2 - Princípios da conversão eletromecânica de energia

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Princípios da
Conversão
Eletromecânica de
Energia
Profª. Isabela Oliveira Guimarães
Descrição
Apresentação de conceitos e cálculos referentes à produção de força e conjugado em sistemas de conversão eletromagnética de energia, bem como as
análises da geometria e materiais que compõem os mesmos.
Propósito
O estudo dos princípios da conversão de energia, das respectivas características dos sistemas magnéticos e seu funcionamento se faz imprescindível para
entender como a força (ou torque) é produzida nesses sistemas e qual o papel dela no processo de conversão.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora. Você também pode usar a do seu computador ou celular.
Objetivos
Módulo 1
Produção de Força Magnética em Sistemas de Conversão
Analisar o modelo referente à Produção de Força Magnética em Sistemas de Conversão.
Módulo 2
Conjugado de Relutância e de Excitação Mútua
Empregar os conceitos referentes à Produção de Conjugado de Relutância e Mútuo em Sistemas Magnéticos.
Introdução
Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os Princípios da Conversão de Energia.
Orientação sobre unidade de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que
deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão
internacional de separação dos números e das unidades.
1 - Produção de Força Magnética em Sistemas de Conversão
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o modelo referente à Produção de Força Magnética em Sistemas de Conversão.
Vamos começar!
Produção de Força Magnética em Sistemas de Conversão
Confira os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.


Indutância
Indutância Magnética
A indutância é a característica de um componente em se opor à passagem de corrente.
Imagem 1. Núcleo de Material Magnético
Considerando um circuito magnético, composto de um material ferromagnético e uma bobina, como apresentado na imagem 1, temos a equação proposta:
Eq. 1
Rotacione a tela. 
A equação 1 anterior modela a indutância, representada por , sendo esta, dada pela relação entre o fluxo que percorre a bobina e a corrente. A presente
modelagem só é aplicável em cenários nos quais a permeabilidade do material é linear.
Atenção!
O fluxo que percorre uma superfície condutora é representado por , porém é importante ressaltar que, uma bobina possui voltas, e dessa forma, o fluxo total
enlaçado por esta, também chamado fluxo concatenado, é dado por , medido em Webber.
A equação 1 pode ainda ser reescrita, utilizando os conceitos já adquiridos referentes aos circuitos magnéticos, resultando na equação 2:
Eq. 2
Rotacione a tela. 
Onde:
 é a Relutância do material ferromagnético;
 é a Força magnetomotriz.
Assim, temos:
Eq. 3
Rotacione a tela 
L =
λ
i
L λ
ϕ N
λ = Nϕ
F = Ni = Nϕ(R)
R
F
L =
N 2
R
Rotacione a tela. 
Ou ainda, sabendo que a relutância de um circuito é dada pela equação 4:
Eq. 4
Rotacione a tela. 
Onde:
 é a Permeabilidade do material magnético;
A é a Área da seção transversal, onde o fluxo atravessa ( ;
 é o comprimento médio do núcleo .
A modelagem da indutância é dada pela equação 5, que é a equação 3 após a manipulação:
Eq. 5
Rotacione a tela. 
A unidade de medida da indutância é henrys (H).
Em um circuito magnético composto por material magnético e entreferro, a relutância do material ferromagnético pode ser desprezada (na maioria dos casos),
pois a permeabilidade desta é elevada, tendendo ao infinito, fazendo com que a parcela de relutância associada a esse se aproxime do zero.
A relutância é inversamente proporcional à permeabilidade magnética e se refere à oposição à passagem de corrente.
Autoindutância e indutância mútua
Considerando o circuito da imagem 2, como exemplo, notamos que esse é composto por um material ferromagnético, um entreferro e duas bobinas por onde
circulam correntes. Uma vez que a corrente passa pela superfície condutora, haverá produção de fluxo, concatenado pela espira.
Imagem 2. Núcleo de Material Magnético com duas bobinas.
O fluxo total que percorre o material é dado pelas contribuições dos fluxos individuais, resultantes dos dois enrolamentos, que nesse caso, produz um fluxo
aditivo (basta aplicar a regra da mão direita em cada uma das espiras para verificar o sentido do fluxo, como demonstrado na imagem 3).
Imagem 3. Aplicação da Regra da Mão direita
R =
l
μA
μ
m2)
l (m)
L =
N 2μA
l
Analisando a primeira bobina da imagem 2, o fluxo concatenado por ela pode ser descrito pela equação 6:
Eq. 6
Rotacione a tela. 
O fluxo total é, por sua vez, a contribuição das duas correntes, que pode ser descrito como segue:
Eq. 7
Rotacione a tela. 
Os fluxos individuais e se somam devido ao sentido de circulação da corrente.
A relutância do entreferro é muito maior que a do núcleo magnético, como mostra a equação 8:
Eq. 8
Rotacione a tela. 
Ou ainda:
Eq. 9
Rotacione a tela. 
Sendo a autoindutância da bobina 1 e a indutância mútua entre as bobinas.
O primeiro termo da equação representa a parcela de fluxo concatenado pela bobina 1 gerado pela corrente que circula a mesma, neste caso . O segundo
termo, por sua vez, representa a parcela de fluxo concatenado, ainda pela bobina 1, porém gerado pela bobina 2.
A mesma lógica pode ser aplicada à bobina 2, o que resulta na equação:
Eq. 10
Rotacione a tela. 
Que, por sua vez, pode ser reescrita como:
Eq. 11
Rotacione a tela. 
Note que, para esse caso, a indutância própria é dada por , e o fluxo concatenado pela bobina 2, devido à corrente , é descrito pelo segundo termo da
equação.
A indutância mútua é igual, isto é .
λ1 = N1ϕ
F = N1i1 + N2i2 = ϕt (Rt)
N1i1 N2i2
λ1 = N
2
1
μ0A
lg
(i1)
10 termo 
+ N1N2
μ0A
lg
(i2)
20 termo 
 
λ1 = L11 (i1)
10 termo 
+ L12 (i2)
20 termo 
 
L11 L12
i1
λ2 = N
2
2
μ0A
lg
(i2)
1∘ termo 
+ N1N2
μ0A
lg
(i1)
2∘ termo 
 
λ2 = L22 (i2)
1∘ termo 
+ L21 (i1)
2∘ termo 
 
L22 i1
L21 = L12
Força Magnética
Força de Lorentz
A Equação 12, a seguir, refere-se à Força de Lorentz:
Eq. 12
Rotacione a tela. 
A equação de Lorentz modela a força atuante sob uma carga elétrica , quando esta se encontra na presença dos campos elétrico e magnético .
Veja as seguintes observações:
Se houver somente a atuação do campo elétrico, a força que atua sobre a partícula é dada pela força elétrica, sendo que esta atua na direção do campo
elétrico.
Eq. 13
Rotacione a tela. 
Se houver somente a atuação do campo magnético, a força atuante sobre a partícula tem direção definida pelo produto vetorial da velocidade de
deslocamento desta, com o campo magnético. A força de Lorentz é então descrita pela equação 14.
Eq. 14
Rotacione a tela. 
q: Modela a carga elétrica. Em um cenário no qual há grandes quantidades de carga se movimentando, é mais correto descrever a equação por meio da
densidade de carga, representada pela letra .
Ainda, o produto entre e descreve a densidade de corrente . Assim, a equação pode ser reescrita como:
Eq. 15
Rotacione a tela. 
A força é vetorial, e para definir a direção dela, basta aplicar a regra de Fleeming, como mostra a Imagem 4:
Imagem 4. Direção da Força aplicando a regra da mão direita
F = q(E + v × B)
q (E) (B)
F = q(E)
F = q(v × B)
ρ
ρ v J
F = (J × B)
Força em dispositivos de conversão
Em um dispositivo de conversão de energia, as forças a serem determinadas não obedecem diretamente à equação apresentada. Isso ocorre, pois elas atuam
diretamente no material magnético, assim existem formas de se calcular a mesma para tais cenários.
Método da energia
Para calcular as forças presentes em um dispositivo de conversão de energia, podemos utilizar o método da energia. Devido à estrutura rígida dos circuitos
magnéticosenvolvidos neste processo, é possível avaliar os mesmos, considerando que o circuito contém uma parte mecânica e partindo da força que atua
sob a mesma, sem que seja necessário o cálculo detalhado das distribuições. A imagem 5 exemplifica um circuito magnético com a presença de uma peça
móvel.
Imagem 5. Exemplo de circuito de conversão com parte móvel
A primeira lei da termodinâmica afirma que não é possível criar ou destruir energia, apenas transformá-la. Partindo desse princípio, é possível monitorar o fluxo
de energia em um sistema, sendo este representado (para a conversão de energia elétrica em mecânica) pela imagem 6 a seguir:
Imagem 6. Balanço energético
Por observação da imagem 5, nos circuitos de conversão com partes móveis, é considerada a predominância de armazenamento de energia no campo
magnético. Ainda, no fluxograma, na imagem 6, notamos que a representação equaciona a conversão para o caso de um motor, pois é facilmente identificado
que a entrada de energia é proveniente de fontes elétricas, e a saída, por sua vez, é mecânica.
Saiba mais
Para fins de estudo, a operação motora apresenta entrada e saída energética positivas, enquanto a operação geradora será dada com o sinal negativo.
A energia convertida em calor é o termo da equação que representa as perdas térmicas do sistema, assim, sempre é representado de forma que, no fluxo, o
mesmo é visto como uma saída energética. Em um processo ideal, esse valor é nulo, ou seja, não há perdas. A dissipação de energia sob a forma calor, em um
sistema de conversão eletromecânica, pode ocorrer devido à passagem de corrente elétrica através dos enrolamentos (perdas ôhmicas) e, ainda, devido ao
atrito decorrente da movimentação das peças mecânicas, conforme imagem 7.
Imagem 7. Perdas ôhmicas por meio de resistor
Por simplificação representativa, o dispositivo de conversão por ser representado como mostra a imagem 8, na qual a interação entre a entrada e saída
(terminais elétricos e mecânicos) se dá pelo meio magnético, responsável pelo armazenamento de energia. As perdas, por sua vez, são representadas por meio
de elementos externos, como, por exemplo, resistores, amortecedores e outros. É possível identificar, por meio da imagem 8, que as variáveis de terminal elétrico
são tensão e corrente e , enquanto que, para o terminal mecânico, temos força e deslocamento e .
Imagem 8. Sistema sem perdas
Sendo assim, destacamos os seguintes pontos:
O sistema da imagem 8 é constituído de uma entrada e uma saída, porém a representação pode ser expandida para múltiplas entradas/saídas;
O sistema mostra o armazenamento de energia para a operação motora, e a implementação desta para a operação geradora é válida;
Podemos desprezar as perdas no processo de cálculo.
Considerando o sistema de conversão modelado pela imagem 8, que representa o processo sem perdas, o balanço de potência pode ser representado
matematicamente como:
Eq. 16
Rotacione a tela. 
Onde:
 á Potência elétrica;
 é a Potência mecânica;
 é a Variação da energia armazenada no campo.
Por definição, a potência elétrica é dada pela taxa de variação da energia no tempo, assim, pode ser descrita pela equação 17:
Eq. 17
Rotacione a tela. 
Onde:
 é a Variação da energia elétrica no tempo.
Ou ainda, a potência elétrica pode ser modelada pelo produto entre a tensão e a corrente, sendo estas as variáveis de terminal elétrico, como mencionado.
Assim, temos a equação 18:
Eq. 18
Rotacione a tela. 
(e i) (fcamp  x)
Pele = Pmec +
dWcamp
dt
Pele 
Pmec 
dWcamp
dt
Pele =
dWele
dt
dWele
dt
Pele =
dWele
dt
= (e)(i)
O análogo pode ser aplicado ao terminal mecânico, no qual a potência mecânica, por definição, é modelada pelo produto entre a força (ou torque) e a
velocidade, que pode ser obtida pela variação do deslocamento no tempo, e sendo, por sua vez, as variáveis de terminal mecânico identificadas na imagem 8.
Temos, então, a equação 19:
magem 8
Eq. 19
Rotacione a tela. 
Onde:
 é a variação do deslocamento no tempo, ou seja, velocidade.
Com isso, a equação de balaço de potência para o sistema pode ser reescrita, conforme mostra a equação 20:
Eq. 20
Rotacione a tela. 
Ou ainda:
Eq. 21
Rotacione a tela. 
Rearranjando os termos da equação, temos:
Eq. 22
Rotacione a tela. 
Partindo dos conceitos do eletromagnetismo e aplicando as devidas simplificações para os circuitos magnéticos utilizados em conversão eletromecânica,
sabemos que a tensão nos enrolamentos, desprezando as perdas, é dada pela variação do fluxo magnético enlaçado pela bobina em função do tempo, como
descrito, a seguir, na equação representativa da Lei de Faraday:
Eq. 23
Rotacione a tela. 
Substituindo a tensão induzida, na equação de balanço de potência, temos:
Eq. 24
Pmec  = (fcamp )(
dx
dt
)
dx
dt
dWele 
dt
= (fcamp )(
dx
dt
) +
dWcamp 
dt
ei = (fcamp )(
dx
dt
) +
dWcamp 
dt
dWcamp 
dt
= ei − (fcamp )(
dx
dt
)
e =
dλ
dt
Rotacione a tela. 
Multiplicando por , a equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
Eq. 25
Rotacione a tela. 
Por análise da equação 25 apresentada, concluímos que:
A força pode ser obtida sendo uma função da posição (terminal mecânico) e do fluxo concatenado pela bobina, o que comprova a equação 19
anteriormente apresentada.
A equação 25 modela o método da energia para o cálculo de forças em sistemas de conversão eletromecânica de energia, de característica linear, no qual
as perdas do sistema são separadas inicialmente e a análise é feita apenas sob a ótica do sistema de armazenamento de energia.
quação 19
Obtenção da Força Por meio da Energia
De�nição do sistema
Devemos, de partida, ter em mente que os sistemas de conversões de energias trabalhados neste conteúdo possuem uma parte fixa ou estática e uma parte
móvel. Entre a parte fixa e a móvel, identificamos espaçamentos, referentes ao entreferro, ou seja, o gap.
A energia desses sistemas é armazenada no campo magnético, sendo este o meio de conversão. Os dispositivos podem apresentar diversas configurações no
que se refere à parte construtiva. Nos tópicos seguintes, faremos análises de alguns cenários encontrados.
Cálculo da Energia em Dispositivos lineares de excitação única
A imagem 9 ilustra um dispositivo eletromagnético de conversão de energia. Observemos que a bobina apresenta resistência à passagem de corrente, que, por
sua vez, é representada pela resistência. As variáveis mecânicas e elétricas, já citadas ao longo do estudo, como tensão, corrente, força, podem ser
identificadas. A força produzida pelo campo magnético na parte móvel do dispositivo é responsável pelo movimento do mesmo.
Imagem 9. Circuito com perdas
Veja as seguintes considerações para o sistema apresentado:
dWcamp 
dt
= ( dλ
dt
)i − (fcamp )(
dx
dt
)
dt
dWcamp  = idλ − (fcamp )dx
Pmec  = (fcamp )(
dx
dt
)
Desconsideramos a massa da armadura (parte móvel);
As perdas mecânicas, bem como a massa, podem ser incluídas como elementos externos ao terminal mecânico;
O sistema de armazenamento é ideal, sem perdas, composto pelo núcleo (magnético) e a parte mecânica;
A maior parte do armazenamento de energia ocorre no entreferro, pois, como já mencionado, a permeabilidade do núcleo é elevada, impactando
diretamente na relutância do material.
A análise desse sistema pode ser feita pelo modelo representado pela Imagem 8.
É possível descrever o circuito por meio de sua indutância, como já mencionado. Aplicando os conceitos de indutância ao circuito apresentado, desprezando,
por sua vez, as perdas e considerando a linearidade, temos a equação 26 mostrada a seguir, que representa a aproximação matemática do modelo:
magem 8
Eq. 26
Rotacione a tela. 
Onde representa a dependência da indutância em relação à posição da parte mecânica.
Assim, o sistema é conservativo e as variáveis que definem o estado do mesmo são e , e a saída desse sistema é a energia mecânica.
ndutância
Eq. 27
Rotacione a tela. 
Por ser conservativo, a energia armazenada é a mesma,independentemente da forma com que as variáveis de estado sejam levadas aos valores finais. Para
melhor entendimento e visualização desse conceito, consideramos a imagem 10, na qual são representadas, graficamente, as variações de e , bem como o
valor da energia armazenada .
Imagem 10. Gráfico de Energia
Observando o gráfico apresentado na imagem 10 e a equação 27, podemos notar que:
quação 27
λ = L(x)i
x
λ x
L =
N 2μA
l
dWcamp (λ,x) = idλ − (fcamp )dx
λ x
Wcamp 
dWcamp (λ,x) = idλ − (fcamp )dx
Para obter a energia armazenada no campo, é necessário integrar a equação 27 apresentada, cujo valor final das variáveis de estado pode ser visto no
gráfico apresentado pela imagem 10.
Analisando o gráfico, na imagem 10, é possível identificar o caminho de integração 1, destacado pela imagem 11, que conduz as variáveis de estado o
valor inicial até . Por observação, é possível concluir que este promove uma integração de maior grau de solução, devido à característica da curva.
O caminho 2, representado na imagem 12, contudo, permite uma integração mais simples, e dada a característica conservativa, não compromete o
resultado.
Imagem 11. Caminho de integração 1
Imagem 12. Caminho de integração 2
Assim, utilizando o caminho 2 de integração e aplicando a integral, temos que a energia armazenada é dada por:
Eq. 28
Rotacione a tela. 
Ou, ainda:
Eq. 29
Rotacione a tela. 
Ao fazer a primeira parcela de integração, referente ao caminho , não há mudança na variável de fluxo, e por ser constante . Em acréscimo a essa
análise, podemos dizer que, neste caminho, o fluxo se mantém com seu valor inicial, que nesse caso é nulo, o que indica que não há presença de campo
magnético e, por consequência, não há força magnética, anulando o primeiro termo da equação da energia de campo, como mostrado a seguir:
Eq. 30
Rotacione a tela. 
Dessa forma, a energia armazenada no campo é dada por:
Eq. 31
Rotacione a tela 
(λ0,x0)
Wcamp  (λ0,x0) = ∫ dWcamp 
caminho 2a
+ ∫ dWcamp 
caminho 2b
 
Wcamp  (λ0,x0) = ∫
x0
0
dWcamp  + ∫
λ0
0
dWcamp 
2a dλ = 0
dWcamp  = i idλ
=0
− (fcamp )dx
Wcamp  (λ0,x0) = ∫
λ0
0
i (λ0,x0)dλ
Rotacione a tela. 
Resolvendo a equação, temos:
Eq. 32
Rotacione a tela. Eq. 33
Rotacione a tela. Eq. 34
Rotacione a tela. Eq. 35
Rotacione a tela. 
Os pontos foram arbitrados para fins de estudo. Isso implica que a equação é genérica e pode ser aplicada para quaisquer valores definidos. Assim,
podemos reescrever a equação 35 da seguinte forma:
Eq. 36
Rotacione a tela. 
Sendo valores quaisquer.
Cálculo da Força
Partindo das equações da energia armazenada:
Eq. 37
Rotacione a tela. Eq. 38
Rotacione a tela. 
É possível escrever a energia por meio das derivadas parciais, como mostra a equação 39:
Eq. 39
Rotacione a tela. 
Wcamp  (λ0,x0) = ∫
λ0
0
λ
L (x0)
dλ
Wcamp  (λ0,x0) =
1
2L (x0)
λ2
λ0
0∣Wcamp  (λ0,x0) = 12L (x0) λ20 − 12L (x0) 02Wcamp  (λ0,x0) = 12L(x) λ20(λ0,x0) Wcam p(λ,x) = 12L(x) λ2λ,x
dWcamp (λ,x) = idλ − (fcamp )dx
Wcamp (λ,x) =
1
2L(x)
λ2
dWcamp (λ,x)
=
∂Wcamp (λ,x)
∂λ
x
dλ +
∂Wcamp (λ,x)
∂x
λ∣ ∣
Assim, a corrente é dada por:
Eq. 40
Rotacione a tela. 
E a força mecânica é dada por:
Eq. 41
Rotacione a tela. 
Observe que tanto a corrente quanto a força são funções de . Resolvendo a equação 41, que fornece a força mecânica, temos:
Eq. 42
Rotacione a tela. 
Ou ainda, utilizando da linearidade entre fluxo e corrente, a equação pode ser reescrita por meio da equação 43:
Eq. 43
Rotacione a tela. 
Toda função de estado, de duas ou n variáveis independentes, pode ser reescrita por meio das derivadas parciais, isto é, derivando a equação para cada uma
das variáveis envolvidas, enquanto as demais são fixadas.
Cálculo da coenergia
A coenergia nada mais é que uma equação modificada da energia, na qual houve manipulação das variáveis de estado, podendo, desta forma, calcular a força
por meio de uma função dada em termos de corrente de excitação. Assim, a coenergia é dada pela equação seguinte:
Eq. 44
Rotacione a tela. 
Para chegar a esse resultado, aplicamos:
Eq. 45
Rotacione a tela. 
Assim, aplicando a derivada:
Eq. 46
Rotacione a tela. 
di =
∂Wcamp (λ,x)
∂λ
x∣fcamp  = ∂Wcamp (λ,x)∂x λ∣λ,xfcamp  = ∂Wcamp (λ,x)∂x λ = λ2dL(x)2L(x)dx∣fcamp  = ∂Wcamp (λ,x)∂x λ = i2dL(x)2dx∣W ′camp(i,x) = λi − (wcamp)d(iλ) = idλ + λdi
dW ′camp(i,x) = d(λi) − d(wcamp)(λ, i)
Como a equação 47 e a equação 48:
Eq. 47
Rotacione a tela. Eq. 48
Rotacione a tela. 
Temos que a coenergia é dada pela equação 49, mostrada a seguir:
Eq. 49
Rotacione a tela. 
Analisando a equação, podemos apontar os seguintes aspectos:
A escolha da equação (energia ou coenergia) para o cálculo da força não interfere no resultado.
É indicada a escolha da equação mais simples.
A coenergia pode ser modelada em termos das derivadas parciais (das funções de estado), como mostrado a seguir:
Eq. 50
Rotacione a tela. 
Onde a primeira parcela se refere à e a segunda parcela à força mecânica .
Avaliando a segunda parcela:
Eq. 51
Rotacione a tela. 
Notemos que a força mecânica é obtida em função da corrente de excitação e do deslocamento da parte móvel, sendo a corrente, neste caso, valor constante.
Assim como a energia, a coenergia é conservativa e a sua integração pode ser feita da seguinte maneira:
Eq. 52
Rotacione a tela. 
Ressaltamos que:
Em um sistema linear, temos a relação direta entre corrente e fluxo ;
Após a consideração da linearidade, a coenergia pode ser reescrita como mostra a equação 53;
A coenergia e a energia assumem a mesma modelagem (basta aplicar algumas substituições).
dWcamp (λ,x) = − (fcamp )dx
d(iλ) = idλ
 nulo 
+ λdi

dW ′camp (i,x) = (λdi) + (fcamp )dx
dW ′camp (i,x) =
∂W ′camp 
∂i
x
1a parcela 
di +
∂W ′camp 
∂x
i
2a– parcela 
dx∣ ∣λ fcamp fcamp  = ∂W ′camp ∂x i∣W ′camp (i,x) = ∫ i0 λ (i′,x)di′(λ = L(x)i)
nergia
Eq. 53
Rotacione a tela. 
Para calcular a força partindo da coenergia, derivamos parcialmente a mesma em função do deslocamento, com a corrente constante, assim:
Eq. 54
Rotacione a tela. 
O resultado da força obtido por meio da coenergia é o mesmo que o obtido utilizando a equação da energia:
Eq. 55
Rotacione a tela. Eq. 56
Rotacione a tela. 
Análise não linear e Exercícios
Modelagem matemática
A equação referente à energia armazenada pode ainda ser representada por meio dos campos magnéticos densidade e intensidade e . Para isso, é feita
a integral volumétrica da seguinte equação:
Eq. 57
Rotacione a tela. 
Sabemos que o material magnético é não linear, e uma vez que seja necessário aplicar a análise por base nessa característica, é necessário o uso das curvas
de magnetização. Um exemplo de curva de magnetização para materiais comumente utilizados pode ser observado na imagem a seguir.
Wcam p(λ,x) =
1
2L(x)
λ2
W ′camp (i,x) =
1
2
L(x)i2
fcamp  =
∂W ′camp 
∂x
i
=
i2dL(x)
2dx∣fcamp = ∂W ′camp∂x i = i2dL(x)2dx∣fcamp = ∂Wcamp (λ,x)∂x λ = i2dL(x)2dx∣ (B H)Wcamp  = ∫ (∫ B0 HdB)dV
Imagem 13: Curva de magnetização
Para utilizar o gráfico, é necessário seguir os seguintes passos:
Passo 1:
De posse de algum dado do circuito em análise, seja corrente, fluxo, ou força magnetomotriz (FMM), encontrar o valor da intensidade de campo, ou H. Uma vez
que:
Eq. 58
Rotacione a tela. 
Onde:
 é o comprimento médio do núcleo;
i é a corrente;
 é o número de espiras;
FMM é a força magnetomotriz;
 é o fluxO;
 é a relutância.
Passo 2:
Aplicar alguma técnica matemática de aproximação ou interpolação para determinar a partir de , uma vez que, ao aplicar, poderia obter também o valor da
permeabilidade relativa dada por:
Eq. 59
Rotacione a tela. 
Sendo:
Eq. 60
Rotacione a tela. 
Vamos analisar alguns exemplos para fixarmos o conteúdo aprendido.
Exemplo: força em sistemas de excitação única
Seja o sistema da imagem 14 a seguir, adaptado de CHAPMAN (2013), composto de um terminal de entrada (elétrico) e umterminal de saída.
Imagem 14. Circuito eletromecânico
Para o estudo desse circuito, fazemos as seguintes considerações:
Hl = Ni = FMM = ∅(R)
l
N
∅
R
B H
B = μH
μ = μrμ0
A peça móvel/mecânica move de uma posição inicial até outra posição, no sentido de reduzir o entreferro;
O entreferro na posição 1 (posição final analisada) é menor que o da posição inicial.
A corrente é constante, assim, temos o gráfico abaixo que representa a proporcionalidade entre fluxo e corrente para as duas condições de entreferro.
Imagem 15. corrente versus fluxo
O tamanho do entreferro influencia na relutância total, como pode ser observado pela equação:
Eq. 61
Rotacione a tela. 
Que, por sua vez, impacta no fluxo que circula pelo circuito:
Eq. 62
Rotacione a tela. 
A variação da energia mecânica pode ser calculada aplicando a equação 63 ou a equação 64:
Eq. 63
Rotacione a tela. Eq. 64
Rotacione a tela. 
A variação da energia mecânica pode ser obtida analisando o gráfico:
Para a posição inicial, a energia armazenada no campo é igual a área destacada na imagem 16;
Para a posição final analisada, a energia armazenada pode ser destacada como mostra a imagem 17.
Imagem 16. Armazenamento de Energia, posição inicial
R =
l
μA
Ni = ∅R
dWcamp (λ,x) = idλ − (fcamp )dx
dWmec = dWe − dWcamp
Imagem 17. Armazenamento de Energia, posição final
Sendo assim, a variação da energia armazenada é dada pelo valor armazenado inicialmente, menos o valor no estado final. Subtraindo esse valor da variação
de energia elétrica, temos que a variação da energia mecânica é dada pela área oab do gráfico.
Exemplo: sistema não linear
Para fixar o conceito de não linearidade do material, considere a curva de magnetização do aço, representada na imagem a seguir:
Imagem 18. Curva de magnetização
Utilizando os dados da imagem, deseja-se determinar a densidade de campo magnético e a permeabilidade relativa para esse material, considerando dois
pontos de análise:
O passo inicial é identificar qual a densidade de campo magnético para cada um dos pontos. Por observação, o valor de densidade deve ser algo em torno de
1,1. Não é incorreto assumir esse valor, uma vez que os cálculos são aproximados.
Imagem 19. Densidade de fluxo para 200Ae
Uma opção para o uso do valor obtido por inspeção é o uso de alguma técnica matemática. Porém, é necessário ficar atento ao resultado, pois as técnicas, em
muitos casos, necessitam de ajustes. Por exemplo, utilizando dois pontos do gráfico, como mostra a imagem e aplicando a linearização, temos:
Imagem 20. Densidade de fluxo para 200Ae
H = 200Ae
H = 1000Ae
Observe a tabela:
H(Ae) B(T)
100 0,7
200 x
500 1,4
Tabela: Interpolação 1
Isabela Oliveira Guimaraes
Resolvendo a tabela:
Rotacione a tela. 
O resultado para a densidade não é ideal, pois, ao verificar o gráfico, vemos que esse valor de é mais coerente com próximo à .
Seguindo com a solução, utilizando , temos que a permeabilidade é dada por:
Eq. 65
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Toda a análise deve então ser repetida para o segundo ponto, H=1000Ae. Assim, por análise gráfica:
Imagem 21. Densidade de fluxo para 1000Ae
Por inspeção, o valor aproximado de densidade de fluxo é algo em torno de 1,55.
500 − 100
500 − 200
=
1, 4 − 0, 7
1, 4 − x
x ∼ 0, 9
B H 150Ae
B = 1, 1T
B = μH
μ =
B
H
μ =
1, 1
200
μ = 0, 0055
Imagem 22. Densidade de fluxo para 1000Ae
Veja a tabela:
H(Ae) B(T)
500 1,4
1000 x
2000 1,6
Tabela: Interpolação 2
Isabela Oliveira Guimaraes
Aplicando a linearização:
Rotacione a tela. 
Nesse caso, os pontos escolhidos promoveram bom resultado, o que condiz com a análise gráfica. Seguindo com a solução, utilizando , temos que a
permeabilidade é dada por:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
2000 − 500
1000 − 500
=
1, 6 − 1, 4
x − 1, 4
x = 1, 4666. .
x ∼ 1, 5
B = 1, 5T
B = μH
μ =
B
H
μ =
1, 5
1000
μ = 0, 0015
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(AOCP - 2016 - Sercomtel S.A Telecomunicações - Técnico Profissionalizante – A) Para interpretar corretamente as características dos materiais utilizados
em projetos de dispositivos magnéticos, o técnico deve ser capaz de diferenciar os termos fundamentais e sua influência na construção de componentes
como transformadores, motores e indutores. De acordo com as definições de circuitos magnéticos, assinale a alternativa correta.
A
A força magnetizante é a relação entre a relutância em função da força magnetomotriz (fmm) de um dado circuito magnético e é medida
em N.Wb/A.
B
A histerese é a capacidade que um material apresenta em adiantar o fluxo magnético θ em sua estrutura, conduzindo com maior facilidade
a densidade de fluxo.
C A relutância é inversamente proporcional à permeabilidade magnética.
D A permeabilidade magnética é a medida da oposição que um determinado material oferece à condução de fluxo magnético.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Ao avaliar a equação de Relutância:
Nota-se que a relutância é inversamente proporcional à permeabilidade .
Questão 2
Considere o circuito a seguir:
Dados do problema:
Sistema eletromecânico linear
Desconsiderando a influência do espraiamento, qual a intensidade de campo no entreferro e a densidade de energia armazenada?
Parabéns! A alternativa C está correta.
Calculando, temos:
E A densidade de fluxo magnético é definida pela relação entre a corrente elétrica que circula por um circuito magnético em função do tempo
por indução mútua.
R =
l
μA
μ
B = 1T
H = 500Ae
lpartefixa  = 9cm
lpartemóvel  = 3cm
A = 4cm2
lg = 0, 001cm
A 795, 8 (102)Ae
B 795, 8Ae
C 795, 8 (103)Ae
D 900, 8 (103)Ae
E 905, 8 (103)Ae
2 - Conjugado de Relutância e de Excitação Mútua
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar os conceitos referentes à Produção de Conjugado de Relutância e Mútuo em
Sistemas Magnéticos.
Vamos começar!
Produção de Conjugado de Relutância e Mútuo em Sistemas Magnéticos
Confira os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.
Cálculo da Energia em sistemas rotativos
Contextualização
No módulo anterior, foram considerados e analisados sistemas de conversão de energia, nos quais é possível identificar:
Terminal elétrico
H =
1
μ0
= 795, 8 (103)Ae
μ0 = 4π × 10
−7

Que pode ser a entrada ou a saída.
Entreferro
Onde a maior parte da energia a ser convertida é armazenada.
Terminal mecânico
Que pode ser a entrada ou saída.
Para o estudo do conjugado magnético, devemos ter em mente que este representa a força em um sistema com terminal rotativo. Assim, para os circuitos
avaliados neste módulo, o terminal mecânico deixa de se mover linearmente para se deslocar de forma angular.
O balanço de potência para um sistema com terminal mecânico rotativo é o mesmo que o apresentado anteriormente:
Eq. 66
Rotacione a tela. 
Onde:
 é a Potência elétrica;
 é a Potência mecânica;
 é a Variação da energia armazenada no campo.
Destacamos, contudo, que a potência mecânica, antes dada por , deve ser alterada, pois, o deslocamento agora é angular, representado
por , uma vez que a parte mecânica é rotativa. E a força, por sua vez, é dada agora pelo torque ou conjugado, representado por . Dessa forma, a
equação, com as devidas substituições, é dada por:
Eq. 67
Rotacione a tela. Eq. 68
Rotacione a tela. 
Considerando o sistema operando como motor, vemos que:
As variáveis de saída são agora torque e deslocamento angular;
As variáveis de entrada continuam sendo tensão e corrente;
O sistema mostra o armazenamento de energia para a operação motora, a implementação desta para a operação geradora é válida;
Podemos desprezar as perdas no processo de cálculo;
É definido que, para a operação motora, o modelo matemático de entrada e saída energética é dado de forma positiva, enquanto para a operação
geradora, este será representado com o sinal negativo.
Consideramosinicialmente um sistema de conversão eletromecânico, de características lineares, rotativo, como na imagem 23. As variáveis mecânicas e
elétricas, já citadas ao longo do estudo, como tensão, corrente, torque e deslocamento angular, descrevem a entrada e saída do sistema e podem ser facilmente
Pele = Pmec +
dWcamp
dt
Pele
Pmec 
dWcamp 
dt
Pmec = (fcamp) ( dxdt )
θ Tcamp. 
dWcamp = (dλ)i − (fcamp )(dx)
atualização das variáveis 

dWcamp  = (dλ)i − (Tcamp )(dθ)
variáveis atualizadas 

identificadas. Assim como é feito para um sistema cujo deslocamento é linear, o torque produzido pelo campo magnético na parte móvel do dispositivo é o
responsável pelo movimento do mesmo.
Imagem 23. Exemplo de circuito com terminal mecânico rotativo
Comentário
Veja os seguintes apontamentos, a fim de alcançar um modelo matemático aproximado para esse sistema:
Desconsideramos a massa da parte rotativa.
As perdas mecânicas, bem como a massa, podem ser incluídas como elementos externos ao terminal mecânico, caso seja desejado.
Consideramos que o armazenamento seja ideal, e este é, por sua vez, composto pelo núcleo (magnético) e a parte mecânica.
A análise para esses sistemas, após simplificação, toma como referência o diagrama seguinte:
Imagem 24. Sistema rotativo sem perdas
É possível descrever esse sistema por meio de sua indutância. Aplicando os conceitos apresentados no módulo 1, desprezando, por sua vez, as perdas e
considerando a linearidade do material constituinte do circuito, temos a equação seguinte, que representa a aproximação matemática do modelo:
Eq. 69
Rotacione a tela. 
Onde representa a dependência da indutância em relação à variação angular da parte rotativa. Esse sistema é conservativo, e as variáveis que definem o
estado do mesmo são e . A saída desse sistema é a energia mecânica.
ndutância
Eq. 70
Rotacione a tela. 
É importante lembrar que, em um sistema conservativo, o caminho de integração da função não influencia no resultado final. Dessa forma, para obtenção de
, é possível optar pelo caminho mais simples sem comprometer o resultado.
Cálculo da energia
λ = L(θ)i
θ
λ θ
L =
N 2μA
l
dWcamp (λ, θ) = idλ − (Tcamp )dθ
Wcamp(λ, θ)
Utilizando a imagem 25 como exemplo, é possível calcular a energia armazenada no campo magnético de uma máquina rotativa, assim como feito para a
máquina linear:
Imagem 25. Energia armazenada no campo
Avaliando os caminhos disponíveis de integração, é notável que a escolha mais simples é o caminho 2. Dessa forma, utilizando a equação para o cálculo da
variação da energia armazenada, aplicamos a integral, cujo limite de integração varia entre a posição inicial até a final, passando por e .
Dessa forma, temos a equação 71:
Eq. 71
Rotacione a tela. 
Ou ainda a equação 72:
Eq. 72
Rotacione a tela. 
Na primeira parcela de integração, caminho , vemos que o fluxo é nulo. Isso implica a ausência de campo magnético, não podendo então existir
torque/conjugado magnético nesse caminho. Logo:
Eq. 73
Rotacione a tela. 
Na segunda parcela de integração, caminho , contudo, a variável de fluxo sai do valor inicial e alcança o valor . Há, portanto, um torque atuando, porém,
não há variação na posição. Logo:
Eq. 74
Rotacione a tela. 
Dessa forma, o cálculo da energia, utilizando os caminhos definidos, é dado pela seguinte equação:
aminhos de�nidos
Caminhos 2a e 2b.
Eq. 75
Rotacione a tela. 
2a 2b
Wcamp  (λ0, θ0) = ∫ dWcamp 
caminho 2a
+ ∫ dWcamp 
caminho 2b
 
Wcamp  (λ0, θ0) = ∫
θ0
0
dWcamp  + ∫
λ0
0
dWcamp 
2a
dWcamp  (λ0, θ0) = idλ
nulo 
− (Tcamp )dθ
não há força sem campo 
 
2b λ0
dWcamp  (λ0, θ0) = idλ − (Tcamp )dθ
=nulo 

Wcamp  (λ0, θ0) = ∫
λ0
0
i (λ, θ0)dλ
Sistema Rotativo linear
Considerando a energia armazenada no campo de um sistema rotativo dada pela equação 76:
Eq. 76
Rotacione a tela. 
Caso esse sistema apresente característica linear entre fluxo e corrente, como mostra a equação seguinte:
Eq. 77
Rotacione a tela. 
É possível substituir o valor de corrente no cálculo da energia, assim:
Eq. 78
Rotacione a tela. 
Ou ainda:
Eq. 79
Rotacione a tela. 
Integrando, temos:
Eq. 80
Rotacione a tela. Eq. 81
Rotacione a tela. Eq. 82
Rotacione a tela. 
Os pontos foram arbitrados a fim de estudo. Assim, a equação é genérica e pode ser aplicada para quaisquer valores definidos. Podemos, então,
reescrever a equação da seguinte forma:
Eq. 83
Wcamp  (λ0, θ0) = ∫
λ0
0
i (λ, θ0)dλ
λ = L(θ)i
Wcamp  (λ0, θ0) = ∫
λ0
0
λ
L(θ)
dλ
Wcamp  (λ0, θ0) =
1
L(θ)
∫
λ0
0
λdλ
Wcamp  (λ0, θ0) =
1
2L(θ)
λ2
λ0
0∣Wcamp  (λ0, θ0) = 12L(θ) λ20 − 12L(θ) 02Wcamp  (λ0, θ0) = 12L(θ) λ20(λ0, θ0) Wcamp (λ, θ) = 12L(θ) λ2
Rotacione a tela. 
Sendo valores quaisquer.
Conjugado
Conjugado Magnético
É possível ainda, por meio da manipulação das variáveis da equação, obter o conjugado, sendo este resultante do valor negativo da derivada parcial da energia
em relação à posição da armadura (ou seja, da peça mecânica). Isso pode ser melhor visto pela equação a seguir:
Eq. 84
Rotacione a tela. 
A derivada do fluxo se anula, pois, essa função depende , diferente . Assim, ao aplicar a derivada parcial em relação , essa parcela é vista como
constante e vai a zero. Dessa forma, podemos reescrever a equação anterior da seguinte maneira:
Eq. 85
Rotacione a tela. 
Como o sistema é linear, pode ser modelado pela indutância , utilizando a equação da energia armazenada no campo e derivando-a em (para 
constante). Temos:
quação de energia
Eq. 86
Rotacione a tela. 
Assim:
Eq. 87
Rotacione a tela. 
A primeira parcela pode ainda ser substituída, para simplificação, pela corrente que excita o circuito, utilizando da relação linear , assim:
Eq. 88
Rotacione a tela 
λ, θ
(Tcamp) = −
∂Wcamp(λ, θ)
dθ
λ
zero 
+
idλ
dθ∣ λ Wcamp  dθ(Tcamp ) = − ∂Wcamp (λ, θ)dθ λ∣λ = L(θ)i θ λWcamp(λ, θ) = 12L(θ) λ2Tcamp = ∂dθ( 12L(θ) λ2) λ∣Tcamp  = λ22L(θ)21a parcela  dL(θ)dθ λ = L(θ)iTcamp = i22 dL(θ)dθ
Rotacione a tela. 
Conjugado com múltipla excitação
Excitação mútua
Foram estudados até o momento sistemas e circuitos cuja excitação é dada por uma única fonte ou terminal. É comum que os dispositivos possuam mais de
um terminal elétrico ou apresente mais de uma fonte de excitação. Sendo assim, conhecido como multiexcitado, um exemplo desse tipo de sistema pode ser
visto na imagem 26 a seguir.
Imagem 26. Máquina rotativa
As técnicas e análises já apresentadas para cálculo da energia são aplicáveis a estes sistemas (multiexcitados), sendo necessários pequenos ajustes no que se
refere ao número de terminais elétricos analisados, o que consequentemente impacta no fluxo do circuito.
Para fins de estudo, consideramos o circuito da imagem 27, no qual temos um sistema duplamente excitado. Isto é, o terminal elétrico, possui duas entradas
(nomeadas 1 e 2).
Imagem 27. Sistema duplamente excitado
Mantemos aqui a análise para um sistema rotacional, lembrando que, em um sistema cujo movimento mecânico é linear, as seguintes substituições são
necessárias:
O deslocamento deixa de ser angular e passa a ser linear .
O torque passa é substituído pela força.
Ainda, assumimos que o sistema opera como motor, sendo assim, a saída deste é o terminal mecânico. Nos tópicos anteriores, vimos que, para um sistema
com excitação única, a análise e cálculo da energia armazenada permite concluir, após a aplicação das simplificações, que o sistema é conservativo, no qual o
estado do mesmo é definido pelas variáveis de fluxo e deslocamento . O mesmo ocorre em um sistema multiexcitado, porém, por possuir múltiplas
entradas, duas para o exemplo utilizado, as variáveis que descrevem o estado do mesmo são três. O cálculo da energia armazenada pode então ser
representado, como mostra a equação 89:
Eq. 89
Rotacione a tela. 
É necessário representar o sistema por meio de variáveis independentes, para o caso de um sistema de três terminais, serão três variáveis,que não necessitam
obrigatoriamente ser o fluxo e o ângulo. Podemos utilizar:
θ χ
(λ, θ)
dWcamp  (λ1,λ2, θ) = i1dλ1 + i2dλ2 − (Tcamp )dθ
Fluxo e ângulo (como representado pela equação);
Corrente e ângulo;
Fluxo, corrente e ângulo;
Desde que estas sejam independentes, a escolha fica a critério do aluno.
A equação pode ser expandida para um sistema com n entradas, como mostra a equação 90 a seguir:
Eq. 90
Rotacione a tela. 
Torque magnético
Assim como feito para um sistema de excitação única, é possível por meio da manipulação das variáveis da equação, obter o conjugado, sendo este resultante
do valor negativo da derivada parcial da energia, dada agora em função de três variáveis (considerando ainda o exemplo) em relação à posição da armadura,
quando as variáveis de fluxo são mantidas constantes, como mostra a equação a seguir:
xemplo
Eq. 91
Rotacione a tela. 
Dessa forma, podemos reescrever a equação anterior da seguinte maneira:
Eq. 92
Rotacione a tela. 
Para obter o valor da energia armazenada, é necessário integrar a equação , considerando que o sistema é conservativo. Assim como feito
para um sistema de excitação única, definimos o caminho de integração, como mostra a imagem adiante:
Imagem 28. Sistema duplamente excitado
Onde:
No primeiro instante não há variação de fluxo somente de deslocamento, o que faz com que não haja torque;
Em seguida, fazemos a variação de , mantendo o em zero;
dWcamp  (λ1,λ2, … ,λn, θ) = i1dλ1 + i2dλ2 + ⋯ + indλn − (Tcamp )dθ
dWcamp  (λ1,λ2, θ) = i1dλ1 + i2dλ2 − (Tcamp )dθ
(Tcamp ) = −
∂Wcamp  (λ1,λ2, θ)
dθ
λ1,λ2
+
=zero 
+
idλ
dθ∣ (Tcamp ) = − ∂Wcamp  (λ1,λ2, θ)dθ λ1,λ2∣∂Wcamp  (λ1,λ2, θ)λ2 λ1
Por fim, faz-se a integração em .
A variável se refere a do modelo matemático proposto.
Logo, temos:
Eq. 93
Rotacione a tela. 
A ordem de integração entre os fluxos 1 e 2 é arbitrária.
No módulo 1, foram desenvolvidas as equações de indutância para sistemas lineares de dupla excitação. Dessa forma, considerando as equações
apresentadas, temos que os fluxos 1 e 2 do sistema rotativo podem ser descritos pelas indutâncias próprias e mútuas, como mostra a equação a seguir:
Eq. 94
Rotacione a tela. Eq. 95
Rotacione a tela. 
Lembrando que: 
Ainda, essas indutâncias variam com a posição angular.
Manipulando as equações, temos:
Eq. 96
Rotacione a tela. Eq. 97
Rotacione a tela. 
Onde (denominador) é dado pela equação 98:
Eq. 98
Rotacione a tela. 
Com isso, os valores de corrente passam a ser representados em função da posição, uma vez que a indutância é dada por .
Integrando a equação referente à energia armazenada no campo, após a substituição das variáveis indicadas, temos:
Eq. 99
Rotacione a tela. Eq. 100
λ2
Wcmp Wcamp
Wcamp  (λ10,λ20, θ0) = ∫
λ20
0
i2 (λ1 = 0,λ2, θ= θ0)dλ2 + ∫
λ10
0
i1 (λ1,λ2 = λ2, θ= θ0)dλ1
λ1 = L11 (i1) + L12 (i2)
λ2 = L22 (i2) + L21 (i1)
L12 = L21
i1 =
L22λ1 − L12λ2
D
i2 = −
L21λ1 − L11λ2
D
D
D = L11L22 − L12L21
L(θ)
Wcamp  (λ10 ,λ20 , θ0) = ∫
λ20
0
L11 (θ0)λ2
D (θ0)
dλ2 + ∫
λ10
0
L22 (θ0)λ1 − L12 (θ0)λ20
D (θ0)
dλ1
Rotacione a tela. 
Observamos que a parcela em destaque na equação é referente ao efeito da indutância mútua, que ocorre devido à múltipla excitação.
Conjugado Mútuo
A diferencial da coenergia para esse caso é dada pela seguinte equação:
Eq. 101
Rotacione a tela. 
Onde é possível determinar o conjugado por meio da corrente ao invés da utilização do fluxo, como mostra a equação a seguir:
Eq. 102
Rotacione a tela. 
Repetindo a análise feita para energia, porém, agora, utilizando correntes, aplicando a integral na equação definida, temos que a coenergia é dada por:
quação de�nida
Eq. 103
Rotacione a tela. 
Onde:
 refere-se à parcela de indutância mútua contribuinte para a energia.
O torque, por sua vez, é então dado pela derivada parcial da energia em função da posição.
Assim, temos:
Eq. 104
Rotacione a tela. 
Analisando o resultado obtido, é possível identificar dois termos principais na equação:
Termo 1: Referente à ação individual das correntes.
Eq. 105
Rotacione a tela. 
Wcamp  (λ10 ,λ20 , θ0) =
1
2D (θ0)
L11 (θ0)λ
2
20
+
1
2D (θ0)
L22 (θ0)λ
2
10
−
1
D (θ0)
L12 (θ0)λ10λ20
dW ′camp(i1, i2, θ) = λ1di1 + λ2di2 − (Tcamp)dθ
(Tcamp ) = −
∂Wcamp  ′ (i1, i2, θ)
dθ
i1,i2∣dW ′camp (i1, i2, θ) = λ1di1 + λ2di2 − (Tcamp )dθW ′(i1,i2,θ)camp  = 12 L11(θ)i21 + 12 L22(θ)i22L12(θ)i1i2L12(θ)i1i2
(Tcamp) = −
∂W ′camp(i1,i2,θ)
dθ
|i1,i2 =
1
2 i
2
1 (
dL11(θ)
dθ
) + 12 i
2
2 (
dL22(θ)
dθ
) + i1i2 (
dL12(θ)
dθ
)
1
2
i21 (
dL11(θ)
dθ
) + 1
2
i22 (
dL22(θ)
dθ
)
Termo 1

Termo 2: Referente à interação mútua das correntes, também chamado de conjugado de excitação mútua.
Eq. 106
Rotacione a tela. 
Circuitos Rotativos
Característica dos circuitos rotativos
Os sistemas eletromecânicos de energia, em grande parte, são rotativos. As máquinas elétricas são exemplos desses tipos de sistemas e, como visto ao logo
do estudo, são compostas de duas partes principais:
Parte �xa
Recebe o nome de estator.
Parte rotativa
Recebe o nome de rotor, ou armadura.
Em grande parte das máquinas, há uma corrente alimentando tanto a parte fixa, quanto a rotativa, e, com isso, temos um sistema duplamente excitado. Porém,
há também aquelas nas quais apenas uma excitação é identificada, como motor de relutância e, também, motor de ímã permanente.
Dentre as máquinas rotativas, podemos fazer classificações quanto ao tipo de construção e alimentação, assim:
Corrente de alimentação continua se refere a máquinas CC (motor/gerador);
Corrente de alimentação alternada se refere a máquinas CA (motor/gerador);
Nas máquinas de indução, a corrente de um enrolamento é induzida pelo enrolamento principal;
Máquinas síncronas apresentam sincronismo entre a velocidade mecânica do eixo e síncrona, podendo ser motor ou gerador.
Exemplo: sistemas rotativos
Consideremos o sistema, apresentado pela imagem 29 a seguir, um exemplo de circuito rotativo duplamente excitado, no qual identificamos o terminal de
entrada (elétrico) e um terminal de saída mecânico. Na parte estática, há uma bobina alimentada por uma corrente , e na parte rotativa, há uma segunda
bobina, alimentada por uma corrente .
Imagem 29. Máquina rotativa
i1i2 (
dL12(θ)
dθ
)
Termo 2

ie
ir
Para o estudo desse circuito, fazemos a seguinte consideração:
A peça móvel/mecânica não se move, isto é, o rotor está bloqueado.
Devido à não movimentação do rotor, podemos concluir que não há variação de energia mecânica, pois a posição inicial e final do rotor é a mesma.
Eq. 107
Rotacione a tela. 
Com isso, ao avaliar a equação seguinte:
Eq. 108
Rotacione a tela. 
É possível concluir que a energia armazenada no campo é igual à variação de potência elétrica.
Por análise:
Eq. 109
Rotacione a tela. 
, logo:
Eq. 110
Rotacione a tela. Eq. 111
Rotacione a tela. 
Onde:
Eq. 112
Rotacione a tela. 
Ainda:
Eq. 113
Rotacione a tela. 
E:
Eq. 114
Rotacione a tela. 
dWmec  = 0
dWele  = dWmec 
zero 
+ dWcamp 

Pele = Pmec +
dWcamp 
dt
E Pmec = 0
Pele =
dWele
dt
Pele dt = dWcamp 
Pele = Pestator  + Protor 
Pestator  = eestator iestator 
Protor  = erotor irotor 
Rotacione a tela. 
Logo:
Eq. 115
Rotacione a tela. 
Substituindo na equação de variação do campo armazenado, temos:
quação de variação
Eq. 116
Rotacione a tela. 
Por definição, a tensão induzida, segundo Faraday, é dada pela variação do fluxo concatenado no tempo:
Eq. 117
Rotacione a tela. 
Logo:
Eq. 118
Rotacione a tela. Eq. 119
Rotacione a tela. 
Substituindo na equação 116, temos:
Eq. 120
Rotacione a tela. 
Reescrevendo:
Eq. 121
Rotacione a tela. 
Os fluxos podem ainda ser reescritos por meio das indutâncias, próprias e mútuas. Considerando a linearidade do sistema, a indutância dependerá apenas da
posição, como já visto ao longo do estudo:
Eq. 122
Rotacione a tela. 
Pele = eestator iestator  + erotor irotor 
Peledt = dWcamp
dWcamp = eestatoriestator dt + erotor irotor dt
e =
dλ
dt
eestator  =
dλestator 
dt
erotor  =
dλrotor 
dt
dWcamp =
dλestator
dt
iestator dt +
dλrotor
dt
irotor dt
dWcamp = iestator dλestator + irotor dλrotor
λ−estator = Lee (ie) + Ler (ir)
Eq. 123
Rotacione a tela. 
Onde o subescrito "e" se refere ao estator, e o subescrito " " ao rotor.
Por fim, , após as substituições, pode ser representado como mostra a equação 126.
Eq. 124
Rotacione a tela. Eq. 125
Rotacione a tela. Eq. 126
Rotacione a tela. 
λrotor  = Lrr (ir) + Lre (ie)
r
dWcamp 
dWcamp = iestator dλestator + irotor dλrotor
dWcamp = ied(Lee(ie) + Ler(ir)) + ird(Lrr(ir) + Lre(ie))
dWcamp = Leeied (ie) + Lrrird (ir)Lred (ieir)
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o circuito:
Circuito rotativo.
A corrente do estator é elevada de forma que fique duas vezes maior que a do rotor, portanto:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Temos:
A parcela em destaque, referente ao estator, irá aumentar. Como as indutâncias são em função da posição, podemos assumir que sejam curvas, senoidais
ou cossenoidais, e esta sofrerá aumento na amplitude.
Questão 2
Avaliando um sistema de conversão eletromecânico de energia, com parte mecânica rotativa, assinale a alternativa correta.
A A amplitude da curva de conjugado de relutância para o estator reduz.
B A amplitude da curva de conjugado de relutância para o rotor reduz.
C A amplitude da curva de conjugado mútuo reduz.
D A amplitude da curva de conjugado de relutância para o estator aumenta.
E A amplitude da curva de conjugado mútuo não é afetado.
(Tcamp ) =
1
2 i
2
1 (
dL11(θ)
dθ
) + 12 i22 (
dL22(θ)
dθ
) + i1i2 ( dL12(θ)dθ )
A O aumento de fluxo não influencia na energia armazenada.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Avaliando a equação:
Em uma situação de rotor bloqueado, parado, a energia mecânica é nula. Pela equação da energia armazenada:
Há proporcionalidade entre energia e fluxo.
Considerações �nais
Apresentamos o cálculo da força e torque em circuitos magnéticos, pontuando as principais simplificações e as técnicas utilizadas.
Foram expostas definições e características físicas dos circuitos de conversão eletromecânica com movimento mecânico linear, bem como o cálculo da energia
armazenada no campo magnético dos mesmos. Foram apresentados os circuitos rotativos, pontuando as principais diferenças. Vimos o cálculo do torque de
relutância mútua, que ocorre em sistemas de múltipla excitação.
Podcast
Agora, encerramos este conteúdo abordando as principais diferenças entre circuitos eletromagnéticos com movimento linear e rotativo e suas aplicações.
Confira!
B Se a parte mecânica está parada, a energia elétrica é zero.
C O bloqueio da parte móvel indica que não há energia mecânica.
D A energia armazenada é inversamente proporcional ao fluxo.
E A energia armazenada é proporcional à indutância.
Pele  = Pmec  +
dWcamp 
dt
Wcamp  (λ0, θ0) =
1
2L(θ)
λ20

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Para mais exercícios e conceitos referentes aos circuitos rotativos, deixamos aqui para você as seguintes obras:
BIM, E. Máquinas elétricas e acionamento. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
DEL TORO, V. Fundamentos de máquinas elétricas. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1994.
KOSOW, I. Máquinas elétricas e transformadores. Rio de Janeiro: Globo. 1986.
Referências
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 700p.
SEN, P. C. Principles of electric machines and power electronics. 3. ed. Nova Jersey: John Wiley and Sons, 2013. 642p.
UMANS, S. D. Máquinas elétricas de Fitzgerald e Kingsley. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014. 708 p.
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