Exercício de Física I (356)

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356 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
31. (a) Como a velocidade é (momentaneamente) nula no instante em que a bola atinge a altura 
máxima, o momento angular nesse instante é zero.
(b) Com a convenção (usada em vários pontos deste livro) de que o sentido horário está asso-
ciado ao sinal negativo, L = –r⊥ m v, sendo r⊥ = 2,00 m, m = 0,400 kg e v pode ser calculado a 
partir das equações de queda livre (como no Capítulo 2). Especificamente, ymáx pode ser calcu-
lado fazendo a velocidade igual a zero na Eq. 2-16; o resultado é ymáx = vo2/2g, em que vo = 40,0 
m/s. Nesse caso, com y = 1/2ymáx, a Eq. 2-16 nos dá v = vo / 2 . Substituindo v por esse valor, 
obtemos L = –22,6 kg m /s2⋅ .
(c) Como foi mencionado no item anterior, usamos o sinal negativo para o torque, o que nos dá 
τ = –r⊥F, em que F = mg. Assim, τ = –7,84 N m⋅ .
(d) Devido ao modo como r⊥ é definido, a altura da bola é irrelevante. Assim, a resposta é a 
mesma do item (c), τ = –7,84 N m⋅ .
32. A taxa de variação do momento angular é
d
dt
l
5 1 5 ? 2 ?( , )ˆ ( , ˆ
 
t t1 2 N m i N m)j.2 0 4 0
Isso significa que o módulo do vetor d dt

l é ( , ) , ,2 0 4 0 4 52
2
N m N m N m⋅ + − ⋅( ) = ⋅ e que 
o vetor faz um ângulo θ (no plano xy ou em um plano paralelo ao plano xy) com o semieixo x 
positivo
u =
− ⋅
⋅




= − °−tan
,
,
1
4 0
2 0
63
N m
N m
,
na qual o sinal negativo indica que o ângulo é medido no sentido horário quando visto “de cima” 
(por uma pessoa situada no semieixo z positivo).
33. Seja 

r x y z= + +ˆ ˆ ˆi j k o vetor posição, seja 

v v v vx y z= + +ˆ ˆ ˆi j k o vetor velocidade e seja m a 
massa do objeto. O produto vetorial de 

r e 

v é
 
r v yv zv zv xv xv yvz y x z y x× = −( ) + −( ) + −( )ˆ ˆ ˆi j k.
O momento angular é dado pelo produto vetorial 

l  = ×mr v . Quanto ao torque, escrevendo a 
força na forma 

F F F Fx y z= + +ˆ ˆ ˆi j k, temos: 
  
t = × = −( ) + −( ) + −( )r F yF zF zF xF xF yFz y x z y xˆ ˆ ˆi j kk.
(a) Fazendo m = 3,0 kg, x = 3,0 m, y = 8,0 m, z = 0, vx = 5,0 m/s, vy = −6 0, m/s e vz = 0 nesta 
expressão, obtemos

l = ( ) − −3 0 3 0 6 0 8 0 5 0, [( , )( , ) ( , )( ,kg m m/s m m/s))] ˆ ( ) ˆk kg m s k.2= − ⋅174
(b) Como 

r x y= +ˆ ˆi j e 

F Fx= î , o torque correspondente é

t = +( ) × ( ) = −x y F yFx xˆ ˆ ˆ ˆi j i k .
Substituindo os valores dados, obtemos 

t = − ( ) −( ) = ⋅8 0 7 0 56, , ˆ ( ˆm N k N m)k.
(c) De acordo com a Segunda Lei de Newton, 
 lt = d dt/ e, portanto, a taxa de variação do mo-
mento angular é 56 kg⋅ m2/s2, no sentido positivo do eixo z.