Lista Exercícios Cap 5

Prévia do material em texto

pesquisa que não foi realizada em uma instituição de ensino. Lester Halbert Germer era um dos assistentes de Davisson no Bell
Telephone Laboratories.
6. As ondas de matéria, como qualquer onda, mudam de direção ao passarem de um meio (no caso, o cristal de Ni) para outro (o
vácuo). Este efeito, que depende da razão entre os índices de refração dos dois meios, pode ser calculado com o auxílio da lei de
Snell. No caso de incidência normal, a Equação 5-5 não é afetada; para outros ângulos de incidência, é necessária uma pequena
correção, que não foi levada em conta nem na Figura 5-6 nem na Figura 5-7.
7. Nobel Prize Lectures: Physics (Amsterdam e New York: Elsevier, 1964).
8. Os físicos usam duas definições diferentes para o número de onda. Para os físicos experimentais, o número de onda é dado
por k = 1/λ; para os físicos teóricos, o número de onda é dado por k = 2π/λ. Neste livro, adotamos a segunda definição.
9. Por convenção, a largura é definida como a distância entre os pontos em que a amplitude da envoltória é igual à metade da
amplitude máxima.
10. Esta interpretação de |Ψ|2 foi proposta pela primeira vez pelo físico alemão Max Born (1882-1970), que sucedeu a Planck
como professor da Universidade de Berlim. Born recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1954, em parte pela interpretação de |Ψ|2.
11. Werner Karl Heisenberg (1901-1976), físico alemão. Depois de receber o título de Ph.D. sob a orientação de Sommerfeld,
trabalhou como assistente de Born e de Bohr. Foi diretor do projeto de pesquisa nuclear da Alemanha durante a Segunda Guerra
Mundial. Recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1932 pela criação da mecânica quântica.
12. O poder de resolução dos microscópios é discutido com detalhes em Jenkins, F. A. e H. E. White, Fundamentals of Optics,
4th ed. (New York: McGraw-Hill, 1976), pp. 332-334. A expressão de Δx usada no texto é determinada pelo critério de
Rayleigh, segundo o qual o limite de resolução de dois pontos corresponde ao caso em que o máximo central da figura de
difração produzida por um dos pontos coincide com o primeiro mínimo da figura de difração produzida pelo outro ponto.
13. Richard Phillips Feynman (1918-1988), físico americano. Esta discussão foi inspirada no livro Lectures on Physics
(Reading, MA: Addison-Wesley, 1965). Feynman compartilhou o Prêmio Nobel de Física de 1965 com S. Tomonaga e J.
Schwinger pela criação da eletrodinâmica quântica. Foi Feynman que, como membro da comissão encarregada de investigar a
explosão do ônibus espacial Challenger, descobriu que o defeito estava nos anéis de retenção dos foguetes auxiliares. Um dos
expoentes da física americana, Feynman foi também um exímio tocador de bongô e arrombador de cofres.
Problemas 
NÍVEL I
Seção 5-1 A Hipótese de de Broglie
5-1. (a) Qual é o comprimento de onda de um corpo de 1 g que se move com uma velocidade de 1 m por ano? (b) Qual deveria
ser a velocidade do corpo para que o comprimento de onda fosse igual a 1 cm?
5-2. Se a energia cinética de uma partícula é muito maior do que a energia de repouso, podemos usar a aproximação relativística
E ≈ pc. Use essa aproximação para calcular o comprimento de onda de um elétron com uma energia de 100 MeV.
5-3. Os elétrons de um microscópio eletrônico são acelerados por uma diferença de potencial V0 que faz com que o
comprimento de onda seja 0,04 nm. Qual é o valor de V0?
5-4. Calcule o comprimento de onda de uma partícula com uma energia cinética de 4,5 keV supondo que se trata (a) de um
elétron; (b) de um próton; (c) de uma partícula alfa.
5-5. De acordo com a mecânica estatística, a energia cinética média de uma partícula a uma temperatura T é 3kT/2, onde k é a
constante de Boltzmann. Qual é o comprimento de onda das moléculas de nitrogênio à temperatura ambiente?
5-6. Determine o comprimento de onda de um nêutron com uma energia cinética de 0,02 eV (o valor aproximado de kT à
temperatura ambiente).
5-7. Um próton se move livremente entre duas paredes rígidas separadas por uma distância L = 0,01 nm. (a) Se o próton é
representado por uma onda estacionária unidimensional, com um nó em cada parede, mostre que os valores permitidos do
comprimento de onda são dados por λ = 2L/n, em que n é um número inteiro positivo. (b) Encontre uma expressão geral para a
energia cinética do próton e determine os valores dessa energia para n = 1 e n = 2.
5-8. Qual deve ser a energia cinética de um elétron para que a razão entre o comprimento de onda de de Broglie e o
comprimento de onda de Compton seja (a) 102; (b) 0,2; (c) 10−3?
5-9. Calcule o comprimento de onda de um próton proveniente do espaço sideral cuja energia é (a) 2 GeV; (b) 200 GeV.
Seção 5-2 Medida do Comprimento de Onda das Ondas de Matéria
5-10. Qual é o ângulo de Bragg φ para elétrons difratados por um cristal de níquel se a energia dos elétrons é (a) 75 V; (b) 100
eV?
5-11. Calcule a energia cinética de um próton cujo comprimento de onda de de Broglie é 0,25 nm. Se um feixe de prótons com
esse comprimento de onda é difratado por um cristal de calcita com uma distância interplanar de 0,304 nm, qual é o ângulo
correspondente ao máximo de difração de Bragg de primeira ordem?
5-12. (a) O ângulo de difração de elétrons de 50 eV em um cristal de MgO é 55,6°. Qual é a distância interatômica D? (b) Qual
é o ângulo de difração para elétrons de 100 eV?
5-13. Um cristal tem uma família de planos cujo espaçamento é 0,30 nm. Um feixe de nêutrons incide normalmente no cristal e
o primeiro máximo de difração é observado em ϕ = 42°. Determine o comprimento de onda e a energia cinética dos nêutrons.
5-14. Mostre que no experimento de Davisson e Germer com elétrons de 54 eV, usando planos com D = 0,215 nm, não é
possível observar picos de difração correspondentes a n ≥ 2.
5-15. Um feixe de elétrons com uma energia cinética de 350 eV incide normalmente à superfície de um cristal de KCl que foi
cortado de tal forma que o espaçamento D entre átomos vizinhos nos planos paralelos à superfície é 0,315 nm. Calcule o ângulo
φ para o qual são observados picos de difração de todas as ordens possíveis.
Seção 5-3 Pacotes de Ondas
5-16. Informações são transmitidas através de um cabo, na forma de pulsos elétricos, a uma taxa de 100.000 pulsos/s. (a) Qual a
maior duração que os pulsos podem ter sem que haja superposição? (b) Para essa duração, qual deve ser a banda passante
mínima do receptor?
5-17. Duas ondas harmônicas se propagam simultaneamente em um fio comprido. As ondas podem ser descritas pelas funções
y1 = 0,002 cos(8,0x − 400t) e y2 = 0,002 cos(7,6x − 380t), onde y e x estão em metros e t em segundos. (a) Escreva a função de
onda da onda resultante na forma da Equação 5-15. (b) Qual é a velocidade de fase da onda resultante? (c) Qual é a velocidade
de grupo? (d) Calcule a distância Δx entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas e determine essa distância em função de Δk.
5-18. (a) Demonstre, a partir da Equação 5-16, que a velocidade de grupo também pode ser expressa na forma
vg = vp − λ(dvp/dλ)
(b) A velocidade de fase da luz no vidro comum varia com o comprimento de onda, ou seja, o vidro é um meio dispersivo. Qual
é a forma geral da variação de v com λ no vidro? O valor de dv/dλ é positivo ou negativo?
5-19. Um aparelho de radar usado para medir a velocidade de bolas de tênis emite pulsos com um comprimento de onda de 2,0
cm e uma duração de 0,25 μs. (a) Qual é a duração do pacote de ondas produzido? (b) Para que frequência o receptor deve ser
sintonizado? (c) Qual deve ser a banda passante mínima do receptor?
5-20. A frequência natural de um certo diapasão é 880 Hz. Se o diapasão é golpeado com um pequeno martelo e um quarto de
segundo mais tarde é envolvido com uma flanela, qual é, aproximadamente, a faixa de frequências contida no pulso sonoro
emitido pelo diapasão?
5-21. Se uma linha telefônica pode transmitir uma faixa de frequências Δf = 5.000 Hz, qual é a duração aproximada do pulso
mais curto que a linha é capaz de transmitir?
5-22. (a) Você é encarregado de montar um experimento de duas fendas usando elétrons de 5 eV.Se você deseja que o primeiro
mínimo da figura de difração seja observado para um ângulo de 5°, qual deve ser a distância entre as fendas? (b) A que
distância das fendas deve estar o plano do detector para que a distância entre os primeiros mínimos de um lado e do outro do
máximo central seja 1 cm?
Seção 5-4 Interpretação Probabilística da Função de Onda
5-23. Uma esfera rígida tem 100 g de massa, 1 cm de raio, uma energia cinética de 2 J, não está sujeita a nenhuma força e está
confinada a uma região entre duas paredes rígidas separadas por uma distância de 50 cm. (a) Qual é a probabilidade de que, em
um determinado instante, o centro da esfera esteja exatamente a meio caminho entre as duas paredes? (b) Qual é a probabilidade
de que o centro da esfera esteja entre as marcas de 24,9 e 25,1 cm?
5-24. A função de onda de uma partícula que se move em uma dimensão entre duas paredes separadas por uma distância L é
Ψ(x) = A sen(πx/L). Supondo que a partícula não pode deixar a região entre as paredes, qual é o valor de A?
5-25. A função de onda que descreve o estado de um elétron confinado ao eixo x é dada, no instante t = 0, por
Ψ(x,0) = Ae−x
2/4σ2
Determine a probabilidade de que o elétron seja encontrado em uma região dx com centro em (a) x = 0; (b) x = σ; (c) x = 2σ. (d)
Qual é a posição mais provável do elétron?
Seção 5-5 O Princípio de Indeterminação
5-26. Um diapasão de frequência f0 vibra durante um intervalo de tempo Δt, produzindo uma forma de onda como a da Figura
5-23. Esta função de onda é semelhante a uma onda harmônica, exceto pelo fato de que está limitada a um intervalo de tempo
Δt e a uma distância Δx = vΔt, em que v é a velocidade de fase. Seja N o número aproximado de ciclos da oscilação. Podemos
determinar a frequência contando o número de ciclos e dividindo o resultado por Δt. (a) A contagem do número de ciclos
envolve uma indeterminação de ± 1 ciclo. Explique por quê (veja a figura). Qual é a indeterminação resultante no cálculo da
frequência f? (b) Escreva uma expressão para o número de onda k em função de Δx e N. Mostre que a indeterminação de N (±1)
leva a uma indeterminação Δk = 2π/Δx no valor de k.
FIGURA 5-23 Problema 5-26.
5-27. Se um estado excitado de um átomo tem um tempo de vida de 10−7 s, qual é a indeterminação da energia dos fótons
emitidos por esse átomo em uma transição espontânea para o estado fundamental?
5-28. A observação de uma joaninha de 5 mm de diâmetro e 1,0 mg de massa, usando uma lente de baixa ampliação, revela que
o inseto está parado, com uma indeterminação de 10−2 mm. Com que velocidade a joaninha pode estar se movendo?
5-29. O 222Rn decai por emissão de uma partícula α com um tempo de vida de 3,823 dias. A energia cinética da partícula α é
5,490 MeV. Qual é a indeterminação da energia cinética? Explique em uma frase de que forma o tempo de vida finito do estado
excitado do núcleo de radônio afeta a indeterminação de energia da partícula α emitida.
5-30. Se a indeterminação da posição é igual ao comprimento de onda de uma partícula, qual é a relação entre a indeterminação
e o valor do momento da partícula?
5-31. Em uma das histórias do personagem de G. Gamow chamado Mr. Tompkins, o herói visita uma “selva quântica” na qual h
tem um valor muito grande. Suponha que você se encontre em um local onde h = 50 J · s. Um leopardo passa correndo, a
poucos metros de distância. O animal tem 2 m, do focinho até a ponta da cauda, uma massa de 30 kg e está se movendo com
uma velocidade de 40 m/s. Qual é a indeterminação na posição do “ponto médio” do leopardo? Descreva em uma frase qual
seria o aspecto do leopardo nessas circunstâncias.
5-32. Para determinar a posição de uma partícula (um elétron, por exemplo) usando ondas eletromagnéticas (ou seja,
“iluminando” a partícula), o comprimento de onda da radiação usada deve ser no máximo da mesma ordem que a precisão
desejada. Calcule o momento e a energia de um fóton com um comprimento de onda λ = 5 × 10−12 m. Se a posição de um
elétron é determinada com uma precisão Δx = 5 × 10−12 m, qual é a indeterminação do momento do elétron?
5-33. O decaimento de átomos e núcleos a partir de estados excitados muitas vezes deixa o sistema em outro estado excitado de
menor energia. (a) Um exemplo é o decaimento do núcleo de 48Ti. O estado excitado superior tem um tempo de vida de 1,4 ps;
o estado excitado inferior, um tempo de vida de 3,0 ps. Qual é a indeterminação relativa ΔE/E da energia dos raios gama de
1,3117 MeV que são emitidos na transição do estado superior para o inferior? (b) Outro exemplo é a linha Hα da série de
Balmer do hidrogênio. Nesse caso, o tempo de vida dos dois estados é praticamente o mesmo, 10−8 s. Qual é a indeterminação
da energia dos fótons responsáveis pela linha Hα?
5-34. Usando lasers, é possível produzir pulsos luminosos com alguns femtossegundos de duração. Esses pulsos são tão curtos
que não é possível associar uma cor específica ao pulso. Para verificar que isso é verdade, calcule a duração de um pulso de
laser cujo intervalo de frequências cobre toda a faixa do espectro visível (de 4,0 × 1014 Hz a 7,5 × 1014 Hz).
Seção 5-6 Algumas Consequências do Princípio de Indeterminação
5-35. Que tamanho deve ter um corpo para exibir efeitos de difração ao ser bombardeado com nêutrons de 10 MeV? Existe algo
na natureza com dimensões dessa ordem de grandeza, que possa ser usado como alvo para demonstrar as propriedades
ondulatórias de nêutrons de 10 MeV?
5-36. No interior dos núcleos, a força atrativa entre os prótons e nêutrons se manifesta através da troca de píons (veja o Capítulo
11). Para que isso aconteça sem que a lei de conservação da energia seja violada, o píon deve ser reabsorvido dentro de um
intervalo de tempo compatível com o princípio de indeterminação de Heisenberg. Considere a reação de emissão p → p + π, na
qual mπ = 135 MeV/c2. (a) Ignorando a energia cinética, de quanto é a violação da conservação de energia nesta reação? Dentro
de que intervalo de tempo o píon deve ser reabsorvido para que a lei de conservação da energia não seja violada?
5-37. Mostre que a relação ΔpsΔs > ħ pode ser escrita na forma ΔLΔφ > ħ para uma partícula que esteja se movendo em círculos
em torno do eixo dos z, onde ps é o momento linear tangencial ao círculo, s é o comprimento de um arco de círculo, L é o
momento angular e φ é o ângulo subtendido pelo arco de círculo. Com que precisão é possível especificar a posição angular do
elétron no átomo de Bohr?
5-38. Um estado excitado de um certo núcleo tem uma meia-vida de 0,85 ns. Considerando que este tempo é a indeterminação
Δt para a emissão de um fóton, use a Equação 5-25 para calcular a indeterminação da frequência, Δf, e calcule Δf/f para λ = 0,01
nm.
5-39. Os tempos de vida das partículas conhecidas como ressonâncias não podem ser medidos diretamente, mas são calculados
a partir da largura (ou indeterminação) da curva da seção reta de espalhamento em função da energia (veja o Capítulo 12).
Assim, por exemplo, o espalhamento de um píon por um próton pode dar origem, através da reação π + p → Δ, a uma
ressonância Δ com uma massa de 1.685 MeV/c2 e uma largura de 250 Mev, como mostra a Figura 5-24. Calcule o tempo de
vida da ressonância Δ.
FIGURA 5-24 Problema 5-39.
Seção 5-7 O Dualismo Onda-Partícula
5-40. Uma partícula com uma massa de 4 g, que se move a uma velocidade constante de 100 m/s, atravessa um orifício. Qual
deve ser, no máximo, a largura do orifício para que os efeitos de difração da onda de matéria associada à partícula sejam
observados? Explique por que um objeto comum não poderia passar pelo orifício.
5-41. Dado que um objeto menor que o comprimento da onda da radiação que o ilumina não pode ser “visto”, qual deve ser, no
mínimo, a energia cinética dos elétrons de um microscópio eletrônico para que um átomo com um diâmetro de 0,1 nm, o
tamanho aproximado de um átomo de silício, possa ser observado?
NÍVEL II
5-42. No interior de um núcleo atômico, os prótons e nêutrons estão confinados em uma região com aproximadamente 10−15 m
de diâmetro.(a) Qual é a velocidade mínima de um próton ou nêutron nessas condições? (b) Qual é a energia cinética mínima
de um próton ou nêutron nessas condições? (c) Qual seria a energia cinética mínima de um elétron nessas condições?
5-43. Usando a expressão relativística E2 = p2c2 + m2c4, (a) mostre que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é
maior que c; (b) mostre que a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.
5-44. Mostre que, se y1 e y2 são soluções da Equação 5-11, a função y3 = C1y1 + C2y2 também é uma solução, quaisquer que
sejam os valores das constantes C1 e C2.
5-45. O apito da polícia de Londres tem uma frequência de 2.500 Hz. Se um guarda sopra o apito durante 3,0 s, (a) qual é a
incerteza da frequência? (b) Qual é a largura do pacote de ondas produzido? (c) Qual é a incerteza do comprimento de onda do
som? (d) Qual é o comprimento de onda do som?
5-46. Uma partícula de massa m está se movendo no interior de uma caixa unidimensional de comprimento L. (Suponha que a
energia potencial da partícula no interior da caixa é nula e, portanto, a energia total é igual à energia cinética, p2/2m.) A energia
da partícula é quantizada pela condição de onda estacionária nλ/2 = L, na qual λ é o comprimento de onda da partícula e n é um
número inteiro. (a) Mostre que as energias permitidas são dadas por En = n2E1, na qual E1 = h2/8mL2. (b) Determine En para um
elétron no interior de uma caixa com 0,1 nm de comprimento e faça um diagrama de níveis de energia para os estados de n = 1 a
n = 5. Use o segundo postulado de Bohr, f = ΔE/h, para calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida
quando o elétron sofre uma transição (c) do estado n = 2 para o estado n = 1; (d) do estado n = 3 para o estado n = 2; (e) do
estado n = 5 para o estado n = 1.
5-47. (a) Use os resultados do Problema 5-46 para determinar a energia do estado fundamental (n = 1) e dos dois primeiros
estados excitados de um próton em uma caixa unidimensional de comprimento L = 10−15 m = 1 fm. (Essas energias são da
mesma ordem de grandeza que as energias nucleares.) Calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida
quando o próton sofre uma transição (b) do estado n = 2 para o estado n = 1; (c) do estado n = 3 para o estado n = 2; (d) do
estado n = 3 para o estado n = 1.
5-48. (a) Uma partícula de massa m é confinada ao espaço unidimensional entre duas barreiras infinitas situadas a uma distância
A uma da outra. Usando o princípio de indeterminação, obtenha uma expressão para a energia de ponto zero (energia mínima)
da partícula. (b) Use o resultado do item (a) para calcular a energia mínima de um elétron confinado ao espaço entre duas
barreiras infinitas para A = 10−10 m e A = 1 cm. (c) Calcule a energia mínima de uma esfera de 100 mg que pode se mover
apenas entre dois pontos situados a 2 cm de distância um do outro.
5-49. Um próton e uma bala de revólver de 10 g se movem a uma velocidade de 500 m/s, medida com uma precisão de 0,01%.
Se as posições dos dois objetos são medidas ao mesmo tempo que as respectivas velocidades, qual é a maior precisão possível
das medidas de posição?
NÍVEL III
5-50. Mostre que a Equação 5-11 é satisfeita pela função y = f(φ), na qual φ = x − vt, qualquer que seja a função f.
5-51. Um elétron e um pósitron se movem um em direção ao outro com a mesma velocidade escalar, 3 × 106 m/s. As duas
partículas se aniquilam mutuamente e produzem dois fótons de mesma energia. (a) Quais eram os comprimentos de onda do
elétron e do pósitron? Determine (b) a energia; (c) o momento; (d) o comprimento de onda dos fótons.
5-52. Algumas partículas elementares podem “violar” a lei de conservação da energia criando outra partícula e tornando a
absorvê-la logo em seguida. Assim, por exemplo, um próton pode emitir um píon positivo através da reação p → n + π+, na qual
n representa um nêutron. O píon tem uma massa de 140 MeV/c2. A reabsorção deve ocorrer dentro de um intervalo de tempo Δt
que seja compatível com o princípio de indeterminação. (a) Determine, no exemplo acima, o excesso ΔE pelo qual a lei de
conservação da energia foi violada (ignore a energia cinética). (b) Por quanto tempo Δt o píon pode existir? (c) Supondo que o
píon esteja se movendo com uma velocidade praticamente igual à da luz, a que distância do núcleo consegue chegar no
intervalo de tempo Δt? (Como veremos no Capítulo 11, este é o alcance aproximado da interação nuclear forte.) (d) Supondo
que no momento em que um píon é reabsorvido outro píon é emitido, quantos píons seriam registrados por uma “câmara de
núcleons” durante 1 μs?
5-53. Inicialmente, de Broglie aplicou a Equação 5-2 aos fótons, imaginando que tivessem uma massa pequena mas diferente de
zero. Ele supôs que as ondas de radiofrequência, com λ = 30 m, viajavam com uma velocidade igual a pelo menos 99% da
velocidade da luz visível, para a qual λ = 500 nm. Partindo da expressão relativística hf = γmc2, na qual γ = (1 − v2/c2)−1/2,
verifique a conclusão do cientista de que o limite superior para a massa de repouso do fóton é 10−44 g. (Sugestão: Encontre uma
expressão para v/c em função de hf e mc2 e suponha que mc2 << hf.)
5-54. Suponha que você deixe cair várias bolinhas de chumbo em um alvo desenhado no chão. De acordo com o princípio de
indeterminação, mesmo que o ponto médio de lançamento esteja situado diretamente acima da mosca, as bolinhas não caem
necessariamente na mosca, pois o resultado do experimento depende da indeterminação das condições iniciais. (a) Se existe
uma indeterminação Δx na posição horizontal da bolinha e uma indeterminação Δvx na componente horizontal da velocidade da
bolinha, escreva uma expressão para a dispersão mínima ΔX dos pontos de impacto em relação ao centro do alvo, supondo que
a distância vertical entre o ponto de lançamento e o alvo é y0. (b) Modifique o resultado do item (a) para incluir o efeito sobre
ΔX das indeterminações Δy e Δvy no ponto de lançamento.
5-55. Usando a aproximação de primeira ordem para o efeito Doppler, f′ = f0(1 + v/c), calcule a variação de energia de um fóton
de 1 eV emitido por um átomo de ferro que está se aproximando do observador com uma energia 3kT/2 a uma temperatura T =
300 K. Compare este alargamento Doppler com a largura de linha natural calculada no Exemplo 5-8. Repita o cálculo para um
fóton de 1 MeV emitido em uma transição nuclear.
5-56. Calcule a ordem de grandeza da variação de energia de um fóton associada ao recuo de um núcleo de ferro se a energia do
fóton for (a) 1 eV; (b) 1 MeV. Para isso, calcule primeiro o momento do fóton e depois o valor de p2/2m para o núcleo usando o
valor calculado para o momento do fóton. Compare os resultados com a largura de linha natural calculada no Exemplo 5-8.