Atividade 3 - Cálculo avançado com números complexos

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Atividade 3
Em muitas situações cotidianas nos deparamos com sequências e sucessões que, na correria, não nos atentamos para a sua importância e beleza. Como vimos nesta unidade, Fibonacci, nome curioso pelo qual o matemático Leonardo Pisano ficou conhecido, é o pai de um dos padrões presente em inúmeros fenômenos da natureza. Podemos verificar na distribuição das pétalas de certas flores, crescimento de algumas plantas, ondas do oceano, e não podemos deixar de citar o número dos elementos de uma família de coelho, que foi onde tudo começou. 
As sequências além de desvendarem esses fenômenos, entre outros, também são elementares para o estudo posterior das séries infinitas. A determinação de seu padrão é importante para o seu estudo e compreensão de seus elementos, bem como de sua aplicação. 
Para facilitar a resolução de situações problemas envolvendo as sequências foram desenvolvidos métodos e estabelecidos teoremas, considerando que essas sequências são elementares em outros conteúdos e precisaremos recorrer a esses recursos para encurtar caminhos. 
  
Proposta 
A partir dos seus conhecimentos sobre as sequências, prove que: 
 
 
Resposta:
A sequência de Fibonacci é um padrão numérico que podem aparecer em diversos seres vivos.
É uma sequência infinita que começa com 0 e 1, essa sequência se completa com a sequência dos 2 números anteriores. Seguindo essa lógica, podemos montar uma sequência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e assim por diante.
Essa sequência liga-se facilmente a natureza, muito comum de ser encontrada em copas de árvores, no ramo de uma planta, nas folhas e até em pétalas de flores.
Nos pontos de crescimentos de novos nós, podemos observar o padrão de Fibonacci. Na figura acima utilizada como exemplo, notamos que há 5 linhas contadas de baixo para cima.
Na linha 1 há 1 nó. Na linha 2 há de novo 1 nó. Na linha 3, encontramos 2 nós de ramificação. Na linha 4 encontramos 3 nós de ramificação. A partir do crescimento continuo da planta a sua sequência continua.