ELEMENTOS DE EUCLIDES n201

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EUCLIDES
aos dois C, D, cada um a cada um. Logo, no ponto N fica formado um ângulo 
sólido pelos quatro ângulos planos ONP, PNQ, QNR, ONR, que são iguais aos 
quatro A, B, C, D, cada um a cada um. Mas não serem iguais entre si os dois 
ângulos sólidos (Figs. 13 e 14,) existentes nos pontos F, N, e cada um 
formado respectivamente pelos quatro ângulos planos referidos; ou, o que 
vem a ser o mesmo, não se ajustarem entre si os mesmos ângulos sólidos a 
respeito de tôdas as suas partes; faz-se evidente visto serem desiguais entre 
si pela construção os ângulos GFK, ONQ ou os ângulos E, M, e por 
conseqüência não ser possível ajustarem-se as retas GF, FK sôbre as retas ON, 
NQ. Não se ajustando pois entre si os ditos ângulos sólidos a respeito de todas 
as suas partes, necessariamente são desiguais.
E como por meio dos três ângulos propostos, A, B, C se podem achar 
infinitos outros, os quais juntamente com o ângulo D venham a fazer o mesmo 
efeito; e também por meio dos ângulos A, B, C, e do ângulo D, ou um, 
qualquer que seja, dos ditos infinitos ângulos, que se tiverem achado, se 
podem do mesmo modo achar outros, os quais juntamente com o ângulo E, ou 
com o ângulo M façam a mesma coisa; é manifesto que com os mesmos 
quatro ângulos planos se podem formar inumeráveis ângulos sólidos, os quais 
todos sejam entre si desiguais.
Engana-se pois o padre CLÁUDIO, e com êle todos aquêles autores, que 
afirmam serem iguais entre si os ângulos sólidos, tôdas as vêzes que ficam 
formados pelo mesmo número de ângulos planos respectivamente iguais; e 
assim se faz, manifesto, que a proposição 26 do Livro XI não tinha sido 
demonstrada legitimamente, porque naquela demonstração a igualdade dos 
ângulos sólidos, compreendidos por três ângulos planos iguais, cada um a 
cada um, se tinha suposto e não se tinha demonstrado.
COROLÁRIO DA PROP. III DO LIV. XII.
A demonstração dêste Corolário é imperfeita, porque, contra o que se 
devia fazer, não se demonstra serem semelhantes entre si aquelas pirâmides, 
nas quais as outras propostas de bases polígonas ficam divididas, como em 
semelhante caso se fez na proposição 12 dêste mesmo Livro XII. A 
demonstração pois do dito Corolário deve ser a seguinte.
Sejam as pirâmides semelhantes (Fig. 15.), e semelhantemente postas, 
das duas bases polígonas ABCDE, FGHKL, e dos vértices M, N. Digo que a 
pirâmide ABCDEM tem para a pirâmide FGHKLN a razão triplicada daquela, 
que o lado AB tem para o lado homólogo F'G.
Considerem-se divididas as bases polígonas das pirâmides propostas 
nos triângulos ABE, EBC, ECD; FGL, LGH, LHK os quais serão semelhantes (Pr. 
20.6.,) respectivamente entre si. E como pela hipótese as pirâmides propostas 
são também semelhantes; será o triângulo EAM semelhante (Def. 11.11.) ao 
triângulo LFM, e o triângulo ABM semelhante ao triângulo FGN. Logo, será 
ME:EA::NL:LF (Pr. 4.6.). Mas pela semelhança dos triângulos EAB, LFG temos 
AE:EB::FL:LG. Logo, será por igual ME:EB::NL:LG. Do mesmo modo 
demonstraremos ser EB:BM::LG:GN. Logo, será outra vez por igual 
EM:MB::LN:NG. Logo, nos triângulos EMB, LNG são proporcionais os lados, e 
assim os mesmos triângulos EMB, LNG são eqüiângulos (Pr. 5.6.), e também 
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