Atividade 1 - Programação e Cálculo Numérico - 2023 docx

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Você está projetando um tanque esférico para armazenar água para uma pequena vila.
O volume de líquido que ele pode armazenar pode ser calculado por:
𝑉 = πℎ
2 3𝑅−ℎ( )
3
Em que:
V é o volume [m³]
h é a profundidade da água no tanque [m]
R é o raio do tanque [m]
Figura 1 – Tanque de armazenamento
Sabendo que o tanque precisa sempre estar com volume mínimo de 30m³, qual a altura
de água no tanque?
Considere R = 3m e que o erro percentual deve ser menor do que 1% em todos os
casos.
a) Use o método da Bisseção e diga o valor de h3 juntamente com o erro.
Intervalo = [1,3]
b) Use o método das Cordas e calcule o valor de h juntamente com o erro.
Intervalo = [1,3]
c) Use o método de Newton-Raphson e diga o valor de h3 juntamente com o erro.
x0 = 1
1
a) Método da Bisseção
Como estudado, o método da Bisseção visa encontrar a raiz por meio de
iterações sucessivas, onde a cada novo passo o intervalo é reduzido e se
obtém um novo valor de x_médio, e o valor do erro da iteração, de forma que:
𝑥
𝑚é𝑑𝑖𝑜
= 𝑎+𝑏( )2
𝑒𝑟𝑟𝑜 =
𝑥
𝑛+1
−𝑥
𝑛
𝑥
𝑛
|||
|||∙100%
A função utilizada em todos os métodos numéricos, na qual buscamos
encontrar a raiz é:
𝑉 = πℎ
2. 3𝑅−ℎ( )
3
Como o raio é de 3m e o volume vale 30m3:
30 = πℎ
2. 3*3−ℎ( )
3
πℎ2. 9 − ℎ( ) = 90
9πℎ2 − πℎ3 − 90 = 0𝑓(ℎ) = 9πℎ2 − πℎ3 − 90
2
Assim, fazendo uso do Excel, após realizar 6 iterações temos o seguinte o
resultado:
iteração a b f(a) f(b) x_medio f(x_medio) erro
0 1 3 -64,86725877 79,64600329 2 -2,035405699 100,00%
1 2 3 -2,035405699 79,64600329 2,5 37,62720155 50,00%
2 2 2,5 -2,035405699 37,62720155 2,25 17,35411146 25,00%
3 2 2,25 -2,035405699 17,35411146 2,125 7,530498494 12,50%
4 2 2,125 -2,035405699 7,530498494 2,0625 2,713031829 6,25%
5 2 2,0625 -2,035405699 2,713031829 2,03125 0,329896802 3,13%
6 2 2,03125 -2,035405699 0,329896802 2,015625 -0,855019467 1,56%
7 2,015625 2,03125 -0,855019467 0,329896802 2,0234375 -0,263123093 0,78%
Portanto, na terceira iteração o Método da Bisseção apresenta os seguintes
resultados:
▪ ℎ = 2, 023 𝑚
▪ 𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0, 78%
3
b) Método das Cordas
Através do método das cordas, a cada nova iteração obtém-se uma nova
aproximação da raiz da função, pela seguinte equação:
𝑥
𝑛+
1 = 𝑥
𝑛
−
𝑓 𝑥
𝑛( )
𝑓 𝑥
𝑛( )−𝑓 𝑏( ) 𝑥𝑛 − 𝑏( )
O erro relativo é calculo por
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑥
𝑛+1
−𝑥
𝑛
𝑥
𝑛
|||
|||∙100%
Como visto na etapa anterior, a função tem o seguinte aspecto:
𝑓(ℎ) = 9πℎ2 − πℎ3 − 90
Portanto, considerando o intervalo inicial [1,3] e a função acima, temos que o
Método das Cordas apresenta os seguintes resultados:
iteração xn xn-1 f(xn) f(xn+1) xiteração f(xiteração)
erro
relativo
0 1 3 -64,86725877 79,64600329
1,89773433
7
-9,644128182 -
1
1,89773433
7
3 -9,644128182 79,64600329 2,01678883 -0,766916067 5,90%
2 2,01678883 3 -0,766916067 79,64600329
2,02616593
6
-0,05614415 0,46%
Portanto, na iteração2 o Método das Cordas apresenta um resultado com erro
menor do que 1%, e a solução encontrada é:
▪ ℎ = 2, 026 𝑚
▪ 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 0, 46%
4
c) Método de Newton Raphson
O método de Newton Raphson apresenta uma abordagem bem similar ao
método das cordas. Porém, a cada iteração é levado em consideração a
derivada da função analisada, a partir da seguinte expressão:
𝑥
𝑛+
1 = 𝑥
𝑛
−
𝑓 𝑥
𝑛( )
𝑓' 𝑥
𝑛( )
O erro relativo é calculo por
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑥
𝑛+1
−𝑥
𝑛
𝑥
𝑛
|||
|||𝑥 100%
Como visto anteriormente, a função é dada por:
𝑓 ℎ( ) =− πℎ3 + 9πℎ2 − 90
A derivada da função é:
𝑓'(ℎ) =− 3πℎ2 + 18πℎ
iteração xi f(xi) f'(xi) xi+1 Erro relativo
0 1 -64,86725877 47,1238898 2,376525984 57,92%
1 2,376525984 27,5224519 81,15940338 2,037409988 16,64%
2 2,037409988 0,798266506 76,0901953 2,026918932 0,52%
Portanto, na segunda iteração o Método de Newton Raphson apresenta os
seguintes resultados:
▪ ℎ = 2, 027 𝑚
▪ 𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0, 52%
Então, o resultado obtido pelos Métodos Numéricos usando três iterações
foram:
Método da Bisseção Método das Cordas Método de Newton Raphson
5
h (m) erro h (m) Erro relativo h (m) Erro relativo
2,023 0,78% 2,026 0,46% 2,027 0,52%
6
FASE II
Uma bomba peristáltica produz um escoamento unitário (Q = 100 L/s) de um
fluido altamente viscoso, a rede está descrita na Figura 2
Cada seção de tubo tem os mesmos valores de comprimento e diâmetro. Além
disso, os balanços de massa e energia mecânica podem ser desprezados para se
obter os escoamentos em cada tubo. A partir disso, resolva o sistema de
equações para obter o escoamento de cada corrente
Conforme informado no enunciado, Q1=100L/s. Sendo assim, o sistema linear
assume o seguinte formato:
{𝑄
3
+ 2𝑄
4
− 2𝑄
2
= 0 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1) 𝑄
5
+ 2𝑄
6
− 2𝑄
4
= 0 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2) 3𝑄
7
− 2𝑄
6
= 0 (𝑒𝑞
A partir da equação 3 encontramos:
3𝑄
7
− 2𝑄
6
= 0
𝑄
6
= 32 𝑄7 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 7( )
7
Agora, tomando-se a equação 6, e considerando o resultado anterior, temos:
𝑄
5
− 𝑄
6
− 𝑄
7
= 0
𝑄
5
− 32 𝑄7 − 𝑄7 = 0
𝑄
5
− 52 𝑄7 = 0
𝑄
5
= 52 𝑄7 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 8( )
Utilizando a equação 2 encontramos, juntamente com os resultados
precedentes, vemos que:
𝑄
5
+ 2𝑄
6
− 2𝑄
4
= 0 
5
2 𝑄7 + 2∙
3
2 𝑄7( ) − 2𝑄4 = 0 
11
2 𝑄7 − 2𝑄4 = 0 
𝑄
4
= 114 𝑄7 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 9( ) 
 
A equação 5 nos fornece:
𝑄
3
− 𝑄
4
− 𝑄
5
= 0 
𝑄
3
− 114 𝑄7 −
5
2 𝑄7 = 0 
𝑄
3
− 214 𝑄7 = 0 
𝑄
3
= 214 𝑄7 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 10( ) 
8
Considerando a equação 1 e os resultados expostos acima, chegamos na
seguinte conclusão:
𝑄
3
+ 2𝑄
4
− 2𝑄
2
= 0
21
4 𝑄7 + 2∙
11
4 𝑄7( ) − 2𝑄2 = 0
21
4 𝑄7 +
22
4 𝑄7 − 2𝑄2 = 0
43
4 𝑄7 − 2𝑄2 = 0
2𝑄
2
= 434 𝑄7
𝑄
2
= 438 𝑄7 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 11( ) 
Agora, tomando-se a equação 4, bem como os resultados acima, chegamos
no seguinte valor:
𝑄
2
+ 𝑄
3
= 100 
43
8 𝑄7 +
21
4 𝑄7 = 100 
85
8 𝑄7 = 100 
𝑄
7
= 80085 
𝑄
7
= 16017 𝐿/𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 12( ) 
A partir do resultado acima, agora basta retomar as equações anteriores e
substituir o valor encontrado logo acima para determinar as demais variáveis.
9
Deste modo, retomando-se a equação 11, temos:
𝑄
2
= 438 𝑄7
𝑄
2
= 438 •
160
17
𝑄
2
= 86017 𝐿/𝑠
Analisando a equação 10, temos:
𝑄
3
= 214 •
160
17
𝑄
3
= 84017 𝐿/𝑠
A partir da equação 9, temos:
𝑄
4
= 114 𝑄7
𝑄
4
= 114 •
160
17
𝑄
4
= 44017 𝐿/𝑠
Retomando a equação 8, encontramos que:
𝑄
5
= 52 𝑄7
𝑄
5
= 52 •
160
17
𝑄
5
= 40017 𝐿/𝑠
10
Por fim, a partir da equação 7, concluímos que:
𝑄
6
= 32 𝑄7
𝑄
6
= 32 •
160
17
𝑄
6
= 24017 𝐿/𝑠
Portanto, o escoamento de cada uma das correntes apresenta os seguintes
valores:
𝑄
4
= 44017 𝐿/𝑠
Escoamento das correntes
𝑄
1
= 100 𝐿/𝑠
𝑄
2
= 86017 = 50, 58824 𝐿/𝑠
𝑄
3
= 84017 = 49, 41176 𝐿/𝑠
𝑄
4
= 44017 = 25, 88235 𝐿/𝑠
𝑄
5
= 40017 = 23, 52941 𝐿/𝑠
𝑄
6
= 24017 = 14, 11765 𝐿/𝑠
𝑄
7
= 16017 = 9, 41176 𝐿/𝑠
11