Matemática para Ensino Superior (55)

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CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Luiz Lima de Oliveira Junior
MA14 - Unidade 21
Campina Grande - PB
2013
1 - Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido por 26?
E quando dividido por 25?
Solução: Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido por
26? Não, pois do contrário, a congruência linear 2x ≡ 9 (mod 26) teria solução, ou seja,
(2, 26) = 2 dividiria 9, o que seria um absurdo. Já a equação 2x = 9 (mod 25) tem
solução pois, (2, 25) = 1 e um divide 9.Logo,
2x ≡ 9 (mod 25)⇐⇒ 25|(2x− 9)⇐⇒ 2x− 9 = 25y ⇐⇒ 2x− 25y = 9 =⇒ x = 17
e y = 1.
2 -Resolva, quando posśıvel, as congruências:
(a) 3x ≡ 5 (mod 7)
Solução:Como (3, 7) = 1 a congruência 3x ≡ 5 (mod 7) possui solução. Neste caso
x = 4
(b) 6x ≡ 21 (mod 18)
Solução:Como (6, 18) = 6 e 6 não divide 21, então a congruência 6x ≡ 21 (mod 18)
não possui solução.
(c) 12x ≡ 36 (mod 28)
Solução:Como (12, 28) = 4 e 4 divide 36, então a congruência 12x ≡ 36 (mod 28) possui
solução. Vamos determiná-la.
12x ≡ 36 (mod 28)
(c) 12x + 36 ≡ 0 (mod 28)
3 - Seja p um número primo e seja a um número inteiro tal que p 6 |a. Mostre que a
única solução módulo p da congruência aX ≡ b (mod p) é x = ap−2b.
Solução: Por hipóteses temos que
ap−1 ≡ 1 mod p
e também temos que b ≡ b mod p. Logo, multiplicando membro a membro essas con-
gruências temos:
ap−1.b ≡ 1.b mod p
a(ap−2.b) ≡ b mod p
1
Isto significa que ap−2b é uma solução da congruência.
Pelo corolário 4 da unidade 21 ( Se (a, p) = 1, então a congruência possui uma única
solução), segue que:
(a, p) = 1, pois p é primo e p não divide a.
Portanto, x = ap−2b é um sistema completo de soluções da congruência.
4 - Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4
e 5, respectivamente.
Solução: Encontrar todos os inteiro que deixam resto 2, 3, e 4 quando divididos
por 3, 4 e 5, respectivamente é o mesmo que resolver as congruências lineares
x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 4) e x ≡ 4 (mod 5), respectivamente.Portanto, os
inteiros são
x ∈ {3k + 2|k ∈ Z} = {. . . ,−7,−4,−1, 2, 5, 8, 11, . . .}
x ∈ {4k + 3|k ∈ Z} = {. . . ,−9,−5,−1, 3, 7, 11, 15, . . .}
x ∈ {5k + 4|k ∈ Z} = {. . . ,−16,−11,−6,−1, 4, 9, 14, 19, . . .}
5 - Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando dividido por 5, 7 e
9, respectivamente.
. Solução:1,3,5 respectivamente.
6 -Resolva o sistema: 
x ≡ 2 (mod 11)
x ≡ 4 (mod 12)
x ≡ 5 (mod 13)
7 -Resolva o sistema: 
3x ≡ 1 (mod 7)
5x ≡ 2 (mod 11)
4x ≡ 3 (mod 13)
8 - Levando em consideração que 2275 = 25× 13× 7, resolva a congruência
3X ≡ 11 (mod 2275).
9 -Resolva o sistema:
x ≡ 2 (mod 3);X ≡ 3 (mod 4); x ≡ 4 (mod 5).
2
Solução: Temos que a1 = 2, a2 = 3 a3 = 4 e m1 = 3,m2 = 4 m3 = 5. Como mdc(mi,mj) =
1 para i 6= j. Então, pelo Teorema Chinês do Resto ??, esse sistema de congruências
lineares possui uma única solução módulo N = 3 · 4 · 5 = 60. E de acordo com o mesmo
teorema temos:
N1 = m/3 = 4 · 5 = 20
N2 = m/4 = 3 · 5 = 15
N3 = m/5 = 3 · 4 = 12
e como mdc(20, 3) = 1, mdc(15, 4) = 1 emdc(13, 5) = 1.
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 4 (mod 5)
(1)
10 - Resolva o sistema:
x ≡ 2 (mod 3); x ≡ 3 (mod 4); x ≡ 4 (mod 5); x ≡ 2 (mod 6).
Solução: 
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 6)
(2)
11 - Sejam F1; . . . Fn os n primeiros números de Fermat. Mostre que existe um número
natural N tal que Fi divide N + i− 1 para i = 1; . . . ;n.
12 -Sejam a, b, n,m ∈ N, com n,m > 1. Mostre que o sistema{
x ≡ a (mod n)
x ≡ b (mod m)
possui solução se, e somente se, a ≡ b (mod (n,m)). Além disso, se (m,n) = 1,
então a solução é única módulo mn.
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