Aula_03_Série de Fourier

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Análise de Sistemas Lineares
Professora: Poliana Pastorele da Silva Quirino
Série de Fourier
Um breve histórico
❖ Fourier tinha como motivação estudar o fenômeno da difusão e
propagação do calor em corpos sólidos.
❖ Fourier observou que séries senoidais harmonicamente
relacionadas eram úteis na representação da distribuição de
temperatura em um corpo.
❖ Ele afirmou que qualquer sinal periódico poderia ser
representado por tal série.
❖ A série de Fourier continua sendo até hoje umas das ferramentas
mais poderosas para análise de sistemas LIT.
Motivação para estudo das séries de Fourier
❖O estudo das séries de Fourier conta com uma
grande aplicabilidade nas engenharias, na física e na
matemática.
❖São ferramentas bastante úteis para quem precisa
descrever uma função, por mais complicada que seja,
em uma forma simples de visualizar e manipular.
❖Podem-se desvendar vários fenômenos através dela,
inclusive fenômenos relacionados à eletricidade.
A série de Fourier
”[...] Estudaremos o problema da condução do calor numa
barra. Na tentativa de resolvê-lo, usaremos a matemática que
aprendemos nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de
Equações diferenciais, e chegaremos à conclusão que ela é
insuficiente [...] a resolução desse problema requer algo a
mais, e esse algo a mais é a série de Fourier”.
(Fonte: Figueredo, 1977)
Séries de Fourier
❖São séries trigonométricas infinitas formadas por
seno e/ou cosseno.
❖ Dada uma função 𝑓 𝑡 , contínua por partes, pode-se supor a
seguinte igualdade:
𝑓 𝑡 ≅
𝑎0
2
+ ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑤𝑡 + ෍
𝑛=1
∞
𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑡
❖Logo, 𝑓 𝑡 será equivalente a uma série de Fourier.
❖Quem são os coeficientes de Fourier (𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛)?
série de cossenos série de senos
Propriedades da função seno
❖Domínio: A função seno está definida para todos os
valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
❖ Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo
I={y em R: -1<y<1}
❖Periodicidade: A função é periódica de período 2𝜋, para
todo x em R e para todo k em Z:
❖ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 4𝜋 = ⋯ = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋𝑘)
❖ Justificativa: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝜋)
𝑠𝑒𝑛 −𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Função Ímpar
Propriedades da função cosseno
❖Domínio: A função cosseno está definida para todos os
valores reais, assim Dom(cos)=R.
❖ Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o
intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
❖Periodicidade: A função é periódica de período 2𝜋. Para
todo x em R e para todo k em Z:
❖ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝜋 = ⋯ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋𝑘)
❖ Justificativa: 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝜋)
𝑐𝑜𝑠 −𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Função Par
Senóides: sen(x) e cos(x)
Relembrando...
න
−𝜋
𝜋
cos(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 ቊ
0, 𝑠𝑒 𝐴 ≠ 𝐵
𝜋, 𝑠𝑒 𝐴 = 𝐵
න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑡). 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 ቊ
0, 𝑠𝑒 𝐴 ≠ 𝐵
𝜋, 𝑠𝑒 𝐴 = 𝐵
න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 = 0, 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒!
❖A e B ∈ 𝑍∗+ (inteiros positivos):
Relembrando...
❖ cos 𝐴 − 𝐵 − cos 𝐴 + 𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵
Logo: 𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵 =
1
2
cos 𝐴 − 𝐵 − cos 𝐴 + 𝐵
❖cos 𝐴 − 𝐵 + cos 𝐴 + 𝐵 = 2𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵
Logo: 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 =
1
2
cos 𝐴 − 𝐵 + cos 𝐴 + 𝐵
❖𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 − 𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵
Logo: 𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 =
1
2
sen 𝐴 + 𝐵 + sen 𝐴 − 𝐵
Relembrando...
න
−𝜋
𝜋
cos(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 =
1
2
න
−𝜋
𝜋
cos 𝐴 − 𝐵 𝑡 + න
−𝜋
𝜋
cos 𝐴 + 𝐵 𝑡𝑑𝑡
=
1
2
ቚ
sen 𝐴−𝐵 𝑡
(𝐴−𝐵)
𝜋
−𝜋
+ ቚ
sen 𝐴+𝐵 𝑡
(𝐴+𝐵)
𝜋
−𝜋
= 0, 
sendo A e B números
inteiros e 𝐴 ≠ 𝐵
❖ Lembrando que seno de um número múltiplo inteiro de 𝜋 𝑒 − 𝜋 é zero.
❖Para 𝐴 = 𝐵 : 
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 =
1
2
cos 𝐴 − 𝐵 + cos 𝐴 + 𝐵
𝑐𝑜𝑠2𝐴 =
1
2
1 + cos 2𝐴
Relembrando...
❖Para 𝐴 = 𝐵 : 
න
−𝜋
𝜋
cos(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 = න
−𝜋
𝜋
𝑐𝑜𝑠2(𝐴𝑡)𝑑𝑡 =
1
2
න
−𝜋
𝜋
1 + cos(2𝐴𝑡) 𝑑𝑡
=
1
2
ȁ𝑡
𝜋
−𝜋
+ ቤ
sen 2𝐴 𝑡
(2𝐴)
𝜋
−𝜋
=
1
2
𝜋 − (−𝜋) + 0 = 𝜋
⟹ න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 =
1
2
න
−𝜋
𝜋
sen 𝐴 + 𝐵 𝑡. 𝑑𝑡 + න
−𝜋
𝜋
sen 𝐴 − 𝐵 𝑡. 𝑑𝑡
=
1
2
− ቚ
cos 𝐴+𝐵 𝑡
𝐴+𝐵
𝜋
−𝜋
− ቚ
cos 𝐴−𝐵 𝑡
(𝐴−𝐵)
𝜋
−𝜋
= −
1
2
cos 𝐴+𝐵 𝜋−cos 𝐴+𝐵 (−𝜋)
𝐴+𝐵 −
1
2
𝑐𝑜𝑠 𝐴−𝐵 𝜋−𝑐𝑜𝑠 𝐴−𝐵 (−𝜋)
𝐴−𝐵
= 0
Relembrando...
❖Para 𝐴 = 𝐵 : 𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 =
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝐴 )
⟹ න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 =
1
2
න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛( 2𝐴)𝑡. 𝑑𝑡
න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑡). cos(𝐵𝑡). 𝑑𝑡 =
1
2
ቤ
−cos 2𝐴 𝑡
(2𝐴)
𝜋
−𝜋
=
1
2
−cos 2𝐴 𝜋 + cos 2𝐴 (−𝜋)
2𝐴
= 0
❖Fórmulas importantes para a dedução dos coeficientes de Fourier!
Séries de Fourier
❖Cálculo dos coeficientes de Fourier (𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑎0) 
❖𝑎0:
❖ Integrando termo a termo
f t =
a0
2
+෍
n=1
∞
an cos nwt +෍
n=1
∞
bnsen nwt , onde w =
2𝜋
𝑇
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 = න
−𝜋
𝜋 𝑎0
2
𝑑𝑡 + ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛න
−𝜋
𝜋
cos(𝑛𝑡)𝑑𝑡 + ෍
𝑛=1
∞
𝑏𝑛න
−𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡)𝑑𝑡
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 = ฬ
𝑎0 𝑡
2
𝜋
−𝜋
+ ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ቤ
𝑠𝑒𝑛𝑛. 𝑡
(𝑛)
𝜋
−𝜋
+ ෍
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 − ቤ
𝑐𝑜𝑠𝑛. 𝑡
(𝑛)
𝜋
−𝜋
0 0
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 =
𝑎0 (𝜋 − −𝜋 )
2
= 𝑎0 𝜋
Séries de Fourier
❖Cálculo do 𝑎0 (continuação):
❖Dividindo-se f(t) por 𝜋, tem-se:
❖Cálculo do 𝑎𝑛:
❖ Multiplicar todos os termos da equação abaixo por cos(𝑚𝑡):
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎0 𝜋
1
𝜋
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎0 Coeficiente de Fourier 𝑎0
𝑓 𝑡 . cos(𝑚𝑡) =
𝑎0
2
. cos(𝑚𝑡) + σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡. cos(𝑚𝑡) + σ𝑛=1
∞ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡. 
cos(𝑚𝑡)
𝑓 𝑡 ≅
𝑎0
2
+ ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡 +෍
𝑛=1
∞
𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡
Série de Fourier
𝑓 𝑡 . cos(𝑚𝑤𝑡) =
𝑎0
2
. cos(𝑚𝑤𝑡) + σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑤𝑡). cos(𝑚𝑤𝑡) +
σ𝑛=1
∞ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑡). cos(𝑚𝑤𝑡)
❖Cálculo do 𝑎𝑛 (continuação):
❖ A variável n está variando e m está fixo:
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡𝑑𝑡 = න
−𝜋
𝜋 𝑎0
2
cosmtdt + ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛න
−𝜋
𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡𝑑𝑡
+σ𝑛=1
∞ 𝑏𝑛 𝜋−׬
𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡𝑑𝑡
0 ቊ
0, 𝑠𝑒 𝑚 ≠ 𝑛
𝜋, 𝑠𝑒 𝑚 = 𝑛
0
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡𝑑𝑡 = 𝑎𝑚𝜋 ⇒ 𝑎𝑚 =
1
𝜋
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡𝑑𝑡
Coeficiente de Fourier 𝑎𝑚
Série de Fourier
❖Cálculo do 𝑏𝑛:
❖ Multiplicar todos os termos da equação abaixo por 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡:
𝑓 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡 =
𝑎0
2
. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡 + σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡 + σ𝑛=1
∞ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡
❖A variável n está variando e m está fixo:
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡𝑑𝑡 = න
−𝜋
𝜋 𝑎0
2
senmtdt + ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛න
−𝜋
𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡𝑑𝑡
+σ𝑛=1
∞ 𝑏𝑛 𝜋−׬
𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡𝑑𝑡
00
ቊ
0, 𝑠𝑒 𝑚 ≠ 𝑛
𝜋, 𝑠𝑒 𝑚 = 𝑛
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡𝑑𝑡 = 𝑏𝑚𝜋 ⇒ 𝑏𝑚 =
1
𝜋
න
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑡𝑑𝑡
Coeficiente de Fourier 𝑏𝑚
Resumindo...
❖ 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐅𝐨𝐮𝐫𝐢𝐞𝐫
❖ 𝑎0 =
1
𝜋
𝜋−׬
𝜋
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
❖ 𝑎𝑚 =
1
𝜋
𝜋−׬
𝜋
𝑓 𝑥 cos(𝑚𝑥)𝑑𝑥
❖ 𝑏𝑚 =
1
𝜋
𝜋−׬
𝜋
𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)𝑑𝑥
❖𝑓 𝑥 ≅
𝑎0
2
+σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔0𝑥 + σ𝑛=1
∞ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔0𝑥
❖Portanto, dada uma função periódica, pode-se calcular a
sua série de Fourier.
Exemplo 1 - Série de Fourier
❖Determine a representação em série de Fourier da
onda quadrada mostrada na Figura abaixo:
f(t)
t
𝑎0 = 0; 𝑎𝑛 = 0; 𝑏𝑛 =
2
𝑛𝜋
1 − cos(𝑛𝜋 )
Exemplo 2 - Série de Fourier
❖Determine a representação em série de Fourier da
onda triangular mostrada na Figura abaixo:
f(x)
x
Exemplo 3 - Série de Fourier
❖Determine a forma analítica e a representação em
Série de Fourier da função periódica
Exemplo 4 - Série de Fourier
❖Determine a forma analítica e a representação em
Série de Fourier da função periódica