Livro - Pesquisa Operacional

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PESQUISA OPERACIONAL
Pesquisa Operacional
Roberta Fernandes Mendiondo Nunes Roberta Fernandes Mendiondo Nunes 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
A pesquisa operacional (PO) trata de resolver problemas para os quais se deseja 
encontrar a melhor solução possível, ou seja, a solução ótima. Ela se relaciona 
com a Matemática e a Estatística e é de extrema relevância para diversas áreas 
profissionais, inclusive no campo da gestão financeira.
As técnicas utilizadas em estudos de pesquisa operacional são variadas, e po-
demos citar como as mais conhecidas e utilizadas a simulação, a programação 
linear, a análise PERT, CPM, teoria das filas, dentre outras.
Atualmente, a resolução dos problemas, em geral, ocorre por meio de aplicati-
vos, e em PO alguns são muito utilizados, como o Solver, do Excel (programação 
linear), ProModel e Arena (simulação), dentre outros.
Para que você construa conhecimentos consistentes em PO, é importante es-
tudar e entender os conceitos, construir modelos matemáticos que reflitam o 
problema real e desenvolver competências relacionadas ao uso de ferramentas 
computacionais adequadas.
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Jânyo Diniz 
Adriano Azevedo
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Roberta Fernandes Mendiondo 
Content
DADOS DO FORNECEDOR
Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Funções de várias variáveis: limite, continuidade e derivadas parciais
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Definição de pesquisa operacional (PO) ......................................................................... 13
Evolução da PO ................................................................................................................ 14
Como a pesquisa operacional pode ser definida? ..................................................... 16
Fases de um estudo de PO .................................................................................................. 17
Elaboração do problema ................................................................................................ 19
Construção do modelo e desenvolvimento dos cálculos ......................................... 19
Elaboração do problema ................................................................................................ 19
Testagem do modelo e da solução e controle das soluções ................................... 19
Implantação e acompanhamento ................................................................................. 20
Problemas clássicos e práticos em PO ........................................................................... 20
Problemas de mistura ..................................................................................................... 20
Problemas de mix de produção .................................................................................... 22
Problemas práticos ......................................................................................................... 22
Problemas clássicos e práticos em PO ........................................................................... 23
Programação linear ........................................................................................................ 23
Outras técnicas ................................................................................................................ 31
Sintetizando ........................................................................................................................... 36
Referências bibliográficas ................................................................................................. 37
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Sistemas lineares
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 39
Sistemas de equações lineares ........................................................................................ 40
Equações lineares ........................................................................................................... 40
Sistemas lineares ............................................................................................................ 41
Sistemas lineares equivalentes .................................................................................... 45
Discussão de sistemas lineares ........................................................................................ 46
Determinantes .................................................................................................................. 46
Sistemas homogêneos ................................................................................................... 54
Escalonamento de sistemas lineares ............................................................................... 56
Método de Gauss e Gauss-Jordan ............................................................................... 56
Método da matriz inversa .............................................................................................. 60
Sintetizando ........................................................................................................................... 65
Referências bibliográficas ................................................................................................. 66
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Sumário
Unidade 3 - Otimização linear, otimização discreta e o método Simplex
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 68
Otimização linear ................................................................................................................. 69
Definição dos problemas: formulação geral ............................................................... 69
Problemas na forma padrão .......................................................................................... 72
Resolução gráfica de problemas .................................................................................. 73
MétodoSimplex.................................................................................................................... 75
Forma tabular .................................................................................................................. 79
Forma não padrão .......................................................................................................... 83
Problema dual .................................................................................................................. 84
Resolução de problemas de programação linear no computador ......................... 88
Otimização discreta ............................................................................................................. 91
Problemas de otimização inteira .................................................................................. 91
Problemas de otimização binária ................................................................................. 92
Sintetizando ........................................................................................................................... 96
Referências bibliográficas ................................................................................................. 97
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Sumário
Unidade 4 - Teoria dos Jogos
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 99
Teoria dos Jogos ................................................................................................................. 100
Classificações ................................................................................................................ 102
Estratégias mistas ......................................................................................................... 104
Jogos com informação completa .................................................................................... 105
Jogos estáticos com informação completa .............................................................. 105
Jogos dinâmicos com informação completa ............................................................ 108
Jogos com resultados incertos ....................................................................................... 114
Incerteza exógena em jogos estáticos ...................................................................... 114
Incerteza exógena em jogos dinâmicos .................................................................... 116
Jogos com informação incompleta ............................................................................... 118
Jogos estáticos com informação incompleta .......................................................... 118
Jogos dinâmicos com informação incompleta ........................................................ 119
Sintetizando ......................................................................................................................... 125
Referências bibliográficas ............................................................................................... 126
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Olá, alunos e alunas! 
A pesquisa operacional (PO) trata de resolver problemas para os quais se 
deseja encontrar a melhor solução possível, ou seja, a solução ótima. Ela se 
relaciona com a Matemática e a Estatística e é de extrema relevância para di-
versas áreas profi ssionais, inclusive no campo da gestão fi nanceira.
As técnicas utilizadas em estudos de pesquisa operacional são variadas, e 
podemos citar como as mais conhecidas e utilizadas a simulação, a programa-
ção linear, a análise PERT, CPM, teoria das fi las, dentre outras.
Atualmente, a resolução dos problemas, em geral, ocorre por meio de apli-
cativos, e em PO alguns são muito utilizados, como o Solver, do Excel (progra-
mação linear), ProModel e Arena (simulação), dentre outros.
Para que você construa conhecimentos consistentes em PO, é importante 
estudar e entender os conceitos, construir modelos matemáticos que refl itam 
o problema real e desenvolver competências relacionadas ao uso de ferramen-
tas computacionais adequadas.
Bons estudos!
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Apresentação
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Dedico esse trabalho à minha família, que constantemente me apoia, ama 
e colabora para que meus dias sejam felizes e cheios da presença de Deus.
A professora Roberta Fernandes 
Mendiondo Nunes é graduada em 
Matemática desde 2000, pela Universi-
dade Federal do Rio Grande do Sul. É 
mestre em Engenharia pelo Instituto 
Federal Fluminense (2012) e especialis-
ta em Educação a distância e em Educa-
ção Profi ssional e Tecnológica pelo Ins-
tituto Brasileiro de Formação ( 2020). 
Ministra disciplinas de Pesquisa Opera-
cional, Estatística e Probabilidade, Ma-
temática Aplicada, Cálculo Diferencial e 
Integral, Álgebra Linear, dentre outras, 
nas graduações em Engenharia, Siste-
mas da Informação, Economia, Admi-
nistração e pós-graduações na área.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/8359063230116377
PESQUISA OPERACIONAL 10
A autora
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FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS: LIMITE, 
CONTINUIDADE E 
DERIVADAS PARCIAIS
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Descrever o que é pesquisa operacional;
 Identificar problemas na administração, onde as teorias matemáticas e as
técnicas e métodos utilizados em pesquisa operacional podem ser aplicadas;
 Conhecer as fases necessárias de um estudo em pesquisa operacional para a
resolução de problemas reais;
 Descrever um modelo de programação linear.
 Definição de pesquisa opera-
cional (PO) 
 Evolução da PO
 Como a pesquisa operacional 
pode ser definida?
 Fases de um estudo de PO
 Elaboração do problema 
 Construção do modelo e de-
senvolvimento dos cálculos
 Testagem do modelo e da solu-
ção e controle das soluções
 Implantação e acompanha-
mento 
 Problemas clássicos e práticos 
em PO
 Problemas de mistura
 Problemas de mix de produção
 Problemas práticos
 Técnicas e métodos utilizados 
em PO
 Programação linear
 Outras técnicas
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Definição de pesquisa operacional (PO)
A PO aborda a modelagem matemática de fenômenos estáticos ou dinâ-
micos de diferentes áreas e com diversos objetivos associados à otimização. 
Podemos dizer que a PO se divide em dois campos, o que trata de problemas 
estáticos e o que trata de problemas dinâmicos.
Os problemas estáticos são chamados de problemas determinísticos. O 
que signifi ca dizer que todos os elementos são conhecidos previamente e não 
são admitidas aleatoriedades em suas ocorrências. Trata-se de um problema 
que pode ser resolvido por meio do famoso método Simplex, modelado por 
meio da programação linear, a qual trata de problemas determinísticos.
Já nos problemas dinâmicos, que são chamados de problemas estocás-
ticos, os seus componentes apresentam alguma probabilidade de ocorrência 
em uma certa forma. 
O Diagrama 1 associa os tipos de fenômenos aos tipos de problemas em PO. 
DIAGRAMA 1. TIPOS DE PROBLEMAS EM PO
Fenômenos estatísticos
Problemas determinísticos 
Fenômenos dinâmicos 
Problemas estocásticos
PO
A PO emergiu da necessidade de uma gestão efi ciente das operações milita-
res, durante a Segunda Guerra Mundial, ou seja, das exigências de otimização 
da tática e estratégias militares. 
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Evolução da PO
Um dos métodos mais difundidos de PO é a programação linear, por sua 
simplicidade e efi ciência, embora ela já utilize métodos que envolvam, inclusi-
ve, Inteligência Artifi cial.
A expressão pesquisa operacional (PO)deriva de operational research, ter-
mo que foi usado, inicialmente, em 1939, na Inglaterra, associado ao surgimen-
to do radar, que reconhecia inimigos nas terras britânicas. Atualmente, PO é 
traduzida como Business Analytics (BA).
Durante a Segunda Guerra Mundial, a PO contou com rápida evolução, quan-
do foi empregada por grupos de cientistas multidisciplinares que resolviam pro-
blemas de natureza militar no que se referiam à logística, tática e estratégia. 
Ao longo do tempo, com inovações metodológicas e computacionais, alia-
das às demandas de diferentes campos, a PO passou a tratar de diversos tipos 
de problemas.
A PO é uma ferramenta da Matemática Aplicada, permitindo que: 
• Problemas reais sejam resolvidos;
• Ocorram tomadas de decisão baseadas em fatos, dados e correlações 
quantitativas;
• Sistemas sejam concebidos, planejados, analisados, implementados, ope-
rados e controlados por meio da tecnologia e de métodos de outros campos 
do conhecimento;
• Custos sejam minimizados e lucros maximizados;
• A solução ótima seja encontrada, isto é, a melhor solução para um proble-
ma seja conhecida previamente.
CURIOSIDADE
As palavras tática e estratégia são usadas como se fossem sinônimos, 
mas são diferentes. A estratégia pode ser entendida como a elaboração 
do planejamento contemplando os objetivos maiores de uma organização, 
por exemplo. O planejamento tático trata da implementação de ações nas 
diferentes áreas da organização, de forma que se atinja os objetivos defi -
nidos no planejamento estratégico. No campo militar, podemos considerar 
que a estratégia trata do planejamento para vencer uma guerra, enquanto 
a tática trata de como ocorrerão cada uma das batalhas. 
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Um outro exemplo de represen-
tação que pode ser usado em es-
tudo de PO, inclusive de natureza 
militar, são os grafos. Um grafo é 
uma representação gráfica das re-
lações existentes entre elementos, 
onde cada vértice (ponto de interes-
se) é representado por um círculo, e 
uma trajetória é representada por 
um segmento de reta. Se uma curva 
possuir indicação de sentido (uma 
seta), ela é chamada de arco, caso 
contrário, é chamada de linha.
Figura 1. Exemplo de grafo. Fonte: Shutterstock. Acesso 
em: 20/09/2020. 
Com o final da guerra, a evolução da PO continuou, em função da 
aplicação do método científico, ou seja, da formulação de 
modelos matemáticos, que permitiam a identificação de 
problemas em estudo, bem como de ensaios e avaliações 
dos resultados hipotéticos estimados pelas estratégias ou 
decisões alternativas, sendo todo o processo baseado em 
dados e fatos.
Em 1947, o Pentágono implantou, nos EUA, um pro-
jeto cujo objetivo era o de apoiar os processos de to-
mada de decisões operacionais da Força Aérea Ame-
ricana. George Dantzig desenvolveu o método Simplex 
para a resolução de problemas de programação linear. 
Vinte anos depois, em 1967, o periódico Operational Research propôs uma de-
finição para PO:
Uma aplicação de métodos científicos a problemas complexos 
para auxiliar no processo de tomadas de decisão, tais como pro-
jetar, planejar e operar sistemas em situações que requerem alo-
cações eficientes de recursos escassos(ARENALES et al., 2007).
No Brasil, em 1968, no Instituto Tecnológico da Aeronáutica, ocorreu o pri-
meiro Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional e, em 1969, surgiu a Socieda-
de Brasileira de Pesquisa Operacional - SOBRAPO.
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Como a pesquisa operacional pode ser definida?
Não existe uma única defi nição para PO, e sim várias defi nições apresentadas 
por diferentes autores. 
A PO pode ser considerada uma ideia muito abrangente acerca da busca de 
um melhor uso (em termos técnicos, econômicos, sociais e políticos) de recur-
sos (que são escassos) e processos diversos, por meio da implementação de 
métodos científi cos com o objetivo de satisfazer o cliente (usuário, público) 
defi nido em um contexto.
A PO é uma área de conhecimento que trata do estudo, desenvolvimento e 
aplicação de métodos analíticos que contribuam com um processo de tomada de 
decisões mais acuradas, em diversos campos da atuação humana.
Sob uma perspectiva acadêmica, as inovações tecnológicas possibilitam a 
abordagem de problemas cada vez maiores e mais complexos, e isso impulsiona 
o desenvolvimento de métodos analíticos mais sofi sticados, que estão em contí-
nua evolução, permitindo novas áreas de implementação.
Podemos observar no Diagrama 2 aspectos envolvidos no estudo de um pro-
blema a partir da PO. 
DIAGRAMA 2. ASPECTOS DA PO
Método científi co
Modelagem de sistemas
Abordagem interdisciplinar
 
Tecnologias
Pragmatismo
Pesquisa operacional
Decisões mais precisas
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 Um projeto de PO segue algumas etapas que podem ser implementadas por 
meio de diferentes métodos matemáticos. De forma geral, o início do estudo 
trata do problema real, que modelado matematicamente, permite encontrar 
uma solução que otimiza os resultados.
O fl uxo de um projeto de PO, em linhas gerais, pode ser observado no Fluxo-
grama 1. 
FLUXOGRAMA 1. PROJETO DE PO
Problema
real
Solução do modelo 
matemático
Solução
aceitável/ótima
Modelo
matemático
Validação do
modelo
Hipóteses
simplifi cadoras 
Métodos de 
solução
Fases de um estudo de PO
Podemos considerar seis etapas para a resolução de um problema por meio 
da PO:
1. Elaboração do problema; 
2. Construção do modelo matemático; 
3. Desenvolvimento dos cálculos com uso do modelo; 
4. Testagem do modelo e da solução; 
5. Controle das soluções; 
6. Implantação e acompanhamento. 
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O estudo de um problema por meio desse percurso em seis fases tem como 
objetivo encontrar uma solução ótima. O Fluxograma 2 mostra, de acordo com 
Belfiore e Favero (2013), como as fases de um estudo de PO podem ser repre-
sentadas.
FLUXOGRAMA 2. FASES DE UM ESTUDO DE PO
Sistema real
Definição do problema
Construção do modelo matemático
Solução do modelo
Validação do modelo
Implementação dos resultados
Avaliação final
Fonte: BELFIORE; FAVERO, 2013, p. 6. (Adaptado).
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Elaboração do problema
Nessa fase, os objetivos são determinados, as restrições são identifi cadas 
e são esboçadas as possibilidades de percursos para resolução. Também são 
verifi cados os registros, momento em que as informações são coletadas com a 
maior precisão e consistência possíveis.
Construção do modelo e desenvolvimento dos cálculos
Predominantemente, a construção do modelo ocorre por meio da modela-
gem matemática, ou seja, com uso de equações e inequações, tanto na função 
objetivo, quanto nas restrições.
Nesse momento, é preciso decidir quais são as variáveis de decisão, e quais 
não são controláveis no problema real. Por exemplo, em um contexto de produ-
ção, a quantidade produzida é uma variável controlável, já a demanda e o preço 
são exemplos de variáveis não controláveis, pois são defi nidas no mercado.
A resolução ou cálculo do modelo é a fase na qual encontramos a solução por 
meio da aplicação de diversas técnicas, das mais simples até as mais complexas, que 
são escolhidas dependendo das características e complexidade de cada problema.
Atualmente, são usados aplicativos para a resolução dos problemas em PO. 
Eles resolvem matematicamente problemas bastante complexos de forma rápi-
da, confi ável e acurada. 
EXEMPLIFICANDO
Alguns exemplos de aplicativos utilizados em PO são: 
• Suplemento Solver, do Microsoft Excel; 
• What’sBest!, LINGO e LINDO API, da LINDO Systems;
• MapleSim, Bordo, Global Optimization Toolbox, da Maplesoft.
Testagem do modelo e da soluçãoe controle das soluções
Na fase de testagem, verifi ca-se se os resultados encontrados satisfazem o 
modelo real do problema. Depois da implantação, uma simulação pode identifi -
car a eventual necessidade de outras soluções, buscando melhorias.
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Na fase de controle das soluções, parâmetros e valores fi xos que envolvem o 
problema precisam ser identifi cados, pois com esse controle é possível verifi car 
possíveis desvios ocorridos ao longo do processo. Se houver variações nos parâ-
metros, devem ser realizadas correções no modelo matemático.
Testagem do modelo e da solução e controle das soluções
Nessa última fase são avaliadas as vantagens e validados os resultados 
da solução obtida para que eles sejam convertidos em regras operacio-
nais. A implementação é uma das etapas críticas do estudo 
porque altera uma atividade ou processo de uma situação 
existente requerendo, muitas vezes, a realização de ajus-
tes. Dessa forma, os resultados obtidos na fase anterior 
devem ser avaliados e, caso necessário, o modelo matemá-
tico deve ser ajustado.
Problemas de mistura
Problemas de mistura consistem em combinar materiais obtidos da natureza 
(ou sobras de outros já previamente combinados) para gerar novos materiais ou 
produtos com características convenientes. Nesse sentido, uma indústria pro-
duz diversos tipos de rações e tem como objetivo minimizar os custos de produ-
ção, atendendo às restrições com relação à composição determinada para cada 
tipo de ração. 
Problemas clássicos e práticos em PO
Alguns modelos de programação linear podem ser adaptados a diversos 
contextos práticos. Tais modelos são chamados de clássicos ou típicos, pelo 
fato de serem aplicados a diferentes setores produtivos. 
Problemas clássicos
Aqui, vamos considerar duas famílias de problemas clássicos: 
• Problemas de mistura;
• Problemas de mix de produção. 
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Outra questão pode ser a de determinar níveis de uso de insumos na com-
posição de um tipo de ração, e nesse caso, as restrições se referem às carac-
terísticas nutricionais que o produto acabado deve possuir, às quantidades de 
matérias-primas e insumos disponíveis, e à demanda.
Exemplo: mistura
Vamos tomar como exemplo uma ração que deve ser formulada a partir da 
mistura de três tipos de grãos. Esses grãos possuem quatro tipos de nutrientes, 
que são considerados no produto final. As informações sobre os grãos e nutrien-
tes constam na Tabela 1, bem como os custos por unidade de peso de cada tipo 
de grão, e as variáveis de decisão associadas a cada tipo de grão. 
Nutrientes Grão 1 Grão 2 Grão 3 Necessidade mínima
A 2 3 7 1250
B 1 1 0 250
C 5 3 0 900
D 0,6 0,25 1 232,50
Custo por 
unidade de 
peso (R$)
41 35 96 
Variáveis de 
decisão X1 X2 X3 
TABELA 1. PROBLEMA CLÁSSICO EM PO. “MISTURA”
Nesse contexto, as três variáveis de decisão são restritas a valores não ne-
gativos. Um segundo conjunto de restrições poderia ser acrescentado a essa 
formulação: restrições relacionadas às quantidades disponíveis de cada tipo 
de grão. Da mesma forma que as restrições foram escritas diretamente das 
linhas da Tabela 1, as restrições de disponibilidade de grãos seriam obtidas das 
colunas da mesma tabela.
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Problemas de mix de produção
Problemas sobre mix de produção tratam da decisão sobre quais produtos 
devem ser fabricados e quanto fabricar de cada um em um certo período. Nesse 
sentido, considerando a capacidade de produção limitada de máquinas, recur-
sos humanos, capital, armazenagem, dentre outros, e os diferentes produtos 
que compõem o mix da empresa, o objetivo é defi nir quais dos produtos devem 
ser fabricados e quanto fabricar de cada um, de forma que a empresa obtenha 
o maior lucro possível (maximização) em certo período.
Exemplo: mix de produção
A empresa Essencial precisa planejar a produção de suas essências. Para 
isso, são necessários dois tipos de insumos, a mão de obra e os materiais. A 
Essencial produz três tipos de essências, A, B e C, cada uma com necessidades 
diferentes, quantidades de mão de obra e de materiais, por unidade produzi-
da, conforme dados:
• Essência A: 7 horas de mão de obra, 4 gramas, lucro de R$ 4;
• Essência B: 3 horas de mão de obra, 4 gramas, lucro de R$ 2;
• Essência C: 6 horas de mão de obra, 5 gramas, lucro de R$ 3.
A disponibilidade de mão de obra é de 15 horas por dia e a disponibilidade de 
materiais é de 200 gramas por dia.
Qual modelo de programação linear pode representar a intenção da Essen-
cial de maximizar seu lucro, determinando quanto deve ser produzido de cada 
tipo de essência? 
Um modelo matemático (programação linear) apresenta uma resposta à se-
guinte questão: qual a quantidade de cada uma das essências (A, B e C) que deve 
ser produzida para maximizar o lucro?
Problemas práticos
A PO trata de problemas de diferentes áreas, problemas reais que são 
resolvidos por meios de diferentes técnicas. Citaremos três técnicas de PO 
(programação linear, modelos de rede e teoria das fi las), e para cada uma 
indicaremos alguns tipos de problemas que podem ser resolvidos por seu 
intermédio:
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• Programação linear: mix de produção, mistura de matérias-primas, mode-
los de equilíbrio econômico, carteiras de investimentos, roteamento de veículos, 
jogos entre empresas;
• Modelos de rede: rotas econômicas de transporte, distribuição e transpor-
te de bens, alocação de pessoal, monitoramento de projetos; 
• Teoria das fi las: congestionamento de tráfego, operações de hospitais, di-
mensionamento de equipes de serviço.
Importante: a associação da técnica ao tipo de problema não é fi xa, isto é, 
um mesmo problema pode ser estudado por meio de mais de uma técnica de PO.
DICA
Há diferentes métodos quantitativos para resolver problemas de um mes-
mo tipo e caberá ao profi ssional escolher o método mais adequado e a 
ferramenta que utilizará, dependendo do tipo de informação disponível.
Durante sua formação e vida profi ssional, você aprenderá sobre diversos 
métodos e ferramentas computacionais e será fundamental que saiba 
mobilizar os conhecimentos, habilidades e competências que sejam rele-
vantes para a resolução de cada problema. 
Técnicas e métodos utilizados em PO
A programação linear é uma das principais técnicas utilizadas 
na PO, que se popularizou no período da Segunda Guerra Mun-
dial. Nesse sentido, por meio de funções matemáticas, Dantzig 
colaborou para a minimização de vários custos militares dos 
Estados Unidos, ou seja, otimizou os resultados.
Programação linear
A programação linear é uma técnica simples e eficiente, 
embora não seja o único método de otimização que a PO 
aplica. 
A questão central na construção do modelo matemático 
de PO é escolher os valores das variáveis de decisão, 
de modo que você obtenha o melhor resultado da 
função objetivo, sujeita às restrições especificadas. 
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A característica principal do modelo matemático que define a progra-
mação linear é a linearidade de equações e inequações que compõem o 
modelo. Assim, uma equação linear, nos modelos de PO, tem a forma: 
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + ⋯ + cn xn = c1
Onde:
c1, c2, c3, …, cn: coeficientes (conhecidos)
x1, x2, x3, …, xn: variáveis (desconhecidas)
Em Matemática, chamamos de sistemas lineares os conjuntos de equa-
ções lineares sobre as mesmas variáveis, sendo que o modelo de programa-
ção linear é um exemplo desse sistema. O modelo matemático de progra-
mação linear é formado por três componentes básicos: 
• Variáveis de decisão; 
• Função objetivo;
• Restrições.
A estrutura de um modelo de programaçãolinear (PL) é sempre a mes-
ma, seja ele um problema sobre mix de produção, mistura, transporte ou 
alocação, dentre outros. Conhecendo essa estrutura, será mais fácil cons-
truir o modelo matemático (PL), porque seja qual for o contexto, a estrutura 
se repete. A Figura 2 sintetiza a estrutura do modelo de PL.
Figura 2. Estrutura da programação linear (modelo matemático).
Variáveis de decisão
Função objetivo
Restrições
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 Variáveis de decisão
As variáveis de decisão representam as variáveis que devem ser encon-
tradas como solução do modelo, e os parâmetros (coeficientes) represen-
tam os valores dados no problema.
Função objetivo
É uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. É um critério de escolha das variáveis de decisão, 
representado por uma função.
Restrições
As restrições representam as limitações do sistema, às quais o processo 
de maximização da função objetivo deve estar submetido.
Como mencionado, a forma geral de um modelo matemático de progra-
mação linear apresenta a seguinte estrutura: declaração das variáveis de 
decisão, função objetivo e restrições. Como o modelo recai em um sistema 
linear, que posteriormente será resolvido por métodos baseados em ma-
trizes, alguns coeficientes do modelo podem ser denotados com índices, 
como identificamos os elementos das matrizes, indicando a posição na ma-
triz (linha, coluna). Conforme Corrar e Garcia (2011), matematicamente, um 
modelo de programação linear é indicado como na Figura 3. 
Figura 3. Modelo de programação linear. Fonte: CORRAR; GARCIA, 2011, p. 6. (Adaptado).
Máx. ou mín.
Z = C1X1 + C2X2+ ........... Cn Xn (1)
Sujeito a:
a11X1 + a12X2 + ............... a1nxn < b1 
a21X1 + a22X2 + ............... a2nxn < b1 
.......................................................
am1X1 + am2X2 + ............... amnxn < bm
Onde: xi ≥ 0 e bj ≥ 0, para i = 1, 2 ... n e j = 1, 2,..., m
(1) É a função matemática que codifica o objetivo do problema e é denominada
função objetivo.
(2) São as funções matemáticas que codificam as principais restrições identificadas.
(2)
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EXPLICANDO
• As variáveis de decisão são aqueles elementos em função dos quais 
pode-se obter lucro ou gerar custo (são as variáveis que estarão na sua 
função objetivo e nas restrições);
• Ao definir as unidades de medida de cada variável de decisão, faça-o 
com precisão; 
• Não confundir variáveis de decisão com os parâmetros do problema. Por 
exemplo, a quantidade de mesas ou cadeiras que devem ser produzidas 
são variáveis de decisão, enquanto madeira e parafusos são parâmetros 
do problema, os quais são limitados.
A seguir, você vai acompanhar a apresentação de um problema, com 
a descrição de cada um dos elementos de um modelo de programação 
linear, envolvendo investimentos. Primeiro, temos a descrição do caso e, 
em seguida, a explicação e a identificação de quais são as variáveis de 
decisão, função objetivo e restrições. Não se preocupe, neste momento, 
com a formulação matemática, e sim em entender quais as informações 
definem os elementos do modelo (variáveis de decisão, restrições e o que 
queremos maximizar).
Problema 
Um investidor possui R$ 200.000 para aplicar em ações. Esse investidor 
está avaliando as ações de duas empresas:
TeleX, cujas ações custam R$ 60 cada e o retorno esperado é de R$ 6 ao 
ano.
TeleY, cujas ações custam R$40 cada e o retorno esperado é de R$5 ao 
ano.
O investimento não deve ultrapassar R$60.000 em uma única empresa. 
Desse modo, como ele deve planejar seu investimento, de modo a maximi-
zar seu lucro anual?
Precisamos entender o contexto. 
Variáveis de decisão
Se o objetivo é maximizar o lucro, temos que pensar em 
função de quem ocorre esse lucro. Essas serão as variá-
veis de decisão. 
• Quantidade de ações da TeleX;
• Quantidade de ações da TeleY. 
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Função objetivo
Função (equação) que representa o que se deseja maximizar, nesse 
caso, maximizar a função de lucro.
Restrições 
Limites aos quais a função objetivo deve se sujeitar no processo de ma-
ximização. Como o investimento não deve ultrapassar R$60.000 em cada 
empresa, isso é restrição do modelo, que será representada por inequa-
ções. As variáveis de decisão são quantidades de ações, e como não podem 
ser negativas, as variáveis de decisão serão maiores ou iguais a zero, sendo 
outra restrição do modelo.
Nesse sentido, a abordagem de um problema por meio da programação 
linear envolve duas etapas: 
• Formulação do modelo matemático; 
• Resolução. 
Na etapa de formulação, transformamos o problema real em um mode-
lo matemático (linear), simplificando o problema.
Na etapa de resolução, aplicamos as técnicas de programação linear no 
modelo e encontramos a solução ótima.
Qual a relevância de cada uma dessas etapas? Quanto a isso, podemos 
fazer algumas ponderações: 
• Muitos livros de PO focam na resolução do modelo matemático, rele-
gando a etapa de formulação;
• Na etapa de formulação de modelos, é preciso coletar os dados es-
pecíficos de cada organização, o que não pode ser realizado por qualquer 
pessoa, mas por alguém que realmente conheça o negócio da organização; 
• Para a etapa de resolução do problema, podemos pedir ajuda para al-
gum especialista em programação linear ou para uma consultoria;
• Quando o modelo matemático já foi construído, qualquer pessoa com 
conhecimentos das técnicas de programação linear pode encontrar a solu-
ção do problema.
Os modelos podem ser formulados por caminhos diferentes, isto é, não 
há um modo único para a formulação, que é uma tarefa complexa depen-
dente de diversos fatores. Contudo, as informações necessárias para for-
mular os modelos, em geral, apresentam as seguintes características: 
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• Estão em diversos lugares de uma organização, ou seja, não estão con-
centradas;
• Não são precisas; 
• São informações que não estão prontas para uso, precisam ser coleta-
das ou estimadas. 
Embora seja uma etapa complexa, a sequência de passos que será des-
crita no próximo tópico é uma maneira que pode facilitar a formulação de 
problemas.
Assim, para construir o modelo matemático, precisamos responder às 
questões:
• Qual é o objetivo? 
• O que maximizar (ou minimizar)? 
• Quais são as variáveis de decisão? 
• Quais são as restrições do problema?
Por exemplo:
Uma indústria de móveis produz 
três produtos: cadeiras, mesas e es-
tantes. Esses produtos consomem 
tempo nos processos de montagem 
e de acabamento. Os tempos neces-
sários para cada produto, em cada 
processo, e a respectiva disponibili-
dade de tempo, são:
Cadeira: 4 horas de montagem e 
6 horas de acabamento;
Mesa: 3 horas de montagem e 3 
horas de acabamento;
Estante: 2 horas de montagem e 
1 hora de acabamento.
Disponibilidade de 36 horas de 
montagem e 50 horas de acabamento.
Sabendo que cada cadeira será vendida por R$ 100 cada mesa por R$ 180 
e cada estante por R$ 150 quantas unidades de cada tipo de produto devem 
ser produzidas para atingir o maior lucro possível?
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Observe o modelo de programação linear que representa esse problema 
na Figura 4. 
Figura 4. Modelo de programação linear do problema.
Variáveis de decisão
X1 = quantidade de cadeiras
X2 = quantidade de mesas 
X3 = quantidade de estantes 
Função objetivo 
Maximizar
L = 100 · X1 + 180 · x2 + 150 · x3
Restrições
Montagem 4 · x1 + 3 · x2 + 2. x3 ≤ 36
Acabamento 6 · x1 + 3 · x2 + 1 · x3 ≥ 50
Definir o objetivo pode não ser tão óbvio, pois em um determinado con-
texto o objetivo de uma empresa pode ser o de aumentaro número de clien-
tes, mesmo obtendo menor lucro. Em outro contexto, o objetivo pode ser a 
maximização do lucro, dependendo da estratégia da empresa. 
As variáveis de decisão podem ser escolhidas por quem está formu-
lando o problema, em função de sua relevância no caso em estudo. Já as 
restrições estão postas, em geral, e não podem ser escolhidas pelo gestor. 
O aplicativo mais difundido para tratar problemas de PO é o Excel e seu 
suplemento Solver. Há, inclusive, livros de PO que usam o Excel na resolução 
dos problemas. 
De qualquer forma, a modelagem matemática sempre será uma tarefa 
a ser cumprida por quem está realizando o estudo do caso: o analista. Ne-
nhum software vai abstrair o problema da realidade, decidir quais serão as 
variáveis e restrições para então traduzi-lo em linguagem matemática. 
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O pensar sobre o caso real e a construção do modelo permanecem sob 
domínio do profissional que realiza o estudo em PO.
Então, o que os aplicativos fazem?
Como em muitas outras áreas, os softwares que tratam de problemas 
abordados pela PO realizam as operações matemáticas necessárias para 
resolver o problema previamente modelado pelo profissional.
No caso da aplicação da técnica de programação linear, por meio do su-
plemento Solver do Excel, o profissional registra em uma planilha a estrutura 
do problema (modelagem matemática), composta pelas variáveis de decisão, 
função objetivo (equação) e restrições (inequações). Só depois disso abrirá o 
suplemento Solver para registrar alguns parâmetros da programação linear.
A Figura 5 apresenta a modelagem matemática de um problema em que 
se aplicou a técnica da programação linear em uma planilha Excel. 
Figura 5. Modelo matemático (programação linear) no Excel. 
Veja que a função objetivo (descrita no Fluxograma 1 no campo superior 
fx) foi escrita em função das células C4 e C5, que são as células que guardam 
os valores assumidos pelas variáveis de decisão L1 e L2, ou seja, a solução 
do problema. Como este ainda não foi resolvido, costuma-se colocar zero 
nas células destinadas às variáveis de decisão (C4 e C5).
Como as variáveis de decisão estão zeradas, as células que contêm as 
expressões matemáticas das restrições do modelo também ficam zeradas 
até que o problema seja resolvido. 
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Na Figura 6, vemos o suplemento Solver, do Excel. Nessa janela, temos 
que entrar com alguns argumentos extraídos do problema para o Solver 
resolvê-lo. Na Figura 6, o problema já foi solucionado pelo Solver.
Figura 6. Modelo matemático de programação linear resolvido no Solver Excel.
Outras técnicas
Há outras técnicas que costumam ser aplicadas na resolução de pro-
blemas. Esses métodos quantitativos de resolução de PO são baseados em 
conceitos matemáticos e estatísticos.
Dessa forma, algumas outras técnicas aplicadas em estudos de PO são:
• Simulação: a simulação é uma das técnicas mais utilizadas em PO. É 
uma ferramenta bastante fl exível, poderosa e intuitiva, que vem se popula-
rizando. Essa técnica consiste no uso de um computador para imitar (simu-
lar) a operação de um processo ou sistema. 
Existem alguns softwares que realizam simulações, como o Arena e o Pro-
Model. A Figura 7, apresenta uma tela de simulação realizada no ProModel.
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Figura 7. Exemplo de modelo para simulação Mfg_Cost.MOD. Fonte: Belge Engenharia (CDROM). Belge Consultoria. 
Acesso em: 13/10/2020.
• Análise PERT (Program Evaluation and Review Technique): esse méto-
do, técnica de avaliação e revisão de projetos, surgiu em 1958 na Marinha 
americana, sendo aplicado no planejamento e controle do projeto Polaris 
(míssil norte-americano). É considerado como uma técnica de redes, basea-
do na teoria dos grafos, sendo classificado como modelo pictórico de pes-
quisa operacional (ROBERTO, 2007).
O modelo PERT, que é probabilístico, pode auxiliar na definição de estimati-
vas em tarefas para as quais temos dificuldade em determinar um valor exato 
da atividade (custo, esforço ou duração). É uma técnica de fácil implementação, 
que pode ser realizada no MS Project, no Excel, ou em aplicativos específicos;
• CPM: o CPM (Critical Path Method), elaborado na multinacional Dupont, 
foi pensado para realizar paradas preventivas (setup), ou não, nas linhas de 
produção de uma indústria, dentro do menor prazo possível. No momento 
em que o gestor define uma sequência de atividades e determina indivi-
dualmente quanto tempo cada uma demanda, pode encontrar tarefas que 
impactam mais ou menos o prazo final de entrega.
Sendo assim, a proposta do CPM é a de indicar as atividades e apontar 
quais tarefas de uma sequência não podem ser alteradas em seu tempo de 
execução, sem que impliquem alteração na duração total de um projeto; o 
que é feito graficamente.
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Figura 8. Rede PERT com caminho crítico (CPM) do projeto. Fonte: BASTOS et al., 2014, p. 11. (Adaptado).
A
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73 369369
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385
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473
489
489
529
529
593
593
1 2 4 6 7 8 9 10 11 12 133 5
Ao construir os gráficos, podemos aplicar o diagrama de redes. Os grá-
ficos apresentam ligações e dependências entre tarefas por meio de flechas 
sólidas, flechas pontilhadas, círculos e de informações, como a direção das 
flechas e o tempo entre as atividades. A Figura 8 apresenta uma rede PERT 
com o caminho crítico do projeto em amarelo. 
Diferença entre o PERT e o CPM
A diferença básica entre PERT e CPM consiste no modo como são reali-
zadas as estimativas de tempo, considerando três estimativas. 
O PERT é um modelo probabilístico que utiliza três estimativas de tem-
po e a distribuição de probabilidade Beta para a determinação do tempo 
mais provável. Nesse sentido, o tempo previsto de conclusão de um proje-
to será a soma de todo o tempo esperado de atividades no caminho crítico.
O CPM é um modelo determinístico, que considera uma sequência de 
atividades com tempo fixo e postula que os tempos de atividade são conhe-
cidos e podem ser variados, alterando o nível dos recursos utilizados.
No Diagrama 3, temos uma comparação entre as duas técnicas, análise 
PERT e CPM. 
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DIAGRAMA 3. TÉCNICAS PERT E CPM
PERT
Modelo probabilístico
Média ponderada de
3 tempos possíveis:
Otimista
Provável
Pessimista
CPM
Modelo determinístico
Caminho crítico
• Teoria das filas: consiste no estudo do tempo de espera, por meio de 
modelos que representam os diferentes tipos de sistemas de filas (sistemas 
que envolvem filas do mesmo tipo) emergentes da prática. Esses modelos 
de filas são eficientes na determinação de como operar um sistema de fi-
las da melhor forma. Uma capacidade de atendimento excessiva envolve 
custos majorados, enquanto não ter capacidade de atendimento suficiente 
gera excesso de espera e implicações negativas. Os modelos de filas podem 
determinar um ponto de equilíbrio entre o custo e o tempo de espera. O 
Fluxograma 3 mostra um sistema com uma fila e múltiplos canais.
FLUXOGRAMA 3. SISTEMA COM UMA FILA E MÚLTIPLOS CANAIS
Chegada de clientes
Fila de clientes
Canais de serviço
Saída
 O caso do banco Itaú
A Figura 9 apresenta um modelo de simulação construído e rodado no 
software ProModel, utilizado para simular filas nos atendimentos de agên-
cia do Banco Itaú. Nesse caso, mesmo estudando um problema envolvendo 
filas, foi aplicada a técnica da simulação, por meio do ProModel.
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Segundo publicado no site da Belge Consultoria, o modelo permitiu ao 
gerente planejar o atendimento diário, o que os bancos costumam fazer ba-
seados na experiência (sem estudo algum). Esse projeto fez parte do pro-
grama interno do banco chamado de Agir, que estabeleceu metas de tempo 
máximo de espera. 
O analista encarregado do banco Itaú, Messias dos Santos, informou à 
Belge que as experiências piloto já estavam iniciando e que a meta seria 
implementar o programa nas 900 agências do Itaú, e em 1,1 mil postos de 
atendimento para, posteriormente, aplicar nas redes do Banerj e do Bemge.
Figura 9. Modelo de simulado de agência do banco Itaú. Fonte: Belge Consultoria. Acesso em: 13/10/2020. 
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Sintetizando
Nessa unidade, você estudou que a PO é uma área de estudo que envol-
ve métodos para tomada de decisões, abordados por diferentes técnicas. Por 
meio de um exemplo, podemos entender o que ocorre quando solucionamos 
problemas sem o uso da PO: as soluções encontradas não são tão boas, impli-
cando lucros menores e consumo desnecessário de recursos. 
O estudo de um problema por meio da PO é realizado, basicamente, em seis 
fases: elaboração do problema, construção do modelo matemático, desenvol-
vimento dos cálculos com uso do modelo, testagem do modelo e da solução, 
controle das soluções e implantação e acompanhamento.
Em geral, o objetivo é resolver o problema de forma que lucros, produtivida-
de ou outra variável sejam maximizadas, e os custos, perdas e ou outras variá-
veis negativas sejam minimizadas, submetendo esse objetivo a alguns limites 
(restrições), na busca da melhor solução possível (solução ótima).
Vimos que na PO o método principal é a programação linear, já que é o 
método mais conhecido e aplicado nessa área. Ademais, estudamos que a PO 
envolve conhecimentos de matemáticos e estatísticos, embora possua sua pró-
pria relevância na resolução de problemas de otimização.
Bons estudos!
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Referências bibliográficas
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. Rio de 
Janeiro: Elsevier, 2007.
BASTOS, L. S. L. et al. Rede PERT/CPM como instrumento de análise do sequencia-
mento de projetos em uma empresa de sistemas integrados de ERP. In: Simpósio 
de Engenharia de Produção, 21., 2014, Bauru. Anais... Bauru: UEPEA, 2014. [n.p.]. 
BELFIORE, P.; FÁVERO, L. Pesquisa Operacional para cursos de Engenharia. Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2013.
BELGE CONSULTORIA. Case Itaú. Disponível em: <https://www.belge.com.br/
serhos_itau_Port.php>. Acesso em: 13 out. 2020. 
COHEN, E. et al.Teoria de filas aplicada na solução de transportes. In: OLIVEIRA, 
R. D. et al. Pesquisa operacional no contexto das organizações. 1. ed. São Luís: 
Editora Motres, 2018. 
CORRAR, L. J.; GARCIA, E. A. da R. Programação linear: uma aplicação à contabi-
lidade de custos no processo de tomada de decisão. In: Congresso Internacional 
de Custos, 7., 2011, León. Anais... Léon: Universidade de Léon, 2001. [n.p.].
FOGLIATTI, M. C.; MATTOS, N. M. C. Teoria de filas. Rio de Janeiro: Editora Inter-
ciência, 2007.
HILLIER, F.S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. São 
Paulo: McGraw Hill, 2013.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 5. ed. Rio 
de Janeiro: Editora LTC, 2018.
ROBERTO, M. Pert CPM. Administradores.com, [s.l.], 18 ago. 2007. Disponível em: 
<https://administradores.com.br/artigos/pert-cpm>. Acesso em: 11 out. 2020.
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SISTEMAS
LINEARES
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Aprender a resolver problemas descritos por sistemas de equações lineares;
 Aplicar a regra de Cramer na resolução de sistemas lineares;
 Aplicar os métodos de Gauss e Gauss-Jordan na resolução de sistemas lineares.
 Sistemas de equações lineares
 Equações lineares
 Sistemas lineares
 Sistemas lineares equivalentes
 Discussão de sistemas lineares
 Determinantes
 Sistemas homogêneos
 Escalonamento de sistemas 
lineares
 Método de Gauss e Gauss-Jordan
 Método da matriz inversa
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Sistemas de equações lineares
Nessa unidade, você estudará os sistemas lineares, que podem representar 
muitos problemas do mundo real, como os apresentados nas áreas fi nanceiras, 
biológicas, industriais, comerciais e das engenharias.
Sistemas lineares são sistemas de equações algébricas lineares, e consti-
tuem um dos mais importantes temas da álgebra linear. São aplicados em mo-
delos de programação linear, um dos métodos mais simples, efi cazes e difundi-
dos da pesquisa operacional.
Iremos estudar os métodos para a resolução de sistemas, por isso aborda-
remos ao longo do texto problemas que encontram a sua modelagem matemá-
tica no sistema linear. 
A partir do entendimento do que um sistema linear pode representar e de 
métodos para resolvê-lo, você terá agregado à sua bagagem de conhecimen-
tos algumas estratégias fundamentais de resolução de problemas em distintos 
campos profi ssionais.
Equações lineares
Para defi nir sistemas lineares, que são sistemas compostos por equações 
lineares, vamos conceituar o que são equações lineares.
Uma equação linear com n incógnitas (x1, x2, x3, …, xn) é uma equação da forma:
a1 . x1 + a2 . x2 + a3 . x3 + … + an . xn = b (1)
Os números a1, a2, a3, …, an pertencem ao conjunto dos números reais e são 
denominados coefi cientes. b também é real e é chamado de termo independente.
Exemplos:
x1 + 2 . x2 - x3 = 10 (2)
5 . x1 - 2 . x2 - x3 = 0 (3)
x1 + x2 + x3 = -7 (4)
5 . x1 + 2 . x2 - x3 = 0 (5)
Observações:
• Equação linear homogênea é aquela que possui o termo independente 
igual a zero (Equações (3) e (5)); 
• Toda equação linear tem o expoente de todas as incógnitas igual a um;
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• Uma equação linear não apresenta termos mistos (xy, xz, …) nem raízes;
• x1 . x2 + x3 =2 e x1 . x2 + x3 = 0
2 , por exemplo, não são equações lineares.
Sistemas lineares
Um sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares, e pode 
ser resolvido por métodos que envolvem matrizes. 
As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser encontradas como 
representações de muitos problemas cotidianos, como os problemas resolvi-
dos por programação linear, por exemplo. A Figura 1 apresenta uma matriz 
com três linhas e três colunas:
Figura 1. Matriz 3 × 3. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 22/12/2020. 
Matrizes, de forma geral, são denotadas por letras maiúsculas. Assim, se 
chamamos uma matriz de A, seus elementos serão denotados por letras mi-
núsculas aij, em que i e j correspondem aos números de linha (i) e de coluna ( j), 
justapostos e subscritos à letra que representa o elemento (a).
Se uma matriz possui m linhas e n colunas, dizemos que a matriz ordem 
m × n a Figura 1, mostra uma matriz de ordem 3 × 3.
Uma matriz m × n é um quadro retangular com um número de elementos 
igual ao produto entre m e n, dispostos em m linhas e n colunas. Assim, uma 
matriz A pode ser representada pela Figura 2:
1
1
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Figura 2. Matriz m × n. 
Figura 3. Sistema linear S.
Desse modo, a matriz A, de ordem m × n, possui um número de elemen-
tos igual ao produto entre m e n, sendo seus elementos da forma aij, com i = 
1, …, m. e j = 1, …, n.
Outras formas de representar uma matriz A são: A = [aij ]m × n ou A = (aij )m × n.
Agora que você já relembrou o que é umamatriz, podemos estudar uma 
definição de sistema linear fundamentada no conceito de matriz.
Um sistema de equações lineares, geralmente denominado sistema li-
near, é um conjunto de m (m ≥ 1) equações lineares com incógnitas x1, x2, ..., xn, 
ou seja, é um conjunto de equações conforme o mostrado na Figura 3:
S é um sistema linear que pode ser escrito como a equação matricial:
A . X = B (6)
A =
a11
a21
⋮
⋮
ai1
am1
a1j
a2j
⋮
⋮
aij
amj
a12
a22
⋮
⋮
ai2
am2
⋯
⋯
⋱
⋱
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋱
⋯
⋯
a1n
a2n
⋮
⋮
ain
amn
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ⋯ + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ⋯ + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ⋯ + a3n xn = b3
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ⋯ + amn xn = bm
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
S:
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Em que: 
• A matriz A é formada pelos coeficientes das variáveis de cada equação;
• A matriz X representa as variáveis do sistema;
• A matriz B é formada pelos termos independentes das equações.
Vamos a um exemplo:
O sistema linear 2 
. x + y = 10
x + 3 . y = 15 pode ser representado matricialmente por:
. =A . X = B → 1 3
2 1
y
x
15
10 (7)
A solução de um sistema linear A . X = B é uma matriz coluna de números reais:
S = [s1 s2 ⋮ sn ], de forma que todas as equações que compõem o sistema são satisfeitas, 
simultaneamente, quando ocorrem as substituições: x1 = s1, x2 = s2 , x3 = s3 , ..., xn = sn.
Logo, S satisfaz a equação matricial A . S = B, e o conjunto de todas as solu-
ções do sistema é chamado de conjunto solução do sistema.
Veja como isso se aplica ao sistema:
5 . x1 + 4 . x2 = 180
4 . x1 + 2 . x2 = 120
(8)
(9)
Sua representação matricial matricial A . X = B é:
. =4 2
5 4
x2
x1
120
180 (10)
Esse sistema possui uma solução única, X = [20 20], que satisfaz as duas equa-
ções que compõem o sistema linear. Vamos verificar isso substituindo x1 = 20 e 
x2 = 20 em cada uma das equações.
Figura 4. Matrizes da equação (8).
, X =
x1
x2
⋮
xn
e B =
b1
b2
⋮
bm
A =
a12 ⋯ a1n
a22 ⋯ a2n
⋮ ⋱ ⋮
a11
a21
⋮
am1 am2 ⋯ amn
PESQUISA OPERACIONAL 43
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 43 09/02/2021 11:25:48
Em 5 . x1 + 4 . x2 = 180:
5 . 20 + 4 . 20 = 100 + 80 = 80 (11)
O conjunto solução X = [20 20] satisfaz a Equação (8). 
Em 4 . x1 + 2 . x2 = 120:
4 . 20 + 2 . 20 = 80 + 40 = 120 (12)
O conjunto solução X = [20 20] satisfaz a Equação (9). 
EXPLICANDO
A notação de um sistema linear pode ser feita de formas diferentes no que diz 
respeito às variáveis. Você pode escolher usar letras (x, y, z etc.) ou usar a letra x 
com um índice subscrito (x1, x2, x3 etc.) para representar as variáveis. Não existe 
certo ou errado. Entretanto, usar a letra x com um índice subscrito é bastante 
adequado para sistemas de qualquer dimensão, já que notações que usam 
letras do alfabeto se limitam à quantidade de letras desse mesmo alfabeto. 
A equivalência de sistemas lineares envolve, também, o conceito de matriz 
aumentada ou ampliada do sistema.
Considerando um sistema linear A . X = B, chamamos de matriz aumentada 
(denotada por Au), ou ampliada do sistema, a matriz obtida ao acrescentarmos 
a matriz dos termos independentes (B) à direita da matriz dos coeficientes (A). 
A sua notação é Au = [A ⋮ B].
Au é uma matriz de ordem m × (n + 1), sendo as n primeiras colunas iguais 
às da matriz A (dos coeficientes) e a última coluna igual à da matriz B (dos 
termos independentes).
Dessa forma, se um sistema linear é formado por quatro variáveis e quatro 
equações, a matriz ampliada que representa esse sistema será de ordem 4 × 5. 
Essa ordem ocorre porque o sistema apresenta quatro equações (o que corres-
ponde a quatro linhas) e quatro variáveis (o que corresponde a quatro colunas 
de coeficientes), o que determina que a matriz dos coeficientes tem ordem 4 × 
4 (quatro linhas por quatro colunas). Já a matriz ampliada tem uma coluna a 
mais, onde ficam os termos independentes das equações. Portanto a ordem da 
matriz ampliada será 4 × 5 (quatro linhas e cinco colunas).
Por exemplo, a matriz aumentada do sistema x + y + z = 7
- x + y + z = 6
2 . x - y - z = -4
 é:
PESQUISA OPERACIONAL 44
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 44 09/02/2021 11:25:48
(13)-1
2
1
⋮
⋮
⋮
6
-4
7
1
1
-1
1
1
-1
Realizando operações elementares na matriz Au, também alteramos os ele-
mentos da matriz B, obtendo uma matriz equivalente Ãu = [Ã ⋮ 
~B]. Dessa forma, 
o sistema inicial será alterado para o sistema à . X = ~B.̃
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas de equações lineares são denominados equivalentes se as 
suas matrizes aumentadas Au = [A ⋮ B] e Ãu = [Ã ⋮ 
~B ̃] são equivalentes.
Duas matrizes A e à são chamadas de matrizes equivalentes se uma delas 
for obtida ao realizarmos operações elementares na outra. Veja o exemplo:
Considere A = [1 2 3 0 0 1 1 2 0 ]. Se fi zermos as seguintes operações elemen-
tares (Li = Linha i): 
(14)0
0
1
0
2
0
1
3
-3
L3 = L3 - L1 → Ã =
(15)L33 → Ã =L3 = 00
1
0
2
0
1
3
-1
(16)L3 = L3 + L2 → Ã = 0
0
1
0
2
0
1
3
0
Teremos que A = [1 2 3 0 0 1 1 2 0] e à = [1 2 3 0 0 1 0 0 0] são matrizes 
equivalentes, pois à foi obtida de A por meio de operações elementares.
Agora que você já sabe o que são matrizes equivalentes, podemos voltar 
a falar em sistemas equivalentes. Importante lembrar que sistemas lineares 
equivalentes possuem a mesma solução.
Interpretação geométrica do sistema linear
Cada uma das equações do sistema de três variáveis (x, y, z) representa um 
plano. A solução do sistema é o conjunto de valores que x, y e z devem assumir, 
de modo que satisfaçam, simultaneamente, as três equações que formam o 
sistema. Isso, geometricamente, signifi ca a intersecção dos três planos. Essa 
intersecção, a solução do sistema, geometricamente é representada por um 
ponto, cujas coordenadas são iguais à solução do sistema linear.
PESQUISA OPERACIONAL 45
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 45 09/02/2021 11:25:48
Discussão de sistemas lineares
Discutir sistemas lineares consiste em classifi car os sistemas analisando os 
tipos de soluções que apresentam. Um sistema linear pode ter uma única solu-
ção, infi nitas soluções ou não ter solução alguma. 
Classifi cação de sistemas lineares
Podemos classifi car os sistemas lineares em:
• Sistema possível e determinado (SPD);
• Sistema possível e indeterminado (SPI);
• Sistema impossível (SI).
Para classifi car um sistema linear, observam-se os coefi cientes das equa-
ções em relação ao determinante da matriz que representa os coefi cientes 
das equações.
Determinantes
À toda matriz quadrada pode ser associado um nú mero real chamado de-
terminante. Pode-se dizer que o determinante é uma função matricial que 
associa um escalar à cada matriz quadrada, representando a matriz por um 
número real. Vejamos como calcular determinantes.
Determinante de matriz 1 × 1
O determinante de uma matriz quadrada de primeira ordem é igual ao pró-
prio elemento da matriz. Dessa forma, para cada matriz A = [a] o determinante 
de A, denotado por det(A), é igual a a. Portanto, det(A) = a. Por exemplo, a matriz 
A de ordem 1 × 1, A = [-20], tem como determinante -20.
Uma das formas de visualizar esses planos e a solução do sistema é imple-
mentar as equações em softwares de matemática dinâmica, como o GeoGebra.
DICA
O GeoGebra é um software gratuito, robusto e efi ciente 
para estudar matemática e estatística. Para ter acesso a 
ele, basta visitar o site da GeoGebra e baixar o aplicativo, 
que também está disponível on-line e para smartphones.
PESQUISA OPERACIONAL 46
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 46 09/02/2021 11:25:49
Determinante de matriz 2 × 2
O determinante da matriz A = [a11 a12 a21 a22] é dado por:
det (A) = |A| = a11 . a22 - a12 . a21 (17)
O determinante da matriz quadrada de ordem dois é igual à diferença entre 
o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da 
diagonal secundária.
O determinante da matrizA = [2 1 -1 -1] é calculado por:
det (A) = |A| = a11 . a22 - a12 . a21 = 2 . (-1) - 1 . (-1) = 
-2 - (-1) = -2 + 1 = -1→ det (A) = -1
(18)
Determinante da matriz 3 × 3
A introdução ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem 3 × 3, em 
geral, é realizada no Ensino Médio, utilizando a regra de Sarrus.
O método proposto pela regra de Sarrus consiste em efetuar os passos:
1. Copiar as duas primeiras colunas, no lado direito da matriz;
2. Multiplicar os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da 
diagonal principal, multiplicar os elementos das outras duas paralelas à diago-
nal principal à sua direita;
3. Multiplicar os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os 
elementos das outras duas paralelas à sua direita;
4. O determinante da matriz é a diferença entre o produto obtido no passo 
2 e o produto obtido no passo 3.
Vejamos um exemplo, em que o determinante da matriz A é calculado pela 
regra de Sarrus. Dada a matriz A = [1 2 3 0 2 4 -1 3 5], observe a Figura 5 e as 
equações que a seguem.
Figura 5. Passos da regra de Sarrus para cálculo do determinante da matriz A.
det(A) = 
1
0
-1
2
2
3
3
4
5
1
0
-1
2
2
3
PESQUISA OPERACIONAL 47
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 47 09/02/2021 11:25:49
det(A) = |1 2 3 0 2 4 -1 3 5| 1 2 0 2 -1 3 → 
1 . 2 . 5 + 2 . 4 . (-1) - [3 . 2 . (-1) + 1 . 4 . 3 + 2 . 0 . 5] =
10 - 8 - [-6 + 12 + 0] → det det (A) = -4
(19)
Para as notações de determinante temos:
• det(A) ou |A|;
• Na forma matricial, as duas barras (com ou sem colchetes internos) deno-
tam que se trata do determinante da matriz, como em |a11 a12 a21 a22|, ou seja, o 
que se está considerando é o número associado à matriz (determinante), e não 
especificamente à matriz correspondente.
A regra de Cramer é baseada em determinantes, sendo utilizada para re-
solver sistemas de equações lineares cujos números de equações e variáveis 
são iguais, sendo mais adequada para a resolução de sistemas pequenos, por-
que implica no cálculo de determinantes que será tanto maior quanto maior 
for a dimensão do sistema.
Assim, considere um sistema de equações lineares em que o número de 
equações é igual ao número de incógnitas (isto é, m = n), o que implica em A 
(matriz dos coeficientes) ser uma matriz quadrada.
Se det (A) ≠ 0, o sistema será possível e determinado e terá uma solução 
única, sendo a solução do sistema A . X = B dada por:
det(Ai )
det(A)xi = , i = 1, 2, 3, ..., n (20)
Em que det(A) é o determinante da matriz obtida da matriz A, substituindo-
-se a sua i - ésima coluna pela matriz B dos termos independentes.
Exemplo:
Vamos resolver o sistema x1 + x2 = 63 . x1 - x2 = 2
 pela regra de Cramer:
(21)det(A) = = 1 . (-1) - 1 . 3 = -43
1
-1
1
Como det (A) ≠ 0, o sistema possui uma solução única. 
Nesse caso, prosseguiremos com a resolução, mas, caso 
det(A) = 0, o sistema seria impossível, já que, con-
forme a regra de Cramer, com det(A) = 0, seria 
exigida uma divisão por zero, o que não é pos-
sível. Por isso, o sistema é chamado de impos-
sível ou indefinido.
PESQUISA OPERACIONAL 48
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Para encontrar x1, temos A1 sendo obtida a partir da matriz A, substituindo a 
primeira coluna de A pela matriz B, dos termos independentes. Ou seja:
det(A1)
det(A)
-8
-4= -6 - 2 = -8 → x1 = = = 2 (22)2
6
-1
1det(A1) =
Para encontrar x2, temos A2 sendo obtida a partir da matriz A, substituindo a 
segunda coluna de A pela matriz B, dos termos independentes. Ou seja:
det(A2)
det(A)
-16
-4= 2 - 18 = -16 → x2 = = = 4 (23)3
1
2
6det(A2) =
Portanto, o conjunto solução do sistema x1 + x2 = 63 . x1 - x2 = 2
 é S = {2, 4}.
Determinantes de matrizes de qualquer ordem
Para definir o determinante de uma matriz quadrada de ordem superior a 
dois, podemos utilizar menores e cofatores.
Dada uma matriz quadrada A = [aij ]n, a menor da matriz A, chamada de 
Mij, é uma submatriz de ordem (n - 1) obtida ao excluir a linha i e a coluna j. 
Veja a Figura 6. 
Figura 6. Matriz A e sua menor, Mij.
A = ⟹ Mij = [aij ](n - 1)
a11
a21
⋮
⋮
ai1
an1
a1j
a2j
⋮
⋮
aij
anj
a12
a22
⋮
⋮
ai2
an2
⋯
⋯
⋱
⋱
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋱
⋯
⋯
a1n
a2n
⋮
⋮
ain
anm
Se:
Com:
a1(j - 1)
⋮
⋮
a(i - 1)(j - 1)
a(i + 1)(j - 1)
an(j - 1)
a11
⋮
a(i + 1)1
a(i - 1)1
an1
⋮ ⋱
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
a1(j + 1)
⋮
⋮
a(i - 1)(j + 1)
a(i + 1)(j + 1)
an(j + 1)
⋱
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
a1n
⋮
⋮
a(i - 1)n
a(i +1)n
ann
Mij =
PESQUISA OPERACIONAL 49
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 49 09/02/2021 11:25:51
Figura 7. Resolução do exemplo da menor, M34, da matriz A.
Cofatores dos elementos de uma matriz 
O cofator Aij do elemento na posição (i, j) de uma matriz A é calculado pelo 
produto do determinante de Mij pelo valor de (-1)
i + j, ou seja:
Aij = (-1)
i + j . det (Mij) (24)
Exemplo:
Vamos determinar os cofatores Aij dos elementos da matriz A = [1 2 3 0 2 4 -1 
3 5], e a respectiva matriz de cofatores de A. Veja a Figura 8 com o passo a passo.
Exemplo:
A (matriz) menor da matriz A, sendo M34 (que pode ser vista na Figura 7b), é:
A =
2
0
2
1
0
5
3
2
1
-1
3
0
-1
1
0
6
4
0
1
0
4
1
3
1
0
A
B
Resolução
2
0
1
0
5
3
1
-1
3
0
1
0
4
1
1
0
A =
6
4
1
0
2 2-1 3 0 M34 =
2
0
1
0
3
0
1
0
4
1
1
0
6
4
1
0
PESQUISA OPERACIONAL 50
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 50 09/02/2021 11:25:52
Logo, a matriz de cofatores de A é denotada por:
A11
A21
A31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
-2
-1
2
-4
8
-4
2
-5
2
Cof(A) = = (25)
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2, é igual à soma 
dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos 
seus respectivos cofatores.
Considerando uma matriz A de ordem n, A = [aij ]n, no geral, o cálculo do de-
terminante referido a qualquer linha k é dado por:
|A|= ∑ i = 1
n akj . Akj (26)
Em que k é uma linha fixa.
Por outro lado, o cálculo do determinante referido a qualquer coluna k é dado por:
|A| = ∑ i = 1
n aik . Aik (27)
Figura 8. Passo a passo do exemplo da determinação dos cofatores Aij dos elementos da matriz A.
A11 = (-1)1 + 1 . = 1 . (2 . 5 - 4 . 3) = -2
2 4
3 5 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
A21 = (-1)2 + 1 . = -1 . (2 . 5 - 3 . 3) = -1
2 3
3 5 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
A12 = (-1)1 + 2 . = -1 . (0 . 5 - 4 . (-1)) = -4
0 4
-1 5 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
A13 = (-1)1 + 3 . = 1 . (0 . 3 - 2 . (-1)) = 2
0 2
-1 3 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
A22 = (-1)2 + 2 . = 1 . (1 . 5 - 3 . (-1)) = 8
1 3
5 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
-1
A23 = (-1)2 + 3 . = -1 . (1 . 3 - 2 . (-1)) = -5
1 2
3 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
-1
A31 = (-1)3 + 1 . = 1 . (2 . 4 - 3 . 2) = 2
2 3
4 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
2
A32 = (-1)3 + 2 . = -1 . (1 . 4 - 3 . 0) = -4
1 3
4 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
0
A33 = (-1)3 + 3 . = 1 . (1 . 2 - 2 . 0) = 2
1 2
2 A = 0 2 4-1 3 5
1 2 3
0
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DIAGRAMA 1. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Em que k é uma coluna fixa.
O desenvolvimento mostrado para o cálculo do determinante (usando linhas ou 
colunas) é comumente conhecido como desenvolvimento, ou teorema, de Laplace. 
Vamos a um exemplo:
Considerando o exemplo anterior, calcularemos o determinante da matriz 
A = [1 2 3 0 2 4 -1 3 5].
Sabemos, pelo desenvolvimento do exemplo anterior, que a matriz dos cofato-
res de A é Cof(A)= [-2 -4 2 -1 8 -5 2 -4 2], então, para calcular o determinante da matriz 
A basta eleger uma linha ou uma coluna da matriz A, e calcular o somatório dos 
produtos dos elementos dessa linha ou coluna por seus correspondentes cofatores.
Tomando a linha 2 para realizar o cálculo do determinante, temos:
|A| = 0 . (-1) + 2 . 8 + 4 . (-5) = -4 → det(A) = -4 (28)
Você pode verificar que o valor do determinante é o mesmo, independente-
mente da linha ou coluna escolhida.
Agora que você conhece o conceito de determinante e sabe como fazer o 
cálculo de determinantes, poderá analisar os coeficientes das equações dos 
sistemas lineares e seus determinantespara discutir sobre o tipo de solução 
que apresentam, o que permite que você classifique cada sistema como possí-
vel e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
O Diagrama 1 sintetiza a classificação de sistemas lineares quanto ao nú-
mero de soluções.
Det(A)≠0
Sistema
Det(A)=0
Sistema
Possível e 
determinado
Possível e 
indeterminado Infinitas soluções
Impossível Não tem solução
Solução única 
PESQUISA OPERACIONAL 52
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 52 09/02/2021 11:25:54
Observe a discussão dos sistemas que se segue:
1º sistema:
x - y + z = 3
2 . x + y - 3 . z = 4
3 . x - y + 2 . z = 6
(29)S1 :
Temos três equações e três variáveis, m = n, e o determinante da matriz dos 
coeficientes do sistema S1 é:
1
2
3
-1
1
-1
1
-3
2
det = = 7 ≠ 0 (30)
Como det ≠ 0, o sistema é possível e determinado (uma única solução).
2º sistema:
(31)x + 2 
. y = 1
3 . x + 6 . y = 3 ⤸ 3 
. (x +2y = 1)S1 :
Temos duas equações e duas variáveis, m = n, e o determinante da matriz 
dos coeficientes do sistema S1 é:
1
3
2
6 = 1 
. 6 - (2 . 3) = 6 - 6 = 0 (32)
Como det(A) = 0, o sistema é possível e indeterminado (há infinitas soluções).
Como um exercício, vamos ver qual o valor de a para que o sistema a . x - y = 82 . x + 4 . y = 6 
seja possível e determinado (SPD)?
Para que o sistema seja SPD, o determinante da matriz dos coeficientes de-
verá ser diferente de zero. Dessa forma:
(33)a 
. x - y = 8
2 . x + 4 . y = 6 → (SPD) ⇒ D =
a
2
-1
4 ≠ 0
4 . a - (-2) ≠ 0 (34)
4 . a ≠ -2 (35)
a ≠ - 1
2
 (36)
DICA
Você pode calcular os determinantes por outros métodos, como pela 
regra de Sarrus, por exemplo, mas nesse caso, a regra se aplica somente 
a matrizes 3 × 3. Por outro lado, usando a menor e cofatores você calcula 
o determinante para qualquer matriz quadrada. Atualmente, o cálculo de 
determinantes é realizado por meios computacionais, então é necessário 
que você saiba como é feito o cálculo, mas, especialmente, saiba no que 
o determinante pode ajudá-lo na hora de resolver um problema. Como 
vimos, ele pode indicar o número de soluções que um sistema possui.
PESQUISA OPERACIONAL 53
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 53 09/02/2021 11:25:56
Sistemas homogêneos
Sistema homogêneo é aquele cujos termos independentes de todas as 
equações que o compõem são nulos. A forma geral do sistema homogêneo é 
indicada na Figura 9.
Figura 9. Forma geral do sistema homogêneo.
• Qualquer sistema homogêneo de n variáveis admite, pelo menos, a sequên-
cia ordenada 0, 0, ..., 0 como solução, porque essa sequência ordenada satisfaz 
a todas as equações do sistema, chamada de solução nula, trivial ou imprópria;
• Um sistema homogêneo é sempre possível, porque possui, ao menos, a 
solução trivial;
• Se o sistema homogêneo possui apenas a solução nula, ele é possível 
e determinado;
• Se o sistema homogêneo possui outras soluções além da nula, ele é possí-
vel e indeterminado. Essas soluções são próprias ou não triviais.
Posto
Uma outra forma de discutir sobre as soluções de um sistema linear é ba-
seada no conceito de posto da matriz.
Se A é uma matriz de ordem m × n, na forma escalonada, o posto da matriz 
é determinado pelo seu número de linhas não nulas. Sua notação é p(A).
EXPLICANDO
As linhas não nulas obtidas ao reduzir uma matriz à sua forma escada são 
denominadas linhas linearmente independentes.
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ⋯ + a1n xn = 01
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ⋯ + a2n xn = 0
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ⋯ + a3n xn = 0
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ⋯ + amn xn = bm
⋯ ⋯ ⋯ .. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
S:
PESQUISA OPERACIONAL 54
SER_GESTFIN_ PESOP_UNID2.indd 54 09/02/2021 11:25:56
Nulidade de uma matriz
Considere uma matriz A de ordem m × n. A nulidade da matriz é dada pela 
diferença entre o número de colunas e o seu posto. Sua notação é nul(A) - p, 
em que n = número de colunas da matriz A.
Vamos a um exemplo:
Vamos encontrar o posto e o espaço nulo da matriz A = [1 2 1 0 -1 0 3 5 1 -2 1 1 ].
Escalonando a matriz A, temos a matriz equivalente, na forma escalonada 
à = [1 0 0 -7/8 0 1 0 -1/4 0 0 1 11/8], então o posto e o espaço nulo da matriz são 
dados por p(A) = 3. Assim, nul(A) = 4 – 3 = 1.
Classificação de sistema linear usando o conceito de posto de matriz
Aplicando o conceito de posto e considerando as notações:
• Au: matriz ampliada do sistema;
• p(A): posto da matriz A; 
• p(Au): posto da matriz aumentada do sistema A . X = B;
• n: número de colunas da matriz dos coeficientes (igual ao número de va-
riáveis do sistema).
As soluções de A . X = B apresentam as características sintetizadas no 
Diagrama 2.
DIAGRAMA 2. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Se p(A) ≠ p (Au); Sistema
Se p(A) = p (Au); Sistema
Se p(A) = n
Se p(A) < n
Possível e determinado
Possível e indeterminado
Impossível
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Escalonamento de sistemas lineares
O escalonamento de matrizes pode ser aplicado para simplifi car a resolução 
de um sistema linear, por meio de operações sobre os elementos pertencentes 
às linhas da matriz ampliada que representa o sistema, chegando a uma ma-
triz equivalente. Essa matriz equivalente, na parte referente aos coefi cientes das 
equações do sistema, estará na forma escalonada, como a matriz da Figura 10.
Método de Gauss e Gauss-Jordan 
Método de Gauss
Um método mais simples, mais fácil de ser programado e de menor custo 
computacional é baseado no escalonamento de matrizes, que transforma o 
sistema linear original em um sistema linear equivalente, apresentando uma 
matriz dos coefi cientes na forma escalonada.
O método de Gauss consiste em reescrever um sistema de equações na 
forma escalonada por linhas, o que geralmente envolve uma série de siste-
mas equivalentes, usando as operações elementares para obter cada sistema 
equivalente. Esse processo é chamado de eliminação de Gauss, ou elimina-
ção gaussiana, em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss 
(1777–1855).
Figura 10. Matriz na forma escalonada.
A regra de Cramer para cálculos de determinantes não é adequada para 
resolução de sistemas grandes, em função da quantidade de cálculos de deter-
minantes necessários para utilizá-la. Por exemplo, um sistema 5 × 5 demanda o 
cálculo de seis determinantes de ordem 5.
-2 3 ⋮ 9
1 3 ⋮ 5
0 2 ⋮ 4
1
0
0
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Uma forma de iniciar o método é a partir do canto esquerdo de cima do 
sistema, mantendo o x1 no canto esquerdo de cima e eliminando os outros ter-
mos em x1 da primeira coluna (devem ficar iguais a zero). Em seguida, passamos 
para a segunda coluna, buscando eliminar os termos em x2, abaixo da segunda 
linha. As operações elementares permitidas para se escalonar uma matriz são:
• Trocar de posição duas linhas da matriz que representa o sistema;
• Substituir uma equação pela mesma equação multiplicada por um escalar 
diferente de zero;
• Substituir uma equação pela mesma equação somada a outra equação 
multiplicada por um escalar.
As matrizes A e B (Figura 11) estão representadas na forma escalonada 
(ou escada):
Figura 11. Matrizes A e B na forma escalonada. 
Vamos a um exemplo:
Vamos resolver o sistema 
x - 2 . y + 3 . z = 9
-x + 3 . y = -4
2 . x - 5 . y + 5 . z = 17
 pelo método de Gauss.
Associando uma matriz ampliada ao sistema, temos:
(37)
1
-1
2
-2
3
-5
3
0
5
9
-4
17
⋮
⋮
⋮
Realizando as operações elementares necessárias (considerando Li = cada linha i):
Para eliminar o a21 = -1:
1
0
2
-2
1
-5
3
3
5
9
5
17
⋮
⋮
⋮
L2 = L2 + L1 → (38)
2 3
1 1
0 2
1
0
0
A = , B =
1 2 2
3 4 2
0
0
5
0
7
2
1
0
0
0
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Para eliminar o a31 = 2:
1
0
0
-2
1
-1
3
3
-1
9
5
-1
⋮
⋮
⋮
L3 = L3 - 2L1 → (39)
Para eliminar o a32 = -1, temos a Figura 12.
Figura 12. Eliminação de a32 = -1.
Nessa