Estática e Mecânica dos Sólidos I (3)

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ESTÁTICA E MECÂNICA 
DOS SÓLIDOS
PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
AULA 16
PRÉ-REQUISITOS
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
ESTÁTICA PARA PARTÍCULAS 
ESTUDO DE CASO DETALHADO 
MOMENTO 
VINCULAÇÕES 
REAÇÕES NAS VINCULAÇÕES 
EXERCÍCIOS DE REAÇÕES
TRELIÇAS
VIGAS ISOSTÁTICAS
PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
TENSÃO X DEFORMAÇÃO
FLAMBAGEM
FLEXÃO DE VIGAS I
FLEXÃO DE VIGAS II
TORÇÃO EM EIXO CIRCULAR 
05
12
17
24
31
37
44
50
58
66
75
86
94
102
108
114
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INTRODUÇÃO
Olá alunos, neste curso será apresentado a vocês os conceitos básicos de estática e 
mecânica dos sólidos. Vamos começar relembrando algumas questões básicas da matemática 
e da física e logo em seguida começaremos de fato o curso.
Este livro foi escrito por mim com o intuito de tornar fácil a compreensão dos temas 
a respeito da resistência dos materiais. Para isto acontecer de forma satisfatória conto 
com sua ajuda. Cada aula usará os conceitos da aula anterior e, portanto, o faça um bom 
acompanhamento.
Eu considero que cada aula dada te dará a capacidade de ler textos mais complexos a 
respeito do tema e por causa disso deixarei no final de cada aula uma indicação de leitura 
para aprofundamento. O domínio de algo se conquista assim, com muito esforço. O roteiro 
que indico de estudo a você é: assista ao vídeo, leia o texto da aula, refaça os exercícios e 
finalmente faça a leitura de outra fonte a respeito do tema (pode ser a indicada por mim 
ou outra).
No final do curso terá entendido como funcionam as vigas, as treliças os pórticos e o que 
acontece internamente nesses elementos estruturais, portanto faça bom proveito de tudo!
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AULA 1
PRÉ-REQUISITOS
1.1 Como estudar?
Olá aluno(a), iremos começar aqui a nossa compreensão a respeito dos temas ligados a 
estática e a resistência dos materiais. Já digo a vocês de cara que esta não é uma disciplina 
difícil se você seguir algumas instruções. 
A primeira delas é: leia com muita calma o capítulo e use sua imaginação à medida que 
formos desenvolvendo as aulas. Como assim, professor? Nesta disciplina trabalharemos 
com situações reais e, portanto, exercite a sua capacidade de imaginar as ações ocorrendo 
na sua frente. Se você seguir a primeira, perceberá que não irá precisar decorar muita coisa, 
pois muitas das fórmulas utilizadas aqui são conceituais.
 A segunda dica é: faça tudo! Portanto, leia este texto, assista o vídeo e refaça os exercícios. 
Com isso garanto que conseguirá absorver os conteúdos de forma simples e intuitiva.
A terceira dica é: não se limite ao que está apresentado aqui, se gosta desta disciplina 
procure mais! Professor, procurar mais aonde? Em qualquer livro de resistência dos materiais 
e estática. Sim, a didática em cada um deles muda, porém todos chegam às mesmas 
conclusões. Nesta disciplina não existe polêmica, pois ela é uma disciplina básica. Então, 
fique a vontade para procurar por qualquer fonte séria, como em livros e artigos científicos. 
Assim como no google existe o google maps, lá também existe o google acadêmico (google 
scholar).
Vou deixar aqui para vocês uma listas de livros que eu particularmente gosto, mas se 
quiserem buscar outros fique a vontade. Muito do que escrevi aqui neste livro inteiro foi 
adaptado por mim das fontes abaixo.
- ESTÁTICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA - HIBBELER, R.C
- MECÂNICA PARA ENGENHARIA ESTÁTICA - MERIAN,J.L e KRAIGE,L.G
- CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL - JOSÉ CARLOS SUSSEKIND
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - BEER, F.P e JOHNSTON JR, E.R
- MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - MELCONIAN, S. 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - HIBBELER, R.C
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- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - WILLIAM, A. e MERLE, C.
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ALOISIO ERNESTO ASSAN
1.2 Trigonometria básica
A primeira coisa que convém nós falarmos neste curso é a respeito do círculo trigonométrico. 
Este tópico será utilizado durante todas as aulas a seguir, portanto, prestem muita atenção.
O círculo trigonométrico nada mais é que uma representação gráfica na qual podemos 
estabelecer algumas relações importantes nas figuras formadas. Vejamos a Figura 1. Nela 
temos uma circunferência com alguns ângulos marcados sobre ela. A primeira conclusão a 
partir da Figura 1 é que uma circunferência pode ser dividida em 360 partes iguais chamadas 
de graus e que uma volta completa na circunferência equivale a 360°. A segunda conclusão 
é que podemos construir um triângulo a partir de uma medida qualquer em graus e o raio 
da circunferência. (Aqui pegue uma folha e desenhe outros triângulos formados pelo raio 
da circunferência em relação à linha horizontal da própria circunferência).
Figura 1 - Representação do círculo trigonométrico
 
Fonte: do próprio autor
Assim como é mostrado na Figura 1 podemos retirar este triângulo da circunferência e 
dar alguns nomes aos seus lados em relação ao ângulo. Os nomes são hipotenusa (raio 
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da circunferência), cateto oposto (lado oposto ao ângulo) e cateto adjacente (lado rente ao 
ângulo).
Existem algumas relações básicas que podemos fazer com os lados deste triângulo e de 
outros triângulos formados com a mesma angulação. Algumas dessas relações você já até 
conhece o nome, seno, cosseno e tangente. Existem mais, porém com essas já conseguiremos 
resolver tudo que será apresentado neste livro. As relações básicas estão listadas abaixo.
Na Figura 2 podemos perceber porque as relações não mudam em triângulos que possuem 
o mesmo ângulo. Vejam que temos duas circunferências com o mesmo centro A. Os dois 
triângulos ABC e ADE mantêm a mesma proporção mesmo tendo tamanhos diferentes, por 
causa disso possuem o mesmo valor de seno, cosseno e tangente em relação ao ângulo 
de 30° 
Figura 2 - Relações trigonométricas em triângulos com medidas 
diferentes 
 
Fonte: do próprio autor
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Podemos ir além e pensar em representações gráficas do valor do seno, cosseno e tangente 
usando a própria circunferência. Na Figura 3, vemos a representação proporcional do seno, 
cosseno e tangente pensando em circunferências com tamanhos diferentes. 
Figura 3 - Representação gráfica do seno, cosseno e tangente em 
diferentes circunferências
 
Fonte: do próprio autor
Isto acontece na prática
Vamos fazer um teste? Pegue uma calculadora, certifique-se que ela esteja em graus 
e digite “sen(30°)”. A resposta que você obterá será 0,5. Porque sen(30°) sempre 
representará a metade do raio da circunferência independentemente do tamanho dela, 
reveja a Figura 3.
Isto está na rede
 
Encontrará mais informaçõesem sites do próprio governo como o exemplo mostrado 
no link a seguir.
https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_
materia=22&id_capitulo=119&Itemid=153
Também encontrará mais do assunto no link abaixo.
https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=22&id_capitulo=119&Itemid=153
https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=22&id_capitulo=119&Itemid=153
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https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/
Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20
M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt
1.3 Praticando os conceitos
Vamos resolver alguns problemas básicos que serão fundamentais para a solução dos 
problemas apresentados nas próximas aulas.
1) Dado os triângulos da Figura 4 encontre todos os valores não informados na própria 
figura.
Figura 4 - Encontre os valores de x, y, w, z, K, M
 
Fonte: do próprio autor
Resposta:
Para resolver este problema basta usarmos tudo o que vimos. Vamos encontrar primeiro 
W e Z por meio da relação de seno.
 
 
É claro que neste caso você até saiba o seno de 30° de cabeça porém outros problemas 
surgirão (com ângulos dos mais diversos) e, portanto, vamos resolver eles com o auxílio da 
https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt
https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt
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calculadora. Certifique-se se que sua calculadora esteja em graus e calcule o seno de 30° 
que vale 0,5. As expressões, portanto, ficarão da seguinte forma. 
 
Para o cosseno podemos resolver da mesma maneira.
 
Para conferir basta aplicar o teorema de pitágoras.
1²=0,5²+0,8660² e 5²=4,3301²+2,5²
 
 
Percebam que as respostas convergem dependendo da precisão que fazemos as contas. 
Use no teste acima o cos(30°) =0,866025403 na sua calculadora e verá.
Para encontrarmos K e M é mais fácil rotacionarmos mentalmente os triângulos 
apresentados, conforme a Figura 5. Assim, saberemos de cara o que é cateto oposto e 
adjacente. Seguindo as fórmulas ficamos então com as seguintes expressões.
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Para fazer as contas acima na calculadora utilize as funções arco que são representadas 
normalmente como sin-1, cos-1 e tan-1. Perceberá que todas as respostas para K e M tendem 
a 60 graus(60°). 
Figura 5 - Maneira mais fácil de pensarmos
 
Fonte: do próprio autor
Anote isso
Lembre-se que a soma dos ângulos internos dos triângulos deve dar 180°
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AULA 2
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Nesta aula iremos dar início de fato aos fundamentos da estática. Lembrando que quase 
toda aula usa os conteúdos das aulas anteriores. Alguns conceitos são necessários para 
conduzirmos o curso. Os que forem apresentados logo abaixo serão introduzidos quando 
necessário.
- Espaço é uma região ocupada por corpos na qual podemos fazer a localização desta 
região por meio de referências chamadas de coordenadas. As coordenada mais comum 
utilizada é a cartesiana onde adotamos normalmente os eixos x,y e z no espaço.
- Comprimento é utilizado para fazer a localização de um ponto no espaço para descrever 
o tamanho de um sistema físico, suas características geométricas e também para medir 
distâncias. Para isto acontecer o comprimento vem acompanhado de uma unidade de medida 
que são representações de grandezas físicas. No caso de comprimento as unidades podem 
ser: metro, centímetro, quilômetro, polegadas…
- Partícula ou Ponto material é um corpo que ocupa um determinado espaço, porém ele 
possui dimensões desprezíveis em relação ao sistema analisado. Um exemplo exagerado e 
fácil disto pode ser um carro em uma pista que possui 200 km. As medidas do carro muitas 
vezes são desconsideradas nesta situação, visto que seu tamanho é muito menor que o da 
via. Portanto, o carro será entendido nesta situação como um ponto e suas propriedades 
estarão concentradas no mesmo.
- Corpo extenso é o contrário de partícula. Nesta situação consideramos o corpo com 
todas as suas dimensões e não por meio de um ponto em um espaço. Um exemplo exagerado 
e simples um carro fazendo a manobras em uma vaga de um estacionamento. Neste caso 
considerar o carro como um ponto poderia atrapalhar no dimensionamento do espaço 
necessário em uma vaga de estacionamento.
2.1 Grandezas escalares e vetoriais
As grandezas escalares são aquelas que podem ser bem definidas apenas com sua 
intensidade. Podemos dar alguns exemplos aqui:
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- Tempo é uma grandeza escalar, pois apenas precisamos de seu valor para termos 
o entendimento completo da situação. Se eu falar meia hora, quinze segundos, quarenta 
minutos, não é preciso passar mais nenhuma informação para o entendimento do tempo.
- Volume é uma grandeza escalar, pois apenas precisamos saber a respeito do espaço 
ocupado de um determinado recipiente ou objeto. Falamos um litro, um metro cúbico, dez 
mililitros, 1 centímetro cúbico, e também entendemos a mensagem por completo.
- Massa pode ser entendida como a quantidade de matéria de um corpo e basta falarmos 
dez quilogramas, trezentos gramas, duas toneladas e todo o entendimento se fez. 
É claro que existem outras grandezas escalares, mas acredito que entendeu a ideia geral, 
agora basta você imaginar todas as grandezas que você conhece e tentar classificá-las em 
escalares ou não.
Agora iremos falar das grandezas vetoriais. Estas não conseguimos definir e ter seu 
entendimento apenas com sua intensidade, precisamos também de sua direção e sentido. 
As duas últimas informações são dadas pelo que chamamos de vetor. Portanto, o vetor 
passará a informação de forma completa para nós. Antes de descrevermos o vetor vamos 
aos dois exemplos que mais vamos usar no curso.
- Força é uma grandeza vetorial, pois se apenas falarmos “ele fez uma força equivalente 
a 30 quilos” uma das primeiras coisas que poderá surgir em sua cabeça é “Para onde ele 
fez essa força?”. Resumindo, queremos saber em qual direção e sentido a força foi aplicada. 
Foi na direção horizontal, vertical, inclinada, com qual inclinação. A outra informação será o 
sentido. Horizontal para a esquerda, para a direita. Vertical para cima, para baixo. Sem estas 
informações não dá para continuarmos a resolver um determinado problema.
- MOMENTO é uma grandeza vetorial que nos passa a informação de uma tendência ao 
giro ocasionado por uma força. Isto quer dizer que nem sempre uma força apenas tende 
a fazer um corpo ir para frente ou para trás, mas pode fazer o mesmo a girar em torno de 
um eixo. Este giro também necessita de orientação, girou em que sentido, horário ou anti-
horário e em que direção em relação ao corpo. O melhor exemplo para explicar é uma porta 
convencional. Quando você abre uma porta é necessário fazer força, porém a força que você 
faz resulta em um giro na porta para ela abrir ou fechar.
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2.2 Unidades
As unidades servem para estabelecermos quantidades. Existem quatro quantidades 
fundamentais.
- Comprimento
- Tempo- Massa
- Força
As unidades das grandezas acima são consideradas básicas porque as outras unidades são 
todas derivadas das unidades acima. Por exemplo: a velocidade é uma relação de comprimento 
por tempo. Você corre um determinado comprimento em um determinado tempo.
É claro que as unidades devem ser padronizadas porque se não cada um iria medir de um 
jeito as informações e nunca chegaríamos a nenhum lugar em termos de ciência. Por causa 
disso se estabeleceu o Sistema Internacional de Unidades (SI). Na Tabela 1 encontramos 
as representações das unidades.
Tabela 1 - Unidades
Grandeza Símbolo Dimensional UNIDADE (SI) Símbolo
Massa M quilograma kg
Comprimento L metro m
Tempo T segundo s
Força F newton N
Fonte: do próprio autor
Das unidades fundamentais apresentadas acima, três são conhecidas como base de 
unidade. Elas são: massa, comprimento e tempo. A unidade de força Newton vem como 
consequência das três em uma das relações mais famosas da física.
F=ma
A força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Isto quer dizer que o conjunto 
das forças atuantes em uma partícula pode ser substituído por uma força equivalente cuja 
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grandeza vem da multiplicação da massa pela aceleração. Em termos de unidades teremos 
a relação abaixo.
N=kg.m/s²
Assim ,1 Newton é a força necessária para acelerar de 1m/s² uma massa de 1kg. Outra 
informação importante é o que chamamos de peso de um corpo. Um objeto caindo apenas 
com a ação da gravidade possui uma massa m e a sua aceleração é igual à aceleração da 
gravidade. Se chamarmos de W de peso e a aceleração da gravidade de g, ficaremos com 
a expressão abaixo.
W(N)=m(kg) x g(m/s²) 
Ainda sim as unidades vêm da base de unidades.
2.3 Trabalhando com as unidades
É possível trabalharmos com variações das unidades. A primeira coisa que devemos saber 
é a respeito dos prefixos para as unidades que estão apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 - Prefixos para as unidades
Forma exponencial Prefixo Símbolo SI
Múltiplos ------------------------ ----------------------- ------------------
------
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106 mega M
1 000 103 quilo k
Submúltiplos ------------------------- ----------------------- ------------------
------
0,001 10-3 mili m
0,000001 10-6 micro µ
0,000000001 10-9 nano n
Fonte: do próprio autor
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Com o auxílio da Tabela 2 podemos estabelecer algumas relações básicas.
1kg=1000g=1 000 000 mg =1 000 000 000 µg 
 
Então, está fácil. Teoricamente você pode chegar num açougue e pedir 1 kg(quilograma) de 
carne ou 1000 g(gramas) ou 1 000 000 mg(miligramas) ou 1 000 000 000 µg(microgramas) 
que a quantidade de carne será a mesma. É claro que você não fará isso. É comum usar o 
kg nesta situação. É possível fazer o contrário.
 1µg = 0,001 mg = 0,000001g = 0,000000001kg 
Também é válido para unidades de força.
 1 kN = 1000 N = 1 000 000 mN =1 000 000 000 µN 
Além de trabalhar com os prefixos é possível fazer transformações nas unidades. Mas 
isto será abordado sempre que necessário. 
Isto está na rede
 
Você encontrará o resumo do Sistema Internacional de Unidades no link abaixo que 
é do próprio governo.
http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf
Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia e a do MERIAM, J. L.; KAIGE, L. G. Mecânica para 
engenharia: Estática. Leia os primeiros capítulos dos dois livros.
http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf
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AULA 3
ESTÁTICA PARA PARTÍCULAS
Nesta aula iremos utilizar tudo o que foi aprendido na aula 1 e 2, além de acrescentarmos 
alguns conceitos novos. A primeira coisa nova que devemos saber está relacionada com o 
conceito de estática. Então, o que é estática?
Se você olhar em qualquer dicionário encontrará algo do tipo “Ramo da mecânica que 
investiga as propriedades de corpos que se encontram em equilíbrio quando sob a ação de 
forças ou torques (momentos)”. A tradução mais simples para isto é o estudo de corpos em 
equilíbrio estático, ou seja, parados.
O que iremos trabalhar nesta aula é o conceito necessário para que uma partícula esteja 
parada, em uma reta e no plano.
3.1 Estática em uma dimensão
Em uma dimensão só temos a possibilidade de uma partícula se mover sobre o eixo da 
dimensão. Vamos olhar a Figura 1, nela temos três situações para uma partícula representada 
pela bolinha preta. Em todas as situações a partícula só poderá se mover sobre a linha e 
por isso esta situação é chamada de uma dimensão. A partícula A só poderá ir para frente 
e para trás, a partícula B só poderá ir para cima e para baixo e a partícula C só poderá se 
mover sobre a linha na diagonal tanto para cima quanto baixo.
Figura 6 - Partículas e a dimensão onde elas podem se mover.
 
Fonte: do próprio autor
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Agora vamos aplicar o conceito de estática na situação A. Na Figura 7 temos uma partícula 
sob a ação de uma força de 10N para a direita. Supondo que ela só poderá ir para a direita 
e para a esquerda. Para que ela fique parada o que deve acontecer? A resposta é simples 
para que ela fique parada deve existir uma força para a esquerda de 10N.
Figura 7 - Exemplo de aplicação A
 
Fonte: do próprio autor
Na Figura 8 temos as duas situações, a primeira em movimento e a segunda sem movimento. 
Anote isso
Não estamos considerando aqui a situação de movimento retilíneo uniforme!!! A situação 
aqui pode ser imaginada como uma pessoa puxando a bola para direita e outra puxando 
a mesmo bola para a esquerda.
Figura 8 - Situações ocasionadas pelas forças
 
Fonte: do próprio autor
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É claro que fizemos isso sem nenhuma conta porque esta situação é muito simples. Mas 
vamos aprender a fazer do jeito formal passo a passo.
O primeiro passo é estabelecer um eixo de referência. Depois representamos a situação 
com uma força genérica chamada de Fx com sentido contrário e por fim achamos a resposta. 
O passo a passo está visível na Figura 9.
Figura 9 - Passo a passo gráfico para a solução do problema
 
Fonte: do próprio autor
Além da questão gráfica vamos fazer o equacionamento formal. Para que o corpo fique 
parado a somatória de todas as forças sobre o Eixo x representado na Figura 9 deve ser 
igual a zero.
Somatório das forças horizontais=0 
∑FH=0
FH significa forças horizontais, poderia ser qualquer outro nome, desde que o significado 
do problema mantenha-se.
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+10N - Fx=0 
Fx está negativo porque ele está no sentido contrário do eixo
Fx=10N 
Já desenvolvemos a nossa primeira equação da estática. A somatória das forças em um 
determinado eixo deve ser igual a zero para que o corpo não ande sobre o eixo.
3.2 Estática em duas dimensões
Agora que já pegou o jeito vamos para duas dimensões. A Figura 10 representa uma 
partícula que pode se mover para qualquer região do plano infinito representado tanto em 
perspectiva quanto numa visão frontal.
Figura 10 - Representação da mesma situação vista em ângulos 
diferentes
 
Fonte: do próprio autor
Vamos ao exemplo mostrado na Figura 11. Quanto vale Fx e Fy para que a partícula fique 
parada de acordo com os eixos x e y ?
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Figura 11 - Esquema de movimentação em um plano
 
Fonte: do próprio autor
Por analogia para o corpo ficar parado a somatória de todas as forças em x deveser igual 
a zero e a somatória de todas as forças em y também devem ser igual a zero. O problema 
é que temos uma força inclinada com um ângulo de 30°.
Você deve entender que existe um sistema equivalente para essa força inclinada. Uma 
pessoa puxando essa partícula com um ângulo de 30° em relação ao eixo x é a mesma coisa 
que duas pessoas puxando a mesma partícula ao mesmo tempo em x e em y de tal forma 
a gerar a mesma força inclinada de 15N inclinada. O que eu quis dizer está representado 
na Figura 12. 
A somatória vetorial de FV com FH gera o mesmo efeito que a força de 15N. A imagem 
à esquerda equivale à imagem a direita na Figura 12. 
Anote isso
A soma vetorial pode ser feita de forma gráfica desde que os vetores estejam em 
escala. Imagem a esquerda na Figura 12.
 
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Figura 12 - Sistema equivalente de forças
 Fonte: do próprio autor
Para encontrar FV e FH (os nomes foram escolhidos por mim, poderiam ter qualquer 
outro nome) vamos usar os conceitos da Aula 1).
Portanto, o esquema ficará da forma apresentada na Figura 13.
Figura 13 - Sistema equivalente total das forças
 
Fonte: elaborado autor
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Agora que encontramos o sistema equivalente da força de 15N inclinada, podemos dizer 
que para a partícula ficar parada a somatória das forças em x deve ser igual a zero e a 
somatória das forças em y deve ser igual a zero.
- Fx+12,99N=0 e - Fy+7,5N=0
 Fx=12,99N e Fy=7,5N
Achamos então as respostas para que a nossa partícula fique parada. E, portanto, o resumo 
gráfico de tudo ficará conforme a Figura 14. Se três pessoas puxarem a partícula com as 
mesmas forças, direções e sentidos mostrados na Figura 14 a partícula não se moverá.
Figura 14 - Esquema final do problema
 
Fonte: do próprio autor
Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de uma 
partícula e resolva alguns exercícios.
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AULA 4
ESTUDO DE CASO DETALHADO
Vimos na aula anterior que uma partícula estará parada quando todas as somatórias 
de forças sobre ela forem iguais a zero. É claro que é mais fácil fazer isso se adotarmos 
eixos cartesianos x e y na partícula para termos referências positivas e negativas tanto em 
x quanto em y.
A questão agora é como aplicar este conceito em problemas físicos reais. Para isso temos 
que desenvolver aqui o conceito de diagrama de corpo livre. Muitas vezes temos um sistema 
grande e trabalhar com ele de uma vez só é difícil. Por causa disso podemos separar o 
sistema que é grande em partes menores. Se todo o sistema estiver parado (estático), todas 
as suas partes estão paradas também. A conclusão é que podemos aplicar as equações 
básicas da estática separadamente.
A dica para fazer essa separação em partes mais simples é imaginar a partícula isolada 
e logo depois colocar todas as forças que atuam sobre ela com suas respectivas direções, 
sentidos e intensidades. Aqui você deve lembrar da terceira lei de Newton. Para cada ação 
existe uma reação com mesma intensidade e com sentido contrário. Na Figura 15 encontrará 
um exemplo de diagrama de corpo livre.
Isto está na rede
Neste link você encontrará mais sobre o tema a respeito da terceira lei de newton.
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/terceira-lei-newton.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/terceira-lei-newton.htm
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Figura 15 - Exemplo de como fazer o diagrama de corpo livre para 
um objeto em um sistema
 
Fonte: do próprio autor
4.1 Exercícios
No exercício vamos encontrar as forças nos cabos BA e BC da Figura 16, sendo que o 
objeto pendurado possui massa de 60kg.
Figura 16 - Primeiro estudo de caso
 
Fonte: Hibbeler (2011)
Para fazermos o exercício temos que primeiramente trabalhar com o diagrama de corpo 
livre do objeto pendurado (ponto D). O diagrama de corpo livre será dado pela Figura 17. 
 
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Figura 17 - Diagrama de corpo livre para o objeto
 
Fonte: do próprio autor
A força peso de um objeto é dado pelo produto da massa pela aceleração da gravidade 
que vale 9,81m/s². Portanto, ficaremos com a seguinte expressão.
 W=60kg x 9,81m/s²
 W=588,6N
Agora podemos aplicar as fórmulas básicas da estática para partículas. A somatória das 
forças em x é igual a 0 e a somatória das forças em y é igual a zero. Como só temos forças 
em y ficaremos com a seguinte expressão.
 + Fdb-W=0
 Fdb=W
 Fdb=588,6N
Para acharmos as forças nos cabos pedidos precisaremos de outro diagrama de corpo 
livre, agora no ponto B (na argola). A Figura 18 é a representação deste diagrama.
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Figura 18 - Diagrama de corpo livre na argola
 Fonte: do próprio autor
Agora basta acharmos um sistema de forças equivalentes em x e em y para as forças 
dos cabos BA e BC. Para a força Fbc ficamos com as expressões abaixo.
 Fbc x sen(45°)
 Fbc x cos(45°)
Para a força Fba ficamos com as seguintes expressões. Olhe na Figura 16 para entender 
o valor 5.
A Figura 19 representa o esquema final.
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Figura 19 - Esquema final de forças
 
Fonte: do próprio autor
Agora basta montarmos as equações da estática para a partícula.
 -Fba x 4/5+Fbc x cos(45°) = 0
 Fbc x cos(45°) =Fba x 4/5
 Fbc x cos(45°) x 5/4 =Fba 
As expressões acima representam a somatória das forças horizontais que deve ser zero. 
Foi isolado o Fba. Abaixo temos a somatória das forças verticais que também deve ser 
igual a zero.
 Fba x 3/5+Fbc x sen(45°)-588,6 = 0
Substituindo a expressão de Fba na formulação acima ficaremos com a seguinte sentença.
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Acima achamos a força exercida no cabo BC, pois a força que o cabo exerce na argola 
é a mesma que a argola exerce no cabo (terceira lei de Newton). Para acharmos a força no 
outro cabo vamos usar a equação abaixo.
 
Portanto, a força no cabo BA vale 420,44N (0,42kN) e a força no cabo BC vale 475,67N 
(0,48kN). Os valores podem variar um pouco devido aos arredondamentos e as considerações 
geométricas do problema.
Por fim vou representar na Figura 20 todas as ações e reações do problema apresentado.
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Figura 20 - Detalhamento de todas as ações e reações com os 
valores
 
Fonte: do próprio autor
Professor, o que eu devo fazer agora? Agora você poderá abrir qualquer livro de estática 
na parte que explica sobre o equilíbrio de partículas e buscar mais problemas. Não existe 
uma fórmula por problema, as únicas fórmulas são as somatórias de forças na horizontal 
e na vertical que devem ser iguais a zero.
Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de uma 
partícula e resolva alguns exercícios.
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AULA 5
MOMENTO
Até agora trabalhamos com partículas em equilíbrio e vimos que é possível pegar um 
sistema físico relativamente grande e discretizar ele em várias partículas, isso é claro se o 
sistema permitir (não há regras, apenas análise e experiência).
Na aula anterior usamos um exemplo em equilíbrio estático, se todoele está parado 
as suas pequenas partes também estão e a consequência disso é que podemos aplicar o 
conceito relativo à somatória das forças sobre o corpo. Se está parado a somatória em x, 
y e z devem ser zero.
Porém, não é todo problema que dá para resolver aplicando o conceito acima. Isto ficará 
nítido a partir de nossas reflexões abaixo, utilizando como exemplo a Figura 21.
Figura 21 - Uma gangorra
 
Fonte: do próprio autor
Na Figura 21 percebemos intuitivamente que a gangorra pode girar. Tanto no sentido 
horário, quanto no sentido anti-horário. Aqui já podemos estabelecer um novo critério para 
mantermos um corpo parado, o corpo em muitas situações não poderá apresentar giro. É 
claro que não podemos generalizar todas as situações, pois na aula anterior resolvemos um 
problema só impedindo movimentações na horizontal e na vertical.
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Agora que já discutimos um pouco sobre o fenômeno do giro, temos que formalizar este 
conhecimento. A grande questão é “Como estabeleceremos uma grandeza física capaz de 
dar conta numericamente das rotações?”
Olhando mais uma vez a Figura 21 podemos fazer a nossa primeira pergunta. Você acha 
que a massa da pessoa a direita é maior ou menor que a massa da pessoa a esquerda? Se 
respondeu menor, acertou. Para chegar a este raciocínio temos que pensar onde está o eixo 
da gangorra. O eixo está a 4m de distância da pessoa a direita, quanto maior a distância 
do eixo mais fácil fica de girar o objeto. Faça um teste agora! Vá até a porta do seu quarto 
e tente rotacionar ela fazendo força próximo ao eixo e depois longe do eixo de rotação 
conforme as marcações em x realizadas na Figura 22.
Figura 22 - Representação de uma porta convencional com o eixo 
indicado e duas posições marcadas em x
 
Fonte: do próprio autor
Você perceberá que é muito difícil rotacionar a porta perto do eixo e é justamente por 
isso que a maçaneta da porta fica afastada do eixo.
O nome que damos ao efeito que tende a girar um determinado objeto é torque ou momento. 
Aqui usaremos momento. O valor do momento será proporcional à distância que a força 
estiver do eixo. A força considerada deverá estar sempre perpendicular à linha de ação em 
relação ao eixo. A fórmula, portanto, do momento será dada pela expressão abaixo.
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Momento= força x distância até o eixo adotado
M= F x d
5.1 Resolvendo o problema da gangorra
Para resolver o problema da gangorra o primeiro passo é fazer o diagrama de corpo livre 
da própria gangorra conforme a Figura 23.
Figura 23 - Diagrama de corpo livre da gangorra
 
Fonte: do próprio autor
Na Figura 23 adotamos para simplificar o peso das pessoas nas regiões mais extremas 
da gangorra. Também marcamos cada região com uma letra (A,B e C). Vamos chamar a 
força atuante em cada uma das regiões de Fa, Fb e Fc.
Percebam que não é possível resolver o problema apenas fazendo a somatória vertical 
das forças e igualando a zero. A expressão ficará da maneira abaixo.
∑forças verticais= 0
Adotando positivo para cima ficaremos que a seguinte conta.
-Fa + Fb-Fc =0
Fa=80 (kg) x 9,81 (m/s²)
Fa=784,8 (N)
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Substituindo.
-784,8 (N) + Fb-Fc =0
Percebam que não temos como resolver o problema acima. Vamos então usar o conceito 
de momento. A primeira coisa que você deve fazer é estabelecer um eixo. Neste caso vamos 
adotar o mesmo eixo da gangorra, ou seja, região B. A segunda coisa que você deve fazer 
é adotar um sentido ao giro. Vamos adotar como positivo qualquer giro no sentido horário 
em relação ao ponto “B”. Na Figura 24 temos a representação dos giros relativos ao ponto 
“B”. A força em “A” tende fazer a gangorra girar no sentido anti-horário em relação ao ponto 
“B” e a força em “C” tende fazer a gangorra girar no sentido horário em relação ao ponto “B”. 
Figura 24 - Representação dos giros relativos
 
Fonte: do próprio autor
Para equacionar o problema a somatória de todas as tendências de giro (momento) 
devem ser iguais a zero. Vamos adotar qualquer giro no sentido horário como positivo e 
qualquer giro no sentido anti-horário como negativo em relação ao ponto “B”. As equações 
estão logo abaixo.
∑momentos em relação a “B”= 0
-784,8 (N) x 2 (m) + Fc x 4 (m) =0
+ Fc x 4 (m) =1569,6 (N.m)
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 Fc =392,4 (N)
Por que a força Fb não entrou no problema? Simples, porque ela está sobre o próprio 
eixo e não gera giro na estrutura. Forças que não tendem a girar a estrutura em relação ao 
eixo adotado não entram na somatória de momentos. Quanto vale a massa no ponto “C” ?
M =40kg
Qual a força vertical que o eixo exerce sobre a gangorra? Para encontrarmos este valor 
vamos recorrer a uma equação que já foi dada.
-Fa + Fb-Fc =0
-784,8 (N) + Fb-392,4 (N) =0
 Fb=1177,2 (N)
O esquema final do problema está dado na Figura 25. Com as posições e intensidade dos 
vetores apresentados a gangorra não anda nem para cima e nem para baixo, não anda para 
a esquerda e nem para a direita e também não gira no sentido horário e nem no sentido 
anti-horário.
Figura 25 - Esquema final com todos os valores representados
 
Fonte: do próprio autor
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Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de um 
corpo rígido e resolva alguns exercícios.
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AULA 6
VINCULAÇÕES
 
Nesta aula iremos entrar em conceitos bem específicos da estática e resistência dos 
materiais. Mas antes vamos refletir um pouco sobre as possíveis movimentações de um 
corpo em um espaço tridimensional. Para isto utilizaremos a Figura 26. Nela está representado 
todos os possíveis movimentos do objeto em destaque.
Figura 26 - Representação dos possíveis movimentos de um objeto 
qualquer no espaço
 
Fonte: do próprio autor
Vamos à análise da Figura acima. O nosso objeto pode andar para frente e para trás sobre 
o eixo x, pode andar para frente e para trás sobre o eixo y, pode andar para cima e para baixo 
sobre o eixo z, pode girar em torno do eixo x, pode girar em torno do eixo y e pode girar em 
torno do eixo z. No total são 6 movimentos possíveis.
Portanto, conseguimos gerar 6 equações da estática para resolver o problema em questão.
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∑x =0 ( Somatória dos esforços em X é igual a zero)
∑y =0 ( Somatória dos esforços em Y é igual a zero)
∑z =0 ( Somatória dos esforços em Z é igual a zero)
∑Mx =0(Somatória dos momentos em X é igual a zero)
∑My =0(Somatória dos momentos em Y é igual a zero)
∑Mz =0(Somatória dos momentos em Y é igual a zero)
Quando resolvemos os exercícios das aulas anteriores nós não usamos todas as 6 equações, 
pois supomos que não existia nenhuma influência das equações que se apresentam fora do 
plano do desenho. Quer fazer um teste? Volte em qualquer exercício das aulas anteriores e 
faça alguma somatória que não fizemos, você irá perceber que 0 é igual a 0, ou seja, não 
tem nada para somar nas outras dimensões.
Anote isso
As estruturas que conseguimos resolver apenas com as somatórias apresentadas são 
chamadas de estruturas isostáticas. Quando não conseguimos resolver apenas com 
as equações já mencionadas são chamadas de estruturas hiperestáticas. Este tópico 
será melhor desenvolvido nas próximas aulas.
Por fim podemos introduzir um novo conceito a partir das movimentações possíveis para 
um objeto. Cada umadessas possíveis movimentações são chamadas de grau de liberdade.
Se o corpo for livre para fazer os seis movimentos apresentados dizemos que ele possui 
seis graus de liberdade. Se ele for livre para fazer apenas três movimentos, dizemos que ele 
possui três graus de liberdade. 
E por fim chamamos de vinculações aquilo que restringe movimentos da estrutura, podendo 
restringir de 1 até 6 movimentos.
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6.1 Tipos comuns de vinculações
Existem alguns tipos comuns de estruturas como vigas, pórticos e treliças. Na Figura 27 
temos a representação de vigas de pontes. 
Figura 27 - Vigas de ponte em concreto 
 
Fonte: https://www.noticiasinfoco.com.br/artigo/ponte-de-ibiraquera-recebe-vigas-pre-moldadas
Na Figura 28 temos a representação de pórticos (estruturas com pilares e vigas) metálicos.
Figura 28 - Pórticos metálicos
 
Fonte: https://www.structuraco.com/wp-content/uploads/2019/09/estruturas-met%C3%A1licas-em-ouro-preto-1-777x518.jpg
https://www.noticiasinfoco.com.br/artigo/ponte-de-ibiraquera-recebe-vigas-pre-moldadas
https://www.structuraco.com/wp-content/uploads/2019/09/estruturas-met%C3%A1licas-em-ouro-preto-1-777x518.jpg
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Na Figura 29 temos a representação de treliças de cobertura em madeira.
Figura 29 - Treliças de cobertura
 
Fonte: https://www.guiadaengenharia.com/wp-content/uploads/2019/01/tesoura-madeira.jpg
Por mais que as Figuras acima representam estruturas diferentes, elas possuem algum 
tipo de vinculação que as mantêm fixadas sem apresentar movimentos. O projetista destas 
estruturas pensa em todos os detalhes das vinculações que as sustentam. Abaixo será 
apresentado o símbolo e a explicação para cada uma das vinculações mais clássicas.
- Apoio móvel é o tipo de vinculação utilizada quando desejamos deixar um movimento 
de translação livre, ou seja, deixar a estrutura mover-se ou em x, ou em y ou em z. Neste 
tipo de ligação não há impedimentos em relação ao giro da estrutura, ou seja, a estrutura 
pode girar. Na Figura 30 temos a representação do apoio móvel deixando livre os giros e a 
movimentação sobre o eixo x.
Figura 30 - Símbolo do apoio móvel
Fonte: do próprio autor
https://www.guiadaengenharia.com/wp-content/uploads/2019/01/tesoura-madeira.jpg
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- Apoio fixo é o tipo de vinculação utilizada quando desejamos impedir todas as translações, 
ou seja, a estrutura não conseguirá realizar nenhum movimento de translação sobre o eixo 
x, y ou z. Neste caso a estrutura ainda conseguirá apresentar giros em torno de x, y e z. Na 
Figura 31 temos a representação do apoio fixo.
Figura 31 - Representação do apoio fixo
Fonte: do próprio autor
- Engaste é o tipo de vinculação que utilizamos quando queremos impedir todos os 
possíveis movimentos da estrutura, ou seja, impedir a movimentação nos seis graus de 
liberdade mencionados. Neste caso a estrutura não poderá exercer movimentos de translação 
e nem de rotação. A Figura 32 é a representação desta vinculação.
Figura 32 - Representação do engaste
 
Fonte: do próprio autor
Portanto, as vinculações são escolhidas pelo projetista da forma mais adequada para 
cada situação. Na Figura 33 temos possíveis representações de vigas com os símbolos 
apresentados.
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Figura 33 - Quatro vigas com vinculações diferentes
 
Fonte: do próprio autor
Na Figura 34 temos estruturas em pórticos.
Figura 34 - Dois pórticos com vinculações diferentes
 
Fonte: do próprio autor
Na Figura 35 temos uma possível representação de treliça.
Figura 35 - Treliça
 
Fonte: do próprio autor
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Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
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corpo rígido e resolva alguns exercícios.
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AULA 7
REAÇÕES NAS VINCULAÇÕES
Nesta aula daremos continuidade ao tema das vinculações. As vinculações como vocês 
já sabem servem para impedir a movimentação em determinados pontos da estrutura. Na 
Figura 34 temos a representação de uma viga com as ações (carregamentos) atuantes. 
Uma das primeiras coisas que você deve saber é a interpretação das vinculações. No 
ponto “A” temos um apoio fixo em um apoio fixo a translação está impedida e a rotação está 
livre. Isto quer dizer que se fizermos uma força à direita na viga a vinculação no ponto “A” 
exercerá uma reação à esquerda, a mesma coisa acontecerá na vertical. Porém, se fizermos 
uma força que tende girar a viga no ponto “A” este giro não será impedido.
Anote isso
As vinculações são representações gráficas que substituem o desenho, por exemplo, 
de parafusos, pregos, solda entre outras condições de travamento. 
Figura 34 - Viga apoiada nos dois extremos (viga biapoiada)
Fonte: do próprio autor
No ponto “E” temos um apoio móvel, ou seja, ele deixa a viga se movimentar para a direita 
e para a esquerda em “E” porém trava movimentos verticais e de giro. Sendo assim em E só 
existirão reações verticais. Basta esta análise mais simplória para conseguirmos substituir 
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as vinculações pelas reações que a mesma poderá exercer sobre a viga. Na Figura 35 temos 
a representação do mesma esquema, porém com as reações já desenhadas.
Figura 35 - Esquema já substituído as reações
 
Fonte: do próprio autor
Em “A” temos duas forças, uma vertical chamada de “Va” e outra horizontal chamada de 
“Ha”. Elas surgem justamente pelo travamento do apoio fixo. Em “E” surge apenas uma força 
vertical “Ve” visto que todos os outros movimentos são permitidos. O que foi feito aqui deve 
ser feito em qualquer exercício deste assunto.
Na Figura 36 temos outro exemplo de vinculação possível para a mesma viga. Neste 
caso só existe uma vinculação (engaste), porém ela sozinha é capaz de impedir todos os 
movimentos (translações e rotações). Portanto, fixando apenas um ponto da viga podemos 
mantê-la parada.
Figura 36 - Viga engastada apenas em um extremo. (viga em 
balanço)
 
Fonte: do próprio autor
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Neste caso o esquema das reações que vão surgir mudam, visto que em “E” não temos 
mais nenhum impedimento. Na Figura 37 estão representadas as novas situações de reações, 
uma força vertical “Va” uma força horizontal “Ha” e um momento “Ma”.
Figura 37 - Reações em uma viga engastada
 
Fonte: do próprio autor
Anote isso
É você que adota o sentido dos esforços das reações, o procedimento de cálculo ajustará 
o sentido deles se você errar neste chute inicial. Errar o sentido não é a mesma coisa 
que deixar de colocar alguma reação.
O que discutimos até aqui é válido para qualquer estrutura, seja ela uma viga, um pórtico ou 
uma treliça. Antes de encerrarmos essa parte da aula vamos a um pergunta muito interessante.
Por que podemos projetar a “estrutura 1” da Figura 38 e a “estrutura 2” não? 
Figura 38 - Exemplo de duas estruturas
 
Fonte: do próprio autor
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O objetivo de projetar uma viga é mantê-la estática, ou seja, parada. Na estrutura 1 tudo 
está travado, inclusive a mais que o mínimo. Na estrutura 1 temos um engaste a esquerda 
que já dá conta de travar todos os movimentos possíveis da viga, porém além dele temos 
um apoio móvel que tambémdá mais vinculações a viga. Neste caso a estrutura é chamada 
de hiperestática.
Na estrutura dois temos apenas uma vinculação de apoio móvel, porém mesmo se ela 
fosse apoio fixo ainda sim a estrutura iria apresentar movimentos. Como o objetivo é projetar 
algo que se mantém em equilíbrio estático e na estrutura 2 claramente há movimentações 
não poderemos realizar o projeto dela. Quando na estrutura faltar vinculações chamamos 
ela de hipostática.
Na Figura 39 temos apenas mais um exemplo dos conceitos ensinados até aqui para 
uma treliça. 
Figura 39 - Treliça vinculada e com as reações de apoio
 
Fonte: do próprio autor
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7.1 Cargas concentradas e distribuídas
Até aqui já trabalhamos muito com cargas concentradas. São os próprios vetores com sua 
indicação de intensidade. Porém, não é sempre que conseguimos representar um fenômeno 
apenas com cargas concentradas. Existem fenômenos (muitos) que precisamos de uma 
representação melhor e é aí que entra a carga distribuída. Quer um exemplo? Imagine a 
situação da Figura 40.
Figura 40 - Situação distribuída x situação concentrada
 
Fonte: do póprio autor
Temos dois objetos diferentes sobre a viga (representação a esquerda), os dois pesam 
30kN. Porém, possuem tamanhos diferentes. À direita temos a melhor representação possível 
para as situações à esquerda. 
Como o primeiro objeto é grande simplificar ele em uma situação de força concentrada 
não faz sentido fisicamente. Por isso representamos graficamente como uma série de vetores 
conforme mostrado no esquema à direita. O objeto maior pesa 30kN, por isso na representação 
a direita ficamos com 10kN a cada metro (10kN/m).
30kN =3m x 10kN/m
 
No segundo exemplo o objeto que está apoiado sobre a viga é relativamente pequeno 
em relação à própria viga, por isso podemos simplificar o esquema para apenas uma força 
concentrada.
 
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AULA 8
EXERCÍCIOS DE REAÇÕES
8.1 Exercício 1
 
Nesta aula iremos direto ao que interessa. Portanto, vamos resolver o problema indicado 
na Figura 41.
Figura 41 - Exercício de reações de apoio número 1
Fonte: do próprio autor
Temos que encontrar as reações e só temos três equações possíveis neste plano.
∑x =0 ( Somatória dos esforços em X é igual a zero)
∑y =0 ( Somatória dos esforços em Y é igual a zero)
∑M =0(Somatória dos momentos é igual a zero)
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A única polêmica em relação às equações acima é aonde vamos adotar a somatória de 
momentos. A dica é escolha uma das vinculações e adote sentido horário como positivo. 
Resolvendo as equações acima teremos.
∑x =0 (adotando positivo para direita)
Ha =0 
∑y =0 (adotando positivo para cima)
Va -30+Vb =0 
∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A)
30x2-Vb x 3 =0 
30x2=Vb x 3 
 =Vb 
20kN=Vb 
Agora que encontramos Vb basta substituir na equação abaixo e fim. A resposta final 
está na Figura 42.
Va -30+Vb =0 
Va -30+20 =0 
Va =10kN 
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Figura 42 - Resposta para o primeiro exercício
Fonte: do próprio autor
8.2 Exercício 2
O segundo exercício está representado na Figura 43.
Figura 43 - Segundo exercício
Fonte: do próprio autor
As equações são as mesmas, o que muda agora é que vamos aprender a trabalhar com 
carregamentos distribuídos sobre a viga. O primeiro passo é fazer uma equivalência teórica 
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entre o carregamento distribuído e uma força concentrada imaginária no centro de gravidade 
do carregamento. A Figura 44 apresenta esta equivalência.
Figura 44 - Equivalência entre o carregamento distribuído e uma 
força concentrada
Fonte: do próprio autor
Na Figura 45 a força tracejada não existe! Ela está ali como uma força equivalente ao 
carregamento distribuído de 10kN/m. 
30kN =3m x 10kN/m
Com o esquema equivalente apresentado podemos seguir adiante.
∑x =0 (adotando positivo para direita)
Ha =0 
∑y =0 (adotando positivo para cima)
Va -30+Vb =0 
∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A)
30x1,5-Vb x 3 =0 
30x1,5=Vb x 3 
15kN=Vb 
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Agora basta substituir “Vb” na seguinte equação.
Va -30+Vb =0 
Va =15kN 
A resposta final está representada na Figura 45. Percebam que a resposta muda do 
exercício 1 para o 2. No exercício 1 temos uma força concentrada mais próxima do apoio 
móvel à direita, por isso a reação à direita é maior. No exercício 2 o carregamento distribuído 
ocupa toda a viga por isso metade da força equivalente vai para cada apoio. Imagine você 
sobre a viga, sendo você um carregamento concentrado, quanto mais próximo de um apoio 
você estiver mais seu peso reagirá com este apoio. Se você estiver em cima do apoio, todo 
o seu peso vai para o apoio abaixo de você.
Figura 45 - Resposta do exercício 2
Fonte: do próprio autor
8.3 Exercício 3
 
Vamos resolver o exercício da Figura 46. O primeiro passo é encontrar um sistema 
equivalente para o esquema apresentado. Então, vamos lá.
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Figura 46 - Exercício 3
Fonte: do próprio autor
sen(47°) x 10=y
7,313537 kN=y
7,32 kN=y (arredondamento feito a favor da segurança para a estrutura)
cos(47°) x 10=x
6,8199kN=x
6,82kN=x
A força equivalente ao carregamento distribuído apresentado na Figura 46 será dada pela 
expressão abaixo.
3 kN/m x 3m =Força equivalente 
9 kN =Força equivalente 
Tudo o que fizemos está representado na Figura 47.
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Figura 47 - Sistemas equivalentes
Fonte: do próprio autor
Agora estamos preparados para aplicar as nossas fórmulas básicas.
∑x =0 (adotando positivo para direita)
Ha + 6,82kN=0 
Ha = -6,82kN 
Aqui o sinal ficou negativo, isto significa que a força “Ha” não está do jeito que representamos 
e sim no sentido contrário. Olhe a Figura 48 !
∑y =0 (adotando positivo para cima)
Va -7,32 -9 =0 
Va=16,32kN 
∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A)
7,32 x 2 + 9 x 5,5 +Ma =0
Ma = -64,14kN.m
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Como o valor de Ma deu negativo significa que adotamos o sentido do giro de forma 
errônea no começo. Na Figura 48 temos a representação gráfica da resposta final.
Figura 48 - Resumo de todas as etapas
Fonte: do próprio autor
Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de um 
corpo rígido e resolva alguns exercícios.
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AULA 9
TRELIÇAS
Nós trabalhamos até aqui com o conceito de estática, como manipular os vetores, as 
cargas concentradas, as cargas distribuídas e as reações de apoio. Daqui para frente iremos 
trabalhar com o que acontece internamente na estrutura.
Saber sobre os esforços internos é fundamental para fazer o projeto da estrutura. Com 
esta informação consegue-se saber quais as dimensões das barras que podemos utilizar.
Este curso nãoé de projeto estrutural, mas ele dará condições para você entender o que 
se passa dentro de uma treliça, de uma viga, de um pilar e de um pórtico.
Antes de resolvermos uma treliça do começo ao fim, vamos primeiramente estabelecer 
uma nova convenção de sinais. Há dois fenômenos novos que vou apresentar a vocês, 
tração e compressão.
A tração é basicamente um esforço que tende a alongar um corpo e a compressão é o 
efeito contrário. Vamos olhar a Figura 49.
Figura 49 - Tração x Compressão
 
Fonte: do próprio autor
Na Figura 49 temos o objeto sem nenhum esforço aplicado e depois duas situações uma 
com o esquema da tração (forças no sentido de alongar o corpo) e a outra com o esquema 
da compressão (forças no sentido de juntar as extremidades do objeto). A tração tem sinal 
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positivo e a compressão tem sinal negativo. Ajuda a decorar se você pensar que o sinal de 
mais é no sentido de aumentar e o de menos é no sentido de diminuir.
Agora que já fizemos a definição de tração e compressão podemos encontrar tudo o que 
precisamos na nossa treliça. A treliça é um esquema estrutural cuja tendência é apenas 
de gerar em suas barras esses dois esforços apenas. Portanto, encontraremos todas as 
informações básicas necessárias para um projeto estrutural de uma treliça. Dê uma olhada 
nas Figuras 50, 51 e 52, todas são de exemplos de estruturas treliçadas.
Figura 50 - Exemplo de treliça para coberturas
 
Fonte: https://www.aecweb.com.br/prod/cls/anuncios/pes_42988/Estrutura-Metalica-Trelicada-1-gran.jpg
Figura 51 - Exemplo de treliça tanto para pilares como para 
coberturas
 
Fonte: https://imagens.mfrural.com.br/mfrural-produtos-us/126479-186695-1499558-estruturas-metalicas-pilar-trelica-tesoura-metalica-galpao-aviario.jpg
https://www.aecweb.com.br/prod/cls/anuncios/pes_42988/Estrutura-Metalica-Trelicada-1-gran.jpg
https://imagens.mfrural.com.br/mfrural-produtos-us/126479-186695-1499558-estruturas-metalicas-pilar-trelica-tesoura-metalica-galpao-aviario.jpg
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Figura 52 - Ponte treliçada
 
Fonte: https://www.engwhere.com.br/wp-content/uploads/2018/07/treli%C3%A7as-1-810x330@2x.jpg
9.1 Resolução completa de uma treliça isostática
Este curso baseia-se em estruturas isostáticas, ou seja, aquelas que podemos resolver 
apenas com as equações mostradas até aqui. O roteiro que vou desenvolver aqui serve para 
qualquer treliça isostática, portanto, fique atento ao passo a passo. Na Figura 53 temos a 
treliça que vamos resolver e o esquema de suas reações de apoio. Portanto, o primeiro passo 
para a resolução é igual ao que já vínhamos fazendo. Coloque nome em alguns pontos para 
facilitar a organização.
Figura 53 - Treliça e suas reações de apoio
 
Fonte: do próprio autor
https://www.engwhere.com.br/wp-content/uploads/2018/07/treli%C3%A7as-1-810x330@2x.jpg
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Vamos aplicar agora as equações de somatória da aula anterior.
∑x =0 (adotando positivo para direita)
Ha + Hb=0 
∑y =0 (adotando positivo para cima)
+Va -10 =0 
Va =10kN 
∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A)
10x2-Hb x 2 =0 
10kN=Hb 
Substituindo Hb na equação abaixo.
Ha + Hb=0 
Ha + 10kN=0 
Ha =- 10kN (O sinal negativo indica que devemos mudar o sentido do vetor Ha)
Ficamos, portanto, com o esquema da Figura 54. Os valores ficaram todos iguais a 10kN 
porque a treliça é quadrada, mudando a geometria as reações mudam.
Figura 54 - Valores das reações de apoio
 
Fonte: do próprio autor
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Na treliça chamamos cada encontro de barras de nó. Portanto, a estrutura acima possui 
quatro nós (A, B, C e D). As forças em uma treliça são aplicadas diretamente em cima dos 
nós e por causa disso elas “caminham” pelas barras apenas na direção da barra. Se toda a 
estrutura está parada, os nós da estrutura também estarão. Conseguiremos então aplicar 
as equações da estática para cada nó independentemente, basta para isto colocar todas as 
forças que atuam em cada nó. Em resumo fazer o diagrama de corpo livre para cada nó. A 
dica aqui é sempre adotar as forças das barras saindo do nó conforme a Figura 55.
Figura 55 - Diagrama de corpo livre para cada nó da treliça
 
Fonte: do próprio autor
A primeira conclusão é que existem pares ação-reação. Portanto, existem forças iguais 
dadas pelas equações abaixo.
Fad=Fda
Fab=Fba
Fbd=Fdb
Fcd=Fdc
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A próxima etapa exige um pouco de bom senso. Quais os nós mais fáceis de aplicar à 
somatória de forças no caso apresentado? Os nós mais fáceis são o nó “A” e o nó “C”.
∑x =0 (adotando positivo para direita no nó A)
-10 + Fad=0 
Fad=10kN 
∑y =0 (adotando positivo para cima no nó A)
10 - Fab=0 
Fab=10kN 
∑x =0 (adotando positivo para direita no nó C)
-Fcb=0 
Fcb=0 
∑y =0 (adotando positivo para cima no nó C)
Fcd=0 
Com isso já resolvemos mais da metade do problema. Em resumo ficamos com os 
dados da Figura 56. O nó “C” não ficou com nenhuma força representada porque os valores 
encontrados ali são iguais a zero. No nó “B” e “D” já foi substituído os valores de 10kN que 
são reação aos respectivos valores no nó “A”.
Figura 56 - Resumo das reações encontradas até agora
 
Fonte: do próprio autor
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A única força que falta é o Fbd que é igual ao Ffb. Como nossa treliça é quadrada a 
inclinação dessa força é de 45 graus. Sendo assim, vamos fazer a somatória das forças no 
nó “B”.
∑x =0 (adotando positivo para direita no nó B)
10 + Fbd x cos(45)=0 
 Fbd =-14,14kN 
Feito isso resolvemos o problema praticamente. O sinal negativo indica que devemos 
inverter o sentido da força Fbd. O esquema final dos diagramas de corpo livre está na Figura 
57. 
Figura 57 - Final das reações nos nós
 
Fonte: do próprio autor
Porém, não queremos o que acontece no nó, queremos o que acontece nas barras. Usando 
o conceito de ação-reação e de diagrama de corpo livre para as barras vamos ficar com o 
esquema da Figura 58 à esquerda. Na mesma Figura 58 à direita ficaremos com a resposta 
final do problema.
A resposta final é representada por um retângulo para cada barra que possui esforço 
porque os esforços de tração e de compressão são constantes ao longo das barras.
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Figura 58 - Esquema das reações nas barras à esquerda e resposta 
final do problema à direita.
 
Fonte: do próprio autor
Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao analise estrutural 
de treliças e resolva alguns exercícios.
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AULA 10
VIGAS ISOSTÁTICAS
Para darmos continuidade ao nosso estudo precisamos acrescentar dois novos fenômenos. 
Na aula anterior entendemos a compressão e a tração. Agora iremos estudar o esforço 
cortante e o momento fletor.
O esforço cortante assim como o nome diz é aquele que tende a cortar a seção de uma 
estrutura qualquer. O corte acontece quando temos forças em sentidos contrários como é 
mostrado na Figura 59.
Figura 59 - Representação do esforço cortante
 
Fonte: do próprio autor
O momento fletor(relativo à flexão) acontece quando existe a tendência do corpo apresentar 
uma curvatura quando submetido a um carregamento ortogonal ao eixo da peça estudada. Este 
carregamento pode ser concentrado e/ou distribuído. Na Figura 60 temos uma representaçãoda flexão.
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Figura 60 - Efeito da flexão
 
Fonte: do próprio autor
Os dois fenômenos apresentados estão conectados matematicamente e fisicamente com 
o carregamento sobre a estrutura estudada. Se você lembrar de cálculo diferencial e integral 
I é possível estabelecer a seguinte relação matemática.
 =V(x) (A derivada do momento fletor em relação ao comprimento é igual ao 
esforço cortante)
 (A derivada do esforço cortante em relação ao comprimento é igual ao 
carregamento)
Fique tranquilo, não será necessário ir pela definição formal para prosseguirmos, mas 
saiba que existe esta possibilidade.
10.1 Exemplo 1
Vamos começar com a viga apresentada na Figura 61.
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Figura 61 - Viga com uma carga concentrada
 
Fonte: do próprio autor
Percebam que existem forças em sentidos contrários e que naturalmente a viga acima 
terá um movimento no sentido de flexionar. Como mapear esses fenômenos na viga? 
Nós vamos estudar ela ponto a ponto. Nos primeiros dois metros e depois no último 
metro. Vamos imaginar a estrutura sendo cortada até os primeiros dois metros conforme 
a Figura 62.
Figura 62 - Analisando a viga até 2 metros
 
Fonte: do próprio autor
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Até dois metros, portanto, temos um esforço constante que tende girar a nossa viga no 
sentido horário em relação ao ponto de estudo. Esse esforço é o esforço cortante e ele não 
mudará de intensidade até o comprimento desejado menor que dois metros. 
Vamos estabelecer a convenção de sinal para o esforço cortante. Toda vez que você fizer 
a análise e identificar giro no sentido horário o esforço cortante será positivo, caso contrário, 
negativo.
Em relação ao momento fletor percebam que ele vai aumentando à medida que chegamos 
mais próximo de dois metros. Como eu sei? Momento é igual força vezes distância, a medida 
que você imagina a viga sendo cortada até dois metros a distância aumenta, portanto o 
momento aumenta linearmente.
- Até 2m esforço cortante vale +10kN
- Até 2m momento fletor vai de 0 até 2x10= 20kN.m
 
Vamos estudar o que acontece após os dois metros pela Figura 63. Olhando a imagem 
percebemos que agora o giro relativo acontece em sentido anti-horário, pois a força resultante 
passa a ser 20kN para baixo. Em relação ao momento fletor percebemos uma diminuição 
dos 20kN.m, pois agora temos a força de 10kN vezes a sua distância até o ponto e também 
a força de 30kN vezes a sua distância até o ponto que tende a aumentar. Na extremidade 
direita da viga o momento fletor será dado pela seguinte expressão.
10x3 -30x1=0
Figura 63 - Analisando a viga após dois metros
 
Fonte: do próprio autor
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Como vamos resumir tudo isso? De maneira gráfica conforme a Figura 64. Olhe as 
conclusões que chegamos acima e compare com os dados apresentados na Figura 64. 
Vocês perceberão que todas as informações batem.
Figura 64 - Resumo gráfico das informações
 
Fonte: do próprio autor
Nas vigas, quando a cortante for positiva, o gráfico(diagrama) da cortante é representado 
acima. O diagrama do momento fletor será sempre representado do lado onde houver a 
tração. Para chegar ao desenho do gráfico basta ir quebrando a estrutura mentalmente e ir 
estudando o que acontece. Aqui o que vale é o raciocínio, você não precisa decorar quase 
nada.
10.2 Exemplo 2
Vamos a viga dada pela Figura 64.
Figura 64 - Exemplo 2
 
Fonte: do próprio autor
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Seguindo o mesmo raciocínio de ir “quebrando” a estrutura trecho a trecho vamos chegar 
a representação dada pela Figura 65.
- Corte 1 - V(x) = +13,33 kN 
- Corte 1 - Momento máximo = 13,33x1=13,33kN.m
- Corte 2 - V(x) = +13,33 - 10 = 3,33kN 
- Corte 2 - Momento máximo = 13,33x3-10x2=20kN.m
- Corte 3 - V(x) = +13,33 - 10 - 20 = -16,67 kN
- Corte 3 - Momento máximo = 13,33x5-10x4 -20x2= -13,33kN.m
- Corte 4 - V(x) = +13,33 - 10 - 20 +30 = 13,33 kN
- Corte 4 - Momento máximo = 0kN.m
A resposta final está na Figura 66.
Figura 65 - Resumo da análise
 
Fonte: do próprio autor
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Figura 66 - Diagrama do esforço cortante e do momento fletor, 
respectivamente
 
Fonte: do próprio autor
10.3 Exemplo 3
Vamos resolver o caso da Figura 67
Figura 67 - Exemplo 3
 
Fonte: do próprio autor
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Aqui o raciocínio é o mesmo, porém vamos ter um carregamento distribuído em vez de 
um carregamento concentrado. Vale a mesma ideia, ir “quebrando” a estrutura e fazendo a 
análise.
Devido às relações matemáticas do começo desta aula chegamos à seguinte conclusão. 
Como o carregamento é constante, o diagrama do esforço cortante será uma função do 
primeiro grau e o diagrama do momento fletor será uma função do segundo grau.
- Corte 1 - O esforço cortante será igual a +15kN apenas, pois o carregamento distribuído 
é muito pequeno para gerar um esforço contrário.
- Corte 1 - O momento fletor será igual a zero, pois a distância é infinitamente 
pequena(0,00001mm).
- Corte 2 - O esforço cortante será dado por +15 - 10x1,5 = 0 kN
- Corte 2 - O momento fletor será dado pela seguinte expressão.
M(x)=+15 x 1,5 - 10x1,5x 1,5/2 =11,25kN.m
Figura 68 - Cortes estratégicos para a estrutura
 
Fonte: do próprio autor
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Figura 69 - Diagrama do esforço cortante e momento fletor, 
respectivamente
 
Fonte: do próprio autor
Anote isso
A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente às forças internas e 
resolva alguns exercícios.
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AULA 11
PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
Nesta aula não há nenhum conceito novo, porém a estrutura a ser estudada aqui exige um 
pouco mais. Traçaremos todos os gráficos para ela, diagrama de esforço normal (tração e 
compressão), diagrama de esforço cortante e diagrama de momento fletor. Desenvolveremos 
dois exercícios.
11.1 Exercício 1
A Figura 70 nos mostra o esquema do pórtico e suas cotas à esquerda e as reações à 
direita.
Figura 70 - Pórtico 1
 
Fonte: do próprio autor
O raciocínio aqui é o mesmo basta quebrarmos a estrutura em alguns pontos. Quanto 
mais você for experiente em menos trechos precisará fazer o análise.
Começaremos aqui com os esforços normais (tração ou compressão). Na Figura 71 
temos um corte na estrutura para a barra vertical da esquerda, nela podemos observar que 
independentemente de fazermos o corte mais acima ou mais abaixo, o esforço será sempre 
de compressão e igual a 5kN.
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Na Figura 72 temos um corte na barra horizontal. Tanto olhando para a direita como para 
a esquerda percebemos que nada tende a comprimir ou a tracionar esta barra.
Na Figura 73 temos um corte na barra vertical à direita. Percebam que não importa o 
lado e a altura do corte, sempre haverá uma compressão de 15 kN.
Na Figura 74 encontramos a resposta final para o efeito dos esforços normais (tração e 
compressão), no pórtico estudado não tivemos tração, apenas compressão.
Figura 71 - Pórtico 1, estudo na barra vertical da esquerda
 
Fonte: do próprio autor
Figura 72 - Pórtico 1, estudo na barra horizontal 
 
Fonte: do próprioautor
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Figura 73 - Pórtico 1, estudo na barra vertical à direita
 
Fonte: do próprio autor
Figura 75 - Diagrama do esforço normal para o pórtico
Fonte: do próprio autor
Agora iremos estudar o mesmo pórtico para o esforço cortante. A dica aqui é quebrar a 
estrutura no entorno das forças concentradas conforme as Figuras 76 e 77.
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Figura 76 - Estudo do esforço cortante na barra vertical à esquerda
 
Fonte: do próprio autor
Figura 77 - Estudo do esforço cortante na barra horizontal
 
Fonte: do próprio autor
A conclusão dos estudos apresentados acima está dada como o diagrama do esforço 
cortante da Figura 78.
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Figura 78 - Diagrama do esforço cortante
 
Fonte: do próprio autor
Por fim vamos encontrar o diagrama do momento fletor. A primeira informação que tiramos 
do problema é que não existem cargas distribuídas, portanto, o momento fletor será função 
do primeiro grau (retas). Aqui a dica é cortar a estrutura nos cantos e na proximidade das 
forças.
A partir das Figuras 79 e 80 conseguimos chegar a conclusão de como será o gráfico do 
momento fletor para o nosso exercício 1. O gráfico está representado na Figura 81. 
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Figura 79 - Estudo do momento fletor na barra vertical à esquerda
 
Fonte: do próprio autor
Figura 80 - Estudo do momento fletor na barra horizontal
 
Fonte: do próprio autor
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Figura 81 - Resposta final para o momento fletor
 Fonte: do próprio autor
11.2 Exercício 2
O novo exercício será o da Figura 82.
Figura 82 - Pórtico com um carregamento distribuído e suas reações 
de apoio
 Fonte: do próprio autor
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Neste problema o primeiro passo é reconhecer duas situações principais não há esforços 
horizontais e há um carregamento distribuído. 
Saber que não esforços horizontais nos dá uma informação interessante a respeito do 
diagrama dos esforços cortantes. Nas duas barras verticais não há cortante. Faça um teste 
mental, imagine um corte na estrutura em algum ponto das barras verticais e olhe para 
baixo. Vai perceber que não há nenhum esforço com tendência ao giro.
Saber que há uma força distribuída em alguma região da estrutura nos indica que ali o 
diagrama do esforço cortante é variável e linear. Outra informação é que o diagrama do 
momento fletor será do segundo grau.
Dito tudo isso basta você ir cortando mentalmente a estrutura nos mais diversos pontos 
e ir calculando os valores.
Vamos começar pelo diagrama dos esforços normais (tração e compressão).
Figura 83 - Cortes estratégicos para entendermos o diagrama de 
esforço normal
 
Fonte: do róprio autor
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Figura 84 - Diagrama de esforço normal final
 
Fonte: do próprio autor
Podemos usar a própria Figura 83 para entender o diagrama de esforço cortante. Nas 
barras verticais será zero. E na barra horizontal se imaginarmos o corte na extremidade direita 
vamos perceber que a única força que gera giro é a de 20kN e é no sentido anti-horário, 
portanto cortante de -20kN. À medida que vamos trazendo o corte para a posição que se 
encontra na Figura 83 percebemos que esse esforço de 20kN no sentido anti-horário vai se 
anulando com o carregamento vertical para baixo até dar zero no centro do pórtico visto que 
10x2 = 20. Se você continuar esse procedimento mental vai perceber que o esforço cortante 
mudará de sentido quando nos aproximarmos das regiões mais a esquerda. O diagrama 
final do esforço cortante é dado pela Figura 85.
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Figura 85 - Diagrama final do esforço cortante
 
Fonte: do próprio autor
Por fim vamos ao diagrama do momento fletor. Na Figura 83 percebemos que não há nas 
barras verticais nenhum momento fletor visto que não temos nenhuma força com tendência 
de giro para aplicarmos a fórmula do momento fletor.
O momento fletor começará a se desenvolver nas extremidades da barra horizontal e 
aumentará à medida que chegamos no centro da estrutura. A fórmula do momento fletor 
no meio será dado pela seguinte equação.
M=-20x2+10x2x1=-20kN.m 
Isto significa que a tração será embaixo da viga e que o momento fletor máximo será de 
20kN.m. Finalmente chegamos na última resposta na Figura 86.
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Figura 86 - Diagrama do momento fletor para o pórtico
 
Fonte: do próprio autor
Anote isso
Acredito que perceberam não existir muitas regras. Aqui o que vale é o raciocínio na 
hora de imaginar a situação. Na dúvida faça vários cortes para conseguir compreender 
tudo o que acontece na estrutura. Com o tempo perceberá que não serão necessário 
muitos pontos.
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AULA 12
TENSÃO X DEFORMAÇÃO
Vamos revisar o que nós aprendemos até agora para você entender aonde estamos 
chegando.
- Recordamos a geometria básica necessária.
- Conceitos físicos básicos.
- Condições para uma partícula estar parada.
- Condições para um objeto estar parado.
- Descobrimos o que são vinculações.
- Encontramos as reações de apoio.
- Desenvolvemos cada um dos diagramas de esforços solicitantes.
O próximo passo é transformar esses esforços em tensões que atuam em um determinado 
ponto da nossa estrutura.
As tensões, portanto, acontecem internamente à estrutura. As tensões podem ser de 
tração, compressão e cisalhamento. O cisalhamento será explicado mais adiante.
Na Figura 87 temos uma boa representação do que é a tensão. Na imagem temos 
duas situações uma errada e outra correta. Na primeira situação seria imaginar que a 
força concentrada aplicada lá em cima do objeto desça passando internamente por todo o 
objeto sem se dissipar na seção da peça. Se isso fosse verdade não adiantaria aumentar as 
dimensões de um pilar, por exemplo, de um prédio para ele aguentar mais carga. 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS
PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 87
Figura 87 - Esquema representativo da tensão
 
Fonte: do próprio autor
Na imagem correta temos uma representação do que realmente acontece, aquela força 
concentrada tende naturalmente a se distribuir ao longo da seção do pilar. Essa distribuição 
não é instantânea, ela se desenvolve ao longo de um determinado comprimento. De maneira 
geral ela acaba se tornando uniforme.
Quando a tensão tende a diminuir o objeto, ela será chamada de tensão de compressão, 
quando ocorrer no sentido de alongar o objeto, ela será chamada de tensão de tração. 
Portanto estamos nos referindo a tensões normais (tensão de tração ou compressão). A 
fórmula da tensão está dada abaixo.
Tensão = Força _________
 Área 
Substituindo por uma simbologia mais adequada ficamos com a seguinte fórmula.
σ = (O símbolo σ só serve para representar tensões normais, ou seja, tração ou 
compressão)
Percebam que a fórmula é extremamente intuitiva, a força se distribuirá em uma determinada 
área.
 
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12.1 Deformação
Todo corpo quando submetido há algum tipo de esforço muda suas características 
geométricas. Algumas vezes é visível outras não. Um exemplo visível é pegar um chiclete