Aula 11 e 12 - Trocas

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Teoria Microeconômica I
2020.1
Prof.: Marcelo Colomer
Trocas: Uma Introdução do Conceito de 
Equilíbrio Geral
O Objetivo é analisar como o mercado de um
determinado bem é afetado pelo mercado de
outros bens. Isso é, como o preço de bens
substitutos e complementares afeta a
demanda de um bem específico.
No modelo de troca pura, iremos considerar a
dotação dos indivíduos como dada.
Caixa de Edgeworth
Indivíduo A:
(𝒘𝑨
𝟏 , 𝒘𝑨
𝟐) = 𝑾𝑨 𝑫𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
(𝒙𝑨
𝟏 , 𝒙𝑨
𝟐) = 𝑿𝑨 𝑪𝒆𝒔𝒕𝒂 𝑬𝒔𝒄𝒐𝒍𝒉𝒊𝒅𝒂)
Indivíduo B:
(𝒘𝑩
𝟏 , 𝒘𝑩
𝟐 ) = 𝑾𝑨 𝑫𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
(𝒙𝑩
𝟏 , 𝒙𝑩
𝟐 ) = 𝑿𝑩 𝑪𝒆𝒔𝒕𝒂 𝑬𝒔𝒄𝒐𝒍𝒉𝒊𝒅𝒂)
Caixa de Edgeworth
Alocação Factível
(𝒙𝑨
𝟏 + 𝒙𝑩
𝟏 ) = (𝒘𝑨
𝟏 +𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑨
𝟐 + 𝒙𝑩
𝟐 ) = (𝒘𝑨
𝟐 +𝒘𝑩
𝟐 )
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏 , 𝒘𝑨
𝟐)
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Indivíduo A:
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 , 𝒘𝑩
𝟐 )
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
Indivíduo B:
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏
,𝒘𝑩
𝟐
)
(𝒘𝑩
𝟏
)
(𝒘𝑩
𝟐
)
Indivíduo B:
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
M
W
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
M
W
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐)
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
M
W
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐)
Trocas Trocas
(𝒙𝑨
𝟏 −𝒘𝑨
𝟏) > 𝟎
(𝒙𝑨
𝟐 −𝒘𝑨
𝟐) < 𝟎
𝒙𝑩
𝟏 −𝒘𝑩
𝟏 < 𝟎
𝒙𝑩
𝟐 −𝒘𝑩
𝟐 > 𝟎
Pessoa A
Pessoa B
Escolha Eficiente de Pareto
O Ponto M será uma escolha eficiente 
de Pareto. Isso é, não há como 
melhorar a situação de uma pessoa 
sem piorar a da outra.
x
Construção da Caixa de Edgeworth
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
M
W”
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐)
Curva de Contrato
W’
Mercado 
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
(𝒘𝑨
𝟏)
(𝒘𝑨
𝟐)
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
(𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒘𝑩
𝟐 )
M
W
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐)
Trocas
(𝒙𝑨
𝟏 + 𝒙𝑩
𝟏 ) < (𝒘𝑨
𝟏 +𝒘𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑨
𝟐 + 𝒙𝑩
𝟐 ) > (𝒘𝑨
𝟐 +𝒘𝑩
𝟐 )
Ou
(𝒙𝑨
𝟏 −𝒘𝑨
𝟏) = 𝒆𝑨
𝟏
(𝒙𝑩
𝟏 −𝒘𝑩
𝟏 ) = 𝒆𝑩
𝟏
(𝒙𝑨
𝟐 −𝒘𝑨
𝟐) = 𝒆𝑨
𝟐
(𝒙𝑩
𝟐 −𝒘𝑩
𝟐 ) = 𝒆𝑩
𝟐
Trocas
(𝒆𝑨
𝟏 + 𝒆𝑩
𝟏 ) < 𝒆𝑨
𝟐 + 𝒆𝑩
𝟐
As demandas Liquidas pelo bem 1 são 
menores do que as demandas liquidas pelo 
bem 2. Logo o preço do bem 2 deve subir 
enquanto o preço do bem 1 deva cair para 
equilibrar esse mercado 
Mercado 
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
MB
W
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐) MA
Mercado 
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
W
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐)
M
Mercado 
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
Bem 1
Bem 2
Pessoa B
W
(𝒙𝑩
𝟏 )
(𝒙𝑩
𝟐 )
(𝒙𝑨
𝟏)
(𝒙𝑨
𝟐) M
Equilíbrio de Mercado ou Equilíbrio Walrasiano
Um conjunto de preços tais que cada consumidor
escolhe a cesta mais preferida pela qual pode
pagar e todas as escolhas dos consumidores são
compatíveis, no sentido de que a demanda se
iguala à oferta em todos os mercados.
TMSa = TMSb = P1/P2
Álgebra do Equilíbrio 
(𝒆𝑨
𝟏 + 𝒆𝑩
𝟏 ) = 𝒁𝟏 (demanda líquida por 1)
𝒆𝑨
𝟐 + 𝒆𝑩
𝟐 = 𝒁𝟐 (demanda líquida por 2)
Z1(p1*,p2*) = 0
Z2(p1*,p2*) = 0
Logo
p1.Z1(p1,p2) + p2.Z2(p1,p2) = 0 Lei de Walras
Lei de Walras
Dizer que o valor da demanda agregada é idêntico
a zero significa que ele é zero para todas as
escolhas de preço possíveis, não apenas para os
preços de equilíbrio.
Prova:
Lei de Walras
𝑝1𝑥𝐴
1 𝑝1, 𝑝2 + 𝑝2𝑥𝐴
2 𝑝1, 𝑝2 = 𝑝1𝑤𝐴
1 + 𝑝2𝑤𝐴
2
𝑝1𝑥𝐴
1 𝑝1, 𝑝2 − 𝑝1𝑤𝐴
1 + 𝑝2𝑥𝐴
2 𝑝1, 𝑝2 − 𝑝2𝑤𝐴
2 = 0
𝑝1 𝑥𝐴
1 𝑝1, 𝑝2 − 𝑤𝐴
1 + 𝑝2 𝑥𝐴
2 𝑝1, 𝑝2 − 𝑤𝐴
2 = 0
𝑝1𝑒𝐴
1 + 𝑝2𝑒𝐴
2 = 0
O valor da quantidade que a agente A deseja comprar 
do bem 1 somado ao valor da quantidade que ele deseja 
comparar do bem 2 deve ser igual a zero
Lei de Walras
𝑝1𝑒𝐵
1 + 𝑝2𝑒𝐵
2 = 0
O mesmo vale para o agente B
Assim:
Lei de Walras
𝑝1𝑍1 + 𝑝2𝑍2 = 0
𝑝1 𝑒𝐴
1 + 𝑒𝐵
1 + 𝑝2 𝑒𝐴
2 + 𝑒𝐵
2 = 0
(𝑝1𝑒𝐴
1 + 𝑝2𝑒𝐴
2) + p1𝑒𝐵
1 + 𝑝2𝑒𝐵
2 = 0
Igual a zero para 
qualquer preço
Igual a zero para 
qualquer preço
Álgebra da Eficiência
Para que um ponto de equilíbrio não seja eficiente de pareto, deveria haver um outro 
ponto factível de ser escolhido que ambos os agentes estivessem melhor:
𝑦𝐴
1, 𝑦𝐴
2 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎 (𝑥𝐴
1, 𝑥𝐴
2)
𝑦𝐵
1 , 𝑦𝐵
2 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎 (𝑥𝐵
1 , 𝑥𝐵
2)
Álgebra da Eficiência
𝑦𝐴
1 + 𝑦𝐵
1 = (𝑤𝐴
1 +𝑤𝐵
1)
𝑦𝐴
2 + 𝑦𝐵
2 = (𝑤𝐴
2 +𝑤𝐵
2)
Para que Y seja preferida a X, Y deve custar mais que X, caso contrário os agentes 
teriam escolhido Y. 
𝑝1𝑦𝐴
1 + 𝑝2𝑦𝐴
2 > (𝑝1𝑤𝐴
1 + 𝑝2𝑤𝐴
2)
𝑝1𝑦𝐵
1 + 𝑝2𝑦𝐵
2 > (𝑝1𝑤𝐵
1 + 𝑝2𝑤𝐵
2)
Álgebra da Eficiência
Somando as duas equações temos:
𝑝1𝑦𝐴
1 + 𝑝2𝑦𝐴
2 > (𝑝1𝑤𝐴
1 + 𝑝2𝑤𝐴
2)
𝑝1𝑦𝐵
1 + 𝑝2𝑦𝐵
2 > 𝑝1𝑤𝐵
1 + 𝑝2𝑤𝐵
2
𝑝1 𝑦𝐴
1 + 𝑦𝐵
1 + 𝑝2 𝑦𝐴
2 + 𝑦𝐵
2 > 𝑝1 𝑤𝐴
1 + 𝑤𝐵
1 + 𝑝2(𝑤𝐴
2 + 𝑤𝐵
2)
𝑤𝐴
1 + 𝑤𝐵
1 (𝑤𝐴
2 +𝑤𝐵
2)
𝑝1 𝑤𝐴
1 + 𝑤𝐵
1 + 𝑝2 𝑤𝐴
2 +𝑤𝐵
2 > 𝑝1 𝑤𝐴
1 + 𝑤𝐵
1 + 𝑝2(𝑤𝐴
2 + 𝑤𝐵
2)
Inconsistência
Álgebra da Eficiência
Todos os equilíbrios de mercado são 
eficientes no sentido de Pareto:
Primeiro Teorema da Teoria 
Econômica de Bem-Estar.
Álgebra da Eficiência
Segundo Teorema da Teoria 
Econômica de Bem-Estar.
Quando as preferências são convexas, 
uma alocação eficiente de Pareto é um 
equilíbrio para algum conjunto de preços.
Prova do Segundo Teorema do bem-estar
Bem 1
Bem 2
Pessoa A
Bem 2
Pessoa B
MSe ambos os agentes 
tiverem preferências 
convexas, poderemos traçar 
uma linha reta entre os dois 
conjuntos de cestas 
preferidas, separando-os.
Implicação do Segundo Teorema do bem-estar
O Segundo Teorema de Bem-Estar implica que os problemas de 
distribuição e eficiência podem ser separados. Qualquer 
alocação eficiente no sentido de Pareto que se queira obter 
pode apoiar-se no mecanismo de mercado.
Prof.: Marcelo Colomer
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