Simulado: Atividades de Aprendizagem

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Simulado: Atividades de Aprendizagem (Cod.:41)
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (180992)
Peso: 0,50
1 -
A mudança de variáveis para coordenadas polares é uma técnica eficaz para simplificar a integração sobre
domínios com simetria circular ou radial. Nesse sistema de coordenadas, um ponto no plano é representado
por (r, θ), em que r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo medido a partir do eixo x. O diferencial de
área em coordenadas polares é dado por dA = rdrdθ, e essa transformação é particularmente útil para integrais
sobre regiões que são circulares ou possuem bordas curvas que se alinham com as coordenadas polares.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 1. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla para uma
certa função f:
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. A região R possui em uma das limitações, uma circunferência de equação x² + y² = 9, limitada no
semiplano superior.
II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 2 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ
≤ π/2.
III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, θ) é r.
IV. A circunferência de equação x² + y² = 2 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao
semiplano superior.
É correto o que se afirma em:
A )
I, II e IV, apenas.
B )
II e IV, apenas.
C )
III e IV, apenas.
D )
I e III, apenas.
E )
I, II e III, apenas.
2 -
Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto (x, y) é
descrita pela função δ(x, y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado, representa a
quantidade de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar correspondente a uma
pequena área dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por δ(x,y) dxdy. A carga total distribuída na região D pode
ser obtida através da integração dupla sobre toda a área, conforme a expressão:
Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2015.
Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir:
A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade δ(x, y) = 9x²y², expressa em
Coulombs por metro quadrado (C/m²). Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a carga total
acumulada na região:
A )
210 Coulombs.
B )
182 Coulombs.
C )
142 Coulombs.
D )
170 Coulombs.
E )
121 Coulombs.
3 -
O Teorema de Green é uma ferramenta essencial na análise de campos vetoriais em superfícies
bidimensionais, pois estabelece uma conexão entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e
uma integral dupla sobre a área contida por essa curva. Essa relação é frequentemente aplicada para
determinar o trabalho realizado por um campo de força em uma partícula que percorre um caminho fechado.
Considere o campo vetorial F(x, y) = (3x²y, x + x³) em que a região de integração é o disco centrado na
origem e raio 3. Calcule a integral de linha desta função vetorial orientada no sentido anti-horário.
A )
9π.
B )
4π/3.
C )
3π/2.
D )
3π.
E )
4π.
4 -
A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, permitindo o
cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da
matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
Desta forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 2} e a função f(x, y) = x²y,
avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 125/3.
PORQUE
II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A )
As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B )
As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C )
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D )
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E )
As asserções I e II são falsas.
5 -
Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a
densidade se distribui ao longo da superfície. A função densidade descreve essa variação, e a massa total da
chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superfície. Assim, para calcular a massa, é
necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY. Esse método
permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa.
Portanto, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (5, 0), (0,
4) e (5, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por δ(x, y) =
2x³y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa.
A )
1250 g.
B )
2120 g.
C )
2500 g.
D )
1840 g.
E )
1670 g.
6 -
A parametrização de uma reta no espaço tridimensional é uma ferramenta importante para descrever todos os
pontos que pertencem a essa reta usando um parâmetro escalar. A parametrização de uma reta é determinada
por um ponto fixo na reta e um vetor que define sua direção. Utilizando um ponto e a direção da reta, a
fórmula para a parametrização pode ser expressa na forma geral de uma função vetorial.
Fonte: FRANK, A.; PARKER, R. Matemática para Engenharia e Ciências. São Paulo: Editora Pearson,
2021.
Considere os pontos A = (1, -3, 2) e B = (-1, 4, -2). Com base na informação fornecida, sobre as
possibilidades possíveis para a parametrização da reta no formato r(t) = P0 + vt, que passa por esses pontos,
analise as afirmativas a seguir:
I. r(t) = (1, -3, 2) + t(-2, 1, -4)
II. r(t) = (1, -3, 2) + t(2, -7, 4)
III. r(t) = (-1, 4, -2) + t(-2, 7, 0)
IV. r(t) = (-1, 4, -2) + t(2, -7, 4)
É correto o que se afirma em:
A )
II e IV, apenas.
B )
II e III, apenas.
C )
I, II e III, apenas.
D )
I e IV, apenas.
E )
I, III e IV, apenas.
7 -
Se uma função escalar determina a temperatura em diferentes pontos de um espaço, por exemplo, uma função
T(x, y, z) que representa a temperatura em cada ponto (x, y, z), o gradiente dessa função em um determinado
ponto nos dirá:
• Direção de Maior Aumento de Temperatura: o gradiente aponta na direção em que a temperatura aumenta
mais rapidamente a partir do ponto considerado. Dessa forma, se você estiver nesse ponto e se mover na
direção do gradiente, estará se movendo para uma região em que a temperatura aumenta o mais rápido
possível.
• Magnitude da Variação da Temperatura: a magnitude do gradiente indica a taxa de variação da temperatura
na direção do crescimento máximo. Em outras palavras, ela nos diz o quanto a temperatura muda por unidade
de distância percorrida na direção do gradiente. Se a magnitude é alta, isso significa que a temperatura muda
rapidamente; se é baixa, a variação da temperatura é mais gradual. Essa magnitude pode ser calculada usando
a fórmula da norma, ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas do vetor.
Considere um ambiente térmico altamente controlado por diversos resfriadores, onde a temperatura, em graus
Celsius, é descrita pela função T(x, y, z) = 2x - y² - yz², com x, y e z representando distâncias medidas em
metros. Analise as seguintes asserções:
I. Para o ponto P(6, 3, -1) o vetor gradiente apresente magnitude de 11°C/m.
PORQUE
II. Sendo o gradiente da função T, o campo vetorial ∇T(x, y, z) = (2, -z² – 2y, -2yz), para determinar a
magnitude do vetor gradiente em um ponto específico, devemos determinar a sua norma.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A )
As asserções I e II sãoverdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B )
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C )
As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D )
As asserções I e II são falsas.
E )
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
8 -
O trabalho em física é uma medida da energia transferida por uma força quando um objeto se move ao longo
de uma trajetória. Quando uma força é aplicada a um corpo e essa força provoca deslocamento, o trabalho
realizado é calculado como o produto da componente da força na direção do movimento e a distância
percorrida. Uma função vetorial pode descrever a força aplicada ao longo de uma curva, e o trabalho
realizado para deslocar um objeto ao longo dessa trajetória é calculado pela integral de linha da força ao
longo da curva, levando em consideração o produto escalar entre o vetor força e o vetor tangente à curva em
cada ponto.
Seja o campo de forças F(x, y) =(y - x, -x - y) e o caminho definido pelo segmento de reta AB cuja
parametrização é dada por γ(t) = (3t – 1, 2t), onde t é o parâmetro que varia no intervalo 0 ≤ t ≤ 1.
Com base nas informações apresentadas e considerando que o campo de forças F e a curva γ estão expressos
em unidades do Sistema Internacional de Medidas (SI), determine o trabalho, em joules, realizado pelo
campo de forças F na movimentação de um objeto ao longo da curva γ:
A )
4/3 Joules.
B )
-2/3 Joules.
C )
-3/2 Joules.
D )
5/3 Joules.
E )
-5/2 Joules.
9 -
Desde que as condições necessárias sejam atendidas, podemos aplicar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada. Esse teorema estabelece uma relação
fundamental entre o fluxo do campo que sai da superfície e a integral da divergência desse campo sobre a
região delimitada. É importante ressaltar que, para a aplicação do teorema, a superfície deve ser orientada
corretamente para fora e o campo vetorial deve ser contínuo e diferenciável em toda a região, garantindo que
a divergência do campo também seja bem definida.
Determine o fluxo exterior da superfície delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 2, y = 3 e z
= 1 e pelo campo de vetores F(x, y, z) = (x²yz, xy²z, xy²).
A )
27.
B )
6.
C )
30.
D )
18.
E )
36.
10 -
O Teorema de Stokes é muito similar ao Teorema de Green, a diferença entre eles é o campo de vetores que
estamos trabalhando. No Teorema de Green, temos um campo de vetores de duas variáveis, já no Teorema de
Stokes, temos um campo de vetores de três variáveis. Lembre-se que o Teorema de Stokes é:
A integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (2z, 4x, 3y) onde C é o paraboloide z = 4 - x² - y² e o plano
z = 0 orientado para cima é igual a
A )
20π.
B )
22π.
C )
27π.
D )
24π.
E )
16π.