AA3MatAp30_232_Gab

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Escola Politécnica - PUCRS 95305-04 Matemática Aplicada 
Avaliação A3 TURMA 30 17/10/2023 Prof. Augusto Cardona 
GABARITO 
 
1. (1.0) Esboce o gráfico da função 
𝑓(𝑡) =
3𝑡 − 4, 𝑠𝑒 2 < 𝑡 < 4
3𝑡 − 16, 𝑠𝑒 4 < 𝑡 < 6
, 𝑒 𝑓(𝑡 + 4) = 𝑓(𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ, 
para -6 < t < 6, apresente a expressão desta função para -2 < t < 2 e diga se f(t) é uma função par, uma 
função ímpar ou nenhuma delas. 
Solução: Temos a expressão desta função no intervalo (2,6) e observamos que ela tem período T = 4. 
Expandindo periodicamente a função para o intervalo (-6,6), conforme solicitado, obtemos o gráfico 
abaixo. Observe que esta função não é ímpar, pois não temos uma simetria na origem. Na verdade, 
esta função é dita quase ímpar, pois é a translação vertical de duas unidades de uma função ímpar. 
Observamos que esta função tem a seguinte expressão no intervalo (-2,2): 
𝑓(𝑡) =
3𝑡 + 8, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑡 < 0
3𝑡 − 4, 𝑠𝑒 0 < 𝑡 < 2 
. 
 
 
2. (1.0) Sabendo que a função 
𝑓(𝑡) =
2𝜋 − 2𝑡, 𝑠𝑒 0 < 𝑡 < 𝜋
2𝜋 + 2𝑡, 𝑠𝑒 − 𝜋 < 𝑡 < 0
, 𝑒 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ, 
é uma função par, calcule todos os coeficientes e a série trigonométrica de Fourier, usando o cálculo 
da integral em meio período. 
Solução: Nossa função tem período 𝑇 = 2𝜋 → 𝜔 = = 1. Como f(t) é par, 𝑏 = 0, para n = 1, 2, 
3,..., e: 
-4 
8 
t 
2 
6 2 -2 
f(t) 
4 -4 -6 
𝑎 =
4
𝑇
𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝑛
2𝜋
𝑇
𝑡 𝑑𝑡
/
=
4
2𝜋
𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)𝑑𝑡 =
2
𝜋
(2𝜋 − 2𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
= 4 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 −
4
𝜋
𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = 4
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡)
𝑛
−
4
𝜋
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)
𝑛
+
𝑡
𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡)
= 4
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)
𝑛
−
𝑠𝑒𝑛(0)
𝑛
−
4
𝜋
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)
𝑛
+
𝜋
𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) +
4
𝜋
𝑐𝑜𝑠(0)
𝑛
+
0
𝑛
𝑠𝑒𝑛(0)
=
4
𝜋
1 − (−1)
𝑛
, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0. 
𝑎 = 4 𝑐𝑜𝑠(0. 𝑡) 𝑑𝑡 −
4
𝜋
𝑡 𝑐𝑜𝑠(0. 𝑡) 𝑑𝑡 = 4 1 𝑑𝑡 −
4
𝜋
𝑡 𝑑𝑡 = 4𝜋 −
4
𝜋
𝑡
2
= 4𝜋 − 2𝜋
= 2𝜋. 
𝑓(𝑡) =
𝑎
2
+ 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑡) = 𝜋 +
4
𝜋
1 − (−1)
𝑛
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡).