MEC. DOS FLUIDOS TOPICO 5 (1)

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Análise de energia mecânica de 
escoamentos 
Balanço de energia mecânica em regime permanente 
Esta equação informa a taxa total de energia mecânica para um 
determinado volume de controle através da transferência de calor e 
trabalho realizado pelo sistema 
Quando existe apenas uma entrada e uma saída a equação se reduz a: 
Reescrevendo em termos de entalpia: 
Entrada de energia 
mecânica 
Saída de energia mecânica 
Escoamento ideal 
termo entre 
parênteses =0 
Balanço de energia considerando as perdas 
Perda de 
energia 
mecânica 
Sabe-se que Weixo = Wentrada – Wsaida 
Weixo = Wbomba – Wturbina 
 
Reescrevendo em termos de trabalho da bomba e da turbina: 
Entrada de potência de 
eixo através da bomba 
Saída de potência de eixo 
através da turbina 
Perda total de potencia mecânica 
devido as perdas da bomba, turbina 
atrito, entre outras. 
Equação da energia em termos de cargas: 
 Onde: 
hturbina = Wturbina/g é a carga útil extraída do fluido pela turbina ; 
hbomba = Wbomba/g é a carga fornecida ao do fluido pela bomba; 
hL= emec perda, tubulação /g é a perda de carga irreversível entre dois pontos 1 
e 2 em virtude do atrito do fluido com a tubulação. 
 
𝒉𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 =
𝑾 
𝒏𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂𝒙 𝒎 𝒈
 
𝒉𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 =
𝑾 
𝒏𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂𝒙 𝒎 𝒈
 
 Aplicações 
• Potencia de bombeamento e aquecimento por 
atrito de uma bomba 
• Geração de potencia hidrelétrica de uma represa 
Escoamento em tubos 
Regime laminar e turbulento 
Escoamento em tubos 
 Aplicações de escoamentos em tubos: 
 
• Escoamentos residenciais; 
 
• Transporte de petróleo e gás; 
 
• Transporte de sangue através de veias e 
artérias, entre outros. 
 Diferença entre escoamento interno e 
externo 
• Escoamento interno é ocasionado por um ∆P 
 
• Escoamento externo, normalmente impulsionado 
apenas pela gravidade. 
Características 
muito 
diferentes 
Determinação da potência de 
bombeamento 
 Sistema típico de tubulações envolve: 
• Tubulações de diferentes diâmetros; 
• Acessórios de conexão; 
• Válvulas para controle de vazão; 
• Bombas para pressurizar o fluido. 
Atrito e perda de cargas devido 
ao escoamento 
tubos 
Dutos 
 Teoria do escoamento 
 
• Baseada em resultados experimentais e nas relações empíricas dos 
problemas de escoamentos 
• Resultados experimentais em laboratórios sob condições cuidadosamente 
controladas; 
• Erros experimentais chegam a 10% e isso não é uma exceção 
 
 Perfil de velocidade de escoamento em tubos 
• Velocidade máxima; 
• condição de não deslizamento; 
• Velocidade média 
 
 Velocidade Média no escoamento 
• É calculada a partir da conservação de massa 
Onde m é a vazão, ρ é a massa específica, Ac é a área da seção transversal e 
u(r) é o perfil de velocidade 
Portanto: 
Assim, quando se conhece a vazão ou perfil de velocidade , a velocidade média 
pode ser determinada com facilidade 
 Escoamento laminar e turbulento 
• Laminar: caracterizado por linhas de correntes suaves e 
movimento altamente ordenado (esoamentos altamente 
viscosos e a baixas velocidades). 
• Turbulento: caracterizado pelas flutuações de velocidade e pelo 
movimento altamente desordenado. 
 Experimento de Reynolds: 
 Número de Reynolds 
• Para número de Reynolds grande, as forças inerciais , proporcionais a 
densidade e ao quadrado da velocidade (Bernoulli), são grandes em relação as 
forças viscosas e tais forças não conseguem evitar as flutuações aleatórias e 
rápidas do fluido. 
• Com Re pequenos ou moderados, as forças viscosas são suficientemente 
grandes para suprir essas flutuações e manter o fluido alinhado. 
Rec= 2300 Numero de Reynolds crítico 
Difere para geometria e 
condições de 
escoamento diferentes 
 Número de Reynolds 
• Para tubos não circulares Re se baseia no diâmetro hidráulico 
definido como: 
𝐷ℎ =
4𝐴𝑐
𝑝
 
Onde Ac é a área da seção transversal e p é seu 
perímetro molhado 
• Para tubos circulares o diâmetro permanece igual 
𝐷ℎ =
4𝐴𝑐
𝑝
=
(4𝜋𝐷2/4)
𝜋𝐷
= 𝐷 
Região de Entrada 
• Camada limite 
• Região de escoamento irrotacional 
• Região de entrada hidrodinâmica 
• Região hidrodinamicamente desenvolvida 
Relação da tensão 
de cisalhamento 
com as regiões de 
entrada 
 Comprimento de entrada 
• É tomado como a distância da entrada do tubo até o lugar onde a tensão 
de cisalhamento na parede do tubo permaneça cerca de 2% do valor 
completamente desenvolvido 
• Segundo Kays e Crawford (1993) para escoamento laminar o comprimento de 
entrada é dado por aproximadamente: 
análise Para Re=20 L =D, Re=2300 L=115D 
•Para escoamento turbulento, Bhatti e Shah (1987) e Zhi-qing (1982) sugeriu a 
relação de comprimento de entrada de: 
 
•Muitos escoamentos práticos para engenharia: 
Escoamento Laminar em tubos 
•Escoamento onde numero de Reynolds < 2300 
Regime laminar, fluido 
incompressível 
Perfil completamente 
desenvolvido 
•Balanço de momento num elemento de volume de controle 
Tem-se o perfil de velocidade do escoamento 
•Perfil parabólico; 
•Velocidade máxima no eixo central; 
•Velocidade mínima na parede. 
 
O gradiente de pressão 
dever ser negativo, pois a 
pressão diminui na 
direção do escoamento 
devido aos efeitos 
viscosos 
Para r = 0 
umax=2Vmed 
Queda de pressão e perda de carga 
Quantidade de interesse em análise de escoamento: 
, uma vez que a variação de pressão está relacionada com 
potencia de equipamentos para manter o escoamento 
Substituindo na equação da velocidade média, a 
queda de pressão pode ser expressa como: 
Para enfatizar que ΔP é uma perda de pressão 
irreversível devida a queda de pressão ao longo do 
comprimento L da tubulação, enfatizaremos a perda de 
pressão como ΔPL. 
Escoamento laminar 
Queda de pressão e perda de carga 
Na prática é conveniente expressar a perda de pressão para todos os tipos de 
escoamentos internos (laminar, turbulento, tubos circulares e não circulares, 
suaves ou rugosos, horizontais ou inclinados) completamente desenvolvidos, 
portanto 
Onde 
𝜌𝑣2
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
2
 
É a pressão dinâmica e “f” é o 
fator de atrito de Darcy dado 
por : 
Ao isolarmos a equação da perda de carga para 
escoamento laminar com a equação geral de perda de 
carga, temos o fator de atrito para escoamento laminar 
Esta equação mostra que o fator de 
atrito só depende do numero de 
Reynolds 
Queda de pressão e perda de carga 
• A perda de carga hL normalmente são expressa em termos de altura equivalente 
da coluna de fluido em sistemas de tubulações. 
• Na estática dos fluidos, observa-se que: ∆P= ρgh e que, portanto uma diferença 
de pressão corresponde a uma altura de fluido dada por h= ∆P/ρg 
Então: 
Representa a altura adicional a qual 
o fluido precisa ser elevado por uma 
bomba para superar as perdas por 
atrito 
• Validade das equações: 
Escoamento laminar Escoamento laminar e turbulento, 
tubos circulares ou não 
Queda de pressão e perda de carga 
• Uma vez determinada a queda de pressão, a potencia da bomba 
necessária para superar essa perda é: 
• A velocidade média pode ser deteminada para escoamentos em tubos 
horizontais como : 
• E a vazão volumétrica do escoamento laminar de um tubo horizontal 
Lei de Poiseuille 
Queda de pressão e perda de carga 
Lei de Poiseuille: 
De acordo com uma vazão especificada: 
• Potencia de bombeamento proporcional 
ao comprimento do tubo e a viscosidade; 
• Inversamente proporcional a quarta 
potência do diâmetro ou raio. 
 
 Resultado: 
O requisito de potência de bomba de um sistema de 
tubos pode ser reduzida por um fator de 16, dobrando o 
diâmetro do tubo 
Queda de pressão e perda de carga 
 Tubos inclinados ou com seções variáveis: 
Para tubos horizontais ∆P é igual a ∆PL, porém para sistemas diferentes isso 
pode mudar 
Reorganizando a equação: 
Aplica-se balanço de forças para determinar a equaçãodo perfil de velocidade . 
Queda de pressão e perda de carga 
 Equações idênticas àquelas obtidas para tubos horizontais, exceto que ∆P é 
substituído por ∆P - ρgsenθ 
• Assim, os resultados obtidos para os tubos horizontais também podem ser 
usados para tubos inclinados desde que: 
∆P = ∆P - ρgsenθ 
• Observe: 
θ> 0 sen> θ 
θ< 0 sem<θ 
 
Escoamento ascendente 
Escoamento descendente 
 Escoamento Laminar em tubos não circulares 
• Para escoamentos laminares completamente desenvolvidos , o número de 
Reynolds desses tubos tem por base o diâmetro hidráulico 
𝐷ℎ =
4𝐴𝑐
𝑝
 
 Escoamento Laminar em tubos não circulares 
Aplicação: 8.1- Çengel 
 Escoamento turbulento em tubos 
• A maioria dos escoamentos na prática de engenharia é turbulento 
Portanto é importante entender como a turbulência afeta 
a tensão de cisalhamento 
Devido a complexidade do mecanismo em escoamento 
turbulento, mesmo com os inúmeros trabalhos na área, 
a teoria do escoamento turbulento permanece em 
grande parte não desenvolvida 
• Surge então correlações empíricas e resultados nas quais se devem 
apoiar 
 Escoamento turbulento em tubos 
• O Escoamento turbulento é caracterizado por flutuações aleatórias e 
rápidas de regiões de redemoinhos de fluido 
Mecanismo adicional a transferência de massa, momento e 
energia , resultando em coeficientes de atritos mais elevados 
• Com isso as propriedades do fluido variam em uma posição fixa do 
escoamento entorno de um valor médio 
Válido para outras componentes e 
propriedades do fluido 
 Escoamento turbulento em tubos 
• No escoamento turbulento com media temporal estacionária, os valores 
médios das propriedades são independentes do tempo e são expressos 
com uma barra em cima, por exemplo: 
• A primeira ideia que vem em mente é determinar a tensão de cisalhamento 
análogo ao regime laminar 
• Estudos experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é muito 
maior devido as flutuações e devem ser computadas 
 Escoamento turbulento em tubos 
•Tensão de cisalhamento turbulenta 
 A força atuante num elemento de fluido acima 
de dA devido a passagem das partículas de fluido 
é: 
Portanto a tensão de cisalhamento turbulenta é 
dada por: 
= 
Média temporal dos 
componentes da velocidade 
(tensão de Reynolds) 
•Segundo Joseph Boussinesq: 
Viscosidade turbulenta 
Viscosidade cinemática de turbilhonamento 
 Perfil de Velocidade turbulenta 
Natureza semi-empírica , baseia-se em análises 
e medições 
•Caracterizado por 4 regiões distintas pela 
distancia da parede: 
1. Uma camada muito fina próximo a parede; 
2. Acima tem-se a camada amortecedora; 
3. Mais acima se encontra a camada de transição 
(camada inercial); 
4. E por último a externa ou turbulenta. 
 Perfil de Velocidade turbulenta versus laminar 
Características bastantes 
diferentes nas diferentes 
regiões, portanto é difícil 
obter um uma relação 
analítica para o perfil de 
velocidade em todo o 
escoamento. 
Melhor abordagem: 
 
• Identificar as principais 
variáveis e formas 
funcionais usando a 
análise dimensional 
E dados 
experimentais para 
determinar os 
valores numéricos 
de quaisquer cte 
 Perfil de Velocidade turbulenta 
• A espessura da subcamada viscosa, geralmente, é muito pequena (1% 
do diâmetro), mas possui papel dominante nas características do 
escoamento 
 
• Região de escoamento essencialmente laminar, e portanto a tensão de 
cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade nessa região 
 
• Perfil de velocidade linear e os experimentos confirmam isso, assim: 
ou 
 Onde y é a distancia da parede e para tubo circular y = R - r 
• Velocidade de atrito: • Perfil adimensional da subcamada viscosa 
 Perfil de Velocidade turbulenta 
• Perfil da camada de superposição dada pela lei logarítmica : 
Onde K e B são constantes determinadas experimentalmente e seus 
valores para escoamento turbulentos são em torno de 0,40 e 5,0. 
• Perfil da camada turbulenta exterior: 
 Calculo da constante B da lei logarítmica com base no requisito 
que umax ocorre no eixo central r = 0 e 
Defeito da 
velocidade 
Lei do defeito da 
velocidade 
 Perfil de Velocidade turbulenta 
• Perfil de velocidade da lei de potência: 
Onde o expoente “n” é uma constante 
cujo valor depende do Re. 
• Para escoamentos práticos uma boa aproximação de n é o valor 7, dando 
origem ao termo lei de potência um sétimo para o perfil de velocidade. 
 Perfil de Velocidade turbulenta 
• Informações: 
Perfil de velocidade turbulento é mais cheio que o laminar e torna-se mais 
plano a medida de que “n” aumenta; 
 
O perfil de velocidade usando a lei de potencia não serve para o cálculo da 
tensão de cisalhamento de parede, uma vez que lá oferece um gradiente de 
velocidade infinito (inclinação zero no eixo central); 
 
O perfil de potência oferece bons resultados para escoamentos turbulentos; 
 
Apesar da espessura reduzida da subcamada, essa região é muito importante , 
uma vez que definem o escoamento restante do tubo; 
 
Portanto , qualquer irregularidade na superfície do tubo, afetará diretamente 
essa camada e consequentemente o restante do escoamento. 
 
 Perfil de Velocidade turbulenta 
• Informações: 
Ao contrário do escoamento laminar, o fator de atrito no escoamento 
turbulento é uma função importante da rugosidade (ε) da superfície; 
 
É preciso lembrar que a rugosidade é um conceito relativo; 
 
Todos os materiais parecem ser rugosos em um microscópio com ampliação 
suficiente; 
 
Na mecânica dos fluidos diz-se que uma superficie é rugosa quando os picos 
da rugosidade se estendem para fora da subcamada laminar. 
 
Ao contrário , a subcamada submerge os elementos da rugosidade. Ex de 
superfícies consideradas lisas: Vidro e plástico 
 Diagrama de Moody 
• O fator de atrito para escoamento turbulento depende do número de Re 
e da rugosidade relativa (ε/R); 
 
• A forma funcional não pode ser obtida por análise teórica e todos os 
resultados são obtidos experimentalmente; 
 
• A maioria dos experimentos foi realizada por um aluno de Prandtl, , J. 
Nukuradse em 1933. 
 
• Posteriormente, em 1939 Cyril F. Colebrook (1910-1997) combinou os 
dados disponiveis para escoamento turbulento e transição de tubos lisos 
e rugosos, chegando na seguinte relação implícita: 
Equação de Colebrook 
 Diagrama de Moody 
• Em 1942, Hunter Rouse criou um gráfico de f como função de Re e do 
produto 𝑅𝑒 𝑓 , mais tarde Lewis F. Moody recriou o diagrama de 
Rouse na forma que é usado hoje. 
 Diagrama de Moody 
 Diagrama de Moody 
• Em 1942, Hunter Rouse criou um gráfico de f como função de Re e do 
produto 𝑅𝑒 𝑓 , mais tarde Lewis F. Moody recriou o diagrama de 
Rouse na forma que é usado hoje. 
 Diagrama de Moody 
 Diagrama de Moody 
• Observações: 
Para escoamento laminar , o fator de atrito diminui quando o número de 
Reynolds diminui e depende da rugosidade da superfície; 
 
O fator de atrito é mínimo para um tubo suave e aumenta com a rugosidade; 
 
Na região de transição o fator de atrito pode alternar entre valores laminares 
e turbulentos, umas vez que os distúrbios podem levar o fluido a essas 
variações; 
 
Para números de Re muitos grandes as curvas do fator de atrito 
correspondentes as rugosidades relativas são quase horizontais. Com isso 
fator de atrito não depende de Re. 
 Perda Menores 
• O fluido de um sistema de tubulações passa através de diversos objetos, 
por exemplos: 
Conexões, válvulas, curvas, 
entradas, saídas, reduções 
tês, etc... 
 Esses objetos causam mudanças nos escoamentos e consequentemente 
proporcionam perdas de cargas ao longo do sistema de tubulações. 
• Embora essas perdas são pequenas, em sistemas com várias curvas e 
válvula em uma distancia curta, elas passam a ser significativas. 
• O mecanismos de tais perdas é muito complexo e geralmente sãoplausível 
e seus valores são determinados experimentalmente 
 Perda Menores 
• As perdas menores, em geral, são expressas em termos do coeficiente 
de perda KL 
Onde hL é definido por: 
 Perda Menores 
• Ao medir as perdas menores de alguns componentes , como por exemplo os 
cotovelos, o local 2 deve estar consideravelmente longe a jusante para levar 
totalmente em conta as perdas irreversíveis adicionais devidos a esses 
turbilhões 
• Motivo pelo qual a maioria dos fabricantes de medidores de vazão 
recomendam a instalação de seus medidores entre 10 a 20 diâmetros de 
quaisquer cotovelo ou valvula 
• Quando o diâmetro de entrada for igual ao de saída, o coeficiente de 
perda pode ser determinado pela medição da perda de pressão 
• E quando o mesmo é disponível, a perda de carga daquele componente 
é determinada por: 
O coeficiente de perda, em geral, depende da geometria da componente e 
do Re, assim como do fator de atrito. Porém como em muitos 
escoamentos o Re é grande e passa a ser independente de f, uma boa 
aproximação para tornar KL independente é válida. 
 Observação: 
 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
• As perdas menores podem ser calculadas em termos de 
comprimento equivlentes Lequiv : 
 Depois que todos os coeficientes de perdas estão disponíveis, a perda de 
carga total do sistema de tubos é determinada por : 
• Caso o sistema de tubulações possui diâmetro constante a equação 
poder ser reescrita como: 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Análise 
• Os coeficientes de perda variam de fabricantes para fabricantes ( fator de 2); 
• A perda de carga na entrada é função da geometria indo de 0,03 para 
arredondadas até 0,5 para bordas pontiagudas; 
• Segundo a equação de Bernoulli a perda seria desprezível, porém esse 
processo esta longe de ser ideal e a energia cinética é convertida em calor por 
atrito; 
• Resultado é a queda de velocidade sem muita recuperação da pressão, e a 
perda de entrada passa a ser uma queda de pressão irreverssível. 
 
 
 
 
 Perda Menores 
 Análise 
• Entrada do tubo • Saída do tubo submersa 
Expansão ou contração repentina: 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Perda Menores 
 Diagrama de Moody 
 Diagrama de Moody 
 Diagrama de Moody 
 Diagrama de Moody