AP1 GEOMETRIA ANALÍTICA 2023.2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 - Geometria Anaĺıtica - 2023-2
Gabarito
Código da disciplina: Matemática EAD 01087
Considere o ponto P = (x, y), onde x e y são números reais, para responder as questões 1, 2, 3 e 4:
Questão 1 [1,0 ponto]: Se xy < 0, em quais quadrantes pode estar situado o ponto P? Justifique
cuidadosamente sua resposta.
Questão 2 [0,5 ponto]: Se y = −2, calcule os valores de x para que se tenha ||−−→OP || = 5.
Questão 3 [0,5 ponto]: Se x = 1, para quais valores de y os vetores −−→OP e −→v = (−2, 2) são
ortogonais?
Questão 4 [0,5 ponto]: Se x = 8, para quais valores de y os vetores −−→OP e −→u = (2, 5) são
paralelos?
Resolução:
(1) Sendo x e y números reais e xy < 0, então temos duas opções:
• x > 0 e y < 0: nesta situação, os pontos ficam localizados no quarto quadrante,
• x < 0 e y > 0: nesta situação, os pontos ficam localizados no segundo quadrante.
(2) Se y = −2, então −−→OP = (x, −2). Para que ||−−→OP || = 5, é necessário que
√
x2 + 4 = 5 ⇐⇒ x2 + 4 = 25 ⇐⇒ x2 = 21 ⇐⇒ x = ±
√
21.
(3) Se x = 1, então −−→OP = (1, y). Para que vetores −−→OP e −→v = (−2, 2) sejam ortogonais, é
necessário que
<
−−→
OP , −→v >= 0 ⇐⇒ −2 + 2y = 0 ⇐⇒ 2y = 2 ⇐⇒ y = 1.
(4) Se x = 8, então −−→OP = (8, y). Para que vetores −−→OP e −→u = (2, 5) sejam paralelos, é necessário
que
−−→
OP = λ−→v para algum t real ⇐⇒ (8, y) = λ(2, 5) ⇐⇒ 8 = 2λ e y = 5λ.
Se 8 = 2λ, então λ = 4 e com isso y = 5λ = 5 · 4 = 20.
Questão 5 [2,0 pontos]: Quantas são as retas paralelas à reta r : x + y = −6 que distam
√
2 do
ponto P = (1, 1)? Determine a(s) equação(ões) cartesiana(s) desta(s) reta(s).
Geometria Anaĺıtica AP1 1/2023
Resolução:
Considerando retas s paralelas à reta r : x + y = −6 dada, podemos escrevê-las da forma
x + y = k,
para algum k real. Para que s diste
√
2 do ponto P , temos:
d(s, P ) =
√
2 ⇐⇒ |1 + 1 − k|√
2
=
√
2 ⇐⇒ |2 − k| = 2 ⇐⇒ k = 0 ou k = 4.
Sendo assim, temos duas retas paralelas à reta r : x + y = −6 que distam
√
2 do ponto P = (1, 1),
que são elas: x + y = 0 e x + y = 4.
Questão 6 [2,5 pontos]: Faça um esboço da região R do plano formada pelos pontos que satis-
fazem o sistema de inequações a seguir:
R :

y ≤ 3
y > x
2x + 5y ≥ 11
.
Resolução:
Queremos encontrar a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3, onde
R :

R1 : y ≤ 3
R2 : y > x
R3 : 2x + 5y ≥ 11
As regiões R1, R2 e R3 são limitadas pelas retas r1 : y = 3, r2 : y = x e r3 : 2x + 5y = 11,
respectivamente. Cada uma das retas divide o plano em dois semiplanos. Para verificar qual semiplano
deve ser escolhido para representar as regiões R1, R2 e R3, deve-se pegar um ponto em cada um dos
semiplanos e testar na inequação que representa a região. Após, é preciso fazer a interseção entre
os três semiplanos encontrados, que nos fornecerá a região R.
Precisamos ainda encontrar os pontos de interseção entre as curvas r1, r2 e r3 para construir o esboço
de forma adequada. Para isso é necessário resolver os seguintes sistemas:
(a)
{
y = 3
y = x , (b)
{
y = 3
2x + 5y = 11 , (c)
{
y = x
2x + 5y = 11.
Resolvendo o sistema (a) encontramos o ponto C = (3, 3), resolvendo o sistema (b) encontramos o
ponto B = (11/7, 11/7) e para o sistema (c) encontramos A = (−2, 3).
Na figura a seguir, destacamos em azul a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3.
Partes das retas r1 e r3 pertencem à região procurada, mas nenhuma parte da reta r3 pertence à
região procurada. O ponto A pertence à região, mas os pontos B e C não pertencem.
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Considere a reta do plano r :
{
x = t + 1
y = 2t + 1 , t ∈ R e o ponto P = (−2, 4) para responder as
questões 7 e 8:
Questão 7 [1,5 ponto]: Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta s que passa pelo
ponto P e é perpendicular a reta r.
Questão 8 [1,5 ponto]: Seja u a reta de equação cartesiana 2x − y = 3. Determine se r e u são
paralelas, coincidentes ou concorrentes.
Resolução:
(7) O vetor (1, 2) é paralelo à reta r. Logo, (1, 2) é perpendicular à reta s. Sendo assim, s tem a
seguinte forma:
x + 2y = k,
para algum k real. Como P ∈ r, então podemos encontrar o valor de k substituindo as coordenadas
de P na equação encontrada anteriormente:
−2 + 2(4) = k ⇐⇒ k = 6.
Assim, a equação cartesiana de s é x + 2y = 6.
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Por outro lado, se (1, 2) é perpendicular à reta s, então (2, −1) é paralelo à reta s. Logo,
s :
{
x = 2t − 2
y = −t + 4 , t ∈ R
é uma parametrização de s.
(8) O vetor (2, −1) é perpendicular à reta u, então (1, 2) é paralelo à reta u. Já sabemos que o
vetor (1, 2) também é paralelo à reta r. Logo, já podemos concluir que as retas r e u são paralelas
ou coincidentes.
Como o vetor (2, −1) é perpendicular à reta r, então temos que r possui a seguinte equação:
2x − y = 2(1) − 1 = 1. A equação de u é 2x − y = 3. Analisando as duas equações, notamos que o
termo independente (que fica do lado direito das duas equações) são diferentes enquanto os vetores
perpendiculares às retas são iguais. Sendo assim, as duas retas não podem ser coincidentes e são
paralelas.
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