Fundamentos Teóricos e Metodológicos do Ensino da Matemática

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Fundamentos Teóricos eFundamentos Teóricos e
Metodológicos do EnsinoMetodológicos do Ensino
da Matemáticada Matemática
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
Bem vindo(a)!
Olá, prezado(a) acadêmico(a)!  
Seja bem-vindo (a) aos estudos sobre os Fundamentos Teóricos e Metodológicos
do Ensino da Matemática. Este livro foi organizado com muita dedicação e carinho
para você, que a nosso ver, tem buscado ao longo da sua jornada acadêmica
compreender os desa�os que envolvem o ensino da matemática enquanto
disciplina de fundamental importância na construção da cidadania, uma vez que
nos dias atuais, cada vez mais os cidadãos precisam se apropriar de determinados
conhecimentos cientí�cos que são exigidos pela sociedade. 
Esse livro é composto por quatro unidades que abordam conhecimentos
matemáticos que darão embasamento para a formação do professor da Educação
Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Cada unidade dispõe de uma breve
introdução a �m de direcioná-lo para o tema central que irá estudar, seguido das
considerações �nais. 
Na unidade I, faremos uma pequena viagem aos primórdios da humanidade para
compreendermos como surgiram as primeiras contagens e sua evolução até os dias
atuais, aprenderemos com Vygotysky e Piaget, como a criança constrói seus
primeiros conhecimentos matemáticos e aprenderemos sobre a importância da
matemática enquanto ciências sociais que prepara o aluno para a sociedade
levando  em consideração sua realidade, sua necessidade e seus conhecimentos
prévios. Tais conhecimentos são importantes para que possamos trabalhar a
segunda unidade do livro. 
Na unidade II, abordaremos alguns conceitos fundamentais para a construção do
número pela criança, conheceremos como surgiram os primeiros números e
aprenderemos sobre os vários sistemas numéricos que existiram até chegarmos ao
nosso sistema numérico atual e sua importância para a evolução da tecnologia e
dos conhecimentos cientí�cos nas mais diversas áreas do conhecimento. Nesta
unidade ainda teremos a oportunidade de conhecer alguns conceitos básicos para
construção metodológica e que são esclarecedores para que possamos entender
como se dá o processo de cognição da criança na fase escolar. 
Já na unidade III, trataremos do currículo da matemática, abordaremos os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e por �m, os objetivos e os conteúdos
básicos para o ensino da Matemática que são os conteúdos destaque desta
unidade.  
Na unidade IV, estudaremos o porquê a prática pedagógica do professor in�uencia
diretamente na aprendizagem da criança, no seu desenvolvimento e na sua
avaliação. Trataremos da importância de este estar sempre pesquisando, se
atualizando e amparado por um planejamento adequado e �exível que o oriente na
elaboração do seu plano de aula. Nesta unidade também propusemos algumas
atividades que são trabalhadas em salas de aula na educação infantil e nos anos 
iniciais do ensino fundamental que servem como auxilio para o professor no 
processo de ensino-aprendizagem.  
Por �m, convido você a entrar nesta jornada de estudos e multiplicar os 
conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em nosso material. Esperamos 
contribuir para seu crescimento pessoal e pro�ssional. 
Muito obrigado e bom estudo!
Unidade 1
Histórico da matemática
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
Introdução
Sabemos que a matemática é uma manifestação cultural e que está presente no
nosso dia a dia nas ações rotineiras mais simples como, por exemplo, na receita de
um bolo, na construção de uma pipa, ou até mesmo quando vamos a feira comprar
um maço de salsinhas e cebolinhas, todas essas atividades exigem medidas
matemáticas que possibilitam o desenvolvimento do raciocínio lógico, da
criatividade e a capacidade de resolver problemas. 
Diante disso, procuramos trazer aqui um pouco da história da matemática e como
as di�culdades enfrentadas em cada época contribuíram para a construção dos
conhecimentos matemáticos que são utilizados hoje a �m de resgatar a sua
identidade cultural e como a disciplina con�gura-se no currículo escolar brasileiro.
Além disso, compreender a criança, a forma com que ela aprende e os pressupostos
teóricos que fundamentam o seu desenvolvimento são de extrema importância
para a re�exão acerca das práticas pedagógicas que serão abordadas em sala de
aula. 
Justi�camos o nosso propósito, por entender que a matemática enquanto disciplina,
vai além do apresentado em sala de aula, e quando contextualizada, partindo das
situações problemas do cotidiano do aluno vai abrir um leque de oportunidades
dentro da sua realidade que permitirão que ele construa  sonhos e projetos dentro
de modelos matemáticos que são pertinentes a sua individualidade. 
Nesse sentido a intenção dessa Unidade é leva-lo a sintetizar o conhecimento dos
saberes aqui explicitado e que são fundamentais para uma prática pedagógica
responsável e consciente. 
Então, vamos lá! Bom estudo e espero que o material que preparei para você
contribua de forma e�caz para sua formação. 
Considerações sobre a
história da matemática
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
Um breve relato sobre a História da
Matemática 
Segundo relatos históricos, a vida humana teve seu surgimento no período da Idade
da Pedra que vai até 3.500 a. C. aproximadamente, período esse caracterizado por
um cenário bem diferente da atualidade.
Nessa época os primeiros seres humanos eram organizados em grupos
denominados nômades e sua maior necessidade era buscar novos lugares a �m de
encontrar alimentos e se protegerem das mudanças climáticas. Eles viviam
escondidos em cavernas para se protegerem, se alimentavam de raízes, frutas, da
caça e da pesca. A concentração maior desses povos se dava em locais do planeta
onde hoje estão localizados países como América Central, Ásia, África e Europa.
Ainda segundo pesquisas sobre do tema, as primeiras contagens surgiram a mais
de 10.000 mil anos e partiu das necessidades diárias do homem, que após algum
tempo deixou de ser nômade e passou a se estabelecer em terras �xas. 
Apesar de ocorrerem de forma muito primitiva, a contagem era muito importante,
pois os seres humanos daquela época a utilizavam para a contagem de animais que
haviam em seus rebanhos, contagem de membros que haviam em suas tribos, além
de outras necessidades que eram importantes para a sua sobrevivência, como por
exemplo o comércio, a contagem do tempo, o movimento da lua, o plantio, a
colheita e o comércio de trocas entre diferentes tribos. Dava-se então início a
agricultura. 
Tais mudanças foram signi�cativas para o seu modo de vida. Acredita-se que nessa
época o conceito de quantidade e grandeza já estavam sistematizados no homem,
pois mesmo que de forma ainda muito arcaica, ele já conseguia reconhecer a
diferença de quantidades, ou seja, ele conseguia diferenciar mais e menos.
Alguns registros também mostram que a correspondência biunívoca (relação de um
para um) foi a primeira forma de contagem que surgiu na época primitiva, forma
essa em que cada objeto de um grupo era associado a outro, para cada marcação
havia um elemento único. Lopes, Viana e Lopes (2005, p. 20) destacam que “fazer
correspondência um a um é associar a cada objeto de uma coleção a um objeto de
outra coleção. O surgimento dessa correspondência foi muito importante no
desenvolvimento dos números e deve ser valorizado na educação infantil, pois ela é
o primeiro passo para que as crianças saibam exatamente que o número dois
signi�ca um conjunto de dois uns e não mero símbolo”. 
Outras formas de usar a correspondência biunívoca com o propósito de associar
quantidades, era fazendo rabiscos em paredes (pequenas ranhuras) ou pedras, dar
nós em pedaços de cordas, onde cada nó representava um objeto do grupo ou
coleção, havia ainda a contagem dos dedos, onde se dobrava ou esticava o dedo
para cada unidade que era contada, conforme Imenes (1997b), “na língua falada por
algumas tribos, para referir-se a quantidade CINCO, eles dizem MÃO. Para referir-se
ao DEZ, eles dizem DUAS MÃOS” (p.16).
Entretanto, por volta de 2.000 a. C., contar pedrinhas, fazer riscos nas paredes e dar
nó em cordas, passou a ser um problema para contar e registrar grandes
quantidades, pois devido às novas necessidades que foram surgindo, como por
exemplo, os primeiros sistemas de comércio e a divisão da caça pelas tribos, �zeram
com que esse processo que era considerado satisfatório para pequenas quantidades
passasse a não ser mais e�ciente. 
Para dar conta das novas demandas o processo de contagem passou a ser
sistematizado pelos povos, onde cada um usava a sua própria linguagem e sistema
para representar as quantidades como o sistema egípcio, romano, japonês e indo-
arábico, surgindo então a numeração escrita que abordaremos na Unidade 2. 
Fundamentos teóricos metodológicos da
educação matemática 
SAIBA MAIS
A correspondência biunívoca era comum aos pastores de ovelhas que
ao saírem de manhã para levar seu rebanho ao pasto, reunia em
embornal várias pedrinhas. Cada pedrinha correspondia a uma ovelha.
Ao retornar no �nal do dia, o pastor retirava do embornal uma pedrinha
para cada ovelha que saía do pasto. Dessa forma ele conseguia veri�car
se seu rebanho estava completo ou se alguma ovelha havia fugido, ou
ainda, se havia ovelhas de outro rebanho junto ao seu. Foi então a
palavra pedrinha, que deu origem ao termo cálculo, que é utilizado de
forma universal na matemática até a atualidade. “A palavra cálculo
originou-se da palavra latina calculus, que signi�ca ‘pedrinha’”. (IMENES
1997, p. 15).
Aqui falaremos brevemente sobre o que propõe Diretrizes Curriculares do Paraná
sobre como deve ser o ensino da matemática.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, LDBEN, (nº. 9394 de 20 de
dezembro de 1996), é responsável pelas novas interpretações sobre o ensino da
matemática, ao elencar conteúdos, que de fato fazem parte do campo de
conhecimento da matemática. No Paraná nesse período, foram criadas disciplinas
como álgebra, geometria e desenho algébrico. 
A partir de 1998, o Ministério da Educação distribuiu os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs), e enfatizou o uso da matemática com o objetivo de resolver
problemas locais, além de estimular a abordagem dos temas matemáticos
resgatando a importância do conteúdo matemático e da disciplina Matemática, as
tendências metodológicas em Educação Matemática e os procedimentos
avaliativos. 
Foi então, a partir de 2003, que a Secretaria de Educação - SEED de�agrou um
processo de discussão envolvendo professores atuantes em salas de aula, bem como
educadores dos Núcleos Regionais e das equipes pedagógicas da Secretaria de
Estado da Educação a �m de resgatar importantes considerações teórico-
metodológicas para o ensino da matemática que resultam nas Diretrizes
Curriculares de Matemática para a Educação Básica. 
Tais discussões apontaram para a necessidade de compreender o ensino da
matemática em todas as suas vertentes, um ensino que possibilite ao aluno levantar
hipóteses, discutir, se apropriar de conceitos e formular ideias, visando a sua
formação integral como cidadão.
Com o intuito de trazer um ensino da Matemática diferente do ensino clássico de
métodos puramente sintéticos, essas discussões pautavam a busca por um ensino
intuitivo e indutivo, o que con�gurou o campo de estudo da Educação Matemática.
A educação matemática, enquanto campo de estudo que proporcionam
fundamentação teórica e metodológica que direcionam a prática docente engloba
saberes que in�uenciam, direta ou indiretamente, os processos de ensino e de
aprendizagem. Esse objeto de estudo, apesar de ainda estar em construção tem
como pressuposto investigar a forma com que o estudante compreende e se
apropria da matemática, “concebida como um conjunto de resultados, métodos,
procedimentos, algoritmos etc.” (MIGUEL; MIORIM 2004, p. 70). 
Também tem como função fazer o aluno construir valores e atitudes que visam a
sua formação integral enquanto cidadão, in�uenciando na formação do
pensamento do aluno que o permitam criar relações sociais e adquirir consciência
social. Corrobora Duarte (1987) que: 
[...] o ensino de matemática, assim como todo ensino, contribui (ou não)
para as transformações sociais não apenas através da socialização do
conteúdo matemático, mas também através de sua dimensão política
que é intrínseca a essa socialização. Trata-se da dimensão política
contida na própria relação entre o conteúdo matemático e a forma de
sua transmissão-assimilação (p. 78). 
Assim sendo, para que a educação matemática de fato se efetive, o professor deve
se interessar pelo seu desenvolvimento intelectual e pro�ssional, repensando sua
prática, a �m de se tornar um professor pesquisador em constante formação que
paute a construção do conhecimento da matemática sob uma visão histórica onde
os conceitos apresentados deverão ser discutidos, pensados e repensados com o
objetivo in�uenciar o pensamento do aluno e na sua existência. 
Para Medeiros (1987) “implica olhar a própria matemática do ponto de vista do seu
fazer e do seu pensar, da sua construção histórica e implica, também olhar o ensinar
e o aprender matemática, buscando compreendê-los” (p. 27). 
Para tanto, faz-se necessário que o processo pedagógico em
Matemática contribua para que o estudante tenha condições de
constatar regularidades, generalizações e apropriação de linguagem
adequada para descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de
outras áreas do conhecimento. (PARANÁ 2008, p. 49).  
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Para Medeiros (1987) “implica olhar
a própria matemática do ponto de
vista do seu fazer e do seu pensar,
da sua construção histórica e
implica, também olhar o ensinar e o
aprender matemática, buscando
compreendê-los” (p. 27). 
Neste sentido, tal re�exão abre
espaço para uma educação
matemática que esteja voltada para
o desenvolvimento cognitivo do
aluno e também para a relevância
social que tem o ensino da
matemática. 
Assim sendo, concluímos que a perspectiva da Educação Matemática pressupõe a
análise de variáveis envolvidas nesse processo e as relações que elas estabelecem
entre si e que são importantes para o professor e de grande relevância para o ensino
da matemática. 
A criança e o
conhecimento matemático
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
Nesse tópico abordaremos um pouco sobre os pressupostos teóricos que norteiam a
educação baseados na teoria de Piaget e Vygotsky, bem como as crianças formam
os primeiros conhecimentos matemáticos. A �nalidade deste tópico é dar um
embasamento aos que se preocupam com o Ensino da Matemática na Educação
Infantil e nas séries iniciais do Ensino Fundamental, proporcionando um estudo
sobre a criança e a construção do seu conhecimento matemático, uma vez
entendemos que qualquer professor deve ter subsídios teóricos sobre a evolução
histórica do conceito matemático e de como a criança constrói este conceito. 
A construção do conhecimento, na
concepção de Piaget e Vygotsky.
Existem diferentes teorias diferentes que tem como objetivo, explicar como funciona
o processo de aprendizagem do indivíduo. Jean Piaget e Lev Vygotsky, são os
autores que mais se destacam na educação contemporânea. 
Piaget, autor da teoria epistemologia genética ou psicogenética, que parte da ação
formada por meio dos primeiros conceitos que a criança tem dos objetos que estão
a sua volta. Em sua teoria ele descreve como se dá o processo de aquisição do
conhecimento e as sucessivas mudanças no processo cognitivo de acordo com o
estágio do desenvolvimento em que a criança se encontra. 
Segundo Piaget, o professor deve respeitar o nível mental da criança ao apresentar
as propostas metodológicas, uma vez que a criança pode aprender de formas
diferentes a cada etapa do conhecimento (PIAGET, 1970). 
A evolução da lógica moral, de acordo com Piaget (1970), pode ser resumida em
quatro estágios de desenvolvimento: São eles, sensorial-motor, pré-operatório,
operatório concreto e operatório formal. 
1. Sensório-motor (0-2 anos): ao nascer, o bebê apresenta padrões de
comportamento, como sugar e agarrar.As modi�cações e o desenvolvimento do
comportamento ocorrem à medida que, aprende a coordenar suas sensações e
movimentos e por meio das interações que tem com o meio ambiente. O bebê
passa a construir esquemas para assimilar o que acontece a sua volta e possui um
conhecimento privado que não é in�uenciado pelas pessoas. 
2. Pré-operatório (2-7 anos): esta fase está dividida em dois períodos, o primeiro se
refere a inteligência simbólica, que acontece dos dois aos quatro anos, onde a
criança é capaz de substituir um objeto por uma representação. O segundo se refere
ao período intuitivo, que acontece dos quatro aos sete anos, nesse período a criança
utiliza a percepção que tem dos objetos e não a sua imaginação.  
3. Operatório-concreto (7-11 anos): Nessa fase a criança é capaz de interiorizar ações
de maneira concreta, fortalece as conservações numéricas, organiza o mundo de
forma lógica e operatória, permiti construções mais elaboradas, sendo capaz de
compreender regras e estabelecer compromissos. 
4. Operatório-formal (11-15 anos): O pensamento lógico atingirá o estágio mais
elevado das operações abstratas, e está apto a aplicar o raciocínio lógico em
diferentes situações problemas. 
Neste sentido, podemos perceber que todas as fases citadas por Piaget se referem a
organização dos conceitos matemáticos que são ensinados na escola. 
Vygotsky, assim como Piaget, foi outro grande pesquisador sobre as teorias da
aprendizagem. Sua teoria enfatiza o processo-histórico social e a importância da
linguagem no desenvolvimento cognitivo do indivíduo. Para ele, o pensamento e a
linguagem convergiam em conceitos úteis que auxiliavam no pensamento do
indivíduo (VYGOTSKY, 1984). 
Para o pesquisador, a criança se desenvolve em sala de aula por meio das interações
sociais que acontece entre os professores e as crianças e do diálogo que a criança
estabelece com o grupo. Esse relacionamento também estimula o desenvolvimento
oral e escrito. 
Neste sentido, para Vygotsky (1984), a aquisição do conhecimento pela criança se dá
pelas relações interpessoais e intrapessoais, por meio da interação e pelas trocas que
acontecem com o meio, por intermédio da mediação. A apropriação do
conhecimento parte da ideia que a criança tem a necessidade de se capaz de
desenvolver sua autonomia e sua independência e assim evoluir no processo de
construção de conhecimento. 
Para Vygotsky e Piaget, a criança tem um papel fundamental no processo de
aprendizagem, porém não único, ou seja, ela precisa da interação e da mediação
para que haja a aquisição do conhecimento. 
SAIBA MAIS
Caso você queira se aprofundar um pouco sobre a teoria de Piaget,
recomendamos a obra de Iris Barbosa Goulart, com o tema: 
GOULART, I.B. Piaget: experiências básicas para utilização pelo
professor. 27. ed. Petrópolis: Vozes, 2011.
Os primeiros conceitos matemáticos  
Os conhecimentos matemáticos são parte integrante e essencial em sua vivência,
além disso, a matemática está incorporada ao seu dia a dia. Durante a infância a
criança participará de inúmeras situações envolvendo relações de quantidade,
organização do pensamento, raciocínio lógico, noções temporais e espaciais. É
possível observar que desde muito pequena ela já agrega, divide, separa objetos em
suas brincadeiras. As teorias de Piaget e Vygotsky nos mostram como a criança
constrói esses conhecimentos. Eles nos permitem entender a lógica da criança ao
lidar com conceitos matemáticos e nos revelam a importância da interação da
criança com o meio e com os sujeitos da cultura na apropriação do conhecimento.
(FARIA & DIAS, 2008).
Sobre conhecimento matemático o Referencial Curricular Nacional para a Educação
Infantil (RCNEI) a�rma que,
Fazer Matemática é expor ideias próprias, escutar as dos outros,
formular e comunicar procedimentos de resolução de problemas,
confrontar, argumentar e procurar validar seu ponto de vista, antecipar
resultados de experiências não realizadas, aceitar erros, buscar dados
que faltam para resolver problemas, entre outras coisas. Dessa forma as
crianças poderão tomar decisões, agindo como produtoras de
conhecimento e não apenas executoras de instruções. Portanto, o
trabalho com a Matemática pode contribuir para a formação de
cidadãos autônomos, capazes de pensar por conta própria sabendo
resolver problemas. (BRASIL 1998, p. 207). 
Como já visto anteriormente, a construção histórica do conhecimento matemático
surgiu das necessidades sociais o homem de interagir com o meio, das suas
tentativas de compreender o mundo e de como se encaixar nele. Da mesma forma
SAIBA MAIS
Entenda um pouco mais da teoria de Vygotsky lendo a seguinte obra
de Tereza Cristina Rego.
REGO, T.C. Vygotsky: uma perspectiva histórico-cultural da educação.
Petrópolis: Vozes, 2005.
deve ser compreendido o trabalho na Educação Infantil, onde o conhecimento deve
ser guiado pelas necessidades que emergem do cotidiano das Instituições de
Educação Infantil. 
Nesse sentido, os professores podem ajudar a criança a organizar suas ideias desde
os primeiros passos escolares que acontecem na Educação Infantil criando para isso,
situações que irão favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e
consolidação desses saberes cotidianos relacionados à matemática podendo tornar
mais signi�cativo seus conhecimentos. Para isso é importante que haja um
ambiente matematizador, que vá além dos conhecimentos escolares, onde muitas
vezes o conhecimento está voltado somente para a repetição e memorização de
números.
Piaget e Szeminska (1975), a�rmam que, 
[...] não basta de modo algum a criança saber contar verbalmente ‘um,
dois, três, etc’, para achar-se na posse do número. Em outras palavras,
memorizar apenas não basta, é preciso compreender o número,
principalmente como representação de quantidade (p.15).  
De acordo com os estudos de Piaget (1970), para que a aprendizagem de fato ocorra,
é fundamental que haja uma interação entre o sujeito e o objeto a partir de três
processos: 
1. Assimilação generalizadora: ocorre quando os esquemas estruturantes são
modi�cados no indivíduo, a partir daí ele passa a assimilar novos objetos da
realidade e função do todo. 
2. Assimilação reconhecedora: É a capacidade que por meio dos esquemas
estruturantes o indivíduo tem de buscar objetos de forma seletiva ou mais
características do objeto, baseados na construção lógico-matemática de um
efetivo sujeito do conhecimento. 
3. Assimilação recíproca: É quando dois ou mais esquemas se misturam em
uma totalidade generalizadora de maior hierarquia. Segundo Piaget, só
podemos nos aproximar da estrutura de coisas por meio de aproximações
sucessivas e jamais de�nitivas.
Propor atividades, jogos e brincadeiras com materiais que desenvolvam a
inteligência simbólica e intuitiva, que oportunizem um trabalho sistematizado, são
fundamentais nesse processo. 
Por volta dos 4 e 5 anos, já é possível trabalhar jogos como o tangram, quebra-
cabeças chinês a �m de trabalhar conteúdos como geometria. Atividades como
seriação, classi�cação, quanti�cadores, e contagem quando são realizados com a
criança desde a Educação Infantil poderão criar condições necessárias que
favorecerão à construção do conceito de número nos anos iniciais do Ensino
Fundamental.
O professor da Educação Infantil está construindo o conceito de número, e suas
representações quando estimula de forma espontânea a criança a brincar de contar,
brincar com blocos lógicos, utilizados na percepção de formas e grandezas,
agrupando os blocos pelas cores, comparando tamanho, largura ou altura, ou até
mesmo atividades que envolvam consciência corporal e espacial, como atividades
de esconder e procurar, construções com diferentes materiais, montar percursos e
labirintos, cordas e bolas.  
Problematizar a situação antes da brincadeira fará com que a criança comece a
estabelecer relações, levante hipóteses a respeito do que acontecerá. Durante a
brincadeira como forma de registro a professora pode propor aos alunos registrar os
pontos de cada time, ou de cada aluno. Esseregistro pode ser feito em papel
individual, ou coletivo. Ao �nal da brincadeira a professora pode propor roda de
conversa sobre quais foram as di�culdades, as estratégias utilizadas, promovendo
uma re�exão sobre as ações envolvidas na brincadeira. 
Lembrando que, ao trabalhar uma brincadeira ou um jogo com objetivos
matemáticos deve-se planejar qual brincadeira é a mais adequada ao conteúdo que
está sendo estudado, e a idade da criança, além disso, é importante que a criança
conheça as regras. E para que ela se aproprie do conteúdo é interessante que
primeiro ela brinque por brincar, exercitando sua imaginação, se socializando e só
após a brincadeira deve ser direcionada para o conteúdo. 
A criança precisa se sentir a vontade e nunca deve ser forçada a participar de algum
jogo ou atividade. Sua participação deve ser espontânea. Ver os colegas brincarem,
pode ser um grande incentivo para que ela passe a se sentir segura e entre na
brincadeira. 
Na concepção de Faria; Dias (2008), 
[...] esse modo de trabalhar com o conhecimento matemático na
Educação Infantil é bastante diferenciado daquelas práticas com as
quais o (a) professor (a), supõe que está desenvolvendo o pensamento
matemático ao ensinar a criança a repetir a sequência numérica, e a
desenhar os numerais, associando-os as quantidades, ou daquelas em
que as crianças devem desenhar formas geométricas várias vezes e
fazer exercícios repetidos para aprender seus nomes (p.97). 
Cabe então ao professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental dar sequência
nesse processo, fazendo com que os alunos continuem desenvolvendo seu
conhecimento matemático, propondo situações e utilizando materiais diversi�cados
que contribuam para um ambiente matematizador. 
Dessa forma a criança por meio da sua inteligência, das suas ideias de quantidade e
da sua interpretação dos sistemas de numeração interage com o meio ambiente,
começa a atribuir signi�cado ao que está fazendo, o que possibilitará que se
aproprie dos conceitos. 
A princípio desbrava o ambiente, utilizando elementos, brinquedos e materiais, em
seguida passa a dispô-los de forma organizada, e por �m consegue trabalhar
mentalmente com as ideias de números, mas baseando-se em duas técnicas lógicas
do raciocínio: classi�cação e seriação. 
Essas habilidades contribuem para percepção dos argumentos que constitui o
sistema de numeração que trabalharemos na Unidade 2. 
A matemática e as
necessidades sociais
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
O indivíduo, enquanto cidadão que sonha, arquiteta projetos e que vive em
sociedade tentando dar signi�cado a ela por meio de seus conhecimentos, por meio
das relações que estabelece com o meio e com os pares, no cumprimento das leis e
do trabalho. A matemática, nesse contexto, tem como função oferecer as
ferramentas necessárias para que ele alcance seus objetivos, tanto individuais,
quanto coletivos. Assim sendo, nesse tópico falaremos um pouco sobre a
importância da matemática e suas necessidades sociais, enquanto atividade
humana, capaz de promover o conhecimento necessário para a formação de um
cidadão crítico, re�exivo em seu papel na sociedade. 
A matemática enquanto disciplina, vai além do apresentado em sala de aula. Muitas
são as di�culdades e barreiras encontradas pelo aluno no decorrer de sua vivência
escolar na disciplina de matemática que não se limitam somente as operações mais
complexas, mais principalmente as operações mais simples, como a adição,
subtração, multiplicação, divisão e interpretação de situações problemas. O papel da
matemática quando aplicada a vida é abrir um leque de oportunidades dentro da
realidade de cada pessoa, permitindo assim que ela construa sonhos e projetos
dentro de modelos matemáticos que são pertinentes ao indivíduo. 
Formar indivíduos capazes de contribuir para a sociedade não é tarefa fácil, consiste
em uma caminha longa a ser percorrida, pois a construção do conhecimento é um
processo que inicia nos primeiros anos de vida e vai se concretizando ao longo da
história. 
O desenvolvimento da matemática como
atividade humana
A educação exerce um papel fundamental na vida do aluno. Por meio dela ele é
capaz de se apropriar dos conhecimentos aprendidos, a �m de transforma-los,
ressigni�ca-los, com o objetivo de construir sua dignidade e autonomia de forma
crítica e re�exiva. Sua caminhada inicia ainda no período escolar, onde é por meio da
interação com o meio e com os conteúdos que ele começa a construir sua vida
social, o qual a integração entre escola e comunidade se torna uma relação
constituída por meio da humanização e do apreço social. Nesse contexto,
pressupomos que é na escola que a educação matemática acontece, e se dá pelas
interações entre alunos e professores, ou seja, entre relacionamentos entre pessoas.
A educação matemática deve oferecer ferramentas de ensino que permitirão o
acesso a vida em sociedade. Ela se torna uma atividade humana quando leva em
consideração a bagagem cultural que o aluno traz em sua vida cotidiana e a utiliza a
�m de sistematizar o conhecimento pré-existente do aluno o valorizando em todas
as suas vertentes.  Para isso é preciso que a escola e o professor em seus
planejamentos incluam ferramentas pedagógicas e conteúdos que favoreçam a
contextualização da vida cotidiana e social do aluno, cujo objetivo seja a solução de
problemas sociais do seu cotidiano, conforme contribui o documento abaixo: 
  Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao
estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e
do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais
favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. Além disso, conceitos
abordados em conexão com sua história constituem-se veículos de informação
cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A História da
Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade
cultural. Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer
ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar
respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a constituição de um
olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. (BRASIL, 1998, p.42) 
Conforme mencionado no documento, não podemos esquecer da matemática
como criação humana a partir das suas diversas necessidades sociais e culturais que
se emergiram no decorrer do processo histórico e que se constituem como forma de
informação cultural, que possui grande valor na formação humana enquanto um
instrumento de resgate da própria identidade cultural.
A modelagem matemática e sua
contribuição para a vida 
A modelagem matemática enquanto ensino, deve ser indissociável da vida
cotidiana. Ela tem por �nalidade transformar problemas do cotidiano em problemas
matemáticos, interpretando suas soluções em uma linguagem prática no dia a dia.
Entretanto, a matemática aplicada a sala de aula nos dias atuais tem sido
fragmentada, o qual está baseada em uma mera decoração de fórmulas, deixando
de lado a informação e contextualização da vida cotidiana, social e cultural do aluno.
Fato esse que pode parecer sem importância, todavia esse pensamento pode limitar
o alcance de abstrações da matemática que são fundamentais para o
desenvolvimento humano, pois tal pensamento pode distanciar muitos indivíduos
de recursos e ferramentas riquíssimas que são inerentes ao seu cotidiano.   Essa
tendência como a�rma Goes (2015), 
[...] permite realizar um caminho contrário ao que usualmente é
apresentado em sala de aula: de acordo com essa metodologia, não é o
conteúdo que determina os problemas a serem trabalhados; é a
modelagem que determina os problemas e os conteúdos utilizados
para a sua resolução (p. 114). 
Ou seja, à modelagem matemática é uma ferramenta que promove o
desenvolvimento individual, intelectual e o raciocínio por meio de interações entre oconhecimento sistematizado e o conhecimento empírico que é advindo do
cotidiano do indivíduo. Sua sistematização ocorre na resolução de situações
problemas determinados pela modelagem matemática em sala de aula.  
Na modelagem matemática o professor é o mediador do conhecimento e por meio
de um planejamento adequado tem como função orientar os alunos no
desenvolvimento das atividades. 
Quando o professor traz para a sala de aula a realidade contextualizada como parte
integrante do conteúdo, faz com que os alunos re�itam sobre as situações propostas
e as possíveis respostas, tornando o conteúdo mais atraente e signi�cativo,
possibilitando um aprendizado de qualidade, capaz de promover o conhecimento
necessário para a formação de um cidadão crítico, re�exivo em seu papel na
sociedade. 
Dessa forma a modelagem matemática enquanto organizadora do processo e
relacionada com a vida cotidiana une a teoria e a prática, abre caminhos para a
resolução dos mais diversos problemas, tornando a educação matemática
transformadora voltada para as necessidades do aluno. 
Para que isso de fato aconteça é preciso que haja um maior entendimento da escola
e do professor acerca dessa nova tendência, que por meio dos modelos
matemáticos tem como propósito levar o aluno a desenvolver seu pensamento
analítico e crítico na resolução de situações problemas, como um cidadão ativo que
tem interesse pelo coletivo e que seja capaz de fazer a diferença na sociedade. 
REFLITA
Na vida dez, na escola zero.
A matemática escolar é apenas uma das formas de se fazer
matemática. Muitas vezes, dentre os alunos que não aprendem na aula
estão os alunos que usam a matemática na vida diária, vendendo em
feiras ou calculando e repartindo lucros. Esse livro analisa a matemática
na vida diária de jovens e trabalhadores que na maioria das vezes não
aprenderam na escola o su�ciente para resolverem os problemas que
resolvem no seu cotidiano. (CARRAHER; CARRAHER, SCHLEIMANN,
1988). 
Caro aluno, nessa Unidade tivemos a oportunidade de estudar um pouco da história
da matemática, onde os números surgiram devido às necessidades dos homens e
que até hoje os conhecimentos matemáticos auxiliam na evolução da humanidade. 
Também veri�camos que a, LDBEN, (nº. 9394 de 20 de dezembro de 1996), foi a
responsável pelas novas interpretações sobre o ensino da matemática, ao elencar
conteúdos, que de fato fazem parte do campo desse campo do conhecimento. E que
a partir daí no ano de 2003 a SEED de�agrou um processo de discussão a �m de
resgatar importantes considerações teórico-metodológicas para o ensino da
matemática que culmina com as Diretrizes Curriculares de Matemática para a
Educação Básica. 
Ao darmos sequência em nosso estudo, veri�camos que a intenção dessa discussão
era propor um ensino da Matemática diferente do ensino clássico de métodos
puramente sintéticos, essas discussões pautavam a busca por um ensino intuitivo e
indutivo e enquanto campo de estudo que proporcionam fundamentação teórica e
metodológica que direcionam a prática docente.
Também foi possível dar embasamento teórico aos que se preocupam com o Ensino
da Matemática na Educação Infantil e nas séries iniciais do Ensino Fundamental,
abordamos um pouco sobre os pressupostos teóricos que norteiam a educação
baseados na teoria de Piaget e Vygotsky. Nesse sentido, proporcionamos um estudo
sobre a criança e a construção do seu conhecimento matemático, uma vez
entendemos que qualquer professor deve ter subsídios teóricos sobre a evolução
histórica do conceito matemático e de como a criança constrói este conceito.
Essa unidade ainda nos permitiu veri�car que a matemática enquanto disciplina, vai
além do apresentado em sala de aula. E quando aplicada a vida abre um leque de
oportunidades dentro da realidade de cada pessoa, permitindo assim que ela
construa sonhos e projetos dentro de modelos matemáticos que são pertinentes ao
indivíduo se tornando humanizada. Vale ressaltar que o uso da modelagem
matemática em sala de aula como ferramenta auxilia na aprendizagem e promove o
Conclusão - Unidade 1
desenvolvimento individual, intelectual e o raciocínio por meio de interações entre o
conhecimento sistematizado e o conhecimento empírico que é advindo do cotidiano
do indivíduo. 
Nesse estudo você pode compreender que o professor é o mediador do
conhecimento e por meio de um planejamento adequado tem como função orientar
os alunos no desenvolvimento das atividades. 
Portanto, para que a aprendizagem seja de fato signi�cativa é preciso que haja um
maior entendimento da escola e do professor acerca dessa nova tendência, que tem
como propósito levar o aluno a desenvolver seu pensamento analítico e crítico na
resolução de situações problemas, como um cidadão ativo que tem interesse pelo
coletivo e que seja capaz de fazer a diferença na sociedade.
Acredito que o conteúdo abordado na Unidade I contribuiu com sua formação
enquanto acadêmico e pedagogo. 
Dessa forma concluo essa Unidade lembrando que é muito importante que seus
estudos possam ir além do material didático. Busque novos conhecimentos e
re�exões sobre novas formas de ensinar, persevere e não desista, para que enquanto
futuro pro�ssional possa contribuir para uma prática pedagógica responsável e
consciente. 
Livro
Livro
Livro
Filme
Acesse o link
https://www.youtube.com/watch?v=YEpcuMdpBE8&list=PLzcrMvQTIt1zmh8mcy9SzjL6WVGiFgUk8
Unidade 2
Noções básicas para
alfabetização matemática e
seus aspectos
psicogenéticos
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
Introdução
Vivemos em um mundo cheio de números, ideias de espaços e formas, onde o
contato com a matemática ocorre muito cedo na vida da criança. O número da
roupa, dos calçados, o preço de uma bolacha, a quantidade de balas que é dividida
entre os primos, a temperatura do forno, nas brincadeiras infantis que são feitas
contagens, são experiências fundamentais para a aproximação da criança com o
conteúdo matemático que será apresentado na escola.  
Nesta unidade serão apresentados alguns conceitos que envolvem a construção do
número pela criança e como se dá o desenvolvimento da estrutura numérica e das
estruturas lógicas de classi�cação e seriação que são fundamentais à construção do
conceito de número aplicados nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Verá
também como as diferentes interações e relações são importantes para a
construção do conceito numérico e que para que a criança se aproprie desse
conceito não basta apenas aprender a contar, mais que essa é uma construção que
acontece de forma progressiva na vida da criança e que só se consolida quando ela
consegue coordenar as ações sobre os objetos e quanti�cá-los.
No decorrer dos estudos também será possível perceber que a matemática surgiu e
tem se desenvolvido em função das necessidades do homem e, o quanto as
civilizações antigas e suas culturas contribuíram para a evolução dos sistemas
numéricos que utilizamos hoje. Além disso a história da matemática quando
contextualizada em sala de aula poderá contribuir para que a criança entenda as
diferentes situações e ações que envolvem o número.  Daí a importância de
começar por situações matemáticas, que envolvam o cotidiano e depois com o uso
de materiais a criança vivencie as ações.
Ao �nal da unidade abordaremos alguns conceitos que são importantes para a
construção metodológica baseadas em teorias que contribuem para a organização
dos conhecimentos que são uteis ao professor e  que o ajudarão a compreender
quais são as características do conhecimento matemático e que conceitos como 
representação e signi�cado e ao sentido, bem como as noções de concreto e
abstrato presentes na matemática são responsáveis pela apropriação dos
conhecimentos matemáticos. 
Então, vamos começar! 
A construção do conceito
de número
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
O processo de aquisição do número, por parte das crianças, se inicia pela contagem
e servirá de base para toda sua aprendizagem futura.
Você já parou para observar uma criança pequena contar?Ao realizar a contagem
de uma determinada quantidade de objetos, por exemplo, a criança tem o costume
de recitar os números, algumas vezes ela pula um, outras vezes repete mais de uma
vez um número já contado anteriormente. Isso acontece porque nessa fase a criança
ainda não desenvolveu o seu conceito de número. Tais competências são oriundas
de processos de aprendizagens informais, que estão incorporados no seu dia-a-dia e
se dão por meio do contato social, jogos, brincadeiras, músicas e outras atividades o
qual a matemática está presente. (LOPES; VIANA; LOPES, 2005).
Ao comparar quantidades e se localizar espacialmente, recitar sequências
numéricas, mesmo que do seu jeito, a criança está possibilitando a construção de
conhecimentos matemáticos.  
A criança e a construção do conceito de
número
Quando ingressa na Educação Infantil, a criança já traz consigo alguns conceitos de
números naturais que foram incorporados ao seu dia a dia desde os primeiros anos
de vida, quando ao brincar, sua mente já começava a diferenciar os objetos no
mundo. Ao reconhecer objetos, observar as semelhanças e diferenças, agrupar os
que são iguais ou da mesma cor ou forma estabelecendo padrões em coleções de
objetos, a criança está desenvolvendo uma das habilidades mais básicas dessa etapa
do desenvolvimento. 
Enquanto se desenvolve outras habilidades como contar, classi�car e seriar vão se
formando. A criança vai constituindo condições que são necessárias para a
consolidação das habilidades de quanti�cação e operação numéricas, conforme vai
aperfeiçoando e articulando as habilidades de classi�cação e seriação.
Dessa forma, as atividades que são trabalhadas na Educação Infantil para a
formação das habilidades acima, são de fundamental importância para a
construção do conceito de número que serão trabalhadas nos anos iniciais do
Ensino Fundamental.
É importante que o professor conheça como cada etapa do desenvolvimento é
processada, para que assim consiga entender como se dá as diferentes etapas do
desenvolvimento da criança em sua maneira de pensar, podendo assim planejar a
melhor forma para intervir, auxiliar e encorajar na criança no processo de
desenvolvimento do raciocínio lógico e na construção do conceito de número.
Também é importante respeitar as diferentes etapas de desenvolvimento pela qual
a criança passa no processo de aprendizagem.
Na tabela a seguir veremos alguns exemplos de estruturas lógicas bem como a
aquisição das relações que são construídas pelas crianças por meio de sua interação
com os objetos. 
Tabela 1 – exemplos de estruturas lógicas
CLASSIFICAÇÃO
Consiste em uma operação lógico-matemática
realizada sobre as semelhanças que existe entre
elementos e que organiza a realidade que nos
cerca.  Momento no qual a criança separa objetos
em classes.
SERIAÇÃO
É a operação lógico-matemática que se desenvolve
ao ordenar ou seriar objetos seguindo uma
determinada relação em ordem crescente ou
decrescente.
QUANTIFICAÇÃO 
Consiste em expressar a relação de quantidade de
uma ou mais coleção de objetos, identi�car onde
há mais ou menos, associar elementos e os
representa-los com seus indicadores.
CONTAGEM Consiste na aquisição do senso numérico e nacapacidade para distinguir pequenas quantidades.
CORRESPONDÊNCIA
UM A UM
É a relação de uma determinada coleção de
objetos com o que lhes é correspondente.
RECONHECIMENTO Consiste em reconhecer as mais diversasrepresentações que estão associadas ao número.
ORDINALIDADE
Consiste na capacidade que o indivíduo tem de
de�nir um conjunto de valores em que cada valor,
com exceção do primeiro, possui um único
antecessor, e cada valor, com exceção do último,
possui um único sucessor.
CARDINALIDADE
Consiste no reconhecimento do número de
elementos que compõe um conjunto, ou seja,
quando o indivíduo é capaz de identi�car a
quantidade.
Fonte: Elaborado pela autora, 2019.
A aquisição das estruturas lógicas mencionadas na tabela acima acontece de forma
gradativa e individual na criança que aos poucos começa a estabelecer as relações
por meio do pensamento e assim vai criando hipóteses. Nesse processo o papel do
professor está em oferecer meios e oportunidades para que a criança pense de
maneira ativa e assim consiga estabelecer as relações que são necessárias ao
desenvolvimento das estruturas lógicas. Segundo Kemii (2003), Piaget e seus
colaboradores descrevem os tipos de conhecimento como sendo três:
Conhecimento físico, lógico-matemático e social.
O conhecimento físico se refere ao conhecimento da realidade visível dos objetos,
por meio da observação, como tamanho, cor, peso e forma, ou seja, as suas
propriedades físicas. Para encontrar suas propriedades é preciso que a criança aja
sobre o objeto a �m de descobrir o que acontece por meio dessa interação que
depende da abstração empírica, onde a criança foca apenas em uma característica
do objeto, como o tamanho e ignora as demais (peso, forma, cor, etc.).
O conhecimento lógico-matemático é a capacidade de estabelecer e coordenar
relações, mentalmente. Esse processo tem como objetivo con�rmar se suas
hipóteses acerca de determinada representação estão corretas ou não. Tal
conhecimento depende da abstração re�exiva que consiste na coordenação de
relações mentais entre os objetos: como incluir ou não cenouras e batatas na classe
dos vegetais, ou a diferença entre as cores azul e laranja. É por meio dessa re�exão
que a criança compreende o número. 
O conhecimento social se refere às convenções sociais, conforme exempli�ca Lopes;
Viana; Lopes (2005).
[…] crianças, até mesmo muito novas, conseguirem contar de um (1) a
dez (10). Muitos acreditam que só porque recitam os números já
tenham construído este conceito. Contudo esse conceito não deve ser
confundido com o conhecimento lógico-matemático, uma vez que não
se apoia em símbolos e convenções. Dessa forma, recitar números de
um (1) a dez (10) trata-se de um conhecimento social. (p.32) 
Por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, apoiada
pelas capacidades de seriação e classi�cação que foram desenvolvidas
anteriormente. São essas capacidades que irão ajudar a criança na estruturação do
sistema decimal e dos números naturais. Conforme Piaget; Szeminska (1964), o
número é uma síntese de dois tipos de relações entre os objetos e que são
elaboradas pela criança, cuja primeira se refere a origem e a segunda se refere a
inclusão hierárquica.
A criança constrói mentalmente a relação de ordem dos objetos para ter certeza de
que não irá esquecer-se de contar nenhum deles, ou que os conte mais de uma vez
e até mesmo para que não conte objetos inexistentes. Quando não consegue
ordenar mentalmente, a criança deixa objetos sem contar, ou conta a mais. Essa é
uma característica comum as crianças que ainda não construíram essa relação.
A inclusão hierárquica consiste na inclusão mental do 1 no número 2, do 2 no
número 3, assim por diante, ou seja, é quando a criança consegue contar até dez
(10), compreende a ordem da sequência numérica e a estrutura da inclusão
hierárquica.
No Ensino Fundamental, a criança constrói o conhecimento numérico quando são
trabalhadas em sala de aula situações os quais o número é utilizado na resolução de
problemas e como objeto de estudo com �m em si mesmo, observando suas
propriedades, as relações estabelecidas e de que forma histórica o conceito de
número foi construído (PCN’s - BRASIL, 2000). 
Dessa forma o aluno poderá perceber que existem diversos tipos de representações
numéricas, em consequência dos mais diferentes problemas enfrentados pela
humanidade, além de ampliar seu conceito de números quando tiver que
confrontar situações problemas que envolvam as operações fundamentais.
É importante ao professor saber que, ao trabalhar com as operações, deve ter como
objetivo levar a criança a compreender os diferentes signi�cados atribuídos a cada
uma, bem como promover um estudo re�exivo sobre os cálculos, contribuirá para
que a criança aprenda a decidir que operação deve mobilizar para cada tipo desituação problema. 
No decorrer desse processo histórico, cada civilização desenvolveu sua própria cultura sendo que a agricultura e
o comércio tiveram grande importância em todas elas. “A agricultura e o pastoreio modi�caram
profundamente a vida dos homens, dando origem às primeiras aldeias que, lentamente, transformaram-se em
cidades. Algumas destas cidades cresceram e abrigaram as primeiras grandes civilizações”, (IMENES 1993, p.18). 
A agricultura por sua vez, trouxe consigo os calendários que eram utilizados para determinar o plantio e a
colheita, surgindo então a necessidade de novos conhecimentos como matemática e astronomia. O comércio
foi responsável pela organização dessas civilizações e estimulou o contato entre elas.  Mesmo com suas
particularidades e diferenças esses povos possuíam características comuns entre si. Uma dessas características
é a linguagem escrita, que foi desenvolvida por todas essas sociedades.
Tais demandas exigiram um novo grau de organização que culminou em vários problemas que exigiam o
conhecimento e o domínio dos números para que fossem solucionados. A realização das mais diversas
atividades como a construção de casas, templos e estradas, além do comércio, exigiam cálculos e contagem. O
A invenção dos números, sistemas
de numeração e operações
fundamentais
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
que fez com que cada uma dessas civilizações criasse sua linguagem própria de escrita e desenvolvessem
diferentes formas de representação das quantidades. 
Sistemas de numeração
Sistema numérico é o nome dado a um conjunto de regras e símbolos utilizados para representar os números.
Desde a antiguidade, as civilizações já utilizavam uma forma organizada de representação numérica que serão
apresentadas a seguir e que poderão contribuir para uma melhor compreensão do nosso sistema numérico
atual.
Começaremos pelo sistema numérico egípcio. Criado há, aproximadamente, 5 mil anos a.C. também é
conhecido como hieróglifos.  Esse sistema é decimal de base 10, não posicional e estava baseado na ideia dos
agrupamentos. Os símbolos eram representados por imagens que tinham formas de bastão, pergaminho,
ferradura, �or de lótus entre outros. Veja na �gura abaixo: 
Figura 1 – Símbolos que representam o sistema numérico egípcio.
Fonte: acesse o link Disponível aqui
Para representar os números de 1 a 10, eles utilizavam apenas bastões.  
Quando a contagem chegava ao número 10 eles trocavam de símbolo e passavam a utilizar o calcanhar que
indicava o agrupamento dos números. O número 30, por exemplo, era representado pelo agrupamento de três
calcanhares. E assim sucessivamente, conforme o número que desejavam representar. Dessa forma, para
representar o número 238, os egípcios deveriam utilizar os seguintes símbolos da tabela acima:
ou seja, 100+100+10+10+10+1+1+1+1+1+1+1+1.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_egipcia.htm
Ainda que maneira muito rudimentar, os egípcios conseguiam realizar algumas operações aritméticas como
somar, subtrair, multiplicar ou dividir por 10 utilizando seu sistema numérico. Entretanto tais formas de
operações não serão estudadas nesse tópico.
Sistema de numeração romano  
Os romanos também utilizavam o sistema de agrupamento simples e assim como o sistema egípcio era de
base 10. Sua representação era feita por letras maiúsculas os quais eram atribuídos valores.  
Eles utilizavam a forma de numeração posicional, utilizando as seguintes regras:  
Tabela 2 – Símbolos que representam o sistema numérico romano.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I II II IV V VI VII VII IX X
20 30 40 50 100 200 300 400 500 1000
XX XXX XL L C CC CCC CD D M
Fonte: o autor.
Apesar disso, na atualidade ainda é possível encontrar números romanos em capítulos de uma obra,
marcadores de relógios e para representar os séculos.
Sistema de numeração babilônico (mesopotâmia)
Na mesopotâmia, os babilônios utilizavam o sistema misto de numeração que era de base 60, onde os números
inferiores a esse formavam um agrupamento de base 10 e os números superiores a 60 utilizavam o sistema
posicional. Nessa época o zero era utilizado pelos mesopotâmios, mais ainda não era reconhecido como
número, ele servia como uma espécie de guardador de lugar, ou para representar o vazio. Surgido na Índia, se
chamava sunya, que quer dizer vazio, foi levado posteriormente para a Europa pelos Árabes onde passou a se
chamar sifr, sendo traduzido para o latim zephirum de onde deu origem ao zero em português. Somente nos
últimos dois séculos é que de fato, o zero passou a ser reconhecido como um número (LORENZATO, 2006a).
Princípio repetitivo: Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos até três vezes, consecutivamente.
I → 1                         II → 2                      III → 3                            
X → 10                     XX → 20                 XXX → 30        
C → 100                 CC → 200               CCC → 300
M → 1000             MM → 2000           MMM → 3000      
Princípio aditivo: Neste princípio, ao escrever à direita de um símbolo de valor maior um outro
símbolo de valor menor, então eles serão adicionados (somados).
VII → 5 + 2 = 7
CXX → 100+ 20 = 120
DC → 500 + 100 = 600
Princípio subtrativo: Para não ter que repetir quatro vezes o mesmo símbolo, eles utilizavam a
subtração, o que assim como no sistema egípcio di�cultava a representação de alguns números.
IV → 5 – 1 = 4
IX → 10 – 1 = 9
Princípio multiplicativo: Utilizado ao �nal ao �nal da idade média, os números compreendidos
entre 1.000 e 5.000 utilizavam barras horizontais sobre os algarismos indicando que era só
multiplicar o algarismo por 1.000.
 = 10 x 1000 = 10 000         = 27 x 1000 = 27 000¯̄̄ ¯̄X ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯XXV II
Figura 2 – Símbolos que representam o sistema numérico babilônico.
Fonte: acesse o link Disponível aqui
Acredita-se que esse sistema matemático surgiu antes do sistema egípcio. 
Sistema de numeração hindu (indo-arábico) 
Assim como os romanos, nós também utilizamos o sistema de numeração de base 10.  Esse sistema é
caracterizado por uma quantia limitada de símbolos, que, no entanto representa uma in�nidade de números e
são chamados de dígitos ou algarismos. Conforme exempli�ca Zanardini (2017),  
Nosso sistema de numeração é posicional de base 10. A escolha do número 10 é feita de forma
conveniente, pois corresponde ao número de dedos das mãos de uma pessoa. Com os dez
algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), é possível gerar uma quantidade in�nita de números. O número
10 é uma combinação de 0 e 1; o número 11 é formado pela repetição do número 1; o 12, pelo 1 e pelo
2, e assim por diante. É possível a�rmar então, que os números maiores ou iguais a 10 são
combinações dos números menores do que 10. (p. 20)   
Apesar de ter sido desenvolvido pelos hindus, foram os árabes os grandes responsáveis por sua disseminação
por todo o mundo. Foi assim que surgiu o nome indo-arábico. Uma das características desse sistema é que o
mesmo permite realizar cálculos de forma simples e rápida, além de permitir a representação de qualquer
quantidade numérica, uma vez que a cada 10 unidades, se forma uma nova unidade com valor superior, o que
não acontecia com o sistema egípcio e romano.  Segundo Imenes (1997a,) 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-babilonico.htm
[...] talvez, na época em que tal sistema foi inventado, as necessidades práticas não envolvessem
quantidade tão imensas. Entretanto no mundo atual, deparamos frequentemente com a
necessidade de registrar números muito grandes. Assim, tanto o sistema numérico romano, quanto
o egípcio não seriam realmente práticos nos dias de hoje (p.42). 
Vejamos abaixo alguns exemplos da escrita dos algarismos e suas modi�cações ao longo dos séculos até
chegar a representação que utilizamos nos dias atuais: 
Figura 3 -  Escrita dos algarismos e suas modi�cações ao longo dos séculos.
Fonte: acesse o link Disponível aqui
Foi a partir do século VI que esse sistema se expandiu, no entanto foipreciso mais de um milênio para que
fosse aceito pelo mundo ocidental. 
Sistema de numeração decimal e as quatro operações
fundamentais 
Como abordoado na Unidade I, registros históricos mostram que o homem aprendeu a contar a partir da
relação biunívoca (correspondência de um a um) recorrendo a artefatos como pedras, desenhos nas cavernas e
da contagem dos dedos das mãos, o qual deu origem a base numeração decimal que utilizamos hoje. Nosso
objetivo é tratar do estudo do Sistema Numérico Decimal e abordarmos de forma breve as quatro operações
fundamentais (adição, subtração, multiplicação, divisão).
Sistema de Numeração é um conjunto de símbolos e regras utilizados para escrever números. Nosso sistema é
o de base 10 e envolve dois aspectos, o decimal e o posicional. 
No aspecto decimal a passagem de uma ordem para outra ordem superior imediata é feita por agrupamentos
de 10. Ou seja, dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim por diante,
conforme o exemplo: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10; 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100. 
O aspecto posicional permite a representação de diversas quantidades com apenas dez símbolos, onde o valor
de um mesmo algarismo é determinado pela posição que ele ocupa no número. Conforme o exemplo:
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-babilonico.htm
O número 456 é diferente de 654, ou seja, o mesmo número assume valores diferentes quando colocado em
posições diferentes. Quando não há compreensão desses dois aspectos, podem ocorrer di�culdades na
aprendizagem dos algoritmos e das quatro operações fundamentais. 
Apesar de utilizarmos o sistema de base 10, é importante apresentar a criança outras bases que também são
utilizadas nos dias de hoje, como a base cinco e a base dois que é utilizada na área de Informática, além da base
duodecimal utilizada para a contagem em dúzias e a base sexagesimal que é utilizada na leitura de ângulos e
para as horas do relógio. 
É importante que a criança conheça o trabalho que foi desenvolvido no decorrer da história da humanidade
pelos vários povos existentes, e que lhe seja oportunizada a viabilidade do uso de outras bases como
alternativas para a construção do conceito de número, já que a própria história da matemática e a tecnologia
demonstram isso. Dessa forma, é importante o professor explorar atividades de agrupamentos e trocas que
envolvam diferentes bases.  
Podemos representar qualquer quantidade de números utilizando apenas dez signos o qual damos o nome de
algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9). Eles são separados por ordens e classes para facilitar a compreensão do
conceito de número, onde cada algarismo corresponde a uma ordem. Conforme exemplo abaixo:
Por exemplo, o número 1.773.349 possui 7 ordens e 3 classes. 1.773.349 (um milhão, setecentos e setenta e três
mil, trezentos e quarenta e nove unidades). 
1ª ordem: 9 unidades 
2ª ordem: 4 dezenas 
3ª ordem: 3 centenas 
4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades 
5ª ordem: 7 dezenas de milhar = 70 000 unidades 
6ª ordem: 7 centenas de milhar = 700 000 unidades 
7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades 
O quadro abaixo representa um exemplo de decomposição e a organização das suas ordens: 
Uma das características do sistema posicional é a sua relação com o chamado valor relativo ou absoluto dos
algarismos. 
Quadro 1 – Exemplo de decomposição e organização.
3ª classe: milhões 2ª classe: milhares 1ª classe: unidades simples
9ª
ordem
8ª
ordem 7ª ordem
6ª
ordem
5ª
ordem
4ª
ordem
3ª
ordem
2ª
ordem
1ª
ordem
centena
de
milhão
dezena
de
milhão
unidade
de
milhão
centena
de
milhar
dezena
de
milhar
unidade
de
milhar
centena
simples
dezena
simples
unidade
simples
 
1 7 7 3 3 4 9
1.000.000 700.000 70.000 3.000 300 40 9
Fonte: o autor.
O valor posicional no sistema de numeração decimal que utilizamos é caracterizado pela sua relação com o
valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um determinado número. Conforme exemplo abaixo: 
No número 555, o algarismo 5 ocupa três posições distintas, ou seja, três valores relativos: 5, 50 e 500. 
Quadro 2 – Valor Relativo
Fonte: o autor.
As quatro operações fundamentais  
Quatro são as operações fundamentais que compõe o campo da aritmética: adição, subtração, multiplicação e
divisão. A aritmética é o campo da matemática que estuda as propriedades dos números e suas operações.
Enquanto que algorítimo, é o processo de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes,
em que se estipulam, com generalidades e sem restrições, regras formais para obtenção do resultado ou da
solução de um problema. (AURÉLIO, 1975). 
As contas (cálculos numéricos escritos) são formas de representação de ações que envolvem as quantidades e,
para compreender e construir os conceitos das operações fundamentais é importante que a criança entenda as
diferentes ações que envolve cada operação, brincando e vivenciando elas. É, portanto, a partir das diferentes
experiências e ações, considerando também o seu nível de desenvolvimento, que a criança passará a
compreender esses conceitos. 
A criança gosta de situações matemáticas, de atuar sobre elas como descobridora, ela também gosta de achar
as soluções e enfrentar desa�os. Nesse sentido, nos anos iniciais do ensino fundamental, é natural que se
comece por situações matemáticas, que envolvam o cotidiano e depois com o uso de materiais a criança
vivencie as ações, a �m de compreender o que está fazendo. 
Por isso, é importante que o professor tenha um olhar diferenciado para que possa perceber o interesse da
criança e assim estimulá-la, incentivá-la nesse processo. Após esse momento o professor poderá utilizar a
linguagem matemática para ensinar a representar a operação. 
Corrobora Ramos (2009) que, as crianças quando vivenciam situações o qual acrescenta quantidades a outras,
está compreendendo o conceito ou ideia de adição, na subtração ela compreende o conceito quando retira
quantidades de outras, aprende a multiplicar quando têm pacotes de balas contendo a mesma quantidade e
aprendem o conceito da divisão quando distribuem �gurinhas em caixas. 
Ainda, segundo Ramos (2009), “operação matemática é uma transformação que pode ser desfeita. Operação =
operar + ação. Transformação = transformar + ação. Ou, seja, sem ação não acontece uma transformação; e, da
mesma forma, sem ação não ocorre operação” (p.67).
A seguir, veremos alguns exemplos que envolvem as ações ou ideias das quatro operações fundamentais
baseado nos estudos de Ramos (2009). 
Ideias de Adição: 
Em uma quadra havia 17 bolas, e outras 3 foram jogadas nela. Quantas bolas há na quadra?
Em um armário há 10 pratos e 6 copos. Qual o total de louças? 
O exemplo acima deixa claro que as duas contas são de adições, entretanto há uma diferença entre elas. 
Na primeira conta foi utilizada uma “ação de acrescentar”: havia 17 e foram jogadas 3 totalizando assim 20 bolas
na quadra, ou seja, acrescentamos quantidade a uma quantidade já existente. Essas ações são mais claras e
elementares e estão apresentadas em três tempos: o estado inicial, o fato ou ação que transformou e o estado
�nal, onde o verbo declara a ação.  
Na segunda conta foi utilizada uma “ação de reunir”: 10 pratos + 6 copos = 16 louças, ou seja, apenas reunimos as
quantidades para sabermos o valor total. Na ação de reunir o verbo não aparece de forma explícita, não existe
questão temporal e no estado �nal só houve a inclusão das classes, ou seja, tudo já estava lá. Esta é uma ação
que depende do ponto de vista de quem está interpretando a questão.
Nos exemplos acima podemos veri�car que realizamos a mesma conta, porém com ações ou ideias diferentes. 
Ideias de Subtração: 
Na subtração ocorre o mesmo que na adição, onde diferentes ações são resolvidas por meio da subtração. 
Na piscina havia 20 crianças e saíram 17. Quantas crianças �caram na piscina?
Nessa conta foi utilizada uma “ação de retirar”: havia 20 e saíram 17 = 3 crianças que �caram na piscina. Nessa
ação euretiro uma parte do todo e a parte que permanece �ca menor. Esta ação é apresentada em três
tempos: estado inicial, estado que transforma a quantidade inicial, estado �nal. Nessas situações a ação é
explícita, o verbo declara qual é a ação e a mesma é o inverso da ação de acrescentar. 
No meu álbum cabem 100 fotos, já coloquei 65. Quantas fotos ainda devo colocar para que ele �que
completo? 
Nessa conta foi utilizada uma “ação de completar”: cabem 100, colei 65 = 35 fotos que ainda devo colocar. Esta
situação há um todo que pode ser completado, ou que inclui as partes consideradas. Aqui o verbo não é
explícito, o todo sempre usa a ação de incluir, e suas partes são as suas subclasses. É uma ação oposta a de
reunir, porém ambas trabalham com ideias de inclusão. 
Ideias de Multiplicação: 
Usaremos como exemplo uma das ideias de multiplicação, a multiplicação aditiva.  
Multiplicar envolve uma ação diferente de somar. Na adição contam-se elementos ou quantidades, como por
exemplo, balas. 
Figura 4 – Exemplo de Adição
Fonte: o autor.
Na multiplicação aditiva contam-se grupos com elementos, como por exemplo, sacos com balas. 
Figura 5 – Exemplo de Multiplicação Aditiva.
Fonte: o autor.
Multiplicar e somar consiste em raciocínios diferentes. A natureza dos números utilizados na multiplicação
aditiva é diferente, ou seja, um dos números conta os grupos e o outro grupo conta quantos elementos existem
em cada grupo.  
Entretanto é preciso entender que se invertermos as situações: 5 sacos e 3 balas em cada saco = 15 balas,
mesmo que a quantidade de balas seja a mesma as duas situações são diferentes. Dessa forma, é preciso que a
criança entenda que mesmo que a ordem dos fatores não altere o produto, as situações vividas não são iguais,
elas se transformam.  
Ideias de divisão: 
Assim como nas demais operações fundamentais, as mais diversas situações podem ser resolvidas com as
divisões, conforme os exemplos comparativos logo abaixo: 
Tenho 15 balas e quero distribuí-las em 3 sacos. Quantas balas devo colocar em cada saco para que �quem
com quantidades iguais? 
Resposta: 15 dividido por 3 = 5 balas por saco. Observe que nessa situação utilizamos a ideia de distribuição, ou
seja, eu sei quantos grupos (sacos) eu tenho e quero saber quantos elementos (balas) �carão em cada grupo. 
Outra situação: Tenho 15 balas e quero colocar 3 balas em cada saco. Quantos sacos precisarei?
Resposta: 15 dividido por 3 = 5 sacos. Observe que nesta situação, utilizo a ideia de formar grupos, e apesar do
valor numérico ser o mesmo da situação anterior, as situações são diferentes. Aqui eu sei quantos elementos
(balas) colocarei em cada grupo e preciso saber quantos grupos (sacos) eu utilizarei.  
Ao fazer o registro numérico de forma concreta, por meio de desenhos ou até mesmo dos objetos, o professor
consegue atribuir com mais facilidade o signi�cado dos números e as operações.  
Ao contextualizar uma situação de cálculos, o professor estará oportunizando a criança a encontrar a solução
por meio de uma construção progressiva dos diferentes signi�cados das operações matemáticas sem que
resolver problemas ou fazer contas seja algo sem sentido e mecânico. 
SAIBA MAIS
Para aprofundar seu conhecimento sobre o algoritmo da adição e subtração, sugerimos a leitura
do capítulo 6 do livro da autora Ana Cristina S. Rangel. Educação Matemática e a construção do
número pela criança: uma experiência em diferentes contextos socioeconômicos – Porto alegre:
Artes Médicas.
Conceitos básicos para a
construção metodológica
AUTORIA
Paula Regina Dias de Oliveira
Diversos pesquisadores, entre eles Jean Piaget, foram responsáveis por criar
modelos de teorias que conseguem explicar como o nosso raciocínio se desenvolve
de tal forma que nos permite perceber e transformar de modo intencional as
características das formas que habitam o espaço. Tais teorias também são
responsáveis pela organização dos conhecimentos que são uteis ao professor, tendo
em vista que ajudam a compreender quais são as características do conhecimento
matemático e no planejamento das atividades a �m de potencializar as
aprendizagens tornando-as signi�cativas. Nesse sentido partiremos do pressuposto
de que a nossa mente lida com o espaço por meio da representação e intuição que
são dois conceitos centrais que constituem uma síntese de ideias presentes nos
modelos piagetiano e que serão brevemente apresentados aqui com o intuito de
compreendermos que a partir da representação e intuição também poderemos
entender algumas situações que se referem ao signi�cado e ao sentido, bem como
as noções de concreto e abstrato presentes na matemática. 
Representação e intuição 
Representação é a capacidade que temos de de�nir registros das coisas por meio
dos nossos sentidos. Tais registros podem ser imagens constituídas apenas nossa
própria mente ou concretizadas de outras formas por meio de registros, sejam eles
pela linguagem oral ou escrita, sejam por formas grá�cas, como esculturas, ou por
formas planas, como esquemas e mapas.
Utilizada para de�nir os conceitos matemáticos, é por meio das representações que
registramos características que consideramos importantes sobre um objeto, a �m
de manipulá-lo, trabalharmos ele em nossa mente, raciocinarmos sobre ele para que
possamos tirar conclusões acerca desse objeto. 
Dessa forma podemos compreender o quão importante é para uma aprendizagem
signi�cativa, que os professores saibam escolher qual a representação mais
adequada para trabalhar uma determinada situação, uma vez que a criança se sente
entusiasmada diante de experiências que desa�em e as incentivem a explorar
ideias, levantar hipóteses e construir argumentos que a possibilite criar suas próprias
ideias pensando por si mesma. Por exemplo, ao explorarmos quantos quadrados
podemos construir dentro de uma cartolina, ao invés de apenas utilizarmos a sua
�gura sólida (um objeto quadrado), podemos utilizar a sua plani�cação desenhando
os quadrados. 
A intuição é constituída pelo conjunto dos conhecimentos que nos ajudam a atribuir
signi�cados às percepções que temos de forma imediata e consciente. É
caracterizada pela mistura da percepção e do entendimento. 
Por exemplo: quando ouvimos o barulho de um objeto caindo ao chão longe dos
nossos olhos, algumas vezes conseguimos identi�car o objeto pelo som, sem
mesmo tê-lo visto, isto se dá porque nossa mente relembra algum conhecimento
que já possuímos sobre esse objeto e que está relacionado com a nossa audição.  
Outro exemplo interessante é quando estamos na rua e sentimos cheiro de café, ele
evoca em nossas mentes o conhecimento que já temos sobre seu gosto e que são
percepções que estão ligadas ao nosso olfato e ao nosso paladar. 
Dessa forma, podemos compreender que, quanto mais experiências as sensoriais
tivermos, e quanto mais ricas em detalhes elas forem, mais desenvolveremos a
nossa intuição. 
A representação e intuição são competências que devem ser trabalhadas em sala de
aula em todos os níveis de ensino. Sabemos que essa é uma tarefa difícil e que
requer do professor um trabalho intencional o qual ele precisa conhecer os
conceitos matemáticos. 
Competências do pensamento geométrico
e suas habilidades 
O pensamento geométrico se constitui pelo modo de pensar e suas estratégias,
cujas características são as competências/capacidades que o indivíduo deve
construir de analisar objetos no espaço, reconhecer e detalhar suas características
gerais e especí�cas, descrever os procedimentos/processos para
construção/obtenção destas. 
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Podemos perceber que os exemplos
acima nos mostram o quão
rapidamente as nossas intuições nos
levam as nossas experiências
sensoriais. E quando isso não
acontece, ou seja, quando não
encontramos conhecimentos em
nossa mente que nos ajude a
compreender determinada
percepção, temos di�culdade para
formar imagens ou entender o que
está acontecendo. É nesse
momento que de forma consciente
nossas mentes se esforçam para
dar um signi�cado e compreensãoa situação . 
O desenvolvimento das competências também envolve o reconhecimento de
resultados oriundos da transformação na forma e posição dos objetos, na descrição
dos procedimentos e processos na intenção de efetuar e revertê-las, bem como na
comparação das suas formas e posições com o propósito de estabelecer as relações
que são necessárias a compreensão/explicação e resolução dos problemas.  O
pensamento geométrico também está relacionado as Grandezas e Medidas,
entretanto o professor deve ter um olhar diferenciado a cerca desse pensamento
para que não foque apenas nos números e medidas e esqueça de trabalhar o
raciocínio sobre o espaço e forma.  Na sua prática diária, o professor pode estimular
essas habilidades a partir da construção de situações problemas que envolvam a
forma e a posição dos objetos, sem ter que recorrer aos cálculos e medidas. 
As competências do pensamento geométrico são caracterizadas pelas habilidades
de intuição e representação, utilizada de forma consciente para posicionar, localizar,
dimensionar o espaço e objetos, orientar-se quanto as posições do objeto, criar
modelos para interpretar e resolver situações-problema, entre outras habilidades.
Assim sendo, quando falamos em “intuição e representação geométrica” estamos
nos referindo as competências que caracterizam o raciocínio numérico/aritmético.
(não abordaremos esse tópico aqui). 
Signi�cado e sentido 
Para um conhecimento fazer sentido para a criança, ela precisa compreender o seu
signi�cado, aceitar sua lógica, reconhecer os contextos de validade e aplicação dos
conhecimentos. Por exemplo, ao darmos signi�cado a uma operação para a criança
geralmente fazemos da seguinte forma:
Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde está situado seu coração. 
Exemplo 2: também dizemos que cinco vezes um é a mesma coisa que somar um
mais um, mais um, mais um, mais um. Representamos: 5 x 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. 
Di�cilmente algo fará sentido para nós, se não conseguirmos compreender o que
for captado por nossas percepções, ou seja, para darmos sentido as coisas,
precisamos fazer uso da nossa capacidade de representar e intuir.  
Concreto e abstrato 
Concreto, sua característica fundamental é apresentar-se tal como na realidade, de
modo completo. Apesar de atribuirmos o seu signi�cado a tudo que é material e
palpável, não é necessário que seja dessa forma, pode ser algo que evoque ou
represente determinado objeto sem que o mesmo perca a sua totalidade. Como por
exemplo, um lugar onde moramos na infância, e que ao lembrarmos nos traz
lembranças que podem ser bem concretas, mesmo que tal lugar já não exista mais,
podemos nos recordar dele por meio de propriedades como cheiro, cor, sabores e
texturas. 
Contudo não está errado dizermos que se refere a algo material, uma vez que é um
dos signi�cados da palavra e que é demonstrado pelos dicionários.
Já na matemática, no campo da abstração os esquemas são importantes, pois
envolvem a forma de captação do conteúdo. Embora esses esquemas sejam
necessários para que ocorra a abstração, de acordo com Piaget, et al (1995), a
abstração “busca atingir o dado que lhe é exterior, isto é, visa um conteúdo que os
esquemas se limitam a enquadrar formas que lhe possibilitarão captar tal conteúdo”
(p.05). Neste sentido, entendemos que abstração consiste em tirar a informação dos
objetos antes do sujeito realizar qualquer construção acerca dele (cor, tamanho,
peso), ou seja, sem a necessidade de que ele esteja presente.
Outro exemplo interessante sobre abstração de acordo com Guimarães (2012, p. 46)
é, “a inclusão de maçãs e bananas na classe das frutas. Essa classi�cação não se
deve aos objetos em si (maçãs e bananas), mais sim a relação mental do sujeito ao
incluir ou não as maçãs e bananas nessa classi�cação”. Esse conhecimento é um
processo interno e que se apoia sobre as formas e atividades cognitivas da criança. 
Desse modo, podemos perceber que o conceito de representação e intuição
demonstra a ideia do concreto de forma mais abrangente sobre as representações
do espaço que são intuitivas, e partindo desse conceito, podemos estimular a
criança na construção de conceitos mais abstratos por meio da identi�cação das
propriedades do espaço e forma. 
Ao contextualizarmos as ideias em sala de aula, podemos utilizar o concreto, todavia,
com o objetivo de ampliar a capacidade que a criança tem de abstrair de tal
maneira que o entenda como uma referência na sua mente.
REFLITA
Chamamos de esquemas de ação de uma estrutura mental, um plano
de ação. O esquema de ação contém uma sequência (ou matriz) de
conhecimentos estruturados para uma �nalidade. Mas é útil admitir a
existência de outros tipos de estruturas cognitivas que, de um modo
geral, se chamam de esquemas: esquemas de percepção, esquemas
motores, etc. (ROSA NETO 2010, p. 33).
Entretanto é importante entendermos que no decorrer do processo da
aprendizagem matemática haverá momentos em que a criança irá recorrer as
representações que sejam mais fáceis na compreensão de um problema. Diante das
observações que fazemos sobre as representações que são mais intuitivas para a
criança e a maneira com ela as usa é que poderemos traçar novas estratégias de
aprendizagem, oferecendo novos meios que permitam a criança avançar na
construção e na utilização das representações de forma cada vez mais signi�cativa.
Com base nos conceitos vistos até agora, podemos perceber o quão importante é
para o aluno a re�exão sobre o espaço vivido/ experimentado por ele em sala de
aula. Estimular a exploração consciente e a experimentação de movimentos,
favorece a criança a ligação entre experiência e os conhecimentos sistematizados,
contribuindo para que a criança desenvolva melhor a intuição e o pensamento
geométrico. 
Problematizar por meio de perguntas que estimulem a criança a explorar seus
conhecimentos antes de explorarem o espaço vai aguçar a sua intuição, fazendo
com que ela crie hipóteses que antecedem a experiência. Após a atividade, o
professor pode promover uma re�exão sobre os aspectos que mais foram
percebidos e os que não �caram tão evidentes para a criança. 
As representações grá�cas, orais ou escritas e as planas também podem ser
utilizadas como recursos no processo de aprendizagem. Os exemplos aqui
sistematizados de experimentação a exploração do espaço da escola são
importantes para a criança desenvolva de forma signi�cativa os conceitos
abordados e um aprendizado bem mais agradável.
Portanto, como a�rma Kamii (1986), eliminando técnicas insensatas e regras
arbitrárias para produzir escritas corretas, e encorajando a criança a pensar por si
mesma, podemos gerar estudantes que con�am em seu raciocínio, que pensam e
têm uma base sólida para o aprendizado superior. 
Quando ingressa na Educação Infantil, a criança já traz consigo alguns conceitos de
números que são inerentes ao seu dia a dia e que acontecem meio do movimento
exploratório que a criança aplica sobre os objetos. 
Nesse sentido, é importante que na educação infantil sejam trabalhadas atividades
que envolvam classi�cação, seriação, correspondência um a um, com o objetivo de
promover progressivamente o desenvolvimento do pensamento lógico pela criança,
compreendendo e respeitando cada etapa de seu desenvolvimento até ela se
apropriar do número enquanto uma estrutura mental. 
Ao trabalhar as situações matemáticas que envolvam o dia a dia da criança de forma
coordenada e que ocorra dentro da mente primeiro, e só após executadas
materialmente estas operações em contas escritas, podem contribuir e muito para a
progressão do desenvolvimento cognitivo.
Também veri�camos que o uso do valor posicional dos algarismos a ideia principal do
sistema decimal e que ao compreender essas regras as operações fundamentais
tornam-se mais fáceis. Dessa forma, ao trabalhar com as as quatro operações, o
professor deve oportunizar as crianças a resolução de situações-problema que
envolvam seu cotidiano. 
Daí a importância de um bom desenvolvimento metodológico, que vise o estímulo