Probabilidade e Estatística

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2013
Probabilidade e estatística
Prof.ª Ana Luisa Fantini Schmitt
Copyright © UNIASSELVI 2013
Elaboração:
Prof.ª Ana Luisa Fantini Schmitt
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
519
 S355p Schmitt, Ana Luisa Fantini
 Probabilidade e estatística / Ana Luisa Fantini Schmitt. Indaial : 
Uniasselvi, 2013.
 200 p. : il 
 ISBN 978-85-7830- 676-2
 Estatística.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
III
aPresentação
Olá, acadêmico, bem-vindo à disciplina de Probabilidade e Estatística!
Nesta disciplina, você estudará duas importantes vertentes da 
matemática, a teoria das probabilidades e a inferência estatística.
Na teoria das probabilidades, você estudará as experiências aleatórias, 
ou seja, situações em que é possível apresentar o resultado antecipadamente. 
Você terá a oportunidade de perfazer o caminho desde as principais técnicas 
de contagem até os principais conceitos da teoria das probabilidades.
Na inferência estatística, você estudará os processos de estimação e os 
testes de hipóteses, finalizando com as inferências estatísticas que auxiliam na 
tomada de decisão. Você terá a oportunidade de, matematicamente, analisar 
situações e identificar soluções, baseado em erros predeterminados e em 
consulta a tabelas que facilitam o processo de resolução dos testes de hipóteses.
Dedique-se ao estudo desta disciplina e entenda que estes conceitos 
são essenciais na formação do futuro professor de Matemática.
Para facilitar o seu estudo, o Livro Didático de Probabilidade e 
Estatística foi dividido em três unidades: na Unidade 1, você fará o estudo 
da Análise Combinatória e Probabilidades; na Unidade 2, você conhecerá as 
Variáveis Aleatórias e as Distribuições Discretas e Contínuas de Probabilidade 
e, na Unidade 3, você compreenderá a Estimação e a Inferência Estatística. 
Espero que este livro o conduza aos conhecimentos da probabilidade e 
da estatística, auxiliando-o na tomada de decisões e nas reflexões sobre o estudo. 
	 Prof.ª	Ana	Luisa	Fantini	Schmitt
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 – COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES ........................1
TÓPICO 1 – COMBINATÓRIA ..............................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM............................................................................4
3 FATORIAL ................................................................................................................................................7
4 PERMUTAÇÃO ..................................................................................................................................... 10
4.1 QUANTIDADE DE PERMUTAÇÕES .......................................................................................... 11
4.1.1 Permutações com elementos diferentes ............................................................................... 11
4.1.2 Permutações com elementos repetidos ................................................................................ 14
5 COMBINAÇÕES E ARRANJOS ........................................................................................................ 15
5.1 COMBINAÇÕES .............................................................................................................................. 15
5.2 ARRANJOS ....................................................................................................................................... 16
5.3 QUANTIDADE DE ARRANJOS ................................................................................................... 17
5.4 QUANTIDADE DE COMBINAÇÕES .......................................................................................... 19
6 BINÔMIO DE NEWTON .................................................................................................................... 20
6.1 O BINÔMIO DE NEWTON (X + A)n ............................................................................................. 20
6.2 TRIÂNGULO DE PASCAL ............................................................................................................ 21
6.3 DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON (x + a)n ................................................. 23
6.4 FÓRMULA DO TERMO GERAL .................................................................................................. 24
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 28
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 30
TÓPICO 2 – PROBABILIDADE ............................................................................................................ 33
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 33
2 ESPAÇO AMOSTRAL ......................................................................................................................... 34
3 EVENTO ................................................................................................................................................. 35
4 PROBABILIDADE ................................................................................................................................ 36
5 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS ............................................................................. 38
6 PROBABILIDADE CONDICIONADA ............................................................................................ 42
7 TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO .................................................................................................. 44
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 48
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 49
TÓPICO 3 – TEOREMA DE BAYES .....................................................................................................51
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 51
2 TEOREMA DE BAYES ......................................................................................................................... 52
3 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DO TEOREMA DE BAYES ........................................................ 53
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 58
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 60
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 61
sumário
VIII
TÓPICO 4 – COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE NO ENSINO ............................................ 63
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 63
2 ALGUNS EXEMPLOS DE ATIVIDADES JÁ REALIZADAS DE COMBINATÓRIA ............ 65
2.1 ATIVIDADE 1: OS SINAIS DE TRÂNSITO E AS CORES .......................................................... 65
2.2 ATIVIDADE 2: SALADA DE FRUTAS ......................................................................................... 70
2.3 CONSIDERAÇÕES DOS ESTUDANTES SOBRE AS ATIVIDADES ....................................... 74
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................ 75
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 76
UNIDADE 2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ........ 77
TÓPICO 1 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................................................................................ 79
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 79
2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ................................................................................................................ 79
2.1 DISCRETAS....................................................................................................................................... 80
2.2 CONTÍNUAS .................................................................................................................................... 81
3 FUNÇÃO PARA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE .......................................................... 81
3.1 ACUMULADA ................................................................................................................................. 84
3.2 CONTÍNUA ...................................................................................................................................... 86
4 ESPERANÇA.......................................................................................................................................... 87
5 VARIÂNCIA .......................................................................................................................................... 88
6 DESVIO PADRÃO ............................................................................................................................... 88
7 EXEMPLOS DA ASSOCIAÇAO ENTRE VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO ........................ 89
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 91
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 92
TÓPICO 2 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS ............ 95
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 95
2 DISTRIBUIÇÕES DE BERNOULLI E BINOMIAL........................................................................ 95
3 DISTRIBUIÇAO DE POISSON ......................................................................................................... 99
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................102
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................111
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................112
TÓPICO 3 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS .......115
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................115
2 NORMAL .............................................................................................................................................115
2.1 TABELA Z .......................................................................................................................................117
2.2 ALGUNS EXEMPLOS ...................................................................................................................122
3 OUTROS TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO ...........................................................................................125
3.1 DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO ...........................................................................................125
3.1.1 Qui-quadrado com (n – 1) graus de liberdade .................................................................126
3.2 DISTRIBUIÇÃO T–STUDENT .....................................................................................................128
3.3 DISTRIBUIÇÃO F ..........................................................................................................................130
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................132
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133
UNIDADE 3 – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: ESTIMAÇÃO E TESTES DE HIPÓTESES .....135
TÓPICO 1 – PROCESSO DE ESTIMAÇÃO .....................................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 MÉDIA ..................................................................................................................................................138
IX
3 VARIÂNCIA ........................................................................................................................................139
3.1 DESVIO PADRÃO .........................................................................................................................140
4 PROPORÇÃO ......................................................................................................................................141
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................142
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................143
TÓPICO 2 – TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA,VARIÂNCIA E PROPORÇÃO...........145
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................145
2 HIPÓTESES .........................................................................................................................................145
3 ERROS DO TIPO I E II ......................................................................................................................1463.1 ERRO DO TIPO I (α) .....................................................................................................................147
3.2 ERRO DO TIPO II (β) ....................................................................................................................147
4 EXEMPLOS DE TESTES DE HIPÓTESES .....................................................................................148
4.1 TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA QUANDO O σ (DESVIO PADRÃO DA 
 POPULAÇÃO) É CONHECIDO .................................................................................................150
4.1.1 Teste de hipóteses para a média quando o σ (desvio padrão da população) é 
desconhecido .........................................................................................................................153
4.2 TESTE DE HIPÓTESES PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL σ2 ..................................154
4.3 TESTE DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL p .................................156
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................158
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................159
TÓPICO 3 – TESTES DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS E GRAU
 DE DEPENDÊNCIA .......................................................................................................161
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................161
2 TESTE T DE STUDENT PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS .................................................161
2.1 PARA DADOS PAREADOS .........................................................................................................162
2.2 PARA DADOS NÃO PAREADOS ..............................................................................................164
3 TESTE DE INDEPENDÊNCIA .........................................................................................................170
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................174
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................188
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................189
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................191
APÊNDICES ............................................................................................................................................193
X
1
UNIDADE 1
COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E 
TEOREMA DE BAYES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• compreender os conceitos e definições de combinatória e probabilidade;
• entender a aplicação do Teorema de Bayes;
• considerar possíveis aplicações de combinatória e probabilidade no ensino.
Esta primeira unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada 
tópico, você encontrará atividades que possibilitarão a apropriação de 
conhecimentos na área.
TÓPICO 1 – COMBINATÓRIA
TÓPICO 2 – PROBABILIDADE
TÓPICO 3 – TEOREMA DE BAYES
TÓPICO 4 – COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE NO ENSINO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
COMBINATÓRIA
1 INTRODUÇÃO
A combinatória é a parte da Matemática em que são estudadas as 
técnicas de contagens de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de 
um dado conjunto.
Por convenção, neste livro, será utilizada apenas a palavra combinatória para 
tratar dos conceitos, definições e ideias da Análise Combinatória.
UNI
Basicamente são dois tipos de agrupamentos que podem ser formados: 
o primeiro tipo leva em consideração a ordem dos elementos dentro do 
agrupamento, já o segundo tipo não leva em consideração a ordem dos elementos. 
Por exemplo, se você quiser contar quantas placas de automóveis podem 
ser feitas, constituídas por três letras seguidas de quatro números, deverá sempre 
levar em conta a ordem das letras e dos números.
são placas diferentes.
Placa 1
ALS 1987 e
Placa 2
SLA 9178
são jogos iguais.
Jogo 1
47, 13, 22, 23, 07 e
Jogo 2
22, 47, 13, 07, 23
Mas, se você quiser contar quantas quinas são possíveis de serem sorteadas 
na loteria, veja que a ordem dos números que compõem o bilhete não importa.
Por exemplo:
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
4
Os dois exemplos citados servem também para mostrar que é importante 
existir uma técnica de contagem indireta, em que você não precise escrever um 
por um os elementos de um agrupamento e depois contá-los. Além disso, fazer 
uma contagem “manual” pode levar a um erro por omissão ou por repetição de 
algum elemento ou agrupamento.
Os conceitos, definições e ideias de combinatória que você estudará nesta 
primeira parte da Unidade 1 são aplicados em diversos campos de atividade. 
Mais adiante você verá que são aplicáveis na Teoria das Probabilidades e no 
desenvolvimento do Binômio de Newton.
Você estudará neste primeiro tópico conceitos, definições e ideias do 
Princípio Fundamental da Contagem, do Fatorial, da Permutação, do Arranjo e 
da Combinação. Para iniciar, a seguir, conheça um pouco mais sobre o Princípio 
Fundamental da Contagem.
2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Talvez você se reconheça na condição de ter que ir a uma cidade qualquer 
e, como caminho possível, ter que passar por algumas cidades e ter que escolher 
passar em algumas estradas. Dependendo de sua região, quem sabe até faça isto 
para chegar ao seu polo presencial de estudo, não é mesmo? Imagine então a 
seguinte situação:
Exemplo 1
Você trabalha no município de Indaial (IND) e precisava passar pelo 
município de Blumenau para chegar ao município de Gaspar (GSP), local em 
que reside. Para chegar a Blumenau (BLU) há duas opções de estradas (BR-470 e 
Estrada Velha) e para ir de Blumenau a Gaspar existem três opções de estradas 
(BR-470, Rua Itajaí e Estrada Gaspar Alto). 
INDAIAL
BLUMENAU
GASPAR
Estrada Velha
BR-470
BR-470
Rua Itajaí
Estrada Gaspar Alto
Sendo assim, para ir de Indaial a Gaspar você pode optar por um entre 
seis caminhos. Veja o esquema a seguir:
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
5
Estrada Gaspar Alto
Estrada Gaspar Alto
Estrada Velha
Estrada Velha
Estrada Velha
BR-470
BR-470
BR-470 BR-470
BR-470
Rua Itajaí
Rua Itajaí
IND
IND
IND
IND
IND
IND BLU
BLU
BLU
BLU
BLU
BLU GSP
GSP
GSP
GSP
GSP
GSP
Você também pode representar estes caminhos num esquema como o 
seguinte, que pode ser chamado de árvore de possibilidades:
Veja aqui a representação
das três estradas que ligam
Blumenau a Gaspar.
Veja aqui a representação das
duas estradas que ligam Indaial
a Blumenau.
BLU BLU
IND
GSP GSP GSP GSP GSP GSP
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
6
Com base nos esquemas anteriores, você pode perceber que a ida de Indaial 
a Gaspar se dá em duas etapas: a primeira, de Indaial a Blumenau, pode ser realizada 
de duas maneiras, e para cada uma delas a segunda etapa, de Blumenau a Gaspar, 
pode ser realizada de três maneiras. Sendo assim, a realização das duas etapas pode 
ser feita de 2 · 3 modos, que correspondem a seis caminhos de Indaial a Gaspar.
Baseado no exemplo descrito, você pode compreender facilmente a 
definição do Princípio Fundamental da Contagem:
Princípio Fundamental da Contagem: se uma ação é composta de duas 
etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada 
um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos de 
realizar a ação é m·n. Este princípio pode ser generalizado para ações compostas 
por mais de duas etapas.
Para ressaltar este princípioveja mais um exemplo comum no seu 
cotidiano.
Exemplo 2
Imagine-se tendo que escolher o que vestir diariamente para ir trabalhar, 
por exemplo. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir se houver no 
seu guarda-roupa exatamente sete blusas, quatro calças e dois pares de sapatos?
Esta situação de escolher um conjunto calça-blusa-sapato pode ser 
interpretada como uma ação composta por três ações sucessivas, ou seja, primeiro 
escolher a calça, depois a blusa e, por fim, o sapato. A primeira pode ser realizada 
de sete modos diferentes, e, para cada um destes, a segunda pode ser realizada de 
quatro modos e, para cada um destes, a terceira pode ser realizada de dois modos. 
Então, pelo princípio fundamental da contagem há 7·4·2 modos de realizar 
a ação, ou seja, há 56 opções diferentes de se vestir com o que você tem no guarda-
roupa, sem repetir nenhuma vez o conjunto.
Para exercitar, você pode montar a árvore de possibilidades para o 
exemplo anterior. 
Outra sugestão é acrescentar mais um tipo de roupa para montar o 
conjunto. Que tal pensar se você tivesse que escolher também entre três casacos? 
Será que suas opções aumentariam?
AUTOATIVIDADE
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
7
Ei, que tal você exercitar um pouco mais o que aprendeu até aqui? Veja a seguir 
a questão de múltipla escolha que estava no EXAME NACIONAL DE CURSOS 1998 
(questão 20) – atual ENADE – do curso de Licenciatura em Matemática. 
Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 
0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a 
senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é:
Como resolver a questão para obter este resultado?
Você pode utilizar a ideia do Princípio Fundamental da Contagem 
organizando as opções da seguinte maneira:
• Primeiro dígito: 10 opções, pois você pode utilizar qualquer número de 0 a 9.
• Segundo dígito: 9 opções, pois você já utilizou um número na primeira casa, 
restam os outros nove.
• Terceiro dígito: 9 opções, você pode voltar a utilizar o primeiro número, mas 
não poderá utilizar o número da segunda casa, o que implica nove opções. 
• Quarto dígito: 9 opções, nesta casa, você também tem nove opções, pois pode 
utilizar todos os números com exceção do que utilizou na terceira casa.
Agora, basta multiplicar as opções para cada dígito:
 10 · 9 · 9 · 9
O que resultará em 7.290 opções diferentes de senha.
3 FATORIAL
Indica-se por 6! (leia seis fatorial) o produto dos seis primeiros números 
naturais positivos.
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 logo 6! = 720
Veja outros exemplos:
3! = 3 · 2 · 1 = 6
8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320
Fatorial: dado um número natural qualquer n, sendo n >1 define-se: n! = 
n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1. 
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
8
Nos casos especiais n = 1 e n = 0 define-se 1! = 1 e 0! = 1.
Por serem estas igualdades convenientes para as fórmulas que você 
estudará adiante, note que:
0! = 1
1! = 1 
2! = 2 · 1 = 2
3! = 3 · 2 · 1 = 6
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Veja também que, com números maiores, você pode substituir as 
multiplicações de algumas sequências pelos próprios fatoriais que estas representam:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 · 4! = 5 · 24 = 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6 · 5! = 6 · 120 = 720
7! = 7 · 6! = 7 · 720 = 5.040
8! = 8 · 7! = 8 · 5040 = 40.320
E, com a prática, ficará fácil utilizar esta ideia nas situações que exijam o 
uso do fatorial:
7! = 7 · 6! 
7! = 7 · 6 · 5! 
7! = 7 · 6 · 5 · 4! 
Ao desenvolver um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, você 
pode parar onde for conveniente, indicando os últimos fatores também como notação de 
fatorial. Lembre-se disto, será bastante útil no estudo de Permutação, Arranjo e Combinação!
UNI
Para exercitar, vamos simplificar e calcular os fatoriais a seguir: 
Exemplo 1: 
Lembre-se de que você pode simplificar a fração desenvolvendo o fatorial 
maior até chegar ao menor! Neste caso existe o 9! em cima e o 7! embaixo. A 
melhor solução é desenvolver o 9! de cima até que possa simplificá-lo com o 7! de 
baixo, restando a multiplicação do nove pelo oito em cima:
9!
7!
9 · 8 · 7! = 9 · 8 = 72 7!
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
9
Exemplo 2: 
Já neste caso existe uma forma algébrica de fatorial, em que há o (n-2)! 
em cima e o n! embaixo. Assim como no exemplo numérico, neste caso a melhor 
solução é desenvolver o n! de baixo até que se possa simplificá-lo com o (n-2)! de 
cima, restando a multiplicação do n pelo (n-1) embaixo:
Exemplo 3: 
Este é outro exemplo de uma forma algébrica de fatorial, em que há o (n+3)! 
em cima e o n! embaixo. Da mesma maneira, como no exemplo anterior, neste caso, 
a melhor solução é desenvolver o (n+3)! de cima até que se possa simplificá-lo com 
o n! de baixo, restando a multiplicação do (n+3) · (n+2) · (n+1) em cima:
Exemplo 4: (n–2!= 
Este último exemplo apresenta uma equação com fatorial. Por causa da 
existência dos fatoriais na equação devemos ter n natural e n ≥ 1.
O primeiro passo é resolver a equação normalmente, sem pensar nos 
fatoriais:
(n –2)!
n!
(n+1)!
20
(n–2)! (n 2)! 1
n · (n–1) · (n–2)!
= =
n! n · (n 1)
(n+3)! 
n! 
(n+3)!
n! = =n! 1
(n+3) · (n+2) · (n+1) · n! =(n+3) · (n+2) · (n+1)(n+3) · (n+2) · (n+1)
 , realizando a multiplicação em ‘X’ e tornando a dividir, 
temos a mesma equação escrita de outra maneira:
(n–2)!= (n+1)!
20 (n+1)!
20(n–1)!
Do mesmo modo, como nos exemplos anteriores, a melhor solução é 
desenvolver o (n+1)! de cima até que se possa simplificá-lo com o (n-1)! de baixo, 
restando a multiplicação do (n+1) · (n) em cima:
(n · 1)! =20
(n+1) · (n) · (n–1)!
Neste momento a equação está resumida a: (n+1)·(n) = 20. Resolvendo a 
multiplicação algébrica obtém-se: n2 + n – 20 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara chega-se às raízes n1 = -5 e n2 = 4. Como 
não se pode aceitar n menores ou iguais a 1, o resultado da equação é apenas 4. 
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
10
A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver equações de segundo grau. Sem 
rigor matemático, sua definição é dada por
UNI
x=
2·a
-b±√b2 - 4·a·c em que a (a deve ser diferente
de zero) é o valor que acompanha x2, b é o valor que acompanha x e c é o valor que aparece 
sozinho na equação.
4 PERMUTAÇÃO
Com as letras x, y e z você pode formar as seguintes sucessões: (x, y, z); (x, 
z, y); (y, z, x); (y, x, z); (z, x, y); (z, y, z). Cada uma dessas seis sucessões é chamada 
uma permutação das três letras.
Permutação: denomina-se permutação de n elementos dados a toda 
sucessão de n termos formada com os n elementos dados.
Duas permutações dos mesmos objetos são diferentes se a ordem dos 
objetos numa delas é diferente da ordem em que os objetos estão colocados na 
outra, conforme o exemplo inicial. As permutações são representadas usando 
parênteses e separando os termos por vírgula ou ponto e vírgula (como sucessões). 
É por meio de permutações que são feitos os anagramas das palavras. 
Se você quiser formar os anagramas do seu nome, basta permutar as letras da 
palavra até que se esgotem as possibilidades, independente se a palavra formada 
tenha ou não significado. Veja os exemplos a seguir.
 
Exemplo 1: LEO
Os anagramas para o nome LEO são: LEO, LOE, ELO, EOL, OLE, OEL.
Exemplo 2: ANA
Os anagramas para o nome ANA são: ANA, AAN, NAA, NAA, ANA, AAN. 
Perceba que neste exemplo há repetição de uma das letras, o A, por isso optou-
se por diferenciar cada um, sendo o primeiro em itálico e o segundo sublinhado. 
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
11
Mais adiante, você verá um exemplo em que se leva em conta a repetição da 
letra A, ocasionando apenas três anagramas (ANA, AAN e NAA).
UNI
Exemplo 3: NEAD
Os anagramas para a palavra NEAD são: NEAD, NEDA, NADE, NAED, 
NDAE, NDEA, ENDA, ENAD, EDAN, EDNA, EAND, EADN, ADNE, ADEN, 
AEDN, AEND, ANDE, ANED, DENA, DEAN, DAEN, DANE, DNEA, DNAE.
Perceba também que ao aumentar a palavrade que se deseja formar os 
anagramas, mais trabalhoso fica fazer isso sem uma regra ou fórmula. Imagine 
fazer, da mesma maneira como nos exemplos, os anagramas da palavra 
MATEMÁTICA, seria trabalhoso e demorado!
4.1 QUANTIDADE DE PERMUTAÇÕES
Nas aplicações, geralmente, você está interessado na quantidade de 
permutações que podem ser feitas com determinados elementos. Para determinar 
o número de permutações, não é necessário que você faça uma por uma e depois 
conte, afinal, às vezes isto é inviável!
A seguir, você vai identificar a diferença entre permutações com elementos 
diferentes e permutações com elementos repetidos.
4.1.1 Permutações com elementos diferentes
Para iniciar, pense em quantas permutações podem ser formadas com as 
vogais a, e, i, o e u. Você poderia resolver fazendo o mesmo procedimento dos 
anagramas, mas daria certo trabalho. 
Pense que para formar uma destas permutações você deve fazer uma ação 
que é composta de cinco etapas sucessivas:
( __ , __ , __ , __ , __ ) cada espaço separado por vírgula representa uma etapa.
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
1ª etapa: você deve escolher a 1ª vogal da permutação. Ela pode ser a ou e 
ou i ou o ou u, sendo assim, há cinco possibilidades para esta etapa.
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
12
2ª etapa: você deve escolher a 2ª vogal. Para cada possibilidade da 1ª 
etapa, há quatro possibilidades na 2ª etapa, pois uma das vogais já foi utilizada. 
Por exemplo, se você escolheu na 1ª etapa a vogal i, então a 2ª letra poderá ser a 
ou e ou o ou u.
3ª etapa: você faz a escolha da 3ª vogal. Agora, para cada par de 
possibilidades da etapa anterior, há três possibilidades na 3ª etapa, pois duas das 
vogais já foram utilizadas. Por exemplo, se você escolheu nas outras etapas as 
vogais i e a, então a 3ª letra poderá ser e ou o ou u.
4ª etapa: você deve escolher a 4ª vogal. Aqui haverá duas possibilidades, 
pois três das vogais já foram utilizadas. Por exemplo, se você escolheu 
anteriormente as vogais i e a e u, então a 4ª letra poderá ser e ou o.
5ª etapa: você deve escolher a 5ª e última vogal. Nesta última etapa haverá 
apenas uma possibilidade, pois as outras quatro vogais já foram utilizadas. Por 
exemplo, se você escolheu anteriormente as vogais i e a e u e e, então a 4ª letra 
somente poderá ser o.
Neste caso, a permutação do exemplo anterior pode ser identificada pela 
quantidade de possibilidades em cada etapa:
Permutação ( ___ , ___ , ___ , ___ , ___ )
Possibilidades 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120
Visualizando o esquema anterior, você deve lembrar-se do Princípio 
Fundamental da Contagem e também do Fatorial, certo? Por isso foi indicada a importância 
das duas definições nos itens anteriores, afinal são essenciais em Análise Combinatória!
UNI
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, concluímos que podemos formar 
5 · 4 · 3 · 2 · 1 permutações diferentes, isto é, existem 120 permutações diferentes das 
cinco vogais a, e, i, o e u (ou de quaisquer outros cinco elementos ou objetos).
O número de permutações de cinco elementos diferentes é indicado por P5. 
Sendo assim:
P5 = 5! = 120
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
13
Se você quiser generalizar o exemplo acima para qualquer número de 
permutações de n elementos distintos, tem-se:
Pn = n!
 
Agora fica fácil responder a quantidade de anagramas possíveis da 
palavra BRASIL. Basta contar o número de letras da palavra, neste caso seis letras, 
e resolver a permutação de seis elementos, representada por P6.
P6 = 6! = 720
Outra situação deste tipo de permutação com elementos diferentes pode 
ser visto no exemplo a seguir:
Exemplo 1: Com os algarismos 2, 4, 5, 6 e 7 quantos números ímpares de 
4 algarismos distintos podemos escrever?
Primeiro lembre-se de que para formar um número ímpar você deve 
levar em consideração que o algarismo da unidade, ou seja, o último da direita 
deve ser ímpar. Neste exemplo, o número a ser formado deve obrigatoriamente 
terminar em 5 ou 7.
Permutação
Possibilidades
veja que para o algarismo
das unidades há apenas duas
possibilidades.
( ___, ___, ___, ___ , ___ )
4 · 3 · 2 · 1 · 2
Para cada uma destas possibilidades, os outros cinco algarismos que 
restarem poderão ser permutados nas outras cinco casas. Como são algarismos 
distintos, a quantidade de números ímpares que você poderá formar é:
2 · P4 = 2 · 4! = 2 · 24 = 48
Eis aqui uma dica. Para você resolver exercícios como este é sempre necessário 
fazer o esquema que representa a situação e suas possibilidades, prestando atenção às 
restrições, como a do exemplo anterior em que o número deveria ser ímpar.
UNI
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
14
4.1.2 Permutações com elementos repetidos
Há casos de permutações em que se considera a repetição dos elementos. 
Os anagramas para o nome ANA são um exemplo.
Se você levar em consideração a repetição da letra A, haverá apenas três 
permutações: 
ANA, AAN e NAA
Mas, se, como no exemplo 2 da seção 4 (PERMUTAÇÃO), você considerar 
cada A do nome ANA como uma letra distinta (A e A), haverá seis permutações:
ANA, AAN, NAA, NAA, ANA, AAN
Perceba que neste exemplo há repetição de uma das letras, o A, por isso optou-
se por diferenciar cada um, sendo o primeiro em itálico e o segundo sublinhado. 
Você já sabia que o número de permutações de três elementos diferentes 
é P3 = 3! = 6. Mas, se você tiver entre os três elementos dois que repetem, este 
número fica dividido por 2!. Isto ocorre porque 2! é o número de permutações dos 
dois elementos se eles forem considerados distintos. Sendo assim, o número de 
permutações de três elementos sendo dois deles repetidos é dado por P32:
3! 362! 2= = =3P
2
Outro exemplo de permutação com elementos repetidos é o cálculo de 
anagramas da palavra UNIASSELVI. Veja que as letras S e I se repetem duas 
vezes cada uma na palavra. Se não fosse levada em consideração a repetição 
destas letras, e houvesse S e S e I e I, por exemplo, você teria uma permutação de 
10 letras, ou seja, P10 = 10! = 3 628 800. 
Considerando a repetição das letras S e I na palavra UNIASSELVI, tem-se:
2!·2!
10!= = = 90720010P2,2 2·1·2!
10·9·8·7·6·5·4·3·2!
Analisando o exemplo dos anagramas da palavra UNIASSELVI, levando 
em consideração se é com e sem repetição, tem-se uma diferença de 3.628.800 
permutações no primeiro caso e 907.200 no segundo.
Generalizando estas situações, quando há n elementos dos quais n1 são 
repetidos de um tipo, n2 são repetidos de outro tipo, n3 são repetidos de outro tipo, 
e assim por diante, o número de permutações que podemos formar é dado por:
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
15
P = (n1 + n2 + n3 + ... nk = n)n
n1, n2, n3, ... nk
n1!n2!n3!...nk!
n!
É importante sempre estar atento(a) ao enunciado de um problema para 
detectar qual tipo de cálculo é necessário para obter o resultado correto. No caso das 
permutações, analise a situação para saber se deve ou não levar em consideração a repetição 
dos elementos.
UNI
5 COMBINAÇÕES E ARRANJOS
Combinações e arranjos também são parte do estudo de Combinatória. 
Neste livro, optou-se por apresentá-los no mesmo momento, apontando 
peculiaridades, diferenças e semelhanças entre os dois tipos de cálculo.
5.1 COMBINAÇÕES
Suponha que no local em que você trabalha, numa escola por exemplo, o 
diretor resolveu sortear entre os professores mais assíduos do semestre dois prêmios 
iguais, dois notebooks. Imagine então que os quatro professores (Jairo, Cristiane, 
Débora e Emília) foram os mais assíduos do semestre e que o diretor deve decidir 
quais dois receberão os notebooks. As duplas de ganhadores podem ser:
Jairo e Cristiane ou Jairo e Débora ou Jairo e Emília ou
Cristiane e Débora ou Cristiane e Emília ou Débora e Emília.
Cada uma destas possibilidades é um agrupamento dos quatro professores 
tomados dois a dois. Em cada um destes agrupamentos, a ordem em que forem 
citados não importa, pois se o diretor der os notebooks ao Jairo e à Cristiane é o 
mesmo que seder os prêmios à Cristiane e ao Jairo. 
 
Ou seja, quando você agrupar elementos de modo que em cada 
agrupamento não importe a ordem dos elementos, estes agrupamentos são 
chamados de combinações. Matematicamente, as combinações são conjuntos 
em que os elementos são escolhidos entre os elementos dados. 
Combinação: denominam-se combinações de n elementos distintos 
tomados k a k os conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre 
os n elementos dados.
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
16
No exemplo dado, considerando os elementos Jairo, Cristiane, Débora e 
Emília, você pode escrever as combinações destes elementos tomados dois a dois:
{Jairo e Cristiane}, {Jairo e Débora}, {Jairo e Emília},
{Cristiane e Débora}, {Cristiane e Emília}, {Débora e Emília}.
Veja que duas combinações são diferentes apenas quando têm elementos 
diferentes. As combinações são representadas utilizando chaves e os elementos 
são separados por vírgula ou ponto e vírgula, assim como conjuntos.
5.2 ARRANJOS
Considere a mesma situação anterior, porém imagine que o diretor tenha 
dois prêmios diferentes para dar para os professores mais assíduos do semestre, 
um tablet e um netbook e que o primeiro professor sorteado receba o tablet e o 
segundo professor sorteado receba o netbook.
Se os professores sorteados fossem Jairo e Cristiane, nessa ordem, Jairo 
receberia o tablet e Cristiane, o netbook. Mas, se os sorteados fossem Cristiane e 
Jairo, nesta ordem, Cristiane receberia o tablet e Jairo, o netbook. 
Esta é uma situação em que os agrupamentos Jairo e Cristiane e Cristiane e 
Jairo são considerados agrupamentos diferentes. Portanto, ao citar o agrupamento, 
importa a ordem em que os elementos estão.
Ou seja, quando você agrupar elementos de modo que em cada agrupamento 
importa a ordem dos elementos, estes agrupamentos são denominados arranjos. 
Em linguagem matemática, os arranjos são sucessões cujos termos são escolhidos 
entre os elementos dados.
Arranjo: denominam-se combinações de n elementos distintos 
tomados k a k as sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os 
n elementos dados.
No exemplo dado, considerando os elementos Jairo, Cristiane, Débora e 
Emília, você pode escrever os arranjos destes elementos tomados dois a dois:
(Jairo e Cristiane), (Jairo e Débora), (Jairo e Emília),
(Cristiane e Débora), (Cristiane e Emília), (Cristiane e Jairo),
(Débora e Jairo), (Débora e Cristiane), (Débora e Emília),
(Emília e Cristiane), (Emília e Débora), (Emília e Jairo).
Veja que dois arranjos são diferentes se tiverem elementos diferentes, ou 
se tiverem os mesmos elementos, porém em ordens diferentes. Os arranjos são 
representados colocando os elementos entre parênteses, como sucessões. 
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
17
Você percebeu a diferença quando a ordem dos elementos importa e 
quando ela não importa? Essa é a principal diferença entre arranjos e combinações.
Faça um rápido exercício, considere os números 3, 5 e 7. Agora forme as 
combinações e os arranjos possíveis com estes elementos, tomados dois a dois. 
Se você ainda ficou com dúvidas, revise o conteúdo até aqui para, em 
seguida, prosseguir.
AUTOATIVIDADE
5.3 QUANTIDADE DE ARRANJOS
O número de arranjos de n elementos tomados k a k pode ser representado 
pelo símbolo An,k (ou pelo símbolo Ank ).
Para determinar a quantidade de arranjos imagine que você precisa 
formar um deles, ou seja, formar uma sucessão de k termos escolhidos entre os n 
elementos dados:
( 1° , 2° , 3° , ..., k° )
O 1º termo pode ser qualquer um dos n elementos dados; há então n 
possibilidades para ele.
Para cada uma destas possibilidades, o 2º termo do arranjo poderá ser 
qualquer um dos (n – 1) elementos restantes, excluído aquele já escolhido. Há, 
portanto, (n – 1) possibilidades para o 2º termo.
Para cada par de elementos já escolhidos, o 3º termo poderá ser qualquer 
um dos (n – 2) elementos restantes. Há então (n – 2) possibilidades para o 3º 
termo. E assim por diante.
Arranjo: 
n n–1 n–2 n–(k–1)
( 1° , 2° , 3° , ..., k° )
↓ ↓ ↓ ↓
Possibilidades: 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, você pode concluir que a 
quantidade de arranjos que podem ser formados é:
Aa, k = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · (n – (k – 1)) 
produto de k fatores
Exemplo 1: Quantos são os arranjos de 6 elementos (n), tomados 3 a 3 (k)?
A6,3 = 6 · 5 · 4 = 120
produto de 3 fatores
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
18
Exemplo 2: Quantos são os arranjos de 10 elementos (n), tomados 4 a 4 (k)?
A10,4 = 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040
produto de 4 fatores
Observe que, em A10,4 = 10 · 9 · 8 · 7, multiplicando e dividindo o segundo 
membro por 6!:
6!
10.9.8.7.6! A10,4 =
(10 – 4)!
10!A10,4 = A10,4 =
(n-k)!
n(n-1).n(n-2)...(n-(k-1)).(n-k)!A10,4 =
(n-k)!
n!An,k =
Então, 
Em An,k = n (n – 1) · n (n – 2) ... (n – (k – 1)), multiplicando e dividindo o 
segundo membro por (n – k)!, tem-se:
Logo, 
em que n é o número de elementos e k o número de maneiras de arranjo dos 
elementos (k a k).
Exemplo 3: Dez diretores de uma empresa são candidatos aos cargos de 
presidente e vice-presidente. Quantos são os possíveis resultados da eleição?
Temos n = 10 e k = 2, aplicando-se a fórmula de arranjo:
(10-2)! 8! 8!
10! 10! 10.9.8!A10,2 = = = = 90
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
19
5.4 QUANTIDADE DE COMBINAÇÕES
O número de combinações de n elementos tomados k a k pode ser 
representado pelo símbolo Cn,k (ou pelo símbolo Cnk).
Você deve lembrar que para determinar esta quantidade de combinações 
com k elementos 
a1, a2, a3, ..., ak 
devem-se obter k! permutações:
(a1, a2, a3, ... , ak), (a1, a2, a3, ... , ak), (a1, a2, a3, ... , ak) etc.
Sendo assim, a partir de uma combinação você pode obter k! arranjos dos 
n elementos tomados k a k. Então o número de combinações é igual ao número de 
arranjos dividido por k!:
K!
An,kCn,k =
k!(n–k)!
n!Cn,k =
Logo,
em que n é o número de elementos e k o número de maneiras de combinação 
dos elementos (k a k).
Exemplo 1: Quantas são as combinações de 6 elementos (n) tomados 2 a 2 (k)?
2!(6–2)! 2.1.4!2!4!
6! 6.5.4!6!Cn,k = = = = 15
Exemplo 2: Numa sessão em que estão presentes 18 deputados, 4 serão 
escolhidos para uma comissão que vai estudar um projeto do governo. De quantos 
modos diferentes poderá ser formada a comissão?
Dos 18 deputados, você deve escolher 4 para formar a comissão. 
Imagine que uma comissão possível seja formada pelos deputados A, B, C e D. 
Veja que a ordem em que estão os deputados não importa, uma vez que se você 
se referir à comissão como C, D, A e B estará se referindo à mesma comissão. 
Isto significa que cada possível comissão corresponde a uma combinação dos 
18 deputados (n) tomados 4 a 4 (k). 
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
20
Então o número de modos de formar a comissão é:
4!(18–4)! 4.3.2.1.14!4!14!
18! 18.17.16.15.14!18!C18,4 = = = = 15
Antes de passar para o próximo tópico, olhe só a questão que estava no ENADE 
2005 (questão 12) do curso de Licenciatura em Matemática. 
Um restaurante do tipo self-service oferece 3 opções de entrada, 5 de prato principal e 4 
de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refeição com exatamente 
1 entrada, 2 pratos principais e 2 sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse 
cliente poderá compor a sua refeição?
Tente você resolver esta situação! A dica é montar o esquema de possibilidades 
de acordo com a quantidade de entradas, pratos principais e sobremesas que o 
cliente vai comer. Saiba que a resposta é 180.
AUTOATIVIDADE
6 BINÔMIO DE NEWTON
Todo o estudo de Combinatória que você realizou até o momento servirá 
para que você obtenha o desenvolvimento do Binômio de Newton, identificado 
como (x + a)n, onde x ϵ R, a ϵ R e n ϵ N. Você também estudará propriedades 
sobre os coeficientes desse desenvolvimento, o número de combinações de n 
elementos tomados k a k, 0 ≤ k ≤ n.
6.1 O BINÔMIODE NEWTON (X + A)n
Como você viu anteriormente, o número de combinações de n elementos 
tomados k a k é também indicado por Cn,k ou . nk
Assim, se tem:
onde n ϵ N, k ϵ N e 0 ≤ k ≤ nk!(n–k)!
n!Cn,k =
Exemplo 1:
Exemplo 2:
C6,2 = = = = 152!(6–2)! 2!(4)! 2.1.4!
6! 6! 6.5.4!
C9,6 = = = = 846!(9–6)! 6!(3)! 6!.3.2.1
9 9! 9.8.7.6!
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
21
n
k
n
k
Há alguns casos particulares para k = 0, k = 1 e k = n. Veja a seguir:
.
ATENCAO
a) Para k = 0 tem-se Cn,0 = 1 ou seja,0!(n)! = 1
n! sendo assim, Cn,0 = 1, para qualquer n ϵ N.
b) Para k = 1 tem-se Cn,1 = n ou seja, 1!(n–1)! 1(n–1)!= = n
n! n.(n–1)!
n!(n–n)! n!(0)!= = 1
n! n!
sendo assim, Cn,1 = n,
para qualquer n ϵ N*.
c) Para k = n tem-se Cn,n = n ou seja, sendo assim, Cn,n = 1, para
qualquer n ϵ N.
Veja alguns exemplos:
C7,0 = 1 (pelo caso a)
C7,1 = 7 (pelo caso b)
C7,7 = 1 (pelo caso c)
C0,0 = 1 (pelo caso c)
6.2 TRIÂNGULO DE PASCAL
Os números podem ser organizados em linhas e colunas, em formato 
de triângulo, de uma maneira que em cada linha fiquem os de mesmo ‘numerador’ 
n e em cada coluna fiquem os de mesmo ‘denominador’ k. Esta disposição dos 
números é o Triângulo de Pascal.
Lembre-se novamente de que podem ser utilizadas as duas formas de 
identificação para combinação C
n,k
 ou
UNI
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
22
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
5
6
7
8
6
7
8
7
8 8
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
7
7 8
Substituindo pelo valor de cada combinação, o triângulo pode ser 
visualizado assim:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Observe algumas particularidades do Triângulo de Pascal:
a) Cada linha inicia e termina em 1.
b) Ao somar dois elementos consecutivos de uma linha, você obtém o elemento 
situado abaixo do segundo elemento somado. Por exemplo, observe as linhas 
5 e 6 do Triângulo:
1 4 + 6 4 1
1 5 10 10 5 1
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
23
n n n n...
0 1 2 n
n
k
Observe outras linhas e encontre esta particularidade do Triângulo de 
Pascal.
6.3 DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON (x + a)n
Observe o desenvolvimento de (x + a)n para alguns valores de n (n ϵ N):
Para n = 0, (x + a)0 = 1
Para n = 1, (x + a)1 = 1x + 1a
Para n = 2, (x + a)2 = 1x2 + 2xa + 1a2
Para n = 3, (x + a)3 = 1x3 + 3x2a + 3xa2 + 1a3
Veja que os coeficientes formam o Triângulo de Pascal e que em cada linha 
os expoentes de x decrescem e os de a crescem.
Exercite agora mesmo. Desenvolva (x + a)n para n = 4 e para n = 5.
AUTOATIVIDADE
Isto sugere que em (x + a)n os coeficientes são os da linha de numerador n 
do Triân gulo de Pascal: 
n n
1 2(x + a)
n = xn + xn-1a + xn-2a2 + ... + an
Observação:
 
Por serem os coeficientes do desenvolvimento do Binômio de Newton (x 
+ a)n, os números são denominados coeficientes binominais. 
Para exercitar o desenvolvimento do Binômio de Newton, que tal 
desenvolver (x + 2)4? Para isso, tome os coeficientes da linha de "numerador" 4 do 
Triângulo de Pascal: 
1 4 6 4 1 
Obtém-se então, pelo desenvolvimento do Binômio de Newton, veja que 
enquanto as potências de x decrescem, os de 2 aumentam.
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
24
(x + 2)4 = 1 · x4 · 20 + 4 · x3 · 21 + 6 · x2 · 22 + 4 · x1 · 23 + 1 · x0 · 24 
(x + 2)4 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 
Já para desenvolver (x - 2)4 aplica-se o mesmo método, porém lembre-se 
de que x - 2 = x + (- 2), logo: 
(x - 2)4 = 1 · x4 · (-2)0 + 4 · x3 · (- 2)1 + 6 · x2 · (- 2)2 + 4 · x1 · (- 2)3 + 1 · x0 · (- 2)4 
(x - 2)4 = x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16 
Sendo assim, você sempre deverá olhar para a linha do “numerador” do 
Triângulo de Pascal que corresponde ao n do Binômio de Newton (x + a)n, pois 
serão os coeficientes do desenvolvimento do Binômio de Newton. 
Em seguida, multiplicando pelos coeficientes, encontrados a partir do 
Triângulo de Pascal, deverão se dispor os dois termos (x e a), lembrando que a 
potência do primeiro termo decresce, enquanto a do segundo termo cresce.
Observe novamente o desenvolvimento de (x + 2)4.
Tem-se n = 4, então na linha 4 do Triângulo de Pascal, os coeficientes são:
1 4 6 4 1
Então o desenvolvimento de (x + 2)4 fica assim:
(x + 2)4 = 1 · x4 · 20 + 4 · x3 · 21 + 6 · x2 · 22 + 4 · x1 · 23 + 1 · x0 · 24 
O que resulta em:
(x + 2)4 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16
6.4 FÓRMULA DO TERMO GERAL
Quando desenvolvemos (x + a)n segundo potências decrescentes de x, 
obtemos um polinômio cujos termos são:
Primeiro termo: xn que é igual a xn–0a0
Segundo termo: xn–1a1
Terceiro termo: xn–2a2
Quarto termo: xn–3a3
Último termo: an que é igual a xn–nan
n
0
n
1
n
2
n
n
n
n
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
25
xn–kak onde k ϵ N e 0 ≤ k ≤ nTk+1 =
n
n
T = x8–k3k8k
Sexto termo ⇒ k = 5 ⇒ T = x8–535 = x3 · 243 = 13608x385
8!
5!3!
A fórmula para obter um termo qualquer T do desenvolvimento de (x + a)n é: 
Observe que: 
a) para k = 0, T é o primeiro termo;
 para k = 1, T é o segundo termo;
 para k = 2, T é o terceiro termo;
 para k = 3, T é o quarto termo.
Conclua com isso que para k = n, T é o termo de ordem (n + 1), que é o 
último termo.
b) No desenvolvimento de (x + a)n há n + 1 termos.
c) Em cada termo o expoente de x somado ao expoente de a é igual a n.
Exemplo 1: No desenvolvimento de (x + 3)8, há 9 termos, pois n = 8. 
Lembre-se de que o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 9. Sendo assim, o 
Termo Geral é dado por: 
Lembre que n é igual a 8 e que o expoente de x somado ao expoente de 3, 
que é k, deve resultar em 8. 
Que tal, para exercitar, obter o sexto termo? Para obter o sexto termo (n = 
6), considere k = 5, pois k = n – 1.
E se fosse necessário obter o quarto termo? Vamos lá, pratique e desenvolva!
Relembrando! Parta do princípio de que no desenvolvimento de (x + 3)8 
há 9 termos e que o termo geral é dado por:
T = x8–k3k8
k
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
26
Como você quer saber o quarto termo (n = 4):
Quarto termo ⇒ k = 3 ⇒ T = x8–333 = x5 · 27 = 1512x583
8!
3! 5!
Sendo assim, o quarto termo de (x + 3)8 é 1512x5.
A partir do exemplo 1 (x + 3)8 você calculou o quarto termo e o sexto 
termo. Mas, e se fosse necessário desenvolvê-lo aplicando o que você estudou 
sobre desenvolvimento do Binômio de Newton? 
1° passo: Relembre o Binômio de Newton (x + a)n e o assemelhe com o 
exemplo (x + 3)8, assim você tem a = 3 e n = 8.
2° passo: A partir do Triângulo de Pascal, encontre a linha de numerador 
n, ou seja, a linha de numerador 8.
1 8 28 56 70 56 28 8 1
3° passo: Pelo desenvolvimento do Binômio de Newton, lembre que enquanto 
as potências de x (primeiro termo) decrescem, as de 3 (segundo termo) aumentam.
(x + 3)8 = 1.x8.30 + 8.x7.31 + 28.x6.32 + 56.x5.33 + 70.x4.34 + 56.x3.35 + 28.x2.36 + 
8.x1.37 +1.x0.38
(x + 3)8 = x8 + 24x7 + 252x6 + 1512x5 + 5670x4 + 13608 x3 + 20412 x2 + 17496x + 6561
Viu como é simples? Basta seguir os passos indicados para desenvolver 
o Binômio de Newton. Aliás, com o desenvolvimento do Binômio de Newton a 
partir do exemplo 1, você pode constatar e conferir que os valores para o quarto e 
o sexto termo estavam corretos, de acordo com a resolução apresentada. 
Agora, acadêmico(a), é com você! 
Faça o mesmo procedimento do exemplo 1, só que utilize (x - 5)6. A sugestão 
é que você encontre o terceiro e o quinto termos e desenvolva utilizando o 
Binômio de Newton. Lembre-se dos passos a serem seguidos! E outra, lembre-
se de que (x - 5)6 é o mesmo que (x + (- 5))6.
AUTOATIVIDADE
TÓPICO 1 | COMBINATÓRIA
27
Encerramos o Tópico 1 da Unidade 1. Para que você possa aprofundar seus 
estudos, consulte os livros listados a seguir que estão à disposição na biblioteca do seu polo.
MELLO, MargaridaP.; SANTOS, José Plinio O. dos; MURARI, Idani T. C. Introdução à análise 
combinatória. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística. Rio de Janeiro: LCT, 2000.
DICAS
28
Neste tópico, você estudou:
• Princípio Fundamental da Contagem: se uma ação é composta de duas etapas 
sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um 
destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos de 
realizar a ação é m·n. Este princípio pode ser generalizado para ações compostas 
de mais de duas etapas.
• Fatorial: dado um número natural qualquer n, sendo n >1 define-se: n! = n · (n-
1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1. Nos casos especiais n = 1 e n = 0 define-se 1! = 1 e 0! = 1.
• Permutação: denomina-se permutação de n elementos dados a toda sucessão 
de n termos formada com os n elementos dados.
RESUMO DO TÓPICO 1
n1! n2! n3!...nk!
n!
nPn1, n2 , n3, ... nk = (n1 + n2 + n3 + ... + nk = n) quando há n elementos dos
 quais n1 são repetidos de um tipo, n2 são repetidos de outro tipo, n3 são repetidos 
de outro tipo e assim por diante.
• Combinação: denominam-se combinações de n elementos distintos tomados 
k a k os conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n 
elementos dados.
k! (n–k)!
n!Cn,k = em que n é o número de elementos e k o número de maneiras de
combinação dos elementos (k a k).
 Lembre-se de que podem ser utilizadas as duas formas de identificação para 
combinação Cn,k ou .nk
(x + a)n = (x + a)n = xna + xn–1a + xn–2a + ... + an.n n1 1
...n nn n
0 n1 2
• Arranjo: denominam-se combinações de n elementos distintos tomados k a k as 
sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados.
An,k = (n–k)!
n! em que n é o número de elementos e k o número de maneiras de
arranjo dos elementos (k a k).
• Binômio de Newton: no desenvolvimento de (x + a)n os coeficientes formam o 
Triângulo de Pascal.
 Em (x + a)n os coeficientes são os da linha de numerador n do Triân gulo de Pascal:
29
Tk+1 = xn–kak
n
k
 Sempre verifique a linha do “numerador” do Triângulo de Pascal que 
corresponde ao n do Binômio de Newton (x + a)n, pois serão os coeficientes do 
desenvolvimento do Binômio de Newton. 
 Em seguida, multiplique pelos coeficientes, encontrados a partir do Triângulo 
de Pascal, os dois termos (x e a), lembrando que a potência do primeiro termo 
decresce, enquanto a do segundo termo cresce.
• Termo geral: a fórmula para obter um termo qualquer T do desenvolvimento 
de (x + a)n é: 
onde k ϵ N e 0 ≤ k ≤ n.
30
Agora, acadêmico, é a sua vez de exercitar o que aprendeu até aqui! Lembre-
se de que você tem à disposição no “Material de Apoio” do Ambiente Virtual de 
Aprendizagem os gabaritos das autoatividades. Consulte-os sempre que necessário. 
Conte também com a Tutoria Interna do curso de Matemática, que está 
disponível por meio do 0800, contato e atendimento on-line. Bons estudos!
1 Uma fábrica de bicicletas produz três modelos diferentes e para cada um 
deles os clientes podem escolher entre cinco cores e dois tipos de assentos. 
Além disso, opcionalmente, pode ser acrescentado o espelho retrovisor ou o 
assento traseiro ou ambos. Quantos exemplares diferentes de bicicletas você 
pode escolher nesta fábrica? 
2 Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA apresentam as vogais juntas, 
na ordem alfabética? E as vogais juntas, em qualquer ordem? 
3 Com os algarismos ímpares, quantos números de quatro algarismos distintos, 
maiores que 5 319, você pode escrever? 
4 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis 
pode associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem 
ser juntadas porque produzem mistura explosiva? 
5 Na figura a seguir há 9 pontos, entre os quais não há 3 colineares, exceto os 4 
que marcamos numa mesma reta. Quantos triângulos existem com vértices 
nestes pontos? 
6 De uma novela participam 8 atores e 12 atrizes. Para uma cena que será filmada 
na Europa, apenas 6 participantes deverão viajar, sendo 3 atores e 3 atrizes. De 
quantos modos podem ser escolhidos os participantes desta cena? 
7 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 com 
números negativos. De quantos modos podemos escolher 4 etiquetas 
diferentes tais que o produto dos números nelas marcados seja positivo? 
AUTOATIVIDADE
A D
B C
H F
31
8 Na loteria são sorteados 6 números entre os naturais 0, 1, 2, 3, ..., 60. Quantos 
são os resultados possíveis para o sorteio? Quantos são os resultados 
possíveis formados por três números pares e três ímpares? Quantos são os 
resultados possíveis com pelo menos quatro números pares? 
9 Sobre uma mesa estão 4 copos de suco de laranja, 3 de caju e 2 de manga. De 
quantos modos diferentes pode-se distribuí-los entre 9 crianças, dando um 
copo de suco para cada uma? 
10 De quantos modos podemos formar uma sucessão de três números naturais 
(a, b, c), não necessariamente distintos, cuja soma é igual a 10? 
11 0 gráfico da função y = ax + b no plano cartesiano é uma reta. Se a e b são 
números inteiros, 1 ≤ a ≤ 9 e 1 ≤ b ≤ 9, quantas retas podem-se traçar? 
12 Num restaurante, o cardápio oferece escolha entre cinco sopas, três pratos 
principais, quatro sobremesas e seis bebidas. Uma refeição consiste 
obrigatoriamente num prato principal e numa bebida, podendo ser 
acrescidos, opcionalmente, de uma sopa, ou de uma sobremesa, ou de 
ambas. Quantos tipos de refeições, todas diferentes entre si, podem-se fazer?
13 Uma fábrica de automóveis produz três modelos de carros. Para cada um, os 
clientes podem escolher entre sete cores diferentes; três tipos de estofamento, 
que podem vir, seja em cinza, seja em vermelho; dois modelos distintos de 
pneus; e entre vidros brancos, ou vidros verdes. Ademais, opcionalmente 
em um pacote, é possível adquirir os seguintes acessórios: um porta-copos; 
uma de duas marcas de rádio ou um modelo de CD player; um aquecedor de 
bancos; e um câmbio automático. Quantos exemplares de carros distintos 
entre si a fábrica chega a produzir?
14 Deseja-se dispor em fila cinco estudantes para uma apresentação na escola: 
Jairo, Débora, Emília, Cristiane e Rafael. Calcule o número das distintas 
maneiras que elas podem ser dispostas de modo que Cristiane e Rafael 
fiquem sempre vizinhos. 
15 Considere os números obtidos do número 12 345 efetuando-se todas as 
permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem 
crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43 521? 
16 Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, 
podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9. 
17 Uma pessoa faz uma relação de nomes de onze pessoas amigas. Calcule 
de quantas maneiras ela poderá convidar cinco destas pessoas para jantar 
sabendo-se que na relação há um único casal inseparável. 
32
18 Num zoológico há dez animais, dos quais devem ser selecionados cinco 
para ocupar determinada jaula. Se entre eles há dois que devem permanecer 
sempre juntos, encontre o total de maneiras distintas de escolher os cinco 
que vão ocupar tal jaula. 
19 Tomam-se 6 pontos sobre uma reta e 8 pontos sobre uma paralela a esta 
reta. Quantos triângulos existem com vértices nesse conjunto de 14 pontos?
20 A diretoria de uma empresa multinacional é constituída por 7 diretores 
brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses 
podem ser formadas? 
21 Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível 
tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 bolas sejam pretas? 
22 Numa reunião de 20 professores, exatamente 6 lecionam Matemática. Qual 
o número de comissões de 4 professores que podem ser formadas de modo 
que exista no máximo um professor de Matemática na comissão? 
23 Num exame, um professor dispõe de 12 questões que serão entregues 
a três alunos, cada um recebendo quatro questões. Quantas situações 
diferentes teremos? 
24 Qual é o valor do termo médio do desenvolvimento de (2x + 1)8?
25 Determine ocoeficiente de x3 do desenvolvimento de (4x – 5)5.
26 Determine o termo geral do desenvolvimento de (3x + 5)7.
27 Encontre o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 - x)8.
28 Desenvolva (x + 6)5 a partir do Binômio de Newton.
29 Determine o quarto e o sétimo termos de (6 - x)8.
33
TÓPICO 2
PROBABILIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
É comum fazer previsões sobre certos acontecimentos, sobretudo quando 
já se sabe algo anterior a determinado acontecimento. Um jogo de futebol 
disputado entre os times A e B é um exemplo. Você pode se basear no número 
de vitórias de A e prever que, por ter ganhado mais vezes e ter obtido melhores 
resultados do que B, A será vencedor. 
No entanto, existem fenômenos cujo resultado você não poderá prever, 
mesmo que ele se repita inúmeras vezes e nas mesmas condições. Um bom 
exemplo é o lançamento de um dado. Se você jogar um dado honesto (não 
viciado), jamais poderá saber qual será o próximo resultado antes de lançá-lo.
São resultados como estes, imprevisíveis, que são chamados de aleatórios. 
Para Fonseca e Martins (1996), os fenômenos aleatórios levam a diferentes 
resultados: mesmo que se faça o experimento em condições normais e iguais, 
não há como prever o resultado. Não há como prever, mas há como palpitar. 
Justamente para que este palpite possa ser levado em consideração e seja coerente, 
os matemáticos criaram a Teoria das Probabilidades. 
A probabilidade quantifica a chance de alguma resposta para determinado 
fenômeno. Essa quantificação será dada em forma de um número entre 0 e 1, em 
que o 0 representa a resposta impossível, no fenômeno realizado, e o 1, a certeza 
absoluta de que sairá a resposta, na próxima jogada. Um simples exemplo se dá 
no lançamento de uma moeda. A probabilidade de sair cara é de 0,5, pois metade 
das opções da moeda (cara ou coroa) representa a resposta esperada e nenhum 
lado tem vantagem sobre o outro.
Quando se estuda a probabilidade, há dois conceitos importantes a 
serem entendidos, o espaço amostral e o evento, pois eles subsidiarão os cálculos 
iniciais. De certa maneira, a probabilidade é baseada no cálculo da razão entre 
esses dois conceitos.
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
34
2 ESPAÇO AMOSTRAL
O espaço amostral nada mais é do que o conjunto de todas as soluções 
possíveis dentro de um experimento qualquer, chamado S. O número de soluções 
possíveis dentro do espaço amostral é chamado n(S). Compreenda esta definição 
a partir de alguns exemplos:
Exemplo 1: 
Ao lançar um dado de seis faces as soluções possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Sendo assim, determine S e n(S).
S = {1,2,3,4,5,6}, todas as faces possíveis de um dado.
n(S) = 6, pois S possui 6 elementos.
Exemplo 2:
Levando em consideração as vogais do alfabeto, determine S e n(S).
S = {a,e,i,o,u}, ou seja, um conjunto com todas as vogais.
n(S) = 5 porque S possui 5 elementos.
Exemplo 3: 
Considerando os naipes de um baralho, determine S e n(S).
S = {espadas, copas, ouros, paus}.
n(S) = 4.
Nos exemplos apresentados até aqui fica fácil determinar o espaço amostral, 
porém há casos em que o espaço amostral tem uma quantidade de elementos muito grande. 
Em casos como estes será necessário que você utilize as técnicas de contagem estudadas no 
Tópico 1, afinal, para o cálculo de probabilidade, o que interessa é a quantidade de elementos.
UNI
Exemplo 4: 
Se você lançar um dado de seis faces duas vezes, qual será o S e o n(S)?
Lembre-se do Princípio Fundamental da Contagem, pois você tem duas 
etapas com seis maneiras cada uma. Assim, para cada número que sair no primeiro 
lançamento há seis opções de números para o segundo lançamento!
TÓPICO 2 | PROBABILIDADE
35
S = {(1,1), (1,2),...,(2,3),...,(3,4),...,(4,5),...(5,6),...,(6,6)}
n(S) = 36.
Exemplo 5: 
E se você quiser saber o S e o n(S) que resultam do jogo de seis dezenas 
feito na mega-sena?
Lembre-se de que você quer saber quantas combinações simples de 6 
elementos pode formar com os 60 números. Sendo assim, para determinar o n(S), 
basta aplicar a fórmula da combinação: 
C60,6 = = 50036860, ou seja, o n(S) é 50.063.860.6!54!
60!
Para os cálculos de probabilidades o n(S) é utilizado, portanto, não se preocupe 
com o tamanho do espaço amostral, pois, em casos como os do exemplo 5, você não 
precisaria listar as 50.063.860 combinações para determinar o S.
UNI
3 EVENTO
O evento é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, uma parte de 
S. O evento pode ser considerado também o conjunto das respostas esperadas, 
podendo ser representado por uma letra maiúscula (A, B,…, Z). Neste caso, o n(A, 
B,…, Z) identifica o número de respostas esperadas. Compreenda esta definição 
também com base em alguns exemplos:
Exemplo 1:
Suponha que você lançou um dado e quer saber a probabilidade de sair 
um número menor ou igual a três.
As soluções são sair o 1 ou o 2 ou o 3 no lançamento do dado. Então o evento 
pode ser chamado de A = {1,2,3}. Assim, n(A) = 3, pois há 3 elementos no conjunto A.
Exemplo 2:
E se você sortear, ao acaso, entre as 21 consoantes do alfabeto, alguma 
que está na palavra PROBABILIDADE? Veja que na palavra PROBABILIDADE 
O S seria o conjunto com todas as 50.063.860 possibilidades de jogos!
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
36
existem as consoantes p, r, b, l e d. Então, o evento B será sortear, entre as 
consoantes existentes, as consoantes (p, r, b, l, d), logo, B = { p, r, b, l, d } e n(B) = 5.
Exemplo 3:
Você deve obter um número ímpar, entre os números de 2 dígitos distintos, 
que se podem formar com os dez algarismos de 0 a 9.
Para um número ser ímpar, o dígito da unidade deve terminar em 1, 
3, 5, 7 ou 9.
Para calcular pode-se primeiro escolher o dígito da unidade (5 modos) e 
depois escolher o dígito da dezena (5 modos). Assim, se o evento fosse identificado 
como D, n(D) seria 5 · 5 = 25, ou seja, os números ímpares formados. Da mesma 
forma, D seria o conjunto dos 25 números ímpares formados.
4 PROBABILIDADE
A probabilidade é uma função que associa um número real, entre 0 e 1, à 
chance de ocorrência de um evento qualquer A, dentro de um espaço amostral S. 
A probabilidade de ocorrer o evento A é identificada como P(A) e calculada por
n(A)
n(S)P(A) =
onde:
A = conjunto evento
S = conjunto espaço amostral
n(A) = número de elementos do conjunto A
n(S) = número de elementos do conjunto S
P(A) = probabilidade de ocorrer A.
Existem algumas propriedades relacionadas à probabilidade de A, 
listadas a seguir:
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1
Se A é subconjunto de S, pode-se afirmar que n(A) ≤ n(S), o que implica 
que P(A) é um número entre 0 e 1.
ii) P(S) = 1
Se então P(S) = 1.
P(A) = = = 0
n(S)
n(S)
P(S) =
iii) Se A = 0 então P(A) = 0
Se A = 0, tem-se n(A) = 0, com isso n(A)n(S)
0
n(S)
TÓPICO 2 | PROBABILIDADE
37
+ = = = 1
iv) P(A) + P(A) = 1, onde A é o conjunto “não A”, chamado de 
complementar de A.
Veja que, se S é o universo, então os subconjuntos A obecederão à 
propriedade: n(A) + n(A) = n(S).
Então: P(A) + P(A) = n(A)n(S)
n(A)
n(S)
n(S)
n(S)
n(A) + n(A)
n(S)
Compreenda detalhadamente por meio dos exemplos a seguir:
Exemplo 1:
Determine a probabilidade de sortear, ao acaso, uma carta de copas de um 
baralho comum.
Solução:
A = sair carta de copas 
A = {copas}
S = todos os possíveis naipes de um baralho 
S= {copas, espadas, ouros, paus}
n(A) = 1
n(S) = 4
n(A) 1
n(S) 4P(A) = = = 0,25
Um baralho comum tem 52 cartas, divididas em 4 naipes (espadas, copas, ouros 
e paus) e cada naipe possui 13 cartas (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A).
NOTA
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
38
Exemplo 2:
Qual é a probabilidade de a face que cair voltada para cima ser um número 
menor ou igual a três, no lançamento de um dado de seis faces?
Solução:
B = sair, no dado, as faces 1 ou 2 ou 3 = {1,2,3}
S = as faces de um dado = {1,2,3,4,5,6}
n(B) = 3
n(S) = 6
n(B) 3 1
n(S) 6 2P(B) = = = = 0,5
n(C) 2 1
n(S) 26 13P(C) = = = = 0,0769
Exemplo 3:
Qual é a probabilidade,ao sortear uma letra do alfabeto, de esta ser uma 
vogal a ou i?
Solução:
C = sortearmos uma vogal = {a, i }
S = o alfabeto completo = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
n(C) = 2
n(S) = 26
5 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS
A união de eventos pode ser caracterizada de duas maneiras, pois existem 
eventos mutuamente exclusivos e eventos não mutuamente exclusivos. Observe 
o esquema a seguir que representa esta diferença:
A AB B
Não mutuamente exclusivo
A∩B	≠	Ø
Mutuamente exclusivo
A∩B	≠	Ø
A∩B
TÓPICO 2 | PROBABILIDADE
39
Para identificar se o evento é mutuamente exclusivo ou não mutuamente 
exclusivo, basta identificar a intersecção entre os eventos. A diferença é que a 
intersecção pode existir ou não. Resumindo, eventos não mutuamente exclusivos 
têm intersecção existente, já os mutuamente exclusivos não têm intersecção 
existente, sendo representada pelo conjunto vazio. Segundo Machado (1986), 
quando A e B são eventos mutuamente exclusivos, A∩B = conjunto vazio, a 
ocorrência de um deles não implica a não ocorrência do outro.
Exemplo 1: Evento mutuamente exclusivo
Considerando um baralho completo (52 cartas), vejamos a probabilidade 
de sair uma dama ou um rei.
Eventos: 
A = sair dama. 
n(A) = 4
B = sair rei. 
n(B) = 4
A∩B = conjunto vazio, pois não há carta que é, ao mesmo tempo, dama e rei.
Exemplo 2: Evento não mutuamente exclusivo
Considerando um baralho completo (52 cartas), vejamos a probabilidade 
de sair uma carta de paus ou uma dama.
Eventos: 
A = sair qualquer carta de paus. 
n(A) = 13
B = sair qualquer dama. 
n(B) = 4
A∩B = damas de paus 
n(A∩B) = 1, pois existe uma dama de paus no baralho comum.
Agora, pense o que acontece na união entre os eventos A e B nos dois 
exemplos anteriores. Primeiramente, analisaremos o caso do exemplo 1, no qual 
a intersecção entre A e B é vazia.
Unindo os eventos A e B (damas ou reis), qual é o total de cartas diferentes? 
A resposta é 8 cartas, 4 damas e 4 reis. Então, você pode pensar que o número de 
elementos da união desses dois conjuntos é a soma do número de elementos de 
cada conjunto: n (A U B) = n (A) + n (B).
Assim, pela demonstração, a probabilidade de sair uma dama ou um rei, 
ao retirar-se uma carta de um baralho normal, será:
n(A∪B) n(A) n(B)
n(S) n(S) n(S)P(A∪B) = = = P(A) + P(B)+
Ou seja, P(A U B) = P(A) + P(B).
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
40
Analisando o exemplo 2, perceba que o conceito acima tem que ser 
ajustado, porque, unindo os eventos A e B (paus e dama), dá um total de 16 cartas, 
mas, se fizer n(A) + n(B), dará 17.
Parece que está errado? Mas não está! Está correto! Veja bem, como a 
intersecção no caso acima é vazia, omitiu-se sua interferência no cálculo. Porém, 
no exemplo 2, como a intersecção existe, acaba interferindo.
Em relação aos conjuntos não mutuamente exclusivos temos n (A U B) = 
n (A) + n (B) – n (A U B).
Pela demonstração a seguir, a probabilidade entre conjuntos não 
mutuamente exclusivos é:
P(A) + P(A) + P(B) – P(A∪B)
n(S) n(S) n(S) n(S)n(S)
n(A∪B) n(A) n(B) n(A∩B)n(A) + n(B) – n(A∩B)P(A∪B) = P(A∪B) == = + =–
Resumindo, a probabilidade da união entre dois eventos A e B será:
P(A U B) = P(A) + P(B) quando A e B são mutuamente exclusivos.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) quando A e B são não mutuamente 
exclusivos.
Exemplo 3:
Numa urna, há 10 bolas verdes, 8 azuis e 4 brancas. Qual é a probabilidade 
de uma bola azul ou branca ser retirada, ao acaso?
Solução:
A = sair bola azul. 
n(A) = 10, pois há 10 bolas desta cor na urna.
B = sair bola branca. 
n(B) = 4, pois há 4 bolas desta cor na urna.
S = todas as bolas da urna. 
n(S) = 22, pois há 10 verdes, 8 azuis e 4 brancas.
A∩B = bola branca e azul ao mesmo tempo. 
n(A∩B) = 0, pois não há bola assim na urna.
Como a intersecção é vazia, os eventos são mutuamente exclusivos. Então, 
a probabilidade de sair bola azul ou branca é dada pela união dos eventos A e B.
10 4 14 7
22 22 22 22P(A∪B) = P(A) + P(B) = + = = = 0,6364
TÓPICO 2 | PROBABILIDADE
41
Exemplo 4:
Numa empresa há 150 funcionários. Foi ofertada a possibilidade da 
prática de esportes uma vez por semana nas quadras da empresa. Entre as várias 
opções de esportes que cada funcionário pôde escolher, 80 escolheram futebol 
e 25 escolheram basquete. Sabe-se que 10 desses funcionários praticam os dois 
esportes. Qual a probabilidade de sortear, ao acaso, um funcionário dessa empresa 
que pratica basquete ou futebol?
Solução:
A = pratica futebol · n(A) = 80.
B = pratica basquete · n(B) = 25.
A ∩ B = pratica basquete e futebol · n(A ∩ B) = 10.
S = todos os funcionários da empresa. 
n(S) = 150.
Como a intersecção não é vazia, temos um caso de eventos não mutuamente 
exclusivos. Com isso, a probabilidade da união dos eventos A com B será:
150 150 150 150
80 25 10 95P(A) + P(B) – P(A∩B) = + = = 0,6334–
Se na pergunta do exercício de probabilidade aparecer a conjunção OU 
entre os eventos, como nos exemplos anteriores, você deverá calcular a união entre os 
eventos envolvidos.
UNI
UNIDADE 1 | COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E TEOREMA DE BAYES
42
6 PROBABILIDADE CONDICIONADA
Mas, e se você quiser calcular a probabilidade de ocorrerem eventos 
seguidos? Por exemplo, se você jogar mais de uma vez um dado? Como você 
vai calcular a probabilidade? Nesses tipos de problemas, em que os eventos são 
repetidos algumas vezes, podem existir casos com reposição ou casos sem reposição. 
Acompanhe esta diferença e o cálculo para estes casos nos exemplos a seguir.
Exemplo 1:
Considere um lote de 200 peças, no qual 190 são perfeitas e 10 têm defeitos. 
Qual a probabilidade de retirar, ao acaso, duas peças com defeito desse lote?
A = retirar a primeira peça com defeito
B = retirar a segunda peça com defeito
Com reposição:
Você tira a primeira peça, devolve-a ao lote novamente antes de tirar a 
segunda peça. Observe que e a peça tirada é reposta no n(A) 10
n(S) 200
P(A) = = = 0,05
n(B) 10
n(S) 200
P(B) = = = 0,05lote 
Sem reposição:
A primeira peça retirada do lote não participa do sorteio para a retirada da 
segunda peça. Sendo assim, P(A) não muda, ou seja, P(A) = 0,05. Mas, como a peça 
retirada não é reposta, restam 9 peças defeituosas de um total de 199 peças, então:
n(B) 9
n(S) 199P(B) = = ≅ 0,045.
De um baralho de 52 cartas, foram retiradas, aleatoriamente e sem 
reposição, duas cartas. Sabendo que a primeira carta retirada é de espadas, qual é 
a probabilidade de a segunda carta ser uma dama vermelha?
Neste caso, a segunda probabilidade (B) é influenciada pela ocorrência da 
primeira (A), o que caracteriza uma probabilidade condicionada, chamada P(B/A) 
(lê-se: probabilidade de B se ocorreu o evento A).
Para calcular P(B/A), basta saber que você está calculando P(B) em relação 
ao espaço amostral A, e não ao espaço amostral S. 
Suponha que ocorreu o evento A, ou seja, já foi feita a primeira etapa 
do processo (foi retirada uma carta de espadas). Como você vai calcular a 
probabilidade de ocorrer B, sendo que já ocorreu A, ou seja, P(B/A)? 
TÓPICO 2 | PROBABILIDADE
43
Basta imaginar que o espaço amostral é o conjunto A e que a única maneira 
de ocorrer elementos de B no conjunto A é na intersecção dos dois. Então:
n(A∩B) n(S)
n(A)
n(A∩B)
n(A∩B)
n(S)
n(A) n(A)P(B/A) = = =
n(A∩B)
n(A)
Ou seja: P(B/A) =
Analisando a situação do exemplo tem-se que P(B/A) =
Para chegar ao resultado, usando a fórmula P(B/A) = , tem-se:
1
13
n(A∩B)
n(A)
B: sair dama vermelha (na segunda retirada).
A: sair carta de espadas (na primeira carta).
n(S) = 52
n(A) = 13 
P(A) = 13/52
n(A∩B) = 1 
P(A∩B) = 1/52
52
1313
52
1
1P(B/A) = =
Exemplo:
Em um grupo de 40 estudantes do Ensino Médio existem as seguintes 
características:
IDADE
SEXO
TOTAL
M F
Menos de 15 anos 15 12 27
Mais de 15 anos 5 8 13
TOTAL 20 20 40
Qual é a probabilidade de sortear, ao acaso, entre os estudantes, um 
menino, sabendo que ele tem mais de 15 anos?
Solução:
Olhando o quadro, sabemos