Matemática para Ensino Superior (52)

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CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Luiz Lima de Oliveira Junior
MA14 - Unidade 19
Campina Grande - PB
2013
1 - Usando o fato de que 100 é diviśıvel por 4,25 e 100, ache critérios de divisibilidade
por 4,25 e 100.
Solução:Seja r = rm10
m + rm−110
m−1 + · · ·+ r1101 + r0, com 0 ≤ ri ≤ 9. Como
102 ≡ 0 (mod 4), (mod 25) e (mod 100) =⇒
10m ≡ 0 (mod 4), (mod 25) e (mod 100), para todo m ≥ 2.
Logo,
10m · rm ≡ 0 (mod 4), (mod 25) e (mod 100), para todo m ≥ 2.
Então
r = rm10
m+rm−110
m−1+· · ·+r1101+r0 ≡ r110+r0 (mod 4), (mod 25) e (mod 100).
Portanto, r é diviśıvel por 4, 25 e 100 se, e somente se, r110 + r0 = r1r0 é diviśıvel por
4, 25 e 100.
2 - Considerando que 1000 é diviśıvel por 8,125 e 1000, ache critérios de divisibilidade
por 8,125 e 1000.
Solução:Seja r = rm10
m + rm−110
m−1 + · · ·+ r1101 + r0, com 0 ≤ ri ≤ 9. Como
103 ≡ 0 (mod 8), (mod 125) e (mod 1000) =⇒
10m ≡ 0 (mod 8), (mod 125) e (mod 1000), para todo m ≥ 3.
Logo,
10m · rm ≡ 0 (mod 8), (mod 125) e (mod 1000), para todo m ≥ 3.
Então
r = rm10
m + rm−110
m−1 + · · · + r1101 + r0 ≡ r3103 + r2102 + r110 + r0 (mod 4),
(mod 25) e (mod 100)
Portanto, r é diviśıvel por 8, 125 e 1000 se, e somente se, r310
3+r210
2+r110+r0 = r3r2r1r0
é diviśıvel por 8, 125 e 1000.
3 - Mostre qe um número na base 10 é diviśıvel por 6 se, e somente se, a soma do
algarismos da unidade com o quádruplo de cada um dos outros algarismos é diviśıvel por
6.
1
Solução:
4 - Usando o fato de que
103 + 1 ≡ 0 (mod 7) (mod 11), (mod 13),
prove o seguinte critério de divisibilidade por 7,11 e 13:
Um número n = nr . . . n2n1n0, escrito na base 10, é diviśıvel por 7,11 ou 13, se, e
somente se,
n5n4n3 + n11n10n9 + . . . ≡ n2n1n0 + n8n7n6 + . . . (mod 7) (mod 11), (mod 13).
Solução:
5 - Analisando a tabela do exemplo 2.14( do livro texto)determine os números de Fibo-
nacci que são diviśıveis por 8, por 11, por 13 ou por 16.
Solução:
6 - Mostre que um número da forma an = 2
n−1(2n − 1) para n > 2 é congruente a 1
módulo 9. Conclua que todo número perfeito par maior do que 6, assim como a soma de
seus algarismos, é da forma 9k + 1.
Sugestão. Utilize as fórmulas do Problema 8.2.3 e indução.
Solução:
7 - Mostre que se n > 2, então o número de Fermat Fn tem algarismo da unidade igual
a 7.
Solução:
8 -
a) Mostre que para todo n > 1 tem-se que Fn ≡ 5 (mod 12).
Solução: Vamos mostrar por inducao finita sobre n.
Supondo Fn ≡ 5 (mod 12) =⇒ 12|(Fn − 5) =⇒ 12|(22
n
+ 1− 5) =⇒ 12|22n − 4 =⇒
22
n − 4 = 12k, com k natural.Portanto, provar que Fn ≡ 5 (mod 12) equivalente a
12|22n − 4.
1. Para n = 1, temos 22
1 − 4 = 22 − 4 = 4− 4 = 0.(verdadeira)
2
2. Vamos supor por hipótese de indução que 12|22n − 4. Logo,
22
n+1 − 4 = 22n·2 − 4− 12 + 12
= (22
n
)2 − 16 + 12
=
(
22
n − 4
)(
22
n
+ 4
)
+ 12
Como 12
∣∣∣(22n − 4)(22n + 4) então 12|22n+1 − 4.
Portanto, Fn ≡ 5 (mod 12) para todo natural n ≥ 1.
b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado ou um cubo.
Solução: Vamos provar por contradição.Vamos supor que Fn seja um quadrado, ou seja
existe k ∈ Z tal que
Fn = k
2 =⇒ 22n + 1 = k2
=⇒ 22n = k2 − 1
=⇒ 22n = (k − 1)(k + 1).
Fazendo, k − 1 = 2r e k + 1 = 2s, onde r + s = 2n
3