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29/10/2016 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/85215/novo/1 1/4
Matriz Discursiva UTA B FASE II – 22/08 até 16/09
PROTOCOLO: 201609011249148B9133DDIONE FERREIRA DA SILVA - RU: 1249148 Nota: 72
Disciplina(s):
Eletromagnetismo
Data de início: 01/09/2016 17:10
Prazo máximo entrega: 01/09/2016 18:40
Data de entrega: 05/10/2016 18:33
Questão 1/5
O cálculo de vetores unitários permite a determinação de um vetor com a mesma direção e sentido de um outro vetor 
qualquer. Esta ferramenta é utilizada para separar o módulo, ou amplitude, da direção e sentido de um vetor e simplifica 
as operações com grandezas vetoriais.  
Resposta:
Questão 2/5

Voce precisa encontrar a direção e o sentido do vetor :T resultante da operação
entre os vetores M = -lda, + 4:13, - Bag e N = 3:1, + ?::¿,, - 2:15. Sabendo que
a operação necessária pode ser representada por -SM' + BN, qual das respostas
a seg uir contem o vetor unitãno desejado?
Realizando a operação desejada encontramos os fatores de E
c = -srt: + 3:: = -s(-1o:.:, + 4:13, - seg) + area, + zzzl, - zaz)
C' = 3El::,., - 12:13. + Ef-1-:za + 24:11. + 21:13, - 6:13
C = 54:11 + 9:13 + 13:13 [.`(54.9,1E) {:ttiÍngiu 50%)
Com isso podemos calcular o vetor unitãrio de C:
54:11. + 9:13, + 15:15 5-'-111,, + 9:13, + 15:13E _ _
¬ls4= + se + 1s= 5163
C' = 0.94-::,_. + ü.1t5:l¡. + D,31:1_., [::.tiflgtt: 100%)
A densidade de corrente e uma das grandezas fundamentais do
eletromagnetismo. E tem utilização no calculo de campos eletncos e magneticos.
Um condutor cilíndrico de cobre com raio de z cm. e percorndo por uma corrente
de zoo A- lIietenT|ine a densidade de corrente- Sabendo que a densidade de
I
corrente e dada por: Í I E e que a ãrea do circulo pode ser calculada por HRÍ.
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Resposta:
Questão 3/5
A álgebra vetorial é indispensável para o entendimento de campos elétricos e magnéticos. 
Resposta:
Questão 4/5


Soluçao:
Trata-se da aplicação da aplicação direta do conceito de densidade de correte_
Precisamos, primeiro, calcular a ãrea da seção transversal deste cilindro:
5 = m-2 = z~:(o,ozj:2 = 1,25? :›: :Lo-3 mg
Agora a densidade de corrente pode ser dada por:
-I- ZDB -1ssz:o-1;' 2J s 1,25? rz: 1o-3 * m
Dados os pontos: M{1,-2,-1),N(-2,13) e P(-4,0, 1) indique a opção que
contem: o produto escalar RMN -HMF e o angulo entre RM” E Rms Sabendo que
o produto escalar entre dois vetores pode ser encontrado por: A - B =
|A||B|cosH_.,_5 e que o produto vetorial pode ser encontrado por: A:.~=:B=
:1¡.¡|A||B|sen6'
Para calcular o produto escalar Rm; -HMP precisamos, primeiro calcular Rm; e
RMFI
RMN==[-2,1,3) (1, 2, 1)-(3,3,-41-)
RMp=(4,ü,1) (1, 2, 1)-(3,2,2)
Sendo assim, o produto escalar RMT -HMP e dado por:
RMN ' HMP = , 3, ' (3, 2, = -9 + El + 8 = 5(flÍÍI1T1gl:'lL
Por sua vez, o ângulo El entre RMN e Rms pode ser calculado por:
R -R 5
B = cos`1íMNMF = cos`1 |
|R:«:N||Rn›:1=| N/r32+32+43\.¡32+22+22
5 5
El = cos"1 _ cosflí = TSE :ztin t`.t:.1t)El'¡}'\fs2 + s2 +42¬js2 + 22 + 22 «ils-4:1? í 5 D)
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Resposta:
Questão 5/5
O estudo dos campos vetoriais fundamenta todo o estudo do eletromagnetismo. 

Determine a profundidade de penetração 5 para o aluminio que tem
condutividade cr = ss,z Msƒm. e permissividade jz, = 1 supondo que a frequencia
da onda seja ƒ = 1,5 MH.:-. Sabendo que a profundidade de penetração pode ser
e encontrada por:
13 =í
¬,_,lrrƒ:.:.::r
_"I'.ISabendo que pc. = 4--r: af.: 1o
Solução:
Trata-se da aplicação direta da equação do cãlculo da profundidade de
penetração, ou efeito pelicular.
1
5 _ Jzftz--zw
Lembrando que p = p,,,u,¡, e substituindo, temos:
1
5 _ _ _ _ _ 64,3?? ju.-fr:
.,/zfz(1,s vz 1o=~)(zizfr :zé 1o-i](ss,z ;›: 1ofi=)
Dados os campos vetoriais F e G definidos por F = -1o::,, + zb;:y::,.e G =
z;:1y::_., - 4-::¿,. + z::,,. Considerando o ponto P(z, 3, -4) encontre:
1- Ds modulos de .F e G neste ponto;
2- Um vetor unitãrio na direção F - G;
3- Um vetor unitãrio na direção F + G-
Itaberaba
Realce
u = 4pi x 10^-7 * 1
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Resposta:
 Cs modulos no ponto P-(2. 3. -4} serão dados port
F = -1EI:1I + 2.i1.1i:}f:1],.
F = -1o‹z, + zo{z}(s]‹z,,
F = -1ovz,, + 1zo:z_,. |r| = :-¬ = JD= 1zo,‹1
E = 21:25-,f::,, - -'-ta), +z::,
E = 2II2)1lI3IIflz - 41%» + lÍ_4}flz
:: = aaa, - 4:z,, - 4a., |:;| = rs =¬ = z=1,asa |zai:inE,1:1 asas]
r-:rD vetor unitãno F - G será dado por: :___ Sendo assim:
Calculando o vetor diferença:
F - c = [-1o::, + 1zoa,,) - (zm, - z1¬::,, - z1¬::,,)
F- E = |[-1o- z4]::,, + |[1zb+4]u,, + (ti + =1]::,
F-::= -s4::,, + 12-mg +-uz, |F- ::| = F- o = ¬,l':-142 + 11»-11 + --12 = 1za.s
Logo o vetor unitãrio será dado por:
F-E =-1-]4:1I+124:1ç+4::._, _ _
IF _ GI = 125 E : -lil.2i5›:1,, + tII.96::¡,. + lIl,D3:r, [atingiu 33%)
.lã o vetor unitãrio na direção de .F + E será dado poi: %=_
F + :; = [-1o::, + 1zoa,,) +(z4:1,, - z1a,, - z1¬::,,)
E+ :; = iz-1o+ z4):z,, +|[1zo-4111,, + (o - 41a,
F+:; = 14:1,, + 11a::,, -4:1, |F+ :;| = F+o = ,E141 + 11:ã==+4= = 116,9
Destafomta:
F+G 14:r,+11|5:rr¡,,-4:1, _ _
IF ___ GI _ WFEEZ _ fJ-,12:1, + D.99:¡_,, - D.t13::, [atingtu 33%]
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Matriz Discursiva UTA B FASE ll - 22/08 até 16/09
ROBERSON ADRIEL BERGMANN LEDEBUHR - RU: 1266943 Nota: 58 PROTOCOLO 2016083012669¡-I3B89E3A
DiscipIina[s]:
Eletromagnetismo
Data de início: 30/08/2016 19 2Ll
Prazo máximo entrega: 30/08/2016 20 5Ll
Data de entrega: 16/09/2016 18 12
Questão 1/5
Ú estudo dos campos magneticos no interior de materiais permitiu relacionar a
densidade de corrente com o campo magnetico e este com a densidade de fluzo.
Principalmente por que conseguimos entender como funcionam caracteristicas
intrínsecas do material como a susceptibilidade e a permeabilidade. Sabemos
que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo magnetico por:
;=vxH
Podemos tambem relacionar a densidade de flu:-to magnetico com o campo
magnético, em um material isotropico e homogeneo por B = 11,, (H + K,:,,HÍl onde
pu = 4-1: :›=: 1o“? e o operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte
equação diferencial parcial:
(EF + :SF ___ EF )
as “t sy “J” az “E
Que, em coordenadas cilindricas toma a forma:
:5`I«' 1 Elf' 1 E:`lr"
E : (Em + ng + r'5e11.E'ãfl¢)
Dado um material no qual encontramos ::,,, = 3,1 com um flu::o magnetico interno
B = o,a;¬:=:-1, T encontre a densidade de corrente no interior deste material.
Resposta:
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, Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo
magnetioo por:
;=vaH
Então, antes de achar a densidade de corrente precisamos achar o campo H no
intenor deste material para tal podemos relacionar o campo H com
susceptibilidade magnetica Em por:
a = na (H + 1r,.,,H)
Cu, acertando o algebrismo:
:r = ro(1 + rr,,,)H
Logo:
ED= H
v,z,(1 +1'<I,›,,.)
Neste caso:
H _ B _ 0,81:-f:1_,_. _ 0,Sy:1_,,
,u,,,(1 + Km) j,:¡¡,(1 + 3,1) (4-rr 1-: 10'7"][-1,1)
H = 155,2? j,f:1,.,. kztƒm (cztrngitr 30%)
Agora, tudo que temos que fazer e encontrar o rotacional deste campo.
f:=,PJoú,fi ::.1._F-lmf'
FW,F
;=v›-zH=- - -
155,113;
a a a a a a
¡ == a,. a, z:,, - a,, a, :1,. + gr, 5,, tz-
0 '155,2?y 0 155,E?jjr [1 1]
Õ 155,2? " Õ 1552? '
1' I
kd . .J = 155,2? :1,,,Ê(:1.t:n_griu 100%)
Questão 2/5
A densidade de corrente e uma das grandezas fundamentais do
eletromagnetismo E tem utilização no cãlculo de campos eletricos e magneticos-
Um condutor cilíndrico de cobre com raio de z zm. e percorndo poruma corrente
de zoo A. Detemiine a densidade de co|Tente_ Sabendo que a densidade de
,í
corrente e dada por: I I E e que a area do círculo pode ser calculada por rrR2_
Itaberaba
Nota
Colocar o H em evidencia.
Resposta:
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, Solução:
Trata-se da aplicação da aplicação direta do conceito de densidade de correte
Precisamos, primeiro, calcular a ãrea da seção transversal deste cilindro
s = are = zf:ro,oz)2 = 1.15? x 1o-3 az?
Agora a densidade de corrente pode ser dada por:
-I - Em -15911-z,›r,f 2J s 1,25? x 1o-E * m
Questão 3/5
D potencial eletrico constitui um campo escalar e se espalha do ponto gerador
ao infinito da mesma fonna que o campo eletrico. Na verdade, existe uma relação
entre o campo potencial e o campo eletrico dada pelo oposto do gradiente-
Dado o campo potencial I: = zzifgy - 5: tz' encontre o modulo da densidade de
fluxo eletrico D no ponto P(-4, 3, 5)- Sabendo que A densidade de fluxo e
relacionada ao campo eletrico por: D = EE e que o campo eletrico e relacionado
ao campo potencial eletrico por: E = -vt: por fim e importante lembrar que o
operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte equação diferencial
parcial
(dr: +5.” ___6F )
äxax :Tyfly dan:
_ 1o"'*Enquanto ED ___6____
Resposta:
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, A densidade de fluxo e relacionada ao campo eletrico por:
,D = EE
Por sua vez o campo eletrico e relacionado ao campo potencial eletrico poi"-
E = -W
.HuLo-go, podemos começar achando a expressao do campo eletrico, aplicando o
operador nabla.
E--LW +51; +51;_ (aff-¬ r_,.z“›- afff)
CIUI
díãx :jr - 5a} :':i(2::“jr - 52 ) ã(2x“},= - 5a }
E ( EI Hx + fly
FÂESDÍUEHÚÚ EIS 'EÍÍTEEFEEHCÍEHÍS DEFCÍEÍS ÍEÍEHTUS
E = -[exjr :1,,. + 2:i:3:1_,, - 5:13)
E = -f-1-xjf ::.,, - 2x:::J_. + 5:1_._, Çdtirrgru 50%)
Logo; o = as
I]`ü_g . ED = Eli-='-1:.›..j,f ::.,,, - Ex :1_,, + 5o.,,)
D = -35.3?x}f ::_,, -'1',?,6Ex1`:r_,_. +4-11-.210:1,,. pC,r'rr1*
o = -as-srr-43:31,; a,,. - 1?-asrr-rf + 44-zroa, pcrmfl
Substituindo o valor do ponto temos:
,D = ‹=1~2¢1-.Lt-:1._,¡ - 2B2.9:1¿,. + -*F1-.E0:1_,., |D| = 512 pfƒrnaífotingíu 100%)
Questão /-l/5
Relacionamos as forças exercidas sobre condutores atravessados por correntes
com a densidade de fluxo, a corrente, o comprimento deste condutor e a
densidade de fluxo magnetico presente por meio de um produto vetorial- Crue
pode ser expresso pela equação: F = Ii x H
Em um sistema de coordenadas cilindricas, um fio condutor ideal de zm de
comprimento carregando uma corrente de 5 xt na direção positiva do eixo z este
localizado em p = -11 cm; :rw = -1 m. ‹:: z ‹=: 1 m.. Este condutor este sujeito a um
campo magnetico cuja densidade de fluxo e dada por: H = o,z cosa ::,,,-
Determine a força atuando sobre este condutor.
Resposta:
Todo o estudo da eletrostática inicia com as descobertas de Coulomb.
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, F = IE :xi B
,F = ~[5:13)2 x 2,0 cos:j.'›:1_3
F = 10:::.3 x 2,0 cosrp ::._3
Resolvendo este produto vetorial teremos:
::_3 ::3, :13
,F z Ei tl 10
0,2 cos qb 0 tl
3._|lÍi'1ü| _| D 10' +| 0 0
_ 0 rj “P 0,2cos=:/:i Ei af* 0,2cos‹,'=-':.i ti
,F = 2 cos di :1,3,{:rtrZrr,:,rr§1: 50%]
Cu seja, nossa força depende apenas da coordenada tp, desta forma:
rr
,F = 2cos 5:13, = 0[otrr1_grru 100%)
Questão 5/5
Considere duas cargas Q, = z,.:c'ag3 = -3 pc' localizadas nos pontos
(b,o,o)a(-1,23), respectivamente, e determine a magnitude, modulo, do
campo eletrico E no ponto P(s,--=1,z}- Sabendo que a Lei de Coulomb que
detemtina a força eletrica entre duas cargas e dada por
172102F:
E que podemos relacionar o campo eletrico com a carga em um detemiinado
ponto por E =% e que e possivel calcular o campo eletrico devido a existencia
de vãnas cargas em um ponto por:
" oE = 2 DH13
r __-1-rre,¡,|r¬-r¬'3,|2 m
'M-
Sabendo ainda que E3 = Ser:
Itaberaba
Nota
Utilizar o E = k . q
 ------ . u
 r^2 
Resposta:
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6 de 6 15/11/2016 21:50
Primeiro precisamos determinar os vetores unitários e seus modulos:
r --ri = 3:13 - 4:13, + 2:13 |r - r*3| = 1/'É(::t:in,giu.12,55'i:«)
ir - r¬3 = -1:13 - 6:13, - :i.3 |-r' - r',| = vffi {:iIi-ngiu 12.5%]l
Q: Q»E =í .jm
" ==1frre3|r'-r"1|3fl1 ~1rre3|r'-r¬3|=fl:
E _ É-:¡11:`¡"` _ `¡'"1} ___ Q: Ú" _ 751
' ~=i-rre3|r¬-r1|3 *I-rre3|*r -r¬3|5
1 _ fi i 11-3r _ {~f2:tr to + 0-1:-" ___:-[31]
11-rre3 |*r'-r¬,|3 |r"-
E _ 1o-E zrs:z,, - 4:13. + 1:13) + -erra, - aa, - 2,.)
T 41"” (JE): ífiíla
E,_ = Ei5,E?:r_,,. - -fl1‹1.1El:i_,, + 3l]0,50::3 l‹'¡"rri [atingiu 25%]
Logo a intensidade sera:
r: = ,/as-er= + 41,1a= + aoo- sr = sro-zi-o van (air-xgru ruofxri
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Matriz Discursiva UTA B FASE II – 22/08 até 16/09
PROTOCOLO: 201609011249148B9133DDIONE FERREIRA DA SILVA - RU: 1249148 Nota: 72
Disciplina(s):
Eletromagnetismo
Data de início: 01/09/2016 17:10
Prazo máximo entrega: 01/09/2016 18:40
Data de entrega: 05/10/2016 18:33
Questão 1/5
O cálculo de vetores unitários permite a determinação de um vetor com a mesma direção e sentido de um outro vetor 
qualquer. Esta ferramenta é utilizada para separar o módulo, ou amplitude, da direção e sentido de um vetor e simplifica 
as operações com grandezas vetoriais.  
Resposta:
Questão 2/5

Voce precisa encontrar a direção e o sentido do vetor :T resultante da operação
entre os vetores M = -10:13 + 4:13, - 6:13 e N = 8:13 + 2:13, - 2:13. Sabendo que
a operação necessaria pode ser representada por -SM' + 3N, qual das respostas
a seguir contem o vetor unitãno desejado?
Realizando a operação desejada encontramos os fatores de E
c = -srt: + sr: = -s(-1oa,, + -ra_,, - aa3) + area, + ra3 - za,,)
l'-Í' = 30:13 - 12:13. + 24:13 + 24:13 + 21:13, - 5:13
C = 54:13 + 9:13, + 10:13 [,`(54.9,1E) {:1tir1,gi1i 50%)
Com isso podemos calcular o vetor unitãrio de C:
54:13 + 91:13, + 15:13 54:13 + 9:13, + 10:133 _ _
,rsrs + as + 1a= 5163
C' = 0,94-:13,_. + 0,1t5:13, + 0,31:13 [:1tin,gi1: 100%)
A densidade de corrente e uma das grandezas fundamentais do
eletromagnetismo- E tem utilização no cãlculo de campos eletncos e magneticos-
Um condutor cilíndrico de cobre com raio de z am. e percorndo por uma corrente
de zoo A- Detennine a densidade de conente- Sabendo que a densidade de
I
corrente e dada por: Í I E e que a area do círculo pode ser calculada por :TRÊ-
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Resposta:
Questão 3/5
A álgebra vetorial é indispensável para o entendimento de campos elétricos e magnéticos. 
Resposta:
Questão 4/5


Soluçao:
Trata-se da aplicação da aplicação direta do conceito de densidade de correte-
Precisamos, primeiro, calcular a ãrea da seção transversal deste cilindro:
a = art = a(o,ozjr2 = 1,151 x 1o-3 me
Agora a densidade de corrente pode ser dada por:
-I- ZDB -1sszra-1,: 2J a 1,151 x 1o-3 * m
Dados os pontos: M{1,-2,-1),N(-2,13) e P(-4,0, 1) indique a opção que
contem: o produto escalar Rm, -R,,,,,z e o angulo entre Rm, a R,¬,,,z. Sabendo que
o produto escalar entre dois vetores pode ser encontrado por: A - B =
|A||B|coso[,_3 e que o produto vetorial pode ser encontrado por: AxB=
:1,,r|:-1||B|sen6'
Para calcular o produto escalar Rm, -HMP precisamos, primeiro calcular R,,,,.,z e
RMFI
R,a3N==[-2,1,3) (1, 2, 1)-( 3,3,-4)
R,¬3,a=(4,0,1) (1, 2, 1)-(3,2,2)
Sendo assim, o produto escalar R,,,,, -R,-,,z e dado por:
RMN ' HMP = ,, 3, ' (3, 2, = -9 + El + 8 = 5(lÍIÍÍI1T1gl:1L
Por sua vez, o ângulo Ei entre R,,,,,,, e R,,,‹,z. pode ser calculado por:
R -R 5
0 = cos`1íMNMF = ::os`1 |
|R:«rrv||R1›r1=|1./r32+32+43v¡32+22+22
5 5
0 = co:-=:`1 _ cosflí = TSE :1ti11 i`.1:.100'¡}'dat + a2 +114/at + 12 + 12 «ra-wir í 5 D)
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Resposta:
Questão 5/5
O estudo dos campos vetoriais fundamenta todo o estudo do eletromagnetismo. 

Determine a profundidade de penetração 5 para o alumínio que tem
condutividade a = aa,z Maƒm. e permissividade ,a,- = 1 supondo que a frequencia
da onda seja ,F = 1,5 MH.:-. Sabendo que a profundidade de penetração pode ser
e encontrada por:
135' =í
,I/rrƒ:.:.::r
_"I'.ISabendo que ,r-1,, = 4-r: x 1o
Solução:
Trata-se da aplicação direta da equação do cãlculo da profundidade de
penetração, ou efeito pelicular.
1
5 _ Jara-a
Lembrando que ja = ,a,,,a,, e substituindo, temos:
1
:Ê _ _ _ _ _ 64,3?? ,ri-tri
./a(1,a x 1o=~)(zra x 1o-i]rjaa,.1 x 1ofi=)
Dados os campos vetoriais F e G definidos por ,F = -1oa3 + zo;:ya3,e G =
za:1ya3 - 4:13 + za3. Considerando o ponto P(z, a, -4) encontre:
1- Cis modulos de .F e G neste ponto;
2- Um vetor unitãrio na direção F - G;
3- Um vetor unitãrio na direção F + G-
29/10/2016 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/85215/novo/1 4/4
Resposta:
 Cs modulos no ponto Pr2. 3. -4} serão dados port
F = -10:13 + 20131113
F = -1oa, + 1orz}(a]a3
F = -1oa, + 1zoa_,. |:r| = :-¬ = ,jm= 11o,‹r,
E = 2:12;-111,, - 4:13, +z:13
E = 2II2)1lI3IIfla - 41%» + lÍ_4}flz
c = aaa, - -ra, - 4a., |:;| = ra =¬ = 11,asa rar-:iaE,1a aaara]
:--:rD vetor uniteno F - G será dado por: :___ Sendo assim:
Calculando o vetor diferença:
1' - :r = [-1oa, + 11oa3) - razra, - aa, - :¬a,)
F- E = r-1o- 24111,, + |[1zb+4]:13, + (0 + 4111,
1'-:az -aaa, + 11-ra, +-ia, |F- :il = F- o = ¬,r'a4= + 11»-11 + --12 = 11a,s
Logo o vetor unitãrio será dado por:
F-E =-34:1,+124:13,,+4:1._, _ _
IF _ GI = 125 E : -0,2o:1,, + 0.96113, + 0,03:1,, [atingiu 33%)
.lã o vetor unitãrio na direção de ,F + E será dado por: %=_
1' + :r = rf-1oa, + 11oa3) +r14a, - aa, - :¬a,)
,r~'+ :; = r-1o+ 1-na, + r1zo-aja, + ro - aja,
,F+:; = 1411, + 11a::3, -=1a3|F+ :;| = F+:-2 = ,/141 + 11:ã==+4= = 116,9
Destafomta:
F+G 14:13+11o:13-4:1, _ _
IF ___ GI _ 33332 _ 0,1211, + 0,'ElEi:1_,, - 0.03113 [atingiu 33%]
 
Nota: 100 
PROTOCOLO: 2016 
Disciplina(s): 
Eletromagnetismo 
Data de início: /08/2016 
Prazo máximo entrega: 08/2016 
Data de entrega: 09/2016 
Questão 1/5 
 
 
 
 
D potencial eletrico constitui um campo escalar e se espalha do ponto gerador
ao infinito da mesma fonna que o campo eletrico. Na verdade, existe uma relação
entre o campo potencial e o campo eletrico dada pelo oposto do gradiente-
Dado o campo potencial I: = zafi- - az rf encontre o modulo da densidade de
fluxo eletrico :1 no ponto P{-4,a,a)- Sabendo que A densidade de fluxo e
relacionada ao campo eletrico por: 11 = êE e que o campo eletrico e relacionado
ao campo potencial eletrico por: E = -vi: por fim e importante lembrar que o
operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte equação diferencial
parcial
o`F :FF o`F
(gm, + __,_____:___:r¡,.. -|- E113)
1o“9Enquanto E,¡, I E
 
Resposta: 
 
Questão 2/5 
Sabemos que a densidade é sempre uma grandeza relacionada a 
um comprimento, área ou volume. 
 
 
 
 
 
A densidade de tluxd e relacidnada ad campd eletrica pdr:
D = EE
Pdr sua vez d campd eletricd e relacidnadd ad campd pdtenciai eletrica pac
E = -W
Lo-gd, pddernds cdmecar achandd a expressãd dd campo eietncd, aplicandd c
dperaddr nat1la.
E--'W +6”, +5?_ (Êflx ÉÍIF Êflg)
ÚUÍ
t'¡(2.'.i:=j.t - Ea) 5 (E1331 - 52:) 5{E::}= - Ea)
E _ ( dx H* + t'.í}f E5” + da “E
Resdlvendc as diferenciais parciais terernds
E = -Hay ul. + Exflnj. - 5:13]
E = -='-1-:qr u_u - Exfluy + 5:13 [a.t:tn_g:`u 5i]%]i
Lo-gd: H = EE
1ti-*-* E
D =É(--*1-:qu um - 2: ai. + Sds)
D = -35.3'h:§i.f u_u - 1'¡",5Ei:ir*r:J,. + ='-1-$,E1iIIr1.¡.__. ptI',='m“
11 = -ss.s?(-4ji{s);~,› ax - 1:i'.ss«-izij-ftjifl + -»-t›=r.s1i1aE pcƒmfl
Sutistituindc d valdr dc pdnta temas:
D = #1-24,*-1-:1_,, - 2BE.':`.iIu¿, + 4-=1«,2l]u_.! |H| = 512 pl1',fmE'{dIEngtu 1[liI}“z'E1§i
Calcule a carga cdntida em um vdlume definidd pac tl 5 x 5 1, [I 5 3.1 5 1 e ill 5
zé: 5 1 cdrn tddas as distâncias estipuladas em metrcrs supdndd que exista uma
densidade de cargas de p = 1EI:~:=y p:iI'ƒm_ Sahendd que dl? = pdtr
 
Resposta: 
 
Questão 3/5 
O estudo das forças elétricas e campos elétricos se origina nos 
estudos de Coulomb. 
 
 
 
 
 
Saaemas que dQ = pda entäa pademas fazer a integral entre as limites dadas.
1 l. l.Q = J' I Í -1aztf{va.z- ayaz iza.tz:›t¿_;z:zl savz.)
U ll Cl
Em :Ir
1 td f
Í 1l],v:}= dx =iÚ 3
Em J-':
_'
Llüjv 5
í f£1|__r = _
J; 5 3
Em E:
15 5
Í -d:=-Ú 3 3
5 .
Q = É = 1.6? ,irif izattngttr 1üD%)
Gansidere uma carga pantual gl = 15 nc' lacalizada na panta P1(4,-EJ) e a
carga QE =5anc na panta P2(-3,-11-,-2) amtias na vacua- Determine a
intensidade da campa eletrica na panta P3(1.a,s]. Sal:-enda que a Lei de
Gaulamh que determina a tarca eletrica entre duas cargas e dada par
_ 1211122
F _ 11114HeR3
E gue pademas relacianar a campa eletrica cam a carga em um detenninada
panta par E =% e due e passível calcular a campa eletrica devida a existencia
de varias cargas em um panta par:
11
QEv=2 "` , ea-1frrsü|1r¬-r¬m|-
m=1
Saaenda ainda que eu = 36-ir
 
Resposta: 
 
Se utiliaannas as vetares pasiçäa destas cargas e as canceitas de sirretna, a
intensidade da campa eletnca na pantaP3[1,2, 3), sera dada pela sama vetarial
CIDE CZE-1fl`I[]D5 EHÉÍÍÍCDE EÍENÍIEIÚS E EHIELEI E-EÍQEIÍ
_ Qt fa
E aa.. iRai= "tt + ‹~vfaiHzzi= "tt
35 ZH-1 1Ú`9 EU E 1Ú`9
E ara. iRai= R” + 4aaiHai= "tt
Agara precisarnas lembrar que a vetar unitana sera dada pela vetar
dividida par seu madula. Senda assim:
E _ E5 ZH: 1Ú`g RH + EU E 1El"¡' R3;
"'1'm5a|H1s|: |R1s| 4f'5Ea|-Real: |Hes|
1:fÚ|El~lÍ.E1l`IC|D EITI EVÍIIÍÊFIEÍEI El QUE! É EDÍTILIITI E! 5ÍIT||Ii|ÍflCflflIE|'EI, Í-IE›Hl`I`IDE ECIITIÍ
1Ú`9 EEE EiÚR¬E _ Í :ts + -sl
Lhffa |R1s|3 |Hss|3
E-EHÍÍÚ HSEÍITI, Ú |Í]|'Í|TEÍ|'Ú FIES-EU É C-HÍEUÍHÍ EEÍE5 VEÍÚÍE5 LIHÍÍÊÍÍÚSÍ
am = (1 - «-i¿ia,, + rs - r-ajgag. + rs - :aaa
Em = -Eai. + 11-a._1,- -tl-ata. |R13| =\ = ¬.;"=fi (atingia 12,5%)
Ra = (1 - t-3LiIif1a + (2 _ *-lfLif1_¬.›+ (3 - t-Ellflz
au = aa, - sal. + sas nani = = «JE izaaagaa 12,5%)
Desta tarma, a intensidade da campa em F3 sera dada par:
E _ 1%-*41s(-aa + az? - aa.) + sama, - aaä + sag]
vaga vai ivai
E _ 1[l"*' 9 15(-Ea., + sl-ay - 4a_.,) + iãüfiäax - Edy + 5:13)
1 1“:“ ivaii vai”
151:-311,, + 4-ul. - 4:15) iã›[l[==1-11,, - Eu? + Eag)E = s E + E
|4'1|: |*¡'5|?nln' ln'
É SDÍTIEI 'l||"EÍDFÍE.| [105 EEIÍl"I|DEl5 EÍÉÍFÍEDS ÍELSUÍÍEI EITIÍ
E = s.s:tsa,,, - 1,sa1a, + s,ss?aE{aata.a:-a asva)
Laga, a intensidade sera dada pela mad ula deste vetar au:
E = El,ü1 'Um [ari-rt.g1`u 1l]ü%]=
Questão 4/5 
Considerando a operação vetorial 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Questão 5/5 
 
 
 
 
Dadas as pantas .»=1(-2,11] e a'(s, -3.a) encantre a vetar vg, e a vetar unitaria
`U_¿E-
FM, = E - A =if3d_1.- 3:13, + Das) - ij-Ea_1.+ Ea). + lag)
FH = Eag. - 5:13. - ag (aflrigta 5l]%:l
FAB 5a_1.-5:5. -ag Ear-Edi. +113um _ _ H H 4 _
leal ¬.-~s¬í+ - + 1- 1141
HH = l],?üa_, - lLl,?DE›d}. - lLl,14a_._. izattngta 1lLllIl%)
HIUm plana de cargas definida par ;v - s va cantem uma distrilauicaa unifarme de
cargas cam densidade superficial dada par ,as = c';“.~a.1. Determine a
madula da campa E em tadas as pantas da espaca. Saaenda-se que a campa
eletrica devida a um plana de cargas, pade ser calculada na direçaa narmal aa
plana par:
E í É fl_fl
EEB
-1'
Dnde at, = ä
É
 
 
Trata-se da aplicacãa direta da eguacäa de campa eletrica para placas planas:
_Ê
E_2ED HT*
D campa será nannal a placa neste casa, a campa tera a direçãa da eixa ;v para
vaãm:
1a-E
E_(_s_a) _1i:i-E ssa _s:~z1i:+-H _3 F
"DD" sasattesflt' sata-sal: “if” fm
3511'
E = 3:1? lfƒm [atingiu ?EI%]
Para 3: =: 3 fa:
E = -Edy lfƒm
Laga arepasta será: D madula da campa elétrica É 3 lfƒm (atingiu 1ll~ll%]
08/11/2016 AVA UNIVIRTUS
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Matriz Discursiva UTA B FASE II – 22/08 até 16/09
PROTOCOLO: 201608231245662B6DA99FERNANDO SILVIO LISBOA NASCIMENTO - RU: 1245662 Nota: 100
Disciplina(s):
Eletromagnetismo
Data de início: 23/08/2016 13:23
Prazo máximo entrega: 23/08/2016 14:53
Data de entrega: 14/10/2016 08:48
Questão 1/5
Resposta:
Questão 2/5
Talvez as operações mais úteis para o eletromagnetismo sejam o produto escalar e o produto vetorial. 

A densidade de carrente e uma das grandezas fundamentais da
eletramagnetisma. E tem utilizaçaa na calcula de campas eletricas e magneticas.
Um candutar cilíndrica de cal:1re cam raia de E aaa e percarrida par uma carrente
de aaa A- Detennine a densidade de carrente- Sabenda que a densidade de
I
carrente e dada par: Í I E e que a area da circula pade ser calculada par rrR2.
Saluçäa:
Trata-se da aplicacäa da aplicacäa direta da canceita de densidade de carrete
Precisamas, primeira, calcular a area da seçäa transversal deste cilindra
5 = aff = a(a,t1a]2 = 1.251' 1-1 -ta* az?
Agara a densidade de carrente pade ser dada par:
-I- EBD -1ssa1a-1; ÉJ 5 1,251' x 111-3 * m
Dansideranda a vetar expressa par: -ax -5a&, -2a; e usanda a praduta
escalar, encantre a angula due este vetar, em um espaca cartesianas de tres
dimensões faz cam a eixa z- Sabenda que a praduta escalar entre dais vetares
pade ser encantrada par: A - B = Iallfllaaaegfi e gue a praduta vetanal pade ser
encantrada par: 11 x: B = a.,,,|11||H|aaa15'
08/11/2016 AVA UNIVIRTUS
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Resposta:
Questão 3/5
Resposta:
Questão 4/5


Geametricamente, a praduta escalar e dada par:
A -B = |x-l||B|cast5'
Dnde B e a engula farmada entre as dais vetares- A partir da definiçea
geametrica pademas detem¬iinar uma fermula para a calcula da engula H:
B = cas'1(L-H)
|f¡||3|
Laga teremas que calcular a medula da vetar dada:
A = -11,, - 5a.¿,, - 2115 = 1113 + 53 + 23 = 1,130 (a.i:í11_gi11 50%)
D vetar que representa a eixa s e ag e seu medula e 1- Senda assim:
B : mS_1((-a_.,,, - 5a¿,,, _ aaa) . ag.) _ m5_1(_i)
Ê @
E = 111,4°(a1i11gia. 1at1%)
Determine a prafundidade de penetraçea 5 para a aluminia que tem
candutividade a = 38,2 Msƒm. e permissividade a, = 1 supanda que a frequencia
da anda seja ƒ = 1,5 MHz. Sabenda que a prafundidade de penetraçea pade ser
e encantrada par:
1azí
¬,,1'-rrƒ;1,a
Sabenda que ac. = -1a x 111”
Saluçaa:
Trata-se da aplicaçea direta da equaçea da calcula da prafundidade de
penetraçäa, au efeita pelicular.
1azí
¬,,i 1'rƒ;1a
Lembranda que ,a = ,a,,,a,¡, e suhstituinda, temas:
1
E _ _ _ 64,3?? um
Ja(1,s x 1a=~)(1a x: 111-f)(ss,2 x: 1111)
08/11/2016 AVA UNIVIRTUS
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O estudo dos campos vetoriais fundamenta todo o estudo do eletromagnetismo. 
Resposta:
Questão 5/5
A álgebra vetorial é indispensável para o entendimento de campos elétricos e magnéticos. 

Dadas as campas vetariais ,F e E definidas par F = -10a_,, + Eaayag, e G =
2112;-,›a_,, - -1-ag, + za, Cansideranda a panta P(2, 3, -4) encantre:
1- Os mddulas de F e G neste panta;
2- Um vetar unitana na direcaa F G;
3- Um vetar unitana na direcea F + G-
Ds mñdulas na panta P{2,3,-=1}serãa dadas pac
F = -lüar + 2.Dx}f1¡¡_.
F = -1aa1.+ aa{a}[s]a,,
F = -1aa_,, + 1saa,. |1='| = 1'-¬ = um= 1211.1
E = 2.123;-,fr:,, - 4a_,, + aa,
E = 2[2)“lI3]fla - *Iflv + {_4Iifl-z
a = aaa, - 4a? - 4a, |1;| = s =¬ = 21,sss rarâagja ssfxz.)
D vetar unitária F - G será dada par: Senda assim:
Dalculanda a vetar diferença:
F - a = {-1t1a,.+ 1111a,,) - {1›1a_, - 1a,, - 1.a,,)
F- 1; = [-111 - safra, + (1,111 + ›1]|a,, + ça + 11a,
F-az -s=1a_,, + 1s4a,. +›1a, |F- al = F - a = =1211.5
Lagd d vetar unitária será dada par:
F - E : -Eear + 124113, + 4:1, _ _
IF _ GI = Hsrfi = -0.26111, + 0.96113, + D.D3n, tfaliingtu 33%)
Ja d vetar unitária na direção de F + E será dada par: %:|
F + a = (-1t1a,. + 1111a,,) + {1›1a_, - 1a,, - 1a,,)
E+ 1; = [-111 + 14]a,, +[1:1a - ›1]|a,, + ça - azia,
E+ 1; = 1›1a_, + 11sa, - 1a, |F + al = F+ a = ,,i'1›11 + 11152 +12 = 11s,s
Desta famta:
F+G 1-1a1.+116a,.-4a; _ _
IF + GI _ Wraflá _ ü,12a._,, + D.99a.,. - D,D3a._. [atrngtu 33%]
Dadas as pantas: M(1,-2,-1),N(-2,13) e P(‹1,-Ii, 1) indique a apçäa que
cantem: a praduta escalar RMN -HMF e a angula entre Rm, a Rms Sabenda que
a praduta escalar entre dais vetares pade ser encantrada par: A -B =
|A||B|casH¿5 e que a praduta vetarial pade ser encantrada par: AxB=
aN|A||B|se116'
08/11/2016 AVA UNIVIRTUS
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Resposta:
 Para calcular a praduta escalar Rm, -HMP precisamas, primeira calcular RM” e
RMFI
R,,,,a=(-2,1,3) (1, 2, 1)-( 3,3,-1)
HMF = (‹1,ü, 1) (1, 2 , 1) - (3, 2,2)
Senda assim, a praduta escalar RHN -HMP e dada par:
RMN ' HMP = , 3, ' (3, 2, = -9 + 'Õ + 8 = 5
Par sua vez, a angula Ei entre Rm, e Rms pade ser calculada par:
'B = cas`1LMN.HMP = ca.s`1 5 |
|R111v||Riv1=| 1/32+32+43¬.¡32+22+22
5 5
H = cas`1 _ casfií = ?B9 1117111 iu IDEI9'Jsfi + s-2 +12«/se + 22 + 12 «is-1z111 ( 9 D)
Prova Discursiva 
Questão 1/5 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Questão 2/5 
 
 
 
XDetermine a profundidade de penetraçao 8 para o alumínio que tem
condutividade a = 38,2 MS/m e permissividade y, = 1 supondo que a frequência
da onda seja f = 1,6 MHz. Sabendo que a profundidade de penetração pode ser
e encontrada por:
1ô=í
,/nƒua
Sabendo que ao = 4rz × 10"
Solução:
Trata-se da aplicação direta da equação do cálculo da profundidade de
penetração, ou efeito pelicular.
1ôzí
,/nƒpa
Lembrando que tz = 11,110 e substituindo, temos:
16 = = 64,377 um\/zz(1,ó × 1o°)(4fz × 1o-7)(3s,z × 10°)
A densidade de corrente é uma das grandezas fundamentais do
eletromagnetismo. E tem utilização no cálculo de campos elétricos e magnéticos.
Um condutor cilíndrico de cobre com raio de 2 em é percorrido por uma corrente
de 200 A. Detennine a densidade de corrente. Sabendo que a densidade de
I
corrente e dada por: ] = E e que a área do circulo pode ser calculada por rrR2.
 
Resposta: 
 
Questão 3/5 
 
 
 
 
Solução:
Trata-se da aplicação da aplicação direta do conceito de densidade de correte.
Precisamos, primeiro, calcular a área da seção transversal deste cilindro:
s = m~2 = rz(o,o2)2 = 1,257 × 1o°3 m2
Agora a densidade de corrente pode ser dada por:
-I - 200 - 1s92l‹A/ 2]_s_1,2s7×1o'3_ ' m
O potencial elétrico constitui um campo escalar e se espalha do ponto gerador
ao infinito da mesma forma que o campo eletrico. Na verdade, existe uma relação
entre o campo potencial e o campo elétrico dada pelo oposto do gradiente.
Dado o campo potencial V = zxzy - Sz V encontre o módulo da densidade de
fluxo eletrico D no ponto P(-4, 3, 6). Sabendo que A densidade de fluxo é
relacionada ao campo elétrico por: D = êlz' e que o campo elétrico é relacionado
ao campo potencial elétrico por: E = -vv por fim é importante lembrar que o
operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte equação diferencial
parcial
(ÔF +ó`F +ôF )
ôxax ôyay ôzaz
_ 1o'9
Enquanto 60 - š
 
Resposta: 
 
Questão 4/5 
A álgebra vetorial é indispensável para o entendimento de campos elétricos e magnéticos. 
 
 
 
 
 
A densidade de fluxo é relacionada ao campo elétrico por:
D = ela'
Por sua vez o campo elétnoo é relacionado ao campo potencial elétrico por.
E = -VV
Logo, podemos oomeçar achando a expressão do campo elétrico, aplicando o
operador nabla.
E- - W +61, +81,_. 'ôT,'ay
Ou:
‹S(2x2y - S2) ‹S(2x°y - 52) õ(2x=y - 52 )
E' ( õz “*+ ôy “Y+ ôz “=)
RCSOÍVGDÓO 35 ÓÍÍCÍCHCÍGÍS DGÍCÍBÍS ÍBÍGITTOS
E = -(4xy a, + 2x*a,, - Sa,)
E = -4xy a,, - Zxzay + Sa, (atingiu 50%)
Logo: D = eE
10'°2
D = ¶(-4xy ax - 2x ay + 5a,)
D = -3S.37xy a,_. - 17.68x°ay + 44,210a, pC/ma
D = -35.37(-4)(3)y ax - 17.684(-4)* + 44.210a, pC/m3
SUDSÍÍÍUÍÍIÓO O Va|0f ÓO DOHÍO ÍCÍTIOSÍ
D = 424-.4a, - 282.9a›, + 44-.20az |D| = 512 pC/m3(atingiu 100%)
Dados os pontos: M(1,-2,-1),N(-2.1.3) e P(4,0, 1) indique a opção que
contém: o produto escalar RMN ~ Rm, e o ângulo entre Rm, e RM? Sabendo que
o produto escalar entre dois vetores pode ser encontrado por: A -B =
|A||B|cos6AB e que o produto vetorial pode ser encontrado por: A×B=
aN|A||B|sen6
 
Resposta: 
 
Questão 5/5 
 
 
 
 
Para calcular o produto escalar Rm, -Rm» precisamos, primeiro calcular Rm, e
RMp:
RMN = (-2,1, 3) - (1,-2,-1) = (-3,3,4)
RMP = (4, 0, 1) - (1, -2 , -1) = (3, 2, 2)
Sendo assim, o produto escalar Rm, - Rm» é dado por:
RMN - RMP = (-3 , 3,4) ° (3, 2, 2) = -9 + 6 + 8 = 5 (atingiu 50%)
Por sua vez, o ângulo 6 entre RMN e RMP pode ser calculado por:
RMN ' RMP 59 = cos'1 - cos'1 I
|RMN||RMP| \/32 + 32 + 42\/32 + 22 + 22
5 5
6 = cos* - coflí = 789 (atingiu 100%)×/32 + 32 + 42×/32 + 22 + 22 \/3_4\/É
O estudo dos campos magnéticos no interior de materiais permitiu relacionar a
densidade de corrente com o campo magnético e este com a densidade de fluxo.
Principalmente por que conseguimos entender como funcionam caracteristicas
intrínsecas do material como a susceptibilidade e a permeabilidade. Sabemos
que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo magnético por:
]=v×H
Podemos também relacionar a densidade de fluxo magnético com o campo
magnético, em um material isotrópico e homogêneo por B = tz, (H + x,,,H) onde
po = 4rr × 10'? e o operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte
equação diferencial parcial:
(GF + ó`F + ó`F )
ô`x ax ôy ay ó`z az
Que, em coordenadas cilindricas toma a forma:
ôv 18V 1 ôv
E=(ã“f+:ä“~+@ã“‹f›)
Dado um material no qual encontramos Xm = 3,1 com um fluxo magnético interno
B = o,8y a, T encontre a densidade de corrente no interior deste material.
 
Resposta: 
 
Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo
magnético por:
¡=v×H
Então, antes de achar a densidade de corrente precisamos achar o campo H no
interior deste material para tal podemos relacionar o campo H com
susceptibilidade magnética Xm por:
B = no (H + XmH)
Ou, acertando o algebrismo:
B = 110 (1 + xm)H
Logo:
B -Hu0(1 + Xm)
Neste caso:
B 0,8yaz 0,8yaz
H _ _ _
y0(1 + Xm) u0(1 + 3,1) (4rr × 10'7)(4,1)
H = 155,27 ya, kA/m (atingiu 30%)
Agora, tudo que temos que fazer é encontrar o rotacional deste campo.
c›,,°><:›,P o,,_°-'mf
..°'°›.F
]=V×H=- _ _
15S.27y
ô â â â ô â
]== 6,. 6, a, - 0, â, a,. + ax ay a,
0 155.27y O 15S.27y 0 0
â 55.27 â 55.27¡__ (1 ay ›')_]ax _ (1 ax ›')_]ay +[0]az
kA , _
] = 155.27 arm (atingiu 100%)