AP1-A1-2019-2-Gabarito

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Álgebra I
Soluções da AP1 - 2019.2
Questão 1: (2,0 pontos) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto U . Prove que se
A ∩B = ∅ e A ∪B = U , então B = Ac. Em que Ac denota o conjunto complementar de A.
Solução:
Para mostrar que B = Ac devemos mostrar que B ⊂ Ac e que Ac ⊂ B.
• Prova de que B ⊂ Ac
Seja x um elemento qualquer pertencente ao conjunto B, como por hipótese temos
que A ∩ B = ∅, então x não pode pertencer ao conjunto A (caso x estivesse em A
a interseção A ∩ B seria diferente de vazia), portanto x ∈ Ac. Isso nos mostra que
B ⊂ Ac.
• Prova de que Ac ⊂ B
Tomemos um elemento qualquer x pertencente ao conjunto Ac, então x /∈ A, mas como
por hipótese A ∪B = U , então x ∈ B. Mostrando que Ac ⊂ B.
Questão 2: (2,5 pontos)
(a) (1,5pontos) Seja Z o conjunto dos números inteiros. Dados a e b números inteiros
diremos que a ∼ b quando a− b for múltiplo de 5. Mostre que a relação determinada por ∼
em Z é uma relação de equivalência.
(b) (1,0 pontos) Considerando ainda a relação ∼ definida no item (a) mostre que essa
relação possui exatamente cinco classes de equivalência em Z. Descreva essas classes.
Solução:
(a) A fim de mostrar que a relação é de equivalência precisamos mostrar que a relação é
reflexiva, simétrica e transitiva.
Reflexividade: Temos que a− a = 0 e zero é múltiplo de 5. Portanto, a ∼ a.
Simetria: Se a ∼ b, então 5 divide a− b, logo existe q ∈ Z tal que a− b = 5q. Multiplicando
por −1 temos que b− a = 5(−q), donde conclui-se que b ∼ a.
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Transitividade: Se a ∼ b e b ∼ c, então existem q1 e q2 tais que a− b = 5q1 e b− c = 5q2. Se
somarmos estas duas igualdades teremos (a−b)+(b−c) = 5q1+5q2. Então, a−c = 5(q1+q2)
e consequentemente a ∼ c. Portanto a relação é transitiva.
Conclusão: a relação ∼ é uma relação de equivalência.
(b) Fixe um inteiro b ∈ Z. O Teorema de Divisão de Euclides garante que qualquer que
seja a ∈ Z existem q e r, com r = 0, 1, 2, 3 ou 4 tais que a − b = 5q + r (q e r unicamente
determinados por estas propriedades). Então a − b − r = a − (b + r) = 5q, portanto,
a ∼ (b + r), onde r = 0, 1, 2, 3 ou 4.
Assim, dado um inteiro a arbitrário temos que a é equivalente a b, b+ 1, b+ 2, b+ 3 ou b+ 4.
Isto é, existem 5 classes de equivalência e, juntas, elas contêm todos os números inteiros.
Questão 3: (2,5 pontos) Prove, por indução em n, que n3 − n é diviśıvel por 6 qualquer
que seja o n maior ou igual a 6.
Solução: Vamos verificar que a afirmação é válida para n = 6. De fato, 63 − 6 = 6 · 35,
que claramente é diviśıvel por 6. Nossa hipótese de indução é que o resultado é válido para
n = k, isto é, existe um inteiro N tal que
k3 − k = 6N
Vamos mostrar que o resultado vale para n = k + 1, para isso usaremos nossa hipótese
de indução. De fato,
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1− k − 1 = k3 + 3k2 + 3k − k.
Note que pela hipótese de indução, sabemos que k3 − k = 6N , e sendo assim
(k + 1)3 − (k + 1) = 6N + 3k2 + 3k = 6N + 3k(k + 1)
Basta notar agora que qualquer que seja o valor de k, k(k+1) será sempre múltiplo de 2,
pois ou k ou k+ 1 será par. Logo 3k(k+ 1) será sempre um múltiplo de 6, donde conclúımos
que o resultado vale para n = k + 1.
Questão 4: (3,0 pontos) Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou
falsa. Prove as que julgar verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.
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(a) (1,0 ponto) Se o resto da divisão de um número inteiro a por 7 é 3, então o resto da
divisão de a2 + 2a + 3 por 7 será 4.
(b) (1,0 ponto) Dados um número primo p e um inteiro a, se p - a, então mdc(a, p) = 1.
(c) (1,0 pontos) O conjunto I = {m ∈ Z tal que m é divisor de 24} é um ideal de Z.
Solução:
(a) Verdadeira. Pelo algoritmo de Euclides temos que a = 7k + 3 para algum k inteiro.
Portanto, a2 + 2a + 3 = (7k + 3) (7k + 3) + 2 (7k + 3) + 3 = 72k2 + 42k + 9 + 14k + 6 + 3 =
72k2 + 56k + 18. Como 18 = 2× 7 + 4, então
a2 + 2a + 3 = 72k2 + 56k + 2× 7 + 4 = 7
(
7k2 + 8k + 2
)
+ 4,
mostrando que o resto da divisão de a2 + 2a + 3 por 7 é 4.
(b) Verdadeiro. Como p é primo, então, por definição, D(p) = {1, p}. Como p - a, segue
que o único divisor comum entre a e p é 1 e, portanto, mdc(a, p) = 1.
(c) Falso. Basta notar que 0 /∈ I.
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