Relatório 8 - Resistividade Elétrica em um fio de liga metálica Constantan

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• Laboratório de Eletricidade e Magnetismo - Laboratório de Fı́sica Geral III
Relatório 8: Estudo da resistência e resistividade elétrica numa
liga metálica de Constantan(Cu-Ni-Mn)
Ana Gabriele da Cunha Torres 1
Maiza Ellen de Souza Mota 1
Marcelo Felipe Araújo Santana 2
Micael Davi Lima de Oliveira 1
Vitória Aline Ihuaraqui Nogueira 1
1 Graduando no curso de Bacharelado em Fı́sica, 2 Graduando no curso de Licenciatura em Fı́sica, Julho de 2019
Departamento de Fı́sica, Universidade Federal do Amazonas - AM
Orientador: Prof. Dr. Haroldo de Almeida Guerreiro
Resumo
Neste relatório iremos estudar como a resistência e a resistividade elétrica se comportam num fio construı́do sob uma liga metálica de
Constantan. Um dos primeiros objetivos, é entender de que forma o comprimento influencia na propriedade fı́sica de resistência
elétrica. Adotaremos 5 comprimentos diferentes: 0,60m - 0,70m - 0,80m - 0,90m - 1,00m. E temos a responsabilidade de analisar
fisicamente como o comprimento do fio afeta a relação V/i. E sendo assim, por meio da inclinação de cada uma das 5 retas, iremos
descobrir de que maneira o comprimento influencia na passagem de corrente elétrica. Iremos também estudar como a área de secção
transversal afeta a resistência elétrica do fio. Adotaremos 4 áreas distintas: 1 volta - 2 voltas - 3 voltas - 4 voltas. E por fim, iremos
calcular a resistividade elétrica da liga de Constantan de duas maneiras, por meio do comprimento e da área. Além disso, os valores
obtidos serão comparados com o valor tabelado da resistividade elétrica. Teremos também a responsabilidade de se preocupar
com as incertezas associadas às medições efetuadas. E por isso, neste relatório será utilizado conceitos de Teoria dos Erros para
propagar incertezas. É importante mencionar que a propagação não será feita com tanto rigor matemático, e por isso, haverão certas
incoerências relacionadas às incertezas das medições. Portanto, este é um trabalho cujo principal objetivo consiste em tentar entender
como determinadas variáveis macroscópicas(Comprimento e Área) afetam uma importante propriedade fı́sica, a resistência elétrica. E
buscar compreender como uma constante de proporcionalidade chamada de resistividade elétrica, caracteriza cada material existente.
Palavras-chave: resistência elétrica, resistividade elétrica, corrente elétrica, Constantan, Lei de Ohm.
I. Fundamentação Teórica
A propriedade de resistência elétrica em um condutor
ôhmico é diretamente proporcional ao seu comprimento
l e inversamente proporcional à sua área de seção trans-
versal A. Além disso, a resistência também depende de
uma constante denominada de resistividade elétrica, que
tem como unidade no SI o ohm.metro(Ω.m). Para com-
preender a relação entre a resistência e a resistividade, é
preciso destacar que cada material ôhmico possui uma
resistividade caracterı́stica dependente de suas proprieda-
des fı́sicas, mas também de sua temperatura. O inverso da
resistividade é chamado de condutividade (σ). Logo, a re-
sistência de um condutor ôhmico também por ser expressa
de acordo com a sua condutividade elétrica. 1
Pode-se fazer uma analogia com um cano, por exem-
plo. Quando o comprimento do cano é aumentado e a
diferença de pressão entre suas extremidades permanece
constante, essa diferença entre quaisquer dois pontos, com
uma certa distância fixa entre ambos é reduzida e há me-
nos força empurrando o fluido entre esses pontos pelo
cano. Logo, há menos fluxo para uma certa diferença
de pressão entre as extremidades, representando um au-
mento na resistência. À medida que a sua área de secção
transversal aumenta, o cano pode transportar mais fluido
1Princı́pios de Fı́sica - Vol.III - Eletromagnetismo(Serway e Jewett). Editora: Cengage Learning; Edição: 2a(Junho de 2014)
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em um certo intervalo de tempo, e para uma determinada
diferença de pressão entre suas extremidades. Resulta-se
assim, em uma queda de resistência.
R ≡ ρ
(
L
A
)
(1)
ρ ≡
1
σ
(2)
R ≡
L
σA
(3)
Uma abordagem mais rigorosa para a obtenção da
equação da resistividade elétrica será utilizada. A cor-
rente elétrica dentro de um material é uma resposta de
partı́culas eletricamente carregadas em meio às forças
aplicadas. As forças elétricas são uma consequência da
existência de um campo elétrico. A relação entre o número
de elétrons por unidade de área(densidade de corrente) e
a intensidade do campo elétrico dependem da natureza
do meio material.
A corrente elétrica pode ser descrita como o movi-
mento ordenado de elétrons. Quando não há diferença de
potencial, e portanto, ao inexistir um campo elétrico, as
cargas livres executam um movimento aleatório e desor-
ganizado. Todos os relatórios, e mesmo a teoria abordada
em Fı́sica Geral 3, consideram apenas um tipo de corrente
elétrica, as chamadas correntes de condução. 2
Equações fı́sicas que dependem do material analisado,
podem ser chamadas de equações constitutivas. Um exem-
plo dentro de Fı́sica 3, é a relação entre momento de dipolo
elétrico e o campo elétrico num dielétrico homogêneo;
as duas variáveis são controladas pela permissividade
elétrica do meio. Para uma grande quantidade de ma-
teriais isotrópicos na natureza(sólidos e lı́quidos) a Lei
de Ohm é válida. Essa lei foi formulada originalmente
em 1826, podendo ser análoga à condução de calor num
material. Também pode ser expressa em função do campo
elétrico, e da densidade de corrente. 3
J ≡ σE (4)
Por meio da equação acima será possı́vel efetuar uma
demonstração com maior rigor da Lei de Ohm. Ao consi-
derar um trecho dl de um fio condutor com secção trans-
versal S, sobre o qual passa uma corrente longitudinal e
homogênea de densidade j; pela Lei Ohm, essas variáveis
deverão influenciar na intensidade do campo elétrico. O
campo ~E é uniforme e paralelo a dl, de tal maneira que a
queda de potencial dar-se no mesmo sentido da corrente.
Figura 1: Nesta figura é mostrado um condutor com seção reta uni-
forme. A densidade de corrente em qualquer ponto da reta
também é constante. E além disso, a intensidade do campo
elétrico não varia ao longo do comprimento. 4
VA −VB ≡ dV =
∫ B
A
~E · dl = Edl (5)
i =
∮
j · n̂dS = j · S = σES (6)
dV =
(
i
σS
)
dl (7)
Va −Vb ≡ V = Ri (8)
R =
l
σS
≡ ρ
(
l
S
)
(9)
Dessa forma, pôde-se demonstrar teoricamente que a
resistência elétrica em um fio homogêneo é diretamente
proporcional ao seu comprimento, mas inversamente pro-
porcional à área da secção transversal do fio. A unidade
de resistência elétrica chama-se ohm, ou seja, representa
que uma corrente de 1A numa resistência de 1Ω passará
por uma queda de potencial de 1V.
[ρ] = [R].[L] (10)
ρ = ρ0[1 + α(T − T0)] (11)
Por outro lado, sabe-se que a resistividade não ape-
nas depende de aspectos geométricos do material, mas
também de sua temperatura. A interpretação da equação
logo acima, indica que existe uma resistividade ρ a uma
2Fundamentos da Teoria Eletromagnética - John R. Reitz - 31a edição - Rio de Janeiro: Elsevier, 1982
3Curso de Fı́sica Básica Vol.III - H. Moysés Nussenzveig - 1a edição - São Paulo: Edgard Blucher, 1997.
4Fı́sica III, Sears e Zemansky: eletromagnetismo. 14a edição - São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
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temperatura T, mas outra resistividade ρ0 a uma tempera-
tura T0. A constante α chama-se de coeficiente de tempera-
tura da resistividade. Em materiais metálicos, geralmente
assume um valor positivo, indicando que o aumento da
resistividade é uma consequência do aumento de tem-
peratura. Mas em materiais semicondutores, α assume
valores negativos, e portanto, temperatura e resistividade
são inversamente proporcionais.
A resistividade elétricapode variar por muitas ordens
de grandeza conforme a natureza do material. Casos
extremos, são os bons condutores, como o cobre por pos-
suir uma baixa resistividade elétrica de ≈ 1, 7.10−8Ω.m
Por outro lado, os isolantes, como o quartzo, possui uma
resistividade de ≈ 1016Ω.m.
Por meio da medição da resistência elétrica em função
do comprimento ou da área, é possı́vel descobrir a resis-
tividade elétrica de um material. É muito útil na fı́sica
comparar dois assuntos aparentemente distintos com a
mesma descrição matemática, para desenvolver uma me-
lhor compreensão do assunto a ser estudado. Pode-se
considerar os elétrons em um condutor, análogos a um
conjunto de esferas que obedecem às leis da mecânica
clássica. Para facilitar o entendimento, é possı́vel des-
prezar as interações, entre as esferas ou elétrons, assim
como também desconsiderar possı́veis interações com os
obstáculos(ı́ons), e reduzindo-se assim os dois exemplos,
a simples colisões mecânicas perfeitamente elásticas.
A diferença de potencial é análoga à inclinação do
plano no qual as esferas caem, e os obstáculos que as
esferas têm em seu caminho, são semelhantes aos ı́ons
presentes no condutor. E sendo assim, a inclinação do
plano é semelhante ao campo elétrico que ”empurra”os
elétrons a uma região de maior potencial elétrico. 5
A maioria das grandezas fı́sicas variam com a tem-
peratura. Muito importante destacar que na equação da
resistividade elétrica em função da temperatura, pode-se
utilizar a temperatura tanto na escala Celsius, quanto na
escala Kelvin. Isto porque, a variação da temperatura em
ambas as escalas coincidem entre si. O campo elétrico
dentro de um condutor equivale à ~E = 0, mas isso ocorre
apenas quando as cargas elétricas estão em movimento
estacionário(J = 0). Por isso, em materiais condutores
ideais, pode-se afirmar que E = J.
E portanto, na prática, os materiais condutores pos-
suem uma resistividade elétrica tão baixa, a ponto de o
campo elétrico necessário para movimentar as cargas li-
vres ser literalmente desprezı́vel.6 E por isso, de forma
rotineira trata-se os fios condutores como superfı́cies equi-
potenciais, e por isso, pode-se afirmar que ∆V ≈ V. Os
resistores, por outro lado, são construı́dos de materiais
mal condutores.
A liga de Constantan foi descoberta num processo de
tentativa e erro, e curiosamente, por acaso. Descobriu-se
que uma liga de aproximadamente 60% de Cobre e de
40% de Nı́quel proporcionavam o mı́nimo de mudança na
resistividade e resistência elétrica com a variação de tem-
peratura. E alguns anos mais tarde, descobriu-se que uma
liga metálica de Nı́quel e Cromo, chamada de Nicromo,
também era estável com a temperatura. 7
Figura 2: Figura mostrando a propriedade de resistividade elétrica em
materiais condutores, ligas metálicas e isolantes.
Numa placa de circuito elétrico, são utilizados trilhas
de Cobre impressas sobre uma superfı́cie de placa isolante,
para que as trilhas não entrem em contato. Essa placa iso-
lante possui uma resistividade elétrica tão alta, a ponto de
impedir com que haja qualquer fluxo de corrente elétrica
na placa isolante.
Figura 3: Uma trilha de Cobre impressa sobre uma placa de circuito
construı́da sob um material isolante.
5https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes/2018_Daniel_Moraes/material_instrucional_Daniel_Moraes.pdf
6Eletrodinâmica, David J. Griffiths; 3a edição - São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2011.
7http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Materiais_Condutores.pdf
3
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes/2018_Daniel_Moraes/material_instrucional_Daniel_Moraes.pdf
http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Materiais_Condutores.pdf
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Em relação à liga de Constantan, é comumente uti-
lizado em termopares e instrumentos responsáveis pela
medição de resistência elétrica. Isto porque, o Constan-
tan é uma liga metálica que possui uma alta resistividade
elétrica e um coeficiente de temperatura aproximadamente
igual à zero. Curiosamente, essa liga metálica apresenta
um desvio em sua resistividade na faixa de temperatura
no intervalo de ≈ 65oC. Portanto, a aplicação do Cons-
tantan recai em 3 categorias importantes: Medição de
temperatura(Termopar), Reostatos industriais, e Resistores
de Precisão. 8
Mas também é importante mencionar, que existem dois
tipos de ligas Constantan: P-ligas e A-ligas. No primeiro
tipo, o Constantan torna-se muito dúctil. E por isso, sob
grandes deformações mecânicas, haverá uma pequena
variação em sua resistividade elétrica. Por outro lado,
nas A-ligas apresenta um menor ductibilidade, e por isso,
suporta maiores compressões mecânicas a ponto de não
sofrer variações significativas em sua resistividade elétrica.
Em se tratando da história da liga Constantan, acredita-
se que foi no ano de 1887, o quı́mico inglês Edward
Weston(1850-1936) descobriu que a junção de certos metais
produzia materiais com um coeficiente de temperatura ne-
gativo e tendendo à zero, inventando o que ele denominou
de ”Liga No.2”. Foi produzido na Alemanha, tendo sido
renomeado para ”Konstantan”.
Figura 4: Figura mostrando um carretel com a liga metálica Constan-
tan de diâmetro aproximadamente igual a 0,2mm. 9
Alguns materiais, incluindo metais, ligas metálicas e
óxidos, apresentam um fenômeno chamado superconduti-
vidade. Conforme a temperatura diminui, a resistividade
elétrica cai, no inı́cio, lentamente, como em qualquer me-
tal. No entanto, a uma certa temperatura crı́tica Tc, ocorre
o que se chama de transição de fase, e a resistividade
elétrica diminui drasticamente. Se uma corrente elétrica
for estabelecida num anel supercondutor, ela permane-
cerá circulando-o indefinidamente, sem que seja preciso
manter uma fonte de alimentação.
A supercondutividade foi descoberta no ano de 1911
pelo fı́sico holandês Heike Kamerlingh Onnes(1853-1926).
Observando que para temperaturas extremamente baixas,
menores que 4, 2K, a resistividade elétrica do Mercúrio
caı́a de forma repentina à zero. Durante 75 anos após essa
descoberta, o valor máximo de Tc conseguido até então
era da ordem de 20K. Até 2014, o valor de Tc máximo
atingido sob pressão atmosférica foi da ordem de 138K.
São enormes as aplicações dessas descobertas para
sistemas de distribuição elétrica, projeto de computado-
res e transportes. Existem eletroı́mas supercondutores
resfriados com hélio lı́quido, usados em aceleradores de
partı́culas. Trens com levitação magnética, já são uma
realidade.
• Breve abordagem sobre Teoria dos Erros:
A análise de um experimento de fı́sica requer muita
confiabilidade do instrumento utilizado. É impossı́vel
encontrar o valor exato de uma grandeza, uma vez que
apenas pode ser mensurado por meio de um instrumento,
que sempre tem suas limitações. Por outro lado, existem
algumas grandezas fı́sicas, como a carga elementar do
elétron ou a constante universal dos gases, que possuem
um valor bem determinado, o qual podem ser chamados
de valor ”verdadeiro”. Dessa forma, durante uma medida
obtém-se apenas um valor próximo do valor ”verdadeiro”.
Embora seja impossı́vel determinar a diferença entre
o valor real e o mensurado, é possı́vel definir grandezas
que reflitam essa diferença. As incertezas de um instru-
mento estão diretamente relacionadas com o conceito de
precisão, que é maior na medida que a incerteza é menor.
É comum na fı́sica fazer uso de Teorias da Probabilidade e
Estatı́stica na análise de suas medidas. A incerteza de um
instrumento na medição de uma grandeza x é calculada
da seguinte forma:
x =
(
1
N
)
N
∑
i=1
(xi) (12)
σ2 =
(
1
N − 1
)
N
∑
i=1
(xi − x)2 (13)
σ =
√
σ2 → x = x± ∆x (14)
8http://www.chemistrylearner.com/constantan.html
9https://www.phywe.eu/eu/constantan-wire-15-6-ohm-m-d-0-2-mm-l-100-m.html4
http://www.chemistrylearner.com/constantan.html
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∆x =
σ
√
N
(15)
Dessa forma, se precisamos calcular a área da secção
transversal de um fio, essa incerteza por si só, também
dependerá da incerteza do diâmetro da secção. É muito
comum na fı́sica a incerteza de uma grandeza ser prove-
niente de incertezas de outras grandezas das quais ela
depende. É tão comum que existe uma forma de gene-
ralizar, e a incerteza ser dada por uma equação que as
propaga. 10
(∆ f )
2 =
(
∂ f
∂a
)
(∆a)2 +
(
∂ f
∂b
)
(∆b)
2+
. . . +
(
∂ f
∂z
)
(∆z)2
(16)
Contudo, a equação citada acima será apenas válida,
se algumas condições forem verdadeiras. Primeiro de
tudo, as variáveis da quais uma grandeza fı́sica depende,
precisam ser estatisticamente independentes entre si. E
portanto, a medição de uma variável não pode interferir
na medição da outra. O que significa dizer que essas
variáveis devem ter uma covariância nula. E por último, é
necessário que a desigualdade ∆x << x seja verdadeira.
Isto porque, existem casos em que a medição de uma
grandeza possui uma sensibilidade tão alta, e ao mesmo
tempo a medida é tão relativamente pequena, que a incer-
teza torna a medida nula ou negativa; acarretando numa
incerteza sem significado algum, e por isso, a equação
de propagação torna-se defasada. Apesar de uma abor-
dagem sobre Teoria dos Erros, neste relatório não haverá
propagação de incertezas, devido às nossas dificuldades
em compreender o significado de incerteza.
II. Descrição experimental
Instrumentos utilizados:
Fio de Constantan(L ≈ 4, 00m e d ≈ 0, 2mm);
Régua milimetrada(L ≈ 1, 00m e ∆L ≈ ±0, 01m);
1 fonte de CC variável;
1 amperı́metro na escala 1A;
1 voltı́metro na escala 1V e 10V;
Vários cabos de conexão;
2 presilhas de montagem;
1 suporte de montagem.
Procedimento experimental:
A montagem do experimento foi dividida em duas
partes: Na primeira, o comprimento do fio de Constan-
tan variou, enquanto as variáveis da área de secção e
resistividade elétrica se mantiveram constantes. Já na se-
gunda parte, a área de secção foi alterada, enquanto as
demais variáveis, seja o comprimento ou a resistividade,
permaneceram inalteradas. Em ambas as partes, buscou-
se descobrir a relação V/i para que posteriormente seja
feito uma análise gráfica dos dados experimentais, e en-
tender de que maneira a resistência elétrica varia com o
comprimento e com a área de secção transversal.
Figura 5: Imagem extraı́da do roteiro deste experimento, onde é
possı́vel visualizar os instrumentos de medida, como também
as presilhas fixando o fio de Constantan no suporte. 11
• Parte A: Medição da relação V/i ao variar o compri-
mento do fio de Constantan
Nesta parte, buscamos entender de que maneira a
relação V/i se altera com o aumento do comprimento.
Seria possı́vel ter apenas utilizado as medidas forneci-
das pelo próprio gerador de tensão, contudo, para uma
melhor precisão nos resultados, optou-se por utilizar um
voltı́metro para mensurar a voltagem fornecida pelos
diferentes valores de corrente elétrica. 12
(1) Fixar 2 presilhas distantes 0,60m uma da outra, num
suporte. E por fim, prender o fio de Constantan.
10http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/roteiro_incertezas_2015.pdf
11https://repository.curriculab.net/files/versuchsanleitungen/p1353200/e/13532_02.pdf
12http://ice.ufam.edu.br/images/Manual_F%C3%ADsica_3-3.pdf
5
http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/roteiro_incertezas_2015.pdf
https://repository.curriculab.net/files/versuchsanleitungen/p1353200/e/13532_02.pdf
http://ice.ufam.edu.br/images/Manual_F%C3%ADsica_3-3.pdf
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(2) Já com a distância de 0,60m fixada, deve-se ajustar a
corrente elétrica para os seguintes valores: 0,10A - 0,20A -
0,30A - 0,40A - 0,50A. Anotando-se, por fim, a correspon-
dente tensão elétrica mostrada pelo voltı́metro.
(3) Agora, é necessário repetir os passos anteriores para
outros valores de comprimento. Dessa forma, é preciso
alterar a distância entre os fixadores, de maneira a esticar
um pouco mais o comprimento do fio de Constantan.
(4) É importante novamente destacar que será medido
a relação V/i para os seguintes comprimentos: 0,60m -
0,70m - 0,80m - 0,90m - 1,00m.
• Parte B: Medição da relação V/i ao variar a área de
secção do fio de Constantan
Nesta parte, o experimento consiste em medir a relação
entre voltagem e corrente ao variar a área de secção do
fio. Para alterar a área, serão efetuadas voltas no fio a
uma distância fixa de 1,00m. Portanto, uma área 2S seria
o equivalente a 2 voltas no fio, é como se existissem 2 fios
de Constantan fixados na mesma distância de 1,00m.
Também é muito importante ter o cuidado para que
as voltas estejam um pouco distantes uma da outra, isto
porque, devido à passagem de corrente elétrica, os fios po-
dem se aproximar devido a uma força fracamente atrativa
que surge. Isto ocorre porque a eletricidade está conectada
ao magnetismo, uma das descobertas mais importantes já
feitas na ciência.
(1) Partindo da montagem já pronta do experimento ante-
rior, deve-se a partir da distância fixa de 1,00m, executar
voltas no fio.
(2) Cada volta efetuada corresponde a 1S. Deverão ser
realizadas as medições V/i para as seguintes áreas: 1 volta
- 2 voltas - 3 voltas - 4 voltas.
(3) Em cada volta(perna), também deverá ser alterado a
corrente elétrica para os seguintes valores: 0,10A - 0,20A -
0,30A - 0,40A - 0,50A.
(4) Para cada valor de corrente elétrica, há uma voltagem
correspondente. E cada relação V/i está associada uma
área, pois o comprimento deve-se manter constante.
III. Resultados e Discussões
Os resultados deste trabalho serão divididos em 2 partes.
Na primeira parte, iremos mostrar os dados que foram ob-
tidos para a relação V/i para cada um dos 5 comprimentos
adotados: 0,60m - 0,70m - 0,80m - 0,90m - 1,00m. A partir
da equação da reta, proveniente da função que relaciona a
voltagem aplicada em função da corrente elétrica, iremos
descobrir o valor aproximado da resistência elétrica em
função do comprimento do fio. Contudo, será construı́do
apenas um único gráfico contendo 5 inclinações distintas
para a reta. Destacando que o valor da inclinação é uma
consequência direta da propriedade de resistência elétrica.
Ainda na primeira parte, será calculado a resistividade
elétrica da liga Constantan em função da área. Pois o
diâmetro(d ≈ 0, 2mm) se manteve constante. Dessa forma,
neste relatório, o cálculo da resistividade elétrica será feito
mediante 2 formas, em função da área, mas também, em
função do comprimento. Sendo assim, procura-se na Parte
A entender de que forma o comprimento afeta a resistência
elétrica de um material.
Já na segunda parte, a única diferença reside em que a
relação V/i será feita variando a área da liga Constantan.
A variação de área dar-se pelo número de voltas realizadas
no fio. E a partir da inclinação de cada uma das 4 retas:
1 volta - 2 voltas - 3 voltas - 4 voltas. Pode-se finalmente
descobrir como a resistência elétrica do fio variou com a
alteração da área.
Além disso, não se pode esquecer de mencionar, o
porquê de ter sido escolhido a liga Constantan para este
experimento; por 2 principais motivos: Por apresentar um
coeficiente de temperatura próximo à zero, e portanto,
sofrer pequenas variações em sua resistividade elétrica
com a mudança de temperatura. Mas também, porque
a liga de Constantan é um resistor ôhmico, e por isso, a
curva caracterı́stica da relação V/i é aproximadamente
uma reta.
• Parte A: Obtenção da relação V/i mediante a va-
riação de comprimento do fio de Constantan
Inicialmente será apresentado uma tabela organizando
os dados obtidos para a relação V/i para cada um dos
5 comprimentos adotados. E logo depois,será apresen-
tado um gráfico de dispersão construı́do no software pro-
prietário OriginPro 2019b, onde serão apresentados num
único gráfico, 5 curvas distintas. De tal maneira a possibi-
litar mais facilmente, uma análise de como o comprimento
afeta a resistência elétrica do material.
Dessa forma, como já é de conhecimento bastante soli-
dificado na literatura cientı́fica, sabe-se que a liga de Cons-
tantan apresenta um comportamento linear(ôhmico) em
sua relação V/i, independentemente de seu comprimento.
E portanto, espera-se que ao plotar o gráfico contendo
as curvas da voltagem em função da corrente elétrica, es-
sas curvas possam convergir para 5 retas lineares e com
diferentes inclinações.
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Figura 6: Neste gráfico é apresentado a relação V/i para cada um dos comprimentos adotados. Um ponto importante, é a existência de retas com
diferentes inclinações, o que mais na frente será discutido.
Figura 7: Neste gráfico é mostrado a relação da resistência elétrica em função do comprimento do fio.
7
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Tabela 1: Nesta tabela é mostrado os dados experimentais para os 5 comprimentos adotados ao fio de Constantan. É importante destacar que
durante as medições da relação V/i, não foi considerado as incertezas associadas aos instrumentos de medida.
Tensão Elétrica(V)
Corrente Elétrica(A) 0,60m 0,70m 0,80m 0,90m 1,00m
0,1 0,7 0,9 1,1 1,3 1,4
0,2 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8
0,3 2,5 2,9 3,4 3,8 4,2
0,4 3,3 3,9 5,8 5,1 5,7
0,5 4,1 4,8 4,5 6,4 7,1
O algoritmo do OriginPro 2019b possivelmente faz
uso do Método dos Mı́nimos Quadrados, ao aplicar a
regressão linear dos dados experimentais, e juntamente,
associa uma incerteza aos coeficientes. Vale-se destacar
que nem a variável dependente(tensão elétrica), e nem
mesmo a variável independente(corrente elétrica) foi consi-
derado uma incerteza associada. Dessa forma, a incerteza
presente na inclinação da reta é unicamente devido ao
Método dos Mı́nimos Quadrados. E portanto, os cálculos
efetuados não possuem um grande rigor matemático refe-
rente à propagação das incertezas.
Constatou-se no Gráfico 1 que todas as 5 curvas ca-
racterı́sticas V(i) do material Constantan, convergiram
para retas. E portanto, demonstrou-se empiricamente a
relação linear entre tensão e corrente, e que a liga metálica
Constantan é um resistor ôhmico e que portanto, seu
comportamento pode ser descrito pela Lei de Ohm. E por
meio da inclinação de cada uma das retas, será mostrado
a respectiva resistência elétrica para cada comprimento. E
esses valores mostram de que maneira L afeta a resistência
Rn. Ao todo são 5 valores de resistência, mas apenas 1
valor de resistividade elétrica.
Resistência Elétrica para 0,6m:
V(i) ≡ R.i→ y ≡ ax + b (17)
V(i) ≈ (8, 5± 0, 15)(i)− (0, 11± 0, 05) (18)
R1 ≈ (8, 5± 0, 15)Ω (19)
Resistência Elétrica para 0,7m:
V(i) ≈ (9, 8± 0, 12)(i)− (0, 06± 0, 04) (20)
R2 ≈ (9, 8± 0, 12)Ω (21)
Resistência Elétrica para 0,8m:
V(i) ≈ (11, 7± 0, 25)(i)− (0, 13± 0, 08) (22)
R3 ≈ (11, 7± 0, 25)Ω (23)
Resistência Elétrica para 0,9m:
V(i) ≈ (12, 8± 0, 12)(i)− (0, 02± 0, 04) (24)
R4 ≈ (12, 8± 0, 12)Ω (25)
Resistência Elétrica para 1,0m:
V(i) ≈ (14, 3± 0, 10)(i)− (0, 05± 0, 03) (26)
R5 ≈ (14, 3± 0, 10)Ω (27)
Portanto, pode-se perceber que o aumento do compri-
mento, gera também um aumento da resistência. E dessa
forma, percebe-se uma relação de proporção direta entre
comprimento e resistência elétrica(R ∝ L). Mas ainda resta
uma importante etapa, calcular a resistividade elétrica do
Constantan em função da inclinação da reta presente no
Gráfico 2, estando em função da área de secção do fio.
R ≡ ρ
(
L
A
)
≡
(
ρ
A
)
L→ R(L) ≡ (tan α).L (28)
tan α ≡
(
ρ
A
)
∴ ρ ≡ A.(tan α) (29)
ρconstantan ≈
(
π
4
)
.(2.10−4m)2.(14, 7Ω) (30)
ρconstantan ≈ (46, 2× 10−8)Ω.m (31)
ρreal ≈ (49× 10−8)Ω.m (32)
8
• Laboratório de Eletricidade e Magnetismo - Laboratório de Fı́sica Geral III
Figura 8: Neste gráfico são mostradas 4 curvas caracterı́sticas da liga metálica Constantan, mostrando a relação V(i) para cada uma das 4 áreas de
secção do fio, adotadas neste experimento.
Figura 9: Neste gráfico foi plotado os pontos de como a resistência elétrica do fio varia em função da área. A curva caracterı́stica é uma função
racional do tipo recı́proca. Isto porque, a resistência varia com o inverso da área.
9
• Laboratório de Eletricidade e Magnetismo - Laboratório de Fı́sica Geral III
Figura 10: Neste gráfico é apresentado uma curva que relaciona a resistência elétrica do fio em função do inverso da área. Diferentemente do gráfico
anterior, obteve-se uma curva que convergiu a uma reta, e portanto, uma só inclinação.
Figura 11: Neste gráfico é mostrado a relação que há entre a resistência elétrica do fio em função do números de voltas efetuadas. Pode-se constatar
que a resistência variou com o inverso da quantidade de voltas. Sendo descrito por uma função recı́proca.
10
• Laboratório de Eletricidade e Magnetismo - Laboratório de Fı́sica Geral III
Tabela 2: Nesta tabela é apresentado os dados experimentais referentes à medição da voltagem para 5 valores de corrente elétrica, numa distância
fixa de ≈ 1, 00m. Variou-se a área mediante ”pernas”no fio em torno do suporte de montagem.
Voltagem(V) para L ≈ 1, 00m
Corrente Elétrica(A) 1 volta 2 voltas 3 voltas 4 voltas
0,1 1,4 0,6 0,4 0,3
0,2 2,8 1,3 0,9 0,7
0,3 4,2 2,1 1,4 1,0
0,4 5,7 2,8 1,9 1,4
0,5 7,1 3,5 2,3 1,8
• Parte B: Obtenção da relação V/i mediante a va-
riação da área de secção do fio de Constantan
Pode-se perceber na Figura 8, que o gráfico apresen-
tou um total de 4 inclinações distintas, para cada uma
das áreas de secção. É preciso destacar que todas as
curvas caracterı́sticas V(i) da liga metálica Constantan
convergiram para uma reta, condizendo assim com a
linearidade caracterı́stica desse material. Sabe-se que o
valor da inclinação da reta V(i) em resistores ôhmicos
equivale à resistência elétrica do fio. E sob as condições
mostradas, isto é, quando L ≈ 1, 00m e a correspondente
inclinação da reta, pode-se calcular as 4 resistências.
Resistência Elétrica para 1 volta:
V(i) ≈ (14, 3± 0, 1)(i)− (0, 05± 0, 03) (33)
R1 ≈ (14, 3± 0, 1)Ω (34)
Resistência Elétrica para 2 voltas:
V(i) ≈ (7, 3± 0, 1)(i)− (0, 13± 0, 03) (35)
R2 ≈ (7, 3± 0, 1)Ω (36)
Resistência Elétrica para 3 voltas:
V(i) ≈ (4, 8± 0, 1)(i)− (0, 06± 0, 04) (37)
R3 ≈ (4, 8± 0, 1)Ω (38)
Resistência Elétrica para 4 voltas:
V(i) ≈ (3, 7± 0, 1)(i)− (0, 07± 0, 03) (39)
R4 ≈ (3, 7± 0, 1)Ω (40)
Portanto, o valor das 4 resistências coincidiu com o
coeficiente angular de cada uma das retas. Isto porque, a
inclinação representa na função V(i), a constante de pro-
porcionalidade entre as grandezas voltagem e corrente
elétrica. No entanto, mesmo já tendo sido calculado as
resistências elétricas, ainda é preciso que se descubra a
resistividade elétrica da liga Constantan. Desta vez, a
resistividade estará em função da inclinação da reta na
função R(1/s), como também do comprimento fixo do
fio, cujo valor foi de 1, 00m. Será utilizado o gráfico que
está em função do inverso da área, porque a curva carac-
terı́stica é uma reta. Por outro lado, a curva caracterı́stica
no gráfico em função da área, é uma hipérbole equilátera.
Tornando-se a interpretação fı́sica muito complexa.
R ≡ ρ
(
L
A
)
≡ (ρL) · (A)→ R(L) ≡ (tan α) · A (41)
tan α ≡ (ρL)→ ρ ≡
(
tan α
L
)
(42)
ρconstantan ≈
(0, 00445)Ωcm2
(100)cm
(43)
ρconstantan ≈ (44, 5× 10−6)Ω · cm (44)
ρreal ≈ (49× 10−6)Ω · cm (45)
Dessa forma, pode-se perceber que a resistividade ob-
tida mediante a área distanciou-se mais do valor real,
comparado ao cálculo da resistividade a partir do compri-
mento.De qualquer forma, em ambos obteve-se valores
muito próximos do real. Em função do comprimento o
erro foi de ER(L) ≈ −5, 71%, já em função da área, o erro
foi de ER(1/S) ≈ −9, 18%.
11
• Laboratório de Eletricidade e Magnetismo - Laboratório de Fı́sica Geral III
IV. Conclusões
Foi possı́vel observar que a resistência elétrica do fio
de Constantan aumentou proporcionalmente com o com-
primento. Assim como também, constatou-se que a re-
sistência elétrica diminuiu com o inverso da área de secção
transversal do fio. Confirmou-se que a liga metálica Cons-
tantan apresenta um comportamento linear e a relação V/i
convergiu a uma reta, e que portanto, o Constantan pode
ser considerado aproximadamente um resistor ôhmico.
Além disso, mesmo para variados valores de corrente
elétrica, os pontos experimentais V/i não sofreram um des-
locamento significativo da reta central. E portanto, a liga
Constantan não é afetada de forma notável pela variação
de temperatura. E sendo assim, apresenta um coefici-
ente de temperatura próximo à zero. Por consequência,
sua resistividade elétrica se manteve aproximadamente
constante durante todo o experimento, mesmo para as
correntes mais altas.
Outro ponto a ser destacado, foi as duas maneiras dis-
tintas de calcular a resistividade elétrica do Constantan.
Ao calcular a resistividade a partir da inclinação do gráfico
R(L), obteve-se um erro percentual de ER(L) ≈ −5, 71%.
Mas quando foi obtida por meio da inclinação do gráfico
R(1/S), o erro percentual aumentou ainda mais para
ER(1/S) ≈ −9, 18%. Mostrando que a relação V/i me-
diante a variação da área, foi mais suscetı́vel a erros do
que mediante a variação do comprimento.
Como toda grandeza fı́sica, há uma incerteza associ-
ada. No entanto, nos cálculos da resistividade elétrica
não levou-se em consideração às falhas inerentes, seja
na medição da voltagem, da corrente elétrica ou mesmo
do comprimento e diâmetro do fio. Dessa forma, este
relatório não pretendeu ter uma abordagem rigorosa du-
rante a obtenção da resistividade, seja no método experi-
mental utilizado ou durante a análise dos dados. Buscou-
se apenas, e de forma bem sucedida, entender de que
maneira a variação do comprimento ou a área de secção
do fio, afetaram o valor da resistência elétrica.
Por fim, é importante finalizar destacando a im-
portância das propriedades de resistência e resistividade
elétrica ao cotidiano de todos nós. Nas linhas de trans-
missão elétrica, inevitavelmente há uma grande perda de
energia elétrica devido ao Efeito Joule por dissipação de
energia. Procura-se cada vez mais, formas de reduzir as
perdas durante a transmissão de energia elétrica, e por-
tanto, reduzir cada vez mais a dissipação por resistência
elétrica. É justamente por isso, que a transmissão de
energia elétrica a longas distâncias, é mais viável ser trans-
portada via Corrente Alternada(CA), ao invés de Corrente
Contı́nua(CC).
Agradecimentos
Agradecemos primeiramente a Deus, por ter nos dado
saúde e esperança para continuar. E se não fosse por Ele,
já terı́amos desistido de tudo. Ainda que a nossa fé seja
tão pequena.
Agradecemos ao professor Haroldo de Almeida Guer-
reiro, pelas inúmeras dicas e pela imensa paciência co-
nosco. Estando sempre disposto a ensinar, mesmo tendo
seus próprios problemas.
Agradecemos pela Ufam, por ter nos dado a oportuni-
dade de realizar o curso de Fı́sica, e cedendo sua estrutura
para que pudéssemos realizar este experimento.
Agradecemos a cada membro de nossa equipe, onde
trabalhamos juntos para a realização deste trabalho.
E por último, a todos que contribuı́ram de alguma
maneira, seja de forma direta ou indireta. Fica registrado
aqui, o nosso muito obrigado!
Referências
[1]Princı́pios de Fı́sica - Vol.III - Eletromagne-
tismo(Serway e Jewett). Editora: Cengage Learning;
Edição: 2a(Junho de 2014)
[2]Fundamentos da Teoria Eletromagnética - John R.
Reitz - 31a edição - Rio de Janeiro: Elsevier, 1982.
[3]Curso de Fı́sica Básica Vol.III - H. Moysés Nussenz-
veig - 1a edição - São Paulo: Edgard Blucher, 1997.
[4]Fı́sica III, Sears e Zemansky: eletromagnetismo. 14a
edição - São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
[5]https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_
academica/dissertacoes/2018_Daniel_Moraes/material_
instrucional_Daniel_Moraes.pdf
[6]Eletrodinâmica, David J. Griffiths; 3a edição - São
Paulo: Pearson Addison Wesley, 2011.
[7]http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/
Material_Didatico/Materiais_Condutores.pdf
[8]http://www.chemistrylearner.com/constantan.
html
[9]https://www.phywe.eu/eu/constantan-wire-15-6-ohm-m-d-0-2-mm-l-100-m.
html
12
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes/2018_Daniel_Moraes/material_instrucional_Daniel_Moraes.pdf
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes/2018_Daniel_Moraes/material_instrucional_Daniel_Moraes.pdf
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes/2018_Daniel_Moraes/material_instrucional_Daniel_Moraes.pdf
http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Materiais_Condutores.pdf
http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Materiais_Condutores.pdf
http://www.chemistrylearner.com/constantan.html
http://www.chemistrylearner.com/constantan.html
https://www.phywe.eu/eu/constantan-wire-15-6-ohm-m-d-0-2-mm-l-100-m.html
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• Laboratório de Eletricidade e Magnetismo - Laboratório de Fı́sica Geral III
[10]http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/
roteiro_incertezas_2015.pdf
[11]https://repository.curriculab.net/files/
versuchsanleitungen/p1353200/e/13532_02.pdf
[12]http://ice.ufam.edu.br/images/Manual_F%C3%
ADsica_3-3.pdf
13
http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/roteiro_incertezas_2015.pdf
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https://repository.curriculab.net/files/versuchsanleitungen/p1353200/e/13532_02.pdf
http://ice.ufam.edu.br/images/Manual_F%C3%ADsica_3-3.pdf
http://ice.ufam.edu.br/images/Manual_F%C3%ADsica_3-3.pdf
	Fundamentação Teórica
	Descrição experimental
	Resultados e Discussões
	Conclusões