Lista Exercícios Cap 4

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11. N. Bohr, Philosophical Magazine (6), 26, 1 (1913).
12. Mohr, P. J. e B. N. Taylor, “The Fundamental Physical Constants”, Reviews of Modern Physics 80, 633-730 (April 2008). A
Equação 4-27 mostra apenas oito dos 14 algarismos significativos aceitos atualmente. A margem de erro deste valor é de apenas
uma parte em 1012!
13. Harold Clayton Urey (1893-1981), químico americano, foi um dos pioneiros no uso de traçadores radioativos em sistemas
biológicos. Recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1934 pela descoberta do deutério.
14. A razão pela qual as órbitas elípticas resolvem este problema é que, classicamente, a frequência da radiação emitida depende
da aceleração da carga. A aceleração é constante para uma órbita circular, mas varia com a distância em relação ao foco no caso
de uma órbita elíptica; assim, no caso de órbitas elípticas, a Equação 4-29 deve ser substituída por uma equação mais
complicada que concorda com a Equação 4-28, mesmo no caso de transições com Δn > 1. Classicamente, a energia de uma
partícula em uma órbita circular de raio r é a mesma que a de uma partícula em uma órbita elíptica cujo semieixo maior é r;
assim, esperamos que as únicas órbitas elípticas permitidas sejam aquelas cujo semieixo maior seja igual ao raio de uma das
órbitas circulares de Bohr.
15. Quando são observadas em espectrômetros de alta resolução, as linhas do hidrogênio que aparecem na Figura 4-2a (na
verdade, a maioria das linhas espectrais de todos os elementos) se desdobram em várias linhas muito próximas, que constituem
a chamada estrutura fina. Este assunto será discutido com detalhes no Capítulo 7.
16. Henry Gwyn-Jeffreys Moseley (1887-1915), físico inglês, considerado por alguns o mais brilhante dos discípulos de
Rutherford. Certamente teria recebido o Prêmio Nobel se não tivesse morrido em combate durante a Primeira Guerra Mundial.
Seu pai participou como naturalista da expedição do HMS Challenger, o primeiro navio dedicado à exploração dos oceanos.
17. As letras L e K foram escolhidas pelo físico inglês Charles Glover Barkla(1877-1944), responsável pela descoberta das
linhas características de raios X, que lhe valeu o Prêmio Nobel de Física de 1917. Barkla observou que havia duas séries de
linhas de raios X para cada elemento, que chamou de K e L. As mesmas letras foram usadas mais tarde para rotular as camadas
eletrônicas.*
18. O fato de que a influência do outro elétron da camada K deva resultar em b = 1, ou seja, em uma blindagem de exatamente
1e, não é óbvio. Na verdade, como vamos ver no Capítulo 7, trata-se de uma coincidência, pois a blindagem é produzida pelo
efeito combinado do outro elétron da camada K com a penetração das ondas eletrônicas dos elétrons da camada L.
19. Como nos átomos com mais de um elétron as energias dos estados estacionários dependem do número de elétrons (veja o
Capítulo 7), as energias En para um dado átomo são ligeiramente diferentes quando o átomo é monoionizado (como na produção
das linhas do espectro característico de raios X) e quando é duplamente ionizado (como no efeito Auger).
20. James Franck (1882-1964), físico alemão naturalizado americano; Gustav Ludwig Hertz (1887-1975), físico alemão. Franck
recebeu a Cruz de Ferro como soldado durante a Primeira Guerra Mundial e mais tarde trabalhou no Projeto Manhattan. Hertz
era sobrinho de Heinrich Hertz, descobridor do efeito fotelétrico. Franck e Hertz receberam o Prêmio Nobel de Física de 1925
por seus estudos do espalhamento inelástico de elétrons.
21. Neste ponto, convém observar que existe um nível de energia do átomo de Hg 4,6 eV acima do estado fundamental, isto é,
ligeiramente abaixo do nível observado por Franck e Hertz; entretanto, as transições do estado fundamental para este nível não
são observadas. Como veremos no Capítulo 7, a ausência dessas transições está de acordo com as previsões da mecânica
quântica avançada.
22. Como a razão q/m para os elétrons é muito maior que para os átomos ionizados, as dimensões de um espectrômetro
magnético para elétrons não precisam ser tão grandes quanto as de um espectrômetro magnético para íons, mesmo quando os
elétrons possuem energias da ordem de keV (veja a Equação 3-2).
Problemas 
NÍVEL I
Seção 4-1 Espectros Atômicos
4-1. Calcule o comprimento de onda e a frequência dos limites das séries de Lyman, Balmer e Paschen do átomo de hidrogênio.
4-2. O comprimento de onda de uma certa linha da série de Balmer é 379,1 nm. A que transição corresponde a linha?
4-3. Um astrônomo descobre uma nova linha de absorção com λ = 164,1 nm na região ultravioleta do espectro contínuo do Sol.
Ele atribui a linha à série de Lyman do hidrogênio. A hipótese está correta? Justifique sua resposta.
4-4. A série de linhas espectrais do hidrogênio com m = 4 é denominada série de Brackett. Calcule os comprimentos de onda
das quatro primeiras linhas da série de Brackett.
4-5. Em uma amostra que contém hidrogênio, entre outros elementos, quatro linhas espectrais são observadas no infravermelho
com comprimentos de onda de 7.460 nm, 4.654 nm, 4.103 nm e 3.741 nm. Qual dessas linhas não pertence a nenhuma das
séries do espectro do hidrogênio?
Seção 4-2 O Modelo Nuclear de Rutherford
4-6. Uma folha de ouro com 2,0 μm de espessura é usada em um experimento de Rutherford para espalhar partículas α com uma
energia de 7,0 MeV. (a) Qual é a fração das partículas incidentes cujo ângulo de espalhamento é maior que 90o? (b) Qual é a
fração cujos ângulos de espalhamento estão compreendidos entre 45o e 75o? (c) Use NA, ρ e M para calcular o raio aproximado
de um átomo de ouro. (Para o ouro, ρ = 19,3 g/cm3 e M = 197 g/mol.)
4-7. (a) Qual é a razão entre o número de partículas por unidade de área do detector com um ângulo de espalhamento de 10o e
com um ângulo de espalhamento de 1o? (b) Qual é a razão entre o número de partículas com um ângulo de espalhamento de 30o
e com um ângulo de espalhamento de 1o?
4-8. No caso de partículas α com uma energia de 7,7 MeV (como as usadas por Geiger e Marsden), qual o valor do parâ-metro
de impacto para que uma partícula α sofra uma deflexão de 2o em uma folha de ouro?
4-9. Qual é a distância de máxima aproximação rd entre um núcleo de ouro e uma partícula α de 5,0 MeV? De 7,7 MeV? De 12
Mev?
4-10. Qual é a energia necessária para que uma partícula α atinja a superfície de um núcleo de Al, cujo raio é 4 fm?
4-11. Se uma partícula sofre uma deflexão de 0,01o a cada colisão, quantas colisões são necessárias para que o valor rms da
deflexão seja 10o? (Use o resultado do problema estatístico da caminhada aleatória unidimensional, segundo o qual o valor rms
da deflexão é igual ao módulo das deflexões individuais multiplicado pela raiz quadrada do número de deflexões.) Compare o
resultado com o número de camadas atômicas em uma folha de ouro com 10−6 m de espessura, supondo que a espessura de cada
átomo é 0,1 nm = 10−10 m.
4-12. Uma folha de ouro com 2,0 μm de espessura foi usada em um experimento de Rutherford para espalhar partículas α com
uma energia de 7,0 MeV. Suponha que 1.000 partículas tenham sofrido uma deflexão maior que 25o. (a) Quantas partículas
provavelmente sofreram uma deflexão de mais de 45o? (b) Quantas sofreram deflexões entre 25o e 45o? (c) Quantas sofreram
deflexões entre 75o e 90o?
Seção 4-3 O Modelo de Bohr para o Átomo de Hidrogênio
4-13. O raio da órbita n = 1 do átomo de hidrogênio é a0 = 0,053 nm. (a) Calcule o raio da órbita n = 6. (b) Calcule o raio da
órbita n = 6 do hélio monoionizado (He+), que, como o hidrogênio, possui apenas um elétron girando em torno do núcleo.
4-14. Mostre que a Equação 4-19 para o raio da primeira órbita de Bohr e a Equação 4-20 para o valor absoluto da energia do
nível fundamental do átomo de hidrogênio podem ser escritas na forma
onde λc = h/mc é o comprimento de onda Compton do elétron e α = ke2/ħc é a constante de estrutura fina. Use essas expressões
para verificar se os valores numéricos das constantes a0 e E1 estão corretos.
4-15. Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Lyman (nf = 1) em nme indique a posição desses
comprimentos de onda em uma escala horizontal linear. Indique o limite da série (menor comprimento de onda possível) no
mesmo gráfico. Alguma dessas linhas pertence ao espectro visível?
4-16. Se o momento angular da Terra em seu movimento em torno do Sol fosse quantizado como o do átomo de hidrogênio
(Equação 4-17), qual seria o número quântico da Terra? Qual seria a energia liberada em uma transição para o nível de energia
imediatamente inferior? Essa energia (emitida possivelmente na forma de uma onda gravitacional) seria fácil de detectar? Qual
seria o raio da nova órbita? (O raio da órbita da Terra é 1,50 × 1011 m.)
4-17. Em média, um átomo de hidrogênio permanece em um estado excitado cerca de 10−8 s antes de sofrer uma transição para
um estado de menor energia. Quantas revoluções um elétron no estado n = 2 descreve em 10−8 s?
4-18. Em média, um átomo em um estado excitado sofre uma transição para um estado de menor energia em cerca de 10−8 s. Se
o elétron de um átomo de lítio duplamente ionizado (Li+2, que, como o hidrogênio, possui apenas um elétron) é colocado no
estado n = 4, quantas revoluções o elétron descreve em torno do núcleo antes de sofrer uma transição para um estado de menor
energia?
4-19. Um múon pode ser capturado por um próton para formar um átomo muônico. O múon é uma partícula igual ao elétron,
exceto pela massa, que é 105,7 MeV/c2. (a) Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo muônico. (b) Calcule o valor
absoluto da energia do estado fundamental. (c) Qual é o menor comprimento de onda da série de Lyman para este átomo?
4-20. No átomo de lítio (Z = 3), dois elétrons estão na órbita n = 1 e o terceiro na órbita n = 2. (Apenas dois elétrons podem
ocupar a órbita n = 1 por causa do princípio de exclusão, que será discutido no Capítulo 7.) O valor aproximado da energia de
interação entre os elétrons internos e o elétron externo pode ser obtido escrevendo a energia do elétron externo na forma
onde E1 = 13,6 eV, n = 2 e Z′ é a carga nuclear efetiva, que é menor do que 3 por causa do efeito de blindagem dos dois elétrons
internos. Use o valor experimental da energia de ionização do átomo de lítio, 5,39 eV, para calcular Z′.
4-21. Desenhe em escala um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio, mostrando os níveis correspondentes a
n = 1, 2, 3, 4 e ∞. Mostre no diagrama: (a) o limite da série de Lyman; (b) a linha Hβ; (c) a transição entre o estado cuja energia
de ligação (energia necessária para remover o elétron do átomo) é 1,51 eV e o estado cuja energia de excitação é 10,2 eV; (d) o
comprimento de onda limite da série de Paschen.
4-22. Um átomo de hidrogênio em repouso no laboratório emite a radiação α da série de Lyman. (a) Calcule a energia cinética
de recuo do átomo. (b) Que fração da energia de excitação do estado n = 2 é transformada em energia de recuo do átomo?
(Sugestão: Use a lei de conservação do momento.)
4-23. (a) Desenhe em escala um diagrama de níveis de energia para o íon C5+, mostrando os níveis correspondentes a n = 1, 2, 3,
4, 5 e ∞. (b) Calcule o comprimento de onda da linha espectral associada à transição de n = 3 para n = 2, a linha Hα do C5+. (c)
A que parte do espectro eletromagnético pertence esta linha?
4-24. O par elétron-pósitron que foi discutido no Capítulo 2 pode formar um sistema semelhante ao átomo de hidrogênio
chamado positrônio. Calcule (a) as energias dos três primeiros estados e (b) os comprimentos de onda das linhas α e β da série
de Lyman do positrônio. (A observação dessas linhas é considerada como uma “assinatura” da formação de positrônio.)
4-25. Com o auxílio de lasers sintonizáveis, foram produzidos átomos de Rydberg do sódio com n ≈ 100. O diâmetro atômico
resultante corresponderia no hidrogênio a n ≈ 600. (a) Qual seria o diâmetro de um átomo de hidrogênio com o elétron na órbita
n = 600? (b) Qual seria a velocidade do elétron nessa órbita? (c) Qual é a razão entre a velocidade calculada no item (b) e a
velocidade do elétron na órbita n = 1?
Seção 4-4 Espectros de Raios X
4-26. (a) Calcule o segundo e terceiro maiores comprimentos de onda da série K (o primeiro é o da linha Kα) do molibdênio. (b)
Qual é o menor comprimento de onda da série?
4-27. O comprimento de onda da linha Kα do espectro de raios X de um elemento é 0,0794 nm. Identifique o elemento.
4-28. Moseley especulou a respeito da existência de elementos de número atômico 43, 61 e 75 que (na época) ainda não tinham
sido descobertos. (a) De acordo com a Figura 4-19, qual era a previsão de Moseley para as frequências das linhas Kα desses
elementos? (b) Use a Equação 4-37 para calcular os comprimentos de onda dessas linhas.
4-29. Qual é o raio aproximado da órbita n = 1 do ouro (Z = 79)? Compare este resultado com o raio do núcleo de ouro, que é
7,1 fm, aproximadamente.
4-30. Um elétron da camada K do Fe é ejetado por um elétron de alta energia que incide no alvo de um tubo de raios X. A
lacuna resultante na camada n = 1 poderia ser completada por um elétron proveniente da camada n = 2, a camada L; entretanto,
em vez de emitir o raio X característico Kα, o átomo ejeta em elétron Auger da camada n = 2. Calcule a energia do elétron
Auger usando a teoria de Bohr.
4-31. Em um tubo de raios X, um elétron se aproxima do alvo com uma velocidade de 2,25 × 108 m/s. O elétron diminui de
velocidade ao ser defletido por um núcleo do alvo, emitindo um fóton cuja energia é 32,5 keV. Ignorando o recuo do núcleo,
mas não os efeitos relativísticos, calcule a velocidade final do elétron.
4-32. (a) Calcule a energia de um elétron na órbita n = 1 (camada K) do tungstênio, tomando Z − 1 como a carga efetiva do
núcleo. (b) O valor experimental desta energia é 69,5 keV. Suponha que a carga nuclear efetiva seja (Z − σ), em que σ é a
chamada constante de blindagem, e calcule o valor de σ a partir do resultado experimental.
4-33. Plote um gráfico de Moseley semelhante ao da Figura 4-19 para as linhas Kβ dos espectros de raios X dos elementos da
tabela abaixo (as energias são dadas em keV):
 
Al Ar Sc Fe
1,56 3,19 4,46 7,06
Ge Kr Zr Ba
10,98 14,10 17,66 36,35
Determine a inclinação da reta e compare-a com a da linha Kβ da Figura 4-19.
Seção 4-5 O Experimento de Franck-Hertz
4-34. Suponha que, em um experimento de Franck-Hertz, elétrons de energia até 13,0 eV possam ser produzidos no tubo. Se o
tubo contém hidrogênio atômico, (a) determine o menor comprimento de onda que pode ser gerado no tubo; (b) faça uma lista
de todas as linhas do hidrogênio que podem ser geradas no tubo.
4-35. Usando os dados da Figura 4-24b e uma régua, desenhe em escala um diagrama de níveis de energia na faixa de 0 eV a 60
eV para os estados vibracionais desse material. Que energia é típica das transições entre níveis vizinhos correspondentes ao
maior de cada par de picos?
4-36. A transição do primeiro estado excitado para o estado fundamental do átomo de potássio resulta na emissão de um fóton
com λ = 770 nm. Se o experimento de Franck-Hertz for executado com vapor de potássio, para que valor da tensão deverá
ocorrer a primeira queda da corrente?
4-37. Se fosse possível encher um tubo de Franck-Hertz com positrônio, qual seria a tensão entre catodo e grade necessária para
atingir a segunda queda de corrente em uma curva equivalente à da Figura 4-23? (Veja o Problema 4-24.)
4-38. Em um tubo de Franck-Hertz contendo vapor de mercúrio, os elétrons também podem sofrer colisões elásticas com os
átomos de Hg. Se a colisão for frontal, que fração da energia cinética será perdida pelo elétron, supondo que o átomo de Hg
esteja em repouso? Se a colisão não for frontal, a fração perdida será maior ou menor que no caso de uma colisão frontal?
NÍVEL II
4-39. Um átomo de hidrogênio de Rydberg está no estado excitado n = 45. (a) Qual é a diferença de energia (em eV) entre este
estado e o estado n = 46? (b) Qual é a energia de ionização do átomo no estado n = 45? (c) Quais são a frequência e o
comprimento de onda do fóton emitido em uma transição do estado n = 46 para o estadon = 45? (d) Qual é o raio do átomo no
estado n = 45? Quantas vezes maior que o raio de Bohr é esse raio?
4-40. Três isótopos do hidrogênio são encontrados na natureza: hidrogênio comum, deutério e trítio. Os núcleos desses isótopos
contêm, respectivamente, um próton, um próton e um nêutron e um próton e dois nêutrons. As massas dos três núcleos
aparecem na Tabela 11-1. (a) Use a Equação 4-26 para determinar as constantes de Rydberg do deutério e do trítio. (b) Calcule
a diferença entre os comprimentos de onda das linhas α de Balmer do hidrogênio e do trítio.
4-41. Demonstre a Equação 4-8 usando a sugestão que se segue à Equação 4-7.
4-42. Geiger e Marsden usaram partículas α com uma energia cinética de 7,7 MeV e descobriram que, quando essas partículas
eram espalhadas por uma folha de ouro, o número de partículas espalhadas estava de acordo com a fórmula de Rutherford para
todos os ângulos de espalhamento. Use esse fato para calcular um limite superior para o raio do núcleo de ouro.
4-43. (a) A corrente i associada a uma carga q que se move em círculos com uma frequência frev é qfrev. Determine a corrente
associada a um elétron que se encontra na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio. (b) O momento magnético de uma
espira percorrida por corrente é iA, em que A é a área da espira. Calcule o momento magnético do elétron na primeira órbita de
Bohr do átomo de hidrogênio em unidades de A · m2. Este momento magnético é conhecido como magnéton de Bohr.
4-44. Use uma planilha eletrônica para calcular o comprimento de onda (em nm) das cinco primeiras linhas espectrais das séries
de Lyman, Balmer, Paschen e Brackett do hidrogênio. Mostre a posição dessas linhas em uma escala linear e indique quais
estão na região do espectro que corresponde à luz visível.
4-45. Mostre que uma pequena variação da massa reduzida do elétron produz uma pequena variação do comprimento de onda
das linhas espectrais, dada por Δλ/λ = Δμ/μ. Use este resultado para calcular a diferença Δλ entre o comprimento de onda da
linha vermelha da série de Balmer do hidrogênio, λ = 656,3 nm, e o comprimento de onda da linha correspondente no espectro
do deutério, cujo núcleo possui uma massa duas vezes maior.
4.46. Considere o experimento de Frank-Hertz com vapor de mercúrio no tubo e a tensão entre o catodo e a grade igual a 4,0 V,
ou seja, um valor insuficiente para que os elétrons causem uma transição dos átomos de Hg para o primeiro estado excitado.
Isso significa que todas as colisões entre os elétrons e os átomos de Hg são elásticas. (a) Se a energia cinética dos elétrons é Ek,
mostre que a energia cinética máxima que um átomo de Hg pode adquirir em uma colisão é, aproximadamente, 4mEk/M, em que
M é a massa do átomo de Hg. (b) Qual é a energia cinética máxima que um elétron com Ek = 2,5 eV pode perder em uma
colisão?
4-47. O íon de Li2+ é igual ao átomo de hidrogênio na teoria de Bohr, exceto pelo fato de que a carga e a massa do núcleo são
diferentes. (a) Que transições do Li2+ dão origem a linhas de emissão com comprimentos de onda quase iguais às primeiras duas
linhas da série de Lyman no hidrogênio? (b) Calcule a diferença entre o comprimento de onda da linha α da série de Lyman do
2+
hidrogênio e a linha de emissão do Li que tem um comprimento de onda quase igual.
4-48. Em um experimento de espalhamento de partículas α, a área do detector é 0,50 cm2. O detector está localizado a 10 cm de
uma folha de prata com 1,0 μm de espessura. A corrente do feixe incidente é 1,0 nA e a energia das partículas α é 6,0 MeV.
Quantas partículas α são contadas por segundo pelo detector (a) em θ = 60o? (b) em θ = 120o?
4-49. As linhas de raios X Kα, Lα e Mα são emitidas nas transições n = 2 → n = 1, n = 3 → n = 2 e n = 4 → n = 3,
respectivamente. No caso do cálcio (Z = 20), as energias dessas transições são 3,69 keV, 0,341 keV e 0,024 keV,
respectivamente. Suponha que fótons de alta energia incidam na superfície de uma amostra de cálcio, causando a ejeção de
elétrons da camada K dos átomos da superfície. Calcule as energias dos elétrons Auger que podem ser emitidos das camadas L,
M e N (n = 2, 3 e 4) dos átomos da amostra, além dos raios X característicos.
4-50. A Figura 3-15b mostra as linhas Kα e Kβ emitidas por um alvo de molibdênio (Mo) em um tubo de raios X com um
potencial acelerador de 35 kV. Os comprimentos de onda são Kα = 0,071 nm e Kβ = 0,063 nm. (a) Calcule as energias dos
fótons correspondentes. (b) Suponha que haja necessidade de preparar um feixe constituído principalmente por fótons da linha
Kα. Uma das formas de conseguir isso é fazer passar os raios X emitidos pelo molibdênio por um material que absorva os fótons
da linha Kβ, através do efeito fotelétrico, com maior probabilidade que os fótons da linha Kα. A tabela abaixo mostra alguns
elementos e as respectivas energias de ligação dos elétrons da camada K. Qual dos materiais o leitor escolheria? Justifique sua
resposta.
Elemento Zr Nb Mo Tc Ru
Z 40 41 42 43 44
Ek(keV) 18,00 18,99 20,00 21,04 22,12
NÍVEL III
4-51. Uma pequena esfera se choca com uma esfera estacionária de raio R. No ponto de impacto, a trajetória da esfera menor
faz um ângulo β com a normal à esfera maior (Figura 4-25). Supondo que a esfera menor ricocheteia como um ângulo igual ao
de incidência, o ângulo de espalhamento é dado por θ = 180o − 2β, como se pode ver na figura. Desprezando o raio da esfera
menor, (a) mostre, pela geometria da figura, que o parâmetro de impacto é dado por b = R cos(θ/2); (b) se a intensidade do feixe
incidente é I0 esferas por unidade de tempo e por unidade de área, determine o número de esferas para as quais o ângulo de
espalhamento é maior do que θ; (c) mostre que a seção de choque para ângulos de espalhamento maiores que 0o é πR2; (d)
discuta as implicações do fato de que a seção de choque de Rutherford para ângulos de espalhamento maiores que 0o é infinita.
FIGURA 4-25 Choque entre uma esfera pequena e uma esfera de raio R.
4-52. O átomo de hélio monoionizado, He+, se parece muito com o átomo de hidrogênio. (a) Desenhe em escala um diagrama
de níveis de energia para o átomo de He2+, semelhante ao que aparece na Figura 4-16, mostrando os níveis correspondentes a n
= 1, 2, 3, 4, 5 e ∞. (b) Qual é a energia de ionização do He+? (c) Calcule a diferença entre os comprimentos de onda das
primeiras duas linhas da série de Lyman do hidrogênio e os comprimentos de onda das primeiras duas linhas da série de Balmer
do He+. Nos dois casos, não se esqueça de incluir a correção da massa reduzida. (d) Mostre que, para cada linha espectral do
hidrogênio, existe uma linha espectral do He+ com um comprimento de onda quase igual. (A massa do He+ é 6,65 × 10−27 kg.)
4-53. A tabela a seguir mostra os comprimentos de onda das linhas Lα para vários elementos. Desenhe um gráfico de Moseley a
partir desses dados e compare a inclinação do gráfico com a do gráfico correspondente na Figura 4-19. Determine e interprete o
ponto em que o gráfico intercepta o eixo vertical, usando uma equação análoga à Equação 4-35.
Elemento P Ca Co Kr Mo I
Z 15 20 27 36 42 53
Comprimento
de onda (nm)
10,45 4,05 1,79 0,73 0,51 0,33
4-54. Neste problema, o leitor vai determinar os níveis de energia do átomo de hidrogênio sem usar a condição de quantização
expressa pela Equação 4-17. Para relacionar a Equação 4-14 à fórmula de Balmer-Ritz, suponha que os raios das órbitas
permitidas são dados por rn = n2r0, onde n é um número inteiro e r0 uma constante a ser determinada. (a) Mostre que a
frequência da radiação associada a uma transição de um estado com ni = n para um estado com nf = n − 1 é dada por f ≈
kZe2/hr0n3 para n >> 1. (b) Mostre que a frequência de revolução é dada por
(c) Use o princípio de correspondência para determinar r0 e compare o resultado com o da Equação 4-19.
4-55. Calcule as energias e velocidades dos elétrons nas órbitas circulares de Bohr de um átomo de um elétron usando
expressões relativísticas para a energia cinética e o momento.
4-56. (a) Escreva um programa de computador paracalcular as linhas das séries espectrais dos átomos de um elétron. Os dados
de entrada devem ser o número quântico do estado final nf, o número atômico Z e a massa nuclear M; os dados de saída, os
comprimentos de onda e frequências das seis primeiras linhas e do limite da série. Leve em conta a correção da massa reduzida.
(b) Use o programa para calcular os comprimentos de onda e frequências das linhas da série de Balmer do hidrogênio. (c)
Escolha um valor de nf > 100, batize a série com o seu nome e use o programa para calcular os comprimentos e frequências das
seis primeiras linhas e do limite da série.
4-57. A Figura 4-26 mostra o espectro de perda de energia do He, medido em um sistema semelhante ao que aparece na Figura
4-24a. Use os dados da figura para desenhar, em escala, o diagrama de níveis de energia do He.
4-58. Suponha que não existissem cargas elétricas e a força de atração entre o elétron e o próton no átomo de hidrogênio fosse
apenas a força gravitacional. Calcule os valores de a0 e En para esse caso e determine a frequência e a energia da linha Hα e do
limite da série de Balmer. Compare os valores obtidos com os valores correspondentes no hidrogênio “de verdade”.
FIGURA 4-26 Espectro de perda de energia do hélio. A energia dos elétrons incidentes é 34 eV. O pico em 0 eV se deve aos elétrons que
sofreram espalhamento elástico.
4-59. Em um recipiente com hidrogênio, todos os átomos estão no estado n = 5. Se todos os átomos voltarem ao estado
fundamental, quantos fótons diferentes serão emitidos, supondo que todas as transições possíveis ocorram? Se existem 500
átomos na amostra e supondo que todas as transições para estados de menor energia são igualmente prováveis, qual é o número
total de fótons emitidos até que todos os átomos voltem ao estado fundamental?
4-60. (a) Desenhe em escala um diagrama de níveis de energia para os átomos muônicos (veja o Problema 4-19), mostrando os
níveis correspondentes a n = 1, 2, 3, 4, 5 e ∞. (b) Calcule os raios das órbitas de múons n = 1 nos átomos muônicos H, He1+,
12+ 78+
Al e Au . (c) Compare os resultados do item (b) com os raios das órbitas de elétrons n = 1 em torno dos mesmos núcleos.
(d) Calcule os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições de n = 2 para n = 1 em todos esses átomos muônicos.