Escoamento interno

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Escoamento interno
Prof. Fábio Bicalho Cano
Descrição
A descrição física e geral do escoamento interno e da camada-limite
hidrodinâmica em escoamentos laminar e turbulento.
Propósito
Os escoamentos viscosos internos e incompressíveis são de extrema
importância para os engenheiros, destacando-se os escoamentos em
dutos de seção reta circular presentes em sistemas de abastecimento,
irrigação e saneamento de água, bem como em sistemas de tubulações
que transportam fluidos em geral, como petróleo. Estão presentes ainda
na engenharia os dutos não circulares e os canais abertos.
Objetivos
Módulo 1
Escoamento laminar em dutos fechados
Reconhecer o regime de escoamento laminar.
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Módulo 2
Escoamento turbulento
Descrever o regime de escoamento turbulento.
Módulo 3
Escoamento em canais abertos
Reconhecer canais de escoamento aberto.
Módulo 4
Perdas de energia devido ao atrito
Identificar as dissipações viscosas em tubos.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e
compreenda os conceitos de escoamento interno.

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1 - Escoamento laminar em dutos fechados
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o regime de escoamento laminar.
Vamos começar!
Conceituando o regime de
escoamento laminar!
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
Regimes de número de Reynolds

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O regime de escoamento laminar é aquele em que não se observa
movimento de mistura, caracterizando, assim, um movimento altamente
ordenado. Já o regime de escoamento turbulento é altamente
desordenado e acompanhado por flutuações de velocidade.
A classificação do regime de escoamento depende da relação entre as
forças inerciais e as forças viscosas presentes no fluido. Essa relação é
quantificada pelo número adimensional de Reynolds , definido pela
relação:
Em que:
 é a massa específica do fluido.
 é velocidade média de escoamento.
 é o diâmetro interno do tubo.
 é a viscosidade absoluto ou dinâmica.
 é a viscosidade cinemática.
O experimento de Reynolds, que consiste em observar o
comportamento de um pigmento colorido injetado no centro de um tubo
transparente submetido ao escoamento interno de água com vazão, é
gradativamente aumentado. Observe na representação a seguir.
Experimento de Reynolds.
As linhas de corrente de um escoamento viscoso, em seus limites
extremos de comportamento, podem ser de dois tipos, veja a diferença
entre eles a seguir:
(Re)
Re =
ρv̄D
μ
=
v̄D
v
ρ
v̄
D
μ
v
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Escoamento laminar
Vemos na tubulação transparente um filamento, uma linha ou
uma lâmina contínua de pigmento para o escoamento laminar,
em função do arrasto do pigmento pelo movimento comportado
do líquido.
Escoamento laminar, comportado com deslocamento camada a camada.
Escoamento turbulento
Vemos na tubulação transparente um zigue-zague, um
movimento aleatório ou mesmo o desaparecimento do pigmento
em função do movimento de mistura.
Escoamento turbulento, com completo movimento de mistura identificado pelos
vórtices.
Em termos do desenvolvimento da teoria científica, a imagem o
experimento de Reynolds levou à formulação teórica do comportamento
apresentado do tipo de escoamento.
O número de Reynolds crítico é aquele a partir do qual o
escoamento deixa de ser laminar. É consenso na literatura que, para um
escoamento interno a dutos com seção reta circular, o valor máximo
para o número de Reynolds crítico é:
O experimento de Reynolds
(Recr)
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Para a maioria das condições práticas, podemos classificar os regimes
de escoamento viscosos conforme os seguintes limites:
Escoamento laminar (limite rígido)
Escoamento transitório (limite superior não
rígido)
Escoamento turbulento (limite não rígido)
O escoamento que apresenta número de Reynolds próximo ao valor do
 é chamado de escoamento intermitente, pois é possível observar
alternância de regimes de escoamento: ora laminar, ora turbulento.
Os tubos são dutos de seção reta circular. Para dutos em que a seção
reta não é circular, para a classificação do regime de escoamento
viscoso, utilizamos no cálculo do número de Reynolds o diâmetro
hidráulico definido por:
Em que:
 é a área da seção reta do duto.
Recr = 2300
Re < 2.300
2.300 ≤ Re ≤ 4.000
Re > 4.000
Recr
DH
DH =
4ASR
Pm
ASR
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 é o perímetro molhado, ou seja, o comprimento total da seção
reta que é alcançado pelo fluido.
A expressão do diâmetro hidráulico é definida de forma que, quando
aplicada ao tubo, a relação gera como resultado . A seguir são
apresentadas as determinações do diâmetro hidráulico para algumas
seções retas de escoamento.
A determinação é feita pela seguinte expressão:
A determinação é feita pela seguinte expressão:
A determinação é feita pela seguinte expressão:
Pm
DH = D
Tubos 
DH =
4(πD2/4)
πD
= D
Dutos de seção reta retangular 
DH =
4ab
2(a+b)
= 2ab
a+b
Dutos de seção reta quadrada 
DH =
4a2
4a = a
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A determinação é feita pela seguinte expressão:
A equação do escoamento laminar
em tubos
Vamos considerar o balanço do momento para um pequeno volume de
fluido incompressível na forma de anel, com espessura e
comprimento , em um escoamento laminar, permanente e
completamente desenvolvido, conforme a representação a seguir.
Canais abertos 
DH =
4ab
2a+b
dr
dx
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Representação esquemática de um pequeno elemento de volume de fluido em escoamento interno
laminar completamente desenvolvido em tubo, para o cálculo do momento.
Na imagem, não existe movimento na direção radial, e a velocidade do
fluido na direção é alterada em função do raio, tal que .
Como o perfil de velocidades (envelope de setas em azul) é estacionário
e completamente desenvolvido, não existe variação da quantidade de
movimento ao longo do escoamento, portanto, não existe aceleração, ou
seja, .
Logo, podemos escrever para o somatório de forças que atuam sobre o
elemento de volume de fluido:
Dividindo a expressão anterior por e invertendo a posição dos
termos, temos:
Aplicando o limite quando o elemento de volume tende a zero, ou seja,
, temos:
x u = u(r)
∑ F = 0
2πrdrPx − 2πrdrPx+dx + (2πrdxτ)r − (2πrdxτ)r+dr = 0
2πdrdx
r
Px+dx − Px
dx
+
(rτ)r+dr − (rτ)r
dr
= 0
drdx → 0
r
dP
dx
+
d
dr
(rτ) = 0
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Conforme a imagem anterior, os sentidos das tensões representados no
elemento de volume foram considerados no equacionamento. Logo, as
tensões devem ser consideradas em módulo. Supondo uma relação
linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação, sabendo
que , temos para a tensão de cisalhamento:
Assim:
Na equação anterior, observamos à esquerda uma função e à
direita uma função . Essa igualdade só será possível se
 constante. Assim, podemos considerar 
constante e, por integração, podemos escrever:
 integração em relação a :
 integração em relação a :
Como condições de contorno, temos:
Portanto:
E finalmente:
du/dr< 0
τ = μ
du
dr
μ
r
d
dr
( r
du
dr
) =
dP
dx
f(r)
g(x)
f(r) = g(x) = dP/dx =
1a– r
r du
dr
= r
2
2μ
dP
dx
+ C1
2a– r
u(r) = r
2
4μ
dP
dx
+ C1 ln r + C2
du
dr
= 0,  quando r = 0 ⇒ C1 = 0
u = 0,  quando r = R ⇒ C2 = −
R2
4μ
dP
dx
u(r) =
r2
4μ
dP
dx
−
R2
4μ
dP
dx
=
1
4μ
dP
dx
(r2 − R2) =
R2
4μ
dP
dx
(
r2
R2
− 1)
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A velocidade média é definida por:
Com base na equação anterior, podemos observar que:
A velocidade máxima é determinada para , veja:
Agora, vamos ver a determinação da queda de pressão e da perda de
carga.
Para um comprimento linear do tubo, a queda de pressão no
escoamento será dada por:
Considerando o escoamento laminar, a velocidade média e sabendo
que , temos:
A queda de pressão proveniente dos efeitos viscosos é um processo
irreversível, que na prática tem relação direta com o fator de atrito e a
pressão dinâmica, independentemente do escoamento ser laminar,
transitório ou turbulento:
u(r) = −
R2
4μ
dP
dx
( 1 −
r2
R2
)
v̄
v̄ =
∫ u(r)dA
ASR
v̄ =
∫ R0 u(r)2πrdr
πR2
=
∫ R0 −
R2
4μ
dP
dx
( 1 − r
2
R2
) 2πrdr
πR2
= −
1
2μ
dP
dx
∫
R
0
( 1 −
r2
R2
) rdr
v̄ = −
R2
8μ
dP
dx
u(r) = −
R2
4μ
dP
dx
( 1 −
r2
R2
) = 2v̄ ( 1 −
r2
R2
)
vmáx  r = 0
vmáx  = −
R2
4μ
dP
dx
= 2v̄
L
−
dP
dx
=
P1 − P2
L
v̄
D = 2R
ΔPL = P1 − P2 =
8μv̄L
R2
=
32μv̄L
D2
f
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Assim, para o escoamento laminar, temos para o fator de atrito :
A perda de carga é definida como:
Para o cálculo da vazão , temos:
Essa equação é denominada lei de Poiseuille e o escoamento que
segue esse comportamento é chamado de Hagen-Poiseuille.
A região de entrada
As partículas na camada em contato direto com a parede têm sua
velocidade zerada quando o fluido entra no duto. Esse efeito é
denominado princípio da aderência ou do não escorregamento.
Devido ao atrito entre camadas de fluido, as camadas vizinhas têm suas
velocidades gradativamente diminuídas, apresentando um valor máximo
no eixo central de simetria do duto. A sequência desses efeitos segue a
representação da imagem a seguir.
ΔPL = f
L
D
ρv̄2
2
f
f =
64μ
ρv̄D
=
64
Re
hL
hL =
ΔPL
γ
=
1
ρg
f
L
D
ρv̄2
2
= f
L
D
v̄2
2g
Q
Q = V̇ = v̄ASR =
(P1 − P2)D2
32μL
πD2
4
=
ΔPLπD4
128μL
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Desenvolvimento da camada-limite de velocidade em tubo.
Podemos observar na imagem uma região em que os efeitos viscosos
são dominantes e existe uma variação significativa de velocidades. Essa
região é denominada camada-limite de velocidade ou simplesmente
camada-limite.
Na região central, delimitada pela fronteira da camada-limite, até
determinado comprimento ao longo da direção , observa-se uma
região onde os efeitos viscosos no escoamento são desprezíveis (região
de escoamento invíscido-central)
Com o transcorrer do escoamento, a extensão da camada-limite
aumenta na direção do escoamento até sua fronteira alcançar o centro
do tubo, situação em que a região de escoamento invíscido desaparece.
A partir daí, um comprimento adicional é necessário para o
término do desenvolvimento do per�l de velocidades.
A região compreendida da entrada do tubo até o ponto de estabilização
completa do perfil de velocidades é chamada de região de entrada
hidrodinâmica e o comprimento associado a sua extensão é
denominado comprimento de entrada .
A região que se inicia com o perfil de velocidades completamente
desenvolvido e inalterado é denominada região hidrodinamicamente
completamente desenvolvida.
Para um duto de seção reta circular, o perfil de velocidades na região de
escoamento laminar completamente desenvolvido é parabólico.
A tensão de cisalhamento na parede é mais alta na entrada do tubo,
onde a espessura da camada-limite é menor e diminui até atingir o valor
constante igual à tensão na parede, quando o escoamento se apresenta
completamente desenvolvido, conforme a representação da imagem a
seguir.
x
LE
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Redução da tensão de cisalhamento na parede ao longo do comprimento de entrada.
Empiricamente, para o escoamento laminar, o comprimento de entrada
hidrodinâmica é estimado por:
Em que é o diâmetro interno do tubo.
Para , temos para o comprimento de entrada:
Para o escoamento turbulento, o comprimento de entrada hidrodinâmica
é menor que o comprimento laminar e pode ser estimado por:
Em muitos problemas práticos de engenharia que envolvem
escoamentos turbulentos, o comprimento de entrada hidrodinâmico
pode ser aproximado para:
LE
D
= 0, 05Re
D
Recr = 2.300
LE = 115D
LE
D
= 1, 359Re1/4
LE ≅10
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
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Para o escoamento de Hagen-Poiseuille:
Podemos concluir que, para uma vazão especificada, a queda de
pressão é
Parabéns! A alternativa C está correta.
Vamos isolar , ignorando as constantes para fazer uma análise
dimensional:
Veja que ao isolar o , o permaneceu no denominador.
Questão 2
Observe a imagem a seguir e indique o que representa o
comprimento .
V̇ = ΔPLπD
4
128μL
V̇
A inversamente proporcional ao comprimento do tubo.
B inversamente proporcional à viscosidade do fluido.
C
inversamente proporcional à quarta potência do
diâmetro.
D diretamente proporcional ao número de Reynolds.
E diretamente proporcional ao fator de atrito.
ΔPL
ΔPL ∝
V̇ μL
D4
ΔPL D4
L
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Parabéns! A alternativa B está correta.
O comprimento compreendido entre a entrada do fluido no duto e a
estabilização do perfil de velocidades é denominado comprimento
de entrada.
2 - Escoamento turbulento
Ao �nal deste módulo, você será capaz de descrever o regime de escoamento turbulento.
A O comprimento de estabilização dos efeitos
viscosos.
B O comprimento de entrada.
C O comprimento do núcleo invíscido.
D O comprimento de estabilização da vazão.
E
O comprimento de atuação da tensão de
cisalhamento na parede do duto.
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Vamos começar!
Conceituando o regime de
escoamento turbulento
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
Tensão de cisalhamento em
escoamento turbulento
Nas aplicações práticas da engenharia, a maioria dos escoamentos é
turbulenta. O escoamento turbulento é caracterizado por flutuações
rápidas e randômicas com formação de redemoinhos de fluido
denominados turbilhões, presentes em toda a extensão do escoamento
e que representam um mecanismo adicional de transferência de massa,
de quantidade de movimento e de energia.
O movimento dos turbilhões acarreta, mesmo para um escoamento
médio em regime permanente, flutuações nos valores da velocidade,
temperatura e pressão. Assim, podemos assumir que os valores
instantâneos da velocidade e da pressão, por exemplo, flutuam em
relação a um valor médio, conforme a representação a seguir.

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Representação da velocidade (a) e da pressão (b) para um escoamento turbulento no tempo.
Conforme a representação da imagem, os valores instantâneos da
velocidade e da pressão, em determinado ponto do escoamento
turbulento, são compostos por duasparcelas: um valor médio e uma
componente flutuante:
Devido às flutuações, para o escoamento turbulento interno a tubos, a
tensão de cisalhamento não é corretamente modelada, considerando a
velocidade média turbulenta , conforme a equação:
Empiricamente, para a tensão turbulenta precisa, devem ser
consideradas duas parcelas: uma componente laminar , que
representa o atrito entre as camadas de fluido na direção do
escoamento, e uma componente turbulenta , relacionada com as
flutuações.
Assim:
No escoamento turbulento, o perfil parabólico para o escoamento
interno a tubos torna-se mais achatado, com uma queda brusca de
velocidade bem próxima à parede do tubo, e mais uniforme,
apresentando pequenas variações de velocidade, na região central do
tubo.
A seguir veja os perfis de velocidade próximo à parede, de forma
comparativa, para os escoamentos laminar e turbulento.
u(t) = ū + u′ e p(t) = p̄ + p′
ū
τ = −μ
dū
dr
τlam 
τturb
τtotal  = τlam  + τturb 
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Escoamento laminar
Veja na imagem os gradientes de velocidade para escoamento
laminar no interior de um tubo (representação em corte, somente
da parede inferior).
Escoamento turbulento
Veja na imagem os gradientes de velocidade para escoamento
turbulento no interior de um tubo (representação em corte,
somente da parede inferior).
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Podemos observar na imagem anterior uma maior tensão de
cisalhamento na parede para o escoamento turbulento, uma vez que:
Vamos considerar a imagem a seguir, que representa um turbilhão
ascendente que promove a transferência de partículas de fluido de uma
camada inferior, com velocidade menor, para outra superior, com
velocidade maior, devido à flutuação de velocidade decorrente do
turbilhão ascendente a partir de um elemento de uma área diferencial
.
Movimento ascendente de partícula de fluido em decorrência de um turbilhão ascendente.
Na imagem, a vazão mássica ascendente será determinada por:
Essa transferência de massa de menor valor de velocidade na direção
do escoamento promoverá uma redução na velocidade média de
escoamento na camada superior.
A velocidade das partículas transferidas na direção do escoamento é .
Portanto, a quantidade de movimento transferida na direção do
escoamento para a camada superior será determinada por .
Assim, como a força é igual à variação da quantidade de movimento, a
força que atuará sobre um elemento de fluido acima do elemento de
área o fará no sentido contrário do escoamento, pois as partículas
(
∂ū
∂y
)
y=0,turb
> (
∂ū
∂y
)
y=0,lam
v′
dA
dṁ = ρv′dA
u′
(ρv′dA)u′
dA
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têm velocidade inferior, oferecendo resistência. Essa força resistiva 
será determinada por:
Portanto, temos para a tensão de cisalhamento:
Logo, a tensão de cisalhamento turbulenta será quantificada por:
Em que representa a medida da média temporal dos componentes
de velocidade flutuantes e .
A tensão e as tensões ou são denominadas
tensões de Reynolds ou tensões turbulentas. Os modelos de
turbulência buscam estabelecer uma relação matemática entre a tensão
de Reynolds e o gradiente de velocidade médio.
O modelo de turbulência mais simples é escrito como:
Em que é a viscosidade de turbilhonamento ou viscosidade
turbulenta. Assim, temos para a tensão cisalhante total em
escoamentos turbulentos:
Onde é a viscosidade cinemática de turbilhonamento ou viscosidade
cinemática turbulenta.
δF
δF = − (ρv′dA)u′
δF
dA
= −ρv′u′
τtub = −ρu′v′
–
u′v′
–
u′ v′
−ρu′v′
–
−ρu′2
–
−ρu′w′
–
τturb = −ρu′v′ = μt
∂ū
∂y
–
μt
τtotal  = (μ + μt)
∂ū
∂y
= ρ (v + vt)
∂ū
∂y
vt
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Per�l de velocidades turbulento em
tubos
Para o escoamento turbulento, em função das flutuações, cada termo de
velocidade nas equações da continuidade e de Navier-Stokes a seguir,
para um fluido incompressível e newtoniano, é uma função aleatória de
variação rápida no tempo e no espaço.
Na engenharia, muitas vezes estamos interessados nos valores médios
de velocidade, pressão, tensão de cisalhamento etc. Assim, por
exemplo, a média temporal da velocidade de escoamento na direção
 é definida por:
Em que representa um período de cálculo da média, bem maior que
qualquer período significativo das flutuações, conforme as
representações na imagem a seguir, com média zero nas direções e .
Observe a representação das componentes da velocidade para o
escoamento turbulento em tubos e do período .
(a) Velocidade na direção , (b) velocidade na direção e (c) velocidade na direção .
As partículas de fluido ao longo do escoamento têm velocidade zero na
parede do tubo. Assim, nas camadas de fluido perto da parede a
velocidade é baixa, prevalecendo um forte efeito viscoso que torna o
escoamento laminar, com a formação de uma subcamada viscosa, onde
atua a tensão laminar .
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0
ρ
D→V
Dt
= − →∇p + ρ→g + μ→∇2 →V
x,u = u(x, y, z, t)
ū =
1
T
∫
T
0
udt
T
r θ
T
x r θ
τlam 
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A região mais afastada da parede, que envolve a região central do
escoamento em tuboss, é chamada de camada turbulenta externa, onde
tensão turbulenta domina.
A região intermediária é denominada de camada intermediária ou de
superposição e, nessa camada, ambas as tensões são significativas.
A ilustração dessas regiões, dentro da camada-limite hidrodinâmica
, é apresentada na imagem a seguir.
Regiões na camada-limite hidrodinâmica e associação entre as tensões de cisalhamento no
escoamento turbulento (a) e o perfil de velocidades (b).
Conforme a imagem, a tensão de cisalhamento no fluido, próximo à
parede, tende a seguir o comportamento newtoniano, ou seja:
Para um perfil de velocidades linear nessa região e sabendo que 
quando , e que para o escoamento laminar temos a velocidade 
equivalente à velocidade média no tempo , temos:
Com o objetivo de ajustar os dados experimentais a um perfil
adimensional, costuma-se considerar um fator constante definido
por:
A análise dimensional da constante fornece , o que
permite denominar esse fator como velocidade de atrito ou velocidade
de cisalhamento. Portanto, podemos escrever:
τturb
y = δ(x)
δ(x)
τ0 = μ
du
dy
u = 0
y = 0 u
ū
τ0 = μ
ū − 0
y − 0
= μ
ū
y
u∗
u∗ = √
τ0
ρ
u∗ [u∗] = L/T
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Rearranjando a equação anterior, temos a lei de parede:
Uma vez que e são constantes, e apresentam uma relação
linear de velocidades adimensional na subcamada viscosa, conforme
indicado na imagem a seguir.
Lei de parede na subcamada viscosa, , e lei logarítmica para o escoamento turbulento
completamente desenvolvido em tubos lisos.
Para a camada turbulenta externa (CTE) verifica-se experimentalmente
que a velocidade média é independente da viscosidade, mas seu
desvio, em relação à velocidade na borda da camada-limite ,
depende da espessura da camada-limite , da tensão de
cisalhamento na parede , da massa específica do fluido e da
posição na camada-limite, seguindo a expressão:
Dessa forma, podemos definir a lei da diferença de velocidade para a
camada turbulenta externa:
As leis de parede e da diferença de velocidade são precisas para uma
grande variedade de escoamentos turbulentos em tubos e, a princípio,
essas leis devem se sobrepor na camada intermediária ou de
sobreposição.
τ0 = (u
∗)2ρ = μ
ū
y
ū
u∗
=
yu∗
μ/ρ
=
yu∗
v
u∗ v ū y
0 ≤ yu∗/v ≤ 5
ū
U(x)
δ(x)
τp ρ
y
(U − ū)CTE = Φ (δ, τp,ρ, y)
U − ū
u∗
= ϕ (
y
δ
)
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Observa-se, experimentalmente, que essa sobreposição é satisfatória,
considerando a lei logarítmica da camada intermediária, definida por:
Para o escoamento em tubos lisos, as constantes adimensionais
assumem valores aproximados: e . Esse ajuste
experimental está representado na imagem anterior.
ū
u∗
=
1
κ
ln
yu∗
v
+ B
κ = 0, 41 B = 5, 0
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere as características dos escoamentos laminar e turbulento
isotérmicos e os perfis de velocidades a seguir, definidos após o
comprimento de entrada.
Pode-se afirmar que os escoamentos representados por (a) e (b)
são, respectivamente,
A turbulento e laminar.
B laminar e invíscido.
C laminar e turbulento.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
O escoamento laminar é aquele em que o fluido se move em
camadas, denominadas lâminas. Esse tipo de escoamento possui
influência de forças viscosas do fluido. Já as flutuações de
velocidade do escoamento turbulento promovem transferências de
quantidade de movimento na direção radial e um aumento da
tensão de cisalhamento próximo à parede, promovendo um
achatamento do perfil de velocidades.
Questão 2
O perfil de velocidades para a água em escoamento turbulento, com
viscosidade , em um tubo liso de 12cm de
diâmetro interno, é . Qual é a tensão de
cisalhamento na parede, em unidades do SI?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Na parede prevalece a tensão laminar:
D turbulento e invíscido.
E viscoso e transitório.
μ = 8, 00 × 10−4Pa ⋅ s
ū = 9, 2y1/8m/s
A 9, 2 × 10−4y−7/8
B 8, 0 × 10−4y−5/8
C 9, 2 × 10−4y−3/8
D 8, 0 × 10−4y−1/8
E 7, 4 × 10−3y−1/8
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3 - Escoamento em canais abertos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer canais de escoamento aberto.
Vamos começar!
Conceituando canais de escoamento
aberto
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
τw = μ
dū
dy
dū
dy
= 9, 2 ⋅
1
8
y−7/8 = 1, 15y−7/8
τw = 8, 00 × 10
−4 ⋅ 1, 15y−7/8 = 9, 2 × 10−4y−7/8

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Classi�cação dos escoamentos
Um escoamento em canal aberto é aquele que apresenta uma superfície
livre em contato com a atmosfera, por exemplo, em rios, galerias
pluviais, canais e calhas, que são conduzidos pela ação da gravidade e
cujo gradiente de pressão na interface com a atmosfera é desprezível.
Em um canal aberto, devemos observar duas laterais e um fundo em
que a condição de não escorregamento é evidenciada.
A imagem a seguir apresenta alguns contornos de velocidade em
diferentes canais, em que geralmente a velocidade máxima fica
localizada abaixo da superfície livre, aproximadamente 20% de sua
profundidade. Devemos observar que, quanto mais raso o canal, mais
próximo da superfície fica o contorno de velocidade máxima.
Contornos de velocidade, em m/s, em canais abertos retilíneos.
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Os escoamentos práticos em canais abertos são predominantemente
turbulentos e, apesar das irregularidades das velocidades, podemos
aproximar o escoamento real para um escoamento unidimensional
uniforme e obter estimativas de vazão muito razoáveis.
Agora entenderemos a diferença entre dois tipos de escoamento:
Escoamento uniforme
É aquele em que a
profundidade do líquido
e sua velocidade são
praticamente
invariantes ao longo da
extensão do canal.
Escoamento não
uniforme
É aquele em que a
profundidade do líquido
e sua velocidade são
alteradas ao longo da
extensão do canal.
A imagem a seguir apresenta a vista lateral de um canal e sua seção
transversal.
Vista lateral de um canal com inclinação (a) e sua seção transversal (b).
Na imagem anterior, a velocidade média do escoamento é
determinada por:
Em que A é a área da seção transversal.
Para a vazão volumétrica , temos:
O raio hidráulico é determinado pela razão entre a área da seção
transversal de escoamento e o perímetro molhado . Assim, temos:

S
V
V =
1
A
∫
A
vdA
Q
Q = V ⋅ A
Rh
Pm
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As geometrias mais comuns de canais abertos são apresentadas na
imagem a seguir.
Seções transversais mais usuais para canais abertos: (a) retangular, (b) trapezoidal e (c) circular.
Vejamos cada um deles:
Para o canal de seção transversal retangular, temos:
Para o canal trapezoidal, em que a variação do comprimento
horizontal por unidade de variação do comprimento vertical da
parede à esquerda é quantificada por , e da parede à direita
por , temos:
Para o canal de seção transversal circular, temos:
Rh =
A
Pm
=
Dh
4
Canal retangular 
Rh =
A
Pm
= by
b+2y
Canal trapezoidal 
m1/1
m2/1
A = by +
1
2
y2 (m1 + m1)
Pm = b + y ( √ 1 + m21 + √ 1 + m
2
2)
B = b + y (m1 + m2)
Canal circular 
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Em que:
Uma primeira classificação dos escoamentos em canais abertos
fundamenta-se na taxa de variação da profundidade do canal e da
velocidade média do escoamento. Assim, para um escoamento
uniforme, a profundidade e a velocidade média são constantes. O
escoamento pode ser:
Escoamento
rapidamente variado
(ERV)
Quando em distâncias
curtas se observa uma
mudança rápida na
profundidade e
velocidade, temos um
escoamento
rapidamente variado
(ERV).
Escoamento
gradualmente variado
(EGV)
Quando em distâncias
relativamente maiores,
a profundidade e a
velocidade variam
lentamente ou de forma
gradual, temos um
escoamento
gradualmente variado
(EGV).
A imagem a seguir ilustra esses tipos de escoamentos em canais
abertos, invariantes no tempo, mas não uniformes.
Escoamentos permanentes não uniformes gradualmente variado (EGV) e rapidamente variado (ERV).
A =
d2
4
(α − senα ⋅ cosα)
Pm = αd
B = d senα
α = arccos (1 − 2 y
d
)

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A força primária que sustenta o escoamento em canais abertos é a
força gravitacional. O número adimensional associado ao efeito
gravitacional sobre o escoamento é o número de Froude , definido
por:
Em que:
 é a profundidade do canal.
 é a velocidade média.
Uma segunda classificação para os escoamentos em canais abertos
fundamenta-se na comparação da velocidade média do líquido no canal
com a velocidade de uma onda em sua superfície medida em relação à
velocidade média, denominada celeridade da onda , quantificada por:
Da expressão anterior, verificamos que a velocidade da onda é função
apenas da profundidade do líquido . Portanto, temos para o número de
Froude:
Logo, para a classificação do escoamento com base no número de
Froude, vamos considerar a imagem a seguir. Nela, observa-se a
produção de onda superficial com velocidade , devido ao
posicionamento de uma placa vertical, de forma a obstruir parcialmente
a passagem de uma corrente de líquido com velocidade média .
(Fr)
Fr =
 Força inercial 
 Força gravitacional 
=
V
√ gL
=
V
√gy
y
V
(c)
c = √gy
y
Fr =
V
√gy
=
V
c
c
V
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Geração de onda através da obstrução parcial da corrente de fluido por placa vertical.
Então,considerando a imagem, temos três tipos de escoamento:
Escoamento crítico
Se , então , ou seja, a velocidade média do líquido é igual à
velocidade da onda, indicando a ocorrência de uma onda estacionária.
Esse escoamento é denominado escoamento crítico.
Escoamento subcrítico
Se , então , e a onda se propaga a montante (para a
esquerda). Esse escoamento é denominado escoamento subcrítico ou
fluvial.
Escoamento supercrítico
Se , então , e a onda se propaga a jusante (para a direita).
Esse escoamento é denominado escoamento supercrítico.
Energia especí�ca e aplicações
Para o escoamento de um líquido ideal em regime permanente em canal
aberto, em muitos casos, é prático medir a energia entre dois pontos na
superfície livre do líquido em relação ao fundo do canal. Veja na
representação a seguir:
Energias mecânicas por unidade de peso de fluido na superfície do líquido, adotando como
referência (Datum) a linha de fundo do canal aberto.
A partir da representação vista, temos a equação de Bernoulli:
Fr = 1 V = c
Fr < 1 c > V
Fr > 1 V > c
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Na superfície livre: 
Portanto:
Para qualquer ponto intermediário, considerando o princípio de
conservação da energia, podemos escrever para a energia total por peso
de fluido :
A energia total quantificada é denominada energia específica.
Em canais de seção retangulares, em que é a largura do canal, a
descarga específica é definida por:
Assim, para canais retangulares, temos para a energia específica:
A equação anterior, considerando a descarga específica constante (ou
Q constante), fornece um perfil cúbico em , representado pela linha
contínua na imagem a seguir, que apresenta um gráfico de profundidade
 em função da energia específica .
p1
γ
+
V 21
2g
+ y1 =
p2
γ
+
V 22
2g
+ y2
p1 = p2 = patm
V 21
2g
+ y1 =
V 22
2g
+ y2
(E)
E = y +
V 2
2g
b
q
q =
 vazão volumétrica 
 largura do canal 
=
Q
b
=
V (by)
b
= V y
E = y +
q2
2gy2
q
y
y E
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Perfil de energia específica em função da profundidade y para um valor fixo de vazão específica
, escoamento fluvial (subcrítico), , escoamento torrencial (supercrítico) e ,
escoamento crítico.
Podemos observar na imagem que, para ocorrer uma descarga
específica, faz-se necessária uma energia mínima chamada de
energia crítica , correspondente à profundidade crítica .
Para , verificamos que duas profundidades de escoamento são
possíveis: uma para o escoamento subcrítico e outra para o escoamento
supercrítico. Essas profundidades são denominadas profundidades
recíprocas.
De modo geral, uma transição é caracterizada por variações na
profundidade e na velocidade média de escoamento do líquido em uma
extensão relativamente curta do canal, associada a um escoamento não
uniforme bruscamente variado.
Para exemplificar, vamos considerar a constrição de um canal retangular
causada pela elevação de uma altura no leito do canal, conforme a
representação da imagem a seguir.
Constrição de canal retangular: (a) elevação no fundo do canal, (b) diagrama de energia específica
versus profundidade correspondente.
Na imagem vamos considerar os pontos (1) e (2) na superfície do canal
aberto e o diagrama de energia específica do canal. Assim, o balanço de
E
q.Fr < 1 Fr > 1 Fr = 1
Emín 
(Ec) (yc)
E > Ec
h
h
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energia fornece:
Assim, quando escoa sobre uma rampa ou um obstáculo no leito do
canal, um líquido altera sua profundidade de escoamento uma vez que a
elevação do leito aumenta sua energia potencial.
Para a análise dos efeitos de rampa e de obstáculos no leito de canais
abertos, vamos considerar escoamento unidimensional com elevação
gradual a uma curta distância e efeitos de cisalhamento desprezíveis,
nas representações da imagem a seguir.
Escoamentos em canais abertos sobre a ação de rampa e de obstáculo, com seus respectivos
diagramas de energia específica.
Da análise da imagem, temos:
Vamos começar com a imagem , devemos considerar para
esse tipo de escoamento , conforme a imagem . Ao
passar pela rampa, a energia potencial do líquido aumenta com a
elevação , e a profundidade do líquido também aumenta, de 
para , conforme a imagem . Ainda na imagem , com a
consequente redução na energia específica de para e
devido à elevação da profundidade, , a carga cinética em
E1 = E2 + h
Para o escoamento torrencial em rampa(Fr > 1) 
(a)
y1 < yc (b)
h y1
y2 (b) (b)
E1 E2
y2 > y1
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(2) deverá diminuir, diminuindo a velocidade média de
escoamento torrencial .
Vamos começar com a imagem , temos , conforme a
imagem (d). Ao passar pela rampa, a energia específica do
líquido diminui de para e a sua profundidade também
diminui de para , conforme a imagem (d). Pela equação da
continuidade, a vazão volumétrica deve permanecer
constante: . Assim, para manter a vazão
constante, com a redução de em relação a , a velocidade
média de escoamento deve ser maior que .
Vamos começar com a imagem , a redução máxima de
energia para um escoamento torrencial é e está
associada com a profundidade crítica , conforme a imagem
. Se o obstáculo apresentar uma elevação ,
imagem (e), o escoamento passará de torrencial para fluvial,
aumentando a profundidade do escoamento para , conforme a
imagem .
Vertedores e ressalto hidráulico
A forma mais comum de medida da descarga de um canal aberto é
através da utilização de um vertedor, que é um dispositivo conectado ao
canal que direciona o escoamento para uma abertura projetada que
permite a medição da vazão.
A imagem a seguir apresenta um vertedor de crista larga. Nesse
vertedor, o transbordo da corrente a jusante é denominado lâmina e
geralmente é descarregado livremente para a atmosfera.
V2
Para o escoamento fluvial em rampa(Fr < 1) 
(c) y1 > yc
E1 E2
y1 y2
Q
Q = V1y1b = V2y2b
y2 y1
V2 V1
Para o escoamento sobre um obstáculo 
(e)
(E1 − Emín)
yc
(f) hc = yc − y1
y2
(f)
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Vertedor de crista larga. linha de energia.
O vertedor de crista larga possui uma elevação acima do fundo do canal
suficiente para bloquear o escoamento e tem uma largura tal que as
linhas de corrente no transbordo podem ser consideradas paralelas.
Esses vertedores são projetados de forma que o escoamento seja
subcrítico a montante e crítico próximo ao topo ou
próximo à crista do vertedor.
Na imagem anterior, o canal é retangular e a altura do vertedor é . A
seção (1) representa um ponto de corrente a montante, onde o
escoamento é considerado não perturbado e é a distância vertical a
partir do topo do vertedor até a superfície livre.
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2) na superfície
livre, considerando e adotando o leito do canal como referência
para medição das elevações, temos:
Portanto:
Considerando a largura do vertedor retangular igual a , temos para a
vazão :
O vertedor de crista delgada tem uma placa plana fixada na direção
normal ao escoamento, que proporciona uma crista com borda delgada
LE =
(Fr < 1) (Fr = 1)
h
Y
V1 ≅0
Y + h = h + yc +
V 2c
2g
Vc = √ 2g (Y − yc)
b
Q
Q = Vc (byc) = byc√ 2g (Y − yc)
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na forma de lâmina vertente que se comporta como um jato livre,
conforme a representação da imagem a seguir.
Vertedor retangular com crista delgada: (a) escoamento ideal, com linhas de corrente paralelas e (b)
escoamento real.
Na imagem (a), considerando a conservação da energiaespecífica nas
seções (1) e (2), levando em conta a seção (1) não perturbada — ou seja,
com —, temos:
Portanto:
Para uma largura constante do vertedor, temos para a vazão
volumétrica :
O ressalto hidráulico é o fenômeno observado quando um fluido em
escoamento supercrítico passa de forma abrupta para um escoamento
subcrítico. A imagem a seguir apresenta a formação de um ressalto
hidráulico.
V1 ≅0
h + η = h +
V 22
2g
V2 = √ 2gη
b
Q
Q = b ∫
Y
0
V2dη = b ∫
Y
0
(2gη)1/2dη =
2b
3
√ 2gY 3/2
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Ressalto hidráulico. Escoamento sob comporta que promove a aceleração do fluido, atingindo 
1 e, em seguida, a formação do ressalto hidráulico, com .
As características turbulentas do ressalto hidráulico tornam esse
fenômeno um dissipador de energia. A intensidade do ressalto varia de
perturbações suaves até fragmentações do fluido com formações de
vórtices intensos.
O parâmetro mais significativo no desempenho de dissipação
energética no ressalto hidráulico é o valor numérico do número de
Froude.
Assim, a imagem a seguir apresenta, de forma esquemática, as
características dos diferentes tipos de ressaltos hidráulicos. Os seus
respectivos intervalos de operação para o número de Froude e suas
descrições seguem em sequência.
Fr >
Fr < 1
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Classificação dos ressaltos hidráulicos.
Conforme a imagem dos ressaltos hidráulicos, temos:
. Superfície da água encrespada oscilante e com
formação de ondas estacionárias na superfície quando
. Dissipação de energia abaixo de 5%.
. Elevação suave da superfície com pequenos
redemoinhos e com pouca dissipação de energia, entre 5% e
15%.
Ressalto hidráulico tipo oscilante 
1 < Fr ≤ 1, 7
Fr ≅1, 7
Ressalto hidráulico tipo fraco 
1, 7 < Fr ≤ 2, 5
Ressalto hidráulico bem desenvolvido oscilante 
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. Instável com jatos intermitentes do fundo para
superfície, acarretando ondas persistentes a jusante. Dissipação
de energia entre 15% e 45%.
. Estável e bem-equilibrado com dissipação de
energia entre 45% e 70%.
. Razoavelmente intermitente, com superfície agitada e
ondulante a jusante. Dissipação de energia entre 70% e 85%.
Exemplo prático
(Adaptado de Potter, Wiggert e Ramadan, 2014, p. 437) Vamos analisar
um exemplo para compreender melhor os assuntos estudados. Um
canal retangular com 4m de comprimento transporta água a uma
profundidade e com velocidade . O
escoamento passa por uma rampa conforme a representação a seguir,
na qual o leito é elevado em . Vamos determinar:
A profundidade da água .
A velocidade da água , após a transição.
A altura crítica.
2, 5 < Fr ≤ 4, 5
Ressalto hidráulico tipo permanente 
4, 5 < Fr ≤ 9, 0
Ressalto hidráulico tipo forte 
Fr > 9, 0
y1 = 1, 70m V1 = 1, 90m/s
h = 0, 30m
y2
V2
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Escoamento de fluido em um canal retangular.
Veja que, para a descarga específica constante, temos:
Para o número de Froude no ponto (1), temos:
Como , o escoamento no ponto (1) é subcrítico.
A energia específica no ponto (1) será quantificada como:
Assim, considerando o diagrama da energia específica, temos:
Considerando a energia específica genérica e sabendo que ,
temos:
Derivando a energia específica em relação a e igualando a zero para
encontrar o ponto crítico:
Para determinar e , realizamos os seguintes cálculos:
q =
Q
b
= V1y1 = 1, 90 × 1, 70 = 3, 23m
2/s
Fr =
V1
√gy1
=
1, 90
√ 10 × 1, 70
= 0, 46
Fr < 1
E1 = y1 +
V 21
2g
= 1, 70 +
1, 902
20
= 1, 88m
E1 = E2 + h
⇒ E2 = 1, 88 − 0, 30 = 1, 58m
V = q/y
E = y +
V 2
2g
= y +
q2
2gy2
y
dE
dy
= 1 −
q2
gy3
= 0
⇒ yc =
3√ q
2
g
= (
3, 232
10
)
1/3
= 1, 01m (item c) 
y2 V2
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Para a determinação de , temos:
Como a raiz negativa não tem sentido físico e 
(diagrama de energia):
 (item a)
Para a determinação de , temos:
Determinando y2 
y2
E2 = y2 +
q2
2gy22
⇒ 1, 58 = y2 +
3, 232
20y22
⇒ 20y32 − 31, 6y
2
2 + 10, 4 = 0
Raízes: y2 = 1, 21m, y2 = 0, 838m e y2 = −0, 494m
yc < y2 < y1
y2 = 1, 21m
Determinando V2 
V2
V2 =
q
y2
= 3,231,21 = 2, 67m/s( item b) 
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Seja um canal retangular submetido a uma descarga específica
 e . Sabe-se que o ponto crítico
 é o ponto de inflexão no perfil de energia específica 
versus profundidade do canal , quando a descarga específica é
constante. Diante dessas informações, qual a profundidade crítica
desse canal?
q = 5, 00m3/s ⋅ m g = 10, 0m/s2
(yc,Ec) (E)
(y)
A 1,55m
B 2,32m
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Questão 2
Considere um canal de seção transversal retangular com 4m de
largura e inclinação de 2o. Para um escoamento uniforme, se a
profundidade de água no canal é igual a 2,5m, o raio hidráulico
desse canal é igual a
C 3,08m
D 3,60m
E 4,22m
q = Q
b
= V by
b
= V y
E = y + V
2
2g = y +
q2
2gy2
dE
dy
= 1 − q
2
gy3
= 0 ⇒ yc = ( q
2
g
)
1/3
yc = ( 5
3
10 )
1/3
= 2, 32m
A 4m.
B 3,5m.
C 2,7m.
D 1,1m.
E 0,8m.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
4 - Perdas de energia devido ao atrito
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as dissipações viscosas em tubos.
Vamos começar!
Você sabe como descrever as
dissipações viscosas em tubos?
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
Rh =
A
Pm
= by
b+2y =
4×2,5
4+2×2,5 = 1, 1m

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Perda de carga em tubos
As perdas de energia nos escoamentos viscosos internos a dutos são
decorrentes do cisalhamento do fluido com a parede do duto. Apresenta
como característica uma dissipação viscosa de energia distribuída ao
longo do escoamento e das dissipações viscosas nos componentes ou
acessórios de tubulação, que promovem pequenas descontinuidades na
linha de energia do duto. Em função dessa característica, são
denominadas perdas singulares, perdas localizadas ou perdas
menores.
Considerando a dissipação de energia em função do cisalhamento na
parede da tubulação, podemos fazer a distinção entre dois tipos de
parede: lisa e rugosa, que são diferenciadas baseando-se nas
representações da imagem a seguir.
Tipos de parede: (a) parede lisa e (b) parede rugosa.
Com base na imagem, o tubo será considerado liso quando a
imperfeição superficial ou a rugosidade superficial média da parede
estiver dentro da espessura da subcamada laminar turbulenta. Por
sua vez, o tubo será considerado rugoso (ou áspero) quando a
rugosidade superficial média da parede projeta-se além da espessura
 da subcamada laminar turbulenta.
Com o objetivo de generalizar e obter uma expressão empírica para uma
ampla faixa de rugosidade e para uma ampla faixa de regime de
escoamento, buscou-se combinar as relações experimentais para o
escoamento em tubos lisos e para o escoamento em tubos rugosos. A
expressão que atende a esse objetivo é dada pela fórmula:
Em que é o fator de atrito de Darcy.
A representação gráfica da fórmula anterior, não explícita em , é
denominada diagrama de Moody e segue a representação da imagem a
e
δv
e
δv
1
f 1/2
= −2,0 log (
e/D
3, 7
+
2, 51
ReDf 1/2
)
f
f
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seguir.
Diagrama de Moody, com rugosidade superficial média .
No diagrama de Moody, devemos observar que, para o escoamento
laminar caracterizado quando , o fator de atrito segue um
comportamento linear descrito pela equação .
Para o escoamento turbulento completamente desenvolvido — região à
direita da curva tracejada denominada, nesse diagrama, como região
completamente rugosa —, o fator de atrito só depende da rugosidade
relativa e independe do número de Reynolds, pois os perfis
identificados nessa região são paralelos ao eixo da ordenada .
Uma fórmula explícita em , alternativa para o diagrama de Moody, com
desvio máximo de 2%, é dada pela expressão:
Para a quantificação da perda de carga distribuída, associada ao atrito
do fluido na parede da tubulação, utilizamos a equação de Darcy-
Wiesbach:
Em que é o fator de atrito ou coeficiente de perda de carga,
determinado a partir do diagrama de Moody ou da fórmula empírica
explícita em .
Para a perda de carga localizada, que estão associadas à dissipação
viscosa devido aos efeitos de entrada e de saída do fluido na tubulação,
e = ε
Re ≤ 2000
f = 64/Re
ε/D
(Re)
f
1
f 1/2
≅−1, 8 log [
6, 9
ReD
+ (
e/D
3, 7
)
1,11
]
hL = f
L
D
v2
2g
f
f
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bem como ao atrito nos acessórios de tubulação tais como válvulas,
joelhos, expansões, contrações, curvas e outros tipos de encaixes, a
magnitude dessa dissipação de energia é diretamente proporcional à
carga cinética do fluido e é quantificada por:
Em que é o coeficiente de resistência ou coeficiente de perda.
Os coeficientes de resistência são determinados experimentalmente e
apresentados na forma de tabelas, gráficos ou representações
esquemáticas. A imagem e as tabelas a seguir apresentam alguns
valores para os coeficientes de resistência .
Coeficiente de resistência determinado via gráfico, acompanhado de representações esquemáticas
de expansão e contração bruscas em tubos.
A tabela a seguir apresenta o coeficiente de perda em válvulas e
acessórios de tubulação.
Acessório Geometria K
Cotovelo de 90o
Padrão flangeado 0,3
Raio longo
flangeado
0,2
Padrão rosqueado 1,5
Raio longo
rosqueado
0,7
Cotovelo de 45o Padrão rosqueado 0,4
hL = K
v2
2g
K
K
K
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Acessório Geometria K
Raio longo
rosqueado
0,2
Tê, divisório
Rosqueado 0,9
Flangeado 0,2
Tê, ramificação
Rosqueado 2,0
Flangeado 1,0
Tabela: Coeficiente de perda em válvulas e acessórios de tubulação.
Fox et al., 2018, p. 237.
A seguir, apresentamos o coeficiente de resistência determinado via
representações esquemáticas de entrada em tubos.
Coeficiente de resistência.
Coe�ciente de descarga
Para o entendimento do coeficiente de descarga e sua ação na
correção da dissipação de energia devido ao atrito, vamos considerar o
escoamento de um fluido através de um dispositivo denominado de
tubo Venturi, representado na imagem a seguir.
K
(Cd)
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Escoamento de fluido em tubo Venturi, com seção de estrangulamento ou garganta representada
pela seção (2).
Levando em conta a imagem, em uma primeira análise, vamos
considerar o escoamento de um fluido não viscoso e incompressível
que escoa da seção reta (1) para a seção reta de estrangulamento (2).
Assim, aplicando a equação de Bernoulli, temos:
Como a tubulação está na horizontal, então .
Do balanço de massa, para fluido incompressível, a vazão volumétrica é
a mesma em qualquer ponto da tubulação, portanto:
Logo:
O que implica em:
Assim, a velocidade na garganta do medidor de Venturi será estimada
por:
p1 +
ρv21
2
+ γz1 = p2 +
ρv22
2
+ γz2
z1 = z2
v1
πD21
4
= v2
πD22
4
p1 +
ρ(v2D22/D
2
1)
2
2
= p2 +
ρv22
2
2 (p1 − p2) = ρ [ 1 − (
D2
D1
)
2
] v22
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A equação de Bernoulli não considera as perdas de energia por
cisalhamento no escoamento. Na prática da engenharia, a equação
pode ser modificada pela inclusão de um fator, o coeficiente de
descarga , determinado experimentalmente, definindo razão entre a
velocidade média real na garganta, em que são considerados os efeitos
viscosos, e sua velocidade média teórica, em que não são computados
os efeitos viscosos. Assim, temos:
Para a determinação da vazão no tubo Venturi, considerando os
efeitos de dissipação viscosa, podemos escrever:
O coeficiente de descarga é determinado experimentalmente e seu valor
pode ser determinado graficamente, conforme a imagem a seguir.
Coeficiente de descarga para tubo Venturi. é a razão entre o diâmetro interno da garganta e o
diâmetro interno do tubo.
v2 =
2 (p1 − p2)/ρ
1 − ( D2
D1
)
2
⎷
Cd
Cd =
(v2)real 
(v2)teórica 
Q
Q = (v2)real A2 = CdA2(v2)teórica  = Cd (
πD22
4
) ×
2 (p1 − p2)/ρ
1 − ( D2
D1
)
2
⎷
β
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O perfil da imagem pode ser substituído pela seguinte fórmula de
correlação:
Cd ≅0, 9858 − 0, 196β
4,5
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A água escoa em uma tubulação com rugosidade relativa 0,006 e
diâmetro interno de 4cm, apresentando uma viscosidade
cinemática . Utilizando o diagrama de
Moody, para uma velocidade média de escoamento de 2,3m/s, qual
é o fator de atrito ?
Diagrama de Moody, com rugosidade superficial média .
v = 1, 15 × 10−6m2/s
f
e = ε
A 0,011
B 0,022
C 0,033
D 0,046
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Rugosidade relativa = 0,006 (enunciado)
Diagrama de Moody, com rugosidade superficial média .
Do diagrama de Moody: 
Questão 2
Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido e
um óleo de peso específico e viscosidade
cinemática , com vazão 
em um tubo de ferro galvanizado de de diâmetro interno.
Sabendo que , qual é a queda de pressão em 100m de
tubo horizontal?
E 0,055
Re = VD
v
= 2,3×0,04
1,15×10−6
= 80.000
e = ε
f = 0, 033
γ = 8, 89kN/m3
v = 1, 18 × 10−4m2/s Q = 0, 008m3/s
20, 3cm
g = 10m/s2
A 2 kPa
B 4 kPa
C 6 kPa
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Da equação geral da energia mecânica:
Tubulação na horizontal: 
Diâmetro constante: 
Portanto:
Escoamento laminar: 
Da equação de Darcy:
Considerações �nais
Em nosso estudo destacamos os seguintes aprendizados: a
classificação dos regimes de escoamentos viscosos, a formulação da
equação do escoamento laminar, a identificação de uma camada-limite
D 8 kPa
E 10 kPa
Q = VA ⇒ V =
Q
A
=
Q
πD2/4
=
0, 008
π ⋅ 0, 2032/4
= 0, 247m/s
Re =
ρVD
μ
=
VD
v
=
0, 247 × 0, 203
1, 18 × 10−4
= 425
p1
γ
+
V 21
2g + z1 − hL =
p2
γ
+
V 22
2g + z2
z1 = z2
V1 = V2
p1−p2
γ
= Δp
γ
= hL
f = 64/Re
hL = f
L
D
V 2
2g
=
64
Re
×
L
D
V 2
2g
=
64
425
×
100
0, 203
×
0, 2472
20
= 0
Δp = γhL = 8, 89 × 0, 226 = 2, 0kPa
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hidrodinâmica, a tensão de cisalhamento e o perfil de velocidades em
um escoamento turbulento.
Vimos também as classificações dos escoamentos em canais abertos e
a importância do número de Froude, a definição da energia específica eda descarga específica.
Por fim, analisamos suas aplicações na quantificação das transições de
escoamento como o ressalto hidráulico, os tipos de vertedores e a
quantificação da perda de carga devido à dissipação viscosa no
escoamento interno a tubos.
Podcast
Ouça este podcast sobre a importância do diâmetro hidráulico, a
diferença de abordagem matemática entre escoamentos laminar e
turbulento, a condição necessária para formação de um ressalto
hidráulico e a distinção entre perdas de carga distribuída e localizada.

Explore +
Leia o artigo Coeficiente de rugosidade de Manning para o rio Paracatu,
de Guilherme B. Lyra e colaboradores, publicado na Revista Brasileira de
Engenharia Agrícola e Ambiental, que apresenta a importância desse
parâmetro na determinação da vazão em canais abertos.
Leia o artigo Modelagem computacional de ressalto hidráulico em canal
urbano, de Francisco Guedes Cavalcante e colaboradores, publicado na
Revista DAE, que analisa um ressalto hidráulico por modelagem
computacional.
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Leia o artigo Estudo da transição entre escoamento laminar e
turbulento em tubo capilar, de M. H. Martins e A. Knesebeck,
apresentado no XI Congresso Brasileiro de Engenharia Química em
Iniciação Científica 2015. O artigo apresenta um esquema experimental
para medição dessa transição de escoamento.
Referências
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e
aplicações. 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
COELHO, J. C. M. Energia e fluidos: mecânica dos fluidos. São Paulo:
Blücher, [s.d.].
ELGER, D. F. Mecânica dos fluidos para engenharia. 11. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2019.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2018.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2016.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecânica dos fluídos.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2014.
WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2018.
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