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FÍSICA - DINÂMICA E TERMODINÂMICAFÍSICA - DINÂMICA E TERMODINÂMICA
CONSERVAÇÃO DE ENERGIA ECONSERVAÇÃO DE ENERGIA E
DINÂMICA DE ROTAÇÃODINÂMICA DE ROTAÇÃO
Autor: Dr. Robyson dos Santos Machado
Revisor : Rosa lvo Miranda
IN IC IAR
introdução
Introdução
O termo energia é muito comum em nosso cotidiano. Ouvimos muito em
noticiários sobre o uso de fontes de energia renováveis no fornecimento de
energia a população mundial; para realizarmos qualquer tipo de movimento é
necessário alguma forma de energia; a combustão de combustíveis libera
energia térmica; os alimentos nos proporcionam energia química; os
exemplos são diversos e podem se estender a diferentes áreas de estudo.
O leitor pode estar re�etindo sobre: a�nal, o que é energia? Veremos nesta
unidade que o conceito de energia é bem intuitivo para nós, porém muito
complexo de ser de�nido. Descobriremos que a energia pode estar localizada
em um corpo ou em trânsito entre dois corpos, mas que a quantidade total
de energia sempre permanece constante, isto é, a energia se conserva.
A lei de conservação da energia é de enorme importância na Física e
aprenderemos que sua utilização possibilita a descrição de inúmeros
problemas. Além desta, existem outras leis de conservação na Física
associadas a diferentes grandezas. Nesta unidade, também iremos de�nir
algumas destas quantidades e analisar em quais situações elas se conservam.
Neste tópico, iremos iniciar nosso estudo acerca da energia. Iniciaremos
de�nindo algumas formas de energia e com o conceito de trabalho, que é
uma grandeza relacionada à energia transferida entre dois corpos por meio
de uma força (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). O ideia de trabalho na
Física se difere do que entendemos por trabalho em nossa vida cotidiana, por
exemplo, a ideia de um trabalho intelectual não existe na Física. Veremos que
o conceito de trabalho pressupõe a existência de uma força que irá transferir
energia de um corpo para outro.
A �m de compreendermos melhor essa quantidade a qual chamamos de
energia, analisemos o movimento de uma esfera de massa , e dimensões
desprezíveis, em queda livre com resistência do ar desprezível, conforme
ilustra a �gura 2.1.
Trabalho e EnergiaTrabalho e Energia
m
Nesta situação, estamos interessados no que irá de�nir a velocidade que a
esfera adquire ao �m da altura . A resposta a este levantamento é obtida ao
aplicarmos a equação de Torricelli na descrição deste movimento:
.                (1)
Em que é a velocidade que a esfera adquire após se deslocar pela altura ,
 sua velocidade inicial e a aceleração da gravidade local. Conforme
indicado na �gura 2.1, a esfera é abandonada a partir do repouso, de tal
maneira, que a equação (1) pode ser reescrita na seguinte forma:
.                (2)
Assim, a equação (2) nos mostra que a aceleração da gravidade local e a altura
da qual a esfera é abandonada são as grandezas que irão de�nir a velocidade
alcançada pela esfera. Agora, vamos olhar para a situação inversa.
Consideremos o caso do lançamento vertical da mesma esfera, sob as
mesmas condições, conforme ilustrado pela �gura 2.2.
Figura 2.1: Representação de queda livre de uma esfera de massa 
Fonte: Elaborado pelo autor
m
H
= + 2gHv2 v20
v H
v0 g
= gHv
2
2
Neste caso, re�itamos sobre o que irá de�nir a altura máxima que a esfera irá
alcançar. Aplicando novamente a equação de Torricelli a este novo caso,
obtemos:
.                (3)
Como na altura máxima atingida a velocidade v da esfera será nula, a equação
(3) se torna:
.                (4)
O que nos mostra que a altura máxima alcançada pela esfera será
determinada pela velocidade inicial de lançamento e pela aceleração da
gravidade local. Além disso, o fato mais interessante desta análise, é que as
equações (2) e (4) nos revelam que as quantidades e , em ambos os
casos, se conservam durante todo o movimento, e se multiplicarmos a massa
 da esfera em ambos os lados da relação obtida, ainda permanecemos com
uma quantidade que se conserva ao longo de todo o movimento, isto é:
.                (5)
Isso signi�ca, que a soma dessas duas quantidades, para qualquer posição da
esfera, deverá ser uma constante:
Figura 2.2: Representação do lançamento vertical de uma esfera de massa 
Fonte: Elaborado pelo autor
m
= + 2 (−g)Hv2 v20
gH =
v20
2
/2v2 gH
m
= mgHmv
2
2
                (6)
A esta quantidade que se mantém constante durante todo o movimento do
corpo chamamos de energia mecânica , ou energia total, (NUSSENZVEIG,
2002), assim:
.                (7)
Portanto, o que estamos de�nindo como energia, é uma quantidade
associada ao estado do corpo, que se mantém constante (HALLIDAY; RESNICK;
WALKER, 2016). Note ainda, que a equação (7) é composta por dois termos,
um associado a velocidade e outro a posição do corpo, por isso, a porção da
energia total associada ao seu movimento é chamada de energia cinética 
(NUSSENZVEIG, 2002):
.                (8)
Ao passo que, a porção da energia total associada a posição que o corpo se
encontra, chama-se energia potencial (NUSSENZVEIG, 2002):
.                (9)
O motivo da nomenclatura potencial se deve ao fato de ser uma forma de
energia que o corpo possui em potencial, podendo em qualquer momento se
converter em outras formas de energia, como por exemplo, cinética
(NUSSENZVEIG, 2002).
A análise dimensional das equações (8) e (9) nos possibilita de�nir uma
unidade de medida a energia:
.                (10)
Assim, no sistema internacional de unidades (SI), a unidade de medida de
energia é o Joule ( ) (NUSSENZVEIG, 2002).
Consideremos agora um bloco de massa , em repouso, apoiado sobre uma
superfície horizontal plana e de atrito desprezível. Num dado instante, uma
+ mgH = constantemv
2
2
E
E = + mgHmv
2
2
K
K = mv
2
2
U
U = mgH
K = U = kg. = N .m = J   (Joule)m
2
s2
J
m
força constante passa a atuar no bloco colocando-o em movimento,
conforme ilustra a �gura 2.3.
Suponhamos que este bloco seja deslocado pela força por uma distância
, e que ao �m deste deslocamento, ele tenha adquirido uma velocidade .
Note que a direção de forma um ângulo com a direção do deslocamento.
Ao aplicarmos a equação de Torricelli a esta situação obtemos:
.                (11)
Fazendo o uso da segunda lei de Newton, a aceleração adquirida pelo bloco
pode ser expressa por:
.                (12)
Substituindo a equação (12) na (11), obtemos:
.                (13)
Comparando a equação (13) com a equação (8), notamos que a quantidade
 é igual a energia cinética adquirida pelo bloco, por isso, a
chamamos de trabalho realizado pela força , assim:
F
Figura 2.3: Um bloco sendo arrastado sobre uma superfície horizontal devido
a ação de uma força
Fonte: Elaborado pelo autor
F
ΔS v
F θ
= 2aΔSv2
Fcosθ = ma ⇒ a = Fcosθ
m
= FΔScosθmv
2
2
FΔScosθ
(τ) $ F
.                (14)
Deste modo, vemos que o ato de realizar trabalho corresponde a
transferência de energia de um corpo a outro através de uma força
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Note que a dimensão da equação (14)
está de acordo com a equação (10), assim, no SI a unidade de medida de
trabalho é o Joule ( ). Na de�nição de trabalho estão envolvidas duas
grandezas que são vetoriais, a força e o deslocamento, no entanto, o trabalho
é uma grandeza escalar, pois a equação (14) trata-se de um produto escalar
entre os vetores e . Perceba também a in�uência do ângulo no
trabalho realizado pela força , este será máximo quando atuar no mesmo
sentido do deslocamento, e nulo caso a força exercida esteja em um plano
perpendicular a direção do movimento. Uma força atuando em sentido
contrário ao deslocamento, isto é, tendendo a retardar o movimento do
corpo, realiza um trabalho negativo sobre o mesmo, uma vez que, neste caso,
.
Vimos na equação (13) que o trabalho realizado por uma força na alteração
do estado de movimento de um corpo será igual a variação da energia
cinética experimentada por este. Esse fato constituium importante teorema,
que nos auxilia na solução de problemas em diversas situações, conhecido
como teorema do trabalho e energia cinética (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
2016):
.                (15)
Esse resultado que obtemos para o caso particular da �gura 2.3, é válido para
qualquer situação, assim, se um corpo em movimento passa por uma posição
inicial com energia cinética e chega a uma posição �nal com energia
cinética , o trabalho realizado sobre o corpo pode ser calculado por:
.
Na equação (9) vimos que a energia que um corpo possui devido à sua
posição é chamada de energia potencial. A �m de compreendermos melhor
essa forma de energia, consideremos um bloco de massa que está a uma
altura em relação ao solo, conforme ilustra a �gura 2.4.
τ = FΔScosθ
J
F ΔS θ
F F
θ = 180o
τ = ΔK
i Ki f
Kf
τ = −Kf Ki
m
h
Nesta posição, a força gravitacional atua sobre o bloco, assim, esta força irá
realizar um trabalho sobre ele em seu deslocamento desde aquela posição
até o solo, que será dado por:
.                (16)
Ou seja, a energia potencial que o bloco possui naquela posição advém do
trabalho realizado pela força gravitacional sobre ele para deslocá-lo até o solo
(ou o nível de referência). Por este motivo, chamamos essa energia de energia
potencial gravitacional , pois a natureza da força que realiza trabalho e
transfere energia ao corpo é gravitacional (NUSSENZVEIG, 2002). Deste modo,
se um corpo de massa se encontra a uma altura acima de um nível de
referência, esse corpo possui uma energia potencial gravitacional, em relação
a este nível, que pode ser calculada por (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016) e
(NUSSENZVEIG, 2002):
.                (17)
Note que depende da intensidade da força gravitacional sobre o corpo e
da posição que ele se encontra, daí a razão de seu nome.
A energia potencial, também pode estar associada a forças de outra natureza
que não seja a gravitacional. Um caso muito comum, é quando temos um
Figura 2.4: Um bloco a uma altura do solo submetido a força gravitacional
Fonte: Elaborado pelo autor
h
τ = . h. cos0 = mghFg o
( )Ug
m h
= mghUg
Ug
corpo ligado a extremidade de uma mola comprimida que aplica uma força
elástica sobre o mesmo. A �gura 2.5 ilustra tal situação.
Neste caso, a força elástica realiza um trabalho sobre o corpo ao deslocá-
lo em uma distância igual a compressão da mola, por isso, naquela posição
dizemos que o bloco possui uma energia potencial elástica , pois a
natureza da força que realiza trabalho sobre ele e lhe transfere energia é
elástica (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Devido a força elástica não ser
uma força constante e variar linearmente com a deformação da mola , o
trabalho realizado por esta força será dado por:
.                (18)
Em que representa o diferencial de deslocamento pelo qual a força pode
ser aproximada como constante. Aplicando a equação (18) a situação
ilustrada na �gura 2.5, obtemos:
.                (19)
Em que corresponde a constante elástica da mola. Deste modo, a energia
potencial elástica que um corpo possui, ligado a uma mola de constante
elástica e deformada de uma distância , será dada por :
Figura 2.5: Um bloco acoplado a uma mola que lhe exerce uma força elástica.
Fonte: Adaptado de (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016, pág. 381)
Fel
x
( )Uel
x
= F (x) dxτel ∫
xf
xi
dx
= (−kx)dx = −k (0 − ) =τel ∫ 0−x
x2
2
kx2
2
k
k x
.                (20)
Observe que está relacionada a constante elástica da mola e sua
deformação, não apresentando dependência com a massa do corpo.
praticar
Vamos Praticar
Considere um bloco sendo deslocado sobre uma mesa horizontal devido a ação de
uma força constante e paralela ao deslocamento. As forças que atuam sobre o
bloco são a força , a força gravitacional, a força normal de reação da mesa e a
força de atrito. Dentre essas forças, aquela que não realiza trabalho no bloco e
aquela que realiza trabalho negativo são, respectivamente:
a) A  força e a força normal.
b) A força normal e a força gravitacional.
c) A força gravitacional e a força .
d) A  força gravitacional e a força de atrito.
e) A força e a força de atrito.
=Uel
kx2
2
Uel
F
F
F
F
F
Vimos na seção anterior que a energia mecânica de um corpo é a soma de
sua energia cinética com a potencial, da equação (7) temos que:
.                (21)
Essa constatação pode ser generalizada a um sistema de vários objetos,
assim, a energia mecânica total de um sistema será dada pelo somatório da
energia cinética com a energia potencial dos corpos que formam o
sistema (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Discutimos também, que a
energia mecânica de um corpo se mantém constante durante todo seu
movimento. A �m de compreendermos melhor em quais situações esta
energia não se dissipa, consideremos um corpo que esteja se deslocando de
uma posição inicial a uma posição �nal por uma trajetória qualquer e
submetido apenas a forças conservativas, que são forças cujo trabalho
independe do caminho percorrido pelo corpo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
2016), a �gura 2.6 representa uma tal situação. Forças cujo trabalho depende
do caminho traçado pelo corpo são chamadas de dissipativas ou não-
conservativas, um exemplo desse tipo de força é a força de atrito.
Conservação de EnergiaConservação de Energia
E
E = K + U
K U
i f
Sabemos que, quaisquer que sejam as forças, o trabalho realizado por elas é
igual a variação da energia cinética e/ou potencial do corpo em seu
deslocamento da posição inicial a �nal, isto é:
         e/ou             .                (22)
Igualando as duas expressões obtemos:
.    (23)
Ou seja, o somatório da energia cinética e potencial do corpo se igualam
independente da posição em que ele esteja. Como as posições e foram
escolhidas de forma aleatória e a soma da energia cinética com a potencial
corresponde a energia mecânica do corpo, podemos dizer que se apenas
forças conservativas atuam sobre um corpo em movimento, sua energia
mecânica permanece constante para qualquer ponto da trajetória
(NUSSENZVEIG, 2002). Deste modo, se a energia potencial de um corpo
diminuir, sua energia cinética aumentará, e vice-versa, de modo que sua
energia mecânica se conserve. Esse resultado é conhecido como princípio de
conservação da energia mecânica (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016).
Figura 2.6: Representação de um corpo se deslocando por uma trajetória
qualquer
Fonte: Elaborado pelo autor
= −τi→f Kf Ki = −τi→f Ui Uf
− = −Kf Ki Ui Uf ⇒ + = +Kf Uf Ki Ui
i f
Caso uma força dissipativa estivesse atuando no corpo, sua energia mecânica
não seria conservada, por exemplo, se uma força de atrito atuasse no corpo,
iríamos observar que sua energia mecânica na posição �nal seria menor do
que na posição inicial , pois uma porção da energia mecânica se transformou
em calor, provocando um aquecimento do corpo, fato este que não acontecia
quando somente forças conservativas eram aplicadas (TIPLER, 1978). Esse
resultado pode ser observado em diversas situações, quando uma certa
forma de energia diminui, veri�ca-se o surgimento de outra forma de energia
em quantidade equivalente, ou seja, a energia não desaparece ela apenas se
transforma de uma forma em outra. Essas observações levaram ao
surgimento do princípio geral de conservação da energia: A energia não pode
ser criada nem destruída, ela somente pode ser transformada de uma forma
em outra (NUSSENZVEIG, 2002) e (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016).
Em qualquer fenômeno que ocorra na natureza esse princípio é veri�cado, e
ele é amplamente utilizado na solução de diversos problemas. É válido
ressaltar que a conservação da energia mecânica é um caso particular deste
princípio geral, uma vez que esta somente se conserva quando no corpo
atuam apenas forças conservativas.
f
i
saiba mais
Saiba mais
Desde a compreensão do conceito de energia
mecânica, diversas áreas da engenharia
buscam pelo aperfeiçoamento e
desenvolvimento de técnicas que utilizama
energia mecânica dos corpos como fonte
principal de trabalho. O processo de
usinagem é uma dessas técnicas que é
amplamente utilizada nas indústrias. Acesse
o artigo e leia mais sobre o assunto:
Fonte: Elaborado pelo autor
ACESSAR
https://revista.univem.edu.br/REGRAD/article/view/2062
praticar
Vamos Praticar
Considere um ciclista em repouso no topo de uma ladeira. Em um dado instante, ele
deixa que sua bicicleta desça a ladeira naturalmente. Desprezando a resistência do
ar e quaisquer outras formas de atrito, em relação às suas energias durante a
descida, podemos a�rmar que:
a) A cinética aumenta, a potencial gravitacional diminui e a mecânica se
mantém constante.
b) A cinética aumenta, a potencial gravitacional e a mecânica diminuem.
c) A cinética e a mecânica se mantém constante e a potencial gravitacional
diminui.
d) A cinética se mantém constante, a potencial gravitacional e a mecânica
diminuem.
e) A cinética, a potencial gravitacional e mecânica se mantém constantes.
Estudamos na seção anterior que o princípio de conservação da energia
propõe que esta não pode ser criada nem destruída, somente transformada.
Existem outras leis de conservação na natureza que envolvem outras
grandezas físicas que, em determinadas circunstâncias, também se
conservam. Nesta seção, vamos introduzir o conceito de uma dessas
grandezas e analisar em que condições ela se conserva.
Uma grandeza de fundamental importância associada ao movimento dos
corpos é a denominada quantidade de movimento, ou momento linear. Sua
de�nição surgiu na formulação original de Newton da 2ª lei: “A quantidade de
movimento é a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da
velocidade e da massa” (NUSSENZVEIG, 2002, pág. 72). Isto é, de�nimos o
momento linear de um corpo de massa , que se move com uma
velocidade , como o produto de sua massa por sua velocidade:
.                (24)
Note que, assim como a velocidade, o momento linear é uma grandeza
vetorial, de mesma direção e mesmo sentido do vetor . No SI, a unidade de
Momento Linear e ColisõesMomento Linear e Colisões
p m
v
p = mv
v
medida do momento é o . Em sua de�nição da 2ª lei, Newton propôs
que a força seria uma grandeza que mede a taxa com que o momento linear
de um corpo varia no tempo (NUSSENZVEIG, 2002), isto é
.                (25)
Decorre desta de�nição que, se a massa do corpo que recebe a força não
varia com o tempo, a força se torna :
.                (26)
Em que a representa aceleração adquirida pelo corpo. A de�nição na
equação (25) corresponde a formulação geral da 2ª lei de Newton da
mecânica, e ela nos revela a importância do conceito de momento na
dinâmica do movimento (NUSSENZVEIG, 2002).
Consideremos agora, um corpo de massa movendo-se com uma
velocidade . Se num dado instante, uma força constante atuar neste
corpo, durante um intervalo de tempo , sua velocidade sofrerá uma
variação, passando a ser ao �m desse intervalo. A �gura 2.7 ilustra esta
situação.
kg.m/s
F =
dp
dt
m
F
F = m = madv
dt
a
m
v0 F
Δt
v
Figura 2.7: Representação de um corpo que tem sua velocidade aumentada
pela ação de uma força constante
Fonte: Elaborado pelo autor
A aplicação da 2ª lei de Newton a este caso nos permite escrever:
                (27)
A quantidade é chamada de impulso , e ela é uma grandeza vetorial
que tem a mesma direção e sentido da força , assim, sempre que uma força
 atuar em um corpo durante um intervalo de tempo , dizemos que o
corpo recebeu um impulso que é dado por (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
2016):
.                (28)
No SI, a unidade de medida de impulso é o , que é equivalente ao
. A equação (27) nos mostra ainda, que o impulso recebido pelo
corpo é igual a variação de seu momento linear:
.                (29)
Esta relação é conhecida como teorema do momento linear e impulso e seu
uso auxilia a solução de diversos problemas (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
2016). Apesar das de�nições nas equações (28) e (29) terem sido obtidas para
o caso de uma força constante, estes resultados são gerais, fazendo o uso do
formalismo matemático adequado, podemos aplicá-las em qualquer situação.
Caso tenhamos um sistema de partículas de massas , etc., que
se movem com velocidades , etc. O momento linear total do
sistema será obtido pela soma vetorial dos momentos individuais de suas
partículas, isto é:
                (30)
Além disso, as forças que atuam em um sistema de partículas podem ser
classi�cadas como internas ou externas. Forças trocadas entre os corpos que
compõem o sistema, são chamadas de internas. Caso a força que atua em
uma partícula do sistema for exercida por um agente que não pertença ao
mesmo, ela será chamada de externa. Posto isso, consideremos um sistema
no qual uma partícula A exerça uma força sobre outra partícula B, ambas
F = ma = m v−v0
Δt
⇒ FΔt = mv − mv0
FΔt I
F
F Δt
I = FΔt
N . s
kg.m/s
I = Δp
,   ,  m1 m2 m3
,   ,  v1 v2 v3
ps
= +   +   +. . .ps p1 p2 p3
pertencentes ao sistema. De acordo com a 3ª lei de Newton, a partícula B irá
reagir sobre A com uma força de mesma intensidade, mas, com sentido
contrário. Devido a essa interação, a partícula A recebe um impulso , ao
passo que, a partícula B recebe um impulso . Como as forças que
provocam os impulsos são iguais e contrárias, devemos ter
,                (31)
fazendo o uso da equação (29), obtemos:
.                (32)
Ou seja, as forças internas irão provocar variações iguais e contrárias nos
momentos das partículas do sistema, de tal maneira, que o momento linear
total do sistema não se altera. Portanto, na ausência de forças externas em
um sistema, ou se a resultante delas for nula, seu momento linear
permanecerá constante:
,                (33)
ou seja, o momento total de um sistema isolado se conserva (NUSSENZVEIG,
2002). Esse resultado, pode ser aplicado a diferentes estados do sistema com
a �nalidade de determinar grandezas a ele associadas, isto é, o momento
linear total em um estado inicial do sistema será igual ao seu momento em
um estado �nal :
.                (34)
Estes resultados, são conhecidos como o princípio de conservação do
momento linear total (NUSSENZVEIG, 2002). Uma das aplicações mais
importantes deste princípio é encontrada no estudo de interações de curta
duração, como em uma explosão ou em uma colisão. A �m de
compreendermos como essa grandeza está envolvida nesses fenômenos,
vamos analisar as principais características das colisões.
Colisões
IA
IB
= −IA IB
Δ = −ΔpA pB
qs
= constanteps
pi
pf
=pi pf
Quando dois corpos em movimento colidem entre-si, a direção do movimento
dos corpos pode ser alterada pelo choque ou não. Quando os corpos se
movimentam ao longo de uma mesma direção antes e depois da colisão,
dizemos que ocorreu um choque unidimensional. Caso os corpos se
movimentam em direções diferentes, antes ou depois da colisão, dizemos que
o choque é bidimensional ou oblíquo (NUSSENZVEIG, 2002). Além disso,
durante uma colisão os corpos envolvidos podem sofrer deformações
permanentes ou não. Quando os corpos que se chocam sofrem pequenas
deformações somente no curto intervalo de tempo em que ocorre a colisão,
e, após o choque, retornam a seu formato inicial, dizemos que a colisão é
elástica (NUSSENZVEIG, 2002). Neste tipo de colisão a energia cinética do
sistema se conserva, pois não houve conversão desta forma de energia em
outras ao �m da colisão. Um clássico exemplo de colisão que pode ser
considerada elástica é o choque entre duas bolas de bilhar. Na prática, este
choque não é perfeitamente elástico, pois durante a colisão ouvimos um som,
logo, parte da energia cinética se converte em sonora; além disso, há uma
ligeira conversão de energia cinética em calor devido ao atrito na superfície de
contato, no entanto, essas perdas de energia cinética podem ser desprezadas
e a colisão ser tratada como se fosse elástica (NUSSENZVEIG, 2002). Nos casos
contrários, em que os corpos que colidem apresentamdeformações
permanentes em virtude da colisão, uma parte considerável da energia
cinética poderá ter sido utilizada para produzir as deformações, assim, os
valores de energia cinética do sistema, antes e após a colisão, serão distintos.
A esse tipo de colisão chamamos de inelástica (NUSSENZVEIG, 2002). Um caso
particular deste tipo de colisão, ocorre quando os corpos passam a se mover
com velocidades iguais e unidos após o choque, nesse caso, veri�ca-se a
maior redução possível no valor da energia cinética do sistema, por isso, esse
tipo de colisão é chamada de perfeitamente inelástica (HALLIDAY; RESNICK;
WALKER, 2016), a �gura 2.8 ilustra uma tal situação.
Deste modo, uma colisão elástica é caracterizada por observarmos a
conservação do momento linear e da energia cinética, ao passo que, numa
colisão inelástica a quantidade que se conserva é somente o momento linear,
não havendo conservação de energia cinética.
Figura 2.8: Representação de uma colisão perfeitamente inelástica.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016, pág. 543
reflita
Re�ita
A de�nição da grandeza vetorial momento linear por Newton
foi de fundamental importância para a compreensão da
dinâmica do movimento dos corpos, e a lei de conservação
desta grandeza auxilia na solução de inúmeros problemas.
Considere um corpo de massa percorrendo uma
circunferência de raio com movimento uniforme. Podemos
a�rmar que o momento linear desse corpo se conserva
durante todo o movimento?
Fonte: Elaborado pelo autor
m
R
Apesar da energia cinética de um sistema nem sempre se conservar em uma
colisão, se os corpos que compõem o sistema estiverem submetidos somente
às forças internas de interação que atuam durante a colisão, o princípio de
conservação do momento estabelecido na equação (34) permanece válido.
Em outras palavras, considerando um sistema de corpos que colidem entre si,
o momento linear total imediatamente antes da colisão é igual ao momento
linear total do sistema imediatamente após a colisão (NUSSENZVEIG, 2002).
Essa constatação possibilita a solução de diversas situações-problema de
sistemas físicos, e é amplamente utilizada nas engenharias.
praticar
Vamos Praticar
Em um jogo de bilhar, a bola de número 8, com massa e velocidade de 1 m/s,
colide frontalmente com a bola de número 5, de mesma massa, que está parada
sobre uma superfície de atrito desprezível. Sabendo-se que, após a colisão, a bola
de número 5 passou a se mover com uma velocidade de módulo igual a 1 m/s,
podemos a�rmar que a bola de número 8?
a) Manteve sua velocidade.
b) Duplicou sua velocidade.
c) Ficou em repouso.
d) Reduziu sua velocidade pela metade.
e) Recuou com a mesma velocidade da bola número 5.
m
Ao estudarmos as leis de Newton, compreendemos as condições de
equilíbrio, bem como as causas do movimento de translação de corpos que
possam ser tratados como uma partícula. Nesta seção, vamos estudar os
conceitos básicos associados à dinâmica do movimento de rotação dos
chamados corpos rígidos, que possui uma grande importância prática em
diversas áreas da engenharia.
Antes de analisarmos as causas do movimento de rotação, vamos de�nir em
que condições um corpo pode ser tratado como rígido.
Torque e Dinâmica deTorque e Dinâmica de
RotaçãoRotação
Sabemos que o resultado da aplicação de uma força sobre um corpo é a
alteração do estado de movimento deste, a �m de compreendermos a
condição necessária para colocarmos um corpo rígido em movimento de
rotação, consideremos uma barra rígida, que está �xa e pode girar em torno
do eixo , submetida a uma força constante, conforme ilustra a �gura 2.9.
1 21 2
O F
Sob a ação de a barra tende a girar em torno do eixo , de modo a
compreendermos de que maneira provoca esse movimento de rotação,
decompomos-a em duas componentes, uma paralela ao plano da barra e
outra perpendicular . A componente não será capaz de provocar
movimento de rotação, apenas de translação, mas devido a barra estar �xa ao
eixo , ela não translada. Já a componente é a responsável pela origem
do movimento de rotação da barra, assim, a capacidade de de fazer com
que a barra entre em movimento de rotação está associada a intensidade de
sua componente perpendicular . Além disso, a experimentação nos mostra
que a rotação da barra será mais acentuada a medida que a distância entre
o ponto de aplicação da força e o eixo de rotação aumenta (HALLIDAY;
RESNICK; WALKER, 2016). Deste modo, de�nimos uma grandeza, responsável
por colocar o corpo em movimento de rotação, cuja intensidade depende de
 e , denominada torque (NUSSENZVEIG, 2002):
.                (35)
A palavra torque vem do latim “torquere”, que signi�ca torcer, e está grandeza
é o análogo de uma força na dinâmica de translação para o movimento de
rotação (NUSSENZVEIG, 2002). Como o módulo da componente tangencial 
é dado por (veja �gura 2.8)
Figura 2.9: Representação de uma barra rígida sujeita a ação de uma força.
Fonte: Elaborado pelo autor
F O
F
Fr
FT Fr
O FT
F
FT
r
FT r τ
τ = . rFT
FT
,                (36)
em que é o ângulo que faz com a direção de . Assim, a equação (35) para
a intensidade do torque pode ser reescrita como
.                (37)
Neste contexto de rotações, a distância é chamada de braço de alavanca
(NUSSENZVEIG, 2002). A unidade de medida do torque no SI será o .
Além disso, o torque foi introduzido como o análogo de uma força no
movimento de rotação, e sabemos que uma força é uma grandeza vetorial,
assim, uma re�exão na equação (37) nos permite concluir que no formato que
a obtemos, o torque corresponde ao produto vetorial de e :
.                (38)
Portanto, o torque é uma grandeza vetorial, cuja direção e sentido tem
signi�cado físico na rotação. Geralmente, esse vetor é chamado de torque da
força com relação ao eixo (NUSSENZVEIG, 2002).
Na seção anterior, vimos que o momento linear é um conceito essencial na
dinâmica de translação dos corpos, e acabamos de de�nir o torque para a
dinâmica de rotação como o análogo da força na translação, assim, somos
levados a pensar se há a correspondente grandeza ao momento linear na
rotação dos corpos. Para isso, vamos relacionar o torque ao momento
linear juntando as equações (25) e (38):
.                (39)
Notemos que:
                (40)
pois , como e estão sempre numa mesma direção, o produto
vetorial entre eles irá se anular. Logo podemos escrever:
,                (41)
= FsenθFT
θ F r
τ = Frsenθ
r
N .m
r F
τ = r × F
F O
τ
p
τ = r ×
dp
dt
(r × p) = × p + r × = r ×d
dt
dr
dt
dp
dt
dp
dt
= vdr
dt
v p
τ = (r × p) =d
dt
dL
dt
em que :
                (42)
corresponde ao momento angular do corpo com relação ao eixo , e, na
dinâmica de rotação, ele desempenha o papel do momento linear
(NUSSENZVEIG, 2002). A equação (41) é considerada a lei fundamental da
dinâmica de rotação, ela é análoga a 2ª lei de Newton da equação (25), e nos
mostra que o torque com relação a um eixo é igual a taxa de variação
temporal do momento angular com relação a este mesmo eixo
(NUSSENZVEIG, 2002). Esta equação nos mostra ainda que, se o torque com a
relação a um eixo se anula , então:
,                (43)
ou seja, o momento angular do corpo não varia com o tempo, ele se conserva.
Esta é a lei de conservação do momento angular (NUSSENZVEIG, 2002). Assim
como a lei de conservação do momento linear, a conservação do momento
angular pode ser empregada na solução diversos problemas envolvendo a
rotação de corpos rígidos, sendo o mais comum, o desenvolvimento das
alavancas.
praticar
Vamos Praticar
É comum em nosso cotidiano, observarmos o encaixe de uma barra longa em chave
de rodas com a �nalidade de soltar mais facilmente os parafusos que prendem as
rodas de veículos. Essa técnica facilita o desencaixe do parafuso porque
a) Diminui a força de atrito que prende o parafuso.
L = r × p
L O
O
τ = 0
= 0dL
dt
b) Diminui a intensidade do torque aplicado sobre o parafuso.
c) Aumentaa intensidade do torque sobre o parafuso.
d) Aumenta o ângulo de rotação necessário para soltar o parafuso.
e) Aumenta a intensidade da força aplicada a barra.
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Curso de Física básica
H. Moysés Nussenzveig
Editora: Blucher
ISBN: 978-85-212-0298-1
Comentário: Curso de Física básica é um conjunto de
quatro livros que trata dos conceitos básicos de Física
que todos os cientistas e engenheiros da área devem
ter conhecimento. Em particular, o primeiro volume,
trata os principais conceitos discutidos nesta unidade.
FILME
TED talk: O incrível potencial da energia
solar
Ano: 2017
Comentário: Nesta TED talk é discutido uma outra
forma de energia e novas maneiras de se aproveitá-la, é
apresentado novas tecnologias para conversão de
energia. Um bom vídeo para enriquecer ainda mais a
discussão sobre energia e sua conservação.
TRA ILER
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, estudamos conceitos introdutórios relacionados a
conservação de energia e a dinâmica de rotação. Em nossa análise dos
conceitos físicos, aprendemos que esses conteúdos possibilitam a
compreensão das causas de diversos tipos de movimento e suas aplicações.
Iniciamos o nosso estudo com os conceitos básicos associados à trabalho e
energia, e, em seguida, avançamos para as condições nas quais a energia
mecânica de um corpo, ou um sistema, se conserva.
Na segunda metade, discutimos os conceitos de momento linear, impulso,
torque e momento angular, e vimos que suas relações constitui o ponto de
partida para chegarmos ao princípio de conservação do momento. Esperamos
que o texto possa ter contribuído para a ampliação de seus conhecimentos e
tenha estimulado você a avançar ainda mais em seus estudos.
referências
Referências
Bibliográ�cas
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física . 10 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2016.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica . 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002.
TIPLER, P. A. Física. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1978.