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ESTATÍSTICA
Unidade II
A estatística descritiva trata fundamentalmente de situações que já ocorreram, ou seja, seu ambiente 
está no passado ou no presente. Entretanto, muitas vezes nossas decisões encontram-se no futuro, 
que apresenta valores incertos. A estatística descritiva consegue nos dizer, por exemplo, quanto nossa 
empresa vendeu mês a mês, mas não consegue dizer quanto iremos vender nos próximos seis meses. 
Essa informação é talvez mais importante que a dos meses passados, e pode ser prevista com alguma 
precisão, usando-se ferramentas da estatística indutiva.
Mas existe uma diferença fundamental. Enquanto podemos dizer com certeza quanto 
vendemos nos seis meses anteriores, o que venderemos nos próximos meses é uma probabilidade, 
e não uma certeza.
Probabilidade é algo intuitivo, mas quais são os seus conceitos básicos, como são calculados, qual 
seu grau de precisão e de certeza? Precisamos entender adequadamente tudo isso para podermos prever 
situações futuras e prováveis. 
Tudo aquilo que é provável é dotado de tolerância. Caso afirmemos que, baseados em estudos 
estatísticos, provavelmente o PIB mundial cairá em 3% não estamos dando um “chute aleatório”, mas 
também não podemos “morrer abraçados” a esse número. O mais correto seria dizer que o PIB mundial 
cairá entre 2,5% e 3,5%, introduzindo uma margem de erro.
Trataremos dos aspectos fundamentais da Teoria Elementar das Probabilidades para depois evoluir 
para a utilização desses conceitos na área de negócios.
 Saiba mais
A utilização prática dos conceitos probabilísticos aparece bem retratada no 
filme americano de 2008 Quebrando a Banca (título original: 21). Um aluno 
gênio do MIT orientado pelo seu professor de estatística monta uma equipe 
que se propõe a quebrar a banca de cassinos em Las Vegas.
QUEBRANDO a banca. Direção: Robert Luketic. Estados Unidos: Relativity 
Media, 2008. 123 min. 
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Unidade II
5 TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES
Probabilidades é formalmente um capítulo da matemática, e não da estatística, mas deve ser bem 
entendida para que possamos aplicar os conceitos no estudo de suas distribuições, de fundamental 
importância na estatística indutiva.
5.1 Conceitos iniciais de probabilidades e como são calculadas
Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por exemplo, encontrará 
algo como: “probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo ou indício que deixa presumir a verdade 
ou a possibilidade de um fato, verossimilhança” (FERREIRA, 1999, p. 1640).
Como é fácil de notar, essa definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de 
probabilidade; isso porque o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se probabilidade 
utilizando-se seus próprios termos.
Desse modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição de probabilidade, 
mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em geometria com as definições 
de ponto e reta. Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição de 
probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva.
Antes de seguirmos, no entanto, com a definição de probabilidade, é necessário definir alguns termos 
que serão utilizados:
• Experimento aleatório: são aqueles que, apesar de serem repetidos exatamente da mesma 
maneira, não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo, você pode jogar um 
dado exatamente da mesma maneira duas vezes e nada garantirá que obterá o mesmo resultado.
 Lembrete
Frequentemente usamos em estatística, principalmente em probabilidades, 
o termo “escolhido”. Quando isso ocorre, normalmente imaginamos uma 
escolha aleatória, ou seja, um sorteio, nunca uma escolha dirigida.
• Espaço amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades): é o conjunto formado por 
todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um 
jogo de um dado honesto é dado por:
{ }S 1 ;2;3;4;5;6 =
Observe que o dado deve ser honesto, se não o for, o experimento não será aleatório. Podemos calcular 
as probabilidades de dados honestos ou viciados, mas com algumas diferenças no processo de cálculo.
129
ESTATÍSTICA
• Evento: é um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos do espaço amostral. 
Por exemplo, num jogo de dados o evento número primo é formado por:
{ }E 1 ;2;3;5=
Fundamentalmente uma probabilidade é uma razão entre o tamanho do evento e o tamanho do 
espaço amostral de onde é retirado esse evento. Em outras palavras é a razão entre o que se quer que 
aconteça e o que pode acontecer.
5.2 Definição de probabilidade como razão entre valores esperados 
e possíveis
Usando esses termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade:
• Abordagem clássica: é a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) 
favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) do espaço 
amostral, ou seja:
( ) ( )( )
n A
P A
n S
=
Sendo: 
P(A): probabilidade de ocorrer o evento A
n(A): número de elementos favoráveis ao evento A
n(S): número total de elementos do espaço amostral
Por exemplo:
Qual é a probabilidade de, ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo?
{ } ( )S 1;2;3;4;5;6 n S 6= → =
{ } ( )números primosE 1;2;3;5 n S 4= → =
( ) ( )( )
n A 4 2
P A 0,666 ou 66,6%
n S 6 3
= = = =
130
Unidade II
 Observação
Utilizam-se três maneiras de se apresentarem probabilidades: fração 
ordinária (2/3, por exemplo, que lemos 2 possiblidades em 3), fração decimal 
(0,666 no nosso exemplo) e percentual (66,6%). É indiferente a forma que 
se usa, mas deve-se notar que não devem ser feitas operações matemáticas 
com porcentagens e que o uso de frações decimais não é costumeiro na 
divulgação de probabilidades.
• Abordagem como frequência relativa: é a razão entre o número de vezes que determinado 
resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes. 
Por exemplo: jogamos uma moeda 1.000 vezes e em 512 dessas vezes saiu cara. Podemos dizer por 
essa definição que a probabilidade de sair cara nesta moeda é de 512/1.000, ou seja, 51,2%. Esse 
raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:
( ) ( )AA
T
f 512
P A fr p A 0,512 ou 51,2%
f 1.000
= = → = =
Note que o resultado não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%). Podemos 
atribuir isso ao fato de a moeda usada não ser honesta (portanto com resultados aleatórios) ou ao fato 
de o número de jogadas não ter sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas, a 
probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for honesta.
• Abordagem subjetiva: ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é um 
valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. Evidentemente que 
essa probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, 
complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 
80% de chances de chover num determinado período. Outro exemplo é o Índice de Confiança 
Empresarial (ICE) medido pela Fundação Getúlio Vargas (FGV). Esse capítulo da estatística é 
estudado em análise bayesiana de decisão.
Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com o campo de estudo 
em que estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem é eminentemente teórica e pressupõe 
experimentos aleatórios, em que os elementos são equiprováveis. Já na segunda abordagem podem ser 
introduzidos fatores diversos, característicos de determinadas situações não totalmente aleatórias.
Apesar de basicamente o cálculo de probabilidades envolver uma das duas relações descritas 
anteriormente, existem axiomas, teoremas e propriedades que devem ser conhecidas para o correto 
uso da teoria. Antes, porém, de nos preocuparmos com a teoria envolvida, iremos nos ater à lógica que 
permeia o cálculo de probabilidades,a partir da utilização da abordagem clássica, no próximo item 
voltaremos à abordagem como frequência relativa.
131
ESTATÍSTICA
Esse raciocínio lógico é mais bem entendido com uma sequência de exemplos progressivamente 
mais complexos que veremos a seguir.
Exemplo 1 
Uma moeda honesta é jogada uma única vez, qual é a probabilidade de que o resultado seja CARA?
Pelo modo como o exercício é proposto nós devemos calcular a probabilidade como uma razão entre 
o número de elementos favoráveis ao evento CARA e o número de todos os elementos possíveis.
{ } ( )Espaço amostral: cara; coroa n S 2→ =
( ) { } ( )Evento desejado cara : cara n A 1→ =
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
n A n cara 1
p A P cara 0,5 ou 50%
n S n S 2
= = = = =
Nem precisaríamos ter feito o cálculo. Qualquer um de nós sabe intuitivamente que a probabilidade 
de sair cara ao se jogar uma moeda é de 50%. Mas o exemplo é valido para ressaltar que isso só acontece 
se a moeda for honesta e para demonstrar o processo de cálculo das probabilidades.
Exemplo 2 
Duas moedas honestas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que pelo menos 
uma seja CARA?
Note que neste caso o espaço amostral se tornou ligeiramente mais complexo: 
( )S { Cara Cara; Cara Coroa; Coroa Cara; Coroa Coroa) n S 4= → =
E o evento pedido é: 
( )E {Cara Cara; Cara Coroa; Coroa Cara), n E 3= → =
Logo a probabilidade é:
( ) ( )( ) ( )
n A 3
P pelo menos uma cara P pelo menos uma cara 0,75 ou 75%
n S 4
= → = =
132
Unidade II
 Observação
Do ponto de vista do cálculo de probabilidade, jogar simultaneamente 
duas moedas é o mesmo que jogar uma, anotar o resultado e depois 
jogar outra.
5.2.1 Árvore de decisões
Exemplo
Joga-se uma moeda honesta sucessivamente 4 vezes, qual é a probabilidade de que se obtenham 
pelo menos duas CARAS?
Perceba que ficou muito mais complexo estabelecer o espaço amostral e o evento solicitado. 
O princípio é o mesmo dos exercícios anteriores, mas, como o número de moedas aumentou, as 
dificuldades envolvidas também aumentam.
Para facilitar nosso raciocínio iremos introduzir duas ferramentas: a árvore de decisões e a análise 
combinatória.
 Saiba mais
Neste texto veremos superficialmente o método da árvore de decisões, 
mas esse é um método muito utilizado sempre que o raciocínio lógico é 
necessário. O texto a seguir mostra um vídeo com um belo exemplo de 
aplicação dessa ferramenta:
APRENDENDO GESTÃO. Árvores de decisão: exemplo completo. [s.d.]. 
Disponível em: https://bit.ly/3EmH4pE. Acesso em: 3 nov. 2022.
A árvore de decisões consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados dos 
experimentos aleatórios de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender 
a mecânica do experimento.
Joga-se uma moeda honesta.
Os resultados podem ser:
Cara
Coroa
Figura 38 
133
ESTATÍSTICA
A seguir está desenhada a árvore de decisões do experimento “jogar uma moeda honesta 
sucessivamente 4 vezes”. Note que não esquecemos nenhum dos resultados possíveis. 
Cara
Cara
Cara
Cara
4ª jogada3ª jogada2ª jogada1ª jogadaResultados da:
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 5
Caminho 6
Caminho 9
Caminho 10
Caminho 13
Caminho 14
Caminho 3
Caminho 4
Caminho 7
Caminho 8
Caminho 11
Caminho 12
Caminho 15
Caminho 16
Joga-se uma 
moeda honesta 
sucessivamente 
4 vezes
Figura 39 
De posse da árvore de decisões, conseguimos responder mais facilmente ao solicitado neste 
exemplo. Perceba que, após se jogar a moeda pela quarta vez, nós teremos um total de 16 soluções 
(caminhos) possíveis. 
Observe a sequência do caminho de número 1: 
Na primeira vez que se jogou a moeda saiu cara; na segunda jogada saiu cara de novo; assim como 
na terceira e na quarta jogadas, ou seja, o caminho 1 é formado pelos seguintes eventos sucessivos: 
cara – cara – cara - cara. 
O mesmo raciocínio nos conduz a outras 15 combinações possíveis das quais as de números 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13 apresentam a resposta que desejamos, ou seja, pelo menos duas caras, as demais 
apresentam uma ou nenhuma cara, portanto, não nos interessam.
134
Unidade II
Dessa forma temos um total de 16 caminhos no espaço amostral, sendo que 11 deles são 
favoráveis à nossa pergunta, portanto a probabilidade de que ocorra pelo menos duas caras é de 
11 possibilidades em 16, ou seja:
( ) ( )( ) ( )
n A 11
P A P pelo menos duas caras 0,6875 ou 68,75%
n S 16
= → = =
Agora note que o número de possibilidades (ou seja, elementos) do espaço amostral cresce 
continuamente. Caso jogássemos uma quinta vez a moeda, teríamos 32 resultados diferentes. 
Uma maneira de trabalharmos com essa grande quantidade de números é o uso da análise combinatória. 
(atenção: aqui trabalharemos superficialmente esse assunto. Utilizaremos apenas as ferramentas que 
nos são importantes neste capítulo).
5.2.2 Análises combinatórias
Perceba que o cálculo de probabilidade continuará a ser feito através da razão entre o número 
de elementos favoráveis ao evento que estamos estudando e o número total de elementos do 
espaço amostral; a análise combinatória nos servirá para calcular de maneira menos trabalhosa 
essas quantidades.
Se você olhar a árvore de decisões do jogo de moedas, perceberá que o espaço amostral cresce em 
número de elementos da seguinte maneira:
Tabela 63 
Número de 
 jogadas da moeda
Número de 
resultados diferentes
1 2
2 4
3 8
4 16
É fácil notar que a relação matemática existente entre o número de jogadas e o número de resultados 
possíveis é de nx, em que n é o número de resultados possíveis de ocorrer numa única repetição do 
experimento (no caso n = 2 porque os resultados possíveis são cara ou coroa) e x é o número 
de repetições do experimento (no caso na tabela anterior temos n variando de 1 a 4).
Desse modo, se quisermos saber o número de elementos do espaço amostral de seis jogadas de uma 
moeda bastaria fazermos o cálculo 26 = 64 resultados diferentes. 
Em análise combinatória, esse procedimento é conhecido como cálculo do número de arranjos 
com repetição.
x
n,xAr n=
135
ESTATÍSTICA
 Observação
A fórmula xn,x n,x Ar n ; Ar =
é lida da seguinte forma: “número de arranjos com repetições de n 
elementos repetidos x vezes”.
Arranjos com repetição é um dos modos de se contarem elementos, campo da análise combinatória. 
Utiliza-se esse conceito quando a ordem dos elementos que forma o grupamento é importante e 
quando um elemento pode ser repetido. Existem também outros modos de se contar, como arranjos 
simples, permutações e combinações. Além do arranjo com repetição, somente essa última nos 
interessa neste texto.
Por outro lado, observando a árvore de decisões, podemos contar o número provável de caras na 
quarta jogada montando a tabela a seguir:
Tabela 64 
Número de coroas 
que apareceu
Número de caras 
que apareceu
“Número do 
caminho”
Quantidade de 
caminhos
Quatro coroas Zero caras 16 1
Três coroas Uma cara 8;12;14;15 4
Duas coroas Duas caras 4;6;7;10;11;13 6
Uma coroa Três caras 2;3;5;9 4
Zero coroas Quatro caras 4 1
A quantidade de caminhos que atendem a cada uma das condições é calculada através do 
número de combinações simples. Usamos combinações simples quando nos grupamentos 
que estamos trabalhando a ordem dos elementos não é importante e cada elemento pode ser 
contato apenas uma vez.
Por exemplo, suponha que cinco crianças querem usar o mesmo brinquedo no qual só cabem três. 
Quantos grupos diferentes poderiam usar o brinquedo? Suponha que as crianças sejam identificadas 
pelas letras A; B; C; D e E, poderíamos agrupá-las da seguinte forma:
Quadro 6
ABC ABE ACE BCD BDE
ABD ACD ADE BCE CDE
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Unidade II
Ou seja, poderíamos fazer dez grupos diferentes com três crianças em cada grupo. Perceba que 
o grupo ABC e o grupo CBA são idênticos, na verdade são o mesmo grupo, as mesmascrianças 
estariam usando o brinquedo. Claro que, se tivéssemos uma quantidade maior de crianças e de 
brinquedos, não conseguiríamos determinar a quantidade de grupos “na raça”, precisaríamos de ajuda 
da matemática.
O número de combinações é obtido através da fórmula:
( )n,x
n!
C
x! n x !
=
−
Onde: 
n = número total de repetições do experimento
x = número de resultados desejados
 Observação
A fórmula 
( )n,x
n!
C
x! n x !
=
−
deve ser lida da seguinte forma: “número de combinações de n 
elementos tomados x a x vezes”.
 Lembrete
Fatorial de um número a, simbolizado por a!, é a multiplicação de todos 
os números inteiros e positivos desde a unidade até o valor a, ou seja:
a! 1 2 3 4 ...... a= × × × × ×
Por exemplo: 6! é igual a 720 porque:
6! 1 2 3 4 5 6 720= × × × × × =
Notar que, por definição, 0! é igual a 1.
137
ESTATÍSTICA
No exemplo das crianças teríamos n = 5 crianças; x = 3 lugares:
( ) ( )n,x 5,3
n! 5! 5! 1 2 3 4 5 120
C C 10 possibildades
x! n x ! 3! 5 3 ! 3! 2! 1 2 3 1 2 12
× × × ×= → = = = = =
− − × × × × ×
Conforme tínhamos determinado na tabela elaborada.
No caso do exemplo de uma moeda sendo jogada 4 vezes, seria usado um cálculo semelhante.
A tabela a seguir mostra o cálculo das combinações do exemplo dado. Verifique que coincide com os 
números obtidos através da árvore de decisões.
Tabela 65 
Número de caras que 
queremos obter Fórmula do cálculo das combinações
Número de 
combinações obtidas
Zero caras ( )4,0
4! 4! 24
C 1
0! 4 0 ! 0!4! 1 24
= = = =
− × 1
Uma cara ( )4,1
4! 4! 24
C 4
1! 4 1 ! 1!3! 1 6
= = = =
− × 4
Duas caras ( )4,2
4! 4! 24
C 1
2! 4 2 ! 2!2! 2 2
= = = =
− × 6
Três caras ( )4,3
4! 4! 24
C 4
3! 4 3 ! 3!1! 6 1
= = = =
− × 4
Quatro caras ( )4,4
4! 4! 24
C 1
4! 4 4 ! 4!0! 24 1
= = = =
− × 1
Perceba que temos agora todas as informações necessárias para o cálculo das probabilidades 
envolvidas no experimento de “quatro jogadas sucessivas de uma moeda honesta”. A tabela a seguir 
resume esses valores.
138
Unidade II
Tabela 66 
Eventos
Número total de resultados do espaço 
amostral (número de “caminhos”) 
Calculado usando-se arranjos com 
repetições
Número total de resultados 
favoráveis ao evento 
Calculado usando-se 
combinações
Probabilidade 
de ocorrência
Obter zero caras 16 1
1
0,0625 6,25%
16
= =
Obter uma cara 16 4
4
0,2500 25,00%
16
= =
Obter duas caras 16 6
6
0,3750 37,50%
16
= =
Obter três caras 16 4
4
0,2500 25,00%
16
= =
Obter quatro caras 16 1
1
0,0625 6,25%
16
= =
Somatório 100%
Esse quadro resume todos os possíveis resultados do experimento: “jogar quatro vezes uma moeda 
honesta”. Cada um desses resultados é um evento diferente e a probabilidade de cada evento ocorrer é 
obtida pela divisão do número de vezes que ele ocorre pelo número de resultados totais do experimento. 
O evento pedido na questão, pelo menos duas caras, é a soma dos eventos: duas ou três ou quatro 
caras. Conforme os valores obtidos na tabela anterior, resultaria em:
0,3750 0,2500 0,0625 0,6875 68,75%+ + = =
Como já havíamos determinado anteriormente.
Esses conceitos permitem calcular situações mais complexas como os exemplos a seguir, bem 
mais trabalhosos.
Exemplo 1
Vinte moedas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que se obtenham exatamente 
oito CARAS?
Essa questão é muito semelhante à anterior, mas envolve uma quantidade de moedas e resultados 
que inviabilizam o uso da árvore de decisões. Sabemos, entretanto, calcular questões desse tipo usando 
os conceitos de análise combinatória:
139
ESTATÍSTICA
• O número total de resultados possíveis é o número de arranjos com repetições de 20 moedas que 
podem apresentar dois resultados diferentes.
x 20
n,xAr n 2 1.048.576= = =
• O número total de resultados que nos interessam é o número de combinações de 20 moedas das 
quais oito sejam caras:
( ) ( )n,x 20,8
n! 20! 20! 2.432.902.008.176.640.000
C C 125.970
x! n x ! 8! 20 8 ! 8! 12! 40.320 479.001.600
= → = = = =
− − × ×
• A probabilidade de ocorrerem oito caras é de:
( ) ( )( ) ( )
n A 125.970
p A P exatamente 8 caras 0,1201 12,01%
n S 1.048.576
= → = = =
 Observação 
Os números envolvidos anteriormente são relativamente grandes, 
mas, com uma calculadora científica ou na planilha Excel, o trabalho é 
relativamente simples. Mesmo o cálculo do número de combinações 
pode ser facilitado se utilizarmos o conceito de simplificação, como 
mostrado a seguir:
20.8
20! 12! 13 14 15 16 17 18 19 20
C 125.970
8!x12! 1 2 3 4 5 6 7 8 12!
× × × × × × × ×= = =
× × × × × × × ×
Simplificando os valores possíveis no numerador e denominador, sobrará 
no numerador apenas a multiplicação 13 2 17 3 19 5 125.970× × × × × =
Vamos utilizar esses conhecimentos adquiridos para fazer um cálculo, que talvez não deixe 
você satisfeito.
Exemplo 2 
Qual é a probabilidade de se ganhar o prêmio máximo na Mega-Sena fazendo-se um jogo com 
sete dezenas?
Observe que na Mega-Sena é necessário acertar seis dezenas para se ganhar o prêmio máximo. Caso 
se joguem sete dezenas, temos sete chances de acertar as seis dezenas (n = 7 e x = 6).
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Unidade II
( ) ( )n,x 7,6
n! 7! 7! 5.040
C C 7
x! n x ! 6! 7 6 ! 6! 1! 720 1
= → = = = =
− − × ×
Quantos resultados diferentes podem ocorrer? 
Na Mega-Sena existem 60 números possíveis, dos quais você deve acertar seis, ou seja:
( ) ( )n,x 60,6
n! 60! 60!
C C 50.063.860
x! n x ! 6! 60 6 ! 6! 54!
= → = = =
− − ×
Resumindo, você tem sete chances em 50.063.860 de acertar na Mega-Sena, o que dá uma 
probabilidade de:
( ) ( )( ) ( )
n A 7
P A P ganhar na Mega Sena com sete jogos
n S 50.063.860
0,00000014 ou 0,000014%
= → − = =
=
Melhor continuar estudando, não é?
6 DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE COMO FREQUÊNCIA RELATIVA
Até aqui, sempre que nos referimos às moedas, frisamos que ela era honesta. Por que isso? Porque 
o sorteio de uma moeda honesta é um experimento absolutamente aleatório, ou seja, por mais que a 
joguemos, nunca iremos saber qual o próximo resultado. Além disso, a probabilidade de cair cara numa 
moeda honesta é de 50%, assim como de sair coroa. São resultados equipotentes.
Nem sempre será assim. Podemos ter moedas viciadas e, em situações mais próximas da realidade 
do dia a dia, decerto os experimentos não serão absolutamente aleatórios, mas aproximadamente 
aleatórios, e as probabilidades de ocorrência serão dadas pelas frequências relativas observadas.
Imagine que você tenha nas mãos uma moeda que não sabe se honesta ou viciada. 
Como poderia saber? Testando-a, ou seja, jogando-a repetidas vezes e anotando os resultados. 
Caso os resultados tendam para 50% de sair cara e 50% de sair coroa, a moeda será honesta, caso 
contrário, será viciada. Obviamente, quanto maior o número de vezes que a testar, mais segura 
será a resposta.
A tabela a seguir mostra uma sucessão fictícia de testes em duas moedas.
141
ESTATÍSTICA
Tabela 67 
N
úm
er
o 
de
 v
ez
es
 q
ue
 a
 
m
oe
da
 f
oi
 la
nç
ad
a
Moeda A Moeda B
N
. d
e 
ca
ra
s
Pr
ob
ab
ili
da
de
 d
e 
ca
ra
N
. d
e 
co
ro
as
Pr
ob
ab
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da
de
 d
e 
co
ro
a
N
. d
e 
ca
ra
s
Pr
ob
ab
ili
da
de
 d
e 
ca
ra
N
. d
e 
co
ro
as
Pr
ob
ab
ili
da
de
 d
e 
co
ro
a
10 6 60,0% 4 40,0% 5 50,0% 5 50,0%
30 14 46,7% 16 53,3% 16 53,3% 14 46,7%
40 19 47,5% 21 52,5% 23 57,5% 17 42,5%
50 27 54,0% 23 46,0% 29 58,0% 21 42,0%
100 52 52,0% 48 48,0% 57 57,0% 43 43,0%
500 249 49,8% 251 50,2% 290 58,0% 210 42,0%
1.000 505 50,5% 495 49,5% 589 58,9% 411 41,1%
10.000 5.010 50,1% 4.990 49,9% 5.809 58,1% 4.191 41,9%
Note algumas características importantes:
• Para poucos lançamentos, não é possível assumir se as moedas são honestas ou viciadas. 
O número de observações não é suficiente. Isso é constante na estatística indutiva. Precisamos de 
uma quantidade de observações mínima para se chegar a alguma conclusão.
• À medida que o número de observações vai crescendo, cristalizamos a ideia de que a moeda 
A é honesta e a moeda B viciada. Perceba que em dezjogadas não há nada de estranho em 
se obterem seis caras e quatro coroas, mas quando jogamos a moeda 100 vezes e obtemos 
57 caras, algo não acidental está ocorrendo. Não é possível que seja uma questão de 
“sorte” ou “azar”.
• A partir dessas observações podemos assumir que a moeda A é honesta e a probabilidade de se 
obter cara é igual à de se obter coroa, no valor de 50% (o fato de os cálculos não resultarem 
exatamente em 50% é efeito de variações aceitáveis).
• Já a moeda B é viciada e a probabilidade de se obter cara é de 58% (aproximadamente) e, de se 
obter coroa, 42%.
A partir desses conceitos podemos abrir um pouco mais o leque dos nossos cálculos, resolvendo a 
questão do próximo item.
142
Unidade II
6.1 Evento soma e evento produto
Exemplo 1
Jogamos a moeda B, mencionada anteriormente, três vezes em sequência. Lembrar que essa 
moeda é viciada com 58% de probabilidade de sair cara e 42% de probabilidade de sair coroa. Qual é a 
probabilidade que obtenhamos pelo menos duas caras?
Vamos entender a questão através do uso da árvore de decisões. É a mesma árvore usada 
anteriormente com uma diferença. Sobre cada decisão (simbolizada pelas flechas), colocaremos a 
probabilidade correspondente:
Cada “caminho” será formado de várias decisões em sequência, cada uma delas com probabilidades 
diferentes. A probabilidade de ocorrência de um caminho em especial é dada pela multiplicação das 
probabilidades individuais. A isso chamamos de evento produto.
Observe na figura o cálculo dos vários caminhos:
Cara
3ª jogada2ª jogada1ª jogadaResultados da:
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Caminho 1 → 0,58 x 0,58 x 0,58 = 0,583 = 0,1951
Probabilidade de cada caminho
Somatório = 1 ou 100%
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
Caminho 3 → 0,58 x 0,42 x 0,58 = 0,582 x 0,42 = 0,1413
Caminho 5 → 0,42 x 0,58 x 0,58 = 0,582 x 0,42 = 0,1413
Caminho 7 → 0,42 x 0,42 x 0,58 = 0,58 x 0,422 = 0,1023
Caminho 2 → 0,58 x 0,58 x 0,42 = 0,582 x 0,42 = 0,1413
Caminho 4 → 0,58 x 0,42 x 0,42 = 0,58 x 0,422 = 0,1023
Caminho 6 → 0,42 x 0,58 x 0,42 = 0,58 x 0,422 = 0,1023
Caminho 8 → 0,42 x 0,42 x 0,42 = 0,423 = 0,0741
Cara
Coroa
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Joga-se uma 
moeda viciada 
sucessivamente 
3 vezes
Figura 40 
143
ESTATÍSTICA
Pelo menos duas caras significam duas ou três caras, logo os caminhos 1; 2; 3; 5 nos interessam, os 
demais ou têm apenas uma cara, ou nenhuma.
Qualquer um desses quatro caminhos que vier a ocorrer atenderá a nossa pergunta, ou seja, a 
probabilidade de ocorrer pelo menos duas caras é a soma das probabilidades de ocorrer o caminho um 
ou então o dois ou então o três ou ainda o cinco. Poderíamos escrever isso assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P pelo menos duas caras P cacaca P cacaco P cacoca P cocaca= + + +
Assim, o resultado final seria:
( )P pelo menos duas caras 0,1951 0,1413 0,1413 0,1413 0,6190 61,90%= + + + = =
Essa soma de eventos gera o que se chama de evento soma.
 Observação
É importante observar que {cacaco}; {cacoca} e {cocaca} são eventos 
diferentes, apesar de podermos nos referir a eles como os resultados com 
duas caras e uma coroa. Caso tenha dúvida, imagine que você e um colega 
estejam atravessando uma rua movimentada. Um de vocês será atropelado. 
Tanto faz a ordem do atropelado? Certamente não! 
Cada vez que se joga a moeda, ocorre um resultado diferente. A cada um desses resultados damos 
o nome de evento. Vários eventos podem ser combinados, criando os eventos soma e eventos produto, 
já mostrados anteriormente.
O evento soma representa uma alternativa entre vários eventos simples, caracteriza-se pela palavra 
“ou”. Por exemplo, a questão qual é a probabilidade de um aluno passar em estatística é respondida 
por um evento soma: o aluno pode passar sem exame ou com exame. A probabilidade será a soma das 
probabilidades dos dois eventos simples.
O evento produto representa uma obrigação entre várias situações e caracteriza-se pela palavra 
“e”. Por exemplo, qual é a probabilidade de um aluno cursar Administração e passar em Estatística. 
O aluno tem que cursar Administração e passar em Estatística. A probabilidade será o produto entre 
probabilidade de um aluno estudar Administração e a probabilidade de passar em Estatística.
Vamos firmar esse conceito através do seguinte exemplo:
144
Unidade II
Exemplo 2 
Dois caçadores, Pedro e João, atiram contra uma caça simultaneamente. Sabemos que Pedro tem 
uma probabilidade de acertar esse tipo de caça de 40%, enquanto João acerta em 55% das vezes. 
Calcular a probabilidade de:
a) A caça ser atingida.
b) Ambos atingirem simultaneamente a caça.
Antes de resolvermos a questão, vamos sublinhar como foram obtidas essas probabilidades. 
Presume-se que Pedro e João já foram caçar diversas vezes esse tipo de caça e a cada tiro que deram 
anotaram o resultado. Após algum tempo eles têm uma série de observações suficientemente grandes 
para calcular as probabilidades relacionadas. 
Pedro atirou um número X de vezes e acertou quatro a cada dez tiros, assim ele pode afirmar que tem 
40% de chances de acertar um tiro qualquer nessas mesmas condições. João em raciocínio semelhante 
chegou à probabilidade de 55%.
É evidente que, se Pedro tem 40% de chances de acertar, tem 60% de chances de errar, assim como 
João tem 55% de probabilidade de acertar e 45% de errar. Chega-se a essa conclusão porque os eventos 
acertar e errar são eventos complementares, ou seja, um completa o outro sem a existência de um 
terceiro e com a soma dos dois resultando em 100%.
Com essas probabilidades individuais podemos montar a árvore de decisões apropriada:
0,40 x 0,55 = 0,22 ou 22%
0,60 x 0,55 = 0,33 ou 33%
0,40 x 0,45 = 0,18 ou 18%
0,60 x 0,45 = 0,27 ou 27%
Cálculo das probabilidades
0,40
0,55
0,55
0,60
0,45
0,45
Acerta 
o tiro
Acerta 
o tiro
João atira
Erra 
o tiro
Erra 
o tiro
João atira
Acerta 
o tiro
Erra 
o tiro
Pedro atira
Figura 41 
145
ESTATÍSTICA
Podemos então responder às questões:
A caça será atingida se Pedro ou João ou os dois a atingirem. Quer dizer, existe alternativa, portanto 
é um evento soma:
P (caça ser atingida) = P (Pedro e João acertarem) + P (Pedro acertar e João errar) + P (Pedro errar e 
João acertar)
( )P caça ser atingida 0,22 0,18 0,33 0,73 ou 73%= + + =
Portanto, a probabilidade de a caça ser atingida é de 73% (item a).
Para ambos atingirem a caça, é necessário que Pedro e João a atinjam, ou seja, é um evento produto.
( ) ( ) ( )P ambos atingirem a caça P Pedro acertar P João acertar= ×
( )P ambos atingirem a caça 0,40 0,55 0,22 ou 22%= × =
A probabilidade de ambos acertarem simultaneamente a caça é de 22% (item b).
6.2 Eventos independentes e eventos vinculados
Na questão anterior, os tiros de Pedro não interferem nos tiros de João e vice-versa, ou seja, o fato de 
Pedro acertar ou errar não torna mais ou menos provável os acertos ou erros de João. É o que se chama 
de eventos independentes.
Nem sempre, no entanto, isso ocorre. Eventualmente a ocorrência de um evento altera a probabilidade 
de ocorrência do evento seguinte. São os eventos vinculados ou condicionados ou dependentes.
A próxima questão exemplifica esse conceito:
Exemplo
Temos uma caixa que contém um total de 45 bolinhas, sendo 20 verdes, 15 brancas e 10 pretas. 
Retira-se dessa caixa uma bolinha, anota-se sua cor, coloca-se de lado e em seguida retira-se da caixa 
uma segunda bolinha. 
• Qual é a probabilidade que as duas bolinhas retiradas formem a combinação verde e branca?
• Qual é a probabilidade que as duas bolinhas retiradas formem a combinação preta e branca?
146
Unidade II
Uma combinação verde e branca corresponde a retirar uma primeira bolinha verde e uma segunda 
bolinha branca ou uma primeira bolinha branca e uma segunda bolinha verde. Raciocínio semelhante 
utiliza-se para a combinação preta e branca.
Novamente vamos utilizar a árvore de decisões para entender e esquematizar o problema, seguindo 
o raciocínioanteriormente estabelecido:
19 bolinhas verdes; 
15 brancas e 
10 pretas, 
num total de 
44 bolinhas
20 bolinhas verdes; 
14 brancas e 
10 pretas, 
num total de 
44 bolinhas
20 bolinhas verdes; 
15 brancas e 
9 pretas, 
num total de 
44 bolinhas
Bolinha
preta
Bolinha
preta
Bolinha
preta
Bolinha
preta
3
6
9
Bolinha
branca
Bolinha
branca
Bolinha
branca
Bolinha
branca 2
5
8
Bolinha
verde
Bolinha
verde
Bolinha
verde
Bolinha
verde
1
4
7
Depois de 
retirada a 
1ª bolinha a 
caixa ficará 
contendo:
Depois de 
retirada a 
1ª bolinha a 
caixa ficará 
contendo:
Depois de 
retirada a 
1ª bolinha a 
caixa ficará 
contendo:
20
45
15
45
10
45
19
44
20
44
20
44
15
44
14
44
15
44
10
44
10
44
9
44
20
45
10
44
200
1980
= 0,1010x =
15
45
10
44
150
1980
= 0,0757x =
10
45
9
44
90
1980
= 0,0455x =
20
45
15
44
300
1980
= 0,1515x =
15
45
14
44
210
1980
= 0,1061x =
10
45
15
44
150
1980
= 0,0757x =
20
45
19
44
380
1980
= 0,1919x =
15
45
20
44
300
1980
= 0,1515x =
10
45
20
44
200
1980
= 0,1010x =
Caixa agora 
contendo: 
20 bolinhas verdes; 
15 brancas e 
10 pretas, num total 
de 45 bolinhas
Figura 42 
Note que em todos os caminhos a probabilidade de ocorrência da segunda retirada depende do que 
aconteceu na primeira retirada. Seja qual for a cor retirada, em primeiro lugar a caixa fica, para a segunda 
retirada, com 44 bolinhas. Isso porque a bolinha retirada não foi recolocada na caixa. Chamamos a isso 
de retirada sem reposição, caracterizando o evento dependente. As probabilidades da segunda retirada 
dependem do que aconteceu na primeira retirada.
Perceba o caminho 1. Na segunda retirada pode sair uma bolinha verde e a probabilidade de que 
isso ocorra é de 19/44. O caminho 4, na segunda retirada também pode resultar numa bolinha verde e 
a probabilidade de que isso ocorra é de 20/44. Por que essa diferença?
Porque a primeira retirada foi diferente entre os dois caminhos, no caminho 1 a primeira retirada foi 
de uma bolinha verde, no caminho 4 foi de uma bolinha branca. No primeiro caso houve uma redução 
na quantidade de bolinhas verdes, no segundo a quantidade se manteve igual.
Essa vinculação entre eventos sucessivos altera as probabilidades finais, portanto, devemos estar 
atentos a ela.
147
ESTATÍSTICA
Agora, voltando à resolução do exercício, note que, dos nove caminhos existentes (eventos produtos), 
dois correspondem a uma combinação verde e branca. Os caminhos 2 e 4. Portanto um ou outro atendem 
ao solicitado (portanto, evento soma), desta forma: 
( ) ( ) ( )P combinação verde e branca P 1ª verde e 2ª branca P 1ª branca e 2ª verde= +
( )P combinação verde e branca 0,1515 0,1515 0,3030 ou 30,30%= + =
A probabilidade de se obter uma combinação verde e branca é de 30,30%.
Raciocínio semelhante se faz para a combinação preta e branca (siga os caminhos 6 e 8):
( ) ( ) ( )P combinação preta e branca P 1ª preta e 2ª branca P 1ª branca e 2ª preta= +
( )P combinação preta e branca 0,0757 0,0757 0,1514 ou 15,14%= + =
6.3 Revisão teórica dos conceitos estudados
Procuramos até aqui dar uma visão lógica da teoria das probabilidades. Revisaremos agora 
os conceitos à luz das teorias matemáticas comumente usadas e retomaremos o vocabulário 
tradicionalmente usado.
• Experimento: processo como ocorre uma determinada sucessão de acontecimentos. Por exemplo: 
realizar uma reação química; investir em ações; jogar dados.
• Experimento matemático ou determinístico: são aqueles em que os resultados podem ser 
previstos de modo exato utilizando-se da ciência. Por exemplo: realizar uma reação química.
• Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar de se 
repetirem várias vezes em condições semelhantes. Por exemplo, jogar dados.
• Experimentos aproximadamente aleatórios: são aqueles que, apesar de terem uma tendência 
de ocorrência, não podem ter seus resultados definidos de modo exato pela ciência. Por exemplo: 
investir em ações.
• Espaço amostral ou conjunto universo: conjuntos formados por todos os resultados possíveis 
de um experimento. Por exemplo, o conjunto formado pelos números {1;2;3;4;5 e 6}, resultados 
possíveis de um jogo de dados.
• Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, os números 2; 4 e 6, evento 
“números pares” de um jogo de dados.
148
Unidade II
• Evento simples: aquele formado por um único elemento do espaço amostral. Por exemplo, o 
número 5 num jogo de dados.
• Evento composto: aquele formado por mais de um elemento do espaço amostral. Por exemplo, 
os números 1; 3 e 5, evento “números ímpares” de um jogo de dados.
• Evento complementar: de um evento A qualquer, é o evento B (chamado complementar de 
A), tal que todos os elementos do espaço amostral que não pertençam a A pertençam a B e 
vice-versa. Observar que S = A+B. Por exemplo, o conjunto A = {1,3,5} é complementar ao 
conjunto B = {2,4,6}, num jogo de dados, visto que, ao serem somados, dão origem ao espaço 
amostral S = {1,2,3,4,5,6}. Não falta nem sobra elemento algum.
• Eventos mutuamente exclusivos: suponha dois eventos A e B, no qual a ocorrência de A impede 
a ocorrência de B e vice-versa. Dizemos que eles são mutuamente exclusivos. Por exemplo: num 
jogo de dados, a ocorrência de um número par (2, 4, 6) impede a ocorrência de um número 
ímpar (1, 3, 5), portanto são mutuamente exclusivos. Não confunda eventos complementares com 
eventos mutuamente exclusivos. Todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, 
mas o contrário não é verdade.
• Eventos independentes: dizemos que dois ou mais eventos são independentes quando eles não 
exercem ações recíprocas, comportando-se cada um de maneira que lhe é própria, sem influenciar 
os demais. Por exemplo, o lançamento de duas moedas, simultaneamente.
• Eventos vinculados ou condicionados: são eventos cujo aparecimento de um dependa, isto é, 
seja influenciado pelo aparecimento de outro, do mesmo experimento. Por exemplo, retirada de 
duas cartas de um baralho. Quando você retira a primeira carta, existem 52 cartas no baralho, 
26 vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda carta o baralho, terá apenas 51 cartas 
e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da 
primeira carta. Portanto, o segundo evento está condicionado ao ou vinculado com o primeiro. 
• Evento soma: quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a ocorrência de 
um ou de outro nos interessa, temos o evento soma. Perceba a importância da palavra ou na 
formulação do princípio e da ideia de alternativa. Por exemplo: jogo um dado e quero que saia 
um número par ou um número primo. Os números pares são: {2,4,6} e os números primos são 
{1,2,3,5}. Como me interessam os números pares ou primos, fico satisfeito com a ocorrência 
de qualquer um dos seguintes números {1,2,3,4,5}. Note que esse conjunto é a soma dos dois 
anteriores, descontadas as intersecções (no caso o número 2).
• Evento produto: quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a ocorrência de 
um e simultaneamente do outro nos interessa, temos o evento produto. Perceba a importância 
da palavra e na formulação do princípio, e da ideia de obrigação. Por exemplo: jogo um dado e quero 
que saia um número par e primo. Os números pares são: {2,4,6} e os número primos são {1,2,3,5}. 
Como me interessa que o número seja par e simultaneamente primo, fico satisfeito somente com 
149
ESTATÍSTICA
a ocorrência de número: {2}. Note que esse conjunto é a intersecção dos dois anteriores, ou seja, 
valores que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos.
• Definição de probabilidade matemática: é a razão (divisão) entre o número de elementos do 
evento estudado pelo número de elementos do espaço amostral, ou seja:
( ) ( )( )
n A
P A
n S
=
• Definição de probabilidade estatística: presumindo que um experimento é repetido uma 
quantidade considerável de vezes e seus resultados anotados, definimosprobabilidade de 
ocorrência de eventos daquele experimento como sendo sua frequência relativa:
( ) A1
T
f
P A fr
f
= =
• Axiomas das probabilidades: são verdades a partir das quais se estabelecem os conceitos 
de probabilidades:
― Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, temos:
( )0 P A 1≤ ≤
― A probabilidade do espaço amostral, ou da soma de todos os eventos possíveis é:
( )P S 1=
― Para dois eventos mutuamente exclusivos, temos:
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +
― Se o evento A é complementar de B, então:
( ) ( ) ( ) ( )P A P B 1 ouP A 1 P B+ = = −
• Teorema da soma: se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, a probabilidade da 
ocorrência de A ou B ou ambos é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
150
Unidade II
Exemplo: numa caixa existem dez bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de, 
ao se retirar uma bolinha, ela ser múltiplo de 2 ou de 5?
Espaço amostral: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10
Evento A – múltiplos de 2: A = {2,4,6,8,10) -> n(A) = 5
Evento B – múltiplos de 5: B= {5,10) -> n(B) = 2
Intersecção entre A e B: A ∩ B = {10} -> n(A ∩ B) = 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
n A n B n A B
P A B P A P B P A B
n S n S n S
∩
∪ = + − ∩ = + −
5 2 1
P(A B) 0,60 ou 60%
10 10 10
∪ = + − =
• Teorema do produto para eventos independentes: caso tenhamos dois eventos A e B, que 
não sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer um resultado que pertença 
simultaneamente aos dois eventos é dada por:
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×
Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.
Exemplo: temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades: 
Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. Total: 55 bolinhas.
Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Total: 60 bolinhas.
Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a probabilidade de que ambas as bolinhas retiradas 
sejam azuis?
Caixa A: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: ( ) 10P Azul
55
=
Caixa B: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: ( ) 20P Azul
60
=
Probabilidade de ambas serem azuis: 
151
ESTATÍSTICA
( ) ( ) ( ) 10 20 200P Azul Azul P Urna A; bolinha azul P Urna B; bolinha azul
55 60 3.300
∩ = × = × =
( )P Azul Azul 0,0606 ou 6,06%∩ =
• Teorema do produto para eventos vinculados: a probabilidade de ocorrência simultânea de 
dois eventos A e B vinculados é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela 
probabilidade condicional do outro evento:
( ) ( ) ( )BP A B P A P A∩ = ×
O símbolo ( )BP , A lê-se probabilidade de ocorrência do evento B tendo ocorrido o evento A, é a 
chamada probabilidade condicional. Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.
Exemplo: retiramos sem reposição três caras de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade que 
as três sejam vermelhas:
Probabilidade de a primeira carta ser vermelha: ( ) 26P vermelha
52
= 
Probabilidade de a segunda carta ser vermelha: ( ) 25P vermelha
51
=
Probabilidade de a terceira carta ser vermelha: ( ) 24P vermelha
50
=
Probabilidade de as três serem vermelhas (V):
( ) ( ) ( ) ( )P V V V P 1ª carta V P 2ª carta V /1 ª carta V P 3ª carta V / 2ª carta V∩ ∩ = × ×
( ) 26 25 24 26 25 24 15.600P V V V 0,1176 ou 11,76%
52 51 50 52 51 50 132.600
× ×∩ ∩ = × × = = =
× ×
Exemplo de aplicação
A empresa XPTO opera em uma de suas plantas com três linhas de produção com níveis 
tecnológicos diferentes, apesar de produzirem exatamente o mesmo produto. A tabela a seguir 
reproduz a participação na produção total de cada uma das linhas e a respectiva taxa de produtos 
defeituosos produzidos.
152
Unidade II
Tabela 68 
Linha de 
produção
Participação na produção 
total da planta
Índice de defeitos da 
linha de produção
A 30% 1,0%
B 25% 1,5%
C 45% 2.0%
A produção das três linhas vai para o mesmo armazém de produtos acabados e fica misturada.
Em dado momento uma unidade do produto produzido ao acaso é retirado e inspecionado e verifica-se 
que ele é defeituoso. Qual a probabilidade de que ele tenha sido produzido por cada uma das máquinas?
Resolução
Perceba que estamos diante de um evento condicionado. Para a máquina A, a probabilidade 
seria calculada por:
( ) ( ) ( )AP A d P d P d∩ = ×
Onde: 
( )P A d probabilidade de o produto ter sido feito pela máquina A e ser defeituoso∩ =
( )P d probabilidade de o produto ser defeituoso=
( )AP probabilidade de o produto, sendo defeituoso, ter sido feito na máquina Ad =
Como desejamos saber a probabilidade de o produto defeituoso ter sido feito na máquina A, devemos 
preparar a fórmula:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
P A dA AP A d P d P Pd d P d
∩
∩ = × → =
( ) 0,30 0,01AP 0,1905 ou1 9,05%d 0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02
×= =
× + × + ×
De modo semelhante:
( ) 0,25 0,015BP 0,2381 ou 23,81%d 0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02
×= =
× + × + ×
( ) 0,45 0,02AP 0,5714 ou 57,14%d 0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02
×= =
× + × + ×
153
ESTATÍSTICA
 Resumo
Conceituar, entender e saber calcular probabilidades é vital para a 
utilização da estimação estatística e de seus componentes. Raramente em 
estatística teremos, acerca do futuro ou de grandes populações, uma certeza 
absoluta. Nossas induções serão sempre prováveis, e isso não significa um 
palpite aleatório, e sim fruto de conceitos bem estudados.
O termo provável se consubstancializa em termos de margem de erro. 
A margem de erro é uma tolerância em torno do valor provável de uma 
ocorrência. Imagine que estejamos estudando o valor do salário mínimo 
daqui a dez anos. É possível determinar um valor, digamos, de R$ 2.000,00. 
Evidentemente isso não é uma certeza, é uma probabilidade. 
Deveríamos dizer, portanto, que o valor provável para o salário mínimo 
daqui a dez anos será de R$ 2.000,00. Mas não é dessa forma que iremos 
nos expressar. Em estatística diríamos que o salário mínimo no Brasil daqui 
a dez anos será de R$ 2.000,00 mais ou menos, com 95% de certeza. 
Esses valores não são meros palpites, são decorrência de estudos 
principalmente envolvendo a teoria das probabilidades e os cálculos do 
desvio padrão, além é claro do tamanho da amostra da pesquisa realizada.
O conhecimento da Teoria das Probabilidades nos permitirá determinar e 
usar modelos matemáticos que prevejam situações futuras ou envolvendo 
grandes conjuntos de valores. É o que nos permitirá determinar a expectativa 
de vida de uma determinada população para cálculos atuariais ou então o 
crescimento da população brasileira no intervalo entre dois censos.
Apesar de não nos conduzir a resultados exatos, o conceito de probabilidade 
nos permite tomadas de decisão com elevado grau de confiança, como vimos 
e nos aprofundaremos a seguir.
154
Unidade II
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2017) Considere uma urna com cinco bolas azuis, três verdes e seis pretas, da 
qual serão retiradas bolas sem reposição. Com base nessa situação, avalie as afirmativas a seguir.
I – Caso sejam retiradas quatro bolas, uma delas será verde.
II – O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para se garantir a retirada de uma bola 
preta é igual a 9.
III – O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para se garantir a retirada de uma bola verde 
e uma bola azul é igual a 10.
É correto o que se afirma em:
A) II, apenas.
B) III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa incorreta.
Justificativa: temos o total de 14 bolas, sendo cinco azuis, três verdes e seis pretas. Se retirarmos 
quatro bolas aleatoriamente, podemos obter, por exemplo, quatro bolas azuis ou quatro bolas pretas, 
entre outras combinações. Não há, portanto, a obrigatoriedade de uma dessas quatro bolas ser verde.
II – Afirmativa correta.
Justificativa: se desejamos 100% de certeza de tirar uma bola preta, devemos considerar a pior 
hipótese: tiramos primeiro as bolas verdes e azuis, para apenas, então, tirarmos as bolaspretas. Nesse 
caso, temos cinco bolas azuis e três verdes, totalizando oito bolas “tiradas”, para, então, tirarmos a 
primeira bola preta. Logo, precisamos tirar nove bolas para garantir que uma seja preta. 
155
ESTATÍSTICA
III – Afirmativa incorreta.
Justificativa: se desejamos 100% de certeza de obter uma bola verde, devemos considerar 
novamente a pior hipótese: tiramos as primeiras bolas azuis e pretas, sem nenhuma verde, e apenas 
então tiramos as bolas verdes. Nesse caso, temos cinco bolas azuis e seis pretas, totalizando 11 bolas 
“tiradas”, e apenas a 12ª bola seria verde. Precisamos, então, tirar 12 bolas para garantir a retirada 
de uma bola verde.
É interessante adicionar que, se tirarmos seis bolas pretas e três bolas verdes, teremos tirado o total 
de nove bolas, sem nenhuma azul. Assim, para garantirmos a retirada de uma bola azul, necessitamos da 
retirada de dez bolas. Para garantirmos a retirada de uma bola verde, necessitamos da retirada 
de 12 bolas. Como 12>10, garantimos, com 12 retiradas, a retirada de uma bola azul e de uma 
bola verde.
Questão 2. (Enade 2017) Seis estudantes se inscreveram para um campeonato escolar de xadrez: 
três meninas (das quais duas são irmãs gêmeas) e três meninos. Na primeira rodada serão formadas 
as três duplas de adversários por sorteio da seguinte forma: o primeiro jogador é sorteado entre os 
seis participantes; o segundo é sorteado entre os cinco restantes; o terceiro entre os quatro restantes; 
o quarto, entre os três restantes; a primeira dupla é formada pelo primeiro e segundo sorteados; a 
segunda dupla é formada pelo terceiro e quarto sorteados; a terceira dupla é formada pelos dois últimos 
que não foram sorteados.
Considerando essas condições a respeito da formação das duplas de adversários na primeira rodada 
do campeonato, avalie as afirmativas:
I – A probabilidade de as gêmeas se enfrentarem é de 1/15.
II – A probabilidade de a primeira dupla sorteada ser de meninos é de 1/5.
III – A probabilidade de a primeira dupla sorteada ser composta por uma menina e um menino é de 3/5.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa D.
156
Unidade II
Análise das afirmativas
Temos seis crianças, sendo três meninos e três meninas e, entre essas três meninas, duas meninas 
são gêmeas.
I – Afirmativa incorreta.
Justificativa: calculamos primeiramente a probabilidade de serem sorteadas as gêmeas na primeira 
dupla. No primeiro sorteio, temos dois sucessos (sorteio de uma das gêmeas) entre seis tentativas 
(número total de crianças), ou seja, 1 gêmea
2 1
P
6 3°
= =
A probabilidade de ser sorteada a outra gêmea no segundo sorteio, no qual temos apenas um sucesso 
restante em cinco tentativas, é 2 gêmea
1
P
5°
=
Como precisamos que esses dois casos ocorram, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, a 
probabilidade de serem sorteadas as duas gêmeas nos dois primeiros sorteios é 
1 gêmea e 2 gêmea
1 1 1
P .
3 5 15° °
= =
As gêmeas também se enfrentariam se fossem sorteadas nos terceiro e quarto sorteios. A probabilidade 
de não ser sorteada uma das gêmeas no primeiro sorteio é o complementar da probabilidade de uma 
delas ser sorteada, ou seja, 1 não gêmea
2 6 2 4 2
P 1
6 6 6 6 3°
   = − = − = =      
Calculamos, da mesma forma, a probabilidade de não ser sorteada uma gêmea no segundo sorteio, 
dado que nenhuma gêmea tenha sido sorteada no primeiro sorteio. Nesse caso, temos dois sucessos em 
cinco possibilidades. Logo, 2 não gêmea
2 5 2 3
P 1
5 5 5 5°
   = − = − =      
Calculamos a probabilidade de ser sorteada uma das gêmeas no terceiro sorteio, dado que nenhuma 
gêmea tenha sido sorteada no primeiro sorteio. Nesse caso, temos dois sucessos em quatro 
possibilidades. Logo, 3 gêmea
2 1
P
4 2°
= =
Calculamos a probabilidade de ser sorteada a outra gêmea no quarto sorteio, dado que uma delas 
tenha sido sorteada anteriormente. Nesse caso, temos um sucesso em três possibilidades. Logo, 
4 gêmea
1
P
3°
=
157
ESTATÍSTICA
Todas essas condições devem ocorrer para termos as gêmeas no terceiro e quarto sorteios. Logo, 
devemos multiplicar as probabilidades, e ficamos com 3 gêmea e 4 gêmea
2 3 2 1 12 1
P . . .
3 5 4 3 15.12 15° °
= = =
Chegamos à mesma probabilidade de serem sorteadas as gêmeas na primeira e na segunda tentativas.
Resta calcularmos a probabilidade de serem sorteadas as gêmeas nos dois últimos sorteios. 
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na primeira tentativa é igual à probabilidade do 
caso anterior. Logo, 1 não gêmea
2 6 2 4 2
P 1
6 6 6 6 3°
   = − = − = =      
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na segunda tentativa é 
2 não gêmea
2 5 2 3
P 1
5 5 5 5°
   = − = − =      
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na terceira tentativa é 
3 não gêmea
2 4 2 2 1
P 1
4 4 4 4 2°
   = − = − = =      
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na quarta tentativa é 
4 não gêmea
2 3 2 1
P 1
3 3 3 3°
   = − = − =      
Dessa forma, temos as gêmeas sorteadas nas duas últimas tentativas.
Como todas as condições devem ser satisfeitas, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, 
 5 gêmea e 6 gêmea
2 3 1 1 6 1
P . . .
3 5 2 3 15.6 15° °
= = =
Como o que é pedido é satisfeito sorteando-se as gêmeas ou nas duas primeiras posições, ou na terceira 
e na quarta posições, ou nas duas últimas posições, devemos somar as probabilidades desses eventos. 
Logo, a probabilidade de as gêmeas se enfrentarem é confronto de gêmeas
1 1 1 3 1
P
15 15 15 15 5
= + + = =
II – Afirmativa correta.
Justificativa: a probabilidade de ser sorteado um menino na primeira tentativa é dada pela razão do 
número de sucessos pelo número de possibilidades. Logo, 
1 menino
3
P
6°
=
A probabilidade de ser sorteado um menino na segunda tentativa é calculada da mesma forma, mas 
temos apenas dois meninos para serem sorteados em cinco crianças restantes. Logo, 2 menino
2
P
5°
=
158
Unidade II
Como queremos que o primeiro sorteado seja um menino e que o segundo sorteado também seja 
um menino, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, 1 menino e 2 menino
3 2 6 1
P .
6 5 30 5° °
= = =
III – Afirmativa correta.
Justificativa: a probabilidade de ser sorteada uma menina na primeira tentativa é dada pela razão do 
número de sucessos pelo número de possibilidades, ou seja, 1 menina
3
P
6°
= 
A probabilidade de ser sorteado um menino na segunda tentativa é calculada da mesma forma, mas 
temos três meninos para serem sorteados em cinco crianças restantes. Logo, 2 menino
3
P
5°
=
Como queremos que a primeira criança sorteada seja uma menina e que o segundo sorteado seja 
um menino, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, 1 menina e 2 menino
3 3 9 3
P .
6 5 30 10° °
= = =
Precisamos calcular a probabilidade de a dupla ser sorteada de forma invertida, ou seja, antes o 
menino e depois a menina. A probabilidade de ser sorteado um menino na primeira tentativa, com três 
meninos entre seis crianças, é 1 menino
3
P
6°
= . A probabilidade de a segunda criança sorteada ser uma 
menina, com três meninas entre as cinco crianças restantes, é 2 menina
3
P
5°
= . A probabilidade de ser 
sorteado um menino e, em seguida, de ser sorteada uma menina é dada pelo produto dessas duas 
probabilidades. Logo, 1 menino e 2 menina
3 3 9 3
P .
6 5 30 10° °
= = =
Vemos que as probabilidades são as mesmas, independentemente da ordem obtida.
Como o primeiro caso ou o segundo caso atende ao solicitado, precisamos somar as duas 
probabilidades. Logo, menino e menina na 1 dupla
3 3 6 3
P
10 10 10 5°
= + = =