Equações Diferenciais 01 de Primeira Ordem

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de equações diferenciais.
PROPÓSITO
Definir as equações diferenciais e resolver as equações diferenciais de primeira ordem.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou a calculadora de seu smartphone ou
computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
MÓDULO 2
Classificar as equações diferenciais
MÓDULO 3
Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 4
Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
CONCEITOS INICIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Alguns problemas, em diversas áreas da Ciência e da Engenharia, podem ser modelados por uma equação que envolve uma variável e suas
taxas de variação representadas por suas derivadas. Essas equações são denominadas equações diferenciais e têm uma função
matemática como solução. As equações diferenciais representam um ramo importantíssimo da Matemática e tem diversas aplicações
práticas. Neste módulo, serão apresentados os conceitos iniciais da equação diferencial.
CONCEITOS INICIAIS
A busca pela solução de um problema, no ramo da Engenharia ou da Ciência, pode ser feita por meio da modelagem de uma equação
matemática. Em outras palavras, busca-se obter a solução do problema por meio da resolução de uma equação. Você já solucionou diversas
vezes equações algébricas que envolviam variáveis e suas funções. No entanto, grande variedade desses problemas serão modelados por
uma equação que representa o relacionamento entre a variável estudada e as suas taxas de variação.
EQUAÇÃO ALGÉBRICA VERSUS EQUAÇÃO DIFERENCIAL
AS EQUAÇÕES QUE RELACIONAM UMA VARIÁVEL E SUAS DERIVADAS SÃO DENOMINADAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS — EXPRESSÃO UTILIZADA DESDE 1676, QUANDO FOI CRIADA
PELO MATEMÁTICO LEIBNIZ.
A diferença entre uma equação algébrica e uma equação diferencial é que esta última envolve a(s) derivada(s) ou a(s) derivadas parciais de
determinada variável.
A VARIÁVEL PARA A QUAL SE BUSCA A SOLUÇÃO RECEBE O NOME DE VARIÁVEL
DEPENDENTE OU INCÓGNITA DA EQUAÇÃO.
As derivadas são obtidas pela taxa de variação da variável dependente em relação a uma ou mais variáveis independentes da equação.
Lembre-se de que:
Variável Independente:
Entrada da equação

Variável Dependente:
Saída da equação, isto é, a solução desejada a ser obtida
A solução de uma equação diferencial, caso exista, será uma função matemática que representa de que modo a variável estudada —
dependente — irá depender de uma ou mais variáveis independentes.
VARIÁVEL INDEPENDENTE
VOCÊ SE LEMBRA DE QUANDO ESTUDOU CINEMÁTICA NA DISCIPLINA DE FÍSICA?
Na ocasião, os problemas para os quais se desejava obter a posição de um objeto — representada pela variável s — em relação a uma
variável independente — o tempo (t). Desse modo, era preciso obter a função s(t), que seria uma função matemática que solucionaria o
modelo estudado. Em outras palavras, s(t) representa como a posição varia em função do tempo.
Relacionávamos, para isso, a posição do objeto com as suas taxas de variação com o tempo (t), que eram a velocidade (v) — primeira
derivada de s em função de t — e a aceleração (a) — segunda derivada de s em função de t. Portanto, modelávamos o problema por uma
equação diferencial.
 EXEMPLO
Poderia ser uma equação do tipo:
s ( t ) =m+nv ( t ) +pa ( t )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
No entanto,
v ( t ) =
ds
dt
( t ) =s′ ( t )
e
a ( t ) =
dv
dt
( t ) =v′ ( t ) =s′′ ( t )
, de forma que:
s ( t ) =m+ns′ ( t ) +ps′′ ( t )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
Repare que a equação envolve a variável independente s e suas derivadas s’ e s’’, constituindo uma equação diferencial.
Vejamos, a seguir, um exemplo com números. Nesse caso, um problema poderia ser modelado por:
S (T ) = 2 + S′ (T ) + 4 S′′ (T )
, PARA
T≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação apresentada, os coeficientes m, n e p são constantes reais. No entanto, os coeficientes de uma equação diferencial também
podem ser uma função matemática que dependa da variável independente. Por exemplo:
S (T ) =E−T+ 2S′ (T ) −
1
T+ 1 S′′ (T )
, PARA
T≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vimos, até aqui, que a equação diferencial envolve a variável e suas derivadas, e apresenta os seguintes elementos:
Uma variável dependente

Uma ou mais variáveis independentes

E seus coeficientes
TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Existem dois tipos de equações diferenciais — as equações diferenciais ordinárias (EDO) e as equações diferenciais parciais (EDP).
Vamos conhecê-las a seguir:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – EDO
As equações diferenciais podem envolver uma variável dependente que dependa apenas de uma variável independente, por exemplo
javascript:void(0)
f (x ) + 2f′ (x ) = 4x
.
Observe que f é a variável dependente ou incógnita, x é a variável independente e os coeficientes dessa equação serão o 1, 2 e 4x. A variável
dependente é normalmente representada por um símbolo, e não por uma função. Vejamos:
y+ 2y′ = 4x
Na qual y = f(x).
Tal equação terá como solução uma função f(x) que depende apenas da variável x. Esse tipo de equação diferencial é denominado de
equação diferencial ordinária ou (EDO).
Vejamos outro exemplo de EDO já estudada em Física.
Lembre-se da Mecânica e das Leis de Newton. Você estudou que a aceleração de um objeto, de massa m, dependia da força aplicada nele.
Vamos imaginar uma força h conhecida que depende do tempo(t) aplicado a esse objeto. Com isso, teremos:
h ( t ) =ma ( t )
como
a ( t ) =s′′ ( t )
s′′ ( t ) =
1
m
h ( t )
Conhecendo-se a função h(t), pode-se obter a função s(t), que representa a posição do objeto de massa m em relação ao tempo. Dessa
forma, resolve-se a equação diferencial dada, por exemplo:
s′′ = 4cos ( 2t )
,
t≥ 0
Repare que, na equação, aparece derivada de segunda ordem da variável s, constituindo uma equação diferencial. Além disso, existe apenas
uma variável independente — a variável t —, de modo que se trata de uma EDO.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP)
Outro tipo de equação diferencial é quando a variável dependente depende de mais de uma variável independente. Nesse caso, na equação,
aparecerão derivadas parciais de diversas ordens. A solução da equação será uma função escalar que dependerá das variáveis envolvidas.
A equação, a seguir, muito utilizada no eletromagnetismo, exemplifica esse tipo de equação:
∂2f
∂x2
(x ,y ,z ) +
∂2f
∂y2
(x ,y ,z ) +
∂2f
∂z2
(x ,y ,z ) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a variável f depende das variáveis x,y e z. A solução, então, será uma função f(x,y,z), que apresenta a dependência de f com as
variáveis independentes. Trata-se do tipo de equação denominada equação diferencial parcial ou EDP.
Nos próximos módulos, estudaremos apenas as equações do tipo ordinárias (EDO). Porém, é fundamental saber reconhecer se uma
equação é diferencial ou não, e de que tipo.
CLASSIFIQUE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, A SEGUIR, EM ALGÉBRICA, EDP
OU EDO:
A)
3Y+Y′ − 2COS (X ) = 4
javascript:void(0)
B)
3Y + X2– COS(X) = 2
C)
Z − 2
∂Z
∂X +
∂2Z
∂X∂Y = X + Y
D)
D2M
DT2
= 4 + 2T −
DM
DT
RESOLUÇÃO
A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável y relacionada com as suas derivadas e com a
variável x. Por isso, y é a variável dependente que depende apenas de uma variável independente x.
A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. Nessa equação, definimos y dependendo de x, ou x
dependendo de y. Dependede qual das duas é conhecida no problema.
A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. Como as derivadas que aparecem são derivadas
parciais, será uma equação diferencial parcial (EDP). Nesse caso, z será a variável dependente, e x e y serão as variáveis independentes.
A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável dependente m com a variável independente t.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
COMO OBTER A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL?
 RESPOSTA
Não existe um método único para resolver todos os tipos de equações diferenciais. Há, no entanto, alguns métodos de grande abrangência,
isto é, que resolvem grande número de equações (veremos esses métodos em módulos posteriores).
LEMBRE-SE DE QUE A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL, SE EXISTIR, SERÁ UMA
FUNÇÃO QUE ATENDE A EQUAÇÃO APRESENTADA.
A solução será uma ou mais famílias de funções. A família de funções que atende a equação diferencial é denominada solução geral da
equação diferencial. Para determinar uma função específica, isto é, uma solução particular, são necessárias algumas informações
adicionais, que denominaremos condições iniciais ou condições de contorno. A descoberta de uma solução particular, às vezes, é
denominada problema de valor inicial.
 EXEMPLO
Seja a equação
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
Para essa equação, uma possível solução seria s(t) = cos (2t). Ainda iremos aprender a determinar a solução dessa equação, mas já
podemos verificar se a função s(t) apresentada é ou não solução da equação diferencial.
Como sabemos, a solução será a função que satisfará a equação dada, de modo que:
Se, então
s(t) = cos(2t)
, então
s ′(t) = − 2sen(2t)
e
s ′′(t) = − 4 cos(2t)
Substituindo, verifica-se que
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
, satisfazendo a EDO apresentada. Dessa maneira, s(t) = cos (2t) é solução da equação diferencial.
REPARE QUE NÃO APENAS COS (2T) SERÁ SOLUÇÃO, MAS TODA FAMÍLIA DE FUNÇÃO DO
TIPO
S(T) = COS(2T) + K
, COM K REAL. OBTENHA A PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS E VEJA QUE A FAMÍLIA DE
FUNÇÕES SATISFAZ A EQUAÇÃO. ESSA FAMÍLIA DE FUNÇÕES SERÁ DENOMINADA
SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL.
Para um valor de k, por exemplo k = 3, tendo-se s(t) = cos (2t) + 3, temos uma solução particular. A própria função s(t) = cos (2t) é uma outra
solução particular. Vamos testar, agora, se a função
s(t) = t2 + 2
é ou não solução da equação diferencial dada. Se
s(t) = t2 + 2
, então
s ′(t) = 2t
e
s ′′(t) = 2
. Assim, não satisfaz a equação, já que:
S′′ ≠ S′ + 2 SEN(2T) − 4COS(2T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não é a solução da equação dada.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO
Y = COSX(SENX − K)
, COM K REAL, É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
.
RESOLUÇÃO
Usando as regras de derivação, temos: se
y = cosx(senx − k)
, então:
Y′ = ( − SENX)(SENX − K) + COSX(COSX) = − SEN2X + KSENX + COS2X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
Y′ + TG(X)Y − COS2X = − SEN2X + KSENX + COS2X + TGX COSX(SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SENX (SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SEN2X − KSENX − COS2X = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprovando que
y = cosx(senx − k)
é solução geral para equação diferencial dada.
DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR QUE ATENDE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
E A CONDIÇÃO INICIAL DE
Y = – 1
PARA
X = 0
.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, vimos que a solução geral da equação será
y = cosx(senx − k)
, com k real. Quando
x = 0 → y = cos0(sen0 − k) = 1(0 − k) = − k
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, para x = 0 temos y = – 1, portanto – 1 = – k, de modo que k = 1.
Assim, a solução particular será
y = cosx(senx − 1)
.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO ESCALAR
U(X, T) = E − 4TCOS(2X)
É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T = 0
.
RESOLUÇÃO
Precisamos testar se a função u(x,t) dada satisfaz a equação. Repare que, agora, temos uma EDP.
Precisamos lembrar de como fazer derivadas parciais. Derivamos em função da variável mantendo todas as demais como constantes.
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂T = ( − 4)E
− 4TCOS (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, obteremos a derivada parcial de segunda ordem
∂2u
∂x2
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂X = ( − 2)E
− 4TSEN (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SE
∂U
∂X = ( − 2)E
− 4TSEN (2X) →
∂2U
∂X2
= ( − 2)(2)E − 4TCOS (2X) = ( − 4)E − 4TCOS (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
SE
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T = ( − 4)E
− 4TCOS (2X) − ( − 4)E − 4TCOS (2X) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, satisfaz a equação, provando que
(x, t) = e − 4tcos(2x)
é uma solução da equação diferencial.
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um objeto de massa m, medida em kg, presa na extremidade de uma mola com constante elástica k, medida em N/m. Considere que o
ponto de equilíbrio da mola se encontre na origem, isto é, x = 0.
Quando comprimimos ou esticamos a mola de x, medido em metros, o objeto ficará sujeito a uma força elástica dada por
→
F = − kx.
Pela Lei de Newton, essa força será igual à massa do objeto vezes a aceleração. Com isso, teremos:
SE
→
F = M→A = M
D2X
DT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
m
d2x
dt2
= − kx
Verifique se a função
x(t) = sen √80 t + C
, C real, é solução da equação diferencial que representa o movimento de um objeto de 5kg preso em uma mola de constante elástica 400
N/m.
Determine a solução particular sabendo que para t = 0 a posição do objeto vale x = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Classificar as equações diferenciais
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
TIPOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
( )
No módulo anterior, vimos os conceitos iniciais da equação diferencial, e conhecemos as equações diferenciais ordinária e parcial. Neste
módulo, veremos que as equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas, e conheceremos algumas delas, principalmente a
classificação quanto à ordem e ao grau.
VOCÊ JÁ SABE DISTINGUIR UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL PARCIAL, CERTO?
Equação ordinária
A incógnita depende apenas de uma variável independente, e aparecem, na equação, as derivadas dessa incógnita em relação à variável
independente, em suas diversas ordens.

Equação parcial
A incógnita a ser descoberta depende de duas ou mais variáveis independentes e, na equação, aparecem derivadas parciais dessa incógnita
em relação às variáveis independentes.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que a solução da EDO — caso exista — é uma função real, e solução da EDP — caso exista — é uma função escalar.
As equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas. A seguir, veremos a classificação da equação diferencial quanto à
ordem, ao grau e à linearidade.
ORDEM DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
As derivadas ou derivadas parciais que aparecem na equação diferencial podem ser de diversas ordens:
DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR
A derivada de uma função também é uma função. Dessa forma, a função derivada também pode possuir uma derivada. Nesse sentido, a
derivação de uma função derivada é denominada derivação de ordem superior. A ordem de uma derivada corresponde ao número de
vezes que derivamos a função.
Suponha a função
y = x6 + 5
A primeira derivada de y, ou derivada de primeira ordem, será
y ′ =
dy
dx = 6x
5.
A segunda derivada de y, ou derivada de segunda ordem, será a derivada da primeira derivada, de modo que:
y ′′ =
dy ′
dx
=
d2y
dx2
= 30x4
, e assim sucessivamente.A derivada de ordem n, portanto, será a derivada da derivada de ordem n – 1 da função. Representamos a derivada de ordem superior n – n
inteiro positivo – por f(n)(x) ou D(n)f(x).
Utilizando a notação de Leibniz, representaremos a derivada de ordem n por:
DNY
DXN
=
D
D
DN− 1Y
DXN− 1
=
D
DX
D
DX
DN− 2Y
DXN− 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As derivadas parciais de ordem superior seguem raciocínio semelhante.
DERIVAÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar também é uma função escalar. Por serem funções escalares, também podemos determinar as suas
derivadas parciais em relação às variáveis independentes.
A derivada parcial de uma função que já é derivada parcial de uma função é denominada derivada parcial de segunda ordem. Se
repetirmos o processo, teremos as derivadas parciais de terceira, quarta, quinta, até a enésima ordem. Essas derivadas parciais são
conhecidas como derivadas parciais de ordem superior.
Por exemplo, seja
f(x, y) = 8x2y3
, então:
FX(X, Y) = 16XY
3
E
FY(X, Y) = 24X2Y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, determinar as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, a derivada parcial da função escalar
fx(x, y) = 16xy
3
FX(X, Y) = 16XY
3 →
∂FX
∂X = 16Y
3
FX(X, Y) = 16XY
3 →
∂FX
∂Y = 48XY
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ( ))
Relembre a notação:
∂FX
∂X =
∂
∂X
∂F
∂X =
∂2F
∂X2
= 16Y3
OU
FX X = FXX = 16Y
3
∂FX
∂Y =
∂
∂Y
∂F
∂X =
∂2F
∂Y∂X = 48XY
2
OU
FX Y = FXY = 48XY
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções
fx(x, y)
e
fy(x, y)
são denominadas derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)
. Já as funções
fxx(x, y)
,
fxy(x, y)
,
fyx(x, y)
e
fyy(x, y)
são as derivadas de segunda ordem da função f(x,y). Podemos repetir esse processo sucessivamente.
( )
( )
( )
( )
 SAIBA MAIS
A ordem de uma equação diferencial será a ordem da mais alta derivada ou da derivada parcial da função incógnita que aparece na equação.
Para entender o conceito na prática, vamos estudar os seguintes exemplos:
DETERMINE A ORDEM DAS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
Z2 −
D3Y
DZ
− 4 =
D2Y
DZ2
− LN(Z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
UVW −
∂U
∂V =
∂2U
∂V∂W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
s ′ − 2s + 5x4 = cosx
Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s — ou variável dependente — está relacionada apenas com uma
variável dependente x. Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a ordem
dessa EDO é 1.
b)
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z)
Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y está relacionada apenas com uma variável dependente z.
A equação apresenta mais de uma derivada, mas a derivada de mais alta ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com isso, a
ordem dessa EDO é 3.
c)
∂3m
∂z3
− xyz = 2
Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente m depende das variáveis x,y e z. Observe que a equação e a
derivada parcial de mais alta ordem é uma derivada parcial de terceira ordem. Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3
d)
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a variável u depende das variáveis v e w. Nessa equação, temos
uma derivada parcial de primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse modo, a EDP terá ordem 2.
FORMA PADRÃO
Toda vez que o coeficiente que multiplica a derivada de mais alta ordem da equação diferencial for um, dizemos que a equação diferencial
está na sua forma padrão.
No exemplo anterior, as equações diferenciais da letra A e da letra C estão na forma padrão. Já as equações da letra B e D não estão, mas
podem ser colocadas. Vejamos:
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z) → −z2 +
d3y
dz
+ 4 = −
d2y
dz2
+ ln(z)
, multiplicando-se todos os coeficientes por ( – 1).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
→
1
3
uvw − 2
∂u
∂v
=
∂2u
∂v∂w
, dividindo-se todos os coeficientes por 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS EDOS SEMPRE PODEM SER COLOCADAS NA SUA FORMA PADRÃO.
GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Uma equação diferencial também é classificada quanto ao seu grau. Nesse caso, o grau será o expoente da derivada mais alta que existe na
equação diferencial.
 ATENÇÃO
É preciso observar a derivada de mais alta ordem para definir a ordem da equação diferencial. Para isso, basta analisar essa derivada e ver o
expoente a que ela está submetida. Dessa forma, iremos definir seu grau.
Se olharmos o exemplo anterior, veremos que todas as equações diferenciais apresentadas têm grau 1, já que as derivadas de maior ordem
estão sempre elevadas ao expoente um. Para entender melhor, vamos estudar alguns exemplos.
DETERMINE A ORDEM E O GRAU DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APRESENTADAS
A)
Y′ − 3X Y′′ 3 − X4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
DS
DU
3
−
D3S
DU3
2
= S5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3Z
∂U∂V∂W
2
+
∂2Z
∂W2
= 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y ′ − 3x y ′′
3
− x4 = 3
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y depende da variável dependente x.
Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que a ordem dessa EDO é 2. A
derivada está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3.
b)
( )
( ) ( )
( )
( )
ds
du
3
−
d3s
du3
2
= s5
Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável dependente s depende da variável u. Observe que derivada de
mais alta ordem é uma derivada de terceira ordem e está elevada ao expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2.
c)
∂3z
∂u∂v∂w
2
+
∂2z
∂w2
= 3
Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das variáveis independentes u,v e w. A derivada de maior grau
é a derivada de ordem 3. Como o termo está elevado ao expoente 2, a EDP tem ordem 3 e grau 2.
LINEARIDADE DA EQUAÇÃO DIFERENCIALO
Outra classificação para as equações diferenciais diz respeito à sua linearidade, isto é, se a equação diferencial é linear ou não linear.
A equação diferencial linear ocorre nos seguintes casos:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.

Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem depender da(s) variável(is)
independente(s) ou serem números reais.
Já a equação diferencial não linear ocorre nas seguintes situações:
A variável dependente e suas derivadas aparecerem elevadas a um expoente numérico diferente de 1.

Se aparecer algum produto entre a variável dependente e suas derivadas, ou das derivadas das incógnitas entre si.

Se aparecer, como coeficiente, uma função da variável dependente ou de suas derivadas.
É importante enfatizar que as variáveis independentes, nas equações diferenciais lineares, podem aparecer como funções ou com expoentes
diferentes da unidade.
 ATENÇÃO
Como a incógnita e suas derivadas estão sempre elevadas ao expoente 1, toda equação diferencial linear, obrigatoriamente, apresentará um
grau 1.
Vamos estudar os exemplos a seguir para compreender melhor.
DETERMINESE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A SEGUIR SÃO OU NÃO LINEARES.
( ) ( )
( )
A)
Y′ − 3X Y′′ 3 − X4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
YY′ − LNU = Y′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y ′ − 3x y ′′ 3 − x4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da variável independente x ou serem número, na equação,
tem-se uma derivada da incógnita y com expoente 3. Desse modo, a equação é não linear.
b)
sen(u)v − 3v ′ + 4u2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável independente u ou são números. O expoente da incógnita v
e de suas derivadas vale 1, de forma que a equação diferencial é linear.
c)
( )
( )
8z 
∂3m
∂z3
− xyz = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis independentes x,y e z. O expoente da derivada parcial da
variável m, que existe na equação, é a unidade. Com isso, a EDP é linear.
d)
yy ′ − lnu = y′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas estarem elevadas ao expoente 1, existe um produto entre y e a
derivada de y. Logo, a equação é não linear.
EXPRESSÃO DAS EDO LINEARES
As equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n podem e sempre serão expressas da forma
FN(U)S (N ) + FN− 1(U)S (N− 1 ) + FN− 2(U)S (N− 2 ) + … + F1(U)S′ + FO(U)S = G(U)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, a função incógnita s depende da variável independente
u
e
fj(u)
, com 0 ≤ j ≤ n, são os coeficientes da equação. Se for impossível transformar uma EDO na forma apresentada, ela não será uma equação
diferencial linear. Isso também é verdade para as equações diferenciais parciais.
ELAS SERÃO LINEARES SE FOR POSSÍVEL COLOCAR DA FORMA SEMELHANTE A UM
POLINÔMIO.
Vejamos o exemplo, a seguir, para uma EDP de segunda ordem, em que a variável z depende das variáveis x e y:
F(X, Y)ZXX + G(X, Y)ZXY + H(X, Y)ZYY + P(X, Y)ZX + Q(X, Y)ZY + M(X, Y)Z = W(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
HOMOGENEIDADE E COEFICIENTES
Uma equação linear pode ser classificada como:
HOMOGÊNEA

NÃO HOMOGÊNEA
AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS SÃO AQUELAS QUE NÃO APRESENTAM TERMOS SEM A
VARIÁVEL DEPENDENTE OU SEM UMA DE SUAS DERIVADAS. NOS EXEMPLOS
ANTERIORES, AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS APRESENTAM
G(U)
OU
W(X, Y)
IGUAIS A ZERO. CASO CONTRÁRIO, A EQUAÇÃO SERÁ NÃO HOMOGÊNEA, E O TERMO
G(U)
OU
W(X, Y)
SERÁ DENOMINADO TERMO NÃO HOMOGÊNEO
 ATENÇÃO
SE OS COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE MULTIPLICAM A VARIÁVEL
DEPENDENTE OU SUAS DERIVADAS FOREM TODOS NÚMEROS REAIS, DIZEMOS QUE A
EQUAÇÃO TEM COEFICIENTES CONSTANTES. A EQUAÇÃO DIFERENCIAL SERÁ DE
COEFICIENTES VARIÁVEIS CASO ALGUM DESSES TERMOS DEPENDA DA(S) VARIÁVEL(IS)
INDEPENDENTE(S).
Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e indique se são ou não de coeficientes constantes.
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ
− 4Y =
D2Y
DZ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ M = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A)S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas são numéricos, de modo que a equação diferencial é de
coeficientes constantes. O termo independente vale cos x, logo, é diferente de zero, e a equação não homogênea. Podemos reescrever a
equação na forma:
s ′ − 2s = cosx − 5x4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ
− 4Y =
D2Y
DZ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que independe de y e de suas derivadas. Portanto, trata-se de
uma equação diferencial de coeficientes constantes e homogênea. Podemos reescrever a equação na forma:
y ′′′ − y ′′ − 4y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ SEN W −
∂M
∂W = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das variáveis independentes z e w. Além disso, apresenta um termo
que independe da variável dependente m, de modo que é uma equação de coeficientes variáveis e não homogênea. Reescrevendo a
equação na forma polinomial, temos:
2z
∂3m
 ∂z3
−
∂m
∂w
− 2m = − sen w
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente x, de forma que constitui uma equação de coeficientes
variáveis. Não existe termo que independa da variável y e de suas derivadas, logo, é uma equação homogênea. Ordenando a equação,
ficamos com:
3y ′ − (sen(x) + 4x2)y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações diferenciais lineares, assim como as equações algébricas, são mais fáceis de serem resolvidas do que as não lineares. No
próximo módulo, analisaremos a resolução de alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem.
TEORIA NA PRÁTICA
Sabemos que não existe um método único para solucionar qualquer equação diferencial. Existem métodos que são apropriados para grupos
de equações diferenciais. Desse modo, é importante classificar uma equação para definir o método de solução que pode ser utilizado na
prática.
Escolha o método para solucionar a equação apresentada a seguir: Classifique quanto à ordem e ao grau, indique se são lineares ou não
lineares, homogênea ou não homogênea e, por fim, se têm coeficientes constantes ou variáveis.
Y′′ + 2X Y′ − 3, 4 Y = X3 + EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Nos módulos anteriores, estudamos os conceitos iniciais das equações diferenciais e analisamos como verificar se uma função é ou não
solução de uma equação diferencial. Vimos que não existe um método geral para resolver todos os tipos de equação diferencial. Existem, no
entanto, alguns métodos com grande abrangência que resolvem alguns tipos de equações diferenciais.
Neste módulo, estudaremos alguns dos métodos para resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vale lembrar que a
solução de uma equação diferencial ordinária será uma função real que satisfaz a equação dada.
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
CHAMAREMOS DE SOLUÇÃO GERAL A FAMÍLIA DE FUNÇÕES QUE SATISFAZ A EQUAÇÃO,
E DE SOLUÇÃO PARTICULAR UMA FUNÇÃO QUE FAZ PARTE DESSA SOLUÇÃO GERAL E
ATENDE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS FORNECIDAS. ESSE TIPO DE PROBLEMA SERÁ
DENOMINADO PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
Veremos, aqui, a solução de equações diferenciais deprimeira ordem, portanto a derivada de maior ordem que aparecerá será a derivada de
primeira ordem, elevada ao expoente 1.
A EDO de primeira ordem será do tipo:
Y′ + A(X, Y)Y = B(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mesmo para o caso das EDOs de primeira ordem, não existe um método único que abrange uma solução para todas as EDOs. Analisaremos
alguns métodos de resolução, e todos os que serão apresentados se aplicam para equações diferenciais de primeira ordem que podem ser
colocadas na forma:
Y′ = F(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função f(x,y) será uma função que pode depender da variável independente y e/ou da variável dependente x.
MÉTODO DIRETO
O primeiro método é denominado de método direto e sua solução é mais simples. Ela ocorrerá quando for possível isolar a derivada de y em
um lado e, do outro, uma função que dependa apenas da variável independente x.
Para a solução direta, basta usar, depois, a integração direta para obter a solução. Em outras palavras, quando
f(x, y) = f(x)
.
Y′ = F(X) → DY = F(X)DX → Y = ∫F(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos o exemplo:
OBTENHA A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Para obter o valor da função incógnita y, devemos tentar isolar e obter o valor da derivada da variável
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0 → Y′ = 4X3 − 2X2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
DY
DX = 4X
3 − 2X2 + 1
DY = 4X3 − 2X2 + 1 DX
∫DY = ∫ (4X3 − 2X2 + 1)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Basta, agora, integrar ambos os lados, de forma que a solução geral da equação diferencial será
y = x4 −
2
3
x3 + x + k
, com k número real.
OBTENHA UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0
, TAL QUE, PARA ATENDER A CONDIÇÃO X = 1, O VALOR DE Y VALE 2.
RESOLUÇÃO
( )
Obtivemos a solução geral
y = x4 −
2
3
x3 + x + k
, com k número real. Agora, iremos substituir a condição inicial e obter a solução particular:
Para x = 1 →
y = 14 −
2
3
13 + 1 + k =
4
3
+ k
No entanto, y = 2 para x = 1, de forma que
4
3
+ k = 2 → k =
2
3
A solução particular será
= x4 −
2
3
x3 + x +
2
3
SOLUÇÃO PARTICULAR
Infelizmente, nem sempre será possível realizar a solução da equação geral por meio de uma manipulação matemática, como apresentado
no exemplo. Por isso, torna-se necessário definir métodos que podem ser empregados na obtenção da solução de um conjunto específico de
equações. Analisaremos três métodos:
EQUAÇÕES SEPARÁVEIS

EQUAÇÃO EXATA

EQUAÇÕES LINEARES
ANTES DE ANALISARMOS TAIS MÉTODOS, PRECISAMOS NOS PERGUNTAR: COMO
GARANTIR QUE UMA EDO DE PRIMEIRA ORDEM TENHA SEMPRE UMA SOLUÇÃO
PARTICULAR PARA O PROBLEMA E, QUANDO ESSA SOLUÇÃO EXISTIR, QUE ELA SEJA
ÚNICA?
 RESPOSTA
Vejamos o teorema: Seja uma EDO do tipo
y ′ = f(x, y)
, em que f(x,y) é contínua em um retângulo R contendo o ponto (x0,y0), com y(x0) = y0. Essa EDO terá sempre uma solução no retângulo R
que contém (x0,y0) e essa solução será única, sempre que
∂f
∂y
for contínua em R.
Retornando ao nosso exemplo, para EDO
y ′ = 4x3 − 2x2 + 1
, repare que
f(x, y) = 4x3 − 2x2 + 1
é contínua para todo (x,y) em
R2
. Além disso,
∂f
∂y
= 0
é contínua em todo
R2
. Portanto, essa EDO terá sempre uma solução para todos os problemas de valor inicial, e a solução será única em cada caso.
Nos tópicos seguintes, estaremos focados em determinar a solução de uma EDO de primeira ordem para alguns tipos de EDOs de primeira
ordem.
EDO SEPARÁVEIS DE PRIMEIRA ORDEM
Estamos estudando a EDO de primeira ordem:
Y′ = F(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação será do tipo separável quando for possível transformar a função f(x,y) em um produto h(x)g(y), isto é, em um produto de uma
função, que só depende da variável independente, por outra que só depende da variável dependentes.
Y′ = H(X)G(Y)
Resolvendo, temos:
Y′ = H(X)G(Y) →
DY
DX
= H(X)G(Y) →
DY
G(Y) = H(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação é possível para um intervalo onde g(y) é diferente de zero. Desse modo, para solucionar a equação vamos aplicar a integral
definida em ambos os lados e obter a solução geral:
∫
1
G(Y)DY = ∫H(X)DX + K, COM K REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apesar de cada integral definida apresentar uma constante de integração, as duas constantes podem ser substituídas apenas por uma
constante de integração k.
 RELEMBRANDO
Atenção às regras de integração, já que elas serão bastante usadas na solução de equações diferenciais. A solução geral pode ser uma
função implícita relacionado y com o x, não sendo possível, por vezes, explicitar a função.
Vejamos alguns exemplos desse método a seguir:
UMA POPULAÇÃO DE BACTÉRIA P, MEDIDA EM MILHÕES, CRESCE EM
RELAÇÃO AO TEMPO T, MEDIDO EM HORAS, POR MEIO DO SEGUINTE MODELO
DP
DT
= 2(P − 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a quantidade de bactérias que haverá após 5 horas, sabendo que, para t = 0, o valor de p é de 2 milhão de bactérias.
RESOLUÇÃO
Precisamos, inicialmente, solucionar a equação diferencial de primeira ordem para descobrir como p varia com o tempo. Repare que temos
uma EDO separável, uma vez que:
dp
dt
= 2(p − 1) →
1
p − 1
dp = 2 dt
, para
p ≠ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫
1
p − 1
dp = ∫2 dt → ln|p − 1| = 2t + k
, com
k ∈ 𝑅
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como p é maior ou igual a 2, então, p – 1 é positivo, de modo que
|p − 1| = p − 1
ln|p − 1| = ln(p − 1) = 2t + k → p − 1 = exp(2t + k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral da EDO será
p = 1 + exp(2t + k)
, com k real, mas para t = 0, p = 2.
p = 1 + exp(2.0 + k) = 2
exp(k) = 2 − 1 = 1 → k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a solução particular será
p = 1 + exp(2t)
.
Para obter a população para t = 5 horas, temos:
p(5) = 1 + exp(2.5) = 1 + exp(10) ≈ 22.028 milhões
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, no exemplo, a expressão obtida no método levava em conta que
p ≠ 1
. Como, no exemplo, o valor de p ≥ 2, não se perdeu nenhuma solução possível.
Pode acontecer em alguns casos, no entanto, que g(y) = 0 forneça solução para equação diferencial analisada. Nesse caso, diz-se que as
soluções são singulares, já que não podem ser obtidas pelo método empregado.
Vejamos o exemplo:
Obtenha a solução da equação
y ′ = x3y2
RESOLUÇÃO
Trata-se de uma EDO de primeira ordem. A EDO é do tipo separável, uma vez que:
y ′ = x3y2 →
dy
dx
= x3y2 →
1
y2
dy = x3dx
, com
≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira:
∫
1
y2
dy = ∫x3dx + k → −
1
y
=
1
4
x4 + k
, com real.
y = −
1
1
4 x
4 + k
= −
4
x4 + 4k
, com k real e para
y ≠ 0
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vemos, com isso, que essa solução geral não engloba o caso de y = 0.
Se fizermos y = 0 na EDO, observaremos que é solução para a EDO, pois
y ′ = x3y2
é atendida para a função y = 0. A função y = 0 seria uma solução singular para a EDO. Assim, a solução da EDO seria
y = −
1
1
4 x
4 + k
= −
4
x4 + 4k
, com k real , ou y = 0.
 ATENÇÃO
Às vezes, com uma substituição de variável, podemos transformar uma EDO que não é do tipo separável para uma EDO separável.
Vejamos um exemplo desse caso:
DETERMINE A FUNÇÃO U, QUE É SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
U′ = 2V + 2U + V2 + U2 + 4V + 4U + 2UV + 8
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE AROLAGEM HORIZONTAL
E QUE PARA V = 0 TENHA U = 1.
RESOLUÇÃO
Temos uma EDO de primeira ordem que relaciona a incógnita u com a variável independente v. Inicialmente, não é possível se transformar a
EDO para uma EDO separável, isto é:
u ′ = f(u)g(v)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a equação, no entanto, teremos:
u ′ = 2v + 2u + v2 + u2 + 4v + 4u + 2uv + 8
u ′ = (2v + 2u + 4) + (v2 + u2 + 4 + 4v + 4u + 2uv)
u ′ = 2(v + u + 2) + (v + u + 2)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se fizemos
w = v + u + 2
,
u ′ = 2(v + u + 2) + (v + u + 2)2 → u ′ = 2w + w2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando w em relação à variável independente v, teremos:
w = v + u + 2 → w ′ = 1 + u′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
w ′ − 1 = u′ = 2w + w2
Então
w ′ = 1 + 2w + w2
, que é uma EDO separável. Com isso:
w ′ =
dw
dv
= 1 + 2w + w2 →
1
1 + 2w + w2
dw = dv
∫
1
1 + 2w + w2
dw = ∫dv + k
∫
1
(1 + w)2
dw = ∫dv + k
−
1
1 + w
= v + k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando a variável original, podemos obter uma equação implícita, que relaciona u com v da seguinte forma:
−
1
1 + (v + u + 2)
= v + k → v +
1
v + u + 3
= − k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para v = 0, temos u = 1
0 +
1
0 + 1 + 3 = − k → k = −
1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a função u que atende às condições do problema, em relação a variável v, é obtida pela equação:
v +
1
v + u + 3
= 
1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EDO EXATAS DE PRIMEIRA ORDEM
Uma equação diferencial de primeira ordem será considerada exata em um domínio S se puder ser colocada na seguinte forma:
U(X, Y) + V(X, Y)Y′ = 0
e existir uma função M(x,y), definida em S tal que:
∂M
∂X (X, Y) = U(X, Y)
E
∂M
∂Y (X, Y) = V(X, Y)
para todos os pontos (x,y) da região S.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que u(x,y) e v(x,y) são duas funções escalares de x e y, e serão dadas pela equação diferencial. Uma forma de verificar se a
equação é exata é analisando:
∂U
∂Y =
∂V
∂X =
∂2M
∂X∂Y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos:
VERIFICAÇÃO DE EQUAÇÃO EXATA
OBSERVE SE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 X2 + Y Y′ = − 4XY − X2
É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA.
RESOLUÇÃO
Colocando a equação na forma
u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
2 x2 + y y ′ = − 4xy − x2 → 2 x2 + y y ′ + 4xy + x2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
( )
( ) ( ) ( )
u(x, y) = 4xy + x2
e
v(x, y) = 2 x2 + y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo
∂u
∂y
(x, y) = 4x
e
∂v
∂x
(x, y) = 4x
Retornando a solução da equação de primeira ordem exata, vamos definir a sua solução.
Se a equação diferencial
u(x, y) + v(x, y)y′ = 0
for exata, então a solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
M(x, y) = k
, com k real. Sendo a função
M(x, y)
a função tal que
∂M
∂x
(x, yt) = u(x, y)e
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos provar essa afirmativa:
M(x, y) = k →
dM
dx = 0
Lembrando de o estudo da função escalar, temos:
dM
dx
=
∂M
∂x
dx
dx
+
∂M
∂y
dy
dx
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, teremos:
∂M
∂x
dx
dx
+
∂M
∂y
dy
dx
= 0 →
∂M
∂x
+
∂M
∂y
y′ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
∂M
∂x
(x, y) = u(x, y)
e
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y)
, então:
∂M
∂x
+
∂M
∂y
y′ = 0 → u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, satisfazemos a equação diferencial apresentada.
Precisamos obter a função M(x,y) para solucionar a equação diferencial exata. A função M(x,y) pode ser obtida por meio da integração. Isso
significa que, se desejarmos obter a função M(x,y), basta resolvermos:
∂M
∂X (X, Y) = U(X, Y)
E
∂M
∂Y (X, Y) = V(X, Y)
Logo, obtemos:
∂M
∂X (X, Y) = U(X, Y) → M = ∫U(X, Y)DX + G(Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, como estamos integrando em relação a x, e M(x,y) é uma função escalar que depende de x e y, a constante de integração
será uma função de y, representada por g(y).
Derivando, parcialmente, M(x,y) em relação a y, teremos:
∂M
∂Y (X, Y) =
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX + G(Y) =
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX + G′(Y)
G′(Y) =
∂M
∂Y (X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX
No entanto:
∂M
∂Y (X, Y) = V(X, Y) → G
′(Y) = V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX
( ) ( )
( )
( )
De modo que:
G(Y) = ∫ V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX DY
Substituindo, obtemos:
M(X, Y) = ∫U(X, Y)DX + ∫ V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O equacionamento parece complicado, mas basta seguir os passos para obter a solução. Repare que a solução da equação será,
normalmente, uma equação implícita. Veja:
EXEMPLO
DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 X2 + Y Y′ = − 4XY − X2
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, provamos que se trata de uma equação diferencial exata de primeira ordem, com:
u(x, y) = 4xy + x2
e
v(x, y) = 2 x2 + y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∂M
∂x
(x, y) = u(x, y) = 4xy + x2 → M = ∫ 4xy + x2 dx + g(y) = 2x2y +
1
3
x
3
+ g(y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
∂M
∂y
(x, y) =
∂
∂y
2x2y +
1
3
x
3
+ g(y) = 2x2 + g′(y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ( )]
[ ( )]
( )
( )
( )
( )
Como:
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y) = 2 x2 + y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
2x2 + g ′(y) = 2x2 + g ′(y) → g ′(y) = 2y → g(y) = ∫2ydy = y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, substituindo:
M = 2x2y +
1
3
x
3
+ g(y) = 2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2 = k
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor de k será obtido por uma condição inicial. Por exemplo, considere que y(0) = 2, de modo que:
2.02.2 +
1
3
.0
3
22 + 22 = k → k = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será
2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2 = 4
.
EDO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM
O terceiro método que estudaremos neste módulo é apropriado para as equações diferenciais lineares. A equação ordinária linear de primeira
ordem pode ser sempre expressa na forma:
Y′ + U(X)Y = V(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual u(x) e v(x) são duas funções da variável independente x, dadas na equação diferencial.
Vamos considerar uma função auxiliar dada por P(x) y. Derivando essa função por meio da regra do produto, teremos:
[P(X)Y]′ = P′(X)Y + P(X)Y′
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos partir da equação diferencial linear e multiplicar os dois lados pela função P(x):
P(X)Y′ + P(X)U(X)Y = P(X)V(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Compare as duas equações. Se fizemos
P ′(x) = P(x)u(x)
, igualaremos o lado esquerdo da segunda equação com a primeira. Isto é, se
P ′(x) = P(x)u(x)
, então
[P(x)y] ′ = P(x)v(x)
.
Integrando ambos os lados, teremos:
∫ [P(X)Y]′DX = ∫P(X)V(X)DX + K, K REAL
P(X)Y = ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
Y =
1
P(X) ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguiremos, então, obter a solução da equação diferencial linear de primeira ordem se escolhermos corretamente a função P(x). A função
P(x) é denominada fator integrante.
CÁLCULO DE P(X)
Vamos, agora, ver como calculamos P(X).
( )
Retornando,
P ′(x) = P(x)u(x)
, então:
P′(X)
P(X) = U(X) → ∫
DP
P
= ∫U(X)DX
Assim:
LN|P(X)| = ∫U(X)DX + C, C REAL
logo:
P(X) = EXP ∫U(X)DX + C , C REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como necessitamos apenas de um P(x) que atenda à condição, não precisamos incluir a constante de integração. Portanto, para obter o fator
integrante, basta resolver:
P(X) = EXP ∫U(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter P(x), devemos obter a equação geral da EDO linear de primeira ordem:
Y =
1
P(X) ∫P(X)V(X)DX + K 
, K REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
ETAPAS
Agora que já entendemos o procedimento, vamos listar o passo a passo para não esquecermos nenhuma etapa do processo:
ETAPA A
Colocar a equação diferencial linear na sua forma padrão, isto é, o coeficiente que multiplica y’ deve ser um.
ETAPA B
Obter o fator integrante, usando o valor de u(x) da equação, pela fórmula:
P(x) = exp ∫u(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA C
c) Obter o valor da integral a seguir, usando v(x) da equação diferencial dada:
∫P(x)v(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA D
Determinar a solução geral da equação diferencial pela fórmula:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A SOLUÇÃO PARTICULAR SERÁ OBTIDA ACHANDO-SE O VALOR DE K REAL POR MEIO DA
CONDIÇÃO INICIAL.
Vejamos um exemplo a seguir:
Vamos obter a equação geral da equação diferencial
2y ′ − 2y − 4ex = 0
.
RESOLUÇÃO
Vamos colocar a equação diferencial linear na forma padrão:
y ′ − y = 2ex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
u(x) = – 1ev(x) = 2ex
.
Agora, devemos obter o fator integrante:
P(x) = exp ∫u(x)dx = exp ∫ ( − 1)dx = exp( − x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
∫P(x)v(x)dx = ∫e −x 2ex dx = ∫2 dx = 2x
( )
( )
( ) ( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma que:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k =
1
e −x
(2x + k ) = ex(2x + k)
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral será:
y = ex(2x + k)
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial
2y ′ − 2y − 4ex = 0
e que, para x = 0, tenhamos y = 1.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a equação geral
y = ex(2x + k)
, k real, fazendo
x = 0 → y = e0(2.0 + k) = 1(0 + k) = k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, pela condição fornecida no enunciado, y = 1 = k. Logo, a solução particular será:
y = ex(2x + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso em que u(x) e v(x) forem número reais, isto é, a equação diferencial linear seja de coeficientes constantes, a resolução da
equação vai ser um pouco mais simplificada.
Vamos supor que u(x) = a e v(x) = b, com a e b reais. Então, teremos
y ′ + ay = b
Assim:
P(x) = exp ∫u(x)dx = exp ∫a dx = eax
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k =
1
eax ∫b e
axdx + k 
y =
1
eax
b∫ eaxdx + k =
1
eax
b
a
eax + k 
y =
b
a
+ ke −ax
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Observe que, se as funções u(x) e v(x) forem contínuas em um domínio S, podemos garantir que a solução obtida pelo procedimento descrito
sempre existirá e será única.
TEORIA NA PRÁTICA
O modelo logístico é mais sofisticado do que o modelo de crescimento exponencial para se trabalhar com crescimentos populacionais. Seja
P(t) o tamanho de uma população em um instante t. Define-se a equação diferencial logística como:
dP
dt = CP 1 −
P
K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual C e K são constante reais. A constante K é denominada de capacidade de suporte. Use o método da equação diferencial separável
para obter a solução da equação diferencial logística:
dP
dt
= 0, 05 P 1 −
P
1000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a condição inicial de que P(0) = 200.
RESOLUÇÃO
Precisamos resolver a equação:
dP
dt
= 0, 05P 1 −
P
1000
→
dP
P 1 −
P
1000
= 0, 05 dt
1000
P(1000 − P)
dP =
1
P
+
1
1000 − P
dP = 0, 05dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal equação vale para todo P diferente de zero e de 1000.
∫
1
PdP + ∫
1
1000 − PdP = ∫0, 05 dt
ln|P| − ln|1000 − P| = 0, 05t + k, k real
ln
P
1000 − P = 0, 05t + k
P
1000 − P
= exp(0, 05t + k) = exp(0, 05t)exp(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo que:
P
1000 − P = Be
0 , 05t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que
B = ± ek
, com k real.
( )
( )
( )
( )
( )
| |
| |
Resolvendo, teremos:
P = 1000Be0 , 05t − BPe0 , 05t
P(t) =
1000Be0 , 05t
1 + Be0 , 05t
=
1000B
B + e − 0 , 05t
, com B real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
P(0) =
1000B
B + e − 0 , 05.0
=
1000B
B + 1
= 200 → 1000B = 200B + 200 → B =
200
800
=
1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será:
P(t) =
250
1
4 + e
− 0 , 05t
=
1000
1 + 4e − 0 , 05t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
MODELAGEM POR MEIO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
MODELAGEM POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA
ORDEM
Diversas são as situações — seja nas Ciências, seja na Engenharia — que envolvem uma incógnita e suas taxas de variação representadas
por suas derivadas. Esses problemas podem ser modelados por uma equação diferencial. Estudaremos, neste módulo, algumas situações
que podem ser modeladas por uma equação diferencial de primeira ordem. Ao analisarmos uma situação prática, buscamos modelar o
problema com os dados e as observações realizadas, de forma a equacionar um modelo para buscar a solução.
APÓS O LEVANTAMENTO DOS DADOS E DO RELACIONAMENTO ENTRE ELES, MONTAMOS
UMA OU MAIS EQUAÇÕES, QUE DEVEM SER RESOLVIDAS. AS EQUAÇÕES DE
MODELAMENTO, EM GERAL, SERÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, QUANDO AS RELAÇÕES
DEPENDEM DA INCÓGNITA A SER OBTIDA E DE SUAS TAXAS DE VARIAÇÃO.
Vejamos algumas situações que podem ser modeladas por meio de uma equação diferencial de primeira ordem.
QUEDA LIVRE DE UM OBJETO SUJEITO À RESISTÊNCIA DO AR
A segunda Lei de Newton relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e sua aceleração em m/s², da seguinte
forma:
→
F = M→A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando uma trajetória retilínea, podemos retirar os vetores e trabalhar apenas com os módulos. Devemos lembrar, no entanto, que a
velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, já a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao
tempo. Dessa forma,a aceleração será a segunda derivada da posição pelo tempo:
A =
DV
DT
=
D2S
DT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao seu peso, e a aceleração será
constante e igual à aceleração da gravidade. Nesse caso, não será necessária uma equação diferencial para modelar o problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força que é proporcional à sua velocidade, de modo que
FAR = KV = K
DS
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
K é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente. Com isso, um objeto em queda livre de massa m, medida em kg,
estará sujeito ao peso, que empurra o objeto para baixo, e à resistência do ar, contrária ao peso.
Vejamos:
FR = P − FAR = MA
MG − K
DS
DT
= M
D2S
DT2
em que g é aceleração da gravidade.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo dessa forma. Porém, temos uma equação diferencial de segunda ordem,
que ainda não sabemos resolver. Nesse caso, podemos modelar a velocidade com o tempo:
MG − KV = M
DV
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, agora, uma equação diferencial linear de primeira ordem, que já sabemos resolver.
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a seguinte solução:
V(T) =
MG
K
1 − E −
K
MT M /S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
V =
DS
DT
→ S = ∫T0V DT
De forma que:
( )
S(T) = ∫T0
MG
K
1 − E −
K
MT DT
Então:
S(T) =
MG
K
T −
M
K
(1 − E −
K
MT) M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UM OBJETO COM MASSA DE 1 KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE NO QUAL A
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,8 NS²/M. O OBJETO
SAI DO REPOUSO. DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA OBTIDA PELO OBJETO,
CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10 M/S².
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
mg − Kv = m
dv
dt
→
dv
dt
+ 0, 8v = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear com
dv
dt
+ a(t)v = b(t)
. Então a(t) = 0,8 e b(t) = 10.
Agora, temos de obter o fator integrante:
P(t) = exp ∫a(t)dt = exp ∫0, 8 dt = e0 , 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
∫P(t)b(t)dt = ∫e0 , 8t10 dt =
100
8
 e0 , 8t = 12, 5e0 , 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
v(t) =
1
P(t) ∫P(t)b(t)dt + k =
1
e0 , 8t
12, 5e0 , 8t + k 
v(t) = 12, 5 + ke − 0 , 8tm /s , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
v(0) = 0 → 0 = 12, 5 + ke − 0 → k = − 12, 5
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
v(t) = 12, 5 ( 1 − e − 0 , 8t)m /s
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando t tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero, e a velocidade chega no seu valor máximo de 12,5 m/s².
TAXA DE CRESCIMENTO POPULACIONAL EXPONENCIAL
A modelagem do crescimento de uma população — por exemplo, de insetos ou bactérias — é necessária, muitas vezes, em Biologia. Uma
forma simples de modelar o crescimento de uma população é utilizando um modelo exponencial, no qual a taxa de variação da população
com o tempo é proporcional ao tamanho da população.
Desse modo, seja P(t) a população em um instante de tempo t:
DP
DT
= KP
em que k é a taxa líquida de aumento da população.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo pode ser empregado para o decrescimento exponencial se k for negativa. Se observarmos a equação do modelo, trata-se de uma
equação diferencial linear, de coeficientes constantes e homogênea.
Podemos resolver a equação pelo método estudado no módulo anterior. Assim, a solução do modelo será obtida pela resolução dessa
equação diferencial linear. Para isso, use o método e você obterá a solução geral:
P(T) = CEKT
, C REAL
Para obter o C, é preciso conhecer uma condição de contorno. Se conhecermos o valor da polução P para t = 0, denominando P0, teremos:
P(T) = P0EKT
Se conhecermos o valor da polução P para t = T, denominando PT, teremos:
P(T) = PTEK (T−T )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
O modelo de crescimento populacional na forma exponencial é chamado de Lei de Malthus. Vale saber que esse modelo se torna menos
preciso para valores grandes de tempo.
DECAIMENTO EXPONENCIAL
Vejamos, agora, um modelo para um decaimento exponencial, aplicado em um decaimento radioativo, por exemplo. Considere m(t) a massa
remanescente de uma substância radioativa em um instante t. Nesse caso, a taxa de decaimento será dada por:
DM
DT
(T) = K M
em que k é a constante negativa denominada constante de decaimento.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vida média de um material é definida como o tempo necessário para que metade da massa do material radioativo decaia.
Determine a vida média de um material sabendo que a constante de decaimento é de 1,4 10-4 por ano. Considere o decaimento exponencial
RESOLUÇÃO
A equação diferencial que modela o problema será:
dm
dt
(t) = k m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação
1
m
dm = kdt → ∫
′
m
dm = ∫kdt → lnm = kt + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teremos:
m = exp(kt + C) = exp(kt)exp(C) = Aekt , A real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desejamos calcular a vida média do material, que seria o instante em que sua massa chega à metade.
Considerando A0 como t = 0 e tv o tempo vida média, temos:
t = 0 → m = A0
t = tv → m =
A0
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
A0
2
= A0e
ktv → ektv =
1
2
→ ktv = ln2 → tv =
1
k
ln2 =
1
1, 4 104
ln2 = 4951 anos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MISTURA DE SOLUÇÕES
Vamos conhecer agora um problema de química modelado por uma equação diferencial. Um problema de mistura de soluções — por
exemplo, a salmoura — está relacionado com um recipiente de capacidade fixa no qual se mistura uma substância, como o sal, em um
líquido, como a água.
A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa. A mistura, bem agitada no tanque, sai do recipiente também com uma
taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por
ds
dt
. Essa taxa será determinada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, do sal no tanque, ou seja:
DS
DT
= TE − TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos entender esse processo por meio de um exemplo numérico:
Seja um recipiente com 5000L de água e 20 kg de sal, inicialmente. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada) com uma
concentração de 0,05 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do
tanque com uma taxa de 50 L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo tempo. Seja s(t) a quantidade de sal, em kg, depois de t
minutos. Para t = 0, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial – 20 kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por
ds
dt
. Essataxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, do sal no tanque, ou seja:
DS
DT
= TE − TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada, em nosso exemplo, seria dada por 0,05 kg/L vezes 50L/min, de modo que TE = 2,50 kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada — no exemplo, de 50L/min —, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 5000L.
Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
A taxa de saída do sal será de s(t)/5000 kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de
50L/min. Assim, TS = s(t)/100 kg/min
DS
DT
= 2, 50 − 
S
100 =
250 − S
100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear. Com isso, podemos solucionar a equação pelos métodos estudados no
módulo anterior:
DS
250 − S =
1
100DT → ∫
DS
250 − S = ∫
1
100DT + C, C REAL
−LN|250 − S| =
T
100 + C
, C REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0, temos s = 20 kg
−LN|250 − 20| =
0
100 + C → C = − LN230
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo que:
−LN|250 − S| =
T
100 − LN230
250 − S = EXP LN230 −
T
100 = 230EXP −
T
100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
S(T) = 250 − 230EXP −
T
100
, COM T EM MINUTOS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEJA QUE PODEMOS OBTER A QUANTIDADE DE SAL PARA QUALQUER INSTANTE T. ALÉM
DISSO, PODEMOS DETERMINAR A MÁXIMA QUANTIDADE DE SAL NO RECIPIENTE.
CONFORME T TENDE PARA INFINITO, A EXPONENCIAL TENDE A ZERO, DE FORMA QUE
SMAX = 250KG.
CIRCUITOS ELÉTRICOS RL OU RC
A resolução de circuitos elétricos com uma resistência e um capacitor em série, denominado RC, ou de um resistor e um indutor em série,
denominado RL, podem ser solucionados por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Vejamos:
( ) ( )
( )
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
V(T) − RI(T) − L
DI(T)
DT
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conhecendo-se a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtém-se a função i(t), que fornece a corrente elétrica com o tempo.
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes e não homogênea:
DI(T)
DT
+
R
L
I(T) =
1
L
V(T)
A tensão no indutor pode ser obtida por
vL(t) = L
di(t)
dt
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso do circuito RC, usa-se a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela equação:
V(T) − VC(T)
R
= C
DVC(T)
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, obtém-se a dependência da tensão no capacitor com o tempo,
vc(t). Para se obter a corrente i(t), pode-se fazer
i(t) = C
dvc(t)
dt
.
Seja um circuito RL em série com resistência de 15 Ω e indutor de 5 H. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V, que é ligada em
t = 0s. Determine a corrente após 1 s e a corrente limite do circuito.
RESOLUÇÃO
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
di(t)
dt +
R
L i(t) =
1
Lv(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema, temos:
di(t)
dt
+
15
5
i(t) =
1
5
50 →
di(t)
dt
+ 3i(t) = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
di(t)
dt
+ a(t)i(t) = b(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a(t) = 3 e b(t) = 10.
Iremos, agora, obter o fator integrante:
P(t) = exp ∫a(t)dt = exp ∫3 dt = e3t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, temos:
∫P(t)b(t)dt = ∫e3t10 dt =
10
3 e
3t 
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Então:
i(t) =
1
P(t) ∫P(t)b(t)dt + k =
1
e3t
10
3
e
3t
+ k 
, k real
i(t) =
10
3
+ ke − 3tA , k real
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Como circuito é ligado em t = 0s, então i(0) = 0, de modo que:
0 =
10
3
+ k → k = −
10
3
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Então:
i(t) =
10
3
1 − e − 3t A
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Calculando
( ) ( )
( ) ( )
( )
i(1) =
10
3
1 − e − 3.1 = 3, 16 A
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Quando
t → ∞
temos:
lim
t→ ∞
(t) =
10
3
(1 − 0) =
10
3
A
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JUROS COMPOSTOS CONTINUAMENTE
A modelagem também pode ser aplicada na matemática financeira. Considere uma aplicação financeira com um valor inicial A0 aplicado a
uma taxa de juros anuais representada por r. O juro do investimento será composto n vezes ao ano. Assim, em cada período de composição,
a taxa de juros será dada por uma taxa de
r
n
. Após período de n vezes o período de composição t, teremos um capital calculado por:
A = A0 1 +
R
N
NT
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Por exemplo, seja um investimento inicial de R$ 1.000,00 com uma taxa de 5% ao ano, mas composto de diversas formas. Após 2 anos de
investimento, o capital será:
COMPOSIÇÃO ANUAL
Em um período de dois anos, teremos dois instantes de composição de juros com uma taxa de 5%:
A = 1.000 1 +
0, 05
1
2
= 1.102, 50
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COMPOSIÇÃO SEMESTRAL
Em um período de dois anos, teremos quatro instantes de composição de juros com taxa de
1
2
5% = 2, 5%
:
A = 1.000 1 +
0, 05
2
4
= 1.103, 81
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( )
( )
( )
( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
COMPOSIÇÃO MENSAL
Em um período de dois anos, teremos 24 instantes de composição de juros com taxa de
1
12
5%
:
A = 1.000 1 +
0, 05
12
24
= 1.104, 94
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Vamos, agora, considerar que n tende ao infinito. Nesse caso, seria denominado juro composto continuamente da seguinte forma:
A = LIM
N→ ∞
A0 1 +
R
N
NT
= A0 LIM
N→ ∞
1 +
R
N
N
R
RT
= A0 LIM
N→ ∞
1 +
R
N
N
R
RT
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O limite dentro dos colchetes é um limite fundamental que vale e, de modo que:
A = A0E
RT
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Derivando ambos os lados, em relação ao tempo, obtemos um modelo com taxas de juros compostas continuamente:
DA
DT
= A0RERT = RA(T)
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Repare que o modelo é uma equação do primeiro grau que diz que a taxa de crescimento do investimento é proporcional ao seu valor.
Um capital de R$ 10.000,00 é investido em uma aplicação com taxa de juros de 5% ao ano composta continuamente. Determine a equação
que modele o problema e o valor de capital, após dois anos de aplicação.
RESOLUÇÃO
Conforme estudado o modelo será dado por:
( )
( ) [( ) ] [ ( ) ]
javascript:void(0)
DA
DT
= A0RERT = RA(T)
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Substituindo os dados do problema, temos:
DA
DT
= 0, 05 A(T)
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Resolvendo a equação, teremos
DA
DT
= 0, 05 A →
DA
A
= 0, 05 DT → LNA = 0, 05T + K → A(T) = EXP(0, 05T)EXP(K)
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No entanto, A(0) = 10.000 = exp(k)
A(T) = 10.000E0 , 05T
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De forma que:
A(2) = 10.000E0 , 05.2 = 10.000E0 , 1 = 11.051, 71
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TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS A UMA FAMÍLIA DE CURVAS
Considere uma família de curvas no R2. Nesse caso, podemos obter uma trajetória ortogonal, em qualquer ponto
x0, y0
pertencente a essas curvas, seguindo o seguinte conceito:
( )
Por meio das equações das curvas, obtemos a relação entre y e x

Derivamos y em relação a x, obtendo o coeficiente angular, isto é, a inclinação da reta tangente às curvas em qualquer ponto.

A inclinação da trajetória ortogonal é obtida pela troca do sinal e pela inversão do coeficiente angular da reta tangente, obtendo-se uma
equação diferencial a ser solucionada.
Vejamos a situação a seguir:
Considere uma família de curvas dadas pela equação
y = kx2
, k real. Determine as trajetórias ortogonais a essa família de curvas dadas.
RESOLUÇÃO
A equação da família de curvas fornece a relação entre y e x, isto é,
y = kx2
. Derivando em relação a x, ambos os lados, usando a derivação implícita, temos:
DY
DX
= 2KX
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Temos de obter uma inclinação que independa de k. Como
y = kx2 → k =
y
x2
, temos:
DY
DX
= 2
Y
X2
X = 2
Y
X
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Então
MT =
DY
DX
= 2
Y
X
→ MORT =
DY
DX
= −
X
2Y
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Precisamos, agora, resolver a equação diferencial
Y′ = −
X
2Y → 2YY
′ = − X → 2Y DY = − XDX
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Usando o método da equação separável, teremos:
∫2Y DY = ∫−X DX → Y2 = −
1
2X
2 + C →
X2
2 + Y
2 = C
, C REAL
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Observe que são equações de uma família de elipses centradas na origem.
TEORIA NA PRÁTICA
Você deseja fazer uma aplicação bancária com um capital de R$ 1.000,00. Seu gerente ofereceu um investimento novo que fornecia uma
taxa de juros anual de 5% com composição contínua.
Para ajudar na sua decisão, o gerente informou que se você investisse com uma composição continua, após dez anos, seu capital seria dez
por cento maior, se a composição fosse mensal. Use seus conhecimentos de cálculo para verificar a veracidade da informação dada pelo
gerente.
RESOLUÇÃO
Temos, portanto, um investimento de juros anual de 5%. Se aplicarmos com composição de juros mensal durante cinco anos, teremos 10 x 12
= 120 instantes de composição com juros de
1
12
5%
:
A = 1.000 1 +
0, 05
12
120
= 1.647, 00
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Para uma aplicação de juros contínua, deve-se calcular uma equação diferencial do tipo:
dA
dt = rA(t)
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( )
Substituindo os dados do problema:
dA
dt
= 0, 05 A(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação:
dA
dt
= 0, 05 A →
dA
A
= 0, 05 dt → lnA = 0, 05t + k → A(t) = exp(0, 05t)exp(k)
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No entanto, A(0) = 1.000 = exp (k)
A(t) = 1.000e0 , 05t
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Com isso, após dez anos, teremos
A(10) = 1.000e0 , 05.10 = 1.000e0 , 5 = 1.648, 72
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O valor obtido não é 10% maior do que a composição mensal, que obteve um capital de 1.647,00.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, conhecermos e aplicamos o conceito das equações diferenciais de primeira ordem. Estudamos, inicialmente, os conceitos iniciais
e a classificação da equação diferencial, principalmente quanto ao grau e à ordem.
Vimos, em seguida, alguns métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Por fim, aplicamos a resolução das equações
diferenciais de primeira ordem na modelagem de alguns problemas em diversas áreas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 4. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Técnicas de solução de sistemas de equações diferenciais e algébricas: aplicação em sistemas de energia elétrica
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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