resolvendo a equação do 2º grau, obtém-se a= 6 ou a= -2. Assim, são dois pontos que atendem à distância 5: P(6, 0) e P’(-2, 0).
Figura 21 | Ponto A e a distância no eixo x. Fonte: elaborada pela autora.
 
 
Vamos Exercitar?
Estudante, este será o momento de colocar em prática o que você estudou.
1. No triângulo ABC da Figura 22, 
(5)2 = (√(a − 2)2 + 9)2
5 = (a − 2)2 + 9
a2 − 4a − 12 = 0
α = 80°
β = 30°
AE = AD = AC .̄̄̄
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Figura 22 | Ângulos no triângulo. Fonte: elaborada pela autora.
Determine as medidas dos ângulos x e y.
Comentário: se aplicarmos que a propriedade da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, temos no triângulo ABC:
Substituindo os valores conhecidos:
Pelas informações das medidas dos lados do triângulo ABC, o triângulo ACD é isósceles, logo os ângulos da base possuem as mesmas medidas. E
se o ângulo A é igual a 70°, seu suplemento é igual a 110°.
Figura 23 | Resolução: triângulo. Fonte: elaborada pela autora.
O triângulo ACE é isósceles, informação dada: 
β + α + A = 180°
80º + 30 + A = 180°→ A = 180°−110° → A = 70°
x + x + 110 = 180
2x = 180 − 110
x = 70
2
x = 35°
AC = AĒ̄
y + y + 70°= 180°
2y = 110
y = 110
2
y = 55°
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Figura 24 | Resolução triângulo. Fonte: elaborada pela autora.
Resposta: x = 35° e y = 55°.
2. Um ciclista deseja percorrer, em linha reta, o percurso do ponto A até o ponto B, conforme descrito no plano cartesiano a seguir:
Figura 25 | Percurso A até B. Fonte: elaborada pela autora.
Sabendo que ele pretende fazer uma pausa na metade do percurso. Descubra as coordenadas da posição que indica a metade do percurso.
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Comentário: nesse caso, é possível identi�car as coordenadas: A(-3, -2) e B(3, 6).
Metade do percurso indica que é preciso calcular o ponto médio entre os dois pontos:
3. Um ângulo externo de um polígono regular mede 60°. Determinar:
a) O número de lados do polígono.
Comentário: como o polígono é regular, tem-se que todos os lados possuem a mesma medida, então os ângulos externos são congruentes: 
b) A medida de um ângulo interno.
Comentário: localizar um ângulo interno e um ângulo externo de forma que sejam suplementares (a soma deve ser igual a 180°).
Média do ângulo externo: 
Figura 26 | Hexágono. Fonte: elaborada pela autora.
4. Você sabia que o triângulo retângulo possui uma relação métrica muito famosa? Essa relação envolve as medidas dos lados, e só é possível
aplicá-la se o triângulo for retângulo, ou seja, possuir um ângulo de 90°. Esse é o famoso Teorema de Pitágoras:
xM = xA +xB
2
xM = −3 +3
2
xM = 0
yM = yA + yB
2
yM = −2 + 6
2
yM = 2
e = 360
n
e = 360
n → 60 = 360
n → n = 360
60 → n = 6
e = 360
n
→ e = 360
6 → e = 60°
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Figura 27 | Triângulo retângulo. Fonte: elaborada pela autora.
---
Nota
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: 
---
Um avião decola para ir da cidade A até a cidade B, situada a 500 km de distância. Após percorrer 300 km, recebe um aviso da torre de controle que
está na rota errada e, para corrigi-la, deve alterar a direção de voo de um ângulo a 90°. A que distância o avião estava da cidade no momento da
alteração do voo?
Comentário: para compreender o problema, fazer o esboço da situação poderá melhorar a compreensão da informação:
a2 = b2 + c2
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Figura 28 | Esboço do problema. Fonte: elaborada pela autora.
Nesse caso, aplica-se o Teorema de Pitágoras: 
Observe que, nesse caso, como se trata de distância, só é válido o valor positivo.
Resposta: no momento da mudança de direção, o avião estava a 400 km da cidade B.
5. Dois pontos foram localizados no plano cartesiano: A(2, 4) e B(5, 8). Esses pontos indicam a distância entre duas cidades. Um ônibus que sai da
cidade A até a cidade B deve percorrer quantos quilômetros?
Comentário: dados dois pontos, para calcular a distância, aplica-se a fórmula da distância entre dois pontos:
Resposta: o ônibus deverá percorrer 5 km até a cidade B, saindo da cidade A.
a2 = b2 + c2 → (500)2 = (300)2 + x² → x² = 2500 − 900 → x² = 1600 → x = 400
d(A,B) = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) = √(5 − 2)2 + (8 − 4)2
d(A,B) = √(5 − 2)2 + (8 − 4)2
d(A,B) = √9 + 16
d(A,B) = √25
d(A,B) = 5
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6. Um triângulo foi desenhado na malha a seguir. Calcule o perímetro desse triângulo.
Figura 29 | Perímetro - triângulo. Fonte: elaborada pela autora.
Comentário: para calcular o perímetro, é preciso conhecer a média dos lados, a qual, nesse caso, é dada pela distância entre os pontos dos
vértices. Lembrando que o perímetro é a soma das medidas de todos os lados.
Vértices do triângulo: 
O perímetro é igual a 
 
 
 
A(2, 2)
B(5, 4)
C(3, 6)
d(A,B) = √(5 − 2)2 + (4 − 2)2 d(A,B) = √(3)2 + (2)2d(A,B) = √9 + 4d(A,B) = √13d(A,C) = √(3 − 2)2 + (6 − 2)2d(A,C) = √(1)2 + (4)2d(A,C) = √1 + 1d(B,C) = √(3 − 5)2 + (6 − 4)2d(B,
√13 + √17 + 2√2
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Saiba mais
Assista ao vídeo sobre geometria analítica para complementar seus estudos.
Referências
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar: geometria plana. 7. ed. São Paulo, SP: Atual, 2019.
IEZZI, G. Fundamentos da Geometria Elementar: geometria analítica. v. 7. São Paulo, SP: Atual, 2013.
Aula 4
FUNÇÃO EXPONENCIAL, LOGARITMOS E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
Videoaula: Função exponencial, logaritmos e relações trigonométricas no triângulo
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os
vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Você aprenderá sobre um tipo de função conhecida como função exponencial. A partir desse conhecimento, você saberá como os logaritmos estão
articulados com essas funções. Além disso, conhecerá sobre a trigonometria nostriângulos e suas aplicações em exemplos práticos, primeiro
compreendendo como organizar os cálculos e, depois, aplicando em diferentes contextos. Sobre ângulos, verá como usar estas unidades de
medidas: grau e radianos.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Ampliando seus conhecimentos sobre funções, você conhecerá as funções exponenciais e os logaritmos, além de estudar como
são aplicados em situações reais. Em seguida, estudará sobre trigonometria nos triângulos. Essa é uma palavra de origem grega, formada pela
junção de trigonos (triângulos) e metrus (medida). Este ramo matemático propõe que sejam estudadas relações entre os lados de um triângulo e
seus ângulos, seja ele retângulo (com um ângulo de 90°) ou outro triângulo qualquer. Conhecendo os conceitos de trigonometria, é possível traçar
estimativas de altura e distância, com base na semelhança de triângulos. Além disso, haverá uma abordagem sobre as medidas dos ângulos e
como é possível fazer a conversão entre graus e radianos. Isso é vastamente utilizado em outras áreas do conhecimento, como em astronomia,
geogra�a, física, engenharia e topogra�a.
Bons estudos!
Vamos Começar!
https://plataformaintegrada.mec.gov.br/recurso/26321
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Em matemática, temos expressões que representam diversas equações, conforme a situação a ser resolvida. Além das equações do 1º e 2º grau,
existem outras que modelam problemas, e assim é possível resolvê-los.
Você conhecerá um tipo de equação chamada de equação exponencial, em que a incógnita está posicionada no expoente: 
---
Propriedade
Se 
---
Para entender o que signi�ca essa propriedade, conheça os termos dessa equação.
Figura 1 | Equação exponencial. Fonte: elaborada pela autora.
Para resolver equações desse tipo, é preciso que as bases dos dois membros sejam iguais. Assim, se as bases são iguais, os expoentes também
são iguais pela relação de equivalência.
Exemplo: resolver a equação: 
Comentário: observe que as duas bases são diferentes, logo é preciso escrever essa equação em bases iguais. Fazer a fatoração das bases é um
procedimento:
2x = 4
a > 0
a ≠ 1
ax = ay ↔ x = y
4x = 82x−3
4x = 82x−3
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Figura 2 | Fatoração. Fonte: elaborada pela autora.
 
Função exponencial
De�ne-se função exponencial quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente, com seu domínio e contradomínio no conjunto dos
números.
São exemplos de funções exponenciais:  
Grá�co das funções exponenciais
Para construir o grá�co, é possível fazer uso de tabelas, atribuindo valores para x e obtendo o valor de y, formando pares ordenados.
Exemplo: construir o grá�co da função 
22x = 23(2x− 3) →
22x = 26x− 9 →
2x = 6x − 9
− 4x = − 9
x = 9
4
S = { 9
4 }
f(x) = ax
a > 0
a ≠ 1
f(x) = 3x
f(x) = ( 1
3 )
x
f(x) = 2x
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Figura 3 | Grá�co. Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co é uma curva contínua, mas não toca o eixo x. Esse grá�co é uma assíntota horizontal.
As funções exponenciais podem ser crescentes ou decrescentes.
Figura 4 | Grá�co: função exponencial crescente ou decrescente. Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo: biólogos observaram que a população de uma certa espécie sempre dobra em um período determinado. Em condições ideais, uma certa
população de bactérias dobra em um período de três horas. Se a cultura começou com 100 bactérias, após três horas, serão 200 bactérias; após
três horas, serão 400 bactérias, e assim por diante. O número de bactérias é dado por 
Observe o padrão:
A partir desse padrão, é possível escrever matematicamente um modelo, ou seja, uma lei de formação: 
Logaritmo
n = n(t)
n(0) = 100
n(3) = 100.2
n(6) = (100.2).2 = 100.22
n(9) = (100.2.2).2 = 100.23
n(12) = (100.2.2.2).2 = 100.24
n(t) = 100.2
1
3
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O conceito de logaritmo surge naturalmente na resolução de equações exponenciais.
De�nição: seja a um número positivo, com 
---
Lembre-se
Se 
a é a base do logaritmo.
b é o logaritmando.
x é o logaritmo.
---
Veja a relação:
Saiba agora como calcular logaritmo, aplicando a de�nição:
Função logarítmica
A função exponencial 
a ≠ 1
ax = b
loga b
ax = b → x = loga b
x = loga b
log5 125 = x →
5x = 125 →
5x = 53 →
x = 3 →
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Exemplo: a função 
a)    Na condição de não haver produção, qual será o valor de k?
Comentário: se não há produção, x deve ser igual a zero, assim é possível encontrar o valor de k.
Para não ter produção, x = 0.
b)    Para obter lucro igual a R$ 1.000,00, quantas peças serão necessárias produzir?
Comentário: já se sabe o valor de k= -2. As peças já são dadas em milhares de reais, portanto 1 equivale 1 000 reais, logo:
Resposta: serão necessárias 900 peças. 
 
 
 
Siga em Frente...
O objetivo inicial da trigonometria era calcular as medidas dos lados e ângulos de um triângulo. Com base nessas medidas, seriam de�nidas as
chamadas razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) para um triângulo retângulo. Porém, com o passar dos anos, a trigonometria se
tornou mais abrangente, havendo a necessidade de de�nir a circunferência trigonométrica ou o círculo unitário utilizado para estudo das funções
trigonométricas.
Para compreender sobre trigonometria, você conhecerá as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
f(x) = ax
a > 0
a ≠ 1
f(x) = loga x
L(x) = log10(100 + x) + k
L(x) = log10(100 + x) + k
L(x) = 1
log10(100 + x) − 2 = 1
log10(100 + x) = 3
103 = 100 + x
x = 1000 − 100
x = 900
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Figura 5 | Triângulo retângulo.  Fonte: elaborada pela autora.
Traçando as relações com base em cada ângulo, identi�cam-se os catetos oposto e adjacentes. A hipotenusa sempre será o lado de maior medida.
As imagens a seguir representam as duas situações:
Figura 6 | Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Fonte: elaborada pela autora.
A identi�cação dos catetos deve ser de acordo com a posição do ângulo agudo.
As divisões obtidas entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo são chamadas de razões trigonométricas. Essas divisões estão
relacionadas às aberturas dos ângulos.
Para alguns ângulos, chamados de ângulos notáveis, os valores das razões trigonométricas são apresentados no quadro a seguir:
Bloco 1
  0° 30° 45°
  0
  1
  0 1
Bloco 2
60° 90°
1
senα 1
2
√2
2
cosα √3
2
√2
2
tg α √3
3
√3
2
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0
-
Exemplo: o triângulo a seguir foi desenhado sem a medida de um dos lados. Determine a medida desse lado. Encontre o valor de 
Figura 7 | Cálculo de α. Fonte: elaborada pela autora.
Comentário: inicialmente, para calcular a medida desconhecida de um dos lados do triângulo, é possível aplicar o Teorema de Pitágoras.
Hipotenusa: 2       
Cateto: 1       
Cateto: x
Como se trata de medida, 
Para encontrar o valor da 
1
2
√3
α
a² = b² + c²
2² = 1² + c²
4 = 1 + c²
c = ± √3
c = √3
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Agora, no quadro anterior, procure a linha do seno e o valor 
Resposta: o ângulo 
Consultando o quadro, é possível descobrir o ângulo. Existe a tabela das razões trigonométricas para todos os ângulos até 89°.
Lei dos Senos
Ao considerar um triângulo qualquer, que não seja necessariamente um triângulo retângulo, as relações podem ser de�nidas pela Lei dos Senos:
Figura 8 | Triângulo de lados a, b e c. Fonte: elaborada pela autora.
As razões entre cada lado do triângulo e o seno dos ângulos opostos correspondentes são iguais.
Exemplo: uma instalação elétrica foi montada para um evento seguindo o modelo da �gura a seguir. Cada vértice do triângulo representa uma
lâmpada e, para interligá-las, foi utilizado um �o de cobre. Sabe-se que 
tg α
senα = √3
2
√3
2
α = 60°
a
senA = b
senB = c
senC
 = 105º
B̂ = 30º
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Figura 9 | Esboço da instalação. Fonte: elaboradapela autora.
Quantos centímetros de �o serão necessários para ligar as lâmpadas A e B?
Comentário: aplicando a Lei dos Senos, relacionando duas das igualdades: 
Resposta: serão necessários, aproximadamente, 16,92 cm de �o.
Lei dos Cossenos
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do
produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Exemplo: um carro deverá cumprir um determinado percurso para que seu novo motor seja testado. O percurso está representado na �gura a
seguir. Ele partirá do ponto C e percorrerá sete quilômetros até o ponto B. Então, fará uma alteração de 60° na rota e percorrerá oito quilômetros
para chegar até A.
AB
sen 45° = 12
sen 30°
12. sen 45°= AB . sen 30°
AB = 12.2. √2
2 = 12√2 = 16,92
¯
¯
¯
a² = b² + c² − 2bc . cos A
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Figura 10 | Esboço do problema. Fonte: elaborada pela autora. 
Quantos quilômetros ele precisa percorrer para retornar ao seu ponto de partida?
Comentário: utilizando a Lei dos Cossenos, temos:
Resposta: a distância que o carro percorrerá para retornar ao seu ponto inicial é de 13 km.
Arcos e ângulos
Dada uma circunferência, marcando-se pontos sobre a linha da circunferência, obtém-se:
Figura 11 | Circunferência. Fonte: elaborada pela autora.
Para medir de arcos e ângulos, existem várias unidades, e as mais comuns são o grau e o radiano.
Para medida em graus, divide-se a circunferência em 360 partes iguais, e cada uma dessas partes tem como medida 1 grau ou 1°.
(AC)² = (BC)² + (AB)² − 2.(BC)(AB). cos β
(AC)² = (7)² + (8)² − 2.(7)(8). cos 120°
(AC)²= 49 + 64 + 56
(AC)² = 169
(AC)² = √169 = 13
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Figura 12 | Medida em graus. Fonte: elaborada pela autora.
Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência, cujo arco correspondente tem como medida o raio da circunferência, ou seja, o
comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém.
Figura 13 | Medidas em radianos. Fonte: Wikimedia Commons.
Quando as medidas estão em radianos, não se deve indicar a unidade de medida: se um ângulo mede 4 radianos, indica-se: 
Conversão de uma unidade para outra:
Converter Multiplica-se por Exemplo
θ = 4
θ = 4°
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Graus para radianos  
 
Radianos para graus  
 
Quadro 1 | Conversão de unidades. Fonte: elaborado pela autora.
Usando o procedimento para conversão, veja o quadro a seguir com as medidas em radianos e graus de alguns ângulos especiais:
Bloco 1
Radianos 0  
Graus 0° 30° 45°
Bloco 2
60° 90° 120° 135°
Bloco 3
150° 180° 210°
Bloco 1
Radianos
Graus 225° 240° 270°
Bloco 2
 
300° 315° 330° 360°
 
Vamos Exercitar?
Estudante, agora, você conhecerá algumas aplicações do que estudou até aqui.
1. Um biólogo, após uma pesquisa, concluiu que o crescimento de uma população de bactérias é dado por: 
Comentário: das informações, t = 10:
---
Nota
e: número de Euler, uma constante positiva.
π
180 150°= 150 . π
180 = 5π
6
225° = 225 . π
180 = 5π
4
180
π
7π
4 = 7π
4 . ( 180
π )
o
= 315°
π
3 = π
3 . ( 180
π
)
o
= 60°
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π 7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
n(t) = 500 e0,4t
n(t) = 500 e0,4t
n(10) = 500 e0,4(10)
n(10) = 500e4
n(10) ≅ 27300
e ≅ 2,72
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
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2. Resolva a equação 
Comentário: fatorar as bases para que �quem iguais:
3. Determine a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter, sabendo que a intensidade é dada pela fórmula: 
4. Converta de graus para radianos e expresse as respostas em termos de 
a) 15°                 b) 36°                c) 150°
Comentário: Para fazer a conversão, multiplica-se por 
a) 15º
 
b) 36º c) 150°
5. Em um pátio de obras, foi necessário construir uma rampa para acesso ao segundo andar da construção. A altura do pé direito construído é 3
metros, e a rampa deverá ser construída com 15° de inclinação. Qual será o comprimento da rampa? Dado: 
Comentário: tendo o valor do seno, utiliza-se a razão entre cateto oposto e hipotenusa para chegar ao resultado:
Resposta: o comprimento da rampa será de, aproximadamente, 11,54 metros, para que se tenha acesso ao segundo andar da obra.
6. Para calcular a altura de uma elevação existente em um plano, um homem utilizou uma lanterna sob um ângulo de 30° da elevação, que gerou
uma sombra de 80 centímetros. Qual a altura da elevação? Dado: 
Comentário: tendo a medida da sombra e o valor da tangente do ângulo, deve-se utilizar a razão entre cateto oposto e cateto adjacente para
encontrar a altura dessa elevação.
Resposta: a altura da elevação, calculada em função do comprimento de sua sombra, é de 46,16 cm.
82x+1 = 41−x
82x+1 = 41−x
23(2x+ 1) = 22(1 −x)
3(2x + 1) = 2(1 − x)
6x + 3 = 2 − 2x
6x + 2x = 2 − 3
8x = − 1
x = − 1
8
I = 2
3 log10
E
E0
E0 = 7.10−3 kwh
I = 2
3 log10
E
E0
8 = 2
3 log10
E
E0
log10
E
E0
= 12 E
E0
= 1012 E = 1012. E0E = 1012.7 .10−3E = 7. 109 kwh
π
π
180
15 . π
180 = 15π
180 = π
12 36 . π
180 = 36π
180 = π
5 150 . π
180 = 150π
180 = 5π
6
sen 15° = 0,26
sen 15° = cateto oposto
hipotenusa → 0,26 = 3
x → x ≅ 11,54m
tg 30°= 0,577
tg 30° = cateto oposto
cateto adjacente → 0,577 = x
80 → x = 46,16 cm
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
7. Em uma fazenda, foi realizada a marcação de uma área triangular para perfuração de um lago. A primeira estaca foi �xada há 500 metros da
segunda em linha reta. A terceira está há 800 metros da primeira, formando o triângulo representado na �gura a seguir. Para �nalizar a marcação,
foi passado um �o demarcando a área do lago, e viu-se que o ângulo formado entre as duas primeiras marcações foi de 60°, porém foi necessário
comprar mais �o para passar entre a terceira e a primeira estacas.
Figura 14 | Esboço marcação da fazenda. Fonte: elaborada pelo autor.
Quantos metros de �o serão necessários comprar?
Resolução: para encontrar a metragem necessária de �o, utilizaremos a Lei dos Cossenos.
Resposta: para passar um �o entre a terceira e a primeira estacas, será necessário comprar 700 metros de �o. 
Saiba mais
A University of Colorado Boulder oferece, de forma on-line e gratuita, acesso aos laboratórios virtuais, os quais simulam leis da física, química,
matemática, entre outras áreas. O PhET Interactive Simulations apresenta o Tour Trigonométrico, que possibilita a visualização de de�nições
trigonométricas a partir de conceitos básicos de trigonometria, passando pelas funções trigonométricas e pelo círculo unitário. 
Referências
IEZZI, G. Fundamentos de Matemática elementar, 3: trigonometria: 506 exercícios propostos com resposta, 167 testes de vestibular com resposta.
9. ed. São Paulo, SP: Atual, 2013.
OLIVEIRA, E. G. de. Contando um pouco da história da trigonometria. Revista Brasileira de Ensino e Aprendizagem, v. 1, p. 29-58, 2021. Disponível
em: https://rebena.emnuvens.com.br/revista/article/view/11/3. Acesso em: 10 nov. 2022.
QUINTANEIRO, W. Representações e de�nições formais em trigonometria no Ensino Médio. 2010, 154 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Matemática) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2010.
(a)² = (500)² + (800)² − 2. (500) . (800) . cos 60°
(a)² = 250 000 + 640 000 − 2. (500) . (800) . (0,5)
(a)² = 490 000
a = √490 000
a = 700
https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_pt_BR.html
https://rebena.emnuvens.com.br/revista/article/view/11/3
Disciplina
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
PARA TÉCNICO
UBERTI, G. L. Uma abordagem das aplicações trigonométricas. 2003, 54 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) –
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003.
Aula 5
Encerramento da Unidade
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Conhecer e compreender os conceitos matemáticos básicos da matemática e sua aplicação contribuirá para sua formação e para o
desenvolvimento da sua comunicação e escrita, pois, para expressar a resolução de um problema, é preciso escrever e comunicar os resultados.
Assim, quando você aprender sobre as diferentes funções, a geometria plana e analítica e as aplicações trigonométricas nos triângulos, perceberá
que existem aplicações diretas no dia a dia para o desenvolvimento da matemática.  
Ponto de Chegada
Olá! Você aprendeu que algumas situações do cotidiano podem ser modeladas utilizando conceitos da matemática. As funções do 1º grau são
exemplos que podem ser aplicados para descrever situações de custo mensal e composição de salário, quando se tem uma parte �xa. Na função
do 2º grau, pode ser aplicada na otimização de área, descrevendo a trajetória e outras aplicações.
Exemplo: o lucro de uma empresa na venda de um produto é dado pela função: 
Comentário: o grá�co dessa função tem concavidade voltada para baixo, pois 
Resposta: o lucro máximo obtido será de R$ 420,00.
Ampliando sua aprendizagem, você estudou a geometria analítica e a geometria plana, com conceitos especí�cos, mas que podem se
complementar na resolução dos problemas.
Outra função que pode descrever modelos é a função exponencial, em que a variável x está localizada no expoente.
Exemplo: a população de uma cidade decresceu de modo que, após t anos, a partir de 2010, o número de habitantes é dado por 
Comentário: o ano de 2010 será t=0. É preciso calcular n(t), que é o número de habitantes, mas devemos procurar 
L(x) = − 5x² + 100x − 80
a