Geometria Euclidiana Espacial

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Geometria Euclidiana
Espacial
Manoel Azevedo
1999
b
Apresentação
Este é um trabalho destinado a alunos que estão fazendo o curso de licenciatura ou
bacharelado em Matemática, ou, àqueles que se interessam por geometria. O assunto
aqui tratado, Geometria Euclidiana Espacial, é uma continuação natural da Geometria
Eucilidiana Plana, a qual é, por conseguinte, pré-requisito para compreensão deste mate-
rial.
Procuramos um meio termo entre uma abordagem intuitiva e formal. Em alguns
momentos somos formais, notadamente no Capítulo 1, em outros intuitivo. O trabalho
está dividido em quatro capítulos. Ao final de cada um deles propomos exercícios que
tentamos seqüenciá-los pela ordem crescente de dificuldade. Ao todo são 126. As respostas
se encontram no final do livro. Outrossim, apresentamos ao longo do desenvolvimento do
assunto, sempre que oportuno, algumas pequenas notas históricas relacionadas com o
tema. E para facilitar a busca de assuntos relacionados à matéria tivemos o cuidado de
confeccionar também um índice por ordem alfabética que se encontra nas últimas páginas.
Espero com esta obra, modestamente, dar uma contribuição ao ensino da Matemática.
As críticas construtivas ou sugestões para melhoria dela serão bem aceitas. Por fim,
quero agradecer às pessoas que me incentivaram a escrevê-la e a todos que direta ou
indiretamente contribuiram para sua existência.
Fortaleza, 1999. O Autor
Índice
1 Paralelismo e Perpendicularismo 1
1.1 Noções de Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Disjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Negação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Cilindro, Cone e Esfera 23
2.1 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Volume e Área de Superfície 39
3.1 A Noção de Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Volume do Paralelepípedo Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Poliedros 55
4.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Representação Plana de um Poliedro Convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Respostas 67
Bibliografia 71
Índice Remissivo 73
Capítulo 1
Paralelismo e Perpendicularismo
Diz a tradição que Tales de Mileto (624-548 a.C.) foi o precursor da geometria pela
dedução. À ele atribui-se a autoria da demonstração, entre outros teoremas, de que
“um ângulo inscrito num semi-círculo é um ângulo reto”. Não existe documento que
comprovem estas autorias. Outro matemático antigo, também precursor da geometria
dedutiva, ao qual se lhe atribui a autoria da demonstração do famoso teorema - num
triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos
- é Pitágoras de Samos (580-500 a.C.). Devido à perda de documentos daquela época e
pelo fato de que a escola fundada por ele era secreta, o teorema de Pitágoras assim como
o da divisão áurea de um segmento, podem ter sido demonstrados por seus discípulos
ou até mesmo pelos babilônios. Dois séculos depois, Euclides de Alexandria publicara o
texto mais influente de todos os tempos: “Os Elementos” (300 a.C.).
Depois da Bíblia, é o livro com mais edições publicadas (provavelmente mais de
mil). Os elementos de Euclides estão divididos em treze livros, dos quais somente os seis
primeiros tratam de geometria plana elementar. Euclides organizou este assunto em 5
postulados, 5 “noções comuns” e mais de 150 proposições. As noções comuns são tam-
bém princípios. A diferença destas para os postulados reside no fato de que as noções
comuns são mais evidentes. Um tratamento moderno não faz esta distinção. Algumas
críticas podem ser feitas à abordagem do assunto por Euclides. Por exemplo, os conceitos
primitivos foram colocados como definições. Várias proposições foram demonstradas uti-
lizando princípios não estabelecidos no texto tais como a unicidade da reta passando por
dois pontos distintos dados. Contudo, por dois mil anos, Os Elementos constituiu o mais
rigoroso tratado lógico dedutivo da matemática elementar.
Neste trabalho, adotamos um tratamento intermediário entre intuitivo e formal. Não
achamos adequado uma abordagem somente intuitiva. Por exemplo, o uso de figuras em
geometria espacial, em certas situações, é impraticável para tirarmos conclusões. Em
casos dessa natureza, nada melhor do que usar um raciocínio lógico-dedutivo. Utilizamos,
neste primeiro capítulo, uma abordagem axiomática (formal). O entendimento de um
tratamento assim requer um mínimo de noções de lógica e o que significa esta abordagem.
Por isso, iniciamo-lo com um parágrafo no qual damos estas noções.
1. Noções de Lógica
Def. 1 Chama-se proposição toda oração afirmativa que pode ser classificada em um e
somente um dos seguintes valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F).
Exemplo 1 Fortaleza é a capital do estado do Ceará.
Exemplo 2 O Brasil possui, exatamente, 20 mil habitantes.
Exemplo 3 3 + 2 = 5.
1.1 Noções de Lógica
Exemplo 4 Todo retângulo é um quadrado.
As proposições são usualmente indicadas pelas letras p, q , r, ...1.1. Conjunção
Def. 2 Dadas duas proposições p e q, definimos a conjunção de p e q e escrevemos p∧ q
a proposição: p e q; ela é obtida intercalando-se o conectivo “e” entre as proposições p e
q.
Postulamos o valor lógico da conjunção p ∧ q conforme a tabela de valores lógicos
abaixo.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Observemos que a conjunção de duas proposições só é verdadeira quando ambas são
verdadeiras.
1.2. Disjunção
Def. 3 A disjunção de duas proposições p e q denotada por p∨q é definida intercalando-
se o disjuntivo “ou” entre p e q; ei-la: p ou q.
Postulamos seu valor lógico de acordo com a tabela abaixo.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Notemos que a disjunção de duas proposições só é falsa quando ambas são falsas.
1.3. Negação
Def. 4 Definimos a negação de uma proposição p e a indicamos por ∼ p como se segue:
“É falso que p” ou, quando possível, colocando-se a palavra “não” antes do verbo da
proposição p.
Assim sendo, ∼ p diz precisamente o contrário de p. Postulamos seu valor lógico
como sendo o oposto ao valor lógico de p. Confiramos a tabela abaixo.
p ∼ p
V F
F V
2
1.1 Noções de Lógica
1.4. Condicional
Def. 5 Outra proposição que se define a partir de duas proposições p e q dadas é a
seguinte: (∼ p) ∨ q. Indicamo-la por p → q. Ela também pode ser lida de outros modos:
se p então q; p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p.
Não postulamos e sim calculamos sua tabela de valores lógicos. Vejamos abaixo.
p q ∼ p p→ q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
Vale notarmos que p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa. Se p → q é
verdadeira, dizemos então que p implica q e podemos indicá-la por p⇒ q.
Def. 6 Dada a proposição p→ q, a proposição q → p é chamada a recíproca de p→ q.
1.5. Bicondicional
Def. 7 Podemos ainda, a partir de duas proposições p e q, definir a proposição p se e
somente se q, denotada por p ↔ q, como sendo (p → q) ∧ (q → p). Ela pode ser dita
também da seguinte maneira: p é condição necessária e suficiente para q.
Veja a seguir sua tabela de valores lógicos.
p q p→ q q → p p↔ q
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Observemos que p ↔ q é verdadeira quando as proposições p e q são ambas ver-
dadeiras ou ambas falsas. Neste caso, dizemos que p é equivalente a q e podemos denotá-la
por p ⇔ q. Por conseguinte, duas proposições são equivalentes quando e apenas quando
elas possuem o mesmo valor lógico.
Podemos formar mais proposições a partir de outras por combinações dos conec-
tivos, disjuntivos, negações, condicionais, etc. Abaixo mostramos exemplos de proposições
equivalentes.
Exemplo 5 ∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)
p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) (∼ p) ∧ (∼ q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V V
3
1.1 Noções de Lógica
Exemplo 6 ∼ (p ∧ q)⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)
p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ (p ∧ q) (∼ p) ∨ (∼ q)
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V
Exemplo 7 ∼ (p→ q)⇔ p ∧ (∼ q)
p q ∼ q p→ q ∼ (p→ q) p ∧ (∼ q)
V V F V F F
V F V F V V
F V F V F F
F F V V F F
Os exemplos 5, 6 e 7 nos fornecem substitutos para a negação, respectivamente, da
disjunção, conjunção e do condicional de duas proposições. Notemos, por exemplo, que
para ∼ (p → q) ser verdadeira, é necessário e suficiente que p e ∼ q , simultaneamente,
sejam verdadeiras; assim como para que ∼ (p ∧ q) seja verdadeira, basta que pelo menos
uma das proposições ∼ p ou ∼ q seja verdadeira, isto é, p ou q seja falsa. Vejamos mais
exemplos.
Exemplo 8 (p→ q)⇔ ((∼ q)→ (∼ p))
p q ∼ q ∼ p p→ q (∼ q)→ (∼ p)
V V F F V V
V F V F F F
F V F V V V
F F V V V V
Exemplo 9 Sendo f falsa, temos: (p→ q)⇔ (((∼ q) ∧ p)→ f)
p q f ∼ q (∼ q) ∧ p p→ q ((∼ q) ∧ p)→ f
V V F F F V V
V F F V V F F
F V F F F V V
F F F V F V V
Exemplo 10 ∼ (∼ p)⇔ p
Exemplo 11 (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)
Exemplo 12 (p↔ q)⇔ ((p→ q) ∧ ((∼ p)→ (∼ q)))
Exemplo 13 (p ∨ q)⇔ ((∼ p)→ q)
Exemplo 14 ((p→ q) ∧ (q → r))⇒ (p→ r)
A verificação destas últimas afirmações deixamos a cargo do leitor.
4
1.1 Noções de Lógica
Na organização de um tratamento formal de uma teoria matemática, como é o caso
deste capítulo, existem os chamados conceitos primitivos. Eles não são definíveis e apenas
são perceptíveis. A partir deles é que definimos os demais conceitos. Eles são os pon-
tos de partida da teoria. A razão de suas existências reside no seguinte argumento: para
se definir um certo conceito, utilizamos outros já estabelecidos. Para definir estes, pre-
cisamos de outros e assim por diante. Sendo finita a quantidade de conceitos, decorre que
esbarraremos naqueles não expressos a partir de outros. São esses os conceitos primitivos.
Por exemplo, na geometria, para se definir triângulo, utiliza-se entre outros o conceito de
segmento de reta. Para definir este, necessita-se do conceito de reta que é primitivo.
Além dos conceitos primitivos, há os chamados princípios, também denominados de
postulados ou axiomas. Os princípios são propriedades envolvendo os conceitos primitivos
ou outros já estabelecidos, ou, simplesmente, propriedades, não carentes de demonstra-
ção. Eles geralmente são bem aceitáveis, embora isto não seja uma condição necessária.
Exemplo de um axioma: por dois pontos distintos passa uma única reta. Esse postulado
fornece uma propriedade relacionando dois entes primitivos da geometria: ponto e reta.
Os resultados aos quais chega uma teoria depende dos princípios que são estabelecidos.
Por exemplo, na geometria euclidiana plana chega-se à conclusão de que a soma dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180◦. Já na geometria de Lobatchewski -
Bolyai conclui-se que esta soma é menor do que 180◦. A razão dessa divergência de
resultados reside na diferença dos axiomas em que se basearam as teorias.
Também fazem parte do desenvolvimento formal de uma teoria matemática as propo-
sições (no sentido que definimos no início deste parágrafo), as quais são carentes de uma
prova (demonstração) que se baseia nos princípios ou em outras proposições já provadas.
Em geral, elas são do tipo p→ q. A proposição p é chamada de hipótese e a q de tese.
Como provar uma proposição do tipo p → q ? Vejamos. Se p é falsa, então p → q
é sempre verdadeira indepentemente de q ser verdadeira ou falsa de acordo com a tabela
de valores lógicos. Se p é verdadeira, para que p → q seja verdadeira é necessário e
suficiente que q seja verdadeira. Por conseguinte, demonstrar uma proposição do tipo
p→ q, consiste em admitir p verdadeira e a partir daí concluir que q é verdadeira.
Às vezes, é mais conveniente, para provar a proposição p→ q, usar o seguinte argu-
mento, baseado na equivalência do exemplo 9: negando a tese e admitindo a hipótese, a
proposição fica demonstrada se isto acarretar em uma proposição falsa (contradição). A
idéia é que se chegamos a uma contradição, então a negação da tese não pode ser ver-
dadeira e portanto a tese é verdadeira. Este argumento chama-se demonstração indireta
ou demonstração por absurdo. Podemos também utilizar a equivalência do exemplo 8 para
demonstrar uma proposição do tipo p→ q.
Chamamos ainda a atenção para o exemplo 13 que nos fornece um argumento para
demonstrar proposições do tipo p ∨ q. Vejamos que para esta ser verdadeira basta a
negação de p implicar em q.
Apresentaremos agora terminologias para certas proposições. Chama-se teorema toda
proposição de grande relevância; lema é uma proposição que será utilizada na demons-
tração de outra ou de um teorema; corolário é a denominação de toda proposição que é
conseqüência imediata de outra ou de um teorema; escólio é qualquer proposição extraída
da demonstração de outra.
5
1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana
Um dos entes primitivos da matemática é o conceito de conjunto ou coleção. En-
tendemos por conjunto toda coleção de objetos bem definidos. Exemplos: o conjunto
dos seres humanos que moram no Brasil; o conjunto formado pelos alunos de uma dada
universidade; o conjunto dos grãos de areia existentes no nosso planeta; conjunto consti-
tuído de conjuntos; etc. Cada objeto da coleção, que também é um conceitoprimitivo,
é chamado de elemento do conjunto. Se o elemento a é membro do conjunto A, dizemos
que a pertence a A e escrevemos a ∈ A para indicar esse fato. Vale ressaltar que a relação
de pertinência é também um conceito primitivo.
Chama-se sentença aberta toda proposição p(x) aplicável aos elementos x de um
conjunto A dado explícito ou implicitamente. Exemplo: x é um homem alto. Nesse
exemplo, o conjunto que contém o elemento x está implícito.
Podemos inserir às sentenças abertas os chamados quantificadores: universal indicado
por ∀ ou existencial denotado por ∃. O símbolo ∀ significa “para todo” ou “para qualquer
que seja” ou ainda “para cada” enquanto que ∃ indica “existe um” ou “existe pelo menos
um” ou ainda “para algum”. Se p(x) é uma sentença aberta, então “∀x, p(x)” ou “∃ x tal
que p(x)” são proposições quantificadas. Vale salientarmos que a negação de “∀x, p(x)” é
“∃ x tal que ∼ p(x)” enquanto que a negação de “∃ x tal que p(x)” é “∀x,∼ p(x)”. Por
exemplo, a negação de “todo homem é alto” é “existe um homem que não é alto”.
2. Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana
AXIOMA 1 Existem um conjunto, denominado espaço, e duas coleções de subconjuntos
do espaço satisfazendo às propriedades enunciadas nos axiomas subseqüentes.
Os elementos do espaço são chamados de pontos, os de uma das coleções referidas no
axioma 1 são denominados retas e os da outra, planos. Vale observar que os elementos
das retas e dos planos são pontos.
Ponto, reta e plano são os conceitos primitivos da geometria euclidiana plana. Os
pontos são denotados usualmente por letras maiúsculas A,B,C, ...; as retas por letras
minúsculas r, s, t, ...; e os planos por letras gregas π,α,β, .... Intuitivamente, podemos
imaginar que uma “porção” de um plano é a superfície de uma mesa ou uma folha de
papel estirada; uma “porção” de uma reta é um risco feito nesta folha com o auxílio de
uma régua, ou, um cordão esticado; e um ponto é um furinho feito com a ponta de um
alfinete numa folha ou um pingo feito com uma caneta, etc. O espaço pode ser pensado
como sendo nosso ambiente.
Diremos que dois ou mais pontos são coplanares ou colineares, respectivamente, se
pertencem a um mesmo plano ou a uma mesma reta; diremos ainda que dois ou mais
conjuntos não vazios de pontos são coplanares ou colineares se todos os seus pontos são,
respectivamente, coplanares ou colineares. Se um ponto A pertence a uma reta r ou a um
plano π é usual dizer que r ou π passa por A.
Estabelecida essa linguagem inicial, fixaremos a seguir alguns princípios.
AXIOMA 2 Por dois pontos distintos passa uma única reta.
Se A e B são pontos distintos pertencentes à reta r, denotamos r =
←→
AB ou r =
←→
BA.
6
1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana
AXIOMA 3 Por três pontos não colineares passa um único plano.
AXIOMA 4 Se o plano π passa por dois pontos distintos A e B, então ←→AB ⊂ π.
AXIOMA 5 Se a interseção de dois planos é não vazia, então esta contém pelo menos
dois pontos distintos.
AXIOMA 6 Cada reta contém pelo menos dois pontos distintos; todo plano contém no
mínimo três pontos não colineares; o espaço contém pelo menos quatro pontos distintos
entre si não coplanares e não colineares.
Estabeleceremos a seguir resultados decorrentes destes axiomas.
Como conseqüência do axioma 2, podemos concluir que a interseção de duas retas
distintas é um conjunto unitário ou o conjunto vazio. No primeiro caso, dizemos que elas
são concorrentes e no segundo dizemos que são reversas se não são coplanares, e, paralelas
(e distintas) se são. Usaremos a notação r//s para indicar que uma reta r é paralela a
uma reta s.
Passemos agora a analisar as possibilidades acerca da interseção de dois planos dis-
tintos α e β. Ela poder ser ou não vazia. No caso de ser vazia, dizemos que os planos
são paralelos (e distintos) e escrevemos α//β. Se não, o axioma 5 garante que esta inter-
seção contém pelo menos dois pontos distintos A e B. Pelo axioma 4, podemos concluir
que
←→
AB ⊂ α e ←→AB ⊂ β, donde, ←→AB ⊂ α ∩ β. Na realidade, ←→AB = α ∩ β. De fato, de
acordo com o axioma 3, nenhum ponto fora da reta
←→
AB (isto é, nenhum ponto não per-
tencente a
←→
AB) pode pertencer a α ∩ β, uma vez que α 6= β. Em resumo, a interseção
de dois planos distintos é vazia ou é uma reta. No caso de ser uma reta, diremos que os
planos são concorrentes.
O que pode ser a interseção de uma reta com um plano? Respondamos. Se ela contém
dois pontos, então, pelo axioma 4, a reta está contida no plano, donde, a interseção é a
própria reta. Restam as seguintes possibilidades: vazia ou conjunto unitário. Na primeira
dizemos que a reta e o plano são paralelos e na segunda dizemos que a reta fura o plano
ou ela é secante à ele. Adotaremos a notação r//π para indicar que uma reta r é paralela
a um plano π.
Existe um único plano contendo uma reta e um ponto fora desta, dados, assim como
há um único plano contendo duas retas concorrentes dadas. Justifiquemos a primeira
afirmação. Pelo axioma 6, existem dois pontos distintos A e B pertencentes à reta dada.
Seja C o ponto fora desta. Assim sendo, A,B e C não são colineares. Pelo axioma 3,
existe um único plano que contém A,B e C. Este também contém a reta, graças ao
axioma 4. A unicidade segue-se porque todo plano que contém
←→
AB e C contém A,B e C.
Provemos agora a segunda assertiva. Sejam r e s as retas concorrentes e A ∈ r∩s. Sejam
B ∈ r − {A} e C ∈ s − {A}, usando o axioma 6. Temos aí três pontos não colineares:
A,B e C. O plano π determinado por A,B e C contém r e s. Qualquer que seja o plano
contendo r e s, contém A,B e C e, por conseguinte, é igual a π.
Também, dadas duas retas paralelas existe um único plano que as contém. Deixamos
a prova deste fato como exercício.
7
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo
AXIOMA 7 (Postulado de Euclides) Por um ponto fora de uma reta passa uma única
reta paralela à reta dada.
Levou-se a crer que o postulado de Euclides, o quinto de seu trabalho, pudesse
ser demonstrado a partir dos quatro outros. De modo que matemáticos famosos, que
passaram-se em quase dois mil anos, o tentaram. Somente no século XIX é que dois
matemáticos, trabalhando independentemente, provaram a independência do quinto pos-
tulado. Foram eles, Nicolai Lobachevsky (1793 - 1856), russo, e o húngaro Johan Bolyai
(1802 - 1860). Foi com o artigo “On the Principles of Geometry ” em 1829 publicado
por Lobachevsky, que ficou provado definitivamente que o quinto postulado não podia ser
obtido a partir dos demais. A prova consistiu em substituí-lo por outro que lhe é contra-
ditório e a partir disto demonstrou-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
menor do que 180◦, resultado este que entra em choque com o teorema da geometria eu-
clidiana plana que afirma ser igual a 180◦ esta soma. A chamada geometria não-euclidiana
nascia oficialmente com aquele artigo.
3. Paralelismo e Perpendicularismo
Doravante, admitiremos todos os resultados concernentes à geometria euclidiana
plana. Passemos aos teoremas básicos acerca de paralelismo e perpendicularismo de
retas ou planos que são assuntos sob os cuidados da geometria euclidiana espacial.
TEOREMA 1 Sejam r uma reta paralela a um plano π e P ∈ π. Então, a reta paralela
a r passando por P está contida em π.
Prova. Seja α o plano determinado por P e r. Temos que π e α são concorrentes.
Seja s = α ∩ π.
π P
s
r
Pelo fato de s ⊂ π e r ser paralela a π, segue-se que s ∩ r = ∅ e pelo fato de s e r serem
coplanares (estão contidas em α), vem que s e r são paralelas. Desde que P é comum a
α e π, decorre que P ∈ s. Assim sendo, a reta paralela a r passando por P está contida
em π. ¥
TEOREMA 2 Se uma reta r é paralela a um plano π, então existe uma reta contida
em π paralela a r (e distinta).
Prova. Seja P um ponto qualquer de π. Pelo Teorema 1, a reta paralela a r passando
por P está contida em π. Logo, segue-se o resultado. ¥
TEOREMA 3 Se uma reta r é paralela a uma reta r0 contida num plano π e não está
contida nesse plano, então r é paralela a π.
Prova. Por absurdo,suponhamos que r fura π. Seja {P} = r ∩ π. Seja α o plano
determinado por r e r0. Temos: r0 = α∩ π. Sendo P ∈ r ∩ π e r ⊂ α, vem que P ∈ α∩ π.
8
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo
Como r0 = α ∩ π, segue-se que P ∈ r0. Isto é uma contradição ao fato de P ∈ r e r ser
paralela (e distinta) a r0. ¥
TEOREMA 4 Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, então
os planos determinados por r e s, e, u e v são paralelos ou coincidentes.
Prova. Sejam α o plano determinado por r e s e β o plano determinado por u e v.
Suponhamos que α 6= β. Devemos mostrar que α//β. Antes, mostraremos que r não está
contida em β. Por absurdo, suponha que r ⊂ β. Assim sendo, teremos necessariamente
s ⊂ β, pois do contrário, como s é paralela a uma reta contida em β, pelo Teorema 3,
decorreria que s//β, o que seria uma contradição ao fato de um ponto de s pertencer a
r e r ⊂ β. Posto que r ⊂ β e s ⊂ β, então α = β. Contradição! Portanto, r 6⊂ β. Isto
implica, de acordo com o Teorema 3, que r//β, já que r é paralela a uma reta contida em
β. Dado que s tem um ponto em comum com r e r//β, segue-se que s 6⊂ β e daí, pelo
Teorema 3, s//β, uma vez que s é paralela a uma reta contida em β. Enfim, r e s são
retas paralelas a β.
α
s
r
β
v
u
Para encerrar a demonstração, suponhamos, por absurdo, que α e β não são paralelos.
Como são distintos, seja t = α ∩ β. Então, t, r e s são coplanares. Como r e s são
concorrentes, t não é simultaneamentre paralela a r e s. Assim, t é concorrente a uma
delas, já que t é distinta de ambas. Digamos, r. Seja {P} = r∩ t. Isto é uma contradição
ao fato de r//β. ¥
TEOREMA 5 Por um ponto não pertencente a um plano, passa um único plano para-
lelo ao plano dado.
Prova. (Existência) Sejam P um ponto e π um plano tais que P /∈ π. Sejam u e
v retas concorrentes contidas em π e r e s as retas passando por P, respectivamente,
paralelas a u e v. É óbvio que r e s não estão contidas no plano π. Pelo teorema anterior,
o plano α determinado por r e s é paralelo a π.
(Unicidade) Seja β um plano paralelo a π passando por P. Mostraremos que β = α.
É claro que as retas concorrentes u e v contidas em π são paralelas ao plano β. Pelo
Teorema 1, as respectivas paralelas a u e v passando por P estão contidas em β, uma vez
que P ∈ β. Essas paralelas são r e s. Posto que duas retas concorrentes determinam um
único plano, segue-se que β = α. ¥
TEOREMA 6 Se uma reta fura um plano, fura também qualquer plano paralelo a esse
plano.
Prova. Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que fura o plano α num ponto P.
Por absurdo, suponhamos que r não fura o plano β. Como P ∈ r e P /∈ β, então r 6⊂ β,
logo, r//β. Seja s ⊂ β tal que s//r. Desse modo, temos: P ∈ α, s//α (pois s ⊂ β e β//α)
e r a paralela a s passando por P. Pelo Teorema 1, segue-se que r ⊂ α. Contradição! ¥
9
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo
TEOREMA 7 Se s 6= t, r//s e r//t, então s//t.
Prova. Inicialmente, vamos mostrar que s ∩ t = ∅. Do contrário, teríamos duas
retas distintas, s e t, paralelas a r passando por um mesmo ponto fora de r. Isto iria
contradizer o axioma das paralelas (axioma 7). Logo, s ∩ t = ∅. Resta provarmos que s
e t são coplanares. Sejam A ∈ s e B ∈ t. Sejam u =←→AB e α o plano determinado por u
e s. Distinguiremos dois casos:
Caso 1. r ⊂ α. O plano β contendo t e r tem um ponto em comum com α, o ponto B, e
a reta r, em que B /∈ r. Desde que uma reta e um ponto fora desta determinam um único
plano, segue-se que α = β e, portanto, s e t são coplanares.
Caso 2. r 6⊂ α.
u
r
s
t
A
B
α
Sendo r//s, pelo Teorema 3, decorre que r//α. Assim sendo, pelo Teorema 1, a reta
paralela a r passando por B ∈ α está contida em α. Essa reta é t. Por conseguinte, t e s
estão contidas em α. ¥
TEOREMA 8 Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, então
∠ (r, s) = ∠ (u, v) .
Prova. Sejam {P} = r ∩ s e {Q} = u ∩ v. Se os planos que contêm r e s, e, u e
v são iguais, o resultado é fácil de demonstrar. Deixamos a prova detalhada do teorema
para este caso como exercício. Suponhamos que os planos são distintos. Seja α o plano
que contém r e u, e, β o que contém s e v.
α
β
 s
r u
v
A
 C
B
 D
P Q
Temos
←→
PQ = α ∩ β. Sejam A ∈ r e B ∈ u pontos pertencentes a um mesmo semi-plano
determinado por
←→
PQ em α tais que AP ≡ BQ. Desse modo, ABQP é um paralelogramo,
donde,
←→
AB//
←→
PQ. Sejam C ∈ s e D ∈ v pontos pertencentes a um mesmo semi-plano de-
terminado por
←→
PQ em β tais que CP ≡ DQ. Assim sendo, CDQP é um paralelogramo,
10
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo
donde,
←→
CD//
←→
PQ. Dessa maneira, temos, pela transitividade do paralelismo entre retas,
que
←→
AB//
←→
CD. Dado que r//u e s//v, vem, conforme o Teorema 4, que os planos deter-
minados por r e s, e, u e v são paralelos, logo,
←→
AC ∩ ←→BD = ∅. Posto que ←→AC e ←→BD
são coplanares, segue-se que
←→
AC//
←→
BD. Assim sendo, ABDC é um paralelogramo, donde,
AC ≡ BD. Logo, APC ≡ BQD (L.L.L.) e, por conseguinte, A bPC ≡ B bQD. Portanto,
∠ (r, s) = ∠ (u, v) . ¥
Def. 8 Diremos que uma reta r que fura um plano π num ponto O é perpendicular a π
em O ou, simplesmente, perpendicular a π se toda reta contida em π passando por O é
perpendicular a r. Nesse caso, diremos ainda que O é o pé da perpendicular r em π.
TEOREMA 9 Seja π o plano determinado por duas retas concorrentes r e s no ponto
O. Se uma reta t é perpendicular a r e a s em O, então t é perpendicular a π em O.
Prova. Seja u uma reta qualquer contida em π passando por O. Mostraremos que
t ⊥ u. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u 6= r e u 6= s. Tomemos em r
e s, respectivamente, pontos A e B tais que A e B se encontram em semi-planos abertos
opostos em relação a u.
r
s
u
t
A BCO
D
D’
O segmento AB intercepta u num ponto C entre A e B. Sejam D e D0 pontos distintos
em t tais que O é ponto médio de DD0. Sendo t perpendicular a r, segue-se, pelo caso
L.A.L. de congruência de triângulos, que AOD ≡ AOD0 e sendo t perpendicular a s,
decorre, por L.A.L., que BOD ≡ BOD0. Desse modo, AD = AD0 e BD = BD0, donde,
por L.L.L., ABD ≡ ABD0 e, portanto, B bAD ≡ B bAD0. Isto acarreta, por L.A.L., que
CAD ≡ CAD0, por conseguinte, CD = CD0. Assim sendo, por L.L.L., COD ≡ COD0.
Este fato implicará que C bOD é reto e, portanto, t ⊥ u. ¥
TEOREMA 10 Seja P um ponto pertencente a um plano π. Então, existe uma única
reta r passando por P perpendicular a π.
Prova. (Existência) Sejam A ∈ π, em que A 6= P , B /∈ π e α o plano determinado
por
←→
PA e B. Sejam u ⊂ α a reta perpendicular a ←→AP passando por P e v ⊂ π a reta
11
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo
perpendicular a
←→
AP passando por P.
P
A
B
α
u
π
v
β
r
Temos que u e v são retas concorrentes em P. Seja β o plano determinado por u e v e
r ⊂ β a reta perpendicular a v passando por P. Nessa construção, observemos que←→PA ⊥ u
e
←→
PA ⊥ v, logo, ←→PA é perpendicular a qualquer reta contida em β passando por P. Em
particular,
←→
PA ⊥ r. Agora, notemos que r é perpendicular a duas retas concorrentes
contidas em π, a saber:
←→
PA e v. Por conseguinte, r é perpendicular a π e passa por P.
(Unicidade) Seja s uma reta perpendicular a π passando por P. Mostraremos que r = s.
Por absurdo, suponhamos que r 6= s. Assim, r e s concorrem ao ponto P em π. Seja γ o
plano determinado por r e s. Temos que γ é concorrente a π. Seja t = π∩γ. Desse modo,
r, s e t são coplanares (estão em γ), em que r e s são perpendiculares a t no ponto P.
Contradição! ¥
TEOREMA 11 Sejam r e s retas distintas, em que r é perpendicular a π. Então,
s//r ⇔ s ⊥ π.
Prova. (⇒) Seja α o plano determinado por r e s. Como r fura π, então α é
concorrente a π. Seja t = α ∩ π. Assim, r, s e t são coplanares (estão contidas em α),
sendo que t ⊥ r. Como r//s, então t ⊥ s. Sejam {A} = r ∩ t e {B} = s ∩ t. Sejam u e v
em π, respectivamente, perpendiculares a t em A e B.
π
α
r s
t
u v
A B
Desse modo, u//v e como r//s, segue-se que ∠ (r, u) = ∠ (s, v), de acordo com o Teorema
8. Desde que, por hipótese, r ⊥ u, então s ⊥ v. Enfim, s é perpendiculara duas retas
concorrentes contidas em π, a saber: t e v. Por conseguinte, s ⊥ π.
(⇐) Sejam A e B, respectivamente, os pés das perpendiculares r e s em π. Seja s0 a
reta paralela a r passando por B. Pela implicação (⇒) deste teorema, segue-se que s0 é
12
1.3 Paralelismo e Perpendicularismo
perpendicular a π. Sendo s e s0 pependiculares a π passando por B ∈ π decorre, pela
unicidade do Teorema 10, que s = s0. Logo, s é paralela a r. ¥
TEOREMA 12 Por um ponto fora de um plano, passa uma única reta perpendicular
a esse plano.
Prova. (Existência) Sejam α um plano e P /∈ α um ponto. Seja β o plano paralelo
a α passando por P. Seja r a reta perpendicular a β passando por P.
u
v
α
β
r
P
Q
Como α//β, então r fura também α, digamos, num ponto Q. Seja u ⊂ α uma reta
qualquer passando por Q. Vamos mostrar que r ⊥ u. Seja v a reta paralela a u passando
por P. Sendo u//β, vem, pelo Teorema 1, que v ⊂ β. Desde que r ⊥ β, segue-se que
r ⊥ v. Posto que r é transversal às paralelas u e v, decorre que r ⊥ u. Conclusão: r é
perpendicular a α e passa por P.
(Unicidade) Seja r0 uma reta perpendicular a α passando por P. Devemos mostrar que
r0 = r. Para isso, basta mostrarmos que Q ∈ r0. Seja Q0 o pé da perpendicular r0 em α.
Mostraremos que Q0 = Q. Por absurdo, suponhamos que Q0 6= Q. Assim, a soma dos
ângulos internos do triângulo PQQ0 é maior do que 180◦. Contradição! Logo, Q0 = Q,
donde, Q ∈ r0 e, portanto, r0 = r. ¥
ESCÓLIO. Se uma reta é perpendicular a um plano π, então é perpendicular a qualquer
plano paralelo a π.
Def. 9 Sejam α um plano e P /∈ α um ponto. Definimos a distância de P a π, denotada
por d (P,π), como sendo a distância de P ao pé da perpendicular a α passando por P. Se
P ∈ α a distância de P a π é definida como sendo zero.
Observe que a distância de P a π, nos dois casos, é a menor das distâncias de P aos
pontos de π.
Def. 10 Sejam α e β dois planos paralelos. Definimos a distância entre α e β, denotada
por d (α,β), como sendo a distância de um ponto qualquer de um dos dois planos ao outro
plano.
A título de exercício, demonstre que essa definição, de fato, não depende do ponto e
nem do plano escolhidos.
TEOREMA 13 Sejam r e s retas reversas. Então, existem dois únicos planos paralelos
(e distintos) α e β tais que r ⊂ α e s ⊂ β.
13
1.4 Ângulos
Prova. (Existência) Seja A ∈ r um ponto qualquer e s0//s passando por A. Seja
B ∈ s um ponto qualquer e r0//r passando por B.
α
s’
r
β
s
r’
A
B
Como r e s são reversas, então r e s0 e r0 e s são pares de retas concorrentes. Sejam α o
plano determinado por r e s0 e β o determinado por r0 e s. A reta r não está contida em
β, pois r e s são reversas, conseqüentemente, α 6= β. Pelo Teorema 4, segue-se que α e β
são paralelos.
(Unicidade) Sejam α0 e β0 planos paralelos tais que r ⊂ α0 e s ⊂ β0. Devemos mostrar que
α0 = α e β0 = β. Temos: r é paralela a β0, pois r ⊂ α0 e α0//β0. Pelo Teorema 1, segue-se
que a reta paralela a r passando por B ∈ β0 está contida em β0. Esta reta é r0. Assim,
β0 é o plano determinado pelas retas concorrentes r0 e s. Portanto, β0 = β. Posto que α
e α0 são planos paralelos a β e passam pelo ponto A (pois contêm a reta r), decorre que
α0 = α, de acordo com o Teorema 5. ¥
Def. 11 Definimos a distância entre duas retas reversas como sendo a distância entre
os planos paralelos referidos no teorema anterior.
4. Ângulos
Sejam r e s retas. Já é conhecida a definição do ângulo entre r e s caso elas sejam
coplanares. Vamos rever. Se elas são coincidentes ou paralelas dizemos que o ângulo
entre elas é zero. Se são concorrentes, elas formam dois pares de ângulos opostos pelo
vértice (que têm mesma medida) sendo que dois desses ângulos não opostos pelo vértice
são suplementares. Neste caso, o ângulo entre elas é, por definição, o menor dos quatro
ângulos.
A novidade ocorre quando as retas r e s são reversas. Vejamos como se define o
ângulo entre elas.
Def. 12 Sejam A ∈ r e B ∈ s pontos quaisquer, r0 a reta paralela a r passando por B e
s0 a reta paralela a s passando por A.
s’
r
s
r’
A
B
Pelo Teorema 8, ∠ (r, s0) = ∠ (s, r0). Este será, por definição, o ângulo entre as retas r e
s (o qual independe da escolha dos pontos A e B).
Def. 13 Diremos que duas retas são ortogonais se o ângulo entre elas é de 90◦.
Vamos agora definir ângulo entre dois planos.
14
1.4 Ângulos
Def. 14 Se dois planos são coincidentes ou paralelos dizemos que o ângulo entre eles é
zero. Suponhamos que dois planos α e β são concorrentes. Seja t = α∩β. Sejam A,B ∈ t,
distintos, r e r0 as perpendiculares a t em α passando, respectivamente, por A e B, e, s e
s0 as perpendiculares a t em β passando, respectivamente, por A e B.
A
B
r
s
r’
s’
α
β
t
Assim, temos r e s, e, r0 e s0 pares de retas concorrentes tais que r//r0 e s//s0. Pelo
Teorema 8, ∠ (r, s) = ∠ (r0, s0). Este será, por definição, o ângulo entre os planos α e β
(o qual independe da escolha dos pontos A e B).
Def. 15 Diremos que dois planos são perpendiculares se o ângulo entre eles mede 90◦.
Def. 16 Chama-se diedro ou ângulo diedral a reunião de dois semi-planos com mesma
origem. Os semi-planos são chamados de faces do diedro e a origem comum chama-se
aresta.
Iremos agora definir a medida de um ângulo diedral.
Def. 17 Se as faces de um ângulo diedral são semi-planos coincidentes ou opostos a
medida do ângulo diedral é, por definição, respectivamente, zero ou 180◦. Suponhamos
que os planos que contêm as faces são concorrentes.
A
B C
D
E
F
Sejam A e B dois pontos distintos pertencentes à aresta. A partir de A tracemos as semi-
retas
−→
AD e
−→
AE perpendiculares à aresta, uma em cada face e a partir de B tracemos as
semi-retas
−→
BC e
−→
BF também perpendiculares à aresta, sendo
−→
BC contida na mesma face
em que se encontra
−→
AD e
−→
BF contida na mesma face em que se encontra
−→
AE, tais que
BC = AD e BF = AE. Desse modo, ABCD e ABFE são paralelogramos, o que implica
15
1.4 Ângulos
que CDEF é também um paralelogramo, donde, ADE ≡ BCF (L.L.L.). Assim sendo,
D bAE ≡ C bBF . Definiremos a medida do ângulo diedral, nesse caso, como sendo a medida
de D bAE que independe do ponto escolhido sobre a aresta.
Def. 18 Todo plano α reparte o espaço em três subconjuntos: o próprio plano, o subcon-
junto dos pontos que ficam a um mesmo lado do plano e o subconjunto dos pontos que ficam
no outro lado. Cada um desses dois últimos subconjuntos chama-se semi-espaço aberto
determinado por α e a união do plano com um semi-espaço aberto chama-se semi-espaço
fechado determinado por α ou, simplesmente, semi-espaço.
Assim, um plano determina dois semi-espaços que chamaremos de semi-espaços opos-
tos em relação a α.
Dados dois pontos A e B distintos e não pertencentes a α, então A e B se situam
num mesmo semi-espaço determinado por α ⇔ AB ∩ α = ∅.
A
B
α
Def. 19 Um conjunto S, subconjunto do espaço, chama-se convexo se goza da seguinte
propriedade: dados A,B ∈ S, distintos, então AB ⊂ S.
Todo semi-espaço é um conjunto convexo. Interseção de conjuntos convexos é um
conjunto convexo.
Considere um ângulo diedral de aresta r e cujas faces α e β não são coplanares.
Sejam E e F, respectivamente, o semi-espaço determinado por α contendo β e o semi-
espaço determinado por β contendo α. E∩F é um conjunto convexo por ser interseção de
dois conjuntos convexos, o qual será chamado de região convexa determinada pelo diedro.
r
α
β
Def. 20 (Bissetor de um diedro) Chama-se bissetor de um ângulo diedral de aresta r e
cujas faces α e β não são coplanares o semi-plano de origem r, contido na região convexa
determinada pelo diedro, que o divide em dois ângulos diedrais com mesma medida.
Precisamos mostrar que todo diedro, cujas faces não são coplanares, tem um único
bissetor. É o que faremos agora. Sejam r a aresta e α e β as faces de um tal ângulo
16
1.4 Ângulos
diedral. Seja A ∈ r um ponto qualquer, −→AB ⊂ α e −→AC ⊂ β, perpendiculares a r. Seja−→
AD a bissetriz do ângulo B bAC. Desde que r ⊥ ←→AB e r ⊥ ←→AC, então r é perpendicular ao
plano determinado por A,B e C, logo, r ⊥ −→AD. Seja γ o plano determinado por r e −→AD.
Assim, o semi-plano contido em γ determinado por r contendo
−→
AD é bissetor do diedro.
r
α
β
A
B
C
D
γ
A unicidade segue-se da unicidade da bissetriz de um ângulo B bAC. Os detalhes da
demonstração deixamos a cargo do leitor.
Def. 21 Chama-se triedro a reunião de três ângulos não rasos, com mesmo vértice,
contidos em planos distintos, tais que a interseção de dois quaisquer é um lado comum. O
vértice comum aos três ângulos chama-se vértice do triedro; cada lado comum denomina-se
aresta e cada ângulo chama-se face.
Um triedro é denominado tri-retângulo se os planos que contêm as faces são mutuamente
perpendiculares.
TEOREMA 14 Sejam r uma reta que fura um plano π num ponto P, A ∈ r − {P} e
A0 o pé da perpendicular a π passando em A. Então, r é perpendicular a π ⇔ A0 = P.
Prova. (⇒) Temos: r e ←→AA0 são perpendiculares a π e passam no ponto A /∈ π.
Pela unicidade do Teorema 12, segue-se que r =
←→
AA0. Desde que P,A0 ∈ r ∩ π e r fura π,
decorre que A0 = P.
(⇐) Temos: r =←→AP =←→AA0. Sendo ←→AA0 ⊥ π, segue-se que r ⊥ π. ¥
Def. 22 Dados um ponto A e um plano π, o pé da perpendicular a π passando por A
chama-se projeção ortogonal de A em π ou, simplesmente, projeção de A em π.
Observe que a projeção de A em π só é igual a A se A ∈ π.
TEOREMA 15 Seja r uma reta não perpendicular a um plano π. Sejam A,B,C ∈ r,
distintos, e A0, B0 e C 0 as projeções, respectivamente, de A, B e C em π. Então, A0, B0
17
1.5 Exercícios
e C 0 são distintos e colineares.
A
B
C
A’ B’
r
π
C’
A BC
A’ B’
r
π C’
Prova. Podemos supor que r 6⊂ π. Assim, dois dentre os pontos A, B e C não
pertencem a π. Digamos, A e B. Se A0 = B0, pela unicidade do Teorema 10, decorre que←→
AA0 =
←→
BB0. Assim sendo,
←→
AA0 =
←→
BB0 =
←→
AB = r e, portanto, r é perpendicular a π,
o que é uma contradição. Logo, A0 6= B0. Note que ←→AA0 6= ←−→BB0 e, por conseguinte, pelo
Teorema 11,
←→
AA0//
←→
BB0. Seja α o plano determinado por
←→
AA0 e
←→
BB0. Temos que α e π são
concorrentes, pois A0, B0 ∈ π∩α e A ∈ α−π. Mais precisamente,←−→A0B0 = π∩α. Quanto a
C, há duas possibilidades: C ∈ π ou C /∈ π. Se C ∈ π, então C = C 0 e, pelo Teorema 14,
C 0 6= A0 e C 0 6= B0, já que r não é perpendicular a π. Desde que C 0 ∈ π ∩ α (pois r ⊂ α),
segue-se que C 0, A0 e B0 são colineares. Se C /∈ π, temos, em particular, que A e C
não pertencem a π. Usando o mesmo raciocínio empregado no início dessa demonstração,
chegaremos que C 0 6= A0, ←→AA0//←→CC 0 e a interseção do plano β determinado por ←→AA0 e←→
CC 0 com o plano π é
←−→
A0C 0. Entretanto, os planos α e β têm em comum a reta r e o ponto
A0 /∈ r, logo, são iguais, donde, ←−→A0B0 = π ∩ α = π ∩ β = ←−→A0C 0 e, por conseguinte, A0, B0
e C 0 são colineares. Para encerrar, temos também que C 0 6= B0, pois do contrário r seria
perpendicular a π. ¥
Seja r uma reta não perpendicular a um plano π. Sejam A,B ∈ r, distintos, e A0 e
B0 as projeções de A e B em π. Pelo Teorema 15, A0 6= B0. Seja r0 = ←−→A0B0. Seja C ∈ r
um ponto qualquer. Pelo Teorema 15, podemos concluir que a projeção de C em π, C 0,
pertence a r0. Em outras palavras, as projeções dos pontos de r em π são colineares. A
reta r0 chama-se a projeção ortogonal de r em π ou, simplesmente, a projeção de r em π.
Se r é perpendicular a π, então todos os pontos de r, conforme o Teorema 14, se
projetam no pé da perpendicular de r em π. Neste caso, diremos que o pé da perpendicular
de r em π é a projeção de r em π.
Def. 23 Definimos o ângulo entre uma reta r e um plano π como sendo 90◦ se r é
perpendicular a π e se r não é perpendicular a π como sendo o ângulo que r faz com sua
projeção sobre π.
5. Exercícios
1. Prove as afirmações abaixo.
a) O espaço contém, pelo menos, seis retas e quatro planos.
18
1.5 Exercícios
b) Por um ponto passam, no mínimo, três retas.
c) Três pontos não colineares são distintos entre si.
d) Dada uma reta, há, pelo menos, dois planos que a contêm.
e) Um plano contém pelo menos três retas.
f) Dados um plano π e um ponto pertencente a π, existem, no mínimo, duas retas
contidas em π passando por esse ponto.
2. Seja F uma figura tal que quatro quaisquer de seus pontos sejam coplanares. Mostre
que F é plana, isto é, está contida num plano.
3. Explique por que uma mesa com três pernas sempre fica firme sobre um piso plano e
uma de quatro pernas pode ficar em falso.
4. Uma figura é formada por quatro pontosA, B, C eD e pelos segmentosAB, BC, CD
e DA. Ela é uma figura plana?
5. Três planos distintos têm em comum dois pontos. Mostre que existe uma reta comum
aos três planos.
6. Seja t uma reta contida em dois planos distintos. Mostre que t é a interseção desses
dois planos.
7. Dois triângulos ABC e DEF , situados em dois planos distintos, são tais que as
retas
←→
AB,
←→
AC e
←→
BC encontram as retas
←→
DE,
←→
DF e
←→
EF nos pontos M, N e P ,
respectivamente. Mostre que M, N e P são colineares.
8. Sejam s uma reta e π um plano tais que skπ. Demonstre que existe um único plano
paralelo a π (e distinto) contendo s.
9. Mostre que se uma reta é paralela a dois planos concorrentes, então ela é paralela à
reta de interseção dos dois planos.
10. Suponha que três planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Mostre que
não existe nenhuma reta simultaneamente paralela a α, β e γ.
11. Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. Mostre que existe
uma única reta que passa por P, encontra r e é paralela a α.
12. Mostre que se um plano α é concorrente a um plano β, é também concorrente a
qualquer plano paralelo a β.
13. Use o exercício anterior para concluir que se dois planos paralelos são cortados por
dois planos paralelos, concorrentes aos anteriores, então as interseções serão quatro
retas paralelas.
14. Considere duas retas paralelas secantes a dois planos paralelos. Mostre que os seg-
mentos destas retas determinados pelos dois planos são congruentes.
19
1.5 Exercícios
15. Pode existir uma reta paralela a duas retas reversas?
16. Mostre que se duas retas são reversas, então todo plano determinado por uma e um
ponto da outra é secante a esta.
17. Mostre que se uma reta fura um plano num ponto não pertencente a uma reta contida
nesse plano, então estas retas são reversas.
18. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos
distintos de s. Mostre que as retas
←→
AC e
←→
BD são reversas.
19. Sejam r e s duas retas reversas, A um ponto em r e B um ponto em s. Qual é a
interseção do plano α definido por r e B com o plano β definido por s e A?
20. Mostre que por um ponto dado se pode traçar uma única reta ortogonal a duas retas
não paralelas dadas.
21. SejamA, B e C pontos não colineares. Mostre que se as retas←→AB e←→AC são ortogonais
à reta r, então
←→
BC também é ortogonal a r.
22. Considere um conjunto com pelo menos três retas distintas. Mostre que se duas
quaisquer dessas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou
passam todas num mesmo ponto.
23. Mostre que dois ângulos diedrais opostos pela aresta têm a mesma medida.
24. Mostre que o ângulo formado entre um plano α e um plano β é igual ao ângulo
formado por α e qualquer plano paralelo a β.
25. Uma reta r faz um ângulo de 30o com um plano α. Mostre que o ângulo que r faz
com qualquer plano paralelo a α mede 30o.
26. Seja r uma reta secante a um plano π num ponto P, não perpendicular a π. Mostre
que o ângulo que r faz com π é o menor ângulo dentre todos os ângulos que as retas
contidas em π passando por P fazem com r.
27. Mostre que dois planos são perpendiculares se, e somente se, duas retas respectiva-
mente perpendiculares a cada um deles são ortogonais.
28. Mostre que se um plano α contém uma reta perpendicular a um plano β, então o
plano β contém uma reta perpendicular ao plano α.
29. Seja O a projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α. Considere uma cir-
cunferência de centro O contida em α. Mostre que todas as retas tangentes a esta
circunferência estãoa uma mesma distância de P.
30. Dadas duas retas reversas, mostre que existe uma única reta perpendicular a ambas.
31. Sejam r e s retas reversas. Mostre que existem P ∈ r e Q ∈ s tais que PQ ≤ XY ,
20
1.5 Exercícios
para quaisquer que sejam X ∈ r e Y ∈ s.
32. Seja r uma reta perpendicular a um plano π. Mostre que todo plano que contém r é
perpendicular a π.
33. Seja r uma reta perpendicular a um plano π num ponto O. Mostre que se s é uma
reta perpendicular a r passando em O, então s ⊂ π.
Def. 24 (Mediador de um segmento de reta) Chama-se mediador de um segmento de
reta o plano passando em seu ponto médio e perpendicular à reta que o contém.
34. Mostre que o mediador de um segmento é o conjunto dos pontos do espaço equidis-
tantes de seus extremos.
35. Mostre que os mediadores dos lados de um triângulo inteceptam-se segundo uma reta.
36. Seja r uma reta perpendicular a um plano α. Demonstre que se um plano β é paralelo
a α, então r é também perpendicular a β.
37. Se uma reta é perpendicular a dois planos em pontos distintos, mostre que esses
planos são paralelos.
38. Se uma reta é perpendicular a dois planos num mesmo ponto, mostre que esses planos
são coincidentes.
39. Seja P um ponto pertencente a uma reta r. Mostre que existe um único plano
perpendicular a r passando por P.
40. Seja P um ponto não pertencente a uma reta r. Mostre que existe um único plano
perpendicular a r passando por P.
41. Mostre que um plano é perpendicular a dois planos concorrentes se, e somente se, ele
é perpendicular à reta de interseção dos dois planos.
42. Dados um plano π e uma reta r contida em π, mostre que existe um único plano
perpendicular a π contendo r.
43. Dados um plano π e uma reta r paralela a π, mostre que existe um único plano
perpendicular a π contendo r.
44. Sejam A, B, C e D pontos distintos entre si pertencentes a um plano π, e, O /∈ π.
Mostre que se OA = OB = OC = OD, então A, B, C e D pertencem a uma mesma
circunferência contida em π cujo centro é a projeção ortogonal de O em π.
45. Mostre que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo que duas retas, respectiva-
mente, perpendiculares a eles, fazem.
46. Mostre que o bissetor de um ângulo diedral cujas faces não são coplanares é o conjunto
dos pontos equidistantes dos planos que contêm as respectivas faces do ângulo diedral
21
1.5 Exercícios
pertencentes à região convexa determinada por ele.
47. Considere os ângulos que formam um triedro. Mostre que:
a) a medida de cada um é menor do que a soma das medidas dos outros dois;
b) a soma das medidas deles é menor do que 360◦.
48. Uma figura é formada por quatro pontosA, B, C eD e pelos segmentosAB, BC, CD
e DA. Se os ângulos bA, bB, bC e bD são retos, ela é uma figura plana?
49. Sejam α, β e γ três planos distintos. Mostre que as posições relativas possíveis dos
planos são:
a) Os três planos são paralelos.
b) Dois deles são paralelos e o terceiro é concorrente a ambos, cortando-os segundo
retas paralelas.
c) Os três planos se cortam segundo uma reta.
d) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas paralelas.
e) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas concorrentes; o ponto
comum às três retas é o único ponto comum aos três planos.
22
Capítulo 2
Cilindro, Cone e Esfera
1. Cilindro
Entenderemos por figura plana qualquer um dos seguintes subconjuntos de um plano:
polígono (convexo ou côncavo) mais a região delimitada por ele, disco fechado, elipse mais
seu interior, etc., enfim, qualquer curva fechada, simples (isto é, sem auto-interseção), mais
a região delimitada por ela.
Vale ressaltarmos que a idéia de figura plana que acabamos de dar é um conceito
primitivo, ou seja, sem definição, uma vez que não demos a definição de curva fechada
simples e nem tampouco a definição da região delimitada por ela. Enfim, temos somente
uma idéia.
Def. 25 (Cilindro) Sejam: F uma figura contida num plano α; um plano β paralelo a
α; uma reta r que fura α (conseqüentemente, fura também β) e h a distância entre α e
β. O subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos de reta com uma das
extremidades em F e a outra em β, paralelos a r, chama-se cilindro de base F, com reta
de inclinação r, entre α e β. Definimos a altura do cilindro como sendo h. Caso a reta r
seja perpendicular a α (e a β), o cilindro chama-se cilindro reto de base F, entre α e β.
F α
βr
h
Conforme demonstraremos adiante, a interseção do cilindro com o plano β é uma
figura congruente à base (veja a definição de figuras congruentes logo após o Teorema 16),
a qual será também chamada de base.
Def. 26 Chama-se prisma todo cilindro cuja base é um polígono.
Num prisma, cada segmento paralelo à reta de inclinação partindo de um vértice da
base com a outra extremidade no plano β, e, os lados da base são chamados de aresta. As
extremidades das arestas são denominadas de vértices do prisma e todo segmento de reta,
que une dois vértices do prisma não pertencentes a uma mesma aresta, de diagonal do
prisma. A reunião dos segmentos paralelos à reta de inclinação com uma das extremidades
2.1 Cilindro
num lado da base e a outra em β chama-se face lateral do prisma.
Def. 27 Um cilindro chama-se circular se sua base é um disco.
Def. 28 Chama-se paralelepípedo todo prisma cuja base é um paralelogramo. Todo par-
alelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado de paralelepípedo retangular ou par-
alelepípedo retângulo.
Def. 29 Chama-se cubo todo paralelepípedo retangular cuja base é um quadrado e cuja
altura é igual ao lado da base.
LEMA. Seja r uma reta que fura um plano α. Então, toda reta paralela a r fura qualquer
plano paralelo a α.
Prova. Seja s uma reta qualquer paralela a r. Seja γ o plano determinado por r e
24
2.1 Cilindro
s. Como r fura α, então α e γ são concorrentes. Seja t = α ∩ γ.
s
r
α
γ
t
Temos: r, s e t são coplanares (estão contidas em γ), r//s e t e r são concorrentes. Logo,
t e s são concorrentes. O ponto de concorrência de t e s é comum a s e α. Desde que
s 6⊂ α (pois s 6= t), segue-se que s fura α. Pelo Teorema 6, s fura qualquer plano paralelo
a α. ¥
TEOREMA 16 Seja P um prisma entre os planos α e β. Se π é um plano paralelo a
α e β, entre α e β, então π ∩ P é uma figura congruente à base de P.
Prova. Seja F ⊂ α a base de P. Pelo lema, as retas que contêm os segmentos
paralelos à reta de inclinação do prisma com uma das extremidades em F furam π. E
mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. Sejam A, B e C vértices
consecutivos quaisquer de F eA0, B0 eC 0 as respectivas interseções dos segmentos paralelos
à reta de inclinação de P partindo de A, B e C com π.
α
β
π
A
B
C
A’
B’
C’
Basta mostrarmos que ABC ≡ A0B0C 0. Temos: AA0//BB0 e como AB e A0B0 estão con-
tidos em planos paralelos (respectivamente, em α e π) e são coplanares, então AB//A0B0.
Logo, ABB0A0 é um paralelogramo. Pela mesma razão, BCC 0B0 e ACC 0A0 são para-
lelogramos. Logo, AB ≡ A0B0, BC ≡ B0C 0 e AC ≡ A0C 0 e daí, pelo caso L.L.L. de
congruência de triângulos, segue-se que ABC ≡ A0B0C 0. ¥
O teorema acima continua válido se trocarmos a palavra prisma por cilindro. Porém,
precisamos de uma definição de figuras congruentes. Antes, vamos recordar a definição
de polígonos congruentes.
Dois polígonos são congruentes quando é possível estabelecer uma correspondência
biunívoca entre os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de um
25
2.2 Cone
são todos congruentes aos lados correspondentes do outro e o mesmo acontecendo com os
ângulos.
Def. 30 (Congruência de figuras) Diremos que uma figura F é congruente a uma figura
G e escrevemos F ≡ G se existe uma função bijetiva f : F −→ G tal que AB ≡ f(A)f(B)
para quaiquer que sejam os pontos distintos A,B ∈ F.
Em outras palavras, uma figura é congruente à outra se é possível estabelecer uma
correspondência biunívoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes são
congruentes. Note que, pelo caso L.L.L. de congruência de triângulos, figuras congruentes
têm ângulos correspondentescongruentes.
É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar, no caso de F ser um
polígono, é equivalente à definição de congruência de polígonos que recordamos há pouco.
Omitiremos a prova.
TEOREMA 17 Seja C um cilindro entre os planos α e β. Se π é um plano paralelo a
α e β, entre α e β, então π ∩ C é uma figura congruente à base de C.
Prova. Seja F ⊂ α a base de C. Pelo lema do Teorema 16, as retas que contêm
os segmentos paralelos à reta de inclinação do cilindro com uma das extremidades em F
furam π. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. Seja F 0 = π∩C.
Para mostrar que F ≡ F 0, basta estabelecermos uma correspondência biunívoca entre F
e F 0 de tal modo que segmentos correspondentes sejam congruentes. A correspondência
é a seguinte: a cada A ∈ F associamos A0 ∈ F 0, em que A0 é o ponto de interseção
do seguinte segmento com π: aquele paralelo à reta de inclinação do cilindro com uma
das extremidades em A e a outra em β. Sejam A,B ∈ F , distintos. Mostraremos que
AB ≡ A0B0. Com efeito, temos: AA0//BB0 e como AB e A0B0 estão contidos em planos
paralelos (respectivamente, em α e π) e são coplanares, então AB//A0B0. Logo, ABB0A0
é um paralelogramo e, portanto, AB ≡ A0B0. ¥
2. Cone
Def. 31 (Cone) Sejam: F uma figura plana e V um ponto não pertencente ao plano que
contém F. O subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos de reta com uma
das extremidades em F e a outra em V chama-se cone de base F e vértice V. Definimos
a altura do cone como sendo a distância do vértice ao plano que contém a base.
F
V
Def. 32 Chama-se pirâmide todo cone cuja base é um polígono.
Numa pirâmide, cada segmento que une um vértice da base e o vértice da pirâmide,
e, os lados da base são chamados de aresta. Os triângulos cujos vértices são o vértice da
26
2.2 Cone
pirâmide e dois vértices consecutivos da base são chamados de faces laterias da pirâmide.
Def. 33 Uma pirâmide chama-se regular se sua base é um n-ágono regular, n ≥ 4, e a
projeção de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centro desta.
Def. 34 Chama-se tetraedro toda pirâmide cuja base é um triângulo. Um tetraedro é
dito regular se todas as suas faces são triângulos equiláteros.
Note que quatro pontos não coplanares são sempre vértices de um tetraedro e que
qualquer face lateral de um tetraedro pode ser tomado como base.
Def. 35 Um cone chama-se circular se sua base é um disco. Um cone circular é dito
reto se a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centro
dela. Todo segmento de reta que une o vértice de um cone circular reto a um ponto da
fronteira da base chama-se geratriz do cone.
Note que as geratrizes de um cone circular reto têm a mesma medida.
LEMA. Sejam: V um ponto não pertencente a um plano α; A,B ∈ α, distintos; π um
plano paralelo a α entre V e α; {A0} = V A∩π e {B0} = V B∩π. Então, V A0B0 ∼ V AB
27
2.2 Cone
com razão de semelhança igual a
d (V,π)
d (V,α)
.
V
A B
A’ B’
α
π
Prova. Temos: ←→AB ∩←−→A0B0 = ∅, pois estão contidas em planos paralelos e desde que
são coplanares segue-se que são paralelas. Logo, V A0B0 ∼ V AB. Sendo A e B quaisquer
pontos distintos em α, fixemos A e façamos B igual à projeção de V em α. Desse modo, B0
é a projeção de V em π. Então, a razão de semelhança é igual a
V A0
V A
=
V B0
V B
=
d (V,π)
d (V,α)
.
¥
TEOREMA 18 Seja P um pirâmide de vértice V e base F contida num plano α. Se
π é um plano paralelo a α, entre V e α, então π ∩ P é uma figura semelhante a F cuja
razão de semelhança é
d (V,π)
d (V,α)
.
Prova. As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o outra
em V furam π. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. Sejam
A, B e C vértices consecutivos quaisquer de F e A0, B0 e C 0 as respectivas interseções dos
segmentos que unem V a A, B e C com π.
α
π
A
B
A’
B’
C’
V
C
Basta mostrarmos que ABC ∼ A0B0C 0 com razão de semelhança igual a d (V,π)
d (V,α)
. Pelo
lema, temos: V A0B0 ∼ V AB, V C 0B0 ∼ V CB e V A0C 0 ∼ V AC com razão de semelhança
igual a
d (V,π)
d (V,α)
. Desse modo, segue-se que
A0B0
AB
=
C 0B0
CB
=
A0C 0
AC
=
d (V,π)
d (V,α)
. Pelo caso
L.L.L. de semelhança de triângulos, decorre o resultado. ¥
28
2.2 Cone
O teorema acima continua válido se trocarmos a palavra pirâmide por cone. Porém,
precisamos de uma definição de figuras semelhantes. Antes, vamos recordar a definição
de polígonos semelhantes.
Dois polígonos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência
biunívoca entre os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de
um são proporcionais aos lados correspondentes do outro e ângulos correspondentes são
congruentes. A razão de semelhança é a razão de proporcionalidade entre os lados do
primeiro e os lados do segundo.
Def. 36 (Semelhança de figuras) Sejam F e G figuras e k um número real positivo.
Diremos que F é semelhante a G com razão de semelhança k e escrevemos F k∼ G ou,
simplesmente, F ∼ G se existe uma função bijetiva f : F −→ G tal que
AB
f(A)f(B)
= k
para quaisquer que sejam os pontos distintos A,B ∈ F.
Em outras palavras, uma figura é semelhante à outra se é possível estabelecer uma
correspondência biunívoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes são
proporcionais. Note que, pelo caso L.L.L. de semelhança de triângulos, figuras semelhantes
têm ângulos correspondentes congruentes.
É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar, no caso de F ser um
polígono, é equivalente à definição de semelhança de polígonos que recordamos há pouco.
Omitiremos a prova. Outro fato que não iremos demonstrar e que utilizaremos no capítulo
subseqüente acerca de figuras semelhantes é o seguinte: a razão entre as áreas de duas
figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.
TEOREMA 19 Seja C um cone de vértice V e base F contida num plano α. Se π é
um plano paralelo a α, entre V e α, então π ∩ C é uma figura semelhante a F cuja razão
de semelhança é
d (V,π)
d (V,α)
.
Prova. As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o
outra em V furam π. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos.
Seja F 0 = π ∩ C. Para mostrar que F ∼ F 0, basta estabelecermos uma correspondência
biunívoca entre F e F 0 de tal modo que segmentos correspondentes sejam proporcionais
com razão de proporcionalidade
d (V,π)
d (V,α)
. A correspondência é a seguinte: a cada A ∈ F
associamos A0 ∈ F 0, em que A0 é o ponto de interseção do seguinte segmento com π:
aquele com uma das extremidades em A e a outra em V. Sejam A,B ∈ F , distintos.
Mostraremos que
A0B0
AB
=
d (V,π)
d (V,α)
. De fato, isto é decorrente do lema do Teorema 18. ¥
Def. 37 Sejam: C um cone de vértice V e base F contida num plano α e π um plano
paralelo a α, entre V e α. O subconjunto de C dos pontos que se situam entre α e π
chama-se tronco do cone C determinado por π. A distância dos planos α e π chamaremos
29
2.3 Esfera
de altura do tronco, e, F e π ∩ C de bases.
3. Esfera
Def. 38 (Esfera) Sejam O um ponto e r um número real positivo. O conjunto α dos
pontos do espaço cuja distância a O é menor do que ou igual a r chama-se esfera de
centro O e raio r e será denotada por α(O; r).
rO
Duas esferas são ditas concêntricas se possuem o mesmo centro.
Def. 39 Dados uma esfera α e um ponto P, dizemos que P é um ponto interior ou
exterior de α se, respectivamente, d(P,O) < r ou d(P,O) > r. O conjunto de todos os
pontos interiores de α é chamado de interior de α e é denotado por intα e o dos pontos
exteriores é chamado de exterior de α e é denotado por extα.
Def. 40 O subconjunto de uma esfera formado pelos pontos cuja distância ao centro é
igual ao raio chamaremos de superfície da esfera.
TEOREMA 20 Se um plano tem, pelo menos, dois pontos em comum com uma esfera,
então a interseção dos dois é um disco cujo centro é a projeção orto-gonal do centro da
esfera no plano e cuja circunferência é a interseção deste com a superfície da esfera.
Prova. Sejam: α(O;r) a esfera; π o plano, e, A e B pontos distintos pertencentes a
α e π. Seja O0 a projeção ortogonal de O em π. Como A e B são distintos, então O0 6= A
ou O0 6= B. Digamos que O0 6= A. Seja C ∈ −−→O0A tal que O0C =
q
r2 − d (O,O0)2. O0C
está bem definido e é positivo, pois d (O,O0) < d (O,A) ≤ r. E mais, d(O,C) = r, pois
caso O 6= O0 o triângulo OO0C é retângulo em O0. Mostraremos que o disco D contido em
π de centro O0 e raio r0 = O0C é α ∩ π. De fato, seja X ∈ D.
O
O'X A C
30
2.3 Esfera
Temos: d(X,O)2 = d(O0, O)2 + d (X,O0)2 ≤ d(O0, O)2 + (r0)2 = d(O0, O)2 + O0C2 = r2,
por conseguinte, X ∈ α ∩ π. Tomemos agora X ∈ α ∩ π. Temos: d(O0, O)2 + d (X,O0)2 =
d(X,O)2 ≤ r2, donde, d (X,O0)2 ≤ r2 − d(O0, O)2 = O0C2 = (r0)2, portanto, X ∈ D.
Isso mostra que D = α ∩ π. Seja C a circunferência de D. C é a interseção de π com a
superfície de α. Para provar isso é só seguir os mesmos passos que foram utilizados na
demonstração de que D = α ∩ π trocando-se ≤ por = . ¥
Def. 41 Diremos que uma esfera e um plano são secantes se eles têm em comum, pelo
menos, dois pontos; se eles têm em comum apenas um ponto diremos que são tangentes
naquele ponto e se não tiverem ponto em comum diremos que são exteriores.
TEOREMA 21 Sejam α(O; r) uma esfera, π um plano e P ∈ α∩π. Então, π é tangente
a α em P ⇔ P pertence à superfície de α e ←→OP ⊥ π.
Prova. (⇒) Seja O0 a projeção de O em π. Afirmamos que O0 = P. Por absurdo,
suponhamos que O0 6= P. Então, O = O0 ou o triângulo OO0P é retângulo em O0. Em
ambos os casos, temos: OO0 < OP ≤ r, donde, O0 ∈ α, o que é uma contradição ao fato
de α ∩ π = {P} . Portanto, O0 = P e, por conseguinte, P = O ou ←→OP ⊥ π. Não podemos
ter P = O, pois se assim o fosse, tomando-se em π um ponto Q tal que 0 < d(O,Q) ≤ r,
teríamos outro ponto comum a α e π. Logo, P 6= O e←→OP ⊥ π. Vamos agora mostrar que
PO = r. Por absurdo, suponhamos que PO < r.
O
PA
r
Seja A ∈ π tal que 0 < d(P,A) ≤
√
r2 −OP 2. Desde que o triângulo OPA é retângulo
em P, teremos: OA2 = OP 2 + PA2 ≤ r2, donde, A seria outro ponto comum a α e π.
(⇐) Seja Q um ponto qualquer de π, distinto de P. Dado que ←→OP ⊥ π, segue-se que
OP < OQ e, como P pertence à superfície de α, então r < OQ. Conclusão: os pontos de
π, exceto P, não pertencem a α. Portanto, α ∩ π = {P} . ¥
Def. 42 Consideremos agora as superfícies de duas esferas distintas. Se a interseção
delas possuir exatamente um ponto diremos que elas são tangentes e se possuir pelo menos
dois pontos diremos que são secantes.
TEOREMA 22 Sejam α1(O1; r1) e α2(O2; r2) esferas não concêntricas e P um ponto
comum às superfícies de α1 e α2. Então, elas são tangentes ⇔ O1, O2 e P são colineares.
Prova.
(⇒) Por absurdo, suponhamos que O1, O2 e P não são colineares. Consideremos o plano
determinado por O1, O2 e P. Podemos tomar no semi-plano oposto ao que contém P, em
relação a
←−→
O1O2, um ponto Q tal que QO1 = r1 e QO2 = r2, já que |r1 − r2| < O1O2 <
31
2.3 Esfera
r1 + r2.
O1 O2
P
Q
r1
r1 r2
r2
Assim sendo, as superfícies de α1 e α2 são secantes, o que contraria a hipótese.
(⇐) Por absurdo, seja Q um ponto comum às superfícies de α1 e α2 tal que Q 6= P. Desde
que O1 e O2 são equidistantes de P e Q, vem que
←−→
O1O2 está contida no plano mediador
de PQ. Logo, P /∈ ←−→O1O2, contrariando a hipótese. ¥
TEOREMA 23 Dadas duas esferas α1(O1; r1) e α2(O2; r2) não concêntricas, temos:
i) as superfícies de α1 e α2 são tangentes ⇔ d (O1, O2) = r1 + r2 ou d (O1, O2) =
|r1 − r2| ;
ii) as superfícies de α1 e α2 são secantes ⇔ |r1 − r2| < d (O1, O2) < r1 + r2;
iii) as superfícies de α1 e α2 têm interseção vazia ⇔ d (O1, O2) < |r1 − r2| ou d (O1, O2) >
r1 + r2.
Prova.
i) (⇒) Seja P o ponto comum às superfícies de α1 e α2. Pelo teorema anterior, P, O1 e
O2 são colineares. Por conseguinte, P ∈ O1O2 ou P ∈
←−→
O1O2 −O1O2. É imediato que, no
primeiro caso, tem-se d (O1, O2) = r1 + r2 e, no segundo, d (O1, O2) = |r1 − r2| .
(⇐) Se d (O1, O2) = r1 + r2, tomemos P ∈ O1O2 tal que O1P = r1. Desse modo, vem
que O2P = r2. Portanto, P é um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Como P,
O1 e O2 são colineares, o teorema anterior garante o resultado. Suponhamos agora que
d (O1, O2) = |r1 − r2| . Assim, d (O1, O2) = r1 − r2 ou d (O1, O2) = r2 − r1. No primeiro
caso, tomemos P ∈ ←−→O1O2 tal que O2 se situa entre O1 e P e O2P = r2 e, no segundo,
tomemos P tal que O1 se situa entre O2 e P e O1P = r1. No primeiro caso, vem que
O1P = r1 e, no segundo, O2P = r2. Logo, em ambos os casos, temos que P é um ponto
comum às superfícies de α1 e α2. Como P, O1 e O2 são colineares, segue-se que {P} é a
interseção das superfícies de α1 e α2.
ii) (⇒) Seja P um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Pelo teorema anterior, P, O1
e O2 não são colineares e, portanto, o resultado segue-se pela desigualdade triangular.
(⇐) Consideremos um plano qualquer que contenha O1 e O2. Podemos tomar em cada
semi-plano, em relação a
←−→
O1O2, respectivamente, um ponto P e um ponto Q tais que
PO1 = r1, PO2 = r2, QO1 = r1 e QO2 = r2, já que |r1 − r2| < O1O2 < r1 + r2. Logo, as
superfícies de α1 e α2 são secantes.
iii) É óbvio. ¥
32
2.3 Esfera
Sejam β1 e β2 as respectivas superfícies de α1 e α2.
Obs. 1 No caso em que d (O1, O2) = r1 + r2, temos que os pontos de uma, exceto o de
tangência, P, são exteriores à outra.
Q
P
O1 O2
Com efeito, seja Q 6= P tal que Q ∈ β1, isto é, d (Q,O1) = r1. Como Q /∈ O1O2,
vem que d (O1, O2) < d (O1, Q) + d (Q,O2), donde, r1 + r2 < r1 + d (Q,O2) e, portanto,
r2 < d (Q,O2), ou seja, Q ∈ extβ2. Nesse caso, dizemos que β1 e β2 são tangentes
externas.
Obs. 2 No caso em que d (O1, O2) = |r1 − r2|, então os pontos, exceto o de tangência,
P, daquela que tiver o menor raio, são interiores à outra enquanto que os pontos, exceto
o de tangência, daquela que tiver o maior raio, são exteriores à outra.
P
O2 O1
De fato, digamos que r1 < r2. Seja Q 6= P tal que Q ∈ β1 ∪ β2. Desde que O1 /∈ QO2
(verifique isto), segue-se que d (Q,O2) < d (O1, Q)+d (O1, O2) . É imediato que se Q ∈ β1,
então d (Q,O2) < r2, e, se Q ∈ β2, então r1 < d (Q,O1) , como queríamos provar. Nesse
caso, dizemos que aquela de menor raio é tangente interna à outra e que esta é tangente
externa à primeira.
Obs. 3 Se d (O1, O2) > r1+ r2, então os pontos de uma são exteriores à outra. De fato,
seja Q ∈ β1 ∪ β2. Temos que r1 + r2 < d (O1, O2) ≤ d (O1, Q) + d (Q,O2), donde, decorre
que se Q ∈ β1, então d (Q,O2) > r2, e, se Q ∈ β2, então d (O1, Q) > r1. Dizemos, nesse
caso, que elas são externas.
O1 O2
Obs. 4 Se d (O1, O2) < |r1 − r2| , então os pontos daquela de menor raio são interiores à
outra enquanto que os pontos desta são exteriores à primeira. Com efeito, para fixarmos
33
2.4 Exercícios
as idéias, digamos que r1 < r2.
O2 O1
Seja Q ∈ β1 ∪ β2. Posto que d (Q,O2) ≤ d (O1, Q) + d (O1, O2) < d (O1, Q) + |r1 − r2| ,
decorre que se Q ∈ β1, então d (Q,O2) < r2, e, se Q ∈ β2, então d (O1, Q) > r1. Nesse
caso, dizemos que a de menor raio é interna à outra e que esta é externa à primeira.
Se duas esferas coplanares e distintas são concêntricas, é imediato que os pontos
daquela de menor raio são interiores à outra ao passo que os pontos da superfície desta
são exteriores à primeira. Neste caso, diremos que a superfície da primeira é interna à da
segunda e que a superfície desta é externa à da primeira.
TEOREMA 24 Sejam α1(O1; r1) e α2(O2; r2) duas esferas não concêntricas e cujas
superfícies são secantes. Então, estas se interceptam segundo uma circunferência cujo
centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no plano que a contém.
Prova. Seja P um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Como elas são secantes,
temos que P não pertence a
←−→
O1O2. Sejam π o plano passando por P e perpendicular a←−→
O1O2 e O o pé da perpendicular
←−→
O1O2 em π. Temos: O 6= O1 ou O 6= O2. Digamos que
O 6= O1. Seja β a circunferência contida em π de centro O e raio r = OP . Afirmamos que
a interseção das superfícies é β. Seja Q um ponto qualquer, distinto de P, na interseção.
Q não pertence a
←−→
O1O2. Mostraremos que Q ∈ β.
πP QO
O1
O2
Com efeito, desde que O1O2P ≡ O1O2Q, segue-se que PcO1O2 ≡ QcO1O2, donde, PcO1O ≡
QcO1O e, portanto, PO1O ≡ QO1O. Posto que P bOO1 é reto, decorre queQ bOO1 também o
é e, portanto, Q ∈ π. Uma vez que r = PO = QO, vem queQ ∈ β. Tomemos agoraQ ∈ β.
Devemos mostrar que Q pertence à interseção. De fato, como QO = r = PO, então
PO1O ≡ QO1O, donde, QO1 = PO1 = r1 e PcO1O ≡ QcO1O, logo, PcO1O2 ≡ QcO1O2,
por conseguinte, O1O2P ≡ O1O2Q e assim QO2 = PO2 = r2. Assim sendo, Q pertence
à interseção das superfícies de α1 e α2. Por conseguinte, a interseção das superfícies das
esferas é uma circunferência cujo centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no plano
que a contém. ¥
4. Exercícios
34
2.4 Exercícios
1. Qual o comprimento da maior diagonal de uma caixa na forma de um paralelepípedo
retangular cujas dimensões são 3cm, 4cm e 6cm.
2. Seja ABCD um quadrado de lado a e PA um segmento, também de medida a,
perpendicular ao plano do quadrado. Calcule a medida do diedro determinado pelos
triângulos PCB e PCD.
3. Em um prisma, a soma dos ângulos internos de todas as faces é igual a 2880o. Quantas
faces laterais possui o prisma?
4. Determine o número de arestas, de vértices, de faces e a soma dos ângulos de todas as
faces de um prisma cuja base é um polígono regular em que a soma de seus ângulos
internos é igual a 3600◦.
5. Determine a área da figura que é a interseção de um plano com um cubo de aresta a,
sabendo que o plano contém apenas três vértices do cubo.
6. Sejam ABC e A0B0C 0 as bases de um prisma reto cuja altura é h, em que
←→
AA0,
←→
BB0
e
←→
CC 0 são perpendiculares aos planos das bases. Sabendo que ABC é equilátero de
lado a, determine a área do triângulo ABC 0.
7. A base de um prisma reto é um hexágono regular de lado a. Suas faces laterais são
quadrados. Calcule o comprimento da maior diagonal desse prisma.
8. Mostre que as faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles congru-
entes entre si.
9. Considere uma pirâmide regular cuja base é quadrada. Suponha que a razão entre o
perímetro da base e a altura seja igual a 2π, que é a mesma relação guardada entre
o perímetro de um círculo e seu raio. (Essas são as proporções da grande pirâmide
do Egito. Algumas pessoas acreditam que as pirâmides com essa forma têm o poder
de concentrar energia cósmica e, portanto, acelerar os processos biológicos de cura de
doenças.). Expresse:
a) a tangente do ângulo que as faces laterais fazem com a base;
b) a aresta lateral em função da aresta da base;
c) o cosseno dos ângulos internos das faces laterais dessa pirâmide;
d) o cosseno do ângulo formado por por duas faces laterais contíguas.
10. Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros cujos lados
medem, respectivamente, 2cm e 4cm. Se a aresta lateral do tronco mede 3cm, qual o
valor de sua altura?
11. Considere um cubo de bases ABCD e EFGH e arestas laterias AE, BF, CG e DH.
Suponha que as arestas medem 3m e sejam M, N e P pontos tais que M ∈ AD,
N ∈ AB, P ∈ BF, AM = AN = 2m e BP = 0, 5m. Calcule o perímetro da seção
que o plano passando por M, N e P determina no cubo.
35
2.4 Exercícios
12. Mostre que não existe uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equi-
láteros e cuja base tem mais de cinco lados.
13. Seja A o vértice de uma pirâmide cuja base é um polígono regular P. Se A é equidis-
tante dos vértices de P, demonstre que a projeção ortogonal de A, no plano que
contém P, coincide com seu centro.
14. Quatro superfícies de esfera, com mesmo raio, são tangentes entre si. Mostre que seus
centros são vértices de um tetraedro regular.
15. Sejam A e B pontos distintos. Qual é o subconjunto do espaço formado pelos pontos
X tais que A bXB é reto?
16. Demonstre que por quatro pontos não coplanares passa uma única superfície de esfera.
17. Mostre que existe um único ponto equidistante dos vértices de um tetraedro qualquer,
chamado de circuncentro do tetraedro, o qual é o centro de uma esfera cuja superfície
contém seus vértices, chamada de esfera circunscrita a ele.
18. Mostre que existe um único ponto equidistante das faces de um tetraedro qualquer,
chamado de incentro do tetraedro, o qual é o centro de uma esfera que tangencia sua
faces, chamada de esfera inscrita nele.
19. Os ítens a seguir, deste exercício, têm como objetivo garantir a existência dos tetrae-
dros regulares e também estabelecer algumas de suas propriedades.
a) Mostre que existe um tetraedro regular. Determine sua altura h em função de sua
aresta a.
b) Mostre que são ortogonais duas arestas opostas do tetraedro regular.
c) Mostre que a reta que passa nos pontos médios de duas arestas opostas do tetrae-
dro regular é a perpendicular comum a ambas.
d) Mostre que existe um único ponto equidistante dos vértices e das faces do tetraedro
regular, chamado de centro do tetraedro, o qual é o centro comum das esferas ins-
crita e circunscrita a ele. Calcule, em função de a, os raios R e r, respectivamente,
das esferas circunscrita e inscrita nele, bem como seus ângulos diedrais.
e) Mostre que os centros das faces do tetraedro regular são vértices de outro tetraedro
regular.
20. Demonstre que existem paralelepípedos retangulares e cubos.
21. Mostre que existe um único ponto equidistante dos vértices e das faces de um cubo,
chamado de centro do mesmo, o qual é o centro comum das esferas inscrita e circuns-
crita a ele. Calcule, em função da aresta a do cubo, os raios R e r, respectivamente,
das esferas circunscrita e inscrita nele.
22. Uma pirâmide de base triangular tem faces laterais isósceles. Sabe-se que a área da
base é igual ao quadrado da altura h da pirâmide. Se r é o raio da esfera inscrita
36
2.4 Exercícios
nessa pirâmide, determine a razão h/r.
23. Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o raio da
esfera inscrita nele?
24. Um cone circular reto tem altura h e raio da base r. Quanto mede o raio da esfera
inscrita nele?
25. Sejam A, B, C e D os vértices da base de um cubo e A0, B0, C 0 e D0 os vértices
correspondentes da outra base.
a) Mostre que os pontos médios das seguintes arestas são coplanares: AB, BC,
CC 0, C 0D0, D0A0 e A0A.
b) Mostre que os pontos médios referidos no item anterior são vértices de um hexá-
gono regular.
37
Capítulo 3
Volume e Área de Superfície
Arquimedes, matemático grego, nasceu em 287 a.C. na cidade de Siracusa, na ilha de
Sicília. Estudou em Alexandria e voltou à cidade natal onde permaneceu até a morte que
ocorreu em 212 pela espada de um soldado romano. Ficou famoso pelas suas invenções
bélicas. É o autor do princípio da alavanca, sobre o qual ficou conhecida a seguinte frase
de Arquimedes: “Dêem-me um ponto de apoio e moverei o mundo”. É também autor
do princípio segundo o qual um corpo imerso num líquido sofre a ação de uma força, de
baixo para cima, igual ao peso da quantidade de líquido que desloca. Este ficou conhecido
como o princípio de Arquimedes que utilizou para descobrir se a coroa do rei Híeron II
fora confeccionada de ouro puro ou não.
Arquimedes1 deu uma grande contribuição à geometria espacial. Ele é responsável
pela descoberta das fórmulas do volume e área da superfície dos principais sólidos ge-
ométricos tais como a esfera, cilindro, cone, etc. É este assunto que iremos abordar neste
capítulo.
Arquimedes com o compasso.
1. A Noção de Volume
Entenderemos por sólido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espaço: cilindro,
cone, esfera, poliedro (que iremos definir no próximo capítulo) ou qualquer superfície
fechada, simples (isto é, sem auto-interseção), mais a região delimitada por ela.
Vale salientarmos que a idéia de sólido que acabamos de dar é um conceito primitivo,
ou seja, sem definição, uma vez que não demos a definição de superfície fechada simples e
nem tampouco a definição da região delimitada por ela. Enfim, temos somente uma idéia.
Outro conceito primitivo que iremos considerar é o de volume de um sólido. O volume
de um sólido é a quantidade de vezes que o cubo de aresta unitária