Conversão Eletromecânica de Energia

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Conversão 
Eletromecânica 
de Energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discente: Rafael de Paula Camata 
Conversão de Energia 1
1 - Relações Eletromecânicas Básicas 
 
A conversão de energia entre as formas elétricas e mecânicas é realizada através 
de campos magnéticos e elétricos. Campos magnéticos são capazes de causar ambos os 
fenômenos elétricos e mecânicos. De um ponto de vista elétrico, são capazes de induzir 
tensão em condutores. Do ponto de vista mecânico, são capazes de produzir forças e 
conjugados de atração e repulsão. Portanto, o campo magnético, num dispositivo 
eletromecânico é uma quantidade importante a ser estudada. 
Um campo magnético é estabelecido pelo movimento de elétrons. A corrente i 
num condutor elétrico estabelece um campo magnético ao seu redor. O campo tem as 
propriedades de direção, densidade, e intensidade e é mais facilmente visualizado como 
constituído de “linhas de fluxo”. 
 
1.1. Lei de Ampère: 
 
Lei básica que determina a relação entre corrente elétrica e campo magnético. A 
integral de linha do vetor intensidade de campo magnético, em torno de uma trajetória 
fechada, na mesma direção das linhas de campo, é igual a corrente total através da 
superfície contida pela trajetória de integração de H
r
 e é uma quantidade escalar: 
 
∫=∫
Superficie
dS.n.Jld.H
rrrr
 (1.1) 
 
A expressão do lado esquerdo da equação (1.1) é uma integral de linha da 
intensidade de campo magnético (H) ao longo do contorno fechado, na mesma direção 
de H
r
, num campo magnético. A expressão do lado direito é uma integral de superfície 
da densidade de corrente J, a qual é realizada sobre a área da seção transversal S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades em MKS: 
 J - é dado em ampère por metro quadrado [A/m2] 
H
r
 - é dado por ampère-espira por metro [A-esp/m] e sua direção é dada pela 
regra da mão direita. θ=⋅ cos l Hl H dd
rr
, sendo θ o ângulo entre l H
rr
de , e 
θcos l Hd a componente de H na direção do elemento de comprimento dl. 
 l - é o comprimento do caminho em [m]. 
S - é a área em [m2]. 
 
Esta lei é muito útil como um meio de obtenção da intensidade de campo 
magnético em situações em que se tenha simetria no problema. Duas condições devem 
ser atendidas: 
(1) Em cada ponto do percurso fechado, H
r
 deve ser tangencial ou normal ao 
percurso. 
 θθθθ
 J n
rr H ld
rr
 dS
 
Conversão de Energia 2
(2) H
r
 tem o mesmo valor em todos os pontos do percurso onde H
r
 é 
tangencial. 
 
A intensidade de campo magnético H produz uma indução magnética (ou 
densidade de fluxo) B em toda a região onde ela existe, de valor: 
 
HB
rr
µ= (1.2) 
 
A unidade de B é o tesla [T ou Wb/m2], 1 Wb = 108 linhas de campo magnético ou 108 maxwells, 1 T = 104 G (gauss). 
Onde: µ é a permeabilidade do material (permeabilidade absoluta) 
 
µ = µr µ0 { µ0 (permeabilidade no vácuo) = 4π×10–7 [Wb/Am ou H/m]} 
 
Onde: µr é a permeabilidade relativa ao valor do vácuo = µ / µ0 
µr para materiais ferromagnéticos usados em máquinas e transformadores varia 
de 103 a 105. 
Substituindo a equação 1.2 na 1.1, tem-se: 
 
∫µ=∫ S dS.n.Jld.B
vrrr
 (1.3) 
 
Façamos a aplicação da lei de Ampère para o caso de um toróide imerso no ar, 
ver exemplo a seguir. O circuito magnético apresentado na figura 1.1a é uma 
configuração simétrica e permite a aplicação direta da lei de Ampère. A figura 1.1b é 
uma seção transversal do circuito magnético apresentando as dimensões apropriadas. 
+
+
.
ar
az
aθθθθ
(b) corte transversal do núcleo
ri
r' i r
r' 0
r0
(a) circuito magnético simples
Ne(t)
+
-
i(t)
H
rr' i ri r0 r' 0
(c) variação da itensidade de campo
 magnéticoH com o raior
(d) variação da densidade de fluxo
 magnéticoB com o raior
B = µµµµH
rr' i ri r0 r' 0
µµµµ0 µ µ µ µ r H(ri)
µµµµ0 H(ri)
µµµµ0 µµµµ0 µ µ µ µ r µµµµ0
 
aθ e ar são vetores unitários na direção tangente ao circulo e na direção radial no plano do papel, enquanto az é 
perpendicular ao plano do papel. 
 
Figura 1.1 - Determinação de H e B numa bobina toroidal. 
 
Foi escolhido um sistema de coordenadas cilíndricas e vetores unitários 
zr a a ,a
rrr
eθ num raio r e num ângulo arbitrário θ. A direção da corrente é assumida 
Conversão de Energia 3
como entrando (×) na página para r < r i e saindo (•) para r > r0. Considerando o 
enrolamento consistindo de muitas espiras e de fios relativamente finos e próximos um 
do outro, pode-se assumir densidade uniforme de corrente para a região ocupada pelo 
enrolamento. Desta hipótese resulta uma configuração simétrica com relação ao ângulo 
θ. A intensidade de campo magnético (H) na direção de θ, para r i < r < r0, é obtida pela 
aplicação direta da lei de Ampère. Para uma trajetória circular de integração a um raio r 
tem-se: 
( ) ( ) θπ θθθθ π=∫ θ=∫ θ++=∫ Hr2drHadr.aHaHaHld.H 20zzrr
rrrrrr
 
 
Onde: 1a.a e 0a.aa.a zr === θθθθ
rrrrrr
, e H é invariante com relação a θ conforme 
as considerações de simetria. Quanto ao outro lado da equação (1.1), tem-se para a 
trajetória considerada: 
iNdS.n.JS =∫
rr
 
 
Abandonando o subscrito θ, a intensidade de campo magnético na direção de θ 
dentro do núcleo será: 
r2
iN
H
π
= 
 
Para vários caminhos de integração distantes de um raio r do centro tem-se: 
 
0H'rr
r'r
rr
1
r2
iN
H'rrr
r2
iN
Hrrr
'rr
'rr
r2
iN
Hrr'r
0H'rr
 
0
2
0
2
0
2
0
2
 
00
 
0i
2
i
2
i
2
i
2
 
ii
 
i
= →≥








−
−
−
π
= →≤≤
π
= →≤≤
−
−
π
= →≤≤
= →≤
 
 
A densidade de fluxo magnético B em Wb/m2 ou T esta relacionada com H por 
meio da equação (1.2). Considerando que o material do núcleo seja ferromagnético a 
densidade de fluxo magnético será desprezível na região fora do núcleo já que µ é da 
ordem de 103 a 105 para materiais ferromagnéticos. 
Na realidade, materiais ferromagnéticos exibem características não lineares, 
onde o valor de µr depende do valor de H e de seu comportamento anterior. Serão 
examinados alguns aspectos de seu comportamento mais a frente, mas como será 
mostrado, um valor relativamente alto de µr permite-nos assumir um comportamento 
linear em muitas aplicações. 
Observa-se que não há limites para o valor de H que pode existir no ar ou no 
espaço, seu valor é limitado praticamente pela J permissível nos condutores que 
produzem o campo. Com condutores de cobre e alumínio, em temperaturas normais de 
operação, as densidades de correntes (J) devem ser limitadas a cerca de 106-107 A/m2. 
Bobinas super-resfriadas podem produzir densidades de fluxo (B) de 10 Wb/m2 ou mais. 
Em comparação, é com grande dificuldade que um valor de B > 0.1 Wb/m2 pode ser 
produzido usando bobinas normais à temperatura ambiente. Atualmente o modo mais 
Conversão de Energia 4
fácil de produzir um valor de B de até 1.5 ~ 2.0 Wb/m2 é através do uso de materiais 
ferromagnético. 
 
Ex. : A figura 1.1.1 a seguir mostra uma bobina enrolada, em forma toroidal, 
num anel de seção retangular. A bobina tem 200 espiras de fio de cobre cujo diâmetro é 
3 mm. 
e(t)
i(t)
+
-
100
300
400
dθθθθ
r
Bθθθθ0 d
dr
 
Figura 1.1.1 - Determinação de H e B numa bobina toroidal (dimensões em mm). 
 
a) Para uma corrente de bobina de 50A, encontrar o fluxo magnético no diâmetro médio 
da bobina. 
• Obtenção da densidade de fluxo B no interior do toróide, através da lei de Ampère. 
Considerando uma trajetória circular dentro do toróide, cujo raio é r. Pela 
simetria, vê-se que B será constante em todos os pontos da trajetória e sua direção será a 
da tangente à trajetória em cada ponto. 
 
iNld.B 0µ=∫
rr
 A trajetória enlaça N vezes a corrente i, o que explica a 
presença de N no lado direito da equação. 
 
Como devido à simetria B é constante ao longo da trajetória de integração e sua 
direção é ao longo da tangenteà trajetória em cada ponto, 0BB θ=
rr
 e 0drld θθ=
rr
. 
 
0
0
0
2
0 r2
NI
BNIr2BrdB θ
π
µ
=→µ=π=∫ θ∴ π
r
 
 
0θ
r
 - Vetor unitário na direção da tangente ao anel circular no plano do papel 
 
Ou seja, B varia inversamente com o raio da trajetória e por conseguinte o valor 
de B não é constante em todos os pontos de uma seção transversal do toróide. Quando o 
diâmetro da bobina (espessura do toróide) é pequeno quando comparado com as demais 
dimensões do toróide (ou seja, se d << r), então se pode supor, sem perda de precisão, 
que B é constante em uma seção transversal e, portanto, em todos os pontos dentro do 
toróide. Considerando o diâmetro médio: 
 
( )
A/m
Wb/m2
9095H
B
H
1043,11
235,02
10450200
r2
NI
B 3
7
0
=∴
µ
=
×=
π
π××=
π
µ
= −
−
 
 
 
 
Conversão de Energia 5
1.2. Conceito de Circuito Magnético Linear 
 
O conceito de circuito magnético é útil para a compreensão do comportamento 
de diversos dispositivos eletromagnéticos práticos. Em muitas situações é útil ter um 
modelo na forma de um circuito magnético equivalente análogo a um circuito elétrico. 
A aplicação da lei de Ampère ao toróide do exemplo 1.1 conduziu a uma equação que 
relaciona B com a corrente I: 
 
l
NI
B ou 
r2
NI
B 00 µ=π
µ= (1.4) 
 
Da qual, após a substituição de B por µ0H conduz: 
 
ℑ=== NIlHou 
l
NI
H (1.5) 
 
A unidade de H é a de ℑ/comprimento [Aesp/m]. Ou seja, H é o gradiente de 
potencial magnético. Onde l é o comprimento da trajetória do fluxo. Observa-se que da 
aplicação da equação (1.3) para r > diâmetro externo do toróide e r < diâmetro interno 
do toróide conduz a H l = N I = 0. 
Considerando que o fluxo magnético φ através de uma área S é definido como: 
 
∫=φ Sd.B
rr
 [Wb] (1.6) 
 
Com base na equação (1.6) e com a consideração de que todo o fluxo está 
confinado no toróide onde, a menos de um pequeno erro percentual, ver a seguir, pode-
se considerar a densidade de fluxo constante e uniforme através da área S da seção 
transversal. Assim, tem-se que o fluxo φ = B S, e que após a sua substituição na equação 
(1.4) produz: 
 
0S
l
0
0 NI 
S
l
NI 
l
NI
S µ
=φ
µ
φ=
µ
=φ ouou (1.7) 
 
Pode-se ver a relação causa – efeito, onde a corrente de excitação I produz um 
fluxo φ no núcleo. A quantidade NI é chamada força magnetomotriz ou f.m.m. (ℑ) e a 
expressão l / µ0 S é chamada de relutância (ℜ) da estrutura magnética (definida como a 
f.m.m por unidade de fluxo magnético). Define-se agora P a permeância que é o inverso 
da relutância. 
 
 
esp]-[Wb/A 
l
S1
P
esp/Wb]-[A 
S
l
esp]-[A NI
0
0
µ
=
ℜ
=
µ
=
φ
ℑ=ℜ
=ℑ
 (1.8) 
 
A fmm estabelece uma H, a qual, por sua vez, produz uma densidade de fluxo 
magnético B no material. A integração de B sobre a área S do núcleo dá o φ. ℑ é a causa 
e φ é o efeito. ℜ é determinado pelas propriedades magnéticas do material e as 
dimensões do núcleo. 
É interessante neste momento considerar o circuito elétrico a seguir que nos 
permitirá efetuar uma analogia com as equações (1.8). 
 
Conversão de Energia 6
+
-
V R = l / (σσσσ S)
I
 
 
Para o circuito elétrico a corrente I é: 
 
S
l
 
σ
== V
 aResistênci
fem
I 
 
Onde σ é a condutividade do material; l é o comprimento; e S é a área da seção 
transversal 
Comparando com a equação (1.7) observa-se claramente uma semelhança. É por 
esta razão que se pode considerar um toróide como um circuito magnético, a equação 
(1.7) é conhecida como a lei de Ohm para circuitos magnéticos. A analogia entre ambos 
os circuitos é apresentada na tabela 1.1 
 
Circuito Elétrico Circuito Magnético 
 
+
-
V R = l / (σσσσ S)
I
 I=V/R 
 
 
φφφφΙΙΙΙ
 φ = ℑ / ℜ 
Resistência ][R Ω
σ
=
S
l
 Relutância esp/Wb][A
S
l
µ
=ℜ 
Corrente [A]
R
V
I = Fluxo [Wb]
ℜ
ℑ=φ 
Tensão [V]IRV = Força magnetomotriz 
esp][Aφℜ==ℑ NI 
Condutividade σ [S/m] Permeabilidade µ0 * 
Condutância [S]
R
1
G = Permeância esp][Wb/A
ℜ
= 1P 
R – Associado a perda de energia ℜ - Não está associado a perda de energia. 
* supondo que o meio dentro da estrutura magnética seja o vácuo, ou um material não magnético. 
 
Tabela 1.1 Analogia entre os circuitos elétrico e magnético. 
 
A analogia entre os circuitos foi possível pelo fato do campo magnético 
estabelecido pela corrente da bobina estar totalmente confinado ao (núcleo) interior do 
toróide e também pelo fato do circuito magnético ser linear, isto é, µ = µ0 = cte. O 
conceito de circuito magnético, embora desenvolvido para uma estrutura particular, 
contendo ar ou vácuo, pode ser ampliado para estruturas magnéticas feitas de materiais 
ferromagnéticos de alta permeabilidade, como será visto posteriormente. 
 
 
Conversão de Energia 7
Diferença de Potencial Elétrico: 
 
Para obter-se a queda de tensão entre dois pontos a e b de um toróide de cobre, 
pode-se escrever: 
ab
b
a
b
aab ll
IR
dl
l
E
dl.V =∫=∫= ε 
 
Onde: E = Tensão aplicada 
 l = 2πr = comprimento médio do toróide. 
 ε (gradiente de potencial elétrico) = E / l = E /2πr [V/m] 
 
ab
ab
abab IRA
l
Il
A
l
l
I
V =ρ=ρ= onde Rab é a resistência do cobre entre a e b 
Densidade de Corrente por definição: J = I / S = E / S R 
 
J
S/lS
l
J ρ=→
ρ
=
ρ
= εεε
)(
 
 
Diferença de Potencial Magnético: 
 
Queda de fmm entre dois pontos onde o fluxo flui: 
 
abababab
b
aabab lS
l
l
l
l
l
l
dl.HV ℜφ=
µ
φ=ℜφ=ℑ=∫=ℑ= 
 
Onde ℜab é a relutância do núcleo toroidal entre os pontos a e b. 
 
Densidade de Fluxo 
 
µ
=→µ=
µ
=
ℜ
ℑ=φ= BHH
)S/lS
lH
SS
B
(
 
 
Observa-se que ambos os circuitos não são considerados como análogos em 
todos os aspectos. Ex.: não existe isolante magnético análogo aos que existem para 
circuitos elétricos. A relação entre a condutividade de um típico isolador elétrico e de 
um bom condutor é da ordem de 10–16 ou mais (σcobre = 5,8×10–7, σmica = 5×1011), 
enquanto a permeabilidade do ar para a permeabilidade de material ferromagnético 
típico não é, naturalmente, superior a 10–6 (Permalloy). Também, quando a corrente 
contínua é estabelecida e mantida num circuito elétrico, a energia deve ser suprida 
continuamente, Uma situação análoga não predomina no caso magnético, onde o fluxo é 
estabelecido e mantido constante. 
 
Ex. 1.2: Considerando novamente a figura 1.1.1 
a) Determinar a indutância da bobina, assumindo que a densidade de fluxo 
dentro do toróide é uniforme e igual à do diâmetro médio, e calcule a 
percentagem de erro produzido por tal hipótese. b) dado a resistividade (ρ) 
do cobre (17,2 x 10–9 Ωm), determine os parâmetros do circuito elétrico 
aproximado: 
 
• Num raio r qualquer (0,15 < r < 0,20 m) 
Conversão de Energia 8
A indutância, para um circuito magnético no qual exista uma relação linear entre 
B e H, é definida como L = λ / I . 
 
( )
H
espWb
3
3
3
27
20,0
15,0
2
020,0
15,0
7
0
102302,0
50
1051,11
I
L
1051,1150
15,0
20,0
ln
2
2001041,0
r
dr
2
IN1,0
Ndr1,0B
r2
I200104
r2
NI
B
−
−
−
−
−
×=×=λ=
×=





π
××π×=λ
∫π
µ×
=φ=λ→∫=φ
π
×××π=
π
µ
=
 
 
• Para a consideração de diâmetro médio: Bm = 11,43×10-3 Wb/m2 
 
H
esp Wb
Wb
33
mm
36
mm
63
m
102286,050/1043,11I/L
1043,111015,57200N
1015,5705,01,01043,11SB
−−
−−
−−
×=×=λ=
×=××=φ=λ
×=×××==φ
 
Assim: %7,0100
51,11
43,1151,11
Erro ≅−= 
 
b) calculando o diâmetro do fio: dCu = 3 mm → 
4
103
4
d
S
622 −××π=π= , e o 
seu comprimento total (da bobina): l fio = 200 × 2 × (0,1+0,05) = 60 m. 
 
R = ρ lfio / Sfio = (17,2 ×10–9 × 200 × 0,3) / ((π×32×10–6) /4) = 0,1460 Ω 
 
Outra forma de se obter Lm é: 
 
ℜ
==
µ
=
µ
==φ=λ=
2
2020 NPN
l
S
NS
l
NI
I
N
SB
I
N
I
N
I
L 
ou 
ℜ
=φ
ℑ
=×φ=λ=
22 NN
N
N
I
N
I
L 
 
Os parâmetros aproximado do circuito equivalente seriam: ℜ = 0,146 Ω e 
L = 0,2286 mH 
 
e = dλ / dtv = R i + L di / dt 
 
+
-
R
i
e
v
 
Conversão de Energia 
 
9
1.3. Propriedades dos Materiais Ferromagnéticos: 
 
Quando o núcleo do toróide é de ferro (por exemplo), o fluxo total produzido 
pela mesma bobina de corrente é sensivelmente aumentado. Isto se deve ao fenômeno 
de ferromagnetismo o qual é um fator muito importante ao processo de conversão de 
energia pelas máquinas eletromagnéticas. 
As propriedades dos materiais ferromagnéticos são: 
 
1. Magnetizam-se fortemente na mesma direção do campo magnético onde estão 
inseridos. 
2. Sua densidade de fluxo nos materiais ferromagnéticos varia de forma não 
linear com a intensidade magnética, com exceção de pequenas faixas onde a 
variação pode ser considerada linear. 
3. Apresentam saturação, histerese e retentividade. 
 
1.3.1. Vetor Magnetização: 
 
Quando o interior do toróide é preenchido por algum material ferromagnético, a 
densidade de fluxo dada pela equação (1.4) passa a ser: 
 
 0
0 M
l
NI
B µ+
µ
= (1.9) 
 
Onde M é a contribuição do material magnético à densidade de fluxo total. 
Observações experimentais mostram que existe (em muitos materiais) uma relação entre 
M e H (H é a excitação e M a resposta). Quanto maior o campo proveniente de correntes 
reais, mais dipólos magnéticos se orientam, criando mais corrente de magnetização. M é 
denominado vetor de magnetização (ou densidade de fluxo intrínseco) e só existe dentro 
do material magnético. A relação entre M e H é dada pela equação: 
 
 M = χm H (1.10) 
 
χm - é definida como susceptibilidade magnética (observação: no vácuo não há 
dipólos magnéticos). Para materiais ferromagnéticos, χm é uma quantidade 
variável, usualmente muito maior que a unidade. 
 
Substituindo M da equação (1.10) na equação (1.9), obtém-se: 
 
 HHH1HHB r0m0m00 µ=µµ=χ+µ=χµ+µ= )( (1.11) 
 
Onde µ é a permeabilidade do material, quantidade variável para materiais 
ferromagnéticos e em geral muito maior do que µ0. Materiais magnéticos tem elevada 
χm e µ, significando grande facilidade de orientação de dipólos magnéticos e 
conseqüentemente a criação de elevadas correntes de magnetização. Se quando cessada 
a excitação os dipólos continuarem orientados, H e M não guardarão uma relação de 
proporcionalidade, não fazendo sentido portanto falar em χm e , embora a relação (1.9) 
continue válida, a (1.11) não o será. 
 
Conversão de Energia 
 
10
1.3.2. Histerese e Curva Normal de Magnetização (CNM): 
 
Os materiais ferromagnéticos exibem uma relação muito complexa entre a 
indução magnética B e a intensidade de campo H, figura 1.2. O valor de B, além de 
depender do valor de H, depende do modo pelo qual esse valor foi atingido . Isso 
obviamente tem como implicação uma relação não biunívoca entre B e H. Nesse caso 
não seria possível definir de modo simples uma característica de um indutor por 
exemplo. 
 
Bmax
-Bmax
Br -
--Br
laço de histerese
 estabilizado
curva normal de
 magnetização
-Hc Hc
b
Hmax
-Hmax
b'
c c'
d'
d
H H , i
B
B,λλλλ
Hmax
Bmax
a) Laços de Histerese b) Curva Normal de Magnetização
Br - retentividade: densidade residual de fluxo
Hc - coercitividade:fmm necessária para anular B
 
 
Figura 1.2. Conjunto das trajetórias fechadas de histerese e a curva normal de magnetização para um material 
ferromagnético. 
 
Observa-se que (no ponto d) embora H seja nula, B não o é (é igual a Br). À 
medida que se diminui H gradualmente, B varia ao longo de b-d (para um dado valor de 
H, o valor de B será maior quando H diminuir do que quando aumentar). Diz-se que B 
se atrasa com relação a H. Esta característica dos materiais ferromagnéticos é conhecida 
como histerese. A curva normal de magnetização é obtida (figura 1.2b) através da união 
das extremidades (pontos dos laços de histerese) de uma família de laços de histerese. 
 
Definições: Para um laço de histerese estabilizado, com simetria cíclica, pode-se 
definir: 
Remanência (Br) - é a densidade residual de fluxo, obtida para força 
magnetizante nula; seu valor máximo é conhecido como 
retentividade. 
Coercitividade (Hc) - é o valor da força magnetizante necessária para levar a 
densidade de fluxo a zero. 
 
A área do ciclo de histerese corresponde à energia dissipada por unidade de 
volume do material magnético durante o ciclo. As análises em que os fenômenos de 
histerese são relevantes, apresentam extrema dificuldade, é o caso por exemplo de 
máquinas de ímã permanente e máquinas de histerese. A característica típica B-H para 
um ímã metálico permanente, comum, é apresentada na figura 1.3(a) (Alnico V: 51% Fe, 
24% Co, 14% Ni, 8% Al, e 3% Cu). Observa-se que embora a forma geral desta 
característica seja similar à dos materiais magnéticos doces (fig. 1.3(b)), a força 
Conversão de Energia 
 
11
coercitiva é da ordem de 1000 vezes maior, já a densidade residual é da mesma ordem 
de magnitude da dos materiais doces. 
 B
[Wb/m2]
1.25
 B
[Wb/m2] ~ 2.0~
de 15 a 100
 H [A esp/m] H [A esp/m]
50000
a) material magnético permanente (duro) b) material magnético macios (doces) 
 
Figura 1.3 - Densidades de fluxo magnético B versus intensidade de campo H. 
 
Materiais que apresentam alto valor de Br (materiais retentivos) são empregados 
na confecção de ímãs permanentes. Quanto maior for a indução residual, menor será a 
seção necessária para o ímã; quanto maior o campo coercitivo, menor poderá ser o seu 
comprimento. Os materiais magnéticos conhecidos como ferrites são não-metálicos e, 
portanto, tem resistividade elétrica muito alta. A densidade residual de magnetos de 
ferrites é somente cerca de 0.2 a 0.4 Wb. Forças coercivas excepcionalmente altas, da 
ordem de 200.000 ampères/metro, podem ser obtidas. Quando a densidade residual tiver 
sido estabelecida em tal material, uma energia da ordem de 60.000 joules/m3 de material 
é necessária para removê-la. Os magnetos feitos destes materiais são, portanto, 
particularmente estáveis. 
Os materiais magnéticos destinados às máquinas elétricas geralmente são 
submetidos a fluxos variáveis e por isto devem ter área pequena no ciclo de histerese a 
fim de reduzir as perdas de histerese. São utilizados, portanto, nestes casos, os materiais 
magneticamente moles (macios) os quais apresentam baixa força coercitiva (valor de H 
para o qual B é zero). O material magnético mais comumente utilizado em máquinas e 
transformadores é uma liga de ferro com uma pequena quantidade de silício (≅ 3.5%) 
isto pela fato de se ter observado que a introdução de silício no ferro nestas 
porcentagens, pode não só melhorar as características magnéticas do material (menor 
ciclo de histerese) como também aumentar a resistividade elétrica com conseqüente 
redução das perdas de Foucault (para o ferro puro ρ = 10–7 Ω m, a adição de 4% de 
silício aumenta ρ para 6 ×10–7 Ω m). O uso de técnicas especiais de laminação permite a 
obtenção de lâminas de material magnético nas quais os cristais estão orientados ao 
longo da direção de magnetização desejada. Esses materiais comercialmente disponíveis 
na forma de chapas finas, também conhecidas por chapas de grãos orientados, têm 
propriedades magnéticas superiores quando o campo magnético é alinhado na direção de 
laminação das chapas. 
Para os materiais magneticamente moles a curva média, também conhecida por 
curva de magnetização, não se afasta muito das curvas do laço de histerese. Admite-se 
em geral como hipótese que as perdas por histerese são desprezíveis e a característica do 
material é a curva média. Se os antecedentes históricos de um material magnético não 
são relevantes para o estudo em questão, então todos os cálculos práticos do circuito 
magnético podem ser realizados usando a curva normal de magnetização. 
 
 
Conversão de Energia 
 
12
1.3.2.1 Mudança de escala da curva normal de magnetização (CNM) 
 
Muitas vezes torna-se necessário a representaçãoda CNM em outras escalas, 
pois isto permite a resolução de problemas onde a não linearidade deve ser levada em 
conta. Por exemplo, se a ordenada da característica B-H é multiplicada por N S e a 
abcissa por l/N, a característica λ-I é obtida. Também multiplicando a ordenada por B S 
e a abcissa por l, obtém-se a característica φ-ℑ. Deve-se salientar que estas só se aplicam 
nas situações onde se pode supor haver uniformidade do campo magnético. 
 
1.3.3. Modelos Aproximados para Características B-H: 
 
Várias aproximações simples e úteis poderão ser obtidas se o efeito de histerese 
no material for desprezado. Conforme citado no item 1.3.2, a maioria dos materiais 
empregados em máquinas e transformadores são os magneticamente mole, para os quais 
a aproximação usada é a curva normal de magnetização (figura 1.2b). Esta curva é o 
lugar geométrico dos vértices de um conjunto de trajetórias de histerese (figura 1.2a). 
Várias técnicas são aplicadas na análise, as quais envolvem a curva normal de 
magnetização (CNM): método numérico, linearização (inclusive que preservam o efeito 
de histerese) e não lineares, nos quais se trabalha com as curvas de magnetização 
fornecida pelo fabricante. 
 
A - Método Numérico: 
Exemplo: Considere o circuito da figura 1.4a no qual E é uma tensão constante 
aplicado à uma bobina em t = 0. A bobina é representada por sua resistência R e pelo 
fluxo concatenado λ versus a curva de corrente i (figura 1.4b) Deseja-se a i(t). 
e =dλλλλ / dt
+
-
R
i
i
λλλλ
λλλλ 1
λλλλ 2
t
λλλλ
i
λλλλ 1
λλλλ 2
∆∆∆∆ t 2∆∆∆∆ t
iλλλλ
a) circuito b) curva λλλλ - i c) fluxo concatenadoλλλλ(t) e i(t)
E
i1
Figura 1.4 - Método numérico de análise. 
 
E = Ri + dλ/dt. Para t = 0 → i = 0 
e = dλ /dt = E, quando t = 0 e i = 0 
 
Admitindo que dλ/dt permanece aproximadamente constante para um ∆t: λ1 ≅ E ∆t 
 
Da curva λ-i obtém-se i1. A inclinação da curva λ-t, para t = ∆t, pode agora ser 
determinada como: 
1
tt
iRE
dt
d −=




 λ
∆=
 
A seguir determina-se λ2: 
tt
12 dt
d
t
∆=





 λ∆+λ=λ 
A repetição continuada deste cálculo resulta nos elementos para as curvas de λ e 
i, como funções do tempo (figura 1.4c). Este método numérico de solução é simples e 
adequado a muitos sistemas não lineares. 
Conversão de Energia 
 
13
B - Linearização por partes da CNM. 
Em muitas análises, a CNM, pode ser representada adequadamente pela fig. 1.5 
 
Bk
Hk
B
H
inclinação µµµµsµµµµ0
inclinação µµµµnµµµµ0
para: -Bk < B < Bk Ln= λλλλ / i = N 2 S µµµµnµµµµ0 / l [H]
para: | B | > Bk Ls= λλλλ / i = N 2 S µµµµsµµµµ0 / l [H]
onde:
 Ln - indutância não saturada
 Ls - indutância saturada
 l - comprimento médio da trajetória de fluxo
 N - número de espiras.
-Bk
 
Figura 1.5 - Linearização por partes da curva B-H. 
Para 
dt
id
LiReII
dt
id
LiRe
N
lH
II
s
 
k
n
k
k
+= →≥
+=→=≤
 
 
A solução de ambas equações, nos respectivos intervalos (ver exemplo 1.4), são 
exponenciais simples. Outras linearizações deste tipo são apresentadas na figura 1.6(a) e 
(b). A da figura 1.6(a) é útil na análise de equipamentos que operam longe da região 
saturada da curva B-H (reatores saturáveis), e a figura 1.6(b), nas situações onde a 
indutância saturada Ls é desprezível, em relação aos outros parâmetros do sistema que 
está sendo analisado. 
 
Bk
B
H
inclinação µµµµsµµµµ0
-Bk
Bk
B
H
inclinação zero
-Bk
a) µµµµn = oo b) µµµµn = o ,µµµµs = 0o 
Figura 1.6 - Linearização da curva normal de magnetização. 
C - Linearização em torno do ponto de operação: 
 
Quando o material fica sujeito a um campo magnético constante a 
permeabilidade do material é uma função da densidade de fluxo. A permeabilidade 
incremental é a tangente a curva B-H calculada no ponto de operação, figura 1.7 
 
Conversão de Energia 
 
14
H
B
H1
B1
∆∆∆∆H1
∆∆∆∆H2
∆∆∆∆B2
∆∆∆∆B1
B2
H2 
 
1
1
01B
01H
1 H
B
lim
∆
∆=µ
→∆
→∆
 
 
2
2
02B
02H
2 H
B
lim
∆
∆
=µ
→∆
→∆
Figura 1.7 - Permeabilidade variável de um material ferromagnético. 
 
Ex. 1.3: Considere a curva B-H para o aço fundido, figura 1.8. Obtenha uma 
aproximação para a curva e comente sobre as discrepâncias. 
 
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
H [A/m]
 B
[T]
curva B-H
aproximação linear
(inclinação =µr µ0 )
 
Figura 1.8 - Aproximação da curva de magnetização para o aço fundido. 
 
A aproximação é aceitável para valores de B de até 0.9 T. Acima deste valor, as 
imprecisões da aproximação que seriam introduzidas em qualquer cálculo tornar-se-iam 
sérias. Dentro de uma faixa linear aceitável, a curva B-H seria descrita pela relação 
B = µ r µ0 H = µ H [T]. O valor de µ r para o exemplo seria de aproximadamente 1350. 
 
Ex. 1.4(ilustrativo): Como exemplo de análise linear por partes, consideremos o 
circuito da figura 1.9, um circuito RL, em que a resistência é linear, mas a indutância 
não. Sendo a indutância definida por: 
 
L = N dφ/dt = dλ/dt (auto-indutância é a taxa de variação das linhas de fluxo 
com relação à corrente) 
Somente quando dφ/dt é constante e independente de φ ou i, a indutância será 
constante, e a equação acima será linear. 
 
Conversão de Energia 
 
15
L
+
-
R
i
a) circuito RL não-linear
V
fmm(NI )1 (NI )2
φφφφ 0
φφφφ 1
φφφφ 2
φφφφ
A
B
b) curva normal de magnetização
 linearizadas por parte
CH
 
Figura 1.9 - Circuito magnético não linear, submetido a análise linear por partes. 
 
Considerando que a curva normal de magnetização possa ser aproximada por 
duas regiões lineares A e B, com inclinação aproximadamente constante, define-se duas 
indutâncias: 
- Na região A: 
1
12
A NI
NL
)(
φ= 
 
- Na região B: 
12
122
B ININ
NL
)()( −
φ−φ= 
 
No instante t = 0 fecha-se o interruptor. Para o circuito RL linear, a equação 
diferencial linear do circuito seria (fmm < (N I )1) 
 
ViR
dt
di
L =+ (I) 
 
Na região A a solução da equação diferencial seria: 
 










−=





− tL
R
Ae1
R
V
i (II) 
 
Se, por outro lado, a corrente de regime estacionário i = V/R resulta uma fmm 
> (N I )1, então a solução da equação (I) deve considerar que inicialmente L = LA, mas 
varia para LB quando N I torna-se maior que (N I )1. A solução aproximada pode ser 
determinada em dois passos. 
 
i) Na região A (conforme eq. (II)): 
 












−=








− t
L
R
Ae1
R
V
i 0 < t < t1 (III) 
 
Para obtermos t1 (tempo necessário para i atingir um valor I1 = (N I )1/N), 
fixamos i = I1 na equação (II), e resolvemos para t = t1: 
Conversão de Energia 16
V
RI
1e e1
R
V
I 1
t.
A
L
R
1
t
A
L
R
1
1
−=












−=








−







−
ou 





 −−=




 −=−
V
RI
1ln
R
L
t 
V
RI
1lnt
L
R 1A
1
1
1
A
ou (IV) 
 
Onde t1 é o tempo necessário para o fluxo no indutor aumentar de zero para φ1, 
ou para aumentar a fmm de zero para (N I )1. 
 
ii) Encontrar i para t > t1. Faz-se i = I1 + id. Rescrevendo-se a equação (I): 
 
( )
1d
d
B
 1
d
d1B
IRViR
dt
di
L
I 
dt
di
dt
di
ViIR
dt
di
L
−=+
==++ cte) é que (já:Onde ,
 
 
Cuja solução é: ( )( )'tBLR1d e1R
IRV
i −−−= 
 
Onde t' = t – t1 e i = I1 + id 
 
( )
( )( )
1
1
tt
B
LR
1
't.
B
LR
11
tt 
R
V
e
R
V
Ii
e1.I
R
V
Ii
≥+










 −=











 −




 −+=
−−
−
;
 
 (V)
 
 
Portanto, para a região A se aplica a equação (III); na região B, se aplica a 
equação (V). O tempo t1, expresso na equação (IV), é a linha divisória entre as duas 
regiões. A figura 1.10 apresenta i × t para o circuito da figura 1.9(a). A descontinuidade 
existenteem t1 (interseção das equações (III) e (V)), é produzida pela descontinuidade 
na curva de magnetização, a qual é resultante da aproximação linear por partes para a 
curva de magnetização. 
 
A B
I1
V/R
i
tt1 
Figura 1.10 - Corrente ×××× tempo para o circuito RL não linear da figura 1.9b. 
 
Conversão de Energia 17
Ex. 1.5: O circuito magnético da figura 1.11(a), tem dimensões An = 9 cm
2, Ag = 
9 cm2, lg = 0.05 cm, ln = 30 cm, N = 500 espiras. A curva normal de magnetização é 
dada na figura 1.11(b). Calcular a corrente i para Bn = 1 Wb/m
2. 
 
H [Aesp/m x (102)]
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.1 1.0 10 100 1000
B
[Wb/m 2]
(b) curva normal de magnetização para
 o aço M-19 processado, bitola 29.
i
e
+
N
Hn
(a) circuito magnético equivalente
lg
ln
 
 
Figura 1.11 - Circuito magnético e curva de magnetização do exemplo 1.5. 
 
O valor de Hn para B = 1 Wb/m
2 é obtido da figura 1.11(b) como: Hn = 160 A/m 
 
A ℑn para o percurso no núcleo é: ℑn = Hn ln = 160×0.3 = 48 A 
 
A ℑg para o entreferro é: ℑg = Hg lg = A396
104
105lB
7
4
0
gg =
×π
×=
µ −
−
 
 
A corrente resulta: N i = ℑg + ℑn → i = 444/500 = 0.89 A 
 
Se considerarmos a curva linearizada, da mesma forma que na figura 1.8, tem-se 
que: 
6.49731025.6
0160
01
H
B
r
3
n =µ→×=−
−=
∆
∆=µ − 
 
N i = Hn ln + Hg lg → 
g
gg
n
nn lBlBiN
µ
+
µ
= 
 
Como φ = BnAn = BgAg, a corrente será dada por: 
 
A892.0l
l
N
B
i g
r
n
0
n ≅





+
µµ
= 
 
Note que a relutância do caminho de 30 cm no ferro é apenas 0.6/5.0 = 0.12 da 
relutância do entreferro de 0.05 cm. 
 
1.3.4. Modelos Lineares que preservam o efeito de Histerese: 
 
Útil nos casos de equipamentos (máquinas de ímã permanente e máquinas de 
histerese) cuja operação depende da propriedade de histerese do material magnético. A 
análise destes equipamentos também pode ser realizada pelo uso de métodos de 
linearizações por partes (figura 1.12). 
 
Conversão de Energia 18
B
HHc
Br
inclinação =µµµµsµµµµ0
inclinação =µµµµnµµµµ0
 
Figura 1.12 - Trajetórias de histerese e um modelo linearizado aproximado das trajetórias (material magnético 
doce). 
 
A trajetória externa pode ser aproximada por quatro linhas retas, duas das quais 
têm inclinação µrµ0, e as outras duas, uma inclinação µsµ0. As aproximações são 
razoavelmente precisas, exceto nos vértices das trajetórias. As áreas envolvidas pela 
trajetória real e seu modelo linearizado podem ser feitos aproximadamente iguais, por 
uma escolha conveniente do modelo, resultando num que tenha a mesma perda por 
histerese que a trajetória real. 
Pelo uso de técnicas especiais de laminação, pode-se produzir lâminas de 
material magnético nas quais os cristais estão orientados ao longo da direção de 
magnetização desejada. Nestes materiais magnéticos de grãos orientados (figura 1.13), 
os lados da trajetória são essencialmente verticais, e as porções saturadas aproximam-se 
de uma inclinação incremental µ0. 
 
 B
[T]
H [A/m]
10-10-20 20
1.6
0.8
0.4
1.2
-0.4
-1.2
-1.6
-0.8
 
 
Figura 1.13 - Densidade de fluxo magnético B versus intensidade de campo H, para 50% de ferro e 50% de 
níquel na composição do núcleo (deltamax). 
 
Ex. 1.6 (ilustrativo): Suponha que um indutor tem uma característica idealizada 
de histerese como a apresentada na figura 1.14(a). Considere como ponto de partida, o 
ponto A, onde i = 0 e φ = –1. Com a forma de onda para corrente dada pela figura 
1.14(b), determine a tensão v no indutor. Observa-se que 
 
| i | > 3 � φ permanece constante, 
| i | < 3 � φ pode assumir dois valores para cada i. 
 
Para se obter a tensão no indutor, basta derivar a função φ(t), a qual, por sua vez, 
é obtida, facilmente, observando a forma de onda para i e a característica φ × i para o 
Conversão de Energia 19
material. Esta espécie de idealização e cálculo era usada comumente na análise de 
amplificadores magnéticos e alguns circuitos de computador. 
 
φφφφ [Wb]
I [A] 4
8
12 16 20
24
t [s]
t [s]
t [s]
φφφφ [Wb]
v [V]
-3 -2
-1
1
2 3
A
-1
1
i [A]
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
1
-1
-1
1
1
3 9
11 17
19
1 3 9 11 17 19
(a)
(b)
(c)
(d)
 
Figura 1.14 - a) Curva Característica; b) Forma de Onda de i(t); c) Forma de Onda de φφφφ(t); d) Forma de onda 
de v(t). 
Conversão de Energia 20
1.4. Circuitos Magnéticos (Não Linear) 
 
No item 1.2 fez-se uma introdução aos circuitos magnéticos lineares (no caso 
toróide) nos quais uma expressão simples relaciona o fluxo com a fmm através da 
relutância (equação 1.7) e que era conhecida como a lei de Ohm para circuitos 
magnéticos. 
Em máquinas elétricas, transformadores, reatores, instrumentos de medição, etc., 
é utilizado material magnético de diversos tipos e formas. Várias partes de uma estrutura 
magnética ramificada são envolvidas por bobinas. Os circuitos ferromagnéticos não são 
lineares porque a permeabilidade do meio é variável e é função da densidade de fluxo 
magnético na estrutura. Uma aplicação direta da lei de Ohm é impraticável, porque a 
relutância é uma função da densidade de fluxo. 
Basicamente os cálculos envolvendo circuitos magnéticos com materiais 
ferromagnéticos se dividem em duas classes: 
 
i - Na primeira, o valor do fluxo é conhecido e se deseja encontrar a f.m.m. 
necessária para produzi-lo. Esta é a situação típica do projeto de conversores 
eletromecânicos (de energia), em corrente contínua ou alternada. Com base na 
tensão nominal desejada para um gerador ou no torque nominal de um motor 
elétrico a informação sobre o fluxo magnético necessário é prontamente 
obtida. Então, com o conhecimento deste e da posse da configuração 
magnética, a fmm total, necessária para se obter o fluxo, pode ser 
determinada. 
 
ii - Na segunda, conhece-se a fmm e o sistema magnético (geometria) e deseja-se 
obter o fluxo. Uma aplicação típica é em amplificadores magnéticos (são 
conexões de elementos magnéticos saturáveis e retificadores, usados para 
controlar o fluxo de potência entregue a uma carga), onde freqüentemente é 
necessário encontrar o fluxo magnético resultante produzido por um ou mais 
enrolamentos de controle. 
 
Dois sistemas magnéticos típicos e suas correspondentes representações em 
circuitos magnéticos, são apresentados na figura 1.15. Basicamente têm-se um problema 
complexo de campo tridimensional. Mas, pelo uso de suposições simplificadoras, o 
sistema magnético pode ser substituído por circuitos magnéticos. Estas suposições 
seriam: 
 
a) Sua configuração geométrica é simétrica a certos eixos ou planos, de tal forma 
que se pode representá-lo, como primeiro passo, por um diagrama 
esquemático (figura 1.15(b) e (b’)). 
 
b) Admite-se que, exceto no entreferro, todo o fluxo magnético está confinado ao 
material magnético, ou seja, o fluxo de dispersão (φd) é considerado 
desprezível. 
 
Conversão de Energia 21
Bobina
 de
excitação
Núcleo
ferromagnético
Núcleo
ferromagnético
Bobina
 de
excitação
φφφφm
φφφφd
IIII
armadura
(ferromagnética)
entreferro1
φφφφm
φφφφd
pivô
IIII
entreferro2
comprimento médio da
trajetória magnética, lmφφφφm
φφφφd
IIII
área A
φφφφm
+
RRRRFFFF =NI Relutância variável
fmm
φφφφd
φφφφm
pivô entreferro1
entreferro2
IIII
seção transversal
 do núcleo
seção transversal
 da armadura
mφφφφ
+
FFFF =NI
RRRRe2
RRRRe1
Relutância do
 entreferro 2
Relutância do
 entreferro 1
RRRRa Relutância da
 armadura
=fa(Ba)
RRRRc=fc(Bc)
Relutância do
 núcleo
fmm
( a ) Estrutura magnética de um reator ou transformador ( a' ) Estrutura magnética de um rele eletromagnético
( b ) Diagrama esquemático da estrutura magnética acima ( b' ) Diagrama esquemático da estrutura magnética acima
( c ) Representação do dispositivo por meio de um
circuito magnético
( c' ) Representação do dispositivo por meio de um
 circuito magnético
 
Figura 1.15 - Sistemas magnéticos típicos.Nem sempre se pode considerar o fluxo de dispersão como sendo desprezível. 
Cada problema deverá ser examinado para se ter uma avaliação apropriada. É difícil 
expressar-se o fluxo de dispersão em termos matemáticos exatos, uma vez que as 
trajetórias que este fluxo percorre são, em geral, de difícil determinação. A título de 
informação, a desconsideração do fluxo de dissipação introduz erros da ordem de 10% 
no número total de ampères-espiras calculadas. O valor deste erro depende de quão 
próximo da saturação está a substância magnética. Na prática o projetista baseia-se 
principalmente na sua experiência, para efetuar a sua estimativa. Quando não se dispõe 
de experiência prévia (ex. uma estrutura ainda não conhecida) a saída é construir-se um 
modelo, e medir o fluxo de dispersão. Observa-se que o fluxo de dispersão embora não 
seja útil de nenhum modo, terá de ser transportado pelo material magnético e com isso, 
poderá acarretar saturação do meio e, consequentemente, introduzir um grande erro no 
cálculo do número de espiras necessárias para o circuito. Quando deseja-se considerar o 
fluxo de dispersão, faz-se uso de fórmulas empíricas. 
 
1.4.1. Métodos de Análises de Circuitos Ferromagnéticos 
 
Hipóteses assumidas: 
 
a) A densidade de fluxo em qualquer seção transversal da estrutura pode ser 
considerada uniforme, ou seja, φ = B × A. 
Conversão de Energia 22
b) O comprimento médio da trajetória magnética pode ser usado em todos os 
cálculos. 
c) A equação (1.5) pode ser usada para calcular a fmm total requerida para 
estabelecer uma quantidade específica de fluxo no circuito magnético. Ex.: 
 
Na figura 1.15(b): fmm = N I = Hln 
 
Na figura 1.15(b’): fmm = N I = Hclcm + Halam + He1le1m + He2le2m (1.12) 
 
Em geral, ter-se-á: ℑ = N I = ∑
j
jmj lH (1.13) 
Observa-se que ℑ = H l quando a intensidade de campo H é uniforme no trecho 
de comprimento l. A equação (1.13) é análoga a lei de tensão de Kirchhoff para circuitos 
elétricos. Em termos de quantidades magnéticas segue. 
 
“Em um circuito magnético, a soma algébrica dos potenciais magnéticos em um 
percurso fechado é igual a zero” ou 
“Em um circuito série fechado, a soma das elevações de potencial é igual a soma 
das quedas de potencial”. 
 
d) Considerando-se uma região (numa estrutura magnética) onde os fluxos 
magnéticos de várias partes se combinam (figura 1.16 abaixo): 
 
superfície S infinitamente pequena
 ao redor de P
ΦΦΦΦ1111
ΦΦΦΦ3333 ΦΦΦΦ2222
P
S
 
 
Figura 1.16 - Figura mostrando a continuidade das linhas de fluxo em uma união de uma estrutura magnética. 
 
0Sd.BS =∫
rr
 (1.14) 
 
Ou seja, que a soma dos fluxos que entram é igual a dos que saem. 
 
A equação (1.14) é análoga a lei de Kirchhoff para correntes, nos circuitos 
elétricos. Os fluxos de dispersão são considerados desprezíveis na equação (1.14). 
 
1.4.2. Derivação de Circuitos Elétricos Equivalentes 
 
Um circuito magnético equivalente, tal como o que é apresentado nas figuras 
1.15(c) e 1.15(c’), é mais útil na análise e projeto de um equipamento. Contudo, se o 
equipamento for conectado a outros elementos elétricos, será desejável ter um circuito 
equivalente para o equipamento, do qual as relações entre as tensões e correntes 
terminais podem ser obtidas diretamente. 
Conversão de Energia 23
No circuito elétrico equivalente, as variáveis são a tensão e, entre os terminais da 
bobina, e a corrente i, na bobina. De acordo com a lei de Faraday, se o campo magnético 
varia com o tempo, produz-se um campo elétrico E no espaço dado pela equação: 
 
( )∫=∫ S dS.Bdt
d
dl.E (1.15) 
 
Onde a integral de linha é calculada ao longo do contorno da superfície aberta 
atravessada por B. A unidade de E é Volt/metro [V/m]. A lei de Faraday e a lei de Lenz 
podem ser combinadas, e o resultado pode ser expresso, matematicamente, por: 
 
( ) ( )
dt
d
dt
Nd
te
λ−=φ−= (1.16) 
 
O sinal negativo corresponde à convenção para gerador, ou seja, e(t) é 
considerado uma fonte de tensão (*). Uma elevação de tensão e se opõe, em cada 
instante de tempo, à variação da tensão. Eliminando-se o sinal negativo, está-se 
considerando que a tensão induzida é uma queda de tensão. Para circuitos lineares 
(onde o µ é constante ou para aqueles em que há predominância do entreferro): 
 
i
N
i
L
φ=λ= (1.17) 
 
Que expressa em grandezas de campo: 
 
PN
N
l
SN
lH
SBN
L 2
222
=
ℜ
=µ== (1.18) 
 
( )iL
dt
d
e
iN
dt
dN
dt
d
e
2
=∴







ℜ
=





ℜ
ℑ= (1.19) 
 
Para circuitos magnéticos como os das máquinas, a indutância pode ser variável 
no tempo, e a equação (1.19) fica: 
 
dt
dL
i
dt
di
Le += (1.20) 
 
Para circuitos magnéticos estáticos a indutância é fixa, e a equação se reduz à 
forma bem conhecida para circuitos: 
dt
di
Le = (1.21) 
 
 
(*) Da lei da indução magnética na forma da equação (1.16), conclui-se que, para 
se obter uma fem de sentido constante, é necessário que o fluxo varie num só sentido. 
Criar uma variação contínua de fluxo num sentido único, ao longo do tempo, é 
impossível e, por conseguinte, é impossível obter uma fem contínua, meramente à custa 
da variação da indução eletromagnética, sem comutar o circuito. Daí a impossibilidade, 
por princípio, de construir uma máquina de corrente contínua sem coletor. 
Conversão de Energia 24
Portanto, o parâmetro ℜ relutância, no circuito magnético, é substituído por um 
parâmetro L de indutância no circuito elétrico equivalente. O valor da indutância é 
inversamente proporcional ao valor da relutância. 
Como visto anteriormente, se o parâmetro ℜ não for constante, ele pode ser 
representado por uma curva relacionando ℑ e φ. A indutância não linear correspondente 
pode ser representada por uma curva relacionando o fluxo concatenado λ com a corrente 
i. Aproximações, como as apresentadas nas figuras 1.4(b), 1.6, 1.8, 1.12 e 1.14, podem 
ser usadas para esta relação, onde forem apropriadas. A transformação de um circuito 
magnético em um elétrico equivalente não será aqui apresentada com muito rigor, 
apenas com um simples exemplo. 
 
Ex. 1.7: Indutor com núcleo de dois materiais diferentes, figura 1.17 
 
φφφφ
+ R 1
R 2
+
+
fator N
( a ) Núcleo
FFFF
λλλλ=Nφφφφ
+
+
+
R1
N 2
R2
N 2
1
L1
1
L2
=
=
N
+ +
L2
I
+
L2v = e
( b ) Circuitos magnéticos
( c ) Circuito elétrico equivalente
FFFF = N I2
1
φφφφ
++
v e
I
 
 
Figura 1.17 - Transformação: circuito magnético em circuito elétrico. 
 
dt
d
L
1
L
1
dt
di
L
1
L
1
NN
iiN
iN
21
21
2
2
2
1
21
2
2121
λ






+=
λ+λ=
λℜ
+
λℜ
=λℜ+λℜ=
φℜ+φℜ=φℜ+φℜ=ℑ
 
 
Ex. 1.8: No sistema magnético apresentado na figura 1.18a, empregar a curva de 
magnetização da figura 1.18b para determinar: 
a) A corrente da bobina, necessária para produzir um fluxo total φ = 0.25×10–3 Wb. 
b) A relutância de toda a trajetória de fluxo. 
c) A permeabilidade relativa µ r, para cada material, nestas condições. 
d) A relutância de cada parte, núcleo de ferro fundido e de aço fundido do sistema 
magnético. 
 
Conversão de Energia 25
B [ tesla ]
ferro
fundido
aço
 fundido
chapa de aço laminado padrão M36 29
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 500 15001000 25002000 3000
H [ A/m ]
( b ) curva de magnetização( a ) sistema magnético
dimensões em mm
( c ) circuito magnético equivalente
aço fundido
ferro fundido
Bf
Ba
100
30
25
25
25
12.5
25
N = 500 II
φφφφ
φφφφ
+ RRRRf
RRRRa
+
+FFFF = N I
 
 
Figura 1.18 - Sistema magnético de dois materiais diferentes, ex. 1.8. 
 
Considere o fluxo de dispersão desprezível. 
 
a) O sistema magnético pode ser representado pelo circuito magnético 
equivalenteda figura 1.18(c), onde ℜf é a relutância do ferro fundido e ℜa é a do aço 
fundido. Assume-se que a densidade de fluxo é uniforme em cada parte do sistema e, 
consequentemente, H também será uniforme em cada parte. Então pela lei circuital de 
Ampère: 
 
[ ]A INlHlHld.H aaff =+=∫
rr
 
 
O valor de H necessário para produzir 0.25×10–3 Wb em cada parte, deve ser 
determinada: 
 
Af = 25×25×10–6 m2 Aa = 12.5×25×10–6 m2 
 
Te T 8.0
105.312
1025.0
A
B 4.0
10625
1025.0
A
B
6
3
a
a6
3
f
f =
×
×=φ==
×
×=φ=
−
−
−
−
 
 
Assim, da figura 1.18(b), Hf = 710 A/m e Ha = 480 A/m. 
( )
m
mmm
3
a
f
1030l
2425.05.242
2
252
2
5.1225
10022580l
−×=
==×+




 +−+−=
 
 
A 373.0
500
10304802425.0710
N
lHlH
I
3
aaff =××+×=
+
=
−
 
Conversão de Energia 26
b) A/Wb3
3
10746
1025.0
73.0500IN ×=
×
×=
φ
=
φ
ℑ=ℜ − 
 
c) µ==µµ
H
B
0r 448
710104
4.0
7rf
=
××π
=µ
−
, portanto, o ferro 
fundido é 448 vezes mais eficiente que o ar na produção de um campo magnético desta 
densidade de fluxo (B). 
 
1330
480104
8.0
7ra
=
××π
=µ
−
, e o aço é mais eficiente que o ferro fundido. 
 
d) A/Wb3
627
f0rf
f
f 10690
1025104448
2425.0
A
l
×=
×××π×
=
µµ
=ℜ
−−
 
 
A/Wb3
67
2
a0ra
a
a 107.57
105.12251041330
103
A
l
×=
××××π×
×=
µµ
=ℜ −−
−
 
 
Teste: ( ) ℜ=×=×+=ℜ+ℜ 33af 107481058690 
 
Observa-se que o ferro necessita de uma fmm bem maior que a do aço para fazer 
fluir o fluxo, o que se deve a baixa permeabilidade do ferro. 
 
1.4.2.0 Efeito do Entreferro em Circuitos Ferromagnéticos 
 
São bastantes comuns os circuitos magnéticos com pequenos entreferros de ar, 
os quais ou são inerentes, ou são introduzidos intencionalmente. Ex.: no caso do relé da 
figura 1.15 é obvio que o entreferro 1 é necessário e introduzido intencionalmente, já o 
entreferro 2 é inerente à construção do relé, sendo introduzido pela presença do pivô. 
Outro exemplo é o dos entreferros intencionais nos indutores de núcleo de ferro de 
grande indutância. Para se obter uma grande indutância, é necessário o núcleo 
ferromagnético, porém, pequenos entreferros são introduzidos intencionalmente para 
obter-se uma indutância pouco sensível às mudanças de corrente na bobina de excitação. 
A introdução de entreferros ocasiona o espraiamento do fluxo, de modo que a 
área efetiva de fluxo no entreferro é maior do que a área do núcleo adjacente, este seria 
o efeito marginal. Também, a sua presença ocasiona o fluxo de dispersão, devida a alta 
diferença de potencial magnético que pode existir, fluxo este, que não passará através do 
entreferro. O efeito marginal faz com que B no entreferro seja menor que o do material 
ferromagnético, visto que sua área efetiva seria maior. O cálculo desta área é muito 
difícil, e na prática, faz-se uso de fórmulas empíricas, as quais fornecem um resultado 
satisfatório, caso o comprimento do entreferro seja inferior a 15% ou 20% das 
dimensões da seção transversal do núcleo ferromagnético no entreferro, e se suas faces 
opostas são paralelas. 
1. Considerando o núcleo de seção reta retangular, com dimensões a e b: 
a
b
le
espraiamento
 
 
Conversão de Energia 27
( )( )eee lblaA ++= (1.22) 
 
Obs: Se o fluxo total no entreferro é conhecido, pode-se obter He e Hele 
diretamente: 
e0
e
ee
e0
e A
l
lH 
A
1
H
µ
φ
=




 φ
µ
= 
 
2. Se os lados opostos do entreferro são paralelos, porém tem diferentes 
dimensões em sua seção transversal, a área efetiva será dada por: 
 
( )( )eee l2bl2aA ++= (1.23) 
 
Onde a e b são as dimensões da seção transversal da face menor. 
 
Para seções transversais circulares como no primeiro caso, o diâmetro é 
incrementado pelo comprimento do entreferro, e no segundo, o diâmetro da seção menor 
é incrementado pelo dobro do comprimento do entreferro. 
Em muitos sistemas magnéticos bem projetados a relutância do material do 
núcleo é pequena quando comparada ao do entreferro, e o problema se reduz a um 
simples cálculo envolvendo somente as relutâncias do entreferro. Desde que a 
permeabilidade do ar é uma constante, estas relutâncias são independentes do fluxo, e a 
solução pode ser obtida diretamente. Contudo, se a relutância do núcleo é apreciável, a 
não-linearidade entre φ e µ torna a solução um pouco mais complicada, exigindo na 
análise as curvas características do material do núcleo. 
 
Ex. 1.9: Determine o número de ampères-espiras requerida para produzir um 
fluxo de 0.5×10–3 webers em um núcleo toroidal de seção transversal 10 cm2 e 
comprimento médio 30 cm. Um entreferro de 3 mm é efetuado no núcleo, e o material 
do núcleo é aço silício. 
B
 [
W
b/
m
2 ]
H [A/m] 
Obs: - a saturação é indicada pela semelhança entre as curvas do material e a do ar. 
 - a escala logarítmica é utilizada para a abcissa quando deseja-se apresentar uma grande variedade de 
curvas de materiais magnéticos. 
Figura 1.19 - Curva de magnetização aço-silício e do ar. 
Conversão de Energia 28
Desprezando o espraiamento no entreferro, a relutância do entreferro torna-se: 
 
/WbA esp
6
37
7
e0
e
e 1038.2
10104
103
A
l
×=
××π
×=
µ
=ℜ −−
−
, 
 
e a fmm necessário ao entreferro: 
 
espA
336
e 1019.1105.01038.2 ×=×××=φℜ=ℑ
− 
 
Para o núcleo, utiliza-se a curva da figura 1.19; a densidade de fluxo no núcleo é: 
 
2Wb/m5.0
10
105.0
A
B
3
3
n
n =
×=φ= −
−
, 
 
da curva de magnetização, a intensidade de campo requerida é: Hn = 70 Aesp/m. 
A fmm requerida pelo núcleo é: ( ) espA 8.20003.03.070lH nnn =−==ℑ . 
A fmm total requerida para produzir o fluxo desejado é: ℑ = ℑe + ℑn =1210 Aesp. 
Note que neste caso a fmm requerida pelo núcleo (ou a relutância do núcleo) é 
desprezível quando comparada com a requerida pelo entreferro. Contudo, se o fluxo no 
núcleo for de 1.5×10–3 Wb, a solução seria consideravelmente diferente. Desde que a 
relutância do entreferro é constante, a fmm requerida pelo entreferro torna-se: 
 
ℑe = ℜeφ = 2.38×106×1.5×10–3 = 3570 Aesp, 
 
ou 3 vezes o valor original. O núcleo, contudo, está muito próximo da saturação. Uma 
densidade de fluxo de 1.5 Wb/m2 exige uma intensidade de campo: 
 
Hn = 2.8×103 Aesp/m 
 
E a fmm torna-se: ℑn = 2800(0.3 – 0.003) = 830 Aesp 
Note que agora o núcleo requer uma proporção da fmm total muito maior do que 
a anterior. A fmm do núcleo aumentou de 40 vezes, enquanto que a do entreferro, apenas 
3 vezes. Este tipo de comportamento é típico de materiais ferromagnéticos. 
 
1.4.2.1. Efeito de linearização devido a presença de Entreferro 
 
A curva de magnetização para circuitos magnéticos com entreferro é muito 
diferente das de circuitos sem entreferros. Isto se deve à baixa relutância apresentada por 
materiais ferromagnéticos de alta permeabilidade, quando submetidos a baixas 
densidades de fluxo. Claramente, a forma da curva para baixas densidades de fluxo é 
principalmente determinada pelo entreferro, e portanto, é uma linha reta. Já para altos 
valores de fluxo, o núcleo torna-se um fator significativo, e a curva aplana-se ou satura. 
A importância do entreferro é ilustrado na figura 1.20, que foi plotada para o núcleo do 
exemplo 1.9. As curvas de magnetização para o entreferro, para o núcleo, e para o 
circuito combinado, são apresentados com o intuito de comparação. Observe como a 
característica do entreferro é dominante para valores de fluxo abaixo de 1×10–3 weber 
(densidade de fluxo menor que 1 Wb/m2). Isto é típico de todos os circuitos magnéticos 
contendo entreferros. 
Conversão de Energia 29
Somente o núcleo
entreferro de
 3 mm
entreferro de
 6 mm
 núcleo
 +
entreferro
fmm [ A-esp ]
2000 4000 6000 8000 10000
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0
B
 [
 W
b/
m
2
]
 
 
 
Figura 1.20 - Curvas de magnetização de um núcleo toroidal de um aço-silício de comprimento médio 30 cm, e 
seção transversal igual a 10 cm2. 
 
 
Ex. 1.10 (ilustrativo):A figura 1.21 mostra a seção transversal de um sistema 
magnético de uma máquina de corrente contínua tirada em ângulo reto ao eixo do rotor. 
Em cada um dos quatro pólos do estator existe uma bobina de 500 espiras; e uma vez 
que estas estão conectadas em série, conduzem a mesma corrente. Os pólos do estator 
são feitos de muitas lâminas de chapas de aço M-36 (espessura: 0.356 mm); eles têm 
100 mm na direção radial, 90 mm circunferencialmente, e 110 mm axialmente (ou seja, 
perpendicular ao plano da figura). O rotor também é de chapas de aço e diâmetro igual a 
200 mm. O comprimento axial efetivo do rotor é o mesmo dos pólos do estator. O 
núcleo do estator é de aço fundido e tem um diâmetro médio de 460 mm e uma seção 
transversal de 150×60 mm. Os entreferros são de comprimento igual a 1.5 mm. 
Obs: o M-36 é uma designação AISI (American Iron and Steel Institute) para 
determinadas chapas de aço-silício, e está relacionada à máxima perda no núcleo. O 
prefixo M significa que é um material para aplicações magnéticas; o número que 
aparece em seguida está relacionado com a perda no ferro. 
 
a) Desenhar o circuito magnético equivalente para este sistema. 
 
O circuito magnético equivalente é apresentado na figura 1.22. Esta inclui apenas 
dois dos pólos de campo. Os subscritos p, e, r e s indicam, respectivamente: pólos, 
entreferro, rotor e estator. 
 
b) Empregando as curvas da figura 1.23, determine a corrente na bobina 
necessária para produzir uma densidade de fluxo de 1,0 tesla no entreferro. 
As permeabilidades relativas das ferromagnéticas do sistema não são conhecidas 
e serão, em todo o caso, funções da densidade de fluxo. Contudo, a lei circuital pode ser 
aplicada a um dos caminhos, indicados pelas linhas, da figura 1.21. Então, para qualquer 
um dos caminhos indicados na figura 1.21: 
 
∫=∫ Ad.Jld.H
rrrr
 (1) 
 
Isto é, 
Conversão de Energia 30
N
N
SS
φφφφ
φφφφφφφφ
φφφφ
φ/2φ/2φ/2φ/2
φ/2φ/2φ/2φ/2φ/2φ/2φ/2φ/2
φ/2φ/2φ/2φ/2
bobinas de campo
entreferro
 pólo do estator
( chapas de aço M36 ) estator
( aço fundido )
eixo
 rotor
( chapas de aço ) 
 
Figura 1.21 - Seção transversal da máquina do exemplo 1.10. 
 
 
 
RRRRp
FFFF
FFFF RRRRp
RRRRe
RRRRe
RRRR
RRRR r
RRRR r
RRRR r
RRRR r
φφφφ
φφφφ
φφφφ
φφφφ
φ/2φ/2φ/2φ/2
φ/2φ/2φ/2φ/2
φ/2φ/2φ/2φ/2
φ/2φ/2φ/2φ/2
φφφφ /2/2/2/2
s
φ/2φ/2φ/2φ/2
φ/2φ/2φ/2φ/2
 
 
Figura 1.22 – Circuito magnético equivalente. 
Conversão de Energia 31
ferro fundido
aço fundido
 chapa de aço
M36-29(bitola)
 B
[T]
 H
[A/m]
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
500 1000 1500 2000 2500 3000210 
Figura 1.23 - Curva de magnetização. 
 
IN2lH2lHlH2lH2 ssrreepp =+++ (2) 
 
Supondo que não há espraiamento (efeito de borda) no entreferro, a área da 
seção transversal no caminho do fluxo no pólo será o mesmo do entreferro, 
consequentemente, Bp = Be = 1.0 T, e o fluxo em cada pólo é: 
 
Wb3ee 109.909.011.00.1AB
−×=××==φ (3) 
 
A/m6
7
0
e
e 107958.0104
0,1B
H ×=
×π
=
µ
= − , (4) 
da curva de magnetização da chapa de aço na figura 1.23: Hp = 210 A/m. No rotor, o 
fluxo φ de cada pólo se divide igualmente entre os dois caminhos, conforme indicado na 
figura 1.22. Assim, Br = φ/(2Ar). Assumindo que Ar = raio do rotor × comprimento axial 
do pólo do estator, logo: Ar = 0.1×0.11 = 11×10–3 m2 
 
Portanto: T450.0
10112
109.9
B
3
3
r =××
×= −
−
. Da figura 1.23: Hr = 40 A/m. 
 
No estator, φ também é divido entre dois caminhos, e: 
 
T550.0
06.015.02
109.9
A2
B
3
s
s =××
×=φ=
−
 
 
Da figura 1.23, temos: Hs = 295 A/m 
Conversão de Energia 32
m
m
m
m
3613.0
4
46.0
4
D
l
1571.0
4
2.0
4
D
l
2.01.02l2
100.3105.12l2
s
s
r
r
p
33
e
=×π=
π
≅
=×π=
π
≅
=×=
×=××= −−
 
 
Substituindo na equação (2), tem-se: 
 
i10001076238742
i50023613.02951571.040103107958.02.0210 36
=+++→
×=×+×+×××+× − 
 
Note que o efeito predominante é do entreferro. Logo i = 2.54 A 
Estes cálculos poderiam ser refeitos para uma série de valores de B no entreferro. 
Assim, a curva de magnetização φ × i da máquina poderia ser obtida. 
 
c) Calcular o fluxo concatenado nas bobinas de campo. 
 
O fluxo concatenado total das 4 bobinas conectadas em série é: 
 
λ = 4Nφ = 4×500×9.9×10–3 = 19.8 Wb 
 
d) A indutância de todo o circuito de campo. 
 
Com base nas hipóteses de linearização especificadas, H80.7
54.2
8.19
i
L ==λ= 
 
e) A energia armazenada no sistema magnético. 
J2.25
2
54.28.7
iL
2
1
W
2
2
B =
×== 
 
f) A energia armazenada no entreferro. 
 
A densidade de energia no entreferro é: 
 
3J/mw 6
7
2
0
2
e
B 10398.0
104
1
2
1B
2
1 ×=
×π
=
µ
= − 
 
A energia armazenada nos 4 entreferros é assim: 
 
WB = 4×0.09×0.11×1.5×10–3×0.398×10 6 = 23.6 J 
 
Os resultados obtidos de e) e f) parecem dar a entender que a energia armazenada 
nas partes ferromagnéticas do sistema é igual a 25.2 – 23.6 = 1.60 J. Contudo, deve ser 
lembrado que o resultado de e) foi obtido com base na hipótese de que a curva B-H para 
os materiais eram linhas retas passavam através da origem e dos pontos das curvas da 
figura 1.23 correspondentes às densidades de fluxo reais nos materiais. A área situada 
entre a curva B-H e o eixo B, apresentada na figura a seguir, expressa a densidade de 
energia no material e desde que a característica verdadeira é uma curva, a aproximação 
por uma reta fornece um valor alto para a energia armazenada nos materiais. Contudo, 
Conversão de Energia 33
desde que os materiais do sistema estejam longe da saturação, o erro envolvido será 
pequeno. O cálculo exato poderia ser obtido, pela determinação das áreas da figura 1.23. 
 
H1 H' 1H2 H' 2
(a) (b)
H
B1
B2
B1
B2
∆∆∆∆WB1 ∆∆∆∆WB2
H = f i(B) H = fd(B)
H
B B
 
(a)
3J/m∫=∆
2
1
1
B
BB
HdBW , aumento de energia no campo magnético quando a densidade B1 � B2 
(b)
3J/m∫=∆
1
2
2
B
BB
HdBW , diminuição de energia no campo magnético quando a densidade B2 � B1 
Figura – Curvas B-H para material ferro-magnético. 
 
Ex.: 1.11: O núcleo magnético de ferro fundido apresentado na figura 1.24 tem 
área An = 4 cm
2 e um comprimento médio de 0.438 m. O entreferro de 2 mm tem área 
aparente Ae = 4.84 cm
2. Determine o fluxo no entreferro. 
 
2mmF = 1000 A
 
Figura 1.24 - Sistema magnético. 
 
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1000 2000 3000 4000 5000 6000
Ferro fundido
Aço-silício
Aço fundido
Liga de ferro-níquel
B
[T]
H [A/m]
Figura 1.25 - Curvas B-H. 
Conversão de Energia 34
 
 circuito magnético equivalente
φφφφ+
F
R n
R e
+
+
 
 
Dados: Entreferro: (área equivalente do entreferro) Ae= 4.84 cm
2 e le = 2 mm 
 Ferro fundido: An = 4 cm
2 e ln = 0.438 m 
 
Da lei circuital: nnee lHlH1000IN +===ℑ espA (1) 
 
nneene ABAB =φ=φ ou (2) 
 
Tem-se que encontrar φe = φn de maneira que satisfaça a equação (1). A 
dificuldade se deve ao fato de que He e Hn dependem do fluxo, que é o valor a ser 
encontrado. 
 
- Método 1: Método da tentativa e erro. 
 
1º. Passo: Suponha que a f.m.m. total (1000 Aesp) se encontra no entreferro. 
 
Hele = 1000 Aesp → /mA esp
5
3e
105
102
1000
H ×=
×
= − 
 
2Wb/m628.0105104HB 57e0e ≅×××π=µ=
− 
 
Wb44eee 1004.31084.4628.0AB
−− ×=××==φ 
 
2º. Passo: Suponha que a fmm total se encontra na porção do material magnético. 
 
/mA esp1.2283438.0
1000
H1000lH nnn ≅=→= 
 
Da curva de magnetização: Bn = 0.6 T. 
 
Wb44nnn 104.21046.0AB
−− ×=××==φ 
 
Os valores de φe e φn são os valores extremos. É obvio que o valor real do fluxo é 
menor do que ambos. 
 
3º. Passo: Suponha um valor de fluxo menor que os valores extremos obtidos. 
 
φe = φn = 1.82×10-4 Wb = φ 
 
Calcule as fmm nas várias partes da estrutura magnética. 
A600
A
l
lH
e0
e
ee =µ
φ
= 
A/mT 1340H46.0
A
B n
n
n =→=
φ= , e a queda no núcleo é portanto: 
A)( 587438.01340lH nn == , e assim: A1187lHlH nnee =+ 
 
Conversão de Energia 35
O que excedeos 1000A de fmm da bobina. Por conseguinte, os valores de Bn, 
inferiores a 0.46 T devem ser testados até que a soma de ℑn e ℑe seja 1000A. Os valores 
de Bn = 0.41 T e φ = 1.6 Wb, fornecem resultado bem próximos aos 1000A. 
 
- Método 2: Método gráfico. 
 
A fmm total ℑ é igual a soma das fmm’s do entreferro e do núcleo, ou seja: 
 
ℑ = ℑn + ℑe 
 
Como a 
e0
e
eee
e0
e A
l
 l
A µ
=ℜφℜ=
µ
φ=ℑ onde , , substituindo ℑe por ℜeφ, tem-se: 
 
φℜ−ℑ=ℑ en 
 
Que é a equação de uma reta que corta os eixos coordenados (ℑn,φ) nos pontos 
(0, eℜℑ ) e (ℑ,0), com inclinação (1/ℜe) em relação ao eixo das abcissas (ℑn). Esta reta 
é conhecida pelo nome: “reta de entreferro negativo”. 
Por outro lado, ℑn deve satisfazer à curva de magnetização do material 
ferromagnético, φ × ℑn, obtida da curva Bn × Hn do material através das equações: 
 
φn = BnAn e ℑn = Hnln e que para o nosso exemplo fica: φn = 4×10–4Bn e 
ℑn = 0.438 Hn 
 
φφφφ[Wb]
Fn[A esp ]
F( , 0)
F = Hnln + Hele
Hnln Hele
Fnφφφφn x
F
µµµµ0 Ae
le
φφφφn = φφφφe
0
P
curva
Feφφφφe x P ereta de (invertida),inclinação
solução do
problema
F0,
R e
( )
 
 
Figura 1.26 - Ilustração do método gráfico. 
 
Pode-se observar que P satisfaz simultaneamente a ambas as equações (1) e (2). 
Na prática, não é necessário obter a curva φn × ℑn. Na figura 1.26, se as ordenadas são 
divididas por An e as abcissas por ln, tem-se a figura 1.27. 
Conversão de Energia 36
B[T]
H [A esp/m]
Hn
0
P
reta do entreferro ajustada
solução do
problema
F
An
Pe
curva Bn x Hn
F
An
P e( )0,
( , 0)F
ln
F
ln
Hele
ln
 
 
Figura 1.27 - Ilustração do método gráfico modificado. 
 
Pode-se resolver também, da seguinte forma: 
 
Conhecidas as curvas Bi × Hi, determina-se as curvas φi × ℑi dos diversos trechos 
do circuito magnético através de φi = BiAi e ℑi = Hil i, pois Ai e l i são conhecidos. A 
seguir traçamos a curva φ × ℑ, onde ℑ = Σℑi, segundo as expressões ℑ = N I e N I = 
ΣHil i. Essa curva é denominada “curva de magnetização total” do circuito da figura 
abaixo. 
0
ferro fundido
 [A esp ]F
φφφφ[Wb]
entreferro
composição
 
 
Ex. 1.12(A): Resolva o exemplo 1.11 graficamente, usando o gráfico de φ × ℑ. 
 
A primeira coluna da tabela 1.2 fornece valores de Hn de 700 a 1100 A/m; os 
valores de Bn correspondente são encontrados na curva de ferro fundido da figura 1.25. 
Os valores de φ e Hnln são calculados, e os de Hele são obtidos a partir de φle/µ0Ae de 
modo que ℑ correspondente à soma de Hnln com Hele. Como o entreferro é linear, há 
necessidade de apenas dois pontos. 
Tabela 1.2 
Hn [A/m] Bn [T] φ [Wb] Hnln [A] Hele [A] ℑ [A] 
700 0.295 1.18×10–4 307 388 695 
800 0.335 1.34×10–4 350 441 791 
900 0.365 1.46×10–4 395 480 874 
1000 0.400 1.60×10–4 438 526 964 
1100 0.420 1.68×10–4 482 552 1034 
Conversão de Energia 37
O fluxo φ para ℑ = 1000A, como se observa da figura 1.28, é aproximadamente 
1.65×10–4 Wb. Este método é simplesmente um gráfico dos dados de tentativas e erros 
usados no ex. 1.11. Entretanto, é útil caso haja a necessidade de se examinar diferentes 
enrolamentos ou correntes em bobinas. 
 
o
o
o o
o o
o
o
o
o
 Composição
Ferro fundido + entreferro
Ferro fundido
Entreferro
φφ φφ
 [W
b
 x
10
-4
]
F [A]
o
o
200 400 600 800 1000
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
~~
 
Figura 1.28 - Curva φφφφ ×××× ℑℑℑℑ do exemplo 1.12. 
 
Ex. 1.12(B): Calcule o fluxo φ no núcleo, supondo ℑ de 800, 1000 e 1200A. Use 
uma aproximação gráfica e a reta de entreferro negativa. 
 
A figura 1.29 apresenta o gráfico dos dados do item (A) de φ × Hnln, para o 
núcleo de ferro fundido. O gráfico de φ × ℑ do entreferro é linear. Um dos extremos da 
reta de entreferro de inclinação negativa para uma ℑ da bobina de 800A é em φ = 0, ℑ = 
800A. O outro extremo assume Hele = 800A, pelo qual: 
 
( )
Wb5
e
eee0 1043.2
l
lH −×=ℜµ=φ , o que localiza o extremo em: φ = 2.43×10–4 Wb e 
ℑ = 0. Para maiores detalhes construtivos do gráfico, ver figura 1.29 abaixo. 
 
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
φφ φφ
 [
W
B
 x
 1
0-
4 ]
F [A]
Hnln Hele
Ferro fundido
 Reta do entreferro
(inclinação negativa)
2.4
2.2
2.0
1,8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
200 400 600 800 1000 1200 
Figura 1.29 - Método gráfico utilizando curva invertida do entreferro. 
Conversão de Energia 38
 
As soluções (pontos de interseção) por este processo seriam: 
 
ℑ = 800 A → φ = 1.34×10–4 Wb; ℑ = 1000 A → φ = 1.62×10–4 Wb; 
ℑ = 1200 A → φ = 1.85×10–4 Wb; 
 
Ex. 1.12(C): Repita o item (A), porém, utilizando a curva B × H do ferro 
fundido. 
 
Neste processo não há necessidade de se construir φ × ℑ, basta desenhar a reta do 
entreferro sobre a curva B×H do ferro efetuando os respectivos ajustes. Os cálculos 
estão apresentados na tabela (1.3) e a solução gráfica na figura 1.30 (obtida conforme a 
figura 1.27). 
Tabela 1.3 – Tabela para ajuste da reta do entreferro. 
Be (T) 
7
e
e 104
B
H −×π
= [A/m] n
e
en A
A
BB = [T] 
n
e
e l
l
H [A/m] 
n
e
e
n
n
n l
l
H
l
H −
ℑ
= [A/m] 
0.1 0.8×105 0.12 363 1920 
0.3 2.39×105 0.36 1092 1192 
0.5 3.98×105 0.61 1817 466 
Obs.: ℑ / ln = 1000/0.438. 
 
Os dados da terceira e quinta colunas podem ser diretamente dispostos sobre a 
curva B×H do ferro fundido, figura 1.30. O entreferro, por ser linear, necessita de apenas 
dois pontos. A resposta é Bn = 0.41 T. 
 
o
o
o
o
B
 [T
]
H [A/m]
Ferro fundido
 Reta do entreferro ajustada
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.8
0.7
0.6
1000 2000 2283
o
o
o
o
o 0.76
 
Figura 1.30 - Método gráfico utilizando reta de entreferro ajustada e curva B××××H do material. 
 
O método apresentado neste exemplo pode ser utilizado para resolver circuitos 
magnéticos envolvendo duas partes não-lineares, conforme exemplo a seguir. 
 
Ex. 1.13: O circuito magnético da figura 1.31 é constituído de liga de ferro-
níquel na parte 1 onde l1 = 10 cm e S1 = 2.25 cm
2, e aço fundido na parte 2, l2 = 8 cm e 
S2 = 3 cm
2. Calcule as densidade de fluxo B1 e B2. 
 
Conversão de Energia 39
Os dados referentes ao meio 2 de aço fundido devem ser convertidos sobre a 
curva B×H da parte 1 da liga de ferro-níquel (ℑ/l1 = 400 A/m). A tabela 1.4 indica os 
cálculos necessários. 
 
Tabela 1.4 – Tabela para converter os dados da curva 2 para curva 1. 
B2 [T] H2 [A/m] 
1
2
21 S
S
BB = [T] 
1
2
2 l
l
H [A/m] 
1
2
2
1
1 l
l
H
l
H −ℑ= [A/m] 
0.33 200 0.44 160 240 
0.44 250 0.59 200 200 
0.55 300 0.73 240 160 
0.65 350 0.87 280 120 
0.73 400 0.97 320 80 
0.78 450 1.04 360 40 
0.83 500 1.11 400 0 
Obs.: ℑ / l1 = 400 A/m. 
 
A partir do gráfico da figura 1.33, B1 = 1.01 T. E, como B1S1 = B2S2. 
 
T76.0
103
1025.2
01.1B
4
4
2 =





×
×= −
−
 
 
Os valores de B1 e B2 podem ser comparados considerando a equação: 
 
ℑ = H1l1 + H2l2, 
 
e as curvas D e B da figura 1.32 de onde se obtém os valores de H1 e H2. 
 
H [A/m]
B [T]
A
B
C
A Ferro fundido
B Aço fundido
C Aço-Silício
D Liga Ferro-Níquel
D
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
100 200 300 400
 
Figura 1.32 - Curvas B××××H (H <<<< 400 A/m). 
 
Conversão de Energia 40
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
B1
[T]
H1 [A/m]
100 200
Liga ferro-níquel
Aço fundido;
curva ajustada
 
Figura 1.33 - Solução pelo método gráfico (curva ajustada para o aço fundido). 
 
Ex. 1.14: O circuito magnético da figura 1.34a, apresenta a mesma área de seção 
reta em todo o núcleo, cujo material é de aço-silício, e seu valor é An = 1.30 cm
2. Os 
comprimentos médios valem l1 = l3 = 25 cm. e l2 = 5 cm. As bobinas têm 50 espiras 
cada. Dado φ1 = 90 µwb e φ3 = 120 µwb, calcule as correntes das bobinas. 
 
φφφφ1111 φφφφ3333
l 1111
l2
l3
φφφφ2222
.
.
F1
F3
(a) estrutura magnética(b) circuito magnético equivalente
F3F1
φφφφ1111 φφφφ3333
φφφφ2222
H1l1 H2l2
H3l3
-
+
+
-
+
-
+
-
-
+
.
b
a.
Figura 1.34 - Circuito magnético paralelo. 
 
Aplicando a equação 1.14 ao nó (a): 
T
Wb
79.0
10.3.1
1090
A
B
103.00
4
6
1
1
1
4
132
3
1i
i
=
×
×=φ=
×=φ−φ=φ→=φ
−
−
−
=
∑
 
 
Usando a curva B×H do aço-silício (figura 1.32), H1 = 87 A/m. Logo, H1l1 = 21.8 A. 
Analogamente: 
 
AA/m e T
AA/meT
35lH140H 92.0
103.1
10120
A
B
5.2lH49H 23.0
103.1
103.0
A
B
3334
4
3
3
3
2224
4
2
2
2
=∴==
×
×=φ=
=∴==
×
×=φ=
−
−
−
−
 
Conversão de Energia 41
 
Aplicando a equação 1.13 ao longo dos percursos fechados. 
 
ℑ==∑ NIlH
j
jj 
 
As equações que se seguem são para a queda N I entre os pontos a e b. 
 
5.235 e 5.28.21
lHlH e lHlH
31
2233322111
=−ℑ=ℑ−
=−ℑ=ℑ−
 
 
De onde, ℑ1 = 19.3 A e ℑ3 = 37.5 A. As correntes são: I1 = 0.39 A e I3 = 0.75 A 
 
Ex. 1.15: Considere um circuito magnético da figura 1.35. Determine as relações 
entre Hn, Bn e Ln com entreferro e sem entreferro. Determine a indutância total. 
 
H n
H e µµµµ0
I
N
le
lnµµµµn
 
Figura 1.35 - Reator com entreferro. 
 
1º Caso: Considerando o núcleo sem entreferro, ou seja, le = 0. 
( )12
n
n
0rn
n
n
n
n
0rnnn
n
0rn0rnnn
n
nnn
N
l
A
L
I
N
I
LIN
l
A
AB
l
IN
HHB
l
IN
HlHNI
µµ=→φ=λ=µµ==φ
µµ=µµ=µ==→==ℑ
 
 
2o Caso: Consideremos o núcleo com entreferro. 
 
INdl.H =∫ 
 
INlHlH eenn =+ (2) 
 
mas como φn = φe e supondo An = Ae, tem-se: eneenn BBABAB =→= (3) 
Mas, e0en0rn HB HB µ=µµ= e , então: 
r
n
e
e0n0r H
H
HH µ=→µ=µµ (4) 
 
Substituindo (4) em (2), tem-se: 
IN
l
l1
lH
INlHlH
n
e
r
rnn
enrnn
=





+
µ
µ
=µ+
 
Conversão de Energia 42
Definindo: 
n
e
r
.eq
l
l1
1
+
µ
=µ 
nr
.eq
n l
IN
H
µ
µ
= (5) ou 
ern
n ll
I.N
H
µ+
= (6) 
 
Lembrando que Bn = µr µ0 Hn 
 
n
0.eqn l
IN
B µµ= (7) 
 
Substituindo (4) em (5): 
 
n
.eqe l
IN
H µ= (8) 
e 
n
.eq0e0e l
IN
HB µµ=µ= 
 
Sabendo que:
 
n
0.eqnnn
eenn
l
IN
NAANBNLI
ABAB
LIN
µµ==φ=
==φ
=φ
 
 2
n
n
0.eq Nl
A
L µµ= (9) 
Portanto, com a introdução do entreferro, obteve-se: 
i) ( ) ( )
entreferro
sem
n
r
.eq
entreferro
com
n HH µ
µ
= 
 
ii) ( ) ( )
entreferro
sem
n
r
.eq
entreferro
com
n BB µ
µ
= 
 
iii) ( ) ( ) m
r
.eq
entreferro
sem
r
.eq
entreferro
com LLL
µ
µ
=
µ
µ
= 
Conclui-se que se for usado µr e le/ln tão grande quanto o possível, consegue-se 
µeq./µr tão baixo quanto se queira, a fim de se conseguir fazer com que a indutância 
fique independente do material do núcleo. Entretanto, observa-se que H, B e L serão 
reduzidos pelo mesmo fator, µeq./µr . 
 
Se 
e
n
.eq
rn
e
l
l1
l
l =µ→
µ
→ 
 
Com isto, seria necessário um material de alto µr, mas este não necessitaria ser 
preciso ou constante. A indutância dependeria nestas condições, somente da geometria 
utilizada. 
Uma outra forma de se visualizar, seria através da análise do circuito elétrico 
equivalente, ver figura 1.36. 
 
Conversão de Energia 43
+
+
Ln
I
+
Le
eF =NI
φφφφ
+ R n
R e
+
+
( a ) Circuito magnético do
 indutor com entreferro
( b ) Circuito elétrico equivalente
 do indutor com entreferro
IeIn
 
Figura 1.36 - Circuitos magnético e elétrico da estrutura da figura 1.35. 
 
A indutância do entreferro Le é constante, entretanto, a do núcleo não o é, sendo 
expressa por Ln = Ln(i). Do circuito equivalente, obtém-se: 
 








+
=
+
=
n
e
L
Le
en
en
1
1
L
LL
LL
L (10) 
 
Ou 
n
e
e
n
n
0
e
n
n
ee
S
S
l
l
L
L
= 
1
L
L
µ
µ=
ℜ
ℜ=α
α+
= onde 
 
Considerando que Sn e Se são aproximadamente iguais resulta: 
 
e
n
n
0
l
l
µ
µ≅α (11) 
 
Se considerarmos ln/le = 100 (menor valor que este implica na possibilidade de 
aparecimento de não-linearidades), isto é, o comprimento do núcleo é da ordem de 
grandeza de cem vezes o comprimento do entreferro, e supondo que a variação do µr do 
material magnético está compreendido na faixa: 2000 ≤ µr ≤ 4000, o valor de α 
resultará compreendido entre (eq. (11)): 0.025 ≤ α ≤ 0.05. 
A equação (10) mostra que a indutância total estará compreendido entre os 
valores: 
ee
ee L976.0LL952.0
025.1
L
L
05.1
L ≤≤→≤≤ 
 Vê-se que, apesar da variação de 100% na permeabilidade do núcleo, L é 
constante, a menos de um erro inferior a 3%. 
 A escolha apropriada da razão ln/le pode limitar a variação de L dentro de valores 
preestabelecidos. Sem o entreferro teríamos uma indutância L total muito maior, porém 
com uma grande variação. É possível dizer que o indutor inicialmente não linear, foi 
linearizado mediante a introdução de um entreferro. 
Conversão de Energia 
 
63
1.6. Obtenção de um Circuito Equivalente para um Reator com Núcleo 
Ferromagnético 
 
A obtenção de um modelo matemático para um indutor, objetivando a análise de 
seu comportamento, compreende dois estágios: 
 
i – a obtenção de um sistema físico o qual, em geral, é muito complexo; 
 
ii – a descrição de tal sistema por meio de equações matemáticas adequadas. 
 
Com o intuito de obter tais equações tornam-se necessárias estabelecer algumas 
hipóteses e aproximações simplificadoras. O primeiro passo neste sentido é o de decidir 
quais de suas características podem ser ignoradas. A seguir determina-se quais 
modificações podem ser assumidas para simplificar o modelo matemático sem 
prejudicar a precisão desejada. Uma forma de se verificar a precisão do modelo é a 
comparação, quando possível, entre os resultados obtidos pelo modelo matemático e os 
de ensaios (medidas). 
O quão preciso deve ser os resultados obtidos através do modelo dependem dos 
propósitos a que se destinam. Para muitos dos propósitos de engenharia, particularmente 
para o cálculo preliminar de sistemas e instalações, ‘suficientemente preciso’ significa 
que as diferenças entre os resultados calculados e os medidos sejam inferiores a 5%. 
No extremo, adota-se hipóteses e aproximações que conduzem ao denominado 
indutor ideal. Neste caso assume-se que: 
 
 i - Os campos elétricos produzidos pelos enrolamentos são desprezíveis. 
 
 ii - A resistência do enrolamento é desprezível. 
 
iii - Todo o fluxo magnético está confinado ao núcleo ferromagnético, isto é, o 
fluxo de dispersão (φl) é desprezível e o fluxo mútuo (φm) concatenando 
todas as espiras do enrolamento. 
 
iv - A permeabilidade relativa do material do núcleo, µr, é constante. 
 
v – As perdas no núcleo são desprezíveis. 
 
 
As hipóteses (iv) e (v) implicam que o laço B×H no núcleo ferromagnético pode 
ser representado por uma linha reta através da origem (ver Fig. 1.8). 
Se uma diferença de potencial v for aplicada aos terminais de seu enrolamento, a 
força magnetomotriz ℑ de magnitude N×iφ produzirá um fluxo φ no núcleo e 
estabelecerá um fluxo concatenado λ no enrolamento. 
Se v variar no tempo, então iφ, φ e λ também variarão no tempo, e uma fem e será 
induzida no enrolamento. Desde que a resistência do enrolamento é desprezível, esta 
fem será, em módulo, igual a tensão aplicada v. Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]Volts
dt
td
N
dt
td
tetv
φ=λ== (1.46) 
 
Desde que a permeabilidade do núcleo seja constante, o fluxo concatenado será 
dado por: 
λ = Lm iφ [Wb] (1.47) 
 
onde Lm será a indutância do indutor, e: 
 
v = φm diφ /dt [V] (1.48) 
Conversão de Energia 
 
64
O indutor pode, portanto, ser representado pelo elemento indutivo da figura 1.42. 
V
.
fonte
EjXm
Iφφφφ
.
.
.
.
v
fonte
e = dλλλλ / dt Lm
iφφφφ
.
.
+iφφφφ
ev
fonte
φφφφ m - fluxo
N
φφφφ m
.
.
 
 
Figura 1.42 – Indutor Real.