Resistência dos Materiais

Prévia do material em texto

Indaial – 2021
Resistência dos 
MateRiais
Profª. Mariana Bamberg Amaral
2a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Profª. Mariana Bamberg Amaral
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
A485r
Amaral, Mariana Bamberg
Resistência dos materiais. / Mariana Bamberg Amaral. – Indaial: 
UNIASSELVI, 2021.
168 p.; il.
ISBN 978-65-5663-506-4
ISBN Digital 978-65-5663-505-7
1. Resistência de materiais. – Brasil. II. Centro Universitário 
Leonardo da Vinci.
CDD 620.112
apResentação
Caro acadêmico! Convidamos você a conhecer e aprender com o Li-
vro Didático de Resistência dos Materiais, onde conhecerá os principais con-
ceitos e fundamentos da mecânica, reações de apoio e carregamentos em um 
corpo rígido. Estes conceitos são fundamentais para o bom entendimento 
inicial a respeito do cálculo das estruturas ou cálculo de equipamentos e má-
quinas. O livro está dividido em três unidades, abordando no mínimo três 
tópicos em cada, dividindo didaticamente os conteúdos que serão aborda-
dos ao longo do curso. Cada unidade é escrita baseada em grandes obras de 
Resistência dos Materiais, sendo que além dos conceitos, há dicas de leituras 
e questões de autoatividade no final de cada tópico. Vamos começar?
Na Unidade 1, você aprenderá os principais conceitos e introdução 
à Resistência dos Materiais, onde serão apresentados inicialmente conceitos 
a respeito de esforços mecânicos, tipos de apoios e tipos de carregamentos. 
Abordando ainda, a tensão resultante em um ponto do corpo (material) cau-
sada por carregamentos externos e como esse corpo reage a essas forças (de-
formação). Você também vai aprender as Leis de Hooke e Poisson, que estão 
diretamente interligadas à tensão e deformação. Ao final da Unidade 1, você 
terá adquirido os conhecimentos básicos das propriedades mecânicas, para 
utilização em análises e projetos de máquinas e estruturas, através de concei-
tos e resoluções de questões de autoatividade.
Na Unidade 2, você compreenderá mais sobre as forças axiais atuantes 
num corpo rígido e a realizar o diagrama de esforço normal axial de uma estru-
tura. Vamos estudar também os elementos de uma ponte de treliça e de torres de 
transmissão determinando cada elemento de sua estrutura. E por fim, abordare-
mos a respeito do cisalhamento, que é quando a magnitude do esforço normal, 
momento fletor e torçor, são desprezíveis em relação ao esforço cortante.
Na Unidade 3 serão abordados os assuntos de transformação de ten-
são, envolvendo o Círculo de Mohr que é uma forma gráfica de resolver um 
estado de tensões. Você também vai aprender a respeito do giro de uma 
barra reta carregada por momentos, chamada de torção de um elemento e a 
deformação em que esse momento torçor pode resultar. Por fim, será apre-
sentado o estudo de flexão, que é um esforço físico aplicado no meio de uma 
viga, onde causa deformação perpendicular ao seu eixo. 
Ao final deste livro didático, nós esperamos que você seja capaz de iden-
tificar e compreender os esforços atuantes sobre uma estrutura, calcular seu carre-
gamento resultante e as reações dos apoios que estão submetidos. Bons estudos!
Profª. Mariana Bamberg Amaral
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
suMáRio
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ................................ 1
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS .......................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 FUNDAMENTOS DA MECÂNICA ................................................................................................ 3
2.1 HIPÓTESES SIMPLIFICADAS ..................................................................................................... 4
2.1.1 Quanto aos materiais ............................................................................................................. 4
2.1.2 Quanto à geometria dos elementos estruturais ................................................................. 5
2.1.3 Quanto aos carregamentos ................................................................................................... 7
2.1.4 Quanto aos vínculos .............................................................................................................. 8
2.1.5 Estaticidade e estabilidade ................................................................................................. 10
2.2 ESFORÇOS INTERNOS E RESULTANTES – MÉTODO DAS SEÇÕES ............................... 14
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 18
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 19
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO ..................................................................................... 23
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 23
2 TENSÃO .............................................................................................................................................. 23
3 DEFORMAÇÕES ............................................................................................................................... 27
3.1 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL (Ε) ............................................................ 27
3.2 DEFORMAÇÃO TANGENCIAL ................................................................................................ 28
4 LEI DE HOOKE .................................................................................................................................. 28
5 LEI DE POISSON...............................................................................................................................30
6 LEI DE HOOKE GENERALIZADA ............................................................................................... 31
6.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA ............................................ 33
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 36
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 37
TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS....................................... 41
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 41
2 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO .................................................................................. 41
3 ENSAIO DE TRAÇÃO ...................................................................................................................... 43
4 ENSAIO DE COMPRESSÃO .......................................................................................................... 45
5 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E PLÁSTICO DOS MATERIAIS ...................................... 46
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 51
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 53
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 54
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 58
UNIDADE 2 — FORÇAS AXIAIS, TRELIÇAS E CISALHAMENTO DOS MATERIAIS ..... 61
TÓPICO 1 — ESFORÇO NORMAL AXIAL .................................................................................... 63
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 63
2 FORÇAS INTERNAS E FORÇAS AXIAIS ................................................................................... 63
3 PRINCÍPIO DE SAINT VENANT .................................................................................................. 65
4 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES ................................................................................. 66
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 70
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 71
TÓPICO 2 — TRELIÇAS ..................................................................................................................... 75
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 75
2 INTRODUZINDO AS TRELIÇAS ................................................................................................. 75
3 ESTATICIDADE ................................................................................................................................. 76
4 MÉTODO DOS NÓS ........................................................................................................................ 78
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 84
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 85
TÓPICO 3 — CISALHAMENTO ....................................................................................................... 89
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 89
2 CISALHAMENTO CONVENCIONAL ......................................................................................... 89
3 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES ............................................................................................... 90
4 TENSÃO DE ESMAGAMENTO .................................................................................................... 93
5 RUPTURA POR TRAÇÃO NAS PLACAS ................................................................................... 97
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 99
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 101
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 102
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 105
UNIDADE 3 — ESFORÇOS ESTRUTURAIS DE TORÇÃO, FLEXÃO E 
 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO ................................ 107
TÓPICO 1 — TORÇÃO ..................................................................................................................... 109
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 109
2 ESFORÇO DE TORÇÃO ............................................................................................................... 109
3 DIAGRAMA MOMENTO TORÇOR .......................................................................................... 110
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM EIXO CIRCULAR ............................................................. 114
5 ÂNGULO DE TORÇÃO ................................................................................................................ 117
6 TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA ................................................................................................. 119
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 121
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 122
TÓPICO 2 — FLEXÃO ....................................................................................................................... 125
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 125
2 ESFORÇO DE FLEXÃO .................................................................................................................. 125
3 DIAGRAMAS DE FORÇA NORMAL, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTOS ............ 126
4 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR ............... 129
5 TENSÃO DE FLEXÃO .................................................................................................................... 134
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 141
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 142
TÓPICO 3 — TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ................................ 145
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 145
2 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES ........................................................................................... 145
3 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO NO PLANO ....... 150
4 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DAS TENSÕES ................................................... 152
5 TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO ................................................................................155
6 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES ........................................ 158
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 161
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 163
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 164
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 167
1
UNIDADE 1 — 
FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• entender os fundamentos da mecânica em relação ao tipo de ma-
terial, diferentes geometrias, carregamentos e vínculos;
• compreender o método das seções e como encontramos os esfor-
ços internos resultantes de um corpo rígido sujeito a uma força;
• calcular a tensão e deformação de um corpo rígido;
• compreender o diagrama de tensão X deformação de um corpo 
e o seu comportamento em relação ao estado elástico e plástico.
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TÓPICO 2 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO
TÓPICO 3 – PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, nós vamos aprender os fundamentos iniciais da mecânica e 
com eles, as forças que atuam em um corpo rígido, a característica dos materiais, 
os tipos de carregamento e os tipos de vínculos. Ainda falaremos sobre estatici-
dade e estabilidade, conhecendo as condições de equilíbrio de um corpo rígido e 
os três graus de estaticidade em que são divididos.
Para finalizar estudaremos o método das seções, em que serão calculadas 
as tensões e reações de um corpo rígido, quando ele está sujeito a um conjunto de 
forças em equilíbrio. O corpo é separado em uma seção para que, através dela seja 
possível decompor dois componentes e obter forças e momentos perpendiculares 
a ela (esforços simples ou esforços internos resultantes).
Bons estudos!
2 FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
O estudo dos fundamentos da mecânica dos sólidos abrange a combinação 
entre diversas forças que atuam em um corpo rígido considerando os efeitos inter-
nos e baseando-se no equilíbrio estático. Este equilíbrio estático é a determinação 
das reações vinculares externas (equilíbrio externo) e a definição das solicitações 
(equilíbrio interno). Em outras palavras, sempre que você aplicar uma força sobre 
um corpo sólido, ele vai responder de forma a equilibrar esta força, gerando uma 
reação contrária, assim como Newton já nos ensinou na sua lei da “ação e reação”.
 
Na mecânica, há o estudo dos corpos rígidos, dos corpos deformáveis e 
dos fluidos. Nós vamos nos concentrar no estudo dos corpos rígidos, em que há 
uma subdivisão: estática, cinemática e dinâmica.
Para compreender melhor este equilíbrio, a Resistência dos Materiais for-
nece uma explicação satisfatória do comportamento dos sólidos entre as solicita-
ções externas e os efeitos causados em seu interior, abordando ainda as deforma-
ções resultantes neste meio, por menores que sejam elas.
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
4
A compreensão dos conceitos abordados na mecânica dos sólidos está di-
retamente ligada às grandezas físicas de tensão e deformação, grandezas funda-
mentais para realizar o cálculo de uma estrutura.
2.1 HIPÓTESES SIMPLIFICADAS
Segundo Hallack et al. (2012) para avaliar um cálculo estrutural e tornar a aná-
lise dos problemas praticável e viável, foram criados hipóteses e esquemas de cálculos 
que simplificassem sua compreensão. Estas hipóteses simplificadas são definidas:
• Quanto aos materiais;
• Quanto à geometria dos elementos estruturais;
• Quanto ao carregamento;
• Quanto aos vínculos.
2.1.1 Quanto aos materiais
Quanto aos materiais são aplicadas hipóteses em que suas características 
sejam: contínua, homogênea, isótropos e elásticos. Isto nos permite utilizar técnicas 
elementares de cálculos infinitesimal para solucionar os problemas estruturais.
Em relação à continuidade do material leva-se em conta materiais com 
ausência de imperfeições e bolhas, para materiais homogêneos utiliza-se iguais 
propriedades em todos os pontos e quando se fala em materiais isótropos con-
sidera-se que o material tenha características e propriedades iguais em todas as 
direções. Por fim, emprega-se ainda o conceito de que estes materiais sejam elás-
ticos, ou seja, que sofrem deformações proporcionais ao esforço que estão sendo 
submetidos e quando estes são cessados, voltam a sua forma inicial. Entretanto, 
materiais como concreto, madeira e granito, tem características diferentes, sendo 
materiais heterogêneos e anisotrópicos. Estes requerem cálculos com maior cau-
tela, pois chegariam a resultados aproximados e não exatos.
Pode-se observar na Figura 1 as diferentes propriedades heterogêneas e 
anisotrópicas dos materiais de concreto e madeira, onde ambos contêm imperfei-
ções no seu interior.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
5
FIGURA 1 – PROPRIEDADES HETEROGÊNEAS EM MATERIAIS DISTINTOS. (A) CORPO DE PROVA 
CILÍNDRICO DE CONCRETO APRESENTANDO AS DIFERENTES PROPRIEDADES E CARACTERÍS-
TICAS DO MATERIAL E (B) MATERIAL EM MADEIRA COM DIFERENTES PROPRIEDADES
(a) (b)
FONTE: (a) <https://bit.ly/3mwBN4d>. (b) <https://bit.ly/3mvUghf>. Acesso em: 15 out. 2020.
Na imagem acima no item (a) pode-se verificar um corpo de prova em 
concreto, cortado ao meio, onde as características e propriedades heterogêneas 
deste material ficam visíveis, sendo possível identificar a presença de brita em 
seu interior e de bolhas de ar. Já o item da figura (b) apresenta um pedaço de 
madeira, também com características e propriedades heterogêneas, onde em seu 
interior é possível verificar uma grande variabilidade na textura e cor.
2.1.2 Quanto à geometria dos elementos estruturais
• Blocos: Materiais com dimensões principais iguais, ou seja, mesma ordem de 
grandeza (a=b=c). Na Figura 2, pode-se observar este material de mesmas di-
mensões no item (a) e no item (b) temos um exemplo prático de elemento 
estrutural de bloco de fundação.
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
6
FIGURA 2 – MATERIAL COM MESMA ORDEM DE GRANDEZA EM SUAS DIMENSÕES. (A) GEOME-
TRIA DE UM BLOCO E (B) ELEMENTO ESTRUTURAL DE BLOCO EM FUNDAÇÃO
FONTE: (a) <https://bit.ly/3uz89OK>. Acesso em: 10 out. 2020; (b) <https://bit.ly/2PEtmrP>. 
Acesso em: 20 out. 2020.
(a) (b)
• Folhas: Elementos que tenham uma das dimensões (espessura) de menor ta-
manho (e<<a=b) e são denominadas de placas e chapas, além de poder en-
contrar as “placas” curvas que são denominadas de cascas, como pode ser 
verificado na Figura 3. Já a Figura 4 apresenta situações reais de elementos 
estruturais onde se aplicam estas geometrias.
FIGURA 3 – ELEMENTOS COM ESPESSURAS DIFERENTES: PLACAS, CHAPAS E PLACAS EM FOR-
MATO DE CURVA
FONTE: <https://bit.ly/3uz89OK>. Acesso em: 10 out. 2020.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
7
FIGURA 4 – EXEMPLOS REAIS DE APLICAÇÃO DAS PLACAS E CHAPAS. (A) LAJES MACIÇAS; E (B) NAVIO
(a) (b)
FONTE: <https://bit.ly/2Q6ilzl>. Acesso em: 22 out. 2020; (b) <https://bit.ly/31XT0ds>. 
Acesso em: 30 out. 2020.
• Barras: elementos estruturais onde duas das dimensões (largura e altura) são 
muito menores que a terceira (comprimento). Como se pode visualizar na Fi-
gura 5 do item (a) estes elementos são retas (vigas, pilares, tirantes e escoras)ou curvas (arcos), já no item (b) apresenta-se um exemplo de aplicação do tipo 
barra e viga em um projeto estrutural de um edifício.
FIGURA 5 – ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM BARRAS. (A) BARRA RETA, VIGA E ARCO; (B) PROJE-
TO ESTRUTURAL DE UM EDIFÍCIO
(a) (b)
FONTE: <https://bit.ly/3uz89OK>. Acesso em: 10 out. 2020.
2.1.3 Quanto aos carregamentos
Os carregamentos encontrados em uma estrutura, nada mais são que as 
forças solicitantes. O conceito de forças é estudado em Mecânica0, que são os pesos 
próprios dos elementos estruturais (sentido vertical para baixo), como por exem-
plo, o peso próprio de uma viga ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.
Estas forças podem ser concentradas ou distribuídas, e serão detalhadas a seguir:
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
8
• Forças concentradas: são forças que se concentram em uma pequena extensão 
(Figura 6), comparadas a dimensão do elemento que recebe o carregamento. 
Este conceito é mais abstrato, sendo que se um material recebesse uma força 
pontual, provavelmente ocorreria um rompimento neste ponto da estrutura.
FIGURA 6 – FORÇAS CONCENTRADAS
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 479)
• Forças distribuídas: são forças que atuam ao longo de um trecho (Figura 7), 
como em barragens, comportas, tanques, entre outros. Podem ser em volu-
mes (como a ação gravitacional, como as forças de inércia nos corpos acelera-
dos), em superfícies (como a ação de esforços sobre placas, a ação da pressão 
de fluidos, Equação 1) e em linha (como a ação ao longo de vigas, Equação 2).
FIGURA 7 – FORÇAS DISTRIBUÍDAS
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 479)
(Eq. 1)p = dF/dA
(Eq. 2)q = dF/dx 
2.1.4 Quanto aos vínculos
São estabelecidos três vínculos distintos de apoio em uma estrutura, para 
diferenciá-los são utilizados símbolos que representam cada apoio e o tipo de 
reação que exerce sobre o elemento que está em seu contato. 
Tipos de apoios:
• Apoio Simples ou Móvel: resulta na reação de uma força perpendicular à su-
perfície de um ponto de contato, onde possui apenas uma incógnita. É capaz 
de impedir o movimento do ponto do corpo numa direção pré-determinada.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
9
• Apoio Duplo ou Articulado: resulta na reação de dois componentes de uma 
força paralela e perpendicular à superfície de um ponto de contato, onde pos-
sui duas incógnitas. É capaz de impedir qualquer movimento do ponto do 
corpo em todas as direções.
• Apoio Fixo ou engaste: resulta na reação de dois componentes de uma força 
paralela e perpendicular à superfície de um ponto de contato e um momento, 
onde possui três incógnitas. É capaz de impedir qualquer movimento do pon-
to do corpo em todas as direções, além do movimento de rotação do corpo em 
relação a esse corpo.
Estes apoios e suas forças resultantes estão identificados na Figura 8.
FIGURA 8 – TIPOS DE APOIO
FONTE: Adaptado de Hibbeler (2004, p. 3)
Na Figura 9 apresentam-se exemplos aplicados em situações reais de cada 
apoio comentado acima.
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
10
FIGURA 9 – TIPOS DE APOIOS: (A) APOIO SIMPLES, (B) APOIO DUPLO E (C) APOIO FIXO
(a) (b) (c)
FONTE: <https://bit.ly/3uIr49D>. Acesso em: 15 nov. 2020; (b) e (c) Rodrigues (2013)
No item (a) da imagem acima o apoio simples utilizado impede o movimento 
do corpo em apenas uma dimensão, este exemplo é encontrado em algumas pontes. 
No item (b) já se limita o movimento do corpo em duas dimensões e estes apoios são 
vistos principalmente em pontes estaiadas. Por fim, o item c é utilizado quando pre-
cisa impedir o movimento do corpo, estes são encontrados especialmente em vigas e 
pilares de um edifício ou de uma estrutura metálica conforme apresentado na figura.
2.1.5 Estaticidade e estabilidade
Para falarmos sobre estaticidade e estabilidade você precisa antes conhe-
cer as condições de equilíbrio de um corpo, que são condições que garantem o 
equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da estrutura como 
um todo, ou seja, quando o corpo não possui movimento. Desta forma, para que 
o corpo não tenha movimento, em todos os seus pontos, a resultante dos esforços 
deve ser nula, isto é, a resultante das forças e a resultante dos momentos sejam 
iguais a zero. Conforme apresentado nas Equações 3 e 4:
(Eq. 3)∑ F = 0
(Eq. 4)∑ M = 0
O ∑ F é a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo e o ∑ M é a 
soma dos momentos deste corpo ou até mesmo fora dele, em um ponto qualquer.
Compreendendo o conceito de estaticidade e as reações de apoio que atu-
am sobre em um corpo, você pode classificar as estruturas segundo o grau de 
estaticidade, que está dividido em três tipos:
• Estruturas Isostáticas
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é igual 
ao número de equações de equilíbrio estático, ocorrendo uma situação de equilí-
brio estável, como é apresentada na Figura 10, onde se encontram três incógnitas 
para cada uma das situações, VA, VB e HR ou VC, HC e MC.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
11
FIGURA 10 – EXEMPLO DE ESTRUTURA ISOSTÁTICA
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
Número de reações = Número de equações de equilíbrio
Equações de equilíbrio de acordo com a figura acima:
Exemplo 1
Para a viga AB temos a reação em A que é a força VA e as reações em B que são as for-
ças VB e HB. Como já vimos anteriormente, as equações de equilíbrio são três, em Fx, 
em Fy e em MA ou MB. Desta forma, pode-se calcular as equações da seguinte forma:
Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:
∑ FX = 0 
HR = 0 
Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:
∑ FY = 0 
VA + VB = 0 
Como em Fy temos duas incógnitas, utilizamos o somatório dos momentos em A 
ou em B (neste caso utilizou-se em A) para encontrar uma das incógnitas acima e 
poder encontrar o valor em ambas equações.
∑ MA = 0 
+ VB . x = 0 
Desta forma, pode-se identificar as três reações de apoio e três equações de equi-
líbrio, identificando uma estrutura isostática conforme descrito anteriormente.
Exemplo 2
Para o exemplo 2 foi analisado da mesma forma que o exemplo 1, apenas alterando 
o tipo de apoio da viga, ou seja, avaliando uma viga engastada, onde as três in-
cógnitas estão no engaste da estrutura. Desta forma, serão avaliadas as reações de 
apoio no ponto C em relação as equações de equilíbrio em Fx, em Fy e em MC.
Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:
∑ FX = 0
HC = 0
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
12
Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:
∑ FY = 0
VC = 0
Em MC realiza-se o somatório dos momentos atuantes no ponto C, ou seja:
∑ MC = 0
- MC = 0
Desta forma, pode-se identificar, como no exemplo 1, as três reações de apoio e 
as três equações de equilíbrio, identificando uma estrutura isostática conforme 
descrito anteriormente.
• Estruturas hipostáticas
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é menor que 
o número de equações de equilíbrio estático, ocorrendo uma situação indesejável 
de equilíbrio instável, como é apresentada na Figura 11 as incógnitas são duas, 
VA e VB ou VC e HC. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais.
FIGURA 11 – EXEMPLO DE ESTRUTURA HIPOSTÁTICA
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
Equações de equilíbrio de acordo com a figura acima:
Exemplo 1 
Para a viga AB temos a reação em A que é a força VA e a reação em B que são as for-
ças VB e HB. Como já vimos anteriormente, as equações de equilíbrio são três, em Fx, 
em Fy e em MA ou MB. Desta forma, pode-se calcular as equações da seguinte forma:
Em Fx não tem nenhuma força atuante no eixo x. Em Fy realiza-se o somatório das 
forças atuantes no eixo y, ou seja:
∑ FY = 0 
VA + VB = 0 
Como em Fy temos duas incógnitas, utilizamos o somatório dos momentos em A 
ou em B (neste caso utilizou-se em A) para encontrar uma dasincógnitas acima e 
poder encontrar o valor na equação do somatório de Fy.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
13
∑ MA = 0
+ VB . x = 0 
Desta forma, pode-se identificar a duas reações de apoio e três equações de equi-
líbrio, identificando uma estrutura hipostática conforme descrito anteriormente.
Exemplo 2
Neste segundo exemplo, temos uma viga com apoio duplo, com duas reações de 
apoio no ponto C, HC e VC. Estes são calculados conforme descrito a seguir.
Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:
∑ FX = 0
HC = 0
Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:
∑ FY = 0
VC = 0
Desta forma, pode-se identificar a duas reações de apoio e três equações de equi-
líbrio, identificando uma estrutura hipostática conforme descrito anteriormente.
• Estruturas hiperestáticas
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é 
superior ao número de equações de equilíbrio estático, ocorrendo uma situação 
indesejável de equilíbrio estável. Nesse caso, as equações da Estática não são 
suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações 
adicionais de compatibilidade de deformações, conforme apresentado na Figura 
12 onde as incógnitas são quatro, VA, VB, HA e HB ou HC, VC, MC e HD.
FIGURA 12 – EXEMPLO DE ESTRUTURA HIPERESTÁTICA
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.) 
Equações de equilíbrio de acordo com a figura acima:
Exemplo 1
Nesta situação, temos mais incógnitas do que equações de equilíbrio, onde na viga 
AB temos apoio duplo nos pontos A e B resultando em quatro reações de apoio. 
Como já vimos anteriormente, as equações de equilíbrio são três, em Fx, em Fy e em 
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
14
MA ou MB. Desta forma, pode-se calcular as equações conforme descrito a seguir.
Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:
∑ FX = 0 
HA + HB = 0 
Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:
∑ FY = 0 
VA + VB = 0 
Desta forma, temos mais incógnitas do que equações de equilíbrio, identificando 
a estrutura como estrutura hiperestática.
2.2 ESFORÇOS INTERNOS E RESULTANTES – MÉTODO DAS 
SEÇÕES
De acordo com Hibbeler (2004), os esforços internos solicitantes são os 
que atuam no corpo de uma estrutura no seu ponto interno. A melhor forma de 
você compreender as forças atuantes de um corpo é desenhar o diagrama de cor-
po livre conforme a Figura 13.
FIGURA 13 – SEÇÃO DE UM CORPO
FONTE: Adaptado de Hibbeler (2004, p. 4)
Ainda, a aplicação da estática na análise dos problemas de resistência dos 
materiais, é de suma importância para determinar a força resultante e o momento 
que atuam no interior de um corpo, para que este se mantenha unido quando o 
mesmo estiver submetido a forças externas. Para realizar esse cálculo devemos 
utilizar o método das seções, onde requer que seja realizado uma seção na região 
interna do corpo onde as cargas internas devem ser determinadas.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
15
Você vai perceber que o termo “momento” será bastante utilizado em todo 
estudo da Resistência dos materiais. O termo “momento” sempre vai se referir à reação 
resultante de uma força multiplicada pela distância até o ponto de apoio ou reação. Pode 
ser momento fletor ou momento torçor, dependendo das condições do carregamento. 
IMPORTANT
E
Considerando que o corpo rígido da figura acima está submetido a um 
conjunto de forças em equilíbrio, seccionamos o corpo por um plano P que o 
intercepta por uma seção S e dividimos a seção em duas partes, por exemplo, 
ponto D e E. Desta forma, as duas partes do corpo estão separadas e o diagrama 
do corpo livre é apresentado (Figura 14).
FIGURA 14 – DIAGRAMA DO CORPO LIVRE
FONTE: Hibbeler (2004, p. 4)
Nesta área exposta da seção, pode-se verificar a presença de uma distribuição 
de força interna atuando para a área externa, isso nada mais é, do que os materiais da 
parte superior do corpo, atuando sobre o material adjacente da parte inferior. 
Para ser possível essa divisão, preservando o equilíbrio das duas partes, de-
ve-se aplicar na seção S da parte E um sistema estático equivalente ao das forças que 
ficaram na parte da direita, e da mesma forma, para a parte D, um sistema estático 
equivalente ao das forças na parte da esquerda. Para obter os esquemas estáticos equi-
valentes, reduz-se as forças a esquerda e a direita da seção S, até o centroide da seção.
Desta forma, a resultante FR da parte esquerda é obtida pelas forças da 
direita e vice-versa e o mesmo acontece para o momento MR (Figura 15), ou seja, 
a seção de um corpo que está em equilíbrio é submetida a uma parte de forças FR 
e (-FR ) e a um par de momentos MR e (-MR) aplicados no seu centro de gravidade 
e resultantes da redução, a este centro de gravidade, das forças atuantes, respec-
tivamente, à esquerda e à direita da seção S.
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
16
FIGURA 15 – FORÇA RESULTANTE E MOMENTO
FONTE: Hibbeler (2004, p. 4)
Decompondo as forças FR e MR no ponto 0 em duas componentes, uma 
perpendicular à seção S e outra no próprio plano da seção S, obtemos as forças N 
(força normal) e V (força de cisalhamento) e os momentos M (momento fletor) e 
T (momento de torção), conforme pode ser visualizado na Figura 16. Estas resul-
tantes são chamadas de esforços simples ou esforços internos resultantes.
FIGURA 16 – DECOMPOSIÇÃO DAS FORÇAS
FONTE: Hibbeler (2004, p. 4)
Estas forças e momentos são separados em quatro cargas resultantes, que 
serão descritos nos itens a seguir.
Esforço Normal (N): 
Força que atua perpendicular ao plano da seção, ou seja, promove separa-
ção das seções, permanecendo paralelas uma a outra. Em relação ao sinal, o esforço 
normalmente será positivo quando a força for de tração (quando separa duas se-
ções) e negativo quando a força for de compressão (quando aproxima duas seções).
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
17
Força de cisalhamento – esforço cortante (V):
Força que está contida no plano da seção, ou seja, tende de realizar o mo-
vimento de deslizamento entre uma seção e outra.
Neste caso, o sinal será positivo quando calculado pelo lado esquerdo 
da seção tendo o sentido positivo do eixo Y e para o lado direito da seção tiver o 
sentido oposto da seção do eixo.
Momento fletor (M):
Tende a realizar uma rotação na seção de um eixo no seu próprio plano, 
ou seja, momento contido em um plano perpendicular ao plano de ação.
Momento torçor (T):
Momento contido no plano de ação, ou seja, promove uma rotação entre 
duas seções próximas em um eixo perpendicular a elas.
Para melhor compreensão dos sinais para cada uma das situações descri-
tas acima, é apresentada Figura 17.
FIGURA 17 – CONDIÇÕES DE SINAIS PARA CADA SITUAÇÃO DAS CARGAS RESULTANTES
FONTE: Morilla (2012, p. 20)
Sugestão para leitura adicional são os Capítulos 1, 2 e 3 da Apostila de Resis-
tência dos Materiais. Disponível para download no link: https://bit.ly/3mEaTHC.
DICAS
18
Neste tópico, você aprendeu que:
RESUMO DO TÓPICO 1
• Os fundamentos da mecânica, em que se encontra a resistência dos materiais, 
que é o estudo da mecânica dos corpos deformáveis, ou seja, relação entre as so-
licitações externas dos materiais e os efeitos provocados no interior dos sólidos.
• A influência das características dos materiais quando estão submetidos a al-
gum esforço externo, sendo que tanto o tipo, quanto a geometria e as vincula-
ções são importantes na análise final, utilizando, assim, hipóteses simplifica-
das que permitem com que as análises dos problemas sejam praticáveis.
• O conceito de estaticidade e as reações de apoio que atuam sobre em um cor-
po, podendo classificar as estruturas segundo o grau de estaticidade.
• O método das seções para calcular as tensões e reações, em que um corpo 
rígido é submetido a um conjunto de forças em equilíbrio e através da divisão 
do corpo em duas partes (preservando o equilíbrioentre elas). Desta forma, 
você decompõe as duas componentes resultantes da divisão das partes, ob-
tendo forças e momentos perpendiculares e pertencentes da seção, que são 
chamados de esforços simples ou esforços internos resultantes.
19
1 A figura a seguir representa uma viga carregada:
AUTOATIVIDADE
PÓRTICO
FONTE: <https://bit.ly/3uN4vB1>.
É correto afirmar que o momento fletor máximo será:
a) ( ) No ponto B.
b) ( ) A ¼ da distância entre A e B mais próximo do ponto B.
c) ( ) Na metade da distância entre A e B.
d) ( ) A ¼ da distância entre A e B mais próximo do ponto A.
e) ( ) No ponto A.
2 Como é classificada uma estrutura segundo o grau de estaticidade e quan-
tos tipos está dividida? 
3 Determine os esforços solicitantes internos no ponto C da seção transversal 
da viga, conforme figura a seguir.
VIGA COM CARREGAMENTOS COM UMA SEÇÃO
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
20
4 Determinar os esforços solicitantes internos nos pontos C e D da seção transversal 
da viga, conforme a figura a seguir. Considerar no ponto B um apoio de rolete.
VIGA COM CARREGAMENTOS E DUAS SEÇÕES
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
5 Determinar os esforços solicitantes internos nos pontos C e D da seção 
transversal da viga, conforme a figura a seguir.
VIGA COM CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDO E DUAS SEÇÕES 
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
6 A viga da figura a seguir tem peso uniforme de 80 N/m e se encontra presa 
na parede, considerando que a viga suporte um peso de 1.500 N/m, quais os 
esforços internos resultantes que atuam nos pontos da seção transversal C e D.
21
VIGA COM CARREGAMENTOS DE SUPORTE COM PESO DE 1500 N E DUAS SEÇÕES
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
7 Uma viga engastada de seção DF tem uma carga na região de EF, sendo que a 
distribuição da carga sobre essa viga DF está representada na figura a seguir, 
sabendo ainda, que uma pessoa exerce uma força inclinada de 100 kN no ponto 
F da viga e que os esforços cortantes encontrados nos pontos D, E, e F são:
VD = 30 kN
VE = 30 kN
VF = - 50 kN
Descubra qual o valor do parâmetro C.
VIGA ENGASTADA
FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 8 nov. 2020.
8 Considere a viga de esforço cortante na figura a seguir e calcule a força P, o 
momento fletor M e o carregamento distribuído q. Além de determinar as 
reações nos pontos E e G.
22
VIGA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 8 nov. 2020.
23
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, você vai aprender as relações existentes entre as forças apli-
cadas sobre um corpo e a maneira como ele se deforma. De certa maneira po-
demos dizer que todos os corpos rígidos sofrem deformação quando aplicada 
alguma força sobre eles, porém, muitas vezes, esta deformação é tão pequena que 
não conseguimos perceber e nem medir. 
Você também será apresentado a Robert Hooke e Poisson, dois cientis-
tas matemáticos e físicos experimentais que contribuíram muito para o enten-
dimento das propriedades dos materiais sólidos que utilizamos no nosso dia a 
dia. Hooke era inglês e desenvolveu uma equação que relaciona a carga aplica-
da sobre um sólido e a sua deformação proporcional. Mais tarde, o Poisson, um 
francês, complementou os estudos de Hooke, concluindo que as deformações são 
compensadas nos eixos axiais dos sólidos. Assim, como você já deve ter estudado 
as leis de Newton, agora você vai poder estudar também as leis de Hooke e de 
Poisson, que serão apresentadas nesta unidade.
2 TENSÃO
Tensão é uma grandeza vetorial, definida como a resistência interna de 
um corpo qualquer, onde uma força externa é aplicada por uma unidade de área, 
ou simplesmente, uma força aplicada por unidade de área da seção de um corpo.
Para que possamos estudar a tensão de um ponto no interior do corpo, 
passamos uma seção quadrada pelo ponto intermédio de um plano paralelo xy.
No momento em que se realiza o corte na seção do corpo, considera-se que a 
seção desta área está subdividida em várias áreas menores. Ao selecionar uma destas 
áreas, pode-se notar uma força ∆F atuando sobre ela que está associada a uma área ∆A. 
Esta força tem uma única direção, mas conforme aprendemos até aqui, vamos substi-
tuí-la por três componentes (normal e tangencial), que igual ao ∆A tendem a 0 (zero). 
A relação entre força e área é chamada de tensão e a sua divisão tende a 
um elemento finito, conforme equações a seguir:
, e (Eq. 5)
24
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Pode-se definir a tensão em dois tipos: Tensão Normal e Tensão Tangencial.
Tensão Normal σ (sigma): quando a direção da força é perpendicular à 
área, ou seja, quando a força empurra o elemento da área é chamada de tensão 
de tração, já ao contrário, quando a força puxa o elemento da área é chamada de 
tensão de compressão. Equação para determinar a tensão normal:
 (Eq. 6)
σ = N/mm²/MPa
F = N/kN
A = mm²/m²
1 Determine a tensão normal de uma barra de seção circular que está 
tracionada por uma força de carga normal de 36 kN, conforme a figura a 
seguir. Sua seção tem 50 mm de diâmetro.
AUTOATIVIDADE
BARRA TRACIONADA
FONTE: Dutra (2015, p. 19)
Força normal 
F = 36000 N
Cálculo da área da seção circular 
A = π.r² = 3,1415 . (25 mm) ² = 1963,5 mm²
Tensão normal:
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO
25
Tensão Tangencial τ (tau): quando a direção da força é contida na 
área. Quando a intensidade da força por unidade de área atuar na tangente é 
chamada de tensão de cisalhamento.
(Eq. 7)
τ = N/mm² = MPa
F = N ou kN
A = mm² ou m²
1 Na figura a seguir apresenta-se uma barra com seção transversal quadrada 
de 40 mm de profundidade e largura. Nela é aplicada uma força axial de 800 
N no centroide de seu eixo. Determine a tensão média e a tensão de cisalha-
mento média que atuam sobre o material na seção a-a e também na seção b-b.
AUTOATIVIDADE
BARRA COM SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA
FONTE: Hibbeler (2004, p. 27)
Seção a-a:
A barra está seccionada e a carga interna dela é a força axial P = 800 N
Calculando assim a tensão média:
26
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 DISTRIBUIÇÃO DA SEÇÃO MÉDIA TRANSVERSAL NA BARRA
FONTE: Hibbeler (2004, p. 27)
Seção b-b:
Caso a barra será seccionada na área b-b o diagrama do corpo livre é igual ao 
apresentado na imagem acima, sendo assim as duas forças N e V, normal e 
cisalhamento, respectivamente, atuarão sobre a área seccionada.
Visto que a força de cisalhamento é nula, o cálculo da tensão de cisalhamento 
resulta em zero, conforme a seguir:
τ = 0
Mostra-se na a seguir a distribuição da seção média transversal na barra.
Desta forma a área seccionada tem largura e comprimento de 40 mm e de 40 
mm / sem 60º = 46,19 mm.
Calculando assim a tensão média:
Primeiro calcula-se as forças resultantes em x e y:
∑Fx = 0; - 800 N + N sen 60º + V cos 60º = 0
∑Fy = 0; V sen 60º - N cos 60º = 0
Ou utilizando x’ e y’:
∑Fx = 0; N – 800 N cos 30º = 0
∑Fy = 0; V – 800 N sen 30º = 0
Resultando em:
N = 692,8 N
V = 400 N
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO
27
DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO
FONTE: Hibbeler (2004, p. 28)
E a tensão de cisalhamento média:
Enfim, a figura a seguir mostra a distribuição da tensão.
3 DEFORMAÇÕES
Deformação é definida como modificação da forma ou tamanho de um 
corpo quando nele é aplicado uma força. Estas forças podem ser percebidas atra-
vés de equipamentos que medem deformações dos materiais ou são imperceptí-
veis sem a utilização destes meios.
A deformação pode ser tanto longitudinal quanto tangencia, que serão 
abordados nos itens a seguir.
3.1 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL (Ε)
Deformações normais provocam mudança de volume na estrutura. Esta 
mudança de volume provoca uma deformação por unidade de comprimento, 
como exemplo, uma barra com um comprimento L sujeita a uma força axial F.
Com a aplicação da carga, a barra provoca o alongamento ou encurtamento 
dela, que é definido pelo sinal resultanteda equação, onde para encontrar o ∆L 
resultante, utiliza-se a seguinte equação:
(Eq. 8)∆L = LF – L
28
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Desta forma, pode-se definir a deformação específica longitudinal como 
a razão entre a deformação total ∆L (alongamento ou encurtamento) sofrido pela 
barra e o comprimento inicial dela, que é medido na direção da deformação. 
Temos assim a equação a seguir:
(Eq. 9)
3.2 DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
As deformações por cisalhamento ou tangenciais provocam mudanças no for-
mato da estrutura. Ao contrário da deformação longitudinal, a transversal não altera o 
comprimento do material mas resulta numa variação na sua forma (FIGURA 18).
FIGURA 18 – VARIAÇÃO NA FORMA DA ESTRUTURA
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)
Desta forma, quando sujeito a tensões tangenciais, ocorre uma distorção nas 
faces elemento envolvendo variações desprezíveis de volume. Com isso, a distorção 
específica pode ser definida como o deslocamento produzido e o comprimento res-
pectivo, medido na direção normal a este deslocamento, conforme equação a seguir:
(Eq. 10)
4 LEI DE HOOKE
A Lei de Hooke foi criada em 1676 pelo cientista inglês Sr. Robert Hooke, 
que através de um experimento com molas, descobriu que o aumento da tensão 
causa um aumento na deformação proporcionalmente, até certos limites. Mate-
maticamente essa Lei é expressa pela equação abaixo:
(Eq. 11)
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO
29
Na equação acima, consta o item E que representa o módulo de elasticidade ou 
módulo de Young. Thomas Young em 1807 introduziu a expressão matemática da Lei 
de Hooke E, sendo uma constante de proporcionalidade a qual nomeou de módulo de 
Young e que mais tarde ficou mais conhecida como módulo de elasticidade (E).
O módulo de elasticidade indica quanto um material resiste à deformação, 
ou seja, a sua rigidez. Pode-se expressar a Lei de Hooke em duas equações:
Módulo de elasticidade longitudinal:
(Eq. 12)
Módulo de elasticidade transversal:
(Eq. 13)
1 De acordo com o gráfico de tensão-deformação de uma liga de aço (figura a seguir), 
que foi obtido através do ensaio de tração, calcule o módulo de elasticidade.
AUTOATIVIDADE
GRÁFICO DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE UMA LIGA DE AÇO
FONTE: Hibbeler (2004, p. 74)
30
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Pode-se perceber através do gráfico que uma reta se estende do ponto O ao 
ponto A, com coordenadas aproximadas de 0,0016 pol/pol e 50 ksi.
Desta forma o módulo de elasticidade é:
5 LEI DE POISSON
Quando se aplica uma força axial de tração em um corpo deformável, ele 
sofre um alongamento na estrutura e também uma contração nas suas laterais. 
Caso a força seja de compressão, resulta em uma contração do corpo em direção 
à força e uma expansão lateral.
No ano de 1811, o cientista francês Poisson definiu que a relação entre as de-
formações unitárias entre duas direções é constante, dentro do limite de proporciona-
lidade. Estas definições foram realizadas após observações de experimentos em que 
se verificou a deformação transversal em elementos submetidos a esforços normais.
O Coeficiente de Poisson é representado pela sigla ν. A equação que a define:
(Eq. 14)
Pode-se concluir ainda, que as deformações longitudinais e transversais 
são sempre de sinais contrários e, que numa mesma seção transversal, a deforma-
ção específica transversal é constante. 
1 A barra da figura a seguir é feita com material homogêneo e isotrópico tem 
500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro. Sob uma força axial de 12 kN, 
sendo que seu comprimento aumenta 300 µm e seu diâmetro reduz 2,4 µm. 
Determine o módulo de elasticidade da barra e o coeficiente de Poisson.
AUTOATIVIDADE
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO
31
BARRA DE MATERIAL ISOTRÓPICO
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 127)
Calculando o coeficiente de Poisson temos:
Área da seção transversal da barra é:
A = π . r² = π . (8 . 10-3 m)² = 201 . 10-6 m²
Consideramos que o eixo x coincidente com o eixo da barra para escrever então:
Da Lei de Hooke:
6 LEI DE HOOKE GENERALIZADA
Até o momento estudamos elementos submetidos a cargas normais, ou seja, 
em uma direção do eixo, onde somente é empregue um estado simples de tensão. A 
lei de Hooke generalizada aborda elementos estruturais sujeitos a carregamentos que 
atuam em três direções, gerando tensões normais nos três eixos, x, y e z (FIGURA 19).
32
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
FIGURA 19 – PRISMA SUJEITO A CARREGAMENTOS ATUANDO EM TRÊS DIREÇÕES
FONTE: Rodrigues (2013, s.p.) 
Quando um corpo homogêneo e isótropo tiver atingido sobre ele um 
estado múltiplo de tensões, resulta em um alongamento em seu corpo e em duas 
contrações. Desta forma, deseja-se encontrar a deformação em cada um dos eixos 
através das tensões que estão sujeitos.
Por meio de uma dedução de fórmulas, a Lei de Hooke generalizada 
apresenta a seguinte forma para calcular a deformação em cada eixo, através das 
tensões que o corpo sofre. A equação a seguir permite-nos encontrar estes valores:
(Eq. 15)
(Eq. 16)
(Eq. 17)
1 A figura a seguir representa um bloco de aço submetido à ação de pressão 
uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi 
de -24µm. Determinar: (a) a variação de comprimento das outras duas arestas; 
(b) a pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar E = 200 GPa e v = 0,29.
AUTOATIVIDADE
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO
33
BLOCO DE AÇO SUBMETIDO À AÇÃO DE PRESSÃO UNIFORME
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 130)
A alteração no comprimento das outras arestas. Substituindo σX = σY = σZ = 
-P nas Equações apresentadas acima verificamos que os três componentes de 
deformação específica têm um valor comum:
6.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA
Ao realizar projetos estruturais ou mecânicos deve-se considerar a carga 
limite do material maior que o carregamento receberá em situações normais de 
utilização. Este carregamento é conhecido como tensão admissível. 
Seguindo assim:
δy = εy (BC) = (-300μ)(40mm) = -12 μm
δz = εz (BD) = (-300μ)(60mm) = -18 μm
Da equação anterior, determinamos a pressão p:
Como:
Teremos:
εx = εy = εz = -300 µm
34
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Um exemplo disso, é o cálculo realizado para guindastes e cabos, que devem 
ser considerados fatores de segurança adequados, pois precisarão suportar cargas 
pesadas durante o trabalho. Desta forma, para garantir a segurança da máquina, uti-
liza-se uma tensão admissível menor que a carga que o elemento possa suportar.
A tensão admissível deve ser mantida dentro da região de deformação 
elástica do material. Como já observamos anteriormente, se esta tensão ultrapas-
sar a região da deformação elástica, pode romper. Alguns casos, como na cons-
trução de aviões e foguetes, essa condição não é válida, pois é precisa obter um 
peso muito menor do material, que se enquadra na região de deformação plástica.
Também é utilizado para obter uma maior segurança no cálculo dos ele-
mentos da construção um coeficiente de segurança. Este cálculo é denominado 
conforme a experiência do projetista, tipo de material a ser utilizado, tipo de car-
regamento, ambiente de atuação, entre outros.
1 Uma barra engastada submetida a uma força normal de tração de 75 kN, com 
seção transversal quadrada de 20 mm de lado, calcule o coeficiente de seguran-
ça utilizado no projeto. Considerando:
AUTOATIVIDADE
σlr - t = 250 MPa
σlr - c = 200 Mpa
De acordo com o enunciado a barra está tracionada, desta forma, iremos uti-
lizar a tensão da barra tracionada para encontrar o coeficiente de segurança.
Em primeiro lugar descobre-se a área desta barra:
A = 20 . 20 = 400 mm²
Após encontra-se a tensão:
TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO
35
Dica de leitura adicional são os Capítulos 1 e 2 do livro de “Resistência dos 
Materiais”, de R. C. Hibbeler. Disponível na biblioteca virtual Pearson.
DICAS
A tensão encontrada deve ser sempre menor ou igual a tensão máxima em 
projeto, desta forma, pode-seencontrar o coeficiente de segurança conforme 
descrito a seguir:
36
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A tensão que um elemento sofre quando aplicada uma força em uma deter-
minada área pode ser separada por dois tipos, tensão normal onde a direção 
da força é perpendicular à área e tensão tangencial quando a direção da força 
é contida na área.
• A deformação de um elemento, que modifica a forma ou o tamanho do mes-
mo, quando nele é aplicada uma força. Essas deformações também são sepa-
radas em dois tipos, uma é a deformação longitudinal, onde há uma mudança 
no volume da estrutura e outra é a deformação tangencial onde há uma mu-
dança na forma da estrutura.
• A Lei de Hooke e a Lei de Poisson são definidas respectivamente como: o 
aumento da tensão é proporcional a deformação da peça e a relação das de-
formações unitárias entre duas direções é constante. Além disso, Hooke tem 
uma lei generalizada, onde explica como calcular a deformação de cada eixo 
de uma peça, quando ela está sujeita a várias tensões.
• A tensão admissível de um material, que deve ser levada em conta sempre 
que uma estrutura for projetada e deve estar relacionada com o coeficiente de 
segurança do cálculo.
37
1 Determinar a tensão normal média máxima da barra submetida ao carrega-
mento apresentado na figura a seguir. Ela tem largura constante de 35 mm 
e espessura de 10 mm.
AUTOATIVIDADE
BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTOS
FONTE: Hibbeler (2004, p. 20)
2 Determine a tensão normal média em cada haste da luminária da figura a 
seguir, sendo que a haste AB tem diâmetro de 10 mm e a BC com diâmetro 
de 8 mm. O peso da luminária é de 80 Kg.
LUMINÁRIA
FONTE: Hibbeler, 2004, p. 21)
3 O material apresentado na figura a seguir tem uma haste com área 
transversal de 400 mm² e área no contato do ponto C de 650 mm². Este 
material está carregado com uma força vertical de 3 kN. Desta forma, defina 
a posição x de aplicação da força, de modo que o esforço de compressão 
médio no ponto C seja igual ao esforço de tração no tirante AB.
38
MATERIAL COM CARREGAMENTO DE 3 KN
FONTE: Hibbeler (2004, p. 23)
3 Calcule a tensão da barra feita de aço em AB e latão em BC, onde, respectivamente, 
obtém módulo de elasticidade de E = 200 GPa e E = 105 GPa. Lembrando que as 
barras são unidas em B e carregadas conforme a figura a seguir.
BARRAS DE AÇO E LATÃO
FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 8 nov. 2020.
4 Com os dados da questão 7 calcule as deformações específicas nos trechos 
AB e BC.
5 Na figura a seguir, calcule as forças normais atuantes em AB, BC e DE. AB 
é uma barra com seção quadrada de lado a, BC é uma barra com seção re-
tangular com largura de 2b e altura b e a seção DE é um fio com diâmetro 
d. Ainda, temos as seguintes características do material para que possamos 
realizar o cálculo das forças:
39
σ lr -t = 400 MPa
σ lr -c = 200 MPa
E aço = 210 GPa
ν aço = 0,25
C.S.Tração = 2,5
C.S.Compres. = 1,6
P = 50 kN
BARRA RÍGIDA
FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 8 nov. 2020.
4 Ainda, com os mesmos dados da questão 9, calcule o dimensionamento das 
barras AB, BC e DE e os deslocamentos verticais na barra AE.
5 A fotoelasticidade é uma técnica experimental utilizada para a análise de 
tensões e deformações em peças com formas complexas. A passagem de 
luz polarizada através de um modelo de material fotoelástico sob tensão 
forma franjas luminosas escuras e claras. O espaçamento apresentado entre 
as franjas caracteriza a distribuição das tensões: espaçamento regular indica 
distribuição linear de tensões, redução do espaçamento indica concentra-
ção de tensões. Uma peça curva de seção transversal constante (Figura a se-
guir), com concordância circular e prolongamento, é apresentada na figura 
ao lado. O elemento está equilibrado por duas cargas momento M, e tem 
seu estado de tensões apresentado por fotoelasticidade.
40
ELEMENTO EQUILIBRADO POR DUAS CARGAS
FONTE: Adaptado de ENADE (2008, p. 15)
Em relação ao estado de tensões nas seções PQ e RS, o módulo de tensão nor-
mal no ponto:
a) ( ) P é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.
b) ( ) Q é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.
c) ( ) Q é menor que o módulo da tensão normal no ponto S.
d) ( ) R é maior que o módulo da tensão normal no ponto S.
e) ( ) S é menor que o módulo da tensão normal no ponto P.
6 A lei de Hooke:
a) ( ) É a relação não linear entre a carga e o alongamento, no caso de uma 
barra em tração.
b) ( ) É a relação linear entre a tensão e o alongamento, no caso de uma barra 
em tração.
c) ( ) É a relação não linear entre tensão e deformação, no caso de uma barra 
em tração.
d) ( ) É a relação linear entre a carga e a deformação, no caso de uma barra em 
tração.
e) ( ) É a relação linear entre tensão e deformação, no caso de uma barra em tração. 
41
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS 
MATERIAIS
1 INTRODUÇÃO
Neste terceiro tópico, nós vamos aplicar os conhecimentos adquiridos nas 
unidades anteriores para entender aos efeitos da aplicação de tensões nos ma-
teriais, assim como, avaliar as consequentes deformações. Estas avaliações são 
facilitadas pelos gráficos e diagramas que nos permitem entender de forma mais 
direta os comportamentos dos materiais sob tensão.
Grande parte dos conhecimentos que você vai adquirir neste tópico é im-
prescindível para o entendimento, interpretação e avaliação de laudos técnicos 
referentes às propriedades mecânicas de materiais, assim como, a interpretação 
de ensaios e testes de laboratório. A capacidade de interpretação e avaliação des-
tas informações é necessária para a tomada de decisões em projetos e a correta 
escolha dos materiais adequados ao desempenho exigido.
Bons estudos!
2 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
Para avaliar as propriedades de um material em relação a tensão e deforma-
ção, é realizado um ensaio de tração ou compressão em um corpo de prova. Este 
corpo de prova é medido sua seção transversal e seu comprimento, depois disso é 
inserido em um equipamento e submetido a carregamentos até sua ruptura.
A partir da medição da variação destas grandezas, feito pelo equipamento 
de ensaio, é obtido o diagrama de tensão x deformação, utilizando ε como abscis-
sa e σ como ordenada. Este diagrama varia conforme o material utilizado ou ob-
ter resultados diferentes para um mesmo material, dependendo da temperatura 
do corpo de prova ou da velocidade do carregamento.
Na Figura 20, a seguir, apresenta-se o gráfico de tensão x deformação do 
material dúctil aço, material utilizado para elementos estruturais e mecânicos. 
Com ele, vamos avaliar o comportamento deste material, quando ele está sujeito 
a uma força de carregamento.
42
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Logo no começo do carregamento, o comportamento do material é elásti-
co, nesta faixa a curva é praticamente igual a uma reta, sendo que o resultado da 
tensão e da deformação é muito semelhante. Resumindo, o material é linearmen-
te elástico. Após exceder um pouco o limite de elasticidade, o material continua 
se comportando como elástico, mas com um pequeno achatamento da curva, até 
alcançar o limite elástico. No limite elástico, se retirar a força que o material está 
recebendo, ele ainda retorna a sua forma inicial.
Se continuar a receber a força e o material passar do limite de elasticidade, 
ele resulta em um colapso do material e em uma deformação permanente. Esta 
deformação é denominada como deformação plástica.
FIGURA 20 – DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO (AÇO)
FONTE: Hibbeler (2004, p. 64)
Após o escoamento, aplica-se uma carga adicional ao corpo de prova, 
resultando em uma curva crescente até que alcance a tensão máxima, ou seja, o 
limite de resistência. Enfim, ao continuar com o carregamento o material chega 
à estricção, onde a área da seção transversal diminuiu em uma região localizada. 
Este fenômeno é provocado por planos de deslizamento encontrados no meio do 
material e as deformaçõesproduzidas são por tensão de cisalhamento.
A curva começa a decair, pois a área da seção transversal está decrescendo, 
curvando cada vez mais a curva do material até chegar à ruptura.
• Tensão de escoamento σe: tensão crítica correspondente ao início de escoamento;
• Tensão última σU: tensão correspondente a máxima carga aplicada.
• Tensão de ruptura σR: tensão correspondente ao ponto de ruptura.
TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS
43
3 ENSAIO DE TRAÇÃO
O ensaio de tração é realizado com um corpo de prova típico de uma barra 
de material homogêneo e formato circular. Antes de iniciar o ensaio anota-se o valor 
da seção transversal e dois pontos na barra. O equipamento que mede os resultados 
desse ensaio, submete a barra a uma força que vai aumentando gradativamente.
Para cada valor de P aplicado é anotado o valor de L e o valor de ∆L = 
Lf – L. E para cada valor de F é anotado o valor da tensão e da deformação, pois 
conforme aumenta a força, aumenta a tensão e consequentemente a deformação. 
E por fim, realiza-se o diagrama de tensão x deformação do material ensaiado.
Podemos separar os materiais em dois tipos:
• Materiais dúcteis: materiais que apresentam grandes deformações antes da 
ruptura.
• Materiais frágeis: materiais que não apresentam deformações grandes, apenas 
antes de romper. Observação: em materiais frágeis não ocorre estricção.
1 Uma estrutura composta por duas barras distintas, conforme figura a seguir, 
uma de alumínio com diâmetro AB 30 mm e outra de aço com diâmetro BC 
de 20 mm. Na união rígida e desprezível de ambas, atua uma força P = 20 
kN para a direita. Calcule as forças normais nas barras AB e BC.
AUTOATIVIDADE
ESTRUTURA EM DUAS BARRAS DISTINTAS
FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 16 nov. 2020.
Primeiramente, precisamos construir o diagrama de forças na união destas barras, 
definindo as hipóteses iniciais do problema. Consideramos então, como se as forças 
fossem contrárias às forças externas, ou seja, AB sob tração e BC sob compressão:
44
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Equacionando o equilíbrio das forças temos:
NAB + NBC = P
NAB + NBC = 20
Substituindo esse valor na primeira equação, temos:
0,525 NBC + NBC = 20
NBC = 13,11 kN
NAB = 13,11 = 20
NAB = 6,89 kN
A força na barra AB é de 6,89 kN (em tração) e a força na barra BC é de 13,11 
kN (em compressão).
Como temos uma equação e duas incógnitas, vamos precisar de outra equação 
para poder calcular. Pensando no deslocamento da barra podemos:
Temos deslocamentos em B em ambas as barras:
TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS
45
4 ENSAIO DE COMPRESSÃO
Os ensaios de resistência à compressão são executados conforme preconiza a 
norma NBR 13279 (2005) e obtêm-se os resultados na idade de 28 dias. Da mesma forma 
que o ensaio de tração, inicia-se o ensaio anotando o valor da seção transversal do corpo 
de prova. O equipamento mede os resultados desse ensaio, submete uma força no corpo 
de prova que vai aumentando gradativamente. E por fim, realiza-se o diagrama de ten-
são x deformação do material ensaiado, conforme demonstrado na Figura 21.
FIGURA 21 – EVOLUÇÃO DA FISSURAÇÃO NA INTERFACE ENTRE A PASTA E O AGREGADO 
PARA CONCRETO SOB COMPRESSÃO UNIAXIAL
FONTE: Mehta e Monteiro (1994, p. 69)
• Materiais dúcteis: o ensaio de compressão poderia ser utilizado até a tensão 
última, mas a partir daí não, pois na compressão não ocorre a estricção (dimi-
nuição) do diâmetro da barra.
• Materiais frágeis: o ensaio de compressão não poderia ser utilizado, pois a 
tensão última de compressão é muito maior do que a tensão última de tração 
(os materiais são mais resistentes ao esforço de compressão do que de tração), 
o que, provavelmente, causaria imperfeições nos resultados.
Para você entender melhor as aplicações deste ensaio, vou usar como exem-
plo prático o ensaio de compressão que é realizado em corpos de prova de con-
creto. O concreto que é utilizado para construção das estruturas deve atingir certa 
resistência para ser capaz de suportar as cargas da edificação. Para verificação desta 
resistência, são realizados controles estatísticos da resistência do concreto, quando 
são moldados corpos de prova cilíndricos durante a concretagem. Estes corpos de 
prova são então rompidos em uma prensa para a verificação de sua resistência po-
tencial, que deve ser igual ou maior que a resistência especificada no projeto.
46
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
5 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E PLÁSTICO DOS MATERIAIS
De acordo com Beer e Johnston (1995) é chamado de comportamento elás-
tico um material que recebe um carregamento que resulta em uma deformação, 
mas que quando é retirada essa carga o material retorna ao seu estado inicial. O 
máximo valor de tensão que este material suporta retornando ao seu estado ini-
cial após o descarregamento é nomeado como limite de elasticidade.
Com início de descarregamento bem definido, o limite de elasticidade e 
limite de proporcionalidade coincidem com a tensão de escoamento do material, 
mantendo-se elástico com as tensões abaixo do valor de escoamento. Se o material 
atingir o escoamento e a carga for retirada, resultando em um gráfico de tensão x 
deformação decrescente de uma forma linear (figura a seguir), quer dizer que o ma-
terial resultou em uma deformação durante a solicitação. Esta deformação, quando 
o ε não volta ao ponto zero é chamada de deformação permanente ou plástica. 
FIGURA 22 – A RETA CD SIGNIFICA A DEFORMAÇÃO PERMANENTE DO MATERIAL SUBMETIDO 
AO PRIMEIRO CARREGAMENTO
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 78)
Esta deformação permanente, não depende apenas da tensão a que o ma-
terial foi submetido, mas sim do tempo que essa tensão permaneceu no material 
até o descarregamento.
Quando o material recebe um segundo carregamento, resulta em uma cur-
va quase igual a primeira, até um pouco antes de atingir o ponto C, onde haverá 
uma quebra na reta, comparada a anterior, como pode ser visualizado na Figura 
23. Desta forma, o limite de elasticidade resultou em um aumento de seus valores, 
devido à recuperação da resistência que ocorreu no primeiro carregamento. 
TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS
47
FIGURA 23 – A RETA CD NO SEGUNDO CARREGAMENTO DO MATERIAL
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 78)
Este segundo carregamento, resulta em uma mesma deformação específi-
ca que o primeiro, mas em uma ductilidade do material menor. Sendo que os dois 
carregamentos foram de tração do corpo de prova do material.
Segundo Hibbeler (2004), quando o material é submetido a uma carga exter-
na, ele acumula energia em seu interior, essa energia é conhecida como energia de 
deformação. Essa energia pode ser expressa pela unidade de volume do material, ou 
seja, densidade de energia de deformação, que é representada pela equação a seguir:
(Eq. 18)
Caso o material for linear-elástico, se aplica a lei de Hooke, podendo ex-
pressar a equação da densidade em termos da tensão uniaxial como:
(Eq. 19)
Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade calculamos a defor-
mação através do módulo de resiliência, que está representado na figura a seguir, 
ou seja, pela região elástica do diagrama tensão-deformação onde é representada 
pela área triangular que absorve energia sem sofrer qualquer dano permanente. 
A equação para esta situação é representada a seguir:
(Eq. 20)
48
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Outra situação é o módulo de tenacidade, que representa toda a área do 
diagrama de tensão-deformação antes da ruptura do material, conforme apresen-
tado na figura a seguir. Esta propriedade é importante quando se projetam elemen-
tos carregados acidentalmente, sendo que quando o módulo de tenacidade é alto, 
o material distorce muito devido à sobrecarga. Mesmo assim, é preferível materiais 
com módulo de tenacidade alta do que as com valores baixos, pois o material nesta 
situação pode romper imediatamente, sem nenhum sinal de ruptura iminente.FIGURA 25 – DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REPRESENTANDO O MÓDULO DE TENACIDADE
FONTE: Hibbeler (2004, p. 72)
FIGURA 24 – DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REPRESENTANDO O MÓDULO DE RESILIÊNCIA
FONTE: Hibbeler (2004, p. 72)
TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS
49
Na figura a seguir é apresentado o diagrama tensão-deformação de uma liga 
de alumínio. Este foi submetido a uma carga de tração em seu corpo de prova 
de 600 MPa, se esta carga for removida, calcule a deformação permanente neste 
corpo de prova e o módulo de resiliência antes e depois da aplicação da carga.
AUTOATIVIDADE
DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO LIDA DE ALUMÍNIO
FONTE: Hibbeler (2004, p. 75)
Ao ser submetido a carga, o corpo de prova deforma até atingir o ponto B do 
diagrama, com uma deformação de 0,023 mm/mm. Quando a carga é retirada, 
o material retorna pela reta BC paralela à reta OA. O declive da reta OA é o 
módulo de elasticidade:
Pelo triângulo CBD requer-se:
CD = 0,008 mm/mm
A deformação calculada representa a deformação elástica recuperada. A 
deformação permanente é calculada abaixo:
50
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Para o módulo de resiliência inicial e final, calculamos da seguinte forma:
Dica de leitura adicional é o Capítulo 3 do livro de Resistência dos Materiais de 
R.C. Hibbeler. Disponível na Biblioteca Virtual Pearson.
DICAS
TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS
51
LEITURA COMPLEMENTAR
COMPARATIVO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS DO PINUS 
CIPRESTI ENTRE MADEIRA TRATADA E SEM TRATAMENTO
Francine Bardini
Márcio Vito
A madeira é um material comumente utilizado tanto para construção, quan-
to para confecção de diversos produtos no nosso dia a dia, como móveis e utensílios 
domésticos. Para diversas destas aplicações, é necessário o conhecimento das pro-
priedades mecânicas da madeira, que por se tratar de um material natural, apresenta 
maiores variações do que materiais industrializados como o aço e polímeros.
As variações das propriedades mecânicas nas madeiras podem ocorrer 
devido o teor de umidade, deterioração por fungos, bactérias e cupins, além de 
anomalias naturais como falhas e fissuras internas. Uma das principais maneiras 
de reduzir estas variações de desempenho é o tratamento em autoclaves com 
impregnação de produtos capazes de preservar as características da madeira ao 
longo do tempo, aumentando a sua durabilidade. 
Foram realizados comparativos de propriedades mecânicas de amostras 
de madeira do tipo Pinus Ciprestis com e sem o tratamento de autoclave para 
verificar quais alterações podem ser observadas nas características da madeira, 
considerando que esta seja utilizada para construção de estruturas. Foram avalia-
das as resistências à compressão e à tração e também foram gerados gráficos de 
tensão X deformação para avaliar o comportamento da madeira até a sua ruptura. 
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO OBTIDO NO ENSAIO DE RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO
FONTE: Bardini e Vito (2017)
52
UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Conforme podemos observar nos gráficos anteriores o tratamento em au-
toclaves altera as características mecânicas da madeira, aumentando sua capaci-
dade de resistência tanto à compressão quanto à tração. Além disso, é uma ótima 
oportunidade para avaliarmos na prática os gráficos de tensão x deformação ge-
rados durante os ensaios. 
O gráfico gerado pelo ensaio de resistência à compressão não foi plotado 
até a ruptura total, porém, podemos evidenciar que tanto a madeira tratada quanto 
a madeira natural apresentam o mesmo comportamento de deformação. Também 
podemos observar que até a tensão de 16MPa, ambas amostras estão apresentando 
os mesmos valores de tensão e deformação, e acima desta tensão, a amostra natu-
ral apresentou deformações maiores enquanto a amostra tratada ainda manteve a 
mesma proporção entre tensão e deformação até aproximadamente os 23MPa. 
Já para o ensaio de resistência à tração, o gráfico gerado com os valo-
res de tensão e deformação apresentam comportamentos diferentes para as duas 
amostras, sendo que a amostra com tratamento apresenta uma inclinação da reta 
menor que a amostra natural. Conforme já aprendemos nesta unidade, a razão 
entre tensão e deformação no regime linear é o valor do módulo de elasticidade 
do material. No caso das duas amostras, podemos perceber que a amostra com 
tratamento apresenta um módulo de elasticidade menor que a amostra natural, 
no entanto, a sua resistência à tração foi maior. 
A partir dos resultados que visualizamos nos gráficos fica claro que o tra-
tamento de autoclave na madeira altera as características mecânicas alterando o 
módulo de elasticidade e aumentando a resistência à tração à compressão.
FONTE: BARDINI, Francine; VITO, Márcio. Comparativo das propriedades mecânicas do pinus 
cipresti entre madeira tratada e sem tratamento. UNESC 2017. Disponível em: https://bit.ly/2P-
SaTIm. Acesso em: 11 dez. 2020.
53
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
• O diagrama tensão-deformação dos materiais é obtido através de ensaios 
onde os materiais são submetidos a um carregamento que pode ser de tração 
ou compressão. Este carregamento vai gerar uma deformação no material, 
que pode ser elástica ou plástica.
• Os materiais podem responder de duas formas aos ensaios de tração e com-
pressão: comportamento dúctil ou comportamento frágil.
• Comportamento elástico e plástico dos materiais, sendo a deformação plástica 
do material, quando ocorre o descarregamento da força, o material retorna ao 
seu estado inicial. Já para a deformação elástica, o material não retorna ao pon-
to 0 da deformação, ou seja, é criada uma deformação residual e permanente.
• A respeito da densidade da deformação em cada uma das situações mencio-
nadas acima e suas respectivas equações. 
54
1 As propriedades dos materiais compósitos complexos, como o concreto, 
não precisam ser iguais à soma das propriedades de seus componentes. 
O gráfico, a seguir, apresenta as curvas tensão x deformação da pasta de 
cimento, do agregado e do concreto endurecido.
AUTOATIVIDADE
 DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
FONTE: ENADE (2008, p. 21)
Assinale a alternativa em que se refere à curva do material de concreto e sua 
justificativa.
a) ( ) C1 - o concreto apresenta módulo de elasticidade superior aos módulos 
de elasticidade dos seus elementos constituintes.
b) ( ) C2 - ao atingir aproximadamente 50% da tensão última, a fissuração da 
matriz argamassa se propaga, provocando uma diminuição mais acen-
tuada no módulo de elasticidade tangencial.
c) ( ) C2 - o módulo de elasticidade secante é superior aos módulos de elasti-
cidade dos seus elementos constituintes.
d) ( ) C3 - o concreto apresenta módulo de elasticidade inferior aos módulos 
de elasticidade dos seus elementos constituintes.
e) ( ) C3 - as microfissuras na zona de transição entre a matriz da argamassa e do 
agregado graúdo induzem a um aumento na relação deformação/tensão.
2 Para diferentes materiais poliméricos, é apresentado na figura a seguir o gráfi-
co de tensão-deformação. Assinale a opção em que o material apresenta o mó-
dulo de elasticidade e o nível de deformação de uma das curvas do diagrama.
55
GRÁFICO COM OS DADOS DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATERIAIS POLIMÉRICOS
FONTE: Adaptado de ENADE (2017, p. 16)
a) ( ) Curva I – Alto e grande.
b) ( ) Curva II – Baixo e grande.
c) ( ) Curva III – Baixo e pequeno.
d) ( ) Curva IV – Alto e grande.
e) ( ) Curva V – Baixo e pequeno.
3 Determine o alongamento e a tensão normal de uma haste de comprimento 
300 mm e com diâmetro de 25,4 mm, que foi submetida a uma força de tra-
ção de 35,60 kN. Considere E = 3,10 GPa.
4 Construa o diagrama tensão-deformação e determine o módulo de tena-
cidade de uma cerâmica se a tensão de ruptura